SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE

Transcription

1 SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1

2 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5.

3 Cuprins T Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete 5.4 Distribuţia binomială 5.5 Distribuţia binomială negativă 5.6 Distribuţia geometrică 5.7 Distribuţia hipergeometrică 5.8 Distribuţia Poisson

4 5.1 Variabile aleatoare discrete (1) T5.4 Atunci când efectuăm un experiment, ne interesează evenimente pe care le cuantificăm prin valori numerice, adică realizăm experimentul şi înregistrăm valorile numerice ale uneia sau mai multor variabile statistice Dacă repetăm experimentul aleator de n ori, şi numărăm evenimentele apărute pentru o anumită variabilă statistică, obţinem o mulţime de date cantitative discrete, iar variabila statistică va fi o variabilă aleatoare.

5 5.1 Variabile aleatoare discrete () Definiţia 5.1: O variabilă aleatoare este o funcţie cu valori numerice, definită pe un spaţiu de eşantionare T5.5 En: random variable Dacă valorile variabilei sunt din mulţimea numerelor naturale N = {0, 1,,, n, } sau altă mulţime numărabilă, atunci variabila aleatoare va fi discretă

6 5.1 Variabile aleatoare discrete (3) Definiţia 5.: O variabilă aleatoare discretă este o variabilă aleatoare care ia valori într-o mulţime numărabilă T5.6 En: discrete random variable Numărul x de produse defective într-un eşantion de n produse, extras dintr-un lot de m produse (n m), în care x = 0,1,,...,n este un exemplu de variabilă aleatoare discretă

7 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (1) Deoarece valorile pe care le poate lua o variabilă aleatoare x sunt numerice, vom putea să calculăm probabilităţile acestora Definiţia 5.3: Distribuţia de probabilitate pentru o variabilă aleatoare discretă x este un tabel, un grafic sau o formulă care ne furnizează probabilitatea p(x) asociată fiecărei valori a lui x. T5.7 En: probability distribution

8 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete () Exemplul 5.1 Se consideră experimentul aruncării a două monede, înregistrându-se numărul de coroane C. Să se determine distribuţia de probabilitate a acestei variabile aleatoare discrete. Rezolvare: Notăm cu x apariţia coroanei sau a C pe o faţă a monedei. Aruncarea celor două monede va conduce la apariţia unui rezultat de forma R 1 R, unde R R B, C 1, Descrierea experimentului este redată în tabelul următor. T5.8

9 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (3) Evenimentul Descriere Probabilitatea simplu E i P(E i ) Numărul de C E 1 C 1 C 1/4 E C 1 B 1/4 1 E 3 B 1 C 1/4 1 E 4 B 1 B 1/4 0 x T5.9 Probabilitatea ca x să ia valoarea 0 este: P x 0 p0 PE Evenimentul x = 1 conţine pe E şi E 3. Avem P x p1 PE PE

10 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (4) Probabilitatea ca x să ia valoarea este: P x p PE Distribuţia de probabilitate p(x) este redată într-o formă tabelară în tabelul următor şi într-o formă grafică, printr-o histogramă, în Figura 5.1 x p(x) 0 1/4 1 1/ 1/4 T5.10

11 p(x) 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (5) 3/4 1/ 1/ x Figura 5.1 Distribuţia de probabilitate a variabilei aleatoare discrete din Exemplul 5.1 T5.11

12 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (6) T5.1 Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete x trebuie să satisfacă următoarele cerinţe: [1] Probabilitatea fiecărei valori a lui x trebuie să fie cuprinsă între 0 şi 1, adică 0 px1, x [] Suma probabilităţilor pentru toate valorile lui x trebuie să fie 1, adică: x p x 1

13 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (7) Exemplul 5. Se consideră experimentul aruncării unui zar, înregistrându-se valoarea numerică a feţei apărute. Să se determine distribuţia de probabilitate a acestei variabile aleatoare discrete. Rezolvare: Distribuţia de probabilitate p(x) este redată în tabelul următor şi în Figura 5. x p(x) x p(x) 1 1/6 4 1/6 1/6 5 1/6 3 1/6 6 1/6 T5.13 S x = 1

14 p(x) 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (8) 1/ x Figura 5. Distribuţia de probabilitate a variabilei aleatoare discrete din Exemplul 5. T5.14

15 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (7) Fie distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete x, x = 0,1,,...,m şi p(0), p(1),..., p(m) probabilităţile corespunzătoare. Atunci funcţia p(x) este: p x Prob x k, 0 k m şi se numeşte distribuţie de probabilitate sau funcţie de probabilitate de masă T5.15

16 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (8) Graficul distribuţiei de probabilitate discrete sau funcţiei de probabilitate de masă se obţine din reprezentarea valorilor x şi p(x). Reprezentarea grafică a distribuţiei de probabilitate sau funcţiei de probabilitate de masă sub forma unei histograme este redată în Figura 5.3. T5.16

17 p (x ) 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (8) x T5.17 Figura 5.3 Graficul distribuţiei de probabilitate pentru o variabilă aleatoare discretă

18 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (9) Funcţia F x Probx k px, 0 k m se numeşte distribuţie de probabilitate cumulativă sau funcţie de repartiţie Conform relaţiei de complementaritate: Prob k x0 x k1 Probx k1 px k i0 T5.18

19 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (10) Graficul distribuţiei de probabilitate cumulative discrete sau a funcţiei de repartiţie se obţine din reprezentarea valorilor x şi a valorilor cumulate ale p(x). Graficul distribuţiei de probabilitate cumulative sau funcţiei de repartiţie, reprezentat sub forma unui grafic în scară (discontinuu), este redat în Figura 5.4. T5.19

20 pcum(x) 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (11) x T5.0 Figura 5.4 Graficul distribuţiei de probabilitate cumulative pentru o variabilă aleatoare discretă

21 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (1) Exemplul 5.3 Pentru Exemplul 5., să se determine, cu ajutorul relaţiilor anterioare, probabilităţile: (a) Prob {x 3}; (b) Prob {x > 3}. Rezolvare: (a) Prob x 3 px 3 i1 p(1) p() p(3) T5.1 (b) Prob x 3 1 Probx

22 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete (13) Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete x furnizează un model pentru populaţia de valori a lui x şi pentru distribuţia frecvenţei relative a populaţiei descrisă de variabila aleatoare x Vom putea descrie atunci distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete x prin măsuri numerice, cum sunt media, dispersia sau abaterea standard T5.

23 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (1) Definiţia 5.4: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x). Valoarea medie (sau valoarea aşteptată) a lui x este, prin definiţie, x M x p( x) x T5.3 En: (Population) Expected value, Mean o Valoarea medie este de fapt media ponderată a valorilor lui x, ponderile fiind probabilităţile corespunzătoare

24 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete () Definiţia 5.5: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x). Dispersia (sau varianţa) lui x este, prin definiţie, sau M x D x x x p( x) D x x x p( x) T5.4 En: (Population) Variance

25 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (3) Definiţia 5.6: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x). Abaterea standard a lui x este, prin definiţie, rădăcina pătrată a dispersiei, adică x p( x) x En: (Population) Standard deviation T5.5

26 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (4) Exemplul 5.4 Să se determine (a) valoarea medie, (b) dispersia şi (c) abaterea standard a variabilei aleatoare discrete din Exemplul 5. Rezolvare: (a) Valoarea medie este: M x ,5 6 6 i1 x p( i x i 3 ) T5.6

27 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (5) T5.7 (a) Dispersia este: D 6 x x i1 1 3,5 3,5 3 3,5 4 3,5 5 3,5 6 3,5, (c) Abaterea standard rezultă: p( i x i,9166 1,71 )

28 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (5) Propoziţia 5.1: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x) şi fie c o constantă reală. Au loc următoarele proprietăţi ale valorii medii: 1. M c c. 3. M x c M x c M x M cx c T5.8

29 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (7) Propoziţia 5.: Fie x o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia de probabilitate p(x) şi fie c o constantă reală. Au loc următoarele proprietăţi ale dispersiei: c Dx c Dx D c D x D cx T5.9

30 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (8) Exemplul 5.5 Relaţia de calcul a profitului este: Profit = (p cv) V cf unde: V = vânzările dintr-un anumit produs (buc.) p = preţ de vânzare / unitatea de produs cv = cheltuieli variabile / unitatea de produs cf = cheltuieli fixe / perioadă Considerând p, cv şi cf constante, să se determine: (a) Valoarea medie a profitului; (b) Dispersia profitului. T5.30

31 5.3 Măsurile numerice ale unei variabile aleatoare discrete (9) Rezolvare: (a) Pentru valoarea medie avem: M ( p cv) V cf M ( p cv) V M cf ( p cv) M V (b) Pentru dispersie obţinem succesiv: D ( p cv) V cf D( p cv) V Dcf ( p cv) DV 0 0 T5.31

32 5.4 Distribuţia binomială (1) Multe experimente reale sunt analoge experimentului aruncării monedelor Sondajele opiniei publice sau ale preferinţelor consumatorilor, atunci când acestea sunt de tipul DA / NU, sunt similare experimentului aruncării unei monede Acest tip de experimente sunt particularizări ale variabilelor aleatoare binomiale T5.3

33 5.4 Distribuţia binomială () Caracteristici ce definesc o variabilă aleatoare binomială [1] Experimentul constă în n încercări identice [] Sunt posibile numai două rezultate ale fiecărei încercări: S succes F - insucces [3] Probabilitatea lui S este p şi rămâne aceeaşi la fiecare încercare. Probabilitatea lui F este q şi avem p + q = 1. T5.33

34 5.4 Distribuţia binomială (3) Caracteristici ce definesc o variabilă aleatoare binomială (continuare) [4] Încercările sunt independente [5] Variabila aleatoare binomială x este numărul de succese (S) în n încercări. Vom defini în continuare distribuţia de probabilitate binomială, precum şi media şi dispersia variabilei aleatoare binomiale T5.34

35 5.4 Distribuţia binomială (4) T5.35 Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare binomiale Distribuţia de probabilitatea pentru o variabilă aleatoare binomială x este unde: p x x x nx C p q, x 0,1,,..., n n p = probabilitatea de succes într-o singură încercare q = 1 p n = numărul de încercări x = numărul de succese S în n încercări

36 5.4 Distribuţia binomială (5) Media şi dispersia unei variabile aleatoare binomiale Media pentru o variabilă aleatoare binomială x este n Dispersia pentru o variabilă aleatoare binomială x este n p pq T5.36

37 5.4 Distribuţia binomială (6) T5.37 Exemplul 5.5 Testele pentru calitatea apei potabile într-un anumit judeţ, au pus în evidenţă faptul că 30% din sursele individuale conţin o anumită substanţă A, care nu este bună pentru consum. Dacă este ales în mod aleator de 5 surse din judeţul respectiv, care este probabilitatea ca: (a) Exact 3 surse să conţină substanţa A; (b) Cel puţin 3 surse să conţină substanţa A; (c) Mai puţin de 3 surse să conţină substanţa A. Rezolvare: Să confirmăm mai întâi că avem un experiment binomial. Experimentul constă în n = 5 încercări, fiecare corespunzătoare unei surse alese în mod aleator.

38 5.4 Distribuţia binomială (7) T5.38 Rezultatele fiecărei încercări (en: trial) constau dintrun succes S (sursa conţine substanţa A) sau dintrun insucces F (sursa nu conţine A). Deoarece numărul de surse de apă individuale este relativ mare, probabilitatea alegerii unei surse care conţine substanţa A o considerăm egală cu 0,3 pentru toate cele 5 surse selectate aleator. Eşantionarea fiind aleatoare, încercările sunt independente. Ne interesează numărul x de surse care conţin substanţa A, dintr-un eşantion de n = 5. Suntem deci în condiţiile unui experiment binomial, cu n = 5 şi p = 0,3, q = 1 0,3 = 0,7.

39 5.4 Distribuţia binomială (8) (a) Probabilitatea ca exact 3 surse să conţină substanţa A este: Prob 5! 3!! x 3 p3 C p q 0,3 0,7 0, (b) Probabilitatea ca cel puţin 3 surse să conţină substanţa A este: Prob C 3 5 x 3 p3 p4 p5 p 3 q 53 C 4 5 p 4 54 C ,1330 0,0835 0,0043 q p q 0,16308 T5.39

40 5.4 Distribuţia binomială (9) (c) Probabilitatea ca mai puţin de 3 surse să conţină substanţa A este: Prob C 0 5 Vom calcula această însă această probabilitate mai uşor cu ajutorul relaţiei de complementaritate: Prob x 3 Probx p0 p1 p p 0 q 50 C 1 5 p 1 q 51 C 5 p 5 x 3 1 Prob x 3 10, , 8369 q T5.40

41 5.4 Distribuţia binomială (10) Pentru calculul valorilor distribuţiei binomiale se poate folosi funcţia statistică din Excel BINOMDIST(x 0 ; n; p; 0/1) unde 0 sau FALSE se utilizează pentru calculul Prob{x = x 0 }, iar 1 sau TRUE pentru calculul sumei Prob{x x 0 }. Avem, pentru Exemplul 5.5: BINOMDIST(3; 5; 0,3; 0) = 0,133 BINOMDIST(; 5; 0,3; 1) = 0,8369 T5.41

42 5.4 Distribuţia binomială (11) Pentru calculul valorilor distribuţiei binomiale se pot folosi tabelele din manualele de statistică, care conţin valorile Prob x k px x0 Cu ajutorul lor putem calcula şi valorile: Prob x k1 Prob x k k T5.4 Prob x k Prob x k Prob x k 1

43 5.4 Distribuţia binomială (1) Exemplul 5.6 Să se determine probabilităţile din Exemplul 5.5, utilizând tabelul distribuţiei binomiale pentru n = 5 de mai jos. x 0,01 0,10 0,0 0,30 0,40 0, , , , p T5.43

44 5.4 Distribuţia binomială (13) T5.44 (a) Probabilitatea ca exact 3 surse să conţină substanţa A este: Prob x 3 Prob x 3 Prob x 0,969 0,8369 0,133 (b) Probabilitatea ca cel puţin 3 surse să conţină substanţa A este: Prob x 3 1 Prob x 3 1 Prob x 1 0,8369 0,1631 (b) Probabilitatea ca mai puţin 3 surse să conţină substanţa A este : Prob x 3 Prob x 0, 8369

45 5.4 Distribuţia binomială (14) Exemplul 5.7 (a) Să se determine media, dispersia şi abaterea standard pentru o variabilă aleatoare binomială cu n = 1 şi p = 0,6; (b) Să se construiască intervalul şi să se calculeze probabilitatea Prob x utilizând tabelul distribuţiei binomiale; (c) Să se reprezinte grafic distribuţia şi distribuţia cumulativă. ; T5.45

46 5.4 Distribuţia binomială (15) Rezolvare: Avem n = 1, p = 0,6 şi q = 1 0,6 = 0,4 (a) Media, dispersia şi abaterea standard sunt: n p 10,6 7, n pq 10,6 0,4,88 n pq,88 1,6971 T5.46 (b) Intervalul este: ; 7, 1,6971;7, 1,6971 3,806;10,594

47 5.4 Distribuţia binomială (16) Rezolvare: Probabilitatea este: Prob x Prob3,806 x 10,594 T5.47 Pentru a determina probabilitatea, utilizăm tabelul distribuţiei binomiale cumulate cu n = 1 şi p = 0,6 redat în continuare. Obţinem: Prob Prob Prob x 10,594 x 10,594 Probx 3,806 x 10 Probx 3 0,9804 0,0153 0, ,806

48 5.4 Distribuţia binomială (17) T5.48 p x

49 5.4 Distribuţia binomială (18) Pentru a reprezenta grafic distribuţia binomială, utilizăm tabelul alăturat, obţinut din tabelul anterior, în care p(x) = F(x+1) F(x) Graficele rezultate sunt redate în Figura 5.5 şi Figura 5.6 x p(x) F(x) T

50 5.4 Distribuţia binomială (19) Distribuţia binomială (n= 1; p=0,6) T5.50 Figura 5.5 Graficul distribuţiei de probabilitate binomiale (Exemplul 5.7)

51 5.4 Distribuţia binomială (0) Distribuţia binomială cumulativă (n= 1; p=0,6) T5.51 Figura 5.6 Graficul distribuţiei de probabilitate cumulative binomiale (Exemplul 5.7)

52 5.5 Distribuţia binomială negativă (1) Să considerăm o serie de încercări identice cu cele din experimentele binomiale şi fie x numărul de insuccese observate până la al r-lea succes. Distribuţia de probabilitate a acestei variabile aleatoare se numeşte distribuţie binomială negativă T5.5

53 5.5 Distribuţia binomială negativă () T5.53 Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare binomiale negative Distribuţia de probabilitatea pentru o variabilă aleatoare binomială negativă x este x r x p x C p q, x 0,1, 1 unde:,... xr p = probabilitatea de succes într-o singură încercare q = 1 p x = numărul de insuccese observate până la cel de-al r-lea succes

54 5.5 Distribuţia binomială negativă (3) Media şi dispersia unei variabile aleatoare binomiale negative Media pentru o variabilă aleatoare binomială negativă x este r q Dispersia pentru o variabilă aleatoare binomială negativă x este r q p p T5.54

55 5.5 Distribuţia binomială negativă (4) T5.55 O formă modificată a distribuţiei binomiale negative poate fi utilizată ca model pentru durata de apariţie a unui anumit eveniment (de exemplu, durata de aşteptare pentru efectuarea unui serviciu) Fiecare unitate de timp reprezintă o încercare în care apare un succes S sau insucces F. Dacă notăm cu w numărul de încercări până la observarea celui de-al r- lea succes, avem x de F, r de S şi w = x + r

56 5.5 Distribuţia binomială negativă (5) T5.56 Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare binomiale negative modificate Distribuţia de probabilitatea pentru o variabilă aleatoare binomială negativă modificată w este unde: p wr r wr x C p q, w r, r 1,... w1 p = probabilitatea de succes într-o singură încercare q = 1 p w = numărul de încercări observate până la cel de-al r-lea succes

57 5.5 Distribuţia binomială negativă (6) Media şi dispersia unei variabile aleatoare binomiale negative modificate Media pentru o variabilă aleatoare binomială negativă modificată w este Dispersia pentru o variabilă aleatoare binomială negativă modificată w este r p r q p T5.57

58 5.6 Distribuţia geometrică (1) Distribuţia de probabilitate negativă şi distribuţia lui w = x + r sunt funcţii de doi parametri, p şi r Pentru cazul r = 1 distribuţia de probabilitate a lui w se numeşte distribuţie de probabilitate geometrică T5.58

59 5.6 Distribuţia geometrică () T5.59 Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare geometrice Distribuţia de probabilitatea pentru o variabilă aleatoare geometrice w este unde: p = probabilitatea de succes într-o singură încercare q = 1 p p w x pq 1, w 1,,... w = numărul de încercări observate până la primul succes

60 5.6 Distribuţia geometrică (3) Media şi dispersia unei variabile aleatoare geometrice Media pentru o variabilă aleatoare geometrică w este 1 Dispersia pentru o variabilă aleatoare geometrică w este q p p T5.60

61 5.7 Distribuţia hipergeometrică (1) T5.61 Atunci când extragem un eşantion dintr-o populaţie finită, condiţiile unui experiment binomial sunt satisfăcute numai dacă rezultatul fiecărei încercări (succes S sau insucces F) este înregistrat şi apoi eşantionul reintrodus în populaţia respectivă, înainte de efectuarea următoarei încercări Această metodă de eşantionare se numeşte eşantionare cu reintroducere

62 5.7 Distribuţia hipergeometrică () Totuşi, în practică se utilizează adeseori şi metoda de eşantionare fără reintroducere, care constă în alegerea aleatoare a n elemente din cele N elemente ale populaţiei, fără a le reintroduce între elementele populaţiei respective. Distribuţia discretă care modelează acest tip de experiment se numeşte distribuţie de probabilitate hipergeometrică T5.6

63 5.7 Distribuţia hipergeometrică (3) Caracteristici ce definesc o variabilă aleatoare hipergeometrică [1] Experimentul constă în extragerea aleatoare a n elemente fără reintroducere dintr-o populaţie cu N elemente, din care r sunt succese (S) şi n r sunt insuccese (F) [] Variabila aleatoare hipergeometrică x este numărul de succese din cele n elemente extrase T5.63

64 5.7 Distribuţia hipergeometrică (4) Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare hipergeometrice Distribuţia de probabilitatea pentru o variabilă aleatoare hipergeometrică x este unde: p x C x r C nx Nr N = numărul total de elemente al populaţiei r = numărul de succese (S) în N elemente n = numărul de elemente extrase x = numărul de succese (S) în n elemente C n N T5.64

65 5.7 Distribuţia hipergeometrică (5) Media şi dispersia unei variabile aleatoare hipergeometrice Media pentru o variabilă aleatoare hipergeometrică x este nr Dispersia pentru o variabilă aleatoare hipergeometrică x este N r 1 N r n N n N N T5.65

66 5.8 Distribuţia Poisson (1) T5.66 Distribuţia Poisson (după numele matematicianului francez S. D. Poisson) oferă un model pentru frecvenţa relativă a numărului de evenimente rare care apar într-o unitate de timp, arie, volum etc. Distribuţia Poisson se utilizează mai ales în modelarea fenomenelor de aşteptare, denumite cozi sau şiruri de aşteptare ( aşteptarea la case de marcat, la un service auto, la urgenţă, la semafor etc.)

67 5.8 Distribuţia Poisson () T5.67 Caracteristici ce definesc o variabilă aleatoare Poisson [1] Experimentul constă în înregistrarea numărului x de apariţii ale unui eveniment într-o unitate dată de timp (de volum, de arie, de greutate, de distanţă sau orice altă unitate de măsură) [] Probabilitatea ca evenimentul să apară într-o unitate dată de timp (de volum, de arie etc.) este aceeaşi pentru toate unităţile

68 5.8 Distribuţia Poisson (3) Caracteristici ce definesc o variabilă aleatoare Poisson (continuare) [3] Numărul de evenimente care apar într-o unitate dată de timp (de volum, de arie etc.) este independent de numărul de evenimente care apar în celelalte unităţi T5.68

69 5.8 Distribuţia Poisson (4) Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare Poisson Distribuţia de probabilitatea pentru o variabilă aleatoare Poisson x este unde: p l = media numărului de evenimente într-o anumită perioadă de timp e =, x l x l e x!, x 0,1,,... T5.69

70 5.8 Distribuţia Poisson (5) Media şi dispersia unei variabile aleatoare Poisson Media pentru o variabilă aleatoare Poisson x este l Dispersia pentru o variabilă aleatoare Poisson x este l T5.70