On Approximating Solution of Boundary Value Problems

On Approximting Solution of Boundry Vlue Problems Nguyễn Quản Bá Hồng Đoàn Trần Nguyên Tùng Students t Fculty of Mth nd Computer Science, Ho Chi Minh University of Science, Vietnm emil. dtrngtung@live.com emil. nguyenqunbhong@gmil.com blog. http://hongnguyenqunb.wordpress.com Ngày 27 tháng 5 năm 2016 Tóm tắt nội dung Tài liệu này đề cập tới việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để xấp xỉ nghiệm củ bài toán giá trị biên BVP với điều kiện Dirichlet (Boundry Vlue Problems with Dirichlet conditions) có dạng: { u (x) + Au (x) + Bu (x) = f (x), x (, b) u () = u (b) = 0 bằng các đ thức Lgrnge cơ sở bậc 2 (piecewise qudrture Lgrnge polynomils), viết chương trình Mtlb để mô tả nghiệm xấp xỉ bằng công thức xấp xỉ xây dựng được, cùng một số vấn đề có liên qun. 1411103. Sinh viên lớp Cử nhân Tài năng kho Toán Tin K14. 1411352. Sinh viên lớp Cử nhân Tài năng kho Toán Tin K14. Copyright c 2016 by Nguyen Qun B Hong, Student t Ho Chi Minh University of Science, Vietnm. This document my be copied freely for the purposes of eduction nd noncommercil reserch. Visit my site http://hongnguyenqunb.wordpress.com to get more. 1

Mục lục 1 Bài toán 3 2 Xây dựng nghiệm xấp xỉ 3 3 M trận M N đối xứng trong trường hợp A = 0 11 4 M trận M N xác định dương 12 5 Viết chương trình Mltb 16 5.1 Code Mtlb cho phương pháp cầu phương Guss-Legre... 16 5.2 Code Mltb cho bài toán giá trị biên BVP............ 17 5.3 Bảng đánh giá si số......................... 24 5.4 Các đồ thị thu được......................... 25 6 Một số ghi chú 27 2

1 Bài toán Bài toán 1. Xấp xỉ nghiệm củ bài toán su bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng hàm Lgrnge bậc 2 trên mỗi đoạn con: { u (x) + u (x) u (x) = f (x), x (, b) (1.1) u () = u (b) = 0 Một dạng tổng quát cho bài toán 1 có dạng như su, với các hệ số được thy bằng các hằng số thực A, B: Bài toán 2. Xấp xỉ nghiệm củ bài toán su bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng hàm Lgrnge bậc 2 trên mỗi đoạn con: { u (x) + Au (x) + Bu (x) = f (x), x (, b) (1.2) u () = u (b) = 0 với A, B R là các hằng số cho trước. Bài toán 3. Với M N = (M ij ) () () M (R) là m trận gồm các hệ số tương ứng trong quá trình xấp xỉ nghiệm ở bài toán 2 tương ứng với trường hợp A, B là hằng số thực tùy ý. Chứng minh với mọi số nguyên dương N, M N là m trận đối xứng trong trường hợp A = 0 và xác định dương trong trường hợp A = B = 0. 2 Xây dựng nghiệm xấp xỉ Thy vì giải bài toán (1.1), t sẽ giải bài toán 2 với hệ số tổng quát hơn: Bài toán 2. Xấp xỉ nghiệm củ bài toán su bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng đ thức Lgrnge bậc 2 trên mỗi đoạn con: { u (x) + Au (x) + Bu (x) = f (x), x (, b) (2.1) u () = u (b) = 0 với A, B R là các hằng số cho trước. Ghi chú. Lưu ý số hạng u mng dấu trừ để su khi lấy tích phân từng phần ở bên dưới, sẽ mất đi dấu trừ này để tiện việc tính toán. Và việc gán cho hệ số củ u bằng 1 sẽ không làm mất đi tính tổng quát củ giả thiết các hệ số củ u, u, u là các hằng số thực tùy ý. Chuyển dạng mạnh về dạng yếu. Nhân hàm v (x) vào 2 vế củ phương trình thứ nhất trong (2.1), rồi lấy tích 3

phân 2 vế từ đến b, thu được: u (x) v (x) dx + A u (x) v (x) dx + B u (x) v (x) dx = Sử dụng công thức tích phân từng phần đối với số hạng được: u (x) v (x) dx = u (x) v (x) b b = u (b) v (b) u () v () u (x) v (x) dx u (x) v (x) dx f (x) v (x) dx (2.2) u (x) v (x) dx, thu Giả sử v (b) = v () = 0 với v C 1 C (, b) H1 0 (, b) Khi đó (2.3) trở thành Thy (2.4) vào (2.2), thu được: u (x) v (x) dx + A u (x) v (x) dx = u (x) v (x) dx + B (2.3) u (x) v (x) dx (2.4) u (x) v (x) dx = f (x) v (x) dx (2.5) thỏ với mọi v CC 1 (, b) H1 0 (, b) (nghiệm yếu). T vừ đư được bài toán dạng mạnh (2.1) thành bài toán dạng yếu (2.5). T sẽ xấp xỉ nghiệm củ (2.1) dự vào (2.5). Trước hết cần xây dựng chặt chẽ một số khái niệm su: Continuous piecewise qudrtic function spce. Để xấp xỉ nghiệm củ bài toán (2.5), t sẽ sử dụng hàm thuộc không gin các hàm đ thức bậc 2 liên tục từng khúc (spce of continuous piecewise qudrtic functions). Không gin này được xác định như su: Với số nguyên dương N cho trước, t chi đoạn [, b] bởi N + 1 điểm chi = x 0, x 1,..., x N = b tùy ý. Đặt không gin các hàm đ thức bậc 2 liên tục từng khúc - continuous piecewise qudrtic function: V h = {v (x) : v (x) is continuous piecewise qudrtic, v() = v(b) = 0} Từ định nghĩ trên, t có không gin hữu hạn chiều các hàm tuyến tính từng khúc (sinh bởi các hàm đ thức cơ sở Lgrnge tuyến tính) là không gin con củ V h. Mỗi hàm φ (x) V h trên mỗi đoạn [x i, x i+1 ] sẽ có dạng: φ (x) = i x 2 + b i x + c i, x i x < x i+1, i = 0, N 1 4

Mỗi bộ 3 thm số ( i, b i, c i ) sẽ xác định một hàm đ thức bậc 2 trên đoạn [x i, x i+1 ]. Có tất cả N đoạn, nên sẽ có tất cả 3N thm số. Nhưng để đảm bảo tính liên tục củ hàm φ(x), t có các phương trình tại các điểm nút x i su: lim φ (x) = lim φ (x), i = 1, N 1 x x i x x i+ i 1 x 2 + b i 1 x + c i 1 = i x 2 + b i x + c i, i = 1, N 1 Và thêm các điều kiện bên như giả sử ở trên, t cần: φ () = φ (b) = 0 Vậy các thm số phải thỏ thêm N + 1 phương trình trên. Suy r số chiều củ không gin V h là dim V h = 3N (N 1) 2 = 2N 1 Trong phần tiếp theo, su khi có được các công thức tường minh củ các hàm Lgrnge cơ sở bậc 2, t sẽ chứng minh 2N 1 hàm Lgrnge cơ sở này là một cơ sở củ không gin V h. Tiếp theo, lấy trung điểm mỗi đoạn [x i, x i+1 ], i = 0, N 1. Đánh lại các chỉ số, thu được 2N + 1 điểm x 0, x 1,..., x 2N xác định bởi: { x 2k = x k, k = 0, 1,..., N x 2k+1 = x k + x k+1, k = 0, 1,..., N 1 2 Không tính 2 đầu mút, thì t sẽ có 2N 1 nodes, tương ứng với với 2N 1 hàm Lgrnge cơ sở bậc 2 L 2,i, i = 1, 2N 1. Các hàm Lgrnge cơ sở bậc 2 này thỏ mãn tính chất: L 2,i ( ) = { 1, if i = j 0, if i j i = 1, 2,..., 2N 1 (2.6) Và quy ước L 2,i 0, i 1, 2N 1 để tiện biểu diễn công thức ở các bước tiếp theo. Xác định các hàm cơ sở Lgrnge bậc 2. Lưu ý rằng các hàm Lgrnge cơ sở bậc 2 bo gồm 2 loại, là các hàm Lgrnge bậc 2 với chỉ số chẵn (tại các node chính), và các hàm Lgrnge bậc 2 với chỉ số lẻ (tại các node phụ - trung điểm củ các node chính kề nhu). Điều này sẽ được thể hiện rõ hơn bằng hình vẽ ở phần code Mtlb. Các hàm cơ sở Lgrnge bậc 2 được cho bởi các công thức su: 5

Hàm cơ sở Lgrnge bậc 2 tại các node chính i = 1, N 1 (x x 2i 1 ) (x x 2i 2 ) ( x 2i x 2i 1 ) ( x 2i x 2i 2 ), x [ x 2i 2, x 2i ] L 2,2i (x) = (x x 2i+1 ) (x x 2i+2 ) ( x 2i x 2i+1 ) ( x 2i x 2i+2 ), x [ x 2i, x 2i+2 ] 0, R\ [ x 2i 2, x 2i+2 ] Hàm cơ sở Lgrnge bậc 2 tại các node phụ i = 0, N 1 (x x 2i ) (x x 2i+2 ) L 2,2i+1 (x) = ( x 2i+1 x 2i ) ( x 2i+1 x 2i+2 ), x [ x 2i, x 2i+2 ] 0, R\ [ x 2i, x 2i+2 ] (2.7) (2.8) Vậy t có 2N 1 hàm cơ sở Lgrnge bậc 2, bo gồm N 1 hàm cơ sở Lgrnge bậc 2 tại các node chính x i và N hàm cơ sở Lgrnge bậc 2 tại các node phụ là các trung điểm củ các node chính kề nhu. Chú ý các hàm Lgrnge bậc 2 này đều thuộc không gin V h. Tiếp theo, t sẽ chứng minh {L 2,i (x)} độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử: Thy x = vào, thu được: j = i L 2,i (x) = 0, x R i L 2,i ( ) = 0, j = 1, 2N 1 Suy r {L 2,i (x)} độc lập tuyến tính. Mặt khác, t có dimv h = 2N 1. Suy r {L 2,i (x)} là cơ sở củ không gin V h. Kết quả này sẽ được sử dụng ở phần chứng minh m trận thu được trong quá trình xấp xỉ nghiệm củ bài toán giá trị biên là một m trận xác định dương trong trong phần tiếp theo Xấp xỉ nghiệm củ bài toán giá trị biên. Với các hàm Lgrnge cơ sở bậc 2 vừ thu được, t xấp xỉ nghiệm u(x) củ (2.5) bằng một hàm thích hợp nào đó trong không gin V h. Vì {L 2,i (x)} là cơ sở củ không gin V h, hàm thích hợp này là tổ hợp tuyến tính củ các hàm Lgrnge cơ sở bậc 2. Như vậy, t có thể xấp xỉ nghiệm củ (1.1) bởi công thức: u (x) u i L 2,i (x), x (, b) (2.9) 6

Thy lần lượt các điểm x 0, x 1,..., x 2N vào công thức (2.9), thu được: u i u ( x i ), i = 1, 2N 1 T cần tìm giá trị củ u i u ( x i ), i = 1, 2,..., 2N 1. Sử dụng quy ước về ký hiệu su cho tích phân củ các hàm khả tích Riemnn trên [, b]: f := f (x) dx, f R ([, b]) để cho công thức ở các bước tiếp theo được ngắn gọn và dễ nhìn. Sử dụng (2.9), (2.5) trở thành: u i v L 2,i + A u i vl 2,i + B u i vl 2,i fv (2.10) b u i ( u i b v L 2,i + A b u i vl 2,i + B b u i ) v L b 2,i + Au i vl b 2,i + Bu i vl 2,i vl 2,i fv fv (2.11) Chọn v (x) = L 2,j (x), j = 1, 2,..., 2N 1 trong (2.11), thu được: u i b L 2,j L 2,i + Au i L 2,j L 2,i + Bu i L 2,j L 2,i fl 2,j (2.12) Với quy ước: Với các số hạng có chỉ số không được định nghĩ ở trên, hoặc đoạn nằm ngoài (, b) thì quy ước nó bằng 0 hoặc tương ứng. Đặt I k = [x k, x k+1 ], k = 0, N 1 Từ phương trình (2.12), suy r: 2j+2 i=2j 2 2 i=2j u i u i b b L 2,2j L 2,i + Au i L 2,2 L 2,i + Au i L 2,2j L 2,i + Bu i L 2,2 L 2,i + Bu i L 2,2j L 2,i L 2,2 L 2,i fl 2,2j fl 2,2 7

Hy: u 2j 2 + + u 2j 1 + u 2j + và u 2 u 2j+2 1 L 2,2j 1 L 2,2j 1 L 2,2j L 2,2j 1 fl 2,2j u 2j + x u 2 L 2,2j L 2,2j 2 + Au 2j 2 1 L 2,2j 1 + Au 2j 1 1 L 2,2j L 2,2j 2 + Bu 2j 2 1 L 2,2j L 2,2j 1 + Bu 2j 1 1 L 2,2j L 2,2j 2 L 2,2j L 2,2j 1 L 2,2j + Au 2j L 2,2j L 2,2j + Bu 2j L 2,2j L 2,2j 1 1 L 2,2 + Au 2 L 2,2j L 2,2 + Bu 2 L 2,2j L 2,2 L 2,2j+2 + Au 2j+2 L 2,2j L 2,2j+2 + Bu 2j+2 L 2,2j L 2,2j+2 L 2,2 L 2,2j + Au 2j L 2,2 L 2,2j + Bu 2j L 2,2 L 2,2j L 2,2 L 2,2 + Au 2 L 2,2 L 2,2 + Bu 2 L 2,2 L 2,2 + u 2j+2 x L 2,2 L 2,2j+2 + Au 2j+2 L 2,2 L 2,2j+2 + Bu 2j+2 L 2,2 L 2,2j+2 x fl 2,2 8

Đặt A (j) x α,β = B (j) α,β = x C (j) α,β = x L 2,2j+α L 2,2j+β, α, β = 0, 1, 2 L 2,2j+α L 2,2j+β, α, β = 0, 1, 2 L 2,2j+α L 2,2j+β, α, β = 0, 1, 2 (2.13) T có nhận xét su: A (j) α,β = A(j) β,α, C(j) α,β = C(j) β,α, α, β = 0, 1, 2 (2.14) Và phương trình trên trở thành: ( ) u 2j 2 A (j 1) 2,0 + Au 2j 2 B (j 1) 2,0 + Bu 2j 2 C (j 1) 2,0 ( ) + u 2j 1 A (j 1) 2,1 + Au 2j 1 B (j 1) 2,1 + Bu 2j 1 C (j 1) 2,1 ( ) ( ) ( )] + [u 2j A (j 1) 2,2 + A (j) 0,0 + Au 2j B (j 1) 2,2 + B (j) 0,0 + Bu 2j B (j 1) 2,2 + B (j) 0,0 ( ) + u 2 A (j) 0,1 + Au 2B (j) 0,1 + Bu 2C (j) 0,1 ( ) + u 2j+2 A (j) 0,2 + Au 2j+2B (j) 0,2 + Bu 2j+2C (j) 0,2 1 fl 2,2j và ( ) u 2j A (j) 1,0 + Au 2jB (j) 1,0 + Bu 2jC (j) 1,0 ( ) + u 2 A (j) 1,1 + Au 2B (j) 1,1 + Bu 2C (j) 1,1 ( ) + u 2j+2 A (j) 1,2 + Au 2j+2B (j) 1,2 + Bu 2j+2C (j) 1,2 x fl 2,2 Đặt tiếp và D (j) α,β = A(j) α,β + AB(j) F i = fl 2,i = α,β + BC(j) α,β, α, β = 0, 1, 2 1 fl 2,2j, if i = 2j x fl 2,2, if i = 2j + 1 9

thu được: và ( ) u 2j 2 D (j 1) 2,0 + u 2j 1 D (j 1) 2,1 + u 2j D (j 1) 2,2 + D (j) 0,0 +u 2 D (j) 0,1 + u 2j+2D (j) 0,2 F 2j u 2j D (j) 1,0 + u 2D (j) 1,1 + u 2j+2D (j) 1,2 F 2 Từ các kết quả vừ thu được hệ phương trình tuyến tính với các ẩn u 1, u 2,..., u : Với các phần tử củ m trận M N được xác định bởi: M N U = F (2.15) M 2j,2j 2 = D (j 1) 2,0 M 2j,2j 1 = D (j 1) 2,1 M 2j,2j = D (j 1) 2,2 + D (j) 0,0 M 2j,2 = D (j) 0,1 M 2j,2j+2 = D (j) 0,2 M 2,2j = D (j) 1,0 M 2,2 = D (j) 1,1 M 2,2j+2 = D (j) 1,2 M i,j = 0, else M trận M N có dạng: M 1,1 M 1,2 0 0 0 0 0 M 2,1 M 2,2 M 2,3 M 2,4 0 0 0 0 M 3,2 M 3,3 M 3,4 0 0 0 0 M 4,2 M 4,3 M 4,4 M 4,5 M 4,6 0 M N = 0 0 0 M 5,4 M 5,5 M 5,6 0 0 0 0 M 6,4 M 6,5 M 6,6 0................. 0 0 0 0 0 0 M, (2.16) Nghiệm cần tính: u 1 u 2 U = u 3.. u 10

và F : F = F 1 F 2 F 3. F 3 M trận M N đối xứng trong trường hợp A = 0 Ở phần này, t sẽ giải quyết bài toán su: Bài toán 4. Xấp xỉ nghiệm củ bài toán su bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng hàm Lgrnge bậc 2 trên mỗi đoạn con: { u (x) + Bu (x) = f (x), x (, b) (3.1) u () = u (b) = 0 với B R là các hằng số cho trước. Với M N = (M ij ) () () M (R) là m trận gồm các hệ số tương ứng trong quá trình xấp xỉ nghiệm ở bài toán trên. Chứng minh M N là m trận đối xứng với mọi số nguyên dương N. Chứng minh. Trong phần 2, t tìm được công thức cụ thể cho m trận M N tương ứng với trường hợp A = 0: D (k) i,j = A(k) i,j + BC(k) i,j M 2j,2j 2 = D (j 1) 2,0 M 2j,2j 1 = D (j 1) 2,1 M 2j,2j = D (j 1) 2,2 + D (j) 0,0 M 2j,2 = D (j) 0,1 M 2j,2j+2 = D (j) 0,2 M 2,2j = D (j) 1,0 M 2,2 = D (j) 1,1 M 2,2j+2 = D (j) 1,2 M i,j = 0, else Từ nhận xét (2.14), suy r: D (k) i,j = A(k) i,j + BC(k) i,j = A(k) j,i + BC(k) j,i = D (k) j,i 11

Sử dụng kết quả này, xét các phần tử đối xứng qu đường chéo chính củ m trận M N t có: M 2j,2j 2 = D (j 1) 2,0 = D (j 1) 0,2 = M 2j 2,2j M 2j,2j 1 = D (j 1) 2,1 = D (j 1) 1,2 = M 2j 1,2j M 2j,2 = D (j) 0,1 = D(j) 1,0 = M 2,2j M 2j,2j+2 = D (j) 0,2 = D(j) 2,0 = M 2j+2,2j và các phần tử khác củ m trận M N đều bằng 0. Suy r m trận M N là m trận đối xứng. Như vậy, nếu A = 0 thì m trận M N là m trận đối xứng. Hơn nữ, chiều ngược lại cũng đúng: Bài toán 5. Chứng minh nếu m trận M N đối xứng khi và chỉ khi A = 0. xác định bởi (2.16) là m trận Chứng minh. Một chiều củ bài toán đã được chứng minh, t chứng minh chiều còn lại: M N là m trận đối xứng A = 0 Giả sử M N là m trận đối xứng. Từ các công thức đã được thiết lập ở phần trước, cùng với nhận xét (2.14), t suy r: Biến đổi tương đương: A k+1 Cho i = 2, j = 3, k = 1, có AB (k) i,j x k L 2,i L 2,j = AB(k) j,i, i, j, k k+1 L 2,j L 2,i = 0, i, j, k x k L 2,2 (x) L 2,3 (x) L 2,3 (x) L 2,2 (x) = 0, x { x 2, x 3, x 4 } L 2,2 (x) L 2,3 (x) L 2,3 (x) L 2,2 (x) > 0, x [x 1, x 2 ] \ { x 2, x 3, x 4 } Nhận xét này sẽ dễ thấy hơn khi nhìn vào đồ thị củ các hàm cơ sở Lgrnge bậc 2 ở phần cuối. Suy r A = 0. Kết luận M N là m trận đối xứng khi và chỉ khi A = 0. 4 M trận M N xác định dương Trong phần này, khi A = 0, tác giả sẽ cố gắng mở rộng phạm vi củ B để m trận M N là m trận xác định dương. Su đây t sẽ xét trường hợp A = B = 0 - trường hợp đơn giản nhất trong phần này. 12

Bài toán 6. Xấp xỉ nghiệm củ bài toán su bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng hàm Lgrnge bậc 2 trên mỗi đoạn con: { u (x) = f (x), x (, b) (4.1) u () = u (b) = 0 Với M N = (M ij ) () () M (R) là m trận gồm các hệ số tương ứng trong quá trình xấp xỉ nghiệm ở bài toán trên. Chứng minh M N là m trận xác định dương với mọi số nguyên dương N. Chứng minh. Trường hợp A = B = 0, m trận M N được xác định bởi: Đặt M ij = L 2,i L 2,j, i, j = 1, 2N 1 φ i (x) = L 2,i (x), i = 1, 2N 1 thì phần tử củ M N được xác định bởi: M ij = φ i φ j, i, j = 1, 2N 1 Để chứng minh M N xác định dương, t cần chứng minh: Tính toán trực tiếp: ξ T Mξ = = i,j=1 ( ξ T Mξ > 0, ξ M,1 (R) ξ i M ij ξ j = ) ξ i φ i j=1 i,j=1 ξ i φ i φ j ξ j ξ j φ j 2 = ξ i φ i Chuẩn cuối cùng bằng 0 khi và chỉ khi s = s (t) = ξ i φ i = 0: ξ i φ i (t) = 0, t R L 2 ([,b]) 0 Lấy tích phân 2 vế từ đến x trong công thức vừ thu được, suy r: x s (t) dt = ξ i x φ i (t) dt = 0 = ξ i L 2,i (x) = 0, x R 13

Để ý ξ i L 2,i (x) V h. Mặt khác, t đã chứng minh ở phần 2, {L 2,i (x)} là một cơ sở củ V h. Suy r ξ i = 0, i = 1, 2N 1. Kết luận m trận M N xác định dương. Tiếp theo là một số đánh giá khác về khoảng giá trị củ B để m trận M N là m trận xác định dương: Bài toán 7. Xấp xỉ nghiệm củ bài toán su bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng hàm Lgrnge bậc 2 trên mỗi đoạn con: { u (x) + Bu(x) = f (x), x (, b) (4.2) u () = u (b) = 0 với B 0 là hằng số cho trước. Với M N = (M ij ) () () M (R) là m trận gồm các hệ số tương ứng trong quá trình xấp xỉ nghiệm ở bài toán trên. Chứng minh M N là m trận xác định dương với mọi số nguyên dương N. Chứng minh. Ý tưởng chứng minh hoàn toàn tương tự bài trước. m trận M N được xác định bởi: Đặt M ij = B L 2,i L 2,j + L 2,i L 2,j, i, j = 1, 2N 1 φ i (x) = L 2,i (x), i, j = 1, 2N 1 thì phần tử củ M N được xác định bởi: M ij = B φ i φ j + φ i φ j, i, j = 1, 2N 1 Để chứng minh M N xác định dương, t cần chứng minh: Tính toán trực tiếp: ξ T Mξ = = B = B i,j=1 i,j=1 ξ i ( ( = B ξ T Mξ > 0, ξ M,1 (R) ξ i M ij ξ j = φ i φ j ) ) ( ξ i φ i ξ i φ i 2 L 2 ([,b]) i,j=1 ξ j + j=1 i,j=1 ξ i (B ( ξ i ξ i φ i ) + + ξ i φ i 14 φ i φ j + ) φ i φ j ξ j ( ξ i φ i 2 L 2 ([,b]) φ i φ j 0 ) ξ j ) ( j=1 ξ i φ i ) (4.3)

Với điều kiện B 0, lý luận tương tự chứng minh bài toán trước, t có chuẩn cuối cùng bằng 0 khi và chỉ khi ξ i = 0, i = 1, 2N 1. Kết luận m trận M N xác định dương. Bài toán trên có thể tổng quát thành bài toán su: Bài toán 8. Xấp xỉ nghiệm củ bài toán su bằng phương pháp phần tử hữu hạn và sử dụng hàm Lgrnge bậc 2 trên mỗi đoạn con: { u (x) + Bu(x) = f (x), x (, b) (4.4) u () = u (b) = 0 Với M N = (M ij ) () () M (R) là m trận gồm các hệ số tương ứng trong quá trình xấp xỉ nghiệm ở bài toán trên. Tìm điều kiện cần và đủ củ B để: 1. M N là m trận xác định dương với mỗi số nguyên N cho trước (điều kiện củ B phụ thuộc vào N). 2. M N là m trận xác định dương với mọi số nguyên dương N (điều kiện củ B không phụ thuộc vào N). Bài toán cuối cùng trong tài liệu này thực sự là một bài toán khó. Tác giả bài viết này không thể giải trọn vẹn bài toán này được, mà chỉ có thể đư r đánh giá phạm vi củ B để m trận M N xác định dương. Tác giả cũng đã thử chạy code Mtlb với rất nhiều giá trị B, từ giá trị thực nhỏ nhất -relmx đến giá trị thực lớn nhất relmx trong Mtlb, kết quả đều cho m trận M N xác định dương (su khi có M N, sử dụng lệnh rref trong Mtlb, nếu tất cả trị riêng củ M N đều dương thì xác định dương). Nên tác giả tin tưởng rằng với mọi số thực B thì m trận này là m trận xác định dương. Tuy nhiên đó chỉ là phỏng đoán. Tài liệu này chỉ có thể dừng lại ở các kết quả su: Đánh giá thm số B. Từ bất đẳng thức (4.3) ở cuối phần chứng minh trên, suy r nếu: B > sup ξ M,1 (R) 2 ξ i L 2,i 2 ξ i L 2,i L 2 ([,b]) L 2 ([,b]) (4.5) thì m trận M N xác định dương. Nhận xét. Phần giá trị trong sup thực sự khó xác định hoặc đánh giá tốt được. Lưu ý, bất đẳng thức (4.5) cho t một ước lượng củ B phụ thuộc vào N, nên đánh giá này thỏ yêu cầu 1 củ bài toán 8. Nếu lấy supremum trên tập các số 15

nguyên dương một lần nữ thì t sẽ có điều kiện: 2 ξ i L 2,i B > sup sup N Z + ξ M,1 (R) 2 ξ i L 2,i L 2 ([,b]) L 2 ([,b]) (4.6) thỏ mãn yêu cầu 2 củ bài toán 8. Dễ thấy một hệ quả củ điều kiện (4.5) là Nếu B 0 thì M N xác định dương, chính là bài toán 7 ở trên. Điều khó khăn nhất ở đánh giá này chính là khó đánh giá hoặc tính toán được giá trị dưới dấu sup. Nếu có thể làm được điều này thì đánh giá trên thực sự khá giá trị. Hy vọng người đọc bài viết này, nếu có qun tâm, có thể đầu tư thêm vào đánh giá (4.5) và đánh giá (4.6). 5 Viết chương trình Mltb Trong phần này, t sẽ viết chương trình Mltb để mô phỏng nghiệm xấp xỉ củ bài toán giá trị biên (1.1) bằng các công thức ở phần lý thuyết chúng t vừ xây dựng được. Một số điểm cần lưu ý đối với các code Mtlb dưới đây như su: 1. Code Mtlb gồm 2 phần. Một file chính viết lại các công thức cần thiết trong phần lý thuyết, vẽ các nghiệm chính xác, nghiệm xấp xỉ với các bộ test, tính toán si số,... và một file script viết hàm xấp xỉ tích phân bằng phương pháp cầu phương Guss-Legre (Guss-Legre qudrture method). 2. Mục đích chính củ file LGQ.m là xấp xỉ tích phân. Nên t có thể thy thế phương pháp cầu phương Guss bằng các phương pháp xấp xỉ tích phân khác mà không ảnh hưởng đến các file chính. Nhưng vì cần độ chính xác co nên file LGQ.m ở đây sử dụng phương pháp cầu phương Guss- Legre. 3. Code cho phương pháp cầu phương Guss-Legre trong file LGQ.m có thể sử dụng số lượng nút bất kỳ (thm số node) được nhập từ bàn phím. Dưới đây là 2 chương trình Mtlb. 5.1 Code Mtlb cho phương pháp cầu phương Guss- Legre Code Mtlb cho phương pháp cầu pương Guss-Legre xấp xỉ tích phân: function [I]=LGQ(f,N,,b) % This script is for computing definite integrls using Legre- % Guss Qudrture. Computes the Legre-Guss nodes nd weights 16

% on n intervl [,b] with trunction order N % N=N-1; N1=N+1; N2=N+2; xu=linspce(-1,1,n1) ; % Initil guess y=cos((2*(0:n) +1)*pi/(2*N+2))+(0.27/N1)*sin(pi*xu*N/N2); % Legre-Guss Vndermonde Mtrix L=zeros(N1,N2); % Derivtive of LGVM Lp=zeros(N1,N2); % Compute the zeros of the N+1 Legre Polynomil % using the recursion reltion nd the Newton-Rphson method y0=2; % Iterte until new points re uniformly within epsilon of % old points while mx(bs(y-y0))>eps L(:,1)=1; Lp(:,1)=0; L(:,2)=y; Lp(:,2)=1; for k=2:n1 L(:,k+1)=( (2*k-1)*y.*L(:,k)-(k-1)*L(:,k-1) )/k; Lp=(N2)*( L(:,N1)-y.*L(:,N2) )./(1-y.^2); y0=y; y=y0-l(:,n2)./lp; % Liner mp from[-1,1] to [,b] x=(*(1-y)+b*(1+y))/2; % Compute the weights w=(b-)./((1-y.^2).*lp.^2)*(n2/n1)^2; % Compute the pproximtion I=sum(double(subs(f,v)).*w); 5.2 Code Mltb cho bài toán giá trị biên BVP Các bước thực hiện và một số điểm cần lưu ý: 1. Khởi tạo các giá trị cần thiết. như, b, N (có thể nhập từ bàn phím hoặc thy đổi trực tiếp trên code. 2. Phân hoạch đoạn (, b). Đoạn (, b) được chi tùy ý, bằng cách nhập vector chiều dài N 1 chứ các điểm chi cho đoạn (, b) hoặc chi đều. 3. Tạo các bộ test. Hàm u(x) thỏ điều kiện biên u() = u(b) = 0 nên t sẽ sử dụng dạng đơn giản su cho bộ test: u (x) = (x ) (x b) g (x), với g(x) 17

là hàm tùy ý. Hàm f(x) được suy ngược lại bằng f = u + Au + Bu. Do vậy chỉ thy đổi hàm g(x) là có thể tạo bộ test mới. 4. Tạo các hàm Lgrnge cơ sở bậc 2. Sử dụng các công thức (2.7) và (2.8). Sử dụng kỹ thuật heviside để tạo hàm piecewise. Lưu ý một điều ở đây, thực sự t chỉ cần tính các giá trị củ các hàm Lgrnge cơ sở bậc 2 là đủ. Nhưng tác giả muốn sử dụng symbolic, tuy chương trình sẽ chạy chậm hơn rất nhiều, nhưng sẽ mng lại một số kết quả mà cách không sử dụng symbolic không làm được. Chẳng hạn, phương pháp này có thể thu được nghiệm xấp xỉ dưới dạng symbolic và vẽ đồ thị củ cả nghiệm xấp xỉ đó. Trong khi phương pháp không sử dụng symbolic không làm được điều này (chỉ có thể tính giá trị củ nghiệm xấp xỉ tại các node đã chi). 5. Tính A (i) α,β, B(i) α,β, C(i) α,β, D(i) α,β. Tính các biến này bằng các công thức tích phân đã xây dựng ở phần lý thuyết. Sử dụng phương pháp cầu phương Guss-Legre để xấp xỉ các tích phân này. Sử dụng biến E (i+1) α,β để tránh chỉ số 0. = D (i) α,β 6. Tính m trận M N. Sử dụng D (i) α,β vừ tính được, t tính các phần tử củ m trận M N với công thức được xác định ở phần lý thuyết. 7. Giải hệ phương trình MU = F. Thu được vector U với các thành phần là u i, i = 1, 2N 1. 8. Vẽ các đồ thị tương ứng. T sẽ vẽ các đồ thị su: Đồ thị các hàm cơ sở Lgrnge bậc 2. Đồ thị chứ nghiệm chính xác củ bài toán giá trị biên (hàm u trong bộ test) và cácđiểm trên đồ thị củ nó tương ứng tại x i, i = 1, 2N 1. Đồ thị chứ nghiệm xấp xỉ ppro và các điểm trên đồ thị củ nó tương ứng tại x i, i = 1, 2N 1. Đồ thị hàm si số u-ppro 9. Đánh giá si số. Đánh giá trực qun với đồ thị hàm si số u-ppro đã vẽ. Có thể sử dụng các chuẩn thích hợp để đánh giá hàm si số này. 10. Các tho tác khác. Sử dụng các phép toán symbolic khác trên các biến symbolic L, L(2*i), L(2*i+1), ppro cho các mục đích khác. Code Mtlb cho bài toán giá trị biên BVP: cler ll close ll clc formt long % ON APPROXIMATING-SOLUTION OF BOUNDARY VALUE PROBLEM: 18

% (1) -u (x)+au (x)+bu(x)=f(x),for ll x in (,b) % (2) u()=u(b)=0 % BY USING PIECEWISE QUADRATURE LAGRANGE POLYNOMIALS. tic % SOME INITIAL INPUTS. syms x; =0; b=1; N=10; h=(b-)/(2*n); node =10; A=1; B=-1; % CREATE TESTS. % For rbitrry choice of function g(x). g=(sin(x)); u=((x-)*(x-b)*g); f=(-diff(u,x,2)+a*diff(u,x,1)+b*u); X=zeros(1,N-1); brx=zeros(1,2*n-1); % CREATE PARTITION OF [,b]. % You lso cn use the code: % X=input( Input 1x(N-1) vector X= ); % for i=2:(2*n-2) % if (mod(i,2)==0) % brx(i)=x(i/2); % else % brx(i)=1/2*(x((i-1)/2)+x((i+1)/2)); % % % brx(1)=(+x(1))/2; % brx(2*n-1)=(x(n-1)+b)/2; % to crete rbitrry prtition. for :(N-1) X(i)=+2*i*h; for :(2*N-1) brx(i)=+i*h; % DEFINE PIECEWISE QUADRATURE LAGRANGE BASIS. L=sym(zeros(1,2*N-1)); % For even-index piecewise qudrture Lgrnge. 19

for i=2:(n-2) L(2*i)=(heviside(x-X(i-1))*heviside(X(i)-x)*(x-brX(2*i-1))*... (x-brx(2*i-2))/((brx(2*i)-brx(2*i-1))*(brx(2*i)-brx(2*i-2)))... +heviside(x-x(i))*heviside(x(i+1)-x)*(x-brx(2*i+1))*(x-... brx(2*i+2))/((brx(2*i)-brx(2*i+1))*(brx(2*i)-brx(2*i+2)))); % Define L(2) L(2)=(heviside(x-)*heviside(X(1)-x)*(x-brX(1))*(x-)/... ((brx(2)-brx(1))*(brx(2)-))+heviside(x-x(1))*heviside(x(2)-x)... *(x-brx(3))*(x-brx(4))/((brx(2)-brx(3))*(brx(2)-brx(4)))); % Define L(2N-2) L(2*N-2)=(heviside(x-X(N-2))*heviside(X(N-1)-x)*(x-brX(2*N-3))*... (x-brx(2*n-4))/((brx(2*n-2)-brx(2*n-3))*(brx(2*n-2)... -brx(2*n-4)))+heviside(x-x(n-1))*heviside(b-x)*(x-brx(2*n-1))... *(x-b)/((brx(2*n-2)-brx(2*n-1))*(brx(2*n-2)-b))); for :N-2 L(2*i+1)=(heviside(x-X(i))*heviside(X(i+1)-x)*(x-X(i))*... (x-x(i+1))/((brx(2*i+1)-brx(2*i))*(brx(2*i+1)-brx(2*i+2)))); % For odd-index piecewise qudrture Lgrnge. L(2*N-1)=(heviside(x-X(N-1))*heviside(b-x)*(x-X(N-1))*(x-b)/... ((brx(2*n-1)-brx(2*n-2))*(brx(2*n-1)-b))); % Define L(1) L(1)=(heviside(x-)*heviside(X(1)-x)*(x-)*(x-X(1))/((brX(1)-)... *(brx(1)-brx(2)))); % COMPUTE THE COEFFICIENTS A,B,C. % Define E^(k+1)=D^(k) nd compute E(). E00=zeros(1,2*N-1); E01=zeros(1,2*N-1); E02=zeros(1,2*N-1); E10=zeros(1,2*N-1); E11=zeros(1,2*N-1); E12=zeros(1,2*N-1); E20=zeros(1,2*N-1); E21=zeros(1,2*N-1); E22=zeros(1,2*N-1); g=(diff(l(1))*diff(l(1))+a*l(1)*diff(l(1))+b*l(1)*l(1)); E11(1)=LGQ(g,node,,X(1)); g=(diff(l(1))*diff(l(2))+a*l(1)*diff(l(2))+b*l(1)*l(2)); E12(1)=LGQ(g,node,,X(1)); g=(diff(l(2))*diff(l(1))+a*l(2)*diff(l(1))+b*l(2)*l(1)); 20

E21(1)=LGQ(g,node,,X(1)); g=(diff(l(2))*diff(l(2))+a*l(2)*diff(l(2))+b*l(2)*l(2)); E22(1)=LGQ(g,node,,X(1)); for :N-2 g=(diff(l(2*i))*diff(l(2*i))+a*l(2*i)*diff(l(2*i))+b*l(2*i)*l(2*i)); E00(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1)); g=(diff(l(2*i))*diff(l(2*i+1))+a*l(2*i)*diff(l(2*i+1))+b*l(2*i)... *L(2*i+1)); E01(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1)); g=(diff(l(2*i))*diff(l(2*i+2))+a*l(2*i)*diff(l(2*i+2))+b*l(2*i)... *L(2*i+2)); E02(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1)); g=(diff(l(2*i+1))*diff(l(2*i))+a*l(2*i+1)*diff(l(2*i))+b*l(2*i+1)... *L(2*i)); E10(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1)); g=(diff(l(2*i+1))*diff(l(2*i+1))+a*l(2*i+1)*diff(l(2*i+1))+... B*L(2*i+1)*L(2*i+1)); E11(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1)); g=(diff(l(2*i+1))*diff(l(2*i+2))+a*l(2*i+1)*diff(l(2*i+2))+... B*L(2*i+1)*L(2*i+2)); E12(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1)); g=(diff(l(2*i+2))*diff(l(2*i))+a*l(2*i+2)*diff(l(2*i))+... B*L(2*i+2)*L(2*i)); E20(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1)); g=(diff(l(2*i+2))*diff(l(2*i+1))+a*l(2*i+2)*diff(l(2*i+1))+... B*L(2*i+2)*L(2*i+1)); E21(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1)); g=(diff(l(2*i+2))*diff(l(2*i+2))+a*l(2*i+2)*diff(l(2*i+2))+... B*L(2*i+2)*L(2*i+2)); E22(i+1)=LGQ(g,node,X(i),X(i+1)); g=(diff(l(2*n-2))*diff(l(2*n-2))+a*l(2*n-2)*diff(l(2*n-2))+b*l(2*n-2)... *L(2*N-2)); E00(N)=LGQ(g,node,X(N-1),b); g=(diff(l(2*n-2))*diff(l(2*n-2+1))+a*l(2*n-2)*diff(l(2*n-2+1))+... B*L(2*N-2)*L(2*N-2+1)); E01(N)=LGQ(g,node,X(N-1),b); g=(diff(l(2*n-2+1))*diff(l(2*n-2))+a*l(2*n-2+1)*diff(l(2*n-2))+... B*L(2*N-2+1)*L(2*N-2)); E10(N)=LGQ(g,node,X(N-1),b); g=(diff(l(2*n-2+1))*diff(l(2*n-2+1))+a*l(2*n-2+1)*diff(l(2*n-2+1))+... B*L(2*N-2+1)*L(2*N-2+1)); E11(N)=LGQ(g,node,X(N-1),b); 21

% COMPUTE THE MATRIX M. M=zeros(2*N-1,2*N-1); for i=2:n-1 M(2*i,2*i-2)=E20(i); i=0; M(2*i+1,2*i+2)=E12(i+1); M(2*i+1,2*i+2)=E12(i+1); M(2*i+1,2*i+1)=E11(i+1); for :N-2 M(2*i+1,2*i+2)=E12(i+1); M(2*i+1,2*i+2)=E12(i+1); M(2*i+1,2*i+1)=E11(i+1); M(2*i,2*i-1)=E21(i); M(2*i,2*i)=E22(i)+E00(i+1); M(2*i,2*i+1)=E01(i+1); M(2*i+1,2*i)=E10(i+1); M(2*i,2*i+2)=E02(i+1); i=n-1; M(2*i,2*i-1)=E21(i); M(2*i,2*i)=E22(i)+E00(i+1); M(2*i,2*i+1)=E01(i+1); M(2*i+1,2*i)=E10(i+1); M(2*i+1,2*i+1)=E11(i+1); % COMPUTE F F=zeros(2*N-1,1); for :2*N-1 g=(f*l(i)); F(i)=LGQ(g,30,,b); % SOLVE SYSTEM OF EQUATION U=M\F; % PLOT AND TEST. % Plot piecewise qudrture Lgrnge bsis. figure hold on t=:0.01:b; for :2*N-1 if (mod(i,2)==0) plot(t,subs(l(i),t), r ); 22

else plot(t,subs(l(i),t), b ); xlbel( x ); ylbel( y ); leg( piecewise qudrture Lgrnge ); % Plot pproximting points nd exct solution. figure hold on t=:0.01:b; plot(t,subs(u,t), g ); leg( Exct Solution ); for :2*N-1 plot(brx(i),subs(u,brx(i)), b *, MrkerSize,10); xlbel( x ); ylbel( y ); % Plot pproximting solution. figure hold on ppro=sym(0); for :2*N-1 ppro=ppro+u(i)*l(i); plot(t,subs(ppro,t), c ); xlbel( x ); ylbel( y ); leg( Approximting Solution ); for :2*N-1 plot(brx(i),u(i), r *, MrkerSize,10); % ERROR ESTIMATION figure hold on error=u-ppro; for :2*N-1 plot(brx(i),subs(error,brx(i)), r *, MrkerSize,10); plot(t,subs(error,t)); xlbel( x ); ylbel( y ); leg( error ); toc 23

5.3 Bảng đánh giá si số Trong phần này, t kí hiệu nghiệm xấp xỉ là u h = u i L k,i (x) và nội suy củ nghiệm chính xác là Π h u = u(x i )L k,i (x). u u h T đánh giá si số củ phép xấp xỉ với các giá trị u u h L 2, L 2, u L 2 Π h u u h L 2, Π hu u h L 2 Π h u L 2 với chuẩn L 2 được định nghĩ như su: f L 2 = ( f 2 ) 1 2 (5.1) Để thực hiện điều đó, t viết thêm vào su code ở phần (5.2) các dòng su đây: ERROR1=double(sqrt(int((u-ppro)^2,,b))) ERROR2=double(sqrt(int((u-ppro)^2,,b))/sqrt(int((u)^2,,b))) interpoltion=sym(0); for :2*N-1 interpoltion=interpoltion+subs(u,x,brx(i))*l(i); ERROR3=double(sqrt(int((interpoltion-ppro)^2,,b))) ERROR4=double(sqrt(int((interpoltion-ppro)^2,,b))/... sqrt(int((interpoltion)^2,,b))) Với ERROR1, ERROR2, ERROR3, ERROR4 lần lược là các giá trị như đã nói ở trên và ở đây tính tích phân bằng hàm int (symbolic) thy vì xấp xĩ bằng hàm LGQ.m để đảm bảo độ chính xác. Tiến hành chạy cho các giá trị N = 4, 8, 16, 32, t có: N 4 8 16 32 u u h L 2 4.64868487e-04 8.65570446e-05 5.28550230e-05 6.74613235e-05 u u h L 2 u L 2 Π h u u h L 2 Π h u u h L 2 Π h u L 2 0.00510651 9.50817786e-04 5.80605498e-04 7.41053794e-04 5.82394201e-05 6.50150142e-05 5.23980967e-05 6.74557260e-05 6.39911617e-04 7.14193278e-04 5.75586831e-04 7.40992356e-04 Bảng 1: Bảng đánh giá si số. Nhận xét. Khi tăng N lên thì chư chắc độ chính xác cũng tăng. 24

5.4 Các đồ thị thu được Thử code Mtlb trên, với = 0, b = 1, N = 5 và hàm u = x (x 1) sin (x). Thu được các hình vẽ như su Hình 1: Đồ thị các đ thức cơ sở Lgrnge bậc 2. Hình 2: Đồ thị nghiệm chính xác. 25

Hình 3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ. Hình 4: Đồ thị hàm si số. 26

6 Một số ghi chú Trong quá trình thực hiện đề tài này, nhóm có phát hiện và chứng minh một số kết quả thú vị su: 1. Nếu sử dụng đ thức Lgrnge cơ sở bậc n thì m trận thu được su khi thực hiện quá trình xấp xỉ nghiệm củ bài toán giá trị biên bằng phương pháp phần tử hữu hạn như trên, sẽ là m trận (2n + 1)-đường chéo. Nhận xét này dễ dàng chứng minh bằng cách đếm số chỉ số j để L 2,i L 2,j khác 0 với i là chỉ số cố định. Chẳng hạn, nếu sử dụng piecewise liner Lgrnge bsis, m trận M N sẽ là m trận 3-đường chéo. Còn nếu sử dụng piecewise qudrtic Lgrnge bsis, m trận M N sẽ là m trận 5 đường chéo. 2. Giải hệ phương trình nảy sinh trong phương pháp cầu phương Guss- Legre xấp xỉ tích phân với N nút bất kỳ. Lời giải lý thuyết chi tiết ở đây: https://hongnguyenqunb.wordpress.com/2016/05/13/problem-7/ The 27

Tài liệu [1] S. R. Otto, J. P. Denier, An introduction to progrmming nd numericl method in Mtlb, Springer, 2005. [2] Richrd L. Burden, J. Dougls Fires, Numericl Anlysis, Ninth Edition. [3] Mts G. Lrson, Fredrik Bengzon, The Finite Element Method, Theory, Implementtion nd Applictions, Texts in Computtionl Science nd Engineering 10, Springer, 2013. [4] https://hongnguyenqunb.wordpress.com/ [5] http://www.mthworks.com/ 28