Graduări pe algebre de matrice
|
|
- Rudolph Hunter
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu Doctorand: Mădălina Alexandra Bărăscu Bucureşti 2013
2 Motivaţia studiului Motivaţia studiului graduărilor pe algebre de matrice vine atât din matematică cât şi din fizică. În matematică, algebrele de matrice joacă un rol fundamental în teoria inelelor şi în teoria reprezentărilor, iar algebrele graduate sunt importante în teoria identităţilor polinomiale. Un exemplu ilustrativ în acest sens este celebra Specht problem rezolvată de Kemer în anii 1980, problemă care a necesitat studiul anumitor graduări. Definiţie: Fie A o K-algebră (K corp comutativ) şi G un grup (multiplicativ). O G-graduare pe A este o descompunere A = g G A g a lui A ca sumă directă de K-subspaţii vectoriale astfel încât A g A h A gh pentru orice g, h G. În acest caz spunem că A este o algebră G-graduată. Dacă în plus avem A g A h = A gh pentru orice g, h G, atunci A se numeşte algebră tare graduată. K-subspaţiile vectoriale A g din descompunerea de mai sus se numesc componente omogene, elementele unei componente omogene se numesc elemente omogene, iar g se numeşte gradul componentei omogene A g. Conceptul de graduare îşi are originea în algebra comutativă, unde o algebră de polinoame este în mod natural o algebră Z-graduată. De asemenea, oricărei filtrări a unei algebre i se asociază în mod natural o Z-algebră graduată. O altă sursă de exemple pentru teoria algebrelor graduate este teoria reprezentărilor de grupuri, unde algebra grupală K[G] (a cărei categorie de module este izomorfă cu categoria K-reprezentărilor grupului G) este o algebră G-graduată. Ideea de a descompune o structură în părţi omogene este fundamentală, conceptul apărând şi în geometria algebrică, fizica teoretică, teoria Galois, teoria alegebrelor Lie şi a algebrelor Hopf. De asemenea, teoria algebrelor graduate a permis prezentarea unui punct de vedere general asupra teoriei Clifford clasice care studiază legătura dintre reprezentările unui grup G şi cele ale unui subgrup normal al său H (vezi [31])). În lucrarea sa din 1937, în contextul în care K este corp, G grup şi H subgrup normal în G, Clifford tratează următoarele două probleme: Problema 1: Dacă M este un K[G]-modul simplu cu dim K M <, care este structura lui M H = M privit ca un K[H]-modul? Răspuns: M H este K[H]-modul semisimplu şi există o anumită relaţie între componentele izotipice ale lui K[H] M. Problema 2: Dacă N este un K[H]-modul simplu, să se caracterizeze K[G]-modulele simple M astfel încât N M ca K[H]-modul. Răspuns: Există o corespondenţă bijectivă între tipurile de izomorfism ale unor astfel de obiecte şi tipurile de izomorfism ale modulelor simple peste un anumit inel. Ţinând cont de izomorfismul dintre categoria K[G]-modulelor stângi şi categoria K-reprezentărilor grupului G, problemele de mai sus se pot formula în limbaj de reprezentări. Întrucât, pentru un subgrup normal H al grupului G şi e elementul neutru din G, obţinem o graduare pe A = K[G] după G în care componenta omogenă de grad ê este K[H] şi în plus A H este tare graduat, constatăm că teoria Clifford poate fi abordată şi în contextul inelelor graduate.
3 Astfel, fiind dat A = g G A g inel tare graduat, se studiază care este legătura dintre A e -modulele simple şi A-modulele simple, tratându-se practic următoarele două probleme: Problema 1: Pentru A inel tare graduat şi M un A-modul simplu, care este structura lui M ca A e -modul? Problema 2: Pentru A = g G A g inel tare graduat şi N un A e -modul simplu, să se caracterizeze A-modulele simple care conţin un A e -submodul izomorf cu N. În fizică, reprezentări matriceale ale operatorilor sunt folosite în teoria cuantică a câmpului, teoria relativităţii şi statistica cuantică. Un rezultat important în domeniul fizicii este elaborarea teoriei statistice a spinului în care formalismul statisticii cuantice este corelat cu proprietăţile spaţio-temporale ale particulelor elementare (spinul). Cele două tipuri de statistici cuantice (Bose- Einstein, respectiv Fermi-Dirac) pot să apară în mod natural într-o schemă algebrică largă ce include noţiunea de graduare pentru a compatibiliza diferiţi factori în relaţiile de definiţie. Conceptul de supersimetrie, introdus iniţial în fizica particulelor în anii 1970, pentru care au fost făcute verificări experimentale în fizica nucleară, a atras atenţia şi în alte ramuri ale fizicii precum fizica atomică şi fizica materiei condensate. Cadrul matematic folosit pentru a descrie supersimetria este cel al superalgebrelor: algebre Z 2 -graduate constând dintr- o parte 0 şi o parte 1 (conceptul mai general fiind cel de color algebras : algebre graduate după grupuri abeliene finite), fiecare având o anumită semnificaţie fizică. Practic graduările pe algebre de matrice sunt folosite, printre altele, pentru a deosebi tipurile de particule (bozoni-elementele pare-şi fermioni-elementele impare-: bozonii comută, fermionii anticomută). Pe de altă parte, clasificarea graduărilor pe o algebră dată reprezintă un subiect de interes în sine. Un exemplu în acest sens este problema propusă de E. Zelmanov privind clasificarea tuturor graduărilor posibile pe algebra de matrice M n (K) după un grup G (vezi [28]). În această problemă, o clasă specială de graduări este reprezentată de graduările bune. Definiţie: O graduare pe M n (K) se numeşte graduare bună dacă toate unităţile matriceale e i,j sunt elemente omogene, unde e i,j M n (K) are 1 pe poziţia (i, j) şi 0 în rest. Definiţie: O graduare pe M n (K) se numeşte graduare fină dacă dimensiunea oricărei componente omogene este cel mult 1. Până în prezent nu s-a dat un răspuns complet problemei lui E. Zelmanov, cunoscându-se doar rezultate parţiale: S-a dat un răspuns complet pentru problema lui Zelmanov pentru n {2, 3}, clasificându-se toate G-graduările pe M 2 (K) respectiv M 3 (K) pentru G grup arbitrar şi K corp arbitrar. S-a stabilit că pentru n = 2 orice astfel de graduare este fie izomorfă cu o graduare bună, fie se reduce la o graduare după C 2 sau C 2 C 2 (vezi [29]), iar pentru n = 3 orice astfel de graduare este fie izomorfă cu o graduare bună, fie se reduce la o C 3 -graduare sau la o C 3 C 3 -graduare (vezi [11]). S-a realizat o clasificare a G-graduărilor bune pe M n (K) (vezi [13]). S-au dat caracterizări pentru graduări care sunt izomorfe cu graduări bune: de exemplu, o graduare pe M n (K) este izomorfă cu o graduare bună dacă unul dintre e i,j -uri este element omogen 3
4 (vezi [16]); reciproca nu este valabilă întrucât există graduări izomorfe cu o graduare bună fără ca vreun element e i,j să fie omogen. S-au determinat graduările bune care au o structură de algebră tare-graduată, respectiv de produs încrucişat (vezi [16]). S-a determinat numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe M n (K) pentru G = Z n p cu p prim şi n natural (vezi [10]) şi pentru G = Z t cu t arbitrar (vezi [13]). S-a stabilit că dacă G = C m este un grup ciclic de ordin m şi K este un corp algebric închis, orice G-graduare pe M n (K) este izomorfă cu o graduare bună (vezi [13]). Acest rezultat, combinat cu clasificarea graduărilor bune pe algebra de matrice după grupuri ciclice, completează clasificarea tuturor C m -graduărilor pe M n (K) pentru K corp algebric închis. Au fost studiate graduările pe M n (K) după grupuri ciclice C m cu ipoteza suplimentară în care K conţine o rădăcină primitivă de ordin m a unităţii (i.e. char(k) m) (vezi [16] şi [12]), precum şi graduările după grupuri ciclice pe M n (K) pentru K corp arbitrar, folosind teoria coborârii (vezi [13]). S-au descris C 2 -graduările pe M 2 (K) folosindu-se metode diferite pentru cazurile char(k) = 2, respectiv char(k) 2 şi s-au caracterizat toate C 2 -graduările pe M 2 (K) izomorfe cu o graduare bună (vezi [16]). Un rezultat puternic în direcţia descrierii graduărilor pe algebre de matrice după grupuri nonciclice este dat de descrierea graduărilor pe M n (K) după un grup abelian în cazul în care K este corp algebric închis, o astfel de graduare descompunându-se ca produs tensorial între o graduare bună şi o graduare fină. (vezi [1]). Mai mult, dacă G este grup abelian finit şi K corp algebric închis de caracteristică zero, au fost descrise G-graduările pe algebra de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale peste corpul K ca produs tensorial dintre o graduare bună şi o graduare fină (vezi [38]). S-au descris graduările pe algebre de matrice superior triunghiulare peste un corp comutativ, după un grup arbitrar (vezi [37]). S-au descris graduările după grupuri arbitrare pe algebra diagonală K n cu K corp comutativ arbitrar (vezi [19]). Problema propusă de E. Zelmanov poate fi reformulată pentru semigrupuri: să se descrie şi să se clasifice graduările pe M n (K) după un semigrup S. În această direcţie, până în prezent au fost obţinute câteva rezultate: S-au descris toate graduările pe M 2 (K) după semigrupuri cu două elemente şi s-au determinat tipurile de izomorfism de astfel de graduări. S-au descris graduările pe algebra de matrice superior triunghiulare 2 2, după semigrupuri cu două elemente şi s-a determinat numărul tipurilor de izomorfism de astfel de graduări (vezi [17]). S-a dat o descriere completă a tuturor graduărilor bune pe M n (K) după un semigrup finit (vezi [18]). S-au obţinut rezultate cu privire la graduări pe inele după semigrupuri cu simplificare ([3]). 4
5 O extindere naturală a clasei algebrelor de matrice este dată de matricele superior triunghiulare cu blocuri diagonale care apar în studiul invarianţilor numerici ai aşa numitelor PI algebras. Astfel apare în mod firesc ideea de a generaliza anumite rezultate obţinute în cazul în care se lucrează cu o algebră de matrice. Contribuţii originale Problema de cercetare abordată în această lucrare are în vedere studiul graduărilor pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale, cu intrări dintr-un corp comutativ K, după un grup G, astfel încât toate unităţile matriceale care apar să fie elemente omogene. Am obţinut descrierea acestor graduări ca algebre de endomorfisme ale unor steaguri graduate, clasificarea lor ca orbite ale unei anumite biacţiuni pe mulţimea G n (unde n este dimensiunea algebrei de matrice) şi determinarea numărului tipurilor de izomorfism de G-graduări bune pe o algebră A de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale pentru anumite grupuri abeliene finite particulare. Anumiţi paşi făcuţi în aceste cazuri particulare pot fi făcuţi în principiu şi în cazul general al unui grup abelian finit arbitrar, însă în cazul general nu avem suficiente informaţii pentru a determina structura laticei subgrupurilor grupului de lucru şi nici chiar pentru a-i determina numărul total de subgrupuri în cazul în care rangul grupului este mai mare decât 3 (menţionăm faptul că a fost determinat numărul total de subgrupuri ale unui grup abelian finit de rang 2 respectiv 3; în acest sens a se vedea [36], [14], [23], respectiv [24] ), fapte ce au constituit un impediment în obţinerea unei descrieri combinatoriale a graduărilor bune pe A (şi în particular pe M n (K)) după un grup abelian finit arbitrar folosind această abordare. Am obţinut însă numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A (şi în particular pe M n (K)) în cazul p-grupurilor abeliene finite de ordin p 4 cu p prim, a grupurilor abeliene finite de indice prim şi a grupurilor ciclice finite, prin generalizarea tehnicilor din [10] respectiv [13], în contextul în care s-a lucrat cu matrice superior triunghiulare cu r > 1 blocuri diagonale. În plus am ilustrat o metodă pe baza căreia suntem în măsură să determinăm numărul tipurilor de izomorfism de Z p α Z p β-graduări bune pe A (pentru p prim şi α β numere naturale). Structura tezei Lucrarea cuprinde nouă capitole: Capitolul 1: Introducere Capitolul 2: Graduări pe algebre A de matrice superior triunghiulare cu r blocuri diagonale Capitolul 3: Tipurile de izomorfism de Z p 2 Z p 2-graduări bune pe A (p prim) Capitolul 4: Tipurile de izomorfism de Z p Z p 2, respectiv Z p Z p 3-graduări bune pe A (p prim) Capitolul 5: Tipurile de izomorfism de Z p 2 Z p Z p -graduări bune pe A (p prim) 5
6 Capitolul 6: Tipurile de izomorfism de Z l p-graduări bune pe A (p prim, l 2) Capitolul 7: Tipurile de izomorfism de Z t graduări bune pe A (t arbitrar) Capitolul 8: Clasificarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebre structurale de matrice cu blocuri complete Capitolul 9: Asupra tipurilor de izomorfism de Z p α Z p β-graduări bune pe A (p prim, α β numere naturale). În continuare dăm o scurtă prezentare a conţinutului fiecărui capitol. În Capitolul 1 am prezentat motivaţia care stă la baza studiului graduărilor pe algebre de matrice în general şi a graduărilor bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale în particular. De asemenea, am descris rezultatele parţiale cunoscute până în prezent pentru problema formulată de E. Zelmanov şi am reformulat această problemă pentru semigrupuri, enumerând câteva rezultate cunoscute în acest caz. În Capitolul 2 amintim prezentarea graduărilor bune pe o algebră de matrice atât dintr-un punct de vedere interior cât şi dintr-un punct de vedere exterior, în cel de-al doilea caz acestea fiind descrise ca graduări izomorfe cu algebre de endomorfisme ale unor spaţii vectoriale graduate şi apoi clasificate ca orbite ale unei anumite acţiuni. Am generalizat apoi aceste puncte de vedere la cazul algebrelor de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale de forma: A = M m1 (K) M m1,m 2 (K)... M m1,m r (K) 0 M m2 (K)... M m2,m r (K) M mr (K) M n(k) unde K este corp comutativ, r 1, m 1,..., m r 1, n = m m r şi m = (m 1,..., m r ). Definiţii şi rezultate preliminare: Fie G grup multiplicativ arbitrar. blocuri diagonale, ca mai sus. Fie A o K-algebră de matrice superior triunghiulare cu O G-graduare pe A este o descompunere A = g G A g ca sumă directă de K-subspaţii vectoriale astfel încât A g A h A gh pentru orice g, h G. K-spaţiile A g din descompunerea precedentă se numesc componente omogene, elementele unei componente omogene se numesc elemente omogene, iar g se numeşte gradul componentei omogene A g. O G-graduare bună pe A este o G-graduare pe A astfel încât toate unităţile matriceale e i,j (i.e. matricele care au 1 pe poziţia (i, j) şi 0 în rest) care apar în A sunt elemente omogene. Observăm că unităţile matriceale e i,j care apar în A sunt unităţi matriceale e i,j cu i I p, j I q 6
7 şi 1 p q r unde I 1 = {1,..., m 1 } I 2 = {m 1 + 1,..., m 1 + m 2 }... I r = {m m r 1 + 1,..., m m r = n} Punctul de vedere interior: Lema L: Considerăm o G-graduare bună pe A. Atunci: deg(e i,i ) = 1 oricare ar fi 1 i n, deg(e i,j ) = deg(e i,i+1 )deg(e i+1,i+2 )...deg(e j 1,j ) pentru 1 i < j n şi deg(e i,j ) = deg(e i 1,i ) 1 deg(e i 2,i 1 ) 1...deg(e j,j+1 ) 1 pentru elementele e i,j cu i > j care apar în A (unde prin deg(e i,j ) am notat gradul lui e i,j ). Observaţie: Importanţa lemei precedente este dată de faptul că ea ne spune că pentru a defini o G-graduare bună pe A este suficient să asociem nişte grade arbitrare elementelor e 1,2, e 2,3,..., e n 1,n, gradele celorlalte unităţi matriceale putând fi uşor calculate odată ce sunt cunoscute cele n 1 grade ale matricelor menţionate. Punctul de vedere exterior: Un şir de subspaţii vectoriale F : V 1 V 2... V r = V cu dim K (V i ) = m m i pentru orice 1 i r se numeşte m steag. Fie F şi F două m-steaguri cu F : V 1 V 2... V r = V şi F : W 1 W 2... W r = W. Aplicaţia f : F F se numeşte morfism de m-steaguri dacă şi numai dacă f : V W este morfism de spaţii vectoriale şi f(v i ) W i pentru orice 1 i r. Un şir de subspaţii G-graduate F : V 1 V 2... V r = V cu dim K (V i ) = m m i, oricare ar fi 1 i r şi V = V g, V i = i ) g spaţii vectoriale graduate se numeşte g G g G(V m-steag G-graduat. f : F F se numeşte morfism de m-steaguri graduate dacă şi numai dacă f este morfism de m-steaguri şi f este compatibil cu gradele componentelor omogene (i.e. f((v i ) g ) (W i ) g, oricare ar fi 1 i r). Observaţie: Steagurile graduate F şi F sunt izomorfe dacă şi numai dacă V i W i, i 1, r. Fie F : V 1 V 2... V r = V un m-steag şi End(V ) algebra endomorfismelor lui V cu multiplicarea dată de compunerea funcţiilor. Definim algebra endomorfismelor lui F prin End(F) = { f End(V ) : f(v i ) V i, i 1, r } multiplicarea fiind dată de compunerea funcţiilor. Observaţie: Algebrele End(F) şi A sunt izomorfe. 7
8 Fie σ G şi m-steagul G-graduat F : V 1 V 2... V r = V. Definim mulţimea END(F) σ = { f End(V ) : f((v i ) g ) (V i ) σg, g G, i 1, r } Obţinem că suma σ G END(F) σ este directă în interiorul lui End(F). Notăm END(F) = σ G END(F) σ (algebră G-graduată). Rezultate obţinute: ( ) Am descris graduările bune pe A ca algebre de endomorfisme ale unor steaguri graduate. ( ) Am clasificat graduările bune pe A ca orbite { ( 1 ) ale unei anumite biacţiuni ( 2 ) respectiv ca orbite ale unei anumite acţiuni β. ( ) Pe baza acestei clasificări am determinat numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după anumite grupuri alese în aşa fel încât acest lucru să fie posibil prin calcule directe. În continuare vom da o descriere succintă a rezultatelor precizate la primele două puncte. ( ) Descrierea graduărilor bune pe A ca algebre de endomorfisme ale unor steaguri graduate: Propoziţia P: Tipurile de izomorfism de G-graduări bune pe A coincid cu tipurile de izomorfism de algebre G-graduate de forma EN D(F), pentru F un m-steag G-graduat. Teorema A: Fie F şi F două m-steaguri G-graduate cu F : V 1 V 2... V r = V şi F : W 1 W 2... W r = W. Atunci END(F) END(F ) ca algebre G-graduate dacă şi numai dacă există σ G astfel încât F F(σ) ca steaguri G-graduate (i.e. σ G astfel încât W i V i (σ) ca spaţii vectoriale G graduate, 1 i r - unde V i (σ) este σ-suspensia la dreapta a lui V i ). Rezultatul furnizat de Teorema A a fost obţinut astfel: Se constată că END(F) = END(F(σ)) întrucât END(V ) = END(V (σ)). Se demonstrează (adaptându-se rezultatul similar obţinut în cazul r = 1) următoarea Lemă (LA): Dacă END(F) END(F ) ca algebre graduate, atunci există σ G astfel încât W V (σ) ca spaţii vectoriale G-graduate. Se constată că practic adevărata problemă constă în obţinerea unui izomorfism de steaguri prin găsirea unui unificator σ G astfel încât W i V i (σ), pentru orice 1 i r. Acest lucru a fost făcut în prima dintre următoarele două propoziţii care stau la baza demonstraţiei Teoremei A. Propoziţia A1: Dacă φ : END(F) END(F ) izomorfism de algebre G-graduate atunci există σ G astfel încât END(F)-modulul graduat V (σ) este φ-izomorf cu END(F )-modulul graduat W. i.e. există γ : V (σ) W izomorfism de spaţii vectoriale graduate astfel încât γ(fv) = φ(f)γ(v) 8
9 pentru orice f END(F) şi orice v V. Observaţie: W este un END(F )-modul stâng cu operaţia dată de: fw = f(w), oricare ar fi f END(F ) şi oricare ar fi w W. Mai mult: W este END(F )-modul graduat. Similar: V este EN D(F)-modul graduat şi V (σ) este EN D(F)-modul graduat. Propoziţia A2: Fie F : V 1 V 2... V r = V un m-steag. Atunci submodulele lui V privit ca END(F)-modul sunt: 0, V 1,..., V r. Rezultatul furnizat de Teorema A conduce în continuare la clasificarea graduărilor bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale. ( ) Clasificarea graduărilor bune pe A ca orbite { ( 1 ) ale unei anumite biacţiuni ( 2 ) respectiv ca orbite ale unei anumite acţiuni β ( 1 ) Descrierea biacţiunii şi a rezultatului de clasificare asociat: Dacă S m este grupul de simetrie al mulţimii {1,..., m}, atunci: Grupul S m1... S mr acţionează la stânga pe mulţimea G n prin: (f 1, f 2,..., f r ) (g 1,..., g n ) = (g f1 (1),..., g f1 (m 1 ), g m1 +f 2 (1),..., g m1 +f 2 (m 2 ),......, g m m r 1 +f r(1),..., g m m r 1 +f r(m r)), oricare ar fi f 1 S m1,..., f r S mr şi oricare ar fi (g 1,..., g n ) G n. G acţionează prin translaţii la dreapta pe mulţimea G n : (g 1,..., g n ) σ = (g 1 σ,..., g n σ), pentru orice (g 1,..., g n ) G n şi orice σ G. Întrucât cele două acţiuni comută, vom obţine o biacţiune S m1... S mr stângă, G dreaptă pe mulţimea G n. Teorema B: Tipurile de izomorfism de G-graduări bune pe A sunt în bijecţie cu orbitele (S m1... S mr, G)-biacţiunii pe mulţimea G n. În consecinţă, numărul tipurilor de izomorfism de G-graduări bune pe A coincide cu numărul orbitelor biacţiunii (S m1... S mr, G) pe mulţimea G n. ( 2 ) Descrierea acţiunii β şi a rezultatului de clasificare obţinut: Fie G un grup aditiv şi un număr natural nenul m. Definim mulţimea: Y(m, G) = {(a g,m ) g G : a g,m Z, a g,m 0 şi g G a g,m = m} 9
10 Obţinem acţiunea la dreapta definită prin β : (Y(m 1, G)... Y(m r, G)) G Y(m 1, G)... Y(m r, G) ((a g,m1 ) g G,..., (a g,mr ) g G ) h = ((a g+h,m1 ),..., (a g+h,mr )) Mai mult, se obţine o bijecţie între orbitele biacţiunii (S m1... S mr, G) pe mulţimea G n şi orbitele acţiunii β, bijecţie indusă de aplicaţia ϕ : G n Y(m 1, G)... Y(m r, G), ϕ g 1,..., g m1 ;... ; g }{{} m m r 1 +1,..., g m m r }{{} = z m1 G m 1 z mr G }{{ mr } z G n ) = ((a g (z m1 )) g G,..., (a g (z mr )) g G = (a g (z)) g G unde a g (z mi ) = numărul apariţiilor lui g în z mi, pentru orice 1 i r. Propoziţia C: G-graduările bune pe A se clasifică după orbitele biacţiunii (S m1... S mr, G) pe G n care sunt în bijecţie cu orbitele acţiunii la dreapta a lui G pe Y(m 1, G)... Y(m r, G). ( ) Exemple: 1. Fie n = m 1 + m 2 = 2 + 2, S m1 S m2 = S 2 S 2 şi G = Z 2. Numărul orbitelor biacţiunii (S 2 S 2, Z 2 ) pe mulţimea Z 4 2 este 5, deci numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după grupul ciclic G = Z 2 este Fie n = m 1 + m 2 = 2 + 3, S m1 S m2 = S 2 S 3 şi G = Z 2. Numărul orbitelor biacţiunii (S 2 S 3, Z 2 ) pe mulţimea Z 5 2 este 6, deci numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după grupul ciclic G = Z 2 este Fie n = m 1 + m 2 = 2 + 2, S m1 S m2 = S 2 S 2 şi G = Z 3. Numărul orbitelor biacţiunii (S 2 S 2, Z 3 ) pe mulţimea Z 4 3 este 12, deci numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după grupul ciclic G = Z 3 este 12. În următoarele capitole am numărat tipurile de izomorfism de graduări bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după anumite grupuri abeliene finite particulare. Ţinând cont de grupurile considerate în capitolele 3, 4, 5, 6 şi 7, se constată în final că, pe lângă numărarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după grupuri abeliene de indice prim, respectiv după grupuri ciclice finite arbitrare rezultate prezentate în capitolele 6, respectiv 7 prin generalizarea tehnicilor folosite în cazul în care se lucrează cu o algebră de matrice, am determinat de asemenea numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebra de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după un p-grup abelian finit de ordin mai mic sau egal cu p 4, unde p este un număr prim arbitrar. 10
11 Astfel, în Capitolul 3 am numărat tipurile de izomorfism de graduări bune pe algebra matricelor superior triunghiulare cu blocuri diagonale, după grupul G = Z p 2 Z p 2, determinând mai întâi numărul subgrupurilor cu p t elemente ale grupului dat, apoi laticea subgrupurilor acestuia şi, ţinând cont de această latice, obţinând în final numărul de orbite ale acţiunii β şi prin urmare numărul tipurilor de izomorfism. Mai exact, folosind teorema factorilor invarianţi, am constatat că problema numărării subgrupurilor cu p t elemente (0 t 4) ale grupului Z p 2 Z p 2 revine la a număra pentru câte baze ale lui Z Z obţinem un acelaşi subgrup al lui Z Z care să conţină subgrupul p 2 Z p 2 Z, problemă care se reduce la a preciza (pentru fiecare pereche (d 1, d 2 ) de factori invarianţi satisfăcând proprietatea 1 d 1 d 2 p 2 ) un sistem complet şi independent de reprezentanţi (notat cu M) pentru o anumită relaţie d (mod K) (unde K este un subgrup precizat al lui GL 2 (Z)), sistem al cărui p 4 cardinal reprezintă (în fiecare caz în parte) numărul subgrupurilor de ordin ale lui Z d 1 d p 2 Z p 2. 2 Identificând apoi toate subgrupurile grupului de lucru şi incluziunile dintre acestea am obţinut laticea subgrupurilor lui Z p 2 Z p 2 pe baza căreia am fost în măsură să determinăm numărul orbitelor acţiunii β, calculând practic suma 1 p t ( Numărul elementelor având orbita de lungime pt ) pornind de la următoarele observaţii: t 0,4 1. pentru orice 0 t 4 am considerat că γ t reprezintă numărul elementelor care au ca stabilizator (relativ la acţiunea β) un subgrup H de ordin p 4 t al lui G, iar s 4,4 t reprezintă numărul de subgrupuri de ordin p 4 t ale lui G. 2. pornind de la laticea subgrupurilor lui G am constatat că: a) oricare ar fi t {0, 1, 3, 4}, modul în care a fost definit γ t nu depinde de alegerea subgrupului H, iar pentru t = 2 vom avea γ t = γ t + γ t, unde fiecare termen al sumei este bine definit. b) pentru t = 2 avem s 4,4 t = s 4,4 t + s 4,4 t unde s 4,4 t este numărul subgrupurilor H de ordin p 4 t din mulţimea subgrupurilor care îl defineşte pe γ t, iar s 4,4 t este numărul subgrupurilor H de ordin p 4 t din mulţimea subgrupurilor care îl defineşte pe γ t. 3. pentru t {0, 1, 3, 4} numărul elementelor cu orbita de lungime p t este dat de produsul γ t s 4,4 t, iar pentru t = 2 numărul elementelor cu orbita de lungime p t este dat de suma de produse γ t s 4,4 t + γ t s 4,4 t. Concret: I. Folosind următoarele notaţii: G k α =< (1, k + αp) >, unde 0 k, α p 1 L =< (0, 1) > K i =< (p, i) > cu 1 i p 1 şi P 0 0 =< (p, 0), (0, p) >, laticea subgrupurilor lui G este descrisă în următoarea diagramă: 11
12 Diagrama 1: Z p 2 Z p 2 ( p, 0),(0,1) (1,0),(0, p) (1,1),(0, p)... (1, p 1),(0, p) G 0 G G 2 G p 1 G 1 0 G 1 1 L K 1 1 G 2 G p 1 G p 1 0 G p 1 1 G p 1 p 1 1 K 2 K 0 p 1 2 G p 1 P ( p,0) ( p, p) ( p, 2p)... ( p,( p 1) p) (0, p)... {0} {0} II. Descrierea combinatorială a G-graduărilor bune pe A: Teoremă: Numărul tipurilor de izomorfism de Z p 2 Z p 2-graduări bune pe A este: t {0,1,3,4} 1 p t i 1,r γ t,i unde: γ t = γ t,i, γ 2 = i 1,r i 1,r s 4,4 t + 1 p 2 γ 2,i şi γ 2 = i 1,r γ 2,i, i 1,r γ 2,i (s 4,2 1) + s 4,4 0 = 1, s 4,4 1 = p + 1, s 4,4 2 = p 2 + p + 1, s 4,4 3 = p + 1, s 4,4 4 = 1 şi i 1,r γ 2,i { 1, dacă p γ 0,i = 4 m i 0, altfel ( mi ) + p 1 p 3, p γ 1,i = 3 m i p 1 0, altfel γ 0,i 12
13 ( mi + p 2 ) 1 γ 2,i = p 2, p 2 m p 2 i 1 0, altfel ( mi + p 2 ) 1 γ 2,i = p 2, p 2 m p 2 i 1 0, altfel ( mi p + ) p3 1, p m γ 3,i = p 3 i 1 0, altfel ( mi + p 4 1 γ 4,i = p 4 1 γ 1,i γ 0,i (p + 1) γ 1,i γ 0,i p γ 2,i γ 2,i (p + 1) γ 1,i γ 0,i ) (p + 1) γ 3,i (p 2 + p) γ 2,i γ 2,i (p + 1) γ 1,i γ 0,i. În Capitolele 4 şi 5 am prezentat descrierea combinatorială a tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebra de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după grupurile abeliene finite Z p Z p 2, Z p Z p 3, respectiv Z p 2 Z p Z p pe baza unui procedeu similar, în trei paşi, pe care-l vom prezenta succint in continuare lucrând cu un p-grup generic G. Pasul 1: Determinăm numărul subgrupurilor cu p t elemente ale lui G. Pentru G { Z p Z p 2, Z p Z p 3} am folosit următoarea Teoremă: (M. Tărnăuceanu) Fie α 1 α 2. Fie 0 α α 1 + α 2. Atunci numărul de subgrupuri de ordin p α 1+α 2 α ale grupului Z p α 1 Z p α 2 a) b) p α+1 1 p 1, dacă 0 α α 1; p α1+1 1, dacă α 1 α α 2 ; p 1 c) pα 1+α 2 α+1 1, dacă α 2 α α 1 + α 2. p 1 Pentru G = Z p 2 Z p Z p, pornind de la rezultatul obţinut în [24] conform căruia numărul total de subgrupuri ale acestui grup este 4p 2 + 3p + 5, am determinat efectiv care sunt toate aceste subgrupuri, obţinând în particular numărul subgrupurilor cu p t elemente pentru t {0, 1, 2, 3, 4}. Pasul 2: Descriem laticea subgrupurilor grupului G. Pasul 3: Determinăm numărul tipurilor de izomorfism de G graduări bune pe A calculând numărul de orbite ale acţiunii β. Astfel, dacă G este un p-grup abelian cu G = p k, considerând ) z = ((a g,m1 ) g G,..., (a g,mr ) g G Y(m 1, G)... Y(m r, G) obţinem p k = Stab G (z) Orb β (z). Prin urmare: este: 13
14 numărul orbitelor acţiunii β este dat de expresia 0 t k h t = 0 t k orbitelor de lungime p t şi e t = numărul elementelor având orbita de lungime p t. 1 p t e t, unde h t = numărul orbita elementului z (relativ la acţiunea β) este de lungime p t dacă şi numai dacă Stab G (z) este un subgrup al lui G de ordin p k t. Remarcăm faptul că Stab G (z) este stabilizatorul oricărui alt element din orbita lui z (deoarece pentru acţiuni de grupurilor abeliene elementele unei orbite au acelaşi stabilizator). Pentru orice H G şi orice 1 i r, definim mulţimea Obţinem Y(m i, G) H = {z i Y(m i, G) : Stab G (z i ) = H} [Y(m 1, G)... Y(m r, G)] H not = {z = (z 1,..., z r ) Y(m 1, G)... Y(m r, G) : Stab G (z) = H} de unde deducem că: unde oricare ar fi 1 i r avem: = Y(m 1, G) H... Y(m r, G) H γ t not = [Y(m 1, G)... Y(m r, G)] H = 1 i r Y(m i, G) H γ t,i not = Y(m i, G) H = {z i Y(m i, G) : z i h = z i, h H} H<K G Y(m i, G) K Mai mult, oricare ar fi 0 t k şi oricare ar fi H G cu H = p k t avem: ( m + p t ) 1 p k t, p {z Y(m, G) : z h = z, for any h H} = k t m p t 1 0, altfel În concluzie, pentru un grup abelian dat G cu G = p k putem calcula γ t = 1 i r γ t,i = numărul elementelor z Y(m 1, G)... Y(m r, G) care au ca stabilizator un subgrup H al lui G de ordin p k t dacă ştim: laticea subgrupurilor lui G, γ t,i nu depinde de alegerea subgrupului H. Pentru acei 0 t k pentru care oricare ar fi 1 i r avem că γ t,i nu depinde de alegerea lui H cu H = p k t, dacă s k,k t = numărul subgrupurilor de ordin p k t ale lui G, obţinem γ t s k,k t elemente având orbita de lungime p t, de unde reiese că numărul orbitelor având lungimea p t ale acţiunii β este 1 p t γ t s k,k t. 14
15 În cazul în care pentru anumiţi t {1, 2,..., k 1}, γ t,i depinde de alegerea subgrupului H, 1 i r, laticea subgrupurilor lui G ne va indica cum îl putem scrie pe γ t,i ca sumă de forma γ t,i = γ t,i;j cu l 2 astfel încât fiecare γ t,i;j să fie bine definit. Mai mult, pentru orice 1 j l 1 j l, lui γ t,i;j în va corespunde un s k,k t;j reprezentând numărul subgrupurilor de ordin p k t ale lui G din mulţimea care îl determină pe γ t,i;j astfel încât s k,k t;j = s k,k t. Prin urmare 1 j l numărul elementelor cu orbita de lungime p t va fi dat se suma 1 j l γ t,i;j s k,k t;j. În Capitolul 6 lucrăm cu un grup abelian de indice prim G = Z p... Z p (vezi [10] pentru }{{} l ori cazul r = 1). Ţinându-se cont de faptul că G este un Z p -spaţiu vectorial de dimensiune l, se constată că, pentru orice 0 t l, s l,t = numărul subgrupurilor cu p t elemente ale lui G este dat de numărul de baze cu t elemente formate cu elemente din G care determină subgrupuri distincte două câte două, adică de raportul dintre numărul de submulţimi liniar independente cu t elemente ale lui G şi numărul de baze ale unui Z p -spaţiu vectorial de dimensiune t. Prin urmare avem: s l,t = (pl 1)(p l p)... (p l p t 1 ) (p t 1)(p t p)... (p t p t 1 ) oricare ar fi 1 t l Întrucât orice două subgrupuri H şi K de acelaşi ordin ale grupului G sunt Z p -spaţii vectoriale de aceeaşi dimensiune, ducând o bază a lui H într-o bază a lui K obţinem faptul că există φ Aut Zp (G) cu φ(h) = K. De aici, aplicând următoarea Propoziţie: Fie m un întreg pozitiv, G un R-modul liber şi H, K două R submodule libere ale lui G cu H = K. Atunci Y(m, G) H = Y(m, G) K. rezultă (fără a avea nevoie de laticea subgrupurilor lui G) că, pentru orice 0 t l, γ t este bine definit. Mai departe următoarea Lemă: a) γ 0,i = { 1, dacă p l m i 0, altfel, oricare ar fi 1 i r. b) γ t,i = 0 dacă p l t m i, pentru orice 1 t l şi orice 1 i r. c) Pentru orice 1 i r şi orice 1 t l avem: ( mi + p t ) 1 p γ t,i = l t s p t t,1 γ t 1,i s t,2 γ t 2,i... s t,t γ 0,i dacă p l t m i. 1 ne oferă o formulă recursivă pe baza căreia poate fi calculat efectiv γ t,i. Cunoscând valoare numerică a fiecărui γ t,i, pentru 1 i r, obţinem un număr de γ t = γ t,i elemente z Y(m 1, G)... Y(m r, G) care au ca stabilizator un subgrup H al lui G cu 1 i r 15
16 H = p l t şi ştiind că avem s l,l t subgrupuri de ordin p l t ale lui G, deducem imediat că γ t s l,l t este numărul de elemente având orbita de lungime p t, pentru orice 0 t l, ceea ce înseamnă că numărul orbitelor de lungime p t ale acţiunii β este dat de expresia 1 p t γ ts l,l t. Prin urmare obţinem următorul rezultat: Teoremă: Numărul tipurilor de izomorfism de Z p... Z p -graduări bune pe A este 0 t l 1 p t 1 i r γ t,i s l,l t. În Capitolul 7 am determinat numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după un grup ciclic arbitrar, generalizând procedeul deja cunoscut pentru cazul r = 1 (vezi [13]), aşa cum se va vedea în continuare în descrierea schematică a metodei folosite. Fie G = C t =< c > grup ciclic de ordin t. Ştim că G-graduările bune pe A se clasifică după orbitele biacţiunii (S m1... S mr, G) pe mulţimea G n. Fiecărui n-uplu (g 1,..., g n ) = (g 1,..., g m1 ; g m1 +1,..., g m1 +m 2 ;... ; g m m r 1 +1,..., g m1 +...,m r ) G n îi asociem un t-uplu de întregi nenegativi (k 0,..., k t 1 ) astfel încât k j = numărul apariţiilor lui c j în (g 1,..., g n ), j 0, t 1. Oricare ar fi 1 i r, fiecărui m i -uplu (g m m i 1 +1,..., g m m i 1 +m i ) G m i (m 0 = 0) îi asociem un t-uplu (k i,0,..., k i,t 1 ) astfel încât k i,j = numărul apariţiilor lui c j în m i -uplul dat, j 0, t 1. Obţinem: k 0 + k k t 1 = n k i, k i,t 1 = m i, i 1, r k 1,j + k 2,j k r,j = k j, j 0, t 1 Fie s un întreg pozitiv şi F t, s mulţimea t-uplurilor de întregi nenegativi (k 0, k 1,..., k t 1 ) cu proprietatea că k 0 + k k t 1 = s. Fie τ permutarea ciclică ( t) şi H =< τ > S t. H F t, s F t, s este o acţiune la stânga dată de (σ, (k 0, k 1,..., k t 1 )) (k }{{} σ(0), k σ(1),..., k σ(t 1) ) = z σ z Fie β acţiunea la stânga a lui H pe mulţimea F t, m1... F t, mr definită prin β(σ, α) = σ α = (σ α 1,..., σ α r ) σ H, α = (α 1,..., α r ) F t, m1... F t, mr. ϕ : O((S m1... S mr, G) pe G n ) O(H pe F t, m1... F t, mr ), (g 1,..., g m1 ; g m1 +1,..., g m1 +m 2 ;... ; g m m r 1 +1,..., g m1 +...,m r ) (k 1,0,..., k 1,t 1 ; k 2,0,..., k 2,t 1 ;... ; k r,0,..., k r,t 1 ) este o bijecţie. 16
17 Observaţie: Numărul orbitelor biacţiunii (S m1... S mr, G) pe G n coincide cu numărul orbitelor H-acţiunii β la stânga (prin permutări) pe F t, m1... F t, mr. Considerăm laticea: D(t; m 1,..., m r ) = {d : d t, d pozitiv şi t d m l l 1, r} cu ordinea dată de divizibilitate; d 1, d 2 D(t; m 1,..., m r ) gcd(d 1, d 2 ), lcm(d 1, d 2 ) D(t; m 1,..., m r ). Fie D(t; m 1,..., m r ; d) = {d D(t; m 1,..., m r ) : d d}. Fie D 0 (t; m 1,..., m r ; d) mulţimea elementelor maximale din D(t; m 1,..., m r ; d) relativ la relaţia de divizibilitate. Cum H = Stab H (α) Orb β (α), pentru α = (α 1, α 2,..., α r ) cu α i = (k i,0, k i,1,..., k i,t 1 ) F t, mi, i 1, r obţinem: Orb β (α) = d Stab H (α) H cu Stab H (α) = t d Stab H(α) =< τ d >. Dacă τ d α l = α l l 1, r atunci primele d poziţii din α l se repetă de t d ori, deci t d (k l, k l,d 1 ) = m l l 1, r, de unde rezultă că t d m l l 1, r. Consecinţă: Propoziţie: Dacă orbita unui element α F t, m1... F t, mr are lungimea d, atunci d D(t; m 1,..., m r ). Prin urmare: numărul orbitelor acţiunii β este h d, unde h d = numărul orbitelor de lungime d. d D(t;m 1,...,m r) Teoremă: Numărul tipurilor de izomorfism de C t -graduări bune pe A este N = unde B d = {α F t, m1... F t, mr Rămâne de calculat B d. d D(t;m 1,...,m r) 1 d B d : Orb β (α) = d}. Considerând A d = {α F t, m1... F t, mr : τ d α l = α l l 1, r}, datorită incluziunii de mulţimi A d A d, pentru orice d D(t; m 1,..., m r ; d), obţinem: B d = A d \ A d = A d \ A d. d D(t;m 1,...,m r;d) d D 0 (t;m 1,...,m r;d) Fie d D(t; m 1,..., m r ) şi fie p 1,..., p s toţi divizorii primi distincţi ai lui d cu proprietatea că d p 1,, d p s D(t; m 1,..., m r ). Rezultă că D 0 (t; m 1,..., m r ; d) = { d p 1,..., d p s }, de unde reiese că B d = A d {A d A d... A d } B d = A d A d A d... A d = p 1 p 2 ps p 1 p 2 ps 17
18 = A d 1 t s 1 i 1 <...<i t s ( 1) t+1 A d p i1 A d p i2... A d p it. Cum A d1 A d2 = A gcd(d1, d 2 ) oricare ar fi d 1, d 2 D(t; m 1,..., m r ) şi cum gcd( d p i, d p j ) = d vom obţine inductiv că: A d A d... A d = A d. Prin urmare: p i1 p i2 p it p i1...p it. B d = A d + 1 t s 1 i 1 <...<i t s ( 1) t A d p i1...p it Pentru orice l 1, r definim: A d,l = {α l F t, ml : τ d α l = α l }. Cum A d = {α = (α 1,..., α r ) : α l A d,l l 1, r} obţinem A d = Observaţie: B d = ( ml d ) A d,l = F m d, l d = t + d 1 l 1, r t d 1 1 l r (m l d ) + d 1 t + d 1 1 t s 1 i 1 <...<i t s 1 l r ( 1) t A A d,l, unde d p i1...p it În Capitolul 8, am pus în evidenţă legătura cu algebrele structurale de matrice, constatând că dacă algebra structurală de matrice M n (R, K) asociată relaţiei R poate fi adusă, via permutări de linii şi coloane, la forma unei algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri complete, atunci clasificarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe M n (R, K) se reduce la clasificarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A. În Capitolul 9 am propus o metodă de descriere a laticei subgrupurilor lui Z p α Z p β (unde p este număr prim, iar α β sunt numere naturale) pe baza căreia se poate determina numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după grupul menţionat. p i p j, Direcţii viitoare de cercetare: Numărarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după un grup abelian finit arbitrar. Clasificarea graduărilor bune pe o algebră structurală de matrice. Descrierea graduărilor bune pe algebre de matrice după semigrupuri speciale (cu puţine elemente, ciclice, cu proprietăţi de simplificare etc). Clasificarea graduărilor pe algebre mici de matrice (M 2 (K), M 3 (K), K n ), după semigrupuri. 18
19 Bibliografie [1] Yu. A. Bahturin, S. K. Sehgal, M. V. Zaicev, Group gradings on associative algebras, J.Algebra, 241, , [2] Yu. A. Bahturin, M. V. Zaicev, Group gradings on matrix algebras, Canad. Math. Bull. 45, , [3] Yu. A. Bahturin, M. V. Zaicev, Semigroup gradings on associative rings, Adv. in Appl. Math., 37, , [4] Yu. A. Bahturin, S. K. Sehgal, M. V. Zaicev, Finite dimensional graded simple algebras, Sbornik: Mathematics, 199:7, , [5] I. N. Balaba, Isomorphisms of graded endomorphism rings of progenerators, J. of Math. Sci., 152, , [6] I. N. Balaba, A. V. Mikhalev, Isomorphisms and anti-isomorphisms of endomorphism rings of graded modules close to free ones, Doklady Math., 79, , [7] M. Bărăscu, S. Dăscălescu, Good gradings on upper block triangular matrix algebras, Comm. Algebra, 41: , [8] M. Bărăscu, Counting good gradings on upper block triangular matrix algebras, trimis spre publicare. [9] M. Bărăscu, Good Z p 2 Z p Z p -gradings on matrix algebras, acceptat pentru publicare în Annals pf the University of Bucharest (Mathematical Series), no. 2/2013. [10] C. Boboc, S. Dăscălescu, Good gradings of matrix algebras by finite abelian groups of prime index, Bull. Math. Soc. Sc. Math. Roumanie, 49(97) No.1,5-11, [11] C. Boboc, S. Dăscălescu, Group gradings on M 3 (K), Comm. Algebra 35: , [12] C. Boboc, S. Dăscălescu, Gradings of matrix algebras by cyclic groups, Comm. Algebra 29, , [13] S. Caenepeel, S. Dăscălescu, C. Năstăsescu, On gradings of matrix algebras and descent theory, Comm. Algebra, 30, No. 12, , [14] G. Călugăreanu, The total number of subgroups of a finite abelian group, Sci. Math. Jpn., 60, , [15] C. W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience Publishers, NY, [16] S. Dăscălescu, B. Ion, C. Năstăsescu, J. Rios Montes, Group gradings on full matrix rings, J. Algebra, 220, , [17] S. Dăscălescu, P.D. Jarvis, A.V. Kelarev, C. Năstăsescu, On associative superalgebras of matrices, Rocky Mountain J. Math., 34, No 2, ,
20 [18] S. Dăscălescu, A. V. Kelarev, L. van Wyk, Semigroup gradings of full matrix rings, Comm. Algebra, 29(11), , [19] S. Dăscălescu, Group gradings on diagonal algebras, Arch. Math. 91, , [20] S. Dăscălescu, L. van Wyk, Do isomorphic structural matrix rings have isomorphic graphs?, Proceedings of the AMS, Vol. 124, No. 5, [21] O. M. Di Vincenzo, P. Koshlukov and A. Valenti, Gradings on the algebra of upper triangular matrices and their graded identities, J. Algebra 275, , [22] A. Giambruno, M. Zaicev, Polynomial identities and asymptotic methods, Mathematical Surveys and Monographs 122, AMS, Providence, RI, [23] M. Hampejs, N. Holighaus, L. Tóth, C. Wiesmeyr, On the subgroups of the group Z m Z n, arxiv: v1. [24] M. Hampejs, L. Tóth, On the subgroups of finite abelian groups of rank three, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp., 39, , [25] R. Hazrath, The graded structure of Leavitt path algebras, Israel J. of Math., 195, , [26] F. Iachello, Graded Lie algebras and applications, AIP Conference Proceedings, 12/2004; 744(1). [27] I. D. Ion, R. Nicolae, Algebra, Editura Didactică şi Pedagogică, ediţia a III-a, Bucureşti, [28] A. V. Kelarev, Applications of epigroups to graded ring theory, Semigroup Forum, 50, , [29] R. Khazal, C. Boboc, S. Dăscălescu, Group gradings of M 2 (K), Bull. Austral. Math. Soc. Vol. 68, , [30] M. A. Knus, Algebras graded by a group, Category Theory, Homology Theory Appl, Proc. Conf. Seattle, Res. Center Baltelle Mem. Inst., 2, , [31] C. Năstăsescu, F. Van Oystaeyen, Methods of Graded Rings, vol. 1836, Lecture Notes in Math., Springer Verlag, [32] C. Năstăsescu, Inele. Module. Categorii., Editura Academiei Române, [33] D. Popescu, C. Vraciu, Elemente de teoria grupurilor finite, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, [34] M. Suzuki, On the lattice of subgroups of finite groups, Transactions of the AMS, 70, , [35] M. Tărnăuceanu, A new method of proving some classical theorems of abelian groups, Southeast Asian Bull. Math., 31, ,
21 [36] M. Tărnăuceanu, An arithmetic method of counting the subgroups of a finite abelian group, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, 53(101), , [37] A. Valenti, M. V. Zaicev, Group gradings on upper triangular matrices, Arch. Math. 89, 33-40,2007. [38] A. Valenti, M. Zaicev, Abelian gradings on upper block triangular matrices, Canad. Math. Bull. 55, No. 1, , [39] V. S. Varadarajan, Supersymmetry for Mathematicians: An introduction, Courant Lecture Notes, AMS, [40] L. van Wyk, Maximal left ideals in structural matrix rings, Comm. Algebra 16: 2, ,
Gradul de comutativitate al grupurilor finite 1
Gradul de comutativitate al grupurilor finite Marius TĂRNĂUCEANU Abstract The commutativity degree of a group is one of the most important probabilistic aspects of finite group theory In this survey we
More informationDespre AGC cuasigrupuri V. Izbaș
Despre AGC cuasigrupuri V Izbaș 1 Introducere Se ştie că grupurile au apărut în matematică ca grupuri de automorfisme Rolul automorfismelor este remarcabil şi bine cunoscut La studierea diverselor structuri
More informationSoluţii juniori., unde 1, 2
Soluţii juniori Problema 1 Se consideră suma S x1x x3x4... x015 x016 Este posibil să avem S 016? Răspuns: Da., unde 1,,..., 016 3, 3 Termenii sumei sunt de forma 3 3 1, x x x. 3 5 6 sau Cristian Lazăr
More information1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE
1.3. OPERAŢII CU NUMERE NEZECIMALE 1.3.1 OPERAŢII CU NUMERE BINARE A. ADUNAREA NUMERELOR BINARE Reguli de bază: 0 + 0 = 0 transport 0 0 + 1 = 1 transport 0 1 + 0 = 1 transport 0 1 + 1 = 0 transport 1 Pentru
More informationTeorema Reziduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Prezentare de Alexandru Negrescu
Teorema Reiduurilor şi Bucuria Integralelor Reale Preentare de Alexandru Negrescu Integrale cu funcţii raţionale ce depind de sint şi cost u notaţia e it, avem: cost sint i ( + ( dt d i, iar integrarea
More informationO V E R V I E W. This study suggests grouping of numbers that do not divide the number
MSCN(2010) : 11A99 Author : Barar Stelian Liviu Adress : Israel e-mail : stelibarar@yahoo.com O V E R V I E W This study suggests grouping of numbers that do not divide the number 3 and/or 5 in eight collumns.
More informationON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN 2
ON THE QUATERNARY QUADRATIC DIOPHANTINE EQUATIONS (II) NICOLAE BRATU 1 ADINA CRETAN ABSTRACT This paper has been updated and completed thanks to suggestions and critics coming from Dr. Mike Hirschhorn,
More informationTeoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1
Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 79-84 Teoreme de Analiză Matematică - I (teorema Weierstrass-Bolzano) 1 Silviu Crăciunaş, Petrică Dicu, Mioara Boncuţ Abstract In this paper we propose a Weierstrass
More informationCâteva rezultate de algebră comutativă
Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului.
More informationDivizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi
Divizibilitate în mulțimea numerelor naturale/întregi Teorema îmărţirii cu rest în mulțimea numerelor naturale Fie a, b, b 0. Atunci există q, r astfel încât a=bq+r, cu 0 r < b. În lus, q şi r sunt unic
More informationSubiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani
Class: Date: Subiecte geometrie licenta matematica-informatica 4 ani Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. 1. Complementara unui subspatiu
More informationBarem de notare clasa a V-a
Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor
More informationFORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII
DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss
More informationSisteme cu logica fuzzy
Sisteme cu logica fuzzy 1/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF Structura z 2/15 Sisteme cu logica fuzzy Mamdani Baza de reguli R
More informationHabilitation Thesis. Periodic solutions of differential systems: existence, stability and bifurcations
UNIVERSITATEA BABEŞ BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Mathematics presented by Adriana Buică Periodic solutions of differential systems: existence, stability
More informationHABILITATION THESIS. Semisimple Hopf algebras and fusion categories
Institute of Mathematics,,Simion Stoilow of the Romanian Academy HABILITATION THESIS Semisimple Hopf algebras and fusion categories Sebastian Marius Burciu Specialization: Mathematics Bucharest, 2013 To
More informationSelf-Small Abelian Groups and Related Problems. (Abstract)
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI, CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Habilitation Thesis Self-Small Abelian Groups and Related Problems (Abstract) Author: Simion BREAZ 2013 Abstract Let R be
More informationProcedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur
Procedeu de demonstrare a unor inegalităţi bazat pe inegalitatea lui Schur Andi Gabriel BROJBEANU Abstract. A method for establishing certain inequalities is proposed and applied. It is based upon inequalities
More informationUNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE 3 Analiza algoritmilor Obiective urmărite: La sfârşitul parcurgerii acestei UI, studenţii vor 1.1 cunoaște conceptul de eficienta a unui algoritm vor cunoaste si inţelege modalitatile
More informationAPLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE
DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 33(2015), pp. 27 37 APLICAŢII ALE FORMULELOR LUI NEWTON PENTRU POLINOAME SIMETRICE Cristina-Aida Coman Abstract. In this paper we present some applications of Newton s formulae
More informationCOMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS
74 COMPARATIVE DISCUSSION ABOUT THE DETERMINING METHODS OF THE STRESSES IN PLANE SLABS Codrin PRECUPANU 3, Dan PRECUPANU,, Ștefan OPREA Correspondent Member of Technical Sciences Academy Gh. Asachi Technical
More informationCristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici;
Curs 8 Caldura specifica a retelei Cristalul cu N atomi = un sistem de N oscilatori de amplitudini mici; pentru tratarea cuantica, se inlocuieste tratamentul clasic al oscilatorilor cuplati, cu cel cuantic
More informationUtilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete
72 Utilizarea claselor de echivalenta in analiza asistata de calculator a sistemelor cu evenimente discrete Conf.dr. Alexandru TERTISCO, ing. Alexandru BOICEA Facultatea de Automatica si Calculatoare,
More informationRădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul 2
Rădăcina pătrată a unei matrici reale de ordinul Mircea Crasmareanu Mai 19, 017 ( a c Actorii acestei poveşti: matricile A = M b d (R. PROBLEMA STUDIATĂ: Există B M (R aşa încât: B = A? O astfel de matrice
More informationRaport stiintific sintetic. privind implementarea proiectului in perioada octombrie 2011 octombrie 2013
Raport stiintific sintetic privind implementarea proiectului in perioada octombrie 2011 octombrie 2013 Titlul proiectului: Algebre Hopf si teme inrudite, contract 88/05.10.2011. Director: prof. dr. Gigel
More informationEcuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea. Ecuatii de gradul al doilea
Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea Ecuatia de forma Ecuatii de gradul al doilea a + b + c = 0, (1) unde a, b, c R, a 0, - variabila, se numeste ecuatie de gradul
More informationQUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE
INSTITUTUL DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ AL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A MOLDOVEI Cu titlu de manuscris C.Z.U.: 512.548 CEBAN DINA QUASIGRUPURI AUTOORTOGONALE: CONEXIUNI CU PARATOPIILE UNOR SISTEME ORTOGONALE
More informationUtilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP. Mihaela Muntean 2015
Utilizarea limbajului SQL pentru cereri OLAP Mihaela Muntean 2015 Cuprins Implementarea operatiilor OLAP de baza in SQL -traditional: Rollup Slice Dice Pivotare SQL-2008 Optiunea ROLLUP Optiunea CUBE,
More informationINCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INCLUZIUNI OPERATORIALE PRIN TEHNICA PUNCTULUI FIX ÎN SPAŢII METRICE VECTORIALE REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Coordonator ştiinţific
More informationTEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI
Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Tania Angelica Lazăr TEOREME DE PUNCT FIX PENTRU OPERATORI CE NU INVARIAZĂ DOMENIUL DE DEFINIŢIE ŞI APLICAŢII Coordonator
More informationINEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ INEGALITĂŢI DE TIP HARNACK ŞI SOLUŢII POZITIVE MULTIPLE PENTRU PROBLEME NELINIARE Rezumatul tezei de doctorat Doctorand:
More informationBABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE
BABEŞ-BOLYAI UNIVERSITY CLUJ-NAPOCA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE STUDIES ON THE EXPONENTIAL MAPPING AND GEOMETRIC MECHANICS Ph.D. Thesis Summary Professor DORIN ANDRICA, Ph.D. Ph.D. Student:
More informationPUBLICAŢII. 3. C. Băeţica, S. Dăscălescu, Probleme de algebră, Editura Universităţii
PUBLICAŢII CĂRŢI 1. S. Dăscălescu, C. Năstăsescu, Ş. Raianu, Hopf Algebras: an introduction, Monographs in Pure and Applied Mathematics, 235 (2000), Marcel Dekker, New-York. 2. S. Dăscălescu, C. Năstăsescu,
More informationLegi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan
Legi de distribuţie (principalele distribuţii de probabilitate) Tudor Drugan Introducere In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se cunosc.
More informationPROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ GABRIELA ROXANA ŞENDRUŢIU PROPRIETĂŢI GEOMETRICE ŞI ANALITICE ALE UNOR CLASE DE FUNCŢII UNIVALENTE Rezumatul tezei de doctorat
More informationMugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI
Mugur Acu OPERATORUL INTEGRAL LIBERA-PASCU ŞI PROPRIETĂŢILE ACESTUIA CU PRIVIRE LA FUNCŢIILE UNIFORM STELATE, CONVEXE, APROAPE CONVEXE ŞI α-uniform CONVEXE Editura Universităţii Lucian Blaga din Sibiu
More informationPentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II
Pentru clasa a X-a Ştiinţele naturii-sem II Reprezentarea algoritmilor. Pseudocod. Principiile programării structurate. Structuri de bază: structura liniară structura alternativă structura repetitivă Algoritmi
More informationRezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii
Rezultate în Teoria Punctului Fix şi Procese Iterative cu Aplicaţii Asist. drd. Adrian Sorinel Ghiura Departamentul de Matematică & Informatică Universitatea Politehnica din Bucureşti REZUMATUL TEZEI DE
More informationPRELUCRARI PE IMAGINI BINARE (ALB/NEGRU)
PRELUCRRI PE IMGINI BINRE (LB/NEGRU) Imagine binara? 2 nuante: alb ( 0 ) pixelii de fond ( I(x,y)= 255 pt. imagini indexate cu 8 biti/pixel ) negru ( 1 ) pixelii apartinand obiectelor ( I(x,y)= 0 pt. imagini
More informationPENTRU CERCURILE DE ELEVI
M.Opincariu, M.Stroe, Despre matrice şi determinanţi de ordinul doi 559 Demonstraţie. Aplicăm Propoziţia 3.5. pentru funcţia: g :[a 1,a ] (0, ), g(x) =1. Bibliografie [1]R.P.BoasJr.,M.B.Marcus,Generalizations
More informationTeoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat)
Teoreme de compresie-extensie de tip Krasnoselskii şi aplicaţii (Rezumatul tezei de doctorat) Sorin Monel Budişan Coordonator ştiinţi c: Prof. dr. Radu Precup Cuprins Introducere 1 1 Generaliz¼ari ale
More informationA GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π
U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 68, No., 6 A GENERALIZATION OF A CLASSICAL MONTE CARLO ALGORITHM TO ESTIMATE π S.C. ŞTEFĂNESCU Algoritmul Monte Carlo clasic A1 estimeazează valoarea numărului π bazându-se
More informationProbleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa
Probleme actuale în studiul funcţiei zeta Igusa Denis Ibadula 1 1 This paper is supported by the Sectorial Operational Programme Human Resources Development (SOP HRD), financed from the European Social
More informationRezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II)
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare (II) Metode multipas Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina
More informationREZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CERCETĂRI DE TEORIE MORSE DISCRETĂ ŞI APLICAŢII REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand:
More informationInteligenta Artificiala
Inteligenta Artificiala Universitatea Politehnica Bucuresti Anul universitar 2010-2011 Adina Magda Florea http://turing.cs.pub.ro/ia_10 si curs.cs.pub.ro 1 Curs nr. 4 Cautare cu actiuni nedeterministe
More informationLogică și structuri discrete. Marius Minea 25 septembrie 2017
Logică și structuri discrete Funcții Marius Minea marius@cs.upt.ro http://cs.upt.ro/~marius/curs/lsd/ 25 septembrie 2017 Ce cuprinde domeniul informaticii? Imagine: https://hkn.eecs.berkeley.edu/courseguides
More informationON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS
WEST UNIVERSITY OF TIMIŞOARA FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE ON THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS AND APPLICATIONS Habilitation Thesis Author: BOGDAN SASU Timişoara, 2013 Table of
More informationAlte rezultate din teoria codurilor
Prelegerea 20 Alte rezultate din teoria codurilor 20.1 Coduri aritmetice Construcţiile oferite de teoria codurilor pot fi utilizate şi în alte domenii decât în cele clasice, de transmitere şi recepţie
More informationAvem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:
Semantica Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor: Predicate: p, q, r,, p1, q2 etc. Constante: a, b, c,, z, a1, b4,, ion, mihai, labus etc. Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc. Conective:,,,,
More informationNumere prime. O selecţie de probleme pentru gimnaziu
Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui
More informationReactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava)
Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) cu amestecare completa de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza intr-o directie de-a lungul reactorului, precum
More informationATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES
U.P.B. Sci. Bull., Series D, Vol. 69, No. 3, 007 ISSN 15-358 ATTENUATION OF THE ACOUSTIC SCREENS IN CLOSED SPACES Ioan MAGHEŢI 1, Mariana SAVU Lucrarea prezintă calculul atenuării acustice a unui ecran
More informationCercet¼ari operaţionale
Cercet¼ari operaţionale B¼arb¼acioru Iuliana Carmen CURSUL 9 Cursul 9 Cuprins Programare liniar¼a 5.1 Modelul matematic al unei probleme de programare liniar¼a.................... 5. Forme de prezentare
More informationProgramarea Dinamica. (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu
Programarea Dinamica (si alte chestii adiacente) Andrei Olariu andrei@olariu.org Despre mine - Absolvent FMI UniBuc - Doctorand in prelucrarea limbajului natural, in special in mediul online (Twitter)
More informationMOTIVAŢIA PROGRAMULUI DE MASTER ALGEBRĂ (Context general, misiune şi obiective strategice)
MOTIVAŢIA PROGRAMULUI DE MASTER ALGEBRĂ (Context general, misiune şi obiective strategice) Algebra, domeniu fundamental al matematicii, are o îndelungată tradiţie în facultatea noastră. Profesorii din
More informationECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ
Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Vasile Lucian Lazăr ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE ŞI EVALUAREA OPŢIUNILOR CU VOLATILITATE STOHASTICĂ Coordonator ştiinţific
More informationModelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach
BULETINUL Universităţii Petrol Gaze din Ploieşti Vol. LXVII No. 2/2015 79 84 Seria Tehnică Modelling the Steady State Characteristic of ph Neutralization Process: a Neuro-Fuzzy Approach Gabriel Rădulescu
More informationGAZETA MATEMATICĂ SERIA A. ANUL XXXVI (CXV) Nr. 1 2/ 2018 ARTICOLE. Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M 2 (C)
GAZETA MATEMATICĂ SERIA A ANUL XXXVI CXV) Nr. 1 / 18 ARTICOLE Computing exponential and trigonometric functions of matrices in M C) Ovidiu Furdui 1) Abstract. In this paper we give a new technique for
More informationListe. Stive. Cozi SD 2017/2018
Liste. Stive. Cozi SD 2017/2018 Conţinut Tipurile abstracte LLin, LLinOrd, Stiva, Coada Liste liniare Implementarea cu tablouri Implementarea cu liste simplu înlănțuite Liste liniare ordonate Stive Cozi
More informationNonlinear Vibrations of Elastic Beams
Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Nonlinear Vibrations of Elastic Beams Iacob Borş 1, Tudor Milchiş
More informationMETODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal
METODE NUMERICE: Laborator #4 Eliminare gaussiană cu pivotare totală şi scalare. Algoritmul Thomas pentru rezolvarea sistemului 3-diagonal Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil
More informationReactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mixed Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava)
Reactoare chimice cu curgere piston (ideala) (Plug Flow Reactor PFR) cu amestecare completa (Mied Flow Reactor MFR) de tip batch (autoclava) Reactorul cu curgere ideala Toate particulele se deplaseaza
More informationPROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 25 mai 2015
PROBLEME DIVERSE lecţie susţinută la lotul de 13 de Andrei ECKSTEIN Bucureşti, 5 mai 015 I. SUBSTITUŢIA TAIWANEZĂ 1. Fie a, b, c > 0 astfel încât a bc, b ca şi c ab. Determinaţi valoarea maximă a expresiei
More informationWORKSHOP FOR YOUNG RESEARCHERS IN MATHEMATICS May 9-10, 2013, Constanta ABSTRACTS
WORKSHOP FOR YOUNG RESEARCHERS IN MATHEMATICS May 9-10, 2013, Constanta ABSTRACTS About the minimizer of the Ginzburg-Landau energy on the exterior of a 3D ball Ramona ANTON Universit Pierre et Marie Curie,
More informationRECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI
Anul IX, Nr. Iulie Decembrie 007 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Asociaţia Recreaţii Matematice IAŞI - 007 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o
More informationAnul I, Semestrul I 2017/2018
Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean
More informationCe este logica? Aristotel (IV î.e.n.) Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Visul lui Leibniz. raţionament
Ce este logica? Logică Matematică şi Computaţională Anul I, Semestrul I 2017/2018 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http://unibuc.ro/~lleustean/ În prezentarea acestui curs sunt folosite parţial slideurile
More informationSTUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT
UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAȘOV FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ STUDIUL GEOMETRIEI ȘI TOPOLOGIEI VARIETĂȚILOR DE CONTACT ȘI SUBVARIETĂȚILOR LOR TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT THE STUDY OF GEOMETRY
More informationTWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY
U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 9 ISSN 3-77 TWO BOUNDARY ELEMENT APPROACHES FOR THE COMPRESSIBLE FLUID FLOW AROUND A NON-LIFTING BODY Luminiţa GRECU, Gabriela DEMIAN, Mihai DEMIAN 3 În lucrare
More informationLaborator 3. Backtracking iterativ
Programare Delphi Laborator 3 Backtracking iterativ Metoda backtracking este o strategie generală de căutare din aproape în aproape a unei soluţii dintr-o mulţime finită de posibilităţi. Problema trebuie
More informationSIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE
SIMULAREA DECIZIEI FINANCIARE Conf. univ. dr. Nicolae BÂRSAN-PIPU T5.1 TEMA 5 DISTRIBUŢII DISCRETE T5. Cuprins T5.3 5.1 Variabile aleatoare discrete 5. Distribuţia de probabilitate a unei variabile aleatoare
More informationUniversitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor
Universitatea Politehnica Bucureşti Facultatea de Automatică şi Calculatoare Departamentul de Automatică şi Ingineria Sistemelor TEZĂ DE ABILITARE Metode de Descreştere pe Coordonate pentru Optimizare
More informationTEZĂ DE ABILITARE. Subvarietăți de curbură medie paralelă și subvarietăți biarmonice în varietăți riemanniene
ACADEMIA ROMÂNĂ SCOSAAR TEZĂ DE ABILITARE Subvarietăți de curbură medie paralelă și subvarietăți biarmonice în varietăți riemanniene Dorel Fetcu Domeniul fundamental Matematică și științe ale naturii Domeniul
More informationPLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR
PLANIFICAREA TEMELOR LA GRUPELE DE EXCELENȚĂ DISCIPLINA MATEMATICĂ AN ȘCOLAR 0-0 Grupa V. Matematică Profesor coordonator: Aldescu Alina.0.0 Operatii in N-Teorema impartirii cu rest 0..0 Patrate perfecte,cuburi
More informationQUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD
U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss., 010 ISSN 13-707 QUASI-ANALYTIC SOLUTIONS OF FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS USING THE ACCURATE ELEMENT METHOD Maty BLUMENFELD 1 O ecuaţie diferenţială
More information2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE BETWEEN THE COMFORT MAIN INDICATORS
BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 1, 2011 SecŃia TEXTILE. PIELĂRIE 2D AND 3D PROCESSING OF THE INTERDEPENDENCE
More informationELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ELEMENTE DE DINAMICĂ ŞI GEOMETRIE PE SPAŢII VECTORIALE POISSON REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT Conducător ştiinţific: Prof. univ.
More informationDefiniţie. Pr(X a) - probabilitatea ca X să ia valoarea a ; Pr(a X b) - probabilitatea ca X să ia o valoare în intervalul a,b.
Variabile aleatoare Definiţie Se numeşte variabilă aleatoare pe un spaţiu fundamental E şi se notează prin X, o funcţie definită pe E cu valori în mulţimea numerelor reale. Unei variabile aleatoare X i
More informationarray a[0..n-1] a[0] = v0,..., a[n-1] = vn-1
Curs 5 - Agenda sortare interna buble sort sortare prin insertie sortare pri selectie naiva sistematica ( heap sort ) sortare prin interclasare ( merge sort ) sortare rapida ( quick sort ) cautare in liste
More informationSTRESS AND STRAIN ANALYSIS IN CONTINUUM MECHANICS WITH APPLICABILITY IN SOIL MECHANICS
BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi Volumul 63 (67), Numărul 3, 2017 Secţia CONSTRUCŢII. ARHITECTURĂ STRESS AND STRAIN ANALYSIS IN CONTINUUM
More informationANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS
U.P.B. Sci. Bull., Series C, Vol. 70, No. 3, 008 ISSN 454-34 ANOVA IN THE EDUCATIONAL PROCESS Mihaela Florentina MATEI Analiza dispersiei, ANOVA, reprezintă una din metodele statistice, dintre cele mai
More informationMatematici speciale Integrarea functiilor complexe
Matematii speiale Integrarea funtiilor omplexe Martie 18 ii Be yourself, everyone else is already taken. Osar Wilde 5 Integrarea funtiilor omplexe Integrala Riemann a unei funtii u valori omplexe se defineste
More informationGENERATOARE DE SEMNAL DIGITALE
Technical University of Iasi, Romania Faculty of Electronics and Telecommunications Signals, Circuits and Systems laboratory Prof. Victor Grigoras Cuprins Clasificarea generatoarelor Filtre reursive la
More informationMATEMATICĂ 3 PROBLEME DE REFLECŢIE
Recapitulare din liceu MATEMATIĂ 3 ANALIZĂ OMPLEXĂ PROBLEME DE REFLEŢIE. Scrieţi numerele următoare sub forma a + bi, unde a, b R: a) 3i + i ; b) i + i ;. Reolvaţi în ecuaţiile: ( + i)( i) c) ( + i)(4
More informationMetode clasice. Camelia Chira.
Metode clasice Camelia Chira http://users.utcluj.ro/~cchira camelia.chira@cs.utcluj.ro Am vazut deja ca... Probleme de optimizare pot fi foarte complexe SAT, TSP, NLP, etc Spatiul de cautare Clase de complexitate
More informationCautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu. Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit
Cautand originea masei (Cautand bosonul Higgs) Adrian Buzatu Departmentul de Fizica & Astronomie Universitatea din Glagsow, Regatul Unit De la mare la mic 2 Universul ca o prajitura Tava: spatiu-timp Ingrediente:
More informationSOME EXAMPLES IN MODULES
SOME EXAMPLES IN MODULES Miodrag Cristian Iovanov Faculty of Mathematics, University of Bucharest,myo30@lycos.com Abstract The problem of when the direct product and direct sum of modules are isomorphic
More informationTHE METROLOGY OF OPTICAL FIBRE LOSSES
U. P. B. Sci. Bull., Series A, Vol. 7, Iss. 3, 009 ISSN 3-707 THE METROLOGY OF OPTICAL FIBRE LOSSES Sorin GHINOIU, Niculae N. PUŞCAŞ În aceastǎ lucrare sunt prezentate şi analizate din punct de vedere
More informationLaborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. - Staţii de lucru care au instalat Orcad9.2. si MatLab 7.1
Laborator 5. Instructiuni de control logic : FOR, IF, WHILE. Scopul lucrarii: Scopul acestei lucrari este de a invata si intelege instructiunile de control logic, pe care, le vom folosi in realizarea unui
More informationSisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO)
Sisteme cu logica fuzzy cu mai multe intrari (MISO) Structura unui sistem cu logică fuzzy MISO Structura unui SLF cu 2 intrari Fie un sistem cu logică fuzzy Mamdani două intrări x şi y ieşire z x y SLF
More informationFINDING THE TRACES OF A GIVEN PLANE: ANALYTICALLY AND THROUGH GRAPHICAL CONSTRUCTIONS
BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNI DIN IŞI Publicat de Universitatea Tehnică Gheorghe sachi din Iaşi Tomul LVII (LXI), Fasc. 3, 20 Secţia ONSTRUŢII DE MŞINI FINDING THE TRES OF GIVEN PLNE: NLYTILLY ND THROUGH
More informationa) Articole publicate în reviste din fluxul ştiinţific internaţional principal:
LISTĂ LUCRĂRI dr. George Ciprian Modoi a) Articole publicate în reviste din fluxul ştiinţific internaţional principal: a1. C. Modoi, Equivalences induced by adjoint functors, Communications in Algebra,
More informationGroup Gradings on Finite Dimensional Lie Algebras
Algebra Colloquium 20 : 4 (2013) 573 578 Algebra Colloquium c 2013 AMSS CAS & SUZHOU UNIV Group Gradings on Finite Dimensional Lie Algebras Dušan Pagon Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University
More informationDynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial Load
Acta Technica Napocensis: Civil Engineering & Architecture Vol. 56, No. 1, (2013) Journal homepage: http://constructii.utcluj.ro/actacivileng Dynamic Response of Beams on Elastic Foundation with Axial
More informationȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE)
Problema 1 Enunț ȘIRURI (TABLOURI UNIDIMENSIONALE) Se citesc mai multe numere naturale, până la introducerea numărului 0 şi se memorează într-un şir. Să se găsească toate numerele perfecte din şir. Un
More informationU.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 4, 2012 ISSN ALTERNATING -GROUPS. Ion ARMEANU 1, Didem OZTURK 2
U.P.B. Sci. Bull., Series A, Vol. 74, Iss. 4, 2012 ISSN 1223-7027 ALTERNATING -GROUPS Ion ARMEANU 1, Didem OZTURK 2 In acest articol studiem structura grupurilor alternate finite şi demonstrăm că dintre
More informationTeoria Modelelor Master Anul I, Semestrul II 2016
Ce este logica? Teoria Modelelor Master Anul I, Semestrul II 2016 Laurenţiu Leuştean Pagina web: http:unibuc.ro/~lleustean/ În această prezentare sunt folosite parţial slideurile Ioanei Leuştean din Semestrul
More informationMarian Ioan Munteanu. Recent developments on magnetic curves in (pseudo-) Riemannian manifolds. Habilitation thesis
Marian Ioan Munteanu Recent developments on magnetic curves in (pseudo-) Riemannian manifolds Habilitation thesis Iaşi, 2014 Contents Rezumat 3 Résumé 7 1 Magnetic trajectories in (pseudo)-riemannian manifolds
More information