國立成功大學 航空太空工程學系 碩士論文 研究生 : 柯宗良 指導教授 : 楊憲東

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1 國立成功大學 航空太空工程學系 碩士論文 波函數的統計力學詮釋 Statistical Interpretation of Wave Function 研究生 : 柯宗良 指導教授 : 楊憲東 Department of Aeronautics and Astronautics National Cheng Kung University Tainan, Taiwan, R.O.C. Thesis for Master Degree July 014 中華民國一百零三年七月

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3 中文摘要論文題目 ( 中文 ): 波函數的統計力學詮釋論文題目 ( 英文 ): Statistical Interpretation of Wave Function 研究生 : 柯宗良指導教授 : 楊憲東機率理論與軌跡理論是以不同觀點描述量子運動 機率論假設一個觀察者站在一個固定的空間點不動, 觀察粒子通過此點的頻率 軌跡理論描述的是觀察者跟隨粒子移動, 隨著時間不同, 會有不同的粒子軌跡留下 隨著以軌跡觀點來描述量子系統的重要性日益增加, 本論文希望能統整以統計學為基礎的軌跡觀點和複數力學框架下所建構的複數軌跡 其中, 複數力學的量子軌跡, 是由隨機最佳控制理論所推導出來的隨機運動方程式 而統計力學的量子軌跡隨機運動方程式, 是由佛可 - 普朗克方程所求得 本文會以兩種力學所推導的隨機運動方程式, 和量子系統機率密度進行比較 並根據波爾的相對性原理, 當量子數趨近於無窮大時 (n 時 ), 量子現象必須收斂到古典力學的巨觀行為 本論文發現複數力學的隨機運動方程式能描述相對性原理, 而統計力學當 n 的結果, 並不能遵循牛頓運動軌跡的分布 這結果也證明了, 粒子實際移動在複數空間之內, 而不是我們通常認為的實數空間 I

4 關鍵字 : 隨機控制 最佳導引 量子軌跡 波函數 統計力學 II

5 Statistical Interpretation of Wave Function Tsung-Lien Ko Ciann-Dong Yang SUMMARY The probability theory and trajectory theory describe the quantum motion with different viewpoints. The probabilism assumes a viewer not moving along with a particle but standing on a fixed spatial point, who observes the frequency at which different particles pass him. The trajectory theory describes a viewer moving along with a particle, who passes different spatial points at different times. With the increasing importance of the trajectory-based interpretation of quantum mechanics, this thesis aims to integrate the trajectory view point with the statistical viewpoint under the framework of complex mechanics. The quantum trajectories in complex mechanics are derived by the theory of optimal stochastic control, which are complex random trajectories. On the other hand, the quantum trajectories in statistical mechanics are derived by the Fokker-Planck equation, which are real random trajectories. In this thesis, both random trajectories solved from complex mechanics and statistical mechanics are discussed, and the convergence of their spatial distributions to the probability density function is compared. According to the Bohr s corresponding principle, the quantum behavior, as quantum number approaches to infinity (n ), must converge to the macroscopic behavior described by classical mechanics. The major finding of this thesis is that only the complex random trajectories satisfy the Bohr s corresponding principle, while the real trajectories solved from statistical mechanics fail to follow the Newtonian trajectories as n. This result provides obvious evidence that particles actually move in a complex space, but not in a real space as we think commonly. III

6 Key words: Stochastic Control, Optimal Guidance, Quantum Trajectory, Pilot Wave, Wave Function, Statistic mechanics INTRODUCTION In aerospace research, stochastic optimal guidance law design is lies in decided the flight vehicle the best guiding decision-making[3,4], causes certain to achieve take the probability as the measure performance index biggest or smallest[5,6].we apply the flight vehicle best guiding design in the quantized system, thus the establishment granule flight complex mechanics random motion equation, and the granule path which obtains using the solution, forecast the granule the position distribution, obtains with the quantum mechanics tradition probability annotation same result[ 10,7]. Modern physics thought the majority of materials by the atomic building, can have naturally from the fundamental particle interaction explanation ordinary physical phenomenon idea; Only but a not ear carbon atom will have in fact is near 10 3 atoms, the list looked from quantity, calculates the time which and will deduce needs will not be the present computer can and. Therefore the physicist does compare likes saying this big group granule moderate energy for how many?, because of the humanity not impossible precise computing system in all granule physical state, but in order to analyze this physical phenomenon the technique is precisely the statistical mechanics initial goal[16]. The statistical mechanics have been possible to apply in the electro-acoustic system [0]; Also can tested in the quantum statistical mechanics foundation, carries on the Feynman path centroid density [11]. One the stochastic action of force classical granule, its movement is satisfied the Langevin equation. Solves this equation to be possible to obtain the granule the position distribution function, and proved this function satisfies the Fokker-Planck equation[1]. This equation itself has randomness and the granule characteristic is extremely similar, therefore can describe the granule to receive the stochastic force after the potential energy field, evolves the position perhaps the speed distribution function along with the time [18]. Because of the statistical mechanics viewpoint, between the quantum mechanics and the Brownian movement relatedness can establish. Will have the scholar further to be classical controls the theory to join to this system in, will first design a control position potential in the system, will change the system because of the control position potential to be able the step[], however this research will finally be unable to control the quantized system the energy evolution phenomenon. Many scholars succeed from the statistical mechanics analogue result and the quantized system do correspond mutually, attempt the quantized system which IV

7 elaborated from the statistical mechanics with the great view and microscopic between make one to make uniform, but the theory inferential reasoning proved the statistical mechanics can the classical world and microscopic between to unify[ 17]. MATRERIALS AND METHODS We will introduce Brownian movement characteristic, then by dynamic programming the method establishes the Hamilton-Jacobi-Bellman partial differential equations, thus and infers the description quantum movement the random motion equation as well as the loop circuit control system. The penetration solves this stochastic differential equation, but obtains the granule random motion complex path. Besides granule path equation which will solve by the dynamic programming, we introduced in addition calculates the random motion equation by the classical statistical mechanics. This is after wave mho mechanics raises, the people realize granule itself possibly to have the path, therefore the Fokker - Planck equation will obtain the result, substituted the Brownian model to find and the complex mechanics is similar, but the essence entirely different statistical mechanics random motion equation, this equation explanation will be the granule real number path. RESULTS AND DISCUSSION We select two kind of Gauss wave packet system to go to calculate the random motion path makes the comparison, obtains the random motion equation take this proof to be possible to do as between the quantum mechanics and the classical mechanics bridge. Will be then systematic by many initial points makes the simulation statistics, will simulate the granule real condition by the stochastic choice initial point, the confirmation random motion equation and the probability density tallies the nature. But the statistical mechanics and complex mechanics both have the mathematics inferential reasoning may see relations similarly the essence to be opposite, the former is the real number path, the latter is the complex path. In the analogous system process, we discovered the statistical mechanics have the flaw, in order to observe this flaw, we the most important quantum simple harmonics oscillator system make the discussion by the quantized system in. Understands why by this example must the path complex reason. Then will measure the n-order to increase progressively, whether confirmation complex mechanics will be able to corresponded the classical mechanics the result, will amount of the Bohr by this the correspondence principle. V

8 Figure is n = 3 3D total position potential energy Vtotal.In (x r, x i ) = ( ± 1.5, 0), (0,0) has the infinitely great position potential to bond if the granule only then the real part movement, will be unable to bypass the position potential to bond. After joins the imaginary component position the degree of freedom, the granule movement may because of the imaginary component position round position potential barrier. The red line is the granule complex path. Figure 4..5 (a)n = 50 (b)n = 60 classical mechanics(green color) quantum mechanics(red color)complex mechanice(black color) VI

9 CONCLUSION Above makes uniform all results, when the path simulation in the axis of reals non-node situation, the statistical mechanics and complex mechanics may simulate the quantized system perfectly, when in the real axis has the node, complex mechanics may avoid the node because of the complex path, presents the real example path, but the statistical mechanics need the affiliation initial point actually the suitable place, can the analogous system probability density function, however this kind is opportunistic the method obtains the granule path authenticity waits for actually the test. Afterwards we discovered complex mechanics in the quantum simple harmonics oscillator, is always unable to simulate the quantized system perfectly, original this is receives the classical mechanics the influence. When n is more and more big, complex mechanics obtains the analogue result can more and more draw close in the classical simple harmonics oscillator probability density. The penetration complex mechanics bridge causes the microscopic domain and the great view domain two different worlds, may correspond mutually, this regarding the entire modern physics is a big breakthrough. VII

10 誌謝兩年的碩班求學過程邁入了尾聲, 感謝指導教授楊憲東老師這兩年來的諄諄教誨 不辭辛勞的教導 雖然碩班只有短短兩年的時間, 在老師身上學到的不單單只有做研究的態度, 在做人處事及人生哲學上亦有相當程度的啟發, 總是能以宏觀的視野帶領我們看待生活勝的人事物, 謹此誌上最誠摯的謝意 其次感謝前來評鑑論文的委員 : 王大中老師 李君謨老師, 有你們的肯定和指教, 我的論文才能臻至完美 當然還要感謝在研究室的各位夥伴, 登驛 豐隆 冠璋 烈烈 仲軒 紹展 林育等學長的照顧使我在研究上能夠順利地進行, 實驗室最強學弟彥廷的幫忙, 也多虧仁顥 祖瑋的陪伴及經驗分享 最後要感謝我的父母, 沒有你們的努力栽培我就不會有今天, 也感謝我最愛的女朋友陳葳, 謝謝妳陪我走過這兩年的時光 VIII

11 目錄 中文摘要... I Statistical Interpretation of Wave Function... III SUMMARY... III INTRODUCTION... IV MATRERIALS AND METHODS... V RESULTS AND DISCUSSION... V CONCLUSION... VII 誌謝... VIII 目錄... IX 圖目錄... XII 符號表... XVI 第一章緒論 背景及文獻回顧 研究目標 各章概述... 6 第二章不同觀點下的量子系統 布朗隨機運動 動態規劃原理求解量子軌跡最佳導引律 複數力學隨機運動方程式 統計力學隨機運動方程式... 1 第三章不同力學下的量子軌跡分布統計... 5 IX

12 3.1 相干態高斯波包的量子運動 複數力學的統計分布結果 統計力學的統計分布結果 自由型高斯波包的量子運動 複數力學的統計位置分布 統計力學的位置分布 不同初始點分布下的量子軌跡統計 常態分布 均勻分布 兩種力學對於數值積分的討論 第四章軌跡複數化的必要性 量子簡諧振子機率密度 量子簡諧振子 n = 量子簡諧振子 n = 量子簡諧振子 n = 量子簡諧振子 n = 微觀和巨觀的統整 古典機率密度 複數力學詮釋微觀到巨觀的變化 X

13 第五章結論 結果與討論 未來研究方向 參考文獻 XI

14 圖目錄圖 1.1 各章節相關示意圖... 7 圖.1.1 飛彈導引系統與量子導引系統間之類比 ( 左 ) 飛彈接受導引系統的飛行指令, 以最佳性能攔截目標 ;( 右 ) 粒子接受前導波的導引, 以最佳策略追逐假想目標... 8 圖.1. 布朗運動的定義 ( 左 ) 及實際軌跡 ( 右 )... 9 圖.1.3 執行 次布朗運動的結果 圖 觀察不同時間下 (a)t = 1 (b)t =,(c)t = 3 (d)t = 4, 以 100,000 個相同初始點 x 0 = 0+0i 統計軌跡分布結果和機率密度做比對... 7 圖 3.1. 圖 3.1. 觀察不同時間下 (a)t = 1 (b)t =,(c)t = 3 (d)t = 4, 以 100,000 個相同初始點 x 0 = 0 統計軌跡分布的結果和機率密度做比對, 圖 (e) 表示相關係數 Γ 隨時間變化的情形 圖 觀察同時間 (t = 4) 下, 以不同粒子數目從初始點 x 0 = 0 出發, 統計結果和機率密度做比對... 3 圖 觀察不同時間下 (a)t = 1 (b)t =,(c)t = 3 (d)t = 4, 以 100,000 個相同初始點 x 0 = 0 統計軌跡分布的結果和機率密度做比對, 圖 (e) 表示相關係數 Γ 隨時間變化的情形 圖 3..1 觀察不同時間下 (a)t = 1 (b)t =,(c)t = 3, 以 100,000 個粒子從相同初始點 x 0 = 0+0i 出發統計結果和機率密度做比對 XII

15 圖 3.. 觀察同時間 (t = 3) 下, 以不同粒子數目從初始點 x 0 = 0 出發統計結果和機率密度做比對 圖 3..3 觀察不同時間下 (a)t = 1 (b)t =,(c)t = 3, 以 100,000 個粒子從相同初始點 x 0 = 0 統計結果和機率密度做比對 圖 (a) 複數力學下的隨機分布和機率密度做比較, 以此產生的相關系數曲線 (b) 統計力學下的隨機分布和機率密度做比較, 以此產生的相關系數曲線... 4 圖 3.3. 均勻分布的初始位置機率密度示意圖 圖 (a) 是複數力學下的位置隨機分布和機率密度做比較, 所產生的相關系數曲線 (b) 是為統計力學下的隨機分布和機率密度做比較, 所產生的相關系數曲線 圖 複數力學在相干態高斯波包, 使用不同數值積分所呈現出來的結果, 以相關係數隨時間變化做表示, 其中 n 代表的是數值積分的階層 圖 兩圖為自由型高斯波包統計力學以高階數值積分做修正跟量子系統兩者間相關係數隨時間變化的結果 左圖為初始點均勻分布, 右圖為初始點常態分布...47 圖 此為自由型高斯波包 (t = 3) 統計力學軌跡分布圖 圖 十萬個粒子, 均從 x 0 = 0 出發, 模擬粒子軌跡得到位置的分

16 布, 再和機率密度函數做比較 圖 4.1. 十萬個粒子, 均從 x 0 = 1 出發模擬粒子軌跡得到粒子位置分 布, 再和機率密度函數做比較 圖 十萬個粒子, 均從 x 0 = -1 出發模擬粒子軌跡得到粒子位置分 布, 再和機率密度函數做比較 (a) 為複數力學 ( 方形點 ) 對機率密度函 數的比較,(b) 為統計力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數的比較 圖 為 n = 1 的 3D 總位勢能 V total 圖 十萬個粒子, 個別從從 x 0 = -1 1 出發, 模擬粒子軌跡得到 粒子位置的分布, 再和機率密度函數做比較 圖 十萬個粒子, 均從 x 0 =.5 出發模擬粒子軌跡得到粒子位置分 布, 再和機率密度函數做比較... 6 圖 十萬個粒子, 均從 x 0 =.5 出發模擬粒子軌跡得到粒子位置 分布, 再和機率密度函數做比較 圖 十萬個粒子, 均從 x 0 = 0 出發模擬粒子軌跡得到粒子位置分 布, 再和機率密度函數做比較 圖 十萬個粒子, 各別從 x 0 =.5.5 出發模擬粒子軌跡得到 粒子位置分布, 再和機率密度函數做比較 (a) 為複數力學 ( 方形點 ) 對 機率密度函數的比較,(b) 為統計力學 ( 方形點線 ) 對機率密度函數的比 較 65 XIV

17 圖 為 n = 的 3D 總位勢能 V total 圖 , 十萬個粒子, 各別從 x 0 = 0 - 出發模擬粒子軌跡得到 粒子位置分布, 再和機率密度函數做比較 圖 十萬個粒子, 各別從 x 0 = ± TU 出發模擬粒子軌跡 5731 得到粒子位置分布, 再和機率密度函數做比較... 7 圖 為 n = 3 的 3D 總位勢能 V total 圖 十萬個粒子, 各別從 x 0 = 出發模擬粒子軌跡得 到粒子位置分布, 再和機率密度函數做比較 圖 4..1(a)n = 0 (b)n = 1 (c)n = 5 (d)n = 10 古典力學 ( 綠色 ) 對量 子力學 ( 紅色 ) 機率密度函數比較圖 圖 4..(a)n = 5 (b)n = 10 古典力學 ( 綠色 ) 量子力學 ( 紅色 ) 複數力學 ( 黑色 ), 三者機率密度函數比較圖 圖 4..3(a)n = 15 (b)n = 0 古典力學 ( 綠色 ) 量子力學 ( 紅色 ) 複數力 學 ( 黑色 ), 三者機率密度函數比較圖... 8 圖 4..4(a)n = 30 (b)n = 40 古典力學 ( 綠色 ) 量子力學 ( 紅色 ) 複數力 學 ( 黑色 ), 三者機率密度函數比較圖 圖 4..5 (a)n = 50 (b)n = 60 古典力學 ( 綠色 ) 量子力學 ( 紅色 ) 複數 力學 ( 黑色 ), 三者機率密度函數比較圖 XV

18 符號表 C D dx dξ dξ, dw dt, t 複數型式常數項擴散係數兩點間的距離 Wiener 隨機過程正規化的 Wiener 隨機過程時間間距 E tx, 期望值 f g H 導引律 擴散分量 Hamiltonian 函數 H CL 閉迴路的 Hamiltonian 函數 H n 埃爾米特多項式 h J k L m 普朗克常數 普朗克常數除以 π 成本函數彈性係數 Lagrangian 函數質量 XVI

19 μ p Q V 標準差動量量子位勢外加位勢實數型式 R B 波函數的大小 q S 廣義座標 作用量函數 S B 波函數的相位 t t 時間 無因次化時間 t 0 初始時間 t f 終端時間 u 最佳導引律 u* 飄移速度 U v v V 位能擴散係數變異數外加位能 XVII

20 V 值函數 V total 總位勢能 w w ω x x x 布朗運動位置 Wiener 隨機過程向量式系統的特徵長度非線性系統的動態系統狀態變數無因次化系統變數 x 0 初始位置 Ψ 波函數 ( 時間相關 ) ψ 波函數 ( 時間無關 ) ρ ξ σ Γ 機率密度函數隨機變數標準差複數力學 統計力學量子對力學機率密度的相關係數 Γ cl 複數力學對古典力學機率密度相關系數 XVIII

21 第一章緒論 1.1 背景及文獻回顧 近代物理整個核心圍繞著 0 世紀在物理上有著重大進展的量子力學 量子力學解釋了在微觀尺度下古典力學 ( 牛頓力學 ) 所無法解釋的行為模式, 並且與諸多實驗結果相符 對於粒子為何有這樣的現象, 量子力學並沒有如古典力學般有完整的描述及解釋, 而這與我們所熟知的古典力學認知有極大不同, 也就是說吾人只知其現象, 但並不了解其背後根本作用的機制 近年來有許多研究試著用軌跡論來詮釋量子系統 [8], 而軌跡論的觀點也出現許多不同聲音, 因此本論文希望透過分析與比較, 確定何種軌跡論才是正確的 在古典力學裡, 我們所討論研究的是物體因果關係 知道物體的初始速度 位置等關係後, 我們可由牛頓第二運動定律求得任意時刻下的位置及速度, 此為物體本身運動軌跡 古典力學發展至今皆遵循這守則, 但若將此套系統用於量子力學中, 卻無法詮釋粒子運動, 而必須使用機率統計來描述, 這使得二種力學之間產生巨大的隔閡 量子力學主流的哥本哈根學派, 其主張粒子的運動並無確切的軌跡行為, 若要找尋粒子便只有以粒子在某個位置出現的機率來表示, 吾人稱之為機率密度 ρ(probability Density) 換言之, 吾人只能大概 1

22 知道粒子落點的可能位置, 但不知其確切的真實位置 對於用機率來詮釋粒子的行為, 雖然可以與實驗結果相符 但完全拋棄古典力學所建立的因果關係方式, 在討論微觀尺度下的問題時, 突然以機率來詮釋物理現象, 對於許多人來說是非常不直覺的 任何物理現象應有其一定的規律去解釋, 理應上巨觀跟微觀不應該有如此巨大的跳躍, 至少應該存在著連續性的過渡階段 195 年由波姆所建立的波姆力學 (Bohmian mechanics) 提供了不同於哥本哈根學派的新看法 [5,6] 在波姆所提出的架構下, 量子力學仍具有因果關係, 粒子的運動可以延續古典力學的架構 波姆力學將波函數 Ψ 轉換成古典作用函數 (action function), 代入薛丁格方程式得出量子 Hamilton-Jacobi 方程式 (QHJE) 以及其相對應的連續方程式 我們將此形式稱為流體力學形式的量子力學 (hydrodynamic formulation of quantum mechanics), 根據此方法吾人可以由連續方程 QHJE 及薛丁格方程式裡的波函數 Ψ, 便可得到相對應的粒子軌跡 這使得量子力學與古典力學重新接軌了, 先前被忽略的因果關係又再度被重新找回來 雖然波姆力學可以找出確切性軌跡的運動行為, 但是此架構中有著缺陷, 即在波函數所描述的特徵狀態下, 粒子總是靜止的 波姆力學雖然有此缺陷, 但還是提供了不同的思維來詮釋量子力學, 而這使得我們有著不同於傳統量子力學的機率思維 使用量子

23 流體力學架構解析量子系統的內部動態, 在數值解析上帶給吾人非常大的便利性 除了可以一邊求解軌跡一邊求解波函數, 節省數值計算所需的網格格點 [8], 並且可以將其應用至波包計算 [13,19] 電子研究 [1,7] 以及混沌 (chaos) 討論 [14] 航太領域中, 隨機最佳導引律 (stochastic optimal guidance law) 的設計是在於決定飛行器的最佳導引決策 [3,4], 使得某些以機率為度量的性能指標達到最大或最小 [5,6] 吾人將飛行器的最佳導引設計應用到量子系統中, 從而建立粒子飛行的複數力學隨機運動方程式, 並利用求解得到的粒子軌跡, 預測粒子的位置分布, 得到與量子力學傳統機率詮釋相同的結果 [10,7] 現代物理認為大部分的物質由原子構成, 理所當然會有從基本粒子互相作用解釋普通物理現象的想法 ; 但事實上單是一莫耳的碳原子就有將近 10 3 個原子, 單從數量來看, 計算和推演所需的時間不是目前電腦所能及的 所以物理學家比較喜歡說 這大群粒子的平均能量為多少? 這是因為人類並不可能精確計算系統內所有粒子的物理狀態, 而為了分析此種物理現象的手法正是統計力學的最初目的 [16] 統計力學已可應用在電聲系統中做詮釋 [0]; 也可在量子統計力學的基礎上, 進行費曼路徑重心密度 (Feynman path centroid density) 的制定 [11] 3

24 將統計力學結合熱力學作為基礎, 即可以形成一個基本微觀理論而構成量子力學, 不需要再依靠額外的假設就可以模擬出量子系統的環境, 使得量子系統更能被觀察 [15] 有了此種的概念產生, 使得許多人開始以統計力學觀點作出發, 去結合不同方法對量子系統作新的解釋 有些學者以蒙地卡羅方法 (Monte Carlo method) 來對分子進行模擬, 這是一種在數值上以亂數抽樣的方法來進行模擬, 並建構出完整的分子模型方法 [1], 然而此方法缺點需要繁雜的電腦技術和大量重複的抽樣, 因此計算成本較高且耗費時間較長 因此有學者提出新的方法, 將一個受隨機力作用的古典粒子, 其運動滿足朗之萬方程式 (Langevin equation) 求解此方程式可求得粒子的位置分布函數, 並證明此函數滿足佛克 - 普朗克方程式 (Fokker-Planck equation)[1] 此方程式本身具有隨機性和粒子特性非常相似, 因此能描述粒子在位能場中受到隨機力後, 隨時間演化的位置或是速度的分布函數 [18] 藉由統計力學的觀點, 量子力學與布朗運動之間的關聯性得以被建立起來 有學者更進一步將古典控制理論加入到這一個系統之中, 先在系統中設計出一控制位勢, 藉由控制位勢來改變系統能階 [], 然而此研究最終還是無法控制量子系統的能量進化現像 許多學者成功從統計力學的模擬結果和量子系統作相互對應, 嘗試從統計力學所闡述的量子系統跟巨觀和微觀之間做一個統 4

25 整, 而由理論推導去證明統計力學能將巨觀和微觀之間做結合 [17] 1. 研究目標 量子力學對薛丁格方程式的解 Ψ 取其絕對值的平方, 並將其解釋成粒子在時刻 t 出現在位置 x 的機率密度 雖然能得到粒子出現的機率預測, 但沒有能進一步解釋粒子運動的背叛機制, 因為量子力學從創建以來一直缺乏粒子的運動方程式 吾人希望由軌跡論做為出發點, 觀察量子系統中的粒子運動 現在以軌跡出發的力學觀點, 以統計力學較為常人所知, 由佛客 - 普朗克方程式可以推算出粒子的運動結果 ; 但複數力學 [7] 對於量子系統的模擬成果也是極其不錯 本論文將以隨機最佳導引律所得到的隨機運動方程式提供波姆導引律的必要修正, 同時證實所得到的粒子在空間中的位置分布與量子力學中的機率密度函數的描述完全一致 本論文接著希望以軌跡論的觀點, 嘗試在巨觀和微觀之間做連結 量子力學雖然在微觀系統極為成果, 然而當換到巨觀世界時, 卻有極大偏差 這是因為量子力學出發點以機率論為主, 然而巨觀世界是用軌跡動力學來描述, 因此才無法進行微觀與巨觀世界的連結 本論文將比較以軌跡論為出發點的複數力學和統計力學兩者的優劣性, 並分析哪一種力學可以無縫接軌微觀與巨觀二個世界 5

26 1.3 各章概述 從第二章開始吾人會先介紹布朗運動的特點, 接著由動態規劃 (Dynamic Programming) 的方法建立 Hamilton-Jacobi-Bellman 偏微分方程式, 並從而推導出描述量子運動的隨機運動方程式以及閉迴路控制系統 透過求解此隨機微分方程式, 而得到粒子隨機運動的複數軌跡 除了由動態規劃求解出來的粒子軌跡方程式外, 吾人另將介紹以古典統計力學所推算出來的隨機運動方程式 這是當波姆力學提出來後, 人們意識到粒子本身可能存在著軌跡, 於是將佛克 - 普朗克方程式所得到的結果, 代入布朗模型找到了和複數力學相似, 但本質截然不同的統計力學隨機運動方程式, 此方程式的解釋是粒子實數運動軌跡 第三章是要闡述由第二章所推導出來的二種隨機運動方程式是否真的可以使用於量子系統中 吾人選用兩種高斯波包系統去對推算出來的隨機運動軌跡做比較, 以此證明所得到的隨機運動方程式可以做為量子力學和古典力學之間的橋樑 接著將系統以多個初始點做模擬統計, 由隨機選擇初始位置來模擬粒子真實狀況, 驗證隨機運動方程式和機率密度的吻合性 第四章的將指出在第三章模擬軌跡時, 統計力學所產生的問題 統計力學和複數力學隨機方程式兩者之間由, 第二章的數學推導就可 6

27 看出其中關係相似但本質相反, 前者是實數軌跡, 後者是複數軌跡 在模擬系統過程中, 吾人發現統計力學存在著缺陷, 為了觀察此缺陷, 吾人以量子系統中最為重要的量子簡諧振子系統來做討論 以此例子了解為何要將軌跡複數化的原因 然後將量子數遞增, 驗證複數力學是否能對應到古典力學的結果, 以此呼應波爾的相對應原理 (corresponding principle) 第五章會將前面所有章節做個總結, 將三 四章節中所得到的結果做個完整的表述, 並指出論文中還需要繼續深入的地方或者提出新的想法以供後來者繼續研究討論 圖 1.1 各章節相關示意圖 7

28 第二章不同觀點下的量子系統航太領域中, 隨機最佳導引律的設計是在決定飛行器的最佳導引策略, 使某些以機率為度量的性能指標達到最大或最小, 例如最短時間攔截 最少燃料消耗 最大攔截區域等等 ( 參考圖.1.1 的左圖 )[3,8] 而在量子世界中利用前導波 (Pilot wave) 來引導電子運動的想法, 最早是由法國物理學家德布洛伊 (de Broglie) 在 193 年於他的博士論文中所提出 依此說法, 電子具有波粒二重性 (wave-particle duality), 對於每個粒子而言, 總存在一個導引波伴隨著它, 導引它在空間中移動, 如圖.1.1 的右圖所示 [4,7] 圖.1.1 飛彈導引系統與量子導引系統間之類比 ( 左 ) 飛彈接受導引 系統的飛行指令, 以最佳性能攔截目標 ;( 右 ) 粒子接受前導波的導引, 以最佳策略追逐假想目標.1 布朗隨機運動 目前求解最佳化問題有二種方法, 第一種方法是根據變分原理 8

29 (calculus of variation), 第二種方法是根據動態規劃 (Dynamic Programming) 原理 變分原理是根據給定的初始條件, 規劃出最佳策略 當初始條件發生改變時, 最佳策略要重新規劃, 所以變分原理所得之最佳解屬於開迴路 (open-loop) 的型式 u = u(t) 動態規劃原理則依據當下的狀態 x, 即時設計出最適合的方案, 所以動態規劃原理得到的最佳解是屬於閉迴路 (closed-loop) 型式 u = u(x), 只跟當下的狀態有關, 而與初始條件無關 量子運動本身就具有隨機性 ( 如圖.1.), 其當下狀態是隨機產生的, 無法由初始條件去預測, 因此要決定最佳量子導引律, 只能根據當下訊息去規劃 量子系統特性使得動態規劃原理是唯一求解量子最佳導引律的方案 圖.1. 布朗運動的定義 ( 左 ) 及實際軌跡 ( 右 ) 最簡單的隨機運動是離散型的布朗運動 (Brownian motion), 其運 動方程式可表示為 9

30 w = i 1 w + i ξi, ξ =± v + i, w = 0 0 (.1.1) 其中 w i 代表布朗運動第 i 步時, 所到達的位置 ξ i 是隨機變數, 其值可 為 + v 或 v, 機率都是 1/; 也就是說, 隨機變數 ξ 的期望值 ξ 0 i i =, 變異數 (variance) ξ = v 疊代式(.1.1) 的解可表成 i w = ξ + ξ + + ξ (.1.) n 1 n 由於 w n 是隨機變數 ξ 的總和, 所以 w n n 本身也是隨機變數, 其期望值 和變異數分別為 n n n n n ξi 0, n ξξ i j ξi ξi ξj i= 1 i, j= 1 i= 1 i, j= 1 v (.1.3) w = = w = = + = n 其中因為隨機變數 ξ 和 ξ i j 是統計獨立, 故有 ξξ i j = ξi ξ j = 0 觀 察 w n 的標準差 σ n = nv 是 n 的函數, 這說明隨機變數 w n 的統計特性 隨著運動或時間而變 這種統計特性隨著運動或時間而變的隨機變數 即稱為隨機過程 (stochastic process), 因此布朗運動是隨機過程的一 種 10

31 Count Count Count Count 圖.1.3 執行 次布朗運動的結果 每次實驗都走 100 步 ( 從原 點出發 ), 每步走一個單位長 (v= 1 ), 向左向右的機會均等, 並記錄 第 100 步時所到達的位置 w 100 =, 當成該次實驗的結果, 並記錄在 橫軸上, 縱軸高度代表 w 100 到達該位置的實驗次數 吾人發現隨機變數 w 100 的統計分布類似高斯分布, 其期望值和變 異數分別由 (.1.3) 式所給定 w = 0, w = nv = = 10 圖 n n.1.3 的右圖表示的只是 n = 100 時,w n 的統計分布 隨著 n 的增大, 變 異數 wn = nv 變大, 代表 w n 的位置分布越來越扁平 ; 中心位置不變, 總面積不變, 但中心位置的機率高度下降, 機率曲線向左右二邊延伸 然而圖.1.3 的右圖是否為近似高斯分布呢? 這牽涉到統計理論中的一個重要定理 : 中央極限定理 (central limit theorem) 此定理是說, 只要有足夠多的隨機變數相加, 則不管其個別的機率分布為何, 相加所得的隨機變數必定趨近於高斯分布 (Gaussian distribution) 吾人將 11

32 其用數學描述, 假設 ξ 是任意隨機變數, 考慮多個 i ξ 的相加, 並逐漸 i 增加相加個數, 直到無窮多個隨機變數的相加 : w= lim w = lim( ξ + ξ + + ξ ) (.1.4) n n n 1 n w n 是一隨機過程, 當 n 時, 隨機過程 w n 收斂於隨機變數 w, 且 w 的統計分布必為高斯分布, 此即為中央極限定理 而 w n 是 n 個 ξ 相加 i 根據 (.1.4) 式的中央極限定理, 當 n 越大,w n 必趨近於高斯分布 在 圖.1.3 中,w 100 統計分布已接近高斯分布 所以說布朗運動進行得愈 久, 其可能到達位置的統計分布愈接近高斯分布 方程式 (.1.1) 所描述為離散型的隨機過程, 當布朗運動每一步伐 大小趨近於零時, 隨機過程即從離散型趨近於連續型, 此時方程式 (.1.1) 變成 wt ( + dt) = wt () + dξ (.1.5) 其中 dξ 是隨機變數 ξ 的微分量, 代表極小隨機位移 dξ 的可能值仍 然只有 ± vdt, 且取正負的機率各為 1/ 可見 dξ 仍具有隨機布朗運 動的特性, 只是每次運動的位移量非常微小 從 (.1.5) 式的積分可求 解 w(t) 得到 wt () = w + dξ (.1.6) (.1.6) 式所得的值仍是隨機變數 因為每一次積分都可視為一次實驗, 每次積分所得的值都不同, 所以對於固定的時間 t 而言,w(t) 0 t 0 1

33 是一隨機變數, 有其對應的統計分布 當時間 t 變化時,w(t) 的統計分布也隨之變化, 故稱 w(t) 是一隨機過程 [] 又因積分是無窮項的求和, 因此根據中央極限定理, 由 (.1.6) 式所得的隨機變數 w(t), 不管 t 為何,w(t) 必具有高斯分布的特性 經由學理上的證明,w(t) 的機率密度函數為 1 ( w w0) 1 ( w w0) ρ( wt, ) = exp exp = πσ σ πvt vt (.1.7) ρ ( wt,) 確實為高斯分布函數 ; 標準差為 v t, 表示時間越長,w(t) 的分布越廣, 機率曲線越加扁平 具有 (.1.7) 式機率密度函數的隨機 過程 w(t) 稱為 Wiener process 並且 Wiener process 是為連續型布朗運 動, 其每一步的移動無限小 不管時間長短,Wiener process 恆具有 高斯統計分布. 動態規劃原理求解量子軌跡最佳導引律 我們考慮粒子所追逐的目標均具有布朗隨機運動, 並將追逐者與 逃逸者間之相對運動用以下之一般式表示之 dx = f ( t, x, u) dt + g( x, u) dw (..1) 其中 w 是 Wiener process, 擴散分量 (diffusion) 為 g(x,u),f(t,x,u) 是待求 的導引律, 期望值 dw = 0, 標準差 dw = dt 受到布朗雜訊的影 響, 使得 (..1) 式的解 xt () 也是一個隨機過程, 其值無法由初始條件 唯一決定, 且其統計特性與機率分布均隨時間 t 而變化 由於 xt () 的 13

34 隨機性, 這時去求成本函數 J 的最佳化並沒有意義 此時成本函數的 定義必須修改成 tx, { } t f τ τ τ τ t J( txu,, ) = E Lx ( ( ), u( ), ) d (..) 也就是在成本函數無窮多種可能值中取其平均, 其中 E tx, 代表由初始 條件 xt () = x出發的無窮多條軌跡中, t τ tf, 去計算成本函數的期 望值 此成本函數的最小值稱為值函數 (value function), 定義成 Vtx (, ) min Jtxu (,, ) (..3) utt [, f ] 依據動態規劃法, 將 (..) 式作泰勒級數展開, 得到結果如下 V dt + L ( t, x, u ( t )) dt + t 0 = min u[, t t+ dt] V 1 T Vtx (, ) f( txudt,, ) + tr g( xu, ) g( xu, ) x x (..4) 現令 dt 0, 並將與 u 無關的 V / t這項提到 min 的外面, 而得到 Vtx (, ) Vtx (, ) 1 T Vtx (, ) = min Ltxu (,, ) + f( txu,, ) + tr g( xu, ) g( xu, ) u U t x x (..5) 此式稱為 Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB) 方程式 由 (..5) 式可發現隨機系統的 HJB 方程式比確定型系統的 HJB 多 出來含有 g( xu, ) 的一項, 此項正是來自雜訊的標準差 若令 g( xu, ) 0, 則 (..5) 式即為確定型系統的 HJB 方程式 根據 (..5) 式求得的 HJB 方程式, 我們可以證明量子力學是在考 慮雜訊的情況下, 最佳化隨機控制的結果, 其所對應的 f 函數為 14

35 (,, ) u0 f txu = 將 f = u代入 (..5) 式得到 Vtx (, ) Vtx (, ) 1 T Vtx (, ) = min Ltxu (,, ) + uxt (, ) + tr g( xu, ) g( xu, ) u U t x x (..6) 其中 u 須滿足右邊各項微分為零的條件 p Ltxx (,, ) Ltxu (,, ) x u Vt (, x) (..7) 由上式可解出最佳導引律為 u= utxp (,, ) p= V (..8) 引入 Hamiltonian 函數 (,, ) T T Htxp = px Ltxx (,, ) = pu Ltxu (,, ), 代 入 (..6) 式, 可得 Vtx t Vtx = H( tx,, p) + tr g( xu, ) g( xu, ) x (, ) 1 T (, ) p= V/ x (..9) 再導入定義函數 Stx (, ) = Vtx (, ), 令擴散分量為 g( xu, ) = ν, 則 (..9) 式可改寫成 Stx (, ) + Htxp (,, ) + Stx (, ) = 0 p= S/ x t v (..10) 與經典 Hamilton-Jacobi 方程式比較, 吾人發現上式多出了含擴散係 數 ν 的左邊第三項, 此項純粹是源自雜訊的作用 為了與量子力學作 對應, 我們考慮單一粒子在位勢 Utx (, ) 作用下的運動, 其 Lagrangian 函數及 Hamiltonian 函數分別可表成 1 T L L(, t x, x ) mx x U (, t x), p mx (..11a) x 15

36 T T T p p p p p p Htxp (,, ) = px Ltxx (,, ) = Utx (, ) = + Utx (, ) (..11b) m m m 將 H 代入 (..10) 式, 得到作用量函數 S 所要滿足的偏微分方程式 Stx t (, ) 1 ( (, )) T ν ( (, )) (, ) + Stx Stx + Utx+ Stx (, ) = 0 m (..1) 以上是由最佳隨機控制所得到的 HJB 方程式 而從量子力學觀點來看, 單一粒子在位勢 Utx (, ) 作用下的量子運 動, 其相對應之薛丁格 (Schrödinger) 方程式為 Ψ = Ψ+ Utx (, ) Ψ i (..13) t m 其中 Ψ 稱為波函數 (wave function) 經由函數轉換關係 Ψ (, tx) = e 可將薛丁格方程式 (..13) 轉化成 is ( t, x)/, Stx (, ) 1 ( ) i + Stx (, ) + Utx (, ) Stx (, ) = 0 t m m (..14) 比較 (..14) 式與 (..1) 式, 發現兩式完全一致, 只要將雜訊的擴散 係數 ν 設定成 i ν = (..15) m 透過擴散係數 ν 的選擇, 吾人證明了量子力學的薛丁格方程式, 實際 上是源自最佳隨機控制的 HJB 方程式, 同時也證實了先前的推論 : 量子力學是在考慮雜訊的作用下, 自然界本身最佳化控制的結果 另 外值得注意的是 (..15) 式所給定的擴散係數 ν 是虛數, 將此式代入 16

37 (..1) 式時, 吾人發現位置 x 必須定義在複數平面上, 方程式才有解 一旦作用量函數 S 決定後, 最佳速度導引策略 utx (, ) 可由 (..7) 式與 (..11a) 式的結合而得到為 1 utx (, ) = x = p = Stx (, ) (..16) m m 這是有關速度的方程式, 至於加速度的方程式可由動量的微分得到 ; 再代入 (..14) 的 S / t, 以及 (..16) 式的 dx / dt 即可整理成 dp i = Utx dt x m (, ) Stx (, ) (..17) 接著我們可以仿照古典 Hamilton 力學的型式, 將量子力學的運動方 程式 (..16) 式與 (..17) 式, 重新改寫成 Hamilton 運動方程式 首先 吾人定義閉迴路的 Hamiltonian 函數 H CL 如下 1 i H txp p Utx Stx m m CL(,, ) = + (, ) (, ) (..18) H CL 與古典的 Hamiltonian 函數 H 比較起來, 多出來一項, 此項稱為 量子位勢 Q : i Qtx (, ) = S m (..19) 而其總位勢能 V total 會為 i Vtotal = Qtx+ Utx = S+ Utx m (, ) (, ) (, ) (..0) 17

38 (.1.16) 式與 (.1.17) 式可用 H CL 表示成如下的量子 Hamilton 運動方程 式 : dx HCL p, x dt p m dx HCL i Utx (, ) S, p dt x x m (..1) 這是 Hamilton 的量子運動方程, 它提供我們另一個去解析量子動態 Ψ (, tx) = e is ( t, x)/ 的方法 Hamilton 的量子運動方程式是根據閉迴路的 H CL 所建立 ; 而古典的 Hamilton 方程式則是由開迴路的 Hamiltonian H 所建立 : H p / m U( tx, ) = +.3 複數力學隨機運動方程式 程式為 依據. 節的推導, 吾人了解到量子運動所要滿足的隨機微分方 (, ) dx = u t x dt + νdξ, d dt (.3.1) 其中最佳導引律 utx (, ) 由 (..16) 式所決定 p 1 i utx (, ) = x = = Stx (, ) = ln Ψ( tx, ) (.3.) m m m 其中 Stx (, ) 滿足量子 HJB 方程式 (..14), Ψ ( tx, ) 則滿足薛丁格方程 式 (..13) 因此 (.3.1) 式為量子運動 x(t) 所要滿足的隨機微分方程 式 (.3.1) 式, 中包含了三項位移 : 18

39 I. u ( t, x) dt : 稱為漂移位移 (drift displacement) II. d : 由 Wiener process 所產生的位移, 稱為擴散位移 (diffusion displacement) 此項位移定義在複數平面, 這是因為擴散係數 ν = i / m是複數的關係 : 1/ 3 3 ( i) cos isin ( 1 i) m m m (.3.3) 1/ d 是 Wiener process 的位移, 假設位移的時間間距為 dt, 則 d 的機率密度函數為高斯分布的型式 1 x ( ) /dt f x = e (.3.4) π dt 其期望值 d 0, 變異數 d dt ; 也就是說 Wiener process 與絕對時間 t 無關, 只和時間間隔 dt 有關 III. dx 是漂移位移 u t, q dt 與布朗運動擴散位移 d 的疊加 : ( tx) i ln Ψ, dx = u( t, x) dt + νdξ = dt + ( 1+ i) dξ m x m (.3.5) 從 (.3.5) 式可看到, 布朗擴散位移 d 對量子位移 dx 的實 虛部 影響是大小相等, 但方向相反 ; 也就是當布朗運動造成量子位移 dx 在實部正的方向有一單位的移動時, 也將同時造成在虛部負的方向也有一單位的移動 因此為了將古典運動跟量子運動作結合, 須經過兩大步驟 : 首先, 實數運動的複數化 (complexification) 19

40 dx = u( t, x) dt, x, u dx (, ) 接著將複數運動隨機化 (randomization) dx = u( t, x) dt (, ) = u t x dt, x, u (.3.6) dx = u t x dt + νdξ, x, u (.3.7) 經由兩個步驟, 便可以將抽象機率分布, 展示成實際軌跡概念 而量子軌跡由 (.3.1) 式積分得到 : t 0 t 0 0 t (, ( )) dx = x x = u τ x τ d τ + ν d ξ (.3.8) 其中 Wiener process d 的積分就是有名的 Ito integral, 但 Ito integral 沒有解析的表示方法,(.3.8) 式的積分需要數值疊代計算 則 (.3.8) 式的積分疊代式可寫成 t t t, t t 1 t 0 1 n ( j ) j j j x = j 1 x + j utj, x t + + j ξ vt, j x j (.3.9) 若採用等時間間隔積分, 則取 t t (.3.9) 式中的 t 是原先 j d 的標準差, 這相當於隨機變數 已被正規化 (normalized) 成標準型 式的高斯分布 0,1 的機率密度函數為 1/ N, 即期望值 ξ = 0, 標準差 ξ = 1, 相對應 f ( ξ ) 1 / = e ξ (.3.10) π 當中 本身是無單位的, 而 t 的單位則是長度 代入 u t, x 及 j j 的定義式,(.3.9) 可以展開成 0

41 ( tj xj) i ln Ψ, xj+ 1 = xj t+ ( 1+ i) ξ t m x m, j 0,1 n (.3.11) 將其拆成實部和虛部, 可得兩個實數疊代式的聯立 : ( tj xj) ln Ψ, Re( xj 1) Re( xj) Im t t m x m ξ + = +, j 0,1 n ( tj xj) ln Ψ, Im( xj 1) Im( xj) Re t t m x m ξ + = +, j 0,1 n (.3.1a) (.3.1b) 上式每個分項都已是距離單位, 進一步的數值計算需先將其無因次化 要注意的是 (.3.1a) 與 (.3.1b) 中, 是同一個隨機變數, 這是因為兩式都是由 (.3.11) 式得到, 故 是相同的 然而遇到不同維度的隨機變數, 則須獨立選定.4 統計力學隨機運動方程式 現今有許多學者提出以古典統計力學方法去詮釋量子系統 此種 詮釋與波姆力學方法有密切關連 量子力學對薛丁格方程式的 Ψ(, tx) 解取其絕對值的平方 Ψ (, tx), 並將其解釋成粒子在時刻 t 出現在位 置 x 的機率密度 量子力學雖然提出粒子分布的機率分布, 但並沒有 進一步解釋粒子運動的機制, 而且量子力學從創建以來一直缺乏粒子 的運動方程式 為建立機率與運動的關聯性, 統計力學的學者所思索 的問題是 : 甚麼樣的粒子隨機運動, 會和粒子位置機率分布 Ψ(, tx) 1

42 所設定的一樣?, 這個問題目前已有初步的答案 [1] 首先統計力學, 以佛克 - 普朗克方程式作為主體去描述粒子在位能 場中受到隨機力後, 隨時間演化的位置分布函數 考慮布朗模型的量 子運動 [] dx = u *( t, x) dt + Ddw, x (.4.1) 其中 u*(t, x) 為漂移速度和 Wiener process 描述的擴散位移 dw ( 其中 d w 的意義在.1 節中以已詳細介紹 ), 又 D = h/m 為擴散係數 因 此我們可以找出一維佛克 - 普朗克方程式 ρ = ( u*( tx, ) ρ) + ( Dρ) t x x 機率密度函數 ρ 和波函數 Ψ 關係式為 (.4.) isb ( x, t )/mv ρ =Ψ* Ψ= R, Ψ= RB (, txe ) (.4.3) 由波函數 Ψ 表示的薛丁格方程式 (Schro dinger equaction) 為 ˆ i( md) Ψ= HΨ= md Ψ+ U ( t, x) Ψ t x (.4.4) 將 (.4.3) 式中波函數 Ψ 代入到 (.4.4) 式中, 整理其中虛部項可以得到 1 1 RB(, tx) = RB(, tx) SB(, tx) RB(, tx) SB(, tx) t m m (.4.5) 接著將 (.4.3) 式中機率密度函數 ρ 代入, 可改寫佛克 - 普朗克方程式 t R (, tx) = ( D R(, tx) u*(, txr ) (, tx)) B B B (.4.6) 且 R = R R, 將 (.4.5) 和 (.4.6) 式作比較, 吾人可以得到 u*(t,x) t B B t B

43 為 1 h u tx S R m x m x *(, ) = B + ln( B ) (.4.7) 經由.3 節所提到的方法, 吾人可以將量子統計的結果以視覺化的軌跡展現出來 首先將 (.4.1) 式做積分得到 t t t ( ( )) dx = x x = u * τ, x τ d τ + D dw (.4.8) 因為上式結果無法解析, 我們必須用數值疊代來求得 假設 t 0 到 t n 的積分過程中, 時間軸的離散點取在 t0 t1 tn, t t 1 t, 則 (.4.7) 式的積分疊代可寫成 ( ) i i i xi+ 1 = xi + u* ti, xi ti + ξ D ti, xi (.4.9) 將 D 和 u*(t, x) 的定義是代入 (.4.9), 可以展開得到 1 1 ( h h xi+ = xi + xsb + x(ln RB )) t+ ξ t, xi (.4.10) m m m 值得注意的是,.4 節中公式推導的概念和.3 節有極大相同之處, 但對於隨機運動的描述有兩點是不同的 : 第一點, 這裡的 x 只存在於實數平面, 因此物理意義跟 (.3.11) 式是截然不同的 第二點, 複數力學中所得到的飄移速度和統計力學結果及擴散係數 D 的定義並不相同 本章節介紹了兩種從軌跡論為出發點所闡述的量子系統運動方程式 雖然在描述量子系統的布朗模型中, 複數力學和統計力學有極 3

44 大的相似之處, 然而背後的物理定義卻不一樣, 因此得到迴然不同的隨機運動方程式, 從第三章開始吾人會以本章的數學推導結果代入到 MATLAB 去做數值運算, 將統計結果對比量子力學機率密度函數, 從而觀察兩種力學所推算的隨機運動方程式是否有吻合概率論的結果, 接者以不同系統或者改變初始點分布去測試兩種力學所描述的量子系統何者, 分析較為真實, 並探討可能遇到的狀況 4

45 第三章不同力學下的量子軌跡分布統計為了確認第二章數值演算法所求出的粒子隨機軌跡是否正確, 吾人將對推導的方程式與理論預測去作比對 比對的方法是, 吾人將使用兩組有解析解的量子系統去觀察複數力學 統計力學的統計結果, 再和機率密度 ρ 做比較 所選用的兩組量子系統是相干態高斯波包和自由型高斯波包 我們將從這兩組系統得出複數力學和統計力學其本質上的差異, 且從中了解複數力學對於量子系統的重要性 3.1 相干態高斯波包的量子運動 在模擬系統軌跡前, 我們先建立相干態高斯波包的數學模型, 相 干態高斯波包的位勢為 U( x) = k / ( x ) 將此位勢代入薛丁格方程式 (..13) 式, 並設初始高斯波包為 Ψ (0, x) = π e exp ( x ip ) / 1/4 p0 / 0 (3.1.1) 吾人可求解薛丁格方程式得到波函數的解析解如下 : 1/4 p0 / 1 it ip0 Ψ ( t, x) = π e exp ( x ip0cos t) + xp0sint sin( t) 4 (3.1.) 由 (3.1.) 式便可得到機率密度 ρ ρ * 1 ( x p0 sin t) =ΨΨ (, tx) = e (3.1.3) 有了相干態高斯波包的數學模型, 吾人可以用 (.3.11) 和 (.4.10) 兩式, 進行數值模擬, 統計軌跡位置分布的結果 π 5

46 3.1.1 複數力學的統計分布結果 我們可將相干態高斯波包之波函數代入到 (.3.11) 式中, 求得其複數力學隨機運動方程式 在將此波函數代入方程式之前, 我們先將方程式做無因次化處理 定義新的變數 * x E x =, t = t (3.1.4) ω h 其中 ω 為系統的特徵長度,h 為普朗克長數,E * =h/(mω ), 引入新變 數, 可將隨機運動方程式做無因次化 則無因次化後隨機運動方程式 為 : ln Ψ( tj, xj) t xj+ 1 = xj i t + ( 1 + i) ξ, j = 0, 1,, n., x (3.1.5) x 吾人接下來將以 (3.1.5) 式, 去重建自由型之高斯波包軌跡 先將波函 數 (3.1.) 代入 (3.1.5) 式中, 可得 it t x j+ 1 = x j + i( x ip0e ) t + ( 1 + i) ξ, j = 0, 1,, n. (3.1.6) 由 (3.1.6) 式計算位置 x j 分布的統計結果再和機率密度 (3.1.3) 去做比較, 並設 p 0 = 1 6

47 圖 觀察不同時間下 (a)t = 1 (b)t =,(c)t = 3 (d)t = 4, 以 100,000 個相同初始點 x 0 = 0+0i 統計軌跡分布結果和機率密度做比對 其中點線代表的是機率密度函數, 黑色方形點為複數力學統計結果 吾人以一個初始點去模擬粒子軌跡的時候, 隨著時間變化會產生出軌跡線條, 藉由此種結果當粒子以十萬個去做模擬的話, 會產生十萬條軌跡存在, 吾人將其軌跡落點作統計, 當此軌跡停留較多粒子時其統計數目較多, 而停留較少的軌跡統計數目也相對較少, 因此可以得到圖 從圖 所示, 可以很明顯觀察到, 當時間在比較小的時候 (t = 1), 兩者結果還是比較相近的 ; 但隨時間越來越大系統發 7

48 散越快, 當 t = 4, 已經沒有任何精準度可言 因此吾人檢查系統是否在推導過程中產生了問題 當複數力學的量子軌跡由積分展開時, 需要做數值疊代, 而誤差產生就在於 (.3.11) 式中的內部積分項 為了解決因為直接做數值疊代造成其值不準確性, 吾人嘗引入了較精確的數值積分方法 首先我們將 (.3.11) 式表示成 因此, 我們可得到 t dx = x( t) x(0) = u( τ, x( τ )) d τ + ν dw (3.1.7) 0 0 t t j+ 1 i ln Ψ( tj, xj) x j+ 1 = x j dt + ( 1 + i) ξ t, j = 0, 1,, n m x m t j (3.1.8) 將其作無因次化可得 j+ 1 j tj+ 1 ln Ψ( t, x) t ( 1 ) ξ, 0, 1,,. (3.1.9) t j x x = x i dt + + i j = n 接著對系統中產生誤差的積分項做數值分析 在數值積分中有許多方法可以去逼近正確結果, 如 : 梯形法 (Trapezoidal rule) 或辛普森法 (Simpson s rule )... 等 然而低階的積分疊代式誤差較大, 而高階的疊代式雖然精確, 但較為費時 因此吾人選用數值積分中能快速達到結果並且使誤差降到最低的方法 closed Newton-Cotes formulas 此方法是將, 梯形法 (n = 1): ln Ψ( t, x ) ln Ψ( t, x ) tj+ 1 ln Ψ( t, x) t j j j+ 1 j+ 1 dt + tj x x x (3.1.10) 8

49 辛普森法 (n = ): tj+ tj ln Ψ( t, x) t ln Ψ( tj, xj) ln Ψ( tj+ 1, xj+ 1) ln Ψ( tj+, xj+ ) dt (3.1.11) x 6 x x x 辛普森 3/8 法 (n = 3): n = 4: ln Ψ( t, x ) ln Ψ( t, x ) + 3 j j j+ 1 j+ 1 tj+ ln Ψ( t, x) t x x dt (3.1.1) tj x 8 ln Ψ( tj+, xj+ ) ln Ψ( tj+ 3, xj+ 3) x x ln Ψ( t, x ) ln Ψ( t, x ) ln Ψ( t, x ) j j j+ 1 j+ 1 j+ j+ tj+ ln Ψ( t, x) t x x x dt (3.1.13) tj x 90 ln Ψ( tj+ 3, xj+ 3) ln Ψ( tj+ 4, xj+ 4) x x 此方法是將梯形法所算出來的結果, 接著再代入到辛普森法, 再從辛普森法和梯形法的結果, 代入到辛普森 3/8 法中, 最終將所有的結果代入到 n = 4 的積分式裡, 這會將原來較大的誤差結果慢慢剃除, 最終得以快速地得到答案 因此吾人將 (3.1.10) 到 (3.1.13) 的數值積分法代入到 (3.1.9) 式, 接著做移項可改寫成 x j+ 1 = itj itj+ 1 (1 t) j t 0( ) A x + ia P e + e + Bξ 1+ A t (3.1.14) x j+ = itj itj+ 1 itj+ (1 s) j 4 s j+ 1 s 0( 4 ) A x A x + ia P e + e + e + Bξ 1+ A s (3.1.15) x j+ 3 = itj itj+ 1 itj+ itj+ 3 (1 3) j 3 3 j j+ 3 0( 3 3 ) A x Ax Ax + iap e + e + e + e + Bξ (3.1.16) 1+ A 3 9

50 x j+ 4 (1 7 A ) x 3 A ( x + x ) 1A x = 1+ 7A 4 j 4 j+ 1 j+ 3 4 j+ 4 itj itj+ 4 itj+ 1 itj+ 3 itj+ ia4p 0 7( e + e ) + 3( e + e ) + 1e + Bξ A 4 (3.1.17) 其中 A = i t / A = i t /6 A 3 = i t /8 A 4 = i t / 90 t s B= ( 1 + i) t / 將整理後的隨機微分方程式帶入 MATLAB 做疊代 運算, 吾人可以得到結果 30

51 圖 3.1. 觀察不同時間下 (a)t = 1 (b)t =,(c)t = 3 (d)t = 4, 以 100,000 個相同初始點 x 0 = 0 統計軌跡分布的結果和機率密度做比對, 圖 (e) 表示相關係數 Γ 隨時間變化的情形 其中點線代表的是機率密度函數, 藍色方形點為複數力學統計結果 31

52 然而數值積分會受到時間的影響, 當時間較短的時候, 因為軌跡都從同一點出發, 時間內軌跡還為分散開來, 無法覆蓋整個樣本空間 ; 當時間拉長到一定的程度時, 軌跡模擬以完整呈現出來因此結果就會越來越精確 圖 觀察同時間 (t = 4) 下, 以不同粒子數目從初始點 x 0 = 0 出發, 統計結果和機率密度做比對 其中點線代表的是機率密度函數, 方形點為複數力學統計結果 (a)n = 100 (b)n = 1000,(c)N = 10,000 (d) N = 100,000 但是用肉眼來判斷二條曲線是否吻合將失去其客觀性 因此吾人將機率密度函數和隨機運動方程式的統計結果, 用相關係數 (correlation coefficient) Γ 來表示 : 3

53 SAB Γ=, 1 Γ 1 (3.1.18) S S AA BB 其中 n ( ), n ( ), n ( )( ) (3.1.19) S = A A S = B B S = A A B B AA j BB j AB j j j= 1 j= 1 j= 1 又 A j 是取隨機運動中實部軌跡 Re(x) 的統計分布去做運算, 而 B j 則是以機率密度函數 ρ 去做運算 當 0< Γ <1 時, 表示兩變數存在一定程度的線性相關 且 Γ 越接近 1, 兩變數間線性關係越密切 ; Γ 越接近於 0, 表示兩變數的線性相關越弱 由相關係數, 吾人可以知道軌跡統計的結果, 是否和理論互相吻合 從圖 3.1. 可以觀察到各個時刻 t = 1,,3,4, 十萬條從相同初始點 x 0 =0+0i 出發的軌跡, 由數值疊代算出軌跡並對軌跡做統計分布 當 t = 1 時,Γ = 然而當 t = 4 時,Γ = 可見隨時間的增加, 複數力學所推算出的軌跡分布, 逐漸收斂到量子力學的機率密度函數 從圖 能夠觀察到取點個數不同, 所得到的結果也會有所偏差 當粒子個數為 N = 100 時, 統計結果是紊亂不堪的, 然而將粒子個數增加到 100,000 時, 軌跡模擬結果就能完整描述量子系統 這說明了由大量粒子軌跡做統計分布的結果將會等同於以波函數所得到的機率密度 33

54 3.1. 統計力學的統計分布結果 引入 (3.1.4) 式, 先將統計力學所推導的隨機運動方程式 (.4.10) 無因次化 1 x = i 1 x + i ( xs + + B x(ln RB )) dt ξ dt + (3.1.0) 波函數本身數學型式可表示為 isb / h ψ = Re (3.1.1) B 則為了推算出 S B 和 R B, 將 (3.1.) 式拆成 R B S B p0 x + p0 cos t + xp0 t ( ) sin( ) e e = 0.5 π 1 1 = t p sin t + xp 4 ( ) cos( t) 0 0 將 (3.1.1) 代入 (3.1.0) 則可以得到,( 令 p 0 = 1) (3.1.) x = i x + ( i x + p sin( t) + + p co s( t) ) dt + ξ dt (3.1.3) 由 (3.1.3) 式統計位置 x i 的分布和機率密度 (3.1.3) 去做比較, 得到一下 結果 34

55 圖 觀察不同時間下 (a)t = 1 (b)t =,(c)t = 3 (d)t = 4,100,000 個粒子從相同初始點 x 0 = 0+0i 出發統計位置分布結果和機率密度做比對, 圖 (e) 表示相關係數 Γ 隨時間變化的情形 其中點線代表的是機率密度函數, 方形點線為統計力學統計結果 由圖 可以看到, 當時間越來越大, 機率密度和統計力學隨機運動方程式的統計結果, 將逐漸吻合 又由相關係數顯示, 時間 t = 1 時, 誤差較大, Γ= ; 時間 t = 4 時, 統計結果漸漸吻合, 相關 35

56 係數達到 Γ= 由此證明統計力學隨機運動方程式所模擬出來的軌跡, 其準確性很高 也表示著統計力學結果和量子力學是一致的 以相干態高斯波包為例, 吾人看到已複數力學和統計力學數值疊代的結果, 和量子力學所得到的機率密度是一致的, 且可證明吾人推算出的隨機方程式運動是正確的 3. 自由型高斯波包的量子運動 在 3.1 節吾人證明隨機運動方程式的準確性, 然而兩種力學的差異性卻並未顯示出來 因此吾人將藉由自由型高斯波包來凸顯兩種力學的差異性 在模擬軌跡前, 我們先建立自由型高斯波包的數學模型, 自由型高斯波包的位勢 U(x) = 0 將位勢 U(x) = 0 代入薛丁格方程式 (..13) 式中, 得到自由型高斯波包為 1 p 0 ( x pt 0 ) Ψ ( t, x) = exp ip 4 0x i t exp π 1+ it (1 + t ) (3..1) 相對應的機率密度函數為 1 ( x pt 0 ) ρ( tx, ) = exp π (1 + t ) 1+ t (3..) 有了自由型高斯波包的數學模型, 吾人可以用 (.3.11) 和 (.4.10) 兩式, 對其作數值模擬, 統計軌跡位置分布的結果 36

57 3..1 複數力學的統計位置分布 我們可將自由型高斯波包之波函數代入到 (3.1.5) 式中, 求得其複 數力學隨機運動方程式 x pt dt x = x i dt + + i j = n 1 t + j 0 j+ 1 j ( 1 ) ξ, 0, 1,,. (3..3) 由 (3..3) 式計算位置 x j 分布的統計結果和機率密度 (3..) 去做比較, 並設 p 0 = 1, 得到結果如下 圖 3..1 觀察不同時間下 (a)t = 1 (b)t =,(c)t = 3, 以 100,000 個粒子從相同初始點 x 0 = 0+0i 出發統計結果和機率密度做比對 線代表的是機率密度函數, 方形點線為複數力學統計結果 圖 (d) 表示相關係數 Γ 隨時間變化的曲線 37

58 圖 3.. 觀察同時間 (t = 3) 下, 以不同粒子數目從初始點 x 0 = 0 出發統計結果和機率密度做比對 其中線代表的是機率密度函數, 方形點為複數力學統計結果 (a)n = 100 (b)n = 1000,(c)N = 10,000 (d) N = 100,000 由圖 3..1 吾人可以看出, 複數力學隨機運動方程式所產生的結果, 跟量子力學的機率密度函數達成了一致性 雖然在時間較短情況下有誤差的產生, 然而當時間拉長時, 結果就會越來越精確, 這又再一次證明了複數力學所推導出的隨機運動方程式能模擬量子行為 而對於選用不同的粒子個數, 從圖 3.. 來看可知,N = 100 的統計結果完全無法詮釋量子系統, 將粒子數目逐漸增加, 統計結果也越來越跟量子系統吻合 這情況跟相干態高斯波包的模擬結果是一致的, 當選用夠多的粒子個數進行統計結果, 就會和機率分布是一樣的 因此軌 38

59 跡論跟概率論其實是一體之兩面的東西 3.. 統計力學的位置分布 為了求得統計力學的隨機運動方程式, 吾人必須得到 R B 和 S B, 因此須將 (3..1) 式拆成 ( x pt) 0 t e 1, B RB = S = px pt h π ( 1+ it) (3..4) 將 (3..4) 式代入 (3.1.0) 則可以得到, 隨機運動方程式為 xi + pt 0 xi+ 1 = xi + p0 + dt ξ dt + 1+ t (3..5) 由 (3..5) 式計算位置 x 分布的統計結果再和機率密度 (3.1.3) 去做比 i 較 39

60 圖 3..3 觀察不同時間下 (a)t = 1 (b)t =,(c)t = 3, 以 100,000 個粒子從相同初始點 x 0 = 0 統計結果和機率密度做比對 線代表的是機率密度函數, 方形點線為統計力學統計結果 圖 (d) 表示相關係數 Γ 隨時間的變化情況 由圖 3..3 可以看到, 統計力學所得到的隨機運動方程式結果, 隨著時間越來越長, 模擬結果卻越來越差 這結果和相干態高斯波包是不一樣的, 3.1 節的結果是隨著時間越來越長, 模擬相似程度越來越高 ; 然而從自由型高斯波包的結果來看, 時間越來越長, 統計相似程度卻越來越差 其中的問題到底是出在哪裡呢? 是不是發生在選擇單一初始點所造成的影響呢? 亦或是統計力學本身存在著無法改善的缺陷? 3.3 不同初始點分布下的量子軌跡統計 在前兩節複數力學和統計力學的軌跡分布中, 吾人都是選用相同的單一初始點去做模擬驗證, 這樣結果可能會和真實的粒子狀況不相同 因為粒子運動是隨機不可預測的, 所以粒子初始點的位置可能會分布在一個區間之中 為此吾人特別選擇 種初始點的位置分布, 以自由型高斯波包為例, 去觀察當粒子初始位置在分布區間內隨機選擇時, 會發生什麼樣的結果 40

61 3.3.1 常態分布 第一種初始點分佈方式為常態分佈 (normal distribution) 選擇常態分布的原因有二 : 首先常態分佈在分析上較易處理 其次是常態分佈適合當做母體之機率模式, 且在分析上容易駕馭 吾人選擇的期望值 μ = 0~, 標準差為 0. 以此函數來決定隨機運動方程式的十萬個初始點的分布位置 為了表現兩系統的吻合度, 吾人以相關係數來表示之 41

62 (a) Correlation Coefficient (r) Complex Mechanics μ = μ = 1 μ = (b) Correlation Coefficient (r) Time (t) Statistic Mechanics μ = μ = 1 μ = 圖 (a) 複數力學下的隨機分布和機率密度做比較, 以此產生的相 關系數曲線 (b) 統計力學下的隨機分布和機率密度做比較, 以此產 生的相關系數曲線 Time (t) 由圖 吾人可以看到, 當期望值越來越大時, 所要吻合時間就越 來越長, 但在一定時間中統計結果就會跟機率密度一樣 也就是說複 4

63 數力學隨機運動方程式, 可以模擬粒子在任一初始點下所產生的軌跡, 且軌跡的準確度和量子力學以機率論來描述結果是一模一樣的 然而初始點以常態分布的結果, 統計力學依然會產生偏差, 就算將初始位置改為常態分佈也無法產生改善 3.3. 均勻分布 均勻分布 (uniform distribution) 是取 (a, b) 兩個區間中的任意數, 且每個數值所被選到的機率是相同 (1 / (b-a)), 如圖 3.3. 所示 這也就代表著粒子將會從區間內的任一點出發, 經由亂數選擇, 更貼近真實粒子的運動情況 圖 3.3. 均勻分布的初始位置機率密度示意圖 吾人選擇區間為 a = 0 ~ 4 b = -4 ~ 0, 從中選取十萬個初始點, 來測試複數力學和統計力學所產生的隨機運動方程式的差異 43

64 (a) Correlation Coefficient (r) Complex Mechanics a = 1,b = -1 a =,b = - a = 3,b = -3 a = 4,b = -4 a = 0,b = 0 (b) Correlation Coefficient (r) 圖 (a) 是複數力學下的位置隨機分布和機率密度做比較, 所產生 的相關系數曲線 (b) 是為統計力學下的隨機分布和機率密度做比較, 所產生的相關系數曲線 Time (t) Statistic Mechanics Time (t) a = 1,b = -1 a =,b = - a = 3,b = -3 a = 1,b = -1 a = 0,b = 0 由圖 吾人可以看到, 當初使分布區間越來越大時, 所需要的吻 合時間就越來越長 而區間為 ±1 的時候很快就和機率密度吻合, 這 44

65 是因為自由型高斯波包本身的機率密度分布相對於原點為對稱, 而均勻分布區間為 ±1 時的機率密度, 也具有相似的對稱外型 均勻分布所得到的結果, 其實和常態分布很像, 但本身代表意義卻不同, 因為均勻分布區間所取得初始點每個機率都是一樣的, 跟真實粒子狀態更為相近 只是兩者初始分布狀態所產生結果告訴吾人, 粒子的初始分布不管是遵循怎樣的形式, 其結果最終都會和量子力學機率論一樣, 這代表複數力學和量子力學其實是殊途同歸 而統計力學在兩種不同形式下的初始分布還是會產生與理論值的偏差, 因此可以排除單一初始點可能造成統計力學無法進一步提升相關係數的原因 兩種力學對於數值積分的討論 前面的討論中, 吾人以數值積分方法去修改軌跡運動方程式的結 果, 因此在這一小節將要討論數值積分對於兩種力學的軌跡系統所造 成的影響 45

66 Correlation Coefficient (r) Numerical Methods n = 4 n = 3 n = n = Time (t) 圖 複數力學在相干態高斯波包, 使用不同數值積分所呈現出來的結果, 以相關係數隨時間變化做表示, 其中 n 代表的是數值積分的階層,n = 1 為梯型法 n = 維辛普森法 n = 3 為 3/8 辛普森法 n = 4 為高階數值積分 由圖 可以看到, 複數力學以低到高階數值積分方式去模擬, 所呈現出來的相關係數圖, 我們從中可以知道當系統中積分有問題時, 吾人會使用數值積分來修正系統的積分式, 使其得到精確的解, 因此可以看到隨時間越來越長, 軌跡樣本數充足後, 其模擬結果也會跟量子系統達成一致, 也就是說數值積分在系統中只是一種用來修正積分式的工具 因此會產生一個疑問, 統計力學軌跡模擬中假如進行數值積分的修改, 是否能將自由型高斯波包系統模擬到更精確的狀況? 46

67 圖 兩圖為自由型高斯波包統計力學以高階數值積分做修正跟量子系統兩者間相關係數隨時間變化的結果 上圖為初始點均勻分布, 下圖為初始點常態分佈 由圖 所呈現的結果, 可以觀察到統計力學當受到高階數值 47

68 積分的修正, 反而造成相關係數下降, 而且下降的趨勢隨時間增加越來越快 對於數值積分跟統計力學兩者之間的關係, 吾人整理出了兩點結果 : 1. 複數力學中 x 是以複數形式去表示, 也就是說我們將積分式做矩形法疊帶時, 產生誤差會有兩項存在 t t ( t x ) ti ( t x ) ln Ψ i, i ln Ψ i, i Im dt, Re dt x t i x i i (3.3.1) 因此複數力學需要使用數值積分方法去求解精確的答案 而統計 力學中 x 式表示於實數向量空間, 積分式只有一項 i i 1 + S t x + R t x dt x B( i, i) x(ln B ( i, i)) (3.3.) 此項積分做矩形法疊代時, 幾可得到正確的結果, 因此在相干態 高斯波包呈現結果相當完善 7 Statistic Mechanics trajectory Re(x) t 圖 此為自由型高斯波包統計力學軌跡分布圖 48

69 . 由圖 可以看到, 統計力學在 t = 3 的軌跡點分布, 大部分軌跡都只停留在 x r = 0~.5, 這樣最終統計結果也都只會集中在此處, 然而從圖 3..3(c) 可以看到, 機率密度分布是在 x r = -~8 之間, 這代表統計力學粒子軌機並沒有完全散開, 被侷限在一定的區間之內, 這使得系統模擬無法全域達成 為了探討此狀況, 吾人檢查統計力學的隨機運動方程式, 發現在統計力學隨機運動方程式中, 漂移速度 u* 的產生和波函數有關, 而當 R B = 0 時, 將在實數軸上產生一個無限大的位勢障, 粒子無法穿越這些歧異點所在的位置, 造成收斂無法全域達成 而這種情況以數值積分去做疊帶的話, 反而造成 R B 項所產生的誤差被放大, 系統結果只會跟量子機率密度越來越不相同, 最終產生圖 的狀況, 相關係數只會下降的越來越快 從以上結果可以看到, 統計力學受到 R B = 0 的狀況會造成很大的影響, 然而反觀複數力學隨機運動方程式是定義在複數平面上, 縱使再實數軸上產生無限大的位勢障, 複數平面上的軌跡仍可以利用其他的圍線繞過實軸上的異點, 所以收斂性不會受到影響, 因此造成統計力學模擬結果只會越來越差 關於統計力學的缺陷吾人將會在第四章做更多的討論和驗證, 以表明統計力學所面臨的侷限性, 並彰顯複數力學的重要性 49

70 50

71 第四章軌跡複數化的必要性由 3.1 節以相干態高斯波包來驗證, 吾人計算出來的隨機運動軌跡和量子力學的機率論描述是一模一樣的 然而在 3. 節模擬自由型高斯波包的結果中, 統計力學的結果卻和 3.1 節有極大的差別, 且隨著時間的增加, 相關係數達到一定的程度後就無法再提高了 這種狀況吾人發現其產生的原因, 是因為 u* = 0 的存在 但以自由型高斯波包無法完全闡述此狀況, 因此本章將以更簡單的例子來探討 u* = 0 所產生的影響 4.1 量子簡諧振子機率密度 量子簡諧振子 (quantum harmonic oscillator) 是古典簡諧振子的延伸 它是量子力學中最為重要的模型系統, 因為任意位能在穩定平衡點附近可用簡諧振子位能來近似之 量子簡諧振子可用來近似描述分子振動 為了模擬量子簡諧振子機率密度, 吾人首先需要知道其波函數, 由薛丁格方程式可以求得 n 階波函數為 x / i[( n+ 1)/] t Ψ n(, tx) = CH n n( xe ) e (4.1.1) 其機率密度為 x n n* n [ CH n n( x)] e RB ρ =Ψ Ψ = = (4.1.) 其中 H n 稱為厄米多項式 (Hermite polynomials) 51

72 d Hn( x) ( 1) e e dx n n x / x / n = (4.1.3) 從 (4.1.) 和 (4.1.3) 式, 吾人知道當能階 n 為多少時會對應多少個節點 (node) 使得 H n (x) = 0 的 x 值 節點的存在會使得機率為零, 這會使得統計力學產生問題, 而這樣的結果的產生, 使得量子簡諧振子非常適合用來比較複數力學和統計力學兩者之間的差異 簡諧振子的例子中, 我們希望討論的是節點存在的緣故, 始得 R B =0 的狀況, 因此會使用單一初始點去做討論, 這樣才能看出兩種力學所呈現出來的結果並做討論 而初始點位置選取, 吾人是以量子機率密度最高的點作為選取初始點的參考依據 量子簡諧振子 n = 0 首先模擬量子簡諧振子 n = 0 的情況, 為了模擬系統吾人需要其波函數 1 x / Ψ 0(, tx) = e (4.1.4) 將 (4.1.4) 式代入到 (3.1.5) 式中, 吾人得到複數力學隨機運動方程式 π 1 d x = ixd t + ( 1 + i ) dw, x (4.1.5) 將 (4.1.4) 式拆成 R B 和 S B, 如 (.3.4) 式的形式, 得到 R S B B 1 x / = e π = t (4.1.6) 5

73 將 (4.1.6) 式代入 (3.1.0) 式, 得到統計力學下的隨機運動方程式為 d x = xd t + dw, x (4.1.7) 圖 十萬個粒子, 均從 x 0 = 0 出發, 模擬粒子軌跡得到位置的分布, 再和機率密度函數做比較 (a) 為複數力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數 (b) 為統計力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數 圖 4.1.1(a) 是由 (4.1.5) 式所計算出的粒子複數軌跡, 而 (b) 是從 (4.1.7) 53

74 式算出的粒子實數軌跡 將兩種統計結果和機率密度做比較, 的相關係數顯示兩者結果都高達 0.99 以此可看出由兩種軌跡論出發的統計結果和機率論結果是一模一樣的, 這是因為當 n = 0 時, 沒有使機率密度為零的節點存在 所以統計力學才能顯示出正確的結果 4.1. 量子簡諧振子 n = 1 當 n = 1 時, 節點為零即將出現 為了模擬能階 n = 1 的狀況, 需先知道 n = 1 時的波函數 x / it Ψ 1(, t x) = xe e (4.1.8) 同時將 (4.1.8) 式代入到 (3.1.5) 式中, 吾人得到複數力學隨機運動方程式 π x 1 1 dx = i dt + ( 1 + i ) dw, x x (4.1.9) 將 (4.1.8) 式拆成 R B 和 S B 二個部分, 得到 R S B B x / = xe π = t (4.1.10) (4.1.10) 式代入 (3.1.0) 式中, 得到統計力學下的隨機運動方程式為 1 x dx = dt + dw, x (4.1.11) x 54

75 圖 4.1. 十萬個粒子, 均從 x 0 = 1 出發模擬粒子軌跡得到粒子位置分 布, 再和機率密度函數做比較 (a) 為複數力學 ( 方形點 ) 對機率密度函 數的比較,(b) 為統計力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數的比較 55

76 0 圖 十萬個粒子, 均從 x 0 = -1 出發模擬粒子軌跡得到粒子位置分布, 再和機率密度函數做比較 (a) 為複數力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數的比較,(b) 為統計力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數的比較 由圖 4.1.(b) 吾人可以看到當初始點從 x 0 = 1 開始時, 統計力學的 軌跡無法出現在 x < R 的區域, 導致相關係數只有 從圖中 56

77 吾人關察到在 x = 0 的部分好像有東西阻擋著, 不讓粒子通過, 使統 計結果都在正實部上 ; 而由圖 4.1.(a) 的複數力學統計結果卻完全看 不到任何正實部與負實部之間的阻礙, 因此統計結果和機率密度相關 系數達到 0.95 當 x 0 = -1 時, 吾人看到的結果和圖 4.1. 有些微不 一樣 在圖 4.1.3(b) 中, 可以看到統計力學模擬結果只會統計到負實 部的部分, 和圖 4.1.(b) 相同的是, 當粒子到達 x = 0 時, 會有阻礙而 無法進入 x > 0 的區域 ; 反觀圖 4.1.(a) 複數力學統計結果和 x 0 = 1 的 情況一樣, 其軌跡統計結果和機率密度的一致性相較於統計力學, 還 是相當的高 為了觀察兩種力學為何在 n = 1 的例子中會有如此大的差異, 吾 人透過描繪總位能 V total 來解釋統計力學軌跡無法通過 (x r, x i ) = (0,0) 的現象, 而複數力學卻能模擬整個量子系統 首先由 (..0) 可以知 道 V total 表示為 V total 3 1 x 1 = V+ Q= i x (4.1.1) 1 其中 V 是外加位能 ( V = kx ) Q 是量子位能 ( 如 (..19) 式的定義 ) 而 x = x r +x i 是複數位置 因此可以畫出 V total 如圖 4.1.4, 由 3D 總位勢可以看到在 (x r, x i ) = (0,0) 之處, 會產生一個無限大的位勢障礙, 這會造成實部軌跡在 x r = 0 的中斷現象 而當 x r = 0 時代入 (4.1.10) 式其結果造成了統計力學中的 R B = 0, 所以粒子無法只靠 x r 統計出整個系統 57

78 觀察在 3D 圖中所顯示的軌跡, 可以看到, 藉由 x i 的自由度粒子可以 繞開處於 0 點的位勢阻礙, 達到模擬整個量子系統的效果 圖 為 n = 1 的 3D 總位勢能 V total 在(x r, x i ) = (0,0) 有個無限大的位勢障如果粒子只有實部運動, 將無法繞過位勢障 當加入虛部位置的自由度後, 粒子運動可藉由虛部位置繞過位勢障礙 其中紅藍綠三條線為粒子複數軌跡 圖 4.1. 到圖 的模擬結果顯示複數力學比統計力學要好很多, 這樣的原因已可由圖 清楚解釋 然而如果將初始點放置在繞開位勢障的兩側時, 複數力學和統計力學又會有何種情況產生呢? 為了討論此種狀況, 吾人選擇二個初始點位置 x 0 = -1,1, 代入到 (4.1.9) 和 (4.1.11) 兩式中, 比較其統計結果和量子力學機率密度之間的吻合度 58

79 圖 十萬個粒子, 個別從從 x 0 = -1 1 出發, 模擬粒子軌跡得到粒子位置的分布, 再和機率密度函數做比較 (a) 為複數力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數的比較,(b) 為統計力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數的比較 將 x 0 = -1,1 代入隨機運動方程式中, 統計力學和複數力學所得到 59

80 的結果跟前面所提到的完全相反 由圖 4.1.5(a) 發現複數力學在 x r = 0 位置上的統計結果無法降到零點, 造成吻合程度只能達到 0.935, 這已是最好結果, 而 (b) 圖的統計力學因為軌跡模擬結果沒受到位勢障的影響, 因此統計結果和機率密度函數可以得到接近一樣的答案 對應 n = 1 的模擬結果, 當初始點選用一個時, 統計力學只能在初始點位置附近做統計 ; 而複數力學軌跡統計結果卻沒有這樣的限制, 這是因為當 x r = 0 時, 代入到 (4.1.9) 和 (4.1.10) 兩式,R B (x) 會等於零, 造成 u* 趨近於無窮大, 並在此處產生了一個位勢障, 因此粒子無法從統計力學的軌跡繞過此節點 當初始點放置在位勢障的兩側時統計力學就能避開 x r = 0, 因此能完整模擬量子系統, 反而複數力學模擬量子系統所得到的統計結果, 卻無法比得上統計力學所得到的統計結果 為了觀察兩種力學所產生的問題是不是只存在於 n = 1 的例子中, 吾人將接著討論 n =,3 的情形, 來驗證結果並討論為何會發生此種現象 量子簡諧振子 n = 吾人接著模擬能階 n = 的狀況, 當 n = 時, 波函數為 ψ ( x) x 1 ( x /+ i3/ t) = e (4.1.13) π 將 (4.1.13) 式代入到 (3.1.5) 式中, 吾人得到複數力學隨機運動方程式 60

81 x( x 5 / ) 1 ( 1 ), dx = i dt + + i dw x (4.1.14) x 1 同時將 (4.1.13) 式拆成 R B 和 S B 二部分 R S B B x = π = t 1 e x / (4.1.15) 將 (4.1.15) 式代入 (3.1.0) 式中, 得到統計力學下的隨機運動方程式為 x( x 5 / ) x 1 dx = dt + dw, x (4.1.16) 61

82 圖 十萬個粒子, 均從 x 0 =.5 出發模擬粒子軌跡得到粒子位置分 布, 再和機率密度函數做比較 (a) 為複數力學 ( 方形點 ) 對機率密度函 數的比較,(b) 為統計力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數的比較 6

83 圖 十萬個粒子, 均從 x 0 =.5 出發模擬粒子軌跡得到粒子位置 分布, 再和機率密度函數做比較 (a) 為複數力學 ( 方形點 ) 對機率密度 函數的比較,(b) 為統計力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數的比較 63

84 圖 十萬個粒子, 均從 x 0 = 0 出發模擬粒子軌跡得到粒子位置分 布, 再和機率密度函數做比較 (a) 為複數力學 ( 黑色 ) 對機率密度函數 ( 紅色 )(b) 為統計力學 ( 藍色 ) 對機率密度函數 ( 紅色 ) 由圖 到圖 4.1.8, 吾人可以再次看到複數力學從單一初始點 出發, 不會受到位於 R B (x) = 0( x r = ± 0.5 ) 處的節點的影響, 粒子運 動的軌跡真實性較高, 使其統計結果相關係數達到 0.7 到 0.8 之間 ; 64

85 而統計力學隨機運動方程式受到初始點位置的影響比較大, 數值疊代 結果只會在初始點附近做運動, 其統計結果相關係數只達到 0.3 到 0.6 之間 然而軌跡分布多多少少都會受到初始點位置的影響, 因此在圖 中複數力學以初始點為 0 做軌跡模擬, 其結果要比以 ±.5 為初 始點的統計結果來的好很多, 這代表著複數力學軌跡是會受到初始點 放置的影響, 初始點放置於 0, 軌跡受到初始點影響較小, 分布較為 正常但統計峰值會過於平均 當初始點放置.5 時, 模擬軌跡統計結 果正實部非常良好, 但越靠近負實部時, 結果會越來越差 ; 反之狀況 已然 因此吾人想到, 同時將初始點放置於正實部和負實部, 減少初 始點對軌跡模擬的影響, 再次讓複數力學和統計力學做比較 65

86 圖 十萬個粒子, 各別從 x 0 =.5.5 出發模擬粒子軌跡得到粒子位置分布, 再和機率密度函數做比較 (a) 為複數力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數的比較,(b) 為統計力學 ( 方形點線 ) 對機率密度函數的比較 66

87 圖 為 n = 的 3D 總位勢能 V total 在(x r, x i ) = ( ± 0.5,0) 有個無 限大的位勢障 如果粒子只有實部運動, 將無法繞過位勢障 當加入 虛部位置的自由度後, 粒子運動可藉由虛部位置繞過位勢障礙 紅藍 綠淺藍四條線為複數軌跡圖 由圖 吾人看到, 當選定兩初始點 x 0 = ±.5, 結果非常明顯, 複數力學軌跡統計結果有得到極大的改善, 而統計力學軌跡統計結果, 還是會受限於 x r = ± 0.5 處的節點分隔, 這種現象的產生跟 n = 1 的 情況極其類似不同的是當選定兩個正負初始點之後, 統計力學無法模 擬 ± 0.5 區間的機率密度函數 為了觀察此種情況, 吾人藉由描繪總位能 V total 來解釋統計力學軌 跡無法通過 (x r, x i ) = ( ± 0.5,0) 處的節點, 而複數力學卻能模擬整個量 67

88 子系統 由 (..0) 式可以知道 V total 會表示為 V total 5 1 4x = + = + + V Q x x 1 (4.1.17) 1 其中 V 是外加位能 ( V = kx ) Q 是量子位能 ( 如 (..19) 式的定義 ) 而 x = x r +x i 是複數位置 因此可以畫出 V total 如圖 所示 由 3D 總 位勢可以看到在 (x r,x i ) = ( ± 0.5,0) 之處, 會產生兩個無限大的位勢障 礙, 這會造成實部軌跡統計在 x r = ± 0.5 會造成中斷的現象, 而將此 節點代入到統計力學隨機運動方程式中,R B = 0 這使得粒子無法只靠 實部 x r 統計出整個系統, 而藉由虛部 x i 的自由度, 粒子可以繞開位勢 障的阻礙達到模擬整個量子系統 在 n = 的例子中其原因跟 n = 1 情況非常類似, 統計力學的隨機運動方程式只建立在實部軌跡上, 當 x r = ± 0.5 時 R B (x) 會等於零 u* 會趨近於無窮大, 粒子軌跡無法從統計 力學繞出此根 ; 反觀複數力學系統遇到 x r = ± 0.5 的時候, 可藉由複 數平面繞開此根對系統做統計, 造成系統模擬結果遠好於統計力學 當初始點以 ±.5 模擬結果複數力學雖然比統計力學要好很多, 但是將初始點位置放置於繞開位勢障的位置,x 0 = 0,-, 代入隨機運 動方程式中, 統計力學 複數力學所得到的結果和前面模擬結果有極 大不同, 由圖 (a) 複數力學在 x r = ± 0.5 統計結果無法降到零點, 觀察圖 可以知道複數軌跡繞開位勢障時粒子會藉由複數軌跡 通過位勢障造成統計結果很難降到 0, 而 (b) 統計力學因為軌跡模擬結 68

89 果只探討實部軌跡所以不會受到位勢障影響可以完全模擬整個系統, 因此統計力學在不會受位勢障影響的狀況下結果會比複數力學要 好 69

90 圖 , 十萬個粒子, 各別從 x 0 = 0 - 出發模擬粒子軌跡得到粒子位置分布, 再和機率密度函數做比較 (a) 為複數力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數 (b) 為統計力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數 70

91 在 n = 的不同模擬狀況下結果和 n = 1 情況類似, 這再一次證明複數力學對於單一初始點放置所產生的粒子運動軌跡模擬有良好的效果, 然而將位勢障影響以多個初始點放置消除後, 統計力學隨機運動方程式卻可以模擬完整量子系統 為了更完整確定兩種系統特性吾人模擬 n = 3 來增加結果可信度 量子簡諧振子 n = 3 接著模擬能階 n = 3 的狀況, 當 n = 3 時波函數為 ψ ( x) 3 3 x 3x ( x /+ it) = e (4.1.18) 3 π 將 (4.1.18) 式代入到 (3.1.5) 式中, 吾人得到複數力學隨機運動方程式 4 x 9x ( 1 ), dx = i dt + + i dw x (4.1.19) x(x 3) 將 (4.1.18) 式拆成 R B 和 S B, 如 (.4.3) 式的型式, 得到 R S B B x = 3 = t x e π 3 3 x / (4.1.0) 將 (4.1.0) 式代入 (3.1.0) 式, 得到統計力學下的隨機運動方程式為 4 x 9x + 3 x(x 3) dx = dt + dw, x (4.1.1) 71

92 圖 十萬個粒子, 各別從 x 0 = ± 出發模擬粒子軌跡 得到粒子位置分布, 再和機率密度函數做比較 (a) 為複數力學 ( 方形 點 ) 對機率密度函數 (b) 為統計力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數 7

93 圖 為 n = 3 的 3D 總位勢能 V total 在(x r, x i ) = ( ± 1.5,0) (0,0) 有個無限大的位勢障如果粒子只有實部運動, 將無法繞過位勢障 當 加入虛部位置的自由度後, 粒子運動可藉由虛部位置繞過位勢障礙 紅線為粒子複數軌跡 從圖 可知當初始點從 x 0 =± , 吾人看到複數力 學和統計力學模擬結果, 由前兩小節的介紹當選取適當初始點以後, 複數軌跡統計結果會和機率密度函數會得到一致性, 由相關係數來看 其相似度達到 而統計力學統計結果其相關係數只有 , 且由圖 4.1.1(b) 中在 x r = ± 1.5,0 節點會存在一個障礙存在使統計力 學無法越過這是因為在此三節點有位勢障的存在, 因此軌跡在 ±

94 之間其統計結果都歸於零, 圖 4.1.1(a) 複數力學在 ± 1.5 之間卻沒有 任何阻礙可以模擬量子系統, 但是在量子力學機率密度歸於零的部分 複數力學卻無法降到零, 為了討論複數力學系統為何在機率密度為零 的部分無法降到零, 吾人繪製 3D 位勢圖來觀察此種狀況 由 (..0) 式可以知道 V total 表示為 V total x 9x + 3 = + x(x 3) (4.1.) 方程式 (4.1.) 吾人可以繪製出圖 在 ± 1.5,0 三個節點存在著位 勢障, 當 x r = ± 1.5,0 代入到 (4.1.0) 式中 R B 項會使其結果為零, 因此 以實部軌跡為主的統計力學會受到位勢障的影響, 而從圖中紅色軌跡 線條看到粒子軌跡以複數表示時可以繞開 ± 1.5,0 三個實部位勢障因 此能模擬出圖 4.1.1(a) 然而當粒子以十萬個點由虛部軌跡繞開位勢 障達到模擬量子系統時, 其每經過一次卻也會在實部留下軌跡也就是 說在圖 中所看到的紅色複數軌跡, 會有高達 10 萬條通過三個 機率密度為零的節點, 受到此影響最後統計結果會在 ± 1.5,0 的位置 上存在著一定的統計數目因此無法使軌跡統計降至為零 以上 n = 3 所討論的情況都是將初始點放置於正負實部上去模擬粒子軌跡, 如果 將初始點放置位置再增加的話其結果又會有何變化呢? 為了觀察是否 會影響兩種力學模擬統計結果, 吾人增加了初始點位置 x 0 = -1,1,-, 重新帶入 (4.1.1) (4.1.19) 看其結果 74

95 圖 十萬個粒子, 各別從 x 0 = 出發模擬粒子軌跡得 到粒子位置分布, 再和機率密度函數做比較 (a) 為複數力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數 (b) 為統計力學 ( 方形點 ) 對機率密度函數 當初始點以 x 0 =± 模擬結果複數力學雖然比統計力學 要好很多, 但是將初始點位置放置於繞開位勢障的位置,x 0 = -1,1,-, 帶入隨機運動方程式中統計力學 複數力學所得到的結果和前面模擬 75

96 結果有極大不同, 由圖 (a) 複數力學在 x r = ± 1.5,0 統計結果無法 降到零點此種結果可以由圖 來解釋其情況的產生, 而 (b) 統計 力學因為軌跡模擬結果只探討實部軌跡所以消除了位勢障影響後可 以完全模擬整個系統 由簡諧振子 n = 1 到 3 可以完全的說明當只給定一 兩個初始點 位置時, 統計力學遇到 R B (x) = 0 的狀況下漂移速度 u*, 在量子系 統中會產生一個無限大的位勢障, 造成統計力學隨機運動方程式無法 產生正確的粒子軌跡, 這時 ρ (, tx) 趨近於 Ψ (, tx) 的特性就不成立了 反觀複數力學隨機運動方程式建立複數平面上, 所以縱使 R B = 0 會有 一個無限大的位勢障礙, 卻可以利用其他的複數平面軌跡圍線繞過實 軸上的位勢障, 所以收斂性不會受到影響 然而增加初始點放置使得 實部軌跡得以避開位勢障的問題, 吾人可以看到結果會有完全不一樣 的效果, 由圖 圖 圖 可以看到當位勢障問題得到解 決統計力學模擬結果會極度符合量子力學的機率密度函數, 這是複數 力學達不到的效果, 因為複數力學所模擬出來的粒子運動軌跡是為複 數軌跡, 所以受到複數軌跡的影響每個粒子都能繞開位勢障的影響, 這造成最終粒子位置統計結果在機率密度為零的部分會有存在一定 量的數目因此吻合程度跟統計力學會有差距 統計力學和複數力學出發點是非常相似的, 都希望找到粒子隨機 76

97 運動方程式以直觀的想法來詮釋量子系統 但從量子簡諧振子模擬結果, 吾人可以比較其中的優劣, 對於單一初始點的設定, 複數力學所達到的程度遠優於統計力學結果, 其軌跡模擬不會受到太多限制, 更適用於詮釋量子系統 然而將初始點設置繞開位勢障的影響, 統計力學會比複數力學更能描述量子系統, 這是當粒子透過虛部穿越位勢障時也, 留下實部軌跡, 造成理論上機率為零的點, 也會有一定統計數目的粒子通過, 這使得複數力學的預測與理論值產生偏差 但複數力學產生這種結果真的就是不好嗎? 吾人開始反思當今量子力學對巨觀的部分都無法完全對應過來, 尤其是量子簡諧振子這種經典量子系統卻無法跟古典簡諧振子做相互對應 然而如果由複數力學來詮釋 n 極大時的量子系統, 透過複數力學在機率為零的部分會有一定統計數目此種現象下, 說不定能說明當 n 時, 量子力學自動趨近於古典力學的現象 此即為波爾的相對性原理 (corresponding principle) 吾人會在 4. 章做更為詳細的討論 4. 微觀和巨觀的統整 從量子力學開始興起, 它和古典力學的關係一直是許多研究學者的課題 古典力學用於宏觀系統, 物體運動須遵循確定的軌道 量子力學適用於微觀系統, 其規律是概率性的 然而量子力學是從原子和分子建立的微觀世界的理論, 若作為更精確和更普遍的理論, 它也應 77

98 對宏觀世界適用 波爾認為, 古典狀態, 僅不過是量子狀態的極限行為, 當量子數很大時, 物體的行為就會回歸古典可以解釋的現象 在量子數極大的情況下 ( n ), 當然可將能量看成是可以無窮分割的基本物理量, 因此系統可以回歸古典物理的計算範圍 雖然波爾的相對性原理沒有太多複雜的公式, 但是有效的使量子力學的行為將逐漸地趨近於古典力學的行為 4..1 古典機率密度 在探討巨觀和微觀之間的情況前, 吾人必須先知道古典機率密度, 才能對其進行探討和比較 古典簡諧振子的振動方程式為 x= Acos(ω t+ ϕ) (4..1) 如果隨機對簡諧振子位置進行測量, 可測得振子處於 x ~ x + dx 之間的 機率應等於一個周期內振子處於這個區間內的時間與週期 T 的比值 如果振子沿正向運動經過此區間的時間為 dt, 則振子沿負向運動經過 此區間的時間也為 dt, 故振子出現在此區間的機率為 其中 c k / m A x =, T π m/ k dx ρ cl ( x) dx = (4..) ct = 代入 (4..) 式可得出 ρcl ( x) dx = π 故古典簡諧振子機率密度為 dx A x (4..3) 78

99 ρcl ( x) = π A 1 x (4..4) 因此吾人可用此古典機率密度和量子簡諧振子的機率密度做比較, 由 MATLAB 可得到圖 4..1 圖 4..1(a)n = 0 (b)n = 1 (c)n = 5 (d)n = 10 (e)n =30 (f)n = 60 古典力學 ( 綠色 ) 對量子力學 ( 紅色 ) 機率密度函數比較圖 由圖 4..1 可以看到, 隨著能階越來越大, 古典力學機率密度會很巧合地通過量子力學機率密度的平均值 從圖的演變可以看出一個 79

100 大致的規律, 不管能階多大, 古典簡諧振子的機率密度會呈現在量子諧振子機率密度一半的位置 然而為何會產生這種狀況卻沒有學者能完全解釋清楚, 吾人認為古典簡諧振子出發點是從軌跡觀點著手, 而複數力學也正是由軌跡論點出發去描述量子系統, 因此吾人從複數力學出發去觀察量子簡諧振子的機率密度, 應該能從中找到微觀和巨觀之間的聯繫 4.. 複數力學詮釋微觀到巨觀的變化 由 (4.1.1) 式可以得到 n = 1~ 的量子簡諧振子波函數, 藉著此式 吾人將推算出來的數學式代入複數力學隨機運動方程式中, 算出位置 統計分布密度, 以此來跟古典機率密度函數做比較 為了觀察其中變 化, 由 n = 5 開始模擬, 並逐漸增加能階, 以便觀察微觀到巨觀之間 的差異 80

101 圖 4..(a)n = 5 (b)n = 10 古典力學 ( 綠色 ) 量子力學 ( 紅色 ) 複數力學 ( 黑色 ), 三者機率密度函數比較圖 81

102 圖 4..3(a)n = 15 (b)n = 0 古典力學 ( 綠色 ) 量子力學( 紅色 ) 複數力學 ( 黑色 ), 三者機率密度函數比較圖 圖 4.. 與圖 4..3 顯示出 n = 5,10 的時候, 複數力學仍在追蹤量子力學的統計結果, 然而受到複數軌跡在機率為零的部分, 還是會有粒子的通過, 造成複數力學和量子力學吻合度有差別 當 n = 15,0 的時候, 可以清楚看到古典力學機率密度在中間的部分跟複數力學開 8

103 始有一定吻合程度, 然而在最左和最右邊, 古典力學呈現無限大的狀 態而複數力學雖然模擬結果有點靠近古典力學, 但還是受到量子系統 的影響, 因此在邊界的部分, 機率統計還是會降到 0, 造成相關係數 Γ 的值無法提升 為了看出複數力學模擬 n 越來越大時的統計結果, cl 是否會越來越趨近於古典力學, 因此吾人繼續模擬 n = 0 以後的量子 系統情況 83

104 圖 4..4(a)n = 30 (b)n = 40 古典力學 ( 綠色 ) 量子力學 ( 紅色 ) 複數力 學 ( 黑色 ), 三者機率密度函數比較圖 84

105 圖 4..5 (a)n = 50 (b)n = 60 古典力學( 綠色 ) 量子力學( 紅色 ) 複數力學 ( 黑色 ), 三者機率密度函數比較圖 從圖 4..4 與圖 4..5 可以看到隨著能階越來越大, 複數力學跟古典力學越來越相近, 這很明顯的代表著吾人可以使用複數力學建構出的隨機運動方程式式, 觀察粒子軌跡的存在, 而且當達到一定量子數的時候, 複數力學可以很完美的跟古典力學做連結 過往文獻記載大 85