Teorija naklju nih matrik
|
|
- Clyde Parks
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 Teorija naklju nih matrik Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matemematiko in ziko Avtor: Benjamin Batisti Mentor: prof. dr. Tomaº Prosen Maj 2006 Povzetek Kompleksne kvantnomehanske sisteme, ki jih ne moremo eksplicitno re²iti lahko obravnavamo na osnovi statisti nih lastnosti spektra. S tem motivom nastane teorija naklju nih matrik. Na nivoju statistike razmikov med spektralni nivoji, lahko razlo imo dva razreda, ki sta vsebinko razlo ljiva tudi v klasi ni obravnavi. To sta razred klasi no integrabilnih in razred klasi no kaoti nih sistemov. Tak²na stroga razlika med integrabilnimi in kaoti nimi sistemi v kvantno mehanski sliki ima velik teoreti en pomen, saj so denicije kaosa v okviru klasi nih ena b gibanja nekonsistentne s konstrukcijo kvantne mehanike.
2 Kazalo 1 Motivacija 3 2 Kratka zgodovina 4 3 Konstrukcija ensembla Matri na reprezentacija Konstrukcijski pogoji Porazdelitev za 2 2 realne simetri ne matrike Trije nereducibilni ensembli Aplikacija Energijski spekter Izpeljava za 2 2 matrike Fluktuacijske lastnosti Uspeh teorije RMT v preprostih sistemih Biljardi Numeri ni eksperimenti Nauk 15 7 Zaklju ek 16
3 1 Motivacija Predstavljajte si kompleksen Hamiltonski sistem, ki ima, ali tako zapleteno strukturo, da kljub poznavanju fundamentalnih principov, teh ne moremo skomponirati v kompakten opis ali pa celo, da teh fundamentalnih principov ne poznamo in smo ºe na samem za eku zavezanih rok. Vemo, da smo Hamiltonski sistem re²ili, e smo poiskali integrale gibanja. Klasi na dinami na analiza je pokazala, da obstaja poseben razred dinami nih sistemov, ki imajo samo eno dinami no invarianto, energijo. V tem smislu lo imo sisteme na integrabilne in na neintegrabilne. Na slednje se ponavadi referenciramo kot na kaoti ne sisteme, zaradi posebnih dinami nih lastnosti. Mnogi so verjeli, da neintegrabilnih sitemov sploh ni, ampak, da je edini problem le, da nismo dovolj pametni, da bi integrale poiskali. Kakorkoli, delo Poincareja in drugih, na podro ju nelinearnih sistemov, to je tak²nih sistemov, ki niso separabilni, nakazuje, da tak²nih integralov res ni. V klasi ni dinami ni analizi se o nelinearnih sistemih ne mol i, sposobni smo namre izmeriti tipi ne dinami ne lastnosti kot so Ljapunovi eksponenti, dinami na entorpija, me²anje; vsekakor je pa to dale od popolnega opisa integrabilnih sistemov. V asovni evoluciji nelinearnih sistemov se eksponentno hitro producira informacija, ki je ne moremo kompaktno zaobjeti v analiti ni formi. Kako je v kvantni mehaniki? Kvantno-mehanski sitem razumevamo kot re²en, e smo poiskali valovno funkcijo. V kolikor valovno funkcijo poznamo, smo sposobni iz nje izlu² iti kakr²nokoli zikalno informacijo. Kvantna mehanika je v osnovi linearna in sorodnih teºav kot jih sre amo v klasi ni mehaniki ne bi smelo biti. Nekdo bi pomislil, da bi lahko re²il kvantnomehanski problem in potem re²itev koresponden no prenesel v klasi no sliko. Tak²en poskus se hitro izkaºe kot izgubljena igra, saj smo v kvantni mehaniki zares sposobni re²iti le pe² ico bolj ali manj ²olskih problemov, preostanek pa je prepu² en numeri ni analizi, katero je smiselno uporabiti ºe takoj v klasi no zastavljenem problemu, v kolikor nas ta zanima. Re²evanje resnih kvantno-mehanskih problemov ni preprosto, zato lahko pri akujemo, da je upanje za re²itev kompleksnega problema, ki ga ne znamo niti korektno zastaviti, neumestno, e ne predrzno. Poskusi intuziastov so lahko v zadovoljstvo le-njih, ne sovpadajo pa s tem kar razumevamo kot prakti no. V praksi nas najpogosteje zanima energijski spekter, ali spekter kar²nega koli drugega operatorja in neizpodpitna resnica je, da spektra ne bomo poznali, e problema ne bomo re²ili. ƒe je problem klasi no integrabilen, potem se lahko tak²en spekter v semiklasi nem reºimu opi²e s kvantizacijo periodi nih orbit (Bohr, Sommerfeld). V posebnih problemih lahko samo s semiklasi no teorijo to no opi²emo ves spekter (kvantni oscilator). Tukaj bomo ponovno praznih rok, e je na² problem klasi no neintegrabilen (nelinearen). Preostane pa neko 3
4 drugo upanje. Kaj e imajo kvantnomehanski sistemi, kak²ne univerzalne lastnosti, tako, da bi lahko iz minimalnega poznavanja, ki sistem sicer ne determinira enoli no ampak zgolj klasicira v podobnostni razred, sklepali na latnost, ki bi bila univerzalna za ta razred? Gremo korak dalje. Kaj e so vsi tak²ni sistemi, ki jih ne znamo re²iti, ekvivalentni ktivnemu ensemblu sistemov v katerem je kakr²en koli opis sistema enako verjeten? Potem bi lahko nazaj sklepali ali tak²en sistem res ne znamo re²iti. 2 Kratka zgodovina Gledano zgodovinsko, ta ²pekulacija pripada Wignerju, ki je bil postavljen pred problem razlage spektralnih vzorcev dobljenih pri spektroskopiji teºkih jeder. V letu 1951, ko se je lotil razlage, ni bila na voljo nobena ustrezna teorija. Prisiljen ali pa ne, se je lotil raziskovanja statisti nih lastnosti spektra. Na prvi pogled se zdi statisti en pristop k spektroskopiji osupljiv, saj je spekter vsakega jedra (kot tudi vsakega drugega konzervativnega dinami nega sistema) jasno dolo en s Hamiltonjanom, ki na videz ne daje nobenega prostora statisti nim konceptom. Wignerjeva ideja se je v osnovi razlikovala od ustaljenih konceptov statisti ne zike. V klasi ni statisti ni mehaniki si predstavljamo nek ensemble identi nih zikalnih sistemov, katerim ustreza isti Hamiltonjan, a se razlikujejo v za etnih pogojih; potem s povpre enjem preko tega ensembla izra unamo termodinamske funkcije. Wigner je postopal druga e. Zamislil si je ensemble dinami nih sistemov, ki jih dolo ajo razli ni Hamiltonjani z istimi simetrijskimi lastnostmi. Ta nov statisti ni koncept je osredoto en na generi ne lastnosti sistemov, ki so sorodne vsem predstavnikom ensembla dolo enega z osnovnimi simetrijami. Aplikacija tako dobljenega rezultata je upravi ena, e obstaja ergodi ni izrek. Dyson je predstavil ustrezno lozojo. Z njegovimi besedami: "Kar potrebujemo je nova statisti ne mehanika, kjer se odre emo eksaktnemu poznavanju, ne le stanja sistema, pa pa sistema samega. Kompleksno jedro si predstavljamo kot " rno ²katlo"v kateri interagira veliko ²tevilo delcev (nukleonov) na osnovi nepoznanih zakonov. Problem je potem denirati na matemati no ist na in ensemble sistemov v katerih so vsi interakcijski zakoni enako verjetni.". V resnici pa Wignerjev pristop ni bil tako splo²en. 4
5 3 Konstrukcija ensembla 3.1 Matri na reprezentacija Iz operatorske slike raje preidimo v matri no. Ne samo ker se je tako problem re²eval v zgodovini, ampak predvsem zaradi sugestivnega in relativno preprostega formalizem, ki ga v okviru na²ih potreb dopu² a matri na reprezentacija. Prehod je preprost. Pokaºimo to za asovno reverzibilen primer. V neki poljubni realni ortonormirani funkcijski bazi {u j (q)}, lahko pi²emo ψ i (q) = j c (i) j u j (q), s imer zgeneriramo neskon no dimenzionalni lastni problem Hc i = E i c i (1) kjer c i = (c (i) 1, c (i) 2,...) in kjer so H lm = u l (q)[( h 2 /2m) 2 V (q)]u m (q)d N q elementi matrike H. Matrika H lm je o itno realna in simetri na, H lm = H ml. V primeru asovno nereverzibilnega sistema je matrika H Hermitska s kompleksnimi izvendiagonalnimi elementi. Iskali bomo torej ensemble Hamiltonskih matrik, izbranih s simetrijskimi lastnostmi. 3.2 Konstrukcijski pogoji Kot si je to zamislil Wigner, tvorimo ensemble na osnovi dveh statisti nih pogojev, katerima mora zado² ati verjetnostna porazdelitvev ensembla Hamiltonskih matrik: Invariantnost: Fizikalni rezultati so neodvisni od izbire baze. To pomeni, da mora biti verjetnostna porazdelitev za elemente matrike invariantna na kanoni ne transformacije matrike. V primeru asovno reverzibilnega sistema to pomeni invariantnost na ortogonalne transformacije in v primeru asovno nereverzibilnega sistema, invariantnost na unitarne transformacije. Neodvisnost: Matri ni elementi so neodvisna naklju na ²tevila. Porazdelitev P (H) matrike H je potem enaka produktu porazdelitev za posamezne elemente H lm kjer l m (elementi za l > m so dolo eni s simetrijskimi lastnostmi matrike H). Na osnovi teh predpostavk lahko zgradimo ensemble. Kako se to izvede za neskon ne matrike mogo e ni zanimivo, ker se lahko re²itev ugane, ampak brez teºav lahko napravimo formalno ilustracijo na preprostem 2 2 primeru realnih simetri nih matrik. 5
6 3.3 Porazdelitev za 2 2 realne simetri ne matrike I² emo torej verjetnostno porazdelitev P (H) za tri neodvisne elemente H 11, H 22 in H 12. Spolnimo se, da je matrika H realna in simetri na, zato H 12 = H 21. Porazdelitev je normalizirana z dh 11 dh 22 dh 12 P (H) = 1 (2) Zahtevi po invariantnosi in neodvisnosti sta dovolj, da enoli no dolo imo verjetnostno porazdelitev. Torej P (H) mora biti invariantna na katerokoli ortogonalno transformacijo dvodimenzionalne baze, P (H) = P ( H) H = O 1 HO (3) Kot drugo, trije neodvisni elementi morajo biti nekorelirani. Torej, funkcija P (H) mora biti produkt treh verjetnostnih gostot za vsak posamezen element, P (H) = P 11 (H 11 )P 22 (H 22 )P 12 (H 12 ) (4) Za izpeljavo verjetnostne gostote zadostuje innitezimalna sprememba baze, O = iz esar dobimo za H = O 1 HO, ( 1 α α 1 ) H 11 = H 11 2αH 12 H 22 = H αH 12 H 12 = H 12 + α(h 11 H 22 ) ƒe dobljeno vstavimo v faktoriziran izraz za P (H), razvijemo do prvega reda v α in upo²tevamo invariantnost, dobimo P (H) = P (H) { 1 α [ d ln P 11 2H 12 dh 11 d ln P 22 2H 12 (H 11 H 22 ) d ln P ]} 12 dh 22 dh 12 Ker je innitezimalen kot α poljuben, moramo zahtevati, da je njegov koecient enak ni, 1 d ln P 12 1 ( d ln P 11 d ln P ) 22 = 0 H 12 dh 12 H 11 H 22 dh 11 dh 22 6
7 Diferencialna ena ba je razcepna. To ni nikakr²na sre a ali posebnost, ampak direktna posledica zahteve, da so verjetnostne porazdelitve za posamezne elemente v matriki stohasti no neodvisne. Tako dobimo tri diferencialne ena be za vsako od treh neodvisnih funkcij P ij (H ij ). Re²itve so Gaussove funkcije katerih produkt je, P (H) = C exp [ A(H H H12) 2 + B(H 11 + H 22 ) ] Integracijsko konstanto B lahko postavimo na ni s primerno izbiro ni le energije, C dolo imo z normalizacijo, A pa dolo a enoto energije. Brez izgube splo²nosti lahko kon no zapi²emo pomemben rezultat: P (H) = C exp ( A Tr H 2 ) (5) To je izhodi² ni rezultat teorije naklju nih matrik. Potrebno je povdariti, da Gaussova oblika verjetnostne porazdelitve ni edina izbira, ki zadosti konstrukcijskemu pogoju invariantnosti, ampak je posledica dodatne zahteve po neodvisnosti. Balian je izpeljal isto Gaussovo porazdelitev iz principa minimalne informacije. Na²a izpeljava je v okviru dvodimenzionalnih matrik, hiter pogled pa zadostuje, da vidimo, da dobljena porazdelitev zado² a poljubnim dimenzijam. ƒe tega ne vidite, pokaºite za poljubne dimenzije, da je sled matrike invariantna na izbiro baze in da Tr H 2 nima me²anih produktov. ƒe velja slednje, potem pokaºite, da lahko verjetnostno porazdelitev za matriko zapi²emo kot produkt verjetnostnih porazdelitev za posamezne matri ne elemente. Teoriji, ki bazira ne Gaussovi verjetnostni porazdelitvi pravimo GRMT (Gauss random matrix theory) in je naj²ir²e obravnavana. 3.4 Trije nereducibilni ensembli Na osnovi zgodnjih Wignerjevih teoreti nih rezultatov je Dyson pokazal, da v kontekstu standardne Schrödingerjeve teorije obstajajo trije generi ni nereducibilni ensembli naklju nih matrik, dolo eni s smietrijskimi lastnostmi Hamiltonjana (s tipom invariantnih transformacij): 1. Ortogonalni ensemble. Sistem je invarianten na obrat asa z rotacijsko simetrijo. V tak²nem primeru je Hamiltonska matrika realna in simetri na: H mn = H nm H mn = Hmn V to skupino sodijo tudi sistemi s celo²tevilskim spinom in brez rotacijske simetrije. 7
8 2. Unitarni ensemble. Sistem brez simetrije na obrat asa. Na primer elektron v magnetnem polju. Za tak²ne sisteme je Hamiltonjan hermitski: H mn = [ H ] mn 3. Simplekti ni ensemble. Sistem invarianten na obrat asa s polovi nim spinom in brez rotacijske simetrije. Ustrezno Hamiltonsko matriko se da napisati s kvaternioni ali s Paulijevimi spinskimi matrikami σ γ, kjer γ = 1, 2, 3. Hamiltonjan ima obliko: H (0) mni γ=1 H (γ) mnσ γ Vse ²tiri matrike H (γ) so realne. Medtem pa so H (γ=1,2,3) antisimetri ne in H (0) simetri na. V vseh treh primerih je verjetnost, da najdemo konkretno matriko dana s produktom verjetnostne gostote P Nβ in produktom diferencialov matri nih elementov, N je tukaj dimenzija matrike. Tako simetri ne lastnosti, navedene zgoraj, kot verjetnostne gostote P Nβ kjer β = 1, 2, 4 so invariantne na ortogonalne (β = 1), unitarne (β = 2) in simplekti ne (β = 4) transformacije. Za Gaussove ensemble, kot jih je vpeljav Wigner ima P Nβ obliko Gaussove porazdelitve: P Nβ (H) exp ( βn λ 2 Tr H2) (6) Konstanta λ je neodvisna od N, faktor N pa zagotavlja, da ostane spekter omejen, ko N. 3.5 Aplikacija Pri uvajanju RMT(random matrix theory) v zikalne sisteme naletimo na dve osnovni vpra²anji: Kako iz RMT dobiti napovedi in opazljive koli ine in kak²ne so te napovedi v primerjavi s zikalno realnostjo? Tretje vpra²anje se pojavi, ko opazimo, da so trije ireducibilni ensembli denirani zgolj z nijhovimi simetrijskimi in kvantno-mehanskimi lastnostmi, med tem, ko je Gaussova verjetnostna gostota posledica dodatnih predpostavk. Moramo se torej vpra²ati ali so rezultati, ki sledijo iz predpostavke o Gaussovi gostoti verjetnosti splo²ni ali ne? Bistvena za vse aplikacije GRMT je razlika med povpre nimi vrednostmi in njihovimi uktuacijami. Zaradi lokaliziranosti Gaussove gostote verjetnosti, 8
9 imajo vsi trije ensembli, denirani v prej²njem razdelku, pri limiti N omejen spekter na interval 2λ E 2λ. V tem intervalu ima gostota energiskih nivojev obliko polkroga (semicircle law): ρ(e) = N ( ) E 2 1 (7) πλ 2λ Za ve ino zikalnih sistemov je omejen spekter s polkroºno obliko popolnoma nerealisti en. Torej je GRMT, v generi nem smislu neuporabna za modeliranje povpre nih lastnosti, kot je na primer gostota nivojev. Druga e je s statisti nimi uktuacijami okoli povpre nih vrednosti opazljivih koli in. Ker je v spektru N nivojev gre razmik D N 1 proti ni, ko gre N. V tej limiti lahko postanejo uktuacije neodvisne od oblike celotnega spektra in izbire Gaussove gostote verjetnosti, ter tako splo²no veljavne. Ravno to pri akovanje je vzpodbudilo razvoj GRMT. Dana²nji rezultati nam zagotavljajo ustreznost GRMT za napovedi uktuacij dolo enih opazljivih koli in. Splo²en pristop je tak²en: Povpre enje merljive koli ine nad ensemblom sluºi kot vhodni podatek in potem nam GRMT pove uktuacijske lastnosti. Na primer, lokalne korelacijske funkcije med nivoji (s povpre no gostoto nivojev kot vhodno informacijo, ki dolo a zikalno vrednost N/λ). Pri primerjanju napovedi teorije z napovedjo eksperimenta, primerjamo povpre je nad ktivnim ensemblom in konkretnim povpre jem nad podatki dobljenimi z eksperimentom. Na tem mestu mora veljati ergodi na hipoteza, ki zagotavlja da je povpre enje nad ensemblom enako povpre enju na dovolj velikem spektralnem vzorcu skoraj vsakega posameznega predstavnika ensembla. V speci nih primerih, je bila ergodi na hipoteza dokazana. Razi² imo torej spektralne in uktuacijske lastnosti ensembla naklju nih matrik. 4 Energijski spekter Jasno je, da RMT ne more repruducirati danega niza podatkov, relevantne so zgolj napovedi v zvezi s uktuacijami opazljivih koli in. Tak²na opazljiva koli ina je seveda spekter, zato bi radi dobili njegovo verjetnostno porazdelitev. 4.1 Izpeljava za 2 2 matrike Z dano verjetnostno gostoto za matri ne elemente matrike H, bi torej radi dobili verjetnostno gostoto za spekter oziroma lastne vrednosti. V splo²nem, 9
10 e ho emo izpeljati redukcijo verjetnostne gostote za neodvisne matri ne elemente na verjetnostno gostoto za lastne vrednosti moramo zamenjati niz matri nih elementov z nizom iste dimenzije, ki ima lastne vrednosti za svoj podniz. Preostale parametre, katere integriramo, najustrezneje izberemo kot parametre v kanoni ni transformaciji, ki diagonalizira H. Spolnimo se na²e 2 2 matrike; lastni vrednosti sta: E ± = 1 2 (H 11 + H 22 ) ± 1 2[ (H11 + H 22 ) 2 + 4H 2 12 ] 1/2 Najpreprostej²a ortogonalna transformacija, ki diagonalizira H, ( ) cos θ sin θ O = sin θ cos θ vsebuje le en parameter. Zveza med matri nimi elementi H ij in elementi E ±, θ je: H 11 = E + cos 2 θ + E sin 2 θ H 22 = E + sin 2 θ + E cos 2 θ H 12 = (E + E ) cos θ sin θ Potrebujemo Jacobian te transformacije: J = det (H 11, H 22, H12) E +, E, θ = E + E Ker je verjetnostna gostota za H invariantna na ortogonalne transformacije, je reducirana verjetnostna gostota za lastne vrednosti mnoºice realnih simetri nih 2 2 matrik kar: P (E +, E ) = C E + E exp [ A(E E 2 ) ] (8) Da se pokazati, da je posplo²ena oblika verjetnostne gostote za spekter matrik poljubnih dimenzij enaka: 1...N P (E) = C E µ E ν β exp ( N ) A Eµ 2 µ<ν µ=1 (9) kjer β = 1 ustreza GOE (Gauss orthogonal ensemble), β = 2 ustreza GUE (Gauss unitary ensemble) in β = 4 ustreza GSE (Gauss symplectic ensemble). Na tem mestu je Dyson opazil zanimivo povezavo GRMT s stati nim Coulombovim plinom; zgornjo ena bo lahko prepi²emo v: ( [ ] N 2 En P (E) = exp βn + β [ ] 2 ) Em E n ln λ 2 λ n=1 10 m>n
11 S termodinamskega gledi² a je to izraz za stati ni Couloumbov plin N delcev, zaprtih s harmoni nom potencialom v eni dimenzji z legami E 1,..., E N in temperaturo β 1. Razlika je samo v radialni odvisnosti interakcijske sile med delci, ki je sorazmerna z 1/r in ne kot Coulombova sila, ki je sorazmerna z 1/r 2. To dejstvo pa vendarle ne prepre uje, da si ustvarimo nazorno predstavo. Najpomembnej²a lastnost dobljene porazdelitve je, da napoveduje odbijanje med nivoji (level repulsion). 4.2 Fluktuacijske lastnosti V statistiki naklju nih matrik nas posebej zanima porazdelitev razmikov med lastnimi vrednostmi oziroma v zikalnem kontekstu, porazdelitev razmikov med energijskimi nivoji. Razmik med energijskima nivojema razumemo kot S i = E i+1 E i, v nara² ajo e urejenem nizu lastnih vrednosti. Ni teºko nadaljevati tudi s tem izra unom za na² preprosti 2 2 primer: P (S) = C de + de δ ( S E + E ) P (E +, E ) ƒe konstanti A in C, ki nastopata v P (E +, E ) dolo imo s pogojem S = 0 P (S)dS = 1 s katerim nastavimo enoto energije tako, da normiramo povpre en razmik med nivoji in z normalizacijo, dobimo naslednjo porazdelitev: P GOE (S) = πs 2 e S2 π/4 (10) V primeru, da bi ra une izvedli tudi za preostala dva ensembla bi dobili ²e: P GUE (S) = 32S2 π 2 e 4S2 /π P GSE (S) = 218 S π 3 e 64S2 /9π (11) (12) Celotno izvajanje je vezano na 2 2 matrike in v tem okvirju so rezulati eksaktni. Fizikalno zanimive pa so seveda matrike N N kjer N. Na sre o se da pokazati (Mehta), da se dobljeni rezultati za preprost 2 2 primer zelo dobro ujemajo s zikalnim limitnim primerom N. Teºave, ki nastopijo pri ra unanju spektralnih lastnosti, je razre²il Mehta leta 1960, ko je predstavil metodo ortogonalnih polinomov. Delo Mehte je prineslo dolgo pogre²ano orodje s katerim bi lahko ra unali uktuacijske lastnosti spektra in je zato imelo velik vpliv na podro je RMT. 11
12 4.3 Uspeh teorije Originalno je torej RMT uvedel Wigner, da bi lahko opravil s kompleksnimi kvantnimi sistemi ve teles. V tem kontekstu je bila in je, RMT uspe²no uporabljena pri opisu spektralnih uktuacij teºkih jeder, kompleksnih atomov in molekul. Histogram na zgornji sliki kaºe porazdelitev razmikov energijskih nivojev v jedrih, pravzaprav razmikov v enoti povpre nega razmika. Podatki obsegajo 1726 razmikov med nivoji z istim spinom in parnostjo, dobljenih iz velikega ²tevila teºkih jeder (NDE - nuclear data ensemble). Podatki se nana²ajo na nivoje precej nad osnovnim stanjem. Krepka rta (GOE) predstavlja napoved teorije naklju nih matrik. Napoved je brez dodatnih parametrov, zato je ujemanje ²e posebej impresivno. 5 RMT v preprostih sistemih RMT izhaja iz aplikacij na komplicirane zikalne sisteme z mnogo prostostnimi stopnjami, vendar RMT uspe²no funkcionira tudi v enostavnih sistemih z majhnim ²tevilom prostostnih stopenj, ki so klasi no kaoti ni. V letu 1984 so Bohigas, Giannoni in Schmidt postavili slavno hipotezo:" Spektri sistemov, ki so invariantni na obrat asa in ki so klasi no analogni K sistemom, kaºejo enake uktuacijske lastnosti, kot jih napoveduje GOE". K sistemi so klasi ni sistemi z najmo nej²im me²anjem. Mo nej²a verzija te domneve nadomesti K sisteme s kaoti nimi sistemi, ki so ergodi ni. V obeh primerih hipotezi re emo Bohigasova hipoteza (domneva). Pri sistemih, ki niso invariantni na obrat asa zamenjamo GOE z GUE. V originalni verziji se Bohigasova 12
13 hipoteza ne nana²a zgolj na semiklasi ni reºim, ko h 0, a vendarle se vsa prizadevanja za dokaz te domneve nana²ajo na semiklasi no aproksimacijo. Barry in Tabor (1977) sta pokazala, da je verjetnostna gostota razmikov med energijskimi nivoji P (S) za klasi no integrabilne sisteme Poissonova porazdelitev, P (S) = exp ( S) (13) Porazdelitev velja splo²no, za vsak integrabilni sistem. Razlika je pomembna saj pomaga v kvantni sliki razlikovati klasi no kaoti ne sisteme, od regularnih. Kaosa, zaradi linearnosti kvantne mehanike, ne moremo enako konceptualizirati kot v klasi ni mehaniki. Zato v kvantni sliki i² emo sledi ali zna ilnosti nekega razreda sistemov, ki bi enoli no nakazovale na kaos v klasi ni sliki. Problem je, da ni ustrezne korenspodence med kvantno in klasi no mehaniko, e je sistem klasi no kaoti en. Zato ima vsak univerzalen razlo ek med regularnimi in kaoti nimi sistemi v kvantni sliki velik teoreti ni pomen. 5.1 Biljardi Pomembni sistemi, pri raziskovanju klasi nega kaosa so biljardi. Klasi ni biljard sestavlja to kast delec, ki se giblje v d dimenzionalni domeni in se elasti no odbija od sten domene. Energija in absolutna vrednost gibalne koli ine delca sta konstanti gibanja. Dinamika je neodvisna od energije. Zgleden in dovolj bogat je dvodimenzionalen (d = 2) primer. Med mnogimi kaoti nimi biljardi sta dva ²e posebej obravnavana, Bunimovichev stadion in Sinajev biljard: V Sinajevem biljardu je kaos posledica defokusiranja pri odboju na notranjem krogu, v Bunimovichevem stadionu pa nastopi kaos, ker ravne rte 13
14 zlomijo rotacijsko invariantnost dveh polkrogov. Oba biljarda sta popolnoma kaoti na in sodita v tako imenovan Bernullijev razred. V kvantno sliko preidemo tako, da re²ujemo stacionarno Schrödingerjevo ena bo z Dirichletovimi robnimi pogoji. Hamiltonjan je preprosto Laplaceov operatotor, tako je problem matemati no ekvivalenten iskanju vibracijskih stanj membrane. Tak²ne sisteme so neodvisno od kvantne mehanike precej asa obravnavali matematiki. Na primer, Dirichletov robni pogoj, ki zahteva ni elnost funkcije na robu, lahko nadomestimo z Neumannovim robnim pogojem, ki zahteva, da je na robu ni eln prvi odvod funkcije. V tak²nih sistemih gladek del gostote nivojev in gladek del kumulativne gostote ξ(k) kaºeta splo²ne lastnosti. Kot funkcija valovnega ²tevila k je ξ(k) dan kot: ξ(k) = A 4π k2 ± L 4π k + C Tukaj sta A plo² ina in L obseg biljarda. Konstanta C opisuje popravke zaradi ukrivljenosti, ogli² in drugih topolo²kih lastnosti. Plus znak pred linearnim lenom dolo a Dirichletov robni pogoj in minus znak Neumannnov robni pogoj. Ena ba je veljavna za poljubne geometrije biljardov. Za razliko od gostote stanj so uktuacijske lastnosti spektra mo no odvisne od oblike biljarda. Ko uporabimo GOE ali GUE statistiko v kaoti nih sistemih je pomembno, da upo²tevamo diskretne simetrije tega sistema. Re²itve Helmholtzove ena be v biljardih z diskretnimi simetrijami razpadejo na ustrezne simetrijske razrede. Na primer, e ima biljard zrcalno simetrijo okoli neke osi dobimo dva razreda, kjer so v enem sode v drugem pa lihe re²itve glede na to os. Ensemble naklju nih matrik je konstruiran brez predpostavke o kakr²nihkoli simetrijah. Tako GOE statistika ne velja za celoten spekter sistemov, ki imajo diskretne simetrije, pa pa zgolj znotraj posameznega simetrijskega razreda. Sinajev biljard ima ²tiri simetrijske osi, zato moramo obravnavati le eno osmino celotnega biljarda. V primeru Bunimovichevega stadiona obravnavamo zgolj etrtino celotnega biljarda. 5.2 Numeri ni eksperimenti Kljub temu, da teoreti ni dokaz za Bohigasovo hipotezo v vsej svoji splo²nosti ne obstaja, se ta preizku²a z numeri nimi eksperimenti. Tako je Bohigas (1984) z numeri nim re²evanjem Helmholcove ena be v delu Sinajevega biljarda brez simetrij, dobil rezultate, ki kaºejo v prid njegovi hipotezi: 14
15 Zgornja slika prikazuje histogramsko oproksimacijo k verjetnostni gostoti za razlike med nivoji, P (S). Histogram se dobro ujema z rezultatom za GOE, ki je na sliki kot temna zvezna krivulja in se mo no razlikuje od Poissonove porazdelitve, ki je narisana rtkano. Glavna razlika med porazdelitvijo razmikov med energijskimi nivoji za integrabilne in kaoti ne sisteme je, da P (S) gre proti ni, ko S 0 za klasi no kaoti ne sisteme in ima tam maksimum v primeru integrabilnih sistemov. 6 Nauk Kaj je torej nauk te zgodbe? Poglejte na kako preprostih temeljih je zgrajena RMT! Predelajmo celotno zgodbo ²e v popolnoma abstraktno. Shema, ki jo je pokazal Wigner ni naklju no delovala, amapk vsebuje v sebi nekaj globljega in tako kot se je pokazal univerzalen njegov rezultat, tako je lahko univerzalna tudi njegova ideja. Na²a naloga je bijektivna preslikava {E i } H, ki je ne moremo re²iti. Potem predpostavimo, da je H { H n }; to je tak²ne mnoºice, da za neko surjektivno transformacijo T ( H) = Ĩ H { H n } in T (H) Ĩ e H / { H n }. Z minimalno informacijo o sistemu H zgeneriramo ekvivalen no mnoºico { H n }, ki vsebuje H in i² emo kompersirano informacijo Ĩ tako da T 1 (Ĩ) { H n }. Ta naloga je lahko preteºka, je pa neka transformacija T dobra, e uspemo pokazati da T (P ({ H n })) = T ( H) H { H n }, kjer je P ({ H n }) povpre je mnoºice { H n }. Transformacija T je trivialna, e priredi poljubnemu H isto 15
16 informacijo. Abstraktni model, konkretiziran v RMT nam da naslednje: H je Hamiltonska matrika, T slika H v porazdelitev razmikov med energijskimi nivoji, T (H) = I = P (S). In za T je potrebno dokazati ergodi nost. 7 Zaklju ek Teorija naklju nih matrik s svojimi aplikacijami posega v mnoga podro ja matematike in zike. Podro je naklju nih matrik vedno bolj navdu²uje tako zike kot matematike s svojo bogatostjo in daljnoseºnostjo. ƒe povzamemo Dysona, je teorija naklju nih matrik nova statisti na mehanika kjer je realizacija zikalnega sistema nepomembna. Namesto ensembla stanj imamo ensemble Hamiltonjanov. Eden od razlogov za uspeh teorije naklju nih matrik je njena univerzalnost: korelacija med nivoji (lastnimi vrednostmi) na skali povpre nega razmika med nivoji ni odvisna od verjetnostne porazdelitve. Ta lastnost je temelj teorije naklju nih matrik. Korelacija med nivoji, kot sledi iz teorije naklju ni matrik, izgleda prej pravilo kot izjema. Kakorkoli, najpomembnej²i razlog za raziskovanje teorije naklju nih matrik je, da se njene napovedi dejansko pojavljajo v naravi; na primer: energijski nivoji v jedrih, ni le Riemmanove ζ funkcije, zvo nih valovih v kvar nih kristalih,... Ob tem je teorija naklju nih matrik zanimiva zaradi matemati nih izzivov, ki jih ponuja. Problemi vezani na njo so dale od enostavnih, vendar, z dovolj prizadevnosti, lahko veliko vpra²anj iz tega podro ja odgovorimo v celoti. Teºko je ostati ravnodu²en ob teoriji naklju nih matrik. Vsakdo, ki dela na tem podro ju za uti lepoto univerzalnih lastnosti spektrov velikih matrik. Dandanes, kakor kaºe razvoj teorije in kakor kaºejo njene aplikacije, je navdu²enje ²e bolj ºivo, kot takrat, ko je bila teorija ustvarjena. Literatura [1] Thomas Guhr, Axel Müller-Groeling, Hans A. Weidenmüller: Random matrix Theories in Quantum Physics: Common Concepts, (Physics Reports, 1997). [2] F. Hake: Quantum Signatures Of Chaos, 2nd edition (Springer-Verlag, Berlin, 2000). [3] E. Ott: Chaos In Dynamical Systems, 2nd edition (Cambridge University Press, Cambridge, 2002). 16
Interpretacija kvantne mehanike z vzporednimi svetovi
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za ziko Seminar - 3. letnik Interpretacija kvantne mehanike z vzporednimi svetovi Avtor: Marko Medenjak Mentor: prof. dr. Anton Ram²ak Ljubljana,
More informationŠtudijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work. Vaje / Tutorial: Slovensko/Slovene
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Kvantna mehanika Course title: Quantum mechanics Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program 1.stopnje Fizika First
More informationModelska Analiza 1. University of Ljubljana Faculty of Mathematics and Physics. 3. naloga - Numeri na minimizacija
University of Ljubljana Faculty of Mathematics and Physics Modelska Analiza 1 3. naloga - Numeri na minimizacija Avtor: Matic Lubej Asistent: dr. Simon ƒopar Predavatelj: prof. dr. Alojz Kodre Ljubljana,
More informationReševanje problemov in algoritmi
Reševanje problemov in algoritmi Vhod Algoritem Izhod Kaj bomo spoznali Zgodovina algoritmov. Primeri algoritmov. Algoritmi in programi. Kaj je algoritem? Algoritem je postopek, kako korak za korakom rešimo
More informationIzbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov. Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov
Izbrana poglavja iz algebrai ne teorije grafov Zbornik seminarskih nalog iz algebrai ne teorije grafov Ljubljana, 2015 CIP Kataloºni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjiºnica, Ljubljana 519.24(082)(0.034.2)
More informationENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA
UDK621.3:(53+54+621 +66), ISSN0352-9045 Informaclje MIDEM 3~(~UU8)4, Ljubljana ENERGY AND MASS SPECTROSCOPY OF IONS AND NEUTRALS IN COLD PLASMA Marijan Macek 1,2* Miha Cekada 2 1 University of Ljubljana,
More informationObrnitev kvantne meritve
Seminar Obrnitev kvantne meritve Avtor: Rok Bohinc Mentor: dr. Anton Ram²ak Ljubljana, April 009 Povzetek Mo na meritev kvantni sistem vedno prisili v eno lastnih izmed stanj danega operatorja. Ko se stanje
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Magistrsko delo Modeli za kategori ne odzive (Models for categorical response variables) Ime in priimek: Maru²a
More informationNelinearna regresija. SetOptions Plot, ImageSize 6 72, Frame True, GridLinesStyle Directive Gray, Dashed, Method "GridLinesInFront" True,
Nelinearna regresija In[1]:= SetOptions ListPlot, ImageSize 6 72, Frame True, GridLinesStyle Directive Gray, Dashed, Method "GridLinesInFront" True, PlotStyle Directive Thickness Medium, PointSize Large,
More informationParticija grafa, odkrivanje skupnosti in maksimalen prerez
Univerza na Primorskem Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Matemati ne znanosti - 2. stopnja Peter Mur²i Particija grafa, odkrivanje skupnosti in maksimalen prerez Magistrsko
More informationAvtomatsko prilagajanje tempa spremljave solistu
Univerza v Ljubljani Fakulteta za ra unalni²tvo in informatiko Andrej Oder Avtomatsko prilagajanje tempa spremljave solistu DIPLOMSKO DELO NA INTERDISCIPLINARNEM UNIVERZITETNEM TUDIJU Ljubljana, 2013 Univerza
More informationDOMINACIJSKO TEVILO GRAFA
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGO KA FAKULTETA tudijski program: MATEMATIKA in RAƒUNALNI TVO DOMINACIJSKO TEVILO GRAFA DIPLOMSKO DELO Mentor: doc. dr. Primoº parl Kandidatka: Neja Zub i Ljubljana, maj, 2011
More informationTOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI
TOPLJENEC ASOCIIRA LE V VODNI FAZI V primeru asociacij molekul topljenca v vodni ali organski fazi eksperimentalno določeni navidezni porazdelitveni koeficient (P n ) v odvisnosti od koncentracije ni konstanten.
More informationHIGGSOV MEHANIZEM MITJA FRIDMAN. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
HIGGSOV MEHANIZEM MITJA FRIDMAN Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani V članku je predstavljen Higgsov mehanizem, ki opisuje generiranje mase osnovnih delcev. Vpeljan je Lagrangeov formalizem,
More informationENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE
ENAČBA STANJA VODE IN VODNE PARE SEMINARSKA NALOGA PRI PREDMETU JEDRSKA TEHNIKA IN ENERGETIKA TAMARA STOJANOV MENTOR: IZRED. PROF. DR. IZTOK TISELJ NOVEMBER 2011 Enačba stanja idealni plin: pv = RT p tlak,
More informationAttempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia
Attempt to prepare seasonal weather outlook for Slovenia Main available sources (ECMWF, EUROSIP, IRI, CPC.NCEP.NOAA,..) Two parameters (T and RR anomally) Textual information ( Met Office like ) Issued
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga (Final project paper) O neeksaknotsti eksaktnega binomskega intervala zaupanja (On the inexactness
More informationSolutions. Name and surname: Instructions
Uiversity of Ljubljaa, Faculty of Ecoomics Quatitative fiace ad actuarial sciece Probability ad statistics Writte examiatio September 4 th, 217 Name ad surame: Istructios Read the problems carefull before
More informationNaloge iz LA T EXa : 3. del
Naloge iz LA T EXa : 3. del 1. V besedilo vklju ite naslednjo tabelo skupaj z napisom Kontrolna naloga Dijak 1 2 Povpre je Janko 67 72 70.5 Metka 72 67 70.5 Povpre je 70.5 70.5 Tabela 1: Rezultati kontrolnih
More informationTermalizacija zaprtih kvantnih sistemov
ODDELEK ZA FIZIKO Seminar Ia, 1. letnik, II. stopnja Termalizacija zaprtih kvantnih sistemov Avtor: Črt Lozej Mentor: prof. dr. Tomaž Prosen Ljubljana, april 2014 Povzetek V seminarju najprej predstavimo
More informationarxiv:cond-mat/ v1 [cond-mat.stat-mech] 13 Mar 2003
arxiv:cond-mat/0303262v1 [cond-mat.stat-mech] 13 Mar 2003 Quantum fluctuations and random matrix theory Maciej M. Duras Institute of Physics, Cracow University of Technology, ulica Podchor ażych 1, PL-30084
More informationLinearne enačbe. Matrična algebra. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe. Linearne enačbe
Sistem linearnih enačb Matrična algebra Oseba X X X3 B A.A. 3 B.B. 7 C.C. Doc. dr. Anja Podlesek Oddelek za psihologijo, Filozofska fakulteta, Univerza v Ljubljani Študijski program prve stopnje Psihologija
More informationUniverza na Primorskem FAMNIT, MFI STATISTIKA 2 Seminarska naloga
Univerza na Primorskem FAMNIT, MFI STATISTIKA 2 Seminarska naloga Naloge so edini način preverjanja znanja pri predmetu Statistika. Vsaka naloga je vredna 10 točk, natančna pravila ocenjevanja pa so navedena
More informationCveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK
Cveto Trampuž PRIMERJAVA ANALIZE VEČRAZSEŽNIH TABEL Z RAZLIČNIMI MODELI REGRESIJSKE ANALIZE DIHOTOMNIH SPREMENLJIVK POVZETEK. Namen tega dela je prikazati osnove razlik, ki lahko nastanejo pri interpretaciji
More informationUSING SIMULATED SPECTRA TO TEST THE EFFICIENCY OF SPECTRAL PROCESSING SOFTWARE IN REDUCING THE NOISE IN AUGER ELECTRON SPECTRA
UDK 543.428.2:544.171.7 ISSN 1580-2949 Original scientific article/izvirni znanstveni ~lanek MTAEC9, 49(3)435(2015) B. PONIKU et al.: USING SIMULATED SPECTRA TO TEST THE EFFICIENCY... USING SIMULATED SPECTRA
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA POLONA ŠENKINC REŠEVANJE LINEARNIH DIFERENCIALNIH ENAČB DRUGEGA REDA S POMOČJO POTENČNIH VRST DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationIzbrana poglavja iz velikih omreºij 1. Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij
Izbrana poglavja iz velikih omreºij 1 Zbornik seminarskih nalog iz velikih omreºij Ljubljana, 2015 CIP Kataloºni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjiºnica, Ljubljana 123.45(678)(9.012.3) Izbrana
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Kvadratne forme nad končnimi obsegi
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Kvadratne forme nad končnimi obsegi (Quadratic Forms over Finite Fields) Ime in priimek: Borut
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Uporaba logistične regresije za napovedovanje razreda, ko je število enot v preučevanih razredih
More informationNIKJER-NIČELNI PRETOKI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ALJA ŠUBIC NIKJER-NIČELNI PRETOKI DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika - računalništvo ALJA
More informationUniverza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko. Oddelek za fiziko. Seminar - 3. letnik, I. stopnja. Kvantni računalniki. Avtor: Tomaž Čegovnik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Oddelek za fiziko Seminar - 3. letnik, I. stopnja Kvantni računalniki Avtor: Tomaž Čegovnik Mentor: prof. dr. Anton Ramšak Ljubljana, marec 01 Povzetek
More informationUniversality for random matrices and log-gases
Universality for random matrices and log-gases László Erdős IST, Austria Ludwig-Maximilians-Universität, Munich, Germany Encounters Between Discrete and Continuous Mathematics Eötvös Loránd University,
More informationSLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in raµcunalništvo Diplomsko delo SLIKE CANTORJEVE PAHLJAµCE Mentor: dr. Iztok Baniµc docent Kandidatka: Anja Belošević
More informationŠtudijska smer Study field. Samost. delo Individ. work Klinične vaje work. Vaje / Tutorial: Slovensko/Slovene
UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS Predmet: Matematika 2 Course title: Mathematics 2 Študijski program in stopnja Study programme and level Univerzitetni študijski program 1.stopnje Fizika First cycle
More informationProblem umetnostne galerije
Problem umetnostne galerije Marko Kandič 17. september 2006 Za začetek si oglejmo naslednji primer. Recimo, da imamo v galeriji polno vrednih slik in nočemo, da bi jih kdo ukradel. Seveda si želimo, da
More informationAKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Poučevanje: Predmetno poučevanje ŠPELA ZOBAVNIK AKSIOMATSKA KONSTRUKCIJA NARAVNIH ŠTEVIL MAGISTRSKO DELO LJUBLJANA, 2016 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
More informationBELLOVE NEENAČBE. Timon Mede. Mentor: prof. Anton Ramšak. Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
BELLOVENEENAČBE TimonMede Mentor:prof.AntonRamšak Fakultetazamatematikoinfiziko, UniverzavLjubljani 20.februar2008 UVOD Verjetnonifizika,kisenebivzveziskvantnomehanikonikolispraševal,alijesvetokolinasresničnotak,
More informationUNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SAŠO ZUPANEC MAX-PLUS ALGEBRA DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2013 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO SAŠO ZUPANEC Mentor:
More informationHadamardove matrike in misija Mariner 9
Hadamardove matrike in misija Mariner 9 Aleksandar Jurišić, 25. avgust, 2009 J. Hadamard (1865-1963) je bil eden izmed pomembnejših matematikov na prehodu iz 19. v 20. stoletje. Njegova najpomembnejša
More informationmodeli regresijske analize nominalnih spremenljivk
modeli regresijske analize nominalnih spremenljivk Cveto Trampuž An Illustrative Comparison Logit Analysis with Dummy Variable Regression Analysis. Two different regression models in which the dependent
More informationInteligentni agent z omejenimi viri v dinami ni ra unalni²ki igri
Univerza v Ljubljani Fakulteta za ra unalni²tvo in informatiko Declan McPartlin Inteligentni agent z omejenimi viri v dinami ni ra unalni²ki igri MAGISTRSKO DELO TUDIJSKI PROGRAM DRUGE STOPNJE RAƒUNALNI
More informationMultipla korelacija in regresija. Multipla regresija, multipla korelacija, statistično zaključevanje o multiplem R
Multipla koelacia in egesia Multipla egesia, multipla koelacia, statistično zaklučevane o multiplem Multipla egesia osnovni model in ačunane paametov Z multiplo egesio napoveduemo vednost kiteia (odvisne
More informationIskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Veronika Horvat Iskanje najcenejše poti v grafih preko polkolobarjev DIPLOMSKO DELO VISOKOŠOLSKI STROKOVNI ŠTUDIJSKI PROGRAM PRVE STOPNJE
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Verjetnostni algoritmi za testiranje praštevilskosti (Algorithms for testing primality) Ime in
More informationA L A BA M A L A W R E V IE W
A L A BA M A L A W R E V IE W Volume 52 Fall 2000 Number 1 B E F O R E D I S A B I L I T Y C I V I L R I G HT S : C I V I L W A R P E N S I O N S A N D TH E P O L I T I C S O F D I S A B I L I T Y I N
More informationDejan Petelin. Sprotno učenje modelov na podlagi Gaussovih procesov
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Dejan Petelin Sprotno učenje modelov na podlagi Gaussovih procesov DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor: doc. dr. Janez Demšar
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO.
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Sabina Skornšek Maribor, 2012 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationIterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge
Iterativne metode podprostorov 2010/2011 Domače naloge Naloge so razdeljene v 6 skupin. Za pozitivno oceno morate rešiti toliko nalog, da bo končna vsota za pozitivno oceno vsaj 8 točk oz. vsaj 10 točk
More informationJEDRSKA URA JAN JURKOVIČ. Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
JEDRSKA URA JAN JURKOVIČ Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Natančnost časa postaja vse bolj uporabna in pomembna, zato se rojevajo novi načini merjenja časa. Do danes najbolj natančnih
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO. Gregor Ambrož
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo DIPLOMSKO DELO Gregor Ambrož Maribor, 2010 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationUNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE. Ekstremne porazdelitve za odvisne spremenljivke
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO, NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE Zaključna naloga Ekstremne porazdelitve za odvisne spremenljivke (Extremal Distributions for Dependent Variables)
More informationSVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev
Uvod 2/60 SVM = Support Vector Machine = Metoda podpornih vektorjev Vapnik in Lerner 1963 (generalized portrait) jedra: Aronszajn 1950; Aizerman 1964; Wahba 1990, Poggio in Girosi 1990 Boser, Guyon in
More informationLighthillova akustična analogija in zvočni hrup pri turbulenci. Drugi del Lighthill acoustic analogy and noise in turbulence. Second part.
Lighthillova akustična analogija in zvočni hrup pri turbulenci. Drugi del Lighthill acoustic analogy and noise in turbulence. Second part. Rudolf Podgornik, Nikola Holeček, Brane Širok in Marko Hočevar
More informationGEOMETRIJSKE FAZE V KVANTNI MEHANIKI
GEOMETRIJSKE FAZE V KVANTNI MEHANIKI LARA ULČAKAR Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani V članku so predstavljene geometrijske faze, ki nastopijo pri obravnavi kvantnih sistemov. Na začetku
More informationOPTIMIRANJE IZDELOVALNIH PROCESOV
OPTIMIRANJE IZDELOVALNIH PROCESOV asist. Damir GRGURAŠ, mag. inž. str izr. prof. dr. Davorin KRAMAR damir.grguras@fs.uni-lj.si Namen vaje: Ugotoviti/določiti optimalne parametre pri struženju za dosego
More informationCATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A. Ήχος Πα. to os se e e na aș te e e slă ă ă vi i i i i
CATAVASII LA NAȘTEREA DOMNULUI DUMNEZEU ȘI MÂNTUITORULUI NOSTRU, IISUS HRISTOS. CÂNTAREA I-A Ήχος α H ris to os s n ș t slă ă ă vi i i i i ți'l Hris to o os di in c ru u uri, în tâm pi i n ți i'l Hris
More informationUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA. Tina Lešnik
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in računalništvo MAGISTRSKA NALOGA Tina Lešnik Maribor, 2014 UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
More informationHipohamiltonovi grafi
Hipohamiltonovi grafi Marko Čmrlec, Bor Grošelj Simić Mentor(ica): Vesna Iršič Matematično raziskovalno srečanje 1. avgust 016 1 Uvod V marsovskem klubu je želel predsednik prirediti večerjo za svoje člane.
More informationBreit-Wigner to Gaussian transition in strength functions
Breit-Wigner to Gaussian transition in strength functions V.K.B. Kota a and R. Sahu a,b a Physical Research Laboratory, Ahmedabad 380 009, India b Physics Department, Berhampur University, Berhampur 760
More informationGeometrijske faze v kvantni mehaniki
Seminar 1-1. letnik, 2. stopnja Geometrijske faze v kvantni mehaniki Avtor: Lara Ulčakar Mentor: prof. dr. Anton Ramšak Ljubljana, november 2014 Povzetek V seminarju so predstavljene geometrijske faze,
More informationStatistika 2 z računalniško analizo podatkov. Neizpolnjevanje predpostavk regresijskega modela
Statistika 2 z računalniško analizo podatkov Neizpolnjevanje predpostavk regresijskega modela 1 Predpostavke regresijskega modela (ponovitev) V regresijskem modelu navadno privzamemo naslednje pogoje:
More informationSeminar - 1. letnik bolonjske magistrske stopnje. O energijskih bilanci v fuzijskem reaktorju - Lawsonov kriterij. Avtor: Matic Kunšek
Seminar - 1. letnik bolonjske magistrske stopnje O energijskih bilanci v fuzijskem reaktorju - Lawsonov kriterij Avtor: Matic Kunšek Mentor: dr. Tomaž Gyergyek Ljubljana, marec 2014 Povzetek: V tem seminarju
More informationPOGLAVJE IV: Klasični in kvantni Monte-Carlo
POGLAVJE IV: Klasični in kvantni Monte-Carlo V statistični fiziki nas često zanimajo povprečne vrednosti opazljivk v ravnovesnem, termalnem stanju, pri dobro znani vrednosti temperature in ostalih termodinamskih
More informationKatastrofalno zaporedje okvar v medsebojno odvisnih omrežjih
Katastrofalno zaporedje okvar v medsebojno odvisnih omrežjih Daniel Grošelj Mentor: Prof. Dr. Rudi Podgornik 2. marec 2011 Kazalo 1 Uvod 2 2 Nekaj osnovnih pojmov pri teoriji omrežij 3 2.1 Matrika sosednosti.......................................
More informationMICROWAVE PLASMAS AT ATMOSPHERIC PRESSURE: NEW THEORETICAL DEVELOPMENTS AND APPLICATIONS IN SURFACE SCIENCE
UDK621.3:(53+54+621 +66), ISSN0352-9045 Informacije MIDEM 38(2008)4, Ljubljana MICROWAVE PLASMAS AT ATMOSPHERIC PRESSURE: NEW THEORETICAL DEVELOPMENTS AND APPLICATIONS IN SURFACE SCIENCE T. 8elmonte*,
More informationčas bivanja k-te zahteve v sis. (čas v vrstah + čas za strežbo) - verjetnost k zahtev v sis. v času t - povprečno št.
Strežna mreža: - poljubna vezava poljubnega št. Strežnih enot µ - intenzivnost strežbe [št. Zahtev/sec] 1 = µ x - povprečni strežni čas λ - intenzivnost prihajanja zahtev [št. Zahtev/sec] ρ = λ µ Ne sme
More informationQuantum chaos. University of Ljubljana Faculty of Mathematics and Physics. Seminar - 1st year, 2nd cycle degree. Author: Ana Flack
University of Ljubljana Faculty of Mathematics and Physics Seminar - 1st year, 2nd cycle degree Quantum chaos Author: Ana Flack Mentor: izred. prof. dr. Marko šnidari Ljubljana, May 2018 Abstract The basic
More informationCalculation of stress-strain dependence from tensile tests at high temperatures using final shapes of specimen s contours
RMZ Materials and Geoenvironment, Vol. 59, No. 4, pp. 331 346, 2012 331 Calculation of stress-strain dependence from tensile tests at high temperatures using final shapes of specimen s contours Določitev
More informationLinearna regresija. Poglavje 4
Poglavje 4 Linearna regresija Vinkove rezultate iz kemije so založili. Enostavno, komisija je izgubila izpitne pole. Rešitev: Vinko bo kemijo pisal še enkrat. Ampak, ne more, je ravno odšel na trening
More informationSIMETRIČNE KOMPONENTE
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko SIMETRIČNE KOMPONENTE Seminarska naloga pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Poročilo izdelala: ELIZABETA STOJCHEVA Mentor: prof. dr. Grega Bizjak,
More informationMECHANICAL EFFICIENCY, WORK AND HEAT OUTPUT IN RUNNING UPHILL OR DOWNHILL
original scientific article UDC: 796.4 received: 2011-05-03 MECHANICAL EFFICIENCY, WORK AND HEAT OUTPUT IN RUNNING UPHILL OR DOWNHILL Pietro Enrico DI PRAMPERO University of Udine, Department of Biomedical
More informationMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 15. december 2010 Poglavje 3 Funkcije 3.1 Osnovni pojmi Preslikavam v množico R ali C običajno pravimo funkcije v prvem primeru realne, v drugem
More informationUniversality. Why? (Bohigas, Giannoni, Schmit 84; see also Casati, Vals-Gris, Guarneri; Berry, Tabor)
Universality Many quantum properties of chaotic systems are universal and agree with predictions from random matrix theory, in particular the statistics of energy levels. (Bohigas, Giannoni, Schmit 84;
More informationEulerjevi in Hamiltonovi grafi
Eulerjevi in Hamiltonovi grafi Bojan Možina 30. december 006 1 Eulerjevi grafi Štirje deli mesta Königsberg v Prusiji so bili povezani s sedmimi mostovi (glej levi del slike 1). Zdaj se Königsberg imenuje
More informationVerifikacija napovedi padavin
Oddelek za Meteorologijo Seminar: 4. letnik - univerzitetni program Verifikacija napovedi padavin Avtor: Matic Šavli Mentor: doc. dr. Nedjeljka Žagar 26. februar 2012 Povzetek Pojem verifikacije je v meteorologiji
More informationA new type of PT-symmetric random matrix ensembles
A new type of PT-symmetric random matrix ensembles Eva-Maria Graefe Department of Mathematics, Imperial College London, UK joint work with Steve Mudute-Ndumbe and Matthew Taylor Department of Mathematics,
More informationOA07 ANNEX 4: SCOPE OF ACCREDITATION IN CALIBRATION
OA07 ANNEX 4: SCOPE OF ACCREDITATION IN CALIBRATION Table of contents 1 TECHNICAL FIELDS... 2 2 PRESENTING THE SCOPE OF A CALIBRATION LABOORATORY... 2 3 CONSIDERING CHANGES TO SCOPES... 6 4 CHANGES WITH
More informationBaroklina nestabilnost
Baroklina nestabilnost Navodila za projektno nalogo iz dinamične meteorologije 2012/2013 Januar 2013 Nedjeljka Zagar in Rahela Zabkar Naloga je zasnovana na dvoslojnem modelu baroklinega razvoja, napisana
More informationDomen Perc. Implementacija in eksperimentalna analiza tehnike razvrščanja podatkov s konsenzom
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO Domen Perc Implementacija in eksperimentalna analiza tehnike razvrščanja podatkov s konsenzom DIPLOMSKO DELO NA UNIVERZITETNEM ŠTUDIJU Mentor:
More informationKode za popravljanje napak
UNIVERZA NA PRIMORSKEM FAKULTETA ZA MATEMATIKO NARAVOSLOVJE IN INFORMACIJSKE TEHNOLOGIJE KOPER MATEMATIČNE ZNANOSTI MAGISTRSKI ŠTUDIJSKI PROGRAM 2. STOPNJE Aljaž Slivnik Kode za popravljanje napak Magistrska
More informationija 3 m Kislost-bazi - čnost Hammettove konstante ska ke acevt Farm Izr. prof. dr Izr. prof. dr. Marko Anderluh. Marko Anderluh 23 oktober.
acevts ska kem mija 3 Farm Kislost-bazičnost Hammettove konstante Izr. prof. dr. Marko Anderluh 23. oktober 2012 Vpliv kislinsko bazičnih lastnosti Vezava na tarčno mesto farmakodinamsko delovanje Topnost/sproščanje
More informationActa Chim. Slov. 2003, 50,
771 IMPACT OF STRUCTURED PACKING ON BUBBE COUMN MASS TRANSFER CHARACTERISTICS EVAUATION. Part 3. Sensitivity of ADM Volumetric Mass Transfer Coefficient evaluation Ana akota Faculty of Chemistry and Chemical
More informationP a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9
P a g e 5 1 of R e p o r t P B 4 / 0 9 J A R T a l s o c o n c l u d e d t h a t a l t h o u g h t h e i n t e n t o f N e l s o n s r e h a b i l i t a t i o n p l a n i s t o e n h a n c e c o n n e
More informationSpectral Fluctuations in A=32 Nuclei Using the Framework of the Nuclear Shell Model
American Journal of Physics and Applications 2017; 5(): 5-40 http://www.sciencepublishinggroup.com/j/ajpa doi: 10.11648/j.ajpa.2017050.11 ISSN: 20-4286 (Print); ISSN: 20-408 (Online) Spectral Fluctuations
More informationPOLDIREKTNI PRODUKT GRUP
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA LUCIJA ŽNIDARIČ POLDIREKTNI PRODUKT GRUP DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA 2014 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Univerzitetni študijski program 1. stopnje: Dvopredmetni
More informationFakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani. Seminar. Kvantni računalniki. Avtor: Matjaž Gregorič. Mentor: prof. N.S.
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Seminar Kvantni računalniki Avtor: Matjaž Gregorič Mentor: prof. N.S. Mankoč Borštnik Ljubljana, november 7 Povzetek V seminarju so predstavljene
More information56 1 Upogib z osno silo
56 1 Upogib z osno silo PREGLEDNICA 1.5 (nadaljevanje): Upogibnice in notranje sile za nekatere nosilce d) Upogibnica prostoležečega nosilca obteženega s silo F Pomik in zasuk v polju 1: w 1 = F b x (L
More informationMerjenje difuzije z magnetno resonanco. Avtor: Jasna Urbanija Mentor: doc.dr.igor Serša
Merjenje difuzije z magnetno resonanco Avtor: Jasna Urbanija Mentor: doc.dr.igor Serša Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Februar 2005 1 Povzetek Pojav jedrske magnetne resonance omogoča
More informationActa Chim. Slov. 2000, 47, Macroion-macroion correlations in the presence of divalent counterions. Effects of a simple electrolyte B. Hrib
Acta Chim. Slov. 2000, 47, 123-131 123 Macroion-macroion correlations in the presence of divalent counterions. Effects of a simple electrolyte B. Hribar and V. Vlachy Faculty of Chemistry and Chemical
More informationMANY ELECTRON ATOMS Chapter 15
MANY ELECTRON ATOMS Chapter 15 Electron-Electron Repulsions (15.5-15.9) The hydrogen atom Schrödinger equation is exactly solvable yielding the wavefunctions and orbitals of chemistry. Howev er, the Schrödinger
More informationUČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations. Študijska smer Study field
Predmet: Course title: UČNI NAČRT PREDMETA / COURSE SYLLABUS (leto / year 2017/18) Parcialne diferencialne enačbe Partial differential equations Študijski program in stopnja Study programme and level Magistrski
More informationSimulation of multilayer coating growth in an industrial magnetron sputtering system
RMZ Materials and Geoenvironment, Vol. 57, No. 3, pp. 317 330, 2010 317 Simulation of multilayer coating growth in an industrial magnetron sputtering system Simulacija rasti večplastnih prevlek v industrijski
More information21.1 Scilab Brownov model 468 PRILOGA. By: Dejan Dragan [80] // brown.m =========================== function brown(d,alfa) fakt = 5;
Poglavje 21 PRILOGA 468 PRILOGA 21.1 Scilab By: Dejan Dragan [80] 21.1.1 Brownov model // brown.m =========================== function brown(d,alfa) fakt = 5; N = length(d); t = [1:1:N]; // izhodi prediktor-filtra
More informationChapter 29. Quantum Chaos
Chapter 29 Quantum Chaos What happens to a Hamiltonian system that for classical mechanics is chaotic when we include a nonzero h? There is no problem in principle to answering this question: given a classical
More informationOptimizacija razporeditve preizkušanja in vzdrževanja varnostne opreme na podlagi najmanjšega tveganja
Elektrotehniški vestnik 70(1-2): 22 26, 2003 Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija Optimizacija razporeditve preizkušanja in vzdrževanja varnostne opreme na podlagi najmanjšega tveganja Marko Čepin
More informationEksplozijske le e. Seminar 1b. Mentor: prof. Dr. Simon irca. Avtor: Jan Malec
Seminar 1b Eksplozijske le e Avtor: Jan Malec Mentor: prof. Dr. Simon irca Povzetek V seminarju opi²em uporabo eksplozijskega le enja za proºenje atomske bombe. Atomska bomba je naprava, ki iz podkriti
More informationElektrične lastnosti organskih molekul
Tomaž Požar Ledina 3 5230 Bovec tel: 04-386-59 e-mail: tpozar@hotmail.com Ljubljana, 9. maj 2004 Električne lastnosti organskih molekul Pisna prezentacija za predmet seminar II Avtor: Tomaž Požar Mentor:
More informationMehanizem GIM (Glashow Iliopoulos Maiani mechanism)
Seminar 1. letnik druga stopnja Mehanizem GIM (Glashow Iliopoulos Maiani mechanism) Avtor: Matija Kuclar Mentor: prof. Dr. Svjetlana Fajfer Ljubljana, 15. Februar 2014 Povzetek V seminarju je predstavljen
More informationMODELI CESTNEGA PROMETA
MODELI CESTNEGA PROMETA LUKA ŠEPEC Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani V članku so predstavljeni različni pristopi k modeliranju cestnega prometa. Najprej so predstavljene empirične
More informationDELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA DEJAN KREJIĆ DELOVANJA GRUP IN BLOKI NEPRIMITIVNOSTI DIPLOMSKO DELO Ljubljana, 2015 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Dvopredmetni učitelj: matematika -
More information