1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije
|
|
- Anastasia Harris
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 Nediferencijabilna optimizacija 1 Odjel za matematiku Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Nediferencijabilna optimizacija Poslijediplomski doktorski studij matematike 1 Konveksni skupovi i konveksne funkcije Definicija 1. Kažemo da je skup D R n konveksan ako za bilo koje dvije točke x 1, x 2 D sadrži i segment određen tim točkama, tj. x 1, x 2 D λx 1 + (1 λ)x 2 D λ [0, 1]. Definicija 2. Kažemo da je skup D R n strogo konveksan ako x 1, x 2 D, x 1 x 2 λx 1 + (1 λ)x 2 Int D λ (0, 1). Neka svojstva konveksnih skupova: Konveksan skup D R sadrži svaku konveksnu kombinaciju od konačno svojih točaka, tj. ( ) n n (x 1,..., x n D) λ 1,..., λ n 0, λ i = 1 = λ i x i D; Skup svih konveksnih kombinacija nekog skupa D R n je najmanji konveksni skup koji sadrži skup D i naziva se konveksna ljuska (convex hull). Presjek konveksnih skupova je konveksan skup; Ako su A, B konveksni skupovi, onda su i λ A, A + B, A B konveksni skupovi. 1.1 Konveksne funkcije Definicija 3. Kažemo da je funkcija f : R n R konveksna ako vrijedi x, y R n i λ [0, 1]. i=1 f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) (1) Definicija 4. Kažemo da je funkcija f : R n R strogo (strictly) konveksna ako x, y R n, x y vrijedi f(λx + (1 λ)y) < λf(x) + (1 λ)f(y), λ (0, 1). (2) i=1
2 Nediferencijabilna optimizacija 2 Definicija 5. Kažemo da je funkcija f : R n postoji takav realni broj κ > 0 da vrijedi R jako (strongly) konveksna ako f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) κλ(1 λ) x y 2, x, y R n, λ [0, 1]. (3) Primjedba 1. ako u (3) stavimo λ = 1 i γ = 1 κ, onda možemo reći da je funkcija f : 2 4 R n R jako konveksna ako postoji γ > 0, ( ) x + y f (f(x) + f(y)) γ x y 2, x, y R n, γ > 0. (4) Iz Definicije 5 vidi se da je svaka jako konveksna funkcija ujedno i konveksna, ali obrat ne vrijedi (također vidi Primjer1 i Primjer2). Primjer 1. Neka je A : R n R n simetrični linearni operator. Tada je kvadratna forma f(x) := 1 (Ax, x) konveksna funkcija onda i samo onda ako je A 0, tj. ako su sve 2 svijstvene vrijednosti nenegativne označimo ih s λ 1 λ n 0. Kako je (Hiriart- Urruty and Lemaréchal, 2001; Jare and Stoer, 2004) može se pokazati da vrijedi λ n x 2 (Ax, x) λ 1 x 2 za sve x R n, f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) 1 2 λ nλ(1 λ) x y 2 Dakle, ako je A pozitivno definitan (λ n > 0), f je jako konveksna funkcija. Primjer 2. Funkcija f : R 2 R, f(x 1, x 2 ) = x x 2 2 je jako konveksna funkcija, a funkcija g : R 2 R, g(x 1, x 2 ) = x 2 1 je konveksna, ali nije jako konveksna (λ 1 = 1, λ 2 = 0). Kako izgledaju plohe ovih funkcija? Definicija 6. f : D R n R, P (f) = (x, α) R n+1 : x D R n, α R, f(x) α} epigraf (5) Q(g) = (x, α) R n+1 : x D R n, α R, g(x) α} hypograf (6) Funkcija f je konveksna P (f) konveksan skup; Funkcija g je konkavna Q(g) konveksan skup; Funkcija g je konkavna ( g) konveksna;
3 Nediferencijabilna optimizacija 3 Primjedba 2. Ako je f : D R n R konveksna funkcija na D R n, onda se uvijek može definirati konveksno proširenje f : R n R, R = R + }, f(x) = f(x), x D +, x D. Tada je P ( f) = P (f). Skup ED(f) = x R n : f(x) < + } zvat ćemo efektivna domena funkcije f. Nadalje, ako nije posebno navedeno, promatrat ćemo konveksne funkcije f : R n R. Svojstava: f 1,..., f n konveksne funkcije, λ 1,..., λ n 0 n λ i f i konveksna funkcija; f konveksna na R n, Ψ neopadajuća i konveksna na R Ψ f konveksna na R n ; f 1,..., f n konveksne funkcije sup f i (x) konveksna funkcija; i f : R n R konveksna na R n x, y R n, funkcija φ(λ) = f(λx + (1 λ)y) konveksna na [0, 1] (Avriel, 2003); Ako je f : D R R konveksna funkcija na konveksnom skupu D, onda je ona neprekidna na int D (Avriel, 2003; Bazaraa et al., 2006). Primjer 3. Funkcija φ : R R je konveksna, ali nije neprekidna. x 2 1, x < 1 φ(x) = 2, x = 1 +, x > 1 Definicija 7. f : R n R, konveksna funkcija i=1 L(f) = (a, b) R n+1 : a R n, b R, a T x b f(x), x R n } nosač support cl f(x) = sup a T x b} zatvarač konveksne funkcije (8) (a,b) L(f) S α (f) = x R n : f(x) α} nivo skup level set (9) (7) Primjedba 3. Iz definicije funkcije cl f slijedi: cl f(x) f(x), x R n. zatvarač funkcije iz Primjera 3 je Specijalno, cl φ(x) = Primijetite da je specijalno cl φ(1) = 0. Vrijedi također P (cl f) = P (f). x 2 1, x 1 +, x > 1
4 Nediferencijabilna optimizacija 4 Zadatak 1. Pokažite da ako je f : R n R, konveksna funkcija, onda je L(f) konveksan skup. Definicija 8. Subgradijent konveksne funkcije f : R n R u točki x 0 R n je svaki vektor ξ R n koji zadovoljava 1 f(x) f(x 0 ) + ξ T (x x 0 ), x R n. Skup svih subgradijenata konveksne funkcije f : R n R u točki x 0 R n zovemo Subdiferencijal i označavamo ga s f(x 0 ). Skup f(x 0 ) je neprazan ograničen, konveksan i zatvoren (Demjanov and Vasilev, 1981; Oben, 1988; Shor, 1998). Primjedba 4. Za subgradijent ξ R n uvijek se može pronaći ˆb R, takav da bude (ξ, ˆb) L(f). Naime, ako stavimo ˆb ξ T x 0 f(x 0 ), tada je h(x) = ξ T x ˆb ξ T x ξ T x 0 + f(x 0 ) = ξ T (x x 0 ) + f(x 0 ) f(x). Definicija 9. Funkcija f : D R n R je diferencijablina u točki x 0 int D u smjeru η D ako postoji 2 f(x 0 ) 1 = lim η ɛ 0+ ɛ (f(x 0 + ɛη) f(x 0 )) Teorem 1. Konveksna funkcija f : D R n R za proizvoljni x 0 int D ima derivaciju f(x 0 ) η u bilo kojem smjeru η D i vrijedi ((Demjanov and Vasilev, 1981; Oben, 1988; Shor, 1998)) f(x 0 ) η = max ξ f(x 0 ) ξt η (10) Ako je f : D R n R konveksna funkcija na konveksnom skupu D, onda je svaki lokalni minimum ujedno i globalni minimum na D (Avriel, 2003); Ako je f : R n R konveksna funkcija, onda je i S α (f) konveksan skup, ali obrat ne vrijedi; Ako je f : R n R konveksna funkcija, onda je 0 f(x ) ako je x globalni minimum funkcije f; Ako je f : R n R konveksna i diferencijabilna funkcija, onda je f(x ) = 0 ako je x globalni minimum funkcije f; Ako u nekom smjeru η konveksna funkcija f opada, onda u suprotnom smjeru ( η) raste. 1 Moze se dogoditi da takav vektor ξ R n ne postoji, da postoji jedan jedini i da postoji više njih. 2 Derivaciju funkcije f u točki x 0 u smjeru η u literaturi se još označava s: Df(x 0, η) ili s f η(x 0 ).
5 Nediferencijabilna optimizacija 5 Neka je f(x 0) η = a < 0 i neka je ξ 0 f(x 0 ), takav da je prema Teoremu 1 f(x 0 ) η = max ξ f(x 0 ) ξt η =: ξ T 0 η. Tada u smjeru u = η prema Teoremu 1 imamo f(x 0 ) u = max ξ f(x 0 ) ξt u ξ0 T u = ξ0 T η = f(x 0) = a > 0. η 2 Konjugirane (dualne) funkcije Neka je f : R n R konveksna funkcija. Za dani vektor ξ R n treba odrediti parametar b R afine funkcije h(x) = ξ T x b, tako da bude h(x) f(x), x R n. b ξ T x f(x) x R n. Dakle, b sup x R n ξ T x f(x)}. Definicija 10. Neka je f : R n R konveksna funkcija. Funkciju f : R n R, f (ξ) = sup x R n ξ T x f(x)}, (11) zovemo konjugirana (dualna) funkcija funkcije f u točki ξ R n. Primjedba 5. Primijetite da je za dani vektor ξ R n i promatranu afinu funkciju h(x) = ξ T x b, vrijedi b f (ξ). Geometrijsko značenje: Najviša moguća pozicija grafa afine funkcije h(x) = ξ T x b ispod grafa funkcije f : R R dobije se za b = f (ξ). Tada je h(0) = f (ξ), a h nikad ne prima vrijednost. Ekonomsko značenje: Neka je f(x) = f(x 1,..., x n ) trošak proizvodnje x i komada proizvoda P i, i = 1,..., n, pri čemu su ξ i odgovarajuće cijene proizvoda P i. Treba odrediti količine x 1,..., x n komada proizvoda P 1,..., P n, za koje će profit biti maksimalan, tj. n ξ i x i f(x) max R : i=1 n n ξ i x i f(x ) = sup ξ i x i f(x)} = f (ξ) i=1 x R n i=1 Teorem 2. (Fenchel, Moreau) Ako je f : R n R konveksna funkcija, onda je njena konjugirana (dualna) funkcija f također konveksna i vrijedi (i) P (f ) = L(f), (ii) f = cl f.
6 Nediferencijabilna optimizacija 6 Dokaz. Vrijedi P (f ) =(ξ, α) : ξ R n, α R, f (ξ) α} =(ξ, α) : ξ R n, α R, sup x R n ξ T x f(x)} α} =(ξ, α) : ξ R n, α R, ξ T x f(x) α, x R n } =(ξ, α) : ξ R n, α R, ξ T x α f(x), x R n } = L(f) Kako je P (f ) konveksan skup (Zadatak 1), onda je i f konveksna funkcija. Kako je f = (f ), vrijedi f (x) = (f ) (x) = sup ξ R n ξ T x f (ξ)} = sup ξ T x α } (prema Primjedbi 5) (ξ,α ):f (ξ) α } = sup ξ T x α } (ξ,α ): sup y f(y)} α } y R nξt = sup ξ T x α } (ξ,α ):ξ T y α f(y), y R n } = sup ξ T x α } (ξ,α ) L(f) = cl f(x) Primjedba 6. Ako je f konveksna funkcije, tada prema je Fenchel-Moreau teoremu i f koveksna funkcija. Nadalje, to znači da je i f konveksna funkcija, a kako je f = cl f, onda je i cl f konveksna funkcija. Također lako se vidi da vrijedi L(f ) = P (f ) = P (cl f). Teorem 3. Ako je f : R n R konveksna funkcija, onda je f zatvorena konveksna funkcija, tj. vrijedi cl f = f. Dokaz. Kako je (Primjedba 3) cl f(x) f(x), x R n, slijedi ξ T x cl f(x) ξ T x f(x), x R n, sup ξ T x cl f(x)} sup ξ T x f(x)} x R n x R n cl f (ξ) f (ξ). S druge strane prema istoj primjedbi je cl f (ξ) f (ξ), pa dakle, cl f = f.
7 Nediferencijabilna optimizacija 7 Svojstva konjugirane (dualne) funkcije:) Neka je f : R n R konveksna funkcija. Tada (i) ako je ϕ(x) = f(x) + β, β R, onda ϕ (ξ) = f (ξ) β; (ii) ako je ϕ(x) = f(x + α), α R n, onda ϕ (ξ) = f (ξ) ξ T α; (iii) ako je ϕ(x) = f(γx), γ 0, onda ϕ (ξ) = f ( ) ξ γ ; (iv) ako je ϕ(x) = kf(x), k > 0, onda ϕ (ξ) = kf ( ) ξ k ; Dokaz. Neka je f (ξ) = sup x R n ξ T x f(x)} (i) ϕ (ξ) = sup ξ T x (f(x) + β)} = sup ξ T x f(x)} β = f (ξ) β x R n x R n... Zadatak 2. Dokažite ostala svojstava. Primjer 4. Treba odrediti konjugiranu funkciju za funkciju φ : R n R, φ(x) = a T x b, gdje su a, b R. Potražimo najprije konjugiranu funkciju za jednostavniju funkciju f(x) = a T x. Imamo f (ξ) = sup ξ T x a T 0, ξ = a x} = x R +, ξ a. n Dalje prema svojstvu (i) za funkciju φ(x) = a T x b vrijedi φ (ξ) = f b, ξ = a (ξ) + b = +, ξ a. Primjer 5. Treba odrediti konjugiranu funkciju za funkciju φ : R n R, φ(x) = 1 2 xt x. Potražimo najprije konjugiranu funkciju za jednostavniju funkciju f(x) = x T x. Imamo f (ξ) = sup x R n ξ T x x T x} = 1 4 ξt ξ. Naime, maksimum funkcije g(x) = ξ T x x T x postiže se za x E = 1ξ, pri čemu je g ( ξ) = 1 4 ξt ξ. Zato je φ (ξ) = 1 2 f (2ξ) = 1 ( ) (2ξ)T (2ξ) = 1 2 ξt ξ. Dakle, ovo je primjer funkcije koja se podudara sa svojom dualnom funkcijom. Primjer 6. Neka je D R n. Treba odrediti konjugirane funkcije za sljedeće funkcije 0, x D δ D (x) = +, x R n (indicator function) \ D π D (x) = sup ξ T x ξ D (support function)
8 Nediferencijabilna optimizacija 8 Vrijedi δd(ξ) = sup ξ T x δ D (x)} = sup ξ T x = π D (ξ), x R n π D(ξ) = δ D (ξ) = δ D (ξ). ξ D Zadatak 3. Odredite konjugirane funkcije za funkcije (a) φ : R R, φ(x) = ln x, x > 0 +, x 0., (b) φ : R R, φ(x) = e x (c) φ : R R, φ(x) = 1 p x p, 1 < p < +, (d) φ : ( π 2, π ) R, φ(x) = ln(cos x) 2 Teorem 4. Neka je f : R n R konveksna funkcija. Tada je ξ f(x 0 ) onda i samo onda ako je f (ξ) = ξ T x 0 f(x 0 ). Dokaz. Prema Definiciji 8, ξ f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) + ξ T (x x 0 ), x R n ξ T x 0 f(x 0 ) ξ T x f(x), x R n ξ T x 0 f(x 0 ) = supξ T x f(x)} x R = f (ξ). Primjedba 7. Prema Teoremu 4 za konveksnu funkciju f : R n R vrijedi jednakost koju u literaturi (Demjanov and Vasilev, 1981) možemo naći pod nazivom Youngov identitet Teorem 5. Neka je f : R n R konveksna funkcija. Tada (i) ako je ξ f(x 0 ), onda je x 0 f (ξ); (ii) ako je cl f = f i x 0 f (ξ), onda je ξ f(x 0 ). f(x 0 ) + f (ξ) = ξ T x 0. (12) Dokaz. Primijetimo najprije da prema prethodnom Teoremu 4 vrijedi ξ f(x 0 ) f (ξ) = ξ T x 0 f(x 0 ), (13) x 0 f (ξ) f (x 0 ) = ξ T x 0 f.(ξ) (14)
9 Nediferencijabilna optimizacija 9 (i) Neka je ξ f(x 0 ). Prema (13) vrijedi f (ξ) = ξ T x 0 f(x 0 ). Ako je f(x 0 ) neprazan, onda je (Avriel, 2003) cl f(x 0 ) = f(x 0 ), a kako je prema Teoremu 2, f = cl f koristeći (14) dobivamo f (ξ) = ξ T x 0 f (x 0 ) x 0 f (ξ). (ii) Neka je cl f = f i x 0 f (ξ). Prema (14) i Teoremu 2 vrijedi ξ T x 0 f (ξ) = f (x 0 ) = cl f(x 0 ) = f(x 0 ) f (ξ) = ξ T x 0 f(x 0 ) ξ f(x 0 ). Primjedba 8. Ako pretpostavimo da je f : R n R zatvorena konveksna funkcija, onda Teorem 4 i Teorem 5 sažeto možemo izraziti na sljedeći način (Demjanov and Vasilev, 1981): Sljedeći uvjeti međusobno su ekvivalentni (i) x 0 f (ξ) (ii) ξ f(x 0 ) (iii) f(x 0 ) + f (ξ) = ξ T x Nužni i dovoljni uvjeti minimuma Korištenjem pojma konjugirane (dualne) funkcije jednostavno se mogu formulirati nužni i dovoljni uvjeti ekstrema konveksne zatvorene funkcije. Najprije primijetimo da je po definiciji f (0) = sup x R n f(x)} = inf x R n f(x), odosno inf f(x) = f (0). (15) x R n Dakle, funkcija f je ograničena odozdo onda i samo onda ako je 0 u domeni funkcije f. Skup svih minimuma funkcije f označimo s D = x R n : f(x) = f (0)} = x R n : f(x) = inf y R n f(y)} Dakle, x 0 D onda i samo onda ako je f(x 0 ) + f (0) = 0,
10 Nediferencijabilna optimizacija 10 a to je prema Primjedbi 8 ispunjeno onda i samo onda ako 0 f(x 0 ). Dakle zatvorena konveksna funkcija postiže globalni minimum u točki x 0 onda i samo onda ako 0 f(x 0 ). Nadalje, prema Primjedbi 8 možemo pisati D = f (0). Možemo također reći da konveksna zatvorena funkcija f postiže globalni minimum onda i samo onda ako je subdiferencijal njene konjugirane funkcije f u nuli neprazan skup. (primjerice ako je 0 int ED(f ) (Demjanov and Vasilev, 1981)). Primjer 7. Neka je f : R n R i Ω R n konveksan zatvoren skup. Treba odrediti uvjetni subdiferencijal funkcije f na skupu Ω. Najprije definiramo indicator function δ Ω skupa Ω δ Ω (x) = i definiramo novu funkciju f 1 = f + δ Ω, f 1 (x) = 0, x Ω +, x R n \ Ω f(x), x Ω +, x R n \ Ω, čija je efektivna domena skup Ω. Određivanje uvjetnog subdiferencijala funkcije f na skupu Ω na taj način svodi se na određivanje običnog subdiferencijala sume f 1 = f + δ Ω, kod čega možemo iskoristiti tehniku konjugiranih funkcija. 2.2 Konjugirana (dualna) funkcija konkavne funkcije Neka je g : R n R konkavna funkcija. Tada definiramo g (ξ) = inf x R nξt x g(x)}. (16) Potražimo vezu s pripadnom konveksnom funkcijom f = g. Vrijedi f (ξ) = sup x R n ξ T x f(x)} = (f = g) sup x R n ξ T x + g(x)} = inf x R n( ξ)t x g(x)} = g ( ξ).
11 Nediferencijabilna optimizacija Konjugirana (dualna) funkcija funkcije f : R n R I u ovom slučaju f definiramo kao zatvorenu konveksnu funkciju f (ξ) = sup x R n ξ T x f(x)}. Primijetimo da je to konjugirana funkcija najveće konveksne funkcije f c, takve da je f c (x) f(x), x R n. Tada je f = f c. Slično bi definirali i konjugiranu konkavnu funkciju prema (16). Literatura M. Alić, G. Nogo, Optimizacija: Uvod u teoriju nužnih i dovoljnih uvjeta ekstrema, Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Osijek, M. Avriel, Nonlinear Programming: Analysis and Methods 2ed., Dover Publications, Inc. Mineola, New York, M. S. Bazaraa, H. D. Sherali, C. M. Shetty, Nonlinear Programming. Theory and Algorithms. 3 rd Edition, Wiley, New Jersey, J. F. Bonnans, J.C. Gilbert, C. Lemaréchal, C.A. Sagastizábal, Numerical Optimization. Theoretical and Practical Aspects, Springer-Verlag, Berlin, S. Boyd, L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, New York, V. F. Demjanov, F. P. Vasilev, Nedifferenciruemaja optimizacija, Nauka, Moskva, J. E. Dennis, Jr, R. B. Schnabel, Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, SIAM, Philadelphia, J. E. Dennis Jr., J. J. More, Quasi-Newton methods, motivation and theory, SIAM Review, 19(1977), W. Fenchel, On conjugate convex function, Canadian Journal of Mathematics 1(1949) P. E. Gill, W. Murray and M. H. Wright, Practical Optimization, Academic Press, J. B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg, F. Jare, J. Stoer, Optimierung, Springer-Verlag, Berlin, 2004
12 Nediferencijabilna optimizacija 12 Ж. P. Oben, Neline ny analiz i ego ekonomiqeskie priloжeni, Mir, Moskva, J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, SIAM, Philadelphia, (postoji i ruski prijevod) A. Ruszczynski, Nonlinear Optimization, Princeton University Press, Princeton and Oxford, 2006 N.Z.Shor, Nondifferentiable Optimization and Polynomial Problems, Kluwer, London, R. G. Strongin, Qyslennye metody b mnogoekstremalnyh zadaqah, Nauka, Moskva, F. P. Vasilev, Lekcii po metodam rexeni ekstremalnyh zadaq, Izdavatelstvo Moskovskogo univerziteta, Moskva, S. Zlobec, J. Petrić, Nelinearno programiranje, Naučna knjiga, Beograd, 1989.
TEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationLinearni operatori u ravnini
Linearni operatori u prostoru 1 Linearni operatori u ravnini Rudolf Scitovski Ivana Kuzmanović, Zoran Tomljanović 1 Uvod Neka je (O; e 1, e, e 3 ) pravokutni koordinatne sustav u prostoru X 0 (E). Analogno
More informationGrupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2
Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationThe existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem
61 The existence theorem for the solution of a nonlinear least squares problem Dragan Jukić Abstract. In this paper we prove a theorem which gives necessary and sufficient conditions which guarantee the
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationBASICS OF CONVEX ANALYSIS
BASICS OF CONVEX ANALYSIS MARKUS GRASMAIR 1. Main Definitions We start with providing the central definitions of convex functions and convex sets. Definition 1. A function f : R n R + } is called convex,
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationConvex envelopes, cardinality constrained optimization and LASSO. An application in supervised learning: support vector machines (SVMs)
ORF 523 Lecture 8 Princeton University Instructor: A.A. Ahmadi Scribe: G. Hall Any typos should be emailed to a a a@princeton.edu. 1 Outline Convexity-preserving operations Convex envelopes, cardinality
More informationMirela Nogolica Norme Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationVektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1
Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................
More informationLecture 4: Convex Functions, Part I February 1
IE 521: Convex Optimization Instructor: Niao He Lecture 4: Convex Functions, Part I February 1 Spring 2017, UIUC Scribe: Shuanglong Wang Courtesy warning: These notes do not necessarily cover everything
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationThe Subdifferential of Convex Deviation Measures and Risk Functions
The Subdifferential of Convex Deviation Measures and Risk Functions Nicole Lorenz Gert Wanka In this paper we give subdifferential formulas of some convex deviation measures using their conjugate functions
More informationHelly's Theorem and its Equivalences via Convex Analysis
Portland State University PDXScholar University Honors Theses University Honors College 2014 Helly's Theorem and its Equivalences via Convex Analysis Adam Robinson Portland State University Let us know
More informationChapter 1. Optimality Conditions: Unconstrained Optimization. 1.1 Differentiable Problems
Chapter 1 Optimality Conditions: Unconstrained Optimization 1.1 Differentiable Problems Consider the problem of minimizing the function f : R n R where f is twice continuously differentiable on R n : P
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationAN INTRODUCTION TO EXTREME POINTS AND APPLICATIONS IN ISOMETRIC BANACH SPACE THEORY
AN INTRODUCTION TO EXTREME POINTS AND APPLICATIONS IN ISOMETRIC BANACH SPACE THEORY AUDREY CURNOCK Abstract. This technical paper is the looking at extreme point structure from an isometric view point,
More informationAKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE
Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013. Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku
More information24. Balkanska matematiqka olimpijada
4. Balkanska matematika olimpijada Rodos, Gka 8. apil 007 1. U konveksnom etvoouglu ABCD vaжi AB = BC = CD, dijagonale AC i BD su azliite duжine i seku se u taki E. Dokazati da je AE = DE ako i samo ako
More informationIntroduction to Nonlinear Stochastic Programming
School of Mathematics T H E U N I V E R S I T Y O H F R G E D I N B U Introduction to Nonlinear Stochastic Programming Jacek Gondzio Email: J.Gondzio@ed.ac.uk URL: http://www.maths.ed.ac.uk/~gondzio SPS
More informationGeneralized Pattern Search Algorithms : unconstrained and constrained cases
IMA workshop Optimization in simulation based models Generalized Pattern Search Algorithms : unconstrained and constrained cases Mark A. Abramson Air Force Institute of Technology Charles Audet École Polytechnique
More informationZEYNEP CAN. 1 Introduction. KoG Z. Can, Ö. Gelişgen, R. Kaya: On the Metrics Induced by Icosidodecahedron...
KoG 19 015 Z. Can Ö. Gelişgen R. Kaya: On the Metrics Induced by Icosidodecahedron... Original scientific paper Accepted 11. 5. 015. ZEYNEP CAN ÖZCAN GELIŞGEN RÜSTEM KAYA On the Metrics Induced by Icosidodecahedron
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationMatematika i statistika
Klasteri 1 Strojarski fakultet u Slavonskom Brodu Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku 1 Uvod Matematika i statistika II. Grupiranje podataka: klasteri R. Scitovski, M. Benšić, K. Sabo Definicija 1.
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationNeke klase maksimalnih hiperklonova
UNIVERZITET U NOVOM SDU PRIRODNO-MTEMTIČKI FKULTET DERRTMN Z MTEMTIKU I INFORMTIKU Jelena Čolić Neke klase maksimalnih hiperklonova - završni rad - MENTOR: Prof. dr Rozalija Madaras-Siladi Novi Sad, 2012.
More informationAlgorithms for nonlinear programming problems II
Algorithms for nonlinear programming problems II Martin Branda Charles University Faculty of Mathematics and Physics Department of Probability and Mathematical Statistics Computational Aspects of Optimization
More informationIskazna logika 1. Matematička logika u računarstvu. oktobar 2012
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu
More informationNelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije
Osječki matematički list (2), 131-143 Nelder Meadova metoda: lokalna metoda direktne bezuvjetne optimizacije Lucijana Grgić, Kristian Sabo Sažetak U radu je opisana poznata Nelder Meadova metoda, koja
More informationMetrički prostori i Riman-Stiltjesov integral
Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Sadržaj 1 Metrički prostori 3 1.1 Primeri metričkih prostora................. 3 1.2 Konvergencija nizova i osobine skupova...................... 12 1.3 Kantorov
More informationOn the acceleration of the double smoothing technique for unconstrained convex optimization problems
On the acceleration of the double smoothing technique for unconstrained convex optimization problems Radu Ioan Boţ Christopher Hendrich October 10, 01 Abstract. In this article we investigate the possibilities
More informationQuasi-Newton Methods
Quasi-Newton Methods Werner C. Rheinboldt These are excerpts of material relating to the boos [OR00 and [Rhe98 and of write-ups prepared for courses held at the University of Pittsburgh. Some further references
More informationKlase neograničenih operatora
Univerzitet u Nišu Prirodno- matematički fakultet Departman za matematiku Klase neograničenih operatora Master rad Mentor: Prof. dr. Dragan Đorđević Student: Milena Nikolić Niš,. Sadržaj Predgovor...2
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationConvexity and unique minimum points
Convexity and unique minimum points Josef Berger and Gregor Svindland February 17, 2018 Abstract We show constructively that every quasi-convex, uniformly continuous function f : C R with at most one minimum
More informationAKSIOME TEORIJE SKUPOVA
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.
More informationLinearno programiranje i primjene
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationA NOTE ON Q-ORDER OF CONVERGENCE
BIT 0006-3835/01/4102-0422 $16.00 2001, Vol. 41, No. 2, pp. 422 429 c Swets & Zeitlinger A NOTE ON Q-ORDER OF CONVERGENCE L. O. JAY Department of Mathematics, The University of Iowa, 14 MacLean Hall Iowa
More informationON GAP FUNCTIONS OF VARIATIONAL INEQUALITY IN A BANACH SPACE. Sangho Kum and Gue Myung Lee. 1. Introduction
J. Korean Math. Soc. 38 (2001), No. 3, pp. 683 695 ON GAP FUNCTIONS OF VARIATIONAL INEQUALITY IN A BANACH SPACE Sangho Kum and Gue Myung Lee Abstract. In this paper we are concerned with theoretical properties
More informationA globally and R-linearly convergent hybrid HS and PRP method and its inexact version with applications
A globally and R-linearly convergent hybrid HS and PRP method and its inexact version with applications Weijun Zhou 28 October 20 Abstract A hybrid HS and PRP type conjugate gradient method for smooth
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationFIRST- AND SECOND-ORDER OPTIMALITY CONDITIONS FOR MATHEMATICAL PROGRAMS WITH VANISHING CONSTRAINTS 1. Tim Hoheisel and Christian Kanzow
FIRST- AND SECOND-ORDER OPTIMALITY CONDITIONS FOR MATHEMATICAL PROGRAMS WITH VANISHING CONSTRAINTS 1 Tim Hoheisel and Christian Kanzow Dedicated to Jiří Outrata on the occasion of his 60th birthday Preprint
More informationMS&E 318 (CME 338) Large-Scale Numerical Optimization
Stanford University, Management Science & Engineering (and ICME) MS&E 318 (CME 338) Large-Scale Numerical Optimization 1 Origins Instructor: Michael Saunders Spring 2015 Notes 9: Augmented Lagrangian Methods
More informationMATHEMATICAL ECONOMICS: OPTIMIZATION. Contents
MATHEMATICAL ECONOMICS: OPTIMIZATION JOÃO LOPES DIAS Contents 1. Introduction 2 1.1. Preliminaries 2 1.2. Optimal points and values 2 1.3. The optimization problems 3 1.4. Existence of optimal points 4
More informationAlgorithms for nonlinear programming problems II
Algorithms for nonlinear programming problems II Martin Branda Charles University in Prague Faculty of Mathematics and Physics Department of Probability and Mathematical Statistics Computational Aspects
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationThe Newton-Raphson Algorithm
The Newton-Raphson Algorithm David Allen University of Kentucky January 31, 2013 1 The Newton-Raphson Algorithm The Newton-Raphson algorithm, also called Newton s method, is a method for finding the minimum
More informationSECOND-ORDER CHARACTERIZATIONS OF CONVEX AND PSEUDOCONVEX FUNCTIONS
Journal of Applied Analysis Vol. 9, No. 2 (2003), pp. 261 273 SECOND-ORDER CHARACTERIZATIONS OF CONVEX AND PSEUDOCONVEX FUNCTIONS I. GINCHEV and V. I. IVANOV Received June 16, 2002 and, in revised form,
More informationKLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationNeprekidan slučajan vektor
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ana Leko Neprekidan slučajan vektor Završni rad Osijek, 3 Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationMersenneovi i savršeni brojevi
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationFull Newton step polynomial time methods for LO based on locally self concordant barrier functions
Full Newton step polynomial time methods for LO based on locally self concordant barrier functions (work in progress) Kees Roos and Hossein Mansouri e-mail: [C.Roos,H.Mansouri]@ewi.tudelft.nl URL: http://www.isa.ewi.tudelft.nl/
More informationNewton s Method. Javier Peña Convex Optimization /36-725
Newton s Method Javier Peña Convex Optimization 10-725/36-725 1 Last time: dual correspondences Given a function f : R n R, we define its conjugate f : R n R, f ( (y) = max y T x f(x) ) x Properties and
More informationProjektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationLocal strong convexity and local Lipschitz continuity of the gradient of convex functions
Local strong convexity and local Lipschitz continuity of the gradient of convex functions R. Goebel and R.T. Rockafellar May 23, 2007 Abstract. Given a pair of convex conjugate functions f and f, we investigate
More informationFraktalno Brownovo gibanje
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno Brownovo gibanje Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Ivana Brkić Fraktalno
More informationTwo improved classes of Broyden s methods for solving nonlinear systems of equations
Available online at www.isr-publications.com/jmcs J. Math. Computer Sci., 17 (2017), 22 31 Research Article Journal Homepage: www.tjmcs.com - www.isr-publications.com/jmcs Two improved classes of Broyden
More informationComputational Optimization. Convexity and Unconstrained Optimization 1/29/08 and 2/1(revised)
Computational Optimization Convexity and Unconstrained Optimization 1/9/08 and /1(revised) Convex Sets A set S is convex if the line segment joining any two points in the set is also in the set, i.e.,
More information1. Nonlinear Equations. This lecture note excerpted parts from Michael Heath and Max Gunzburger. f(x) = 0
Numerical Analysis 1 1. Nonlinear Equations This lecture note excerpted parts from Michael Heath and Max Gunzburger. Given function f, we seek value x for which where f : D R n R n is nonlinear. f(x) =
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationKonformno preslikavanje i Möbiusova transformacija. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lucija Rupčić Konformno preslikavanje i Möbiusova transformacija Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište
More informationMath 273a: Optimization Basic concepts
Math 273a: Optimization Basic concepts Instructor: Wotao Yin Department of Mathematics, UCLA Spring 2015 slides based on Chong-Zak, 4th Ed. Goals of this lecture The general form of optimization: minimize
More informationConvex Analysis Background
Convex Analysis Background John C. Duchi Stanford University Park City Mathematics Institute 206 Abstract In this set of notes, we will outline several standard facts from convex analysis, the study of
More informationMathematical Programming Involving (α, ρ)-right upper-dini-derivative Functions
Filomat 27:5 (2013), 899 908 DOI 10.2298/FIL1305899Y Published by Faculty of Sciences and Mathematics, University of Niš, Serbia Available at: http://www.pmf.ni.ac.rs/filomat Mathematical Programming Involving
More informationOsobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili
More informationBROJEVNE KONGRUENCIJE
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vojko Nestorović BROJEVNE KONGRUENCIJE - MASTER RAD - Mentor, dr Siniša Crvenković Novi Sad, 2011. Sadržaj Predgovor...............................
More informationA choice of norm in discrete approximation
147 A choice of norm in discrete approximation Tomislav Marošević Abstract. We consider the problem of choice of norms in discrete approximation. First, we describe properties of the standard l 1, l 2
More informationSome Properties of the Augmented Lagrangian in Cone Constrained Optimization
MATHEMATICS OF OPERATIONS RESEARCH Vol. 29, No. 3, August 2004, pp. 479 491 issn 0364-765X eissn 1526-5471 04 2903 0479 informs doi 10.1287/moor.1040.0103 2004 INFORMS Some Properties of the Augmented
More informationStrojno učenje. Metoda potpornih vektora (SVM Support Vector Machines) Tomislav Šmuc
Strojno učenje Metoda potpornih vektora (SVM Support Vector Machines) Tomislav Šmuc Generativni i diskriminativni modeli Diskriminativni Generativni (Učenje linije koja razdvaja klase) Učenje modela za
More informationSTABLE AND TOTAL FENCHEL DUALITY FOR CONVEX OPTIMIZATION PROBLEMS IN LOCALLY CONVEX SPACES
STABLE AND TOTAL FENCHEL DUALITY FOR CONVEX OPTIMIZATION PROBLEMS IN LOCALLY CONVEX SPACES CHONG LI, DONGHUI FANG, GENARO LÓPEZ, AND MARCO A. LÓPEZ Abstract. We consider the optimization problem (P A )
More information1. M.S. Shrikhande, S.S. Sane, Quasi-symmetric designs, Cambridge University
Kvazisimetrični dizajni V. Krčadinac, 2016./2017., 30 sati. Dizajn s parametrima t-(v, k, λ) je skup od v točaka s familijom k-članih podskupova koje nazivamo blokovima, takvom da je svaki t-člani skup
More informationBanach Tarskijev paradoks
Banach Tarskijev paradoks Matija Bašić Sažetak Banach Tarskijev paradoks je teorem koji kaže da su bilo koje dvije kugle u R 3 jednakorastavljive, u smislu da postoje particije tih kugli u jednak broj
More informationPOLARS AND DUAL CONES
POLARS AND DUAL CONES VERA ROSHCHINA Abstract. The goal of this note is to remind the basic definitions of convex sets and their polars. For more details see the classic references [1, 2] and [3] for polytopes.
More informationOptimization. Escuela de Ingeniería Informática de Oviedo. (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Numerical Computation Optimization 1 / 30
Optimization Escuela de Ingeniería Informática de Oviedo (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Numerical Computation Optimization 1 / 30 Unconstrained optimization Outline 1 Unconstrained optimization 2 Constrained
More informationMcMaster University. Advanced Optimization Laboratory. Title: A Proximal Method for Identifying Active Manifolds. Authors: Warren L.
McMaster University Advanced Optimization Laboratory Title: A Proximal Method for Identifying Active Manifolds Authors: Warren L. Hare AdvOl-Report No. 2006/07 April 2006, Hamilton, Ontario, Canada A Proximal
More informationA quasisecant method for minimizing nonsmooth functions
A quasisecant method for minimizing nonsmooth functions Adil M. Bagirov and Asef Nazari Ganjehlou Centre for Informatics and Applied Optimization, School of Information Technology and Mathematical Sciences,
More informationThe Relation Between Pseudonormality and Quasiregularity in Constrained Optimization 1
October 2003 The Relation Between Pseudonormality and Quasiregularity in Constrained Optimization 1 by Asuman E. Ozdaglar and Dimitri P. Bertsekas 2 Abstract We consider optimization problems with equality,
More informationNONSMOOTH VARIANTS OF POWELL S BFGS CONVERGENCE THEOREM
NONSMOOTH VARIANTS OF POWELL S BFGS CONVERGENCE THEOREM JIAYI GUO AND A.S. LEWIS Abstract. The popular BFGS quasi-newton minimization algorithm under reasonable conditions converges globally on smooth
More informationNonlinear Programming Algorithms Handout
Nonlinear Programming Algorithms Handout Michael C. Ferris Computer Sciences Department University of Wisconsin Madison, Wisconsin 5376 September 9 1 Eigenvalues The eigenvalues of a matrix A C n n are
More informationOptimality Conditions for Nonsmooth Convex Optimization
Optimality Conditions for Nonsmooth Convex Optimization Sangkyun Lee Oct 22, 2014 Let us consider a convex function f : R n R, where R is the extended real field, R := R {, + }, which is proper (f never
More informationMethods for a Class of Convex. Functions. Stephen M. Robinson WP April 1996
Working Paper Linear Convergence of Epsilon-Subgradient Descent Methods for a Class of Convex Functions Stephen M. Robinson WP-96-041 April 1996 IIASA International Institute for Applied Systems Analysis
More informationFUNCTIONAL ANALYSIS HAHN-BANACH THEOREM. F (m 2 ) + α m 2 + x 0
FUNCTIONAL ANALYSIS HAHN-BANACH THEOREM If M is a linear subspace of a normal linear space X and if F is a bounded linear functional on M then F can be extended to M + [x 0 ] without changing its norm.
More informationHRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationFIXED POINTS IN THE FAMILY OF CONVEX REPRESENTATIONS OF A MAXIMAL MONOTONE OPERATOR
PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 00, Number 0, Pages 000 000 S 0002-9939(XX)0000-0 FIXED POINTS IN THE FAMILY OF CONVEX REPRESENTATIONS OF A MAXIMAL MONOTONE OPERATOR B. F. SVAITER
More informationLECTURE 12 LECTURE OUTLINE. Subgradients Fenchel inequality Sensitivity in constrained optimization Subdifferential calculus Optimality conditions
LECTURE 12 LECTURE OUTLINE Subgradients Fenchel inequality Sensitivity in constrained optimization Subdifferential calculus Optimality conditions Reading: Section 5.4 All figures are courtesy of Athena
More informationStatistics 580 Optimization Methods
Statistics 580 Optimization Methods Introduction Let fx be a given real-valued function on R p. The general optimization problem is to find an x ɛ R p at which fx attain a maximum or a minimum. It is of
More informationChapter 2 Convex Analysis
Chapter 2 Convex Analysis The theory of nonsmooth analysis is based on convex analysis. Thus, we start this chapter by giving basic concepts and results of convexity (for further readings see also [202,
More informationStability of efficient solutions for semi-infinite vector optimization problems
Stability of efficient solutions for semi-infinite vector optimization problems Z. Y. Peng, J. T. Zhou February 6, 2016 Abstract This paper is devoted to the study of the stability of efficient solutions
More information