Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje IV. Linearno programiranje

Transcription

1 Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje IV. Linearno programiranje Rudolf Scitovski, Ivan Vazler, Martina Briš. siječnja 3. Sadržaj Uvod Maksimizacija profita primarni LP problem. Geometrijska interpretacija LP-problema Geometrijsko rješenje LP-problema Opći problem linearnog programiranja Minimizacija troškova dualni LP problem 4 Metode za rješavanje 6 4. Geometrijska metoda Simpleks metoda Primjeri 7 6 Povijesni pregled 34 Uvod x Maksimizacija profita primarni LP problem Primjer. (Barković, ) Dva proizvoda P, P proizvode se na jednom stroju s kapacitetom 6 sati dnevno uz korištenje ljudskog rada u obimu sati dnevno i tržišnim ograničenjem od 3 proizvoda P u zadanom vremenskom intervalu. Na proizvod P nema ograničenje, što znači da tržište prihvaća svaku proizvedenu količinu tog proizvoda. Također, poznata je tržišna cijena Obvezni predmet u 5. semestru sveučilišnog preddiplomskog studijskog programa Poduzetništvo Ekonomskog fakulteta u Osijeku (45 sati predavanja i 5 sati vježbi, 5 ECTS bodova)

2 Kvantitativne metode strojnog rada od kn po satu, tržišna cijena ljudskog rada od 5 kn po satu i tržišnom cijenom istraživanja tržišta od 5 kn po jedinici proizvoda. Ako je poznato da je tržišna cijena proizvoda P 5 kn, a tržišna cijena proizvoda P 8 kn, treba odrediti količinu proizvodnje x = (x, x )T proizvoda {P, P }, uz koju se postiže maksimalni profit z kao razlika prodajne cijene i troškova proizvodnje. Inputi Proizvodi Kapaciteti Tržišne cijene P P resursa (b i ) resursa (ρ i ) Stroj 4 6 Ljudski rad 5 Tržište (P ) 3 5 Cijene (σ j ) 5 8 Troškovi 3 5 Profit (c j ) 3 Tablica : Podaci o proizvodnji Tablicu iz koje su vidljive veze između inputa (strojevi, ljudski rad, tržište) i outputa (količine proizvoda) zvat ćemo matrica tehnologije. U tablici je prikazana informacijska osnova proizvodnje: Strojevi (što mogu proizvoditi, koliko sati rada im je potrebno za proizvodnju jedne jedinice pojedinog proizvoda, koliki su im dnevni kapaciteti u satima rada); Ljudski rad (što mogu proizvoditi, koliko sati rada im je potrebno za proizvodnju jedne jedinice pojedinog proizvoda, koliki su im dnevni kapaciteti u satima rada); Tržište (kakva su tržišna ograničenja za pojedini proizvod koji se namjerava proizvoditi); Tržišne cijene po jedinici proizvoda i tržišne cijene jediničnih resursa. Kod matematičke formulacije problema koristi se temeljna pretpostavka o linearnosti veza, koja se može razložiti na dvije pretpostavke: Proporcionalnost. Primjerice, ako je za proizvodnju jedne jedinice proizvoda P potrebno sata, onda je za proizvodnju x jedinica proizvoda P potrebno x sati strojnog rada; Aditivnost. Primjerice, ako je za proizvodnju jedne jedinice proizvoda P potrebno utrošiti sata, a za proizvodnju jedne jedinice proizvoda P, 4 sata strojnog rada, onda je za proizvodnju jedne jedinice proizvoda P i jedne jedinice proizvoda P potrebno utrošiti 6 sati strojnog rada. Uz oznake: x količina proizvodnje proizvoda P, x količina proizvodnje proizvoda P,

3 Kvantitativne metode 3 ograničenja proizvodnje vidljiva u Tablici zapisat ćemo sljedećim sustavom linearnih nejednadžbi x + 4x 6 x + x (.) x 3 Pri tome u ovom primjeru bilo bi prirodno još dodati ograničenja x, x, (.) ali taj zahtjev generalno ne mora biti postavljen. Sustav linearnih nejednadžbi, kojima su dana ograničenja u proizvodnji, definira skup dopustivih točaka S R. Skup S je poliedar, koji može biti omeđen (Slika a) ili neomeđen (Slika b). Ako je poliedar omeđen nazivamo ga još i politop. (a) x + 4x 6, x + x, x 3 x, x 3 (b) x + 4x 6, x + x, x Slika : Omeđen i neomeđen skup dopustivih Nadalje, troškovi proizvodnje jedne jedinica proizvoda P, odnosno P, su ρ + ρ (troškovi proizvodnje jedne jedinice proizvoda P ), 4ρ + ρ + ρ 3 (troškovi proizvodnje jedne jedinice proizvoda P ), a profit po jedinici proizvoda je razlika između jedinične prodajne cijene i jediničnih troškova proizvodnje: c = σ (ρ + ρ ) = (profit po jedinici proizvoda P ), c = σ (4ρ + ρ + ρ 3 ) = 3 (profit po jedinici proizvoda P ), Cilj proizvodnje je maksimizirati profit f : R R (funkcija cilja), f(x, x ) = c x + c x, (.3) uz ograničenja (.)-(.) ili samo uz ograničenja (.). Dakle, radi se o problemu optimizacije funkcije dviju varijabli na skupu S, pri čemu su i funkcija cilja i uvjeti koji određuju skup S linearni. Ovaj problem naziva se problem linearnog programiranja (LP). Formalno, LP-problem možemo formulirati na sljedeći način:

4 Kvantitativne metode 4 Primarni LP-problem: odrediti (x, x ) S, tako da bude. Geometrijska interpretacija LP-problema argmax f(x, x ) = (x, x ). (.4) (x,x ) S Neka je (O; i, j) pravokutni koordinatni sustav u ravnini, u kome je zadan vektor proizvodnje u = x i + x j, čije komponente x, x predstavljaju količinu proizvodnje pojedinog proizvoda, i vektor profita c = c i + c j, čije komponente c, c predstavljaju jedinične profite po pojedinom proizvodu. Tada funkciju cilja f : R R možemo zapisati kao skalarni produkt f(x, x ) = c u. (.5) Ako sa S označimo skup svih radij-vektora točaka iz skupa S, onda LP-problem (.4) možemo zapisati kao argmax (x,x ) S f(x, x ) = argmax( c u). (.6) u S Teorem. (Boyd and Vandenberghe, 4; Čaklović, ; Neralić, 3) Skup svih dopustivih točaka S problema linearnog programiranja je konveksan. Problem linearnog programiranja (.6) ima rješenje onda i samo onda ako je skup S neprazan i ako je funkcija cilja f ograničena odozgo na tom skupu. Ako rješenje postoji, postiže se na barem jednom vrhu polijedra S.. Geometrijsko rješenje LP-problema Poznato je (Boyd and Vandenberghe, 4; Čaklović, ) da je smjer najbržeg rasta funkcije f : R R u točki T = (ξ, η) određen smjerom vektora koji nazivamo gradijent funkcije f, a koji je definiran s Gradijent funkcije (.3) u proizvoljnoj točki T = (ξ, η) je grad f(ξ, η) = f(ξ,η) x i + f(ξ,η) x j (.7) grad f(ξ, η) = c i + c j. Zato ćemo LP-problem (.4), odnosno (.6), geometrijski promatrati kao traženje točke u skupu S koja je najudaljenija od ishodišta O u smjeru gradijenta funkcije cilja f, odnosno u smjeru vektora profita c. Za zadani vektor c = c i+c j i točku T = (ξ, η) jednoznačno je određen pravac p koji prolazi točkom T, a okomit je na vektor c.

5 Kvantitativne metode 5 (a) c r < T T (b) c r > r c r c r P r P Slika : Pravac okomit na vektor c, koji prolazi danom tockom T Neka je P T proizvoljna točka na pravcu p. Tada je vektor T P okomit na vektor c. Ako s r označimo radij-vektor točke T, a s r radij-vektor točke P, onda taj zahtjev možemo zapisati kao ( r r ) c =, odnosno r c r c =. (.8) (.8) je Hesseov normalni oblik jednadžbe pravca p. Primijetite da je (vidi Sliku ) r c = c ( r ) c = c ξ + c η, gdje je ( r ) c projekcija vektora r na vektor c. Ako je c r > (Slika a), onda ( r ) c = c r c = c ξ + c η. (.9) c + c predstavlja udaljenost točke T do ishodišta O, a ako je c r < (Slika b), onda je udaljenost točke T do ishodišta O. ( r ) c = c r c = c ξ + c η. (.) c + c Teorem. Neka je S R poliedar s vrhovima T,..., T m, m, a f : S R, f(x, x ) = c x + c x linearna funkcija cilja. LP-problem (.4) geometrijski je ekvivalentan problemu traženja točke T max S, koja je najudaljenija od ishodišta u smjeru vektora profita c = c i+c j. Pri tome točka T max uvijek postoji, ne mora biti jedinstvena, a treba je tražiti među vrhovima poliedra S. Dokaz. Neka su r,..., r m radij-vektori točaka T,..., T m. Prema Teoremu rješenje LPproblema možemo zapisati argmax (x,x ) S f(x, x ) = argmax u S ( c u) = argmax( c r i ) i=,...,m

6 Kvantitativne metode 6 a zbog invarijantnosti na množenje pozitivnim brojem imamo argmax (x,x ) S iz čega slijedi tvrdnja teorema. c r i f(x, x ) = argmax( c r i ) = argmax i=,...,m i=,...,m c, Primjedba. Sličnim razmatranjem možemo zaključiti da je problem određivanja točke (x, x ) S, takve da je (x, x ) = argmin (x,x ) S f(x, x ) = argmin i=,...,m ( c r i ) = argmin i=,...,m c r i c, (.) geometrijski ekvivalentan problemu traženja točke T min S, koja je najbliža ishodištu u smjeru vektora ( c) = c i c j. Pri tome točka T min uvijek postoji, ne mora biti jedinstvena, a treba ju tražiti među vrhovima poliedra S. Skup dopustivih točaka (dopustivo područje) S iz Primjera prikazan na Slici 3 je S = {(x, x ) R + : x + 4x 6, x + x, x 3} Na Slici 3 prikazan je i smjer vektora profita c = i+3 j, c = 3, kao i pravci okomiti na Slika 3: Grafičko rješavanje LP problema iz Primjera vektor c, a koji prolaze vrhovima poliedra. Iz niže navedene tablice vide se vrijednosti funkcije cilja u vrhovima poliedra i udaljenosti pravaca okomitih na vektor c, koji prolaze vrhovima poliedra. T i (, ) (5, ) (4, ) (, 3) (, 3)) r i 5 i 4 i + j i + 3 j 3 j f(x, x ) = r i c d i = r i c c U vrhu (x, x ) = (4, ) skupa S postiže se optimalno/maksimalno dopustivo rješenje na kome funkcija cilja postiže optimalnu/maksimalnu vrijednost z = 4. Primjer. Zadan je poliedar S s vrhovima T = (, ), T = (3, ), T 3 = (4, ), T 4 = (4, 5), T 5 = (, 5), T 6 = ( 3, 3 ), i vektor c = i + j (vidi Sliku 4), odnosno funkcija cilja f(x, x ) = x + x.

7 Kvantitativne metode 7 5 T 5 T 4 p 4 p 4 T 6 3 S T 3 T T c p p Slika 4: Geometrijska interpretacija LP-problem T i (, ) (3, ) (4, ) (4, 5) (, 5)) ( 3, 3 ) r i i + j 3 i + j 4 i + j 4 i + 5 j i + 5 j 3 i + 3 j f(x, x ) = r i c d i = r i c c Dakle, postoji više točaka poliedra S koje su najbliže ishodištu u smjeru vektora c: to su sve točke na spojnici T T 6, ali postoji samo jedna točka poliedra S koja je najudaljenija od ishodišta u smjeru vektora c: to je točka T 4. Prema tome r i c argmin (x + x ) = argmin (x,x ) S T i S c = T T 6, r i c argmax(x + x ) = argmax (x,x ) S T i S c = T 4, tj. minimum se postiže na svakoj točki dužine T T 6, a maksimum u točki T 4. Vrijednosti funkcije cilja u vrhovima poliedra S su f(t ) =, f(t ) = 7, f(t 3 ) =, f(t 4 ) = 3, f(t 5 ) = 7, f(t 6 ) =. Zadatak. Riješite prethodni LP-problem uz c = 3 i + j. Primjer 3. Zadan je poliedar S s vrhovima T = ( 6, ), T = ( 3, 4), T 3 = (5, ), T 4 = (5, 3), T 5 = (, 5), T 6 = ( 3, 4), i vektor s c = i + 3 j (vidi Sliku 5), odnosno funkcija cilja f(x, x ) = x + 3 x. T i ( 6, ) ( 3, 4) (5, ) (5, 3) (, 5) ( 3, 4) r i 6 i j 3 i 4 j 5 i j 5 i + 3 j i + 5 j 3 i + 4 j f(x, x ) = r i c d i = r i c c

8 Kvantitativne metode 8 T 6 4 T 5 T 4 S c T T 3 T 4 Slika 5: Minimum i maksimum na poliedru S u smjeru c Dakle, postoji postoji više točaka poliedra S koja su najudaljenija od ishodišta u smjeru vektora c: to su sve točke na spojnici T 4 T 5. Samo jedna točka poliedra S je najbliže ishodištu u smjeru vektora c: to je točka T. Prema tome argmin (x + 3 x r i c ) = argmin (x,x ) S T i S c = T, argmax(x + 3 x r i c ) = argmax (x,x ) S T i S c = T 4T 5, tj. maksimum se postiže na svakoj točki dužine T 4 T 5, a minimum u točki T. Vrijednosti funkcije cilja u vrhovima poliedra S su f(t ) = 7.5, f(t ) = 9, f(t 3 ) =, f(t 4 ) = 9.5, f(t 5 ) = 9.5, f(t 6 ) = 3. Primjer 4. (Martić, 97) Promatramo problem maksimalnog korištenja raspoloživog materijala u proizvodnji (primjerice, u mesnoj industriji ili vinariji) uz maksimiranje utroška materijala sukladno matrici tehnologije prikazanoj u Tablici Inputi Utrošak materijala Raspoloživost P P P 3 materijala Materijal M Materijal M Tržišna ograničenja Tablica : Podaci o proizvodnji S x, x, x 3 označimo broj komada proizvoda P, P, P 3, koji se mogu proizvesti od materijala M, a s x 4, x 5, x 6 broj komada proizvoda P, P, P 3, koji se mogu proizvesti od materijala M. Tako su primjerice, 4x, količine materijala M s kojima se može proizvesti x komada proizvoda P, a 4x + 8x + 5x 3 količina materijala M koja će se utrošiti ako proizvedemo x komada proizvoda P i x komada proizvoda P i x 3 komada proizvoda P 3.

9 Kvantitativne metode 9 Primijetite također da je x + x 4 ukupna količina proizvoda P koji će se proizvoditi. Zato Primarni LP-problem glasi Primarni LP problem: max (4x + 8x + 5x 3 + x 4 + 9x 5 + 7x 6 ) uz uvjete 4x + 8x + 5x 3 x 4 + 9x 5 + 7x 6 8 x + x 4 8 x + x 5 x 3 + x 6 6 x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 Uvođenjem matrice tehnologije A R 5 6, vektora kapaciteta b R 5, vektora cijena c R 6 i vektora dopustivih točaka x R 6, A = , b = 8 8 6, c = primarni LP-problem svodi se na rješavanje optimizacijskog problema argmax c T x, S = {x R 6 : Ax b, x }. x S , x = Ako je x S rješenje, onda je maksimalna vrijednost funkcije cilja z = c T x. Ovaj optimizacijski problem skraćeno ćemo pisati max c T x, uz uvjet Ax b, x. x x x 3 x 4 x 5 x 6,

10 Kvantitativne metode.3 Opći problem linearnog programiranja Inputi Proizvodi Kapaciteti Tržišne cijene P (x )... P n (x n ) resursa resursa Input: a a n b ρ.. a ij... Input:m a m a mn b m ρ m Cijene σ σ n Troškovi Σρ i a i Σρ i a in Profit c c n Tablica 3: Podaci o proizvodnji Postavimo sada opći problem maksimizacije dobiti (vidi Tablicu 3). Općenito, pretpostavimo da treba proizvoditi n proizvoda P,..., P n u količinama x,..., x n korištenjem m resursa u količinama b,..., b m. Pri tome za izradu jedne jedinice proizvoda P j koristi se i-ti resurs u količini a ij. Dakle, ako su ρ,..., ρ m postojeće tržišne cijene resursa, a σ,..., σ n postojeće tržišne cijene proizvoda, treba maksimizirati funkciju cilja gdje su n z = f(x,..., x n ) = c j x j, (.) j= m c j = σ j ρ i a ij, j =,..., n, (.3) i= veličine profita, koji se ostvaruju na j-tom proizvodu, poštujući ograničenja Matrični zapis: n a ij x j b i, i =,..., m, (.4) j= x,..., x n. (.5) Za zadani vektor kapaciteta resursa b = (b,..., b m ) T R m, vektor profita c = (c,..., c n ) T R n i matricu tehnologije A R m n, treba odrediti vektor proizvodnje x R n +, tako da na njemu funkcija cilja z = c, x = c T x postiže svoj maksimum uz uvjet Ax b, tj. max{c T x R: Ax b} = c T x. (.6) x R n + O egzistenciji rješenja i naznaci strategije traženja rješenja govori Teorem, str.4.

11 Kvantitativne metode 3 Minimizacija troškova dualni LP problem Primjer 5. Za podatke iz Primjera treba odrediti jedinične cijene resursa (w, w, w 3 ), uz koje će se postići minimalni troškovi proizvodnje. Inputi Proizvodi Kapaciteti Tržišne cijene P P resursa (b i ) resursa (ρ i ) Stroj 4 6 Ljudski rad 5 Tržište (P ) 3 5 Cijene (σ j ) 5 8 Troškovi 3 5 Profit (c j ) 3 Uz poznate tržišne cijene resursa ρ i i tržišne cijene proizvoda σ j, treba odrediti jedinične cijene resursa w, w, w 3 (dualna varijabla, cijena u sjeni), tako da ukupni troškove prizvodnje budu minimalni, tj. treba minimizirati min(6w + w + 3w 3 ) uz uvjete (3.) w + w 5 (3.) 4w + w + w 3 8 w i ρ i, i =,, 3. (3.3) Uvođenjem supstitucije y i := w i ρ i, i =,, 3. (3.4) problem (3.) (3.3) svodi se na optimizacijski problem min(6y + y + 3y 3 ) uz uvjete y + y 4y + y + y 3 3 y, y, y 3. Naime, vrijedi 6y + y + 3y 3 = 6w + w + 3w 3 (6ρ + ρ + 3ρ 3 ) = 6w + w + 3w 3 5, pa je problem optimizacije funkcije zadane sa (3.) ekvivalentan problemu optimizacije funkcije (y, y, y 3 ) 6y + y + 3y 3. Također sustav ograničenja (3.) (3.3) ekvivalenta je sustavu ograničenja u varijablama (y, y, y 3 ) jer je y + y = w + w (ρ + ρ ) 5 3 =, 4y + y + y 3 = 4w + w + w 3 (4ρ + ρ + ρ 3 ) 8 5 = 3.

12 Kvantitativne metode Optimalno rješenje je y = ( 3, 3, )T, pri čemu je optimalna vrijednost funkcije cilja z = 4. Općenito, neka su ρ,..., ρ m postojeće tržišne cijene resursa, a σ,..., σ n postojeće tržišne cijene proizvoda. Ako su w,..., w m jedinične cijene resursa, treba minimizirati ukupne troškove proizvodnje m min b i w i w,...,w m i= uz uvjete (3.5) m w i a ij σ j, j =,..., n, (3.6) i= w i ρ i, i =,..., m. (3.7) Uvođenjem supstitucije y i := w i ρ i, i =,..., m, (3.8) problem (3.5) (3.7) svodi se na optimizacijski problem m min b i y i y,...,y m i= uz uvjete (3.9) m y i a ij c j, j =,..., n, (3.) i= y,..., y m, (3.) gdje je c j = σ j m i= ρ i a ij profit koji se ostvaruje na j-tom proizvodu. Naime, kako je m m m y i a ij = w i a ij ρ i a ij, i= i= i= a m i= ρ i a ij je konstanta, optimizacijski problemi (3.5) i (3.9) su ekvivalentni. Osim toga vrijedi Matrični zapis: m m m m y i a ij = w i a ij ρ i a ij σ j ρ i a ij = c j. i= i= i= i= Za zadani vektor kapaciteta resursa b R m, vektor profita c R n i matricu tehnologije A R m n, treba odrediti vektor y R m +, takav da je min b T y = b T y, uz uvjet (3.) y R m + A T y c. (3.3) Svojstva:(Martić, 966, 97; Vanderbei, ) Ako je ˆx dopustivo rješenje primarnog LP problema (.6), ŷ dopustivo rješenje dualnog LP problema (3.) (3.3), onda vrijedi c T ˆx b T ŷ;

13 Kvantitativne metode 3 Ako je ˆx dopustivo rješenje primarnog LP problema (.6), ŷ dopustivo rješenje dualnog LP problema (3.) (3.3) i ako vrijedi c T ˆx = b T ŷ, onda su ˆx i ŷ optimalna dopustiva rješenja; Ako primarni i dualni LP problem imaju dopustiva rješenja, tada postoje i optimalna dopustiva rješenja x, y i vrijedi c T x = b T y ; Ako primarni LP problem (.6) nema dopustivo rješenje, onda odgovarajući dualni LP problem (3.) (3.3) nema optimalno dopustivo rješenje i ako dualni LP problem (3.) (3.3) nema dopustivo rješenje, onda odgovarajući primarni LP problem (.6) nema optimalno dopustivo rješenje; Optimalno dopustivo rješenje x primarnog LP problema (.6) postoji onda i samo onda ako postoji optimalno dopustivo rješenje y dualnog LP problema (3.) (3.3); U tom slučaju vrijedi c T x = b T y ; Dualni problem dualnog problema ponovo je primarni problem LP. Primjer 6. (Martić, 97) Dva proizvoda P, P proizvode se na jednom stroju s kapacitetom 4 sata dnevno uz korištenje ljudskog rada u obimu sat dnevno i tržišnim ograničenjem od 9 proizvoda P ili P u zadanom vremenskom intervalu. Treba odrediti količinu proizvodnje (x, x ) proizvoda {P, P }, uz koju se postiže maksimalni profit z kao razlika prodajne cijene i troškova proizvodnje. Inputi Proizvodi Kapaciteti Tržišne cijene P P resursa (b i ) resursa (ρ i ) Stroj 4 4 Ljudski rad 3 Tržište 9 Cijene (σ j ) 8 5 Troškovi 6 Profit (c j ) 5 Tablica 4: Podaci o proizvodnji Primarni LP-problem: max(x + 5x ) uz uvjete x + 4x 4 3x + x x + x 9 x, x Na web stranici nalazi se program koji iscrtava područje određeno nejednakostima i rješava problem linearnog programiranja.

14 Kvantitativne metode 4 6 T c T 4 3 S T 3 T 4 6 T Slika 6: Maksimum na poliedru S u smjeru vektora c = i + 5 j T i (, ) (7, ) (6, 3) (4, 5) (, 6)) f(x, x ) = r i c d i = r i c 4 c U vrhu (x, x ) = (4, 5) skupa S postiže se optimalno/maksimalno dopustivo rješenje na kome funkcija cilja postiže optimalnu/maksimalnu vrijednost z = 33. Matrični zapis ovog LP problema glasi max(c T x), Ax b x s rješenjem: x = (4, 5) T, z = 33. A = 4 3, b = 4 9, c = Provjerom prve restrikcije uočavamo da je prvi resurs (strojni rad) potpuno iskorišten, da drugi resurs (ljudski rad) ima neiskorišteni kapacitet 4 i da je treći resurs (tržište) potpuno iskorišten. Konstruirajmo sada odgovarajući dualni problem. Treba odrediti jedinične cijene naših resursa w, w, w 3, tako da troškovi naše proizvodnje budu veći ili jednaki troškovima koje dozvoljava tržište, a da ukupni troškovi naše proizvodnje budu minimalni: [ 5 Dualni LP-problem: min(4w + w + 9w 3 ) uz uvjete w + 3w + w 3 8 4w + w + w 3 5 w i ρ i Uz supstituciju y i := w i ρ i (w i = y i + ρ i ) dobivamo min(4y + y + 9y ) uz uvjet y + 3y + y 3 8 ( ) = 4y + y + y 3 5 (4 + + ) = 5 y i ],

15 Kvantitativne metode 5 odnosno ili u matričnom zapisu s rješenjem: y = (,, ) T, z = 33. min(4y + y + 9y 3 ) y + 3y + y 3 4y + y + y 3 5 y i max(b T y), A T y c y uz uvjet Pogledajmo kako će se promijeniti funkcija cilja u točki rješenja ako kapacitet prvog resursa (strojni rad) povećamo za δ > z + z = (4 + δ)y + y + 9y 3 = (4y + y + 9y 3 ) + δy = z + δy = z + δ. Dakle, ako kapacitet prvog resursa (strojni rad) povećamo za δ >, funkcija cilja mogla bi se povećati za δ jer je y =. Slično zaključujemo: ako kapacitet drugog resursa (ljudski rad) povećamo za δ >, funkcija cilja neće se povećati jer je y =, a ako kapacitet trećeg resursa (prisutnost na tržištu) povećamo za δ >, funkcija cilja mogla bi se povećati za δy3 = δ jer je y 3 =. Primjer 7. Za ishranu jedne krave gospodarstvu stoje na raspolaganju dvije vrste stočne hrane H, H. Dnevne potrebe krave za hranjivim komponentama A, B, C (u kg), količine tih hranjivih komponenti (u kg) u stočnoj hrani H, H i cijene stočne hrane (u kn) vidljive su u niže navedenoj tablici. Treba definirati optimalnu strategiju ishrane krave. Hranjive Stočna hrana Dnevne komponente H H potrebe A.6..8 B..4. C... Cijene 4 Tablica 5: Podaci o ishrani krave Ako s x, odnosno x, označimo dnevnu potrebnu količinu stočne hrane H, odnosno H, onda odgovarajući LP-problem možemo ovako formulirati min(x + 4x ) uz uvjet.6x +.x.8.x +.4x..x +.x. odnosno min(x + 4x ) 6x + x 8 x + 4x x + x uz uvjet x, x x, x

16 Kvantitativne metode S 6 T 4 c T Slika 7: Minimum na poliedru S u smjeru vektora c = i + 4 j Rješenje: x = (4, ) T, z = 6. Zadatak. Napišite odgovarajući dualni problem, odredite značenje dualnih varijabi, riješite dualni problem i napravite odgovarajuću postoptimalnu analizu problema. 4 Metode za rješavanje Primjer 8. Razmotrimo ponovo Primjer. Treba riješiti sljedeći LP-problem f(x, x ) = x + 3x uz uvjete x + 4x 6 x + x x 3 x, x 3 S Slika 8: Dopustivo područje S i njegovi vrhovi Skup mogućih rješenja S (dopustivo područje) u ovom slučaju je konveksni poliedar (konveksni politop jer je ograničen) prikazan na Slici 8. Svaki od njegovih 5 vrhova dobije se kao presjek dva pravca zadanih nekom od jednadžbi: x + 4x = 6, x + x =, x = 3, x =, x =,

17 Kvantitativne metode 7 Primijetite da u ovom slučaju možemo promatrati ( 5 ) = sustava od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice. Na taj način dobivamo 9 točaka (jedan sustav nema rješenja). Za svaku točku treba provjeriti svih 5 restrikcija. Vrhovi dopustivog područja S su one točke koje zadovoljavaju svih 5 restrikcija. Budući da se maksimum funkcije cilja postiže na barem jednom vrhu ovog konveksog poliedra, jedna mogućnost je provjeriti njenu vrijednost u svim vrhovima. U ovom slučaju to je lako jer je broj vrhova malen: Vrhovi (, ) (, 3) (, 3) (4, ) (5, ) Funkcija cilja Općenito LP-problem može imati n varijabli i m restrikcija, Ako je m n, trebalo bi riješiti ( ) m = n m! n!(m n)!, sustava od m jednadžbi s n nepoznanica, čime dobivamo toliko ili manje točaka iz R n. Odmah je jasno da bi to mogao biti vrlo veliki broj. Primjerice za m = 5 i n = taj broj je Zato se ova metoda ozbiljno ne razmatra. 4. Geometrijska metoda Kao što smo pokazali u Odjeljku. u slučaju n = (ili eventualno n = 3) LP-problem maksimuma možemo rješavati tako da potražimo onaj vrh polijedra S, kroz koji prolazi pravac okomit na vektor c = i + 3 j, a koji je najudaljeniji od ishodišta koordinatnog sustava O. Primjedba. Kroz primjere navesti primjere s odgovarajucim slikama: za slučaj neograničenog dopustivog područja za slučaj kada je dopustivo područje prazan skup za slučaj kada se rješenje postiže na strnici poliedra Takodjer nacrtati jedan primjer u trodimenzionalnom području 4. Simpleks metoda Sukladno Teoremu, str.4 točku optimalnog rješenja mogli bi potražiti sljedećim iterativnim postupkom algoritmom. Algoritam. Korak : Odaberemo jedan vrh (početnu aproksimaciju) A i u njemu izračunamo vrijednost funkcije cilja z ; Korak : Za svaki susjedni vrh izračunamo vrijednost funkcije cilja i zadržimo se na onom vrhu u kome smo postigli najveću vrijednost ; Korak 3: Ponavljamo Korak dok god se vrijednost funkcije cilja povećava. za n = broj susjednih vrhova je, a za n = 3 to već može biti puno veći broj

18 Kvantitativne metode 8 Za podatke iz Primjera tijek iterativnog postupka opisanog u Algoritmu je Iteracija Vrh Funkcija cilja Susjedni vrhovi Funkcija cilja (, ) (, 3), (5, ) 9 (5, ) (, ), (4, ) 4 (4, ) 4 (5, ), (, 3) 3 Na taj način određeno je optimalno dopustivo rješenje x = (4, ) T, na kome funkcija cilja postiže optimalnu vrijednost z = 4. Simpleks metodu za traženje optimalno dopustivog rješenja LP-problema maksimuma ilustrirat ćemo na nekoliko primjera. Više se može vidjeti u literaturi navedenoj na kraju teksta. Primjer 9. Razmotrimo ponovo Primjer, odnosno Primjer 8. Maksimizirati z = x + 3x uz uvjete x + 4x 6 x + x x 3 x, x (4.) Lijevim stranama svake nejednakosti dodat ćemo nenegativne veličine (dopunske varijable) s i tako da nejednakosti iz (4.) postanu jednakosti. Dopunske varijable ne smiju utjecati na vrijednost funkcije cilja. Odgovarajući LP-program (4.) tada postaje Maksimizirati z = x + 3x + s + s + s 3 uz uvjete x + 4x + s = 6 x + x + s = x + s 3 = 3 x, x, s, s, s 3 (4.) ili tablicno x x s s s 3 b i x () = [ ], s () = 6 3, z () =, (4.3) U ovom primjeru dopunske varijable s i imaju značenje neiskorištenih kapaciteta. Kao kod Algoritma krenimo od početne aproksimacije: x () = (x (), x() ) = (, ) (vidi Sliku 9). Vektor dopunskih varijabli je s () = (s (), s(), s() 3 ) = (6,, 3), a vrijednost funkcije cilja z () =. Pokrenimo proizvodnju s maksimalno dopustivom količinom proizvoda P (jer, kao što se vidi iz funkcije cilja on donosi veći profit). Proizvodnju proizvoda P za početak nećemo pokrenuti, dakle x () =. Proanalizirajmo koja je to maksimalno dopustiva količina proizvodnje proizvoda

19 Kvantitativne metode 9 P. Budući da neiskorišteni kapaciteti (dopunske varijable) moraju ostati nenegativni, iz (4.) dobivamo 4x = 6 x s 6 = x 6 4 = 4 x = x s = x = x = 3 s 3 3 = x 3 = 3 x 3 4 Dakle, najveća dopustiva količina proizvodnje proizvoda P može biti x () = 3. Tako dobivamo prvu aproksimaciju rješenja x () = (x () ) = (, 3) (vidi Sliku 9). Primijetite da, x() smo tu količinu formalno mogli dobiti promatrajući kvocijente slobodnih koeficijenata sustava (4.) i onih koeficijenata uz varijablu x koji su pozitivni. Od svih takvih kvocijenata izabiremo najmanji min{ 6 4,, 3 } = 3. (, 3) (, 3) 3 S (4, ) (, ) Slika 9: Simplex metoda: kretanje po vrhovima dopustivog područje S Budući da se vrijednost x () = 3 postiže na trećoj jednadžbi sustava (4.), varijablu x izrazit ćemo iz te jednadžbe i uvrstiti u preostale dvije i u funkciju cilja. Na taj način LP-program (4.) postaje odnosno Maksimizirati z = x + 3(3 s 3 ) + s + s + s 3 uz uvjete x + 4(3 s 3 ) + s = 6 x + (3 s 3 ) + s = x + s 3 = 3 x, x, s, s, s 3 Maksimizirati z 9 = x + s + s 3s 3 uz uvjete x + s 4s 3 = 4 x + s s 3 = 7 x + s 3 = 3 x, x, s, s, s 3 (4.4)

20 Kvantitativne metode Ovakvim izborom količine proizvodnje proizvoda P potpuno smo iscrpili treću restrikciju (tržišno ograničenje), pa odgovarajuća dopunska varijabla mora biti s () 3 =. Na taj način sustavom (4.4) potpuno su određene veličine: Sustav (4.4) u tabličnom prikazu glasi x () = (, 3), s () = (4, 7, ), z () = 9. x x s s s 3 b i x () = [ 3 ], s () = 4 7, z () = 9 (4.5) 3 9 Primjedba 3. Razmotrimo formalni put nastajanja tablice (4.5) iz tablice (4.3). Najprije u tablici (4.3) treba izabrati pivot-stupac tako da u posljednjem retku tablice između pozitivnih brojeva potražimo najveći (u našem slučaju to je drugi stupac). Nakon toga u pivot-stupcu treba izabrati pivot-element tako da za sve pozitivne elemente pivot-stupca potražimo minimalni kvocijent između slobodnog koeficijenta i odgovarajućeg koeficijenta u pivot-stupcu. Tako smo odredili pivot-element označen kvadratićem u tablici (4.3). Nakon toga tablicu (4.5) dobivamo primjenom Gaussovih transformacija nad retcima tablice (4.3): treći redak pomnožiti s ( 4) i dodati prvom; treći redak pomnožiti s ( ) i dodati drugom; treći redak pomnožiti s ( 3) i dodati četvrtom. Prijeđimo na traženje sljedeće - druge aproksimacije x () rješenja. Kao što se vidi iz funkcije cilja u (4.4) bolje rješenje moglo bi se potražiti uvođenjem u proizvodnju proizvoda P jer bi to moglo dovesti do povećanja vrijednosti funkcije cilja. Pri tome dopunska varijabla s 3 morala bi biti nula jer se uz nju nalazi negativni koeficijent (u protivnom, to bi dovelo do sniženja vrijednosti funkcije cilja). Iz (4.4) dobivamo x = 4 s 4 = x 4 = x = 7 s 7 = x 7 = 3.5 x 3.5 Dakle, najveća dopustiva količina proizvodnje proizvoda P može biti x () =. Primijetite da smo tu količinu formalno mogli dobiti promatrajući kvocijente slobodnih koeficijenata sustava (4.4) i onih koeficijenata uz varijablu x koji su pozitivni. Od svih takvih kvocijenata izabiremo najmanji min{ 4, 7 } =.

21 Kvantitativne metode Budući da se vrijednost x () = postiže na prvoj jednadžbi sustava (4.4), varijablu x izrazit ćemo iz te jednadžbe (x = s + s 3 ) i uvrstiti u preostale dvije i u funkciju cilja. Na taj način LP-program (4.4) postaje odnosno Maksimizirati z 9 = ( s + s 3 ) 3s 3 uz uvjete x + s 4s 3 = 4 ( s + s 3 ) + s s 3 = 7 x + s 3 = 3 x, x, s, s, s 3 Maksimizirati z 3 = s + s 3 uz uvjete x + s s 3 = s + s + 3s 3 = 3 x + s 3 = 3 (4.6) x, x, s, s, s 3 Kako je s () = i s () 3 =, iz (4.6) možemo pročitati i ostale vrijednosti (vidi također Sliku 9): Sustav (4.6) u tabličnom prikazu glasi x () = (, 3), s () = (, 3, ), z () = 3. x x s s s 3 b i / x () = [ 3 ], s () = 3, z () = 3 (4.7) 3 Razmotrimo formalni put nastajanja tablice (4.7) iz tablice (4.5). Najprije u tablici (4.5) treba izabrati pivot-stupac tako da u posljednjem retku tablice između pozitivnih brojeva potražimo najveći (u našem slučaju on se nalazi u prvom stupcu). Nakon toga u pivot-stupcu treba izabrati pivot-element tako da za sve pozitivne elemente pivot-stupca potražimo minimalni kvocijent između slobodnog koeficijenta i odgovarajućeg koeficijenta u pivot-stupcu. Tako smo odredili pivot-element označen kvadratićem u tablici (4.5). Nakon toga tablicu (4.7) dobivamo primjenom Gaussovih transformacija nad retcima tablice (4.5). Prijeđimo na traženje sljedeće - treće aproksimacije x (3) rješenja. Kao što se vidi iz funkcije cilja u (4.6), može se očekivati da će se funkcija cilja još povećati većim angažiranjem tržišnih mogućnosti (što boljim zadovoljavanjem treće nejednakosti). Istovremeno, vrijednost prve dopunske varijable s mora biti nula jer se uz nju nalazi negativni koeficijent (u protivnom, to bi dovelo do sniženja vrijednosti funkcije cilja). Iz (4.6) dobivamo s 3 = + x = s 3 3s 3 = 3 s 3 = s = s 3 = 3 x 3 = s 3 3 = 3

22 Kvantitativne metode s 3 3 Najveće dopustivo angažiranje tržišta (treće dopunske varijable) smije biti s (3) 3 =. Primijetite da smo tu količinu formalno mogli dobiti promatrajuci kvocijente slobodnih koeficijenata sustava (4.6) i onih koeficijenata uz varijablu s 3 koji su pozitivni. Od svih takvih kvocijenata izabiremo najmanji min{ 3 3, 3 } =. Budući da se vrijednost s (3) 3 = postiže na drugoj jednadžbi sustava (4.6), varijablu s 3 izrazit ćemo iz te jednadžbe (s 3 = + 3 s 3 s ) i uvrstiti u preostale dvije i u funkciju cilja. Na taj način LP-program (4.6) postaje Maksimizirati z 3 = s + ( + 3 s 3 s ) odnosno uz uvjete x + s ( + 3 s 3 s ) = 3 s + 3 s + s 3 = x + ( + 3 s 3 s ) = 3 x, x, s, s, s 3 Maksimizirati z 4 = 3 s 3 s uz uvjete x 6 s + 3 s = 4 3 s + 3 s + s 3 = x + 3 s 3 s = x, x, s, s, s 3 (4.8) Kako je s (3) 3 = i s (3) =, iz (4.8) možemo pročitati i ostale vrijednosti (vidi također Sliku 9): Sustav (4.8) u tabličnom prikazu glasi x (3) = (4, ), s (3) = (,, ), z (3) = 4. x x s s s 3 b i /6 /3 4 /3 /3 /3 /3 /3 /3 4 x (3) = [ 4 ], s (3) =, z (3) = 4 (4.9) Budući da u funkciji cilja (odnosno u zadnjem retku tablice) više nema pozitivnih elemenata koji bi osigurali povećanje funkcije cilja, algoritam je završio i postignuto je optimalno rješenje. Primjedba 4. Iz posljednje simpleks tablice mogu se očitati i optimalne vrijednosti dualnih varijabli (cijene u sjeni): w = 3, w = 3, w 3 =. Interpretirajte njihovo ekonomsko značenje.

23 Kvantitativne metode 3 Primjer. Simpleks metodom treba riješiti sljedeći LP-problem Maksimizirati z = 5x + 4x + 3x 3 uz uvjete x + 3x + x 3 5 4x + x + x 3 3x + 4x + x 3 8 (4.) x, x, x 3 z z O x y x O y Slika : Polijedar iz Primjera Skup mogućih rješenja S (dopustivo područje) u ovom slučaju je konveksni poliedar (konveksni politop jer je ograničen) s vrhovima (,, ), ( 5,, ), (, 5 3, ), (,, ), (,, 4), (,, ), (,, ). prikazan na Slici. Budući da se maksimum funkcije cilja postiže na barem jednom vrhu ovog konveksog poliedra, jedna mogućnost je provjeriti njenu vrijednost u svim vrhovima. I u ovom slučaju to je lako jer je broj vrhova malen: Vrhovi (,, ) ( 5,, ) (, 5 3, ) (,, ) (,, 4) (,, ) (,, ) Funkcija cilja Dakle, maksimum funkcije cilja postiže se u točki (,, ) i iznosi 3. Primijenimo simpleks metodu na rješavanje ovog LP-problema. Lijevim stranama svake nejednakosti dodat ćemo nenegativne veličine (dopunske varijable) s i tako da nejednakosti iz (4.) postanu jednakosti. Dopunske varijable ne smiju utjecati na vrijednost funkcije cilja. Odgovarajući LP-program (4.) postaje Maksimizirati z = 5x + 4x + 3x 3 + s + s + s 3 uz uvjete x + 3x + x 3 + s = 5 4x + x + x 3 + s = 3x + 4x + x 3 + s 3 = 8 (4.) x i, s i

24 Kvantitativne metode 4 ili tablično x x x 3 s s s 3 b i x () =, s () = 5 8, z () =, (4.) Kao kod Algoritma krenimo od početne aproksimacije: x () = (x (), x(), x() 3 ) = (,, ) (vidi Sliku ). Vektor dopunskih varijabli je s () = (s (), s(), s() 3 ) = (5,, 8), a vrijednost funkcije cilja z () =. Pokrenimo proizvodnju s maksimalno dopustivom količinom proizvoda P (jer, kao što se vidi iz funkcije cilja on donosi veći profit). Proizvodnju proizvoda P, P 3 za početak nećemo pokrenuti, dakle x () = x () 3 =. Proanalizirajmo koja je to maksimalno dopustiva količina proizvodnje proizvoda P. Budući da neiskorišteni kapaciteti (dopunske varijable) moraju ostati nenegativni, iz (4.) dobivamo x = 5 3x x 3 s 5 = x 5 =.5 4x = x x 3 s = x 4 =.75 3x = 8 4x x 3 s 3 8 = x 8 3 =.667 Dakle, najveća dopustiva količina proizvodnje proizvoda P može biti x () =.5. Tako dobivamo prvu aproksimaciju rješenja x () = (x (), x(), x() 3 ) = (.5,, ) (vidi Sliku ). Primijetite da smo tu količinu formalno mogli dobiti promatrajući kvocijente slobodnih koeficijenata sustava (4.) i onih koeficijenata uz varijablu x koji su pozitivni. Od svih takvih kvocijenata izabiremo najmanji min{ 5, 4, 8 3 } = 5. Budući da se vrijednost x () =.5 postiže na prvoj jednadžbi sustava (4.), varijablu x izrazit ćemo iz te jednadžbe i uvrstiti u preostale dvije i u funkciju cilja. Na taj način LP-program (4.) postaje Maksimizirati z.5 = 7 x + x 3 5 s + s + s 3 uz uvjete x + 3 x + x 3 + s = 5 5x s + s = (4.3) x + x 3 3 s + s 3 = x i, s i Ovakvim izborom količine proizvodnje proizvoda P potpuno smo iscrpili prvu restrikciju pa odgovarajuća dopunska varijabla mora biti s () =. Na taj način sustavom (4.3) potpuno su određene veličine: x () = ( 5,, ), s() = (,, ), z() =.5.

25 Kvantitativne metode 5 Sustav (4.3) u tabličnom prikazu glasi x x x 3 s s s 3 b i x () =.5, s () =, z () =.5 (4.4) Prijeđimo na traženje sljedeće - druge aproksimacije x () rješenja. Kao što se vidi iz funkcije cilja u (4.3) bolje rješenje moglo bi se potražiti uvođenjem u proizvodnju proizvoda P 3 jer bi to moglo dovesti do povećanja vrijednosti funkcije cilja. Pri tome varijabla x i dopunska varijabla s morale bi biti nula jer se uz njih nalazi negativni koeficijent (u protivnom, to bi dovelo do sniženja vrijednosti funkcije cilja). Iz (4.3) dobivamo x 3 = 5 x 5 = x 3 5 x 3 = s 3 = x 3 Dakle, najveća dopustiva količina proizvodnje proizvoda P 3 može biti x () 3 =. Tako dobivamo drugu aproksimaciju rješenja x () = (x (), x(), x() 3 ) = (,, ) (vidi Sliku ). Primijetite da smo tu količinu formalno mogli dobiti promatrajući kvocijente slobodnih koeficijenata sustava (4.3) i onih koeficijenata uz varijablu x 3 koji su pozitivni. Od svih takvih kvocijenata izabiremo najmanji min{ 5, } =. Budući da se vrijednost x () 3 = postiže na trećoj jednadžbi sustava (4.3), varijablu x 3 izrazit ćemo iz te jednadžbe i uvrstiti u preostale dvije i u funkciju cilja. Na taj način LPprogram (4.3) postaje Maksimizirati z 3 = 3x s + s s 3 uz uvjete x + x + s s 3 = 5x s + s = x + x 3 3s + s 3 = x i, s i (4.5) Ovakvim izborom količine proizvodnje proizvoda P 3 potpuno smo iscrpili treću restrikciju pa odgovarajuća dopunska varijabla mora biti s () 3 =. Na taj način sustavom (4.5) potpuno su određene veličine: Sustav (4.5) u tabličnom prikazu glasi x () = (,, ), s () = (,, ), z () = 3. x x x 3 s s s 3 b i x () =, s () =, z () = 3. (4.6)

26 Kvantitativne metode 6 Budući da u funkciji cilja (odnosno u zadnjem retku tablice) više nema pozitivnih elemenata koji bi osigurali povećanje funkcije cilja, algoritam je završio i postignuto je optimalno rješenje. Primjedba 5. Iz posljednje simpleks tablice mogu se očitati i optimalne vrijednosti dualnih varijabli (cijene u sjeni): w =, w =, w 3 =. Interpretirajte njihovo ekonomsko značenje. Primjer. Simpleks metodom rijesimo LP-problem iz Primjera 4 3 Maksimizirati z = 4x + 8x + 5x 3 + x 4 + 9x 5 + 7x 6 uz uvjete 4x + 8x + 5x 3 x 4 + 9x 5 + 7x 6 8 x + x 4 8 x + x 5 x 3 + x 6 6 x i x x x 3 x 4 x 5 x 6 s s s 3 s 4 s 5 b i x () =, s () = 8 8 6, z() =. x x x 3 x 4 x 5 x 6 s s s 3 s 4 s 5 b i x () =, s () = 8 6, z() = 8. x x x 3 x 4 x 5 x 6 s s s 3 s 4 s 5 b i x () =, s () = , z() = 96. x x x 3 x 4 x 5 x 6 s s s 3 s 4 s 5 b i x (3) = 8 7, s (3) = , z(3) = Kako bi se zadržala što jednostavnija forma tablice sa što manje razlomaka, retci u kojima su se pojavili razlomci pomnoženi su sa zajedničkim nazivnikom.

27 Kvantitativne metode 7 x x x 3 x 4 x 5 x 6 s s s 3 s 4 s 5 b i x (4) = , s (4) = , z(4) = Primjeri 4 Primjer. (Martić, 97) Za zadanu matricu tehnologije (Tablica 6) treba odrediti optimalni proizvodni program koji će maksimizirati korištenje kapaciteta strojeva. Inputi Proizvodi Kapaciteti P P strojeva Stroj S 8 Stroj S 3 8 Stroj S 3 4 Ukupno Tablica 6: Podaci o proizvodnji Primarni LP problem: max (4x + 5x ) uz uvjete x + x 8 x + 3x 8 x + x 4 x, x Slika : Grafičko rješavanje LP problema iz Primjera 4 Za rješavanje i analizu LP-problema može se koristiti i besplatni software LINDO dostupan na lindo.com/

28 Kvantitativne metode 8 (x i, y i ) (, ) (, 6) (3, 5) (6, ) (7, ) (4, 4) f(x i, y i ) Rješenje: x = (3, 5) T, z = 37. Dualni LP problem: min (8y + 8y + 4y 3 ) y + y + y 3 4 y + 3y + y 3 5 y, y, y 3. uz uvjete Rješenje: y = (3.5,.5, ) T, z = 37. Značenje: pogledajmo kakav bi efekt proizvelo povečanje kapaciteta stroja S za : (8 + )y + 8y + 4y 3 = 37 + y = , Dakle, dualna varijabla y pokazuje za koliko bi se povećala vrijednost funkcije cilja ako bi prvu restrikciju (kapacitet stroja S ) povečali za. Za koliko bi se povećala vrijednost funkcije cilja (ukupno korištenje strojeva) ako bi raspoloživi kapacitet strojeva S i S uvečali za %? (Ukupni kapacitet povećao bi se za = 37) Što bi se dogodilo ako bi kapacitet stroja S 3 povećali, a kapacitete strojeva S i S zadržali? (Ništa se ne bi promijenilo jer je treća dualna varijabla y 3 = ) Primjer 3. Treba riješiti primarni i dualni LP-problem iz Primjera 4 (Martić, 97). Rješenje primarnog problema: x = (,, 4 8 5,,, 7 )T, z = 38. Formulirajte odgovarajući dualni LP-problem. Rješenje dualnog problema: y = (,,,, ) T, z = 38. Primjer 4. (Martić, 97) Promatramo prethodni problem maksimalnog korištenja raspoloživog materijala u proizvodnji (primjerice, u mesnoj industriji) uz maksimiranje profita navedenog u Tablici 7. Inputi Profit P P P 3 Materijal M 5 3 Materijal M Tablica 7: Porofit po vrstama materijala i jedinici proizvoda Uz ograničenja kao u Primjeru 4 treba maksimizirati sljedeću funkciju cilja max (x + 5x + 3x 3 + 8x 4 + 7x 5 + 4x 6 ) Rješenje primarnog problema: x = (, 78 9, , 8, 9, )T, z = = Formulirajte odgovarajući dualni LP-problem. Rješenje dualnog problema: y = (6, 68 9, 6 9,, )T, z = = Tekst koji slijedi nije kontroliran i treba ga uzeti s rezervom!

29 Kvantitativne metode 9 Inputi Vrste cigareta Kapaciteti P P P 3 P 4 P 5 Stroj S Stroj S Stroj S Stroj S Tržišna ograničenja Profit Tablica 8: Proizvodnja cigareta Primjer 5. (Martić, 97) Promatramo problem optimizacije proizvodnog programa jedne tvornice cigareta. Proizvodnja se obavlja na 4 stroja s kapacitetima i matricom tehnologije prikazanoj u Tablici 8. U tablici su također navedena tržišna ograničenja i profit po vrstama cigareta. Primarni LP problem: max (4x + 95x + 85x 3 + 8x 4 + 5x 5 ) 9.8x + 9.6x + 9.4x x x x + 8.6x + 8.6x x x x x x x x x + 5.x + 5.x x x 5 69 x. x 64 x x 4 98 x x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 Rješenje primarnog problema: x = (, 64, 98.4, 9.337, ) T, z = Formulirajte odgovarajući dualni LP-problem. uz uvjete Rješenje dualnog problema: y = (,,,.84,, 5, 5,, ) T, z = Zbog čega cigarete P 5 ne ulaze u optimalni proizvodni program? Uputa: Matricu tehnologije svedite na jedinica profita za svaku vrstu cigareta (prvi stupac pomnožite sa i podijelite s 4 itd.) ili razmotrite dualni problem. Primjer 6. (Martić, 97) Promatramo proizvodnju jednog proizvoda koji je sastavljen od dvije komponente K, K u omjeru :. Treba odrediti optimalni proizvodni program ovih komponenti tako da je svakog dana moguće proizvest maksimalni broj gotovih proizvoda. Komponente K, K proizvode se na tri stroja S, S, S 3 prema matrici tehnologije navedene u Tablici 9. Optimizacija proizvodnje ovisi o produktivnosti svakog stroja. Neka je x i dnevna količina proizvodnje komponente K i na stroju S, i =, x +i dnevna količina proizvodnje komponente K i na stroju S, i =, x 4+i dnevna količina proizvodnje komponente K i na stroju S 3, i =,

30 Kvantitativne metode 3 Strojevi Komponente Kapaciteti K K Stroj S Stroj S Stroj S 3 8 Tablica 9: Vrijeme (sati) potrebno za proizvodnju komponenti K, K Produktivnost stroja S prilikom proizvodnje komponenta K zadana je s 4 8, a prilikom proizvodnje komponenta K s 4 4. Slično se može izračunati i produktivnost strojeva S i S 3. Zato funkciju cilja definiramo na sljedeći način: Primarni LP problem: z = 4 8 x x x x x x 6 max (3x + 6x + 6x 3 + 4x 4 + 8x 5 + 4x 6 ) 8x + 4x 4 4x 3 + 6x 4 4 x 5 + x 6 8 x + x 3 + x 5 x x 4 x 6 = x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 uz uvjete Rješenje primarnog problema: x = (, 6,., 3., 8, ) T, z =. (dobiveno Mathematica programom) Rješenja nisu cjelobrojna, kao što zahtijeva problem. Ipak, u ovom slučaju i ovo necjelobrojno rješenje ima smisla jer možemo reći da svakih 5 dana treba proizvesti x = (, 3, 6, 6, 4, ) T, uz z = 6. Kako se u ovom slučaju može definirati cjelobrojni optimalni proizvodnbi program? Formulirajte odgovarajući dualni LP-problem. Rješenje dualnog problema: y = (,, 6, ) T, z =. Kakva su značenja dualnih varijabli u ovom slučaju? Zadatak 3. (Martić, 97) Treba odrediti optimalni proizvodni program u jednoj tvornici mliječnih proizvoda, gdje se proizvodi 5 vrsta mliječnih proizvoda na 4 stroja sukladno matrici tehnologije navedene u Tablici. Optimizacija se treba provesti prema dva kriterija: (a) Maksimalno korištenje kapaciteta; (b) Maksimizacija profita ako se zna da je profit po jedinici proizvoda redom:,, 6, 8, 6, uz tržišna ograničenja na proizvode redom:, 6,.5, 5,. Rješenje primarnog problema: (a) x = (, 76.58,, , ) T, z = 84. Formulirajte odgovarajući dualni LP-problem. Rješenje dualnog problema: y = (.4749,.,.7, ) T, z = 84. Kakva su značenja dualnih varijabli u ovom slučaju? (b) x = (, 6,.5, 5, ) T, z = 35. Formulirajte odgovarajući dualni LP-problem. Rješenje dualnog problema: y = (,,,,,, 6, 8, 6) T, z = 35. Kakva su značenja dualnih varijabli u ovom slučaju?

31 Kvantitativne metode 3 Inputi Vrste mlijeka Kapaciteti P P P 3 P 4 P 5 Stroj S Stroj S 6 35 Stroj S Stroj S Tablica : Proizvodnja mliječnih proizvoda Zadatak 4. (Martić, 97) Na jednom stroju radeći 45 sati tjedno, mogu se proizvesti 3 različita proizvoda. Profit po proizvodima P, P, P 3 je redom: 4,, 3. Za jedan sat rada stroj izradi 5 jedinica proizvoda P ili 5 jedinica proizvoda P ili 75 jedinica proizvoda P 3. Tržišna ograničenja proizvoda su redom:, 5, 5. Odredite tjedni optimalni proizvodni program koji će maksimizirati profit. Rješenje primarnog problema: x = (5, 5, 5) T, z = 5. Formulirajte odgovarajući dualni LP-problem. Rješenje dualnog problema: y = (,, 4, 3.333) T, z = 5. Kakva su značenja dualnih varijabli u ovom slučaju? Zadatak 5. (Martić, 97) U nekom poduzeću proizvode se tri proizvoda P, P, P 3 na bazi sirovina S, S prema niže navedenoj matrici tehnologije. Poduzeće mjesečno treba proizvesti barem 3 komada proizvoda P, barem 5 komada proizvoda P i barem 4 komada proizvoda P 3. Odredite optimalni proizvodni program koji će minimizirati troškove proizvodnje. S S Količina P 3 P 5 5 P 3 4 Cijene 5 Rješenje primarnog problema: x = (, ) T, z = 65. Formulirajte odgovarajući dualni LP-problem. Rješenje dualnog problema: y = (5,, 5) T, z = 65. Kakva su značenja dualnih varijabli u ovom slučaju? z = min(5x + x ) uz uvjete x + x 3 x + 5x 5 x + x 4 x, x Primjer 7. (Sierksma, ) Neko poduzeće proizvodi kutije kratkih i dugih šibica; Profit po kutiji dugih šibica je 3 $, a po kutiji kratkih šibica $; Stroj koji se koristi u proizvodnji može proizvesti 9 kutija kratkih ili dugih šibica; Po kutiji dugih šibica potrebno je 3m 3, a po kutiji kratkih m 3 drva; Poduzeće godišnje raspolaže s 8 m 3 drva; Tržišna ograničenja za broj kutija dugih 7 i kutija kratkih šibice 6 x broj kutija dugih šibica u

32 Kvantitativne metode 3 x broj kutija kratkih šibica u max(3x + x ) x + x 9 3x + x 8 x 7 x 6 uz uvjete x, x Rješenje: z =.5 uz x = x = Mijenja li se rješenje ako se uvede dodatno ograničenje da poduzeće u sljedećoj godini po ugovoru mora proizvesti barem 5 kutija bilo dugih bilo kratkih šibica?. Kako se mijenja rješenje ako se promijeni funkcija cilja z = x + x? Primjer 8. (Neralić, 3) Problem proizvodnje Inputi Proizvodi Kapaciteti P P resursa (b i ) Stroj S 6 Stroj S Stroj S 3 8 Profit (c j ) 5 Tablica : Podaci o proizvodnji max(x + 5x ) x + x 6 4x + 5x 5 x 8 uz uvjete x, x Rješenje: x = 5, x = 8, z = 5. Primjedba: Strojevi S, S 3 su u potpunosti iskorišteni, a stroj S ima slobodni kapacitet od 3 sati. Dualni problem: min(6w + 5w + 8w 3 ) w + 4w w + 5w + w 3 5 uz uvjete w, w, w 3 Rješenje: w =, w =.5, w 3 =.5, z = 5. (objasniti dualne cijene, cijene u sjeni, oportunitetni troskovi ) Zadatak 6. Postavite LP za sljedeći problem proizvodnje (a) Geometrijski riješite ovaj LP.

33 Kvantitativne metode 33 Inputi Proizvodi Kapaciteti P P resursa (b i ) Stroj S 3 Stroj S 5 Profit (c j ).5 Tablica : Podaci o proizvodnji (b) Ako je kapacitet prvog stroja b = fiksan, a kapacitet drugog stroja poraste na b =, kako će se promijeniti optimalno rješenje? Što će se dogoditi ako je b >? (c) Postavite, riješite i diskutirajte odgovarajući dualni problem. Primjer 9. (Problem prehrane)(martić, 966; Neralić, 3) Treba definirati program prehrane grupe ljudi (primjerice vojske), tako da jelovnik bude raznolik, da sadrzava dovoljnu kolicinu potrebnih hranjivih sastojaka (bjelancevina, masti, vitamina, ugljikohidrata,... ), a da izdaci za sirovine budu minimalni; H,..., H n prehrambeni artikli na tržištu b j tržišna cijena prehrambenog artikla H j ; E,..., E n hranjivi sastojci; c i minimalni zahtjev za hranjivim sastojkom E i ; a ij količina hranjivog sastojka E i u jednoj jedinici prehrambenog artikla H j ; y j količina prehrambenog artikla H j ; Hranjivi H H... H n Minimalni sastojci zahtjevi E a a... a n c E a a... a n c E m a m a m... a mn c m Cijene: b b... b n Tablica 3: Podaci o prehrani min y,...,y n j= n b j y j uz uvjete n y j a ij c i, i =,..., m, j= y,..., y n Zadatak 7. Raspolažemo s dva prehrambena artikla: kruh i sir i kontroliramo samo dva hranjiva sastojka: kalorije i proteini. Poznato je da lb 5 kruha sadrži oko kalorija i 5 g proteina, a lb sira kalorija i g proteina. Standardna hrana za dan treba sadržavati barem 3 kalorija i g proteina. (a) Ako je cijena kruha 6 kn, a sira kn po lb, kako bi izgledala optimalna prehrana? Je li to jedino optimalno rješenje? Koliki su minimalni troškovi ishrane? 5 lb: funta pola kilograma

34 Kvantitativne metode 34 (b) Ako se cijena kruha poveća na.5 kn, a cijena sira ostane nepromijenjena, koliko se u tom slučaju može sastaviti optimalnih programa prehrane i koji su to programi? Koliki su troškovi svakog od tih programa? (c) Pokažite da problem prehrane ima beskonačno mnogo rješenja ako je cijena kruha 6 kn, a sira 4 kn po lb. Koji od tih optimalnih programa sadrži najmanje kruha? (d) Neka je p cijena kruha, a p cijena sira. Pokažite da optimalni program prehrane sadrži samo kruh ako je p < 4 p, a samo sir ako je p > p. U kojem intervalu mora biti cijena kruha p, da bi i kruh i sir bili u optimalnom programu? U kojem odnosu su cijene kruha i sira u slučaju postojanja više optimalnih rješenja? (d) Formulirajte dualni problem i diskutirajte ga. Što su u ovom slučaju cijene u sjeni? Primjer. (Problem transporta)(martić, 966; Neralić, 3) Iz m ishodišta (skladišta) neku robu treba transportirati u n odredišta (trgovina), tako da ukupni transportni troškovi budu minimalni; a,..., a m količina robu u ishodištima b,..., b n potražnja robe po odredištima; c ij cijena prevoza jedne jedinice robe iz ishodišta a i u odredište b j ; x ij količina robe koju se namjerava prevesti iz ishodišta a i u odredište b j ; I/O b b... b n a c c... c n a c c... c n a m c m c m... c mn Tablica 4: Podaci o transportu Pokažite da vrijedi min x ij n j= i= m c ij x ij uz uvjete n x ij a i, i =,..., m, j= m x ij b j, j =,..., n, i= j= x ij n m b j Zadatak 8. Konstruirajte jedno moguce rjesenje za problem transporta ako je (a) a =, a = 4, b = 3, b = 8, b 3 = 9. (b) a =, a = 4, b = 5, b = 9, b 3 =. 6 Povijesni pregled Smatra se da je potrebne osnove za rješavanje problema linearnog programiranja dao francuski matematičar J. B. J. Fourier 87. godine u radu o rješavanju sustava linearnih nejednadžbi. Problem linearnog i= a i