Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov. Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov

Transcription

1 Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov Ljubljana, 2015

2 CIP Kataloºni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjiºnica, Ljubljana (082)( ) Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov[elektronski vir] : Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov/ [urednika] Matjaº Krnc, Riste krekovski. - El. knjiga. - Ljubljana : samozal. R. krekovski, 2015 Na in dostopa (URL): Gradiva/Zborniki/IPATG.pdf ISBN (pdf) 1. Krnc, Matjaº,

3 Seminarske naloge iz tega zbornika so nastale v okviru razli nih predmetov na Fakulteti za matematiko in ziko, v letih Zbornik je pedago²ke narave, namen je bralcu ponuditi nekatere zanimive teme iz diskretne matematike v slovenskem jeziku. Vsebina poglavij iz tega zbornika sledi priznanim objavljenim lankom ter knjigam v angle²kem jeziku. Nekatere seminarske naloge so z namenom ve je preglednosti urejene in/ali zdruºene. Za izdelavo seminarskih nalog se zahvaljujemo ²tudentom: Gasper Azman, Ma²a Ba² arevi, Klavdija Jagar, Bojana Jagodi, Mojca Longar, Mojca Luk²i, Vesna Pavlovi, Barbka Podbregar, Jernej Rus, Gregor Senica, Katarina Stupica, Teja egula, Ur²a olinc in Jaka peh.

4 Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov Urednika: Samozaloºba: Oblikovanje: Matjaº Krnc, Riste krekovski Riste krekovski Matjaº Krnc ISBN: Ljubljana, September 2015

5 Kazalo 1 Spektralna teorija grafov Uvod Karakteristi ni polinom Spekter neusmerjenih grafov Regularni gra Komplementi Sprehodi Premer Vpeta drevesa Dvodelni gra Izra un spektra poti z uporabo Heilbronnerjeve formule Povezanost Spekter nekaterih grafov Graf povezav Kartezi ni produkt Kroneckerjev produkt in dvodelna podvojitev Cayleyevi gra Napredni koncepti ter numeri ne metode v spektralni teoriji grafov Temeljne lastnosti Spekter grafa Laplaceova matrika Normalizirana Laplaceova matrika Primerjava spektrov Primeri spektrov Numeri ne metode Metode za izra un lastnih vrednosti majhnih polnih matrik Metode za izra un nekaj lastnih vrednosti velike razpr²ene matrike Podgra in operacije na grah Izrek o prepletanju Grafting Operacije na grah Meje parametrov grafa Dokaz izreka Spektralna teorija grafov 49 5

6 6 KAZALO 4 Laplaceova matrika grafa in izrek o ²tevilu vpetih dreves grafa Uvod Laplaceova matrika Vpeta drevesa Risanje velikih grafov s pomocjo linearne algebre Denicije Klasi ni MDS Pivot MDS Izbira pivotov Implementacija Prevodnost grafa, risanje 3-povezanih ravninskih grafov in posplo²ena Laplaceova matrika Prevodnost grafa Kako narisati 3-povezan ravninski graf Poslo²ena Laplaceova matrika Dodatek O energiji, povezanosti in lastnih vrednostih grafa Pomembno predznanje Predstavitve grafa Energija in lastne vrednosti grafa Povezanost Prepletanje Energija grafa nikoli ni kvadratni koren lihega ²tevila Uvod Osnovne stvari Kroneckerjev produkt matrik Lastnosti lastnih vrednosti grafov Energija grafa in ²tevila Zaklju ek Kubi ni simetri ni gra Za etne denicije Kubi ni simetri ni gra Minimalni regularni gra z dano oºino Razdaljno tranzitivni gra Minimalni regularni gra z dano oºino Zaklju ek

7 Poglavje 1 Spektralna teorija grafov Bojana Jagodi, Vesna Pavlovi 1.1 Uvod Najprej spoznajmo nekaj osnovnih denicij, ki jih bomo uporabljali v nadaljevanju. Naj bo Γ graf z mnoºico vozli² V = {v 1,..., v n } in mnoºico povezav E = {e 1,..., e m }. Matrika sosednosti grafa Γ je enaka pri emer velja: Inciden na matrika grafa Γ je pri emer je: A(Γ) = a ij = M(Γ) = Velja ²e, da je vsota po i-ti vrstici enaka a a 1n.. a n1... a nn { 1; vi v j, 0; sicer. b b 1m.. b n1... b nm,, { 1; vi kraji² e povezave e b ij = j, 0; sicer. m b ij = deg(v i ), j=1 vsota po j-tem stolpcu pa je n b ij = 2. i=1 7

8 8 POGLAVJE 1. SPEKTRALNA TEORIJA GRAFOV Za Laplaceovo matriko L grafa Γ velja, da je l xy = a xy za x y in l xx je stopnja vozli² a x. Torej velja, da je L = D A. Absolutno Laplaceova matrika je enaka L = D + A, oziroma l xy = a xy za x y in l xx je stopnja vozli² a x Karakteristi ni polinom Naj bo Γ usmerjeni graf na n to kah. Za poljuben usmerjeni podgraf C grafa Γ, ki je unija usmerjenih ciklov, naj bo c(c) ²tevilo njegovih ciklov. Potem lahko karakteristi ni polinom p A (t) = det(ti A) grafa Γ raz²irimo na c i t n i, kjer je c i = C ( 1)c(C), kjer C te e ez vse regularne usmerjene podgrafe z vhodno in izhodno stopnjo 1 na i to kah. To je resni no samo reformulacija denicije determinante matrike det(m) = σ sgn(σ)m 1σ(1) M nσ(n). Pomnimo, da ko je permutacija σ z n i negibnimi to kami zapisana kot produkt neidenti nih ciklov, je njen predznak enak ( 1) e, kjer je e ²tevilo sodih ciklov v tem produktu. Ker je ²tevilo lihih neidenti nih ciklov kongruentno i (mod 2), je sgn(σ) = ( 1) i+c(σ). Na primer, usmerjen trikotnik ima c 0 = 1, c 3 = 1. Usmerjene povezave, ki ne nastopajo v usmerjenem ciklu, ne vplivajo na (navaden) spekter. Enak opis karakteristi nega polinoma p A (t) velja tudi za neusmerjene grafe (z vsako povezavo gledano kot par nasprotnih usmerjenih povezav). Ker je d dθ det(θi A) = det(θi A x ), x kjer je A x podmatrika matrike A, ki jo dobimo, e zbri²emo vrstico in stolpec x, sledi, da je p A (θ) vsota karakteristi nih polinomov vseh podgrafov Γ z enim izbrisanim vozli² em. 1.2 Spekter neusmerjenih grafov Naj bo Γ enostaven neusmerjen graf na n vozli² ih. Ker je A realna in simetri na, so vse lastne vrednosti realne. Prav tako, za vsako lastno vrednost θ njena algebrai na ve kratnost sovpada z njeno geometri no ve kratnostjo, tako da lahko opu² amo adjunktivnost in govorimo samo o ve kratnosti. Konjugirana algebrai na ²tevila imajo enako ve kratnost. Ker ima A ni elno diagonalo je sl (A) in zato tudi vsota lastnih vrednosti enaka ni. Podobno je L realna in simetri na, tako da je Laplaceov spekter realen. e ve, ker je L pozitivna semidenitna in singularna, si lahko lastne vrednosti ozna imo z µ 1,..., µ n, kjer je 0 = µ 1 µ 2 µ n. Vsota teh lastnih vrednosti je enaka sl (L), kar je dvakrat toliko kot ²tevilo povezav v Γ. Tudi L ima realni spekter in nenegativne lastne vrednosti (ampak ni nujno singularna). Velja sl ( L ) = sl (L).

9 1.2. SPEKTER NEUSMERJENIH GRAFOV Regularni gra Grafu Γ re emo regularni graf stopnje k, e ima vsako vozli² e natanko k sosedov. Torej, Γ je regularen graf stopnje k, natanko tedaj ko ima njegova matrika sosednosti vsoto vseh elementov poljubne vrstice enako k, tj. ko je A1 = k1 (ali AJ = kj). ƒe je Γ regularen graf stopnje k, potem za vsako lastno vrednost θ velja θ k. En na in, da to vidimo, je z opazko, da e je t > k, potem je matrika ti A strogo diagonalno dominantna in zato nesingularna, tako da t ni lastna vrednost matrike A. ƒe je Γ regularen graf stopnje k, potem je L = ki A. Sledi, da e ima Γ navadne lastne vrednosti k = θ 1 θ n in Laplaceove lastne vrednosti 0 = µ 1 µ 2 µ n, potem je θ i = k µ i za i = 1,..., n. Lastne vrednosti matrike L = ki+a so 2k, k+θ 2,..., k+θ n Komplementi Komplement Γ grafa Γ je graf z isto mnoºico vozli² kot Γ, kjer sta dve razli ni vozli² i sosednji, natanko tedaj ko nista sosednji v Γ. Torej, e je A matrika sosednosti za Γ, potem ima Γ matriko sosednosti enako A = J I A (kjer je J matrika samih enic) in Laplaceovo matriko L = ni J L. ƒe so lastne vrednosti L enake µ 1,..., µ n, so lastne vrednosti matrike L enake 0, n µ n,..., n µ 2. V posebnem, µ n n. ƒe je Γ regularen, imamo podoben rezultat za navadne lastne vrednosti: e je Γ k- regularen z lastnimi vrednostmi θ 1 θ n, potem so lastne vrednosti komplementa n k 1, 1 θ n,..., 1 θ Sprehodi Iz spektra lahko preberemo ²tevilo sprehodov dane dolºine. Trditev 1.1. Naj bo h nenegativno ²tevilo. Potem je (A h ) xy ²tevilo sprehodov dolºine h iz x v y. V posebnem, (A 2 ) xx je stopnja vozli² a x in sl(a 2 ) je dvakratnik ²tevila povezav grafa Γ. Podobno je sl(a 3 ) ²estkratnik ²tevila trikotnikov v grafu Γ Premer Videli smo, da so vse lastne vrednosti enojnih usmerjenih povezav ni elne. Za neusmerjene grafe to ne velja. Trditev 1.2. Naj bo Γ neusmerjen graf. Vse njegove lastne vrednosti so ni elne, e in samo e Γ nima povezav. Enako velja za Laplaceove lastne vrednosti in absolutno Laplaceove lastne vrednosti. Bolj splo²no, najdemo spodnjo zvezo za premer: Trditev 1.3. Naj bo Γ povezan graf s premerom d. Potem ima Γ vsaj d + 1 razli nih lastnih vrednosti, vsaj d + 1 razli nih Laplaceovih lastnih vrednosti in vsaj d + 1 razli nih absolutno Laplaceovih lastnih vrednosti.

10 10 POGLAVJE 1. SPEKTRALNA TEORIJA GRAFOV Dokaz. Naj bo M poljubna nenegativna simetri na matrika z vrsticami in stolpci indeksiranimi po vozli² ih V (Γ) in naj za razli ni vozli² i x, y velja M xy > 0, e in samo e x y. Naj ima M razli ne lastne vrednosti θ 1,..., θ t. Potem je (M θ 1 I) (M θ t I) = 0, tako da je M t linearna kombinacija I, M,..., M t 1. Toda, e je d(x, y) = t, potem je (M i ) xy = 0 za 0 i t 1 in (M t ) xy > 0, protislovje. Zato je t > d. Iz tega sledi, da je M = A, M = ni L in M = L, kjer je A matrika sosednosti, L Laplaceova matrika in L absolutno Laplaceova matrika grafa Γ Vpeta drevesa Iz Laplaceovega spektra grafa lahko dolo imo ²tevilo vpetih dreves (ki bo neni elno samo e je graf povezan). Trditev 1.4. Naj bo Γ neusmerjen (multi)graf z vsaj enim vozli² em in Laplaceovo matriko L z lastnimi vrednostmi 0 = µ 1 µ 2 µ n. Naj bo l xy (x, y)-kofaktor matrike L. Potem je N ²tevilo vpetih dreves grafa Γ enako za poljubna x, y V (Γ). N = l xy = det(l + 1 n 2 J) = 1 n µ 2 µ n Po deniciji je (i, j)-kofaktor matrike M enak ( 1) i+j det M(i, j), kjer je M(i, j) matrika, ki jo dobimo, e matriki M izbri²emo i-to vrstico in j-ti stolpec. Zapomnimo si, da l xy ni odvisen od vrstnega reda vozli² v Γ. Dokaz. Naj L S, za S V (Γ), ozna uje matriko dobljeno iz L, kateri zbri²emo vrstice in stolpce indeksirane po S, tako da je l xx = det(l {x} ). Enakost N = l xx sledi iz indukcije po n in za ksen n > 1 na ²tevilu povezav, ki so inciden ne z x. ƒe je n = 1, potem je l xx = 1. V nasprotnem, e je x stopnje 0, potem je l xx = 0, saj ima L {x} vsoto vrstic enako 0. Kon no, e je xy povezava, potem z brisanjem te povezave iz Γ, det(l {x,y} ) zmanj²uje l xx, kar je po indukciji ²tevilo vpetih dreves grafa Γ s skr eno povezavo xy, kar je ²tevilo vpetih dreves, ki vsebujejo povezavo xy. To kaºe, da je N = l xx. Sedaj je n det(ti L) = t (t µ i ) in ( 1) n 1 µ 2 µ n je koecient od t, tj. d dt det(ti L) t=0. Toda d dt det(ti L) = x i=2 det(ti L {x} ), tako da je µ 2 µ n = x l xx = nn.

11 1.3. IZRAƒUN SPEKTRA POTI Z UPORABO HEILBRONNERJEVE FORMULE 11 Ker je vsota stolpcev matrike L enaka ni, torej je en stolpec enak negativni vrednosti vsote preostalih stolpcev, je l xx = l xy za poljubna x, y. Kon no dobimo ²e, da so lastne vrednosti matrike L + 1 n 2 J enake 1 n, µ 2,..., µ n, tako da je det(l + 1 n 2 ) = 1 n µ 2 µ n. Na primer, multigraf stopnje k na dveh vozli² ih ima Laplaceovo matriko enako [ ] k k L =, k k tako da je µ 1 = 0, µ 2 = 2k in N = 1 2k = k. 2 ƒe upo²tevamo polni graf K n, potem je µ 2 = = µ n = n in zato ima K n vpetih dreves Dvodelni gra N = n n 2 Graf Γ je dvodelen, e lahko mnoºico vozli² razdelimo v dva disjunktna dela X 1, X 2, tako da ima vsaka povezava eno vozli² e v X 1 drugo pa v X 2. Matrika sosednosti dvodelnega grafa je oblike A = [ 0 B B T 0 [ ] u Sledi, da je spekter dvodelnega grafa simetri en glede na 0: e je lastni vektor z [ ] v u lastno vrednostjo θ, potem je lastni vektor z lastno vrednostjo θ. v Imamo rang (A) = 2 rang (B). ƒe je n i = X i (i = 1, 2) in n 1 n 2, potem je rang(a) 2n 2, tako da ima Γ lastno vrednost 0 z ve kratnostjo vsaj n 1 n 2. V splo- ²nem ne moremo prepoznati dvodelnih grafov iz Laplaceovega ali absolutno Laplaceovega spektra. Npr. K 1,3 in K 1 + K 3 imata enak absolutno Laplaceov spekter, toda samo prvi je dvodelen. 1.3 Izra un spektra poti z uporabo Heilbronnerjeve formule V tem razdelku bomo na poti P n uporabili Heilbronnerjevo formulo in re²ili dobljeno rekurzivno ena bo, kar nas bo privedlo do lepega rezultata. Re²itev linearne rekurzivne ena be drugega reda oblike ]. f n = k 1 f n 1 + k 2 f n 2 se glasi f n = C 1 (x 1 ) n + C 2 (x 2 ) n,

12 12 POGLAVJE 1. SPEKTRALNA TEORIJA GRAFOV pri emer sta x 1 in x 2 re²itvi kvadratne ena be oblike x 2 k 1 x k 2 = 0, koecienta C 1 in C 2 pa dolo imo iz za etnih pogojev, to je iz funkcij f 0 in f 1. Predpostavka je x 1 x 2, kar bo v na²em primeru izpolnjeno. V rekurzivni ena bi za pot imamo k 1 = λ in k 2 = 1, od koder dobimo ena bo katere re²itvi sta x 2 λx + 1 = 0, x 1 = 1 2 (λ + λ 2 4) in x 2 = 1 2 (λ λ 2 4). Karakteristi ni koecient poti P n je torej [ 1 φ(p n, λ) = C 1 2 (λ + ] n [ 1 λ 2 4) + C 2 2 (λ ] n λ 2 4). Ta izraz se zelo poenostavi, e uvedemo novo spremenljivko λ = 2 cos θ. (1 cos2 θ) = sin θ in zato Potem je [ 1 2 (λ ± ] n λ 2 4) = [cos θ ± i sin θ] n, kjer je i = 1. Upo²tevamo Eulerjevo enakost cos θ ± i sin θ = e ±iθ in dobimo Od tod dobimo: [cos θ ± i sin θ] n = [ e ±iθ] n = cos nθ ± i sin nθ. φ(p n, 2 cos θ) = (C 1 + C 2 ) cos nθ ± i(c 1 C 2 ) sin nθ. (1.1) Iz pogoja pri n = 0: φ(p 0 ) 1 dobimo iz pogoja pri n = 1: φ(p 1 ) = λ = 2 cos θ pa dobimo to je C 1 + C 2 = 1, (1.2) cos θ + i(c 1 C 2 ) sin θ = 2 cos θ, i(c 1 C 2 ) = cos θ sin θ. (1.3) Zdruºitev ena b 1.2,1.3 in 1.1 nam da φ(p n, 2 cos θ) = cos nθ + cos θ sin θ kar nas kon no privede do lepe formule sin θ cos nθ + cos θ sin nθ sin nθ =, sin θ φ(p n, 2 cos θ) = sin(n + 1)θ. (1.4) sin θ

13 1.4. POVEZANOST 13 Formule istega tipa lahko najdemo tudi za karakteristi ne formule nekaterih drugih tipov dreves. Danes vemo, da lepota formule (1.4) izhaja iz dejstva, da so karakteristi ni polinomi poti v resnici ƒebi²evi polinomi. S pomo jo formule (1.4) zlahka dolo imo spekter drevesa. Ena ba sin(n + 1)θ = 0 sin θ ima re²itve pri: (n + 1)θ = kπ za k = 1, 2,..., n, torej θ = kπ n + 1. Od tod sledi, da je spekter poti sestavljen iz ²tevil 2 cos kπ, k = 1, 2,..., n. n + 1 Povejmo ²e, da iz ena be 1.4 sledi, da za ²tevilo k-ujemanj poti P n velja kombinatori na ena ba ( ) n k m(p n, k) =. k 1.4 Povezanost Spekter nepovezanega grafa zlahka dobimo iz spektrov njegovih povezanih komponent. Trditev 1.5. Naj bo Γ graf s povezanimi komponentami Γ i (1 i s). Potem je spekter grafa Γ unija spektrov od Γ i (ve kratnosti so dodane). Enako velja za Laplaceove in absolutno Laplaceove spektre. Trditev 1.6. Ve kratnost ni le kot Laplaceove lastne vrednosti neusmerjenega grafa Γ je enaka ²tevilu povezanih komponent Γ. Dokaz. Pokazati moramo, da ima povezan graf Laplaceovo lastno vrednost 0 z ve kratnostjo 1. Kot smo ºe videli, je L = NN T, kjer je N inciden na matrika orientacije Γ. Sedaj je Lu = 0 ekvivalentno N T u = 0, ker je 0 = u T Lu = N T u 2, tj. za vsako povezavo vektor u zavzame enake vrednosti na obeh kraji² ih. Ker je Γ povezan, od tod sledi, da je u konstanta. Trditev 1.7. Naj bo Γ neusmerjen regularen graf stopnje k. Potem je k najve ja lastne vrednost grafa Γ in njena ve kratnost je enaka ²tevilu povezanih komponent grafa Γ. Dokaz. Vzamemo L = ki A. Iz samega spektra ni razvidno, e je (neregularen) graf povezan. Oba od grafov K 1,4 in K 1 + C 4 imata spekter enak 2 1, 0 3, ( 2) 1 (ve kratnosti pi²emo kot eksponente), toda samo prvi je povezan. Trditev 1.8. Ve kratnost ni le kot absolutno Laplaceove lastne vrednosti neusmerjenega grafa Γ je enaka ²tevilu dvodelnih povezanih komponent grafa Γ.

14 14 POGLAVJE 1. SPEKTRALNA TEORIJA GRAFOV Dokaz. Naj bo M inciden na matrika grafa Γ, tako da je L = MM T. ƒe je MM T u = 0, potem je M T u = 0, tako da je u x = u y za vse povezave xy in nosilec u-ja je unija ²tevil dvodelnih komponent grafa Γ. Trditev 1.9. Graf Γ je dvodelen, e in samo e sta Laplaceov spekter in absolutno Laplaceov spekter grafa Γ enaka. Dokaz. ƒe je Γ dvodelen sta Laplaceova matrika L in absolutno Laplaceova matrika L podobni po diagonalni matriki D z diagonalnimi vhodi ±1, tj. L = DLD 1. Zato imata L in L enak spekter. ƒe sta oba spektra enaka, je po trditvah 6 in 8 ²tevilo povezanih komponent enako ²tevilu dvodelnih komponent. Zato je Γ dvodelen. 1.5 Spekter nekaterih grafov V tem poglavju si bomo pogledali nekatere posebne grafe in njihove spektre. Vsi gra v tem poglavju so kon ni, neusmerjeni in enostavni. Opazimo, da imajo matrike samih enic reda n rang 1 in da so vektorji samih enic lastni vektorji z lastnimi vrednostmi n. Torej je spekter enak n 1, 0 n 1. Naj bo K n poln graf na n vozli² ih. Njegova matrika sosednosti je enaka A = J I in spekter je (n 1) 1, ( 1) n 1. Laplaceova matrika je ni J s spektrom 0 1, n n 1. Spekter polnega dvodelnega grafa K m,n je ± mn, 0 m+n 2. Laplaceov spekter je 0 1, m n 1, n m 1, (m + n) 1. Naj bo Γ usmerjeni n-cikel D n. Lastni vektorji so (1, ζ, ζ 2,..., ζ n 1 ) T, kjer je ζ n = 1 in pripadajo a lastna vrednost je ζ. Zato spekter vsebuje to no kompleksne n-te korene enice e 2πij/n (j = 0,..., n 1). Zdaj opazujmo neusmerjeni n-cikel C n. ƒe je B matrika sosednosti cikla D n, potem je A = B + B T matrika sosednosti cikla C n. Nekateri lastni vektorji so taki kot prej, z lastnimi vrednostmi ζ + ζ 1, tako da je spekter sestavljen iz ²tevil 2 cos(2πj/n) (j = 0,..., n 1). Ker je ta graf stopnje 2, je Laplaceov spekter sestavljen iz ²tevil 2 2 cos(2πj/n) (j = 0,..., n 1). Naj bo Γ neusmerjena pot P n na n vozli² ih. Navaden spekter vsebuje ²tevila 2 cos( πj ) n+1 (j = 1,..., n). Laplaceov spekter je enak 2 2 cos( πj ) (j = 0,..., n 1). Navaden spekter n sledi iz opazovanja C 2n+2. ƒe je u(ζ) = (1, ζ 2,..., ζ 2n+1 ) T, potem imata u(ζ) in u(ζ 1 ) enako lastno vrednost 2 cos(πj/(n+1)) in zato ima tudi u(ζ) u(ζ 1 ) tak²no lastno vrednost. Slednji vektor ima dve ni elni koordinati z oddaljenostjo n + 1 in (za ζ ±1) to inducira lastni vektor na dveh poteh, dobljen z brisanjem dveh vozli², kjer je ni. Lastni vektorji matrike L z lastnimi vrednostmi 2 ζ ζ 1 so (1 + ζ 2n 1,..., ζ j + ζ 2n 1 j,..., ζ n 1 + ζ n ), kjer je ζ 2n = 1. To lahko opazimo neposredno, ali z upo²tevanjem, da je P n rezultat prepogibanja C 2n, pri emer prepogibanje nima ksnih vozli². Lastni vektor cikla C 2n, ki je konstanten na praslikah prepogibanj porodi lastni vektor poti P n z enako lastno vrednostjo.

15 1.5. SPEKTER NEKATERIH GRAFOV Graf povezav Graf povezav L(Γ) grafa Γ je graf z mnoºico vozli², ki so v Γ povezave. Dve vozli² i sta sosednji v L(Γ), e imata pripadajo i povezavi iz Γ skupno kraji² e. ƒe je N inciden na matrika grafa Γ, potem je N T N 2I matrika sosednosti za L(Γ). Ker je N T N pozitivno semidenitna, lastne vrednosti grafa povezav niso manj²e od 2. Imamo eksplicitno formulo za lastne vrednosti grafa L(Γ) v pogojih absolutno Laplaceovih lastnih vrednosti grafa Γ. Trditev Naj ima Γ m povezav in naj bodo ρ 1 ρ r pozitivne absolutno Laplaceove lastne vrednosti grafa Γ. Potem so lastne vrednosti od L(Γ) za i = 1,..., r in θ i = 2, e r < i m. θ i = ρ i 2, Dokaz. Absolutno Laplaceova matrika L grafa Γ in matrika sosednosti B grafa L(Γ) ustrezata L = NN T in B + 2I = N T N. Ker imata NN T in N T N enake neni elne lastne vrednosti (ve kratnosti so vklju ene) rezultat sledi. Zgled Ker ima pot P n graf povezav enak P n 1 in je dvodelen, so Laplaceove in absolutno Laplaceove lastne vrednosti grafa P n enake cos πi, i = 1,..., n. n Posledica ƒe je Γ k-regularen graf (k 2) z n vozli² i, e = kn/2 povezavami in lastnimi vrednostmi θ i (i = 1,..., n), potem je L(Γ) (2k 2)-regularen z lastnimi vrednostmi θ i + k 2 (i = 1,..., n) in (e n) ( 2). Graf povezav polnega grafa K n (n 2) je znan kot trikotni graf T (n). Spekter je enak 2(n 2) 1, (n 4) n 1, ( 2) n(n 3)/2. Graf povezav regularnega polnega grafa K m,n (m 2) je znan kot mreºni graf L 2 (m). Spekter ima enak 2(m 1) 1, (m 2) 2m 2, ( 2) (m 1)2. Komplement grafa T (5) je slavni Petersonov graf. Za spekter ima 3 1, 1 5, ( 2) Kartezi ni produkt Glejmo sedaj kartezi ni produkt Γ dveh grafov Γ in, kjer je mnoºica vozli² kartezi ni produkt mnoºice vozli² po faktorjih in velja ²e, da sta si dve vozli² i sosednji, e se ujemata v eni koordinati in sta sosedi v drugi. ƒe sta u in v lastna vektorja za Γ in s pripadajo ima navadnima ali Laplaceovima lastnima vrednostma θ in η, potem je w, deniran kot w(x, y) = u x u y, lastni vektor za Γ z navadno ali Laplaceovo lastno vrednostjo θ + η. Na primer, L 2 (m) = K m K m. Na primer, hiperkocka Q n, je kartezi ni produkt n faktorjev K 2. Spekter od K 2 je 1, 1 in zato je spekter od Q n sestavljen iz ²tevil n 2i z ve kratnostjo ( n i) (i = 0, 1,..., n).

16 16 LITERATURA Kroneckerjev produkt in dvodelna podvojitev Dana sta grafa Γ in z mnoºicama vozli² V in W. Njun Kroneckerjev produkt Γ, v asih re emo tudi konjukcija, je graf z mnoºico vozli² V W, kjer je (v, w) (v, w ), ko v v in w w. Matrika sosednosti za Γ je Kroneckerjev produkt matrik sosednosti grafov Γ in. ƒe sta u in v lastna vektorja za Γ in s pripadajo ima lastnima vrednostma θ in η, potem je vektor w = u v, kjer w (x,y) = u x v y, lastni vektor za Γ z lastno vrednostjo θ n. Zato je spekter grafa Γ sestavljen iz produktov lastnih vrednosti grafov Γ in. Naj bo Γ graf. Njegova dvodelna podvojitev je graf Γ K 2 (z dvema vozli² ema x in x za vsako vozli² e x iz Γ in z dvema povezavama x y in x y za vsako povezavo iz Γ). ƒe je Γ dvodelen, je njegova podvojitev samo unija dveh disjunktnih kopij. ƒe je Γ povezan in ni dvodelen, potem je njegova podvojitev povezana in dvodelna. ƒe ima Γ spekter Φ, potem ima Γ K 2 spekter Φ Φ Cayleyevi gra Naj bo Γ abelova grupa in S G. Cayleyjev graf na G z diferen no mnoºico S je (usmerjen) graf Γ z mnoºico vozli² G in mnoºico povezav E = {(x, y) y x S}. Sedaj je Γ regularen z vhodno in izhodno stopnjo S. Graf Γ bo neusmerjen, ko bo S = S. Lahko je izra unati spekter kon nih Cayleyjevih grafov. Naj bo χ karakteristika od G, tj. preslikava χ : G C, tako da Potem je χ(x + y) = χ(x) + χ(y). y x χ(y) = ( s S χ(s))χ(x), tako da je vektor (χ(x)) x G desni lastni vektor matrike sosednosti A grafa Γ z lastnimi vrednostmi χ(s) := s S χ(s). Neodvisne lastne vektorje nam porodi n = G razli nih karakteristik, tako da en izmed teh vektorjev vsebuje cel spekter v tem primeru. Npr. usmerjen petkotnik (z vhodno in izhodno stopnjo 1) je Cayleyjev graf za G = Z 5 in S = {1}. Karakteristike grupe G so preslikave i ζ i za nek ksni peti koren enice ζ. Zato ima usmerjen petkotnik spekter {ζ ζ 5 = 1}. Neusmerjen petkotnik (stopnje 2) je Cayleyjev graf za G = Z 5 in S = { 1, 1}. Spekter petkotnika postane {ζ + ζ 1 ζ 5 = 1}, tj. vsebuje 2 in 1 2 ( 1 ± 5) (oboje z ve kratnostjo 2). Literatura [1] A. E. Brouwer, W. H. Haemers: Spectra of graphs, manuscript. [2] C. D. Godsil, G. Royle: Algebraic Graph Theory, Springer-Verlag, New York, 2001.

17 Poglavje 2 Napredni koncepti ter numeri ne metode v spektralni teoriji grafov Katarina Stupica, Teja egula, Jaka peh Strukturne zna ilnosti grafov lahko raziskujemo s pomo jo ra unanja lastnih vrednosti nekaterih matrik. V spektralni teoriji se najve krat pojavljajo matrika sosednosti, Laplaceova matrika in normalizirana Laplaceova matrika. S pomo jo spektra teh matrik lahko nekaj povemo o podgrah, povezanosti, dvodelnosti, diametru in kromati nem ²tevilu grafa. Pomembne pa so tudi metode, s katerimi im hitreje izra unamo spekter. 2.1 Temeljne lastnosti V tem razdelku bomo predstavili tri razli ne matrike, ki so pomembne v spektralni teoriji in nekaj osnovnih lastnosti grafa, ki jih lahko dobimo iz njihovih spektrov. Pokazali bomo, da je koristno izra unati spektre vseh matrik, saj samo iz ene matrike ne moremo dobiti vseh lastnosti grafa Spekter grafa Denicija 2.1. Naj bo G = (V, E) poljuben graf (lahko tudi usmerjen multigraf) z vozli² i V = {1,..., n}. Matrika sosednosti A = (a ij ) i,j ima elemente a ij := ve kratnost povezave (i, j) E. Spekter grafa je spekter njegove matrike sosednosti. Primer izra una matrike sosednosti na usmerjenem multigrafu je na sliki 2.1. Matrika sosednosti je o itno odvisna od ²tevil enja vozli². To pa ne velja za njen spekter, saj se ob menjavi vozli² a i in j v matriki sosednosti A zamenjata i-ta in j-ta vrstica ter i-ti in j-ti stolpec, kar ne vpliva na izra un det(a λi n ). V tem poglavju se bomo ve inoma ukvarjali z enostavnimi, neusmerjenimi gra brez zank. Matrika sosednosti za take grafe je simetri na 0/1 matrika. Spomnimo se linearne 17

18 18POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI A = Slika 2.1: Primer izra una matrike sosednosti. vozlišče 4 vozlišče vozlišče vozlišče 1 vozlišče 2 Slika 2.2: Primer grafa z uteºmi, ki predstavljajo komponente lastnega vektorja. algebre, ki pove, da ima realna simetri na matrika realen spekter, ortonormirane lastne vektorje ter se jo da diagonalizirati. To torej velja tudi za matriko sosednosti. Kako bi lahko interpretirali lastni par (λ, x) matrike A? Seveda velja Ax = λx, vendar lahko na to ena bo pogledamo tudi druga e. Naj bo w C n poljuben vektor in ω : V C funcija, ki preslika vsak i V v komponento w i = ω(i). Mnoºico sosedov vozli² a i ozna imo z N(i). Tako lahko i-to komponento vektorja Aw zapi²emo kot j N(i) ω(j). Torej velja, da ima A lastno vrednost λ natanko tedaj, ko obstaja neni elna uteºna funkcija ω : V C, da za vsak i V velja λω(i) = j N(i) ω(j). V na²em primeru je matrika sosednosti simetri na, zato se lahko omejimo na realne uteºne funkcije. Predpostavimo lahko tudi to, da je maksimalna teºa nenegativna. ƒe bi namre veljalo max{ω(i); i V } < 0, potem bi bilo ω(i) < 0 za vsak i V in bi lahko namesto ω vzeli kar ω. Da bo zgornja interpretacija bolj jasna, si jo lahko ogledamo na primeru iz slike ω(1) = 2 = = ω(2) + ω(3) + ω(4) 2 ω(2) = 2 = = ω(1) + ω(3) + ω(5) 2 ω(3) = 0 = = ω(1) + ω(2) + ω(4) + ω(5) 2 ω(4) = 2 = = ω(1) + ω(3) + ω(5) 2 ω(5) = 2 = = ω(2) + ω(3) + ω(4) Zgornji izra uni nam povedo, da je ena lastna vrednost matrike sosednosti grafa na sliki 2.2 enaka 2. S pomo jo take interpretacije lastnih vrednosti lahko dokaºemo naslednjo trditev.

19 2.1. TEMELJNE LASTNOSTI 19 Trditev 2.2. Naj bo G = (V, E) graf z n vozli² i in maksimalno stopnjo. Naj ima njegova matrika sosednosti A lastne vrednosti λ 1... λ n. Potem velja: 1. λ n. 2. ƒe je G unija disjunktnih grafov G 1 in G 2, potem je spekter(g) = spekter(g 1 ) spekter(g 2 ). 3. ƒe je G cikel, potem je spekter(g) = {2 cos( 2πk ); k = 1,..., n}. n 4. ƒe je G = K n1,n 2, kjer je n 1 + n 2 = n, je λ 1 = n 1 n 2, λ 2 = = λ n 1 = 0, λ n = n1 n ƒe je G poln graf K n, potem je λ 1 = λ n 1 = 1 in λ n = n 1. Dokaz. 1. Naj bo ω neni elna uteºna funkcija, za katero velja λ n ω(i) = j N(i) ω(j) za vsak i V. Naj bo i 0 vozli² e z maksimalno teºo. Potem velja λ n ω(i 0 ) = j N(i 0 ) ω(j) ω(i 0 ), od koder sledi λ n. 2. ( ) Naj bo ω neni elna uteºna funkcija za lastno vrednost λ spekter(g). Ker ω ni identi no enaka ni, potem mora biti ω neni elna na G 1 ali G 2, torej je ω zoºena na G 1 ali G 2 uteºna funkcija za λ spekter(g 1 ) ali λ spekter(g 2 ). ( ) Naj bo sedaj ω neni elna uteºna funkcija za lastno vrednost λ spekter(g 1 ) (podobno za G 2 ). ƒe sedaj raz²irimo ω tako, da je ω(i) = 0 za vse i V \ V (G 1 ), dobimo neni elno uteºno funkcijo za λ spekter(g). 3. Za dokaz te to ke za asno uporabimo kompleksne uteºi. Naj bodo povezave cikla (1, n) in (i, i + 1) za i = 1,..., n 1. Za vsak k = 1,..., n naj bo τ k := e 2πik/n. Denirajmo kompleksno uteºno funkcijo ω(j) := τ j 1 k. Potem je za vsak j V ω(l) = ω(j 1) + ω(j + 1) = τ j 2 k + τ j 1 k = (τk + τ k ) τ j 1 k = (τ 1 k + τ k ) ω(j). l N(j) Torej je τ 1 k + τ k = e 2πik/n + e 2πik/n = 2 cos( 2πk ) lastna vrednost grafa G. n 4. Ker je matrika A simetri na, jo lahko diagonaliziramo. Torej je A podobna diagonalni matriki, ki ima lastne vrednosti po diagonali. Zato ima isti rang kot diagonalna matrika, ta rang pa( je enak ) ²tevilu neni elnih lastnih vrednosti. Matrika sosednosti za A1 A graf K n1,n 2 je enaka 2, kjer je A A 2 A 1 matrika samih ni el, A 2 pa matrika samih enic. 1 O itno je njen rang enak 2, torej ima A samo dve neni elni lastni vrednosti. Iz linearne algebre vemo, da je vsota lastnih vrednosti matrike enaka sledi matrike. Torej je λ 1 +λ n = 0 in lastne vrednosti matrike A so λ 1 = c, λ 2 = = λ n 1 = 0, λ n = c za neko ²tevilo c. Poglejmo sedaj karakteristi ni polinom det(a λi n ) = ( c λ)λ n 2 (c λ) = λ n c 2 λ n 2. Spomnimo se, kako izra unamo determinanto matrike. det A = π S n sign(π) a 1,π(1) a n,π(n) Prvi del vsote v karateristi nem polinomu se pojavi, e vzamemo permutacijo, kjer izberemo vse elemente na diagonali. Drugi del se pojavi, e izberemo n 2 diagonalnih

20 20POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI elementov in 2 izven diagonale, ki sta enaka 1. Ko izberemo ta dva elementa, natanko dolo imo permutacijo. To lahko naredimo na n 1 n 2 na inov. Torej je takih permutacij c 2 (vsaka je z negativnim predznakom) in velja c 2 = n 1 n 2. Tako velja λ 1 = n 1 n 2 in λ n = n 1 n Matrika sosednosti grafa K n je enaka A = J I n, kjer je J matrika samih enic. Naj bo λ lastna vrednost matrike J, torej Jx = λx. Sledi (J I n )x = (λ 1)x. Torej je lastna vrednost matrike A enaka λ 1. Izra unajmo lastne vrednosti matrike J. Ker ima matrika J rang 1, ima n 1 ni elnih lastnih vrednosti. Ker je sled matrike J enaka n, je njena neni elna lastna vrednost enaka n. Zato so lastne vrednosti matrike A enake λ 1 = = λ n 1 = 1, λ n = n 1. Dokazano je bilo tudi, da je λ n = natanko tedaj, ko ima graf G -regularno komponento. Poleg tega sta najmanj²a in najve ja lastna vrednost povezani, saj velja λ 1 λ n. Enakost velja natanko tedaj, ko ima graf dvodelno komponento z najve jo lastno vrednostjo, ki je enaka λ n [1]. S pomo jo spektra matrike sosednosti lahko v grafu tudi pre²tejemo ²tevilo sprehodov dolo ene dolºine. Trditev 2.3. Naj bo G usmerjen multigraf, ki ima lahko tudi zanke in A njegova matrika sosednosti z lastnimi vrednostmi λ i. Potem velja: 1. (A k ) ij = ²tevilo (i, j)-sprehodov dolºine k. 2. Lastne vrednosti matrike A k so λ k i. Dokaz. 1. To to ko lahko pokaºemo z indukcijo na k. Za k = 1 dobimo kar matriko sosednosti, na (i, j)-tem mestu je seveda ²tevilo sprehodov dolºine 1 med vozli² ema i in j. Predpostavimo sedaj, da trditev drºi za A k 1. Ker je A k = A k 1 A, velja A k ij = n l=1 Ak 1 il A lj. Tako dobimo vse sprehode dolºine k 1 od vozli² a i do l, pomnoºene s sprehodi dolºine 1 od vozli² a l do j. Skupaj torej dobimo ²tevilo sprehodov dolºine k od vozli² a i do j. 2. Za lastni par (λ i, x i ) matrike A velja Ax i = λ i x i. Od tod sledi A k x i = λ k i x i, torej je λ k i lastna vrednost matrike A k. Z uporabo te trditve lahko pokaºemo naslednjo posledico. Posledica 2.4. Naj ima matrika sosednosti grafa G lastne vrednosti λ i. Potem velja: 1. n i=1 λ i = ²tevilo zank v G. 2. n i=1 λ2 i = 2 E. 3. n i=1 λ3 i = 6 ²tevilo trikotnikov grafa G. Dokaz. 1. Spomnimo se, da je vsota lastnih vrednosti ravno sled matrike. V matriki sosednosti pa se na diagonali pojavlja ravno ²tevilo zank za posamezno vozli² e. 2. Vsota kvadratov lastnih vrednosti je ravno sled matrike A 2, na njeni diagonali pa se pojavljajo sprehodi dolºine 2, ki se za nejo in kon ajo v istem ogli² u. ƒe pre²tejemo vse povezave v grafu, bomo dobili ravno take sprehode, pri tem vsak sprehod ²tejemo dvakrat.

21 2.1. TEMELJNE LASTNOSTI Vsota kubov lastnih vrednosti je sled matrike A 3, na njeni diagonali so ravno cikli dolºine 3. ƒe pre²tejemo ²tevilo trikotnikov v grafu, dobimo ravno take cikle. Sprehod je dolo en z izbiro prvega ogli² a (3 moºnosti) in izbiro smeri (2 moºnosti). Vsak trikotnik torej ²tejemo 2 3 = 6-krat. S pomo jo spektra grafa pa lahko dolo imo tudi dvodelnost grafa. Trditev 2.5. Graf G je dvodelen natanko tedaj, ko se lastne vrednosti njegove matrike sosednosti pojavljajo v takih parih λ, λ, da je λ = λ. Dokaz. ( ) Naj bo ω neni elna uteºna funkcija za lastno vrednost λ grafa G. Ker je graf dvodelen, lahko njegova vozli² a razbijemo na dva dela V 1 in V 2. Naj bo ω : V R denirana kot { ω(i), e i V1 i ω(i), e i V 2. Potem za vsa vozli² a i V 1 velja za vsa vozli² a i V 2 pa λω (i) = λω(i) = λω (i) = λω(i) = j N(i) j N(i) ω(j) = ω(j) = j N(i) j N(i) ω (j), ω (j). Torej je tudi λ lastna vrednost grafa G. ( ) ƒe velja λ i = λ j, potem je za vsak lih k tudi λ k i = λ k j. Sledi, da je sl(a k ) = k i=1 λk i = 0. Sled matrike A k pa ²teje ²tevilo ciklov dolºine k v grafu G. Graf torej nima lihih ciklov, zato je dvodelen. Videli smo, da lahko nekatere lastnosti grafa dobimo kar iz spektra matrike sosednosti. Dva izomorfna grafa imata o itno isti spekter, obratno pa ne moremo trditi. Na sliki 2.3 vidimo dva neizomorfna grafa, ki imata iste lastne vrednosti λ 1 = 2, λ 2 = λ 3 = λ 4 = 0 in λ 5 = 2. Tudi nekaterih drugih strukturnih zna ilnosti ne moremo dolo iti s pomo jo spektra matrike sosednosti, na primer povezanosti. V ta namen raziskujemo tudi spekter drugih matrik, ki jih lahko dobimo iz grafa Laplaceova matrika Denicija 2.6. Naj bo G = (V, E) neusmerjen multigraf (lahko tudi z zankami) z matriko sosednosti A. Naj bo D = diag(d(1),..., d(n)) diagonalna matrika stopenj vozli². Laplaceova matrika L je denirana kot L := D A. ƒe je G enostaven neusmerjen graf, potem so elementi matrike L enaki 1, e (i, j) E l ij = d(i), e i = j 0 sicer.

22 22POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI Slika 2.3: Dva neizomorfna grafa z istim spektrom. Na Laplaceovo matriko lahko pogledamo tudi druga e. Orientacija σ grafa G je preslikava, ki vsaki povezavi e = (i, j) priredi smer, tako da pove, katero vozli² e je za etek povezave. Inciden na matrika B orientiranega grafa (G, σ) ima elemente b i,e = 1, e je i za etek povezave e 1, e je i konec povezave e 0 sicer. Pokaºemo lahko, da neodvisno od izbire orientacije σ velja L = BB T. Velja tudi naslednja lema. Lema 2.7. Za vsak x C n velja x T Lx = x T BB T x = (i,j) E (x i x j ) 2. Dokaz. Ker vemo, da velja L = BB T, lahko zapi²emo x T LX = x T BB T x = (B T x) T (B T x). Vsaki povezavi (i, j)(vrstici v matriki B T ) pa pripada ±(x i x j ) v vektorju B T x. Torej je (B T x) T (B T x) = (x i x j ) 2. (i,j) E Ker je matrika sosednosti A realna in simetri na, to velja tudi za matriko L. Naj bodo lastne vrednosti matrike L λ 1 (L) λ n (L). Spet lahko lastne vektorje x R n interpretiramo z uteºno funkcijo ω : V R, i x i. Velja, da je λ lastna vrednost matrike L, e obstaja taka neni elna uteºna funkcija ω, da za vsak i V velja λω(i) = (ω(i) ω(j)), j N(i) saj je j N(i) ω(i) = ω(i) d(i). Spet lahko predpostavimo, da je maksimalna uteº nenegativna. ƒe na zgornjo ena bo pogledamo za i V z maksimalno teºo, opazimo, da je λω(i) 0. Torej so vse lastne vrednosti nenegativne. ƒe za uteºno funkcijo vzamemo ω 1, dobimo λ = λω(i) = j N(i) (ω(i) ω(j)) = 0. Torej je ena lastna vrednost enaka 0, njen lastni vektor pa je vektor samih enic. Spekter Laplaceove matrike nam odkrije nekaj novih lastnosti grafa, med njimi tudi povezanost.

23 2.1. TEMELJNE LASTNOSTI 23 Slika 2.4: Dva grafa z istim Laplaceovim spektrom. Trditev 2.8. Naj ima graf G Laplaceovo matriko L. Graf je sestavljen iz k povezanih komponent natanko tedaj, ko velja λ 1 (L) = = λ k (L) = 0 in λ k+1 (L) > 0. Dokaz. ( ) Naj bo B inciden na matrika grafa G za poljubno orientacijo. komponento C grafa G deniramo z(c) R n Za vsako { 1, e i V (C) z(c) i := 0, sicer. Potem je mnoºica Z := {z(c); C je komponenta grafa G} linearno neodvisna, ker imamo k povezanih komponent, ki so med seboj lo ene. Velja tudi Lz(C) = BB T z(c) = 0. Imamo torej k linearno neodvisnih lastnih vektorjev za lastno vrednost 0. ( ) Naj velja, da je z R n tak, da je Lz = BB T z = 0. Potem iz z T BB T z = 0 sledi B T z = 0, kar pomeni, da mora biti z konstanten na vsaki povezani komponenti. Torej je z linearna kombinacija elementov iz mnoºice Z in imamo toliko povezanih komponent kot je linearno neodvisnih lastnih vektorjev za lastno vrednost 0. S pomo jo Laplaceove matrike lahko dolo imo tudi ²tevilo vpetih dreves, kar je omenjeno v [1], [3] in [14]. Izrek 2.9. Naj bo G graf z Laplaceovo matriko L. Potem velja: 1. tevilo vpetih dreves v grafu G je enako det(l i ), pri tem je L i podmatrika matrike L, kjer izbri²emo i-to vrstico in i-ti stolpec. 2. tevilo vpetih dreves je enako 1 n λ i (L). i 2 ƒeprav lahko s pomo jo Laplaceove matrike dolo imo dodatne lastnosti grafa, pa ne moremo dolo iti nekaterih drugih lastnosti, na primer dvodelnosti. To lahko vidimo na primeru iz slike 2.4, kjer sta dva grafa z istim Laplaceovim spektrom, desni je dvodelen, levi pa ne. Radi bi imeli oboje, povezanost in dvodelnost grafa, zato nam tukaj pride prav normalizirana Laplaceova matrika.

24 24POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI Normalizirana Laplaceova matrika Denicija Normalizirana Laplaceova matrika L grafa G je denirana kot L = D 1/2 LD 1/2. Pri tem je D 1/2 diagonalna matrika, kjer je na i-tem mestu d(i) 1/2, e je d(i) > 0 in 0 sicer. ƒe je G enostaven graf, ima L elemente: 1, e i = j in d(i) > 0 l ij = 1, e (i, j) E d(i)d(j) 0 sicer. λ je lastna vrednost matrike L natanko tedaj, ko obstaja neni elna funkcija ω : V C, da velja ( ) λω(i) = 1 ω(i) ω(j) za vsak i V. d(i) d(i) d(j) j N(i) V zvezi z Laplaceovo matriko je znan naslednja trditev, dokaz lahko najdemo v [2]. Trditev Naj bo G graf z normalizirano Laplaceovo matriko L. Potem velja: 1. λ 1 (L) = 0, λ n (L) G je dvodelen natanko tedaj, ko je za vsako lastno vrednost λ(l) tudi 2 λ(l) lastna vrednost matrike L. 3. ƒe je λ 1 (L) = = λ k (L) = 0 in λ k+1 (L) 0, potem ima G natanko k povezanih komponent Primerjava spektrov ƒe je G d-regularen graf, potem lahko primerjamo spektre matrik A, L in L. ƒe je spekter(a) = {λ 1,..., λ n }, potem je spekter(l) = {d λ n,..., d λ 1 } in spekter(l) = {1 λn,..., 1 λ 1 d d }. V splo²nem pa ni preprostega razmerja med spektri, lahko samo omejimo lastne vrednosti Laplaceove matrike z lastnimi vrednostmi matrike sosednosti. Za to potrebujemo znan izrek iz linearne algebre, ki ga bomo samo navedli, dokaz pa lahko zasledimo v [4]. Izrek Courant-Fischerjev izrek. Naj bo M R n n realna simetri na matrika z lastnimi vrednostmi λ 1... λ n. Potem za vsak k = 1,..., n velja λ k = min U R n dim(u) = k max x U x 0 x T Mx x T x. Sedaj lahko dokaºemo spodnjo trditev. Trditev Naj bo A matrika sosednosti in L Laplaceova matrika grafa G. Naj bosta in δ maksimalna in minimalna stopnja vozli² v grafu G ter λ k (A) k-ta najmanj²a lastna vrednost matrike A in λ n+1 k (L) k-ta najve ja lastna vrednost matrike L. Potem velja: δ λ k (A) λ n+1 k (L) λ k (A).

25 2.1. TEMELJNE LASTNOSTI 25 Dokaz. Dokaºimo prvo neenakost, drugo dokaºemo na podoben na in. Ker je λ n+1 k (L) k-ta najve ja lastna vrednost matrike L, je δ λ n+1 k (L) k-ta najmanj²a lastna vrednost matrike δi n L = A (D δi n ). Ta matrika se od matrike A razlikuje le na diagonali, kjer od²tevamo nenegativno vrednost d(i) δ. Denirajmo r(x) := xt (D δi n)x. O itno velja, x T x da je ²tevilo r(x) 0. Sedaj dvakrat uporabimo Courant-Fischerjev izrek in dobimo δ λ n+1 k (L) = λ k (δi n L) = λ k (A (D δi n )) = min U R n dim(u) = k = min U R n dim(u) = k min U R n dim(u) = k = λ k (A). max x U x 0 max x U x 0 max x U x 0 x T (A (D δi n ))x x T x x T Ax x T x r(x) x T Ax x T x Za kasnej²o uporabo navedimo ²e eno posledico in trditev v zvezi z najve jo in drugo najmanj²o lastno vrednostjo Laplaceove matrike. Posledica Za najve jo lastno vrednost λ n realne simetri ne matrike M R n n velja x T Mx λ n = max x R n x T x. x 0 Za drugo najmanj²o lastno vrednost Laplaceove matrike L velja λ 2 = min x 1 x T Lx x T x. Trditev Naj bo L Laplaceova matrika grafa G = (V, E) in λ 1... λ n njene lastne vrednosti. Potem velja { {i,j} E λ 2 (L) = n min (x } i x j ) 2 {i,j} ( V2) (x i x j ) ; x 2 Rn nekonstanten in λ n (L) = n max { {i,j} E (x } i x j ) 2 {i,j} ( V2) (x i x j ) ; x 2 Rn nekonstanten Primeri spektrov V tabeli 2.1 so na²teti spektri matrike sosednosti A, Laplaceove matrike L in normalizirane Laplaceove matrike L za nekatere osnovne primere grafov. Vsi gra imajo n vozli². Obstajajo pa tudi gra, ki imajo isti spekter glede na vse tri vrste matrik, matrike sosednosti A, Laplaceove matrike L in normalizirane Laplaceove matrike L. To lahko vidimo na primeru grafa na sliki 2.5.

26 26POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI Graf spekter(a) spekter(l) spekter(l) G = P n G = C n 2 cos( πk π(k 1) ), 2 2 cos( ), 1 cos( π(k 1) ), n+1 n n 1 k = 1,..., n k = 1,..., n k = 1,..., n 2 cos( 2πk), 2πk 2 2 cos( ), 2πk 1 cos( ), n n n k = 1,..., n k = 1,..., n k = 1,..., n G = K 1,n n, n, 0, n, 0, 2, 0(n 2-kratna) 1(n 2-kratna) 1(n 2-kratna) G = K n1,n 2 n 1 n 2, n 1 n 2, 0, n 1 (n 2 1-kratna), 0, 2, 0(n 2-kratna) n 2 (n 1 1-kratna),n 1(n 2-kratna) n G = K n 1(n 1-kratna), n 1 0, n(n 1-kratna) 0, (n 1-kratna) n 1 Tabela 2.1: Primeri spektrov za elementarne grafe. Slika 2.5: Dva grafa z istim spektrom glede na vse tipe matrik.

27 2.2. NUMERIƒNE METODE Numeri ne metode ƒe ºelimo uporabiti spekter poljubnega grafa, ga moramo izra unati. Pri tem se pojavi kup vpra²anj. Kako dobiti lastne vrednosti? Kak²ne metode imamo na voljo? Kako hitre in prostorsko zahtevne so? Metode za izra un lastnih vrednosti majhnih polnih matrik Zatakne se ºe pri prvem vpra²anju. Namre ni jasno, kako za poljubno matriko M hitro izra unati celotni spekter. Eno pot nam pokaºe dejstvo, da so lastne vrednosti ni le karakteristi nega polinoma det(m λi n ). Ta pot nas stane O(n!), zato jo kaj hitro zavrºemo. Spomnimo se, da se ubadamo z matrikami, ki so realne in (v primeru neusmerjenih grafov) simetri ne. Simetri ne matrike lahko s podobnostnimi transformacijami preoblikujemo v diagonalno matriko M P 1 MP. To nam porodi idejo. ƒe nas zanimajo samo lastne vrednosti in ne lastni vektorji, je dovolj preoblikovati M v trikotno matriko. (Matriko, ki ima vse elemente pod (ali nad) diagonalo enake ni.) V tem primeru so diagonalni elementi kar lastne vrednosti. To storimo v dveh korakih. Najprej iterativno aproksimiramo P (in P 1 ). Aproksimiramo ju s pomo jo produkta atomskih transformacij P i, ki dolo ene izvendiagonalne elemente postavijo na ni. (Posluºimo se lahko Jacobijeve transformacije, Givensovih rotacij in Hausholderjevih zrcaljenj.) Metode potrebujejo O(n 3 ) korakov. Rezultat je prehodna matrika P, da je M 1 = (m ij ) := P 1 M P tridiagonalna (v primeru simetri ne M) oziroma Hessenbergova matrika (v splo²nem). Slika 2.6: Zgoraj vidimo transformacijo matrike M v (zgornjo) Hessenbergovo matriko, ki ima neni elne elemente v zgornjem trikotniku in na prvi poddiagonali. Potem je ilustriran isti korak za simetri no matriko M. Rezultat je tridiagonalna matrika M 1 (m ij = 0, e i j > 1). Drugi korak je QR iteracija. Ideja je, da lahko za vsako realno matriko M izra unamo njen QR razcep M = QR, kjer je Q ortogonalna in R zgornje trikotna matrika. Sedaj zmnoºimo faktorje v obratnem vrstnem redu in dobimo M := RQ = Q T QRQ = Q T M Q. Pri tem se zgornja Hessenbergova oblika ali simetri nost in tridiagonalnost ohranja. Al-

28 28POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI goritem je sestavljen iz zaporednih transformacij Pravilnost pove naslednji izrek. Izrek M i := Q i R i, M i+1 := R i Q i = Q T i M i Q i. 1. ƒe ima M lastne vrednosti, ki so razli ne po absolutnih vrednostih, potem M s konvergira proti zgornje trikotni matriki, ko gre s. 2. ƒe ima M lastno vrednost λ i ve kratnosti p, potem M s, ko gre s, konvergira proti matriki, ki je skoraj zgornje trikotna. Vsebuje namre diagonalni blok reda p, katerega lastne vrednosti konvergirajo proti λ i. Dokaz najdemo v [20]. Izrek 2.16 nam omogo a, da matriko z lastno vrednostjo, ki ima ve kratnost ve jo kot 1, razcepimo na podmatrike in te posebej diagonaliziramo. Za tridiagonalne matrike ena QR iteracija potrebuje O(n) korakov. S premiki in implicitno QR metodo lahko doseºemo zadovoljivo konvergenco v O(n) iteracijah. Skupaj je zatevnost drugega koraka enaka O(n 2 ). Torej je zahtevnost izra una vseh lastnih vrednosti enaka O(n 3 ). Ve o izra unu lastnih vrednosti polnih matrik lahko preberemo v [21] Metode za izra un nekaj lastnih vrednosti velike razpr²ene matrike ƒe imamo opravka z matrikami, ki so zelo velike, asovna in prostorska zahtevnost postopka opisanega v prej²njem razdelku skokovito narasteta. Izkaºe se, da je v takem primeru matrika M pogosto razpr²ena in zado² a izra unati le nekaj (zunanjih) lastnih vrednosti. Groba ideja je, da iz velike razpr²ene matrike konstruiramo manj²o matriko, za katero znamo hitro izra unati njene lastne vrednosti. Dobljene lastne vrednosti razglasimo za lastne vrednosti razpr²ene matrike. Slika 2.7: Iz velike razpr²ene matrike A konstruiramo manj²o matriko B. (Videli bomo, da je B v primeru nesimetri ne A enaka zgornji Hessenbergovi matriki (zgoraj desno), v primeru simetri ne A pa je B tridiagonalna (spodaj desno).)

29 2.3. PODGRAFI IN OPERACIJE NA GRAFIH 29 Naj bo M simetri na matrika. Izberimo si poljuben normiran vektor x 1. Poglejmo si podprostor M, dolo en z (x 1, Mx 1,..., M i 1 x 1 ), za i N. Za prostor M konstruirajmo bazo (x 1, x 2,..., x i ). Naj bo X i n i matrika, ki ima za stolpce vektorje x 1, x 2,..., x i. Potem je T = X T i MX i tridiagonalna matrika. Njene lastne vrednosti so aproksimacija za i lastnih vrednosti M, ki se nahajajo na robu spektra. Opisali smo i-ti korak Lanczosovega algoritma [22]. Navadno ponovno zaºenemo algoritem vsakih k korakov, za nek dolo en k n, dokler nimamo zadovoljive konvergence. Algoritem: Lanczosov algoritem. Vhod: Matrika M. Izhod: r lastnih vrednosti, ki se nahajajo na robu spektra M. 1. Za etek: Izberi ²tevilo korakov k, ²tevilo lastnih vrednosti r in za etni vektor x 1. Naj bo β 0 := x T 1 x 1, x 1 = x 1 /β Lanczosov korak: for i = 1 to k do y := Mx i α i := x T i y x i+1 := y α i x i β i 1 x i 1 β i := x T i+1x i+1 x i+1 := x i+1 /β i end Naj bo X i := [x 1, x 2,..., x i ]. 3. Izra un lastnih vrednosti: Izra unaj lastne vrednosti T := X T i MX i. 4. Test konvergence in ponovni zagon: ƒe prvih r stolpcev T zado² a pogoju konvergence, potem vrni pripadajo e lastne vrednosti in kon aj. Sicer ponovno zaºeni algoritem s primerno izbranim x 1. Za lastne vrednosti, ki ne leºijo na robu spektra M uporabimo metodo premakni in obrni. Namesto, da ra unamo lastne vrednosti matrike M, ra unamo lastne vrednosti za matriko (M µi n ) 1, kjer je µ C. Sedaj bodo najprej skonvergirale lastne vrednosti, ki so v bliºini µ. Minimalno ²tevilo iteracij potrebnih za izra un ºeljene mnoºice lastnih vrednosti je neznano. V praksi se izkaºe, da je konvergenca relativno hitra. ƒe nimamo simetri ne matrike, lahko uporabimo Arnoldijevo metodo [23]. Razlika med njo in Lanczosovo metodo je v tem, da v ortogonalizaciji pri Arnoldiju uporabimo vse vektorje, pri Lanczosu pa le zadnje tri (zaradi simetri nosti). Zaradi tega je pri Arnoldiju matrika T = Xi T MX i zgornja Hessenbergova (slika 2.7). 2.3 Podgra in operacije na grah Kaj nam spekter grafa pove o njegovih podgrah? Ali so lastne vrednosti podgrafov grafa G zastopane v spektru G? Ali lahko na podlagi lastnih vrednosti sklepamo, da dolo en graf ni podgraf (ali vsaj induciran podgraf) danega grafa? Kaj se zgodi s spektrom dveh grafov, ki sta zdruºena bodisi s kartezi nim bodisi z direktnim produktom?

30 30POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI V tem razdelku bomo pokazali ideje, kako odgovoriti na ta vpra²anja. Obravnavali bomo samo spekter matrike sosednosti, eprav veliko rezultatov velja tudi za Laplaceov spekter Izrek o prepletanju Omejimo se na vpra²anje: kak²na je povezava med spektrom grafa in spektrom njegovih induciranih podgrafov. Slika 2.8: Gra K 2, K 1,6 in K 4. Zgled Spekter K 2 je enak { 1, 1}. Jasno je, da je K 2 induciran podgraf v K 1,6 in K 4. Spekter K 1,6 je { 6, 0, 0, 0, 0, 6}. Opazimo, da se lastne vrednosti K 2 ne pojavijo v spektru K 1,6. Po drugi strani pa velja, da je spekter K 4 enak { 1, 1, 1, 1}. Vidimo, da sta tu zastopani obe lastni vrednosti K 2. Torej ni nujno, da se lastne vrednosti induciranega podgrafa grafa G pojavijo v spektru G. Vendar ni vse tako brezupno. Velja, da se lastne vrednosti prepletajo med seboj. Naj bo G graf na n vozli² ih in naj bo H induciran podgraf G z n 1 vozli² i (H := G v za nek v V (G)). Naj bodo λ 1, λ 2,..., λ n lastne vrednosti za matriko sosednosti grafa G in µ 1, µ 2,..., µ n 1 lastne vrednosti za matriko sosednosti grafa H. Potem velja λ i µ i λ i+1, i {1, 2,..., n 1}. Sledi, da e ima G lastno vrednost ve kratnosti k, potem ima H lastno vrednost ve kratnosti k 1. Za induciran podgraf H na m vozli² ih lahko z indukcijo posplo²imo rezultat λ i µ i λ i+(n m), i {1, 2,..., m}. (2.1) Pokazali bomo splo²nej²i rezultat iz katerega bo sledilo 2.1. Izrek Naj bosta n, m N in S R n m taka matrika, da velja S T S = I m. Naj bo A R n n simetri na matrika in B := S T AS. Potem za lastne vrednosti A (λ 1, λ 2,..., λ n ) in lastne vrednosti B (µ 1, µ 2,..., µ n ) velja lastnost prepletanja in sicer λ i µ i λ i+(n m), i {1, 2,..., m}. (2.2) Kako iz izreka sledi ena ba 2.1. Naj bo A matrika sosednosti grafa G. Matrika sosednosti induciranega podgrafa H je podmatrika A, ki jo dobimo tako, da izbri²emo i-to vrstico in i-ti stolpec A za vsako vozli² e i V (G)\V (H). Tako matriko lahko dobimo iz A na isti na in, kot je v izreku 2.18 B dobljena iz A. ƒe so i 1, i 2,..., i k vozli² a iz V (G)\V (H), potem za S T izberemo matriko, ki ima izbrisamo i j -to vrstico za j = 1, 2,..., k.

31 2.3. PODGRAFI IN OPERACIJE NA GRAFIH 31 Dokaz. Matrika S dolo a injektivno preslikavo iz R m v R n. Za podmnoºico U R m s S(U) ozna imo sliko U preslikave S, zapisano kompaktno S(U) := {Su u U}. ƒe je U R m i-dimenzionalni podprostor (i m), potem je S(U) prav tako i-dimenzionalni podprostor v R n, ker je S injektivna preslikava. Spomnimo se karakterizacije lastnih vrednosti iz izreka Za vsak i {1, 2,..., m} velja λ i = min max U R n x U dim(u)=i x 0 = min U R m dim(u)=i = µ i. max x U x 0 x T Ax x T x min U S(R m ) dim(u)=i (Sx) T A(Sx) (Sx) T (Sx) = max x U x 0 min U R m dim(u)=i x T Ax x T x = max x U x 0 min U R m dim(u)=i x T (S T AS)x x T x max x S(U) x 0 x T Ax x T x = min U R m dim(u)=i max x U x 0 x T Bx x T x S tem smo pokazali prvo neenakost v 2.2. Isti argumet uporabimo na matriki A. Dobimo, da za vsak k {0, 1,..., m 1} velja λ n k µ m k, kar pomeni µ m k λ n k. Ko vstavimo k := m i dobimo ²e drugo neenakost v 2.2. Zgled Iz tabele 2.1 lahko preberemo, da so lastne vrednosti P n enake { ( ) } πk 2 cos k = 1, 2,..., n. n + 1 Slika 2.9: Poti P 5, P 4, P 3 in P 2 (levo) ter njihove pripadajo e lastne vrednosti (desno). Na sliki 2.9 (leva stran) so narisane poti P 5, P 4, P 3 in P 2. Jasno je, da je naslednik induciran graf predhodnika. Prav tako so na sliki (desna stran) numeri no izra unane lastne vrednosti. Vidi se prepletanje, ki ga zagotavlja izrek Posledica Naj bodo λ 1 λ 2 λ n lastne vrednosti grafa G in naj bodo µ 1 µ 2 µ m lastne vrednosti grafa H (m n). ƒe je µ 1 < λ 1 ali λ n < µ m, potem H ni induciran podgraf grafa G. Posledica jasno sledi iz pred dokazanega izreka o prepletanju. Na sliki 2.10 je viden njen geometrijski pomen.

32 32POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI Slika 2.10: Lastne vrednosti G leºijo na intervalu med λ 1 in λ n. Lastne vrednosti H leºijo na intervalu med µ 1 in µ m. Na sliki so tri moºnosti, kjer H ne more biti induciran podgraf grafa G. (Velja µ 1 < λ 1 (rde a in oranºna) oziroma µ m < λ n (modra in oranºna).) Zgled Naj bo G graf, ki ima vse lastne vrednosti strogo manj²e od 2. Iz tabele 2.1 lahko preberemo, da imajo vsi gra C j (j N) najve jo lastno vrednost enako 2. Zato v G ne obstaja inducirani podgraf, ki bi bil cikel. Za vsak cikel v grafu G lahko najdemo enostaven cikel, iz katerega lahko konstruiramo induciran enostaven cikel. To pomeni, da G nima ciklov. O G-ju lahko povemo ²e ve. Nima vozli² a, ki bi imelo stopnjo strogo ve jo kot 3. Saj bi v nasprotnem G vseboval induciran podgraf K 1,j za j 4, ki pa ima najve jo lastno vrednost enako j. To ni mogo e Grafting Oglejmo si vlogo podgrafov ²e z drugega zornega kota. Bodita G in H grafa. Radi bi spremenili G v taki meri, da bi modiciran G vseboval nekatere lastne vrednosti H. Prvi pristop je jasen. Vzamemo disjunktno unijo obeh grafov. Ni teºko videti, da je spekter G H enak uniji spektra G in H (v mislih imamo spekter matrike sosednosti). Vendar ta pristop odpove, e ho emo ohranjati povezanost. Postavimo si skromno zahtevo. Poizkusimo preoblikovati G tako, da mu dodamo samo eno lastno vrednost. Naj bo λ lastna vrednost H, ki jo ºelimo dodati, in x pripadajo i lastni vektor. Najprej obravnavajmo primer, ko obstaja i 0, da je x i0 = 0. Konstruirajmo graf G kot unijo G in H, kjer i 0 V (G) identiciramo z nekim poljubnim vozli² em j 0 V (G). Formalno deniramo G kot V (G ) := V (G) (V (H)\{i 0 }), E(G ) := E(G) E(H i 0 ) {{j 0, i} i V (H), {i 0, i} E(H)}. Re emo, da je H grafted v G vzdolº i 0 in j 0. Poi² imo lastni vektor za λ v G. Uporabimo kombinatori no interpretacijo lastnih parov. Za vsako vozli² e G v G uteº nastavimo na 0. Ostala vozli² a pa naj imajo enake uteºi, kot so jih imele v grafu H (za lastno vrednost λ). Tako dobimo lastni vektor G za λ. Na sliki 2.11 je predstavljen primer za G = K 3 in H = K 1,4. Velja omeniti, da poleg λ dobimo ²e nekaj dodatnih lastnih vrednosti. Dolºni smo ²e obravnavati primer, ko lastni vektor nima ni elne komponente. Izberimo si vozli² e i 0 V (H) in naredimo dve kopiji H + in H grafa H. Vozli² a v kopijah ozna imo z i + (za H + ) in i (za H ). Ustvarimo novo vozli² e i 1 in poveºimo grafa H + ter H z dvema povezavama {i + 0, i 1 } in {i 1, i 0 }. Nastali graf ozna imo s H.

33 2.3. PODGRAFI IN OPERACIJE NA GRAFIH 33 Slika 2.11: Na sliki je G za G = K 1,4 in H = K 3. Vemo, da 1 leºi v spektru matrike K 3. Novi graf G ima lastno vrednost 1, eprav je K 1,4 nima. Na sliki so ozna ene uteºi za novo lastno vrednost. ter Naj bo (λ, x) lastni par za graf H. Potem je vektor x, deniran kot lastni vektor za λ v matriki sosednosti H. x i + := x i in x i := x i, i V (H) x i1 := 0, Zgled Graf P 3 ima lastno vrednost 2 za lastni vektor (1/ 2, 1, 1/ 2) T. Za i 0 izberemo srednje vozli² e. Na sliki 2.12 je prikazana simetri na konstukcija P 3. V primeru samih neni elnih komponent lastnega vektorja za graf H, konstruiramo H. Sedaj imamo graf z isto lastno vrednostjo s tem, da ima pripadajo i lastni vektor ni elno komponento. Zato je H lahko grafted v G vzdolº i 1 in poljubnega vozli² a iz V (G). Tak²ni konstrukciji pravimo simetri ni graft. Opazimo, e je H drevo, je tudi H drevo. Simetri ni grafti dreves imajo pomembno vlogo v analizi spektra naklju nih grafov [24]. Obe na²i konstrukciji sta bili vzdolº enega vozli² a. Obstaja naravna posplo²itev za ve vozli² Operacije na grah Kartezi ni produkt grafov G 1 in G 2 je graf G := G 1 G 2, ki ima za vozli² a V (G) = V (G 1 ) V (G 2 ), povezave pa so dolo ene s predpisom (i 1, i 2 ) G (j 1, j 2 ) ({i 1, j 1 } E(G 1 ) i 2 = j 2 ) (i 1 = j 1 {i 2, j 2 } E(G 2 )), za i 1, j 1 V (G 1 ) in i 2, j 2 V (G 2 ). V direktnem produktu G := G 1 G 2 so vozli² a prav tako V (G) = V (G 1 ) V (G 2 ). Povezava (i 1, i 2 ) G (j 1, j 2 ) pa obstaja natanko tedaj, ko je {i 1, j 1 } E(G 1 ) in {i 2, j 2 } E(G 2 ). Slika 2.13 predstavlja kartezi ni in direktni produkt P 4 samega s sabo. Za lastne vrednosti kartezi nega in direktnega produkta velja naslednja trditev.

34 34POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI Slika 2.12: Konstrukcija P 3, ki ima lastno vrednost 2. Uteºi so ozna ene na sliki. Slika 2.13: Kartezi ni in direktni produkt poti na ²tirih vozli² ih same s sabo. Trditev spekter(g 1 G 2 ) = spekter(g 1 ) + spekter(g 2 ). 2. spekter(g 1 G 2 ) = spekter(g 1 ) spekter(g 2 ). 2.4 Meje parametrov grafa V teoriji grafov nas pogosto zanimajo posamezni parametri, ki vsakemu grafu pripi²ejo neko vrednost. Ker v velikih omreºjih teºko dolo imo njihove natan ne vrednosti, si pomagamo z razli nimi ocenami. Pogledali si bomo, kako s pomo jo lastnih vrednosti matrike sosednosti in Laplaceove matrike dolo imo meje nekaterih parametrov v grafu. Imamo graf G = (V, E). Naj bo n ²tevilo vozli² v grafu. Z λ 1 bomo ozna evali najmanj²o, z λ 2 drugo najmanj²o in z λ n najve jo lastno vrednost matrike sosednosti. Z λ 1 (L) pa bomo ozna evali najmanj²o, z λ 2 (L) drugo najmanj²o in z λ n (L) najve jo lastno vrednost Laplaceove matrike. Povpre na stopnja

35 2.4. MEJE PARAMETROV GRAFA 35 Prvi parameter, ki si ga bomo ogledali, je povpre na stopnja vozli² v grafu. Naj bo G graf na n vozli² ih. Stopnja d(i) vozli² a i je ²tevilo povezav, ki ima kraji² e v vozli² u i. Z d ozna imo povpre no stopnjo vozli² v grafu, ki je denirana kot d := 1 d(i). n Spodnja lema nam pove, kako je povpre na stopnja povezana z najve jo lastno vrednostjo matrike sosednosti. Lema Naj bo G graf in d njegova povpre na stopnja. Potem velja i V d λ n. Dokaz. Naj bo y := 1 n n dimenzionalen vektor z vsemi koordinatami enakimi 1. Potem je λ n = max xt Ax x R n x T x yt Ay y T y = i V d(i) = d. n x 0 n Slika 2.14: Zvezda. Zgled Na sliki 2.14 imamo graf s 100 vozli² i. Da si stvari poenostavimo, ga poimenujemo kar zvezda in zanj v nadaljevanju uporabljamo oznako Z. Njegove lastne vrednosti matrike sosednosti so enake λ 1 = , λ 2 = ,..., λ 100 = Lastne vrednosti Laplaceove matrike grafa so enake λ 1 (L) = 0, λ 2 (L) = ,..., λ 100 (L) = Za povpre no stopnjo tega grafa velja: Diameter in povpre na razdalja d Diameter je najve ja razdalja med dvema razli nima vozli² ema v grafu. Lastne vrednosti Laplaceove matrike nam dajo meje za diameter povezanega grafa, glej [7] in [13].

36 36POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI Izrek Za diameter grafa G veljata naslednji neenakosti: 4 Arcosh(n 1) diam(g) 2 nλ 2 (L) Arcosh( λn(l)+λ 2(L) ) λ n(l) λ 2 (L) Naslednji parameter, ki nas bo zanimal je povpre na razdalja, ki jo ozna imo z ρ. To je povpre je vseh razdalj med razli nimi vozli² i. Spodnji izrek najdemo v [13]. Izrek Naj bo n ²tevilo vozli² v grafu, λ 2 (L) druga najmanj²a lastna vrednost Laplaceove matrike ter maksimalna stopnja vozli² a v grafu. Povpre na razdalja je omejena z ( 1 2 n 1 λ 2 (L) + n 2 ) ρ(g) n + λ2 ((L) ln(n 1). 2 n 1 4λ 2 (L) Zgled Na sliki 2.15 imamo kubi ni poliedrski graf na 66. vozli² ih. Zanj bomo v nadaljevanju uporabljali oznako KP G. Njegove lastne vrednosti matrike sosednosti so enake λ 1 = , λ 2 = ,..., λ 66 = 3. Lastne vrednosti Laplaceove matrike tega grafa so enake λ 1 (L) = 0, λ 2 (L) = 0.213,..., λ 66 (L) = Slika 2.15: Kubi ni poliedrski graf. Za diameter in povpre no razdaljo kubi nega poliedrskega grafa s slike 2.15 veljajo naslednje ocene: 4 Arcosh(65) diam(kpg) Arcosh( Povezanost ) 1 diam(kpg) 25, ( ) ρ(kpg) ln(65) ρ(kpg) Vemo ºe, da je graf povezan natanko tedaj, ko je λ 2 (L) neni elna. Med λ 2 (L) in lastnostmi povezanosti torej obstaja tesna povezava, zato λ 2 (L) imenujemo tudi algebrai na povezanost. Vemo, da v primeru, ko je δ minimalna stopnja vozli² a v grafu G, velja, da je κ(g) η(g) δ. V [9] lahko najdemo ocene, ki nam jih poda naslednji izrek.

37 2.4. MEJE PARAMETROV GRAFA 37 Izrek Naj bo G graf z maksimalno stopnjo vozli² a v grafu enako in naj bo ω = Π n. S κ(g) ozna imo minimalno ²tevilo vozli², z η(g) pa minimalno ²tevilo povezav, ki jih moramo odstraniti, da postane G nepovezan. Potem velja: 1. λ 2 (L) κ(g) η(g), 2. λ 2 (L) 2η(G)(1 cos ω), 3. λ 2 (L) 2(cos ω cos 2ω)η(G) 2 cos ω(1 cos ω) (G). Izoperimetri no ²tevilo Naj bo G = (V, E) graf in X, Y podmnoºici mnoºice vozli² V. Izoperimetri no ²tevilo je mera, ki nam pove, najmanj koliko povezav moramo v omreºju odstraniti, da lo imo najve jo moºno podmnoºico vozli² X od preostalega ve jega dela Y. Izoperimetri no ²tevilo nam je v veliko pomo, e ºelimo na primer konstruirati dobro povezano omreºje. Pove namre, ali ima graf ozko grlo, kar pomeni, da lahko najdemo dve veliki podmnoºici mnoºice vozli², ki sta med seboj povezani z majhnim ²tevilom povezav. Denicija Naj bo X neprazna podmnoºica mnoºice vozli² V in Y njen komplement. Z E(X, Y ) ozna imo mnoºico povezav, ki povezujejo X in Y. Izoperimetri no ²tevilo je denirano kot { } E(X, Y ) i(g) := min ; X V, Y = V \ X. min{ X, Y } ƒe bo parameter i(g) majhno ²tevilo, imamo ozko grlo. V primeru, ko je i(g) velik, so vse moºne delitve mnoºice vozli² na dva dela med seboj povezane z velikim ²tevilom povezav. ƒe vzamemo X = {v}, kjer je v vozli² e z najniºjo stopnjo d(v) = δ(g), vidimo, da je i(g) δ(g). ƒe je G nepovezan, dobimo i(g) = 0. Za izoperimetri no ²tevilo velja neenakost i(g) λ 2(L). 2 Ko je λ 2 (L) 2, poda bolj²o mejo naslednji izrek. Izrek Izoperimetri no ²tevilo je navzdol omejeno z lastnimi vrednostmi Laplaceove matrike z { } λ 2 (L)λ n (L) i(g) min 1,. 2(λ n (L) + λ 2 (L) 2) Zgornji izrek najdemo v [8]. Poglejmo si ²e zgornjo mejo za izoperimetri no ²tevilo, obravnavano v [12]. Izrek Naj bo G graf, ki ni poln graf in ima maksimalno stopnjo. Potem je λ 2 (L).

38 38POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI Dokaz. ƒe je G nepovezan, potem res velja λ 2 (L) = 0. Naj bo sedaj G povezan. Njegovo matriko sosednosti ozna imo z A. Ker smo predpostavili, da graf ni poln, graf G vsebuje pot na treh vozli² ih P 3 kot induciran podgraf. Vemo, da je λ 2 (A(P 3 )) = 0. S pomo jo izreka o prepletanju dobimo 0 = λ 2 (A(P 3 )) λ n 1 (A). Po trditvi 2.13 velja λ 2 (L) λ n 1 (A). Izrek Naj bo G = (V, E) graf razli en od K 1, K 2 ali K 3. Potem je i(g) λ 2 (L)(2 λ 2 (L)). Dokaz tega izreka je zanimiv primer, kako lahko dobimo netrivialne meje Laplaceovih lastnih vrednosti in ga lahko najdete v podpoglavju Sedaj le ²e izra unajmo izoperimetri no ²tevilo za dva grafa. Zgled Za graf zvezde s slike 2.14 je i(z) ( ) = Kubi ni poliedrski graf s slike 2.15 ima λ 2 (L) = Zanj velja min {1, } = 1 i(kp G) 0.213( ) = Raz²iritev Velikokrat je dobra raz²iritev vozli² zaºelena lastnost omreºja. Pogosta denicija, ki zajema lastnost, da imajo vse majhne mnoºice vozli² velike sose² ine, je slede a. Denicija Naj bo N(S) mnoºica sosedov podmnoºice vozli² S brez mnoºice S. Potem je raz²iritev vozli² enaka { N(S) c V := min ; S V, S n }. S 2 Ker je raz²iritev vozli² po deniciji teºko izmeriti, si pri njeni oceni pomagamo z naslednjimi mejami, glej [6]. Izrek λ 2 (L) 2 +λ 2(L) c V = O( λ 2 (L)). Graf z raz²iritvijo vsaj α imenujemo α - pove evalec. Zgled Za zvezdo s slike 2.14 dobimo c V = Navedli in dokazali bomo ²ibkej²o verzijo zgornjega izreka za regularne grafe, glej [17]. Izrek d regularen graf je λ 2(L) 2d pove evalec. Dokaz. Naj bo G = (V, E) d regularen graf na vozli² ih V = {1,..., n}. Naj bo S podmnoºica mnoºice vozli² V kardinalnosti s n. Denirajmo vektor x {s n, s}n 2 kot { s n, i S x i := s, i V \ S. Po deniciji Laplaceove matrike L, je x T Lx = x T (D A)x = d n x 2 i i=1 n i=1 x i {i,j} E 2 x j = (x i x j ) 2 = n 2 E(S, V \ S), {i,j} E

39 2.4. MEJE PARAMETROV GRAFA 39 kjer je E(S, V \ S) mnoºica povezav z natanko enim kraji² em v S. Ker je i x i = s(s n) + (n s)s = 0, vidimo, da je x pravokoten na 1 n, lastni vektor samih enic x matrike L, ki pripada lastni vrednosti 0. Ker ºe vemo, da je λ 2 (L) = min T Lx, lahko x 1n x T x zaklju imo, da je n 2 E(S, V \ S) = x T Lx λ 2 (L)x T x = λ 2 (L)sn(n s), in posledi no E(S,V \S) N(S) λ 2(L)s(n s) λ 2(L) S. d dn 2d Zgled Za kubi ni poliedrski graf na sliki 2.15, ki je 3 regularen, dobimo λ 2(L) = pove evalec. 2 3 Routing number 2d = Imejmo mnoºico razli nih kroglic, ki jih na za etku postavimo na razli na vozli² a povezanega grafa G = (V, E), kjer je V = n. Dana je permutacija π vozli² V. Na² cilj je, vsako kroglico, ki je na za etku na vozli² u i V, prestaviti na vozli² e π(i). To naredimo tako, da izberemo mnoºico neinciden nih povezav E 0 E in zamenjamo kroglici na kraji² ih vsake povezave iz E 0. To ponavljamo, dokler niso vse kroglice na pravih mestih. Minimalno ²tevilo korakov, ki jih potrebujemo, da doseºemo cilj, ozna imo z rt(g, π). Routing number rt(g) grafa G pa je enak rt(g) := max π S n rt(g, π). Zgoraj opisani postopek lahko uporabimo na primer pri ocenjevanju u inkovitosti paralelnih arhitektur. Predstavljamo si, da so kroglice podatki, ki morajo biti preneseni med procesorji. Predpostavimo, da je as potreben za obdelavo podatkov zanemarljiv. Routing number predstavlja zgornjo mejo asa izvr²itve vsake stopnje tega paralelnega algoritma. Pove nam torej, koliko je dolo ena struktura primerna za paralelne sisteme. Navedimo le naslednji izrek. Izrek Naj bo G povezan d regularen graf. Potem je λ n 1 < d in ( ) d 2 rt(g) = O (d λ n 1 ) 2 ln2 n. Kromati no ²tevilo Barvanje grafa je dodelitev barv vozli² em tako, da sta sosednji vozli² i pobarvani z razli nima barvama. O k-barvanju govorimo, kadar lahko graf pobarvamo s k razli nimi barvami. Kromati no ²tevilo grafa je najmanj²e ²tevilo barv, potrebnih za barvanje. Ozna imo ga s χ(g). Ra unanje kromati nega ²tevila je N P teºak problem, glej [18]. Pri ocenjevanju kromati nega ²tevila si pomagamo z lastnimi vrednostmi matrike sosednosti, ki nam podajo zgornjo in spodnjo mejo, glej [15]. Izrek Naj bo G graf. Potem je χ(g) 1 + λ n. Dokaz. Naj bo H podgraf grafa G. Naj bo H brez izoliranih to k in tak, da je χ(h) = χ(g) ter da za vsako povezavo e v H velja χ(h e) < χ(h). Preprosto lahko pokaºemo, da tak graf vedno obstaja in da je χ(h e) = χ(h) 1. Naj bo δ(h) minimalna stopnja vozli² a podgrafa H. Velja, da je χ(h) δ(h) + 1, kar dokaºemo s protislovjem. Predpostavimo, da je χ(h) > δ(h) + 1 in naj bo i V (H) vozli² e z d H (i) = δ(h). Naj bo j N(i) in e = {i, j}. Deniramo k kot k := χ(h e) = χ(h) 1 > δ(h). Ker je

40 40POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI d H (i) = δ(h), imamo za vozli² e i prosto barvo in lahko konstruiramo k-barvanje grafa H iz k-barvanja grafa H e. Tako smo pri²li do protislovja. Iz leme 2.24 in izreka o prepletanju dobimo, da je χ(g) 1 = χ(h) 1 δ(h) λ n (H) λ n (G). Poglejmo si ²e naslednja izreka o spodnji meji kromati nega ²tevila, ki jih najdemo v [10] in [11] ter [1]. Izrek Naj bo G graf. Potem je 1 λn λ 1 Izrek Naj bo G graf. Potem je n n λ n χ(g). χ(g). Zgled Zgornji meji kromati nega ²tevila za graf zvezde s slike 2.14 in kubi ni poliedrski graf s slike 2.15 sta enaki Spodnji meji pa sta enaki oziroma Neodvisno ²tevilo χ(z) = χ(kp G) = = χ(z) 3 1 = χ(kp G) 100 = χ(z) 66 = χ(kp G). Neodvisna mnoºica je mnoºica vozli², v kateri nobeni dve vozli² i nista sosednji. Pravimo ji tudi stabilna mnoºica. V grafu G je neodvisno ²tevilo α(g) maksimalna kardinalnost med vsemi kardinalnostmi neodvisnih mnoºic grafa G. V [14] lahko najdemo nekaj rezultatov, ki jih dobimo iz ugotovitev Homana in Lovásza, objavljenih v [16]. Izrek Naj bo G d regularen graf. Potem velja ( α(g) n 1 d ). λ n (L) Naj bo sedaj G = (V, E) graf z n vozli² i in stopnjami vozli² d 1 d 2... d n. Denirajmo d s := 1 s i {1,...,s} d i za vsak s {1,..., n}. Potem je zaporedje d 1, d 2,..., d n nepadajo e in za d regularen graf velja d s = d za vsak s {1,..., n}. Izrek Naj bo s 0 najmanj²e tako celo ²tevilo, da je d s0 > λn(l)(n s 0) ( ). Potem je n α(g) s 0 1 in zato α(g) n 1 d s 0 1 λ n(l).

41 2.4. MEJE PARAMETROV GRAFA 41 Dokaz. Pokazali bomo, da vedno, kadar imamo stabilno mnoºico mo i s > 1 v G, je λ n(l)(n s) d n s. Naj bo torej S V stabilna mnoºica mo i s := S > 1. Enakost velja, ko je s = n, saj je potem d i = 0 za vsak i {1,..., n}. Naj bo sedaj s < n. Denirajmo x R n kot { 0, e i S x i := 1, sicer. Vektor x ni konstanten (ni ve kratnik vektorja samih enic 1 n ). Po trditvi 2.15 dobimo {i,j} E λ n (L) n (x i x j ) 2 V \ S) {i,j} ( V 2) (x = n E(S,. i x j ) 2 s(n s) Ker med vozli² i v mnoºici S ni povezav, imamo E(S, V \ S) sd s in zato je λ n (L) n sds = n ds λn(l)(n s), torej je res d s(n s) n s n s. Naj bo sedaj s 0 najmanj²e celo ²tevilo, za katero to ne velja. Potem ne obstaja stabilna mnoºica kardinalnosti s 0. Ker je (d s ) s=1,...,n nepadajo e zaporedje, za vsak s s 0 neenakost prav tako ne velja in zato ne more obstajati stabilna mnoºica kardinalnosti ve je od s 0 1. irina bisekcije Kadar imamo podan graf na sodo mnogo vozli² ih, pomislimo na razdelitev vozli² v dva razreda enakih velikosti. irina bisekcije grafa je minimalno ²tevilo povezav med dvema enako velikima deloma grafa. Ozna imo jo z bw. Poglejmo si naslednjo mejo ²irine bisekcije. Lema Naj bo G = (V, E) graf na vozli² ih {1,..., n}, kjer je n pozitivno sodo ²tevilo. Potem je bw(g) n 4 λ 2(L). Dokaz. Naj bo S poljubna podmnoºica V kardinalnosti n 2 in denirajmo x i := { 1, e i S 1, e i / S za vsak i V. Potem je i V x i = 0. x 1 n in po posledici 2.14 in lemi 2.7 je nλ 2 (L) = x T xλ 2 (L) x T Lx = {i,j} E (x i x j ) 2 = {i,j} E(S,V \S) (x i x j ) 2 = 4 E(S, V \ S). ƒe za S izberemo razred z minimalno ²irino bisekcije, je s tem lema dokazana. Spodnja meja ²irine bisekcije je doseºena natanko tedaj, ko so vsa vozli² a inciden na λ 2 (L) prereznim povezavam, kar je res za na primer polne grafe, polne dvodelne grafe, 2 hiperkocke in Petersenov graf. Za n n kartezi ni produkt dveh poti pa je ²irina bisekcije enaka n, medtem ko je λ 2 (L) = 2 2cos( π n ) π2 in zato nλ n 4 2(L) π2. Tako 4 je lahko razlika med optimalno ²irino bisekcije in spodnjo mejo zelo velika. irina bisekcije je tesno povezana z izoperimetri nim ²tevilom. Neposredno iz denicije obeh, i(g) in bw(g), dobimo, da je i(g) 2bw(G). Spodnja meja za izoperimetri no ²tevilo n tako podaja tudi spodnjo mejo za ²irino bisekcije.

42 42POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI Dokaz izreka 2.33 V tem podpoglavju si bomo pogledali dokaz izreka Spomnimo se, kaj nam izrek 2.33 pove. Naj bo G = (V, E) graf razli en od K 1, K 2 ali K 3. Potem je i(g) λ 2 (L)(2 λ 2 (L)). Dokaz. Naj bo G = (V, E) graf na n vozli² ih in z m povezavami, ki ni enak K 1, K 2 ali K 3. Naj bo maksimalna stopnja vozli² a v grafu G in λ 2 (L) druga najmanj²a lastna vrednost Laplaceove matrike, ki jo bomo kasneje ozna evali kar z λ. Dokazati ºelimo i(g) λ 2 (L)(2 λ 2 (L)). ƒe je λ = 0, je graf nepovezan, i(g) = 0 in smo kon ali. V primeru, ko je G poln graf na ²tirih ali ve ih vozli² ih, preprosto uporabimo λ = n. Tako lahko predpostavimo, da G ni poln graf. V tem primeru, po izreku 2.32, velja λ. Sedaj lo imo dva primera. ƒe je δ < λ, za izraz pod korenom velja λ(2 λ) > δ(2 λ) δ(2 ) = δ δ 2 i(g) 2 in s tem je izrek dokazan. Poglejmo ²e primer, kjer predpostavimo, da je λ δ. Naj bo y R n lastni vektor za λ in denirajmo mnoºico W kot W := {i V ; y i > 0}. Ker bi lahko y zamenjali z y, vzamemo W = min{ W, V \ W }. Deniramo { yi, e i W g i := 0, sicer. Z E(W ) E ozna imo povezave med vozli² i v mnoºici W. ƒe ena bo Ly = λy z leve pomnoºimo z vektorjem y T in upo²tevamo, da je L = (D A), dobimo y T (D A)y = λy T y. Leva stran te ena be je enaka d(i)y i ± (y i ± y j )y i = = = = i W {i,j} E(W ) {i,j} E(W ) j:{i,j} E y j y i = i W ((y i ± y j )y i + (y j ± y i )y j ) + (y i ± y j ) 2 + {i,j} E(W,V \W ) d(i)y 2 i ± j:{i,j} E i ± y j ) {i,j} E(W )(y 2 + i W = {i,j} E(g i ± g j ) 2 d(i)gi 2 + d(i)yi 2 ± i W i W = (g i ± g j ) 2 ± y j y i. {i,j} E {i,j} E(W,V \W ) {i,j} E(W,V \W ) (y i ± y j )y i = (y i ± y j )y i = (2.3) {i,j} E(W,V \W ) y j y i = {i,j} E(W,V \W ) y j y i = Se²tevanje po vseh povezavah {i, j} E ne bi smelo biti odvisno od tega, na katerem kraji² u povezave leºi i in na katerem j. Slednje v na²em primeru zmeraj drºi, saj je (g i ± g j ) 2 = (g j ± g i ) 2 za vsak i, j V. Iz lastnosti Ly = λy dobimo za vsak i V enakost λy i = d(i)y i y j. j:{i,j} E

43 2.4. MEJE PARAMETROV GRAFA 43 Ko uporabimo to enakost in v izrazu 2.3 vzamemo negativni predznak dobimo, da je λy T y = λ yi 2 = i W = d(i)y i i W = (g i g j ) 2 {i,j} E j:{i,j} E ƒe v izrazu 2.3 vzamemo pozitivni predznak, dobimo y j y i = {i,j} E(W,V \W ) (2 λ) yi 2 = 2 yi 2 d(i)yi 2 + i W i W i W i W d(i)yi 2 + y j y i = i W i W {i,j} E = (g i + g j ) 2 + i W {i,j} E {i,j} E(W,V \W ) y j y i. (2.4) j:{i,j} E y j y i. y j y i Naj bo α := {i,j} E(W,V \W ) y iy j. Zgornji izraz lahko pomnoºimo z ena bo 2.4, saj sta leva in desna stran nenegativni. Dobimo ( ) 2 λ(2 λ) yi 2 (g i + g j ) 2 (g i g j ) 2 + α (g i g j ) 2 (g i + g j ) 2 α 2 = {i,j} E = {i,j} E {i,j} E (g i + g j ) 2 {i,j} E (g i g j ) 2 α 4 {i,j} E {i,j} E(W ) {i,j} E y i y j + α. V tem izrazu bi se radi znebili α. Opazimo, da iz denicije W sledi, da je α 0. ƒe upo²tevamo, da je (L λi)y = 0, denicijo W in dejstvo, da obravnavamo primer, ko je λ δ, dobimo 4 y i y j + α = 2 y i y j + 2 y i y j + y i y j = {i,j} E(W ) Od tod sledi, da je λ(2 λ) = 2 {i,j} E(W ) {i,j} E(W ) y i y j + {i,j} E(W ) i W j:{i,j} E = 2 y i y j + (d(i) λ) yi 2 }{{}}{{} {i,j} E(W ) i W ( i W y 2 i ) 2 {i,j} E y i y j = {i,j} E(W,V \W ) (g i + g j ) 2 (g i g j ) 2. {i,j} E

44 44POGLAVJE 2. NAPREDNI KONCEPTI TER NUMERIƒNE METODE V SPEKTRALNI TEORIJI Sedaj denirajmo vektorja v, w R m z v {i,j} := g i + g j in w {i,j} := g i g j. Ko uporabimo Cauchy-Schwartzovo neenakost, dobimo 2 gi 2 gj 2 = 2 (g i + g j ) g i g j = {i,j} E {i,j} E = v, w 2 v 2 w 2 = (2.5) = (g i + g j ) 2 (g i g j ) 2 {i,j} E {i,j} E ( ) 2 λ(2 λ) yi 2. Poi² imo ²e spodnjo mejo izraza {i,j} E g2 i g 2 j. Naj bodo 0 = t 0 < t 1 <... < t N razli ne vrednosti komponent g. Deniramo V k := {i V ; g i t k } za k {0,..., N}. Naj bo V N+1 :=. Za k {0,..., N + 1} velja V k W in zato je V k W ter V k = min{ V k, V \V k }. Pravtako je V N V N 1... V 1 = W V 0 = V. V k V k+1 je ²tevilo komponent g, ki so enake t k za vsak k {0,..., N}. Vsoto {i,j} E g2 i g 2 j lahko na uporaben na in zapi²emo kot i W {i,j} E g 2 i g 2 j = = }{{} glej spodaj = N k=1 N (g {i,j} E g i <g j =t k 2 j g 2 i ) = k=1 {i,j} E(V k,v \V k ) (t 2 k t 2 k 1) = N E(V k, V \ V k ) (t 2 k t 2 k 1) k=1 i(g) N V k (t 2 k t 2 k 1) = i(g) k=1 N t 2 k( V k V k+1 ). k=1 Od tod sledi, da je {i,j} E g2 i g 2 j i(g) i V g2 i = i(g) i W y2 i, kar skupaj s 2.5 dokaºe izrek. Preostane nam ²e dokaz naslednje enakosti N k=1 (g {i,j} E g i <g j =t k 2 j g 2 i ) = N k=1 {i,j} E(V k,v \V k ) (t 2 k t 2 k 1), (2.6) kar dokaºemo z indukcijo na N. Primer, ko je N = 1, je o iten. Naj bo N > 1. Predpostavimo, da ena ba ºe velja za vse take izraze, kjer prva vsota te e do N 1; to je, ko imamo vektor g grafa G = (Ṽ, Ẽ), ki ima N razli nih vrednosti komponent 0 = t 0 < t 1 <... < t N 1, in kjer so denirane podmnoºice ṼN 1 ṼN 2... Ṽ1 = W Ṽ0 = Ṽ. Zgornje bomo uporabili v naslednjem primeru. Deniramo G := G V N. Naj bo g vektor, ki ga dobimo iz g, na mnoºici vozli² Ṽ. Vrednost t k = t k za vsak k {0,..., N

45 2.4. MEJE PARAMETROV GRAFA 45 1}. Potemtakem deniramo mnoºice Ṽk kot Ṽk = V k \ V N za vsak k {0,..., N 1}. Za vsak k {0,..., N 1} velja V N V k, tako da se mnoºice Ṽk razlikujejo od mnoºic V k natanko za vozli² a iz mnoºice V N. Dobimo N k=1 (g {i,j} E g i <g j =t k 2 j g 2 i ) = = = = N 1 k=1 N 1 k=1 N 1 (g {i,j} E g i <g j =t k ( g {i,j} E g i < g j =t k 2 j g 2 i ) + 2 j g 2 i ) + k=1 {i,j} E G(Ṽk,Ṽ \Ṽk) N 1 k=1 {i,j} E G(Ṽk,Ṽ \Ṽk) (g {i,j} E g i <g j =t N (g {i,j} E g i <g j =t N ( t 2 k t 2 k 1) + 2 j g 2 i ) = 2 j g 2 i ) = (2.7) (g {i,j} E g i <g j =t N (t 2 k t 2 k 1) + } {{ } ( ) (g {i,j} E g i <g j =t N 2 j g 2 i ) = 2 j g 2 i ). Opazimo, da so prerezne povezave E G(Ṽk, Ṽ \ Ṽk) sestavljene le iz povezav iz Ẽ. ƒe bi ra unali kar z grafom G, bi morali kasneje odstraniti nekaj povezav. Odstraniti bi morali povezave, ki imajo eno kraji² e v V N. Na ta na im bi za ( ) dobili = N 1 k=1 {i,j} E G(Ṽk,Ṽ \Ṽk) N 1 k=1 {i,j} E(V k,v \V k ) (t 2 k t 2 k 1) = (t 2 k t 2 k 1) N 1 2 (t k=1 {i,j} E(V k,v \V k ) j V N k t 2 k 1). } {{ } (+) Podrobneje si oglejmo izraz (+). Za vsak i V naj bo k(i) najmanj²i indeks, za katerega velja i V \ V k(i). Potem je g i = t k(i) 1 za vsak i V in velja N 1 k=1 (t {i,j} E(V k,v \V k ) j V N 2 k t 2 k 1) = = = = {i,j} E(V N,V \V N ) j V N {i,j} E(V N,V \V N ) k=k(i) j V N (t {i,j} E(V N,V \V N ) j V N (t {i,j} E(V N,V \V N ) j V N (t k {0,...,N 1} i V \V k N 1 2 k t 2 k 1) = (t 2 k t 2 k 1) = 2 N 1 t 2 k(i) 1) = 2 N 1 g 2 i ).

46 46 LITERATURA Sedaj lahko nadaljujemo s 2.7. Upo²tevajmo, da je {(i, j); {i, j} E(V N, V \ V N ), j V N } = {(i, j); {i, j} E, g i < g j = t N }. Ko vse zdruºimo, vidimo, da velja = = = = = = N k=1 N 1 (g {i,j} E g i <g j =t k 2 j g 2 i ) = k=1 {i,j} E G(Ṽk,Ṽ \Ṽk) (t 2 k t 2 k 1) + } {{ } ( ) N 1 k=1 {i,j} E(V k,v \V k ) N 1 k=1 {i,j} E(V k,v \V k ) N 1 k=1 {i,j} E(V k,v \V k ) N 1 k=1 {i,j} E(V k,v \V k ) N k=1 {i,j} E(V k,v \V k ) (t 2 k t 2 k 1) (t 2 k t 2 k 1) (t 2 k t 2 k 1) + (t 2 k t 2 k 1) + (t 2 k t 2 k 1). (g {i,j} E g i <g j =t N N 1 2 j g 2 i ) = 2 (t k=1 {i,j} E(V k,v \V k ) i V N k t 2 k 1) + } {{ } (+) (t {i,j} E(V N,V \V N ) j V N (t {i,j} E(V N,V \V N ) j V N (t {i,j} E(V N,V \V N ) j V N 2 N 1 g 2 i ) + (g {i,j} E g i <g j =t N 2 ( gj {i,j} E g i <g j =t N =t 2 N 2 N g 2 i t 2 N 1 + g 2 i ) = 2 N t 2 N 1) = 2 j g 2 i ) = gi 2 ) = }{{} S tem smo pokazali, da enakost 2.6 res velja in dokazali na² izrek. Literatura [1] D. M. Cvetkovi, M. Doob in H. Sachs, Spectra of Graphs, Johann Ambrosius Barth Verlag, [2] F. R. K. Chung, Spectral Graph Theory, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, American Mathematical Society, [3] C. Godsil in G. Royle, Algebraic Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, [4] J. H. Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press, [5] U. Brandes in T. Erlebach, Network Analysis: methodological foundations, Springer, Berlin, [6] N. Alon, Eigenvalues and expanders, Combinatorica, 6(2):8396, 1986.

47 LITERATURA 47 [7] F. R. K. Chung, V. Faber in T. A. Manteuel, An upper bound on the diameter of a graph from eigenvalues associated with its laplacian, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 7(3):443457, [8] R. Elsässer in B. Monien, Load balancing of unit size tokens and expansion properties of graphs, In Proceedings of the 15th Annual ACM Symposium on Parallel Algorithms and Architectures (SPAA'03), pages , [9] M. Fiedler, Algebraic connectivity of graphs, Czechoslovak Mathematical Journal, 23(98):289305, [10] C. Godsil, Tools from linear algebra, Research report, University of Waterloo, [11] W. H. Haemers, Eigenvalue methods, In Alexander Schrijver, editor, Packing and Covering in Combinatorics, pages 1538, Mathematisch Centrum, [12] B. Mohar, Isoperimetric number of graphs, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 47(3):274291, [13] B. Mohar, Eigenvalues, diameter and mean distance in graphs, Graphs and Combinatorics, 7:5364, [14] B. Mohar, The laplacian spectrum of graphs, In Yousef Alavi, Gary Char-trand, Ortrud R. Oellermann, and Allen J.Schwenk, editors, Graph Theory, Combinatorics, and Applications, pages , Wiley, [15] B. Mohar in S. Poljak, Eigenvalues in combinatorial optimization, In Richard A. Brualdi, Shmuel Friedland, and Victor Klee, editors, Combinatorial and Graph- Theoretical Problems in Linear Algebra, pages Springer-Verlag, [16] L. Lovász, On the Shannon capacity of a graph, IEEE Transactions on Information Theory, 25:17, [17] D. B. West, Introduction to Graph Theory, Prentice Hall, 2nd edition, [18] S. Skiena, Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica, Reading, MA: Addison-Wesley, [19] R. L. Waldho, The Matching Model for Routing Permutations on Graphs, Annandale-on-Hudson, New York, 1997, [ogled ], dostopno na [20] J. Stoer in R. Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis, Springer- Verlag, [21] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling in B. P. Flannery Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, [22] F. S. Acton, Numerical Methods that Work, Mathematical Association of America, [23] J. A. Scott, An Arnoldi code for computing selected eigenvalues of sparse real unsymmetric matrices, ACM Transactions on Mathematical Software, 21:423475, [24] M. Bauer in O. Golinelli, Random incidence matrices: moments of the spectral density, Journal of Statistical Physics, 103:301307, arxiv cond-mat/

48 48 LITERATURA

49 Poglavje 3 Spektralna teorija grafov Jernej Rus Izrek 3.1. Spekter ndimenzionalne kocke Q n je n, n 2,..., n. Prva re²itev: Predstavimo vozli² a Q n z 01vektorji dolºine n. Dve vozli² i sta sosednji natanko tedaj, kadar se razlikujeta v natanko eni komponenti. Za vsak 01vektor (a 1, a 2,..., a n ), kjer so (x 1, x 2,..., x n ) V (Q n ) in komponente se²tevamo po modulu 2 je predpis: α a1,a 2,...,a n : (x 1, x 2,..., x n ) (x 1 + a 1, x 2 + a 2,..., x n + a n ), avtomorzem na Q n. Geometrijsko so to tisti avtomorzmi na Q n, ki ohranjajo sosednost vozli² (to so zrcaljenja v dolo enih anih podprostorih). Tvorijo komutativno regularno grupo Γ, ki je izomorfna (Z 2 ) n. To nam pove, da so Q n kon ni Cayleyjevi gra, za katere pa spekter dobimo s pomo jo karakteristik. Naj bo Γ abelova grupa in S G. Cayleyjev graf na G z diferen no mnoºico S je graf Γ z mnoºico vozli² G in mnoºico povezav E = {(x, y) y x S}. Γ je tako regularen z vhodno in izhodno stopnjo S. Naj bo χ karakteristika G, tj. preslikava: χ : G C, tako, da velja χ(x + y) = χ(x) + χ(y). Potem je y x χ(y) = ( s S χ(s))χ(x), tako da je vektor (χ(x)) x G desni lastni vektor matrike sosednosti A grafa Γ z lastnimi vrednostmi χ(s) = s S χ(s). Neodvisne lastne vektorje nam porodi n = G razli nih karakteristik, tako da eden izmed teh vektorjev vsebuje cel spekter. Sedaj lahko dobimo karakteristike za na² graf: naj bodo 1 i 1 < i 2 <... < i k n in χ i1,i 2,...,i k (α a1,a 2,...,a n ) = ( 1) a i 1 +a i a ik. Lahko je preveriti, da so to res karakteristike in ker obstaja 2 n razli nih 01vektorjev dolºine n, je njihovo ²tevilo enako 2 n = Γ. Zato, so to vse karakteristike. Tako, po 49

50 50 POGLAVJE 3. SPEKTRALNA TEORIJA GRAFOV naslednjem postopku, dobimo lastne vrednosti: λ i1,i 2,...,i k = = ((a 1,a 2,...,a n),(0,0,...,0)) E(Q n) ((a 1,a 2,...,a n),(0,0,...,0)) E(Q n) χ i1,i 2,...,i k (α a1,a 2,...,a n ) = ( 1) a i 1 +a i a ik Po deniciji Q n so obravnavana zaporedja (a 1, a 2,..., a n ) tista, ki imajo natan no en neni eln element (saj so to vsi sosedi vozli² a, ki ga predstavlja (0, 0,..., 0)). V zgornji vsoti se²tejemo ( ) n 1 k enic (to so tisti izbori v katerih ni enice in zato dobimo ( 1) 0 ) in od²tejemo ( n 1 k 1) enic (to so tisti izbori v katerih imamo enico in zato dobimo 1). Zato je λ i1,i 2,...,i k = n 2k. Lastne ( vrednosti Q n so tako enake: n, n 2,..., n, pri emer je kratnost n 2k enaka n ) k. Druga re²itev: Q n je kartezi ni produkt n kopij K 2. Zato njegove lastne vrednosti dobimo kot λ 1 + λ λ n, kjer so λ i = ±1 lastne vrednosti K 2. Nadaljujemo kot zgoraj. Izrek 3.2. Spekter cikla C n je 2, 2 cos 2π n, 2 cos 4π n,..., 2 cos 2(n 1)π n. Prva re²itev: Naj bodo vozli² a C n ozna ena v naravnem vrstnem redu. Potem naj bo: kjer je ε n- ti koren enote. Potem imamo x µ = ε µ, x = (x 1, x 2,..., x n ), Ax = (x ν) n ν=1, kjer je x ν = x ν 1 + x ν+1 = ε ν 1 + ε ν+1 = (ε + 1 ε )εν = (ε + ε)x ν. Zato je ε + ε lastna vrednost in upo²tevajo, da obstaja n korenov enote, dobimo vse lastne vrednosti. Zato so lastne vrednosti C n enake: 2, 2 cos 2π, 2 cos 4π 2(n 1)π,..., 2 cos. n n n Druga re²itev: Naj bo Γ najprej usmerjeni ncikel D n. Lastni vektorji so (1, ζ, ζ 2,..., ζ n 1 ) T, kjer je ζ n = 1 in pripadajo a lastna vrednost je ζ. Zato spekter vsebuje to no kompleksne nte korene enice e 2πij n za j = 0, 1,..., n 1. Opazujmo sedaj ²e neusmerjeni ncikel C n. ƒe je B matrika sosednosti cikla D n, potem je A = B + B T matrika sosednosti cikla C n. Nekateri lastni vektorji so taki kot prej, z lastnimi vrednostmi ζ + ζ 1, tako da je spekter sestavljen iz ²tevil 2 cos 2πj za j = 0, 1,..., n 1. n

51 Poglavje 4 Laplaceova matrika grafa in izrek o ²tevilu vpetih dreves grafa Ma²a Ba² arevi 4.1 Uvod Laplaceova matrika grafa je predstavitev grafa z matriko. Laplaceov spekter je spekter Laplaceove matrike. Uporaba Laplaceovega spektra ima dolgo zgodovino v kombinatoriki, teoriji grafov in optimizacijskih nalogah. Wilf [4] in Homan [5] sta v zgodnjih ²ezdesetih letih formulirala omejitve kromati nega ²tevila grafa s pomo jo spektra Laplaceove matrike. Zgodovinski, naslednjo uporabo, ki je bila v zvezi z optimizacijskim nalogam, so ustvarili Fielder [6], Donath in Homan [7], opisovala pa je particije grafov. e ena zelo pomembana uporaba lastnih vrednosti je Lovaszova predstavitev θ-funkcije, ki nam omogo a edini znani na in ra unanja kromati nega ²tevila perfektnih grafov v polinomski asovni zahtevnosti O(n k ). Laplaceova matrika se imenuje tudi Kirchhoova matrika, zaradi njene vloge v izreku o ²tevilu vpetih dreves grafa. Ime Laplaceova matrika se zdi bolj primerno, glede na dejstvo, da je to matrika diskretnega Laplaceovega operatorja, ki je eden izmed osnovnih diferencialnih operatorjev v kvantni kemiji. 4.2 Laplaceova matrika Na za etku poglejmo nekaj decij Laplaceove matrike. Denicija 4.1. Laplaceova matrika grafa X, ozna ena z L(X) je denirana kot razlika matrik L(X) = (X) A(X), kjer je A matrika sosednosti grafa X, (X) pa diagonalna matrika, dimenzije n n, diagonalni elementi matrike so stopnje vozli² : { d(i) e i = j; [ ] ij = 0 sicer. 51

52 52POGLAVJE 4. LAPLACEOVA MATRIKA GRAFA IN IZREK O TEVILU VPETIH DREVES GRA kjer je d(i) stopnja vozli² a i. To matriko imenujemo tudi matrika stopenj vozli². Elementi Laplaceove matrike so: 1 e sta si vozli² i i in j sosednji; [L] ij = d(i) e i = j; 0 sicer. Denicija 4.2. Naj bo σ poljubna orientacija grafa X, potem je L(X) = DD T Laplaceova matrika grafa X, kjer je D inciden na matrika orientiranega grafa X σ. Inciden na matrika D, velikosti n e, ima elemente: 1 e se v vozli² u i kon a povezava j; [D] ij = 1 e se v vozli² u i za ne povezava j; 0 sicer. Opomba: Iz druge denicije vidimo, da je Laplaceova matrika neodvisna od orientacije grafa. Denicija 4.3. Naj bo L(X uv ) Laplaceova matrika grafa X uv, kjer je X uv graf z n vozli² i in samo eno povezavo med vozli² ema u in v. Potem lahko Laplaceovo matriko grafa X zapi²emo kot: L(X) = L(X uv ). (u,v) E Lema 4.4. Naj bo X graf z n vozli² i in c povezanih komponent. Lapcaceova matrika. Potem je rang L = n c. L naj bo njegova Dokaz. Naj bo D inciden na matrika za poljubno orientiran graf X. Pokazali bomo, da je rang D = rang D T = rang DD T. ƒe upo²tevamo tudi dejstvo da je rang D = n c je lema dokazana. Naj bo z R n tak da velja DD T z = 0, potem velja tudi z T DD T z = 0. Ker je ta izraz kvadrat dolºine vektorja D T z, mora veljati tudi D T z = 0. Torej, katerikoli vektor, ki je v jedru DD T je tudi v jedru D T, iz esar sledi, da je rang DD T = rang D. [!htbp] Naj bo X graf z n vozli² i in naj bo L njegova Laplaceova matrika. Ker je L simerti na so njene lastne vrednosti realne in R n ima ortogonalno bazo sestavljeno iz lastnih vektorjev L. Ker je L = DD T, je pozitivno semidenitna in so lastne vrednosti nenegativne. Ozna imo jih z λ 1 (L), λ 2 (L),..., λ n (L) in predpostavimo, da velja λ 1 (L) λ 2 (L) λ n (L) Ponavadi pi²emo λ i (L) namesto λ i (L(X)), ali preprosto λ i ko je razvidno iz konteksta kaj je L, ali e je L nepomembna. Za λ n bomo tudi uporabljali oznako λ. Za vsak graf je λ 1 ker je L1 = 0. Ve kratnost ni le kot lastne vrednosti L je (po prej²nji lemi) enaka ²tevilu komponenti grafa X, iz esa sledi, da je λ 2 povezanih grafov najmanj²a neni elna lastna vrednost. ƒe je X regularni graf, potem so lastne vrednosti njegove Laplaceove matrike dolo ene z lastnimi vrednostmi matrike sosednosti. Lema 4.5. Naj bo X regularni graf stopnje k. ƒe ima matrika sosednosti A lastne vrednosti θ 1, θ 2,..., θ n potem ima Laplaceova matrika L lastne vrednosti k θ 1, k θ 2,..., k θ n.

53 4.2. LAPLACEOVA MATRIKA 53 Dokaz. ƒe je X k-regularen, potem je L = (X) A = ki A. Torej je vsak lastni vektor A lastne vrednosti θ tudi lastni vektor L lastne vrednosti k θ. [!htbp] Iz tega sledi, da e sta dva regularna grafa kospektralna, potem imajo tudi enak Laplaceov spekter. Ampak to ne velja v splo²nem. Kospektralna grafa na Sliki 1 nimata enak Laplaceov spekter. Naslednji premislek nam odkrije odnos med Laplaceovim spektrom Slika 4.1: kospektralna grafa grafa X in Laplaceovim spektrom njegovega komlementa X. Lema 4.6. ƒe je X graf z n vozli² i in 2 i n, potem λ i (X) = n λ n i+2 (X). Dokaz. Najprej opazimo, da velja L(X) + L(X) = ni J. Vektor 1 je lastni vektor L(X) in lastni vektor L(X) ki ustreza lastni vrednosti 0. Naj bo x nek drug lastni vektor L(X) neke lastne vrednosti λ. Lahko predpostavimo, da je x pravokoten na 1. Potem je Jx = 0, torej nx = (ni J)x = L(X)x + L(X)x = λx + L(X)x. Iz tega vidimo, da je L(X)x = (λ n)x. [!htbp] Opazimo, da je ni J = L(K n ), kar pomeni da lahko zapi²emo ena bo iz dokaza kot L(X) + L(X) = L(K n ). Iz dokaza leme sledi da so lastne vrednosti matrike L(K n ) n z ve kratnostjo n 1 in 0 z ve kratnostjo 1. Dejsto, da je K m,n komplement K m K n skupaj z prej²njo lemo lahko uporabimo, da bi dolo ili lastne vrednosti polnega dvodelnega grafa. Karakteristi ni polinom L(K m,n ) je t(t m) n 1 (t n) m 1 (t m n). Poglejmo ²e eno uporabno posledico prej²nje leme. Lema 4.7. ƒe je X graf z n vozli² i, potem je λ n (X) n. ƒe ima X c komponent, potem je ve kratnost lastne vrednosti n matrike L(X) enaka c 1. Neslednji rezultat je lastnost Laplaceove matrike, ki nam pove veliko o njenih lastnih vrednostih. Lema 4.8. Naj bo X graf z n vozli² i in Laplaceovo matriko L. Potem za vsak vektor x velja: x T Lx = (x u x v ) 2 Dokaz. Opazimo, da je uv E(X) x T Lx = x T DD T x = (D T x) T (D T x) in da, e je uv E(X), je produkt D t x, ki ustreza uv enak ±(x u x v ). [!htbp]

54 54POGLAVJE 4. LAPLACEOVA MATRIKA GRAFA IN IZREK O TEVILU VPETIH DREVES GRA 4.3 Vpeta drevesa V tem razdelku bomo pogledali kako lahko s pomo jo Laplaceove matrike pora unamo ²tevilo vpetih dreves grafa. Najprej poglejmo nekaj pomoºnih denicij. Denicija 4.9. Γ je vpet podgraf grafa X, e je V (Γ) = V (X). Denicija Vpet graf, ki je drevo, se imenuje vpeto drevo. Slika 4.2: Graf X in njegova vpeta drevesa Naj bo M simetri na matrika v kateri so vrstice in stolpci indeksirani z elementimi mnoºice V. Potem z M[S] ozna imo podmatriko matrike M, ki jo dobimo, ko iz matrike M odstranimo vse vrstice in stolpce ki imajo indeks v S. Mnoºica S je seveda podmnoºica V. Problem Naj bo matrika M: Potem je matrika M[2]: [ ] Matrika M[2, 3]: [ 4 ]. Izrek Naj bo X graf in L njegova Laplaceova matrika. ƒe je u poljubeno vozli² e grafa X, potem je det L[u] enaka ²tevilu vpetih dreves grafa X. Dokaz. Dokazujemo z indukcijo po ²tevilu povezav grafa X. Slika 4.3: K 2 Graf z eno povezavo o itno vsebuje samo eno vpeto drevo. Laplaceova matrika je: [ ] 1 1 L(K 2 ) = 1 1

55 4.3. VPETA DREVESA 55 Slika 4.4: X, X e in X/e O itno je det L[1] = det L[2] = 1. Dokaºimo zdaj indukcijski korak. Ozna imo z τ(x) ²tevilo vpetih dreves grafa X. ƒe je e povezava grafa X potem vsako vpeto drevo grafa X bodisi vsebuje e bodisi ne vsebuje e. Poglejmo grafa X e (graf, ki ga dobimo ko zbri²emo povezavo e) in X/e (graf, ki ga dobimo, ko skr imo povezavo e): Vidimo, da je ²tevilo vpetih dreves grafa X, ki vsebujejo povezavo e enako τ(x/e). Po drugi strani, ²tevilo vpetih dreves grafa X, ki ne vsebujejo e je enako τ(x e). Torej τ(x) = τ(x/e) + τ(x e). Predpostavimo, da je povezava e = uv in naj bo E matrika velikosti n n, ki ima povsod ni le razen na E vv, kjer je enaka 1. Potem je L[u] = L(X e)[u] + E. Opazimo, da velja L(X e)[u, v] = L[u, v]. Iz tega sledi, da je det L[u] = det L(X e)[u] + det L(X e)[u, v]. Predpostavimo, da dobimo X/e ko skr imo u na v, tako da velja V (X/e) = V (X) u. Potem so vrstice in stolpci matrike L(X/e)[v] indeksirane z elementimi mnoºice V (X) {u, v}, kjer je i, j-ta vrednost enaka L i,j. Potem je L(X/e)[v] = L[u, v] in det L[u] = det L(X e)[u] + det L(X/e)[v]. Po indukcijski predpostavki velja, da je det L(X e)[u] = τ(x e) in det L(X/e)[v] = τ(x/e). [!htbp] Problem Laplaceova matrika grafa na Sliki 4 je: Potem je matrika L[4]: det L[4] = = 3

56 56POGLAVJE 4. LAPLACEOVA MATRIKA GRAFA IN IZREK O TEVILU VPETIH DREVES GRA Denicija Naj bo M kvadratna matrika. Z M(i, j) ozna imo matriko ki jo dobimo, ko zbri²emo i-to vrstico in j-ti stolpec matrike M. Potem je ( 1) i+j det M(i, j) ij-kofaktor matrike M. Z adj(m) ozna imo matriko, ki na i, j-tem mestu ima ji-kofaktor matrike M. Opomba: M adj (M) = (det M)I. Iz prej²njega izreka sledi da, e je L Laplaceova matrika grafa, potem so vrednosti na diagonali adj(l) vse enake. Presenetljivo je, da so vse vrednosti adj(l) enake, ne samo tiste na diagonali. Lema Naj bo τ(x) ²tevilo vpetih dreves grafa X in naj bo L njegova Laplaceova matrika. Potem je adj(l) = τ(x)j, kjer je J matrika enic. Dokaz. Naj X ima n vozli². Najprej predpostavimo, da X ni povezan, tako da je τ(x) = 0. Potem je najve ji moºni rang L enak n 2, tako da je katerakoli podmatrika matrike L velikosti (n 1) (n 1) singularna in potem je adj(l) = 0. Torej lahko predpostavimo, da je X povezan graf. Potem je adj(l) 0, po drugi strani pa velja, da je produkt L adj(l) = 0. Ker je X povezan, v jedru njegove Laplaceove matrike so konstantni vektorji, torej stolpci matrike adj(l) morajo biti konstantni vektorji. Ker so vse vrednosti na diagonali enake sledi, da so vse vrednosti enake. [!htbp] Lema Naj bo X graf z n vozli² i in naj bodo λ 1, λ 2,..., λ n lastne vrednosti njegove Laplaceove matrike. Potem je ²tevilo vpetih dreves grafa X enako 1 n λ i. n i=2 Dokaz. Lema o itno drºi za nepovezane grafe, torej lahko predpostavimo, da je graf povezan. Z φ(t) ozna imo karakteristi ni polinom Laplaceove matrike X. Ni le tega polinoma so lastne vrednosti L. Ker je λ 1 = 0 je konstantni len enak 0 in je koecient linearnega lena enak Po drugi strani je ( 1) n 1 det(a + B) = n i=2 λ i. S {1,...,n} det A S. Ko to pravilo uporabimo na matriko ti + ( A), vidimo da je koecient pred t n k v det(ti A) enak produktu ( 1) k in vsote determinant glavnih podmatrik velikosti k k matrike A. Potem je koecient linearnega lena polinoma φ(t) enak ( 1) n 1 det L[u]. [!htbp] u V (X) Problem Ko poznamo prej²njo lemo, lahko hitro pora unamo ²tevilo vpetih dreves K n. Spomnimo se, da so vse neni elne lastne vrednosti Laplaceove matrike K n enake n. Potem je τ(k n ) = 1 n nn 1 = n n 2. Primer, ko je n = 4, vidimo na Sliki 5, τ(k 4 ) = = 16.

57 4.3. VPETA DREVESA 57 Slika 4.5: Vpeta drevesa K 4

58 58 LITERATURA Literatura [1] C. Godsil, G. Royle, Algebraic Graph Theory, (2001). [2] B. Mohar, Some Applications of Laplace Eigenvalues of Graphs, (1997). [3] FAMNIT-knjiga. [4] H. S. Wilf, The eigenvalues of a graph and its chromatic number, (1967). [5] A. J. Homan, On eigenvalues and colorings of graphs, in Graph Theory and Its Applications"(B. Harris, ed.), Acad. Press, (1970). [6] M. Fiedler, Algebraic connectivity of graphs, Czech. Math. J., (1973). [7] W. E. Donath, A. J. Homan, Lower bounds for the partitioning of graphs, IBM J. Res. Develop., (1973).

59 Poglavje 5 Risanje velikih grafov s pomocjo linearne algebre Gasper Azman V tem poglavju se bomo ukvarjali z implementacijo algoritma, primernega za risanje velikih grafov. Velik graf bomo denirali kot to k ali ve. Pri tako velikih grah klasi ne metode za risanje, ki so ve inoma osnovane na silah med to kami, odpovejo, saj zahtevajo vsaj O(m + n) operacij na iteracijo, in konvergirajo po asi, saj navadno za konvergenco rabimo O(n) iteracij. Poleg sta tako rezultat kot hitrost odvisna od dobre izbire za etne pozicije, kar oteºuje analizo. Ve ji od teh dveh problemov je rezultat, saj se iterativne metode prerade ujamejo v lokalne minimume, kar pomeni, da o globalni sliki ne moremo povedati ni esar. V tem primeru so linearne metode odli ne, saj se ukvarjajo predvsem z zvesto globalno sliko, ki jo lahko z uporabo nekaj iteracij kake iterativne metode popravimo do tega, da lepo predstavi tudi lokalne detajle. Algoritma, ki ju bomo predstavili, uporabljata linearno algebro, njuna asovna zahtevnost pa je bolj²a kot kvadratna. Za laºje razumevanje bomo predstavili tudi osnovni algoritem MDS, ki je poskrbel za idejo, a je zaradi potratnosti izra una razdaljne matrike neuporaben. Glavni vir za to nalogo je bilo doktorsko delo Christiana Picha: Applications of Multidimensional Scaling to Graph Drawing, univ. v Konstanzu, Denicije Razporeditev je seznam to k v R 3 ali R 2, ki pripadajo posameznim to kam grafa. Cilj te naloge je poiskati tako razporeditev. BFS ali iskanje v ²irino, je algoritem, s katerim bomo re²ili problem poti med dvema to kama v O(n) asu. Seveda moramo pri tem predpostaviti, da so vse poti dolge 1. APSP je ime za problem dolo itve razdalj med vsemi pari to k v grafu (angl. all pairs shortest paths). V tej nalogi bomo za re²itev problema uporabili kar iterirani BFS, 59

60 60POGLAVJE 5. RISANJE VELIKIH GRAFOV S POMOCJO LINEARNE ALGEBRE kar nam ta problem re²i v O(n 2 ) za neuteºene grafe. max_eigenpairs(d, k) bo metoda, ki poi² e k lastnih parov matrike D, za en²i z najve jimi po absolutni vrednosti. V ta namen uporabimo poten no metodo s hotelingovimi redukcijami. Oznaka D (2) bo ozna evala matriko, katere elementi so kvadrati elementov matrike D. Vsi vektorji, ki jih obravnavamo, so stolpci. 5.2 Klasi ni MDS Klasi ni MDS je eksaktna metoda za vloºitev grafa v R n 1. Je ve inoma akademske vrednosti, saj potrebujemo najprej izra unati celotno razdaljno matriko (re²iti problem najkraj²ih poti med vsemi pari ali APSP), kar nam vzame O(n 2 ) asa, nato pa ²e izra unati lastne vrednosti matrike, kar je spet O(n 3 ), ali pa O(n 2 ), e se omejimo le na nekaj najve jih lastnih vrednosti. Naj bo D matrika razdalj med vozli² i (neusmerjenega) grafa G. Ozna imo d ij = d G (v i, v j ). D = (d ij ) vi,v j V (G) Opazimo: D je simetri na, z ni lami na diagonali, in vsi njeni elementi so nenegativni. I² emo tako razporeditev X = [x 1,..., x n ] R 3 d, da se bodo razdalje med to kami v R d ujemale z razdaljami v grafu, torej x i x j = d ij. Ker je pogoj translacijsko invarianten, lahko zahtevamo ²e, da je celotna razporeditev centrirana na izhodi² e, torej da velja n x i = 0. Sedaj lahko x i, x j izrazimo kot saj i=1 x i, x j = 1 2 (d2 ij x i 2 x j 2 ), d ij = x i x j 2 = x i x j, x i x j = x i 2 2 x i, x j + x j 2. ƒe se²tejemo najprej po vrsticah ter uporabimo dejstvo, da je razporeditev centrirana, dobimo za vsak j: n n d ij = ( x i 2 2 x i, x j + x j 2 ) i=1 = = = i=1 ( n n ) ( x i 2 + x j 2 ) x i, x j i=1 n ( x i 2 + x j 2 ) i=1 n x i 2 + n x j 2 i=1 i=1

61 5.2. KLASIƒNI MDS 61 in podobno za vsak i. Dobimo: n n d ij = x i 2 + n x j 2 i=1 i=1 n d ij = n x i 2 + i=j i=j n x j 2 ƒe vzamemo ena bo za j in se²tejemo po vseh i: n i=1,j=1 d 2 ij = 2n n x i 2 Zanimivo je, da lahko to dejstvo skupaj s prej²njo ena bo za x i, x j uporabimo, da pokaºemo ( ) b ij = x i, x j = 1 d 2 ij 1 n n d 2 ij d 2 ij + 1 n d 2 2 n n 2 ij, i=1 i=1 i=1 i=1,j=1 s imer smo pokazali, da se da skalarne produkte med vektorji izraziti iz same razdaljne matrike. Ozna imo B = (b ij ) n i,j=1 R n n. Spomnimo se, da je X iskana razporeditev to k v prostoru. Pokazali smo, da velja X T X = B. Ker je B simetri na, so njene lastne vrednosti in vektorji realni. Dekomponirajmo B v n B = UΛU T = λ i u i u T i, kjer je Λ = diag(λ 1,..., λ n ) in U = [u 1,..., u n ] matrika normiranih lastnih vektorjev u i. Nadalje zahtevamo, da velja za vsak i : λ i λ i+1. Ker smo privzeli, da so koordinate centrirane, vedno dobimo vsaj eno ni elno lastno vrednost. To je o itno tudi zaradi dejstva, da lahko graf na n to kah vedno eksaktno vloºimo v R n 1. Recimo, da smo dobili d neni elnih lastnih vrednosti. Tedaj lahko graf eksaktno vloºimo v R d. Originalne koordinate nato dobimo kot i=1 X T = [ λ 1 u 1,..., λ d u d ]. V praksi nam tako numeri ne napake kot tudi napake v podatkih ponavadi povzro ijo, da dobimo relativno malo ni elnih lastnih vrednosti, eprav je bil graf na za etku npr. ravninski. Pri rekonstrukciji vsak lastni par (λ i, u i ) dolo a eno dimenzijo, katere interpretacija je odvisna od λ i : e je λ i velika in pozitivna, ta dimenzija veliko prispeva k dani matriki, in jo moramo upo²tevati; majhne lastne vrednosti interpretiramo kot napake, in jih lahko ignoriramo, velike negativne lastne vrednosti pa pomenijo, da smo dobili podatke, ki v osnovi niso bili del R n - recimo, ne zado² ajo trikotni²ki neenakosti. Ker so gra metri ni prostori, za razdaljne matrike grafov takih problemov ne bomo imeli.

62 62POGLAVJE 5. RISANJE VELIKIH GRAFOV S POMOCJO LINEARNE ALGEBRE Algorithm 1 Klasi ni MDS Require: Razdaljna matrika D R n n Ensure: Razporeditev X R n 3 Izra unaj B. Dekomponiraj B v UΛU T. for i = 1 d do x i = max(λ i, 0)u i end for return X = [x 1 x 2 x n ] 5.3 Pivot MDS Pivot MDS je na in aproksimacije klasi nega multidimenzionalnega skaliranja, ki porabi le O(k 2 n) operacij, da izra una sliko, kjer je k ²tevilo pivotov. Ve je je ²tevilo pivotov, bolj²a je slika. V praksi pogosto za dobro sliko zado² a ºe p = 50, zato lahko za pivot MDS re emo, da je linearen. Naj bo P V (G), P = k. ƒe p P, v V, je d pv razdalja med p in v v grafu. Naj bo D R n k matrika razdalj med k pivoti in vsemi vozli² i grafa. Za njen izra un potrebujemo O(kn) operacij (BFS za vsak pivot). Iskali bomo razporeditev, ki kar najbolj ustreza pogojem d vp x v x p. Ponovimo izpeljavo iz prej²njega razdelka, in dodatno predpostavimo, da so pivoti dobro porazdeljeni po grafu, tako da je tudi njihov baricenter v ni li: x p = 0. p P Po enakem ra unu kot prej (a tokrat le za pivote) dobimo x v, x p 1 2 (d2 vp x v, x v x p, x p ). Spet ponovimo izpeljavo od prej, pri emer upo²tevamo, da imamo le k pivotov, da dobimo ( ) x v, x p = 1 d 2 vp 1 d 2 vp 1 2 k n d2 vp + 1 d 2 vp. nk C. p P v V,p P Tako lahko spet izrazimo delno matriko skalarnih produktov med vektorji. Recimo ji C = ( x v, x p ) v V,p P Zanimajo nas singularne vrednosti in vektorji te matrike. Izra unamo jih kot lastne vrednosti CC T, ki pa je n n, in je zato no emo izra unati v celoti. Tu nam na pomo prisko i asociativnost mnoºenja z matriko in algoritem, ki smo ga uporabili za izra un lastnih vrednosti in vektorjev. Izra unati ºelimo lim i (CCT ) i y,

63 5.4. IMPLEMENTACIJA 63 kar storimo tako, da iterativno ra unamo Zaradi asociativnosti lahko to preuredimo v y i+1 = CCT y i CC T. lim i (CCT CC T... CC T )y = lim C(C T C... C T C)C T y = C lim (C T C) i C T y. i i Pri tem je C T C k k matrika, kar pomeni, da je majhna, in mnoºenje z njo je hitro. Algorithm 2 Pivot MDS Require: Razdaljna matrika D R n k Ensure: Razporeditev X R n 3 Izra unaj C. H = C T C Izra unaj d lastnih parov H z ortogonalno iteracijo kot v klasi nem MDS. Naj bodo to y i R k. for i = 1 d do x i = Cy i end for return X = [x 1 x 2 x 3 ] Izbira pivotov Ni esar ²e nismo povedali o tem, kako izbiramo pivote tako, da doseºemo kar najbolj²o razporeditev pri nizkem ²tevilu pivotov. Spomnimo se, da moramo pivote izbrati tako, da bo njihov baricenter karseda enak baricentru vseh to k v grafu. Bliºje bosta oba centra, bolj natan na bo slika, saj tako izra unamo pozicije vseh ostalih to k v grafu. Pogojem algoritma z visoko verjetnostjo zadostimo ºe kar tako, da pivote izberemo naklju no, a izkaºe se, da jih lahko izbiramo ²e bolje. Prvi pivot p 1 izberimo naklju no. Izberimo naslednji pivot tako, da bo kar se da da oddaljen od prvega. Izra unamo problem najkraj²ih poti iz p 1, (BFS ali Dijkstra), nato pa izberemo element, pri katerem je doseºen maksimum. Izbrano vozli² e ozna imo s p 2. Naslednjega izberemo tako, da izra unamo problem najkraj²ih poti za p 2 in izberemo tisto vozli² e, ki ima najve ji minimum oddaljenosti od p 1 in p 2, naslednjega tako, da ima najve ji minimum oddaljenosti do vseh prej²njih treh itd. Iskaºe se, da je ta na in problemati en za grafe, na katere so obe²ene dolge poti, saj so le-te potem prekomerno reprezentirane. V izogib temu je najbolje, da vsak k-ti pivot izberemo naklju no, za nek primeren k, npr. 10 ali Implementacija Izdelal sem tudi implementacijo tega algoritma in vseh ostalih, potrebnih za njegovo delovanje. Program je napisan v jeziku C++, za risanje uporablja gra no knjiºnjico za 3d gra- ko OpenSceneGraph ) in Boost Graph Library ( libs/graph/ ) za implementacijo Floyd-Warshallovega algoritma. Uporablja tudi knjiºnjico

64 64POGLAVJE 5. RISANJE VELIKIH GRAFOV S POMOCJO LINEARNE ALGEBRE Algorithm 3 Izbira pivotov po na inu minmax. Require: G graf, k dolºina ºelenega seznama pivotov Ensure: P seznam pivotov, D razdaljna matrika od pivotov do vseh vozli² v V (G). D R n k. p 1 P = naklju no vozli² e iz V (G). for i = 1 k do d i = spp(g, p i ) p i+1 = argmax j=1 n argmin l=1 i d ij end for return p = [p 1 p 2 p k ], D Boost Ublas ( za osnovne operacije v linearni algebri. Iskanje lastnih vrednosti sem implementiral sam, kakor tudi vse naprednej²e funkcije iz linearne algebre. Koda je dostopna na zahtevo pod MIT licenco.

65 Poglavje 6 Prevodnost grafa, risanje 3-povezanih ravninskih grafov in posplo²ena Laplaceova matrika Mojca Longar 6.1 Prevodnost grafa Zdaj se bomo seznanili z nekaterimi najpomembnej²imi lastnostmi druge lastne vrednosti Laplaceove matrike grafa λ 2. Naj bo X graf in S V (X). Z S bomo ozna ili podmnoºico povezav, ki imajo eno kraji² e v mnoºici S in drugo v mnoºici V (X)\S. Lema 6.1. Naj bo X graf z n vozli² i in S podmnoºica V (X). Potem velja ocena: λ 2 (X) n S S (n S ). Dokaz. Predpostavimo, da je S = a. Naj bo z vektor (nanj gledamo kot na funkcijo na mnoºici V (X)) igar vrednost na vozli² ih iz mnoºice S je enaka n a in a na vozli² ih grafa X, ki ne pripadajo mnoºici S. Potem je z ortogonalen na vektor 1 in po posledici velja λ 2 (X) Σ uv E(X)(z u z v ) 2 Σ u z u 2 = Lema sledi direktno iz zgornje neenakosti. S n 2 a(n a) 2 + (n a)a 2. Poglejmo si kako lahko lemo poenostavimo za enoelementno mnoºico S. Naj bo S enoelementna mnoºica. Vozli² e v S naj bo stopnje k. Potem iz leme sledi: λ 2 (X) kn (n 1) Na²a ocena je ²ibkej²a kot Fielderjev rezultat, ki pravi, da λ 2 ni ve ja kot minimalna stopnja vozli² grafa X (Izrek ). 65

66 66POGLAVJE 6. PREVODNOST GRAFA, RISANJE 3-POVEZANIH RAVNINSKIH GRAFOV IN PO Na²a naslednja trditev je mnogo bolj pomebna. Denirajmo prevodnost Φ(X) grafa X kot minimalna vrednost izraza: S S, kjer S prete e vse podmnoºice vozli² V (X) mo i najve V (X) /2. (Mnogo avtorjev poimenuje zgornji izraz izoperimetri no ²tevilo grafa. Na²a poimenovanja se skladajo z Lovaszom). Iz Leme 1 dobimo naslednjo oceno: Posledica 6.2. Za vsak graf X velja Φ(X) λ 2(X). 2 Dejanski pomen zgornje omejitve nam pove, da lahko λ 2 izra unamo do dolo enega ²tevila decimalk natan no v polinomskem asu. Medtem, ko je dolo itev prevodnosti grafa X NP-hard problem. Druºino grafov s konstantno stopnjo in prevodnostjo, ki je omejena s pozitivno konstanto imenujemo druºina raz²irjevalcev. Le ta je pomembna v teoreti ni ra unalni²ki znanosti, v praksi pa je ne uporabljamo. Bisekcijska ²irina grafa X, ki ima n vozli² je denirana kot: min S, za vsako podmnoºico vozli² S mo i n/2. Ponovno smo naleteli na NP-hard problem, ampak si lahko pri ocenjevanju pomagamo z naslednjim: Posledica 6.3. Bisekcijska ²irina grafa X, ki ima 2m vozli² je najmanj mλ 2(X) 2. Slednjo trditev si bomo pogledali na primeru k-hiperkocke Q k. V Vaji 13 smo preverili, da velja λ 2 (Q k ) = 2. Od tod sledi, da je bisekcijska ²irina k-kubov najmanj 2 k 1. To vrednost zlahka doseºemo in zato je 2 k 1 kar natan na vrednost. Sedaj bomo z bip(x) ozna ili maximalno ²tevilo povezav v dvodelnem podgrafu grafa X. To ²tevilo je enako maximalni vrednosti S, kjer S prete e vse podmnoºice V (X) mo i najve V (X) /2. Lema 6.4. Naj bo X graf z n vozli² i. Potem velja: bip(x) nλ (X). 4 Dokaz. ƒe uporabimo Lemo 1 na komplementu grafa X dobimo: kar je ravno ºelena neenakost. S S (n S )λ (X) n nλ (X), Kako narisati 3-povezan ravninski graf Opisali bomo izredno metodo za dolo anje ravninskosti 3-povezanega grafa, ki jo je predstavil britanski matematik Tutte.

67 6.2. KAKO NARISATI 3-POVEZAN RAVNINSKI GRAF 67 Lema 6.5. Naj bo S mnoºica to k v R m. Potem vektor x R m minimizira y S x y 2 e in samo e x = 1 y. S Dokaz. Naj bo ŷ centroid mnoºice S. Torej: ŷ = 1 S y S y. y S Potem x y 2 = (x ŷ) + (ŷ y) 2 y S y S = S x ŷ 2 + y S ŷ y y S x ŷ, ŷ y = S x ŷ 2 + y S ŷ y 2. Minimum torej dobimo e in samo e x = ŷ. Predstavitev ρ grafa X je baricentri na glede na podmnoºici F V (X), e je za vsako to ko u, ki ni v mnoºici F vektor ρ(u) centroid slik sosedov vozli² a u. Baricentri no predstavitev zlahka uravnovesimo, vendar ponavadi ta predstavitev ni ortogonalna. ƒe imamo navedene slike vozli² iz F, potem ima baricentri no vgnezdenje minimalno energijo. Na² naslednji rezultat formalira povezavo z Laplacevo matriko. Lema 6.6. Naj bo F podmnoºica vozli² in ρ predstavitev grafa X. Z R ozna imo matriko, katere vrstice so slike vozli² grafa X. Laplaceovo matriko grafa pa ozna imo z Q. Potem je predstavitev ρ baricentri na glede na mnoºico F, e in samo e so v produktu QR vrstice, ki pripadajo vozli² em grafa X\F vse ni elne. Dokaz. Vektor x imenujemo centroid vektorjev iz S, e in samo e (x y) = 0. Naj ima vozli² e u stopnjo d. Potem je u-ta vrstica matrike QR enaka y S dρ(u) v u ρ(v) = v u ρ(u) ρ(v). Od tod takoj sledi na²a lema. Lema 6.7. Naj bo X povezan graf in F podmnoºica vozli² tega grafa. Z σ ozna imo preslikavo iz F v R m. ƒe je graf X\F povezan obstaja enoli na m-dimenzionalna predstavitev ρ grafa X, ki vsebuje σ in je baricentri na glede na podmnoºico vozli² F.

68 68POGLAVJE 6. PREVODNOST GRAFA, RISANJE 3-POVEZANIH RAVNINSKIH GRAFOV IN PO Dokaz. Laplaceovo matriko grafa X ozna imo z Q. Predpostavimo, da imamo ( ) Q1 B Q = T, B Q 2 kjer so stolpci in vrstice matrike Q 1 indiksirani glede na vozli² a mnoºice F. Naj matrika R predstavlja predstavitev grafa ρ. Lahko re emo ( ) R1 R =, kjer matrika R 1 prestavlja vrednosti preslikave σ na mnoºici F. Potem ρ vsebuje σ in je baricentri na glede na F, e in samo e ( ) ( ) ( ) Q1 B T R1 Y1 =. B Q 2 R 2 0 Potem BR 1 + Q 2 R 2 = 0. ƒe je matrika Q 2 obrnljiva dobimo: R 2 R 2 = Q 1 2 BR 1, Y 1 = (Q 1 B T Q 2 B)R 1. Dokaz bomo zaklju ili, ko pokaºemo da je X\F povezan graf in matrika Q 2 obrnljiva. Naj bo Y = X\F. Potem obstaja nenegativna diagonalna matrika 2, tako da velja: Q 2 = Q(Y ) + 2. Ker je graf X povezan, sledi 2 0. Pokazali smo torej, da je Q 2 pozitvno denitna matrika. Sedaj imamo: x T Q 2 x = x T Q(Y )x + x T 2 x. Velja x T Q(Y )x = ij E(Y ) (x i x j ) 2 in od tod vidimo x T Q(Y )x 0 in x T Q(Y )x = 0, e in samo e x = c1 za nek c. Sedaj x T 2 x = c 2 1 T 2 1, in to je pozitivno, e c 0. Zato x T Q 2 x > 0, e je le x 0. Z drugimi besedami: Q 2 je pozitivno denitna in posledi no je obrnljiva. Tutte je pokazal, da vsaka povezava v 3-povezanem grafu leºi na ciklu C tako, da nobena povezava v C ne zdruºi dveh to k cikla C in graf X\C je povezan. Te cikle je britanski matematik poimenoval obrobni cikli. Kot primer lahko povemo, da je vsako lice 3-povezanega grafa obrobni cikel. Predpostavimo, da je C obrobni cikel 3-povezanega grafa X, velikosti r. Naj bo σ preslikava, ki V (X) preslika v konveksni r-kotnik v R 2, taka da sosednja vozli² a v V (X) ostanejo sosednja v mnogokotniku. Iz zadnje leme, ki smo jo navedli sledi, da obstaja enoli na baricentri lna predstavitev ρ grafa X glede na podmnoºico vozli² F. To nam determinira risanje grafa X v ravnini, kjer so vsa vozli² a grafa X\C znotraj slike cikla C. Matematik Tutte je dokazal zares pomemben rezultat, da se to risanje ne kriºa, e in samo e je graf X ravninski. Obrobne cikle lahko najdemo v polinomski asovni zahtevnosti in ob tej predpostavki nam zadnja lema zagotavlja avtomati no metodo za risanje 3-povezanih ravninskih grafov. Na ºalost, z estetskega vidika, je kvaliteta izpisa vpra²ljiva. V asih je dobro za zunanji cikel slike vzeti kar najve je lice kot na Sliki 1. Na Sliki 2 sta predstavljena dva avtomorzma istega grafa. Glede na vse, v splo²nem e imamo veliko lic dolºine 3, nam algoritem vrne veliko ²tevilo lic v licu in zato imamo veliko moºnosti za risanje.

69 6.3. POSLO ENA LAPLACEOVA MATRIKA 69 Slika 6.1: Risanje kubi nega ravninskega grafa po metodi Tutta Slika 6.2: Risanje istega ravninskega grafa po metodi Tutta (dve razli ni metodi) 6.3 Poslo²ena Laplaceova matrika Preostanek lanka bomo namenili posplo²itvi Laplaceove matrike. Za veliko grafov, ki se nam na prvi pogled zdijo le ²ibko povezani se preko posplo²ene Laplaceove matrike pokaºe, da so si sorodni. Gra no teoreti ne lastnosti grafa lahko poveºemo v razli ne skupine, ki nam jih razkrije posplo²ena Laplaceova matrika. Nekaj naslednjih razdelkov je povod v ta pomemben in nedaven razvoj. Naj bo X graf z n vozli² i. Simetri no n n matriko Q imenujemo poslo²ena Laplaceova matrika grafa X, e velja: Q uv 0, ko sta u in v sosednji vozli² i in Q uv = 0, ko vozli² i u in v nista sosednji. Zanimivo je, da tukaj nimamo nobene omejitve na diagonalnih elementih matrike Q. V posebnem, to pomeni, da tukaj ne zahtevamo enakosti Q1 = 0. Laplaceova matrika je tudi poslo²ena Laplaceova matrika in e je A matrika sosednosti grafa X, potem je A poslo²ena Laplaceova matrika. Kot pri Laplaceovi matriki, ozna imo lastne vrednosti posplo²ene Laplaceove matrike Q kot: λ 1 (Q) λ 2 (Q) λ n (Q). Ukvarjali se bomo z lastnimi vektorji, ki pripadajo drugi lastni vrednosti λ 2 matrike Q. Naj bo Q posplo²ena Laplaceova matrika grafa X. Potem je za vsako konstanto c matrika Q ci poslo²ena Laplaceova matrika z istimi lastnimi vektorji kot matrika Q. Zato lahko predpostavimo, da vedno lahko svobodno postavimo λ 2 (Q) = 0. Lema 6.8. Naj bo X graf s posplo²eno Laplaceovo matriko Q. ƒe je X povezan, je λ 1 (Q) enostavna in pridajo i lastni vektor ima vse komponente pozitivne. Dokaz. Izberimo konstanto c tako, da so diagonalni elementi matrike Q ci nenegativni. Po izreku Perron-Frobenius je najve ja lastna vrednost matrike Q + ci enostavna in lastni vektor ima vse komponente pozitivne.

70 70POGLAVJE 6. PREVODNOST GRAFA, RISANJE 3-POVEZANIH RAVNINSKIH GRAFOV IN PO Naj bo x vektor z elementi indeksiranimi kot to ke grafa X. Potem je pozitiven nosilec supp + (x) sestavljen iz to k u, tako da velja x u > 0, in negativen nosilec supp (x) je sestavljen iz to k u za katere velja x u < 0. Vozli² na domena vektorja x je sestavni del enega od pografov, ki ga inducira supp (x) ali supp + (x). Vozli² na domena je pozitivna, e je sestavni del supp + (x), druga e je negativna. Naj bo Y vozli² na domena vektorja x. Potem je x Y vektor podan s predpisom: { xu za u Y (x Y ) u = 0 druga e. Naj bosta Y in Z lo eni vozli² ni domeni z istim predznakom. Ker nobena povezava grafa X ne poveºe vozli² v Y z vozli² i v Z, velja: x Y T Qx Z = 0. Lema 6.9. Naj bo x lastni vektor matrike Q z lastno vrednostjo λ in Y pozitivna vozli² na domena vektorja x. Potem velja (Q λi)x Y 0. Dokaz. Naj y ozna uje omejitev vektorja x k V (Y ) in naj bo z omejitev vektorja x k V (X) supp + (x). Z Q Y ozna imo podmatriko matrike Q, ki ima vrstice in stolpce indeksirane kot V (Y ) in naj bo B Y podmatrika matrike Q z vrsticami indeksiranimi kot V (Y ) in stolpci indeksiranimi kot V (X) supp + (x). Ker Qx = λx, imamo Q Y y + B Y z = λy. Vemo tudi, da sta B Y in z nepozitivni zato je B Y z nenegativna in velja: Q Y y λy. Lema Naj bo x lastni vektor matrike Q z lastno vrednostjo λ in U podprostor napet na vektorje x Y, kjer Y te e po pozitivni vozli² ni domeni vektorja x. ƒe je u U, potem u T (Q λi)u 0. Dokaz. Naj bo u = Y a Y x Y. Potem uporabimo ena bo x T Y Qx Y = 0 in vidimo, da u T (Q λi)u = Y a 2 Y x T Y (Q λi)x Y. Trditev od tod sledi iz prej²nje leme. Izrek Naj bo X povezan graf in Q posplo²ena Laplaceova matrika od X. Z x bomo ozna ili lastni vektor matrike Q, ki pripada lastni vrednosti λ 2 (Q). ƒe ima x minimalen nosilec, potem supp + (x) in supp (x) inducirata povezan podgraf grafa X. Dokaz. Predpostavimo, da je v lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti λ 2 z razli nima pozitivnima vozli² nima domenama Y in Z. Ker je X povezan in λ 1 enostavna lastna vrednost v razponu v Y in v Z gotovo vsebuje vektor u, ki je ortogonalen na λ 1 -lastni prostor. Sedaj lahko u zapi²emo kot linearno kombinacijo lastnih vektorjev matrike Q z lastnimi vrednostmi najmanj λ 2. Posledi no velja u T (Q λ 2 I)u 0 in enakost doseºemo e in samo e je u linearna kombinacija lastnega vektorja z lastno vrednostjo λ 2. Po drugi

71 6.4. DODATEK 71 strani, pa po prej²nji posledici sledi u T (Q λ 2 I)u 0 in tako u T (Q λ 2 I)u = 0. Torej u je lastni vektor matrike Q z lastno vrednostjo λ 2 in nosilec je enak V (Y ) V (Z). Vemo tudi, da ima lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti λ 2 oboje pozitvno in negativno vozli² no domeno, ker je ortogonalen na λ 1 -lastni prostor. Tako nam ta argument pokaºe, da lastni vektor z razli nima vozli² nima domenama istega predznaka nima minimalnega nosilca. Ker graf X ima minimalen nosilec mora imeti nata no eno pozitivno in eno negativno vozli² no domeno. Lema Naj bo Q posplo²ena Laplaceova matrika grafa X in x lastni vektor matrike Q. Potem za vsako vozli² e, ki ni vsebovano v supp(x) velja: ali nima nobenega soseda v supp(x) ali pa ima sosede v obojem supp + (x) in supp (x). Dokaz. Predpostavimo, da velja u / supp(x), torej x u = 0. Potem 0 = (Qx) u = Q uu x u + v u Q uv x v = v u Q uv x v. Velja enakost Q uv 0, e je v sosednje vozli² e od u in xv = 0 za vsa vozli² a, ki so sosednja vozli² u u ali vsota ima oboje pozitivne in negativne lene. V prvem primeru u ni sosed nobenega vozli² a v supp(x), v drugem pa ima sosede v supp + (x) in supp (x). 6.4 Dodatek Posledica Naj bo X graf z n vozli² i. Potem je minimalna vrednost izraza Σ uv E(X) (x u x v ) 2, Σ u x 2 u ko x prete e vse neni elne vektorje ortogonalne na 1, enaka λ 2 (x). Maksimalna vrednost je λ (x). Izrek Naj bo S podmnoºica vozli² grafa X. Potem velja: λ 2 (X) λ 2 (X\S) + S. Literatura [1] C. D. Godsil, G. Royle, Algebraic graph theory, Conductance and Cutsets (2001), [2] C. D. Godsil, G. Royle, Algebraic graph theory, How to draw a graph (2001), [3] C. D. Godsil, G. Royle, Algebraic graph theory, The generalized Laplacian (2001), [4] W. T. Tutte, How to draw a graph, Peripheral polygons (1962), [5] W. Imrich, S. Klavºar, Product graphs structure and recognition, Planar graphs (2000), [6] D. A. Spielman, Spectral graph theory and its applications, Tutte embeddings of planar graphs(2004), 2128.

72 72 LITERATURA

73 Poglavje 7 O energiji, povezanosti in lastnih vrednostih grafa Ur²a olinc V tej seminarski nalogi najprej deniramo predstavitev grafa in njeno energijo in poka- ºemo, da je energija grafa X dolo ena z lastnimi vrednostmi Laplaceove matrike Q(X) grafa X. Pogledamo si, kako najmanj²a pozitivna lastna vrednost Laplaceove matrike Q(X) vpliva na obliko grafa X in kako je njena vrednost odvisna od stopnje povezanosti grafa. Na koncu izpeljemo izrek o prepletanju lastnih vrednosti Laplaceovih matrik grafa X in induciranega podgrafa Y. Ta izrek daje zadostne pogoje za dokaz, da graf X nima Hamiltonovega cikla. 7.1 Pomembno predznanje Spomnimo se nekaterih denicij in izrekov, ki jih bomo potrebovali v nadaljevanju naloge. Denicija 7.1. Inciden na matrika D(X σ ) orientiranega grafa je {0, ±1}-matrika, ki ima vrstice o²tevil ene po vozli² ih v grafu X, stolpce pa po povezavah v grafu X. Pozitiven predznak enice na (i,j)-tem mestu v matriki pomeni, da je i-to vozli² e na koncu j-te povezave, negativni predznak pa pomeni, da je i-to vozli² e na za etku j-te povezave. Ni la pomeni, da i-to vozli² e ni del j-te povezave. Torej, e ima graf X n vozli² in e povezav, potem je D(X σ ) velikosti n e. Denicija 7.2. Karakteristi ni polinom matrike A je polinom φ(a, x) = det (xi A). Lema 7.3. ƒe je za matriki C in D deniran produkt CD in DC, potem velja det (I CD) = det (I DC). Lema 7.4. Naj bo A realna simetri na matrika. ƒe sta u in v lastna vektorja A, ki pripadata razli nim lastnim vrednostim, potem sta u in v pravokotna. 73

74 74POGLAVJE 7. O ENERGIJI, POVEZANOSTI IN LASTNIH VREDNOSTIH GRAFA Lema 7.5. Lastne vrednosti realne simetri ne matrike so realna ²tevila. Izrek 7.6. Naj bo A realna simetri na n n matrika. Potem ima R n ortonormirano bazo sestavljeno iz lastnih vektorjev matrike A. Lema 7.7. Naj bo Y induciran podgraf X. Potem θ min (X) θ min (Y ) θ max (Y ) θ max (X). Izrek 7.8. Naj bo A realna simetri na n n matrika in naj bo b poljuben vektor dolºine n. Denirajmo preslikavo ψ(x) kot racionalno funkcijo b T (xi A) 1 b. Potem so vse ni le in vsi poli ψ(x) enostavni. ƒe sta θ in τ zaporedna pola ψ(x), potem je na intervalu [θ, τ] natanko ena ni la ψ(x). Izrek 7.9. Naj bo M realna n n matrika. ƒe je R n m matrika taka, da R T R = I m, potem je sl(r T MR) zgoraj omejena z vsoto m najve jih lastnih vrednosti M. Enakost velja, e in samo e lahko prostor napet na stolpce matrike R napnemo na lastne vektorje, ki pripadajo tem lastnim vrednostim. Denicija 7.10 (Laplaceova matrika grafa X). Naj bo σ poljubna orientacija grafa X in naj bo D inciden na matrika X σ. Potem je Laplaceova matrika X, matrika denirana z Q(X) = DD T. Laplaceova matrika ni odvisna od orientacije σ. Naj bo X graf z n vozli² i in Laplaceovo matriko Q(X). Ker je Q(X) simetri na, so njene lastne vrednosti realne in po izreku 7.6 ima R n ortogonalno bazo iz lastnih vektorjev Q(X). Vse lastne vrednosti Q(X) so nenegativne, saj je oblike D T D, torej je pozitivno semidenitna matrika. Lastne vrednosti Q(X) ozna imo z λ 1 (X),..., λ n (X), s predpostavko λ 1 (X) λ n (X). S λ (X) ozna imo λ n (X). Za vsak graf je λ 1 = 0, saj Q1 = 0, kjer 1 vektor samih enic. Ve kratnost ni elne lastne vrednosti je enaka ²tevilu komponent grafa X. Torej je λ 2 najmanj²a pozitivna lastna vrednost povezanega grafa. Izrek Naj bo graf X regularen graf stopnje k. ƒe ima njegova matrika sosednosti A lastne vrednosti θ 1,..., θ n, potem ima njegova Laplaceova matrika Q(X) lastne vrednosti k θ 1,..., k θ n. Lema Naj bo X graf z n vozli² i in Laplaceovo matriko Q. Potem za vsak vektor x velja: x T Qx = (x u x v ) Predstavitve grafa uv E(X) Oglejmo si, kako uporabimo Laplaceovo matriko grafa pri predstavitvah grafa. Denicija Predstavitev ρ grafa X v R m je preslikava iz V (X) v R m. Neformalno si predstavljamo predstavitev grafa kot poloºaje vozli² v m-dimenzionalni risbi grafa. Preslikavo ρ predstavimo z matriko R velikosti V (X) m, kjer so slike vozli² grafa X vrstice matrike R. Slika 1 predstavlja predstavitev kocke v tridimenzionalnem prostoru.

75 7.2. PREDSTAVITVE GRAFA 75 (1, 1,1) (1,1,1) ( 1, 1,1) ( 1,1,1) (1, 1, 1) (1,1, 1) ( 1, 1, 1) ( 1,1, 1) Slika 7.1: Predstavitev kocke v R 3. Recimo, da ρ slika V (X) v R m. Re emo, da je ρ uravnoteºena, e ρ(u) = 0. u V (X) Torej je ρ uravnoteºena, e in samo e 1 T R = 0. Predstavitev na sliki 1 je uravnoteºena. Uravnoteºena predstavitev ima svoj center gravitacije v svojem izhodi² u in o itno lahko prevedemo vsako predstavitev v uravnoteºeno predstavitev, ne da bi izgubili kak²en podatek. Zato v nadaljevanju predpostavimo, da je predstavitev uravnoteºena. ƒe stolpci matrike R niso linearno neodvisni, potem je slika X vsebovana v nekem pravem podprostoru R m in ρ je le niºje-dimenzionalna predstavitev vgnezdena v R m. Vsaka maksimalna mnoºica linearno neodvisnih stolpcev R zadostuje za dolo itev vseh lastnosti predstavitve grafa. Zato v nadaljevanju predpostavimo, da so stolpci matrike R linearno neodvisni. V mislih lahko zgradimo zi ni model grafa tako, da postavimo vozli² a v to ke dolo ene s preslikavo ρ in poveºemo sosednja vozli² a z identi nimi vzmetmi. Naravno je pomisliti, da je predstavitev bolj²a, e zahteva, da so vzmeti manj raztegnjene. ƒe deniramo Evklidsko dolºino z x, potem energijo predstavitve deniramo z vrednostjo izraza ε(ρ) = ρ(u) ρ(v) 2. uv E(X) šelimo, da bi naravno ali dobro narisani gra ustrezali predstavitvam z majhno energijo. Trivialni primer z najniºjo energijo, ki ga tu izlo imo iz razmisleka je, e slikamo vsa vozli² a v ni elni vektor. Splo²nej²o denicijo energije grafa dobimo, e izpustimo pogoj, da so vzmeti identi ne. Denicija 7.14 (Energija grafa X). Naj bo ω funkcija, ki slika povezave grafa X v pozitivna realna ²tevila. Energija ε(ρ) predstavitve ρ grafa X je denirana z izrazom ε(ρ) = ω uv ρ(u) ρ(v) 2, uv E(X) kjer ω uv predstavlja vrednost funkcije ω na povezavi uv. Naj bo W diagonalna matrika z vrsticami in stolpci o²tevil enimi z indeksi povezav v grafu X in z vrednostmi po diagonali enakimi vrednostim ω uv na mestu povezave uv. W uporabimo v naslednji lemi, ki je posplo²itev leme Lema Naj bo ρ predstavitev grafa X z obteºenimi povezavami, ki jo predstavlja matrika R velikosti V (X) m. ƒe je D orientirana inciden na matrika grafa X, potem velja ε(ρ) = sl(r T DW D T R).

76 76POGLAVJE 7. O ENERGIJI, POVEZANOSTI IN LASTNIH VREDNOSTIH GRAFA Dokaz. D T je velikosti E(X) V (X), torej {0, ±1}-transponirana inciden na matrika usmerjenega grafa, R je matrika velikosti V (X) m, v kateri so vrstice slike vozli² grafa X s preslikavo ρ, torej so vrstice D T R o²tevil ene z indeksi povezav E(X). ƒe uv E(X), je vrstica uv v matriki D T R enaka ±(ρ(u) ρ(v)). Ker je R T D transponiranka matrike D T R sledi, da so diagonalni elementi produkta D T RR T D enaki ρ(u) ρ(v) 2, kjer uv te e po povezavah v grafu X. Torej po deniciji energije grafa sledi ε(ρ) = sl(w D T RR T D), to pa je zaradi invariantnosti operacije sl(zmnoºek matrik) na cikli no permutacijo vrstnega reda mnoºenja matrik (sl(abc) = sl(bca) = sl(cab)) enako ε(ρ) = sl(r T DW D T R). Matriko Q = DW D T razumemo kot uteºeno Laplaceovo matriko. ƒe uv E(X), potem uteº te povezave predstavlja koecient Q uv = ω uv, za vsako vozli² e u v grafu X pa velja Q uu = ω uv. v u Torej Q1 = 0, kjer 1 vektor samih enic. Posledi no je vsaka simetri na matrika Q z nepozitivnimi izvendiagonalnimi elementi, tako da velja Q1 = 0, uteºena Laplaceva matrika nekega grafa X. Opazimo, da je R T DW D T R simetri na matrika velikosti m m, torej so njene lastne vrednosti realne. Ker velja sl(a) = i θ i, kjer θ i i-ta lastna vrednost matrike A, je energija predstavitve grafa X podana z vsoto lastnih vrednosti matrike R T DW D T R = R T QR. 7.3 Energija in lastne vrednosti grafa Sedaj pokaºimo, da je energija dolo enih predstavitev grafa X dolo ena z lastnimi vrednostmi Laplaceve matrike grafa X. ƒe je M inverzibilna m m matrika, potem je preslikava vozli² a u v ρ(u)m ²e ena predstavitev grafa X. Ta predstavitev je podana z matriko RM in pove toliko o X kot ρ. Predstavitev je dolo ena s prostorom, ki ga razpenjajo stolpci matrike preslikave. Torej lahko privzamemo, da so stolpci R ortogonalni drug na drugega in, da ima vsak stolpec normo enako ena. Pri teh pogojih matrika R zadosti ena bi R T R = I m in tako predstavitev imenujemo ortogonalna predstavitev. Izrek Naj bo X graf z n vozli² i in z uteºeno Laplaceovo matriko Q. Privzamemo, da so lastne vrednosti Q λ 1 λ n in λ 2 > 0. Minimalna energija uravnoteºene ortogonalne predstavitve X v R m je enaka m+1 i=2 λ i. Dokaz. Po lemi 7.15 je energija predstavitve grafa enaka sl(r T QR). Po izreku 7.9 je energija ortogonalne predstavitve v R l navzdol omejena z vsoto l najmanj²ih lastnih vrednosti Q. Spodnjo mejo doseºemo, e vzamemo za stolpce R vektorje x 1,..., x l, tako da Qx i = λ i x i. Ker je λ 1 = 0 in velja Q1 = 0, je x 1 = 1. Zato z brisanjem x 1 spet dobimo ortogonalno predstavitev v R l 1, ki ima enako energijo. ƒe obrnemo ta proces, iz uravnoteºene ortogonalne predstavitve v R l 1 dobimo ortogonalno predstavitev v R l z enako energijo. Torej je minimalna energija uravnoteºene ortogonalne predstavitve X v R m enaka minimalni energiji uravnoteºene predstavitve v R m+1 in ta minimum je enak λ λ m+1. Ta izrek nam da zanimivo avtomatsko metodo za risanje grafov v prostorih poljubnih dimenzij. Za Laplaceovo matriko Q ustvarimo ortonormalno bazo iz lastnih vektorjev

77 7.4. POVEZANOST 77 x 1,..., x n in stolpce matrike R naj predstavljajo vektorji x 2,..., x m+1. Vrstice matrike R predstavljajo poloºaje vozli². Iz izreka 7.16 sledi, da nam to da uravnoteºeno ortogonalno predstavitev z minimalno energijo. Predstavitev ni nujno enoli na, saj sta lahko λ m+1 in λ m+2 enaki in nimamo pogojev, s katerimi bi izbirali med x m+1 in x m+2. e neugodnej²a opazka je ta, da ni nobenega zagotovila, da bodo slike vozli² sploh razli ne to ke. Slika 2 kaºe, da je lahko taka predstavitev grafa v R 2 ugodna, medtem ko slika 3 kaºe primer slabe predstavitve istega grafa. Predstavitev kocke v R 3 prikazane na sliki 1 lahko dobimo s to metodo. V splo²nem dolo a katera koli paroma ortogonalna trojica lastnih vektorjev Q ortogonalno predstavitev v R 3 in taka predstavitev ima lahko ugodne lastnosti tudi, e ne izberemo lastnih vektorjev, ki minimizirajo energijo. Slika 7.2: Primer ugodne predstavitve ravninskega grafa Slika 7.3: Primer slabe predstavitve ravninskega grafa Posledica Naj bo X graf z n vozli² i. Potem je λ 2 (X) enaka minimalni vrednosti izraza uv E(X) (x u x v ) 2, u x2 u ko gre x po vseh neni elnih vektorjih ortogonalnih na 1. Maksimalna vrednost tega izraza je enaka λ. Dokaz. Po lemi 7.12 vemo, da velja x T Qx = uv E(X) (x u x v ) 2 in hkrati iz Qx = λx sledi x T Qx = λ x 2 ( x 2 = u x2 u). Sledi zgornji izraz za λ, minimum tega izraza pa da najmanj²o neni elno lastno vrednost λ Povezanost Zanima nas, e stopnja povezanosti grafa vpliva na njegove lastne vrednosti.

78 78POGLAVJE 7. O ENERGIJI, POVEZANOSTI IN LASTNIH VREDNOSTIH GRAFA Denicija Stopnja povezanosti z vozli² i κ 0 (X) povezanega grafa X je najmanj²e ²tevilo vozli², brez katerih postane graf nepovezan. Izjema so polni gra K n, katerih povezanost z vozli² i je po konvenciji enaka n 1. Denicija Stopnja povezanosti s povezavami κ 1 (X) povezanega grafa X je najmanj²e ²tevilo povezav, brez katerih postane graf nepovezan. Denicija Vozli² ni prerez povezanega grafa X je mnoºica vozli² S, brez katerih postane graf nepovezan. ƒe v grafu X ne odstranimo vseh vozli² iz S, ostane graf povezan. Izrek Naj bo S podmnoºica mnoºice vozli² grafa X. Potem je λ 2 (X) λ 2 (X\S) + S. Dokaz. Naj bo z unitaren vektor dolºine n, tako da ( e ga gledamo kot funkcijo na V (X)) je njegova skr itev na S enaka ni, skr itev z na V (X)\S pa je lastni vektor Q(X\S) ortogonalen na 1 z lastno vrednostjo θ. Po posledici 7.17 sledi, da λ 2 uv E(X) (z u z v ) 2. Razdelimo povezave v X\S na tiste z nobenim, tiste z enim in tiste z dvema kon nima vozli² ema. Vemo da, e u S, potem z u = 0. Torej za povezave uv, kjer u in v oba v S velja (z u z v ) 2 = 0. Torej λ 2 (X) u S v u z2 v + uv E(X\S) (z u z v ) 2 S + θ. Zadnja enakost velja, ker je z unitaren vektor in zato tudi, e so vsa vozli² a v S povezana z vsemi ostalimi vozli² i v grafu, velja S v (z v) 2 S. Kon amo, e vzamemo θ = λ 2 (X\S). ƒe je S vozli² ni prerez grafa X, potem je X\S nepovezan graf. Vemo, da je ve kratnost ni elne lastne vrednosti enaka ²tevilu povezanih komponent grafa, zato sledi λ 2 (X\S) = 0. Sledi posledica o povezavi minimalne lastne vrednosti grafa z vozli² no povezanostjo grafa. Posledica Za vsak graf X, ki ni poln, velja λ 2 (X) κ 0 (X). Dokaz. ƒe S vozli² ni prerez grafa X in velja λ 2 (X\S) = 0, potem po izreku 7.21 velja λ 2 (X) S = κ 0 (X). Za polni graf K n so lastne vrednosti matrike Q(K n ) enake: 0 z ve kratnostjo 1 in n z ve kratnostjo n 1. Torej λ 2 (K n ) = n > κ 0 (K n ) = n 1 in zgornja posledica ne velja, saj poln graf nima vozli² nega prereza. Primer druºine grafov, za katere velja enakost najmanj²e pozitivne lastne vrednosti in vozli² ne povezanosti, so dvodelni gra K 1,n, ki imajo karakteristi ni polinom enak t(t 1) n 1 (t n 1). Sledi, da je λ 2 (K 1,n ) = 1 = κ 0 (K 1,n ). Enakost velja v splo²nem za vse dvodelne grafe (Φ(K m,n, t) = t(t m) n 1 (t n) m 1 (t n m)). Za poljuben graf X je povezanost z vozli² i navzgor omejena s povezanostjo s povezavami, ki je navzgor omejena z minimalno stopnjo δ(x) vozli² v grafu X. Sledi naslednja neenakost za nepolne grafe: λ 2 (X) κ 0 (X) κ 1 (X) δ(x). Opazimo ²e, da izlo itev vozli² a lahko pove a λ 2. Na primer, predpostavimo X = K n, kjer n 3 in konstruiramo Y tako, da dodamo novo vozli² e, sosednje k dvema razli nima vozli² ema v grafu X. Potem je λ 2 (Y ) 2, ker δ(y ) 2, ampak λ 2 (K n ) = n. Spomnimo

79 7.5. PREPLETANJE 79 se, da je most povezava v grafu, katere odstranitev povzro i, da graf ni ve povezan. Torej, e in samo e graf vsebuje most, je njegova povezanost s povezavami enaka ena. V tem primeru iz zgornje neenakosti sledi λ 2 1 razen, e X = K 2. Empiri no je bilo ugotovljeno, da daje λ 2 zelo naravno mero za obliko grafa. Gra z majhno vrednostjo λ 2 so podalj²ani gra z velikim premerom 1 in mostovi, medtem ko so gra z ve jimi vrednostmi λ 2 okroglej²i, z manj²imi premeri, ve jim notranjim obsegom 2 in ve jo povezanostjo. Za kubi ne grafe so opaºanja natan nej²a kar se ti e minimalnih vrednosti λ 2. ƒe n 10 in n = 2(mod 4), imajo gra na sliki 4 minimalno vrednost λ 2 med vsemi kubi nimi gra z n vozli² i. ƒe n 12 in n = 0(mod 4), imajo gra na sliki 5 minimalno vrednost λ 2 med vsemi kubi nimi gra z n vozli² i. V obeh primerih imajo ti gra najve ji premer med vsemi kubi nimi gra z n vozli² i. Slika 7.4: Kubi en graf z minimalno vrednostjo λ 2 za n = 2(mod 4) vozli² Slika 7.5: Kubi en graf z minimalno vrednostjo λ 2 za n = 0(mod 4) vozli² 7.5 Prepletanje Razmislimo, kaj se zgodi z lastnimi vrednostmi Q(X), e grafu X dodamo eno povezavo. Lema Naj bo X graf in naj bo graf Y dobljen iz X tako, da X dodamo povezavo med dvema razli nima vozli² ema. Potem λ 2 (X) λ 2 (Y ) λ 2 (X) + 2. Dokaz. Predpostavimo, da dobimo graf Y tako, da poveºemo vozli² i r in s v grafu X. Za poljuben vektor z po lemi 7.12 velja: z T Q(Y )z = uv E(Y ) (z u z v ) 2 = (z r z s ) 2 + uv E(X) (z u z v ) 2. ƒe za z izberemo unitaren lastni vektor matrike Q(Y ), ki je ortogonalen na 1 in pripada lastni vrednosti λ 2 (Y ), potem po posledici 7.17 dobimo λ 2 (Y ) = uv E(Y ) (z u z v ) 2 (z r z s ) 2 + λ 2 (X), saj λ 2 (X) uv E(X) (z u z v ) 2 za nek unitaren vektor z. Iz te neenakosti sledi λ 2 (X) λ 2 (Y ). Po drugi strani, e izberemo za z unitaren lastni vektor matrike Q(X), ki je ortogonalen na 1 in pripada lastni vrednosti λ 2 (X), potem po posledici 7.17 dobimo 1 Premer grafa X je razdalja med najbolj oddaljenima vozli² ema v X. 2 Notranji obseg grafa X je dolºina najkraj²ega cikla v X.

80 80POGLAVJE 7. O ENERGIJI, POVEZANOSTI IN LASTNIH VREDNOSTIH GRAFA λ 2 (Y ) uv E(Y ) (z u z v ) 2 = (z r z s ) 2 + λ 2 (X). Ker je z unitaren vektor, zagotovo velja z 2 r +z 2 s 1, zato za pozitivne z r, z s velja z 2 r +z 2 s = (z r z s ) 2 + 2z r z s 1 (z r z s ) 2 1 2z r z s 1 2z r z s > 0 z r z s < 1/2. ƒe upo²tevamo, da je eden od z r, z s negativen na enak na in dobimo pogoj z r z s > 1/2. Torej velja (z r z s ) 2 z 2 r + z 2 s + 2 z r z s 2. S tem je dokaz kon an. V zgornjem dokazu ni poudarjeno, da morata biti vozli² i v X, ki se ju poveºe, nesosednji. Vzrok za to je dejstvo, da lema 7.23 velja tudi v primeru, da poveºemo dve sosednji vozli² i v grafu X, torej dobimo dvakratno povezavo v grafu Y. Ampak takih grafov ne obravnavamo v tej nalogi. Velja omeniti ²e eno opombo k lemi ƒe dodamo povezavo, ki poveºe dve vozli² i v 2K 1, da s tem dobimo K 2, potem λ 2 naraste iz 0 na 2. Ta primer pokaºe, da je zgornja meja v lemi 7.23 lahko tesna. Izrek Naj bo X graf z n vozli² i in naj bo Y graf, ki ga dobimo iz X tako, da mu dodamo povezavo med dvema razli nima vozli² ema. Potem λ i (X) λ i (Y ) za vse i in λ i (Y ) λ i+1 (X), e i < n. Dokaz. Recimo, da Y dobimo tako, da dodamo povezavo uv v grafu X. Naj bo z vektor dolºine n, ki ima na u-tem mestu vrednost 1, na v-tem mestu vrednost 1, na vseh prostalih mestih pa ni le. Potem je Q(Y ) = Q(X) + zz T. Ozna im Q(X) s Q. Dobimo: Po lemi 7.3 velja ti Q(Y ) = ti Q zz T = (ti Q)(I (ti Q) 1 zz T ). kjer z T (ti Q) 1 z skalar, zato Sledi det(i (ti Q) 1 zz T ) = det(i z T (ti Q) 1 z), det(i (ti Q) 1 zz T ) = 1 z T (ti Q) 1 z. det(ti Q(Y)) det(ti Q(X)) = 1 zt (ti Q) 1 z. Ker Q realna simetri na n n matrika in z vektor dolºine n, lahko za racionalno funkcijo ψ(t) = 1 z T (ti Q) 1 z uporabimo izrek 7.8, ki nam pove, da so vse ni le in vsi poli ψ(t) enostavni ter, e sta σ in τ zaporedna pola ψ(t), potem je na intervalu [σ, τ] natanko ena ni la ψ(t). Ker Φ(Q(Y ), t) ψ(t) = Φ(Q(X), t), so poli ψ lastne vrednosti Q(X) in ni le ψ so lastne vrednosti Q(Y ). Po lemi 7.23 vemo, da λ 2 (X) λ 2 (Y ). Vemo, da so lastne vrednosti matrik Q(X) in Q(Y ) ozna ene v nepadajo em vrstnem redu, torej 0 = λ 1 ( ) λ 2 ( ) λ i ( ) λ n ( ). Za realno simetri no matriko M in realno ²tevilo θ denirajmo n(θ, M) kot ²tevilo indeksov i pri katerih λ i (M) θ. Opazujemo obna²anje n(θ, Q(X)) n(θ, Q(Y )), ko θ raste. ƒe je θ manj²a od najman²jega pola ψ, potem je za etna vrednost razlike

81 LITERATURA 81 n(θ, Q(X)) n(θ, Q(Y )) enaka ni. Ker je vsak pol ψ enostaven, se ta razlika pove a za ena vsaki, ko gre θ ez pol ψ, in zmanj²a za ena vsaki, ko gre θ preko ni le ψ. Ker je med vsakim parom zaporednih polov natanko ena ni la, ta razlika niha med ena in ni. Torej sledi, λ i (Y ) λ i+1 (X) λ i+1 (Y ) za vse i < n. Posledica ƒe je Y vpeti podgraf X, potem energija katerekoli uravnoteºene ortogonalne predstavitve X ne more biti nikoli manj²a od energije inducirane predstavitve Y. Dokaz. Energija ortogonalne predstavitve grafa X je denirana z ε(ρ) = i λ i(x) po izreku Vpeti podgraf Y podeduje uravnoteºenost in ortogonalnost predstavitve ρ. Ker λ i (Y ) λ i (X) za vse i, je energija predstavitve vpetega podgrafa Y manj²a od energije iste predstavitve X. Posledica Petersonov graf nima Hamiltonovega cikla. Dokaz. Pokazati moramo, da C 10 ni induciran podgraf v Petersonovemu grafu. Lastne vrednosti matrike sosednosti Petersonovega grafa so: 3 z ve kratnostjo 1, 1 z ve kratnostjo 5 in -2 z ve kratnostjo 4. Torej, lastne vrednosti Laplaceove matrike Petersonovega grafa so po izreku 7.11 naslednje: 0 z ve krtanostjo 1, 2 z ve kratnostjo 5 in 5 z ve kratnostjo 4. Lastne vrednosti matrike sosednosti desetvozli² nega cikla C 10 so: 2cos(πr/5) za r = 0, 1,..., 9, torej so lastne vrednosti Laplaceove matrike cikla C 10 enake 2 2cos(πr/5) za r = 0, 1,..., 9. Sledi, da λ 6 (C 10 ) = > λ 6 (P ) = 2. Posledi no se lastne vrednosti Laplaceove matrike C 10 ne prepletajo z lastnimi vrednostmi Laplaceove matrike Petersonovega grafa, zato Petersonov graf nima Hamiltonovega cikla. Literatura [1] C. Godsil, Algebraic Graph Theory, Springer, New York, [2] R. J. Wilson, J. J. Watkins, Uvod v teorijo grafov, Dru²tvo matematikov, zikov in astronomov Slovenije, Ljubljana, 1997.

82 82 LITERATURA

83 Poglavje 8 Energija grafa nikoli ni kvadratni koren lihega ²tevila Gregor Senica Ukvarjali se bomo z enostavnimi kon nimi gra. Delali bomo predvsem po lanku [1]. Energija grafa je denirana kot vsota absolutnih vrednosti lastnih vrednosti matrike sosednosti tega grafa. Na² osrednji izrek pove, da energija grafa nikoli ne more biti kvadratni koren lihega ²tevila. Za ta dokaz pa bomo potrebovali kar nekaj priprave. Najprej, kako so lastne vrednosti grafov povezane z lastnimi vrednostmi produkta in vsote grafov. Pri tem si bomo pomagali s Kroneckerjevim produktom in lemo, ki pove, da lastne vrednosti enostavnega kon nega grafa ne morejo biti strogo racionalne. Na koncu bomo dokaz osrednjega izreka ²e nekoliko predelali in tako ta izrek ²e malo posplo²ili. 8.1 Uvod Ideja o energiji grafov izvira iz kemije. Pri Hückelovi metodi [10] se dolo i energija vseh tako imenovanih π-elektronov v molekuli. Za molekulo z n = 2k atomi skupna energija π-elektronov zna²a 2 k i=1 λ i, kjer λ i predstavljajo k najve jih lastnih vrednosti matrike sosednosti, ki pripada grafu molekule. Pri dvodelnem grafu, pa je ta energija, kot se izkaºe zaradi simetrije, enaka n i=1 λ i in to je motivacija za denicijo energije grafa (glej [4], [2], [6], [3]) Osnovne stvari Pokazali bomo, da energija grafa nikoli ni kvadratni koren lihega ²tevila. e ve, videli bomo, da energija grafa ne more biti oblike (2 s l) 1/r za r N, 0 s r 1 in l liho ²tevilo. Denicija 8.1. Naj bo G enostaven kon en graf z n vozli² i in A(G) njegova matrika 83

84 84POGLAVJE 8. ENERGIJA GRAFA NIKOLI NI KVADRATNI KOREN LIHEGA TEVILA sosednosti z lastnimi vrednostmi λ 1, λ 2,..., λ n. Energija grafa G je E = E(G) = n λ i. i=1 Ta denicija je torej pri²la iz energije molekule, ki ji pripada dvodelni graf. Leta 2004 sta R.B. Bapat in S. Pati [5] dobila zanimiv rezultat: Izrek 8.2. Energija grafa ni liho ²tevilo. To ugotovitev bomo ²e malo posplo²ili in seveda tudi dokazali. V na²i posplo²itvi bo zgornji izrek le poseben primer. Pred tem pa bomo rabili ²e nekaj priprave. Pri dokazu posredno uporabimo Kroneckerjev produkt matrik. Naj bosta G 1 in G 2 grafa z disjunktnima mnoºicama vozli² V (G 1 ) in V (G 2 ) ter mnoºicama povezav E(G 1 ) in E(G 2 ). Velja naj ²e V (G 1 ) = n 1 in V (G 2 ) = n 2. Denicija 8.3. Produkt grafov G 1 in G 2 ozna imo z G 1 G 2. To je graf z mnoºico vozli² V (G 1 ) V (G 2 ). Vozli² i (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) V (G 1 G 2 ) sta si sosedni (x 1, y 1 ) E(G 1 ) in (x 2, y 2 ) E(G 2 ). Denicija 8.4. Vsota grafov G 1 in G 2 ozna imo z G 1 + G 2. To je graf z mnoºico vozli² V (G 1 ) V (G 2 ). Vozli² i (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) V (G 1 + G 2 ) sta si sosedni ((x 1, y 1 ) E(G 1 ) in x 2 = y 2 ) ali ((x 2, y 2 ) E(G 2 ) in x 1 = y 1 ). Naslednji dve lemi poveºeta lastne vrednosti grafov G 1 in G 2 z lastnimi vrednostmi grafov G 1 G 2 in G 1 + G 2. Denimo, da ima G 1 lastne vrednosti λ i, i = 1, 2,..., n 1 in G 2 lastne vrednosti µ j, j = 1, 2,..., n 2. Lema 8.5. Lastne vrednosti G 1 G 2 so λ i µ j, i = 1, 2,..., n 1, µ j, j = 1, 2,..., n 2. Lema 8.6. Lastne vrednosti G 1 + G 2 so λ i + µ j, i = 1, 2,..., n 1, µ j, j = 1, 2,..., n 2. Dokaza teh lem sta vklju ena v razdelku Da ju bo laºje razumeti, potrebujemo najprej pojem Kroneckerjev produkt matrik Kroneckerjev produkt matrik Uporabljali bomo Kroneckerjev produkt kvadratnih matrik, ki pa je sicer deniran za splo²ne m n matrike. Splo²na denicija je v [8], [9]. Denicija 8.7. Naj bosta A M n (R), A = [a ij ], in B M m (R). Kroneckerjev produkt matrik A in B je (nm) (nm) matrika a 11 B a 12 B a 1n B a 21 B a 22 B a 2n B A B =.... a n1 B a n2 B a nn B Trditev 8.8. Naj bodo matrike A, C M n (R) in B, D M m (R). Potem je (A B)(C D) = (AC) (BD).

85 8.1. UVOD 85 Dokaz. Naj bo A = [a ij ] in C = [c ij ]. Ra unamo: (A B)(C D) = a 11 B a 12 B a 1n B a 21 B a 22 B a 2n B.... a n1 B a n2 B a nn B c 11 D c 12 D c 1n D c 21 D c 22 D c 2n D.... c n1 D c n2 D c nn D = = a 11 c 11 BD + a 12 c 21 BD a 1n c n1 BD n i=1 a 2ic i1 BD. n i=1 a nic i1 BD n i=1 a nic in BD = = ( n i=1 a 1ic i1 ) BD ( n i=1 a 2ic i1 ) BD = (AC) (BD). ( n i=1 a nic i1 ) BD ( n i=1 a nic in ) BD Pri drugem ena aju smo matriki mnoºili blo no. Pri zadnjem ena aju smo videli, da je n i=1 a jic ik ravno (j, k)-ti element matrike AC. Trditev 8.9. Dani sta matriki A M n (R) in B M m (R). Potem je (A B) T = A T B T. Dokaz. Matrika A naj ima elemente A = [a ij ]. (A B) T = = a 11 B a 12 B a 1n B a 21 B a 22 B a 2n B.... a n1 B a n2 B a nn B T = a 11 B T a 21 B T a n1 B T a 12 B T a 22 B T a n2 B T.... a 1n B T a 2n B T a nn B T = AT B T Lastnosti lastnih vrednosti grafov Zgled Graf G 1 : vozli² a V (G 1 ) = {a, b, c} in povezave E(G 1 ) = {ab, ac}. Graf G 2 : vozli² a V (G 2 ) = {A, B, C, D} in povezave E(G 2 ) = {AC, AD, DC, BC}. A(G 1 ) = in A(G 2 ) =

86 86POGLAVJE 8. ENERGIJA GRAFA NIKOLI NI KVADRATNI KOREN LIHEGA TEVILA Potem je A(G 1 G 2 ) = = = 0 A(G 2 ) A(G 2 ) A(G 2 ) 0 0 A(G 2 ) 0 0 = A(G 1 ) A(G 2 ) = V resnici velja enakost iz primera kar v splo²nem. O tem se ni teºko prepri ati. Graf G 1 G 2 ima mnoºico vozli² V (G 1 G 2 ) = V (G 1 ) V (G 2 ). Namesto vozli² a (a i, b j ) V (G 1 G 2 ) bomo pisali kar a i b j, kjer a i V (G 1 ) in b j V (G 2 ). Velikost matrike A(G 1 G 2 ) je (n 1 n 2 ) (n 1 n 2 ). Ozna imo prvi stolpec matrike A(G 1 G 2 ) z a 1 b 1, drugi stolpec z a 1 b 2, n 2 -ti stolpec z a 1 b n2, (n 2 + 1)-ti stolpec z a 2 b 1 in tako naprej. Zadnji, (n 2 n 1 )-ti stolpec je potem a n1 b n2. Na enak na in ozna imo tudi vrstice. Prva vrstica je a 1 b 1, n 2 -ta vrstica je a 1 b n2 in zadnja je a n1 b n2. ƒe na mestu (a i, a j ) matrike A(G 1 ) stoji 0 (tj. vozli² i a i in a j grafa G 1 nista sosedni), bo cel blok matrike A(G 1 G 2 ) a i b 1 a i b 2 a i b 3. a i b n2 a j b 1 a j b 2 a j b 3... a j b n2 zapolnjen s samimi ni lami. ƒe na mestu (a i, a j ) matrike A(G 1 ) stoji 1, bo blok matrike A(G 1 G 2 ) imel enke na mestih, kjer je b k b l E(G 2 ) oziroma b l b k E(G 2 ) za k, l {1, 2,..., n 2 }, ostalo pa bodo ni le. Tak blok je potem enak natanko A(G 2 ). Matriko A(G 1 G 2 ) dobimo iz matrike A(G 1 ) tako, da namesto ni le pi²emo n 2 n 2 blok ni el in namesto enk pi²emo A(G 2 ). Zato res tudi v splo²nem velja A(G 1 G 2 ) = A(G 1 ) A(G 2 ). Dokaz leme 8.5. Matriki A(G 1 ) in A(G 2 ) sta simetri ni zato se ju da diagonalizirati: A(G 1 ) = P 1 D 1 P1 T in A(G 2 ) = P 2 D 2 P2 T. Pri tem je P i Pi T = Pi T P i = I ni za i = 1, 2, ter D 1 = diag(λ 1,..., λ n1 ) in D 2 = diag(µ 1,..., µ n2 ). Velja A(G 1 G 2 ) = A(G 1 ) A(G 2 ) = (P 1 D 1 P T 1 ) (P 2 D 2 P T 2 ).

87 8.1. UVOD 87 Potem uporabimo trditev 8.8 in dobimo A(G 1 G 2 ) = ((P 1 D 1 ) (P 2 D 2 )) (P T 1 P T 2 ) = (P 1 P 2 ) (D 1 D 2 ) (P T 1 P T 2 ). Po trditvi 8.9 je A(G 1 G 2 ) = (P 1 P 2 ) (D }{{} 1 D 2 ) (P }{{} 1 P 2 ) T. }{{} =:P =:D =P T Kaj so matrike P, P T in D? P P T = (P 1 P 2 ) (P T 1 P T 2 ) = (P 1 P T 1 ) (P 2 P T 2 ) = I n1 I n2 = I n1 n 2 Pri ra unanju smo uporabili trditev 8.8. Podobno tudi pri naslednjem ra unu: P T P = (P T 1 P T 2 ) (P 1 P 2 ) = (P T 1 P 1 ) (P T 2 P 2 ) = I n1 I n2 = I n1 n 2. Ali je D diagonalna? λ 1 D 2 λ 2 D 2 0 D = D 1 D 2 = λ 3 D λ n1 D 2 = λ 1 µ 1 λ 1 µ 2... = λ 1 µ n2 λ2 µ 1 λ 2 µ 2... λ 2 µ n2... λ n1 µ 1 λ n1µ 2... λ n1 µ n2 Vidi se, da je D res diagonalna, na diagonali so vse moºne kombinacije λ i µ j, i = 1, 2,..., n 1 in j = 1, 2,..., n 2. Vsi produkti λ i µ j so res lastne vrednosti matrike A(G 1 G 2 ): det(a(g 1 G 2 ) λi) = det(p DP T λi) = det(p DP T P λip T ) = det(p (D λi)p T ) = = det P det P T det(d λi) = 0 za λ = λ i µ j. Malo druga na situacija pa je pri vsoti grafov.

88 88POGLAVJE 8. ENERGIJA GRAFA NIKOLI NI KVADRATNI KOREN LIHEGA TEVILA Zgled Glejmo grafa G 1 in G 2 kot v zgledu A(G 1 + G 2 ) = = = A(G 2 ) I 4 I 4 = I 4 A(G 2 ) 0 = A(G 1 ) I 4 + I 3 A(G 2 ) I 4 0 A(G 2 ) Prve komponente so enake le na diagonali. Pri spodnjem bloku sta enaki komponenti a j zato bo v tem bloku na mestu (k, l) enka le takrat, ko b k b l E(G 2 ). a j b 1 a j b 2 a j b 3. a j b n2 a j b 1 a j b 2 a j b 3... a j b n2 Iz istega razloga bo enka tudi na mestu (l, k). Zato je vsak tak blok kar enak A(G 2 ). Sedaj smo obravnavali prvo moºnost. Ostane ²e 1 moºnost: e sta prvi komponenti dveh vozli² iz V (G 1 + G 2 ) sosedni v G 1. Neni elne bloke v A(G 1 + G 2 ) dobimo tam, kjer sicer stojijo enke v A(G 1 ). Oglejmo si tak blok. ƒe na mestu (a i, a j ) matrike A(G 1 ) stoji 1, bo cel blok matrike A(G 1 G 2 ) takle a j b 1 a j b 2 a j b 3... a j b n2 a i b 1 1 a i b 2 1 a i b a i b n2 1 Ni le bo imel povsod, razen na diagonali, kajti le tam se ujemata drugi komponenti (b k ). Matriko A(G 1 +G 2 ) dobimo iz matrike A(G 1 ), tako da namesto ni el na diagonali (takrat se ujemata prvi komponenti vozli² grafa G 1 + G 2 ) postavimo A(G 2 ), namesto enk pa pi²emo identiteto velikosti n 2 n 2 (takrat sta prvi komponenti vozli² G 1 + G 2 sosedni v G 1 ). Presostale, se pravi izvendiagonalne ni le matrike A(G 1 ) ( e sploh so) pa spremenimo v n 2 n 2 bloke ni el. Velikost matrike A(G 1 + G 2 ) je zopet (n 1 n 2 ) (n 1 n 2 ). Zato tudi v splo²nem velja A(G 1 + G 2 ) = A(G 1 ) I n2 + I n1 A(G 2 ).

89 8.1. UVOD 89 Dokaz leme 8.6. Vemo ºe, da A(G 1 + G 2 ) = A(G 1 ) I n2 + I n1 A(G 2 ). Uporabili bomo trditvi 8.8 in 8.9. Kot prej je A(G 1 ) = P 1 D 1 P1 T in A(G 2 ) = P 2 D 2 P2 T, P i Pi T = Pi T P i = I ni za i = 1, 2, ter D 1 = diag(λ 1,..., λ n1 ) in D 2 = diag(µ 1,..., µ n2 ). Prvi se²tevanec je A(G 1 ) I n2 = = (P 1 D 1 P T 1 ) (P 2 I n2 P T 2 ) = (P 1 D 1 P 2 I n2 )(P T 1 P T 2 ) = (P 1 P 2 )(D 1 I n2 )(P T 1 P T 2 ). Drugi se²tevanec pa je I n1 A(G 2 ) = = (P 1 I n1 P T 1 ) (P 2 D 2 P T 2 ) = (P 1 I n1 P 2 D 2 )(P T 1 P T 2 ) = (P 1 P 2 )(I n1 D 2 )(P T 1 P T 2 ). Ko ju se²tejemo, imamo A(G 1 + G 2 ) = (P 1 P 2 )(D 1 I n2 )(P T 1 P T 2 ) + (P 1 P 2 )(I n1 D 2 )(P T 1 P T 2 ) = = (P 1 P 2 ) ((D }{{} 1 I n2 ) + (I n1 D 2 )) (P }{{} 1 P 2 ) T. }{{} =:P =:D =P T Lastnosti P so enake kot pri dokazu leme 8.5. Prepri ati se je samo ²e treba, da je D diagonalna. Matriki D 1 I n2 in I n1 D 2 sta velikosti (n 1 n 2 ) (n 1 n 2 ), pri obeh je posamezen blok velikosti n 2 n 2. Njuna vsota D = D 1 I n2 + I n1 D 2 = λ 1 λ 1... λ 1 λ 2 λ 2... λ 2... λ n1 λn1... µ 1 µ µ n2 µ1 µ 2... µ n2... µ 1 µ 2... λ n1 µ n2 je velikosti (n 1 n 2 ) (n 1 n 2 ). Torej res D = diag(λ i + µ j ; i = 1, 2,..., n 1, j = 1, 2,..., n 2 ) in λ i + µ j so lastne vrednosti matrike A(G 1 + G 2 ). Splo²nej²e rezultate je najti v [7]. Za dokaz osrednjega izreka bomo rabili ²e eno lemo. Pri njenem dokazu uporabimo izrek, ki ga ne bomo dokazovali: Izrek 8.12 (Gauss). Naj bo f(x) Z [x]. Denimo, da je f(x) produkt dveh polinomov iz Q [x] stopnje vsaj 1. Potem ga lahko zapi²emo tudi kot produkt dveh polinomov iz Z [x] istih stopenj. Lema ƒe je lastna vrednost grafa racionalno ²tevilo, potem je celo ²tevilo.

90 90POGLAVJE 8. ENERGIJA GRAFA NIKOLI NI KVADRATNI KOREN LIHEGA TEVILA Dokaz. Naj ima graf G matriko sosednosti A(G) = [a ij ] n n. Vemo da a ij {0, 1} in a ii = 0, i, j = 1, 2,..., n. Lastne vrednosti G so natanko ni le karakteristi nega polinoma det(a λi) = p(λ) = λ a 12 a 1n a 12 λ. λ..... a 1,n 1 a 1n a 1,n 1 λ Ko ra unamo to determinanto, samo mnoºimo, se²tevamo in spreminjamo predznak. Ker so a ij Z, je karakteristi ni polinom p(λ) iz Z [λ]. Vodilni koecient p je enak ( 1) n. Trdimo: e polinom p(λ) Z [λ] stopnje n z vodilnim koecientom 1 ali 1 ima racionalno ni lo, potem je ta ni la kar celo²tevilska. O tem se prepri amo z indukcijo na stopnjo p. Baza indukcije je n = 1 in v tem primeru imamo kar linearno funkcijo p(λ) = ±λ + a. Njena ni la je λ = a, ki je celo ²tevilo, saj p(λ) Z [λ]. Denimo, da na²a trditev drºi za polinome iz Z [λ] z vodilnim koecientom 1 ali 1 za vse stopnje, manj²e ali enake n. Recimo, da ima polinom p(λ) stopnje n + 1 ni lo iz Q. Potem ga lahko zapi²emo kot p(λ) = r(λ)s(λ), kjer r(λ), s(λ) Q [λ] in vsaj eden od r, s ima racionalno ni lo. Stopnji r in s sta manj²i ali enaki n. Po izreku 8.12 obstajata r(λ), s(λ) Z [λ] enakih stopenj kot r in s, da je p(λ) = r(λ) s(λ), deg( r)+deg( s) = n+1. Polinoma r in s imata vodilna koecienta 1 ali 1, zato ker ga ima tudi p. V nasprotnem primeru bi bila vodilna koecienta neka ulomka, ki bi se morala zmnoºiti v 1 ali 1. Pri²li smo v protislovje, saj r(λ), s(λ) Z [λ]. Ker sta r(λ), s(λ) stopnje manj²e ali enake n, zanju po predpostavki velja, da nimata strogo racionalnih ni el (tj. ni le niso v mnoºici Q Z). Torej res graf G ne more imeti strogo racionalnih ni el. Ta lema ºe nakazuje, v katero smer bomo zavili pri energiji grafa. V naslednjem razdelku je glavni rezultat na²ih naporov, ki pove, kak²no ²tevilo energija grafa ne more biti Energija grafa in ²tevila Sedaj imamo potrebno orodje, s pomo jo katerega bo dokaz na²ega osrednjega izreka sila enostaven. Sedaj vemo, da lastna vrednost grafa ni strogo racionalno ²tevilo. Kako to vpliva na energijo grafa? Videli bomo, da energija grafa ne more biti kvadratni koren lihega ²tevila. Ta dokaz bomo potem malo raz²irili in dobili ²e splo²nej²i rezultat, kaj energija grafa ne more biti. Izrek 8.14 (Pirzada, Gutman). Energija grafa ni kvadratni koren lihega ²tevila. Dokaz. Naj ima graf G n vozli². Matrika sosednosti A(G) ima na diagonali same ni le, zato je sled(a(g)) = 0. Po drugi strani pa vemo, da je sled(a(g)) enaka vsoti njenih lastnih vrednosti (To sledi iz tega, da A(G) lahko napi²emo v Jordanovi formi z lastnimi vrednostmi na diagonali, pri emer upo²tevamo, da se sled ne spremeni, e na matriki uporabimo podobnostne transformacije). Lastne vrednosti G razporedimo v tri skupine: pozitivne, negativne in ni elne. To lahko naredimo, saj je A(G) simetri na, za te pa vemo,

91 8.2. ENERGIJA GRAFA IN TEVILA 91 da imajo realne lastne vrednosti. λ 1,..., λ m > 0; λ m+1,..., λ m+k < 0; λ m+k+1 =... = λ n = 0. n m m+k n 0 = λ i = λ i + λ i + i=1 m+k i=1 i=m+1 λ i = i=m+1 m i=1 λ i λ i i=m+k+1 Na zadnji ena bi uporabimo absolutno vrednost. Ker so se²tevanci obeh vsot enakega predznaka, imamo namesto trikotni²ke neenakosti kar enkost: Energija grafa G je potemtakem n E(G) = E = λ i = i=1 m+k i=1 m+k i=m+1 λ i = λ i = m λ i. i=1 m λ i + i=1 m+k i=m+1 λ i = 2 m λ i = 2 i=1 m λ i. Uvedemo oznako λ = m i=1 λ i. Po lemi 8.6 je λ lastna vrednost nekega grafa H, ki je izomorfen vsoti m disjunktnih kopij grafa G. Iz ena be E = 2λ izrazimo λ, λ = E/2, in vidimo, da E ne sme biti liho ²tevilo. Namre, lema 8.13 zagotavlja, da noben graf (torej tudi H) nima strogo racionalnih lastnih vrednosti. Po lemi 8.5 je λ 2 lastna vrednost produkta dveh disjunktnih kopij grafa H. ƒe ena bo λ = E/2 kvadriramo, dobimo λ 2 = E 2 /4. Spet zaradi leme 8.13 E 2 ne sme biti liho ²tevilo oziroma E ne sme biti kvadratni koren lihega ²tevila. Iz dokaza tega izreka, lahko dobimo ²e ve. Posledica Energija grafa ni oblike (2 s l) 1/r, za naravno ²tevilo r, liho ²tevilo l in 0 s r 1. Dokaz. Nadaljujemo prej²nji dokaz. tevilo λ 2 je lastna vrednost produkta dveh disjunktnih kopij grafa H. tevilo λ r pa je lastna vrednost produkta r disjunktnih kopij grafa H, upo²tevajo lemo 8.5. Ena bo λ = E/2 potenciramo z r, dobimo λ r = E r /2 r. Zopet nam lema 8.13 pove, da e λ r Q, mora biti λ r Z. Zategadelj bi moral E r biti oblike 2 r k, kjer k / Q Z. Z drugimi besedami, E r 2 s l, pri emer je l liho ²tevilo in 0 s r 1, oziroma E (2 s l) 1/r. Poglejmo si primer uporabe pravkar dokazane posledice. V zgledu bo razviden tudi rezultat leme V mislih imejmo, da so predmet na²ega zanimanja enostavni kon ni gra. Zgled Graf G je podan s tako matriko sosednosti A(G) = Lastne vrednosti G so 0, 2, 2. Res nobena izmed njih ni strogo racionalna, kot pravi lema Energija G je E(G) = 2 2 = (2 3 1) 1/2. V tem primeru je s = 3, l = 1 in r = 2. Vidi se, da s > 1 = r 1. ƒe bi veljalo s r 1, potem A(G) ne bi podajala enostavnega kon nega grafa. i=1

92 92 LITERATURA 8.3 Zaklju ek Do glavnega rezultata smo pri²li preko produkta in vsote grafov in z njima povezanim Kroneckerjevim produktom matrik. V veliko pomo sta nam bili lemi, ki povezujeta lastne vrednosti grafov z operacijama vsote in produkta. Ni manj uporabna pa ni bila lema, ki pove, da lastna vrednost grafa ne more biti strogo racionalno ²tevilo. V dokazu, da energija grafa ni liho ²tevilo, sta R.B. Bapat in S. Pati [5] uporabila posebne matrike, imenovane additive compound. Na² dokaz pa je enostavnje²i, pa ²e bolj je splo²en. Z energijo grafa, bi lahko preverjali, e matrika sosednosti predstavlja kak enostaven kon en graf. Obstajajo tudi meje, koliko najve in najmanj je lahko energija grafa. Posplo²itev energije grafa je tudi, da se²tejemo singularne vrednosti matrike sosednosti. Literatura [1] I. Gutman, S. Pirzada, Energy of a graph is never the square root of an odd integer, Applicable Analysis and Discrete Mathematics 2 (2008), , [2] I. Gutman, Topology and stability of conjugated hydrocarbons. The dependence of total pi-electron energy onmolecular topology, J. Serb. Chem. Soc. 70 (2005), , [3] A. Betten, A. Kohner, R. Laue, and A.Wassermann, Algebraic Combinatorics and Applications, Springer, Berlin, 2001, , [4] C. Adiga, M. Smitha, On Maximum Degree Energy of a Graph, Int. J. Contemp. Math. Sciences 8 (4) (2009), , [5] R.B. Bapat, S. Pati, Energy of a graph is never an odd integer, Abstract 2 (2004), 14, [6] R.A. Brualdi, Energy of a graph, A discussion of graph energy for the AIM Workshop (2006), 12, [7] D.M. CvetkoviÄ, M. Doob, H. Sachs, Spectra of Graphs: Theory and applications, third edition, Heidelberg Leipzig Barth, 1995, 6571, [8] M. Marcus, H. Minc, A survey of matrix theory and matrix inequalities, Dover Publications, New York, 1992, 89, [9] Kronecker product, http : //en.wikipedia.org/wiki/kronecker_product, [10] Hückel method, http : //en.wikipedia.org/wiki/hückel_method.

93 Poglavje 9 Kubi ni simetri ni gra Barbka Podbregar Odkar je Ronald Foster kot prvi preu eval kubi ne simetri ne grafe (1932), se je z njimi ukvarjalo ºe mnogo matematikov. Po njem se imenuje kubi ni simetri ni graf na 90 vozli² ih. Ker imajo kubi ni gra sodo ²tevilo vozli², imajo sodo vozli² tudi kubi ni simetri ni gra. Leta 1988 je Bouwer objavil vse povezane kubi ne simetri ne grafe na do 512 vozli² ih. Leta 2002 sta Conder in Dobcsányi predstavila vse kubi ne simetri ne grafe na do 768 vozli² ih. Royle hrani seznam znanih kubi nih simetri nih grafov z manj kot 1000 vozli² i. Ta seznam vsebuje vse kubi ne simetri ne grafe na do 768 vozli² ih, ostali gra (od 770 do 998 vozli² ) pa so Cayleyjevi. Avgusta 2006 je vse kubi ne simetri ne grafe na do 2048 vozli² ih predstavil M.Condor. V nadaljevanju se bomo ukvarjali predvsem s t-tranzitivnimi gra in zaporedjem stabilizatorjev t-poti v grafu. Videli bomo, da ne znamo dolo iti le kardinalnosti stabilizatorjev, pa pa tudi njihovo strukturo. Pomemben zaklju ek bo tudi, da kubi en t-tranzitiven graf za t > 5 ne obstaja. Preden za nemo, pa ponovimo nekaj osnovnih denicij. 9.1 Za etne denicije Avtomorzem grafa Γ je preslikava g : V (Γ) V (Γ), za katero velja: g je bijekcija, uv E(Γ) natanko tedaj, ko je g(u)g(v) E(Γ). Mnoºica vseh avtomorzmov je grupa za komponiranje, ozna imo jo z Aut(Γ). Naj bo G podgrupa grupe avtomorzmov Aut(Γ) z enoto 1. Delovanje grupe G na mnoºici Ω je preslikava Φ : Ω G Ω; Φ(w, g) = g(w), ki zado² a: Φ(w, 1) = w, za vsak w Ω, Φ(w, gh) = Φ(Φ(w, h), g), za vsak w Ω, g, h G. 93

94 94 POGLAVJE 9. KUBIƒNI SIMETRIƒNI GRAFI Naj G deluje na Ω, w Ω poljuben. Mnoºico G w = {g G; g(w) = w} imenujemo stabilizator elementa w v G, G(w) = {g(w); g G} pa orbita elementa w. ƒe G deluje na prostor tako, da ima eno samo orbito, imenujemo delovanje tranzitivno. 9.2 Kubi ni simetri ni gra Graf Γ je vozli² no tranzitiven, e Aut(Γ) deluje tranzitivno na V (Γ). Delovanje Aut(Γ) na V (Γ) inducira delovanje na E(Γ) s pravilom π(uv) = π(u)π(v). ƒe je to delovanje tranzitivno pravimo, da je Γ povezavno tranzitiven graf. Naj bo Γ graf in Aut(Γ) njegova grupa avtomorzmov. 1. Γ je simetri en, e za vsako etvorko x, y, u, v V (Γ), kjer x, y in u, v sosednji, obstaja avtomorzem g Aut(Γ), da velja g(u) = x in g(v) = y, 2. Γ je razdaljno tranzitiven, e za vsako etvorko x, y, u, v V (Γ), kjer je razdalja d(x, y) = d(u, v), obstaja avtomorzem g Aut(Γ), da velja g(u) = x in g(v) = y. Denicija 2 je moºna le za povezane grafe in velja: e je Γ razdaljno tranzitiven, potem je tudi simetri en. Na sliki so primeri kubi nih simetri nih grafov. Urejeno mnoºico t+1 vozli² [α] = (α 0, α 1,..., α t ) v grafu Γ z lastnostjo α i 1 α i E(Γ) za 1 i t in α i 1 α i+1 za 1 i t 1 imenujemo t-pot v grafu Γ. Graf Γ je t- tranzitiven (t 1), e je grupa avtomorzmov Aut(Γ) tranzitivna na vseh t-poteh v Γ in ni tranzitivna na vseh (t + 1)-poteh v Γ. Naj bo Γ povezan, vsaj 3-regularen in [α] t-pot v Γ. Naj bodo α t 1, v (1), v (2),..., v (l) ogli² a, sosednja α t in [β (i) ] = (α 1, α 2,..., α t, v (i) ) za 1 i l. Naslednja trditev je dokazana v [1].

95 9.2. KUBIƒNI SIMETRIƒNI GRAFI 95 Trditev 9.1. Aut(Γ) je t-tranzitivna na vseh t-poteh natanko tedaj, ko obstajajo avtomorzmi g 1,..., g l Aut(Γ) tako da velja g i [α] = [β (i) ] za 1 i l. Naj bosta [α] in [β] poljubni s-poti v grafu Γ. Pravimo, da je [β] naslednik [α], e velja β i = α i+1 za 0 i s 1. Naslednja lema je dokazana v [1]. Lema 9.2. Naj bo Γ povezan graf, v katerem je stopnja vsakega vozli² a vsaj 3. ƒe je s 1, [α] in [β] pa poljubni s-poti v Γ, potem obstaja kon no zaporedje [α (i) ], (1 i l) s-poti v Γ, da velja [α (1) ] = [α], [α (l) ] = [β] in [α (i+1) ] je naslednik [α (i) ] za 1 i s 1. Izrek 9.3. Naj bo [α] t-pot v kubi nem t-tranzitivnem grafu Γ. Potem je avtomorzem grafa, ki ksira [α], identiteta. Dokaz. Naj bo f avtomorzem, ki ksira [α]. ƒe f ni identiteta, potem ne ksira vseh t-poti v Γ. Po lemi 9.2 obstaja t-pot [β] tako, da f ksira [β], ne pa tudi obeh naslednikov [β]. ƒe so β t 1, u (1), u (2) vozli² a sosednja β t, mora f zamenjati u (1) in u (2). Naj bo w β 1 sosednje vozli² e od β 0. Ker je Γ t-tranzitiven, obstaja h Aut(Γ), ki t- pot (w, β 0,..., β t 1 ) preslika v [β]. Brez ²kode splo²nosti predpostavimo h(β t ) = u (1). Avtomorzem h (t + 1)-pot [w.β] := (w, β 0,..., β t ) preslika v (β 0,..., β t, u (1) ), fh pa v (β 0,..., β t, u (2) ). Po lemi 9.1 sledi, da je grupa avtomorzmov Aut(Γ) tranzitivna na (t + 1)-poti v Γ iz esar dobimo protislovje. Torej je f = Id. Naj bo Γ povezan, t-tranzitiven, k-regularen, simetri en graf in [α] dana t-pot v Γ. Zaporedje stabilizatorjev t-poti [α] v grafu Γ je zaporedje Aut(Γ) = G > F t > F t 1 > > F 1 > F 0 podgrup Aut(Γ), kjer je F i (0 i t) stabilizator mnoºice {α 0, α 1,..., α t i }. V t-tranzitivnem grafu Γ je G tranzitivna na vseh s-poteh za 1 s t. F t je stabilizator mnoºice {α 0 }, iz esar sledi G : F t = n = V (Γ). Ker je G tranzitivna na 1-poti, je F t tranzitivna na k vozli² ih, sosednjih α 0 in F t 1 stabilizator α 1, iz esar sledi F t : F t 1 = k. Ker je G tranzitivna na s-poti (2 s t), je F t s+1 tranzitivna na k 1 vozli² ih, sosednjih α s 1 (razen α s 2 ) in F t s stabilizator α s, iz esar sledi F t s+1 : F t s = k 1 za 2 s t. Dobimo: F s = (k 1) s F 0, F t = k(k 1) t 1 F 0, G = nk(k 1) t 1 F 0. Naj bo {g 1, g 2,..., g l }, l = k 1, mnoºica avtomorzmov grafa Γ, katerih obstoj nam zagotavlja trditev 9.1. Denirajmo nara² ajo e zaporedje {1} = Y 0 Y 1 Y 2... podmnoºic G, s predpisom Y i = {ga j g j b ; a, b {1, 2,..., l}, 1 j i}. Naj G ozna uje podgrupo G, generirano z Y t+1 in F 0. Naj bo Γ kubi ni t-tranzitiven graf in [α] izbrana t-pot v Γ. ƒe je zaporedje stabilizatorjev t-poti G > F t > F t 1 > > F 1 > F 0, po trditvi velja F 0 = 1. Velja tudi: F i = 2 i za 0 i t 1, F t = 3 2 t 1, G = n 3 2 t 1.

96 96 POGLAVJE 9. KUBIƒNI SIMETRIƒNI GRAFI Zgled 9.4. Petersenov graf je 3-tranzitiven kubi en graf. V zaporedju stabilizatorjev izbrane 3-poti [α] = (1, 7, 9, 6) nas zanimajo mo i stabilizatorjev F 0 je stabilizator mnoºice {1, 7, 9, 6}. Edini avtomorzem, ki ksira 3-pot (1, 7, 6, 9) je identiteta, zato je F 0 = 1. F 1 je stabilizator mnoºice {1, 7, 9}. Po hitrem premisleku vidimo, da sta edina avtomorzma, ki ksirata 2-pot (1, 7, 9) identiteta in (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) (1, 5, 6, 8, 2, 3, 7, 4, 9, 10), zato je F 1 = 2. F 2 je stabilizator mnoºice {1, 7}. Z iskanjem avtomorzmov, ki ksirajo 1-pot (1, 7) dobimo F 2 = 4. F 3 je stabilizator mnoºice {1}. Podobno F 3 = 12. G = 120. Naj bodo α t 1, v (1), v (2) vozli² a sosednja α t in g r (r = 1, 2) avtomorzem, ki [α] preslika v (α 1, α 2,..., α t, v (r) ). Posledica izreka 9.3 je, da sta avtomorzma enoli na. Ozna- imo: g = g 1, x 0 = g1 1 g 2, x i = g i x 0 g i, i = 0, 1, 2,... Naj X ozna uje podmonoºico Aut(Γ), generirano z mnoºico X. Izrek 9.5. ƒe je t 2 velja: 1. F i = x 0, x 1,..., x i 1, 2. ƒe je G = x 0, x 1,..., x t, potem velja G : G 2, 3. G = x 0, g. Dokaz. V primeru ko je Γ kubi en graf, dobimo F 0 = 1 in Y i vsebuje elemente g j 1 g j 2 in njihove inverze g j 2 g j 1 za 1 j i. 1. Iz trditve [1] dobimo F i = Y i. Ker je g j 1 g j 2 = x j 1 g (j 1) 1 g j 1 2 = x j 1 x j 2... x 0, dobimo F i = x 0, x 1,..., x i Iz trditve [1] dobimo, da je G = Y t+1 = x 0, x 1,..., x t podgrupa indeksa 1 ali 2 v G. 3. ƒe je G = G, potem x 0, g vsebuje x 0, x 1,..., x t = G = G. ƒe je G : G = 2, potem je Γ dvodelen in vsak element g G premakne ogli² a grafa Γ za sodo mest v Γ. Vendar element g = g 1 preslika nekatera vozli² a v sosednja, zato g / G. Torej, e g dodamo grupi G, se le ta pove a. Ker pa med G in G ni grup, dobimo G, g = x 0, g = G.

97 9.2. KUBIƒNI SIMETRIƒNI GRAFI 97 Zgled 9.6. Oglejmo si naslednji graf Izra unajmo s im so generirani stabilizatorji v zaporedju stabilizatorjev izbrane 2-poti [α] = (1, 2, 5). Vozli² i, sosednji 5 sta v (1) = 8 in v (2) = 3. v (1) = 8: i² emo avtomorzem, ki (1, 2, 5) preslika v (2, 5, 8). O itno je edini tak avtomorzem g 1 = (125874)(36). v (2) = 3: edini avtomorzem, ki (1, 2, 5) preslika v (2, 5, 3) je g 2 = (1253)(4687). Torej je x 0 = (34)(56), x 1 = (23)(67) in x 2 = (16)(38). Po trditvi 9.5 so generatorji enaki: F 1 = (34)(56), F 2 = (34)(56), (23)(67) in F 3 = (34)(56), (23)(67), (16)(38). Vsak generator x i, (i 0) je involucija, tj. sam sebi inverz. šelimo pokazati, da ni kubi nih t-tranzitivnih grafov za t > 5. Predpostavili bomo t 4. Osnovna ideja je raziskati kateri stabilizatorji so Abelovi in kateri ne. F 1 in F 2 sta Abelova. Naj bo λ N najve je ²tevilo, da je F λ Abelova. Izrek 9.7. ƒe je t 4, potem velja 2 λ < 1 (t + 2). 2 Dokaz. Predpostavimo, da je F λ = x 0,..., x λ 1 Abelova. Potem je njena konjugiranka g t+λ 1 F λ g t λ+1 = x t λ+1,..., x t tudi Abelova. ƒe je λ 1 t λ + 1, potem obe grupi vsebujeta x λ 1 in skupaj generirata G. Torej x λ 1 komutira z vsakim elementom v G. Ker je g G in G : G 2, sledi g 2 G in x λ 1 = g 2 x λ 1 g 2 = x λ+1, iz esar dobimo x 0 = x 2. To ni mogo e, saj F 3 > F 2, torej velja λ 1 < t λ + 1. Naj [a, b] = a 1 b 1 ab ozna uje komutator kanoni nih generatorjev x i. Ker so ti generatorji involucije velja [x i, x j ] = (x i x j ) 2. Izrek 9.8 (Tutte). Kubi en t-tranzitiven graf za t > 5 ne obstaja. Izrek je prvi dokazal Tutte (1947, glej [6]), kasneje pa sta ga izpopolnila Sims (1967, glej [5]) in Djokovi (1972, glej [3]).

98 98 LITERATURA Dokaz. ƒe je t 4, po izreku 9.7 velja λ < 1 (t+2). Po lemi [1] dobimo t 1 λ 2λ t+1, 2 oziroma λ 2(t 1). Neenakost 2(t 1) < 1 (t + 2) velja ( e t 4) le za t = 4, 5, 7. Torej moramo izklju iti le ²e moºnost, ko je t = 7. ƒe je Γ 7-tranzitiven kubi en graf, po lemi [1] dobimo λ = 4 in [x 0, x 4 ] = x 2. Po lemi [1] [x 0, x 5 ] pripada grupi x 1, x 2, x 3, x 4. ƒe [x 0, x 5 ] vsebuje x 4, lahko zapi²emo [x 0, x 5 ] = hx 4, kjer je h x 1, x 2, x 3 in komutira z x 0 in x 4. Dobimo x 2 = [x 0, x 4 ] = (x 0 x 4 ) 2 = (x 0 hx 4 ) 2 = (x 0 (x 0 x 5 ) 2 ) 2 = (x 5 x 0 x 5 ) 2 = x 5 x 2 0x 5 = 1. Ker je to nesmiselno, mora biti [x 0, x 5 ] v x 1, x 2, x 3. Iz konstrukcije x 1, x 2 in x 3 vidimo, da ksirajo ogli² e α 3 7-poti [α], zato je x 0 x 5 (α 3 ) = x 5 x 0 (α 3 ) = x 5 (α 3 ). Torej x 0 ksira x 5 (α 3 ). Ker x 5 ksira α 1 in ne ksira α 2, imamo v Γ 7-pot [θ] = (x 5 (α 3 ), x 5 (α 2 ), α 1, α 2, α 3, α 4, α 5, α 6 ). Ogli² a, sosednja α 1 so α 0, α 2 in x 5 (α 2 ). Ker x 0 ksira α 0, α 1 in α 2, mora ksirati tudi x 5 (α 2 ). Torej x 0 ksira celotno 7-pot [θ], to pa je v nasprotju z izrekom 9.3. Torej t ni enak 7. Struktura zaporedja stabilizatorjev: za t-tranzitiven kubi en graf (1 t 5) poznamo strukturo zaporedja stabilizatorjev, ki jo prikazuje spodnja tabela. Predstavil jo je Wong leta Za ve glej [11]. t F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 1 Z 3 2 Z 2 S 3 3 Z 2 (Z 2 ) 2 D 12 4 Z 2 (Z 2 ) 2 D 8 S 4 5 Z 2 (Z 2 ) 2 (Z 2 ) 3 D 8 Z 2 S 4 Z 2 Posplo²itev na (p + 1)-regularne grafe, kjer je p pra²tevilo: e je Γ t-tranzitiven graf (t 4), (p + 1)-regularen, p pra²tevilo, potem je t = 4, 5 ali 7. Za ve glej [4]. Literatura [1] N. Biggs, Algebraic Graph Theory, Trivalent symmetric graphs 67 (1974), [2] N. Biggs, D. H. Smith On trivalent graphs, Bull. London Math. Soc. 3 (1971), [3] D.š. Djokovi, On regular graphs. II, J. Comb. Theory (B) 12, (1972), [4] A.D. Gardiner, Arc transitivity in graphs, Quart. J. Math Oxford (2) 24, (1973), [5] C.C. Sims, Graphs and nite permutation groups, Math. Zeitschr. 95, (1967), [6] W.T. Tutte, A family of cubical graphs, Proc. Cambridge Philos. Soc. 43, (1947), [7] W.T. Tutte, A contribution to the theory of chromatic polynomials, Canad. J. Math. 6, (1954), [8] W.T. Tutte, A class of Abelian groups, Canad. J. Math. 8, (1956), 1328.

99 LITERATURA 99 [9] W.T. Tutte, Connectivity in graphs, University Press, Toronto (1966). [10] W.T. Tutte, On dichromatic polynomials, J. Comb. Theory 2, (1967), [11] W.J. Wong, Determination of a class of primitive permutation groups, Math. Zeitschr. 99, (1967), [12] Spletna stran: [13] Weisstein, Eric W. ƒubic Symmetric Graph."From MathWorldA Wolfram Web Resource. [14] Weisstein, Eric W. "Foster Graph."From MathWorldA Wolfram Web Resource.

100 100 LITERATURA

101 Poglavje 10 Minimalni regularni gra z dano oºino Mojca Luk²i, Klavdija Jagar Obravnavali bomo k-regularne grafe z dano oºino g 3. Tutte je dokazal, da za k 2 tak²ni gra obstajajo za poljuben par naravnih ²tevil (k, g), k 2, g 3 [6]. Zanimali nas bodo predvsem tak²ni k-regularni gra z oºino g, ki imajo najmanj²e moºno ²tevilo vozli². Vseskozi bomo obravnavali enostavne grafe. Preden pa se lahko lotimo k-regularnih grafov z oºino g, moramo spoznati nekaj dejstev o razdaljno tranzitivnih grah. Rezultati tega podpoglavja so povzeti po [1, 2, 4, 5] Razdaljno tranzitivni gra Za povezan graf G s premerom d in poljuben v V (G) lahko deniramo mnoºice G i (v) = {u V (G) : d(u, v) = i}, kjer je 0 i d. Ozna imo z e(v) = max{d(u, v) : u V (G)} ekscentri nost vozli² a v. ƒe je e(v) < d, je G i (v) = za e(v) + 1 i d. Poglejmo si primer takega grafa. Zgled Naj bo G graf na sliki Izberimo vozli² e v kot je prikazano na sliki Premer d tega grafa je 2, e(v) pa je enak 1, saj so vozli² a a, b in c sosedna vozli² u v. Sledi G 2 (v) =. Kaj pa sta G 0 (v) in G 1 (v)? Vidimo, da je G 0 (v) = {u V (G) : d(u, v) = 0} = {v} in G 1 (v) = {u V (G) : d(u, v) = 1} = N(v) = {a, b, c}. O itno za poljuben graf G velja G 0 (v) = {v} in G 1 (v) = N(v). Iz denicije mnoºic G 0 (v), G 1 (v),..., G d (v) sledi, da so paroma disjunktne. Ker je d premer grafa, je d(u, v) d za vsak u V (G). Torej je vsak u V (G) vsebovan v eni od mnoºic G 0 (v), G 1 (v),..., G d (v) (natan neje, vsebovan je v mnoºici G d(u,v) (v)). Torej je {G i (v) : 0 i d} particija mnoºice vozli² V (G). 101

102 102 POGLAVJE 10. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO Slika 10.1: Graf G To particijo lahko ponazorimo na naslednji na in: graf G lahko nari²emo tako, da njegova vozli² a razporedimo v stolpce glede na njihovo oddaljenost od vozli² a v. Poglejmo si to na naslednjem primeru. Zgled Naj bo G polni dvodelni graf K 3,3. Njegovo mnoºico vozli² lahko razbijemo na dve podmnoºici A in B, tako da ima vsaka povezava eno kraji² e v A in drugo v B. Vzemimo npr. v A. Vemo, da je G 0 (v) = {v}. Kaj sta G 1 (v) in G 2 (v)? Vidimo, da je G 1 (v) = {u V (G) : d(u, v) = 1} = N(v) = B in G 2 (v) = {u V (G) : d(u, v) = 2} = A \ {v}. Sedaj lahko K 3,3 nari²emo tako, da so vozli² a iz vsake od mnoºic G 0 (v), G 1 (v) in G 2 (v) v svojem stolpcu (glej sliko 10.2). Slika 10.2: Polni dvodelni graf K 3,3. Denicija Naj bo G povezan graf s premerom d. Za u, v V (G) deniramo s h,i (u, v), h, i {0, 1,..., d}, kot ²tevilo vozli² grafa G, ki so od u oddaljena za h, od v pa za i: s h,i (u, v) = {w V (G) : d(u, w) = h in d(v, w) = i} = G h (u) G i (v). V splo²nem grafu je ²tevil s h,i (u, v) zelo veliko, in sicer ( ) V (G) 2 (d + 1) 2. V nekaterih posebnih grah pa lahko o teh ²tevilih povemo ²e kaj ve. Denicija Graf G je razdaljno tranzitiven, e za poljubna vozli² a u, v, x, y V (G), za katera je d(u, v) = d(x, y), obstaja avtomorzem g grafa G, ki zado² a pogojema g(u) = x in g(v) = y.

103 10.1. RAZDALJNO TRANZITIVNI GRAFI 103 Velja, da je vsak razdaljno tranzitivni graf tudi regularen [2]. ƒe je G razdaljno tranzitivni graf, so ²tevila s h,i (u, v) odvisna samo od razdalje med u in v, ne pa tudi od izbire vozli² u in v. ƒe je d(u, v) = j, j {0, 1,..., d}, namesto s h,i (u, v) pi²emo s h,i,j. tevila s h,i,j imenujemo prese na ²tevila. Oglejmo si s h,i,j za h = 1. Izberimo vozli² i u, v V (G), za kateri je d(u, v) = j. Potem je s 1,i,j = s 1,i (u, v) = {w V (G) : d(u, w) = 1 in d(v, w) = i} = {w N(u) : d(v, w) = i} = N(u) G i (v). Torej je s 1,i,j ²tevilo vozli², ki so sosedna u in od v oddaljena za i. Sedaj lahko dokaºemo naslednjo trditev. Trditev ƒe i / {j 1, j, j + 1}, potem je s 1,i,j = 0. Dokaz. Vzemimo poljubna u, v V (G), za katera je d(u, v) = j. Vzemimo ²e poljuben z N(u) G i (v) = {w V (G) : d(u, w) = 1 in d(v, w) = i}. Predpostavimo, da je i j + 2. Vemo, da za razdaljo v grafu velja trikotni²ka neenakost: d(v, z) d(v, u)+d(u, z). Vstavimo ustrezne razdalje in dobimo i j+1, kar je v nasprotju s predpostavko, da je i j + 2. Sedaj pa predpostavimo, da je i j 2. Zopet uporabimo trikotni²ko neenakost: d(u, v) d(u, z) + d(z, v). Vstavimo ustrezne razdalje in dobimo j 1 + i, torej i j 1, kar je v nasprotju s predpostavko, da je i j 2. V obeh primerih smo pri²li do protislovja, kar pomeni, da z N(u) G i (v) ne obstaja, e i / {j 1, j, j + 1}. Torej je N(u) G i (v) = za i / {j 1, j, j + 1}. Sledi, da je s 1,i,j = 0 za i / {j 1, j, j + 1}. ƒe pogledamo zgornji dokaz podrobneje, ugotovimo, da smo v bistvu dokazali, da ima vsako vozli² e u G i (v) za 1 i d 1 sosede samo v mnoºicah G i 1 (v), G i (v) in G i+1 (v). Za i = d ( e G d (v) ) ima u G d (v) sosede samo v G d 1 (v) in G d (v), za i = 0 pa dobimo u = v, ta pa ima sosede le v G 1 (v). Ker smo v trditvi 10.5 dokazali, da je s 1,i,j = 0 za i / {j 1, j, j + 1}, se bomo seveda osredoto ili na s 1,i,j za i {j 1, j, j + 1}. Zanje bomo vpeljali naslednje oznake: c j = s 1,j 1,j za j {1, 2,..., d}, torej je c j ²tevilo vozli² v G j 1 (v), ki so sosedna u, a j = s 1,j,j za j {0, 1,..., d}, torej je a j ²tevilo vozli² v G j (v), ki so sosedna u, b j = s 1,j+1,j za j {0, 1,..., d 1}, torej je b j ²tevilo vozli² v G j+1 (v), ki so sosedna u. Denicija Prese ni razpored razdaljno tranzitivnega grafa G s premerom d je c 1... c j... c d 1 c d ι(g) = a 0 a 1... a j... a d 1 a d. b 0 b 1... b j... b d 1 Oglejmo si izra un prese nega razporeda za nekatere preproste razdaljno tranzitivne grafe.

104 104 POGLAVJE 10. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO Zgled Poi² imo prese ni razpored hiperkocke Q 3. Uporabimo standardne oznake za vozli² a, torej: V (Q 3 ) = {0, 1} 3, E(Q 3 ) = {(e 1 e 2 e 3, f 1 f 2 f 3 ) V (G) V (G) : 3 e i f i = 1}. i=1 Izberimo v = 000. Potem je G 0 (000) = {000}, G 1 (000) = {001, 010, 100}, G 2 (000) = {011, 101, 110} in G 3 (000) = {111}. Te mnoºice so prikazane na sliki Slika 10.3: Hiperkocka Q 3 Najprej si poglejmo, kaj dobimo, ko je j = 0. V tem primeru je u G 0 (000), torej u = 000. tevilo vozli² iz G 0 (000), ki so sosedna 000, je enako a 0. Ker Q 3 nima zank, je a 0 = 0. tevilo vozli² iz G 1 (000), ki so sosedna 000, je enako b 0. Ker to velja za vsa vozli² a iz G 1 (000), je b 0 = 3. Za j = 1 je u G 1 (000). Ker je Q 3 razdaljno tranzitivni graf, je vseeno, katero od vozli² iz G 1 (000) izberemo, npr. u = 001. tevilo vozli² iz G 0 (000), ki so sosedna 001, je enako c 1. Ker vozli² e 000, ki je edini kandidat, ustreza temu pogoju, je c 1 = 1. tevilo vozli² iz G 1 (000), ki so sosedna 001, je enako a 1. Ker tak²nih vozli² ni, je a 1 = 0. tevilo vozli² iz G 2 (000), ki so sosedna 001, je enako b 1. Ker to velja samo za vozli² i 011 in 101, je b 1 = 2. Za j = 2 je u G 2 (000). Zopet je vseeno, katero od teh vozli² izberemo, npr. u = 011. tevilo vozli² iz G 1 (000), ki so sosedna 011, je enako c 2. Ker to velja samo za vozli² i 001 in 010, je c 2 = 2. tevilo vozli² iz G 2 (000), ki so sosedna 011, je enako a 2. Ker tak²nih vozli² ni, je a 2 = 0. tevilo vozli² iz G 3 (000), ki so sosedna 011, je enako b 2. Ker je vozli² e 111, ki je edini kandidat, sosedno 011, je b 2 = 1. Za j = 3 je u G 3 (000), torej u = 111. tevilo vozli² iz G 2 (000), ki so sosedna 111, je enako c 3. Vsa vozli² a iz G 2 (000) so sosedna vozli² u 111, torej je c 3 = 3. tevilo vozli² iz G 3 (000), ki so sosedna 111, je enako a 3. Ker 111 ni soseden samemu sebi, je a 3 = 0.

105 10.1. RAZDALJNO TRANZITIVNI GRAFI 105 Prese ni razpored hiperkocke Q 3 je torej ι(q 3 ) = Zgled Poi² imo prese ni razpored polnega grafa K n z n 3 vozli² i. Izberimo poljuben v V (G). Vemo, da je premer polnega grafa enak 1, torej imamo le mnoºici G 0 (v) = {v} in. G 1 (v) = N(v) = V (G) \ {v}. Vzemimo j = 0. Potem je u G 0 (v), torej u = v. Dobimo a 0 = N(u) G 0 (v) = N(v) {v} = 0 in b 0 = N(u) G 1 (v) = N(v) N(v) = N(v) = n 1. Vzemimo j = 1. Potem je u G 1 (v) = N(v), torej u v. Dobimo c 1 = N(u) G 0 (v) = N(u) {v} = 1 in a 1 = N(u) G 1 (v) = N(u) N(v) = N(v) = n 2. Prese ni razpored polnega grafa K n je torej 1 ι(k n ) = 0 n 2 n 1 Zgled Poi² imo ²e prese ni razpored polnega dvodelnega grafa K n,n. Vemo, da je njegov premer enak 2. Mnoºice G 0 (v), G 1 (v) in G 2 (v) dolo imo z enakim premislekom kot v zgledu Torej, e mnoºico V (K n,n ) razbijemo na dve podmnoºici A in B, tako da ima vsaka povezava tega grafa eno kraji² e v A in drugo v B, ter vzamemo v A, dobimo G 0 (v) = {v},. G 1 (v) = {u V (G) : d(u, v) = 1} = N(v) = B in G 2 (v) = {u V (G) : d(u, v) = 2} = A \ {v}. Vzemimo j = 0. Potem je u G 0 (v), torej u = v. Dobimo a 0 = N(u) G 0 (v) = B {v} = 0 in b 0 = N(u) G 1 (v) = B B = B = n. Vzemimo j = 1. Potem je u G 1 (v) = B. Dobimo c 1 = N(u) G 0 (v) = A {v} = {v} = 1, a 1 = N(u) G 1 (v) = A B = = 0 in b 1 = N(u) G 2 (v) = A (A \ {v}) = (A \ {v}) = n 1.

106 106 POGLAVJE 10. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO Vzemimo j = 2. Potem je u G 2 (v) = A \ {v}. Dobimo c 2 = N(u) G 1 (v) = B B = B = n in a 2 = N(u) G 2 (v) = B (A \ {v}) = = 0. Prese ni razpored polnega dvodelnega grafa K n,n je torej 1 n ι(k n,n ) = n n 1 Naj bo G poljuben razdaljno tranzitivni graf. Ozna imo stopnjo njegovih vozli² s k. Ali lahko katera od prese nih ²tevil izra unamo samo iz teh podatkov? Izberimo poljuben v V (G) in u G 0 (v) = {v}. Potem je a 0 ²tevilo vozli² iz G 0 (v) = {v}, ki so sosednja u = v. Ker obravnavamo enostavne grafe, je a 0 = 0. Poglejmo ²e b 0. To je ²tevilo vozli² iz G 1 (v) = N(v), ki so sosednja u = v. Torej je b 0 = k. Sedaj izberimo u G 1 (v) = N(v). Potem je c 1 ²tevilo vozli² iz G 0 (v) = {v}, ki so sosedna u. Ker vozli² e v, ki je edini kandidat, ustreza temu pogoju, je c 1 = 1. Ugotovili smo ºe, da ima vsak u G j (v) za 1 j d 1 c j sosedov v G j 1 (v), a j sosedov v G j (v) in b j sosedov v G j+1 (v). Ker so vsa vozli² a stopnje k, mora torej veljati a j + b j + c j = k za vsak 1 j d 1. ƒe pa je u G d (v), ima sosede le v mnoºicah G d 1 (v) in G d (v). Torej mora veljati a d + c d = k. Iz zgornjih opaºanj sledi, da lahko iz poznavanja prve in tretje vrstice prese nega razporeda izra unamo drugo vrstico. Torej, e poznamo b j za 0 j d 1 in c j za 1 j d, lahko izra unamo a j za 0 j d na naslednji na in: a 0 = k b 0, a j = k b j c j za 1 j d 1 in a d = k c d. Torej lahko prese ni razpored zapi²emo tudi v kraj²i obliki: ι(g) = {k, b 1,..., b d 1 ; 1, c 2,..., c d }. Ozna imo s k i = G i (v) za 0 i d. Velja k 0 = 1 in k 1 = k, saj je G 0 (v) = {v} in G 1 (v) = N(v). Trditev Naj bo G povezan razdaljno tranzitivni graf s premerom d in prese nim razporedom {k, b 1,..., b d 1 ; 1, c 2,..., c d }. Potem velja: 1. k i 1 b i 1 = k i c i za 1 i d, 2. 1 c 2 c 3 c d, 3. k b 1 b 2 b d 1. Dokaz. Vsako trditev pokaºemo posebaj. 1. Izberimo poljuben v V (G) in 1 i d. Na dva na ina pre²tejmo povezave, ki imajo eno kraji² e v G i 1 (v) in drugo v G i (v).

107 10.1. RAZDALJNO TRANZITIVNI GRAFI 107 Izberimo poljuben u G i 1 (v). Po deniciji prese nega ²tevila b i 1 ima u v G i (v) natanko b i 1 sosedov. To velja za vsak u G i 1 (v), teh pa je k i 1. Torej je ²tevilo povezav, ki imajo eno kraji² e v G i 1 (v), drugo pa v G i (v), enako k i 1 b i 1. Izberimo poljuben w G i (v). Po deniciji prese nega ²tevila c i ima w v G i 1 (v) natanko c i sosedov. To velja za vsak w G i (v), teh pa je k i. Torej je ²tevilo povezav, ki imajo eno kraji² e v G i 1 (v), drugo pa v G i (v), enako k i c i. Sledi k i 1 b i 1 = k i c i za 1 i d. 2. Izberimo poljubna v V (G) in u G i+1 (v) za nek 1 i d 1. Potem obstaja pot v, x 0, x 1, x 2,..., x i 1, u dolºine i + 1 med v in u. Vzemimo poljuben w G i 1 (x 0 ) N(u). Po trikotni²ki neenakosti sledi d(v, w) d(v, x 0 ) + d(x 0, w) = 1 + i 1 = i, torej je w G l (v) za nek l i. Ker je w N(u), je w G l (v) za l {i, i + 1, i + 2}. Torej je w G i (v) N(u). Sledi G i 1 (x 0 ) N(u) G i (v) N(u), torej G i 1 (x 0 ) N(u) G i (v) N(u). Po deniciji je c i+1 = G i (v) N(u). Ker so prese na ²tevila neodvisna od izbire vozli² u in v ter velja u G i (x 0 ), je c i = G i 1 (x 0 ) N(u). Dobili smo c i c i+1 za vsak 1 i d 1. Upo²tevamo ²e c 1 = 1 in dobimo 1 c 2 c 3 c d. 3. Ker so prese na ²tevila a j, b j in c j neodvisna od izbire vozli² u, v V (G), lahko izberemo tak²en v V (G), da obstaja vozli² e z V (G), ki je od v oddaljeno za d. Naj bo v, y 1, y 2,..., y d 1, z pot dolºine d med v in z. Ker ima vsako vozli² e iz G i (v), 1 i d 1, sosede le v mnoºicah G i 1 (v), G i (v) in G i+1 (v), mora veljati y i G i (v) za 1 i d 1. Torej je G i (v) za vsak 0 i d. Izberimo sedaj poljuben u G i (v) za nek 2 i d 1. Potem obstaja pot v, x 0, x 1, x 2,..., x i 2, u dolºine i med v in u. Vemo, da G i+1 (v). Potem obstaja y G i+1 (v), ki je soseden nekemu vozli² u v G i (v) ( e tak y ne bi obstajal, bi bil graf nepovezan). Torej je b i 1. Ker je b i neodvisen od izbire vozli² a v G i (v), imajo vsa vozli² a v G i (v) vsaj enega soseda v G i+1 (v). Torej G i+1 (v) N(u). Izberimo poljuben w G i+1 (v) N(u). Potem velja d(x 0, w) i, saj je x 0, x 1, x 2,..., x i 2, u, w pot dolºine i med x 0 in w. ƒe bi veljalo d(x 0, w) = l < i, bi bila v, x 0, x 1, x 2,..., x i 2, u, w pot dolºine l + 1 med v in w, torej d(v, w) l + 1 < i + 1, in zato w / G i+1 (v), s imer bi pri²li do protislovja. Torej je d(x 0, w) = i in zato w G i (x 0 ) N(u). Sledi G i+1 (v) N(u) G i (x 0 ) N(u), torej je G i+1 (v) N(u) G i (x 0 ) N(u). Po deniciji je b i = G i+1 (v) N(u). Ker so prese na ²tevila neodvisna od izbire vozli² u in v ter velja u G i 1 (x 0 ), je b i 1 = G i (x 0 ) N(u). Dobili smo b i b i 1 za vsak 2 i d 1. Dokazati moramo ²e b 1 k. Povedali smo ºe, da je vsak razdaljno tranzitivni graf tudi regularen. ƒe ozna imo s k stopnjo vozli² grafa G, mora veljati b 0 = N(v) = k. Vzemimo u G 1 (v) = N(v). Potem je b 1 = G 2 (v) N(u) N(u) = k. Torej je k b 1 b 2 b d 1.

108 108 POGLAVJE 10. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO Denicija Naj bo G k-regularni povezan graf s premerom d. ƒe obstajajo naravna ²tevila b 1,..., b d 1, c 2,..., c d, b 0 = k in c 1 = 1, tako da za vsak par vozli² u, v V (G), za kateri je d(u, v) = j, velja 1. ²tevilo vozli² v G j 1 (v), sosednih u, je c j (za 1 j d), in 2. ²tevilo vozli² v G j+1 (v), sosednih u, je b j (za 0 j d 1), potem je G razdaljno regularen. V tem primeru je njegov prese ni razpored ι(g) = {k, b 1,..., b d 1 ; 1, c 2,..., c d }. Vsak razdaljno tranzitivni graf je o itno tudi razdaljno regularen. Obratno pa ne velja Minimalni regularni gra z dano oºino Denicija Oºina grafa G je dolºina najkraj²ega cikla v G. ƒe G nima ciklov, je njegova oºina enaka. Poglejmo, kaj lahko povemo o ²tevilu vozli² k-regularnega grafa z oºino g. Rezultati, ki jih bomo navedli in dokazali, so vzeti po [7] in [9], razen trditve 10.15, ki je vzeta iz [2]. Trditev Naj bo G k-regularni graf (k 2) z liho oºino g = 2d +1 (za nek d N). Potem je d 1 V (G) 1 + k(k 1) i. Dokaz. Glede na vrednost spremenljivke q obravnavamo dva primera. i=0 Oglejmo si najprej dokaz za primer, ko je g = 5. Naj bo G k-regularni graf z oºino g = 5 (torej d = 2). Ozna imo n = V (G). Izberimo poljubno vozli² e v V (G) in si oglejmo mnoºice G i (v) za 0 i 2. Vemo, da je G 0 (v) = {v} in G 1 (v) = N(v). Torej je G 0 (v) = 1 in G 1 (v) = k. Izra unati moramo ²e G 2 (v). Ali sta lahko dve vozli² i iz G 1 (v) sosedni? ƒe bi bilo to res, bi ti dve vozli² i skupaj z v tvorili cikel dolºine tri, kar pa ni mogo e, saj je oºina grafa 5. Torej nobeni dve vozli² i iz G 1 (v) nista sosedni. Ker ima poljubno vozli² e iz G 1 (v) natanko enega soseda v G 0 (v), in sicer v, mora imeti preostalih k 1 sosedov v G 2 (v). Ali lahko imata dve razli ni vozli² i iz G 1 (v) istega soseda v G 2 (v)? ƒe bi bilo to res, bi ta tri vozli² a skupaj z v tvorila cikel dolºine ²tiri, kar pa ni moºno. Torej ima vsako vozli² e v G 2 (v) natanko enega soseda v G 1 (v). Sledi, da je G 2 (v) = (k 1) G 1 (v) = k(k 1). Ker so mnoºice G 0 (v), G 1 (v) in G 2 (v) paroma disjunktne, je n G 0 (v) + G 1 (v) + G 2 (v) = 1 + k + k(k 1).

109 10.2. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO 109 Naj bo sedaj G k-regularni graf z oºino g = 2d + 1 za nek d N, kjer velja d 3. Ozna imo n = V (G). Izberimo poljubno vozli² e v V (G) in si oglejmo mnoºice G i (v) za 0 i d. ƒe je d = 1, je n G 0 (v) + G 1 (v) = 1 + k in smo kon ali. Naj bo sedaj d 2. Izberimo poljuben i, za katerega velja 1 i d 1. Ali sta lahko dve vozli² i iz G i (v) sosedni? Recimo, da tak²ni vozli² i obstajata. Ozna imo ju z u in w, torej u, w G i (v), uw E(G). Potem obstajata poti dolºine i med v in u ter med v in w. Ti dve poti skupaj s povezavo uw tvorita cikel dolºine najve 2i + 1 2d 1 < g ( e sta poti disjunktni, je cikel dolºine 2i + 1, v nasprotnem primeru pa vsebuje ²e kraj²i cikel). To pa ni moºno, saj je oºina grafa enaka g. Torej nobeni dve vozli² i iz G i (v) nista sosedni. Ali lahko imata dve razli ni vozli² i iz G i (v) istega soseda v G i+1 (v)? Recimo, da je to res, torej da obstajajo vozli² a x, y G i (v) ter z G i+1 (v), za katera velja x y in xz, yz E(G). Potem obstajata poti dolºine i med v in x ter med v in y. Ti dve poti skupaj s povezavama xz in yz tvorita cikel dolºine najve 2i+2 2d < g, kar pa ni moºno. Torej ima vsako vozli² e iz G i+1 (v) natanko enega soseda v G i (v). Ta ugotovitev velja tudi za i = 0. Torej ima za 1 i d 1 vsako vozli² e v G i (v) enega soseda v G i 1 (v) in k 1 sosedov v G i+1 (v). Sledi, da je G i+1 (v) = (k 1) G i (v). Iz te rekurzivne formule in za etnega pogoja G 1 (v) = k dobimo re²itev G i (v) = k(k 1) i 1 za 1 i d. Ker so mnoºice G i (v) paroma disjunktne, je n d G i (v) = G 0 (v) + i=0 = 1 + d G i (v) i=1 d d 1 k(k 1) i 1 = 1 + k(k 1) i. i=1 i=0 Trditev Naj bo G k-regularni graf (k 2) s sodo oºino g = 2d (za nek d N, d 2). Potem je d 2 d 1 V (G) 1 + (k 1) d 1 + k(k 1) i = 2 (k 1) i. i=0 Dokaz. Naj bo G k-regularni graf z oºino g = 2d za nek d N, d 2. Ozna imo n = V (G). Trditev bomo dokazali na dva na ina. Prvi dokaz. Prvi na in je zelo podoben dokazu prej²nje trditve. Izberimo poljubno vozli² e v V (G) in si oglejmo mnoºice G i (v) za 0 i d. Izberimo poljuben i, za katerega velja 1 i d 1. Ali sta lahko dve vozli² i iz G i (v) sosedni? Recimo, da tak²ni vozli² i obstajata. Ozna imo ju z u in w, torej u, w G i (v), uw E(G). Potem obstajata poti dolºine i med v in u ter med v in w. Ti dve poti skupaj s povezavo uw tvorita cikel dolºine najve 2i + 1 2d 1 < g, kar pa ni moºno. Torej nobeni dve vozli² i iz G i (v) nista sosedni. i=0

110 110 POGLAVJE 10. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO Ali lahko imata dve razli ni vozli² i iz G i 1 (v) istega soseda v G i (v)? Recimo, da je to res, torej da obstajajo vozli² a x, y G i 1 (v) ter z G i (v), za katera velja x y in xz, yz E(G). Potem obstajata poti dolºine i 1 med v in x ter med v in y. Ti dve poti skupaj s povezavama xz in yz tvorita cikel dolºine najve 2i 2d 2 < g, kar pa ni moºno. Torej ima za 1 i d 1 vsako vozli² e iz G i (v) natanko enega soseda v G i 1 (v). Sledi, da ima vsako vozli² e iz G i (v) k 1 sosedov v G i+1 (v), torej je G i+1 (v) = (k 1) G i (v) za 1 i d 2. Iz te rekurzivne formule in za etnega pogoja G 1 (v) = k dobimo re²itev G i (v) = k(k 1) i 1 za 1 i d 1. Kaj pa lahko povemo o ²tevilu vozli² v G d (v)? Vemo, da ima vsako vozli² e v G d 1 (v) natanko k 1 sosedov v G d (v). Torej je ²tevilo povezav, ki imajo eno kraji² e v G d 1 (v) in drugo v G d (v), enako (k 1) G d 1 (v) = (k 1)k(k 1) d 2 = k(k 1) d 1. Ker ima vsako vozli² e iz G d (v) stopnjo k, je lahko kraji² e najve k izmed teh povezav. Torej je G d (v) k(k 1)d 1 = (k 1) d 1. Sledi k n d i=0 G i(v) = G 0 (v) + G d (v) + d 1 i=1 G i(v) 1 + (k 1) d 1 + d 1 i=1 k(k 1)i 1 = 1 + (k 1) d 1 + d 2 i=0 k(k 1)i. Drugi dokaz. Trditev lahko dokaºemo ²e na drug na in. Izberimo poljubni sosedni vozli² i u, v V (G), uv E(G). Ozna imo V 1 = {u, v} in za 2 i d denirajmo mnoºice V i = {w V (G) : r V i 1 : r w in w / V j za j i 1}. Iz te denicije sledi, da ima poljubno vozli² e iz V i sosede le v mnoºicah V i 1, V i in V i+1. Izberimo poljuben i, za katerega velja 2 i d 1. Ali sta lahko dve vozli² i iz V i sosedni? Recimo, da je to res. Ozna imo ti vozli² i z x in y, torej x, y V i, xy E(G). Potem obstaja pot dolºine i 1 med x in enim od vozli² iz V 1. Brez ²kode za splo²nost lahko privzamemo, da je to vozli² e v. Prav tako obstaja pot dolºine i 1 med y in enim od vozli² iz V 1. Ker sta vozli² i iz V 1 sosedni, obstaja pot dolºine najve i med y in v (v bistvu je ta pot dolºine i 1 ali i, odvisno od tega, v katerem vozli² u iz V 1 se kon a zgoraj omenjena pot dolºine i 1 med y in enim od vozli² iz V 1 ). Obe omenjeni poti med x in v ter med y in v skupaj s povezavo xy tvorita cikel dolºine najve 2i 2d 2 < g. Pri²li smo do protislovja, zato nobeni dve vozli² i iz V i nista sosedni. Izberimo sedaj poljuben i, za katerega velja 2 i d. Ali lahko imata dve razli ni vozli² i iz V i 1 istega soseda v V i? Recimo, da je to res. Naj bodo s, t V i 1 in z V i vozli² a, za katera velja sz, tz E(G) in s t. Potem obstaja pot dolºine i 2 med s in enim od vozli² iz V 1. Zopet lahko brez ²kode za splo²nost predpostavimo, da je to vozli² e v. Prav tako obstaja pot dolºine i 2 med t in enim od vozli² iz V 1. Zato obstaja pot dolºine najve i 1 med t in v. Obe omenjeni poti med s in v ter med t in v skupaj s povezavama sz in tz tvorita cikel dolºine najve 2i 1 2d 1 < g. Pri²li smo do protislovja, torej ima vsako vozli² e iz V i natanko enega soseda v V i 1. Sledi, da ima vsako vozli² e iz V i k 1 sosedov v

111 10.2. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO 111 V i+1, torej je V i+1 = (k 1) V i za 2 i d 1. Ker ima poljubno vozli² e iz V 1 natanko enega soseda v V 1 in preostalih k 1 sosedov v V 2, velja zgornja rekurzivna formula tudi za i = 1. Ob upo²tevanju za etnega pogoja V 1 = 2 dobimo re²itev V i = 2(k 1) i 1 za 1 i d. Sledi n d V i = i=1 d d 1 2(k 1) i 1 = 2 (k 1) i. i=1 i=0 Dokazati moramo ²e, da je d 2 d (k 1) d 1 + k(k 1) i = 2 (k 1) i. i=0 Spomnimo se formule za vsoto kon ne geometrijske vrste: m i=0 ari = a rm+1 1. Ozna imo r 1 x = k 1 in pora unajmo levo stran ena be: d 2 d (k 1) d 1 + k(k 1) i = 1 + x d 1 + (x + 1)x i = i=0 i=0 i=0 = 1 + x d 1 + (x + 1) xd 1 1 x 1 = (1 + xd 1 )(x 1) + (x + 1)(x d 1 1) x 1 = x + xd 1 x d 1 + x d + x d 1 x 1 x 1 = 2 xd d 1 1 x 1 = 2 d 1 x i = 2 (k 1) i. i=0 i=0 Spodnji meji za ²tevilo vozli² k-regularnega grafa z oºino g, ki smo ju dokazali v trditvah in 10.14, bomo ²e potrebovali, zato zanju vpeljimo naslednjo oznako: { (g 3) n 0 (k, g) = i=0 k(k 1) i ; g lih 2 g 2 1 i=0 (k 1)i ; g sod. Trditev ƒe obstaja k-regularni graf G (k 2) z oºino g in n 0 (k, g) vozli² i, potem velja: 1. ƒe je g = 2d + 1 za nek d N, potem je G razdaljno regularen s premerom d in prese nim razporedom ι(g) = {k, k 1, k 1,..., k 1; 1, 1, 1,..., 1}. 2. ƒe je g = 2d za nek d N, d 2, potem je G dvodelen, razdaljno regularen s premerom d in prese nim razporedom ι(g) = {k, k 1, k 1,..., k 1; 1, 1, 1,..., 1, k}. Dokaz. Recimo, da tak graf obstaja. Ozna imo ga z G. Torej, G je k-regularni graf z oºino g in n 0 (k, g) vozli² i. Ali je G nujno povezan? Recimo, da ni. Ozna imo s H eno od njegovih komponent, ki ima cikel dolºine g (taka komponenta obstaja, saj je v G cikel

112 112 POGLAVJE 10. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO dolºine g). Ker v G ni ciklov dolºine, manj²e od g, tak²nih ciklov tudi v H ne more biti. Torej je oºina grafa H enaka g. Ker je H komponenta, ima vsako vozli² e v H vse sosede v H, zato je H k-regularen. Ker G ni povezan in je H ena izmed njegovih komponent, obstaja vozli² e v G, ki ni v H. Torej je V (H) < V (G) = n 0 (k, g). Iz lem in sledi, da tak²en graf H ne obstaja. Pri²li smo do protislovja, torej je G povezan. Ker je k 2, iz dokaza trditev in sledi G i (v) za 0 i d. Torej je premer grafa G vsaj d. 1. Naj bo g = 2d + 1 za nek d N. Izberimo 1 j d in u, v V (G), za kateri je d(u, v) = j. Najprej dokaºimo, da je v G j 1 (v) natanko eno vozli² e, ki je sosedno u. Ker je d(u, v) = j, je u G j (v). Torej obstaja pot v, x 1, x 2,..., x j 1, u dolºine j med v in u. Ker ima vsako vozli² e v G i (v) sosede le v mnoºicah G i 1 (v), G i (v) in G i+1 (v), mora veljati x i G i (v) za 1 i j 1. Torej je x j 1 G j 1 (v) N(u) in zato G j 1 (v) N(u) 1. Predpostavimo sedaj, da obstaja ²e y j 1 G j 1 (v) N(u), y j 1 x j 1. Potem obstaja pot v, y 1, y 2,..., y j 1 dolºine j 1 med v in y j 1. Sledi, da podgraf grafa G, induciran z mnoºico vozli² {v, u, x 1, x 2,..., x j 1, y 1, y 2,..., y j 1 }, vsebuje cikel dolºine najve 2j 2d < g. Pri²li smo do protislovja, torej je G j 1 (v) N(u) = 1. Ker je to ²tevilo neodvisno od izbire vozli² u in v, smo s tem dokazali obstoj ²tevil c j za 1 j d iz denicije e ve, dokazali smo, da je c j = 1 za 1 j d. Naj bo sedaj 1 j d 1. Dokaºimo, da u nima sosedov v G j (v). Predpostavimo nasprotno, in sicer, da obstaja w G j (v) N(u). Potem obstaja pot v, z 1, z 2,..., z j 1, w dolºine j med v in w. Ker sta vozli² i u in w sosedni, podgraf grafa G, induciran z mnoºico vozli² {v, u, w, x 1, x 2,..., x j 1, z 1, z 2,..., z j 1 }, vsebuje cikel dolºine najve 2j + 1 2d 1 < g. Pri²li smo do protislovja, torej u res nima sosedov v G j (v). Ker je G k-regularen, mora biti ²tevilo vozli² v G j+1 (v), ki so sosedna u, enako k c j 0 = k 1. To velja za poljubni vozli² i u in v, torej smo s tem dokazali obstoj ²tevil b j za 1 j d 1 iz denicije e ve, dokazali smo, da je b j = k 1 za 1 j d 1. Poiskati moramo le ²e b 0, tj. ²tevilo vozli² v G 1 (v), ki so sosedna u G 0 (v) = {v}. To velja samo za vozli² a iz N(v), torej je b 0 = k. V dokazu trditve smo videli, da je spodnja meja za ²tevilo vozli² doseºena, e je G i (v) = za i d + 1. Torej ne obstaja vozli² e, ki bi bilo od v oddaljeno ve kot d. Ker je bila izbira v poljubna, to velja za vsa vozli² a grafa G, torej je njegov premer enak d. Iz denicije sedaj sledi, da je G razdaljno regularni graf s prese nim razporedom ι(g) = {b 0, b 1,..., b d 1 ; c 1, c 2,..., c d } = {k, k 1, k 1,..., k 1; 1, 1, 1,..., 1}. 2. Naj bo g = 2d za nek d N, d 2. Izberimo 1 j d 1 in vozli² i u, v V (G), za kateri je d(u, v) = j. Kot v prej²nji to ki najprej dokaºimo, da je G j 1 N(u) = 1. Ker je d(u, v) = j, je u G j (v), torej obstaja pot v, x 1, x 2,..., x j 1, u dolºine j med v in u. Ker ima vsako vozli² e v G i (v) sosede le v mnoºicah G i 1 (v), G i (v) in

113 10.2. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO 113 G i+1 (v), mora veljati x i G i (v) za 1 i j 1. Torej je x j 1 G j 1 (v) N(u) in zato G j 1 (v) N(u) 1. Predpostavimo sedaj, da obstaja ²e y j 1 G j 1 (v) N(u), y j 1 x j 1. Potem obstaja pot v, y 1, y 2,..., y j 1 dolºine j 1 med v in y j 1. Sledi, da podgraf grafa G, induciran z mnoºico vozli² {v, u, x 1, x 2,..., x j 1, y 1, y 2,..., y j 1 }, vsebuje cikel dolºine najve 2j 2d 2 < g. Pri²li smo do protislovja, torej je G j 1 (v) N(u) = 1. Ker je to ²tevilo neodvisno od izbire vozli² u in v, smo s tem dokazali obstoj ²tevil c j za 1 j d 1 iz denicije e ve, dokazali smo, da je c j = 1 za 1 j d 1. Potrebujemo ²e c d. V dokazu trditve smo ( videli, da je spodnja meja za ²tevilo d 1 ) vozli² doseºena, ko velja G d (v) = V (G) \ i=0 G i(v) in ima vsako vozli² e iz G d (v) vse sosede v G d 1 (v). Sledi, da je premer grafa G enak d in G d 1 (v) N(s) = k za vsak s G d (v). To velja za poljubno izbiro vozli² s in v, torej je c d = k. Dokaºimo sedaj, da u nima sosedov v G j (v). Predpostavimo nasprotno, in sicer, da obstaja w G j (v) N(u). Potem obstaja pot v, z 1, z 2,..., z j 1, w dolºine j med v in w. Ker sta vozli² i u in w sosedni, podgraf grafa G, induciran z mnoºico vozli² {v, u, w, x 1, x 2,..., x j 1, z 1, z 2,..., z j 1 }, vsebuje cikel dolºine najve 2j +1 2d 1 < g. Pri²li smo do protislovja, torej u res nima sosedov v G j (v). Ker je G k-regularen, mora biti ²tevilo vozli² v G j+1 (v), ki so sosedna u, enako k c j 0 = k 1. To velja za poljubni vozli² i u in v, torej smo s tem dokazali obstoj ²tevil b j za 1 j d 1 iz denicije e ve, dokazali smo, da je b j = k 1 za 1 j d 1. Poiskati moramo le ²e b 0, tj. ²tevilo vozli² v G 1 (v), ki so sosedna u G 0 (v) = {v}. To velja samo za vozli² a iz N(v), torej je b 0 = k. Iz denicije sedaj sledi, da je G razdaljno regularni graf s prese nim razporedom ι(g) = {b 0, b 1,..., b d 1 ; c 1, c 2,..., c d } = {k, k 1, k 1,..., k 1; 1, 1, 1,..., 1, k}. Dokazati moramo ²e, da je G dvodelen. Ugotovili smo ºe, da za u G j (v), 1 j d 1, velja G j (v) N(u) =. To velja tudi za j = 0, saj je potem u = v in G 0 (v) N(u) = {v} N(v) =, ker graf G nima zank. V primeru, ko je j = d, pa smo dokazali, da ima vsak s G d (v) vse svoje sosede v G d 1 (v), torej tudi za j = d velja G j (v) N(u) =. Torej imajo vse povezave grafa G eno kraji² e v mnoºici G i (v) in drugo v G i+1 (v) za nek i, 0 i d 1. Sledi, da imamo naslednje dvodelno razbitje: d d 2 2 A = G 2i (v) in B = G 2i 1 (v). Torej je G dvodelen. i=0 i=1 Denicija Graf z n 0 (k, g) vozli² i, ki je k-regularen in ima oºino g, imenujemo (k, g)-graf. Omenili smo ºe, da k-regularni gra z oºino g obstajajo za vsak par naravnih ²tevil (k, g), kjer je k 2 in g 3. Kaj pa (k, g)-gra? Oglejmo si nekaj najpreprostej²ih primerov.

114 114 POGLAVJE 10. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO Zgled Izberimo k = 2. Ali obstaja (2, g)-graf? I² emo torej 2-regularni graf z oºino g in n 0 (2, g) vozli² i. Izra unajmo najprej n 0 (2, g). ƒe je g lih, je n 0 (2, g) = (g 3) i=0 2 = 1 + 2( g 3 + 1) = g 1 = g. ƒe pa je g sod, dobimo n (2, g) = 2 g 2 1 i=0 1 = 2 g = g. I² emo torej 2-regularni graf z oºino g in g vozli² i. Vemo, da so 2 2-regularni gra natanko cikli. Torej je edini (2, g)-graf cikel C g. Zgled Izberimo g = 3. Ali obstaja (k, 3)-graf? I² emo torej k-regularni graf z oºino 3 in n 0 (k, 3) = 1+k vozli² i. V tak²nem grafu mora biti vsako vozli² e sosedno vsem ostalim vozli² em. Torej je edini (k, 3)-graf K k+1. Po izreku je prese ni razpored (k, 3)-grafa G enak 1 ι(g) = {k; 1} = 0 k 1. k V zgledu 10.8 smo videli, da je to res prese ni razpored grafa K k+1. Zgled Izberimo g = 4. Ali obstaja (k, 4)-graf? I² emo torej k-regularni graf z oºino 4 in n 0 (k, 4) = 2(1 + k 1) = 2k vozli² i. Iz trditve vemo, da e tak²en graf obstaja, je dvodelen. Kateri pa so k-regularni dvodelni gra z oºino 4 in 2k vozli² i? Vemo, da tem pogojem ustreza polni dvodelni graf K k,k. Po izreku je prese ni razpored (k, 4)-grafa G enak 1 k ι(g) = {k, k 1; 1, k} = k k 1 V zgledu 10.9 smo videli, da je to res prese ni razpored grafa K k,k. V naslednji trditvi bomo videli, da drugih (k, 4)-grafov ni. Trditev Naj bo k N, k 2, in G druºina vseh (k, 4)-grafov. Potem je G = {K n : n N}. Dokaz. V zgornjem zgledu smo preverili, da je K k,k res (k, 4)-graf. Dokaºimo sedaj, da drugih (k, 4)-grafov ni. Naj bo k N, k 2, ksno ²tevilo in G (k, 4)-graf. Potem je G k-regularen z oºino 4 in 2k vozli² i. Izberimo poljuben v V (G) in ozna imo Y = N(v). Ker je graf k-regularen, je Y = k. Ozna imo X = V (G) \ Y. Ker je V (G) = 2k, je X = k. Ali obstajata vozli² i v Y, ki sta sosedni? ƒe bi obstajali, bi ti vozli² i skupaj z vozli² em v tvorili cikel dolºine 3, kar pa ni moºno, saj je oºina grafa 4. Torej nobeni dve vozli² i v Y nista sosedni. Ker je izven mnoºice Y (torej v mnoºici X) natanko k vozli², je vsako vozli² e iz Y sosedno vsem vozli² em iz X. Torej je tudi vsako vozli² e iz X sosedno vsem vozli² em iz Y. Ker je Y = k, nista nobeni vozli² i iz X sosedni ( e bi bili, bi imeli stopnjo vsaj k + 1). Torej je G polni dvodelni graf K k,k. Videli smo, da za vsak k 2 obstajata natanko en (k, 3)-graf in natanko en (k, 4)-graf. Kot bomo videli v nadaljevanju, so ºe pri g = 5 stvari precej druga ne. Leta 1960 sta Homan in Singleton dokazala, da (k, 5)-graf obstaja kve jemu za ²tiri vrednosti k [3]. Za tri od teh vrednosti sta graf tudi na²la in dokazala njegovo enoli nost. Te grafe si bomo ogledali v nadaljevanju. Problem obstoja (k, g)-grafov za g 6 pa je ²e precej zahtevnej²i. Preden pa se lotimo iskanja (k, 5)-grafov, si oglejmo dve lemi, ki nam bosta pri tem v pomo.

115 10.2. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO 115 Lema Naj bo G graf z n vozli² i, ki jih ozna imo z naravnimi ²tevili od 1 do n, torej V (G) = {1, 2,..., n}. Naj bo A matrika sosednosti grafa G. Potem ima matrika A 2 elemente b ij, i, j {1, 2,..., n}, za katere velja: b ij = { N(i) N(j) ; i j deg(i); i = j. Dokaz. Ozna imo elemente matrike sosednosti A z a ij. Po deniciji mnoºenja matrik je b ij = n l=1 a ila lj. Lo imo dva primera: Naj bo i j. Produkt a il a lj je neni eln natanko tedaj, ko je vozli² e l sosedno tako i kot j, torej ko je l N(i) N(j). V tem primeru je a il = a lj = 1, torej vsak l N(i) N(j) prispeva 1 k vsoti n l=1 a ila lj. Torej je b ij = N(i) N(j). Naj bo i = j. Tedaj je b ii = n l=1 a ila li. Ker je G enostaven graf, je produkt a il a li neni eln natanko tedaj, ko je l N(i). V tem primeru je a il = a li = 1, torej vsak l N(i) prispeva 1 k vsoti n l=1 a ila li. Torej je b ii = N(i) = deg(i). Lema Naj bo G k-regularni graf z oºino g 5 in k 2 +1 vozli² i. Potem za poljubni vozli² i u, v V (G), u v, velja: N(u) N(v) = { 0; u v 1; sicer. Dokaz. Vzemimo poljuben v V (G). Lo imo dva primera: Naj bo u v, torej u N(v). Predpostavimo, da obstaja w N(u) N(v). Potem vozli² a u, v in w tvorijo cikel dolºine tri, kar je v nasprotju s predpostavko, da je oºina grafa g 5. Torej je N(u) N(v) = 0. Naj bo u / N(v) {v} = G 1 (v) G 0 (v). Vemo, da nobeni dve vozli² i iz G 1 (v) nista sosedni, saj bi v nasprotnem primeru v grafu imeli cikel dolºine tri. Torej ima vsako vozli² e iz G 1 (v) k 1 sosedov v G 2 (v). Prav tako ne moreta imeti dve razli ni vozli² i iz G 1 (v) istega soseda v G 2 (v), saj bi v nasprotnem primeru v grafu G imeli cikel dolºine ²tiri. Torej ima vsako vozli² e iz G 2 (v) natanko enega soseda v G 1 (v), zato je G 2 (v) = (k 1) G 1 (v) = k(k 1) = k 2 k. Ker so mnoºice G 0 (v), G 1 (v) in G 2 (v) paroma disjunktne, mora graf G imeti vsaj G 0 (v) + G 1 (v) + G 2 (v) = 1 + k + k 2 k = k vozli². Ker ima natanko toliko vozli², je G i (v) = za i 3. Torej je u G 2 (v). Vsako vozli² e iz G 2 (v) pa ima natanko enega soseda v G 1 (v) = N(v), torej je N(u) N(v) = 1. Sedaj lahko zapi²emo in dokaºemo Homan-Singletonov izrek, ki nam pove, da (k, 5)- graf obstaja za najve pet razli nih vrednosti k. Izrek ƒe obstaja k-regularni graf (k N) z oºino g 5 in n 0 (k, 5) = k vozli² i, potem je k {1, 2, 3, 7, 57}.

116 116 POGLAVJE 10. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO Dokaz. Naj bo G k-regularni graf z oºino g 5 in n = k vozli² i. Ozna imo z G njegov komplementarni graf, z A in A matriki sosednosti grafov G in G ter z J n n matriko samih enic. Po deniciji komplementarnega grafa velja Ozna imo elemente matrike A 2 z b ij. Po lemi je { N(i) N(j) ; i j b ij = deg(i); i = j. A + A + I = J. (10.1) Uporabimo lemo ter dejstvo, da je G k-regularen, in dobimo k; i = j b ij = 0; i j 1; sicer. Torej je A 2 = A + ki. Iz te ena be izrazimo A = A 2 ki in vstavimo v ena bo (10.1). Dobimo A 2 + A (k 1)I = J. (10.2) Vemo, da je vsota i-te vrstice ali i-tega stolpca matrike sosednosti enaka stopnji vozli² a i. Ker je G k-regularen, je vsota poljubne vrstice matrike A enaka k. Ozna imo z e n-razseºni vektor samih enic. Potem je Ae = ke, saj je i-ta komponenta vektorja Ae enaka vsoti i-te vrstice matrike A. Sledi, da je (k, e) lastni par matrike A. Ker je A matrika sosednosti enostavnega grafa, je simetri na. Iz linearne algebre vemo, da imajo simetri ne matrike same realne lastne vrednosti ter ortogonalno bazo, sestavljeno iz lastnih in korenskih vektorjev. Ozna imo lastne pare matrike A z (λ 1, e 1 ), (λ 2, e 2 ),..., (λ n, e n ). Brez ²kode za splo²nost postavimo (λ 1, e 1 ) = (k, e). Ker vektorji e 1, e 2,..., e n tvorijo ortogonalno bazo, velja e i e j za i j. Izberimo poljuben i 2. ƒe vzamemo j = 1, dobimo e i e oz. e i e = 0. Sledi Je i = e i e e i e... e i e = 0. ƒe sedaj ena bo (10.2) mnoºimo z desne z vektorjem e i, dobimo A 2 e i + Ae i (k 1)e i = 0. (10.3) Ker je (λ i, e i ) lastni par matrike A, je Ae i = λ i e i in A 2 e i = λ 2 i e i. To vstavimo v ena bo (10.3) in dobimo (λ 2 i + λ i (k 1))e i = 0, torej je Ozna imo re²itvi te ena be z µ 1 in µ 2, torej λ 2 i + λ i (k 1) = 0. (10.4) Ozna imo µ 1 = 1 + 4k 3 2 in µ 2 = 1 4k 3. 2 s = 4k 3. (10.5)

117 10.2. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO 117 Sedaj lahko µ 1, µ 2 in k izrazimo z s: µ 1 = 1 + s 2, µ 2 = 1 s, (10.6) 2 k = s (10.7) 4 Ker ena ba (10.4) velja za poljuben i 2, je λ i {µ 1, µ 2 } za vse i 2. Torej ima A lastne vrednosti k, µ 1 in µ 2. Ozna imo z m 1 in m 2 ve kratnosti µ 1 in µ 2. Vemo, da je vsota ve kratnosti lastnih vrednosti enaka dimenziji matrike, torej 1 + m 1 + m 2 = n = k oz. m 1 + m 2 = k 2. (10.8) Iz linearne algebre vemo, da je vsota vseh lastnih vrednosti matrike enaka njeni sledi. Ker je A matrika sosednosti enostavnega grafa, je njena sled enaka 0, torej je k + m 1 µ 1 + m 2 µ 2 = 0. V to ena bo vstavimo ena bi (10.6) in dobimo k + m s 2 + m 2 1 s 2 To ena bo pomnoºimo z 2 in jo poenostavimo. Dobimo = 0. Vanjo vstavimo ²e ena bo (10.8) in dobimo Sedaj moramo lo iti dva primera: 2k + s(m 1 m 2 ) (m 1 + m 2 ) = 0. s(m 1 m 2 ) k 2 + 2k = 0. (10.9) ƒe s / Q, iz ena be (10.9) sledi, da je m 1 m 2 = 0 oz. m 1 = m 2. Torej se ena ba (10.9) poenostavi v 2k k 2 = 0. Ker je k N, je edina re²itev k = 2. Naj bo sedaj s Q. Iz ena be (10.5) sledi, da je s Z. Vstavimo ena bo (10.7) v ena bo (10.9) in dobimo Poenostavimo in dobimo s(m 1 m 2 ) (s2 + 3) s = 0. s 4 2s 2 16(m 1 m 2 )s 15 = 0. Zanimajo nas samo celo²tevilske re²itve te ena be. Ker je leva stran polinom s celo²tevilskimi koecienti, mora za vsako njegovo celo²tevilsko ni lo s veljati s 15. Torej velja s {±1, ±3, ±5, ±15}. Iz ena be (10.7) sledi k {1, 3, 7, 57}. Zdruºimo re²itve iz obeh zgornjih to k in dobimo k {1, 2, 3, 7, 57}.

118 118 POGLAVJE 10. MINIMALNI REGULARNI GRAFI Z DANO OšINO Slika 10.4: Edini (2, 5)-graf je cikel C 5 (levo), edini (3, 5)-graf pa je Petersenov graf (desno). Zgornji izrek nam pove, da lahko (k, 5)-graf obstaja samo v primerih, ko je k {1, 2, 3, 7, 57}. Pa res za vse te vrednosti k obstaja (k, 5)-graf? ƒe je k = 1, dobimo poln graf na dveh vozli² ih K 2, ki ni (1, 5)-graf, saj je njegova oºina. Torej (1, 5)-graf ne obstaja. Primer, ko je k = 2, smo ºe videli v zgledu Dobimo ravno cikel C 5, ki je prikazan na sliki 10.2 (levo), za katerega smo ºe preverili, da je (2, 5)-graf. Kaj pa (3, 5)-graf? ƒe obstaja, je to 3-regularni graf z 10 vozli² i in oºino 5. Tem pogojem ustreza Petersenov graf, ki je prikazan na sliki 10.2 (desno). Torej (3, 5)-graf obstaja. Tudi (7, 5)-graf obstaja. Leta 1960 sta ga konstruirala Homan in Singleton, dokazala pa sta tudi, da je edini (7, 5)-graf [3]. Imenuje se Homan-Singletonov graf in je 7-regularni graf s 50 vozli² i, 175 povezavami in oºino 5, prikazan na sliki Slika je vzeta iz [8]. Slika 10.5: Homan-Singletonov graf je edini (7, 5)-graf. Obstoj (57, 5)-grafa pa ostaja nere²en problem.