Pellova jednadžba. Pell s equation

Size: px
Start display at page:

Download "Pellova jednadžba. Pell s equation"

Transcription

1 Osječki matematički list 8(2008), STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove jednadžbe x 2 dy 2 =1te njenu usku povezanost sa diofantskim aproksimacijama i verižnim razlomcima. Ključne riječi: Pellova jednadžba, verižni razlomak Pell s equation Abstract. This article contains solved examples and problems which are reduced to the study of the set of solutions of Pell s equation x 2 dy 2 =1and their tight connection to diophantine approximation and continued fractions. 1. Uvod Key words: Pell s equation, continued fraction Algebarska jednadžba dvijuili više varijabli s cjelobrojnim koeficijentima kod koje se traže cjelobrojna ili racionalna rješenja naziva se diofantska jednadžba. Diofantska jednadžba x 2 dy 2 =1 (1) gdje je d prirodan broj koji nije potpun kvadrat, naziva se Pellova jednadžba. Ako je d potpun kvadrat, tj. d = c 2, c Z onda iz slijedi x 2 dy 2 =(x cy)(x + cy) =1 (x cy) =(x + cy) =±1. Utomslučaju imamo trivijalna rješenja x = ±1, y =0. Jednadžba je dobila ime po engleskom matematičaru Johnu Pellu ( ) studentica Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Trg Ljudevita Gaja 6, HR Osijek, imandic@mathos.hr Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Trg Ljudevita Gaja 6, HR Osijek, isoldo@mathos.hr

2 30 Pellova jednadžba kojemu je Leonhard Euler ( ), po svemu sudeći, pogrešno pripisao zasluge za njezino rješavanje. Neke pojedinačne jednadžbe ovog tipa nalaze se u tekstovima starogrčkih matematičara Arhimeda (287. pr. Kr pr. Kr.) i Diofanta (200. po. Kr po. Kr.). Ipak, prvi su ih sustavno proučavali srednjovjekovni indijski matematičari. Europski matematičari koji su dali metode za rješavanje Pellovih jednadžbi su Pierre de Fermat ( ), Leonhard Euler ( ) i Joseph Louis Lagrange ( ) koji je prvi dao i strogi dokaz korektnosti predložene metode. U članku ćemo pokazati neke primjere i probleme koji se svode na rješavanje Pellove jednadžbe. 2. Pellova jednadžba x 2 dy 2 =1 Pri rješavanju Pellove jednadžbe prirodno je pitati se koliko ona ima rješenja. Neka je S = {(x n,y n ):n, x n,y n N} skup rješenja Pellove jednadžbe. Ured eni par (x 1,y 1 ), x 1 = min {x n : x n N}, y 1 = min {y n : y n N} koji zadovoljava jednadžbu (1) zove se njeno fundamentalno rješenje. Tojenajmanjerješenje te iste jednadžbe u prirodnim brojevima. Ponekad ga označavamo i x 1 + y 1 d. Sljedeći teorem daje nam broj rješenja i odnos fundamentalnog i svih drugih rješenja Pellove jednadžbe (1). Teorem 1. Pellova jednadžba x 2 dy 2 =1ima beskonačno mnogo rješenja. Ako je (x 1,y 1 ) njeno fundamentalno rješenje, onda su sva rješenja ove jednadžbe u prirodnim brojevima dana sa x n + y n d =(x1 + y 1 d) n, n N. (2) Dokaz teorema može se pronaći u [1]. Primjer 1. Nad ite sva rješenja Pellove jednadžbe x 2 3y 2 =1. Fundamentalno rješenje Pellove jednadžbe x 2 3y 2 =1je(x 1,y 1 ) = (2, 1). Prema Teoremu 2.1 sva rješenja dana su sa x n + y n 3=(2+ 3) n, n N pa jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja u N. Iz (2) lako dobivamo (x n+1 + y n+1 d)(x1 + y 1 d) = xn+2 + y n+2 d, (x n+1 + y n+1 d)(x1 y 1 d) = xn + y n d. Sada izjednačavanjem slobodnih članova imamo x n+2 = x 1 x n+1 + dy 1 y n+1, x n = x 1 x n+1 dy 1 y n+1, odakle zbrajanjem dobivamo rekurziju x n+2 =2x 1 x n+1 x n. Analognim računom, tj. izjednačavanjem članova uz d i zbrajanjem dobivamo rekurziju y n+2 =2x 1 y n+1 y n.započetnu iteraciju uzima se trivijalno rješenje jednadžbe (1), (x 0,y 0 )=(1, 0).

3 Ivona Mandić, Ivan Soldo 31 Zadatak 1. Neka je (x n,y n ) rastući niz rješenja Pellove jednadžbe (1) u prirodnim brojevima. Pokažite da za sve prirodne brojeve m, n vrijedi x n+m = x m x n + dy m y n, y n+m = x m y n + y m x n, x 2m = 1 ( xm + dy ) m. y 2m 2 y m x m Dokaz provedimo indukcijom po m. Uvrštavanjem m = 1 u prve dvije jednakosti dobivamo x n+1 = x 1 x n + dy 1 y n, y n+1 = x 1 y n + y 1 x n. Prema prethodnom računu, izjednačavanjem slobodnih članova i članova uz d, gornje jednakosti vrijede za svaki prirodni broj n. Pretpostavimo da jednakosti vrijede za m = k, tj. x n+k = x k x n + dy k y n, y n+k = x k y n + y k x n. Pokažimo istinitost za m = k + 1. Koristeći rezultate baze i pretpostavke indukcije slijedi x n+k+1 = x 1 x n+k + dy 1 y n+k = x 1 (x k x n + dy k y n )+dy 1 (x k y n + y k x n ). Množenjem i grupiranjem članova dobivamo x n+k+1 = x n (x 1 x k + dy 1 y k )+dy n (x 1 y k + y 1 x k )=x k+1 x n + dy k+1 y n. Time je dokazana prva jednakost. Analognim računom lako se pokaže i istinitost druge jednakosti, tj. y n+k+1 = x k+1 y n + y k+1 x n. Posljednju jednakost dobivamo dijeljenjem prve jednakosti drugom, uz uvjet m = n. x 2m = x mx m + dy m y m = 1 ( xm + dy ) m. y 2m 2x m y m 2 y m x m Zadatak 2. Neka su m i d proizvoljni prirodni brojevi i d nije potpun kvadrat. Pokažite da postoji beskonačno mnogo rješenja Pellove jednadžbe x 2 dy 2 =1pri čemu je y djeljiv s m. Neka je y djeljiv s m. To znači da postoji k Z takav da je y = mk, m N. Trebamo pokazati da Pellova jednadžba x 2 dy 2 = 1 uz taj uvjet ima beskonačno mnogo rješenja. Uvrštavanjem dobivamo jednadžbu x 2 d(mk) 2 = 1.

4 32 Pellova jednadžba Sada, kvadriranjem i grupiranjem imamo x 2 (dk 2 )m 2 = 1. Označimo d := dk 2. Dobivamo jednadžbu x 2 d m 2 =1, (3) d nije potpun kvadrat ( jer d nije potpun kvadrat ). Primjenom Teorema 2.1 jednadžba (3) ima beskonačno mnogo rješenja u N. Time je tvrdnja zadatka u potpunosti pokazana. Zadatak 3. Pokažite da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva n sa svojstvom da je suma prvih n prirodnih brojeva jednaka kvadratu nekog prirodnog broja. Nad ite barem 2 prirodna broja s tim svojstvom. Vrijedi n i = m 2, tj. i=1 n(n +1) 2 Sada, množenjem s 8 dobivamo = m 2. Svod enjem na potpuni kvadrat imamo odnosno 4n 2 +4n = 8m 2. (2n +1) 2 1 = 8m 2, (2n +1) 2 8m 2 = 1. Uvedimo supstituciju x = 2n + 1, y = m. Sada se problem svodi na odred ivanje broja rješenja Pellove jednadžbe x 2 8y 2 =1. Prema Teoremu 2.1 gornja jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja u N. Fundamentalno rješenje je očito (x 1,y 1 )=(3, 1). Stoga iz 2n 1 +1 =x 1 slijedi n 1 =1, m 1 = 1. Zaista, vrijedi 1 = 1 2. Sva rješenja jednadžbe x 2 8y 2 = 1 dana su sa x k + y k 8=(3+ 8) k, k N.

5 Ivona Mandić, Ivan Soldo 33 Nekajenpr.k=2.Sadaje x 2 + y 2 8=(3+ 8) 2 = Stoga je 2n 2 +1 = x 2 =17pajen 2 =8,m 2 = 6. Zaista, vrijedi 8 i=1 i =62. Analogno, možemo pronaći beskonačno mnogo parova (n, m) takodaje n i=1 i = m 2. Teorem 2.1 nam pokazuje kako možemo generirati sva rješenja Pellove jednadžbe x 2 dy 2 = 1 ukoliko znamo njeno fundamentalno rješenje. Med utim, pitanje je kako naći to fundamentalno rješenje? Jedna mogućnost je uvrštavajući redom y = 1, 2, 3,... iprovjeravajući je li dy potpun kvadrat. No, već izarelativno male d - ove fundamentalno rješenje može biti vrlo veliko. Primjerice, za d =94 fundamentalno rješenje je Stoga je potrebno naći efikasniji način za nalaženje fundamentalnog rješenja. Jedan način nalaženja fundamentalnog rješenja je korištenje verižnih razlomaka. Naime, svako netrivijalno rješenje jednadžbe x 2 dy 2 = 1 inducira jako dobru aproksimaciju iracionalnog broja d. Zaista, x d y = x y d y = x y d y x + y d x + y d = x 2 dy 2 xy + y 2 d = 1 y x + y d < 1 2 dy. 2 Poznato je da se sve jako dobre racionalne aproksimacije realnog broja mogu dobiti iz njegovog razvoja u verižni razlomak. Neka je α R. Izraz oblika α = a a a 2 + gdje su a 0 Z, a 1,a 2, N, zoveserazvojbrojaα u jednostavni verižni razlomak. Verižni razlomak kraće zapisujemo u obliku [a 0 ; a 1,a 2,...]. Brojevi a 0,a 1,... zovu se parcijalni kvocijenti i definiraju se s: a 0 = α,α= a α 1,a 1 = α 1,α 1 = a α 2,... Postupak se nastavlja sve dok je a k α k. Razvoj u jednostavni verižni razlomak broja α je konačan ako i samo ako je α racionalan broj. Racionalne brojeve p k 1 = a 0 + q k a 1 + a =[a 0 ; a 1,...,a k ] a k...

6 34 Pellova jednadžba Brojnici i nazivnici konvergenti zadovol- zovemo konvergente verižnog razlomka. javaju sljedeće rekurzije: p n+2 = a n+2 p n+1 + p n, p 0 = a 0,p 1 = a 0 a 1 +1, (p 1 =1,p 2 =0), (4) q n+2 = a n+2 q n+1 + q n,q 0 =1,q 1 = a 1, (q 1 =0,p 2 =1). (5) Za svako rješenje Pellove jednadžbe x 2 dy 2 =1, x y je neka konvergenta u razvoju od d uverižni razlomak. Broj d je kvadratna iracionalnost pa mu je razvoj periodičan. On ima razvoj oblika d =[a0 ; a 1,a 2,...,a l 1, 2a 0 ] gdje je a 0 = d. Precizni rezultati i veze verižnih razlomaka s diofantskim aproksimacijama i jednadžbama mogu se naćiu[1]i[2]. Sada navedimo algoritam za razvoj kvadratnih iracionalnosti u verižni razlomak: Neka je α kvadratna iracionalnost. Prikažimo je u obliku α = s0+ d t 0 gdje su d, s 0,t 0 Z, t 0 0,d nije potpun kvadrat i t 0 (d s 2 0). Ako je α = d, onda je s 0 =0,t 0 =1. Brojevea i računamo rekurzivno na sljedeći način: a i = s i + a 0, s i+1 = a i t i s i, t i+1 = d s2 i+1. t i t i Može se pokazati da je razvoj u verižni razlomak periodičan i da je duljina perioda l(d) < 2d [vidi [1]]. Koristeći razvoj u verižni razlomak pokazuje se da Pellova jednadžba uvijek ima beskonačno rješenja. Bez dokaza navedimo sljedeći teorem: Teorem 2. Neka je l duljina perioda u razvoju d. Ako je l paran, sva rješenja od x 2 dy 2 =1dana su sa (x, y) =(p nl 1,q nl 1 ), n N. Posebno, fundamentalno rješenje je (p l 1,q l 1 ). Ako je l neparan, sva rješenja od x 2 dy 2 =1dana su sa (x, y) =(p 2nl 1,q 2nl 1 ), n N. Posebno, fundamentalno rješenje je (p 2l 1,q 2l 1 ). Primjer 2. Razvijte 15 u verižni razlomak. s 0 =0,t 0 =1,a 0 =3, s 1 = a 0 t 0 s 0 =3,t 1 = 15 s2 1 t 0 =6,a 1 = s1+a0 t 1 = =1, s 2 =3,t 2 =1,a 2 = =6, s 3 =3,t 3 =6. Vidimo da je (s 1,t 1 )=(s 3,t 3 )paje 15 = [3, 1, 6]. Primjer 3. Razvijte 29 u verižni razlomak. s 0 =0,t 0 =1,a 0 =5, s 1 = a 0 t 0 s 0 =5,t 1 = 29 s2 1 t 0 s 2 =3,t 2 =5,a 2 = =1, =4,a 1 = s1+a0 t 1 = =2,

7 Ivona Mandić, Ivan Soldo 35 s 3 =2,t 3 =5,a 3 = =1, s 4 =3,t 4 =4,a 4 = =2, s 5 =5,t 5 =1,a 5 = = 10, s 6 =5,t 6 =4. Jer je (s 1,t 1 )=(s 6,t 6 ), vrijedi 29 = [5, 2, 1, 1, 2, 10]. Zadatak 4. Nad ite sva rješenja jednadžbe x 2 15y 2 =1za koja je 1 <x< Prema prethodnom primjeru je 15 = [3, 1, 6]. Dakle, period l = 2 je paran. Najmanje rješenje jednadžbe x 2 15y 2 =1je(x 1,y 1 )=(4, 1). Nadalje je x 2 = 8 4 1=31,y 2 =8, x 3 = = 244, y 3 =63, x 4 je već veći od Prema tome, sva rješenja koja zadovoljavaju traženi uvjet su (x, y) =(4, 1), (31, 8), (244, 63). Zadatak 5. Nad ite najmanje rješenje jednadžbe x 2 29y 2 =1uprirodnim brojevima. Iz razvoja 29 u verižni razlomak očito je period l = 5 neparan. Prema tome fundamentalno rješenje jednadžbe je (x 1,y 1 )=(p 2l 1,q 2l 1 )=(p 9,q 9 ). Računamo: p 0 = a 0 =5,q 0 =1, p 1 = a 0 a = 11, q 1 = a 1 =2, p 2 = a 2 p 1 + p 0 = 16, q 2 = a 2 q 1 + q 0 =3, p 3 = a 3 p 2 + p 1 = 27, q 3 = a 3 q 2 + q 1 =5, p 4 = 70, q 4 = 13, p 5 = 727, q 5 = 135, p 6 = 1524, q 6 = 283, p 7 = 2251, q 7 = 418, p 8 = 3775, q 8 = 701, p 9 = 9801, q 9 = Stoga je najmanje rješenje (x 1,y 1 ) = (9801, 1820).

8 36 Pellova jednadžba Literatura [1] A. Dujella, Diofantske jednadžbe, Skripta, PMF - matematički odjel, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, [2] A. Dujella, Uvod u teoriju brojeva, Skripta, PMF - matematički odjel, Sveučilište u Zagrebu, Zagreb, [3] N. P. Smart, The Algorithmic Resolution to Diophantine Equations, Cambridge University Press, 1998.

TEORIJA SKUPOVA Zadaci

TEORIJA SKUPOVA Zadaci TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =

More information

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva

Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE

More information

Pitagorine trojke. Uvod

Pitagorine trojke. Uvod Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog

More information

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH

ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,

More information

Ariana Trstenjak Kvadratne forme

Ariana Trstenjak Kvadratne forme Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

More information

Hornerov algoritam i primjene

Hornerov algoritam i primjene Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma

More information

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda

Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog

More information

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1

KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1 MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU

More information

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike

Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera

More information

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013)

ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XIX (3)(2013), 35-44 ZANIMLJIVI ALGEBARSKI ZADACI SA BROJEM 2013 (Interesting algebraic problems with number 2013) Nenad O. Vesi 1 Du²an

More information

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA

HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži

More information

Fibonaccijev brojevni sustav

Fibonaccijev brojevni sustav Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak

More information

Mersenneovi i savršeni brojevi

Mersenneovi i savršeni brojevi Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.

Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra

More information

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad

Teorem o reziduumima i primjene. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će

Slika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer

More information

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA

NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.

More information

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS

ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od

More information

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe

Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika

More information

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU

PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić

More information

The problem of Diophantus and Davenport

The problem of Diophantus and Davenport Mathematical Communications 2(1997), 153 160 153 The problem of Diophantus and Davenport Andrej Dujella Abstract. In this paper we describe the author s results concerning the problem of the existence

More information

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice

Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne

More information

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.

SITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski

More information

Mirela Nogolica Norme Završni rad

Mirela Nogolica Norme Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Nilpotentni operatori i matrice

Nilpotentni operatori i matrice Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek

Algoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Karakteri konačnih Abelovih grupa

Karakteri konačnih Abelovih grupa Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera

More information

THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF Q( 3) Zrinka Franušić and Ivan Soldo

THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF Q( 3) Zrinka Franušić and Ivan Soldo RAD HAZU. MATEMATIČKE ZNANOSTI Vol. 8 = 59 (04): 5-5 THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF Q( ) Zrinka Franušić and Ivan Soldo Abstract. We solve the problem of Diophantus for integers of the quadratic

More information

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku

More information

U čemu je snaga suvremene algebre?

U čemu je snaga suvremene algebre? 1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:

More information

Prsten cijelih brojeva

Prsten cijelih brojeva SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU

More information

Položaj nultočaka polinoma

Položaj nultočaka polinoma Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma

More information

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije

More information

BROJEVNE KONGRUENCIJE

BROJEVNE KONGRUENCIJE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................

More information

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA

POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO - MATEMATIČKI FAKULTET Matematički odjel Ana Jurasić POLINOMNE VARIJANTE DIOFANTOVA PROBLEMA Disertacija Voditelj disertacije: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, 010.

More information

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

Racionalne Diofantove šestorke

Racionalne Diofantove šestorke Racionalne Diofantove šestorke Andrej Dujella http://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/dtuples.html Diofant: Naći četiri (pozitivna racionalna) broja sa svojstvom da produkt bilo koja dva medu njima, uvećan

More information

Uvod u relacione baze podataka

Uvod u relacione baze podataka Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok

More information

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B

A B A B. Logičke operacije koje još često upotrebljavamo su implikacija ( ) i ekvivalencija A B A B A B 1 MATEMATIČKI SUDOVI Jedan od osnovnih oblika mišljenja su pojmovi. Oni ne dolaze odvojeno, nego se na odredeni način vezuju i tvore sudove. Sud (izjava, izreka, iskaz) je suvisla deklarativna rečenica

More information

Funkcijske jednadºbe

Funkcijske jednadºbe MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi

More information

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam

pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje

More information

Zanimljive rekurzije

Zanimljive rekurzije Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Mirjana Mikec. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Mirjana Mikec Broj e Diplomski rad Osijek, 20. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

More information

Neprekidan slučajan vektor

Neprekidan slučajan vektor Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel

More information

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama

O aksiomu izbora, cipelama i čarapama O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,

More information

Vedska matematika. Marija Miloloža

Vedska matematika. Marija Miloloža Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini

More information

Quasi-Newtonove metode

Quasi-Newtonove metode Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni

More information

Mathcad sa algoritmima

Mathcad sa algoritmima P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK

More information

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.

Matrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak. 1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,

More information

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle).

Uvod u analizu (M3-02) 05., 07. i 12. XI dr Nenad Teofanov. principle) ili Dirihleov princip (engl. Dirichlet box principle). Uvod u analizu (M-0) 0., 07. i. XI 0. dr Nenad Teofanov. Kardinalni broj skupa R U ovom predavanju se razmatra veličina skupa realnih brojeva. Jasno, taj skup ima beskonačno mnogo elemenata. Pokazaće se,

More information

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva

Matea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215

More information

Konstrukcija i analiza algoritama

Konstrukcija i analiza algoritama Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE

More information

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power

More information

Harmonijski brojevi. Uvod

Harmonijski brojevi. Uvod MATEMATIKA Harmonijski brojevi Darko Žubrinić, Zagreb Beskonačno! Niti koje drugo pitanje nije nikada toliko duboko dirnulo duh čovjeka. David Hilbert (862. 943.) Uvod U ovom članku opisat ćemo jedan pomalo

More information

Linearni operatori u ravnini

Linearni operatori u ravnini Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno

More information

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.

Ivan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom. Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni

More information

Rekurzivni algoritmi POGLAVLJE Algoritmi s rekurzijama

Rekurzivni algoritmi POGLAVLJE Algoritmi s rekurzijama POGLAVLJE 8 Rekurzivni algoritmi U prošlom dijelu upoznali smo kako rekurzije možemo implementirati preko stogova, u ovom dijelu promotriti ćemo probleme koje se mogu izraziti na rekurzivan način Vremenska

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE. Zdravko Musulin PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Zdravko Musulin ELIPTIČKE KRIVULJE I KRIPTIRANJE Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, lipanj,

More information

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE

LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.

More information

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov

More information

Mostovi Kaliningrada nekad i sada

Mostovi Kaliningrada nekad i sada Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.

More information

Matrične dekompozicije i primjene

Matrične dekompozicije i primjene Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić

More information

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:

KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ   URL: KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana

More information

Erdös-Mordellova nejednakost

Erdös-Mordellova nejednakost Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman i Erdös-Mordellova nejednakost Diplomski rad Osijek, 015. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Dino Duman

More information

THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF. Zrinka Franušić and Ivan Soldo

THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF. Zrinka Franušić and Ivan Soldo THE PROBLEM OF DIOPHANTUS FOR INTEGERS OF Q( ) Zrinka Franušić and Ivan Soldo Abstract. We solve the problem of Diophantus for integers of the quadratic field Q( ) by finding a D()-quadruple in Z[( + )/]

More information

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014.

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Velibor Gojić. Blok dizajni. Diplomski rad. Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Velibor Gojić Blok dizajni

More information

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.

PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc. SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen

More information

Linearno programiranje i primjene

Linearno programiranje i primjene Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka

More information

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost

Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Neda Krička Cauchy-Schwarz-Buniakowskyjeva nejednakost Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku

More information

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ

ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski

More information

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1

Šime Šuljić. Funkcije. Zadavanje funkcije i područje definicije. š2004š 1 Šime Šuljić Funkcije Zadavanje funkcije i područje definicije š2004š 1 Iz povijesti Dvojica Francuza, Pierre de Fermat i Rene Descartes, posebno su zadužila matematiku unijevši ideju koordinatne metode

More information

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA

BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Trgovec BAZNI OKVIRI I RIESZOVE BAZE HILBERTOVIH PROSTORA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Damir Bakić Zagreb,

More information

Uvod u numericku matematiku

Uvod u numericku matematiku Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju

More information

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava

Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Marija Mecanović Iterativne metode za rješavanje linearnih sustava Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini

Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika. konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Stručni rad Prihvaćeno 18.02.2002. MILJENKO LAPAINE Krivulja središta i krivulja fokusa u pramenu konika zadanom pomoću dviju dvostrukih točaka u izotropnoj ravnini Krivulja središta i krivulja fokusa

More information

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012

Iskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu

More information

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura

Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Ivić Hamiltonov ciklus i Eulerova tura Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

More information

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008

Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD. NOVI SAD jun 2008 1 Ksenija Doroslovački KOMBINATORIKA INTERPRETIRANA FUNKCIJAMA I NJIHOVIM OSOBINAMA MASTER RAD NOVI SAD jun 2008 2 Sadržaj 1 UVOD 5 2 FUNKCIJE 11 3 KLASIČNI KOMBINATORNI OBJEKTI 17 4 NEKI NEKLASIČNI KOMBINATORNI

More information

The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem

The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem 61 The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem Dragan Jukić Abstract. In this paper we prove a theorem which gives necessary and sufficient conditions which guarantee the

More information

Logika višeg reda i sustav Isabelle

Logika višeg reda i sustav Isabelle Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odjel Tajana Ban Kirigin Logika višeg reda i sustav Isabelle Magistarski rad Zagreb, 2004. Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički

More information

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu

Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu Rešenja zadataka za vežbu na relacionoj algebri i relacionom računu 1. Izdvojiti ime i prezime studenata koji su rođeni u Beogradu. (DOSIJE WHERE MESTO_RODJENJA='Beograd')[IME, PREZIME] where mesto_rodjenja='beograd'

More information

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM

KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj

More information

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA

AKSIOME TEORIJE SKUPOVA MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.

More information

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad

Tina Drašinac. Cramerovo pravilo. Završni rad Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tina Drašinac Cramerovo pravilo Završni rad U Osijeku, 19 listopada 2010 Sveučilište JJStrossmayera u Osijeku Odjel

More information

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4

Osobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili

More information

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA

NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.

More information

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad

Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište

More information

A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem

A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Mathematical Communications 2(1997, 129 133 129 A multidimensional generalization of the Steinhaus theorem Miljenko Crnjac Abstract. Steinhaus has shown that the subset of R of the form A + B = {a + b

More information

1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka

1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka Sadržaj 1 Pogreške 1 1.1 Vrste pogrešaka...................... 1 1.1.1 Pogreške zaokruživanja.............. 1 1.1.2 Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka....................... 2 1.1.3 Pogreška

More information

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2

Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema

More information

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1

Vektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1 Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................

More information

Metode praćenja planova

Metode praćenja planova Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T

More information

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Egipatska matematika

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Egipatska matematika Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Ana Čalošević Egipatska matematika Završni rad Osijek, 03. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za

More information

Banach Tarskijev paradoks

Banach Tarskijev paradoks Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj

More information

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA

BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Nikolina Blažević BROWNOV MOST I KOLMOGOROV-SMIRNOVLJEVA STATISTIKA Diplomski rad Zagreb, veljača 2016. Voditelj rada: doc. dr.

More information

SHEME DIGITALNOG POTPISA

SHEME DIGITALNOG POTPISA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Jelena Hunjadi SHEME DIGITALNOG POTPISA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Zrinka Franušić Zagreb, 2016. Ovaj diplomski

More information