Obrnitev kvantne meritve

Transcription

1 Seminar Obrnitev kvantne meritve Avtor: Rok Bohinc Mentor: dr. Anton Ram²ak Ljubljana, April 009 Povzetek Mo na meritev kvantni sistem vedno prisili v eno lastnih izmed stanj danega operatorja. Ko se stanje enkrat nahaja v lastnem stanju, ni mogo e rekonstruirati za etnega stanja. Kadar pa imamo opravka s ²ibkimi meritvami, je slednje moºno. V seminarski nalogi sledim lanku [], ki so eksperimentalno pokazali, da je obrnitev kvantne ²ibke meritve mogo a. Najprej je predstavljena ideja eksperimenta in realizacija, nato pa teoreti ni izra un ter rezultati.

2 Uvod Pri predavanjih iz kvantne mehanike se u imo, da se potem, ko opravimo meritev neke zikalne koli ine na kvantnem sistemu, ta sistem lahko nahaja zgolj v enem od lastnih stanj operatorja te koli ine []. Meritev torej projecira sitem v enega izmed njegovih lastnih stanj. V splo²nem se to lahko zgodi le v eni smeri. Potem ko enkrat opravimo meritev, sistema ne moremo ve vrniti v za etno stanje. Matemati no ne moremo samo iz ene projekcije rekonstruirati celotne za etne slike (slika ), zato re emo da gre za ireverzibilen proces. Obstajajo pa bolj neºni na ini merjenja, pri katerih zajamemo le del celotne informacije. Tako se lahko izognemo prej omenjeni kavzalnosti in pridemo v za etno stanje. Nedavno so na univerzi v Kaliforniji, v Santa Barbari, delali eksperimente s superprevodnimi faznimi qbiti in pokazali, da lahko posledice meritve obrnemo in tako vrnemo sistem v za etno stanje. Slika : Slika prikazuje projekcijo ²alce na platno. ƒe nam je projekcija edina informacija o ²alci, ²alce same ne moremo rekonstruirati. Ta ugotovitev velja tudi za kvantne sisteme. von Neumannova mo na in ²ibka meritev Predpostavimo, da se na² kvantni sistem nahaja v stanju ψ. Takoj ko naredimo meritev, sistem preide v novo stanje ψ λ, ki pripada lastni vrednosti λ. Ko enkrat naredimo meritev ψ ψ λ, v splo²nem ni ve poti nazaj. Na²e za etne valovne funkcije ψ ne moremo ve rekonstruirati. Zavedati pa se moramo, da je to le idealiziran, ekstremen primer kvante meritve. Taki meritvi pravimo mo na oziroma von Neumannova meritev []. Vemo pa, da vsake meritve ne moremo opisati z von Neumanovo paradigmo, ki pravi, da ob opravljeni meritvi valovna funkcija kolapsira iz ψ v ψ λ. Kot primer navedimo makroskopsko meritev elektri nega toka. Pri tej meritvi zagotovo ne dolo imo lege vsakemu nosilcu toka, kljub temu pa dobimo informacijo o tem, kolik²en je elektri ni tok. Meritvam, pri katerih dobimo le delne informacije o sistemu, pravimo ²ibke meritve.

3 3 Ideja eksperimenta Avtorji eksperimenta so za sistem vzeli superprevodni fazni qbit []. Za laºje razumevanje si predstavljajmo, da imamo opravka s kon no visoko potencialno jamo, ki ima le dve vezani stanji (Slika ). Na² qbit bomo merili s posebno napravo, ki bo z vrjetnostjo p zaznala, e se na² delec nahaja v vzbujenem stanju, oz. nebo naredila ni esar, e se na² delec nahaja v stanju 0. Torej, e na² detektor med meritvijo ne bo zaznal ni esar, ne moremo biti prepri ani, da je delec v osnovnem stanju, vsekakor pa smo prejeli delno informacijo. Verjetnost, da se delec nahaja v osnovnem stanju, je sedaj ve ja kot prej. Zaradi dobljene informacije se valovna funkcija spremeni, kar imenujemo delni kolaps proti stanu 0. Delni kolaps lahko obrnemo na slede i na in (Slika ): Po prvi meritvi, pri kateri detektor ni zaznal ni esar, zamenjamo stanja 0 in s t.i. π pulzom. Naredimo ²e eno, identi no meritev stanja 0 in. ƒe je rezultat meritve enak kot prej(detektor ne zazna ni esar), zamenjamo stanja s ²e enim π pulzom, pri emer dobimo enako valovno funkcijo, kot smo jo imeli na za etku. Slika : Slika prikazuje postopek obrnitve meritve. V kon no visoki (asimetri ni) potencialni jami imamo dva vezana stanja, ki jih predstavimo z 0 in. a) ƒe opravimo meritev, nam detektor z verjetnostjo p zazna, e se delec nahaja v vzbujenem stanju. Predpostavjamo, da detektor ni zaznal ni esar in da se je valovna funkcija delno kolapsirala proti stanju 0, b) s π pulzom med seboj zamenjamo verjetnosti za nahajanje v vezanih stanjih in ponovno opravimo meritev, c) e je rezultat prej²nje meritve 0, potem stanji ponovno zamenjamo s π pulzom in pridemo v za etno stanje.

4 Naj omenimo, da je ta postopek izvedljiv le, e sta rezulta, ki sta povsem stohasti na, v obeh meritvah enaka 0 (detektor ne zazna ni esar). Kot smo omenili, si lahko predstavljamo, da imamo opravka z delcem v potencialni jami. Ta jama ima obliko kubi nega potenciala, ki ima dve vezani stanji. Na²o napravo realiziramo tako, da z elektri nim pulzom spustimo potencialno bariero. Tako bo lahko delec tuneliral skozi to bariero z neko verjetnostjo p (tuneliral je lahko tudi pred pulzom, vendar je bila bariera prevelika, zato ta efekt zanemarimo). ƒe delec enkrat uide iz potencialne jame to zaznamo s SQUID napravo, ki lo i med delci v potencialu in med tistimi, ki so tunelirali. Dolºina pulza oz. as trajanja pulza, je dolo en z ºeljeno velikostjo verjetnosti p. Tako je p povsem nastavljiv in lahko zavzame vse vrednosti med 0 in. Ko za nek dolo en as spustimo potencialno bariero, lahko delec na eloma tunelira iz obeh vezanih stanj. Izra un pokaºe, da je vrjetnost za tuneliranje iz osnovnega stanja za dva velikostna reda majn²a od vrjetnosti za tuneliranje iz vzbujenega stanja. Razlog za to je, da je relaksacijski as neprimerno dalj²i od asa trajanja meritve. Tako vemo, da e delec tunelira, je skoraj zagotovo pri²el iz vzbujenega stanja. 4 Opis sistema Superprevodni fazni qbit realiziramo na slede na in. Imamo superprevodno zanko, ki je prekinjena s t.i. Josephsonovim stikom. Josephsonov stik je sestavlen iz dveh superprevodnih materialov lo enih s tanko plastjo neprevodnega sredstva. Kljub temu, da imamo vmes neprevodni material, lahko zaznamo nek tok med superprevodnikoma. Josephsonov stik je priklju en na plo² at Si:H kondenzator. Celotna naprava more biti primerno hlajena, da zagotovimo superprevodno stanje in da nam termi na nihanja ne vplivajo na rezultat.ta sistem nam tvori zgoraj opisani kubi ni potencial [3, 4]. 5 Matemati ni dokaz Sedaj bomo poizkusili teoreti no izpeljati obrnitev ²ibke meritve []. Za etno stanje qbita pripravimo s kratkim mikrovalovnim pulzom, tako da seqbit nahaja v stanju ψ 0 = cos θ e iφ 0 sin θ 0 Nato na sistem delujemo s 3ns dolgim ²katlastim pulzom, ki zniºa potencialno bariero in tako dovoli delecu selektivno tuneliranje iz stanja. Verjetnost, da delec tunelira, je sorazmerna s p sin ( θ 0 ). Glede na predpostavko, da se delec po prvi meritvi ²e vedno nahaja v potencialni jami, bo len pri stanju sorazmeren z p sin θ 0 Na²a valovna funkcija je po prvi meritvi te oblike: ψ M = A cos θ θ Ae iφ 0 0 p sin 3

5 Sorazmernostno konstanto A dobimo iz renormalizacije valovne funkcije: in je: ψ M = A = cos θ 0 + ( p) sin θ 0 cos θ 0 p sin θ e iφ0 cos θ 0 + ( p) sin θ 0 cos θ 0 + ( p) sin θ 0 ψ M = 0 + e iφ0 + ( p) tan θ 0 + ( p) tan θ 0 S pomo jo substitucije tan θ 0 ( p) = tan θ M lahko zapi²emo na²e stanje: ψ M = cos θ M 0 + e iφ 0 sin θ M Sedaj s π pulzom zamenjamo amplitudi: ψ π = sin θ M 0 + eiφ 0 cos θ M ƒe se ho emo sedaj vrniti v za etno stanje, delujemo na ψ π s ²e enim ²katlastim pulzom. ψ F = ψ F = B sin θ M 0 + eiφ 0 B p cos θ M B = sin θ M + ( p) cos θ M sin θ M p cos θ M 0 + e iφ0 sin θ M + ( p) cos θ M sin θ M + ( p) cos θ M ψ F = + ( p) tan θ M Glede na to, kako smo denirali θ M, sledi: iφ 0 + e 0 tan θ M p + ψ F = sin θ eiφ 0 cos θ 0 Sledi ²e rotacija za π in dobili smo ºeleni rezultat: ψ F π = cos θ e iφ 0 sin θ 0 = ψ 0 4

6 6 Kvantna tomograja Sedaj, ko poznamo teorijo, ki se skriva za eksperimentom, in na in njegove izvedbe, potrebujemo le ²e postopek, ki nam bo omogo al, da preverimo, ali se rezultati skladajo s teorijo. Avtorji so v ta namen uporabili kvantno tomograjo [5, 6]. To je postopek, pri katerem isti sistem izmerimo iz ve razli nih kotov, in glede na rezultate sestavimo kon no sliko. Analogijo lahko potegnemo iz medicine pri t.i. x-ray tomograji, pri kateri iz ve slik dobimo 3D sliko pacienta. V splo²nem lahko vsak qbit opi²emo na slede na in ψ = α 0 + β, kjer sta α in β v splo²em komleksni ²tevili in normirani tako, da velja α + β =. ƒe zdaj neznanemu qbitu izmerimo projekcije spina (P x, P y, P z ) na vse tri osi, lahko enoli no dolo imo njegovo stanje. Izmerjene vrednosti (P x, P y, P z ) so neposredno povezane s qbitovimi komponentami stanja (X, Y, Z). ƒe te komponente uporabijo kot kartezi ne koordinate, nam padejo vsa moºna zikalna stanja v sfero z radijem, ki je enak enoti(r = ), ki jo imenujemo Blochova sfera (slika 3) [7]. Vsa stanja, ki so na povr²ju sfere imenujemo ista stanja (pure states), in imajo to lastnost, da jih lahko opi²emo na slede na in ψ 0 = cos θ 0 + e iφ 0 sin θ (S tak²nimi stanji smo namre za eli). Slika 3: Prikazana so stanja znotraj Blochove sfere. Pod posebnimi pogoji stanja padejo na ravnino, ki je vzporedna z - osi Glede na to da vedno, ko delec uide iz potencialne jame in detektor to zazna, izmerimo le vrjetnost P z in ne celoten P, potrebujemo ²e dve rotaciji, ki nam bosta omogo ili merjenje tudi v y in z smeri (slika 4). Tako bomo spoznali ne le velikost ampak tudi smer vektorja, ki je v Blochovi sferi, in tako enoli no dolo ili stanje, v katerem se nahaja na² qbit. Slika 4: Prikazana sta dve sekvenci. Pri prvi sekvenci pogledamo, kako se na²a valovna funkcija spremeni po prvi, pri drugi sekvcenci pa, kako se spremeni po drugi delni meritvi. 5

7 7 Rezultati Slika 5 prikazuje 4 stanja (, 0 i, 0 +, 0 ) []. Slike v prvi vrsti predstavljajo stanje po prvi delni meritvi, slike v drugi vrsti pa po drugi delni meritvi. Naj opozorim, da se slike v spodnji vrsti za π rotacijo okoli x-osi lo ijo od dejanskih kon nih stanj. šal se avtorji lanka niso odlo ili priloºili teh slik. Slika 5: Na sliki so predstavljeni rezultati meritev []. Na Blochovi sferi so prikazana so 4 stanja (nad sferami so napisane valovne funkcije stanj) po prvi delni meritvi ter po drugi delni meritvi. Da bomo lahko komentirali rezutate, jih moramo primerjati za za etnimi stanji (slika 6). Slika 6: Na sliki so na Blochovi sferi s pu² icami predstavljena razli na za etna stanja. Nad sferami so napisane vaovne funkcije stanj. 6

8 Za nas sta najbolj zanimivi stanji 0 i in 0 +, kajti le ti stanji sta sestavljeni iz linearne kombinacije 0 in. Dobro ujemanje vidimo pri stanju 0 + (slika 7). Slika 7: Na desni strani je na blochovi sferi prikazano za etno stanje 0 +, na levi pa izmerjeno kon no stanje. Stanji se bi naj po meritvi ujemali. Malo majn dobro ujemanje vidimo pri drugem stanju 0 i da bi se avtorji zmotili in zamenjali stanja 0 i in 0 (sika 8). Zgleda namre, kot Slika 8: Na desni strani sta na blochovi sferi prikazani za etno stanji 0 i kon no stanje. Zgleda, kot da se bi avtorji lanka zmotili in zamenjali stanja 0 i valovna funkcija se dobro ujema z za etnim stanjem 0. in 0, na levi pa izmerjeno in 0, kajti kon na Na vseh slikah, ki smo jih dobili iz meritev, ne vidimo samo ene to ke, ampak ansambel to k, ki ponazarja kak²na je odvisnost od vrjetnosti za tuneliranje p. V katerem stanju se nahaja sistem v odvisnosti od p-ja, v na²em pribliºku ne bi smelo igrati vloge, vendar rezultati kaºejo druga e. To se posebno dobro vidi v slikah v prvi vrsti, za razliko od slik v drugi vrsti, ki kaºejo ²ibko odvisnost od p-ja. Razlogi za teºave najdemo v tem, da postane vrjetnost za prehod iz vzbujenega stanja v osnovno stanje prevelika. Kvantitativno se giblje ta vrjetnost p r okoli 0, pri sekvenci, ki traja 44ns. Izkaºe se, da ko postane p r primerljiva z vrednostjo p za ne na²a preprosta teorija ²epat. Natan no ne poznam vseh razlogov za to, zagotovo je pa eden izmed njih ta, da ko zniºamo potencialno bariero, s tem spremenimo tudi na²a stanja. ƒe bariero preve zniºamo, ne znamo ve dobro opisati sistema. 7

9 8 Zaklju ek Obrnitev kvantne meritve je povsem nova tema, ki je bila prvi objavljena 0. Novembra 008. Avtorji lanka so na zelo enostaven, vendar eleganten na in pokazali, da je za posebne vrste meritev, ki jim re emo ²ibke meritve, obrnitev mogo a. Za preverjanje tega koncepta so uporabljali superprevoden fazni qbit(superconducting Phase Qubit), ki jim je sluºil kot dvodimenzionalni kvantni sistem. S kvantno tomograjo so nato ugotovili, da se sistem po zaklju eni sekvenci res nahaja v za etnem stanju. Ujemanje z rezultati je bilo v reºimu, ko je verejentost za tuneliranje p bila manj²a od 0, 7, veliko. Ta presenetljiva obnovitev meritve predstavlja zopet nov dokaz, da raziskave na podro ju kvantnega programiranja in eksperimentalnih realizacij kvantnih bitov pripomorejo k bolj²emu razumevanju osnov in natan nej²i interpretaciji kvantne mehanike. Literatura [] N. Katz,M. Neely,M. Ansmann, Phy. Rev. Lett., 0, 0040, (008) [] [3] J. Martinis, S. Nam, J. Amentado, Phy. Rev. Lett., 89, 790, (00) [4] K. Cooper, M. Steen, R. McDermott, Phy. Rev. Lett., 93, 8040, (004) [5] /tomography_theory/amo_tomo_chapter.pdf [6] [7] 8