INRIA Sophia Antipolis France. TEITP p.1

Size: px

Start display at page:

Download "INRIA Sophia Antipolis France. TEITP p.1"

Peregrine Dorsey
5 years ago
Views:

1 ÌÖÙ Ø ÜØ Ò ÓÒ Ò ÓÕ Ä ÙÖ ÒØ Ì ÖÝ INRIA Sophia Antipolis France TEITP p.1

2 ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ï Ý ØÖÙ Ø Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Å ÒÐÝ ÈÖÓÚ Ò ÌÖÙØ Ø Ò ÑÔÐ Ã Ô ÈÖÓÚ Ò ÌÖÙ Ø È Ó ÖÖÝ Ò ÈÖÓÓ µ Ò Ö ØÝ ÓÑ Ò ËÔ ÔÔÐ Ø ÓÒ TEITP p.2

3 ÇÙØÐ Ò ÇÚ ÖÚ Û Ó ÓÕ Ê Ð Ø ÓÒ ÜØ Ò ÓÒ Î Ö ÓÙ Ð ÚÓÙÖ ÅÓÖ ÜØ Ò ÓÒ ÓÒÐÙ ÓÒ TEITP p.3

4 ÓÕ ÐÙÐÙ Ó ÁÒ ÙØ Ú ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÄÓ Ú Ö ÓÒ ÒÓÛ v8.2 Ö Ø ÌÖÙ Ø Ò ÓÕ ÜÔÐ Ø ÈÖÓÓ Ç Ø ÌÖÙ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ coqchk TEITP p.4

5 ÓÕ Inductive N:Type := O S (n:n). Inductive _ = _ : T:Type, T T Prop := refl_equal: T:Type, x:t, x = x. Fact triv:2 = 2. Proof. apply refl_equal. Qed. Print triv. triv = (refl_equal N 2) TEITP p.5

6 ÓÕ Function x + y := if x is S x then S(x + y) else y. Fact triv :1 + 2 = 3. Proof. apply refl_equal. Qed. Print triv. triv = (refl_equal N 3) TEITP p.6

7 Ê Ð Ø ÓÒ ÓÙØ Ò ³ µ Ë ÑÙ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ Ù Ð ÒØ Ò Í Ò ÖØ ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 + f 2 + g 2 + h 2 )(m 2 + n 2 + o 2 + p 2 + q 2 + r 2 + s 2 + t 2 ) = (am bn co dp eq fr gs ht) 2 + (bm + an + do cp + fq er hs + gt) 2 + (cm dn + ao + bp + gq + hr es ft) 2 + (dm + cn bo + ap + hq gr + fs et) 2 + (em fn go hp + aq + br + cs + dt) 2 + (fm + en ho + gp bq + ar ds + ct) 2 + (gm + hn + eo fp cq + dr + as bt) 2 + (hm gn + fo + ep dq cr + bs + at) 2 TEITP p.7

8 Ê Ð Ø ÓÒ ÖÓÙÔ Ð Ò Inductive expr:type := add (e 1 e 2 :expr) opp (e:expr) var (n: N) zero. (x + y) y (add (add (var 1) (var 2)) (opp (var 1))) Ä Ø Ó ÒØ Ö Function l 1 ++ l 2 := if l 1 is a:: l 3 then if l 2 is b:: l 4 then if a < b then a::(l 3 ++ l 2 ) else if b < a then b::(l 1 ++ l 4 ) else if a == b then a:: b::(l 3 ++ l 4 ) else (l 3 ++ l 4 ) else l 1 else l 2 [1,1,2] ++ [-1,2] [1,2,2] TEITP p.8

9 Ê Ð Ø ÓÒ ÆÓÖÑ Ð Ø ÓÒ Function e2l e := match e with add e 1 e 2 e2l e 1 ++ e2l e 2 opp e 1 map (fun x x) (e2l e 1 ) var n [+n] zero [] end e2l (add (add (var 1) (var 2)) (opp (var 2))) ([1] ++ [2]) ++ (map (fun x x) [2]) [1,2] ++ (map (fun x x) [2]) [1,2] ++ [-2] [1] TEITP p.9

10 Ê Ð Ø ÓÒ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Structure Group := { T: Type; add: T -> T -> T; opp: T -> T; zero: T; assoc: x y z, add (add x y) = add x (add y z); com: x y, add x y = add y x; lefti: x, add x zero = x; lefto: x, add x (opp x) = zero; } Definition zgroup := mkgroup {Z,+,,0,...} Definition ogroup := mkgroup {bool,,,true,...} TEITP p.10

11 Ê Ð Ø ÓÒ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Function [ e ] g,env := match e with add e 1 e 2 g.add [ e 1 ] g,env [ e 2 ] g,env opp e 1 g.opp [ e 1 ] g,env var n env n zero g.zero end [ add (add (var 1) (var 2)) (opp (var 2)) ] zgroup,{1 x,2 y} (x + y) + y [ add (add (var 1) (var 2)) (opp (var 2)) ] ogroup,{1 x,2 y} (x y) y TEITP p.11

12 Ê Ð Ø ÓÒ ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Definition < z > g,env := if 0 < z then env z else g.opp (env z) Function { l } g,env := match l with [] g.zero [z] < z > g,env z::l 1 g.add < z > g,env { l 1 } g,env end { [1] } zgroup,{1 x,2 y} x { [1] } ogroup,{1 x,2 y} x TEITP p.12

13 Ê Ð Ø ÓÒ ÓÖÖ ØÒ Lemma e2l_cor: g env e, [ e ] g,env = { e2l e } g,env. Ý ØÖÙØÙÖ Ð Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ e ÈÖÓÓ Ó x y, (x + y) + y = x : ÈÖÓÓ (fun x y (e2l_cor zgroup {1 x,2 y} (add (add (var 1) (var 2)) (opp (var 2))))) Ó x y, (x y) y = x : ÈÖÓÓ (fun x y (e2l_cor ogroup {1 x,2 y} (add (add (var 1) (var 2)) (opp (var 2))))) TEITP p.13

14 Ê Ð Ø ÓÒ ËÙÑÑ ÖÝ e2l add (add (var 1) (var 2)) (opp (var 2)) [2] { } (x + y) + y = x Ö Ø ÓÒ TEITP p.14

15 Ê Ð Ø ÓÒ Ò³ ÒØ ØÝ ³ µ Ñ v8.2µ ¼ ½ Ö Ó Ö Å ÓÙ ³¼ µ Ò Ñ Ò ÕÙ Ð Ø Ò ÓÑÑÙØ Ø Ú Ö Ò ÓÒ Ö Ø Ò ÓÕä ãèöóú Ò Ö Ó Ö Ú Ö Ä ÖÓÝ ³¼¾µ Ò Ñ Ò ÓÑÔ Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó ØÖÓÒ Ö ÙØ ÓÒä ã TEITP p.15

16 Ð Ý Å Ð Å Ý ÖÓ ³¼ µ Ú Ð Ò Û Ø Ð Ö ÜÔÖ ÓÒ ÓÚ Ö Ð Ò ÓÕ Ù Ò ã ÜØ Ò ÓÒ Å ÔÐ ä Coq expand, factor,... ring Maple TEITP p.16

17 Ì ÖÝ ³¼ µ Ä ÙÖ ÒØ ÈÓÐÝÒÓÑ Ð ÜÔÖ ÓÒ Ò ÈÖÓÓ Ø ÒØä ãë ÑÔÐ Ý Ò ÜØ Ò ÓÒ y(3x + y + 2) < x(3y + 1) + z(x + y) ÆÓÖÑ Ð Ø ÓÒ 0 < x yy 2y + zx + zy ÁÒØ Ö Ø Ú y(y + 2) < x + z(x + y) TEITP p.17

18 ÓÒ ³¼ µ Ö Ö Ê Ð Ü Ú Ö Ø Ñ Ø Ì Ø Ø Ð Ò Ö Ò ã Ø ÜØ Ò ÓÒ ÝÓÒ ä E = c cx E 1 + E 2 E 1 E 2 E 1 < E 2 E 1 = E 2 2x y 1 x + y 2 y 1 TEITP p.18

19 Ä ÑÑ Ö ³ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ñ ÒØ ÓÐ Ü ØÐÝ ÜØ Ò ÓÒ x,a.x b y,y 0 A y.y = 0 b t.y > 0 2x y 1 1 x + y 2 2 y TEITP p.19

20 À ÖÖ ÓÒ ³¼ µ ÂÓ Ò ÒÓÒÐ Ò Ö Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ú ÙÑ Ó ÕÙ Ö ä ãî Ö Ý Ò ÜØ Ò ÓÒ x 1,...,x n, P 1 (x 1,...,x n ) 0... P k (x 1,...,x n ) 0 P(x 1,...,x n ) 0 TEITP p.20

21 ÜØ Ò ÓÒ Á P(x 1,...,x n ) 2 0 P(x 1,...,x n ) 0 P(x 1,...,x n ) 0 P(x 1,...,x n ) + Q(x 1,...,x n ) 0 P(x 1,...,x n ) 0 Q(x 1,...,x n ) 0 P(x 1,...,x n ) Q(x 1,...,x n ) 0 Ü ÑÔÐ abcx, ax 2 + bx + c = 0 b 2 4ac 0 b 2 4ac = (2ax + b) 2 4a(ax 2 + bx + c) TEITP p.21

22 ÜØ Ò ÓÒ Coq external g P i p i Sos-Wrapper A Csdp L U TEITP p.22

23 Ëº ÓÝ Ö Â ËØÖÓØ Ö ÅÓÓÖ ³ ½µ ÊÓ ÖØ Å Ò Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó ÓÖØÖ Ò ËÕÙ Ö ÊÓÓØ ãì ÜØ Ò ÓÒ ÈÖÓ Ö Ñä INTEGER FUNCTION ISQRT(I) INTEGER I IF ((I.LT. O)) STOP IF ((I.GT. 1)) GOTO 100 ISQRT = I RETURN 100 ISQRT = (I / 2) 200 CONTINUE IF (((I / ISQRT).GE. ISQRT)) RETURN ISQRT = ((ISQRT + (I / ISQRT)) / 2) GOTO 200 END TEITP p.23

24 ÜØ Ò ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Å Ò ij, 0 i 0 < j i < ((j + i/j)/2 + 1) 2 k = i/j Ò l = (j + k)/2 Ê ÙØ ÓÒ j k l, 0 j 0 k 0 l 2l j+k j + k < 2(l + 1) jk + j (l + 1) 2 Ó ËÕÙ Ö ËÙÑ 4((l + 1) 2 (jk + j)) = (k j + 1) 2 + (2(l + 1) (j + k + 1))(3 + j + k + 2l)) TEITP p.24

25 Ö Ó Ö ÄÓ ÈÓØØ Ö Ä ÙÖ ÒØ Ì ÖÝ ³¼ µ Ò Ñ Ò ÖØ Ø ÓÖ Ð Ö Ò Ø Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ãèöóó ÜØ Ò ÓÒ ÓÑ ØÖÝ Ì ÓÖ Ñ ÈÖÓÚ Ò ä ÙØÓÑ Ø x 1,...,x n, P 1 (x 1,...,x n ) = 0... P k (x 1,...,x n ) = 0 P(x 1,...,x n ) = 0 ÆÙÐÐ Ø ÐÐ Ò ØÞ À Ð ÖØ³ cp(x 1,...,x n ) r = i Q i (x 1,...,x n )P i (x 1,...,x n ) TEITP p.25

26 ÜØ Ò ÓÒ Á P(x 1,...,x n ) r {P 1 (x 1,...,x n ),...,P k (x 1,...,x n )} Ü ÑÔÐ x 2 y 2 y 4 {x 2 + 1,xy 1} Ú ÓÒ x 2 y 2 y 4 = y 2 (x 2 + 1) y 4 y 2 x 2 y 2 y 4 = (xy + 1)(xy 1) y ËÔÓÐÝÒÓÑ Ð x 2 y = y(x 2 + 1) = x(xy 1) spoly(x 2 + 1,xy + 1) = y(x 2 + 1) x(xy 1) = x + y TEITP p.26

27 ÜØ Ò ÓÒ Ö Ò Ö spoly(x 2 + 1,xy + 1) = x + y {x 2 + 1,xy 1} {x 2 + 1,xy 1,x + y} spoly(x 2 + 1,x + y) = x x(x + y) = (xy 1) spoly(xy 1,x + y) = xy 1 y(x + y) = y 2 1 {x 2 + 1,xy 1,x + y, y 2 1} spoly(xy 1, y 2 1) = y(xy 1) ( x)( y 2 1) = (x + y) TEITP p.27

28 ÜØ Ò ÓÒ ÖØ Ø x 2 y 2 y 4 {x 2 + 1,xy 1} x 2 y 2 y 4 {x 2 + 1,xy 1,x + y, y 2 1} x 2 y 2 y 4 = y 2 (x 2 + 1) y 4 y 2 y 4 y 2 = y 2 ( y 2 1) + 0 x 2 y 2 y 4 = y 2 (x 2 + 1) + y 2 ( y 2 1) x 2 y 2 y 4 = y 2 (x 2 + 1) + y 2 (xy 1 y(x + y)) x 2 y 2 y 4 = y 2 (x 2 +1) +y 2 (xy 1 y(y(x 2 +1) x(xy 1))) x 2 y 2 y 4 = ( y 4 + y 2 )(x 2 + 1) + (xy 3 + y 2 )(xy 1) TEITP p.28

29 ÜØ Ò ÓÒ ÈÖÓ Ö Ñ ËØÖ Ø Ä Ò X f n+1 1 = 0 X f n 1 = 0 X 1 = 0 Û Ö f n f 0 = 0, f 1 = 1, f n+2 = f n+1 + f n X 1 = P n 2 (X f n+1 1) + P n 1 (X f n 1) Û Ö P n P 0 = 0,P 1 = 1,P n = X f n P n 1 + P n 2 P 1 = X f n+1 1 P 2 = X f n 1 C = [[1, X f n 1 ] P 3 = P 1 X f n 1 P 2 [0, 1, X f n 2 ], P 4 = P 2 X f n 2 P [0,...,0, 1, X f 2 ]] P n = P n 2 X f 2 P n 1 CR = [0,...,0, 1] X 1 = P n TEITP p.29

30 ÜØ Ò ÓÒ Coq P {P 1,..., P 2 } SLP Gb + TEITP p.30

31 ÜØ Ò ÓÒ P S A 1 A B C C 1 Q B 1 Record point := {x: R, y: R}. Definition collinear (A B C:point):= (A.x - B.x) * (C.y - B.y) - (A.y - B.y) * (C.x - B.x) = 0. Definition parallel (A B C D:point):= (A.x - B.x) * (C.y - D.y) = (A.y - B.y) * (C.x - D.x). R TEITP p.31

32 ÜØ Ò ÓÒ Ì Ñ ÓÒ µ Ë Þ Ö Ø Ö µ Ë Þ ÒÓ µ Ì ÓÖ Ñ ÓÑÔÙØ Ò Î Ö Ý Ò ÈÓÐÝÒÓÑ Ð ÖØ Ø ËÄÈ Ú ½ ½ ¾º ½ Ö Ù ¼º ¼º¼½ ½ ½½ Ù Ö ¼º ¼º ¾ ½ È ÔÔÙ ½º ¼º¾ ¾ ¾½ ½ ¼ ½ È Ð ½¾ ¾ ¾ ¼ ½ ¼ ÈØÓÐ ÑÝ ¾¼¼ ¾º ½ ½ ½ ½ ¾ Ë Ñ ÓÒ ¼º ¼º¾ ½ ½ ½¾ ½ Ì Ð ¼º¼ ¼º½ ¾¾ ½ ½ ¾ TEITP p.32

33 ÖÑ Ò Ò Ñ Ò Ö Ó Ö ÖÒ Ù ËÔ Û Å Ð Ä ÙÖ ÒØ Ì ÖÝ ³½¼µ Ò ÓÕ Û Ø ÁÑÔ Ö Ø Ú ØÙÖ Ò Ø ÜØ Ò Ò ØÓ Ë Ì Î Ö Ø ÓÒ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ã ÐÐ Ö Ò Ò Ñ Ò Ï ÖÒ Ö ³½¼µ ÒØ Ð ÀÇÄ Ä Ø ÒØÓ ÓÕ ÁÑÔÓÖØ Ò ÅÓÖ ÜØ Ò ÓÒ TEITP p.33

34 ÜØ Ò ÓÒ Coq ÒØ ÒØ ÒØ ÒØ SAT TEITP p.34

35 ÅÓÖ ÜØ Ò ÓÒ p cnf p cnf TEITP p.35

36 Ê ÓÐÙØ ÓÒ ÅÓÖ ÜØ Ò ÓÒ x C x C C C TEITP p.36

37 ÅÓÖ ÜØ Ò ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ Î Ö Ð Ù Þ ÞÎ Ö Ý Ù Ó ¼ ½ ¼ ¼¼ ¼º¼¼ ¼º¼½ ÖÖ Ð ½ ¼ ¼º ¼ ¼º¼ ÖÖ Ð ¾ ¼ ½ ½º ¼º½ ÖÖ Ð ¾ ½ º¾¼ ¼º¾ Ô Ô ½ ¼¼ ¾º¾½ ¾º ÐÓÒ ÑÙÐØ½ ½ ¾¾ ¼ ¼ º º ÓÐ ½½ ½ ¾ ½ º ¾ ¼º ¼ ÓÐ ½¾ ½ ½ º º ÓÐ ½ ½ ¾ ½½ ¼ º¾ æ TEITP p.37

38 ÅÓÖ ÜØ Ò ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ zverify Coq ÖØ ÌÝÔ Ò Ù Ó ¼ ¼º¼½ ¼º¼ ¼º¼¼ ¼º¼¾ ¼º¼¾ ÖÖ Ð ¼º¼ ¼º ¼º¼¼ ¼º ¾ ¼º½ ÖÖ Ð ¼º½ ½º½ ¼º¼ ¼º ¾ ¼º ÖÖ Ð ¼º¾ ½º ¼º½ ¼º ¼ ¼º Ô Ô ¾º ¾ º ¼º ½ º ¾ º ÐÓÒ ÑÙÐØ½ º º º ¾ ¾ º¼ º ÓÐ ½½ ¼º ¼ ¼º ½ ¾º º½ ½º ÓÐ ½¾ º º¾ ¾º ½ º º ÓÐ ½ æ ½¼ º ¼ º½ º ¾º ¾ TEITP p.38

39 ÅÓÖ ÜØ Ò ÓÒ Coq DEF Hol TEITP p.39

40 ÅÓÖ ÜØ Ò ÓÒ ÆÙÑ Ö Ì Ñ Å ÑÓÖÝ Ò º Ì ÓÖ Ñ Ä ÑÑ Ê º ÜÔº ÓÑÔº Àº º º Î ÖØº ÓÕ ËØ Ð ½ ¾ ½ ½ ¾ Ñ Ò ¼ Ñ Ò ¼ ½¼ ¾½ Å º ÅÓ Ð ¾ ½¾½ ¾¾ ¾ Ñ Ò ¼ ¾ Ñ Ò ¾ Å º Î ØÓÖ ¾ ¼ ¼ Ñ Ò ¼ ¾½ Ñ Ò ¾ Å º TEITP p.40

41 ÓÒÐÙ ÓÒ Ã Ý ÊÓÐ Ó ÖØ Ø Ö ÒÙÐ Ö ØÝ Ð Ö Ë Ô Ö Ø ÓÒ ÊÓÓÑ ÓÖ ÁÑÔÖÓÚ Ñ ÒØ TEITP p.41

ÇÙÐ Ò ½º ÅÙÐ ÔÐ ÔÓÐÝÐÓ Ö Ñ Ò Ú Ö Ð Ú Ö Ð ¾º Ä Ò Ö Ö Ù Ð Ý Ó ËÝÑ ÒÞ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð º Ì ÛÓ¹ÐÓÓÔ ÙÒÖ Ö Ô Û Ö Ö ÖÝ Ñ ¹ ÝÓÒ ÑÙÐ ÔÐ ÔÓÐÝÐÓ Ö Ñ

ÅÙÐ ÔÐ ÔÓÐÝÐÓ Ö Ñ Ò ÝÒÑ Ò Ò Ö Ð Ö Ò Ó Ò Ö ÀÍ ÖÐ Òµ Ó Ò ÛÓÖ Û Ö Ò ÖÓÛÒ Ö Ú ½ ¼¾º ¾½ Û Åº Ä Ö Ö Ú ½ ¼¾º ¼¼ Û Äº Ñ Ò Ëº Ï ÒÞ ÖÐ Å ÒÞ ½ º¼ º¾¼½ ÇÙÐ Ò ½º ÅÙÐ ÔÐ ÔÓÐÝÐÓ Ö Ñ Ò Ú Ö Ð Ú Ö Ð ¾º Ä Ò Ö Ö Ù Ð Ý Ó ËÝÑ