Mã số: Khóa:

Transcription

1 TIỂU LUẬN TỔNG QUAN Tên đề tài: Dáng điệu tiệm cận của một số hệ vi phân đa trị trong không gian vô hạn chiều Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: NCS: Đỗ Lân Khóa: Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Trần Đình Kế 1

2 TIỂU LUẬN TỔNG QUAN Tên đề tài:dáng điệu tiệm cận của một số hệ vi phân đa trị trong không gian vô hạn chiều Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: NCS: Đỗ Lân Khóa: Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Trần Đình Kế NỘI DUNG 1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Thuật ngữ hệ vi phân đa trị được dùng để chỉ các bài toán với bao hàm thức vi phân hoặc các phương trình vi phân (đạo hàm riêng) mà tính duy nhất nghiệm của nó bị phá vỡ. Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các hệ vi phân đa trị là một trong những bài toán quan trọng của lý thuyết định tính phương trình vi tích phân. Đối với các bài toán phi tuyến gắn với hệ vi phân đa trị trong các không gian vô hạn chiều, dáng điệu tiệm cận của nghiệm có thể được nghiên cứu thông qua lý thuyết ổn định (stablity) nghiệm hoặc lý thuyết tập hút (attractor) cho nửa dòng đa trị sinh bởi hệ. Lý thuyết ổn định đối với các hệ vi phân trong không gian hữu hạn chiều (ví dụ như với hệ phương trình vi phân thường) hoặc các hệ vi phân hàm đã được nghiên cứu từ những năm đầu của thế kỷ 20 và đạt được những thành tựu quan trọng, điển hình là những kết quả ổn định theo phương pháp Liapunov (xem [48, 49]). Tuy vậy, với các hệ vi phân phi tuyến trong các không gian vô hạn chiều (như đối với phương 2

3 trình đạo hàm riêng phi tuyến), các kết quả về ổn định chưa được biết đến nhiều. Đó là động lực để chúng tôi chọn đề tài này. Trong nội dung luận án này, chúng tôi xét tới hai lớp hệ tiến hóa: Lớp thứ nhất: Toán tử nghiệm có tính chất nửa dòng; Lớp thứ hai: Toán tử nghiệm không có tính chất nửa dòng. Đối với lớp thứ nhất, toán tử nghiệm có tính chất nửa dòng, dáng điệu tiệm cận của lớp này được nghiên cứu qua lý thuyết tập hút. Đối với lớp thứ hai, toán tử nghiệm không có tính chất nửa dòng, chúng tôi sử dụng lý thuyết ổn định, các phương pháp điểm bất động cho ánh xạ nén, phương pháp hàm Lyapunov. 1.1 Sự tồn tại tập hút cho nửa dòng đa trị Trong luận án này, đối với lớp bao hàm thức mà toán tử nghiệm có tính chất nửa dòng, chúng tôi xét một hệ cụ thể sau u (t) Au(t) + F (u(t), u t ), t 0, (1.1) u(s) = ϕ(s), s [ h, 0], (1.2) ở đây u là hàm nhận giá trị trong không gian Banach X, u t là hàm trễ, tức là u t (s) = u(t + s) với s [ h, 0], F là một hàm đa trị xác định trên một tập con của X C([ h, 0], X). Trong bài toán này, A : D(A) X X là một toán tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida, tức là tồn tại các hằng số M > 0, ω R sao cho (ω, + ) ρ(a) (giải thức của A) mà (λi A) n L(X) M (λ ω) n, λ > ω, trong đó L(X) là chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn trên X. Như ta đã biết, có nhiều lược đồ lý thuyết và kết quả về sự tồn tại tập hút cho các nửa dòng sinh bởi các hệ vi phân mà nghiệm của chúng là duy nhất ([50, 51, 52, 53]). Đối với các hệ vi phân mà tính duy nhất nghiệm không được đảm bảo, ví dụ như 3

4 lớp bài toán này của chúng ta, có hai phương pháp thường được sử dụng nhất, đó là phương pháp Nửa dòng tổng quát (được đưa ra bởi Ball trong [6, 7]) và phương pháp nửa dòng đa trị (được đưa ra bởi Melnik và Valero trong [22]). Những đánh giá, so sánh về hai phương pháp này được nêu trong [14]. Trong tất cả các lược đồ này, có một bước rất quan trọng trong việc chứng minh tồn tại tập hút đó là chỉ ra tính compact tiệm cận của nửa dòng. Thông thường, tính chất này thỏa mãn nếu nửa dòng sinh bởi thành phần chính (ví dụ, trong bài này là S ( )) là compact. Tuy nhiên, với các hệ đạo hàm riêng trong miền không bị chặn thì yêu cầu như trên là không thực tế. Để khắc phục khó khăn này, chúng tôi sử dụng cách tiếp cận bằng các ước lượng cho độ đo không compact. Gọi G(t, ) là nửa dòng đa trị sinh bởi (1.9)-(1.10), nghĩa là G(t, ϕ) = {u t : u(, ϕ) là một nghiệm tích phân của (1.9)-(1.10)}, và G T = G(T, ) với T > h, là toán tử dịch chuyển. Ta sẽ chứng minh G T là nén. Tính chất này giúp chúng ta chứng minh tính tiệm cận compact của G. Trong bài toán này, nửa nhóm S ( ) được giả thiết là liên tục theo chuẩn, chứ không cần compact. Hơn nữa, nhờ các ước lượng dựa vào bất đẳng thức Halanay, chúng tôi cũng thu được tính chất tán xạ bị chặn của G dưới các giả thiết nhẹ hơn nhiều so với các giả thiết đưa ra trong [29]. Với bài toán (1.1)-(1.2), trong trường hợp F là hàm đơn trị, sự tồn tại tập hút toàn cục đã được chứng minh trong [29]. Ngoài ra, kết quả tương tự cho trường hợp trễ vô hạn được chứng minh trong [9]. Trong cả hai nghiên cứu này, các tác giả đều cần tới hai giả thiết quan trọng, 1. nửa nhóm S ( ) là nửa nhóm compact; 2. F là một ánh xạ Lipschitz. Ở đây, chúng tôi cố gắng giảm nhẹ các giả thiết cho trường hợp trễ hữu hạn. Đặc biệt, nếu S ( ) là không compact, chúng tôi giả thiết F thỏa mãn tính chất chính quy được biểu diễn dưới dạng độ đo không compact (MNC). Rất may mắn, nếu 4

5 F = F 1 + F 2, trong đó F 1 là hàm Lipschitz đơn trị, F 2 là hàm đa trị compact thì tính chất được đề cập ở trên được thỏa mãn. Chúng tôi cũng phải chú ý rằng, bài toán này của chúng tôi được xét dưới dạng bao hàm thức vi phân, nó không chỉ là một sự mở rộng tổng quát của mô hình phương trình, mà ta còn có thể coi nó như một bài toán điều khiển mà ở đó, hàm điều khiển được cho dưới dạng phản hồi. 1.2 Ổn định nghiệm của các lớp hệ tiến hóa mà toán tử nghiệm không có tính chất nửa nhóm Trong trường hợp này, chúng ta không thể sử dụng lý thuyết tập hút mà phải sử dụng lý thuyết ổn định để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm hệ. Trong luận án này, chúng tôi đi sâu vào nghiên cứu một lớp phương trình vi phân bậc phân số và một lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số. Với phương trình, chúng tôi nghiên cứu bài toán sau trong không gian Banach X: C D0 α u(t) = Au(t) + f(t, u(t), u s ), t t k, t k (0, + ), k Λ, (1.3) u(t k ) = I k (u(t k )), (1.4) u(s) + g(u)(s) = ϕ(s), s [ h, 0], (1.5) trong đó C D0 α, α (0, 1), là đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, A là toán tử tuyến tính đóng trong X sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh W ( ), Λ N, f là một hàm đơn trị, g là hàm không cục bộ và I k là hàm xung. Trong bài toán này, u t là hàm trễ, t, tức là u t (s) = u(t + s), s [ h, 0]. Dễ thấy rằng, bài toán (1.3)-(1.5) chứa nhiều lớp quan trọng của bài toán Cauchy trong phương trình vi phân. Trường hợp α = 1, bài toán với điều kiện không cục bộ và có xung đã được nghiên cứu rất nhiều. Như chúng ta đã biết, điều kiện không cục bộ mô tả các mô hình thực tế tốt hơn so với điều kiện ban đầu cổ điển. Ví dụ, ta xét một kiểu điều kiện không cục bộ dạng M u(s) + c i u(τ i, s) = ϕ(s) i=1 5

6 cho phép thêm vào một độ đo một số độ đo khác. Kết quả đầu tiên và có ý nghĩa vật lý về phương trình không cục bộ có thể kể đến là [34]. Từ đó, hàng loạt các bài toán không cục bộ cho phương trình vi phân cũng như bao hàm thức bắt đầu được quan tâm và giải quyết. Mặt khác, điều kiện xung được sử dụng để mô tả những hệ động lực có sự thay đổi đột ngột. Một cuốn chuyên khảo khá đầy đủ về phương trình vi phân có xung là [31]. Nhờ sự phát triển của giải tích bậc phân số và các ứng dụng của đạo hàm bậc phân số (có thể xem trong [30, 37, 39, 45]), nhiều hệ vi phân bậc nguyên đã được mở rộng thành các mô hình bậc phân số. Về cách phát triển này, ta có thể tìm thấy trong các nghiên cứu [40, 41, 42, 43]. Có một thực tế rằng, mặc dù tính giải được cho hệ vi phân (1.3)-(1.5) nhận được nhiều sự quan tâm, tuy nhiên việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm lại gần như chưa có kết quả nào đáng kể. Đó là động lực chính của chúng tôi trong nghiên cứu này. Để nghiên cứu tính ổn định của bài toán, cách tiếp cận của chúng tôi là phương pháp điểm bất động được đề xuất bởi Burton và Furumochi cho phương trình vi phân/phương trình vi phân hàm (trong [32, 33]). Ý tưởng chính của phương pháp này là xây dựng một tập con bất biến, mà ở đó toán tử nghiệm có duy nhất điểm bất động. Với cách tiếp cận này, chúng tôi sẽ chứng minh nghiệm tầm thường của hệ (1.3)-(1.5) là BI-ổn định tiệm cận, tức là u(t) 0 khi t + với điều kiện ban đầu bị chặn ϕ. Mở rộng sang trường hợp bao hàm thức, chúng tôi nghiên cứu bài toán sau: C D α 0 u(t) Au(t) F (t, u(t), u t ), t t k, t k (0, + ), k Λ, (1.6) u(t k ) = I k (u(t k )), (1.7) u(s) + g(u)(s) = ϕ(s), s [ h, 0], (1.8) ở đây, F là một hàm đa trị. Bài toán này là mở rộng của bài toán (1.3)-(1.5) sang trường hợp đa trị. Với bài toán (1.6)-(1.7), ngoài việc nghiên cứu tính giải được và sự tồn tại nghiệm 6

7 phân rã, chúng tôi sẽ cố gắng nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm phân rã trong một số trường hợp đặc biệt. 1.3 Nghiệm đối tuần hoàn cho bao hàm thức vi phân dạng Polytope Bài toán đối tuần hoàn được biết như một công cụ để mô tả các quá trình vật lý (xem [54, 55, 56]), vì lí do đó, bài toán chứng minh sự tồn tại của nghiệm đối tuần hoàn cho các hệ tiến hóa tuyến tính và phi tuyến tổng quát đã được quan tâm rất nhiều, đặc biệt là trong vài thập kỷ gần đây, bắt nguồn từ các nghiên cứu của Okochi ([57, 58, 59]). Gần đây, Z.H. Liu [63] nghiên cứu bài toán đối tuần hoàn của một lớp phương trình tiến hóa phi tuyến trong không gian Banach phản xạ và đã thu được các kết quả về tồn tại nghiệm bằng cách áp dụng lý thuyết nhiễu loạn giả đơn điệu của các ánh xạ đơn điệu cực đại. Y. Wang [65] sử dụng lý thuyết toán tử tiến hóa để nghiên cứu phương trình tiến hóa không ô-tô-nôm nửa tuyến tính sau u (t) = A(t)u(t) + f(t, u(t)), t R trong không gian Banach. Dưới những giả thiết về tán xạ, Wang đã chứng minh được một định lý dạng Yoshizawa. Năm 2011, Quing Liu, [64] nghiên cứu bài toán u (t) = Au(t) + f(t, u(t)), t R với điều kiện đối tuần hoàn trong không gian Banach X với điều kiện hyperbolic của nửa nhóm sinh bởi A. Bằng cách tiếp cận lý thuyết nửa nhóm, Liu đã chứng minh được sự tồn tại của nghiệm đối tuần hoàn thông qua các định lý điểm bất động Schauder và nguyên lý ánh xạ co Banach. Từ công trình này của Liu, xuất hiện hàng loạt các kết quả về nghiệm đối tuần hoàn sử dụng lý thuyết nửa nhóm, điển hình là các kết quả trong [66, 67, 68, 69]. Tuy nhiên, tất cả các kết quả được biết cho đến nay của bài toán nghiệm đối tuần hoàn chỉ là ở dạng phương trình, và trong hầu hết các kết quả, các tác giả 7

8 đều giả thiết thành phần phi tuyến ở vế phải thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Từ đó, chúng tôi đề xuất bài toán u (t) Au(t) + F (t, u(t)), t R, (1.9) u(t + T ) = u(t), t R (1.10) trong đó, u nhận giá trị trong không gian Banach X, F (t, u(t)) = conv{f 1 (t, u(t)),, f n (t, u(t))}, ở đây conv là bao lồi đóng trong không gian hàm, A là một toán tử Hille-Yosida có miền xác định D(A) không trù mật, tức là D(A) X và thành phần A trong D(A) sinh ra một nửa nhóm hyperbolic. Như ta đã biết, trong bài toán điều khiển có phản hồi, hàm điều khiển thường được chọn trong một tập, tập đó thường có dạng polytope, do đó, bài toán chúng ta đang xét có thể coi như một mô hình của bài toán điều khiển. Bài toán này của chúng tôi là một mở rộng sang trường hợp đa trị của các bài toán trước đó, hơn nữa trong bài toán này, chúng tôi sẽ bỏ đi giả thiết Lipschitz ở vế phải, thay bằng một điều kiện yếu hơn rất nhiều, được biểu diễn dưới dạng độ đo không compact. Ngoài ra, do toán tử A có miền xác định không trù mật, tức là A không sinh ra một nửa nhóm, trong bài toán này, chúng tôi giả thiết A sinh ra một nửa nhóm tích phân. Thậm chí ở đây, chúng tôi không cần tới giả thiết S ( ) là một nửa nhóm liên tục theo chuẩn mà chỉ cần S ( ) là một C 0 -nửa nhóm có tính chất hyperbolic. 2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận án này tập trung nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ vi phân đa trị theo cách tiếp cận của lý thuyết ổn định và lý thuyết tập hút. Đối tượng nghiên cứu là các bài toán với phương trình vi phân-đạo hàm riêng phi tuyến hoặc các bao hàm thức vi phân, cụ thể ở đây là bài toán với phương trình-bao hàm thức vi phân bậc phân số và các bao hàm thức vi phân với toán tử vi phân đa trị 8

9 có tính chất tiêu hao. 3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu của Luận án là "Dáng điệu tiệm cận của một số hệ vi phân đa trị trong không gian vô hạn chiều", cụ thể ở đây là các phương trình/bao hàm thức vi phân bậc phân số và bao hàm thức vi phân mà phần tuyến tính của nó sinh ra một nửa nhóm tích phân. Phạm vi nghiên cứu của Luận án bao gồm các nội dung sau: Nội dung 1: Phương trình vi phân bậc phân số có xung, có trễ hữu hạn với điều kiện không cục bộ Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm; Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm BI-ổn định; Đưa ra một số ví dụ minh họa cho kết quả trừu tượng đã chứng minh được. Nội dung 2: Bao hàm thức vi phân bậc phân số có xung, trễ hữu hạn với điều kiện không cục bộ Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm; Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm phân rã; Đánh giá tốc độ ổn định của nghiệm trong trường hợp không có điều kiện xung; Đưa ra ví dụ minh họa cho kết quả trừu tượng đã chứng minh được Nội dung 3: Bao hàm thức vi phân với toán tử Hille-Yosida Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm; Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục; 9

10 Đưa ra các ví dụ minh họa cho kết quả trừu tượng. Nội dung 4: Nghiệm đối tuần hoàn cho bao hàm thức vi phân Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho bao hàm thức vi phân; Đưa ra các ví dụ minh họa cho kết quả trừu tượng. 4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để nghiên cứu tính giải được, chúng tôi sử dụng các định lý điểm bất động cho ánh xạ nén. Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm, chúng tôi sử dụng hai phương pháp: Với hệ mà toán tử nghiệm sinh ra nửa dòng, chúng tôi sử dụng lý thuyết tập hút. Cụ thể ở đây, chúng tôi sử dụng lược đồ của Melnik và Valero đưa ra năm 1998 ([22]). Đầu tiên, ta đưa ra khái niệm nửa dòng đa trị sinh bởi hệ vi phân, sau đó chứng minh sự tồn tại tập hấp thụ bị chặn và tính tiệm cận compact của nửa dòng G. Với các hệ mà toán tử nghiệm không có tính chất nửa dòng, chúng tôi tiếp tục sử dụng lý thuyết ổn định. Cụ thể, trong trường hợp phương trình vi phân bậc phân số, để nghiên cứu tính ổn định của bài toán, cách tiếp cận của chúng tôi là phương pháp điểm bất động được đề xuất bởi Burton và Furumochi cho phương trình vi phân/phương trình vi phân hàm (trong [32, 33]). Ý tưởng chính của phương pháp là xây dựng một tập con bất biến, mà ở đó toán tử nghiệm có duy nhất điểm bất động. Với các trường hợp bao hàm thức vi phân bậc phân số, chúng tôi sử dụng các ước lượng cho độ đo không compact, chứng minh toán tử nghiệm là toán tử nén trong không gian các hàm phân rã, rồi sau đó sử dụng các định lý điểm bất động cho ánh xạ nén. 10

11 5 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây: Đối với lớp phương trình vi phân bậc phân số có xung, có trễ hữu hạn với điều kiện không cục bộ: Chứng minh được sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán. Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất của nghiệm BI-ổn định Đối với lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số có xung, có trễ hữu hạn với điều kiện không cục bộ: Chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bao hàm thức. Chứng minh được sự tồn tại của nghiệm phân rã trong trường hợp tổng quát. Đối với trường hợp không có xung, chứng minh được sự tồn tại của nghiệm phân rã với tốc độ đa thức. Đối với lớp bao hàm thức vi phân mà phần tuyến tính sinh bởi toán tử Hille- Yosida: Chứng minh được sự tồn tại nghiệm yếu. Chứng minh được sự tồn tại của một tập hút toàn cục compact. Đưa ra được một vài lớp bài toán cụ thể minh họa cho kết quả trừu tượng. Đối với bao hàm thức với điều kiện đối tuần hoàn: Chứng minh được sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn của bài toán. Chỉ ra các lớp ví dụ minh họa cho kết quả trừu tượng. Các kết quả của luận án là mới, là những đóng góp ý có ý nghĩa cho lý thuyết ổn định, lý thuyết tập hút cho các hệ vi phân đa trị trong không gian Banach tổng quát, bao hàm nhiều lớp bài toán với phương trình đạo hàm riêng phi tính. Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên các tạp chí khoa học chuyên ngành, 02 bài đã hoàn thành và chuẩn bị gửi đăng. Các nội dung chính trong luận án đã được báo cáo tại: Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Đại hội Toán học toàn quốc, Nha Trang,

12 Tài liệu [1] M. Adimy, H. Bouzahir, K. Ezzinbi, Local existence and stability for some partial functional differential equations with infinite delay, Nonlinear Anal. 48 (2002), [2] M. Adimy, M. Laklach, K. Ezzinbi, Non-linear semigroup of a class of abstract semilinear functional differential equations with a non-dense domain, Acta Math. Sinica, Engl. Ser. Mar. (Engl. Ser.) 20 (5) (2004), [3] R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhäuser, Boston- Basel-Berlin, [4] C.T. Anh, N.M. Chuong, T.D. Ke, Global attractors for the m-semiflow generated by a quasilinear degenerate parabolic equation, J. Math. Ana. Appl, 363 (2010) [5] C.T. Anh, T.D. Ke, On quasilinear parabolic equations involving weighted p- Laplacian operators, Nonlinear Differ. Equa. Appl. 17 (2010), [6] J.M. Ball, Continuity properties and global attractor of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations, J. Nonlinear Sci. 7 (1997), [7] J.M. Ball, Global attractor for damped semilinear wave equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. 10 (2004), [8] D. Bothe, Multivalued Perturbations of m-accretive Differential Inclusions, Israel J. Math 108 (1998), [9] H. Bouzahir, H. You, R. Yuan, Global attractor for some partial functional differential equations with infinite delays, Funkcialaj Ekvacioj 54(2011),

13 [10] T. Caraballo, P. E. Kloeden, Non-autonomous attractor for integro-differential evolution equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 2 (2009), [11] N.M. Chuong, T.D. Ke, Generalized Cauchy problem involving nonlocal and impulsive conditions, J. Evol. Equations 12 (2012), [12] V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik, Attractors for Equations of Mathematics Physics, American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 49, American Mathematical Society, Providence [13] V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik, Evolution equations and their trajectory attractors, J. Math. Pures Appl. 76 (1997), [14] T. Caraballo, P. Marin-Rubio, J.C. Robinson, A comparision between to theories for multi-valued semiflows and their asymptotic behaviour. Set Valued Anal. 11 (2003), [15] G. Da Prato and E. Sinestrari, Differential Operators with Non-Dense Domain, Ann. Sc. Norm. Pisa, 14 (1987), [16] K.-J. Engel, R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations. With contributions by S. Brendle, M. Campiti, T. Hahn, G. Metafune, G. Nickel, D. Pallara, C. Perazzoli, A. Rhandi, S. Romanelli and R. Schnaubelt. Graduate Texts in Mathematics, 194. Springer-Verlag, New York, [17] L. Górniewicz, M. Lassonde, Approximation and fixed points for compositions of R δ -maps. Topology Appl. 55 (3) (1994), [18] A. Halanay, Differential Equations, Stability, Oscillations, Time Lags, Academic Press, New York and London [19] M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol. 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York,

14 [20] T.D. Ke, N.C. Wong, Long time behavior for a model of porous-medium equations with variable coefficients, Optimization 60:6 (2011), [21] H. Kellerman, M. Hieber, Integrated semigroup, J. Funct. Anal. 84(1989), [22] V.S. Melnik, J. Valero, On attractors of Multivalued Semi-Flows and Differential Inclusions, Set-Valued Analysis 6 (1998), [23] V. Obukhovskii, J.-C. Yao, On impulsive functional differential inclusions with Hille-Yosida operators in Banach spaces, Nonlinear Analysis, 73 (2010), [24] R. Temam, Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag, [25] H.R. Thieme, Semiflows generated by Lipschitz perturbations of non-densely defined operators, Differential Integral Equations 3(6), 1990, [26] J. Valero, Finite and Infinite-Dimensional Attractor of Multivalued Reaction- Diffusion Equations, Acta Math. Hungar., 88:3 (2000), [27] J. Valero, Attractors of parabolic equations without uniqueness, J. Dynam. Differential Equations 13 (2001), [28] I.I. Vrabie, C 0 -semigroups and applications, North-Holland Mathematics Studies, 191. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, [29] H. You, R. Yuan, Global attractor for some partial functional differential equations with finite delay, Nonlinear Anal. 72 (2010), [30] E.G. Bajlekova, Fractional Evolution Equations in Banach Spaces, PhD Thesis, Eindhoven University of Technology,

15 [31] M. Benchohra, J. Henderson, S. Ntouyas, Impulsive Differential Equations and Inclusions, In: Contemporary Mathematics and its Applications, Vol. 2. Hindawi, New York, [32] T.A. Burton, Stability by Fixed Point Theory for Functional Differential Equations, Dover Publications, New York, [33] T.A. Burton, T. Furumochi, Fixed points and problems in stability theory for ordinary and functional differential equations, Dyn. Sys. Appl. 10 (2001), [34] L. Byszewski, Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem, J. Math. Anal. Appl. 162 (1991), [35] T.D. Ke, V. Obukhovskii, N.-C. Wong, J.-C. Yao, On semilinear integrodifferential equations with nonlocal conditions in Banach spaces, Abstract and Applied Analysis, Volume 2012 (2012), Article ID , 26 pages. [36] T.D. Ke, D. Lan, Decay integral solutions for a class of Impulsive Fractional differential equations in Banach spaces, Fractional Calculus and Applied Analysis, Volume 17, Number 1 (2014), [37] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam, [38] V. Lakshmikantham, D.D. Bainov, P. S. Simeonov, Theory of impulsive differential equations, World Scientific Publishing Co., Inc., Teaneck, NJ, [39] K. S. Miller, B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York,

16 [40] L. Hu, Y. Ren, R. Sakthivel, Existence and uniqueness of mild solutions for semilinear integro-differential equations of fractional order with nonlocal conditions, Semigroup Forum 79 (2009), [41] G.M. N Guérékata, A Cauchy problem for some fractional abstract differential equation with nonlocal conditions, Nonlinear Anal. 70 (2009), [42] Y. Zhou, F. Jiao, Nonlocal Cauchy problem for fractional evolution equations, Nonlinear Anal.: RWA 11 (2010), [43] Y. Zhou, F. Jiao, Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations, Comp. Math. Appl. 59 (2010), [44] N.T.Anh and T.D.Ke, Decay integral solutions for neutral fractional differential equations with infinite delays, Mathematical Methods in the Applied Sciences (2014), accept for publication. [45] I. Podlubny, Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications, Mathematics in Science and Engineering Sandiego, CA: Academic Press, [46] T.I. Seidman, Invariance of the reachable set under nonlinear perturbations, SIAM J. Control Optim. 25 (5) (1987), [47] R.-N. Wang, D.-H. Chena, T.-J. Xiao, Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators, J. Differential Equations 252 (2012), [48] R.D. Driver Ordinary and Delay Differential Equations, Springer-Verlag, New York Inc., [49] J.K. Hale, S.M. Verduyn Lunel, Introduction to Functional Differential Equations, Springer, [50] R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd ed., Springer-Verlag, New York,

17 [51] V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik, Attractors for Equations of Mathematical Physics, American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 49, American Mathematical Society, Providence [52] J. K. Hale, R.D. Driver Asymptotic Behavior of Dissipative Systems, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 25, Amer. Math. Soc., Providence, [53] G. Raugel, Global Attractors in Partial Differential Equations, In Handbook of dynamical systems,, Vol. 2, pp , North - Holland, Amsterdam, [54] M.T. Batchelor, R.J. Baxter, M.J. O Rourke, C.M. Yung, Exact solution and interfacial tension of the six-vertex model with anti-periodic boundary conditions, J. Phys. A 28 (1995) [55] L.L. Bonilla, F.J. Higuera, The onset and end of the Gunn effect in extrinsic semiconductors, SIAM J. Appl. Math. 55 (1995) [56] D.S. Kulshreshtha, J.Q. Liang, H.J.W. Muller-Kirsten, Fluctuation equations about classical field configurations and supersymmetric quantum mechanics, Ann. Physics 225 (1993) [57] H. Okochi, On the existence of periodic solutions to nonlinear abstract parabolic equations, J. Math. Soc. Japan 40 (1988) [58] H. Okochi, On the existence of anti-periodic solutions to a nonlinear evolution equation associated with odd subdifferential operators, J. Funct. Anal. 91(1990) [59] H. Okochi, On the existence of anti-periodic solutions to nonlinear parabolic equations in noncylindrical domains, Nonlinear Anal. 14 (1990) [60] A. Haraux Anti-periodic solutions of some nonlinear evolution equations, Manuscripta Math. 63 (1989),

18 [61] A.R. Aftabizadeh, N.H. Pavel, and Y.K. Huang, Anti-periodic oscillations of some second-order di R erential equations and optimal control problems, J. Comp. Appl. Math. 52 (1994), [62] S. Aizicovici and N.H. Pavel, Anti-periodic solutions to a class of nonlinear differential equations in Hilbert space, J. Funct. Anal. 99 (1991), [63] Z.H. Liu, Anti-periodic solutions to nonlinear evolution equations, J. Funct. Anal. 258 (2010), [64] Q. Liu, Existence of anti-peroidic mild solution for semilinear evolution equation,j. Math. Anal. Appl. 377 (1) (2011), [65] Y. Wang, Antiperiodic solutions for dissipative evolution equations, Mathematical and Computer Modelling, 51 (2010), [66] R. N. Wang, D. H. Chen, Anti-periodic problem to semilinear partial neutral evolution equations, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 16 (2013), [67] G.M. N Guérékata, V. Valmorin, Antiperiodic solutions of semilinear integrodifferential equations in Banach spaces, Appl. Math. Comput. 218 (2012) [68] Y. Chen, D. O Regan, R.P. Agarwal, Anti-periodic solutions for semilinear evolution equations in Banach spaces, J. Appl. Math. Comput. 38 (2012) [69] J. H. Liu et al Existence of anti-periodic mild solutions to semilinear nonautonomous evolution equations, J. Math. Anal. Appl, 16 (2015), 18