n n! In general: Geometric series: n n n n Harmonic series: n kn n n n k k k m

Transcription

1 f() O(g()) f() (g()) Detos 9 ostve 0 suh tht 0 f() g() ostve 0 suh tht f() g() f() (g()) f() O(g()) d f() (g()) f() o(g()) l! f()g() 0 l! 8 R, 9 0 suh tht j ; j <, 8 0 su S lest b R suh tht b s, 8s S Theoretl Couter See Chet Sheet I geerl ; ( +) + + Geoetr seres ( +) + ; ; ; 6 ; Seres ( +)( +) 6 3 ( +) 4 ; ( +) + ; + ; ( +) B +; ; ; < + ; ( +) f S gretest b R suh tht b ( ; ) ( ; ) < s, 8s S Hro seres l f! l! ff j Ng H ( +) ( ; ) H H ; l su l 4!! suf j Ng ; + Cobtos Sze subsets of sze set + + H ( +)H ; H H + ; Strlg ubers (st d)! Arrgeets of eleet setto yles ( ; )!! 3 ; 0 4 ; ; ; 5 + Strlg ubers (d d) ; ; rttos of eleet ; r + r + + set to o-ety sets 6 7 ; st order Euler ubers + r s r + s eruttos o 8 9 f g wth sets + ; (;) ; ; d order Euler ubers C Ctl Nubers Bry ; ; trees wth + vertes ; ; 3 + ; 4 ( ; )! 5 ( ; )!H ; 6 7 ; ; 8 ( ; ) + 9 0! C ; ; ; + 0 ; ; 3 4 ( +) +( ; ) 0 ; ; ; ; 0 5 f 0, 6 ; ; 7 3 ; ( +) otherwse ( +; ) (;) 30! ; ; 3 (;) ;;! for ; ; 34 ( +) +( ; ; ) 35 () ; 0 + ; ; ( +) ; ; + 0 0

2 Theoretl Couter See Chet Sheet Idettes Cot + ; +! 39 +! ; (;) ; + 4 (;) ; ( + ) (;) ; + 45 ( ; )! (;) ; for, + + ; + + ; ; + + ; + + ` + ; ` + ; 49 ` + ` ` ` + ` ` Trees Every tree wth vertes hs ; edges Krft equlty If the deths of the leves of bry tree re d d ;d d equlty holds oly f every terl ode hs sos Mster ethod T () T (b)+f() b> If 9 >0 suh tht f() O( log b ; ) the T () ( log b ) If f() ( log b )the T () ( log b log ) If 9 >0 suh tht f() ( log b + ), d 9 < suh tht f(b) f() for lrge, the T () (f()) Substtuto (ele) Cosder the followg reurree T + T T Note tht T s lwys ower of two Let t log T The we hve t + +t t Let u t Dvdg both sdes of the revous equto by + weget t t + Substtutg we d u + + u u whh s sly u So we d tht T hs the losed for T ; Sug ftors (ele) Cosder the followg reurree T 3T + T Rewrte so tht ll ters volvg T re o the left sde T ; 3T Now ed the reurree, d hoose ftor whh es the left sde \telesoe" Reurrees ; T () ; 3T () 3 ; T () ; 3T (4) 3 log ; ; T () ; 3T () 3 log ; T () ; 0 Sug the left sde we get T () Sug the rght sde we get log 3 Let 3 d log Thewehve + ; ; ( log ; ) ( log ; ) + ; ; 3 where (log ); Full hstory reurrees ofte be hged to lted hstory oes (ele) Cosder the followg reurree Note tht T + ; j0 T + + Subtrtg we d T + ; T + T T j T 0 j0 j0 Ad so T + T + T j T j ; ; ; j0 T j Geertg futos Multly both sdes of the equto by Su both sdes over ll for whh the equto s vld 3 Choose geertg futo G() Usully G() 3 Rewrte the equto ters of the geertg futo G() 4 Solve for G() 5 The oeet of G() sg Ele g + g + g 0 0 Multly d su 0 g + 0 g + 0 We hoose G() 0 Rewrte ters of G() G() ; g 0 G()+ 0 Slfy G() G()+ ; Solve forg() G() ( ; )( ; ) Ed ths usg rtl frtos G() ; ; ; So g ; 0 ; 0 0( + ; ) + A

3 Theoretl Couter See Chet Sheet 3459, e 788, 0577, , ^ ; 5 ;6803 Geerl robblty Beroull Nubers (B 0,odd 6 ) ,04 9, , , , , , , , , ,048,576 7,097,5 73 4,94, ,388, ,777, ,554, ,08, ,7,78 03 B 0,B ;, B, B 6 4 ;, 30 B 6, 4 B 8 ;, 30 B Chge of bse, qudrt forul log b log log b ;b b ; 4 Euler's uber e ; + e l ; +! + e ; <e< ; O 3 e ; e + e Hro ubers, 3,, 5, 37, 49, 363, 76, l <H < l + H l + + O Ftorl, Strlg's roto,, 6, 4, 0, 70, 5040, 4030, 36880,! + e Aer's 8 futo d verse < j ( j) ( ; ) j ( ; ( j ; )) j () fj j (j j) g 8 68,435, Bol dstrbuto 9 536,870,9 09 r[ ] q ; q ; 30,073,74,84 3 3,47,483,648 7 E[] q ; 3 4,94,967,96 3 osso dstrbuto sl's Trgle r[ ] e; E[]! Norl (Guss) dstrbuto () e ;(;) E[] The \ouo olletor" We re gve rdo ouo eh dy, d there re deret tyes of ouos The dstrbuto of ouos s ufor The eeted uberofdys to ss before we toollet ll tyes s H Cotuous dstrbutos If b r[ <<b] () the s the robblty desty futo of If r[ <] () the s the dstrbuto futo of If d both est the () () ; Eetto If s dsrete E[g()] g()r[ ] If otuous the E[g()] ; g()() Vre, stdrd devto VAR[] E[ ] ; E[] g() d () ; VAR[] Bss r[ _ Y ] r[] + r[y ] ; r[ ^ Y ] r[ ^ Y ] r[] r[y ] d Y re deedet r[jy ] r[ ^ Y ] r[b] E[ Y ]E[] E[Y ] d Y re deedet E[ + Y ]E[]+E[Y ] E[] E[] Byes' theore r[bja ] r[a ] r[a jb] j r[a j]r[bja j ] Iluso-eluso r h _ Moet equltes r r[ ]+ (;) + << r r jj E[] h ; E[] Geoetr dstrbuto r[ ] ; q E[] q ; h ^ j q ; j

4 A b C B ythgore theore C A + B Theoretl Couter See Chet Sheet Trgooetry Mtres More Trg Detos s AC s CA (0,) (-,0) (,0) (0,-) os BC se CB t s os A B os ot s B A Are, rdus of srbed rle AB AB A + B + C Idettes s s os se t ot s +os + t se +ot s s os ; ; s s( ; ) os ; os( ; ) ot ; ot( ; ) s( y) s os y os s y os( y) os os y s s y t ot ; ; s ot ; ot t t y t( y) t t y ot ot y ot( y) ot ot y s s os s t +t os os ; s os os ; os ; s os ; t +t t t ; t ot ot ; ot s( + y) s( ; y) s ; s y os( + y) os( ; y) os ; s y Euler's equto e os + s e ; 994 by Steve Sede ssede@suedu htt//wwwsuedu/~ssede Multlto C A B j b j (os s ) Deterts det A 0A s o-sgulr det A B detadet B Y det A sg() () d33 detert b d e f g h erets g b e Detos sh e ; e ; b d f d ; b ; h d f + e + bfg + dh ; eg ; fh ; bd Y er A () Hyerbol Futos osh e + e ; th e ; e ; e sh + e ; sh seh osh oth th Idettes osh ; sh th + seh oth ; sh osh(;) osh d b e sh(;) ; sh th(;) ; th sh( + y) sh osh y + osh sh y osh( + y) osh osh y + sh sh y sh sh osh osh osh + sh osh + sh e osh ; sh e ; (osh +sh) osh +sh sh osh ; osh osh + s os t thets you do't uderstd thgs, you just get used to the {Jvo Neu A b C h Lw of oses B +b ;b os C Are A h b s C s A s B sc Hero's forul A s s s b s s ( + b + ) s s ; s b s ; b s s ; More dettes r ; os s r + os os t r ; os + os ; os s s +os ot r + os ; os +os s s ; os s e ; e ; os e + e ; t ; e ; e ; e + e ; ; e ; e + sh s os osh th t

5 Nuber Theory The Chese reder theore There ests uber C suh tht C r od C r od f d j re reltvely re for 6 j Euler's futo () s the uber of ostve tegers Q less th reltvely re to If e s the re ftorzto of the () Y e; ( ; ) Euler's theore If d b re reltvely re the (b) od b Fert's theore ; od The Eulde lgorth f >bre tegers the gd( b) gd( od b b) Q If e the s the re ftorzto of S() dj d Y e+ ; ; erfet Nubers s eve erfet uber ; ( ;) d ;sre Wlso's theore s re ( ; )! ;od 8 Mobus verso f >< 0 f s ot squre-free () > (;) r f s the rodut of r dstt res If the G() F (d) dj F () (d)g d dj re ubers l l l + l l ; + l + O l () l + (l ) +! (l ) 3 + O (l ) 4 Theoretl Couter See Chet Sheet Grh Theory Detos Loo A edge oetg verte to tself Dreted Eh edge hs dreto Sle Grh wth o loos or ult-edges Wl A sequee v 0 e v e`v` Trl Awl wth dstt edges th A trl wth dstt vertes Coeted A grh where there ests th betwee y two vertes Cooet A l oeted subgrh Tree A oeted yl grh Free tree A tree wth o root DAG Dreted yl grh Euler Grh wth trl vstg eh edge etly oe Hlto Grh wth th vstg eh verte etly oe Cut A set of edges whose reovl reses the uber of ooets Cut-set A l ut Cut edge A sze ut -Coeted A grh oeted wth the reovl of y ; vertes -Tough 8S V S 6 we hve (G ; S) jsj -Regulr A grh where ll vertes hve degree -Ftor A -regulr sg subgrh Mthg A set of edges, o two of whh re djet Clque A set of vertes, ll of whh re djet Id set A set of vertes, oe of whh re djet Verte over A set of vertes whh over ll edges lr grh A grh whh be ebeded the le le grh A ebeddg of lr grh vv deg(v) If G s lr the ; + f,so f ; 4 3 ; 6 Ay lr grh hs verte wth degree 5 Notto E(G) Edge set V (G) Verte set (G) Nuber of ooets G[S] Idued subgrh deg(v) Degree of v (G) Mu degree (G) Mu degree (G) Chrot uber E (G) Edge hrot uber G Coleet grh K Colete grh K Colete brtte grh r( `) Rsey uber Geoetry rojetve oordtes trles ( y z), ot ll, y d z zero ( y z) ( y z) Crtes rojetve ( y) ( y ) y + b ( ;b) ( 0 ;) Dste forul, L d L etr ( ; 0 ) +( ; 0 ) j ; 0 j + j ; 0 j j ; 0 j + j ; 0 j l! Are of trgle ( 0 y 0 ), ( y ) d ( y ) bs ; 0 y ; y 0 ; 0 y ; y 0 Agle fored by three ots (0 0) ` ` ( y ) ( y ) os ( y ) ( y ) `` Le through two ots ( 0 y 0 ) d ( y ) y 0 y 0 y 0 Are of rle, volue of shere A r V 4 3 r3 If I hve see frther th others, t s beuse I hve stood o the shoulders of gts { Iss Newto

6 Wlls' detty Brouer's otued frto eso Gregrory's seres 4 ; ; ; Newto's seres Shr's seres ; ; Euler's seres ; + 3 ; ; rtl Frtos Let N() d D() be olyol futos of We bre dow N()D() usg rtl frto eso Frst, f the degree of N s greter th or equl to the degree of D, dvde N by D, obtg N() D() Q()+ N 0 () D() where the degree of N 0 s less th tht of D Seod, ftor D() Use the followg rules For o-reeted ftor N() ( ; )D() A ; + N 0 () D() where A N() D() For reeted ftor ; N() ( ; ) D() A ( ; ) + N 0 () ; D() 0 where A d N()! D() The resoble dts hself to the world the uresoble erssts tryg to dt the world to hself Therefore ll rogress deeds o the uresoble { George Berrd Shw Theoretl Couter See Chet Sheet Dervtves d(u) d(u ) d( u ) d(s u) d(t u) d(se u) Clulus du d(u + v) du du u; 5 d(uv) + dv v; du ; u ; dv 3 d(uv) v 6 u dv + v du d(e u ) du (l )u 8 d(l u) d(rs u) d(rt u) d(rse u) d(sh u) d(th u) d(seh u) u du e du u os u du 0 d(os u) ; s u du d(rsh u) d(rth u) d(rseh u) 3 Itegrls u se u du d(ot u) s u du tu se u du 4 d(s u) ; ot u s u du du ; u 6 d(ros u) ; du ; u du ; u 8 d(rot u) ; du ; u du u ; u 0 d(rs u) ; u ; u du osh u du d(osh u) sh u du seh u du 4 d(oth u) ; sh u du ; seh u th u du d(sh u) 6 ; sh u oth u du +u du 8 d(rosh u) du ; u 30 d(roth u) ; du u ; u u ; 4 3 d(rsh u) (u + v) l 5 + rt 7 s ; os 9 t ; l j os j se lj se +tj 3 rs rs + ; >0 du u ; du u ; ; juj +u du u+ v e e u dv uv ; v du os s ot lj os j s lj s +otj

7 Theoretl Couter See Chet Sheet Clulus Cot ros ros ; ; >0 6 ; s () ; s()os() 8 rt rt ; l( + ) os () se t 0 s ; s; os ; t t; ; se t se; ; + ; s ; t ; ; ; se ; 6 os os; s ot ; ot; ; >0 ; +s() os() ; + ; s ; ot ot ; os ; 6 s ; ot s; + ; s ; 6 7 sh osh 8 osh sh ; ; th ljosh j 30 oth ljsh j 3 seh rt sh 3 sh l th sh sh() ; 34 osh sh()+ 35 seh th 4 4 rsh rsh ; + > < rosh rosh ; + rosh l + + >0 f rosh > 0 d >0, f rosh < 0 d >0, + rt >0 4 ; ( ; ) 3 8 (5 ; ) ; + 34 rs 8 >0 ; rs > b l + b l + + b + b + + b ; ; ; l + ; ; 8 ( ; ) ; + 4 ; l + ; rth rth + l j ; j 45 ; + rs >0 ( ; ) 3 ; ; l + ; >0 + b 53 8 rs >0 55 ; ; ; ; l ; 3 ( ) b (3b ; )( + b)3 5b l + b ; >0 + b + ; ; 3 ( ; ) 3 ; ; l + ; ; ; ; + rs >0 ; ; ros jj + l >0 + +

8 Theoretl Couter See Chet Sheet Clulus Cot ; ros jj > ( + ) b + 8 >< > 8 > < + b + > b ; l + b ; b ; b + b ; 4 rt + b 4 ; b 4 ; b + b + + b l + b + ; rs ; ; b b ; b + + b + ; b + b + 8 >< + b + 4 ; b + b b + ; l + b + + b + > 3 + ( 3 ; 5 )( + ) 3 s() ; os()+ os() s() ; e e ; b + rs ; jj b ; 4 ; e ; os() ; s() l() l() + + ; ( +) (l ) + + (l ) ; + f b > 4, f b < 4, (l ) ; + ; f >0, f <0, + b + f >0, f <0, ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Fte Clulus Deree, shft oertors f() f( +); f() E f() f( +) Fudetl Theore f() F (), f() F ()+C b Derees (u) u f() (uv) uv + E vu ( ) ; (H ) ; ( )( ; ) b; f() (u + v) u +v ; Sus u u (u + v) u+ v uv uv ; E vu ( ) ; ; + + ; H ; ; Fllg Ftorl owers ; ( ; ) ( ; +) + >0 0 ( +)( + jj) <0 + ( ; ) Rsg Ftorl owers ( +)( + ; ) >0 0 ( ; ) ( ;jj) <0 + ( + ) Coverso (;) (;) ( ; +) ( +) ; (;) (;) ( + ; ) ( ; ) ; (;) ; (;) ;

9 Tylor's seres Esos f() f() +( ; )f 0 ()+ ; ; Theoretl Couter See Chet Sheet ( ; ) f 00 ()+ Seres ; ( ; ) d ; e l( + ) ; ; 4 4 ; l ; s ; 3! 3 + 5! 5 ; 7! 7 + os ;! + 4! 4 ; 6! 6 + t ; ; ; ( + ) + + (;) + + +( +) + + ( ; ) + e ; ; + ; ( ; ; 4) ; ; ; 4 ; 4 ; l ; l ; ; 4+ +(+) ; ; F ; (F ; + F + ) ; (;) F + F + F ( ; ) f () ()!! (;) + (;) + ( + )! (;) ()! (;) + ( +) + B! + + H H ; F F Ordry ower seres A() Eoetl ower seres A() Drhlet ower seres A() Bol theore ( + y) 0! Deree of le owers ; y ; ; y ( ; y) ;; y 0 For ordry ower seres A()+B() A() ; A() ; A() A 0 () A 0 () A() A()+A(;) A() ; A(;) ( + b ) ; ; ( +) + ; + + Suto If b j0 the B() ; A() Covoluto A()B() j0 j b ;j A God de the turl ubers ll the rest s the wor of { Leoold Kroeer

10 Esos ( ; ) + l ; l ; t () () () ()( ; ) () Y s ; ; 4 e s s ; ; rs Theoretl Couter See Chet Sheet Seres + ; (H + ; H ) (e ; )! ot! (;) ; ( ; )B ; () ()! () ( ; ) () ; ; d() S() ; jb j ()! where d() dj where S() dj d N (;) ; (4 ; )B ()! ( + ; )!!( + )! s 4! (4)! 6 ()!( + )! 4! ( + )( + )! Crer's Rule If we hve equtos b b b Let A ( j )db be the olu tr (b ) The there s uque soluto det A 6 0 Let A be A wth olu reled by B The det A det A Iroveet es strt rods, but the rooed rods wthout Iroveet, re rods of Geus { Wll Ble (The Mrrge of Heve d Hell)!! (;4) B ()! () Steltjes Itegrto Esher's Kot If G s otuous the tervl [ b] d F s oderesg the ests If b the G() df () b b If the tegrls volved est b b b b ; G()+H() df () b G() d ; F ()+H() G() df () b G() df () G() df ()+ b G() df () + G() df () + G() d ; F () G() df ()G(b)F (b) ; G()F () ; G() df () b b H() df () b G() dh() b G() df () b F () dg() If the tegrls volved est, d F ossesses dervtve F 0 t every ot [ b] the b b G() df () G()F 0 () The Fbo uber syste Every teger hs uque reresetto F + F + + F where + +for ll, <d Fbo Nubers Detos F F ; +F ; F 0 F F ; (;) ; F F 5 ; ^ Css's detty for >0 F + F ; ; F (;) Addtve rule F + F F + + F ; F F F F + + F ; F Clulto by tres F; F ; F ; F 0