Trodimenziona metoda kona~nih elemenata u termi~koj analizi gra evinskih objekata

Transcription

1 Dubravka Mijuca 1, Du{an Gaji} 2, Marko Vukobrat 2 1 Matemati~ki fakultet, Univerzitet u Beogradu, Beograd 2 Institut Kirilo Savi}, Beograd Trodimenziona metoda kona~nih elemenata u termi~koj analizi gra evinskih objekata Stru~ni rad UDC: /.23:536.24/.25 BIBLID: X, 29 (2003), 1-4, Savremeni zahtevi projektovawa gra evinskih objekata, kao {to su minimizacija mase uz pove}awe otpornosti, predvi awe kvaliteta i pona{awa konstrukcije na du`e vreme ili pod neuobi~ajenim okolnostima, kao {to su seizmi~ko optere}ewe, vatra ili eksplozija, zatim pove}awe energetske efikasnosti uz minimizaciju kori{}enih materijala i energenata, uti~u da se i u ovoj oblasti sve ~e{}e, pa i za mawe objekte, koriste neke od numeri~kih metoda ra~unske mehanike. Svetska praksa je pokazala da, ako se metode ra~unske mehanike koriste pravilno, projektovawe postaje br`e, efikasnije i jeftinije, a kvalitet projektovanog, rekonstruisanog ili revitalizovanog objekta se pove}ava. Razmatra se primena dve standardne numeri~ke metode iz oblasti ra~unske mehanike u izu~avawu toplotnih gubitaka nehomogenih omota~a zgrade, sa ciqem da se kvantitativno oceni u{teda energije koja se dobija optimizacijom mase, cene i kvaliteta kori{}enih materijala omota~a zgrade. Dobijeni rezultati pokazuju da se kori{}ewem predlo`enih programskih paketa, dobijaju pouzdani rezultati, uz mogu}nost optimizacuje odnosa: cena omota~a / minimizacija toplotnih gubitaka, a u ciqu pove}awa energetske efikasnosti gra evinskih objekata. Kqu~ne re~i: omota~ zgrade, revitalizacija, nehomogeni zid, prenos toplote, ra~unska mehanika, matemati~ki model, numeri~ka simulacija, metoda kona~nih elemenata, toplotni gubici, energetska efikasnost gra evinskih objekata Uvod Ciq ovog rada je da se detaqno izlo`i formulacija kona~nih elemenata u trodimenzionom zadatku prostirawa toplote, kao i da se na jednostavnim primerima 119

2 poka`e da se kori{}ewem te matemati~ke metode brzo i jeftino dolazi do procene odnosa energetska efikasnost / cena omota~a zgrade. Polazi se od toga da se savremena arhitektura i gra evinarstvo bazira na odgovornom stavu prema `ivotnoj okolini. To istovremeno podrazumeva visoku energetsku efikasnost gra evinskih objekata [1] gde se podsti~e primena razli- ~itih metoda ra~unske mehanike pri optimalnom izboru materijala za gradwu, uz istovremeno kori{}ewe prirodnih izvora energije, recikliranih materijala, kao i obezbe ivawe zdrave unutra{we okoline kroz maksimalno kori{}ewe prirodnog osvetqewa i ventilacije, uz izbegavawe upotrebe toksi~nih proizvoda. Projektovawe energetski efikasnog gra evinskog objekta podrazumeva i wegovo optimalno pozicionirawe shodno lokalnoj meteorolo{koj slici, a zatim i projektovawe toplotnog i/ili rashladnog optere}ewa pojedinih prostorija u objektu, kako bi se na osnovu tih rezultata projektovao i izveo sistem klimatizacije, grejawa i hla ewa (KGH) [4, 5] koji }e odr`avati neophodne projektne uslove ugodnosti. U tom ciqu definisani su standardi i metode za prora~un, me u kojima se naj~e{}e primewuju DIN 4701, DIN 1946, VDI 2078 i ASHRAE standardi. Pored toga, danas se sve vi{e koriste nove simulacione metode, odnosno metode ra~unske mehanike [2], koje istovremeno obra uju niz uticajnih faktora promenqivih u vremenu, kao {to su intenzitet sun~evog zra~ewa, zra~ewe nebeskog svoda, tla i okolnih povr{ina, temperatura spoqweg vazduha, brzina vetra, broj qudi i vreme wihovog boravka u prostoriji, snaga i re`im rada osvetqewa i drugih unutra{wih toplotnih izvora. U tom ciqu razvijaju se matemati~ki modeli koji uzmaju u obzir veliki broj uticajnih parametara. Takvi modeli se prvenstveno baziraju na trodimenzionalnim jedna~inama nestacionarnog prenosa toplote kroz gra evinske elemente i na nizu izraza koji defini{u grani~ne uslove na povr{inama tih elemenata, gde se analiziraju mehanizmi prenosa toplote, kao {to su kondukcija, konvekcija, zra~ewe sunca i okoline, kao i zra~ewe elemenata unutar prostorije. S tim u vezi, pri projektovawu gra evinskih objekata analiza toplotnih gubitaka treba da se izvede uzimaju}i u obzir ulogu toplotne provodqivosti, radijacije, konvekcije i vla`nosti. Vizualna inspekcija i zakqu~ci eksperata su nedovoqni. Potrebno je da se dobiju kvantitativne osobine stawa konstrukcije zgrade, a osnovni parametri koji se razmatraju su: toplotna provodqivost elemenata konstrukcije koeficijent l, koeficijent razmene vazduha n(l/h) za zgradu ili wen odre en deo, i vla`nost konstrukcije zgrade. U ovom radu su analizirani toplotni gubici omota~a zgrade [6], usled prenosa toplote kondukcijom, konvekcijom i radijacijom. Prenos toplote kondukcijom podrazumeva prenos toplote kroz sam materijal, preno{ewem energije sa molekula koji se br`e kre}u na molekule koji se kre}u sporije. Brzi molekuli predaju deo svoje energije i usporavaju, a wihova energija se koristi za ubrzawe (i zagrevawe) sporih molekula. Napomenimo, da se provo ewe toplote kondukcijom, a koju karakteri{e koeficijent toplotne provodqivosti l, zamewuje u standardnim prora~unskim izrazima izvedenom veli~inom koja se zove toplotna otpornost R, i jednaka je R = d/l, a gde je d debqina posmatranog segmenta. Prenos toplote konvekcijom podrazumeva prenos toplote sa fluida na ~vrsto telo ili obrnuto, a preko granice tela koja je u dodiru sa fluidom. Ina~e, u in`ewerskoj praksi, konvektivni 120

3 D. Mijuca, D. Gaji}, M. Vukobrat: Trodimenziona metoda kona~nih elemenata u... TERMOTEHNIKA broj 1-4 godina XXIX, (2003) prenos toplote se karakteri{e koeficijentom prelaza toplote a i defini{e se odgovaraju}im izrazima, na bazi eksperimentalnih rezultata, posebno za vertikalne i horizontalne, unutra{we i spoqne povr{ine elemenata prostorije. Tre}i tip prenosa toplote je prenos toplote radijacijom, u kom slu~aju se toplota kre}e kroz prostor prema telu kao elektromagnetni talas, dospeva do dostupne povr{ine tela gde se vr{i prenos toplote. Zbog neefikasnosti i nemogu}nosti standardnih prora~unskih metoda da odrede poqe tem per a ture i poqe toplotnog fluksa u svim kontrolnim ta~kama nehomogenog omota~a zgrade istovremeno, nove numeri~ke metode se baziraju na trodimenzionim fizi~kim zakonima prostirawa toplote, po temperaturi i toplotnom fluksu, a u kojima se ne koriste izvedene veli~ine kao {to su npr. koeficijent prolaza toplote U i toplotna otpornost R, ve} se one izra~unavaju naknadno. Numeri~ke metode koje se ve} vi{e decenija koriste u ovoj oblasti su metoda kona~nih razlika, i od skora i metoda kona~nih elemenata. Prednost metode kona~nih elemenata u odnosu na metodu kona~nih razlika je {to ona nije osetqiva na komplikovanost oblika geometrije posmatranog modela, npr. ulazni uglovi, koji u matemati~kom smislu predstavqaju singularne ta~ke po toplotnom fluksu. Ciq ovog rada je da poka`e pouzdanost i efikasnost trodimenzionalne metode kona~nih elemenata u analizi stacionarnog prostirawa toplote kroz omota~ zgrade, kojom prilikom se izra~unavaju poqa tem per a ture i toplotnog fluksa, pri ~emu se za izra~unavawe izvedenih veli~ina, kao {to je koeficijent prolaza toplote U, koristi jednostavan obrazac. Pored toga, bi}e prikazani rezultati verifikacije razmatranih numeri~kih pristupa na stacionarnom modelu nehomogenog omota~a zgrade napravqenog od vi{e razli~itih materijala, a koji sadr`i toplotne mostove. Matemati~ki model Fizi~ki zakon koji dominira u procesu prostirawa toplote kroz uo~eno mehani~ko telo je zakon odr`awa energije [6, 7]. Zakon odr`awa energija mora biti zadovoqen u svakoj materijalnoj ta~ki uo~enog tela i u tzv. strogoj formi predstavqen je slede}om diferencijalnom jedna~inom: div q+ f = rc p T t (1) Pored toga, konstitutivna relacija koja daje vezu izme u vektora toplotnog fluksa q po jedinici povr{ine u izabranom pravcu i gradijenta tem per a ture ÑT za taj pravac, zove se Furijeov zakon (za oblast tela ) dat je u obliku: q lt u (2) 121

4 Veli~ina l je simetri~an tenzor drugog reda, predstavqa karakteristiku materijala i zove se koeficijent toplotne provodqivosti, koji se samo u slu~aju homogenog izotropnog tela svodi na skalarnu veli~inu [6]. Pored toga, f je toplotna energija proizvedena u jedini~noj zapremini, r je gustina materijala, koeficijent c p je tako e karakteristika materijala i predstavqa specifi~nu toplotu materijala na konstantnom pritisku, dok je t vreme. Parametri jedna~ine (1) i (2), f, r, c p i l su u op{tem slu~aju funkcije i polo`aja i tem per a ture. Ina~e, temperatura T je ovde fundamentalna promenqiva, tzv. primalna veli~ina, dok je toplotni fluks q wena dualna veli~ina, {to je od izuzetne va`nosti daqe pri odabiru prostora funkcija za numeri~ku diskretizaciju [8]. Grani~ni uslovi u zadatku prostirawa toplote su dati kako za temperaturu po elemenu granice tela T, tako i za toplotni fluks po elementima granice tela q, c i r, i to u obliku: T T na T (3) qn q h h na q (4) qn q h ( T T ) na (5) c c a c 4 qn qr hr s A( T T0 4 ) na r (6) Grani~ni uslovi u materijalnim ta~kama granice tela usled poznate/zadate tem per a ture dati su relacijom (3). Grani~ni uslovi po toplotnom fluksu, a po elementima povr{ine granice tela dati su relacijama (4), (5) i (6), i to: zadat/poznat toplotni fluks, toplotni fluks usled prelaza toplote konvekcijom i toplotni fluks usled prelaza toplote zra~ewem, respektivno, gde je n jedini~na normala posmatrane povr{ine, h c je koeficijent konvekcije, h r je bezdimenzionalni koeficijent radijacije, s = 5, je Stefan-Bolcmanova (Stefan- Boltzmann) konstanta, T je nepoznata temperatura tela na posmatranoj povr{ini, dok je T a ambijentalna temperatura okoline posmatranog elementa povr{ine. Ako se posmatrano telo sastoji od vi{e razli~itih homogenih izotropnih materijala, kao {to je slu~aj u ovom radu, tenzor [6] drugog reda l se svodi na skalar l, koji je razli~it za svaki materijal. Sistem jedna~ina (1 6), predstavqa zatvoren sistem jedna~ina trodimenzionalnog prostirawa toplote. U ovom radu usvaja se pretpostavka [9] da su sve karakteristike materijala, a to su navedeni koeficijenti l, r i c p, nezavisne od tem per a ture, jer se zanemarqivo malo mewaju u temperaturskim opsezima koji se pojavquju u gra evinskim konstrukcijama u normalnom radnom re`imu (u odsustvu visokih temperatura po`ar, ili jakih i brzih udara u konstrukciju eksplozija). Slaba forma polaznih jedna~ina Re{ewe bilo koje diferencijalne jedna~ine je jedinstveno ukoliko su weni koeficijenti i desna strana jedna~ine beskona~no diferencijabilne funkcije i 122

5 D. Mijuca, D. Gaji}, M. Vukobrat: Trodimenziona metoda kona~nih elemenata u... TERMOTEHNIKA broj 1-4 godina XXIX, (2003) ako to re{ewe zadovoqava diferencijalnu jedna~inu u svakoj ta~ki domena, kao i zadate grani~ne uslove. Me utim, u mnogim realnim situacijama jedan od ovih uslova nije zadovoqen (tj., ili ne postoji re{ewe jer jedan od podataka nije neprekidno-diferencijabilan, ili iako glatko re{ewe postoji ne mo`e da se odredi wegova ta~na forma zbog kompleksnosti domena, koeficijenata ili grani~nih uslova). Dakle, na{ zahtev da re{ewe problema zadovoqava diferencijalnu jedna~inu u svakoj ta~ki domena je prejak. Da bismo prevazi{li ovu pote{ko}u prob lem mo`e da se preformuli{e tako da zahtevi za re{ewe budu slabiji, jer kada god postoji re{ewe polaznog problema ono je re{ewe i slabe formulacije tog polaznog problema. Pretpostavimo da su grani~ni uslovi (3) esencijalni i da su zadovoqeni za svaku probnu funkciju problema, gde je probna funkcija ona funkcija kojom se aproksimira nepoznata veli~ina u polaznoj diferencijalnoj jedna~ini (u ovom zadatku to je nepoznata veli~ina tem per a ture svake materijalne ta~ke polaznog domena). U tom slu~aju, kori{}ewem Galerkinove pro ce dure, za koju va`i da je te`inska (test) funkcija kojom mno`imo polaznu jedna~inu (1) iz istog (fizi~kog) poqa funkcija, kao i probna funkcija, tra`imo slabo re{ewe izraza (1) u obliku: (div q+ f )qd 0 (7) gde se probne funkcije tem per a ture T, kao i test funkcije q uzimaju iz Hilbertovog prostora H 1, koji je prostor realnih kvadratno integrabilnih funkcija koje imaju kvadratno integrabilne prve izvode, {to zna~i da su iz prostora neprekidnih (kontinualnih) funkcija ~iji su i prvi izvodi neprekidni. U jedn. (7) predstavqa oblast (domen) posmatranog tela. Ako se poslu`imo identitetom po kome: div( q q) divqq q q (8) a iz koga sledi: divqq div( q q) qq (8) kao i kori{}ewem teoreme o divergenciji [6], kojom se u ovom slu~aju zapreminski in te gral prevodi u povr{inski: div( q q) d ( qn) q d (9) dolazimo do slede}eg izvo ewa: 123

6 ( divq q f q) d 0 ( div( q q) qq f q) d 0 ( div( q q) d qq d f qd 0 ( qn) q d q q d f q d 0 qq d f qd ( qn) q d (10) Po{to test funkcija q ima osobinu da je identi~no jednaka nuli na granici (nestaje na granici), posledwi izraz se svodi na: qq d f qd (11) Kori{}ewem Furijeovog zakona (2), dolazimo do linearizovane jedna~ine zakona balansa energije u slaboj formi u obliku: Primalna metoda kona~nih elemenata lt q d f q d (12) Ako sada diskretizujemo polazni domen, mre`om elemenata e [3] uz uslov da je zadovoqen uslov kompatibilnosti test i probnih funkcija tem per a ture, po kome one moraju biti kontinualne preko granica i unutar kona~nih elemenata, dobijamo mre`u kona~nih elemenata, koja se sastoji od domena (oblasti) svih elemenata, globalnih ~vorova mre`e i lokalnih ~vorova L svakog od elemenata (vidi sl. 1. na kojoj je prikazan reprezentativni deo zida, pre i posle diskretizacije metodom kona~nih elemenata). Slika 1. Diskretizacija polazne oblasti (polaznog domena) metodom kona~nih elemenata 124

7 D. Mijuca, D. Gaji}, M. Vukobrat: Trodimenziona metoda kona~nih elemenata u... TERMOTEHNIKA broj 1-4 godina XXIX, (2003) Ako probne i test funkcije tem per a ture uzmemo iz u`eg, kona~no-dimenzionog prostora funkcija polinoma P L (x), za koje va`i da su jednaki jedinici u svom ~voru, a jednaki nuli u svim ostalim ~vorovima elementa (usled toga }e rezultuju}a matrica sistema biti retka), tako da va`i: L T( x) T ( x) PL ( x), L 1, NLN e L q( x) q ( x) P ( x), L 1, NLN e L {to nam daju vezu izme u poqa tem per a ture u svakoj ta~ki modela, i nepoznate vrednosti tem per a ture u ~voru L kona~nog elementa, gde je NLN broj lokalnih ~vorova po kona~nom elementu (na sl. 1, NLN = 8), dolazimo do sistema linearnih algebarskih jedna~ina po nepoznatim vrednostima tem per a ture po globalnim ~vorovima, a koji zapisan u matri~noj formi ima slede}i oblik: (13) [K]{T} {F} (14) gde su ulazi u matricu sistema [K] i vektor sistema {F} dati sa: K LM e e P l P F P f d (15) L, a ( e) M, a e, M M e e e dok je {T} vektor nepoznatih temperatura. Jedna~ina (14) bi}e onoliko koliko ima globalnih ~vorova u kona~no-elementnoj mre`i, gde je ( l e) vrednost koeficijenta toplotne provodqivosti po posmatranom kona~nom elementu (e). Iz razloga {to je matrica sistema [K] kvadratna, pozitivno-definitna, simetri~na i retka, za re{avawe sistema (14), uobi~ajeno se koriste razni postupci direktnog re{avawa sistema linearnih jedna~ina, pri ~emu se velika pa`wa posve- }uje minimizaciji {irine trake matrice sistema [K] (ne-nula ~lanova) oko glavne dijagonale, a {to se posti`e optimalnom renumeracijom globalnih ~vorova u kona~no-elementnoj mre`i, a u ciqu smawewa du`ine izvr{avawa prora~una na ra~unaru. Stoga je korisniku programskog paketa Straus7 [13] omogu}eno da kontrolo{e ispravnost izbora na~ina numeracije globalnih ~vorova. Izlo`enim postupkom izra~unava se samo poqe tem per a ture po globalnim ~vorovima kona~no-elementne mre`e, dok toplotni fluks mora da se izra~una naknadno i to po svakom od kona~nih elemenata posebno. Takav postupak izra~unavawa dovodi do nerealne diskontinualnosti izra~unatog toplotnog fluksa (i tamo gde nema skoka usled promene materijala). Ina~e, navedeni nedostatak se ispravqa kori{}ewem raznih metoda usredwavawa uz gubitak ta~nosti. I pored postoje}ih stranih komercijalnih i akademskih programskih paketa iz ove oblasti, doma}i razvoj metode kona~nih elemenata u oblasti prora~una prostirawa toplote nije zapostavqen. U okviru projekta IO1865 Ministarstva za 125

8 nauku i za{titu `ivotne sredine Republike Srbije, razvijen je originalni i pouzdan trodimenzionalni metod kona~nih elemenata [10 12], kod koga su i temperatura i toplotni fluks fundamentalne promenqive, pa se nedostatak nerealne diskontinualnosti ne pojavquje. Pored toga, navedeni doma}i softver, potpuno je integrisan sa programskim paketom Straus7 [13], pa se pre i post-procesirawe obavqa i daqe u wegovom okru`ewu, koje je danas jedno od najboqe korisni~ki orijentisanih u svetu. Numeri~ki primer U ovom primeru prikazuje se primena i ta~nost dve metode ra~unske mehanike za numeri~ku simulaciju protoka toplote kroz nehomogeni zid, i to metode kona~nih razlika i metode kona~nih elemenata. Kori{}ena su tri programska paketa, jedan napisan po metodi kona~nih razlika Heat3 [14, 15], i dva po metodi kona~nih elemenata, i to programski paket Straus7 [13] i doma}i akademski programski paket FEMIX HCq/T [10]. Razmatra se zavisnost koeficijenta prolaza toplote U u odnosu na izbor materijala i cene omota~a zgrade. Posmatra se nehomogeni zid od standardnih materijala [16], kao {to su glina (cigla), izolacija (polistirol), malter, sa ili bez mineralne vune. Ciq ovog zadatka je da se poka`e da numeri~ka simulacija omogu}ava brzu, jeftinu i ta~nu optimizaciju omota~a zgrade sa stanovi{ta cena / energetska efikasnost. Na sl. 2. je prikazan {upqi lako ekspandirani blok od gline ispuwen polistirolom, koji smawuje protok toplote kroz blok. Na sl. 3. je prikazan zid sastavqen od ovakvih blokova, ~iji je reprezent (prikazan desno na istoj slici) razmatran u ovom primeru. Blokovi su postavqeni tesno jedan uz drugi, povezani relativno debelim horizontalnim slojem maltera, dok vertikalnih slojeva maltera nema ili ih zanemarujemo. Toplota se prenosi glavnim delom u u pravcu. Malter izme u blokova predstavqa toplotni most sa odgovaraju}im toplotnim protokom koji mo`e da se umawi postavqawem trake mineralne vune u sloj maltera (sl. 4). O~ekujemo da }e se vrednost koeficijenta prolaza toplote U smawiti umetawem traka od mineralne vune u sloj maltera, a time naravno smawiti i toplotni gubici ovog test modela. Prora~un je izvr{en za osen~eni deo prikazan na sl. 3. Postoje ravni simetrije na x = 0 i x = 245 mm, kao i na z = 0 i z = 200 mm, prikazane na sl. 4. i 5. Grani~ni uslovi u ovim ravnima su adijabatski. Grani~ne tem - per a ture (zadato temperaturno poqe) su postavqene na vrednosti T y = 300 = 0 K i T y = 0 = = 1 K (sl. 4). Evropski stan dard CEN, iz godine [16], u kome je re{ewe dobijeno pojednostavqenim izrazima, daje za uslove u ovom zadatku za vrednost koeficijenta toplotne provodqivosti U CEN = 0,355 za model bez mineralne vune, kao i vrednost U CEN = 0,296 za model sa mineralnom vunom. Slo`eni proces prenosa toplote konvekcijom sa spoqne i unutra{we strane nehomogenog zida izra`en je koeficijentom toplotne otpornosti R y = 0 = 0,04 sa spoqne strane i R y = 300 = 0,13 sa unutra{we strane posmatranog zida (vidi sl. 4. i 5). 126

9 D. Mijuca, D. Gaji}, M. Vukobrat: Trodimenziona metoda kona~nih elemenata u... TERMOTEHNIKA broj 1-4 godina XXIX, (2003) Slika 2. [upqi blok od gline ispuwen polistirolom Slika 3. Posmatrani zid sastavqen od {upqih blokova ispuwenih polistirolom Slika 4. Karakteristi~an presek zida u ravni y z 127

10 Slika 5. Karakteristi~ni presek zida u ravni x y U pomenutim programskim paketima izra~unavaju se temperatura i toplotni fluks u odre enom broju ta~aka modela usled prolaza toplote kondukcijom, a za date vrednosti toplotnih otpornosti ulaze u prora~un koeficijenta prolaza toplote U, preko slede}eg obrasca: 1 1 U, gde je R l ( R R ) R U U Ql Ax z ( T T 300 ) (16) l y 0 y 300 l l y 0 y gde je Q l vrednost toplotnog protoka na unutra{woj (ili spoqa{woj) strani zida date povr{ine A x z = 0,049 (u ravni x z). Za ovaj model u radu [14] referisane su vrednosti koeficijenata prolaza toplote izra~unate programskim paketom Heat3, i to za model bez mineralne vune prezentirana je vrednost koeficijenta prolaza toplote U = 0,366, koja u odnosu na teorijsko re{ewe U CEN [16] ima relativnu procentualnu gre{ku od 3,1%. Za model gde je u sloj horizontalnog maltera uba~ena traka mineralne vune, u istom radu (vidi tabl. 1) se za nekoliko numeri~kih mre`a rastu}e gustine, date su vrednosti koeficijenta prolaza toplote U, kao i relativne procentualne gre{ke E koeficijenta prolaza toplote u odnosu na teorijsko re{ewe U CEN. i Tablica 1. U-vrednosti dobijene programskim paketom Heat3 za model zida sa mineralnom vunom Broj elemenata U [/m 2 K] E [%] 175 0,2950 0, ,2975 0, ,2999 1, ,3007 1, ,3011 1, ,3012 1,76 Teorijsko re{ewe [16] 0,

11 D. Mijuca, D. Gaji}, M. Vukobrat: Trodimenziona metoda kona~nih elemenata u... TERMOTEHNIKA broj 1-4 godina XXIX, (2003) U tabl. 2, date su vrednosti koeficijenta prolaza toplote U za model bez mineralne vune kao i vremena izvr{avawa prora~una, dobijene programskim paketom Straus7 [13], a za tri kona~no-elementne mre`e rastu}e gustine. Tablica 2. U-vrednosti dobijene programskim paketom Straus7 za model zida bez mineralne vune Broj elemenata U [/m 2 K] E [%] Vreme prora~una [s] 300 0,3704 4,33 0, ,3699 4,19 1, ,3686 3,82 5,0 Teorijsko re{ewe [16] 0,3550 U tabl. 3, date su vrednosti koeficijenta prolaza toplote U dobijene programskim paketom Straus7, za slu~aj kada je u sloj horizontalnog maltera uba~ena traka mineralne vune, a za iste tri kona~no-elementne mre`e rastu}e gustine. Tablica 3. U-vrednosti dobijene programskim paketom Straus7 za model zida sa mineralnom vunom Broj elemenata U [/m 2 K] E [%] Vreme prora~una [s] 300 0,3065 3,55 0, ,3056 3,24 1, ,3035 2,53 5,0 Teorijsko re{ewe [16] 0,2960 Iz dobijenih rezultata zakqu~ujemo da se i kori{}ewem programskog paketa Heat3 i Straus7, dobijaju rezultati koji sa profiwavawem mre`e konvergiraju bez oscilovawa. Me utim, rezultati dobijeni programskim paketom Straus7 uniformno konvergiraju teorijskoj vrednosti, {to nije slu~aj sa rezultatima dobijenim programom Heat3 koji konvergiraju nekoj drugoj vrednosti, a ne teorijskoj. Tako e, programski paket Straus7 je specijalizovan i za druge tipove gra evinske analize (termo-elasti~nu, seizmi~ku...), {to pove}ava wegovu interoperabilnost [17], a {to nije slu~aj sa programskim paketom Heat3. Pored toga, jedna od dobrih osobina programskih paketa iz numeri~kih simulacija je i grafi~ka vizualizacija dobijenih rezultata, koja nam omogu}ava brzu identifikaciju oblasti modela u kojima se javqaju lokalni ekstremi poqa promenqivih koja analiziramo, a u ovom slu~aju to su temperatura i toplotni fluks. Na sl. 6. date su raspodele tem per a ture i toplotnih flukseva u opisanom modelu nehomogenog zida dobijene numeri~kom simulacijom pomo}u programa Straus

12 Slika 6. Poqe raspodele tem per a ture u problemu reprezenta nehomogenog zida Na sl. 7. i 8. prikazan je raspored izo-linija komponente vektora fluksa q y za model sa 3840 elemenata, izra~unat u programskom paketu Straus7 i doma}em pro - gramskom paketu FEMIX HC8/9 napisanom po me{ovitoj metodi kona~nih elemenata [12], gde se uo~ava dobro slagawe rezultata, a {to ide u prilog potvrdi teorijskih rezultata iz standarda CEN [16]. Polistiren unutar bloka, kao i mineralna vuna, zna~ajno smawuju efekat toplotnog mosta, {to je pokazano izra~unavawem u sva tri kori{}ena programska paketa ( Heat3, Straus7 i FEMIX HC8/9 ). Slika 7. Rezultati za reprezent zida bez mineralne vune izra~unati u programima Straus7 i FEMIX HC8/9 130 Slika 8. Rezultati za reprezent zida sa mineralnom vunom izra~unati u programima Straus7 i FEMIX HC8/9

13 D. Mijuca, D. Gaji}, M. Vukobrat: Trodimenziona metoda kona~nih elemenata u... TERMOTEHNIKA broj 1-4 godina XXIX, (2003) Vrednost koeficijenta prolaza toplote izra~unat u programu Straus7, a za najfiniju mre`u od kona~nih elemenata, smawuje se sa U = 0,3686 na U = 0,3035, {to je relativno smawewe od 21,45%. U programskom paketu Heat3, za najfiniju referisanu mre`u od milion elemenata relativno smawewe iznosi 21,52%. Dok evropski stan dard CEN [16], za isti primer navodi relativno smawewe koeficijenta prolaza toplote U od 19,93%. Od interesa je izra~unati koliko se pove}ava cena posmatrane konstrukcije, ako se u ciqu smawewa toplotnih gubitaka u horizontalni sloj maltera ugrade trake od mineralne vune. Cena jednog bloka (sa polistirenom) iznosi 120 dinara, cena produ`nog maltera po celom bloku bez izolacije iznosi 15 dinara, dok cena produ`nog maltera po celom bloku sa mineralnom vunom iznosi 30 dinara, {to cenu zida standardne povr{ine 3,18 2,6 m 2 pove}ava sa ,00 na ,00 dinara odnosno za 11,12%. Iz ove analize prora~una koeficijenta prolaza toplote kori{}ewem programskog paketa Straus7 proizilazi da se pove}awem cene zida za 11,12%, toplotni gubici smawuju ~ak za 21,45%, sa napomenom da se ovde umawivao samo efekat toplotnog mosta horizontalnog sloja maltera izme u blokova. U grejnoj sezoni toplotni gubici u ovom primeru izu~avanog zida navedene standardne povr{ine se smawuju sa 288 kh/god. na 237,13 kh/god. Neka je C razlika u ceni, gde je C j jedini~na cena toplotne energije u dinarima. a Q razlika toplotnih gubitaka. Iz slede}eg obrasca [4] dobija se pe riod otplate t za zid sa mineralnom vunom u odnosu na onaj bez mineralne vune: C 1268, 00 t 5 godina (17) C Q 5 50, 87 j Na osnovu prikazanih rezultata jasno se vidi pove}awe energetske efikasnosti gra evinskog objekta investicionim ulagawem u omota~ zgrade, ~iji je pe - riod otplate za navedene uslove pet godina. Me utim, treba imati u vidu da se ovde intervenisalo samo u horizontalnim slojevima konstrukcije, a da bi se jo{ primetnija poboq{awa energetske efikasnosti dobila modifikacijom u vertikalnom pravcu. Zakqu~ak U ovom radu je na jednom jednostavnom primeru nehomogenog omota~a zgrade, prikazana upotreba metode kona~nih elemenata u analizi i poboq{awu energetske efikasnosti gra evinskih objekata. Pokazano je da se opisana metoda mo`e smatrati jeftinom, efikasnijom i preciznijom u odnosu na standardne prora~unske metode. Tako e, pokazano je da ona pru`a {iroke mogu}nosti u procesu projektovawa novih gra evinskih objekata i predvi awu wihovog termi~kog pona{awa. Jednostavnim primerom ulaznih karakteristika materijala, geometrije i grani~nih uslova, analizira se i optimizira wihov uticaj, uz trodimenzionalnu vizualizaciju izra~u- 131

14 natih temperatura i toplotnog fluksa ispitivane konstrukcije, bez obzira na komplikovanost geometrije i tip termi~kog optere}ewa. Primenom predlo`enog simulacionog modela pri projektovawu omota~a zgrade, kao i sistema KGH, omogu- }ena je jeftina optimizacija oblika i kvaliteta omota~a zgrade u smislu cena / energetska vrednost. Oznake A povr{ina, [m 2 ] C cena C j jedini~na cena c p specifi~na toplota na konstantnom pritisku, [J/kgK] d debqina posmatranog segmenta, [m] E relativna gre{ka, [ ] (e) kona~ni el e ment f toplotni izvor, [/m 3 ] h toplotni fluks na zidu, [/m 2 ] h c koeficijent konvekcije, [/m 2 K] h r koeficijent radijacije, [ ] H 1 Hilbertov prostor L lokalni ~vorovi NLN broj lokalnih ~vorova n jedini~ni vektor, normala na posmatranu povr{inu n koeficijent razmene vazduha, [l/h] P L prostor funkcija polinoma q vektor toplotnog fluksa, [/m 2 ] Q l toplotni protok na zidu, [] q c, q r, q h konvektivni fluks, radijacioni fluks, ukupni fluks, [/m 2 ] R toplotna otpornost, [m 2 K/] T temperatura, [K] t vreme, [s] U koeficijent prolaza toplote, [/m 2 K] Y, q y fluks na zidu u y-pravcu, [/m 2 ] Gr~ki simboli a koeficijent prelaza toplote, [/m 2 ] l koeficijent toplotne provodqivosti, [/mk] s Stefan-Bolcmanova konstanta, [/m 2 K 4 ] r gustina materijala, [kg/m 3 ] q test funkcija domen Zahvalnica Autori teksta se zahvaquju Ministarstvu za nauku i za{titu `ivotne sredine Republike Srbije na podr{ci ovim istra`ivawima, a kroz projekat EE197. Tako e, se zahvaquju prof. dr Branislavu Todorovi}u na nau~noj i stru~noj pomo}i. 132

15 D. Mijuca, D. Gaji}, M. Vukobrat: Trodimenziona metoda kona~nih elemenata u... TERMOTEHNIKA broj 1-4 godina XXIX, (2003) Literatura [1] Oka, S., National Energy Efficiency Program: Foundation, Strategy, Priorities Formulation, and Implementation Activities, Termotehnika, 28 (2002), 1-4, pp [2] Hellen, T., How to Use El e ments Ef fec tively. NAFEMS Ltd. The International Association for Engineering Analysis Community, [3] Oden, J. T., Fi nite El e ments of Non lin ear Con tinua, McGraw-Hill, New York, 1972 [4] Todorovi}, B., Projektovawe postrojewa za centralno grejawe, Ma{inski fakultet Univerzitet u Beogradu, [5] Todorovi}, B., Prednosti numeri~ke simulacije termi~kog pona{awa zgrade pri projektovawu sistema za klimatizaciju, Zbornik radova, 32. kongres o grejawu, hla ewu i klimatizaciji, Beograd, [6] Jari}, J., Mehanika kontinuuma, Gra evinska kwiga, Beograd, [7] John, H. Lienhard IV, John, H. Lienhard V., A Heat Trans fer Text book, Phlogiston Press, Cam bridge, Ma., USA, 2003 [8] Ar nold, D. N., Mixed Fi nite El e ment Meth ods for El lip tic Prob lems, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 82 (1990), pp [9] Balocco, C., A Sim ple Model to Study a Ven ti lated Fa cade En ergy Per for mance, En ergy and Build ings, 34 (2002), pp [10] Mijuca, D., Finite Element Analysis System in-house Soft ware Pack age FEMIX-HC8/9, Fac - ulty of Mathematics, University of Belgrade, Bel grade, Ser bia and Montenegro [11] Mijuca, D., On Hexa he dral Fi nite El e ment HC8/27 in Elas tic ity, Computational Mechanics, 33 (2004), 6, pp [12] Mijuca, D., Žiberna, A., Me o, B., A New Mixed Hexa he dral Fi nite El e ment in Heat Trans fer Analysis, 1 st International Conference on Advanced Concepts in Mechanical Engineering, Proceedings, Iasi, Ro ma nia, July 6-8, 2004, ac cepted for pub li ca tion [13] G+D Computing, Straus7, Finite Element Analysis System Software Package, Australia [14] Blomberg, T., Heat Con duc tion in Two and Three Di men sions Com puter Modelling of Building Physics Applications, Ph. D. thesis, Lund University, Sweden, 1996 [15] Blomberg, T., Com puter Pro grams for Tran sient and Steady-State Heat Con duc tion in Three Dimensions HEAT3, De part ment of build ing physics, Lund University, Sweden [16] ***, CEN, 1996, Build ing Com po nents and Build ing El e ments Ther mal Re sis tance and Thermal Transmittance Calculation Method. European Committee for Standardization, Brussels, Bel gium, Ref. No. EN ISO 6946:1996 [17] Bazjanac, V., Build ing En ergy Per for mance Sim u la tion as Part of Interoperable Soft ware En - vironments, Building and Environment, 39 (2004), 8, pp

16 Ab stract Threedimensional Finite Element Method in the Heat Anal y sis of Build ings by Dubravka MIJUCA 1, Du{an GAJI] 2, and Marko VUKOBRAT 2 1 Fac ulty of Matematics, Uni ver sity of Bel grade, Bel grade, Ser bia and Montenegro 2 Kirilo Savi} In sti tute, Bel grade, Ser bia and Montenegro In the pres ent pa per, the us age of the fi nite el e ment method in anal y sis and im - prove ment of en er getic ef fi ciency of build ings is dem on strated on the sim ple ex am ple of inhomogeneous wall sug gested by the Eu ro pean Com mit tee for Stan dard iza tion. It was shown that de scribed method may be con sid ered chip, ef fi cient and more pre cise than stan dard hand-out cal cu la tions. In ad di tion, it was shown that it en ables a wide op por - tu ni ties in the pro cess of de sign ing of new build ings and eval u a tion of its ther mal be hav - ior. ith the simple change of input parameters as material characteristics, geometry and bound ary val ues, its in flu ence on the build ing s over all be hav ior is an a lyzed and op ti - mized, re gard less of the type of com plex ness of ge om e try and type of ther mal load, with si mul ta neous vi su al iza tion of the tem per a ture and heat flux field. Key words: build ing's en ve lope, re vi tal iza tion, inhomogeneous wall, heat trans fer, com pu ta - tional me chan ics, math e mat i cal model, nu mer i cal sim u la tion, fi nite el e ment method, heat losses, en ergy ef fi ciency of build ings Odgovorni autor / Coresponding au thor (D. Mijuca) dmijuca@matf.bg.ac.yu 134