Raport Stiintific Grant CEEX-MENER Nr.717/ , Etapa II Universitatea: Dunărea de Jos din Galaţi

Transcription

1 Rapor Siiific Gra CEEX-MENER Nr.77/4.7.6, Eapa II Uiversiaea: Duărea de Jos di Galaţi Obiecivul VI: Sudiul si implemearea de observere de sare i vederea uilizarii lor i algorimii de reglare a proceselor de epurare biologica a apelor reziduale proveie di idusria alimeara. Aciviaea VI.: Dezvolarea de observere de sare cu validare i regim de simulare umerica. ESTIMAREA STĂRII ŞI PARAMETRILOR PROCESULUI DE TRATARE A APELOR UZATE. INTRODUCERE Necesiaea observerelor de sare peru procese bioehologice ese impusă de abseţa uor biosezori siguri şi iefii, capabili să realizeze direc măsurăori o-lie ale variabilelor biochimice şi biologice, uilizae peru implemearea uor meode avaajoase de moiorizare şi coducere a proceselor bioehologice (Carama şi Barbu, 5). Achiziţia biomasei, a subsraului, a produselor de meabolism, se face pri aaliză de laboraor, aceasă meodă făcâd dificilă coducerea bioreacoarelor (î sesul reglării direce a acesor mărimi). Aaliza de laboraor ecesiă prelevarea uei probe di coţiuul bioreacorului, ceea ce presupue u risc mări î coamiarea (ifecarea) culurii. De asemeea, meodele de laboraor peru deermiarea umărului de microorgaisme, deermiarea coceraţiei subsraului, precum şi a coceraţiilor produselor de meabolism su desul de imprecise, geerâd asfel iceriudii î aprecierea evoluţiei mărimilor meţioae. Acese probleme su mul amplificae î cazul proceselor de raare a apelor uzae, î special daoriă lipsei doării corespuzăoare şi a uui persoal suficie de califica peru realizarea uor măsurăori de caliae î laboraor. Î mod ormal, î acese codiţii, se poae coa pe ua-două aalize de laboraor î cursul uei săpămâi. O posibiliae de a ocoli muliplele eajusuri legae de achiziţia daelor, ese esimarea mărimilor de ieres di procesul de raare a apelor uzae cu ămol aciv cosidera. Esimaorul de sare (umi î lieraura de specialiae şi sezor sofware sau observer ) u ese alceva decâ u algorim uiliza peru deermiarea uor mărimi ale procesului, care u su măsurabile î imp real, pe baza alor mărimi accesibile di puc de vedere al achiziţiei lor. Procesele de raare a apelor uzae, fiid procese eliiare, deermiă uilizarea variaelor exise ale esimaoarelor liiare, î care maricele sisemului su obţiue pri liiarizare la fiecare pas de eşaioare. Asfel, calculul maricei de câşig are loc la fiecare pas de eşaioare. De asemeea, procesele de raare a apelor uzae su pueric afecae de iceriudii paramerice şi de prezeţa zgomoului de măsură. Î acese codiţii, î cadrul graului au fos ivesigae diverse meode de esimare a mărimilor de ieres di cadrul proceselor de epurare a apelor uzae: observer deermiis (Lueberger), observer sohasic (filrul Kalma), observere robuse (filrul H exis şi observerul î regim aluecăor).. CHESTIUNI TEORETICE.. Forma geerală a observerului de sare Fie u sisem eliiar î formă geerală descris de ecuaţiile urmăoare: 38

2 x () = f x (), u () () y() = h x(), u() () ude x ese vecorul de sare al sisemului x, u ese vecorul irărilor sisemului m p u, iar y ese vecorul ieşirilor sisemului y. O clasă geerală de observere de sare peru sisemul eliiar descris de ecuaţiile () şi () ese urmăoarea: xˆ () = f xˆ(), u() + K xˆ(), u() ( y() yˆ()) (3) Observerul de sare, descris de ecuaţia (3), ese o copie a modelului sisemului, descris de ecuaţia (), la care se adaugă o compoeă proporţioală cu eroarea de observare ( y y ˆ). Eroarea de observare devie ulă î cazul esimării perfece, observerul fiid ideic, î aces caz, cu sisemul iiţial. Vecorul sărilor esimae ˆx coţie oae sările, iclusiv cele măsurabile, uilizae peru recosrucţia celor emăsurabile. Problema proiecării uui observer de sare cosă î alegerea poriviă a maricei de amplificare K( xˆ( ), u() ). Defiiţia erorii de observare ese: e () x () x ˆ() (4) Ţiâd co de relaţiile ()-(4), diamica erorii de observare ese prezeaă î coiuare: e () = x () x ˆ() = f x ˆ() + e (), u () f x ˆ(), u () K x ˆ(), u () h x ˆ() + e (), u () h x ˆ(), u () ( ) (5) Se observă că eroarea e = ese u puc de echilibru al modelului (5). Fie aproximaţia liiară î jurul valorii e = : [ ˆ ˆ ˆ ] e = Axu (, ) K( xu, ) C( xu, ) e (6) ude: f( x, u) Axu ( ˆ, ) = x x= xˆ hxu (, ) Cxu ( ˆ, ) = x (8) x= xˆ Proiecarea observerului de sare (3) cosă î alegerea uei marice de amplificare K( xu ˆ, ) asfel îcâ sisemul liiar să aibă o comporare doriă. Pracic se doreşe impuerea evoluţiei erorii de esimare pri proiecarea maricei de amplificare K( xu ˆ, ). (7). Observabiliaea proceselor eliiare Dacă se po aloca liber valorile proprii ale maricei sisemului liiar (6), auci se poae asigura o covergeţă expoeţială a variabilelor de sare esimae căre valorile reale ale sisemului. Î aces caz sisemul () se umeşe expoeţial observabil, iar observerul (3) se umeşe observer expoeţial. Î coiuare se preziă o codiţie ecesară peru observabiliaea expoeţială a proceselor eliiare. Proprieaea. (Selişeau, ) O codiţie ecesară peru ca procesul () să fie expoeţial observabil ese ca maricea de observabiliae O să aibă ragul de-a lugul raiecoriilor procesului: 39

3 rag( O) = (9) ude: şi Cxu (, ) Cxu (, ) Axu (, ) O Cxu (, ) A( xu, ) Cxu (, ) A ( xu, ) f ( xu, ) Axu (, ) = x hxu (, ) Cxu (, ) = x () () () Proprieaea permie deecarea proceselor care u su expoeţial observabile, codiţia (9) fiid o codiţie doar ecesară, u şi suficieă. De asemeea, codiţia (9) ese o codiţie ecesară şi suficieă peru sisemul () liiariza î jurul uui puc de echilibru x. Daca modelul liiariza ageţial î jurul pucului de echilibru ese expoeţial observabil, auci sisemul eliiar () ese observabil îr-o veciăae a acesui puc..3 Sudiul observabiliăţii procesului de raare a apelor uzae cu ămol aciv Fie procesul eliiar de raare a apelor uzae cu ămol aciv (Nejjari ş.a., 999) descris de ecuaţiile (3)-(7). dx = μ () X () D()( + r) X () + rd() Xr () (3) d ( ) ds μ = X () D()( + r) S() + D() Si (4) d Y ddo d dx d r μ() = μ K μ () X() () α D r DO W DO DO DDO = + + max + i (5) Y = D()( + r) X() D()( β + r) X () (6) max S () DO () K + S() K + DO() s DO r ude: X() biomasa (coceraţia ămolului aciv î baziul de aerare); S() subsraul; DO() coceraţia de oxige dizolva; DO max caiaea maximă de DO(); X r () biomasa recirculaă (coceraţia ămolului aciv recircula); D() vieză de diluţie = debi/volumul baziului; Y coeficie de producţie; μ vieză specifică de creşere a microorgaismelor; μ max raă maximă de creşere; k s cosaă de sauraţie; K DO cosaă de sauraţie peru oxige; α raă a rasferului de oxige; K cosaă de model; W raă a fluxului de aer; S i coceraţie a subsraului î apă la irare; DO i coceraţie a oxigeului dizolva î apă la irare; r raă de ămol recircula; β raă de ămol excedear (elimia). (7) 4

4 Î coiuare su prezeae mărimile de irare şi ieşire ale procesului: - mărimi de irare: raa de aerare W [m 3 /h - ] şi raa de diluţie D [h - ]. - mărimi de ieşire (mărimi cosiderae măsurabile): coceraţia subsraului orgaic di eflue S [mg/l] şi coceraţia oxigeului dizolva di baziul aera DO [mg/l]. Mărimea de caliae ese coceraţia subsraului orgaic di eflue. Scopul srucurii de corol va fi obţierea uui eflue avâd coceraţia subsraului sub limia sadard impusă pri lege (sub mg/l). Peru modelul descris de ecuaţiile (3)-(7) se cosideră urmăorii parameri: μ =.5 mg/l; K = mg/l; K = mg/l; Y=.65; K =.5; α=.8; DO = mg/l; β =.. max S DO max Î Figura su prezeae rezulaele simulării privid diamicile libere ale modelului da de ecuaiile (3)-(7). Simularea a fos făcuă cosiderâd urmăoarele codiţii iiţiale: X() = mg/l, S() = 9 mg/l, DO() = 5 mg/l, X r () = 3 mg/l. De asemeea, s-a - 3 cosidera că: D=. h, W = 8 m /h, r=.6, DO =.5 mg/l, S = mg/l. i i X [mg/l] S [mg/l] DO [mg/l] Xr [mg/l] Timp [h] 3 5 Figura : Rezulaele simulării modelului î buclă deschisă Peru aces sisem se cosideră că su măsurabile subsraul orgaic (S) şi oxigeul dizolva (DO), doridu-se esimarea îregului vecor de sare. Maricele de sare şi ieşire ale procesului liiariza î jurul lui x = xˆ su dae de urmăoarele ecuaţii: ˆ μ Xˆ K ˆ ˆ S μ X K DO ˆ μ D ( + r) r D ˆ ( ˆ S KS + S) DO ( KDO + DO) ˆ μ ˆ μ Xˆ K ˆ ˆ S μ X KDO D ( + r) Ax ( ˆ) Y Y Sˆ ( K ˆ = S + S) DO ( KDO + DO) K ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ μ K μ X KS K μ X KDO D ( + r) αw Y Y Sˆ ( K ˆ S + S) DO ( KDO + DO) D ( + r) D ( β + r) (8) C = (9) 4

5 ude: S ˆ DO () ˆ( μ ) = μmax Ks + Sˆ( ) K + DO() DO Maricea de observabiliae, prezeaă î cadrul proprieăţii, are î aces caz urmăoarea formă: O L L A( x) = L A ( x) 3 L A ( x) Di calculul deermiaului asocia maricei de observabiliae, se poae rage cocluzia că ragul maricei ese maxim (=4) dacă ese îdepliiă codiţia: μ S DO D r Y ( K + S) ( K + DO) max s DO de-a lugul raiecoriilor sisemului. Cum peru procesul sudia μ max, S, DO, D, r au îodeaua valori sric poziive, rezulă că rag( O ) = 4 şi codiţia ecesară de observabiliae expoeţială ese îdepliiă (coform cu proprieaea ). Î acese codiţii se poae rece la proiecarea observerelor expoeţiale peru procesul de epurare a apelor uzae cu ămol aciv. () () () 3. ESTIMATORUL KALMAN EXTINS 3.. Prezearea algorimului de implemeare a filrului Kalma exis Fie sisemul eliiar descris de urmăoarele ecuaţii (Lewis, 986): x () = f( x(), u()) + Gw() (3) y () = hx ( ()) + Gv () (4) z () = Cx () (5) m p ude: x R ese vecorul de sare, y R ese vecorul mărimilor măsurae şi z R ese vecorul semalelor esimae; w() şi v() su vecori ai zgomoelor de proces şi, respeciv, de măsură. Zgomoul de proces şi zgomoul de măsură su presupuse ca fiid zgomoe albe, ecorelae şi cu disribuţie ormală. Peru implemearea uui filru Kalma exis al procesului eliiar se parcurg urmăorii paru paşi: Pas: Se liiarizează procesul î jurul pucului de fucţioare x = xˆ : f ( xu ˆ, ) Ax ( ˆ) = ; xˆ f ( xu ˆ, ) Bx ( ˆ) = u hx ( ˆ) C ( xˆ ) = (6) xˆ ; Pas : Se calculează maricea de câşig a esimaorului, uilizâd ruia Malab kalma: [Ses, K, P] = kalma(sis,q,r) 4

6 ude: Ses ese esimaorul Kalma liiar obţiu î pucul respeciv de fucţioare, K ese maricea de câşig a filrului Kalma, P ese eroarea de covariaţă, Sis ese sisemul obţiu pri liiarizare, uilizâd formula (6), şi el se calculează asfel: Sis = SS(A,[B G ],C,D), Q repreziă covariaţa zgomoului de proces, iar R ese covariaţa zgomoului de măsură. Pas 3: Uilizâd maricea de câşig deermiaă la Pasul, se scriu ecuaţiile corespuzăoare filrului Kalma exis: [ ] x ˆ() = f( xˆ(), u()) + K y() h( xˆ()) (7) Pas 4: Se iegrează sisemul şi filrul Kalma exis, se obţi oile puce de fucţioare şi se revie la Pasul. Implemearea uui filru Kalma exis peru esimarea sării şi a paramerilor uui proces se face uilizâd acelaşi algorim, cu uilizarea îsă a vecorului de sare exis, pri icluderea sărilor propriu-zise şi a paramerilor ce se doreşe a fi esimaţi (Barbu, 6). 3.. Implemearea filrului Kalma exis peru procesul de raare a apelor uzae Peru implemearea filrului Kalma exis peru esimarea sării se cosideră măsurabile subsraul orgaic şi oxigeul dizolva, doridu-se esimarea îregului vecor de sare al procesului. Sisemul (3)-(7) a fos liiariza, rezulâd urmăoarele valori peru maricele sisemului liiar: A a a a a a a a a = a3 a3 a33 a34 a4 a4 a43 a44 ude X KS a = μ D ( + r), a = μ, S ( KS + S) X KDO μ a3 = μ, a4 = r D, a =, DO ( KDO + DO) Y μ X KS μ X KDO a = D ( + r), a3 =, a 4 =, Y S ( KS + S) Y DO ( KDO + DO) K μ K μ X KS a3 =, a3 =, Y Y S ( KS + S) K μ X KDO a33 = D ( + r) α W, a 34 =, a4 = D ( + r), Y DO ( K + DO) DO a 4 =, a 43 =, a44 = D ( β + r) X ( + r) + r Xr S ( + r) + Si B = DO ( + r) + DOi α ( DOmax DO) X ( + r) Xr ( β + r) G = ; 43

7 C = ; D =. Coceraie biomasa [mg/l] Coceraie subsra [mg/l] Coceraie oxige dizolva [mg/l] Coceraie biomasa recirculaa [mg/l] Timp [h] Figura : Esimarea sării uilizâd filrul Kalma exis (liie coiuă: variabile proces, liie îrerupă: esimaţiile acesora) Implemearea filrului Kalma exis peru procesului de raare a apelor uzae cu ămol aciv se face uilizâd programele Pric.m şi Ord.m, prezeae î aexa CD. Rezulaele obţiue uilizâd filrul Kalma exis su prezeae î Figura. Di figură se observă o buă covergeţă a esimaorului implemea, chiar î codiţiile prezeţei aâ a zgomoului de proces câ şi a zgomoului de măsură. 4. ESTIMATORUL LUENBERGER EXTINS 4. Prezearea algorimului de implemeare a observerului Lueberger exis Fie sisemul eliiar descris de urmăoarele ecuaţii: x () = f( x(), u()) (8) y () = hx ( ()) (9) z () = Cx () (3) m p ude: x R ese vecorul de sare, y R ese vecorul mărimilor măsurae şi z R ese vecorul semalelor esimae. Peru implemearea uui observer Lueberger exis al procesului eliiar se parcurg urmăorii 4 paşi: Pas: Se liiarizează procesul î jurul pucului de fucţioare maricele: x = xˆ, obţiadu-se 44

8 f ( xu ˆ, ) Ax ( ˆ) = ; xˆ f ( xu ˆ, ) Bx ( ˆ) = u hx ( ˆ) C ( xˆ ) = (3) xˆ ; Pas : Se calculează maricea de câşig a esimaorului, uilizâd ruia Malab place: K = place(a T,C T,P) (3) ude: K ese maricea de câşig a observerului Lueberger, A şi C maricele sisemului liiariza calculae la Pasul, iar P ese vecorul valorilor proprii alocae esimaorului. Se face precizarea că ruia Malab place ese uilizaă de obicei peru calculul reacţiei după sare a uui sisem. Pri apelarea ei îr-o formă modificaă, aşa cum ese prezeaă mai sus, ea poae fi uilizaă şi peru calculul maricei de câşig a observerului Lueberger. Pas 3: Uilizâd maricea de câşig deermiaă la Pasul, se scriu ecuaţiile corespuzăoare observerului Lueberger exis: [ ] xˆ () = f( xˆ(), u()) + K y() h( xˆ()) (33) Pas 4: Se iegrează sisemul şi observerul Lueberger exis, se obţi oile puce de fucţioare şi se revie la Pasul. Implemearea uui esimaor de sare şi parameri baza pe observer Lueberger exis, peru u proces eliiar, se poae face î două moduri: fie pri exiderea vecorului de sare cu paramerii ce se doreşe a fi esimaţi, fie pri proiecarea a două esimaoare, uul peru sare şi uul peru parameri. 4. Implemearea observerului Lueberger exis peru procesul de raare a apelor uzae Peru implemearea observerului Lueberger exis peru esimarea sării se uilizează aceleaşi marice ale sisemului liiariza, ca şi î cazul filrului Kalma exis. Sigurele difereţe cosau î fapul că acum se poae cosidera măsurabil doar oxigeul dizolva, iar vecorul valorilor proprii, pri care se impue diamica aulării erorii de esimare, are urmăoarea valoare: P = [.5.5..] T ; C = [ ] Implemearea observerului Lueberger exis peru procesul de raare a apelor uzae cu ămol aciv se face uilizâd programele Pric.m şi Ord.m, prezeae î coiuare i aexa CD. Rezulaele obţiue, uilizâd observerul Lueberger exis, su prezeae î Figura 3, di figură observâdu-se o buă covergeţă a esimaorului implemea. Cocluzii privid esimaoarele Lueberger exis si Kalma exis Di sudiul esimaoarelor propuse, observer Lueberger exis şi filrul Kalma exis, po fi rase urmăoarele cocluzii:. Î lucrare au fos propuşi algorimi de implemeare a filrului Kalma exis şi a observerului Lueberger exis uilizâd ruiele Malab. Cele două meode de esimare prezeae oferă bue rezulae î priviţa covergeţei mărimilor esimae căre valorile reale. Î cazul sisemelor de ordi superior, ele au dezavaajul dificulăţii de implemeare. Aces dezavaaj poae fi îlăura pri uilizarea ruielor Malab kalma 45

9 şi place.. Filrul Kalma exis oferă foare bue rezulae î prezeţa zgomoelor de proces şi de măsură, î imp ce observerul Lueberger exis are o sesibiliae mare la prezeţa zgomoului de măsură. Coceraie biomasa [mg/l] Coceraie subsra [mg/l] Coceraie oxige dizolva [mg/l] Coceraie biomasa recirculaa [mg/l] Timp [h] Figura 3: Esimarea sării uilizâd observerul Lueberger exis (liie coiuă: variabile proces, liie îrerupă: esimaţiile acesora) 5. ESTIMAREA STĂRII PROCESULUI DE TRATARE A APELOR UZATE FOLOSIND ESTIMATOR H 5. Defiirea ormei H Defiiţia : Peru u semal v () defii peru, orma L a semalului ese rădăciă păraă a iegralei lui v () : ( ) / () v v d (34) O ierpreare fizică a ormei L ese aceea că v ese proporţioală cu eergia oală asociaă cu semalul v (). Coform cu defiiţia rasformaei Laplace avem: s V() s = v() e d (35) Aalog cu (34), puem defii orma L a semalului rasforma î Laplace V() s pe axa imagiară: 46

10 / V V( jω) dω π (36) Coform eoremei lui Parseval, ormele L î domeiul imp şi î domeiul frecveţă su egale (Toivoe, 998): v = V (37) Norma L ese u caz special al ormei p ( ) / p L p, ce ese defiiă asfel: v v() d, p (38) p Se po defii ormele L p şi î domeiul Laplace, aalog cu (6), dar u exisă ici o relaţie corespuzăoare eoremei lui Parseval peru p. Dacă p, orma L p ide căre aşa umia ormă, sau orma L, ce poae fi defiiă asfel: v max v( ) (39) presupuâd că exisă u maxim. Dar, î geeral, u poae fi garaaă exiseţa uui maxim î (39), deci corec ese defiirea ormei L ca supremum al valorii absolue (Gree şi Limebeer, 995): v = sup v( ) (4) Similar se poae defii orma L î domeiul Laplace: V = sup V( jω) (4) ω Fie u sisem liiar moovariabil cu fucţia de rasfer Gs. () Norma H a acesui sisem ese defiiă ca: G sup G( jω) (4) ω Porid de la defiiţia G( jω ), ca fiid facorul cu care ese amplifica de căre sisem u semal siusoidal de irare de frecveţă ω, se poae obţie o ierpreare fizică a ormei H a uui sisem. Asfel orma H ese o măsură a celui mai mare facor cu care orice semal siusoidal de irare ese amplifica de căre sisem. Fie u semal v () cu rasformaa Laplace V() s, asfel îcâ orma L daă de (34) sau (36) să fie mărgiiă. Î acese codiţii ieşirea sisemului Y() s = G() s V() s are orma L, daă de (36), mărgiiă de G V (Toivoe, 998): GV G V (43) Aceasa implică: G GV,peru V (44) V Î acese codiţii orma H poae fi caracerizaă asfel: 47

11 G = GV sup, V V Deci, orma H dă facorul maxim pri care sisemul amplifică orma L a oricărei irări, sau alfel spus ese maximul rasferului eergeic de la irare la ieşire. Î acese codiţii G ese umi şi câşigul sisemului. Fie u sisem mulivariabil, avâd maricea de rasfer de ordiul p m. Norma H a maricei de rasfer Gs () ese defiiă asfel: G sup G( jω) (46) ω ude G( jω ) ese câşigul maxim al lui G la frecveţa ω şi ese da de formula urmăoare: G( jω) v m G( jω) = max, v, v (47) v v ude v ese orma euclidiaă a uui vecor complex v= [ v,..., v ] T m m : /... m v = v + + v (48) Se poae demosra că orma mariceală G( jω ) ese egală cu valoarea sigulară maximă ( G( j )) σ ω a maricei G( jω )(Zhou şi Doyle, 998). Î acese codiţii orma H a uui sisem mulivariabil poae fi exprimaă asfel: ( G jω ) G = sup σ (49) ω (45) 5. Filrul H liiar Fie u sisem diamic descris de ecuaţiile: x () = A() x() + B() u() + D () w() (5) y () = Cx () () + D() v () (5) m p ude x, u, y, iar w () şi v () repreziă vecorii zgomoului de proces şi de măsură. Zgomoul se cosideră a fi alb, ecorela, de medie zero şi covariaţă Q şi, respeciv, R. Problema filrării cosă a găsi o esimaţie xˆ( ) a lui x(), uilizâd măsurăorile lui y pâă la momeul. Asfel se impue ca filrul să miimizeze fucţia cos (Nagpal şi Khargoekar, 99): T x xˆ T J = sup, x() = x, S = S > ( x, w) L w + x Sx ude S ese o măsură a relaivei imporaţe a iceriudiilor daorae ecuoaşerii sării iiţiale î rapor cu iceriudiile cauzae de proces şi de zgomoul de măsură. O valoare mică aleasă peru S reflecă o iceriudie mai mare privid codiţiile iiţiale. Defiiţia : Sisemul descris de ecuaţiile (5) şi (5) ese deecabil dacă exisă o fucţie mărgiiă K (), asfel îcâ sisemul x () = ( A() K() C()) x() ese expoeţial sabil. Sau se mai poae spue că ( CA, ) ese deecabilă. Presupuâd că ( CA, ) ese deecabilă, auci poae fi formulaă urmăoarea eoremă: (5) 48

12 Teorema : (Nagpal şi Khargoekar, 99) Fie u sisem avâd codiţia iiţială ecuoscuă şi u orizo de imp fii T <. ) Exisă u filru asfel îcâ J < γ, γ >, dacă şi umai dacă exisă o marice simerică P () >, peru [, T], care ese coiuă şi saisface ecuaţia: T T T P () = AP () () + P () A () + P () I C () R C () P () DQD + (53) γ ude I ese maricea uiae, iar P() = S. ) Mai mul, dacă (53) ese saisfăcuă, u filru care respecă codiţia J ecuaţiile: xˆ () = A() xˆ() + B() u() + K() y() C() xˆ() (54) K () PC () () R < γ ese da de T = (55) Se observă că filrul H are o srucură similară cu a filrului Kalma. Daca γ, auci ecuaţia (53) devie ecuaţia difereţială mariceală Riccai, iar filrul (54)-(55) devie filrul Kalma. Se face de asemeea observaţia că peru esimare se poae seleca parţial vecorul sărilor: z () = C() x () (56) filrul păsrâdu-şi aceleaşi proprieăţi. 5.3 Filrul H exis Fie sisemul eliiar î forma geerală: x () = f x(), u() + D () w() (57) y () = h x (), u () + D() v () (58) m p ude x, u, y. Filrul H exis ese descris de ecuaţia urmăoare: x ˆ() = f x ˆ(), u () + K x ˆ(), u () h x (), u () h x ˆ(), u () (59) ude maricea de amplificare a filrului ese daă de ecuaţia: K () PC () () R T = (6) Maricea simerică P () se obţie pri rezolvarea la fiecare mome de imp a ecuaţiei Riccai modificaă: T T T P () = AP () () + P () A () + P () I C () R C () P () DQD + (6) γ f ( x ˆ, u ) hx ( ˆ, u ) ude: A () =, C () =. x x O dezvolare a lui f (,) î jurul lui xˆ( ) coduce la: ( (), ()) ( ˆ(), ()) ()( () ˆ() ) ϕ ( (), ˆ(), ()) f x u f x u = A x x + x x u (6) 49

13 ude ( x(), xˆ (), u() ) ϕ repreziă ermeii de ordi superior di dezvolare. Lema : (Korad ş.a., 999) Fie vecorii reali xx, ˆ şi dimesiue ϕ,, ce respecă codiţia: (, ˆ, ) şi fucţia m u, maricea simerică Π de ϕ x xu κ x xˆ (63) + + Q peru u κ. Dacă se alege γ care să respece codiţia: κ <, auci exisă u γ δ > asfel îcâ:,, γ T T ( x xˆ) Πϕ( x xˆ u) ( x xˆ) I + Q δ ΠΠ ( x xˆ) (64) Uilizâd lema, poae fi euţaă eorema de covergeţă expoeţială a filrului H exis. Teorema : (Korad ş.a., 999) Fie sisemul eliiar descris de ecuaţiile (57) şi (58) şi u observer da de ecuaţiile (59)-(6). Fie γ > şi o marice poziiv defiiă R, asfel îcâ să fie respecae urmăoarele codiţii: ) Peru orice soluţie xˆ( ) a ecuaţiei observerului (59), soluţia P () a ecuaţiei difereţiale Riccai modificaă (6) ese mărgiiă: pi P() pi (65) cu pp>,. ) Termeii eliiari ( x(), xˆ (), u() ) ϕ( x(), xˆ(), u() ) κ x() xˆ() ϕ di relaţia (6) su mărgiiţi: (66) Q cu κ <. γ Î acese codiţii filrul cosidera ese u observer expoeţial. Mai mul, ecuaţia erorii de esimare ese global expoeţial sabilă la zero. Peru demosraţie se cosideră mai îâi ecuaţia erorii de esimare: e () = x () x ˆ() (67) Ecuaţia difereţială ce descrie diamica erorii de esimare ese: ( ˆ ) e () = A () KC () () e () +ϕ x (), x (), u () (68) Peru a demosra sabiliaea expoeţială a erorii se cosideră fucţia Lyapuov: T V e(), = e() Π () e() (69) ude Π () = P (). Coform cu presupuerea, avem urmăoarele limie peru fucţia Lyapuov: e () V( e (), ) e () (7) p p ceea ce implică fapul că fucţia Lyapuov cosideraă ese poziiv defiiă. Derivaa î rapor cu impul a fucţiei Lyapuov ese: 5

14 V e (), = e () T Π ()() e + e () T Π ()() e + e () T Π()() e (7) Iroducâd ecuaţia erorii (68) î (7), se obţie că: T ϕ ( ˆ ) T + e () Π() ( A () KC () ()) e () + ϕ ( x (), x ˆ(), u ()) T V e (), = e () Π ()() e + A () KC () () e () + x (), x (), u () Π() e () Ţiâd co de (6), ecuaţia (7) devie: T T T T ( (), ) = () ( Π () +Π () () + () Π() () ()) () + () ϕ ( (), ˆ(), ()) V e e A A C R C e e x x u (7) (73) Cum e () = x () x ˆ(), aplicâd Lema, obţiem că: T T T ( Π +Π + Π ) V e (), e () () () A () A () () C () R C () e () T + e () ( Q δ ) Π() Π () + I e () γ sau rearajâd ermeii: V ( e ) e A A C R C I Q e γ T T T (), () Π () +Π () () + () Π() () () + + Π() Π() () T ( δ ) T + e () C () R C () Π() Π() e () (74) (75) Dar Π () = P (), ceea ce implică: Π () = Π() P () Π() (76) sau dacă se fac calculele: T T Π () = Π () A () + A () Π() C () R C () + I+ QΠ() Π() (77) γ Iroducâd (77) î (75) rezulă că: V e(), e() C () R C() () () e() (78) T T ( δπ Π ) Ţiâd co de limiele impuse î (65) se obţie iegaliaea: (), e() (79) V e δ p ceea ce implică fapul că derivaa fucţiei Lyapuov ese egaiv defiiă. Di relaţiile (7) şi (79) se poae rage cocluzia că ecuaţia difereţială (68) are u puc de echilibru global expoeţial sabil la zero (Vidyasagar, 993). Aceasa iclude si fapul că observerul cosidera ese u observer expoeţial. 5.4 Esimarea sării procesului de raare a apelor uzae cu ămol aciv Fie procesul de raare a apelor uzae cu ămol aciv descris de ecuaţiile (3)-(7). Peru aces sisem eliiar se cosideră că su măsurabile subsraul orgaic (S) şi oxigeul dizolva (DO), doridu-se esimarea îregului vecor de sare. Peru proiecarea filrului H exis maricele A şi C su cele prezeae î cadrul paragrafului 3.. De asemeea, se cosideră că P ese o marice simerică de ordiul 4, D ese egală cu maricea uiae D = I ), iar γ =. Î acese codiţii, rezulaele simulării su prezeae î Figura 4. Di ( 4 5

15 figură se observă o buă comporare a filrului H exis, î codiţiile prezeţei aâ a zgomoului de proces, câ şi a zgomoului de măsură. Programele de simulare (Model3.m şi Fuc3.m) se găsesc i aexa CD. Biomasa [mg/l] Subsra [mg/l] Oxige dizolva [mg/l] Biomasa recirculaa [mg/l] Timp [h] Figura 4: Esimarea sării procesului de raare a apelor uzae cu ămol aciv (liie coiuă: variabile proces, liie îrerupă: esimaţiile acesora) 6. ESTIMAREA STĂRII ŞI PARAMETRILOR PROCESULUI DE TRATARE A APELOR UZATE 6. Esimaor de sare şi parameri peru procese eliiare Fie sisemul eliiar descris de ecuaţiile: ( θ ) x () = f x (), (), u() + D () w() (8) y() = h x (), u() + D () v() (8) ude x () ese vecorul sărilor sisemului, iar θ () ese vecorul paramerilor procesului ce se doresc a fi esimaţi. Aceşi parameri po fi modelaţi ca iegraoare ce su coduse de zgomo alb, şi adăugae la sările sisemului (Kaebi, ). Î aces caz, oul vecor de sare poae fi scris asfel: [ θ ] x() = x () () (8) iar fucţia sisemului eliiar ese: ( θ ) f x(), (), u() f ( x(), u() ) = (83) Noului sisem eliiar obţiu i se va aplica procedura de proiecare a uui esimaor de 5

16 sare exis (Barbu, 6), î care: (, θ, ) (, θ, ) f x u f x u ( ˆ Axu, ) = x θ x= xˆ Cxu ˆ hx (, u) = (, ) x x= xˆ (84) (85) 6 35 Biomasa [mg/l] 4 Subsra [mg/l] Oxige dizolva [mg/l] Biomasa recirculaa [mg/l] Miu [/h] Alfa Timp [h] Figura 5: Esimarea sării şi paramerilor procesului de raare a apelor uzae cu ămol aciv (liie coiuă: variabile proces, liie îrerupă: esimaţiile acesora) 6. Esimarea sării şi paramerilor procesului de raare a apelor uzae cu ămol aciv Î cazul procesului eliiar de raare a apelor uzae cu ămol aciv paramerii cei mai imporaţi, care vor fi esimaţi î cadrul acesui gra, su: vieza specifică de creşere a microorgaismelor μ () şi raa rasferului de oxige α. Î acese codiţii, vecorul de sare devie: x= [ X S DO Xr μ α ]. Meoda de esimare uilizaă ese filrul Kalma exis. Maricele de rasfer ecesare proiecării filrului Kalma exis peru esimarea sării si paramerii procesului eliiar de raare a apelor uzae cu ămol aciv devi: 53

17 ˆ μ D + r r D Xˆ ˆ μ Xˆ D ( + r) Y Y K ˆ μ K Xˆ Y Y D ( + r) D ( β + r) Ax ( ˆ) = D ( + r) ˆ α W W DOmax DO C = (86) (87) De asemeea, se cosideră că P ese o marice simerică de ordiul 6, D ese egală cu maricea uiae ( D = I6), iar γ =. Î acese codiţii, î Figura 5 su prezeae rezulaele simulării. Di figură se observă o buă comporare a filrului Kalma exis, aâ î ceea ce priveşe esimarea sărilor, câ şi a paramerilor procesului. De asemeea, di figură se observă că î cadrul simulării s-a cosidera siuaţia î care paramerii îşi schimbă valoarea î impul fucţioării procesului, algorimul de esimare propus reuşid să urmărească acese modificări ale paramerilor. Programele de simulare (Model4.m şi Fuc4.m) se găsesc i aexa CD. 7. ESTIMAREA STĂRII PROCESULUI DE TRATARE A APELOR UZATE FOLOSIND OBSERVER ÎN REGIM ALUNECĂTOR (SLIDING-MODE) 7. Aspece eoreice ale corolului î regim aluecăor Coducerea sisemelor cu srucură variabilă cosă î aplicarea uor comezi de îală frecveţă, sisemul î circui îchis obţiu fucţioâd î regim aluecăor. Scopul legii de coducere ese de a dirija raiecoriile de sare ale sisemului codus căre o suprafaţă prespecificaă şi de a meţie pe aceasa raiecoriile de sare. Aceasă suprafaţă se umeşe suprafaţă de comuaţie. Dacă î mod ideal raiecoriile de sare odaă ajuse pe suprafaţă u o mai părăsesc şi aluecă de-a lugul ei, aceasă suprafaţă se umeşe suprafaţă de aluecare. Diamicile sisemului resricţioae la aceasă suprafaţă repreziă de fap comporarea sisemului codus. Proiecarea legii de coducere î regim aluecăor se face î două eape (Selişeau, ): î prima eapă se proiecează suprafaţa de comuaţie, asfel îcâ diamica sisemului pe suprafaţă să aibă comporarea doriă (sabiliae, urmărire ec.), iar î cea de a doua eapă se proiecează o comadă care coduce sisemul spre suprafaţa de comuaţie şi îl meţie pe aceasă suprafaţă. Fie î coiuare clasa de siseme eliiare descrise de ecuaţia: x () = f x, + g( xux,) (,) (88) ude x() ese vecorul de sare -dimesioal, u ese comada m -dimesioală şi fucţiile f şi g su presupuse coiue cu derivaele î rapor cu x coiue şi mărgiie. Sisemului (88) i se asociază o suprafaţă de comuaţie m dimesioală: {( x, ) / σ ( x, ) } S = = (89) 54

18 ude: [ ] σ( x, ) = σ ( x, ) σ ( x, )... σ ( x, ) = (9) m T Dacă fucţiile σ i, i=,..., m u depid de imp, auci suprafaţa m dimesioală ese deermiaă î spaţiul sărilor ca iersecţia celor m suprafeţe σ i ( x, ) =. Suprafeţele su proiecae asfel îcâ raiecoriile de sare resricţioae la σ ( x, ) = să aibă o comporare doriă. După alegerea suprafeţei de comuaţie, regulaorul ese proieca de forma: + ui ( x, ), peru σ i( x, ) > ui ( x, ) = ui ( x, ), peru σ i( x, ) < (9) ude ui ( x, ) ese o compoeă a vecorului comezilor ux (, ) = u( x, ) u( x, )... u ( x, ) T. [ ] m Comada ux (, ) u ese defiiă pe suprafaţa de comuaţie, iar î afara aceseia valorile u + i, u i su alese asfel îcâ vecorii ageelor la raiecoriile de sare să fie îdrepaţi spre suprafaţa de comuaţie, asfel îcâ sările sisemului să fie coduse şi meţiue pe aceasă suprafaţă. Regimuri aluecăoare Comada ux (, ) ese proiecaă asfel îcâ raiecoriile de sare să fie arase de suprafaţa de comuaţie şi să rămâă pe aceasa. Pri urmare se poae cosidera că raiecoriile de sare aluecă pe suprafaţă şi că sisemul ese î regim aluecăor. Dacă exisă u regim aluecăor auci S se umeşe suprafaţă aluecăoare. U regim aluecăor ideal exisă auci câd raiecoriile de sare ale sisemului codus saisfac codiţia σ ( x, ) = peru >, ude repreziă momeul de imp la care raiecoriile de sare iersecează peru prima daă suprafaţa de aluecare. Teoreic, aces regim ideal ecesiă o comuare cu o frecveţă ifiiă. Î cazurile reale, di cauza îârzierilor, hiserezisurilor ec., comuarea se realizează cu o frecveţă fiiă. Î acese codiţii sarea oscilează îr-o veciăae a suprafeţei de comuaţie, oscilaţiile obţiue purâd deumirea de chaerrig. Î Figura 6 su ilusrae feomeele de aluecare şi chaerig peru u regim aluecăor obţiu î cazul uei probleme de urmărire x = x. Plecâd de la orice codiţie iiţială, raiecoriile de sare aig suprafaţa îr-u imp fii şi apoi aluecă de-a lugul suprafeţei spre x. y chaerig ( x, ) x () y σ = Figura 6: feomeele de aluecare şi chaerig peru u regim aluecăor obţiu î cazul uei probleme de urmărire x = x 55

19 Codiţii de exiseţă a regimurilor aluecăoare Exiseţa regimului aluecăor ecesiă sabiliaea raiecoriilor de sare pe suprafaţa de comuaţie σ ( x, ) =. Aceasă sabiliae presupue ca după u imp fii, sarea sisemului x() să fie îr-o veciăae a suprafeţei S { x ()/ σ ( x,) < ε}, peru ε >. Di puc de vedere al reprezeării geomerice a mişcării, su de ieres raiecoriile di veciăaea iersecţiei suprafeţelor de discoiuiae σ i, asfel îcâ la o mică deviaţie de la aceasă iersecţie, vecorul de sare să reviă la iersecţie. Defiiţia 3: (Uki, 978) Î spaţiul -dimesioal al sisemului (88), u domeiu Γ, m dimesioal, care aparţie iersecţiei suprafeţelor discoiue defiie î (89)-(9), se umeşe domeiu de regim aluecăor dacă peru ε >, δ > asfel îcâ oricare raiecorie iiţiaă îr-o veciăae - δ -dimesioală a lui Γ poae părăsi veciăaea - ε -dimesioală a lui Γ doar pri veciăaea - ε -dimesioală a margiilor lui Γ. Defiiţia 3 izolează de fap u domeiu geeral variabil î imp al coordoaelor sisemului asfel îcâ peru proiecţia îregii mişcări î subspaţiul m dimesioal σ,..., σ m origiea ese u puc de echilibru sabil î mic [Sel]. Daoriă fapului că sabiliaea regimului aluecăor poae fi rascrisă î ermeii clasici ai sabiliăţii sisemelor eliiare poae fi formulaă o eoremă de sabiliae de ip Lyapuov peru deermiarea domeiului de regim aluecăor. Teorema 3: (Uki, 978) Peru ca domeiul m dimesioal Γ să fie u domeiu de regim aluecăor ese suficie ca îr-u domeiu oarecare dimesioal Ω Γ să exise o fucţie Vxσ (,, ), coiuu difereţiabilă î rapor cu oae argumeele sale şi care saisface codiţiile: ) Vxσ (,, ) ese poziiv defiiă î rapor cu σ, adică peru şi x arbirare, Vxσ (,, ) > auci câd σ şi Vx (,,) = ; pe sfera σ ρ >, peru oţi x Ω şi relaţiile urmăoare su saisfăcue: if Vx (,, σ ) = h, h > σ = ρ sup Vx (,, σ ) = H, H > σ = ρ ρ ρ ρ ρ ude h ρ şi H ρ depid doar de ρ cu h ρ auci câd ρ. ) Derivaa î rapor cu impul a fucţiei Vxσ (,, ) de-a lugul raiecoriilor sisemului (88) are supremum egaiv peru oţi x Ω excepâd pe cei de pe suprafaţa de comuare ude comada u ese defiiă şi ude derivaa fucţiei Vxσ (,, ) u exisă. Srucuri de coducere î regim aluecăor Î cea de-a doua eapă a proiecării uui sisem de coducere î regim aluecăor, peru deermiarea legii de comadă asfel îcâ raiecoriile de sare să fie coduse spre suprafaţa de aluecare şi să rămâă acolo, ese de regulă uilizaă o abordare de ip Lyapuov. Peru sisemul eliiar descris de ecuaţia (88) se poae uiliza o fucţie Lyapuov păraică de forma: Vx (,, σ) = σ T ( x,) P σ( x,) (9) ude P ese o marice simerică poziiv defiiă. Teorema 4: (Uki, 978) O codiţie suficieă peru ca suprafaţa de comuaţie (89) să fie global aracivă ese ca legea de comadă ux (, ) să fie aleasă asfel îcâ derivaa î rapor cu impul a fucţiei Lyapuov V <, adică Vxσ (,, ) să fie egaiv defiiă. Porid de la Teorema 4, se po preciza câeva srucuri de coducere î regim 56

20 aluecăor: lege de comadă de ip releu cu amplificare cosaă, lege de comadă de ip releu cu amplificare depedeă de sare, lege de coducere cu reacţie liiară coiuă după sare ec. Meoda coducerii echivalee Fie sisemul eliiar (88) rescris sub forma geerală: x () = f x, + g( xux,) (,) = f xu,, (93) si presupuem că exisă u regim aluecăor pe o suprafaţă de ip (9): [ ] σ( x, ) = σ ( x, ) σ ( x, )... σ ( x, ) = (94) m T Se poae auci defii o comadă coiuă, asfel îcâ peru cazul uei poziţii iiţiale a vecorului de sare pe aceasă suprafaţă, derivaa î rapor cu impul a lui σ ( x) de-a lugul raiecoriilor de sare ale sisemului (93) ese ulă: σ = σ f x,, u = (95) ude σ ese gradieul fucţiei σ, adică o marice m dimesioală care are drep liii gradieţii fucţiilor σ i, i=,..., m. Se presupue că exisă o soluţie a ecuaţiei (95) î rapor cu comada. Aceasă soluţie, deumiă comadă echivaleă uech ( x, ), se uilizează î locul comezii u î (93) (Selişeau, ): x () = f xu,, ( x,) (96) ech σ ( ) =, daoriă codiţiei (95), va deermia rămâerea pe raiecoriile di σ ( x) =. Aceasă procedură de deermiare a comezii de umeşe meoda de coducere echivaleă, iar ecuaţia (96) obţiuă ca urmare a aplicării acesei meode poae fi priviă ca o ecuaţie de regim aluecăor care descrie mişcarea î iersecţia suprafeţelor discoiue σ i ( x) =. Meoda coducerii echivalee implică îlocuirea comezii discoiue de ip (9) cu o comadă echivaleă, care direcţioează ageele vecorului de sare spre iersecţia suprafeţelor de discoiuiae. Dacă sisemul eliiar de forma (88) ese liiar î rapor cu comada, comada echivaleă geerală descrisă de (95) poae fi rescrisă: Se observă că o mişcare iiţiaă î ( x ) σ = σ f( x, ) + σ g( x, ) u= (97) Dacă se presupue că maricea m m dimesioală σ g( x, ) ese esigulară peru oţi x şi, se poae calcula di (95) comada echivaleă: [ σ ] u (, ) (, ) (, ) ech x = g x σ f x (98) Pri îlocuirea acesei comezi î (88) se obţie diamica echivaleă a sisemului pe suprafaţa de aluecare: [ σ ] x () = f x, g(,) x g(,) x σ f (,) x (99) Observaţie: Poae fi formulaă o ierpreare fizică a acesei comezi echivalee (Uki, 978). O comadă aluecăoare reală iclude o compoeă leă la care se adaugă o compoeă rapidă. Comporarea procesului codus privi ca obiec diamic ese deermiaă de compoea leă, răspusul procesului la compoea rapidă fiid eglijabil. Meoda coducerii echivalee cere îlocuirea comezii reale cu o fucţie coiuă u ech care 57

21 u coţie compoee rapide. Comada echivaleă se obţie pri uilizarea uui filru rece jos, a cărui cosaă de imp ese suficie de mică peru a permie recerea compoeei lee (care ese de fap comada echivaleă), dar suficie de mare peru a elimia compoea de îală frecveţă. 7. Esimaor eliiar de sare î regim aluecăor Fie sisemul eliiar descris de ecuaţiile: x = f( x) + B( x) u () y = hx () m p ude x, u, y. Observer î regim aluecăor peru siseme eliiare fără irări Se cosideră mai îâi cazul uui sisem fără irări ( Bx = ) şi cu o sigură ieşire ( p = ). Peru aces sisem se iroduc urmăoarele oaţii: H( x) = [ h( x), h ( x),..., h ( x)] T () ude: h( x) = h( x) (3) h i x hi ( x) = f ( x) (4) x cu i=,...,. Se observă că h i+ x ese derivaa Lie de ordiul i a fucţiei hx de-a lugul raiecoriilor sisemului: h x i i Lf h( x) = (5) Se fac urmăoarele presupueri asupra fucţiilor f ( x ) şi hx : ) Fucţiile f ( x ) şi hx su coiue, derivaele parţiale iroduse aerior exisă şi su coiue; ) Peru u domeiu da X al codiţiilor iiţiale ale sisemului (), ce se presupue a fi mărgii, oae soluţiile sisemului () aparţi domeiului X, peru oţi <. Se cosideră că Jacobiaul lui H( x ) ese esigular î X : H( x) de δ (6) x peru u δ > şi orice x X. Peru sisemul eliiar descris de ecuaţiile () şi (), se poae cosrui urmăorul observer î regim aluecăor (Drakuov, 99): H( x) x ˆ() = M( xˆ)sg ( V() H( xˆ) ) x (7) ude: V = [ v( ), v( ),..., v( )] T (8) 58

22 v () = y () (9) ( ˆ ( ˆ )) v ( ) = m ( x)sg v ( ) h ( x( )), i=,..., () i i i i ech şi M ese o marice diagoală dimesioală avâd elemeele poziive: M ( xˆ) = diag m ( xˆ),..., m ( xˆ) () Teorema 5: (Drakuov şi Ozguer, 99) Cosiderâd presupuerile şi saisfăcue auci peru orice > exisă o marice diagoală M ( x ˆ) asfel îcâ observerul să fie coverge peru >. Di limiarea codiţiilor iiţiale la regiuea X rezulă că oae soluţiile x() ce poresc di X su uiform mărgiie î orice ierval de imp fii [, T ]. Presupuerea implică fapul că exisă o corespodeţă uivocă di domeiul X î domeiul H( x ), adică rasformarea H ese o ijecţie. Î acese codiţii ese suficie a se demosra că eroarea modificaă e = H( x ) H( x ˆ) coverge la zero îr-u imp fii. Luâd î cosiderare ecuaţiile (), () şi (7) se obţie: dh ( x( )) dh ( xˆ( )) dh ( x( )) H ( xˆ( )) dh ( x( )) e () = = x ˆ = d d d x d H( xˆ ( )) H( x) dh( x( )) M ( xˆ)sg V( ) H( xˆ) M( xˆ)sg V( ) H( xˆ) x x d Ţiâd co de (4) şi () rezulă că: ( ) = ( ) () e ˆ ˆ i = hi+ ( x( )) mi( x)sg vi( ) hi( x( )), i=,..., (3) e Dacă se alege o fucţie Lyapuov de forma V = şi ţiâd co că v() = h() auci avem: V = e ˆ ( h( x) m( x)sg( e)) (4) Dacă h ( x) m ( xˆ ) auci V < şi apare regimul aluecăor. Pe duraa regimului aluecăor e ( ) = h ( x) h ( xˆ ) =. Î acord cu meoda coducerii echivalee e () =, ceea ce implică: h( x( )) = ( m ˆ ( x)sg ( v ˆ ( ) h( x( )) )), sau coform cu (): v ech () = h (). Dacă se alege e e fucţia Lyapuov de forma V = + se obţie că: V = e ( h ˆ ˆ ( x) m( x)sg( e)) + e ( h3( x) m( x)sg( e)) (5) Cum e = şi dacă h ˆ 3( x) m( x) auci V < şi apare regimul aluecăor, ceea ce implică e( ) = h ˆ ( x) h( x) =. Î maieră similară se demosrează apariţia regimului aluecăor peru oae compoeele erorii de observare, ceea ce implică: e () =. Codiţia ca regimul aluecăor să apară î ecuaţia (3), peru fiecare di compoeele erorii de observare ese ca: ˆ i h ( x ) m ( x ) (6) cu i=,...,. i Î acese codiţii pri alegerea corespuzăoare a lui M se poae obţie covergeţa 59

23 observerului î mome de imp fii < T. Observer î regim aluecăor peru siseme eliiare cu irări Dacă Bx observerul descris pri ecuaţia (7) poae fi modifica, fără afecarea proprieăţilor de covergeţă (Drakuov şi Ozguer, 99): H( x) xˆ () = M( xˆ)sg ( V() H( xˆ) ) + B( xˆ) u (7) x cu codiţia ca urmăoarea ecuaţie să fie saisfăcuă: H( x) Bx = x x (8) Touşi majoriaea sisemelor, prire care şi procesul de raarea a apelor uzae cu ămol aciv, u saisfac codiţia (8). Î acese codiţii, î coiuare va fi prezeaă o meodă de proiecare a uui observer î regim aluecăor peru cazul geeral al proceselor eliiare. Observer î regim aluecăor peru siseme eliiare Fie sisemul eliiar î forma: x x + g( x, u) x x3 + g( x, x, u) = x x + g ( x,, x, u) x f( x) ++ g( x, u) peru care se cosideră ca fiid măsurabilă x : (9) y = x () şi gi (, u = ) = peru orice i=,...,. Peru sisemul eliiar descris de ecuaţia (), avâd la bază rezulaele obţiue î (Drakuov, 99), (Barbo ş.a., ) propue urmăorul observer î regim aluecăor. xˆ xˆ + g( x, u) + λsg( x xˆ) xˆ xˆ3 + g( x, x, u) + λsg( x ˆ x) = () xˆ xˆ (,,,, ) sg( ˆ ) g x x x u λ x x + + ˆ f (,,, ) (,,,, ) sg( ˆ x x x x + g x x x u + λ x x) ude: ( ˆ ) ( ˆ ) x = xˆ + λsg x x x 3 = xˆ3 + λsg x x x = xˆ + sg x xˆ λ ude fucţia sg ese filraă cu u filru rece jos, aplicâdu-se asfel o comadă echivaleă. 6

24 Teorema 6: (Barbo ş.a., ) Cosiderâd sisemul MIMS (Mărgii Irare Mărgii Sare) î imp fii descris de ecuaţia (9) şi observerul î regim aluecăor (), peru orice sare iiţială şi orice irare mărgiiă, auci exisă o alegere a lui λ i asfel îcâ sarea observerului ˆx ese covergeă î imp fii căre x. Demosraţia Teoremei 6 ese similară cu cea a Teoremei 5 şi coduce la urmăoarea codiţie asupra paramerilor observerului: λ,,..., i > ei i= () max λ > (3) 7.3 Trasformări eliiare de coordoae Majoriaea sisemelor eliiare su descrise î urmăoarea formă: x = f( x) + g( x) u (4) y= h( x) (5) Sisemul eliiar (4) poae fi rasforma şi adus la forma (9) prir-o rasformare eliiară de coordoae. Defiiţia 4: Fie o schimbare de variabile descrisă de relaţia: z =Φ ( x) (6) ude Φ ( x) ese o ( x) φ ( x) φ ( x) φ x Φ = - fucţie de variabile: care are urmăoarele proprieăţi: ) Φ ( x) ese iversibilă, adică exisă fucţia ) Φ ( x) şi Φ ( x) asfel îcâ: (7) Φ Φ ( x) = x, x (8) Φ ( x) su aplicaţii eede, adică cu derivaele parţiale coiue de orice ordi. Auci (6) ese o rasformare care se umeşe diffeomorfism. Dacă proprieăţile şi su îdepliie î îreg spaţiul, auci diffeomorfismul ese global. Sisemul (4) poae fi adus la forma (9) pri iermediul urmăoarei rasformări de coordoae: hx Lhx f Φ ( x) = Lf h( x) cu codiţia ca rasformarea Φ ( x) să fie u diffeomorfism global. (9) 6

25 Defiiţia 5: Se spue că sisemul (4)-(5) are gradul relaiv δ îr-u puc x dacă: k ) LLhx g f =, xdir-o veciaae a lui x si k< δ δ ) LL hx g f Sisemul eliiar descris de ecuaţiile (4)-(5), avâd gradul relaiv la urmăoarea formă, ideică cu forma ormală (9): z i = zi+, i=,, δ j z = z + L L h Φ ( z) u, j = δ,, ( ) ( ) j j+ g f z = L h Φ z + L L h Φ z u f g f δ poae fi adus (3) 7.4 Esimarea sării procesului de raare a apelor uzae cu ămol aciv Fie procesul de raare a apelor uzae cu ămol aciv descris de ecuaţiile (3)-(7). Peru aces sisem eliiar se cosideră că ese măsurabil subsraul orgaic (S), doridu-se esimarea îregului vecor de sare. Modelul procesului poae fi pus î forma (4)-(5) făcâd urmăoarele oaţii: μ X μ X Y f( x) = Kμ X + αw( DOmax DO) Y (3) ( + rx ) + rxr ( + rs ) + S i gx = ( + rdo ) + DOi ( + rx ) ( β + rx ) r hx (3) = S (33) Peru a cosruirea uui observer î regim aluecăor peru aces proces, acesa rebuie mai îâi adus la forma ormală (9). Asfel se cosruieşe rasformarea de coordoaă Φ ( x), daă de (9). Cum f ( x ) şi hx u coţi ermei î X r, aceasa implică fapul că rasformarea Φ ( x) u coţie ermei î X r. Î acese codiţii Jaccobiaul rasformării va avea forma: dh( x) dlf h( x) * * * d( Φ ( x) ) = = * * * dlf h( x) * * * deci d( x ) (34) de Φ =, ceea ce implică fapul că Jaccobiaul rasformării u ese esigular, deci rasformarea propusă u ese u diffeomorfism. Î acese codiţii, a fos defii u model simplifica al procesului de raare a apelor uzae cu ămol aciv, model care să permiă cosruirea uui observer de sare î regim aluecăor. Noul model se obţie pe baza urmăoarelor simplificări: oxigeul dizolva se cosideră ca avâd o diamică mul mai rapidă faţă de evoluţia celorlale variabile de sare, şi deci va avea o valoare cosaă şi 6

26 biomasa recirculaă ese proporţioală cu biomasa ( X r = X ( + r) /( β + r) ). Ambele simplificări su plauzibile di puc de vedere pracic, simplificări asemăăoare fiid uzuale î lieraura de specialiae (Kaebi, ), (Georgieva şi Ilchma, ). Modelul simplifica ese descris de urmăoarele ecuaţii de sare: r X + = μ() X () D() β X() β + r (35) f () S μ = X() D()( + r) S() + D() Si (36) Y μ() = μ max S () K + S() s Modelul procesului poae fi pus î forma (4)-(5) făcâd urmăoarele oaţii: μ X f( x) = μ X Y + r β X gx = β + r ( + rs ) + Si hx (37) (38) (39) = S (4) Derivaele Lie oae Lhx = hx = S i L h( x), i=,,3 ale modelului simplifica su: f hx μ X Lhx f = f( x) = x Y Lhx f μ X μ X KS Lhx f = f( x) = + x Y Y S( KS + S) ceea ce coduce la urmăoarea rasformare de sare: S hx Φ ( x) = = μ X Lhx f Y Jaccobiaul rasformării (4) ese: hx hx X S d( Φ ( x) ) = = μ μks X Lhx f Lhx f Y YS( KS + S) X S (4) (4) μmaxs şi are deermiaul de ( d( Φ ( x) )) =, peru oae siuaţiile îâlie î pracică Y( KS + S) ( μmax îodeaua, iar S = ar presupue lipsa subsraului orgaic, apa ar fi pură). Deci Jaccobiaul rasformării (4) ese esigular, ceea ce implică fapul că rasformarea ese u diffeomorfism global. Derivaa Lie, oaă LLhx, a modelului simplifica ese: hx LLhx = Lhx = gx = ( + rs ) + S x g f g i g f 63

27 Cum Si S şi ţiâd co de valoarea paramerului r, rezulă că î pracică LLhx g f, ceea ce implică fapul că modelul simplifica are gradul relaiv : δ =. Ţiâd co de (3), (4) şi de valorile derivaelor Lie obţiue aerior, auci rezulă că sisemul rasforma ese descris de urmăoarele ecuaţii: ( ) z = z + D S + r z (43) i μmax zz Kz S + r Kz S z = + + D zβ + ( Si ( + r) z) (44) KS + z ( KS + z) z β + r ( KS + z) z peru care se cosideră măsurabil z. Trasformaa iversă a sisemului (43)-(44), ce coduce la sisemul (35)-(36) ese daă de ecuaţia: S x=φ ( x) = Y( KS z) z + (45) μmax z Peru sisemul rasforma, descris de ecuaţiile (43) şi (44), se cosruieşe urmăorul observer î regim aluecăor: zˆ = zˆ + D S + r z + z zˆ (46) ( ) λ sg i max zz KSz r KSz z μ + ˆ = + + D zβ + ( S ) sg ( ˆ i + r z + λ z z) (47) KS + z ( KS + z) z β + r ( KS + z) z cu: z = zˆ + λ sg ( z zˆ ) şi î care s-au cosidera urmăoarele valori peru paramerii λ : λ =.5 şi λ = (Barbu şi Carama, 6). Coceraie subsra [mg/l] Coceraie biomasa [mg/l] Timp [h] Figura 7: Esimarea sării procesului de raare a apelor uzae cu ămol aciv simplifica (liie coiuă: variabile proces, liie îrerupă: esimaţiile acesora) Rezulaele obţiue cu observerul î regim aluecăor proieca aerior su prezeae î Figura 7. Di figură se observă o covergeţă rapidă a mărimilor esimae căre valorile 64

28 obţiue di proces. De asemeea, di figură se poae efecul chaerigului asupra esimaţiei variabilei biomasă. Î acese codiţii, fucţia sem (sg) va fi îlocuiă cu fucţia de comuaţie eedă ageă hiperbolică (ah) (Barbu şi Carama, 7). Rezulaele obţiue, prezeae î Figura 8, jusifică alegerea făcuă privid fucţia de comuaţie. Î fial observerul propus a fos esa di puc de vedere al comporării î prezeţa zgomoului de măsură, ce afecează măsurăorile de subsra orgaic, rezulaele obţiue fiid prezeae î Figura 9. Di figură se observă că esimaorul propus u reuşeşe decâ îr-o mică măsură să elimie zgomoul de măsură, iflueţa zgomoului asupra mărimii esimae biomasă fiid desul de imporaă. Programele de simulare (Model5.m şi Fuc5.m) se găsesc i aexa CD. Coceraie subsra [mg/l] Coceraie biomasa [mg/l] Timp [h] Figura 8: Esimarea sării procesului de raare a apelor uzae simplifica î cazul uilizării fucţiei ah (liie coiuă: variabile proces, liie îrerupă: esimaţiile acesora) Coceraie subsra [mg/l] Coceraie biomasa [mg/l] Timp [h] Figura 9: Comporarea observerului î regim aluecăor î prezeţa zgomoului de măsură (liie coiuă: variabile proces, liie îrerupă: esimaţiile acesora) 65

29 Cocluzii privid esimaoarele H si slidig-mode Rezulaele obţiue î urma simulărilor efecuae peru cele două srucuri de esimare propuse, filrul H exis şi observerul î regim aluecăor, coduc la urmăoarele cocluzii: - ambele meode oferă impi bui de covergeţă, cu u plus peru observerul î regim aluecăor peru care impul de covergeţă poae fi impus pri alegerea paramerilor de proiecare; - observerul î regim aluecăor oferă rezulae mai bue î ceea ce priveşe robuseţea la iceriudii paramerice, î imp ce filrul H exis oferă rezulae mai bue î ceea ce priveşe comporarea î prezeţă zgomoului; Bibliografie. (Barbo, ş.a., ) Barbo, J.P., Djemai, M. Ad Boukhobza, T., Slidig Mode Observers, i Slidig Mode Corol i Egieerig, Ediors: W. Perruquei ad J.P. Barbo, Marcel Dekker Ic.. (Barbu şi Carama, 6) Barbu, M., Carama, Sae Esimaio of a Wasewaer Treame Process Usig a Slidig-Mode Observer, Scieific Bullei of Poliehica Uiversiy of Timisoara, Trasacios o Auomaic Corol ad Compuer Sciece, Vol. 5 (65), ISSN 4-6X. 3. (Barbu, 6) Barbu, M., Coribuţii privid coducerea auomaă avasaă a proceselor bioehologice, Teză de docora, Uiversiaea Duărea de Jos di Galaţi. 4. (Barbu, ş.a., 7) Barbu, M., Carama, S., Desig of a slidig-mode observer for a bioehological process, IFAC h Compuer Applicaios i Bioechology, Cacu, Mexic. 5. (Carama şi Barbu, 5) Carama, S., Barbu, M., Modelarea si coducerea proceselor bioehologice. Lucrari pracice. Volumul : Modelarea si esimarea sarii si paramerilor proceselor bioehologice, Ediura Fudaiei Uiversiaii Duarea de Jos di Galai. 6. (Drakuov, 99) Drakuov, S., Slidig Mode Observers Based o Equivale Corol Mehod, Proceedigs of he 3s IEEE Coferece o Decisio ad Corol (CDC), Tucso, Arizoa, pp (Drakuov şi Ozguer, 99) Drakuov, S. ad Ozguer, U., Desceralized Slidig Observers for Iercoeced Noliear Sysems, IEEE Ieraioal Workshop o Variable Srucure ad Lyapuov Corol of Ucerai Dyamical Sysems, Sheffield, Eglad. 8. (Kaebi, ) Kaebi, M.R., H esimaio i Acivaed Sludge Process, Prepris of he 9 h IFAC/IFORS/IMACS/IFIP Symposium Large Scale Sysems: Theory & Applicaios LSS, Buchares, Romaia, pp , July (Korad ş.a., 999) Korad, R., Soema, F. ad Ubehaue, R., Noliear Sae Observaio Usig Hif Filerig Riccai Desig, I: IEEE Trasacios o Auomaic Corol, Vol. AC-44, No., pp (Gree şi Limebeer, 995) Gree, M., Limebeer, D., Liear Robus Corol, Preice Hall.. (Georgieva şi Ilchma, ) Georgieva, P. ad Ilchma, A., Adapive l-rackig corol of acivaed sludge processes, I: Ieraioal Jourl of Corol, Vol. 74, No.,

30 . (Lewis, 986) Lewis, F., Opimal Esimaio wih a Iroducio o Sochasic Corol Theory, Joh Wiley & Sos, Ic. 3. (Nagpal şi Khargoekar, 99) Nagpal, K.M. ad Khargoekar, P.P., Filerig ad smoohig i a Hif seig, I: IEEE Trasacios o Auomaic Corol, Vol. AC-36, No., pp (Nejjari ş.a., 999) Nejjari, F., e al., No-liear mulivariable adapive corol of a acivaed sludge wasewaer reame process, I: Ieraioal Joural of Adapive Corol ad Sigal Processig, Vol. 3, Issue 5, pp (Selişeau, ) Selişeau, D., Modelarea şi coducerea bioreacoarelor, Ediura Uiversiarea, Craiova. 6. (Toivoe, 998), Toivoe, H.T., Advaced Corol Mehods, Εbo Akademi Uiversiy, Filad. 7. (Uki, 978) Uki, V.I., Slidig regimes ad heir applicaios i variable srucure sysems, MIR Publishers, Moscow. 8. (Vidyasagar, 993) Vidyasagar, M., Noliear Sysems Aalysis, Preice Hall. 9. (Zhou şi Doyle, 998) Zhou, K., Doyle, J.C., Esseial of Robus Corol, Preice Hall. 67