3D transformacije in gledanje
|
|
- Angela Ferguson
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 3D transformacije in gledanje
2 Premikanje predmeta - translacija
3 Vrtenje rotacija okrog središča
4 Vrtenje rotacija okrog tečaja
5 Povečava -pomanjšanje Povečava v eni smeri Enakomerna povečava
6 Striženje (shear)
7 Povečanje D transformacij na 3D Primer: D skaliranje: [x' y' ] = [x y ] * [Sx ] [ Sy ] [ ] 3D skaliranje: [x y z ] = [x y z ]* [Sx ] [ Sy ] [ Sz ] [ ] Narišemo samo x in y.
8 Transformacija točk in predmetov = z y x P P P P = z y x Q Q Q Q Homogena predstavitev = z y x z y x P P P M Q Q Q = m m m m m m m m m m m m M
9 Osnovne 3D afine transformacije Transla Translacija cija Povečava Povečava (scalling) (scalling) x x x T T T z y x S S S
10 Rotacije Okoli osi x: Okoli osi y: Okoli osi z R R R x y z ( β ) ( β ) ( β ) cos = sin cos = sin cos sin = ( β ) sin( β ) ( β ) cos( β ) ( β ) sin( β ) ( β ) cos( β ) ( β ) sin( β ) ( β ) cos( β )
11 ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( 3D Rotacije Okoli osi x Okoli osi y Okoli osi z ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( Opazka: to je enako kot pri D rotaciji
12 Sestavljanje (veriženje): Enako kot v D ( P) = ( M M )( P) W = M Sestavljanje rotacij Vrstni red je pomemben 3D matrik vrtenja ne smemo zamenjati
13 Še nekaj primerov 3D transformacij Zrcaljenje preko ravnine xy Enakomerna povečava Translacija v smeri x S S S m
14 = s r q p n i h g m f e d l c b a M Splošna oblika 3D transformacijske matrike n m l i h g f e d c b a ( ) r q p s povečava, striženje, vrtenje, zrcaljenje Translacija Perspektivna preslikava Splošna povečava
15 Še več o rotacijah
16 Več o rotacijah oziroma usmeritvi usmeritev
17 Interpolacija O O.5 O
18 Veriženje O O
19 Koti rotacije okrog fiksnih osi Y Z X R x ( ). R y ( ). R z ( 3 ). P
20 Predstavitev fiksnih kotov Koti, za katere zavrtimo predmet okrog fiksnih osi Usmeritve določa množica 3 urejenih parametrov ki predstavljajo urejene rotacije okrog fiksnih osi: najprej okrog x, nato y nato z Več možnih zaporedij, ki ne uporabijo nujno vse 3 osi
21 Predstavitev fiksnih kotov Vrtenje za,45, 9 bi zapisali kot Rz(9) Ry(45), Rx(), saj hočemo najprej rotacijo okrog, ki jo uporabimo na točki P. RzRyRx P Do problema pride, če se dve osi vrtenja poravnata med seboj. Temu pojavu pravimo kardanska zapora ( Gimbal Lock )
22 Primeri fiksnih kotov rotacije Primer (,9,) Y Rotacija okoli osi z Primer (-45,9,) Y X X Z Z
23 Primeri fiksnih kotov rotacije Na primer (,9,) Y Y X X Z Z
24 Primeri fiksnih kotov rotacije Primer (-45,9,) Y Y X X Z Z
25 Kardanska zapora (gimbal lock) Poravnanje dveh ali več osi vrtenja predmeta pomeni izgubo prostostne stopnje. Predmet se ne bo vrtel tako, kot smo si zamislili.
26 Kardanska zapora Vrtenje za kot 9 stopinj okoli osi y v bistvu pomeni, da se prva os vrtenja poravna s tretjo. Inkrementalne spremembe v x,z pripeljejo do enakega rezultata: izgubimo prostostno stopnjo
27 Eulerjevi koti An Euler angle is a rotation about a single axis. Any orientation can be described composing three rotation around each coordinate axis. Roll, pitch and yaw
28 Eulerjev teorem Poljubna rotacija (ali zaporedje rotacij) okrog neke točke je ekvivalentna eni sami rotaciji okrog neke osi skozi to točko. Eulerjevi koti, β, β, β 3 M = R z ( β3) Ry ( β ) Rx ( β) Poljubno 3D rotacijo lahko dosežemo z vrtenji okoli osi x, y in z
29 Rotacija točke okrog poljubne osi v 3D Imamo podano: u = vektor enote v smeri osi vrtenja β = kot vrtenja okoli u y P vrtimo v Q u β P Q φ yz z xz x
30 Rotacija točke okrog poljubne osi v 3D P vrtimo v Q y u β P Q φ yz z xz x M = R y ( xz ) Rz ( φ yz ) Rx( β ) Rz ( φ yz ) Ry ( xz ) xz = kot, projiciran na ravnino xz φ yz = kot, projiciran na ravnino yz
31 Imamo podano: u = vektor enote v smeri osi vrtenja β = kot vrtenja okoli u ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z x z y y z x x y z y z y x y x z z x y x u c c su u u c su u u c su u u c u c c su u u c su u u c su u u c u c c Kjer je c cos(β) in s sin(β) Rotacija točke okrog poljubne osi v 3D
32 Eulerjevi koti Splošna rotacija je kombinacija treh osnovnih rotacij: okoli osi x (x roll), okoli osi y (y roll) in okoli osi z (z roll).
33 Eulerjevi koti in matrike vrtenja = = = cos sin sin cos ) ( cos sin sin cos ) y - roll( cos sin sin cos ) ( roll z roll x + + = ),, ( c c c s s s c s s c s c c s c c s s s s c c s s s s c c c R
34 Spet naletimo na kardansko zaporo! Rotacija za kot 9 o povzroči izgubo prostostne stopnje z z z y π/ y 3 y x x x x x
35 Interpolacija Eulerjevih kotov nenaravno gibanje!
36 Cilj Iščemo parametrizacijo, pri kateri Obstaja med dvema ključnima rotacijama preprosta in neomajna rotacija Je gibanje neodvisno od izbire koordinatnega sistema
37 Kot in os Katerokoli usmeritev lahko podamo s četvorčkom kot, vektor(x,y,z), pri čemer kot pove, za koliko se zavrtimo okoli osi, ki jo definira vektor Ločeno lahko interpoliramo tako kot kot os Ni problemov s kardansko zaporo! Ne moremo pa učinkovito sestavljati rotacij. Moramo najprej pretvoriti v matrično obliko!
38 Kot in os Α (Ax,Ay,Az,) Y Z X Eulerjev rotacijski teorem
39 Kot in os Α (Ax,Ay,Az,) Y Z X Α Eulerjev rotacijski teorem
40 Kvaternioni
41 Kvaternioni q =[s,v]=[s,x,y,z] Α (cos(/),sin(/)*a)
42 Kvaternioni Razširjajo koncept rotacij iz 3D na 4D. Izognejo se problemu kardanske zapore in omogočajo mehke in zvezne rotacije. V bistvu lahko smatramo, da dodajo še en kot vrtenja sferičnim koordinatam (na primer kotom Longitude (zemljepisna dolžina), Latitude (zemljepisna širina) in Rotation) Kvaternion je definiran s 4 realnimi števili x y z w. Ta izračunamo s kombinacijo treh koordinat osi vrtenja in kota vrtenja.
43 Kakšno zvezo imajo kvaternioni in 3D animacija? Rešitev problema s kardansko zaporo" Namesto vrtenja predmeta z zaporedjem rotacij omogoča kvaternion vrtenje predmeta preko ene same poljubne osi. Ker je os vrtenja podana kot enotin vektor, lahko uporabimo vektorsko matematiko ali sferične koordinate (longitude/latitude). Interpolacija kvaternionov: mehko in napovedljivi učinki rotacije.
44 Motivacija Iskanje najbolj naravnega in kompaktnega načina za predstavitev rotacij in usmeritev Interpolacija usmeritve, ki vodi v naravno gibanje Zaključena matematična oblika, ki obravnava rotacije in usmeritve (razširitev kompleksnih števil)
45 Definicija kvaternionov Razširitev kompleksnih števil Četvorčki realnih števil s,x,y,z ali [s,v] s je skalar v je vektortor Isti podatki kot pri podajanju kota in osi, vendar v drugi obliki Lahko gledamo kot na originalno usmeritev ali kot na rotacijo nekega predmeta
46 Od kvaternionov k matriki vrtenja ( ) W Z Y X Q = = Y X XW YZ YW XZ XW YZ Z X ZW XY YW XZ ZW XY Z Y M
47 Matematika s kvaternioni Točka v prostoru je podana tako: Multiplikativna identiteta Pri čemer velja Kvaternion enotne dolžine
48 Lastnosti kvaternionov Konjugacija in absolutna vrednost sta podobni kot pri kompleksnih številih q = ( s, v) q = q* q = s + v x + v y + v z Kvaternioni niso komutativni q = (s,v ) q = (s,v ) q *q = (s s v.v, s v + s v + v x v ) Inverzna vrednost: Kvaternion enote: q = q q * q q = q = q
49 Rotacija s kvaternioni S pomočjo kvaternionske matematike želimo vrteti vektor v Vektor predstavimo kot [,v] Rotacijo s pomočjo kvaternionov predstavimo kot q q v = = Rot [ ( ) ( ) ( )] ( x, y, z ) = cos,sin x, y z,, ( ) Rot v = q v q
50 Rotacija s kvaternioni Rotacija P=(,r) okrog vektorja enote n za kot s pomočjo enotnega kvaterniona q=(s,v) R [ P] = qpq = (,( s v v) r + v( v r) + sv r) q toda q=(cos½, sin½ n) kjer je n = R q [ P] = (, (cos ( n r)cos sin ) = (, cos r sin ) r + n( n r)sin + + ( cos ) n ( n r) + ( n r)sin )
51 Veriženje rotacij rotacija s pomočjo q nato z uporabo q je kot rotacija z uporabo q *q ) * *( )* * ( ) * *( )* * ( )* * * *( = = q q P q q q q P q q q q P q q Rotacija s kvaternioni
52 Rotacije v praksi Rotacije najlažje izrazimo v Eulerjevih kotih ali kot pare os kot Med različnimi vrstami predstavitev lahko prehajamo (jih pretvarjamo) Izberemo tisto predstavitev, ki je za dano nalogo najbolj primerna Vnos podatkov:eulerjevi koti interpolacija: kvaternioni Sestavljanje rotacij: kvaternioni, matrika usmeritve
53 Dodatna gradiva, vezana na OpenGL
54 Trije načini uporabe transformacij Brute Force: Calculate D or 3D transformation matrices then perform Q = M P and draw Q points Using glmatrixmult: Calculate 3D transformation matrices, then glmatrixmode(gl_modelview); glloadidentity(); glmatrixmultd(m); glmatrixmultd(n); Draw P points Using Opengl transformations: Calculate 3D transformation matrices, then glmatrixmode(gl_modelview); glloadidentity(); glrotated(angle,,,); gltranslated(dx,dy,dz); glscaled(sx,sy,sz); Draw P points
55 OpenGL transformacije Transformacije OpenGL lahko izvedemo bodisi na matriki modelview ali na projekcijski matriki Tekočo matriko nastavimo na modelview ali na projection z naslednjim ukazom: glmatrixmode(gl_modelview) or glmatrixmode(gl_projection)
56 Uporaba glmatrixmult glmatrixmult{fd}(const TYPE*M) Pri tem je m m5 m m6 M = m3 m7 m4 m8 m m m m 9 m m m m Vse matrike in točke izrazimo v 3D Izračunamo vsak element transformacijske matrike in to shranimo v enodiman zionalno polje M[6] CT = CT*M Nrišemo originalne točke P
57 Primer Izračunamo transformacijsko matriko M Uporabimo MatrixMult za posodobitev CT Narišemo točke P void mydisplay(void) { Point p[], pl[4]; double M[6], M[6]; int i; // data p[].x = -.; p[].y = 3.; p[].z =.; p[].r = ; p[].x = -; p[].y = -; p[].z = ; p[].r = ;
58 //transformation matrix by column M[] = cos(*3.459/8); M[] = -sin(*3.459/8); M[] = ; M[3] = ; M[4] = sin(*3.459/8); M[5] = cos(*3.459/8); M[6] = ; M[7] = ; M[8] = ; M[9] = ; M[] = ; M[] = ; M[] = ; M[3] = ; M[4] = ; M[5] = ; //transformation matrix by column M[] = ; M[] = ; M[] = ; M[3] = ; M[4] = ; M[5] = ; M[6] = ; M[7] = ; M[8] = ; M[9] = ; M[] = ; M[] = ; M[] = 3; M[3] = ; M[4] = ; M[5] = ;
59 //draw transformed shape CT = CT(M)(M) } glcolor3f(.,.,.); glmatrixmode(gl_modelview); glloadidentity(); glmatrixmultd(m); glmatrixmultd(m); glbegin(gl_polygon); for(i=;i<;i++) glend(); glflush(); glvertexd(p[i].x,p[i].y); Opazka: rišemo originalne točke P, ne transformiranih točk Q, ker je matrika Modelview avtomatično uporabljena na vseh P točkah
60 Transformacije OpenGL glrotated (angle,,,) gltranslated (dx,dy, dz) glscaled (sx,sy,sz) Naknadno množenje trenutne transformacijske matrike CT = CT*Rotate*Translate*Scale Pripelje do Q(x,y,z) = CT*Rotate*Translate*Scale*P(x,y,z) Isti vrstni red kot pri MatrixMult
61 Shranjevanje CT za kasnejšo uporabo Po več zaporednih matričnih množenjih se lahko kopičijo napake zaokrožanja Morda si želimo povratka na prejšnji CT For(I=; I<num; I=++) { glpushmatrix(); gltranslate ( ); glrotate( ); drawfigure(); glpopmatrix(); } //remember the CT //restore the CT
62 Nastavitev kamere v OpenGL za paralelne projekcije glmatrixmode(gl_projection); glloadidentity(); glortho(left,right,bottom, top, near,far); Volumen gledanja (view volume) postavimo z definiranjem parametrov left, right, bottom, top, near, far
63 Pozicioniranje in usmeritev kamere glmatrixmode(gl_modelview); glloadidentity(); glulookat (eye.x,eye.y,eye.z,look.x,look.y,look.z,up.x,up.y,up.z); To nastavimo pred uporabo transformacij.
Klemen Kregar, Mitja Lakner, Dušan Kogoj KEY WORDS
G 2014 V ROTACIJA Z ENOTSKIM KVATERNIONOM GEODETSKI VESTNIK letn. / Vol. 58 št. / No. 2 ROTATION WITH UNIT QUATERNION 58/2 Klemen Kregar, Mitja Lakner, Dušan Kogoj UDK: 512.626.824:528 Klasifikacija prispevka
More informationReševanje problemov in algoritmi
Reševanje problemov in algoritmi Vhod Algoritem Izhod Kaj bomo spoznali Zgodovina algoritmov. Primeri algoritmov. Algoritmi in programi. Kaj je algoritem? Algoritem je postopek, kako korak za korakom rešimo
More informationTransformations. Lars Vidar Magnusson. August 24,
Transformations Lars Vidar Magnusson August 24, 2012 http://www.it.hiof.no/~larsvmag/iti43309/index.html 2D Translation To translate an object is to move it in two-dimensinal space. If we have a point
More informationCS 112 Transformations II. Aditi Majumder, CS 112 Slide 1
CS 112 Transformations II Aditi Majumder, CS 112 Slide 1 Composition of Transformations Example: A point P is first translated and then rotated. Translation matrix T, Rotation Matrix R. After Translation:
More informationSIMETRIČNE KOMPONENTE
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko SIMETRIČNE KOMPONENTE Seminarska naloga pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Poročilo izdelala: ELIZABETA STOJCHEVA Mentor: prof. dr. Grega Bizjak,
More informationTHE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA Midterm Examination 14 March 2001
THE UNIVERSITY OF BRITISH COLUMBIA Midterm Examination 14 March 001 Student s Name: Computer Science 414 Section 01 Introduction to Computer Graphics Time: 50 minutes (Please print in BLOCK letters, SURNAME
More informationTOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI
TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI V primeru asociacij molekul topljenca v vodni ali organski fazi eksperimentalno določeni navidezni porazdelitveni koeficient (P n ) v odvisnosti od koncentracije ni konstanten.
More informationProblem umetnostne galerije
Problem umetnostne galerije Marko Kandič 17. september 2006 Za začetek si oglejmo naslednji primer. Recimo, da imamo v galeriji polno vrednih slik in nočemo, da bi jih kdo ukradel. Seveda si želimo, da
More informationKode za popravljanje napak
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE KOPER MATEMATIČNE ZNANOSTI MAGISTRSKI ŠTUDIJSKI PROGRAM 2. STOPNJE Aljaž Slivnik Kode za popravljanje napak Magistrska
More informationLinearna algebra. Bojan Orel. Univerza v Ljubljani
Linearna algebra Bojan Orel 07 Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5.64(075.8) OREL, Bojan Linearna
More informationIskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Veronika Horvat Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE
More informationAKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Poučevanje: Predmetno poučevanje ŠPELA ZOBAVNIK AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH ŠTEVIL MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationWhy Transforms? Want to animate objects and camera Translations Rotations Shears And more.. Want to be able to use projection transforms
Why Transforms? Want to animate objects and camera Translations Rotations Shears And more.. Want to be able to use projection transforms ITCS 3050:Game Engine Programming 1 Geometric Transformations Implementing
More informationLinearne enačbe. Matrična algebra. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe
Sistem linearnih enačb Matrična algebra Oseba X X X3 B A.A. 3 B.B. 7 C.C. Doc. dr. Anja Podlesek Oddelek za psihologijo, Filozofska fakulteta, Univerza v Ljubljani Študijski program prve stopnje Psihologija
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationA L A BA M A L A W R E V IE W
A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N
More informationSimulation of multilayer coating growth in an industrial magnetron sputtering system
RMZ Materials and Geoenvironment, Vol. 57, No. 3, pp. 317 330, 2010 317 Simulation of multilayer coating growth in an industrial magnetron sputtering system Simulacija rasti večplastnih prevlek v industrijski
More informationTransformations & Matrices
Transformations & Matrices Introduction to Computer Graphics Quiz #2 Review Dot Product a. b = a b cos q = a x b x + a y b y + a z b z a. b = a T b thus b x [a x a y a z ] b y b z = a x b x + a y b y +
More informationHadamardove matrike in misija Mariner 9
Hadamardove matrike in misija Mariner 9 Aleksandar Jurišić, 25. avgust, 2009 J. Hadamard (1865-1963) je bil eden izmed pomembnejših matematikov na prehodu iz 19. v 20. stoletje. Njegova najpomembnejša
More informationInterpolacija s parametričnimi polinomskimikrivuljami 1
Interpolacija s parametričnimi polinomskimikrivuljami Emil Žagar 22. november 200 Skriptajevnastajanju,zatojegotovopolnanapak. Hvaleˇzenbomzavse pripombe. Iskanje napak je obenem del učnega procesa pri
More informationŠtudijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work. Vaje / Tutorial: Slovensko/Slovene
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Matematika 2 Course title: Mathematics 2 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program 1.stopnje Fizika First cycle
More informationMultipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R
Multipla koelacia in egesia Multipla egesia, multipla koelacia, statistično zaklučevane o multiplem Multipla egesia osnovni model in ačunane paametov Z multiplo egesio napoveduemo vednost kiteia (odvisne
More informationENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE
ENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE SEMINARSKA NALOGA PRI PREDMETU JEDRSKA TEHNIKA IN ENERGETIKA TAMARA STOJANOV MENTOR: IZRED. PROF. DR. IZTOK TISELJ NOVEMBER 2011 Enačba stanja idealni plin: pv = RT p tlak,
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. Gregor Ambrož
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Gregor Ambrož Maribor, 2010 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationOgrodja prostorskih parametričnih krivulj
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Marko Černe Ogrodja prostorskih parametričnih krivulj DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti (Algorithms for testing primality) Ime in
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA. Tina Lešnik
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA Tina Lešnik Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationBaroklina nestabilnost
Baroklina nestabilnost Navodila za projektno nalogo iz dinamične meteorologije 2012/2013 Januar 2013 Nedjeljka Zagar in Rahela Zabkar Naloga je zasnovana na dvoslojnem modelu baroklinega razvoja, napisana
More informationCălugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Călugăreanu-White-Fullerjev teorem in topologija DNA Seminar Jure Aplinc, dipl. fiz. (UN) Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik 26.
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SARA BREZEC HAUSDORFFOV PARADOKS DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ MATEMATIKA-FIZIKA SARA BREZEC mentor:
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO SAŠO ZUPANEC Mentor:
More informationOracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije. Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010.
Oracle Spatial Koordinatni sustavi, projekcije i transformacije Dalibor Kušić, mag. ing. listopad 2010. Pregled Uvod Koordinatni sustavi Transformacije Projekcije Modeliranje 00:25 Oracle Spatial 2 Uvod
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3. Študijska smer Study field ECTS
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Analiza 3 Course title: Analysis 3 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika
More informationGraphics Programming I
Graphics Programming I Agenda: Linear algebra primer Transformations in OpenGL Timing for animation Begin first programming assignment Linear algebra primer Three important data types: Scalar values Row
More informationIterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge
Iterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge Naloge so razdeljene v 6 skupin. Za pozitivno oceno morate rešiti toliko nalog, da bo končna vsota za pozitivno oceno vsaj 8 točk oz. vsaj 10 točk
More information:25 1. Rotations. A rotation is in general a transformation of the 3D space with the following properties:
2011-02-17 12:25 1 1 Rotations in general Rotations A rotation is in general a transformation of the 3D space with the following properties: 1. does not change the distances between positions 2. does not
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kvadratne forme nad končnimi obsegi
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Kvadratne forme nad končnimi obsegi (Quadratic Forms over Finite Fields) Ime in priimek: Borut
More informationCSC Computer Graphics
CSC. Computer Graphics Lecture 4 P T P t, t t P,, P T t P P T Kasun@dscs.sjp.ac.lk Department o Computer Science Universit o Sri Jaewardanepura Kasun@dscs.sjp.ac.lk - Facult o Applied Sciences o USJP r
More informationŠtudijska smer Study field. Klinične vaje work. Nosilec predmeta / prof. dr. Peter Legiša, prof. dr. Bojan Magajna, prof. dr.
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Matematika 1 Course title: Mathematics 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program 1.stopnje Fizika First cycle
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA VERONIKA MIHELAK PRAVILNI IKOZAEDER DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA VERONIKA MIHELAK PRAVILNI IKOZAEDER DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DVOPREDMETNI UČITELJ VERONIKA MIHELAK MENTOR: izr. prof.
More informationMATH 423 Linear Algebra II Lecture 3: Subspaces of vector spaces. Review of complex numbers. Vector space over a field.
MATH 423 Linear Algebra II Lecture 3: Subspaces of vector spaces. Review of complex numbers. Vector space over a field. Vector space A vector space is a set V equipped with two operations, addition V V
More informationUniverza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko. Oddelek za fiziko. Seminar - 3. letnik, I. stopnja. Kvantni računalniki. Avtor: Tomaž Čegovnik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Seminar - 3. letnik, I. stopnja Kvantni računalniki Avtor: Tomaž Čegovnik Mentor: prof. dr. Anton Ramšak Ljubljana, marec 01 Povzetek
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationEulerjevi in Hamiltonovi grafi
Eulerjevi in Hamiltonovi grafi Bojan Možina 30. december 006 1 Eulerjevi grafi Štirje deli mesta Königsberg v Prusiji so bili povezani s sedmimi mostovi (glej levi del slike 1). Zdaj se Königsberg imenuje
More informationCyclical Surfaces Created by a Conical Helix
Professional paper Accepted 23.11.2007. TATIANA OLEJNÍKOVÁ Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix Cyclical Surfaces Created by a Conical Helix ABSTRACT The paper describes cyclical surfaces created
More informationCveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK
Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK POVZETEK. Namen tega dela je prikazati osnove razlik, ki lahko nastanejo pri interpretaciji
More informationDistance reduction with the use of UDF and Mathematica. Redukcija dolžin z uporabo MS Excel ovih lastnih funkcij in programa Mathematica
RMZ Materials and Geoenvironment, Vol. 54, No. 2, pp. 265-286, 2007 265 Distance reduction with the use of UDF and Mathematica Redukcija dolžin z uporabo MS Excel ovih lastnih funkcij in programa Mathematica
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO.
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Sabina Skornšek Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationMATH 280 Multivariate Calculus Fall Integration over a surface. da. A =
MATH 28 Multivariate Calculus Fall 212 Integration over a surface Given a surface S in space, we can (conceptually) break it into small pieces each of which has area da. In me cases, we will add up these
More informationReading. Affine transformations. Vector representation. Geometric transformations. x y z. x y. Required: Angel 4.1, Further reading:
Reading Required: Angel 4.1, 4.6-4.10 Further reading: Affine transformations Angel, the rest of Chapter 4 Fole, et al, Chapter 5.1-5.5. David F. Rogers and J. Alan Adams, Mathematical Elements for Computer
More informationElectromagnetic Properties of Materials Part 2
ECE 5322 21 st Century Electromagnetics Instructor: Office: Phone: E Mail: Dr. Raymond C. Rumpf A 337 (915) 747 6958 rcrumpf@utep.edu Lecture #3 Electromagnetic Properties of Materials Part 2 Nonlinear
More informationJernej Azarija. Štetje vpetih dreves v grafih
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jernej Azarija Štetje vpetih dreves v grafih DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU
More informationCS 112 Transformations II. Slide 1
CS 112 Trasformatios II Slide 1 Compositio of Trasformatios Example: A poit P is first traslated ad the rotated. Traslatio matrix T, Rotatio Matrix R. After Traslatio: P = TP After Rotatio: P =RP =RTP
More informationP a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9
P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 J A R T a l s o c o n c l u d e d t h a t a l t h o u g h t h e i n t e n t o f N e l s o n s r e h a b i l i t a t i o n p l a n i s t o e n h a n c e c o n n e
More informationLokalizacija mobilnega robota s pomočjo večsmerne kamere
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Iztok Oder Lokalizacija mobilnega robota s pomočjo večsmerne kamere DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE RAČUNALNIŠTVO
More informationCATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i
CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A Ήχος α H ris to os s n ș t slă ă ă vi i i i i ți'l Hris to o os di in c ru u uri, în tâm pi i n ți i'l Hris
More informationOPTIMIZACIJA Z ROJEM DELCEV
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA ORGANIZACIJSKE VEDE Smer: organizacijska informatika OPTIMIZACIJA Z ROJEM DELCEV Mentor: doc. dr. Igor Bernik Kandidat: Matjaž Lipovšek Kranj, december 2005 Izjava: "Študent
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Statistika Statistics Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika First cycle academic
More informationSVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev
Uvod 2/60 SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev Vapnik in Lerner 1963 (generalized portrait) jedra: Aronszajn 1950; Aizerman 1964; Wahba 1990, Poggio in Girosi 1990 Boser, Guyon in
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Simetrije cirkulantnih grafov
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Simetrije cirkulantnih grafov (Symmetry of circulant graphs) Ime in priimek: Maruša Saksida Študijski
More informationTeorija verjetnosti uvod. prof. dr. Jurij Tasič Asistent Emil Plesnik Laboratorij za digitalno obdelavo signalov, slik in videa
Teorija verjetnosti uvod prof. dr. Jurij Tasič Asistent Emil Plesnik Laboratorij za digitalno obdelavo signalov, slik in videa http://www.ldos.si/ 1 Teorija verjetnosti z več spremeljivkami Ključni koncept
More informationMECHANICAL EFFICIENCY, WORK AND HEAT OUTPUT IN RUNNING UPHILL OR DOWNHILL
original scientific article UDC: 796.4 received: 2011-05-03 MECHANICAL EFFICIENCY, WORK AND HEAT OUTPUT IN RUNNING UPHILL OR DOWNHILL Pietro Enrico DI PRAMPERO University of Udine, Department of Biomedical
More informationMatej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika - uporabna smer (UNI) Matej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM Diplomsko delo Ljubljana, 2006 Zahvala Zahvaljujem
More informationDejan Petelin. Sprotno učenje modelov na podlagi Gaussovih procesov
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Dejan Petelin Sprotno učenje modelov na podlagi Gaussovih procesov DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor: doc. dr. Janez Demšar
More informationJERNEJ TONEJC. Fakulteta za matematiko in fiziko
. ARITMETIKA DVOJIŠKIH KONČNIH OBSEGOV JERNEJ TONEJC Fakulteta za matematiko in fiziko Math. Subj. Class. (2010): 11T{06, 22, 55, 71}, 12E{05, 20, 30}, 68R05 V članku predstavimo končne obsege in aritmetiko
More informationEvolucija dinamike Zemljine precesije
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko oddelek za fiziko Evolucija dinamike Zemljine precesije Avtor: Ivo Krajnik Ljubljana, 15. marec 2011 Povzetek Bistvo tega seminarja je v sklopu klasične
More informationNelinearna regresija. SetOptions Plot, ImageSize 6 72, Frame True, GridLinesStyle Directive Gray, Dashed, Method "GridLinesInFront" True,
Nelinearna regresija In[1]:= SetOptions ListPlot, ImageSize 6 72, Frame True, GridLinesStyle Directive Gray, Dashed, Method "GridLinesInFront" True, PlotStyle Directive Thickness Medium, PointSize Large,
More informationT h e C S E T I P r o j e c t
T h e P r o j e c t T H E P R O J E C T T A B L E O F C O N T E N T S A r t i c l e P a g e C o m p r e h e n s i v e A s s es s m e n t o f t h e U F O / E T I P h e n o m e n o n M a y 1 9 9 1 1 E T
More informationProperties of Transformations
6. - 6.4 Properties of Transformations P. Danziger Transformations from R n R m. General Transformations A general transformation maps vectors in R n to vectors in R m. We write T : R n R m to indicate
More informationLESSON 7.1 FACTORING POLYNOMIALS I
LESSON 7.1 FACTORING POLYNOMIALS I LESSON 7.1 FACTORING POLYNOMIALS I 293 OVERVIEW Here s what you ll learn in this lesson: Greatest Common Factor a. Finding the greatest common factor (GCF) of a set of
More informationLinearna regresija. Poglavje 4
Poglavje 4 Linearna regresija Vinkove rezultate iz kemije so založili. Enostavno, komisija je izgubila izpitne pole. Rešitev: Vinko bo kemijo pisal še enkrat. Ampak, ne more, je ravno odšel na trening
More informationFRAKTALNA DIMENZIJA. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
FRAKTALNA DIMENZIJA VESNA IRŠIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani PACS: 07.50.Hp, 01.65.+g V članku je predstavljen zgodovinski razvoj teorije fraktalov in natančen opis primerov,
More informationMath Exam 2, October 14, 2008
Math 96 - Exam 2, October 4, 28 Name: Problem (5 points Find all solutions to the following system of linear equations, check your work: x + x 2 x 3 2x 2 2x 3 2 x x 2 + x 3 2 Solution Let s perform Gaussian
More informationMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 15. december 2010 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi Preslikavam v množico R ali C običajno pravimo funkcije v prvem primeru realne, v drugem
More informationUse precise language and domain-specific vocabulary to inform about or explain the topic. CCSS.ELA-LITERACY.WHST D
Lesson eight What are characteristics of chemical reactions? Science Constructing Explanations, Engaging in Argument and Obtaining, Evaluating, and Communicating Information ENGLISH LANGUAGE ARTS Reading
More informationCH 37 DOUBLE DISTRIBUTING
CH 37 DOUBLE DISTRIBUTING 343 The Double Distributive Property W hat we need now is a way to multiply two binomials together, a skill absolutely necessary for success in this class. For example, how do
More informationAppendix Composite Point Rotation Sequences
Appendix Composite Point Rotation Sequences A. Euler Rotations In Chap. 6 we considered composite Euler rotations comprising individual rotations about the x, y and z axes such as R γ,x R β,y R α,z and
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Algebra 1 Course title: Algebra 1. Študijska smer Study field ECTS
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Predmet: Algebra 1 Course title: Algebra 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Matematika
More informationA realistic estimate of the accuracy of position measurements of characteristic terrain points via the RTK-GPS method
RMZ Materials and Geoenironment, Vol. 54, No. 4, pp. 529543, 2007 529 A realistic estimate of the accuracy of position measurements of characteristic terrain points ia the RTKGPS method Realna ocena natančnosti
More informationLABORATORY MODULE. EKT 241/4 ELECTROMAGNETIC THEORY Semester 2 (2009/2010) EXPERIMENT # 2
LABORATORY MODULE EKT 241/4 ELECTROMAGNETIC THEORY Semester 2 (2009/2010) EXPERIMENT # 2 Vector Analysis: Gradient And Divergence Of A Scalar And Vector Field NAME MATRIK # signature DATE PROGRAMME GROUP
More informationParticija grafa, odkrivanje skupnosti in maksimalen prerez
Univerza na Primorskem Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Matemati ne znanosti - 2. stopnja Peter Mur²i Particija grafa, odkrivanje skupnosti in maksimalen prerez Magistrsko
More informationLinearized Equations of Motion!
Linearized Equations of Motion Robert Stengel, Aircraft Flight Dynamics MAE 331, 216 Learning Objectives Develop linear equations to describe small perturbational motions Apply to aircraft dynamic equations
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Analiza 1 Course title: Analysis 1. Študijska smer Study field. Samost. delo Individ.
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Analiza 1 Course title: Analysis 1 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program Finančna matematika First cycle
More informationSoftware Process Models there are many process model s in th e li t e ra t u re, s om e a r e prescriptions and some are descriptions you need to mode
Unit 2 : Software Process O b j ec t i ve This unit introduces software systems engineering through a discussion of software processes and their principal characteristics. In order to achieve the desireable
More informationIntervalske Bézierove krivulje in ploskve
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Tadej Borovšak Intervalske Bézierove krivulje in ploskve DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM
More informationAffine transformations
Reading Required: Affine transformations Brian Curless CSEP 557 Fall 2016 Angel 3.1, 3.7-3.11 Further reading: Angel, the rest of Chapter 3 Fole, et al, Chapter 5.1-5.5. David F. Rogers and J. Alan Adams,
More informationPower Series Solutions for Ordinary Differential Equations
Power Series Solutions for Ordinary Differential Equations James K. Peterson Department of Biological Sciences and Department of Mathematical Sciences Clemson University December 4, 2017 Outline 1 Power
More informationSLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in raµcunalništvo Diplomsko delo SLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE Mentor: dr. Iztok Baniµc docent Kandidatka: Anja Belošević
More informationConcept of a basis. Based on this treatment we can assign the basis to one of the irreducible representations of the point group.
Concept of a basis A basis refers to a type of function that is transformed by the symmetry operations of a point group. Examples include the spherical harmonics, vectors, internal coordinates (e..g bonds,
More informationJEDRSKA URA JAN JURKOVIČ. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
JEDRSKA URA JAN JURKOVIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Natančnost časa postaja vse bolj uporabna in pomembna, zato se rojevajo novi načini merjenja časa. Do danes najbolj natančnih
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations. Študijska smer Study field
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations Študijski program in stopnja Study programme and level Magistrski
More informationChapter 4 The Equations of Motion
Chapter 4 The Equations of Motion Flight Mechanics and Control AEM 4303 Bérénice Mettler University of Minnesota Feb. 20-27, 2013 (v. 2/26/13) Bérénice Mettler (University of Minnesota) Chapter 4 The Equations
More informationExamples: Identify three pairs of parallel segments in the diagram. 1. AB 2. BC 3. AC. Write an equation to model this theorem based on the figure.
5.1: Midsegments of Triangles NOTE: Midsegments are also to the third side in the triangle. Example: Identify the 3 midsegments in the diagram. Examples: Identify three pairs of parallel segments in the
More informationUse precise language and domain-specific vocabulary to inform about or explain the topic. CCSS.ELA-LITERACY.WHST D
Lesson seven What is a chemical reaction? Science Constructing Explanations, Engaging in Argument and Obtaining, Evaluating, and Communicating Information ENGLISH LANGUAGE ARTS Reading Informational Text,
More informationSTA2603/205/1/2014 /2014. ry II. Tutorial letter 205/1/
STA263/25//24 Tutorial letter 25// /24 Distribution Theor ry II STA263 Semester Department of Statistics CONTENTS: Examination preparation tutorial letterr Solutions to Assignment 6 2 Dear Student, This
More informationInterpolation of Transformation
Spatial Rotation Interpolation of Transformation I 3,0 U 12 K v V -1 1 11 11-1 Kv B 2 U 11 B 1 Interpolation of Transformation I 3,0 R,t U 12 K v V -1 1 11 11-1 Kv B 2 U 11 B 1 Interpolation of Transformation
More informationRidig Body Motion Homogeneous Transformations
Ridig Body Motion Homogeneous Transformations Claudio Melchiorri Dipartimento di Elettronica, Informatica e Sistemistica (DEIS) Università di Bologna email: claudio.melchiorri@unibo.it C. Melchiorri (DEIS)
More informationHongbing Zhang October 2018
Exact and Intuitive Geometry Explanation: Why Does a Half-angle-rotation in Spin or Quaternion Space Correspond to the Whole-angle-rotation in Normal 3D Space? Hongbing Zhang October 2018 Abstract Why
More informationCOMMON FIXED POINT THEOREM OF THREE MAPPINGS IN COMPLETE METRIC SPACE
COMMON FIXED POINT THEOREM OF THREE MAPPINGS IN COMPLETE METRIC SPACE Latpate V.V. and Dolhare U.P. ACS College Gangakhed DSM College Jintur Abstract:-In this paper we prove common fixed point theorem
More informationQUARTIC CURVES MODULO 2*
QUARTIC CURVES MODULO 2* L. E. DICKSON 1. Introduction. Let f(x,y,z) be a homogeneous form of order n with integral coefficients. The points for which the three partial derivatives of / are congruent to
More information