UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY PREČO AJ HUDOBNÍK POTREBUJE MATEMATIKU

Transcription

1 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY PREČO AJ HUDOBNÍK POTREBUJE MATEMATIKU Diplomová práca Študijný program: Študijný odbor: Učiteľstvo predmetov geografia a matematika 7809 učiteľstvo akademických predmetov učiteľstvo geografie a matematiky Školiace pracovisko: Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky Školiteľ: PaedDr. Mária Slavíčková, PhD. Bratislava 2014 Bc. Matej Machurek

2

3 Prehlásenie Čestne prehlasujem, že som predloženú prácu vypracoval samostatne s použitím uvedenej literatúry. V Bratislave,......

4 Poďakovanie Chcem sa poďakovať mojej školiteľke PaedDr. Márii Slavíčkovej, PhD., za odborné vedenie, pripomienky a čas, ktorý mi venovala pri písaní tejto práce.

5 ABSTRAKT Matej Machurek: Prečo aj hudobník potrebuje matematiku Univerzita Komenského v Bratislave, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky Diplomová práca, 63 strán, 4 prílohy, 2014 Táto práca sa venuje skúmaniu prepojení medzi matematikou a hudbou. Cieľom je predstaviť matematické témy, ktoré možno nájsť v hudbe a ich význam pre hudobníka, resp. skladateľa. Udávame aj prehľad školských učebníc, v ktorých sa vyskytujú tieto témy. Ďalej sa v tejto práci venujeme možnosti využitia medzipredmetových prepojení vo vyučovacom procese. Popisujeme prípravu, priebeh a taktiež aj výsledky uskutočneného výskumu na danú tému. Kľúčové slová: matematický prístup k hudbe, zhodnostné rovinné zobrazenia, posunutie, osová súmernosť, stredová súmernosť, vyučovanie matematiky, kvalitatívna metodológia, implikatívna analýza

6 ABSTRACT Matej Machurek: Why also musician needs mathematics Comenius University in Bratislava, Faculty of Mathematics, Physics and Informatics, Department of Algebra, Geometry and Didactics of Mathematics Diploma thesis, 63 pages, 4 supplements, 2014 This thesis is focused on relations between mathematics and music. The aim is to introduce mathematical topics which can be found in music and to show their importance for musician or composer. We give a short overview of schoolbooks with this topic. In this thesis we also examine application of interdisciplinary connections in teaching of mathematics. We describe preparations, process and outcomes from realised research on this topic. Key words: mathematical approach to music, plane isometry, translation, reflection symmetry, point symmetry, teaching of mathematics, qualitative methodology, implicational analysis

7 Obsah Úvod Matematický prístup k hudobnému dielu Intervaly Rytmus Melódia Farba tónu Vyučovanie zhodnostných zobrazení na rôznych stupňoch vzdelávania Nižšie sekundárne vzdelávanie (základná škola) Vyššie sekundárne vzdelávanie (stredná škola) Terciárne vzdelávanie (vysoká škola) Zhodnostné zobrazenia v hudbe Posunutie Osová súmernosť Stredová súmernosť Vlys Príprava, priebeh a vyhodnotenie výskumu Výskumná vzorka Príprava výskumu Priebeh vyučovacej sekvencie a zber údajov Vyhodnotenie údajov Roztriedenie odpovedí podľa pochopenia rovinných zobrazení Iný prínos vyučovacej sekvencie Netradičný typ vyučovania Pripomienky, návrhy Záver Zoznam použitej literatúry Prílohy... 59

8 Úvod Matematika predstavuje pre niektorých ľudí problém. Spomienky na matematiku zo školy sú často sprevádzané pocitmi nezáujmu a odmietania, a pokladajú ju za príliš abstraktnú, logickú a nezaujímavú. Hudba, na druhej strane, vyjadruje niečo, čo sa týka emócií. Je prítomná v každodennom živote. Snáď každý z nás si už niekedy zaspieval nejakú pesničku, stlačil klávesu na klavíri, či zabrnkal na gitare. Je to niečo, s čím ľudia bežne prichádzajú do kontaktu a hudba tak môže byť spôsob, ako vyjadriť svoju jedinečnosť a individualitu. Matematických prvkov je v hudbe mnoho. Bez základných počtových schopností by sme zrejme nepochopili ani to, akú funkciu má v hudobnom diele rytmus. Interpretácia akéhokoľvek diela vyžaduje schopnosť vnímať časové vzťahy a súvislosti, ktoré síce môžu byť veľmi zložité, ale dajú sa vyjadriť elementárnou matematikou. Ak chceme pochopiť základné hudobné štruktúry, možnosti ich opakovania, transformácie, vsadenia do architektúry hudobného diela a ich vzájomné vzťahy, musíme postúpiť na vyššiu úroveň matematického myslenia. Kľúč k pochopeniu významu matematiky v hudbe spočíva v tom, že o hudobnej skladbe dokážeme uvažovať v logických pojmoch a schémach, ktorými si ju interpretujeme. Problém vzťahu medzi matematikou a hudbou sa tak premení na skúmanie prítomnosti logiky v našej interpretácii štruktúrnych vlastností hudobného diela. Tieto spojitosti spoznal už napr. staroveký grécky matematik Pytagoras, ktorý si všimol vzťahy medzi frekvenciami tónov v súzvučných intervaloch. Taktiež aj hudobný skladateľ J. S. Bach, ktorý v 18. storočí skúmal problém, ako nájsť vhodný spôsob jednotného ladenia klávesových nástrojov. Ani v dnešných časoch nie je výnimočné stretnúť ľudí, ktorých záujem pokrýva obe tieto oblasti, či už ide o hudobníkov, alebo matematikov. Cieľom tejto práce je predstaviť niektoré oblasti elementárnej matematiky, ktoré sa nachádzajú v hudbe. Zamerali sme sa na zhodnostné zobrazenia v rovine. Okrem spísania týchto prepojení ponúkneme aj aplikáciu týchto poznatkov do vyučovacieho procesu. Navrhneme a otestujeme vyučovaciu sekvenciu, v ktorej sa daná téma bude prezentovať žiakom. Domnievame sa, že objavenie a porozumenie prepojenia tém zdanlivo spolu nesúvisiacich, môže prispieť k hlbšiemu záujmu žiaka o jednu či druhú oblasť. 8

9 Predložená práca sa člení do štyroch kapitol. Prvá z nich sa zameriava na predstavenie matematického prístupu k hudbe. Načrtneme niektoré najdôležitejšie pojmy z hudobnej teórie, ktoré sú nutné k pochopeniu prítomnosti matematiky v hudbe. Ďalšia časť práce sa venuje vyučovaniu zhodnostných zobrazení na rôznych stupňoch vzdelávania a taktiež prehľadu školských učebníc k tejto téme. Tretia kapitola je teoretickým základom pre uskutočnený výskum. Kapitola je zameraná na opísanie výskytu a významu geometrických rovinných zobrazení v hudobných dielach, pričom ide najmä o posunutie, osovú a stredovú súmernosť. Posledná, štvrtá kapitola, opisuje výskum, ktorý zahŕňa proces návrhu, realizácie a zberu dát z uskutočnenej vyučovacej sekvencie, počas ktorej sa zužitkovali poznatky zistené v predchádzajúcich kapitolách. Nasleduje kvalitatívna analýza zozbieraných dát, z ktorých sa vyvodia závery a odporúčania. 9

10 1 Matematický prístup k hudobnému dielu Pravdepodobne prvý človek, ktorý skúmal vzťahy medzi matematikou a hudbou, bol Pytagoras zo Sámu (asi p. n. l.). V meste Krotón založil asi v r. 530 p.n.l nábožensko-mravnú spoločnosť, v ktorej zaviedol svojský spôsob života. Je po ňom pomenovaný aj filozofický smer pytagoreizmus, ktorý sa stal svetovým názorom uzavretej skupiny strednej aristokracie v južnom Taliansku, kam Pytagoras odišiel z vlasti pred tyranom Polykratom. Učenie založené Pytagorom nezaniklo ani po jeho smrti. Postupne prenikalo do učenia iných škôl, najmä do učenia Platóna ( p.n.l.), a tiež sa samo vyvíjalo v celok vyznávajúci tajomnosť a mystiku čísiel. Pytagoras aj pytagorejci vychádzali zo štúdia matematiky. Veľký vplyv na nich mala egyptská matematika, ale zatiaľ čo Egypťania používali matematiku a geometriu predovšetkým na praktické účely, Gréci sa zaoberali teóriou. Pytagoras síce študoval aritmetické a geometrické postupnosti, ale zaoberal sa predovšetkým geometriou. Dokázal sám, alebo jeho vplyvom niektorý z jeho žiakov Pytagorovu vetu, ktorá vo svojej konštrukcií bola známa už Egypťanom; objavil, že súčet uhlov v trojuholníku sa rovná dvom pravým uhlom a iné. Pri zaoberaní sa hudbou prišiel na to, že výška tónu zodpovedá dĺžke napnutej struny a že medzi dvoma tónmi sú určité (harmonické) pomery. A pretože pohybujúce sa nebeské telesá taktiež vytvárajú tóny (harmónia sfér), ktorých výška zodpovedá vzdialenosti hviezd a zároveň rozdielu tónov v oktáve, vyvodil z toho záver, že čísla sú podstatou vecí a princípy čísel sú zároveň princípy vecí. Tak sa od látky dostal k forme, od kvality ku kvantite. (Piknerová, 2009) Za obzvlášť významnú bola u pytagorejcov považovaná štvorica prvých čísel, tetraktys, pretože ich súčet sa rovná číslu desať ( =10). Číslo desať má zase tú vlastnosť, že obsahuje taký istý počet prvočísel spolu s 1 (1,2,3,5,7), ako čísel zložených (4,6,8,9,10). Tetraktys zahŕňa aj harmonické pomery 2:1 oktávu, 3:2 kvintu, 4:3 kvartu, 4:1 dvojoktávu. 10

11 1.1 Intervaly Pre pochopenie pozoruhodných objavov pytagorejcov, a vôbec prítomnosti matematiky v hudbe, je potrebné poznať základné pojmy hudobnej teórie. Pytagorejci sa v nej zaoberali hľadaním aritmetického a geometrického stredu, a najmä stredu harmonického, čiže takého, v ktorom sa oktáva pri pomeru dĺžky struny 1:2 delí na kvartu (3:4) a na kvintu (2:3) podľa rovnosti 1 = Obr. 1: Delenie struny v harmonických pomeroch. Zdroj: (Slavíčková, 2012) Pojmy kvarta, kvinta a oktáva sú názvy hudobných intervalov. V hudobnej terminológií nazývame intervalom výškovú (frekvenčnú) vzdialenosť dvoch tónov. Označenie jednotlivých intervalov vychádza z tzv. diatonickej stupnice 1, kde sú jednotlivé susedné stupne vzdialené buď o poltón (medzi tretím a štvrtým, siedmym a ôsmym stupňom; v prípade stupnice C-dur dvojice e-f a h-c), alebo o celý tón (viď obr. 2). Ich názvy sú poslovenčené latinské radové číslovky v ženskom rode: prima=prvá, secunda=druhá, tertia=tretia, atď. V tabuľke na obr. 3 je uvedený príklad pre stupnicu C-dur. Obr. 2: Názvy tónov na klaviatúre. 1 diatonická stupnica - rad tónov v rozsahu jednej oktávy zloženej z piatich celých tónov a dvoch poltónov, postupujúca tak, že po dvoch a troch celých tónoch prichádza poltón (SPN, 2005) 11

12 príma sekunda tercia kvarta kvinta sexta septima oktáva C dur C C C D C E C F C G C A C H C C Obr. 3: Základné intervaly pre stupnicu C-dur. Zdroj: (Benward, 2009) Diatonická stupnica má 7 tónov (napr. v prípade C-dur sú to C až H), ale oktáva je v európskej hudbe rozdelená na 12 poltónov. Označenie príma až oktáva teda nestačí k popisu všetkých dvanástich intervalov v dvanásťtónovej chromatickej stupnici. Preto sa zaviedli doplnkové prídavné mená: čistá, malá a veľká. Vďaka týmto doplnkovým názvom vieme popísať všetky intervaly v dvanásťtónovej stupnici. Základným intervalom je oktáva z toho dôvodu, že okrem prímy (dva rovnaké tóny pomer frekvencií je 1:1) je oktáva najkonsonantnejším 2 intervalom. Tóny vzdialené o oktávu majú najjednoduchší podiel frekvencií 2:1 (teda tón o oktávu vyšší má dvojnásobnú frekvenciu). Pri určovaní výškovej vzdialenosti tónov je komplikáciou to, že nulový rozdiel frekvencií je označený ako 1 (príma), čo sa prejaví pri sčítaní intervalov (kvarta + kvinta = oktáva, ale 8 = ). Jeden tón je totiž započítaný dvakrát, ale zrátané pomocou frekvencie je to = Rytmus Každá skladba, až na výnimky, je rozdelená do krátkych časových úsekov (tzv. taktov), v ktorých sa striedajú prízvučné a neprízvučné 3 rovnako dlhé doby, napr. 4, 3, 5, 3, 11,. Takt je teda vyjadrený zlomkom, kde menovateľ určuje, v akých hodnotách sa takt počíta, zatiaľ čo čitateľ určuje, z koľkých takýchto hodnôt sa takt skladá. Každý takt sa skladá z nôt a pomlčiek 4, ktoré môžu nadobúdať rôznu dĺžku a zapisujeme ich do notovej osnovy (obr. 4). Notová osnova je 5 vodorovných čiar na zapisovanie nôt. 2 konsonantný - súzvučný, ľubozvučný (SAV, 1959) 3 prízvučná doba - nepárna doba taktu majúca prízvuk; neprízvučná - nemajúca prízvuk (SAV, 1963) 4 nota - grafická značka pre tón; pomlčka - znamienko označujúce kratšiu al. dlhšiu prestávku v slede tónov (SPN, 2005) 12

13 Obr. 4: Úvod z diela Valse brillante, Op. 34, č.1 od F. Chopina. Zdroj: (Chopin, 1894) Za rytmus pokladáme zvuky vysielané na určitých počuteľných frekvenciách a zoskupené podľa stanoveného systému. Aj v na pohľad zložitom rytme môžeme často počuť základnú štruktúru postavenú na delení dvoma (polka) alebo tromi (valčík). Rytmické kombinácie sa v notách združujú do taktov, a takt je súborom dôb v určitom čase. Základnou zložkou rytmickej štruktúry je tiež rýchlosť, udávaná v úderoch za minútu (bpm). Rytmus sám o sebe nemá veľký zmysel, pokiaľ nepoznáme jeho tempo. Obr. 5: Základné dvojkové delenie doby v podobe nôt (vľavo) a pomlčiek (vpravo). Hodnoty zhora dole sú celá, polová, štvrťová, osminová a šestnástinová, pričom každá má polovičnú dĺžku predchádzajúcej, čiže každý riadok na obrázku trvá rovnako dlho (štyri doby). Pomlčka zaberá v čase rovnakú dĺžku ako nota, dáva čas na vydýchnutie, pomáha odlíšiť jednotlivé časti. Zdroj: (Martineau, 2008) 13

14 1.3 Melódia Melódia je sled tónov usporiadaných podľa hudobného nápadu, istých hudobných zákonov tak, že tvorí určitý obsahový celok, hudobnú myšlienku. Melódiu obvykle tvorí zmes menších krokov a väčších skokov, pričom aby bola medzera vyplnená, skok jedným smerom si žiada dokončenie v podobe kroku opačným smerom. Melódia prebieha súvisle, a ak odskočia tóny príliš ďaleko, poslucháč bude očakávať, že sa vrátia, pretože sleduje ich cestu a odhaduje, kam vedie. Zásadnú úlohu v melódii hrajú pomlčky. Poskytujú čas na zamyslenie a poslucháč čaká, čo sa bude ďalej diať. Dobre umiestnená pomlčka v hudobnej téme môže mať veľkú silu. Môžeme to prirovnať k prejavu dobrého rečníka, ktorý vie, kedy sa má na chvíľu odmlčať a tak zvýšiť napätie a záujem poslucháčov. Obr. 6: Melódia témy z Beethovenovej 9. symfónie (známej ako Óda na radosť). Zdroj: (Beethoven, 2008) 1.4 Farba tónu Farba tónu je tá vlastnosť tónu, podľa ktorej je možné rozoznať dva rovnako vysoké a silné tóny hrané na rôznych hudobných nástrojoch. Príčinou tejto rozdielnosti je prítomnosť alikvotných tónov. To sú také tóny, ktorých kmitočet je jednoduchým násobkom kmitočtu základného tónu, s ktorým samočinne znejú. Väčšinou sa u každého tónu (zvuku) vyskytuje množstvo alikvotných tónov. Intenzita jednotlivých alikvotných tónov je to, čo určuje charakteristické zafarbenie zvuku. Práve vďaka alikvotným tónom sme schopní sluchom rozpoznať, o aký hudobná nástroj sa jedná. Hoboj, pozauna, alebo klavír môžu hrať rovnaký tón, ale predsa budú znieť inak. Ich kmitočty sú dané pomerom celých čísel (1:2:3:4...). Prvý alikvotný tón má teda dvojnásobnú frekvenciu oproti základnému tónu, druhý trojnásobnú atď. Takto vytvoria rad, v ktorom sú intervaly medzi nimi čoraz menšie a menšie. To je dôsledkom faktu, že ľudské ucho vníma zvuk logaritmicky, keďže každá ďalšia oktáva má dvojnásobnú frekvenciu. Frekvencia oktáv rastie teda exponenciálne, zatiaľ čo frekvencia alikvotných tónov rastie iba lineárne. 14

15 Obr. 7: Intervaly a alikvoty. Zdroj: (Martineau, 2008) Alikvotné tóny sú vydávané každým hudobným nástrojom, vznikajú súčasne so základným tónom a zafarbujú ho. Nie je možné ich počuť samostatne, lebo nie sú dostatočne silné. Dôvodom ich vzniku je zložité a viacnásobné kmitanie zdroja zvuku. Čistý, jednoduchý tón bez harmonických tónov je možné vyprodukovať jedine elektronicky. Množstvo harmonických tónov závisí od typu, tvaru, vypracovania ale predovšetkým od materiálu hudobného nástoja. Hudobné zvuky, v ktorých je mnoho harmonických tónov, vnímame ako plné. Keď sú z alikvotných tónov silné len niektoré, zvuk sa stáva prenikavejším. Dutým sa javí zvuk, v ktorom sú zastúpené len harmonické tóny nižších frekvencií. 15

16 Obr. 8: Grafické znázornenie čistého tónu. Obr. 9: Porovnanie grafického znázornenia tónov rovnakej frekvencie zahraných na klarinete a na klavíri. Tóny sa odlišujú počtom a intenzitou alikvotných tónov. Zdroj: (Ursínyová, 2005) 16

17 2 Vyučovanie zhodnostných zobrazení na rôznych stupňoch vzdelávania Matematika a hudba majú veľa spoločného a práve to sme chceli využiť vo vyučovaní. Hľadali sme učivo, ktoré by bolo dobre pochopiteľné pre žiakov strednej a základnej školy, a zároveň by bol viditeľný aj jeho význam v hudbe. Naše kritériá spĺňajú práve zhodnostné zobrazenia v rovine, ktoré sme sa rozhodli použiť. Elementárna geometria je neoddeliteľnou zložkou všeobecného matematického vzdelávania na základných a stredných školách. Najjednoduchšie prvotné pojmy geometrie sa postupne vytvárajú na báze prirodzeného jazyka pomocou jednoduchých materiálnych modelov od prvého stupňa základnej školy a završujú sa vo vyšších triedach gymnázia. Všeobecné ciele vzdelávania a kľúčové kompetencie, ku ktorým má vzdelanie smerovať, vymedzuje štátny vzdelávací program (ŠVP). ŠVP je záväzný dokument vydávaný štátnym pedagogickým ústavom. Súčasne platný ŠVP bol vypracovaný na základe obsahovej reformy školstva, ktorá bola schválená a vstúpila do platnosti ŠVP pre druhý stupeň základných škôl (ISCED2) a pre štvorročné gymnáziá (ISCED3A) neudáva, v ktorých ročníkoch sa zhodnostné zobrazenia v rovine vyučujú. Podľa usporiadania obsahu však vyplýva, že by to malo byť v 9. ročníku základnej školy (tzn. aj v 4. ročníku osemročného gymnázia) a v 3. ročníku štvorročného gymnázia (tzn. aj v 7. ročníku osemročného gymnázia). Na úrovni ISCED2 sa zo zhodnostných zobrazení spomína iba osová a stredová súmernosť. Na úrovni ISCED3A je v obsahovom štandarde iba všeobecne zadané zhodnosť, zatiaľ čo vo výkonovom štandarde sa píše, že žiak vie zobraziť útvar v osovej, stredovej súmernosti a otáčaní. (ŠPÚ, 2009) 17

18 2.1 Nižšie sekundárne vzdelávanie (základná škola) Jedinou reformnou učebnicou matematiky pre 9. ročník základnej školy (ZŠ) schválenou Ministerstvom školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky (MŠ SR) je učebnica od autorky V. Kolbaskej vydaná v roku V tejto učebnici sa zhodnostným zobrazeniam v rovine (v tomto prípade iba osovej a stredovej súmernosti) autorka venuje na 10 stranách. Kapitola 4.1 Osová súmernosť, os súmernosti. Konštrukcia obrazu v osovej súmernosti sa začína jednoduchou aktivitou vystrihovania geometrických útvarov z papieru a intuitívneho predstavenia osovej súmernosti. Následne sa osová súmernosť zadefinuje formálnejšie, aj keď nie veľmi korektne: Kedy budú útvary osovo súmerné? Keď budú mať os súmernosti keď ich budeme môcť rozdeliť na dve rovnaké polovice. Os súmernosti označujeme o. Ak má útvar viacero osí súmernosti, píšeme o1, o2, o3,... V úvodných dvoch vetách ide o definíciu do kruhu (lat. idem per idem 5 ), čo sa v definíciách nesmie používať, nakoľko je to logická chyba. Ďalšie tvrdenie o rozdelení útvaru na dve polovice je nepravdivé. Existuje mnoho útvarov, ktoré sa dajú rozdeliť na dve polovice a zároveň nie sú osovo súmerné (napr. všeobecný rovnobežník). Keďže sa žiak s pojmom osová súmernosť stretáva prvý raz, môže mať takáto nepresná definícia na neho nežiadúci vplyv, a to nielen pri chápaní osovej súmernosti, ale aj všeobecne s pochopením pojmu definícia v matematike. Po definícií nasledujú príklady na hľadanie osi súmerností v geometrických útvaroch a konštrukčné úlohy na dokreslenie útvarov tak, aby výsledný útvar bol osovo súmerný, resp. podľa prekreslenej osi súmernosti. Ďalšia kapitola učebnice sa týka stredovej súmernosti. Na úvodnej strane sa nachádzajú motivačné obrázky, ktoré zobrazujú niekoľko stredovo súmerných objektov, spolu s popisným textom: Stredovo súmerné sú napríklad písmená S a Z, dokonca aj písmeno N. Stredovo súmerný je aj štvorec a obdĺžnik. Prečo? Majú stredy súmernosti. 5 idem per idem (slov. to isté tým istým ) - dokazovanie nejakého tvrdenia pomocou toho istého tvrdenia al. definovanie nejakého pojmu pomocou toho istého pojmu (Piaček, 2014) 18

19 Opäť ide o formuláciu idem per idem, ktorou autorka zavádza nový pojem pomocou dosiaľ nezavedeného pojmu. Nasleduje jediná definícia v tejto kapitole, teda by sa mala pravdepodobne týkať definovania stredovej súmernosti. Stred súmernosti je bod, od ktorého majú stredovo súmerné body, napr. vrcholy útvarov rovnakú vzdialenosť. Tu ide o definovanie stredu súmernosti pomocou nesprávne definovanej stredovej súmernosti vyššie. Z takto zmätočnej definície žiak len ťažko vytuší, čo je stredová súmernosť, alebo stredovo súmerný útvar a nezostáva mu nič iné, než si vybudovať vlastnú predstavu riešením a skúmaním príkladov. Nasleduje niekoľko príkladov na konštruovanie stredovo súmerných útvarov a hľadanie stredu súmernosti daných útvarov. Na záver kapitoly je zhrnutie učiva o osovej a stredovej súmernosti spolu s ich vlastnosťami. Jedna z alternatívnych učebníc je učebnica matematiky pre 9. ročník ZŠ vypracovaná podľa reformného ŠVP, ktorá ale nie je schválená MŠ SR a teda nebola hromadne distribuovaná do škôl. Učebnica je od autorov Z. Berová, P. Bero, ktorí sú aj autormi učebníc matematiky pre ročník ZŠ schválených MŠ SR. V učebnici pre 9. ročník ZŠ sa téme zhodnostných zobrazení autori venujú na 8 stranách. V úvode kapitoly 2. Stredová a osová súmernosť je krátke zopakovanie práce s kružidlom a pravítkom. Nasleduje niekoľko motivačných úloh na hľadanie symetrií v obrázkoch a na fotkách. Pod nadpisom Osová súmernosť sa nachádza obrázok s osou o a bodmi A, A', pričom A' je obraz bodu A v osovej súmernosti podľa o. Popis pri obrázku opisuje vzťah bodov A, A' a základné podmienky, ktoré platia v osovej súmernosti: AA o, AP = PA'. Obr.10: Znázornenie osovej súmernosti. 19

20 Ďalší príklad popisuje postup pri zobrazovaní viacerých rôznych bodov v osovej súmernosti a na neho nadväzuje ďalšia poučka: Útvar U' (obraz) je osovo súmerný s útvarom U (vzor). Každý bod X útvaru U má svoj obraz X', ktorý je s ním osovo súmerný a je bodom útvaru U'. O(o): U U V tejto časti sú ešte definované pojmy osovo súmerný útvar, os úsečky a os uhla, pričom sú sprevádzané úlohami na precvičenie týchto pojmov. V ďalšej časti, ktorá sa venuje stredovej súmernosti, sú pojmy zavedené analogicky, ako z predchádzajúcej časti: stredová súmernosť a jej vlastnosti, obraz a vzor v stredovej súmernosti, stredovo súmerný útvar. Na záver kapitoly je ešte zhrnutie toho, čo by už žiak mal ovládať z tejto kapitoly a niekoľko príkladov, na riešenie ktorých sa využívajú obe súmernosti. 2.2 Vyššie sekundárne vzdelávanie (stredná škola) Podľa ŠVP by sa na strednej škole mali preberať zhodnostné zobrazenia v rovine vo väčšom rozsahu, čiže nie len osová a stredová súmernosť, ale aj ďalšie. Učebnica pre 3. ročník štvorročných gymnázií (resp. 7. ročník osemročných gymnázií) od autora Z. Kubáčka sa tejto téme venuje na 8 stranách. Kapitola 5.3 rysujeme súmerné, posunuté a otočené útvary sa začína dokreslením útvarov tak, aby boli súmerné podľa predpísanej priamky. Nasleduje krátke vysvetlenie, čo sa vlastne robilo v predchádzajúcom príklade a zavedenie pojmov: V riešení úlohy 25 sme sa stretli s dvojicou rovinných útvarov, z ktorých jeden vznikne preklopením druhého okolo priamky p. V takom prípade hovoríme, že jeden útvar je s druhým súmerný podľa priamky p, alebo že je obraz druhého v súmernosti podľa priamky p. Podobne aj posunutie a rotačná symetria (otočenie) nie sú formálne zadefinované. Sú však ale demonštrované na viacerých riešených úlohách s podrobným nákresom, vďaka ktorým žiak ľahko príde na vlastnosti predmetných zobrazení. 20

21 Stredová súmernosť začína poznámkou, že ide o špeciálny prípad otočenia a zavedením pojmu: Špeciálny prípad otočenia je otočenie o 180, ktoré má vlastný názov je to tzv. stredová súmernosť. O dvoch útvaroch, z ktorých jeden vznikol otočením druhého okolo bodu S o 180 hovoríme, že jeden je s druhým súmerný podľa stredu S. Útvar, ktorý je stredovo súmerný sám so sebou (teda otočením o 180 dostaneme ten istý útvar), sa nazýva stredovo súmerný. Nasledujú úlohy na konštruovanie rôznych oblúkov využívaných v architektúre za pomoci osovej, rotačnej a stredovej symetrie. V učebnici je aj množstvo obrazového materiálu demonštrujúce výskyt symetrií v architektúre, resp. v iných oblastiach. Učitelia môžu ešte využívať aj staršie, predreformné učebnice, v ktorých sa vyskytujú zhodnostné rovinné zobrazenie. Sú to napr. Matematika pre 7. ročník ZŠ, 2. diel od autorského kolektívu Repáš Černek Kasová Černeková (Repáš, 2000), alebo Matematika pre 2. ročník gymnázií a SOŠ od autorov T. Hecht a P. Černek (Hecht, 1997). Výhodou používania takýchto učební je to, že učiteľ má možnosť voľby a môže si vyberať spomedzi rozličných spracovaní tej istej témy podľa toho, ktoré pokladá za najvhodnejšie. Taktiež má k dispozícií väčšie množstvo príkladov rozličnej náročnosti, ktoré môže zadávať šikovnejším žiakom. Naopak, nevýhodou môže byť to, že spracovaná téma v učebniciach už možno nezodpovedá obsahom, alebo rozsahom dnešných štandardov. 2.3 Terciárne vzdelávanie (vysoká škola) Zhodnostné zobrazenia (izometrie) v euklidovskej rovine sú vo vysokoškolských učebniciach definované nasledovne: Bodové zobrazenie f euklidovskej roviny E 2 na seba nazývame zhodnostným zobrazením v rovine E 2, ak pre všetky dvojice bodov A, B tejto roviny a ich obrazy A' = f (A), B' = f (B) a platí: AB A'B'. (Sklenáriková, 2002) So zhodnostnými zobrazeniami sa spája aj ďalší dôležitý pojem - samodružný (invariantný) bod zobrazenia f. Ním budeme rozumieť bod X, pre ktorý platí, že X = f (X). Izometrie možno klasifikovať aj podľa toho, akú majú množinu samodružných bodov, resp. priamok. 21

22 V našej práci sa venujeme najmä osovej, stredovej súmernosti a posunutiu. Podľa (Šedivý, 2009) je osová súmernosť definovaná nasledovne: Daná je priamka o v rovine. Osová súmernosť v rovine je zobrazenie S o, ktoré každému bodu A roviny priradí bod A' roviny taký, že body A, A' ležia na kolmici k priamke o, pričom stred úsečky AA' leží na priamke o. Priamku o nazývame os súmernosti. Osová súmernosť je involutórne zobrazenie ( S o = S 1 o, čiže S o S o = id je identické zobrazenie). Hovoríme, že body A, A' = S o (A) sú súmerne združené podľa priamky o. Samodružné body sú všetky body osi súmernosti o. (viď obr. 10) Definícia stredovej súmernosti podľa (Šedivý, 2009): Nech bod S je bod v rovine. Stredovou súmernosťou podľa bodu S rozumieme zobrazenie S S v rovine, ktoré každému bodu A roviny priradí taký bod A' roviny tak, že bod S je stredom úsečky AA'. Body A, A' sú súmerne združené podľa bodu S, ktorý nazývame stredom súmernosti. Stredová súmernosť je podobne ako osová súmernosť involutórne zobrazenie, a jediným samodružným bodom zobrazenie je stred súmernosti S. Obr. 11: Znázornenie stredovej súmernosti. S posunutím súvisí pojem orientovaná úsečka. Je to taká úsečka AB, ktorej krajné body majú určené poradie bod A je začiatočný bod a bod B je koncový bod úsečky. Dĺžkou orientovanej úsečky AB nazývame dĺžku úsečky AB. Orientované úsečky AB, CD nazývame súhlasne orientované, ak platí, že ležia na tej istej polpriamke (pričom zjednotením polpriamok AB, CD je polpriamka AD), alebo ležia na rôznych rovnobežkách a polpriamky AB, CD ležia v tej istej polrovine s hraničnou priamkou AC. 22

23 Podľa (Šedivý, 2009) je posunutie definované nasledovne: Posunutie určené orientovanou úsečkou AB je zobrazenie T AB, ktoré každému bodu X priradí bod X' tak, že orientované úsečky AB, XX sú zhodné a súhlasne orientované. Posunutie (translácia) nie je involutórne zobrazenie a nemá žiadne samodružné body. Obr. 12: Znázornenie posunutia. Každú z vyššie spomínaných izometrií (okrem os. súmernosti) možno vyjadriť aj ako zloženie dvoch osových súmerností. Stredovú súmernosť dostaneme zložením dvoch osových súmerností takých, že ich osi sú na seba kolmé a stred súmernosti bude v ich priesečníku. Posunutie vznikne zložením dvoch osových súmerností takých, že ich osi majú prázdny prienik, tzn. že sú rovnobežné. 23

24 Posledným zobrazením, ktorému sa budeme venovať a ešte sme ho nepopísali, je posunutá súmernosť. Tá vznikne zložením osovej súmernosti a posunutia, resp. zložením troch osových súmernosti takých, že ich osi súmernosti nevychádzajú z jedného zväzku a nie sú všetky tri navzájom rovnobežné. Posunutá súmernosť nemá žiadne samodružné body. Obr. 13: Znázornenie posunutej súmernosti. Popísali sme štyri typy izometrií v euklidovskej rovine. Súhlasné izometrie sú súčinom párneho počtu osových súmerností posunutie a stredová súmernosť. Nesúhlasnými izometriami sú osová súmernosť a posunutá súmernosť, ktoré sú súčinom nepárneho počtu osových súmerností. 24

25 3 Zhodnostné zobrazenia v hudbe 3.1 Posunutie Ak si dokážeme predstaviť notovú osnovu a celý grafický záznam hudobnej skladby v euklidovskej rovine, môžeme tam potom aplikovať ľubovoľné geometrické zobrazenie. Jednotlivé noty budú predstavovať body v rovine, ktoré zobrazíme vhodne zvoleným zobrazením. Dostaneme tak postupnosť bodov, ktorá nám bude určovať tóny novej hudobnej skladby. V hudbe možno nájsť mnoho príkladov zhodnostných rovinných zobrazení. Posunutie v geometrickom zmysle môže vyzerať takto: Obr. 14: Ilustrácia posunutie ako geometrického zobrazenia. Každý jeden bod zobrazovaného útvaru (vzor) sme posunuli v smere orientovanej úsečky. Dostali sme iný bod v rovine (obraz), ktorý má od svojho vzoru vzdialenosť práve dĺžku orientovanej úsečky, ktorá nám určuje toto zobrazenie. V hudbe sa posunutie vyskytuje ako opakovanie určitého rytmu, melódie, alebo iného vzoru. Príkladom môže byť začiatok partu pre pravú ruku z Beethovenovej Sonáty mesačného svitu, Op. 27, č.2. Obr. 15: Ukážka zo skladby Sonáta mesačného svitu od L. van Beethovena. Zdroj: (Benson, 2008) 25

26 V skutočnosti sa v hudbe oveľa častejšie vyskytujú približné geometrické zobrazenia, než zobrazenia v úplne presnej, matematickej forme. Vezmime si notový záznam nejakej sekvencie v hudobnej skladbe. Sekvencia sa skladá zo vzoru, ktorý sa niekoľko krát opakuje s určitým posunom; lenže ten posun obvykle nie je rovnaký. Intervaly medzi tónmi nie sú také isté, ale sú modifikované tak, aby lepšie sedeli do harmónie skladby. Nasledujúca ukážka sekvencie je zo skladby Tokáta a fúga d-mol, BWV 565 od J.S. Bacha. Obr. 16: Ukážka zo skladby Tokáta a fúga d-mol od J.S.Bacha. Zdroj: (Benson, 2008) Hoci smer melódie má klesajúci charakter, poltónová vzdialenosť medzi notami v triolách sa líši, a to v záujme zachovania príslušnej harmonickej štruktúry. 3.2 Osová súmernosť Osová súmernosť vzniká preklopením určitého útvaru okolo nejakej priamky (osi súmernosti). Dostaneme tak obraz súmerne združený s pôvodným útvarom podľa danej priamky (osi), čiže vlastne jeho zrkadlový obraz. Obr. 17: Ilustrácia viacnásobnej osovej súmernosti podľa vertikálnej osi. 26

27 Osová súmernosť sa objavuje v hudbe v podobe prevrátenia, resp. preklopenia určitej figúry, alebo schémy. Napríklad nasledujúci takt z diela Bélu Bartóka Sláčikové kvarteto č.5 zobrazuje osovú súmernosť podľa horizontálnej osi umiestnenú vo výške noty B na notovej osnove. Spodná melodická línia vznikla prevrátením tej vrchnej línie. Obr. 18: Os súmernosti v skladbe Sláčikové kvarteto č.5 od B. Bartóka. Zdroj: (Benson, 2008) Takéto súmernosti ale môžu mať pre hudobnú skladbu ďalekosiahlejší význam. Príkladom je opera Richarda Straussa Elektra. V tomto prípade sa súmernosť nevyskytuje iba vzhľadom na takt, či určitú frázu, ale súmernosti vplývajú na výber tónin počas celého diela. V úvode zaznieva Agamemnónov motív v tónine d-mol. Nasleduje Elektrin motív, v ktorom sa striedajú prvé obraty kvintakordov 6 (h-mol a f-mol) vzdialené od pôvodnej tóniny o zväčšenú kvartu. Tento lokálny harmonický postup už ponúka náznak osovej súmernosti založený na modalite okolo tóniny d-mol. Neskôr, v Elektrinom monológu, je Agamemnón reprezentovaný tóninou b-mol a Klytaimnestra Fis-dur, ktoré sú opäť súmerne združené podľa d-mol. Opera pokračuje týmto spôsobom, pričom sa harmónia stále pridržiava pôvodnej tóniny. Koniec sa nesie v tónine C-dur, s veľkou terciou (E) v posledných štyroch taktoch. (Antokoletz, 1984) 6 akord - súzvuk troch alebo viacerých tónov tvoriaci určitú jednotku kvintakord - trojzvuk zložený z prímy, tercie a kvinty (resp. z dvoch tercií) obrat kvintakordu - presun spodnej noty akordu navrch akordu 27

28 Obr. 19: Schéma symetrickej tonality v opere Elektra od R. Straussa. Zdroj: (Antokoletz, 1984) Osová súmernosť podľa horizontálnej osi sa častejšie vyskytuje v kombinácií s posunutím v čase. Napríklad part pre ľavú ruku v Chopinovom Valčíku a-mol, Op.34 začína nasledujúco: Obr. 20: Ukážka zo skladby Valčík a-mol, Op. 34 od F. Chopina. Zdroj: (Chopin, 1894) Každý takt vrchnej melodickej línie ľavej ruky je preklopený a posunutý do ďalšieho taktu. Kvôli tomuto posunutiu v čase ide o posunutú súmernosť, teda zobrazenie zložené z posunutia a osovej súmernosti podľa smeru posunutia. 28

29 Obr. 21: Ilustrácia posunutej súmernosti ako geometrického zobrazenia. Dôvodom, prečo sú geometrické zobrazenia a súmernosti v hudbe dôležité je to, že pravidelnosť určitých vzorov v nás vzbudzuje isté očakávania čo bude nasledovať. Na druhej strane ale treba čas od času prekaziť tieto očakávania, aby sme predišli unudenosti. Dobrá hudba obsahuje rovnováhu medzi predpovedateľnosťou a prekvapením v melódií, harmónií a pod. V príkladoch vyššie bola os súmernosti horizontálna. Je možné zvoliť aj druhý prístup, a to použiť vertikálnu os súmernosti, ktorá z nôt vytvorí palindróm 7. Napríklad stúpajúca a následne klesajúca stupnica je takýto typ osovej súmernosti, ako je to znázornené v nasledujúcom príklade hlasového cvičenia. Obr. 22: Tóny hlasovej rozcvičky ako príklad hudobného palindrómu. Toto je hudobný ekvivalent pojmu palindróm. Jedným z príkladov formy na tento typ súmernosti je retrográdny kánon, resp. krabí kánon 8 (lat. canon cancrizans). Ako už názov napovedá, pôjde o skombinovanie kánonu a osovej súmernosti takým spôsobom, že melódia bude zároveň hraná jedným aj druhým smerom. Napríklad prvý kánon z diela J.S. Bacha Hudobná obeť (nem. Musikalisches Opfer), BWV 1079, ktorý je retrográdny kánon. 7 palindróm - slovo, veta al. verš, ktorých znenie sa pri čítaní odzadu nemení al. aspoň nestráca zmysel (SPN, 2005) 8 kánon - hudobná forma, pri ktorej dva al. viac hlasov spieva tú istú melódiu s postupným nástupom (SAV, 1959) 29

30 Bol vytvorený na tému pruského kráľa Fridricha Veľkého, obsahujúcu 18 taktov, ktoré sú hrané smerom dopredu a zároveň smerom odzadu. J.S. Bach ju rozvinul zaujímavým, matematicky uchopiteľným spôsobom, pričom skladba dáva zmysel pri interpretácia spredu i zozadu, jedno- i dvojhlasne. Prvý hlas začína na začiatku prvého taktu a pokračuje dopredu až do konca, zatiaľ čo druhý hlas začína na konci posledného taktu a pokračuje spätne až na začiatok. Podobne aj ostatné časti Bachovej Hudobnej obeti predstavujú mnohé ďalšie možnosti zapracovania geometrických súmerností do hudobných foriem. Obr. 23: Motív pruského kráľa Fridricha Veľkého, ktorý spracoval do kánonu J.S. Bach. Zdroj: (Bach, 1885) 3.3 Stredová súmernosť Stredová súmernosť je v hudbe taktiež prítomná. Ako vieme z matematiky, ide o zloženie dvoch osových súmerností, pričom osi súmernosti sú na seba kolmé. Stred súmernosti bude v takomto prípade v priesečníku osí. Vzor a obraz sú od stredu súmernosti rovnako vzdialené, pričom tieto tri body sú kolineárne, tzn. že ležia na jednej priamke. Obr. 24: Ilustrácia zobrazenia zloženého zo stredovej súmernosti a posunutia 30

31 Pekným príkladom na stredovú súmernosť v hudbe je Zrkadlový kánon, K.Anh od W.A. Mozarta. V notovom zázname tohto diela je písaný iba jeden hlas, ale skladba je určená pre dvoch hudobníkov. Jeden hlas hrá skladbu od začiatku po koniec v normálnom smere, zatiaľ čo ten druhý hrá tú istú melódiu, akurát preklopenú (horizontálna os súmernosti) a od konca po začiatok (vertikálna os súmernosti). Obr. 25: Ukážka z diela Zrkadlový kánon. Znázornené sú prvé dva a posledné dva riadky skladby. Zdroj: (Benson, 2008) Iným spôsobom, ako dostať stredovú súmernosť, je rotácia o 180 okolo stredu súmernosti. Napríklad v nasledujúcej ukážke je znázornená rotácia (resp. stredová súmernosť) so stredom na konci druhej doby vo výške tónu Dis. Obr. 26: Stred súmernosti v skladbe Španielska rapsódia od M. Ravela. Zdroj: (Benson, 2008) 31

32 V Španielskej rapsódií od Ravela sa tieto štyri tóny opakujú dookola počas úvodných približne piatich minút skladby. To teda znamená, že sa jedná o posunutie a rotáciu, ako naznačuje aj diagram na obr. 24. V nasledujúcom príklade, ktorý je prevzatý z Mozartovho diela Capriccio, K. 395, sú geometrické zobrazenia iba približné. Nie je ťažké si všimnúť, že každý zväzok niekoľkých šestnástinových nôt v parte pre pravú ruku (riadok označený P na obr. 27) začína pozvoľným stúpaním, ktoré je nasledované prudším klesaním melódie, zatiaľ čo v parte pre ľavú ruku (riadok označený L na obr. 27) melódia najprv prudšie klesá, aby mohla potom pozvoľne stúpať. Každý zo zväzkov je mierne odlišný od ostatných, takže melódia znie zaujímavo. Naše očakávania z predchádzajúceho vývoja melódie sú na konci ukážky zmarené, kde pokles melódie naberá spád a zakončí sa až na tóne E. Obr. 27: Ukážka zo skladby Capriccio, K. 395 od W.A. Mozarta. Zdroj: (Mozart, 1887) 32

33 3.4 Vlys Horizontálne opakujúcim sa ozdobným vzorom, ktoré sa nachádzajú napr. na budovách, sa v architektúre, resp. vo výtvarnom umení hovorí vlys. Ornamenty, spolu s rovinnými zobrazeniami tvoria grupu symetrií. Delia sa do siedmych skupín, a nasledujúca tabuľka predstavuje medzinárodnú klasifikáciu používanú matematikmi a kryštalografmi. značenie popis príklad p1 posunutie, v horizontálnom smere p1m1 posunutie a osová súmernosť podľa vertikálnej osi p11m posunutie, osová súmernosť podľa horizontálnej osi a posunutá súmernosť p11g posunutie a posunutá súmernosť p2 posunutie a stredová súmernosť p2mg posunutie, stredová súmernosť, osová súmernosť podľa vertikálnej osi a posunutá súmernosť p2mm posunutie, stredová súmernosť, osová súmernosť podľa horizontálnej aj horizontálnej osi a posunutá súmernosť Obr. 28: Tabuľka klasifikácie vlysov podľa Medzinárodnej kryštalografickej únie (IUCr). Zdroj: (Eck, 2008) Na každý z týchto typov vlysu sa dá ľahko nájsť v hudbe príklad. Nemôžme však od toho očakávať príliš veľa; hudba, ktorá sa neustále opakuje podľa nejakého vzoru, môže začať po čase nudiť. Predsa len aspoň v niekoľkých prípadoch tu predstavíme zaujímavé príklady. Už vyššie spomínaný part pre ľavú ruku z Chopinovho Valčíku (obr. 20, str. 28) je príklad vlysu typu p11g, zatiaľ čo ukážka od Ravela (obr. 26, str. 31) patrí do typu p2. 33

34 V type p1 sa vzor len opakuje, bez použitia súmerností. Niektoré vtáky vydávajú zvuky podobné tomuto vlysu, či už je to ďateľ a jeho ťuk, ťuk, ťuk, alebo trilok 9 slávika. V diele Dievča a slávik (šp. Quejas ó la Maja y el Ruiseñor) z klavírnej suity Goyescas od Granadosa je časť, ktorá znie ako spev slávika. Keď sme už spomenuli spev vtákov, nesmieme zabudnúť na francúzskeho hudobného skladateľa a ornitológa Oliviera Messiaena, ktorého hudbu ovplyvnil jeho hlboký záujem o vtáčí spev. Nasledujúca ukážka je z jeho diela Katalóg vtákov (fr. Catalogue d'oiseaux), z časti Hvizdák (fr. Le courlis cendré). Veľká časť tejto skladby je založená na podobnom opakovaní tohto vzoru. Obr. 29: Ukážka vlysu typu p1 v skladbe Hvizdák od O. Messiaena. Zdroj: (Fauvel, 2006) Pre vlysový vzor p1m1 sa uplatňuje posunutie a osová súmernosť podľa vertikálnej osi. Melódia sa môže ponášať na oblúk, v ktorom tóny najprv stúpajú, a následne rovnakým tempom aj klesajú, podľa vertikálnej osi súmernosti umiestnenej v strede oblúka. Jean Sibelius, fínsky skladateľ a génius inštrumentácie, použil takýto oblúk v parte pre husle v tretej vete svojej Symfónie č.3 C-dur, Op.52. Zaujímavou robí túto pasáž to, že rozdelil husle do štyroch skupín, ktoré nastupujú po sebe s určitým posunom. Výsledkom toho je dunivý zvuk, ktorý sa opakuje po štvrtine dĺžky oblúku. 9 trilok - melodická ozdoba spočívajúca v rýchlom striedaní hlavného tónu s veľkou a malou sekundou (SPN, 2005) 34

35 Melodický oblúk sa opakuje každé štyri takty, avšak v tomto kombinovanom vzore sa opakovanie dostaví už po jednom takte. Obr. 30: Ukážka vlysu typu p1m1 v skladbe Symfónia č.3, C-dur od J. Sibeliusa. Zdroj: (Fauvel, 2006) Najlepším matematickým príkladom vlysu p2mg je sínusoida. Aká hudba môže znieť ako sínusoida? Existuje mnoho príkladov takéhoto zvuku, napr. v Smetanovej Vltave, z cyklu Má Vlast. Ak by sme sa pozreli na partitúru 10, uvideli by sme, že vlnenie melódie nie je také pravidelné, ako by sa podľa počutia mohlo zdať. Podobne aj v Debussyho Ohňostroji (fr. Feux d'artifice), kde melódia skáče sem a tam ako bábka na povrázkoch. Obr. 31: Ukážka vlysu typu p2mg v skladbe Ohňostroj od C. Debussyho. Zdroj: (Fauvel, 2006) 10 partitúra - prehľadný zápis všetkých hlasov hudobnej skladby, súhrnne napísané noty pre všetky nástroje orchestra (SAV, 1963) 35

36 Nasledujúci príklad znázorňuje vlys typu p11g. V hornom riadku je part pre anglický roh, zatiaľ čo v druhom riadku sa striedajú dva fagoty, ktoré striedavo hrajú vlysový motív vytvorený posunutou súmernosťou. Autorom ukážky je Igor Stravinský, a pochádza z diela Svätenie jari. Obr. 32: Ukážka vlysu typu p11g v skladbe Svätenia jari od I. Stravinského. Zdroj: (Fauvel, 2006) Ukážka nižšie z baletu Petruška od Stravinského zobrazuje vlysový vzor p11m. V melódií bola použitá osová súmernosť podľa horizontálnej osi a posunutá súmernosť. Obr. 33: Ukážka vlysu typu p11m v diele Petruška od I. Stravinského. Zdroj: (Fauvel, 2006) 36

37 4 Príprava, priebeh a vyhodnotenie výskumu Rovinné zobrazenia sa podľa štátneho vzdelávacie programu preberajú už na základnej škole. Táto téma je teda vhodná pre žiakov od veku približne 14 rokov. Avšak naše poňatie vyučovanej témy bude iné, než na aké sme zvyknutí z väčšiny hodín matematiky. Samotní žiaci budú aktívnymi účastníkmi vzdelávacieho procesu. Oni sami budú objavovať a tým sa aj učiť matematiku v kontexte, ktorý im ponúkneme. Preto sa pokúsime vytvoriť také aktivity pre vyučovanie matematiky, ktoré by pomohli naplniť tento zámer. 4.1 Výskumná vzorka Výskumu sa zúčastnilo 18 žiakov Gymnázia Jura Hronca v Bratislave vo veku rokov, pričom išlo o žiakov medzinárodného štúdia MYP (Middle Years Programme). Výskumník im nebol cudzí, keďže ich učil v rámci pedagogickej praxe v predchádzajúcich dňoch. Žiaci tak mohli lepšie zhodnotiť rozdiely v sprístupňovaní učiva medzi bežným a experimentálnym spôsobom výučby, a ich výhody, resp. nevýhody. 4.2 Príprava výskumu Cieľom výskumu bolo vytvoriť a overiť v praxi vyučovaciu sekvenciu hodiny matematiky, na ktorej by sa prezentovali matematické témy prostredníctvom ich objavovania v inej oblasti, konkrétne v hudobnom umení. Toto sme chceli docieliť vytvorením hudobnej melódie, v ktorej by geometrické rovinné zobrazenia predstavovali vzťahy medzi prvkami (tónmi) melódie. Tieto vzťahy by mali žiaci postupne objavovať počas uskutočňovanej vyučovacej sekvencie. Pri tvorení melódie sme sa inšpirovali hudobným skladateľom J.S. Bachom a jeho skladbou Brandenburský koncert č. 5 D-dur, 3. časť: Allegro, BWV Z tejto skladby sme vzali 4 takty (krátke časové úseky hudobnej skladby) a pomocou rovinných zobrazení sme vytvorili 20-taktovú melódiu. 37

38 Išlo najmä o: posunutie zvýšenie, resp. zníženie melódie o čistú kvintu (t.j. o 7 poltónov) osovú súmernosť zmena usporiadania tónov melódie v jednom takte (resp. v časti taktu), pričom os súmernosti bola taktová čiara stredovú súmernosť zmena usporiadania tónov melódie v jednom takte (resp. časti taktu), pričom stred súmernosti bol imaginárny bod v strede jedného taktu (resp. časti taktu) vo výške stredu medzi najvyšším a najnižším tónom jedného taktu (resp. časti taktu) na notovej osnove Melódiu sme zapísali do digitálnej formy a vyexportovali do zvukového formátu MIDI (.mid). Na to sme použili proprietárny softvér Guitar Pro, ktorý je ale voľne dostupný v skúšobnej verzií (trial). Po skomponovaní melódie sme potrebovali vytvoriť rôzne formy vizualizácie, aby sme neskôr mohli žiakom postupne sprístupňovať melódiu. Tu sme použili voľne šíriteľný softvér Music Animation Machine MIDI Player (MAM). Program MAM prehráva súbory v MIDI formáte a dokáže tiež pomocou rôznych grafických prvkov zobraziť priebeh melódie prehrávaného súboru. Z mnohých spôsobov vizualizácie, ktorý ponúka program MAM sme vybrali dva, ktoré sú podľa nášho názoru najvhodnejšie pre splnenie cieľov našej navrhovanej vyučovacej sekvencie. Spomínané vizualizácie sú ale animácie, s ktorými nemožno pracovať ako so statickými obrazmi. Preto sme vytvorili ešte ďalšie vyjadrenie melódie, tentokrát do presnejšej geometrickej podoby. Pri vyhotovení sme pracovali vo freeware programe Geogebra. Vytvorili sme graf v dvojrozmernej karteziánskej súradnicovej sústave, pričom x-ová os zobrazuje čas (od 0. po 20. sekundu skladby) a y-ová os znázorňuje frekvenciu (t.j. výšku tónu). Pre lepšiu prehľadnosť a čitateľnosť grafu bola na y-ovej osi použitá logaritmická mierka. S takýmto grafom sa už dá pracovať v grafickom editore a tak budeme môcť počas vyučovacej sekvencie hľadať a overovať vzťahy medzi tónmi v melódií. 38

39 Obr. 34: Matematický a notový zápis melódie. 4.3 Priebeh vyučovacej sekvencie a zber údajov 1. časť Po navrhnutí vyučovacej sekvencie sme mohli pristúpiť k realizácií. Výskum bol realizovaný na hodine matematiky podľa aktuálneho rozvrhu. Pred samotným začiatkom výučby sme si pripravili všetky pomôcky tak, aby sme sa počas výučby nezdržovali a zabezpečili tým čo najhladší priebeh celej sekvencie. Išlo najmä o prenosný počítač, digitálny dataprojektor, fotoaparát, reproduktory a dátové úložisko s potrebnými digitálnymi materiálmi. Na úvod hodiny sme žiakom pustili zvukový záznam melódie skomponovanej priamo pre tento účel. Melódiu sme následne žiakom pustili ešte raz, nakoľko sa mohla na prvé počutie zdať zložitá. Po tomto úvodnom vypočutí sme tvrdením toto je matematická skladba spustili diskusiu v triede. So žiakmi sme diskutovali o tom, prečo je to matematická skladba a či existujú aj iné matematické skladby. Žiaci sa zhodli, že určite je skrytá nejaká matematika v tej skladbe a že by tam mohol byť nejaký vzorec, ktorý sa opakuje. Žiaci si vyžiadali ďalšie vypočutie melódie, pričom si mali všímať nejaký vzorec, ktorý navrhol hľadať jeden zo žiakov. 39

40 Obr. 35: Ukážka melódie z matematickej skladby. Opakované počúvanie melódie už ale neprinášalo nové nápady ani poznatky, preto sme túto melódiu nechali bokom a prešli sme k inej aktivite. Žiakom sme zadali tri tóny (C, D, E), aby z nich vytvorili krátku melódiu, pričom mohli využiť hlavne svoju fantáziu, alebo aj nejaké pravidlo, ktoré si možno uvedomili pri počúvaní matematickej skladby. Zámerne sme im neurčili žiaden spôsob zápisu melódie; ponechali sme to na žiacku invenciu. Niektorí žiaci prejavili veľkú dávku fantázie a vytvorili niekoľko spôsobov zápisu ich vlastnej melódie, ktoré si možno všimnúť na obrázku č.36 (zápis poradia tónov písmenami, číslicami, vyjadrenie dĺžky a trvania tónu grafmi,...). Obr. 36: Ukážka žiackych výtvorov. 40

41 Svoje skladateľské schopnosti mali žiaci možnosť aj prezentovať pred svojou triedou. K dispozícií bola klasická gitara, ktorú jeden žiak využil a za predvedenie svojej melódie si vyslúžil potlesk celej triedy. Po tejto hre na skladateľov sme sa vrátili späť k našej matematickej skladbe. Nezostali sme však iba pri zvukovej stránke melódie, ale postúpili sme o úroveň vyššie. Melódiu sme žiakom spustili v audiovizuálnom prevedení. Obr. 37: Program MAM a rôzne druhy vizualizácie. Na vyučovaní boli použité dva druhy zobrazené v hornom riadku. Na toto prevedenie reagovali žiaci živšie, nachádzali v melódií viac podobností a vzorov, hoci nie vždy ich vedeli presne lokalizovať. Častým javom bolo spozorovanie rovnakého tvaru písmen M, alebo W v grafickom zobrazení priebehu melódie. K tomu dopomohlo aj spomalené prehrávanie melódie rýchlosťou 70 bpm (beats per minute = údery za minútu) oproti pôvodnej rýchlosti 120 bpm. Zostávalo nám ešte posledné, a podľa nášho názoru najpresnejšie znázornenie melódie matematickej skladby. Tým je graf v dvojrozmernej karteziánskej súradnicovej sústave. 41

42 Obr. 38: Ukážka grafu znázorňujúceho zmeny výšky tónu melódie Pri opätovnom počúvaní melódie a sledovania grafu dokázali žiaci lokalizovať vzory, aj miesta ich opakovania. Spomínaný graf sme otvorili v grafickom editore a skúšali sme spoločne so žiakmi nájsť také časti grafu, ktoré nám po presunutí, resp. preklopení budú pasovať na iné miesto v grafe. Žiaci boli pri tejto činnosti veľmi aktívni, predbiehali sa v tom, kto skôr overí svoj objav a nájde univerzálny vzor, ktorý by zapadol na viaceré miesta v grafe. Nie všetky pokusy boli úspešné, ale veľa zo skutočným symetrií, ktoré sme tam ukryli, boli žiakmi objavené. Na záver hodiny, po vyčerpaní všetkých pokusov, dostali žiaci voliteľnú domácu úlohu obdobnú tej z úvodu hodiny. Z piatich ľubovoľných po sebe idúcich tónov mali vytvoriť melódiu, teraz už však obohatení skúsenosťami z objavených vzorcov a pravidiel v matematickej skladbe. 2. časť Týždeň po našej vyučovacej sekvencií sa uskutočnila ďalšia hodina s touto tematikou. Na úvod sa prezentovala jedna žiacka skladba, ktorá bola vypracovaná na základe zadania voliteľnej domácej úlohy. Za odvahu a vynaliezavosť trieda obdarovala žiaka potleskom. 42

43 Krátkou prezentáciou sme si pripomenuli bádanie z minulého týždňa a žiakom sme objasnili, kde sa v našej melódií nachádzala matematika (obr. 39). Zároveň sme aj tieto objavené vzorce, ako napríklad preklopenie, otočenie a presunutie matematicky zadefinovali a tak sme zaviedli pojmy osová súmernosť, stredová súmernosť a posunutie. Obr. 39: Rovinné zobrazenia v matematickej melódii Následne boli žiakom rozdané dotazníky z otvorenými položkami, kde mohli vyjadriť svoj názor na uskutočnenú hodinu a všeobecne na takýto typ menej tradičného vyučovania. Dotazník bol anonymný, žiaci sa nemuseli naň podpisovať. V neskoršom vyhodnocovaní sme si jednotlivé dotazníky kvôli lepšej identifikácie označili poradovými číslami od I po XVIII. 43

44 4.3 Vyhodnotenie údajov Všetkých 18 dotazníkov, ktoré sme žiakom rozdali, sa nám vrátili viac, či menej vyplnené. V nich bolo dostatok priestoru na vyjadrenie svojho názoru na uskutočnenú vyučovaciu sekvenciu. Dotazník obsahoval pomocné otázky, ktoré sa viazali k 4 oblastiam: 1. Pochopenie rovinných zobrazení (pomocná otázka: Myslíte si, že vám pomohla uskutočnená hodina vo vnímaní a pochopení rovinných zobrazení v matematike? ) 2. Iný prínos vyučovacej sekvencie ( Vzbudila vo vás hodina záujem o využitie rovinných zobrazení v hudbe? Bola pre vás uskutočnená hodina prínosná aj v niečom inom? Ak áno, v čom? ) 3. Netradičný typ vyučovania ( Uvítali by ste, ak by sa podobné typy hodín vyskytovali na matematike, resp. na inom predmete častejšie? Ako často a na akých predmetoch najlepšie? ) 4. Pripomienky, návrhy ( Máte nejaké pripomienky, alebo návrhy, ako sa dala uskutočnená vyučovacia hodina vylepšiť? Čo sa vám najviac páčilo na uskutočnenej hodine ) Otázky boli zväčša koncipované tak, že kladná odpoveď respondenta odráža jeho pozitívnu skúsenosť. Preto sme si pri počiatočnom vyhodnocovaní dotazníkov kategorizovali odpovede žiakov na pozitívne, neutrálne a negatívne. Neutrálna odpoveď znamená, že respondent buď neodpovedal, alebo sa nedá rozhodnúť o pozitívnom, resp. negatívnom postoji. 44