Diskretna matematika 1 / Teorija grafov
|
|
- Christopher Tate
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 Diskretna matematika 1 / Teorija grafov 1. Osnovni pojmi Vladimir Batagelj Univerza v Ljubljani FMF, matematika Finančna matematika Ljubljana, december 2013 / februar / 31
2 Kazalo Pajek Učilnica: Različica: 24. december / 31
3 Park th Kenton Wembley ey Central ridge Park Harlesden n Junction Kensal Rise Brondesbury Finchley Road Kensal Green Queen's Park Maida Vale Kilburn Park Edgware Warwick Avenue Paddington Road Royal Oak stbourne Park Paddington Edgware Marylebone roke Grove timer Road Road Bayswater White City Wembley Park Dollis Hill Willesden Green Primer 1: Kilburn The Tube West Hampstead Holland Notting Lancaster Bond Oxford Chancery Park Hill Gate Gate Street Circus Holborn Lane Queensway Marble Tottenham St. Paul's Arch Court Road 2 1 Covent Garden Bank A High Street st Shepherd's ton Bush on Kensington tral (Olympia) Mondays - Saturdays Shepherd's open Sundays Bush open hawk Road mmersmith avenscourt Park Barons Court West Kensington West Brompton Fulham Broadway Brondesbury Park Earl's Court Closed until May 2006 Kensington Gloucester Road Knightsbridge South Kensington Hyde Park Corner 1 Swiss Cottage St. John's Wood Sloane Square Finchley Road & Frognal Victoria 200m Baker Street Green Park St. James's Park Piccadilly Circus Great Portland Street Westminster Belsize Park Heath Chalk Farm Camden Town No entry from the street on Sundays (exit and interchange only) Mornington Crescent Warren Street Regent s Park Goodge Street Waterloo Euston Euston Square Leicester Square Oak Kentish Town West Euston 200m Charing Cross Mansion House Embankment Charing Cross 100m Camden Road King's Cross St. Pancras Russell Square Temple Kentish Town Open Mondays - Saturdays Waterloo & City line Mondays - Fridays Saturdays Sundays closed Blackfriars Caledonian Road Caledonian Road & Barnsbury Angel Farringdon Barbican Moorgate Cannon Street Open Mondays - Fridays until 2100 only Saturdays Holloway Road Arsenal Old Street Monument Liv S Fenchurch S London Bridge 3 / 31
4 Primer 2: They Rule 4 / 31
5 Primer 3: Molekule 5 / 31
6 Graf, vozlišče, povezave Graf imenujemo trojico G pv, E, Aq, kjer so V, E in A paroma ločene (končne ali števno neskončne) množice. Množica V je množica vozlišč (ali točk) grafa G; množici E in A pa zaporedoma množica neusmerjenih povezav in množica usmerjenih povezav grafa G. Množici E in A sta lahko tudi prazni. Graf lahko narišemo tako, da za vsako vozlišče narišemo krogec, povezave pa prikažemo s črtami, ki vežejo ustrezna vozlišča. Če je povezava usmerjena, nakažemo smer s puščico. Pogosto tudi tako dobljeni sliki grafa pravimo kar graf. 6 / 31
7 Usmerjene in neusmerjene povezave, zanke Vsaki povezavi iz L E Y A pripadata dve vozlišči - njeni krajišči. Če je povezava usmerjena, je eno krajišče začetek, drugo pa konec povezave. Da ima neusmerjena povezava p krajišči u in v bomo zapisali ppu : vq, oziroma enakovredno ppv : uq; in apy, xq, da je vozlišče y začetek in vozlišče x konec usmerjene povezave a. Rekli bomo tudi, da povezava p P E veže svoji krajišči, in da povezava a P A gre (vodi) od svojega začetka do svojega konca. V primeru, ko predstavlja obe krajišči povezave isto vozlišče, pravimo taki povezavi zanka. Vozlišče, ki ni krajišče nobene povezave, je osamljeno (izolirano) vozlišče. 7 / 31
8 Opis grafa množice V ta, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, lu A tpa, bq, pa, dq, pa, f q, pb, aq, pb, f q, pc, bq, pc, cq, pc, gq 1, pc, gq 2, pe, cq, pe, f q, pe, hq, pf, kq, ph, dq, ph, lq, pj, hq, pl, eq, pl, gq, pl, hqu E tpb : eq, pc : dq, pe : gq, pf : hqu G pv, E, Aq L A Y E 8 / 31
9 Krajišče, začetek, konec, dvojček Označimo z V p2q ttu, vu : u, v P V u množico vseh eno ali dvo elementnih podmnožic množice vozlišč V. Pri opisu zvez med vozlišči in povezavami bomo uporabljali naslednje funkcije: ext : L Ñ V p2q init : A Ñ V term : A Ñ V twin : V ˆ L Ñ V ki zadoščajo naslednjim zahtevam: krajišči povezave začetek povezave konec povezave drugo krajišče povezave extpppu : vqq tu, vu initpapu, vqq u twinpu, apu, vqq v twinpu, ppu : vqq v extpapu, vqq tu, vu termpapu, vqq v twinpu, apv, uqq v 9 / 31
10 Razširitev zapisa na vse povezave V nadaljnem nam bosta prišli prav naslednji razširitvi zapisa povezav: naj bo p P L, potem pomeni in ppu, vq pp P E ^ ppu : vqq _ pp P A ^ ppu, vqq ppu : vq ppu, vq _ ppv, uq Povezavi sta vzporedni, če imata isti krajišči. Če je A H, pravimo, da je graf neusmerjen; in je usmerjen, če je E H. 10 / 31
11 Enostavni grafi Kadar veže vsak par vozlišč v danem grafu kvečjemu ena neusmerjena povezava ali pa vodi v vsako smer največ po ena usmerjena povezava in graf nima neusmerjenih zank, pravimo da je graf enostaven. Enostavnim usmerjenim grafom pravimo tudi relacijski ali Bergeovi grafi. Pri enostavnih je vsaka povezava enolično določena s krajiščema in vrsto (usmerjena/neusmerjena). Zato lahko neusmerjeno povezavo s krajiščema u in v označimo kar z pu : vq; usmerjeno povezavo z začetkom u in koncem v pa z pu, vq. Potemtakem je množica povezav A relacijskega grafa G pv, H, Aq povratno enolično povezana z relacijo: R A tpu, vq : Da P A : apu, vqu Ď V ˆ V Tako smo prišli do običajne definicije relacijskega grafa kot dvojice pv, Rq, pri čemer je R Ď V ˆ V dvomestna relacija nad V. 11 / 31
12 Končni grafi Če so vse tri množice V, E in A končne, je tudi graf končen. V tem sestavku se bomo v glavnem ukvarjali le s končnimi grafi, zato bomo ta pridevnik opuščali. Število vozlišč grafa bomo označevali z n, število povezav pa z m. Torej n cardpv q in m cardplq 12 / 31
13 Graf Matrika a b c d e f g h i j k l a b c d e f g h i j k l Graf G je enostaven ntk. vse vrednosti v matriki so 0 ali / 31
14 uki fra wge jap net ita usa bel lux swe den swi can nor spa irn irq pak ire aut hun isr sau kuw aus fin por bra arg pol cze usr ege yug ind cha gre tur egy bul rum syr leb cyp ice tun cub liy mor alg nig uga ken eth brm tha sud sri gha kor vnr phi nze tai mla ins saf mex col uru per chi ven ecu lib dom zai jam tri pan sen ivo els cos gua hon nic car chd nau tog dah nir gab sie con hai gui mat bol par cam maa yem kod lao mon nep bur rwa vnd som afg mli upv alb kmr jor uki fra wge jap net ita usa bel lux swe den swi can nor spa irn irq pak ire aut hun isr sau kuw aus fin por bra arg pol cze usr ege yug ind cha gre tur egy bul rum syr leb cyp ice tun cub liy mor alg nig uga ken eth brm tha sud sri gha kor vnr phi nze tai mla ins saf mex col uru per chi ven ecu lib dom zai jam tri pan sen ivo els cos gua hon nic car chd nau tog dah nir gab sie con hai gui mat bol par cam maa yem kod lao mon nep bur rwa vnd som afg mli upv alb kmr jor Slika grafa / Matrični prikaz kod car par yem mat bol nau lib hai alb nic gua mon zai hon syr tri kmr sri saf sie uru tai rum vnr upv arg gab pol usr lux spa nor ins isr mex pan usa bul liy mli cze fra net gre jor eth jap can ita col ege bra swe gui bur ind chd vnd nep por uki tha nze tur sau pak wge els maa chi den uga con cha yug bel swi dom phi irn egy mor kor cyp aus alg aut hun ire cam leb irq fin ven per nig kuw gha afg rwa ice sen cub ecu som mla brm sud tun ivo cos ken jam nir Pajek - shadow [0.00,1.00] dah lao tog Na sliki je prikazan graf trgovine med izbranimi državami sveta. Pri večjih z veliko povezavami postane slika grafa nepregledna; v matričnem prikazu, za ustrezni vrstni red vozlišč, pa lahko opazimo pravilnosti in vzorce. 14 / 31
15 Graf H pv 1, E 1, A 1 q, za katerega velja V 1 Ď V in L 1 Ď L, imenujemo podgraf grafa G pv, E, Aq in zapišemo H Ď G. Pozor, ker je H graf, so vsa krajišča povezav iz L 1 v V / 31
16 ... Če je V 1 V, govorimo o vpetem podgrafu. Poleg vpetih podgrafov poznamo še podgrafe, porojene z množico vozlišč V 1 Ď V : L 1 LpV 1 q tp P L : Du, v P V 1 : ppu : vqu, extppq Ď V 1 oziroma z množico povezav L 1 Ď L: V 1 V pl 1 q tv P V : Dp P L 1 Du P V : ppu : vqu Y ppl 1 extppq extpl 1 q 16 / 31
17 Homomorfizmi in izomorfizmi Imejmo grafa G pv, E, Aq in H pv 1, E 1, A 1 q. Preslikavi ϕ : V Ñ V 1 in ψ : L Ñ L 1 določata šibki homomorfizem grafa G v graf H natanko takrat, ko v P P L : pppu : vq ñ ψppqpϕpuq: ϕpvqqq oziroma določa (krepki) homomorfizem grafa G v graf H natanko takrat, ko v P P L : pppu, vq ñ ψppqpϕpuq, ϕpvqqq Pri enostavnih je krepki homomorfizem določen že s preslikavo ϕ. 17 / 31
18 Izomorfizmi in stalnice V primeru, ko sta ϕ in ψ bijekciji in v ustreznem pogoju velja namesto implikacije ekvivalenca, pa govorimo o izomorfizmu grafov G in H. Da sta grafa šibko izomorfna zapišemo G H; da sta (krepko) izomorfna pa G «H. Obe izomorfnosti sta ekvivalenčni relaciji in velja «Ă. Stalnica ali invarianta grafa imenujemo vsako grafu prirejeno število, ki je enako za vse med seboj izomorfne grafe. Stalnice imajo pomembno vlogo pri postopkih za ugotavljanje izomorfnosti grafov. V nadaljevanju bomo spoznali več stalnic. 18 / 31
19 h 6 i j 5 7 k e l f g 3 4 d b c 1 a 2 u A B t F J v z G E I C H y x D 9 m 8 ϕ t y z x v u z y t ψ a b c d e f g h i j k l m E J D H G C H G B F J I E Pajek: homoena.net Pajek 19 / 31
20 Izomorfna grafa 1 a j d h b g i 9 8 c 4 3 e f ϕ b h j a g c e i d f Pajek: izopet.net Pajek 20 / 31
21 Zvezde, kratnosti in stopnje Števila vseh povezav izbrane vrste (usmerjene/neusmerjene, vstopajoče/ izstopajoče, vse,... ) s krajiščem v danem vozlišču, oziroma števila povezav, ki vežejo dani vozlišči, imenujemo kratnosti povezav. Formalno vpeljemo kratnosti s pomočjo zvezd. Zvezda v danem vozlišču je množica vseh povezav, ki imajo to vozlišče za krajišče: Lpvq tp : v P extppqu 21 / 31
22 Zvezde, kratnosti in stopnje Pravzaprav poznamo več vrst zvezd. Npr.: L 0 pvq tp : extppq tvuu Epvq tp : p P E ^ v P extppqu A term pvq tp : p P A ^ termppq vu Tako lahko definiramo kratnost povezav v vozlišču u ali stopnjo vozlišča u dpuq cardplpuqq kratnost povezav med vozliščema u in v dpu, vq cardplpuq X Lpvqq in kratnost usmerjenih povezav iz vozlišča u v vozlišče v Ad out pu, vq cardpa init puq X A term pvqq 22 / 31
23 Zveze Med kratnostmi velja cel kup zvez. Na primer: dpu, vq dpv, uq in dpuq ÿ vpv dpu, vq Kadar želimo posebej povedati, da se neko število nanaša na graf G, mu dodamo oznako grafa. Tako na primer z oznako dpu, v; Gq poudarimo, da gre za kratnost povezav med vozliščema u in v glede na graf G. Če je za vsako vozlišče v P V stopnja dpvq končna, pravimo, da je graf lokalno končen. 23 / 31
24 Graf Sosedi N A paq tb, d, f u N A pbq ta, f u N A pcq tb, c, g, gu N A peq tc, f, hu N A pf q tku N A phq td, lu N A pjq thu N A plq te, g, hu N E peq tb, gu N E pcq tdu N E pf q thu Npvq N A pvq Y N E pvq 24 / 31
25 Valence Na povezave s krajiščem v danem vozlišču lahko gledamo na dve načina (povezave v celoti; ali pa čisto lokalno, kot polpovezave zanke štejemo dvakrat). Zato vpeljemo še pojem valence: vpuq dpuq ` d 0 puq kjer je d 0 puq cardpl 0 puqq število zank v vozlišču u. Poglejmo si vsoto vseh valenc. Vzemimo povezavo p s krajiščema u in t. Če je u t, štejemo povezavo enkrat v valenci vozlišča u in drugič v valenci vozlišča t; če pa je u t, je p zanka in jo, po definiciji valence, štejemo dvakrat v vozlišču u. V vsakem primeru jo v vsoti vseh valenc štejemo natanko dvakrat. Torej je: ÿ vpuq 2m oziroma p ÿ vpuqq mod 2 0 upv upv 25 / 31
26 Lema o rokovanjih Od tu izhaja naslednja ugotovitev: V vsakem grafu je sodo vozlišč lihe valence. Dokaz: Naj bo V 0 množica vozlišč sode valence in V 1 množica vozlišč lihe valence. Velja V 0 Y V 1 V in V 0 X V 1 H. Zato je 0 p ÿ vpuqq mod 2 p ÿ ÿ vpuq ` vpuqq mod 2 upv upv 0 upv 1 pp ÿ ÿ vpuqq mod 2 ` p vpuqq mod 2q mod 2 upv 0 upv 1 cardpv 1 q mod 2 l Gornji izrek pogosto imenujejo tudi lema o rokovanjih, kar izhaja iz naslednje preobleke : Na nekem srečanju se je več ljudi med seboj rokovalo. Vselej se je sodo izmed njih rokovalo z lihim številom udeležencev srečanja. 26 / 31
27 Sosedi Vozlišči sta sosednji, če sta krajišči skupne povezave. Podobno kot obstaja več vrst zvezd, obstajajo tudi ustrezne množice sosedov dane vozlišče. Tako je na primer: extplpv qqztv u extpepvq Y A term pvqq extpepvq Y A init pvqq... (pravi) sosedi vozlišča v (neposredni) predhodniki vozlišča v (neposredni) nasledniki vozlišča v V končnem grafu je sodo vozlišč, ki ima liho pravih sosedov. To lahko sprevidimo takole. Grafu G pv, E, Aq priredimo ogrodje (skelet), to je enostaven neusmerjen graf SpGq pv, E 1, Hq, pri čemer je: E 1 tpu : vq : u, v P V, u v, Dp P L : ppu : vqu Ker je vpu; Sq enaka številu pravih sosedov vozlišča u v grafu G, je, po prejšnji trditvi, trditev dokazana. 27 / 31
28 δpgq in pgq S stopnjo vozlišča sta povezani dve stalnici grafa: najmanjša valenca δpgq in največja valenca pgq δpgq min vpuq in pgq max vpuq upv upv Če imajo vsa vozlišča grafa isto valenco r, pravimo, da je graf r regularen (pravilen). 3 regularnim grafom pravimo tudi kubični grafi. Na sliki je prikazanih nekaj kubičnih grafov. Drugi izmed njih je Petersenov graf, ki ima v teoriji grafov pomembno vlogo kot dežurni protiprimer. 28 / 31
29 Ničelni graf in polni graf Poglejmo si še nekaj primerkov enostavnih neusmerjenih grafov: Ničelni graf na n vozliščih: N n pv, Hq, cardpv q n Polni graf na n vozliščih: K n pv, Eq, cardpv q n, E tpu : vq : u, v P V ^ u vu Na sliki sta prikazana grafa N 4 in K 5. Pajek 29 / 31
30 Kocke Na sliki sta prikazana grafa trirazsežne kocke Q 3 in štirirazsežne kocke Q 4. k razsežno kocko Q k lahko opišemo na primer takole. Za množico vozlišč V vzamemo naravna števila od 0 do 2 k 1. Naj bo u u k 1 u k 2... u 2 u 1 u 0 p2q dvojiški zapis številavozlišča u. Tedaj množico povezav k razsežne kocke opišemo takole Pajek k 1 ÿ E tpu : vq : pu i Y v i q 1u i 0 Dvojiški številki krajišč povezave se razlikujeta natanko na enem mestu. 30 / 31
31 Pravilni poliedri Platonska telesa 31 / 31
Clustering and blockmodeling
ISEG Technical University of Lisbon Introductory Workshop to Network Analysis of Texts Clustering and blockmodeling Vladimir Batagelj University of Ljubljana Lisbon, Portugal: 2nd to 5th February 2004
More informationLatent Factor Models for Relational Data
Latent Factor Models for Relational Data Peter Hoff Statistics, Biostatistics and Center for Statistics and the Social Sciences University of Washington Outline Part 1: Multiplicative factor models for
More informationMean and covariance models for relational arrays
Mean and covariance models for relational arrays Peter Hoff Statistics, Biostatistics and the CSSS University of Washington Outline Introduction and examples Models for multiway mean structure Models for
More informationHierarchical models for multiway data
Hierarchical models for multiway data Peter Hoff Statistics, Biostatistics and the CSSS University of Washington Array-valued data y i,j,k = jth variable of ith subject under condition k (psychometrics).
More informationNetwork Analysis with Pajek
Network Analysis with Pajek Vladimir Batagelj University of Ljubljana Local Development PhD Program version: September 10, 2009 / 07 : 37 V. Batagelj: Network Analysis with Pajek 2 Outline 1 Networks......................................
More informationHipohamiltonovi grafi
Hipohamiltonovi grafi Marko Čmrlec, Bor Grošelj Simić Mentor(ica): Vesna Iršič Matematično raziskovalno srečanje 1. avgust 016 1 Uvod V marsovskem klubu je želel predsednik prirediti večerjo za svoje člane.
More informationNIKJER-NIČELNI PRETOKI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ALJA ŠUBIC NIKJER-NIČELNI PRETOKI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo ALJA
More informationOne of the most important and historic houses in Regent s Park.
t h e d o r i c v i l l a 1 9 Y o r k t e r r a c e e a s t, l o n d o n n w 1 t h e d o r i c v i l l a t h e d o r i c v i l l a 1 9 Y o r k t e r r a c e e a s T, l o n d o n n w 1 One of the most
More informationMatej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika - uporabna smer (UNI) Matej Mislej HOMOMORFIZMI RAVNINSKIH GRAFOV Z VELIKIM NOTRANJIM OBSEGOM Diplomsko delo Ljubljana, 2006 Zahvala Zahvaljujem
More informationProbability models for multiway data
Probability models for multiway data Peter Hoff Statistics, Biostatistics and the CSSS University of Washington Outline Introduction and examples Hierarchical models for multiway factors Deep interactions
More informationAnaliza omrežij Zgradba omrežij:
Univerza v Ljubljani podiplomski študij statistike Analiza omrežij Zgradba omrežij: podomrežja in povezanosti Vladimir Batagelj Anuška Ferligoj Univerza v Ljubljani Ljubljana, 0. in 7. november 2003 izpisano:
More informationInferring Latent Preferences from Network Data
Inferring Latent Preferences from Network John S. Ahlquist 1 Arturas 2 1 UC San Diego GPS 2 NYU 14 November 2015 very early stages Methodological extend latent space models (Hoff et al 2002) to partial
More informationLecture 10 Optimal Growth Endogenous Growth. Noah Williams
Lecture 10 Optimal Growth Endogenous Growth Noah Williams University of Wisconsin - Madison Economics 702 Spring 2018 Optimal Growth Path Recall we assume exogenous growth in population and productivity:
More informationLatent SVD Models for Relational Data
Latent SVD Models for Relational Data Peter Hoff Statistics, iostatistics and enter for Statistics and the Social Sciences University of Washington 1 Outline 1 Relational data 2 Exchangeability for arrays
More informationT H I R T Y L O D G E R O A D L O N D O N N W 8 8 N T F R E E H O L D D E V E L O P M E N T O P P O R T U N I T Y
T H I R T Y L O D G E R O A D L O N D O N N W 8 8 N T F R E E H O L D D E V E L O P M E N T O P P O R T U N I T Y 3 0 L O D G E R O A D L O N D O N N W 8 8 N T Oxford Street Marylebone Station Regent s
More informationAna Mlinar Fulereni. Delo diplomskega seminarja. Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika 1. stopnja Ana Mlinar Fulereni Delo diplomskega seminarja Mentor: izred. prof. dr. Riste Škrekovski Ljubljana, 2011 Kazalo 1. Uvod 4 2.
More informationEulerjevi in Hamiltonovi grafi
Eulerjevi in Hamiltonovi grafi Bojan Možina 30. december 006 1 Eulerjevi grafi Štirje deli mesta Königsberg v Prusiji so bili povezani s sedmimi mostovi (glej levi del slike 1). Zdaj se Königsberg imenuje
More informationTEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA
TEORIJA GRAFOV IN LOGISTIKA Maja Fošner in Tomaž Kramberger Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko Mariborska cesta 2 3000 Celje Slovenija maja.fosner@uni-mb.si tomaz.kramberger@uni-mb.si Povzetek
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Simetrije cirkulantnih grafov
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Simetrije cirkulantnih grafov (Symmetry of circulant graphs) Ime in priimek: Maruša Saksida Študijski
More informationJernej Azarija. Štetje vpetih dreves v grafih
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jernej Azarija Štetje vpetih dreves v grafih DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU
More informationAgriculture, Transportation and the Timing of Urbanization
Agriculture, Transportation and the Timing of Urbanization Global Analysis at the Grid Cell Level Mesbah Motamed Raymond Florax William Masters Department of Agricultural Economics Purdue University SHaPE
More information5. Zgradba omrežij povezanosti. Vladimir Batagelj. Interdisciplinarni doktorski študijski program Statistika Ljubljana, april 2014
5. Zgradba povezanosti Vladimir Batagelj Univerza v Ljubljani, FMF, matematika Interdisciplinarni doktorski študijski program Statistika Ljubljana, april 204 Textphone Website Transport for London Grid
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kromatično število in kromatični indeks grafa
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Kromatično število in kromatični indeks grafa (The chromatic number and the chromatic index of
More informationLecture 9 Endogenous Growth Consumption and Savings. Noah Williams
Lecture 9 Endogenous Growth Consumption and Savings Noah Williams University of Wisconsin - Madison Economics 702/312 Optimal Balanced Growth Therefore we have capital per unit of effective labor in the
More informationEconomic Growth: Lecture 1, Questions and Evidence
14.452 Economic Growth: Lecture 1, Questions and Evidence Daron Acemoglu MIT October 23, 2018 Daron Acemoglu (MIT) Economic Growth Lecture 1 October 23, 2018 1 / 38 Cross-Country Income Differences Cross-Country
More informationNetwork Rail Engineering Work between Queen s Park and Watford Junction
Bakerloo Timetable Notice No. / Network Rail Engineering Work between Queen s Park and Watford Junction Sundays, commencing th January 0 This notice must be retained for further use Dates on which this
More informationSIMETRIČNI BICIRKULANTI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA GORAZD VASILJEVIĆ SIMETRIČNI BICIRKULANTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo
More informationThe International-Trade Network: Gravity Equations and Topological Properties
The International-Trade Network: Gravity Equations and Topological Properties Giorgio Fagiolo Sant Anna School of Advanced Studies Laboratory of Economics and Management Piazza Martiri della Libertà 33
More informationLecture Note 13 The Gains from International Trade: Empirical Evidence Using the Method of Instrumental Variables
Lecture Note 13 The Gains from International Trade: Empirical Evidence Using the Method of Instrumental Variables David Autor, MIT and NBER 14.03/14.003 Microeconomic Theory and Public Policy, Fall 2016
More informationProblem umetnostne galerije
Problem umetnostne galerije Marko Kandič 17. september 2006 Za začetek si oglejmo naslednji primer. Recimo, da imamo v galeriji polno vrednih slik in nočemo, da bi jih kdo ukradel. Seveda si želimo, da
More informationA re examination of the Columbian exchange: Agriculture and Economic Development in the Long Run
Are examinationofthecolumbianexchange: AgricultureandEconomicDevelopmentintheLongRun AlfonsoDíezMinguela MªDoloresAñónHigón UniversitatdeValéncia UniversitatdeValéncia May2012 [PRELIMINARYRESEARCH,PLEASEDONOTCITE]
More informationGrafi, igre in še kaj
Grafi, igre in še kaj Martin Milanič martin.milanic@upr.si Inštitut Andrej Marušič Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Univerza na Primorskem, Koper Matematika je kul 2016,
More informationECON 581. The Solow Growth Model, Continued. Instructor: Dmytro Hryshko
ECON 581. The Solow Growth Model, Continued Instructor: Dmytro Hryshko 1 / 38 The Solow model in continuous time Consider the following (difference) equation x(t + 1) x(t) = g(x(t)), where g( ) is some
More informationLandlocked or Policy Locked?
Landlocked or Policy Locked? How Services Trade Protection Deepens Economic Isolation Ingo Borchert University of Sussex Based on research with Batshur Gootiiz, Arti Grover and Aaditya Mattoo FERDI ITC
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kvadratne forme nad končnimi obsegi
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Kvadratne forme nad končnimi obsegi (Quadratic Forms over Finite Fields) Ime in priimek: Borut
More informationMill Hill East. Finchley Central Bounds Green. East Finchley Wood Green. Highgate Turnpike Lane. Archway. Manor House. Gospel. Tufnell Park.
h Special fares apply for printed single and return North White Holland Notting Lancaster Bond Oxford Chancery Acton City Park Hill Gate Gate Street Circus Holborn Lane West East Shepherd's Queensway Marble
More informationPOLDIREKTNI PRODUKT GRUP
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUCIJA ŽNIDARIČ POLDIREKTNI PRODUKT GRUP DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Univerzitetni študijski program 1. stopnje: Dvopredmetni
More informationNew approaches to masterplanning
NLA, London 28th November 2014 Tim Stonor Architect & Urban Planner The Smart context @Tim_Stonor What is a Smart City? How can a Smart City be planned & governed? Where is the place for technology in
More informationWhy organelle genomes? Costs and benefits of DNA in mitochondria and chloroplasts
School of Chemistry and Molecular Biosciences University of Queensland 18th February 2009 Why organelle genomes? Costs and benefits of DNA in mitochondria and chloroplasts John F. Allen Australian Academy
More informationA L A BA M A L A W R E V IE W
A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N
More informationExponential random graphs
Exponential random graphs Alan Terry Dissertation submitted for the MSc in Data Analysis, Networks, and Nonlinear Dynamics, Department of Mathematics, University of York, UK Carried out at: Complexity
More informationHadamardove matrike in misija Mariner 9
Hadamardove matrike in misija Mariner 9 Aleksandar Jurišić, 25. avgust, 2009 J. Hadamard (1865-1963) je bil eden izmed pomembnejših matematikov na prehodu iz 19. v 20. stoletje. Njegova najpomembnejša
More informationDOMINACIJSKO TEVILO GRAFA
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA tudijski program: MATEMATIKA in RAƒUNALNI TVO DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA DIPLOMSKO DELO Mentor: doc. dr. Primoº parl Kandidatka: Neja Zub i Ljubljana, maj, 2011
More informationAKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Poučevanje: Predmetno poučevanje ŠPELA ZOBAVNIK AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH ŠTEVIL MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationIskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Veronika Horvat Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE
More informationDELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DEJAN KREJIĆ DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika -
More information!" #$$% & ' ' () ) * ) )) ' + ( ) + ) +( ), - ). & " '" ) / ) ' ' (' + 0 ) ' " ' ) () ( ( ' ) ' 1)
!" #$$% & ' ' () ) * ) )) ' + ( ) + ) +( ), - ). & " '" ) () -)( / ) ' ' (' + 0 ) ' " ' ) () ( ( ' ) ' 1) )) ) 2') 3 45$" 467" 8" 4 %" 96$ & ' 4 )" 3)" ::" ( & ) ;: < ( ) ) =)+ ( " " " $8> " ') +? @ ::
More informationIzbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov. Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov
Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov Ljubljana, 2015 CIP Kataloºni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjiºnica, Ljubljana 519.24(082)(0.034.2)
More informationMarkov Chains. Andreas Klappenecker by Andreas Klappenecker. All rights reserved. Texas A&M University
Markov Chains Andreas Klappenecker Texas A&M University 208 by Andreas Klappenecker. All rights reserved. / 58 Stochastic Processes A stochastic process X tx ptq: t P T u is a collection of random variables.
More informationInternational Investment Positions and Exchange Rate Dynamics: A Dynamic Panel Analysis
International Investment Positions and Exchange Rate Dynamics: A Dynamic Panel Analysis Michael Binder 1 Christian J. Offermanns 2 1 Frankfurt and Center for Financial Studies 2 Frankfurt Motivation Empirical
More informationCursing the blessings? Natural resource abundance, institutions, and economic development
Cursing the blessings? Natural resource abundance, institutions, and economic development Christa N. Brunnschweiler (ETH Zurich / University of Zurich) 23 May, 2006 Abstract Since Sachs and Warner s (1995a)
More informationHomework for MATH 4604 (Advanced Calculus II) Spring 2017
Homework for MATH 4604 (Advanced Calculus II) Spring 2017 Homework 14: Due on Tuesday 2 May 55. Let m, n P N, A P R mˆn and v P R n. Show: L A pvq 2 ď A 2 v 2. 56. Let n P N and let A P R nˆn. Let I n
More informationOPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi
OPTIMIZACIJSKE METODE skripta v pripravi Vladimir Batagelj Ljubljana 17. december 2003 2 Kazalo Predgovor 5 1 Optimizacijske naloge 7 1.1 Osnovni pojmi........................... 7 1.2 Primeri optimizacijskih
More informationMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 15. december 2010 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi Preslikavam v množico R ali C običajno pravimo funkcije v prvem primeru realne, v drugem
More informationL11: Algebraic Path Problems with applications to Internet Routing Lecture 15. Path Weight with functions on arcs?
L11: Algebraic Path Problems with applications to Internet Routing Lecture 15 Timothy G. Griffin timothy.griffin@cl.cam.ac.uk Computer Laboratory University of Cambridge, UK Michaelmas Term, 2016 tgg22
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO.
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Sabina Skornšek Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationEconometrics I KS. Module 1: Bivariate Linear Regression. Alexander Ahammer. This version: March 12, 2018
Econometrics I KS Module 1: Bivariate Linear Regression Alexander Ahammer Department of Economics Johannes Kepler University of Linz This version: March 12, 2018 Alexander Ahammer (JKU) Module 1: Bivariate
More informationTOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI
TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI V primeru asociacij molekul topljenca v vodni ali organski fazi eksperimentalno določeni navidezni porazdelitveni koeficient (P n ) v odvisnosti od koncentracije ni konstanten.
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO SAŠO ZUPANEC Mentor:
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA. Tina Lešnik
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA Tina Lešnik Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationCursing the blessings? Natural resource abundance, institutions, and economic growth
Research Collection Working Paper Cursing the blessings? Natural resource abundance, institutions, and economic growth Author(s): Brunnschweiler, Christa N. Publication Date: 2006 Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-005229390
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO Rok Erman BARVANJA RAVNINSKIH IN SORODNIH DRUŽIN GRAFOV Doktorska disertacija MENTOR: prof. dr. Riste Škrekovski Ljubljana,
More informationPrime. Waterside. Location LONDON W6
Prime Waterside Location Over 45,000 SQ FT (4,181 SQ M) OF RESTAURANT, RETAIL & OFFICE SPACE FOR SALE OR TO LET LONON W6 Fulham Reach the new riverside RESTAURANT QUARTER FOR HAMMERSMITH 166,000 residents
More informationFor Adam Smith, the secret to the wealth of nations was related
The building blocks of economic complexity César A. Hidalgo 1 and Ricardo Hausmann a Center for International Development and Harvard Kennedy School, Harvard University, Cambridge, MA 02138 Edited by Partha
More informationINSTITUTIONS AND THE LONG-RUN IMPACT OF EARLY DEVELOPMENT
DEPARTMENT OF ECONOMICS ISSN 1441-5429 DISCUSSION PAPER 49/12 INSTITUTIONS AND THE LONG-RUN IMPACT OF EARLY DEVELOPMENT James B. Ang * Abstract We study the role of institutional development as a causal
More informationFlag Varieties. Matthew Goroff November 2, 2016
Flag Varieties Matthew Goroff November 2, 2016 1. Grassmannian Variety Definition 1.1: Let V be a k-vector space of dimension n. The Grassmannian Grpr, V q is the set of r-dimensional subspaces of V. It
More informationENDOGENOUS GROWTH. Carl-Johan Dalgaard Department of Economics University of Copenhagen
ENDOGENOUS GROWTH Carl-Johan Dalgaard Department of Economics University of Copenhagen MOTIVATION AND SETTING THE SCENE How to sustain growth? Under standard assumptions (e.g., diminishing returns and
More informationWP/18/117 Sharp Instrument: A Stab at Identifying the Causes of Economic Growth
WP/18/117 Sharp Instrument: A Stab at Identifying the Causes of Economic Growth By Reda Cherif, Fuad Hasanov, and Lichen Wang 2 2018 International Monetary Fund WP/18/117 IMF Working Paper Institute for
More informationDegeneration of Bethe subalgebras in the Yangian
Degeneration of Bethe subalgebras in the Yangian National Research University Higher School of Economics Faculty of Mathematics Moscow, Russia Washington, 2018 Yangian for gl n Let V C n, Rpuq 1 P u 1
More informationSuper Trip! My Travel Portfolio. I have seen a lot of sights! A Diary and Scrapbook for a short Trip to LONDON. My name:
Super Trip! Joachim Kothe My Travel Portfolio A Diary and Scrapbook for a short Trip to LONDON I have seen a lot of sights! My name: I stayed in LONDON on / from to with my class / group: accompanied by
More informationSolutions of exercise sheet 3
Topology D-MATH, FS 2013 Damen Calaque Solutons o exercse sheet 3 1. (a) Let U Ă Y be open. Snce s contnuous, 1 puq s open n X. Then p A q 1 puq 1 puq X A s open n the subspace topology on A. (b) I s contnuous,
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti (Algorithms for testing primality) Ime in
More informationIzbrana poglavja iz velikih omreºij 1. Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij
Izbrana poglavja iz velikih omreºij 1 Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij Ljubljana, 2015 CIP Kataloºni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjiºnica, Ljubljana 123.45(678)(9.012.3) Izbrana
More informationAPLIKACIJA ZA DELO Z GRAFI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: MATEMATIKA IN RAČUNALNIŠTVO APLIKACIJA ZA DELO Z GRAFI DIPLOMSKO DELO Mentor: doc. dr. Primož Šparl Kandidat: Luka Jurković Somentor: asist.
More informationLandlocked or Policy Locked?
Landlocked or Policy Locked? How Services Trade Protection Deepens Economic Isolation Ingo Borchert joint work with Batshur Gootiiz, Arti Grover and Aaditya Mattoo Development Research Group The World
More informationVIII Women s Beach Handball World Championship. Preliminary Round - Group A. Preliminary Round - Group B. Preliminary Round - Group C
Preliminary Round - Group A # Team G W L P W L DF + - DF P S+ S- G+ G- ESP GRE PAR AUS 1. ESP 3 3 0 6 6 1 +5 99 69 +30 10 14:8 24:15 21:6 10:8 18:12 2. GRE 3 2 1 4 5 4 +1 99 93 +6 20:10 8:14 17:14 14:17
More informationCATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i
CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A Ήχος α H ris to os s n ș t slă ă ă vi i i i i ți'l Hris to o os di in c ru u uri, în tâm pi i n ți i'l Hris
More informationCrossrail 2. Michele Dix. June Transport for London
Crossrail 2 Michele Dix June 2015 Transport for London London is growing by... new residents every hour That s a car load every minutes 2 Buses every day 2 Tube or or trains every week Today the population
More informationJERNEJ TONEJC. Fakulteta za matematiko in fiziko
. ARITMETIKA DVOJIŠKIH KONČNIH OBSEGOV JERNEJ TONEJC Fakulteta za matematiko in fiziko Math. Subj. Class. (2010): 11T{06, 22, 55, 71}, 12E{05, 20, 30}, 68R05 V članku predstavimo končne obsege in aritmetiko
More informationSCHOOL OF MATHEMATICS AND STATISTICS
Data provided: Graph Paper MAS6011 SCHOOL OF MATHEMATICS AND STATISTICS Dependent Data Spring Semester 2016 2017 3 hours Marks will be awarded for your best five answers. RESTRICTED OPEN BOOK EXAMINATION
More informationParks and Open Spaces. Our Strategy for Barnet Appendixes to Strategy Document - Appendix K
Parks and Open Spaces Our Strategy for Barnet 2016-26 Appendixes to Strategy Document - Appendix K 134 An Open Spaces Strategy for Barnet Appendixes to Strategy Document Appendix K Data capture survey
More informationParticija grafa, odkrivanje skupnosti in maksimalen prerez
Univerza na Primorskem Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Matemati ne znanosti - 2. stopnja Peter Mur²i Particija grafa, odkrivanje skupnosti in maksimalen prerez Magistrsko
More informationSoftware Process Models there are many process model s in th e li t e ra t u re, s om e a r e prescriptions and some are descriptions you need to mode
Unit 2 : Software Process O b j ec t i ve This unit introduces software systems engineering through a discussion of software processes and their principal characteristics. In order to achieve the desireable
More informationNOTES WEEK 02 DAY 1. THEOREM 0.3. Let A, B and C be sets. Then
NOTES WEEK 02 DAY 1 SCOT ADAMS LEMMA 0.1. @propositions P, Q, R, rp or pq&rqs rp p or Qq&pP or Rqs. THEOREM 0.2. Let A and B be sets. Then (i) A X B B X A, and (ii) A Y B B Y A THEOREM 0.3. Let A, B and
More informationIDENTIFYING MULTILATERAL DEPENDENCIES IN THE WORLD TRADE NETWORK
IDENTIFYING MULTILATERAL DEPENDENCIES IN THE WORLD TRADE NETWORK PETER R. HERMAN Abstract. When studying the formation of trade between two countries, traditional modeling has described this decision as
More informationReview++ of linear algebra continues
Review++ of linear algebra continues Recall a matrix A P M m,n pf q is an array 1 1 2 1 1 n A p j i q 1 2 2 2 2 n...... 1 m n m This encodes a map ' P HompF n,f m q via the images of basis vectors of F
More informationExotic Crossed Products
Exotic Crossed Products Rufus Willett (joint with Alcides Buss and Siegfried Echterhoff, and with Paul Baum and Erik Guentner) University of Hawai i WCOAS, University of Denver, November 2014 1 / 15 G
More informationA. Cuñat 1 R. Zymek 2
1 2 1 University of Vienna and CESifo, alejandro.cunat@univie.ac.at 2 University of Edinburgh and CESifo, robert.zymek@ed.ac.uk and Outline accounting: quantitative assessment of the contribution of measurable
More informationAPPROXIMATE HOMOMORPHISMS BETWEEN THE BOOLEAN CUBE AND GROUPS OF PRIME ORDER
APPROXIMATE HOMOMORPHISMS BETWEEN THE BOOLEAN CUBE AND GROUPS OF PRIME ORDER TOM SANDERS The purpose of this note is to highlight a question raised by Shachar Lovett [Lov], and to offer some motivation
More informationPTV South America City Map 2018 (Standardmap)
(Standardmap) Map version name (Core) Map version name (Logistic) Release date (Logistics) Map version name (Logistics) (new) PTV_South_America_City_Map_2018 Data provider(s) Technology Region Predecessor
More informationPTV South America City Map 2016 (Standardmap)
PTV South America City Map 2016 (Standardmap) Map version name (Core) Map version name (Logistic) Release date (Logistics) Map version name (Logistics) (new) PTV_South_America_City_Map_2016 Data provider(s)
More informationMTH 505: Number Theory Spring 2017
MTH 505: Number Theory Spring 2017 Homework 1 Drew Armstrong 1.1. From pn, σ, 0q to pn, `,, 0, 1q. Recall Peano s four axioms for the natural numbers: (P1) There exists a special element called 0 P N.
More informationRandom Variables. Andreas Klappenecker. Texas A&M University
Random Variables Andreas Klappenecker Texas A&M University 1 / 29 What is a Random Variable? Random variables are functions that associate a numerical value to each outcome of an experiment. For instance,
More informationDS-GA 3001: PROBLEM SESSION 2 SOLUTIONS VLADIMIR KOBZAR
DS-GA 3: PROBLEM SESSION SOLUTIONS VLADIMIR KOBZAR Note: In this discussion we allude to the fact the dimension of a vector space is given by the number of basis vectors. We will shortly establish this
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationY'* C 0!),.1 / ; ')/ Y 0!)& 1 0R NK& A Y'. 1 ^. ]'Q 1 I1 )H ;". D* 1 = Z)& ^. H N[Qt C =
(-) 393 F!/ $5 $% T K&L =>-? J (&A )/>2 I B!" GH 393/05/07 :K 393/07/23 :7b +B 0 )NO M / Y'* C a23 N/ * = = Z)& ^. ;$ 0'* Y'2 8 OI 53 = ;" ~" O* Y.b ;" ; ')/ Y'* C 0!),. / ; ')/ Y 0!)& 0R NK& A Y'. ^.
More informationPTV South America City Map 2017 (Standardmap)
PTV South America City Map 2017 (Standardmap) Map version name (Core) Map version name (Logistic) Release date (Logistics) Map version name (Logistics) (new) PTV_South_America_City_Map_2017 Data provider(s)
More informationBROKEN WHARF HOUSE LONDON EC4
BROKEN WHARF HOUSE LONDON EC4 BROKEN WHARF HOUSE LOCAL AMENITIES LON D O N WALL LIVERPOOL STREET LOCAL OCCUPIERS Restaurants The Bridge Restaurant Samuel Pepys Public House All Bar One Corney & Barrow
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHAELA REMIC
UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO MIHEL REMI UNIVERZ V LJULJNI PEDGOŠK FKULTET FKULTET Z MTEMTIKO IN FIZIKO Študijski program: Matematika in fizika ROUTHOV
More informationPortsmouth. Pharmacy opening times for Christmas and the New Year. 24 Dec 25 Dec 26 Dec 28 Dec 31 Dec 01 Jan 02 Jan
Portsmouth Cosham, PO6 3AG Boots the Chemists Cosham, PO6 3AG HJ Everett Cosham, PO6 3AG Cosham, PO6 3BG Drayton community pharmacy Drayton, PO6 1PA Drayton, PO6 1PA Paulsgrove, PO6 4HG Sainsbury s pharmacy
More information