v Ë_«bŠu «roi² *«j)«

Transcription

1 v Ë_«bŠu «roi² *«j)«- 1 -

2 - 2 -

3 bšu «U¹u² W HB «Ÿu{u*« W bi*«.1... bon bšu ««b¼ bšu «ÂU bžu *«««di « bšu «WÝ«œ w to ÃU²% U wð UJ¹b «Èu² *«.2... wð UJ¹b «Èu² *«w UOŁ«bŠù«ÂUE½ Èu² *«w 5²DI½ 5Ð bf³ « WMOF W³ MÐ WLOI² WFD ro Ið roi² *«j)«qo.3... y Ë x w v Ë_«Wł b «s W UF «W œuf*« roi² *«j)«qo U¼b UFðË ULOI² *«Í «uð roi² *«j)«w œuf* WHK²<«uB « UOŁ«bŠù«Í u bš Í «u¹ Íc «roi² *«W œuf UNÐ d1 w² «jim «ÈbŠ Ë tko ÂuKF*«rOI² *«W œuf y u s tfdi Ë tko ÂuKF*«rOI² *«W œuf ² ukf 5²DIMÐ d1 Íc «roi² *«W œuf s¹ u;«s ÁUFDI rkž «roi² *«W œuf

4 43... roi² *«j)«w œuf* W¹œuLF «ub « W¹œuLF «ub «œu ¹ W¹œuLF «ub «v «roi² *«W œuf* W UF «ub «q¹u% roi² jš sž WDI½ bfð.5... ax + by + c «bi*«uý« ÂuKF roi² vkž WDI½ s UM «œulf «uþ FÞUI² 5LOI² 5Ð 5²¹Ë«e «whbm U² œuf W ö)«.6... WO½U «WOÝ«b «bšu «sž WI³ W;.7... wð«c «.ui² «WK¾Ý UÐUł Ë U³¹ b² «UÐUł.8... U KDB*«œd.9... lł«d*«

5 W bi*«.1 bon d?i? s ro?i²? *«j)«v? Ë_«bŠu «v «b? «Íe¹eŽ p?ð U³?Šd? Èu?²?*«w roi?²? *«j)«hzu?bš i?fð UN?O? UF? d? c?² MÝ w?² «Ë WOŁ«b?Š W?ÝbM¼ ifð W?Ý«œ w? ol?f?²mý U?L? W?¹u½U? «WKŠd*«w U??N?²?Ý«œ p o³?ý w²? «Ë wð UJ¹b «W?O½U? ½ô«Ë W?O?FO?³D «Âu?KF «w U?IO?³D²? «s do?? U?N w² «Ë t Èd?š_«hzU?B?)«ÆU¼dOžË WOD)«W d³ «Ë UM¹U³²*«Ë WOD)«U öfk w½uo³ «qo L² U bšu ««b¼ 2.1 vkž ΫœU ÊuJð Ê bšu «Ác¼ WÝ«œ s UN²½ô«bFÐ «b «Íe¹eŽ pm l u²¹ Ê ÆtŽUÐ œb%ë y Ë x t¹ u 0 wð UJ¹b «Èu² *«dfð -1 ÆÈu² *«w jim «5Fð -2 ÆtOKŽ UIO³Dð Íd&Ë Èu² *«w 5²DI½ 5Ð W U *«Êu½U o²að -3 ÆWMOF bžuið œb;«jim «s WŽuL rýdð -4 ÆtOKŽ ÊU²F «Ë ÊU²DI½ XLKŽ «Áœb%Ë roi² jš qo dfð -5 Ë dš U?LOI?² Í «u¹ ro?i²? qo b&ë U?L¼b U?FðË 5LOI?² Í «uð Ëd?ý œb% -6 ÆÁb UF¹ ÆWHK² ubð roi² *«j)«ôœuf o²að -7 ÆÂuKF roi² sž U WDI½ bfð Êu½U o²að -8 Æ5FÞUI² 5LOI² 5Ð 5²¹Ë«e «whbm w² œuf o²að -9 Æo³Ý U vkž WOIO³Dð qzu q%

6 bšu «ÂU 3.1 j)«qo? Ë wð UJ¹b «Èu²? *«w¼ W?FÐ ÂU? v b?šu «Ác¼ Èu²? Ÿ u?²¹ j³ðd¹ë ÆrO?I?²? jš s?ž WDI½ b?fðë roi?²? *«j)«w œu?f* W?HK²?<«uB? «Ë roi?²? *«qo? w½u «r?i «U v Ë_«W?FÐ _««b¼_uð wð UJ¹b «Èu²? *«UNM Ë_«r?I «u?b «Y U «r?i «oi? ¹ 5Š w œu? «Ë f U)«5 b?n «oi? O? ro?i²? *«j)«bf?ð lð«d «r I «wðq¹ Ϋd?Oš Ë s U? «Ë lðu «5 b?n «roi?² *«j)«w œu?f* WHK?²<«ÆdýUF «Ë lýu² «Ë s U «WŁö ««b¼_«oi O roi² jš sž WDI½ bžu *«««di «4.1 hzu?b?š u?š W?O?LKF? «pðu? ukf? «dłùë b?šu «w W?O?ÝU?Ý_«rO?¼U?H*«XO?³??² 5O U² «5Fłd*UÐ W½UF²Ýô«pMJ1 tðuio³dðë roi² *«1- Kindle, J.H., Theory and Problems of Plane and Solid Analytic Geometry, Schaum P.Bo., New York, Loney, S.L., The Elements of Coordinate Geometry, Macmillan and Co., London, bšu «WÝ«œ w to ÃU²% U 5.1 UM½S? «c?n Ë d?i*««c¼ s U?N W?O U?² ««b?šuk ÎU? U¼ ÎU?ÝU?Ý b?šu «Ác¼ d?³?²?fð UL? ÆUN?O œ «u «wð«c «.u?i² «WK¾?Ý Ë U³¹ b?² «q ÐË WO? «Ë WÝ«œ U?N²Ý«bÐ p?bm½ Ë p²³?²j w d «u?²ð b w² «Èd?š_«lł«d*«s WI?O³Dð qzu? Ë U³¹ bð q Ð p? BM½ u'«w¾onð pm VKD²¹ «c¼ë W U)«Ë W U?F «U³²J*«s U¼dOž Ë wý«b «e d*«w³²j ÆUN pln olf¹ë œu*ufo²ý«vkž bžu ¹ Íc «`¹d*«wÝ«b «- 6 -

7 wð UJ¹b «Èu² *«.2 Èu?² *«Âu?NH? X d?fðë WOŁ«b?Šù«WÝb?MN «œu³? ÂUF «ro?kf² «qš«d? w XÝ œ UOM M*«uD?) w½uo³ «qo? L² «w p X b? ²Ý«Ë t?o jim «5OFð W?OHO? Ë wł«bšù«wd³ðd*«w?o?ýu?ý_«ro¼u?h*«w?fł«d?0 bm³ ««c¼ w Âu?IMÝË ÆW?O½ü«ôœU?F*«iFÐ qš w Ë Æw½UO³ «Èu² *UÐ wð UJ¹b «Èu² *«w UOŁ«bŠù«ÂUE½ 1.2 UN¹bFÐ b?$ UM½S ÎU Uð ÎUMOO?Fð Èu² *«w p 1 x 1, y 1 qo WDI½ 5O?F² t½ rkfð W DIM «w? 5 FÞU?I²? Ë yy, xx q? Èu?² *«w? 5²ÐUŁË s¹b? UF?²? 5L?O?I²?? sž Æq _«WDI½ vl ð w² «(0,0) 0 Æ(1) qja «de½«vl? ¹Ë y (1) qja «u yy, wý d «j)«wl ¹ UL x u xx wi _«j)«vl ¹ Æ UOŁ«bŠù«Í u ÎUF Ê«u;«- 7 -

8 U?L? WDIMK x 1 wł«bšù«y u sž p q Èu?² *«w WDI½ Í b?fð vl ¹Ë b??fð Ê (1) q JA? «w k Šô WD?IMK y wł«b??šù«x u?? s?ž W DIM? «b?f?ð vl?? ¹ u?¼ x u????????? s?ž U¼b?????FÐ Ê Ë PA = OB = x 1 u¼ y u????????? sž p W?DI?M «wł«bšù«wðq¹ YO? Ð 5Ýu 5Ð ULN?F{uÐ ÎUF 5OŁ«b?Šù«sŽ d³f½ë ÆPB = OA = y 1 «U?³?łu? x wł«b?šù«d³²?f¹ë x 1, y 1 U?LNMOÐ WK U? l{ë l y wł«bšù«rł ôë x U? Æ U??O «ÁU?&«w fo? «ÎU?³ U?ÝË 5L?O «ÁU?&«w Ë q _«WDI½ s «b?²ð«fo? fo «ÎU³ UÝË x u u Ë q _«WDI½ s Î «b²ð«fo «ÎU³?łu d³²fo y wł«bšù«æx u X% ÁU&«w wð Uý Ê Ë ŸUÐ W?FÐ v «Èu²? *«ÊUL?I¹ s¹ u;«ê qja «s kšöð U?L w U² «(1) Ëb'«w UL ÊuJð Èu² *«w WDI½ Í wł«bš (1) Ëb'«lЫd «lðd «Y U «lðd «w½u «lðd «Ë_«lÐd «UOŁ«bŠù« x y (+,-) (-,-) (-,+) (+,+) (x, y) - 8 -

9 w½uo³ «Èu² *«w WO U² «jim «5Ž D(5,-2), C(-4,-1), B(-1,3), A(2,5), F(8,0), E(0,6) (1) U (2) qja «ÎU¹œu?LŽ d?²½ rł x u vk?ž di¹ë UN x = 2 wł«bšù«5f½ A jim «5OF² (2,5) WDIM «5FM tokž 5 Z¹ b² «qb½ v²š y u; Vłu*«ÁU&ô«w vkž v 2 q(«æwi¹dd «fhmð Èdš_«jIM «5F½ rł Æ(2) qja «w UL F(8,0) WDIM «ÊS?? p c? Ë ø«u* Æy u?? vkž lið E(0,6) WDIM «Ê kšô Æ ø«u* x u vkž lið (x,0) w¼ x u?? vk?ž lið w² «jimk W?? U?F «u?b «Ê u?i «s?j1 o³?ý U2 Æ(0,y) w¼ y u vkž lið w² «jimk W UF «ub «Ë w{u¹d «r U?F «t?f?{«ë v W?³? ½ W¹e?Oð UJ «U?OŁ«b?Šù«ÂUE?½ ÂUEM ««c¼ vl? ¹ Æ( ) UJ¹œ w ½dH «- 9 - s

10 w½uo³ «Èu² *«w WO U² «jim «5Ž (-3,-5) (4,0), (5,3), (0,-4), (3,-2) (1) V¹ bð Èu² *«w 5²DI½ 5Ð bf³ «2.2 ÆW¹e?Oð UJ «UOŁ«b?Šù«ÂUE½ «b? ²?ÝUÐ Èu²? *«w 5²DI½ 5Ð b?f³ «œu? ¹ sj1 qja «w U?L Èu?²? *«w UL¼UMO?ŽË p 2 x 2,y 2, p 1 x 1,y 1 5²DIM «U½c?š «S W öf «s ULNMOÐ d = P 1 P 2 bf³ U Š sj1 t½s (3) d = x 2 -x y 2 -y (1) WO U² «WK¾Ý_«sŽ WÐUłùUÐ (1) W öf «W U³Ł pmj1 ø P 1 P 2 R YK *«Ÿu½ U (1) ø x 1, x 2 W ôbð P 1 R uþ U (2) ø y 1, y 2 W ôbð P 2 R uþ U (3) sj1 u?žu? O? W¹dE½ «b??²?ÝUÐË WŁö? «WK¾?Ý_«sŽ pðuðu?ł «b?²?ÝUÐ Êô«Ë Æ(1) bžui «UI²ý«(3) qja «- 10 -

11 (2) U Æ(7,3), (4,-1) 5²DIM «5Ð W U *«bł q(«d = (-1) 2 = = 5 Æ bš«ë W UI²Ý«vKŽ lið C(1,5), B(-1,1), A(-2,-1) (3) U jim «Ê X³Ł«q(«AB = -2 -(-1) = = 5 BC = = = 2 5 AC = = = 3 5 AC = AB + BC Ê Í Æ bš«ë W UI²Ý«vKŽ lið Àö «jim «Ê wmf¹ «c¼ë ÊuJ¹ U bmž A, B, C jim «s Z²M¹ Íc «qja «U ø A C < A B + B C (4) U Æ5 U «ÍËU ² YK * ˃ C(-8,-2) Ë B(-11,3) Ë A(3,8) jim «Ê 5Ð

12 q(«ab = = 221 BC = = 34 AC = = 221 Æ5 U «ÍËU ² ABC YK *U Ê AB = AC Ê Í (2) V¹ bð ÆqOD² ˃ w¼ D(4,2), C(-2,2), B(-2,-2), A(4,-2) jim «Ê s¼dð -1 ˃ w??¼ C (2a + 3 a, 5a), B(2a, 6a), A(2a, 4a) j??i??m?? «Ê X??³??Ł -2 ÆŸö{_«ÍËU ² YK WMOF W³ MÐ WLOI² WFD ro Ið 3.2 W?LO?I²? *«WFD?I «r Ið w² «WDI?M «woł«bš œu? ¹ô bžu? bm³ ««c¼ w o²?amý Æ UDF W³ MÐ 5² ukf 5²DI½ 5Ð WK «u «5²D?IM «5Ð WK? «u «W??L??O??I??²?? *«W???FDI «vk?ž lið P(x,y) WDI?M «Ê d?? P WDIM «U?OŁ«bŠ U?L¼ UL? r W?³ M UÐ W?FDI «r Ið U?N½ Ë P 2 x 2,y 2 Ë P 1 x 1,y 1 ø r W³ M «Ë P 1 Ë P 2 5²DIM «UOŁ«bŠ W ôbð Ë P 1 PQ 5 K *«rýd½ë Èu?²? *«w Àö «jim «5F?½ «R ««c¼ sž WÐU?łö Ê s b QðË qja «v de½«(4) qja «w `{u u¼ UL PP 2 R

13 P 1 Q = x - x 1 QP = y - y 1 PR = x 2 - x P 2 R = y 2 - y (4) qja «Ê kšöð Í «u??² «Â«b???²??ÝUÐ ø PP 2 R, P 1 PQ 5 K?*«U¹«Ë 5Ð W? ö??f «U? Ê p s Z²M¹Ë ÊUNÐUA² 5 K *«ÊS w U² UÐË W¹ËU ² 5 K *«w dþum²*«u¹«ëe «P 1 P = PQ PP 2 P 2 R = QP 1 RP = r vkž qb ½ W³ M «Ë UOŁ«bŠùUÐ «uþ_«ro sž i¹uf² UÐË r = y - y 1 y 2 - y = x - x 1 x 2 - x... (1) s vkž qb ½ (1)

14 r x 2 - x = x - x 1 rx 2 - rx = x - x 1 x(1+r) = x 1 + rx 2 x = x 1 + rx r y = y 1 + ry r vkž qb ½ q *UÐË x 1 + rx r, y 1 + ry r w¼ WFDI «ro Ið WDI½ Ê Í W U??(«Ác¼ w Ë P 2 Ë P 1 5²DIM «5Ð lið P WDIM «Ê (4) qja «s kšöð Í s P 1 P 2 WFDI «œ«b?² «vkž P XF Ë «U? qš«b «s ÎULO?Ið ro I?² «wl ½ dog² W³ UÝ W³ M «d³²f½ W U(«Ác¼ w Ë Ã U)«s ÎU?LO Ið vl ¹ ro I² «ÊS UNO²Nł s Æ(5) qja «w `{u u¼ UL WLOI² *«WFDI «ULNO r IMð s¹ck «s¹ e'«uo ÁU&«(5) qja «- 14 -

15 v P s œuf½ rł P 2 v P 1 s do? ½ UM½ à U)«s ro I?² «W UŠ w kšô W?³? M «ÊuJð w U?² UÐË d?o? «ÁU?&«d?O?G½ UM½ Í Ã U?)«s W?FDI «Í e?ł b¹b??² P 2 w¼ W U(«Ác¼ w ro I² «WDI½ ÊuJðË ÆW³ UÝ x 1 - rx r, y 1 - ry r Ë P 1 (2,3) (5) U 5²?DIM? «5Ð WK? «u «W???F?DI «r????i?ð w² «W?DIM? «woł«b????š b???ł Æ 3 W³ MÐ Ã U)«s Ë qš«b «s P 2 (-4,-2) 5 q(«ul¼ qš«b «s ro I² «WDI½ UOŁ«bŠ y = (-2) = 9 8, x = (-4) = Æ Ë 9 8 w¼ qš«b «s ro I² «WDI½ UL¼ à U)«s ro I² «WDI½ UOŁ«bŠ»

16 x = (-4) = 11 y = (-2) = 10.5 Æ 11 Ë 10.5 w¼ Ã U)«s ro I² «WDI½ Ë P 1 x 1,y 1 5²DIM «5Ð WK «u «W?LOI²? *«WFDI «nobmð WDI½ woł«b?š bł (6) U Ær=1 Æ P 2 x 2,y 2 q(«w¼ WLOI² *«WFDI «UNÐ r IMð w² «W³ M «Ê b$ ro I² «WDIM W UF «ub «w i¹uf² UÐ x = x 1 + x 2 2, y = y 1 + y 2 2 Æ(-3,2) Ë (5,4) (7) U 5²DIM «5Ð WK «u «WFDI «nb²m woł«bš bł q(«- 16 -

17 x = x 1 + x 2 2 y = y 1 + y 2 2 = = = 1 = 3 W??FD?I «ÊU??L????Ið 5?²K «P 2 x 2,y 2 P 1 x 1,y 1 (8) U 5²D?IM «U??OŁ«b??Š b??ł ÆW¹ËU ² ÂU WŁöŁ v «B(9,7) Ë A(3,-1) 5²DIM «5Ð WK «u «WLOI² *«r 1 = AP 1 P 1 B = 1 2 P 1 WDIM «œu ¹ô x 1 = (9) = 5, y 1 = (7) = x 2 = 3 + 2(9) r 2 = AP 2 P 2 B = 2 1 = 7 Ë y 1 = (7) P 2 WDIM «œu ¹ù = 13 3 (3) V¹ bð dd «UOŁ«b?Š UL UNO? dd w dþ bš«(2, -1) WDIM «Ë dz«œ e d (3,5) X½U «-1 ødšü«r??imð P 2 (9,-7) Ë P 1 (-1,13) 5²DIM? «5Ð WK «u «W?L?O??I?²? *«W?F?DI «Ê s¼dð -2 ÆW³ M «fhmð à U)«s Ë qš«b «s P 4 (29,-47) Ë P 3 (5,1) 5²DIM UÐ

18 P 2 (-1,-3) P 1 (4,-2) (1) wð«c «.ui² «WK¾Ý wð UJ¹b «Èu² *«w WO U² «jim «5Ž -1 (8,-2), (-4,0), (0,7), (-3,-6), (3.5,6) WO U² «jim «Ã«Ë 5Ð W U *«bł -2» P 2 (9,5) P 2 (-c,-d) P 1 (5,2) P 1 (a,b) ÆŸö{ Í «u² ˃ w¼ D(1,2), C(4,3), B(1,0), A(-2,-1) jim «Ê X³Ł -3 à w¼ týëƒ UOŁ«bŠ Íc «YK *«Ê s¼dð -4 ÆŸö{_«ÍËU ² ÊuJ¹ C 7, 1 + 3, B 3, 1 + 3, A 5, 1-3 5²D?IM «5Ð WK «u? «W?L??O??I??²?? *«W??FDI «ÊU??L???I?ð 5²K «5²?DIM «woł«b??š b??ł -5 Æ 5 W³ MÐ Ã U)«s Ë qš«b «s P 2 (2,-13), P 1 (-7, -4) 4 jim «týëƒ Íc «YK *«w WDÝu²*«ULOI² *«w öð WDI½ woł«bš bł -6 P 1 (6,8) ÆC(2,5), B(9,-3), A(4,7) w¼ tžö{ UHB²M UOŁ«bŠ Íc «YK *«Ëƒ UOŁ«bŠ bł -7 5²DI?M «5Ð WK «u «W?L??O?I?²?? *«W?FDI «r??ið ÆP 2 WDIM «woł«bš b qš«b «s Æ(2,-3), (5,2), (-2,1) (2,9) 3 7 WDIM «X½U? «-8 W³ MÐ P 2 x 2,y

19 roi² *«j)«qo.3 5³½Ë y Ë x w v Ë_«W?ł b «s W œu?f*«hzub?š ifð bm³ ««c¼ w? df?²mý w j)««c¼ ÁU?&«b¹b?% W?O?H?O 5³?MÝ UL? U?Lz«œ ro?i?²?? jš u¼ w½u?o?³ «U¼UM M Ê Æwð UJ¹b «Èu² *«y Ë x w v Ë_«Wł b «s W UF «W œuf*«1.3 W UF «UN² œuf Ê y Ë x w v Ë_«Wł b «s WO½ü«ôœUFLK p²ý«œ s rkfð w¼ ax + by + c = 0... (1) W²ÐUŁ UOL a, b, c YOŠ ÆÎULz«œ roi² jš u¼ W œuf*«ácn w½uo³ «j)«ê wk¹ ULO 5³MÝË P 1 x 1,y 1 Àö «jim «Ê dh½ ÎUL?OI² ÎUDš q 9 (1) W œuf*«ê U³Łù Æ(6) qja «w UL W œuf*«vm M vkž lið P 3 x 3,y 3 P 2 x 2,y

20 (6) qja «Í «u¹ ÎULO?I² P 1 s rýd½ë x u vkž P 3 C, P 2 B, P 1 A blž_«em½ ÆVOðd² «vkž C B w P 3 C, P 2 B s¹œulf «ÎUFÞU Ë x W œu?f*«oi?% U?NðU?OŁ«b?ŠS? Ê (1) W œu?f*«vm M vkž lið Àö? «jim «Ê U0 u Í ax 1 + by 1 + c = 0... (2) ax 2 + by 2 + c = 0... (3) ax 3 + by 3 + c = 0... (4) Ê Z²M¹ (3) w dþ s (2) w dþ ÕdDÐË a x 2 - x 1 + b y 2 - y 1 = 0... (5) Ê Z²M¹ (4) w dþ s (2) w dþ ÕdDÐË a x 3 - x 1 + b y 3 - y 1 = 0... (6) Ê b& (6) Ë (5) s Ë x 2 - x 1 x 3 - x 1 = y 2 - y 1 y 3 - y 1... (7) Æ[ (6) Ë (5) s x 3 - x 1 x 2 - x 1 s q WLO œu ¹SÐ p X³Ł ]

21 Ê b& (6) qja «w WMO³*«WLOI² *«ldi ««uþ sž (7) w i¹uf² UÐË P 1 B P 1 C = P 2 B P 3 C ÆC > UO Ω B > UO Ê U0Ë ÊUNÐUA² P 1 C P 3, P 1 B P 2 ÊU K *U Ê ÆqLF UÐ ULNCFÐ vkž ÊUI³DM P 1 C, P 1 B 5FKC «Ê U0Ë ÆÎUC¹ ULNCFÐ vkž 5I³DM P 1 P 3, P 1 P 2 ÊUFKC «ÊuJ¹ Ê V ¹ Ê ÆP 1 P 2 WFDI «W UI²Ý«vKŽ lið P 3 WDIM «Ê«Í vkž ÊuJð (1) W œu?f*«v?m M vkž W?F?? «Ë Èd?š WDI½ Í Ê U?³Ł s?j1 q *UÐË ÆP 1 P 2 W UI²Ý«ÆÎULz«œ roi² jš u¼ (1) W œuf*«vm M Ê Í roi² *«j)«qo 2.3 w y Ë x s¹d?o?g?²*«w v Ë_«W?ł b «ôœu?f? s? œb?ž U?OM M XL?Ý «w UMOF? U¼U&«c ²¹ U?NM ö Ê Ë roi²? jš UNM ö Ê kšö½ wð UJ¹b? «Èu² *«U?N?FMB¹ w² «W?³?łu*«W¹Ë«e UÐ ro?i?²? *«ÁU?&«b¹b?% vkž U?O?{U¹ `KD «b? Ë ÆÈu?²? *«Æx u l roi² *«(1) n¹dfð x u; Vłu*«ÁU?&ô«l roi² *«UN?FMB¹ W³łu W?¹Ë«dG w¼ roi²? *«qo W¹Ë«-1 ÆWŽU UIŽ b{ ÁU&«w WÝUI Æ(Tangent) tko W¹Ë«qþ u¼ roi² *«j)«qo -2 wk¹ ULŽ Vł Ë (7) qja «v «de½«øtko u¼ U Ë øab roi² *«qo W¹Ë«U øtko u¼ U Ë øcd roi² *«qo W¹Ë«U w U?² UÐË θ 1 UN?ÝUO? w² «Ë < x BA w¼ AB qo W?¹Ë«Ê błë p½ bð ô u¼ AB roi² *«qo m ÊS

22 m 1 = tan θ 1 qo? m 2 ÊS w U² UÐË θ 2 UNÝU?O w² «Ë < x CD w¼ CD roi² *«W¹Ë«Ê Ë u¼ CD roi² *«m 2 = tan θ 2 (7) qja «P 2 x 2,y 2 Ë P 1 x 1,y 1 q?? 5²D?IMÐ U*«rO??I??²?? *«q?o?? Ê U?³?Ł sj1ë ÍËU ¹ m = tan θ = y 2 -y 1 x 2 -x 1... (1) w U??L? A w x u?? w ö?o P 2 Ë P 1 5²DIM U?Ð U*«rO?I?²? *«UML?Ý «S? θ sj m = tan θ ÊuJ¹ tko ÊS? w U² UÐË θ ÊuJ¹ tko? W¹Ë«UO? ÊS (8) qja «Æ ø«u* < P 2 P 1 D Ê b& P 1 D P 2 UO ÍËU ð YK *«s Ë m = tan θ = y 2 - y 1 x 2 - x 1 p qkž

23 (8) qja «Æ(3,5) Ë (1,4) 5²DIM UÐ U*«rOI² *«qo bł u¼ roi² *«qo Ê b$ (1) m = = 1 2 Êu½UI «Â«b ²ÝUÐ (9) U q(«æ(5,9) (-8,-4) 5²DIM UÐ d1 t½ XLKŽ «tko W¹Ë«Ë roi² *«qo s ö bł m = tan θ = = 1 θ = tan -1 1 = 45 Ê Æ"1 ÍËU ¹ (tan.) UNKþ w² «W¹Ë«e «θ" wmfð θ = tan -1 1 U³F «Ê d cð Æ45 w¼ 1 ÍËU ¹ UNKþ W³łu W¹Ë«dG Ê U K *U Š s rkfðë (10) U q(«æθ UNÝUOIÐ qo*«w¹ë«sž di*««c¼ w d³fmý WEŠö

24 WO U² «jim «Ã«Ë QÐ d9 w² «ULOI² *«s qj t²¹ë«ë qo*«bł (4) V¹ bð Æ(-11, 10) Ë (-11, 4)» Æ(10, -3) Ë (14, -7) Æ(14, 6) Ë (8, 6) à t?²? œu?f? X?ODŽ««rO?I??²? *«j)«q?o? b?& n?o? Êü«ÕdD¹ Íc ««R?? «Ë ax + by + c = 0... t² œuf Íc «roi² *«j)«qo b& no Í øw UF «UNð ubð ø(1) q????? 5?²D?I½ Í t?????o?kž c?????šq½ë Èu?????²??????*«w r?o????i?????²??????*«j)«r?ýd½ ÆP 2 x 2,y 2 Ë P 1 x 1,y 1 u¼ tko ÊS roi² *«j)«vkž ÊU²F «Ë P 2 Ë P 1 5²DIM «Ê U0Ë m = y 2 - y 1 x 2 - x 1... (2) Æ(9) qja «de½«(9) qja «Í (1) roi² *«j)«w œuf ÊUII% P 2 Ë P 1 5²DIM «ÊS p c Ë

25 ax 1 + by 1 + c = 0... (3) ax 2 + by 2 + c = 0... (4) vkž qb ½ (4) W œuf*«w dþ s (3) W œuf*«w dþ ÕdDÐË a x 2 - x 1 + b y 2 - y 1 = 0 Z²M¹ UNM Ë p s b Qð y 2 - y 1 x 2 - x 1 = - a b... (5) Ê b& (5) Ë (2) 5Ð Ê U m = - a b... (6) u¼ ax + by + c = 0... (1) dd «fh½ w U½uJ¹ Ê V ¹ y - a b = - x q UF y q UF Ë x roi² *«qo ÊS «cnðë s¹dog²*«êu¹u ¹ s¹ck «s¹b(«ê kšô Æ(6) W œuf*«â«b ²ÝUÐ roi² *«j)«qo œu ¹ q³ (1) W œuf*«s (11) U ø 2y + 4 = -5x (2) 2x - 3y + 6 = 0 (1) 5LOI² *«s q qo U q(«u¼ j)«qol Ê ªW œuf*«s bš«ë dþ w y Ë x Ê«dOG²*«(1) m = = 2 3 W œuf*«s bš«ë dþ w y 2y + 5x + 4 = 0 m = Ë x s¹dog²*«lc½ (2) qo*«êujo

26 (5) V¹ bð WO U² «ULOI² *«s q qo bł y - x - 4 = 0-3 7x = 3y x = 9-4 y + 5 = 0-3 U¼b UFðË ULOI² *«Í «uð 3.3 5O U² «5 «R «sž Vł Ë (10) qja «w sf9 ø L 2 Ë L 1 5LOI² *«s q qo W¹Ë«U øα, θ 2, θ 1 U¹«Ëe «5Ð W öf «U wk¹ U 5³ð 5 «R «sž WÐUłù«Ê Æθ 1 Æθ 2 w¼ L 1 w¼ L 2 qo W¹Ë«qO W¹Ë«(10) qja «WD?I½ C, x u? l L 1 lþuið WDI½ B, L 2 Ë L 1 lþuið WDI½ A X½U ««Ë ABC YK??LK W?³?? M UÐ W?ł U??š W¹Ë«d?³??²?Fð W¹Ë«e «ÊS? x u?? l lþu?ið θ 2 L 2 ÊuJ¹ w U² UÐË θ 2 = θ 1 + α α = θ Ë 2 θ

27 tan α = tan θ 2 θ 1 Ê 5²¹Ë«5Ð ËdH «qþ d cð = tan θ 2 tan θ tan θ 2 tan θ 1 5?ÐË L 2 Ë L 1 tan α = 5LOI² *«5Ð α m 2 - m m 1 m 2... (1) œu(«w¹ë«e «qþ 5Ð W öf «œb% ø 5¹ «u² 5LOI² 5Ð ub;«α (1) W œuf*«w¹ë«e ««bi U Êü«Ë ÊS w U² UÐË ÆdHB «ÍËU ð ULNMOÐ ub;«α W¹Ë«e «ÊS ÊULOI² *«È «uð «ÆULNOKO tan α = tan0 = m 2 - m m 2 m 1 = 0 Æm 2 - m 1 = 0 tm Ë tan0 = 0 Ê_ Æm 2 w½u?? «qo? ÍËU?? ¹ qja «w 5³? u¼ UL? θ 2 m 1 m 1 = m 2 Ë_«qO? ÊU?? «ÊU¹ «u?²¹ 5?L?O?I??²? *«Ê Í w½u «qo? W¹Ë«ÍËU ð θ 1 Ë_«qO W¹Ë«ÊS? w U² UÐË Æ(11) (11) qja «Õd?ý«Í «u?² «Ë U¹Ë«e «dþu?mð vkž œu?l?²?žôuð W??O?²M «fh½ v? «u? u «pmj1ë Æ p

28 90 ÊuJð U?L?NM?OÐ u?b?;«w¹ë«e «ÊS? L 2 Ë L 1 ÊU?L?O?I?²? *«b? U?Fð «U? ÊS w U² UÐË tan α = tan 90 = m 2 - m 1 Ω WMOF dož WOL 1 + m 2 m 1 Æ tan 90 d cð 1 + m 2 m 1 = 0 Ê_ Æ-1 ÍËU ¹ ULNOKO»d{ q UŠ ÊU «Ê«b UF²¹ L 2 Ë L 1 m 1 m 2 = -1 UNM Ë 5LOI² *«Ê Í 5²DIM UÐ U*«rO?I²? *«Í «u¹ B(1,4) Ë A(5,6) 5²DIM UÐ U*«rO?I²? *«Ê s¼dð (12) U ÆD(4,2) Ë C(10,5) = 1 2 Ë_«rOI² *«qo = 1 2 w½u «roi² *«qo ÆÊU¹ «u² ÊULOI² *U Ê ÊU¹ËU ² 5KO*«Ê U0Ë q(«(13) U UL¼U² œuf s¹ck «5LOI² *«Ê XLKŽ «a WLO bł 3x - 2y + 7 = 0 ax + 5y + 4 = 0 Ê«b UF² (2) ÊU¹ «u² (1) m 1 = -3-2 = Ë_«rOI² *«qo q(«

29 m 2 = -a 5 w½u «roi² *«qo 3 m 1 = m = -a 5 Æm 1 m 2 = -1 ÊuJ¹ Í «u² «W UŠ w (1) Í a = -7.5 UNM Ë ÊuJ¹ b UF² «W UŠ w (2) Í 2 x -a 5 = -1 UNM Ë a = Æ bš«ë W UI²Ý«vKŽ lið C(6,7), B(3,3), A(0,-1) jim «Ê X³Ł -1-3 u¼ B Ë A w U*«rOI² *«qo 0-3 = u¼ C B w U*«rOI² *«qo 6-3 = 4 3 ÆÊU¹ «u² BC AB 5LOI² *«Ê Í Æ bš«ë W UI²Ý«vKŽ ULN Ê B Æ bš«ë W UI²Ý«vKŽ C WDIM «w ÊU d²a ULN½ U0Ë Ë B Ë A Àö «jim «Ê Í (14) U q(«(15) 5O U² «5LOI² *«5Ð œu(«w¹ë«e «bł 2x - 3y + 4 = 0, x + 5y + 7 = 0 U

30 Æ p s b Qð 1 5 tan α = 2 w½u «roi² *«qo Ë 3 m 2 - m m 1 m 2 = Ë_«rOI² *«qo = 1 q(«æ tan 45 WLO d cð α = 45 Ê ÊU½uJ¹ (6) a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 5LOI² *«Ê 5Ð V¹ bð a 1 = b 1 ÊU «5¹ «u² -1 a 2 b 2 a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0 ÊU «s¹b UF² -2 U*«rO???I??²?? *«vk?ž Íœu??L??Ž B(-1,2) Ë A(2,4) ˃ w¼ D(5,6), C(10,1), B(3,0), A(-2,5) (1) wð«c «.ui² «WK¾Ý 5²D?IM UÐ U*«r?O??I??²?? *«Ê 5Ð ÆD(1,2) Ë C(-1,5) 5²DIM UÐ ji?m «Ê qo*«â«b??????²??ýuð X?³Ł Y U?? «lkc? «Í «u¹ YK?? w 5FK?{ Í wh?b??²m? 5Ð q «u «ro??i??²??*«ê X³Ł rzu??? YK??? ˃ w¼ L 1 qo? ÊU? Ë 60 C(2,4), B(4,8), A(8,6) Æ5F ÆtHB½ ÍËU ¹Ë jim? «Ê qo*«â«b?????²???ýuð 5Ð ÆW¹Ë«e «ÍËU ð L 2 Ë L 1 5L?OI?² *«5Ð u?b;«w¹ë«e «X½U? «-5 Æ ÍËU ¹ L 2 qo Ê s¼d³ 1 ÍËU ¹

31 roi² *«j)«w œuf* WHK²<«uB «.4 w v Ë_«W??ł b «s W?? U??F «W œu??f*«ê (1.3) bm³? «w d? c?ð U?L?? UM²??³Ł ub «vkž w² «Ë x,y s¹dog²*«æw²ðuł UOL a, b, c YOŠ ÎULOI² ÎUDš q 9 ax + by + c = 0...(1) ub «vkž (1) W œuf*«wðu² sj1 (a 0) x + b a y + c a = 0... (2) w²?l?o? XL?KŽ «ro?i?²? *«j)«w œu?f? W?ÐU?²? sj1 t½ (2) W œu?f*«s kšô c j)«w œuf? WÐU² sj 5²ÐU? «WLO? b¹b ² 5Þd?ý UMODŽ «S 5²ÐU «a, b a wk¹ U?LO? o²amýë r?oi?²? jš Í W œuf? 5O?F² ÊUÞd?ý UM ek¹ t½s? tokžë ÆrO?I²? *«ÆrOI² *«j)«w œuf* WHK²<«uB «UOŁ«bŠù«Í u bš Í «u¹ Íc «roi² *«W œuf 1.4 ÆL 2 Ë L 1 5LOI² *«kšôë (12) qja «v «de½ (12) qja «- 31 -

32 b??& noj «b??šu «s b «b?i0 tm?ž b?f?³¹ë x u?? Í «u¹ L 1 Ê XLKŽ «øt² œuf øb& «UL UNM qj y wł«bšù«5žë L 1 vkž WF «u «jim «s ΫœbŽ cš lið WDI½ q v?kž o³dm¹ «c¼ë b u¼ jim «Ác?N y wł«bšù«ê«b?łë p½ bð ô ÆÈdš_«jIM «s œbž Í cšqð p s b Qð ÆL 1 vkž Æ5ÞdAK W O²½ Uł L 1 vkž WF «u «jim «lol' y = b Êu Ê Æx u Í «u¹ L 1-1 Æx u sž b «bi0 bf³¹ L 1-2 b b?fð vkžë x u? Í «u¹ Íc «roi² *«W œu?f w¼ y = b... (1) W œuf*«ë ÆtM «bšë «U?L tm UÐd?²I? Ë t U¹ «u? vi³¹ YO? Ð x u? ÁU&UÐ L 1 ro?i²?*«d% «øb = 0 U bmž Àb ¹ «U øb vkž kšöð w¼ x u W œuf Ê v «c¼ s XK uð q¼ øy = 0... (2) Íc «L 2 roi² *«W œuf WÐU² Êü«pMJ1 q *UÐË Æy u Í «u¹ -1 Æy u sž a «bi0 bf³¹ -2 x = a... (3) ub UÐ Æx = 0 w¼ y u W œuf ÊS w U² UÐË (16) U W UŠ q w roi² *«W œuf bł Æ «bšë 5 «bi0 tmž bf³¹ë x u Í «u¹ ÊU «-1 Æ «bšë (-3) «bi0 tmž bf³¹ë y u Í «u¹ ÊU «-2 q(«- 32 -

33 Æy = 5 w¼ roi² *«W œuf -1 Æx = -3 w¼ roi² *«W œuf -2 w² «W? öf «b?$ë UNÐ d1 w² «jim «ÈbŠ Ë tko ÂuKF*«rOI² *«W œuf 2.4 Ê rkž «L 1 roi² *«j)«w œuf œu ¹»uKD*«Æm ÍËU ¹ L 1 roi² *«qo -1 ÆP 1 x 1, x 2 WDIM UÐ d1 L 1 roi² *«-2 P(x, y) q? tok?ž WF? «Ë WDI½ Í c?šq½ j)«w œu?f œu? ¹ù u¼ L 1 Æ(2) Ë (1) roi² *«qo Ê b$ (13) m = y - y 1 x - x 1 y - y 1 = m x - x 1... (1) 5ÞdA «Â«b ²ÝUÐ UNOOŁ«bŠ 5Ð jðdð qja «Â«b ²ÝUÐ vkž qb ½ UNM Ë ÆWÐuKD*«rOI² *«j)«w œuf w¼ Ác¼Ë (13) qja «- 33 -

34 (17) U Æm = 3 tko Ë A(2,-1) WDIM UÐ d1 Íc «roi² *«W œuf bł q(«w¼ roi² *«j)«w œuf Ê b$ (1) W œuf*«w i¹uf² UÐ y - (-1) = 3 (x - 2) y + 1 = 3 (x - 2) y - 3 x = 0 5²DIM UÐ U*«W?FDI «nb?²m0 d1 Íc «Ë m = -1 x 1 = y 1 = = 2 = 1 tko? Íc «roi?² *«W œu?f b?ł WFDI «nb²m* x 1 WFDI «nb²m* y 1 Æ(2, 1) (18) U Æ(3, 0), (2, 1) wł«bšù«wł«bšù«q(«w¼ nb²m*«wdi½ Í ÊuJð roi² *«j)«w œuf Ê y - 1 = -1 (x - 2) y - 1 = -x + 2 y + x - 3 = 0 y u s tfdi Ë tko ÂuKF*«rOI² *«W œuf 3.4 Ê rkž «L 1 roi² *«j)«w œuf œu ¹uKD*«- 34 -

35 WD?I½ sž y u l A tfþuið WDI½ bf³ð œb ¹ y u s L 1 b?$ë P(x,y) q? tokž W?F «Ë WDI½ Í c?šq½ Æ(2) (1) ø(14) ÆOA = b u¼ (13) L 1 Æm ÍËU ¹ roi² *«qo (1) Æb ÍËU ¹ y u s tfdi (2) roi² *«ldi qja «w ldi*«ë ro?i² *«j?)«w œuf œu? ¹ù Æ O q _«5ÞdA «Â«b ²ÝUÐ UNOOŁ«bŠ 5Ð jðdð w² «W öf «qja «w A WDIM «woł«bš 5OFð pmj1 q¼ x = 0 u¼ A WDIMK x y = b u¼ A WDIMK y wł«bšù«wł«bšù«a(0,b) Ê A(0,b) WDIM UÐ d1 L 1 da «v u% (2) da «ÊS w U² UÐË w¼ roi² *«j)«w œufl Ê y - b = m (x - 0) y = mx + b... (1) (14) qja «- 35 -

36 Æ4 ÍËU ¹ y u s tfdi Ë 2 3 ÍËU ¹ tko Íc «roi² *«W œuf bł w¼ roi² *«W œuf Ê b$ (1) y = 2 3 x + 4 W œuf*«â«b ²ÝUÐ (19) U q(«íëu ¹ y u s t?fdi Ë 120 ÍËU?ð tko W¹Ë«Íc «ro?i²? *«W œuf? bł ÍËU ¹ roi² *«qo m = tan 120 = -tan 60 = - 3 w¼ roi² *«W œuf Ê y = - 3 x - 6 (20) U Æ -6 q(«- 36 -

37 (21) U p s b??łë y = mx + b u?b «w 2y - 3x - 4 = 0 ro?i?²? *«W œu?f? l{ Æy u s tfdi Ë roi² *«qo q(«ê Ë (+1) tk U?F? Ë U?NM dþ w li¹ ji? y d?og?²*«ê b?& (1) W œu?f*«kšô Ædšü«dD «w ÊUFI¹ b XÐU «b(«ë x dog²*«ub «w UNF{Ë sj1 UDF*«W œuf*u Ê y x - 2 = 0 y = 3 2 x + 2 Ë Æ 3 2 u¼ tko Ê Ë 2 u¼ y u s roi² *«ldi Ê b$ UNM Ë (7) V¹ bð Æ2x - 3y + 6 =0 roi² *«vkž ÍœuLŽË (-2, 3) WDIM UÐ U*«rOI² *«W œuf bł -1 (- 5 ²DIM UÐ U *«r O I² *«Í «u ¹ Íc «Ë (2, -3) W D IM UÐ U *«r OI² *«W œu F b ł -2 Æ2, 2), (4, 1) 5² ukf 5²DIMÐ d1 Íc «roi² *«W œuf 4.4»uKD*«Ê rkž «L 1 roi² *«j)«w œuf œu ¹ ÆP 1 x 1, y 1 WDIM UÐ d1 L 1 roi² *«-1 ÆP 2 x 2, y 2 WDIM UÐ d1 L 1 roi² *«

38 WDI½ Í c??šq½ P 1 Ë P 2 5²DIM UÐ d1 Íc «L 1 ro?i?²? *«j?)«w œu?f? œu? ¹ù «b??²?ÝUÐ x,y 5Ð W? öf «b?$ë (15) qja «w U?L P(x, y) q? t?okž WF? «Ë W? UŁ øp 1 Ë P 2 m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 UOŁ«bŠ W ôbð L 1 Æ(2) Ë (1) roi² *«qo U ÍËU ¹ m qo*«5þda «(15) qja «sj1 t½s? P 1 P 2 5²? ukf? 5²DIMÐ d1 r?oi?²? *«Ë ÎU? Ëd?F? `³? qo*«ê U0 ÊuJ² 5²DIM «ÈbŠ «b ²ÝUÐ W œuf*«wðu² y - y 1 = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x - x 1... (1) y - y 2 = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x - x 2... (2) Ë

39 Æ(2, 5) Ë (1, 3) m = 5-3 5²DIM UÐ U*«rOI² *«W œuf bł u¼ roi² *«qo 2-1 = 2 w¼ roi² *«W œuf Ê (22) U q(«y - 2x - 1 = 0 y - 3 = 2 (x - 1) Ë A(1,2) j IM? «t Ý˃ Íc «Y K? *«w AD j Ýu??²*«r O??I?²??*«W œu?f?? b?ł ÆBC lkc «nb²m w¼ D Ê XLKŽ « Æ(16) qja «w UL ABC, (23) U C(-3, -5) B(2, 3) YK *«rýd½ w¼ D WDIM «q(«d - 1 2, -1 Í u¼ AD jýu²*«roi² *«qo m = 2 - (-1) = 3 = w¼ AD jýu²*«roi² *«W œuf

40 y - 2 = 1 2 (x -1) 2y - 4 = x -1 2y - x - 3 = 0 (16) qja «(8) V¹ bð roi?² *«W œu?f b? AC lkc «nb²m w¼ E WDIM «X½U «(23) U *«w ÆBE jýu²*«s¹ u;«s ÁUFDI rkž «roi² *«W œuf 5.4 Ê rkž «L 1 roi² *«W œuf œu ¹»uKD*«Æa ÍËU ¹ x u s tfdi

41 Æ(17) Æb ÍËU ¹ y u s tfdi -2 qja «w UL VOðd² «vkž B, A w s¹ u;«ldi¹ L 1 roi² *«(17) qja «øa,b y - 0 = b - 0 øb, A s q UOŁ«bŠ U A(a, 0), B(0, b) 5²DIM UÐ d1 Íc «roi² *«W œuf U W œuf*«x a + y b 0 - a (x - a) y(-a) = bx - ab UNM Ë bx + ay = ab Ê Í vkž qb ½ ab = 1... (1) ÆWÐuKD*«L 1 vkž WL I UÐ roi² *«W œuf w¼ë

42 Æ-7 ÍËU ¹ y u s Ë 5 ÍËU ¹ x w¼ roi² *«W œuf Ê b$ u s tfdi Íc «roi² *«W œuf bł x a + y b = 1 W œuf*«â«b ²ÝUÐ x 5 + y -7 = 1 7x - 5y = 35 7x - 5y - 35 = 0 (24) U q(«æs¹ u;«s 5x + 2y - 10 = 0 roi² *«ULNFDI¹ 5²K «5²FDI «uþ bł wk¹ UL x a + y b = 1 5FDI*«u v 5x + 2y - 10 = 0 x 2 + y 5 W œuf*«u ½ (25) U Ë_«q(«Ædšü«dD «w s¹dog²*«ë dþ w okd*«b(«lc½ -1 5x + 2y = 10 Æ10 vkž W œuf*«w dþ WL IÐ 1 okd*«b(«qf$ -2 = 1... (1) x y 10 = 1 UNM Ë

43 Æ5 ÍËU ¹ y u s WFDI «uþë 2 Æy = 0 WÐUłô«øx ÍËU ¹ x u l roi² *«lþuið WDIM y Ê b$ (1) W œuf*«s u s WFDI «uþ wł«bšô«u vkž qb ½ 5x + 2y - 10 = 0 roi² *«W œuf w y = 0 l{uð 5x + 2(0) - 10 = 0 Æx u s WFDI «w¼ë x = 2 UNM Ë vkž qb M roi² *«W œuf w x = 0 l{uð y u s WFDI «b$ q *UÐË 5(0) + 2y - 20 = 0 Æy u s WFDI «w¼ë y = 5 UNM Ë øs¹ u;«s 5²FDI «uþ b¹b ² qný_«u¼ 5K(«Í w½u «q(«5²¹ëu ² Ë 5²?³łu 5²FD ldi¹ë A(7,11) (9) V¹ bð WDIM UÐ d1 Íc «roi² *«W œuf bł Æs¹ u;«s roi² *«j)«w œuf* W¹œuLF «ub «6.4 WOH?O Ë roi²? *«j)«w œuf* W¹œuL?F «ub «UI²?ý«WOHO? bm³ ««c¼ w Y ³MÝ ÆW¹œuLF «ub «v roi² *«j)«w œuf* W UF «ub «q¹u% W¹œuLF «ub «œu ¹ Ê rkž «L 1 roi² *«j)«w œuf œu ¹»uKD*«ÆL 1 vkž q _«WDI½ s UM «œulf «uþ P -1 (18) qja «w U?L? b,a 5²?FDI «s¹ u?;«s ldi¹ L ÆP qo W¹Ë«w¼ θ -2 ro?i²? *«Ê d?h½

44 ø θ t² œuf ÊuJ² x a + y = 1... (1) b tko W¹Ë«Ë P œulf «uþë b,a 5²FDI «5Ð W öž œu ¹«pMJ1 q¼ Ê (18) qja «s kšô P YK *«w a = cos θ : OFE ø«u* P = sin θ : OFD YK *«w b (18) qja «vkž qb ½ (1) a = cosθ P 1 W œuf*«w b, 1 a vkž qb% 5² öf «s Ë Ë 1 b = sinθ P sž i¹uf² UÐË

45 x cosθ + y sinθ = 1 p p ÊuJ¹ P w W œuf*«w dþ»dcð x cosθ + y sinθ = p x cosθ + y sinθ - p = 0... (2) ÆrOI² *«j K W¹œuLF «ub «w¼ (2) W œuf*«ë 6 ÍËU??¹ q _«WDI½ s t??okž UM «œu??l?f «uþ Íc «ro??i?²?? *«W œu?f?? b?ł (26) U Æ45 w¼ œulf «qo W¹Ë«Ë «bšë ÊuJ¹ (2) W œuf*«w p = 6, θ = 45 sž i¹uf² UÐ x cos 45 + y sin 45-6 = 0 x + y = 0 Í Æ sin 45 = cos 45 = 1 2 Ê d cð q(«ê XLKŽ «t² œuf V² «rł WO U² «ôu(«s q w roi² *«rý «(10) V¹ bð P = 3, θ = 4π 3 = 240 à P = 4, θ = π 6 = 30 P = 7, θ = 7π 6 = 315 œ P = 8, θ = 2π 3 = 120» W¹œuLF «ub «v «roi² *«W œuf* W UF «ub «q¹u% w¼ roi² *«j K W UF «W œuf*«ê rkfð ax + by + c = 0... (1)

46 w¼ t W¹œuLF «ub «Ê Ë x cos θ + y sin θ - p = 0... (2) w s¹œb?f «XЫuŁ ÊS ro?i² *«j)«fh?½ Êö 9 (2) Ë (1) ÊU²? œuf*«x½u? «S cosθ = ax + ± a 2 + b 2 p Ê U ] w p cosθ a = sinθ b a, sinθ = ± a 2 + b 2 ÊuJð ax + by + c = 0 Æc Uý n U ð Uý tðua?² W³ UÝ c by + ± a 2 + b 2 a 2 + b 2 = -p c Ê Í W³ÝUM² ÊuJð 5² œuf*«= k... (3) ÆW²ÐUŁ W³ ½ k YOŠ vkž qb% (3) VÝUM² «s cos θ = ak, sin θ = bk, -p = ck cosθ 2 + sinθ 2 = k 2 a 2 + b 2, -p = ø«u* 1 = k 2 a 2 + b 2 K = 1 ± a 2 + b 2 (3) w k sž i¹uf² UÐË b c ± a 2 + b 2 ± a 2 + b 2 W UF «W œuflk W¹œuLF «ub U «cðë c = 0... (4) ± a 2 + b 2 c'«uý ÊuJð Ê Ëd?{ WEŠö l wk¹ UL p Ë j Ð ubð (4) Æ[(2) W œuf*«w P Uý l W œuf*«wðu² sj1ë okd*«b(«u?ý ÊuJð YO Ð W UF «W œu?f*«œëbš Vðd½ -1 Æ a 2 + b 2 Æ(2) vkž W UF «W œuf*«œëbš r I½ -2 Æsinθ u¼ y q UF Ë cosθ u¼ x q UF ÊuJ¹ czbmžë

47 (27) U ÆW¹œuLF «ub «w 3 x + y = 6 W œuf*«v² «q(«u³ UÝ (6) okd*«b(«êuj¹ YO Ð W œuf*«vðd½ Æa = 3, b = 1, c = -6 UNO Ë 3 x + y - 6 = 0 w¼ roi² LK W¹œuLF «ub U Ê 3 x + y = x y - 3 = 0 x cos 30 + y sin 30-3 = 0 W¹Ë«Ê Ë 3 ÍËU ¹ ro?i²?*«vkž e d*«s UM «œul?f «uþ Ê kšö½ UM¼ s Æ30 ÍËU ð tko (28) U ÆW¹œuLF «ub «w x + y + 8 = 0 W œuf*«v² «q(«u³ UÝ (8) okd*«b(«êuj¹ YO Ð W œuf*«vðd½ a = -1, b = -1, c = -6 UNO Ë -x -y -8 = 0 w¼ roi² LK W¹œuLF «ub «- 47 -

48 -x - y = x y = 0 x cos y sin = 0 θ = 225 Ê Ë P = 4 2 œulf «uþ Ê kšô b?ł rł x - 3y + 10 = 0 (11) V¹ bð ro?i²? *«vkž q _«WD?I½ s UM «œul?f «uþ b?ł ÆœuLF «qo W¹Ë«Æx =4 Æax + by + c = 0 ro?i?²?*«w öð WDI½ w ÍËU???????²??? Y?K???? ˃ w¼ roi² *«Í «u¹ë P(5, -3) roi² *«Í «u¹ë (h, k) x a - y b = 1 5Ð q «u «r?o?i?²?? *«vkž Íœu??L?ŽË P(2, -3) (3) wð«c «.ui² «WK¾Ý WDIM UÐ d1 Íc «roi² *«W œuf bł -1 WDIM UÐ d1 Íc «roi² *«W œuf bł -2 ro?i²? *«b? U?F¹ Íc «roi?²? *«W œu?f b?ł Æx P 3 (-1,4), P 2 (-1,-1), P 1 (3,1) u l doš_«-3 jim? «Ê s¼dð -4 ÆtðbŽU vkž tý s UM «œulf «W œuf błë 5 U «WDIM? UÐ U*«rO?I??²? *«W œu?f?? b?ł ÆB(-4, 2) Ë A(5, 6) 5²DIM «u?b;«e?'«r Ið WDIM «Ác¼ X½U? «P(-3, 4) WDIM UÐ U*«rO?I²? *«W œuf? bł -6 Æ 2 W³ MÐ s¹ u;«5ð tm

49 5OŁ«bŠù«s¹ u?;«s ÊUFDI¹Ë P(4, 5) WDIM UÐ Ê«d1 s¹ck «5LO?I² *«w² œu?f bł -7 5²O U² «5² U(«w 5²FD ÆÊU²³łu Ë «bi*«w ÊU²¹ËU ² ÊU²FDI «Æ Uýù«w ÊU²HK² Ë «bi*«w ÊU²¹ËU ² ÊU²FDI «c¼ qo?? W¹Ë«Ë 10 U? ro?i?²??? vkž q _«WDI½ s UM? «œu?l?f «uþ ÊU? «-8 ÆrOI² LK W¹œuLF «ub «W œuf b 300 œulf «5x + 12y - 52 = 0 ro??i??²? *«v?kž q _«WDI½ s? UM «œu??l?f «u?þ Ê X³Ł -9 Æ4 ÍËU ¹ p s Z²M²?Ý«Ë W¹œuLF? «ub UÐ 16x - 12y + 75 = 0 roi?² *«W œuf? V² «-10 ÆœuLF ««c¼ qo W¹Ë«Ë q _«WDI½ s tokž UM «œulf «uþ Ë x - 2y + 1 = 0 5 LO I ² *«lþu I ð W D I M Ð d 1 Íc «r O I ² *«W œu F b ł -11 YO Ð 3x - 8y + 9 = 0 Æ- 4 3 = tko ÊuJ¹» Æq _«WDIMÐ d1 r O?I²? *«v KŽ 40 W ¹Ë«eÐ U L?N M q q O1 ÊU L O?I²? r Ý «P(3, 4) W DIM «s -12 Æx - y = 2 Æ5LOI² *«s¹c¼ w² œuf bł

50 roi² jš sž WDI½ bfð.5 t?²? ö?f ax + by + c «b?i*«u?ý Ÿu?{u bð Í œu?ð bm³ ««c¼ w Z U?FMÝ UM¹U?³?²*«rÝ w t²?o?l¼_ë ÂuKF? roi?²? v?kž WDI½ s UM «œu?lf «ud?ð dýu?³*«wh?bm w² œu?f? Ë ro?i?²?? jš vkž WDI½ s UM «œu?l?f «uþ b? MÝ U?L? W?OD)«Æ5FÞUI² 5LOI² 5Ð 5²¹Ë«e «ax + by + c «bi*«uý«1.5 Ë ax + by + c = 0 ro?i?²? *«j)«s? W?N?ł w lið (x, y ) WDIM «Ê 5³MÝ ÆU³ UÝ Ë U³łu ax + by + c «bi*«êu vkž UMÐ tm Èdš_«WN'«w dož wð UJ¹b «Èu?² *«w WDI½ P(x, y ) Ê Ë ÂuKF*«rOI² *«u¼ LM Ê d «ÆLM roi² *«vkž WF «Ë WDI?M «w LM ro?i²? *«w ö¹ë y u? Í «u¹ YO? Ð PQ ro?i²? *«rý «P s (19) qja «ÆQ(x, y ) ÊS roi² *«j)«vkž lið Q Ê U0Ë ax, by + c = 0 (19) qja «y = - ax + c... (1) b UNM Ë

51 Vłu*«Ë V U? «5¼U&ô«w y u; U?¹ «u rý PQ Ê (19) qja «s `{«Ë Èd?š_«WN?'«w lið Ë LM roi?² *«j)«s W?Nł w lið P WDIM «Êu vkž UMÐ t W?N?'«w Ë ÆU³ UÝ Ë U³łu y y Êu vkž UMÐ Í tm y > y Ë y < y «bi*«êu vkž UMÐ Í vkž qb ½ (1) W œuf*«â«b ²ÝUÐË y - y = - ax + c - y = - 1 ax + by + c b b LM ro?i?²? *«j)«s W?N?ł w lið (x, y ) WDIM «ÊS? w U?² UÐË ÆU³łu Ë U³ UÝ ax + by + c «bi*«êu vkž UMÐ tm Èdš_«LM ro?i?²??*«j)«51 vkž P(x, y ) WDIM «XF? Ë «t½ u?i «sj1 o³?ý U2 W³?łu ÊuJð ax + by + c «bi*«uý«ês? W³łu ax + by + c Uý ÊuJð W? U(«Ác¼ w Ë LM roi²? *«j)«51 vkž WF «u «P(x, y ) ro?i?²?*«j)«ul?ý vkž W?F? «u ««bi*«uý X½U Ë jim «lol' P(x, y ) jim «lo?l?' W³ U?Ý ax + by + c «bi*«ælm (29) U w¼ (20) qja «w 5³*«LM roi² *«j)«w œuf X½U «5³ 3x + 4y - 12 = 0 U ³ U?Ý t KF& U N¹«Ë U?³łu? 3x + 4y - 12 «bi*«q?f& WO U?² «jim «U?OŁ«bŠ Í Æ(-1, 7) (0, 4) (0, 0) (-3, 4) (2, 1) ÆÁ U ¹ vkž li¹ ULN¹ Ë j)«51 vkž li¹ u c*«jim «Í»

52 (20) qja «q(«b M 3x + 4y - 12 «bi*«w WDI½ q woł«bš«uf½ 3 x x 0-12 = -12 «bi*«wdfð (0, 0) WDIM «-1 2 x x 1-12 = -2 «bi*«wdfð (2, 1) WDIM «-2 3 x (-3) + 4 x 4-12 = -5 «bi*«wdfð (-3, 4) WDIM «-3 3 x x 1-12 = 7 «bi*«wdfð (5, 1) WDIM «-4 3 x x 4-12 = 4 «bi*«wdfð (0, 4) WDIM «-5 3 x (-1) + 4 x 7-12 = 13 «bi*«wdfð (-1, 7) WDIM «-6 (-1, 7), jim? «Ê Ë j)«u?? ¹ vk?ž lið (-3, 4), (2, 1), (0, 0) jim «Ê kšô» ÆtMO1 vkž lið (0, 4), (5, 1)

53 ro I?²? *«j K W ³??M UÐ q ô«w DI?½ U N?O? l Ið w² «W ID?M*«U ý«ê 5 Ð Æc (30) U XÐU «vkž bl²fð ax + by + c = 0 «bi*«w UNOOŁ«bŠ«i¹uF²Ð œb% q _«WDI½ UNO w² «WIDM*«Uý ax + by + c a x 0 + b x 0 + c = c vkž bl²fð Í j K W??³??M UÐ W?³? U? «Ë W??³?łu*«W??IDM*«w? ÊuJð q _«WDI?½ ÊS? w U??² UÐË ÆW³ UÝ Ë W³łu c q(«êu wkž UMÐ roi² *«u¼ U?L? p ÂuKF roi² vkž WDI½ s UM «œulf «uþ 2.5 w¼ W¹œuLF «ub UÐ ML ÂuKF*«rOI² *«W œuf Ê d «x cos θ + y sin θ - p = 0 u¼ ro?i?²? *«vkž Q(x, y ) WDIM «s UM «QD œu?l?f «uþ Ê Ë Æ(21) qja «w 5³

54 (21) qja «œu?lf «œ«b?²? «w ö¹ë ML roi?² *«Í «u¹ Y?O Ð RQ roi?² *«rýd½ p œu ¹ô Æ ø«u* qod² NRQD qja «ÊuJO R w q _«WDI½ s tokž UM «NR = QD = p Ê ÊuJð W¹œuLF «ub UÐ RQ roi² *«W œuf x cosθ + y sinθ - OR = 0 Æ ø«u* x cosθ + y sinθ - p - p = 0 Í t² œuf oi% UN½S roi² *«j)««c¼ vkž lið Q(x, y ) Ê U0Ë x cosθ + y sinθ - p - p = 0 p = x cosθ + y sinθ - p UNM Ë "UM ««bi*«íëu? ¹ ÂuKF roi?² vkž WM?OF WDI½ s UM «œu?lf «uþ Ê Í ÆW¹œuLF «tð ubð roi² *«W œuf w WDIM «woł«bš i¹ufð sž

55 »ukd*«p roi² *«vkž (5, 7) WDIM «s UM «œulf «uþ bł 4x + 3y - 12 = 0 W¹œuLF «ub «v roi² *«j)«w œuf u ½ 4x + 3y - 12 = 0... (1) œulf «uþ vkž qb M (1) ub «w WDIM «woł«bš«uf½ P = 4 x x = 29 5 = (31) U q(«roi² *«vkž (-2, 3) WDIM «s UM «œulf «uþ bł 8x + 15y - 34 = 0 W¹œuLF «ub «v «roi² *«W œuf u ½ 8 x + 15 y = 0 uþ vkž qb? M W¹œu?L?F «u?b UÐ ro?i²? *«W œu?f? w WDIM «woł«b?š u?f½ Í P = - 8 x (-2) + 15 x (32) U q(ukd*«p = 0 œulf «= œbfk WIKD*«WLOI «cšq½ UM½S ULz«œ Vłu œulf «uþ Ê U0Ë

56 P = = 5 17 A(1,1), B(6, -3), C(3, 1) WDIM «týëƒ Íc «YK *«WŠU bł BC = (6-3) 2 + (-3-1) 2 = 5 w¼ BC roi² *«W œuf (22) qja «s y + 3 x - 6 = Æ p s oi% -4x - 3y + 15 = 0 Í P = ÍËU ¹ BC vkž A s œulf «uþ -4 x 1-3 x = 4 2 (33) U q(«= 8 5 (22) qja «- 56 -

57 ÍËU ð WFÐd*««bŠu UÐ ABC YK *«WŠU Ê 1 2 x 5 x 8 5 = 4 (11) V¹ bð Æq _«WDI½Ë (B(-1, 1), A(2, 3) jim «týëƒ Íc «YK *«WŠU bł 5FÞUI² 5LOI² 5Ð 5²¹Ë«e «whbm U² œuf 3.5 UL¼ ULNO² œuf Ê Ë A w UFÞUIð L 2 Ë L 1 5LOI² *«Ê dh½ a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 w `{u u¼ U?L U?LNMOÐ 5ð ub?;«5²¹ë«e «s U¹ nbm¹ PA Ê dh½ U?L Æ(23) qja «(23) qja «- 57 -

58 sž W¹Ë«e «nbm vkž W?F «Ë P q WDI½ Í ÍbFÐ Ê W¹u?² *«WÝbMN «s rkfð ÆÊU¹ËU ² ULNOFK{ PN 1 - PN 2 Ê Í Æ PAN 1, PAN 2 5 K *«oðudð «b ²ÝUÐ p s¼dð q vkž P(x, y ) WDIM «s Êô U½ UL¼Ë ÊU¹ËU?² s¹œulf «w uþ Ê U0 Êü«Ë 5L?O?I?²? *«s q W? œu?f? l{ë b?fð U?L?NM q uþ œu? ¹«sJ?1 t½s? 5L?O?I?²? *«s ÆW¹œuLF «ub UÐ W?³łu? UL?NM q w c okd*«b?(«uý«êujð Y?O Ð 5L?OI?²? *«W œuf? V²J½ ÊS t?okžë Æ5LO?I² *«s qj W?³łu*«W?N'«w lið o q _«WDI½ Ê s b? e²½ p cðë Æ(23) qja «w `{u u¼ UL W³ UÝ Ë W³łu ÊuJð WFÐ _«blž_««uþ «Uý ÊuJ¹ q _«WDI½ UNO lið w² «W¹Ë«e «U½cš «= PN 1 = + PN 2 + a 1 x + by + c 1 a b2 1 = + a 2 x + b 2 y + c 2 a b2 2 Í «b??³???²??ý«um?mjl??o??? W¹Ë««Ác¼ nb?m vkž W???F?? «Ë WD?I½ W¹ P(x, y ) Ê U0Ë ub UÐ W¹Ë«e «nbm W œuf wkž qb M (x, y ) 5OŁ«bŠôUÐ (x, y) 5OŁ«bŠô«a 1 x + by + c 1 a b2 1 = a x + b y + c a b (1) ÊuJ¹ q _«WDI½ UNO lið ô w² «W¹Ë«e «U½cš «U - PN 1 = + PN 2 - a 1 x + b 1 y + c 1 a b2 1 = + a 2 x + b 2 y + c 2 a b2 2 Í ÊuJ¹ W¹Ë«e «Ác¼ nbm W œuf ÊS w U² UÐË - a 1 x + b 1 y + c 1 a b2 1 = a 2 x + b 2 y + c 2 a b (2)

59 a 1 x + b 1 y + c 1 a b2 1 ÆL 2 Ë L 1 WO U² «W œuf*«w (2) Ë (1) 5² œuf*«wðu² sj1ë = ± a 2 x + b 2 y + c 2 a b (3) 5LOI² 5Ð W¹Ë«e «whbm W œuf w¼ Ác¼Ë 5LOI² *«5Ð 5²¹Ë«e «whbm w² œuf bł 3x - 4y + 7 = 0 Ë 12x - 5y - 8 = 0 Í U³łu ULNM q w okd*«b(«êuj¹ YO Ð 5² œuf*«v²j½ 3x - 4y + 7 = 0 Ë -12x - 5y - 8 = 0 w¼ q _«WDI½ rcð w² «W¹Ë«e «nbm W œuf Ê 3x - 4y x + 5y + 8 = Í 13 (3x - 4y + 7) = 5 (12x + 5y + 8) 99x - 77y + 51 = 0 vkž qb ½ UB²šô«bFÐË 3x - 4y = - wn dšü«nbm*«w œuf U -12x + 5y x + 27y = 0 vkž qb ½ UB²šô«bFÐË Æ5² U(«w UB²šô«WOKLŽ s b Qð (34) U q(«- 59 -

60 5LOI² *«5Ð ub;«w¹ë«e «nbm W œuf bł x + y + 2 = 0 ø«u* x + y + 2 = 0 Ë Æ(1, 3) 7x - y - 8 = 0 WDIM «rcð w² «Ë ub «w 5² œuf*«lc½ Ë -7x + y + 8 = 0 Z²MO 5² œuf*«s qj d ¹_«dD «w (1, 3) WDIM «woł«bš uf½ W?IDM w Í 5?L?O?I?²? *«s qj W?³?łu*«W?ID?M*«w lið Ë = 4 (1, 3) WDIM «Ê Í (35) U q(«æq _«WDI½ rcð w² «W¹Ë«e «w lið WDIM U Ê q _«WDI½ w¼ W¹Ë«e «Ác¼ nbm W œuf Ê x + y + 2 = -7 + y WÐuKD*«W œuf*«vkž qb ½ UB²šô«bFÐË Æp s b Qð 6x = 2y + 1 = 0 (13) V¹ bð 5LOI² *«5Ð W¹Ë«e «nbm W œuf bł 2x - y + 5 = 0 Ë 4x + 2y - 7 = 0 ÆULNOFK{ 5Ð (1, -1) WDIM «rcð w² «Ë

61 (4) wð«c «.ui² «WK¾Ý 5x + 2y = 1 roi² LK W³ M UÐ q _«WDI½ WNł w lið WO U² «jim «Í -1 ø A(3, 9), B(5, -11), C(4, 7), D(-3, 0) w¼ tžö{ ôœuf Íc «YK *«qš«œ lið q _«WDI½ Ê 5Ð -2 y - 6x = 6, 3x + 2y = 1, 5x - 3y + 11 = 0 5LOI² *«vkž 5 UM «s¹œulf «w uþ Ê s¼dð -3 24x + 7y = 70, 4x - 3y = 2 ÆA(3, 4), B(-3, 5), C(2, -7) jim «týëƒ Íc «YK *«WŠU bł -4 jim «týëƒ Íc «YK LK WKš«b «U¹«Ëe «UHBM ôœuf bł -5 A(-1, 2), B(0, 0), C(4, 4) w¼ tžö{ ôœuf Íc «YK LK WKš«b «U¹«Ëe «UHBM lþuið WDI½Ë ôœuf bł -5 4x - 3y - 65 = 0, 7x - 24y + 55 = 0, 3x + 4y - 5 = 0 qb? M U¹d³?ł UL?NO?² œuf? q ½ UM½S s?lo?i²? 5Dš lþu?ið WDI½ œu ¹ô t½ d? cð Æ lþui² «WDI½ 5OŁ«bŠ vkž 5LOI² *«lþuið WDIMÐ d1 Íc «roi² *«W œuf bł -6 2x + 5y - 9 = 0, x - 3y + 1 = 0 Æ 5 ÍËU ¹ q ô«wdi½ sž ÁbFÐ Íc «Ë jim «týëƒ Íc «ABC w BC lkc «vkž A s UM «œulf «uþ bł -7 ÆYK *«WŠU bł rł ÆA(-1, 4), B(1, -4), C(5, 4) roi² *«sž q _«WDI½ bf³ W¹œbF «WLOI «qf& w² «k Æ «bšë 3 WLO bł -8 ÍËU ð y + 5 = k (x - 3) b?ł rł 2 ÍËU? ¹ x u?? s t?fdi? Ë m = 3 4 tko? Íc «ro?i?²? *«W œu?f? b?ł -9 Æx u Ë roi² *««c¼ 5Ð ub;«œu(«w¹ë«ek nbm*«roi² *«W œuf

62 W ö)«.6 W?OÝU?Ý_«hzU?B?)«U?NKL 0 X?Dž WFÐ W?O??Oz U U?? b?šu «Ác¼ w XÝ œ WO U² «UIM «w UNBO Kð sj1 w² «Ë roi² *«j K U?OŁ«b??Šô«ÂUE½Ë wð UJ?¹b «Èu?²??*«Âu?N?H??.b?Ið - YO??Š wð UJ¹b «Èu??²? *«5O U² «5½u½UI «Ë Èu² *«w jim «5OFð WOHO Ë t¹ b UF²*«WOð UJ¹b «Èu² *«w P 2 x 2, y 2, P 1 x 1, y 1 5²DIM «5Ð d bf³ «Êu½U d = x 1 - x y 1 - y 2 2 5?²D?IM? «5?Ð WK? «u «W??????L???????O??????I??????²?????? *«W??????F?DI? «r?o????????????ið Êu?½U??????» ø UDF W³ MÐ Ã U)«s Ë qš«b «s P 2 x 2, y 2, P 1 x 1, y 1-1 x 1 + rx r, y 1 + ry r qš«b «s ro I² «WDI½ x 1 - rx r, y 1 - ry r à U)«s ro I² «WDI½ s¹do?g²*«w v Ë_«Wł b «s W œu?f*«vm M Ê U³Ł - to? Ë roi²? *«j)«qo Ê UM?OÐ m = tan θ tko Ë θ ro?i²? *«qo? W¹Ë«n¹d?Fð -Ë ro?i²?? jš u¼ x, y a Í «uð wþdý b¹b?% - UL Æ u¼ ax + by + c = 0 u¼ tð u Íc «roi?² *«qo b U??L???NMOÐ u???b??;«α W¹Ë«e «q?þ œu?? ¹«o¹d?Þ sž U??L¼b??? U??FðË 5?L??O??I??²????? m tanα = 2 - m Æ m 1 m 2 Æm 1 = m 2 ÊU «Í UL¼öO ÈËU ð «ÊULOI² *«È «u²¹ Æm 1 m 2 = -1 Í 1 ÍËU ¹ ULNOKO»d{ q UŠ ÊU «ÊULOI² *«b UF²¹» w?¼ x 1, y 1 ÆXÐUŁ a YOŠ y = a w¼ x -2 roi² *«j)«w œuf* WHK²<«uB «-3 u Í «u¹ Íc «roi² *«W œuf ÆXÐUŁ b YOŠ x = b w¼ y u Í «u¹ Íc «roi² *«W œuf» W?DI?M U?Ð d1ë m t?ko??????? Íc «r?o??????i???????²???????*«w œu???????f?????? Ã

63 y = mx + b w¼ b w¼ u¼ y y - y 1 = m x 1, y 1 u s tfdi Ë m tko Íc «roi² *«W œuf œ x 2, y 2, x 1, y 1 y - y 2 = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x - x 2 5²DIM UÐ d1 Íc «roi² *«W œuf ¼ w?¼ a, b 5²???FD?I «y Ë x s¹ u????;«s l?di¹ Íc? «ro???i????²????*«w œu????f??? Ë Æ x a + y b = 1 p qo W¹Ë«Ë p q _«WDI½ s tokž UM «ulf «uþ ÊU «roi² *«W œuf œu?l?f «uþë ax + by + c Æxcosθ + y sinθ - p = 0 w¼ θ ÍËU ð w¼ ax + by + c = 0 W UF «roi² * W œuf* W¹œuLF «ub «Õ ax + by + c = 0 a 2 + b 2 wh?bm W œuf? UI?²ý«v?KŽ ËöŽ ÂuKF? roi?²? jš W?N??'«w Ë ax + by + c = 0 «b?i*«uý«y Ð - t?o? Ë roi?²? jš sž WDI½ b?fð ÆU³ UÝ Ë U³łu ax + by + c ro??i?²??*«j)«w?n??ł w lið vkž W ukf? WDI½ s UM «5FÞUI² 5LOI² 5Ð 5²¹Ë«e «(x, y ) «bi*«êu vkž UMÐ tm Èdš_«WDIM «u¼ ax + by + c = 0 roi² *«vkž (x, y ) WDIM «s UM «P œulf «uþ» P = ax + by + c a 2 + b 2 5FÞUI²*«5LOI² *«5Ð 5²¹Ë«e «whbm W œuf à a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 w¼ -4 a 1 x + b 1 y + c 1 a b2 1 = ± a 2 x + b 2 y + c 2 a b

64 WO½U «WOÝ«b «bšu «sž WI³ W;.7 v Ë_«b?Šu «l q UJ²² W?OÞËd<«ŸuD?I «di*««c¼ s W?O U² «b?šu «wðqð Ác¼ w b?²ýë W?OÞËd<«ŸuDI «Ÿ«u½ Ë wþëd?<«ldi «ÂuN?H d?f²?²ý YO?Š tm ldi «T U?J*«lDI «dz«b «W?O U?²? «W?OÞËd?<«ŸuDIK W?O?ÝU??Ý_«hzU?B?)«b?Šu «w W??O½U? «W??ł b «s W??O U?² «W?? U?F «W œu??f*«b?²??ý U?L?? bz«e «ldi? «h UM «Ax 2 + Bxy + Cy 2 + DX + Ey + F = 0 W? d?f? ö?š s W œu?f*«u?nk 9 w² «W?OÞËd?<«ŸuDI «nomb?ð WO?H?O? d?f?²ðë s¹dog² ÆUNO XЫu «vkž l{uð w² «ËdA «wð«c «.ui² «WK¾Ý UÐUł Ë U³¹ b² «UÐUł.8 (1) V¹ bð (24) qja «- 64 -

65 (2) V¹ bð CD = (4 + 2) 2 + (2-2) 2 = 6 (1) AB = (4 + 2) (-2) 2 = 6 BC = -2 - (-2) = 4 AD = (4-4) 2 + (-2-2) 2 = 4 AC = (-2-4) 2 + (-2 - (2)) 2 = = 32 ÆŸö{ Í «u² qja «BC = AD Ê Ë CD = AB Ê kšô q?ja? «Ê Í < D = 90 AC 2 = CD 2 + AD 2 = 52 p? c????? ÆqOD² (25) qja «(2) AB = (2a - 2a) 2 + (6a - 4a) 2 = 2a AC = 2a + 3a - 2a 2 + (5a - 4a) 2 = 2a CB = 2a + 3a 2a 2 + (5a - 6a) 2 = 2a

66 Ê AB = AC = CB ÆŸö{_«ÍËU ² ABC YK *«Ê Í (26) qja «(3) V¹ bð ÊuJO B(x, y) UL¼ dz«b «ddi dšü«dd «woł«bš«ê dh½ -1 Æ AB nb²m 0 Ê_ 3 = x + 2 x = = y - 1 y = 11 2 B(4, 11) Ê Í ø W³ M UÐ qš«b «s P 1 P 2 WFDI «r Ið P 3 (5, 1) WDIM «Ê dh½ -2 ÊuJO

67 29 = -1-9r 1 - r r = 1.5 Æ»uKD*«u¼Ë W?O??L? Æθ = 135 m Ê_ θ = 90 qo*«w¹ë«m = qo*«w¹ë«ê m = Æm = 0 Ê_ θ = 0 qo*«w¹ë«ê -7 - (-3) = = 4 0 m = = 0 (4) V¹ bð roi² *«qo ro?i?²? *«qo?» Æ œb dož roi² *«qo à (5) V¹ bð wk¹ UL W UF «UNð u w `³B² UNM bš«ë dþ w W œuf q œëbš lc½ -x + y - 4 = 0 (2) 7x - 3y - 2 = 0 (1) 2x + 0.y - 9 = 0 (4) 0.x + y + 5 = 0 (3) m = -a u¼ roi² *«j K W UF «ub «qo b w¼ WFÐ _«ULOI² *«qo Ê -(-1) = 1-7 (2) -3 = Æ œb dož WOL = -2 0 (4) 1 = 0 (1) (3) (6) V¹ bð m 2 = -a 2 Æ b 2 m 1 = -a 1 w½u «roi² *«qo b 1 Ë_«rOI² *«qo

68 -a 1 = -a 2 -a 1 = b 1 Æ b 1 b 2 a 2 b 2 Í «u² «dý -1 b UF² «dý -2 -a 1 -a 2 b 1 b 2 = -1 a 1 a 2 = -b 1 b 2 a 1 a 2 + -b 1 b 2 = 0 (7) V¹ bð Æ- 3 u¼ tokž œulf «qo Ê m = -2 ÂuKF*«rOI² *«qo Æ - 3 w¼ WÐuKD*«rOI² *«W œuf 2 = y - 3 3x + 2y = 0 x + 2 Í 5²DIM UÐ U*«rOI² *«qo ÍËU ¹»uKD*«rOI² *«qo -2 m = = w¼»ukd*«roi² *«W œuf = y - (-3) x + 6y + 16 = 0 x - 2 (8) UL¼ U¼UOŁ«bŠS AC lkc «nb²m E Ê U0 x = = -1, y = E(=1, -1, 5) = -1.5 Ê w¼ BE jýu²*«roi² *«W œuf 3 - (-1.5) = y (-1) x x - 3y = 0 w¼ BE W œuf Ê b$ UB²šô«bFÐË V¹ bð

69 (27) qja «Æs¹ u;«s a, a 5²³łu*«5²FDI «ldi¹ L Í t² œuf oi% wn (7, 11) roi² *«Ê dh½ w¼ roi² *«W œuf Ê x a + y a = 1 WDIM UÐ d1 L roi² *«Ê U0Ë 7 a + 11 a = 1 18 a = 1 (9) V¹ bð a = 18 x + y = 18 w¼ L roi² *«W œuf Ê

70 (28) qja «1 2 (10) V¹ bð w¼ W¹œuLF «ub UÐ roi² *«W œuf x cos 30 + y sin 30-4 = 0 3 x + 1 Í 2 y - 4 = 0 3 x + y - 8 = 0 (29) qja «- 70 -

71 w¼ W¹œuLF «ub UÐ roi² *«W œuf» x cos y sin = 0-1 Í 2 x y - 8 = 0 = 2 x - 3 y + 16 = 0 (30) qja «- 1 2 x w¼ W¹œuLF «ub UÐ roi² *«W œuf à x cos y sin = 0 3 y - 3 = 0 x + 3 y + 6 = 0 Í

72 (31) qja «w¼ W¹œuLF «ub UÐ roi² *«W œuf (5) x cos y sin = 0 1 Í 2 x y - 7 = 0 x - y = 0 (32) qja «- 72 -

73 w¼ W¹œuLF «ub UÐ roi² *«j)«w œuf x - 3y = 0 x 10-3y = 0 (11) V¹ bð -x y = 10 P = 10 œulf «uþ UNM Ë m = -1-3 = 1 3 ÂuKF*«rOI² *«qo Æ-3 ÍËU¹ p œulf «qo θ = tan -1-3 w¼ θ œulf «qo W¹Ë«Æ0 s tokž UM «œulf «uþë AB (12) lkc «uþ b$ YK *«WŠU œu ¹ô V¹ bð ÍËU ¹ AB roi² *«vkž 0 AB = (2 + 1) 2 + (3-1) 2 = 13 w¼ AB W œuf y - 3 x - 2 = (-1) = 2 3 3y - 9 = 2x - 4 2x - 3y + 5 = 0 q ô«wdi½ s UM «œulf «uþ P = 2 x 0-3 x = 5 13

74 ÍËU ð WFÐd*««bŠu UÐ AOB YK *«WŠU 1 2 x 13 x 5 13 = 2.5 (33) qja «(1) wð«c «.ui² «WK¾Ý d = (a + c) 2 + (b + d) 2 à 26» 5 (2) Æ(38, -49) w¼ à U)«s ro I² «WDI½ (-2, -9) w¼ qš«b «s ro I² «WDI½ (5) Æ(5, 3) (6) Æ(1, 6), (-5, -4), (9, -2) (7) , 34 3 (8) (3) wð«c «.ui² «WK¾Ý

75 x = 5 (1) ax + by = ah + bk (2) ax + by = a 2 (3) x + 2y - 7 = 0 (4) 9x + 4y - 0 = 0 (5) 2x + 3y - 18 = 0 (6) y - x = 1» x + y = 9 (7) 1 2 x y - 10 = 0 (8) YOŠ θ œulf «qo W¹Ë«15 4 œulf «uþ x y = 0 (10) sinθ = 3 5, cosθ = x + 3y = 29» ty - 3x = 0 (11) y = 4, x = 3 (12) (4) wð«c «.ui² «WK¾Ý A, D (1) 33.5 (3) 2x+y 5 = 2x-5y+12 29, y-x 3 = 2x+y 5, y-x 3 = 2x-5y (4)

76 W? D? I? M? «7x + y - 70 = 0, 2x + 11y - 20 = 0, 9x - 13y - 90 = 0 (5) Æ(10, 0) 2x + y - 5 = 0 (6) ÆWFÐd bšë 24 WŠU *« Ω ŸUHð ô«(7) K = , (8) 3y - x + 2 = 0, 4y - 3x + 6 = 0 (9)

77 Angle Area Axes Axis Bisector Cartesian Plane Centroid Co - ordinate Geometry Cosine Direction Distance Equation Graph Horizontal line Inclined Intercept Locus Median Midpoint Negative Origin Parallel Perpendicular Point U KDB*«œd.9 W¹Ë«WŠU ËU u nbm wð UJ¹b «Èu² *«WDÝu²*«ULOI² *«vi²k WOŁ«bŠ WÝbM¼ W¹Ë«e «ÂU9 VOł ÁU&«W U W œuf w½uoð rý jd wi jš qzu ldi wýbm¼ q YK *«w jýu² roi² nb²m*«wdi½ V UÝ q ô«wdi½ Í «u ÍœuLŽ WDI½

78 Positive Proportion Quadrant Ratio Sign Sine Straight line Tangent Triangle Vertical line Vłu VÝUMð lð W³ ½ Uý W¹Ë«e «VOł roi² jš W¹Ë«e «qþ YK wý jš

79 lł«d*«.10 WOÐdF «lł«d*«djh ««œ Ë_«e'«W?OKOK ² «W?ÝbMN «Ë q UJ² «Ë q{uh?² «ÊËdš Ë u?ž ÊU½bŽ -1 Æ1990 ÊULŽ «œ w½u? «e??'«w?okok??² «W?ÝbMN «Ë q UJ?² «Ë q{u?h?² «ÊËd?š Ë u??ž ÊU½b?Ž -2 Æ1990 ÊULŽ djh ««Ë w½u? «e?'«w?okok?²? «WÝb?MN «W¹u½U? «W?ÝbMN «ÊËd?š Ë ÊU?L??Ž b?l?š«-3 Æ1971 ÊULŽ rokf² «Ë WOÐd² «WO³Mł_«lł«d* 1- Swokowski E., Calculus with Analytic Geometry, Alternate ed., Prindle Weber and Schmidt, Thomas, G.B., Finney, R.L, Calculus and Analytic Geometry, 7th ed., Addison - Wesley Publishing Co., London, Silverman, R.A., Calculus with Analytic Geometry, Prentice - Hall inc., Englewood Cliffs, New Jersey, Kindle, J.H., Theory and Problems of Plane and Solid Analytic Geometry, Schaum P.Bo., New York, Loney, S.L., The Elements of Coordinate Geometry, Macmillan and Co., London,