AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE

Transcription

1 Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Osijek, 2013.

2 Sveučilište J.J. Strossmayera Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Igor Sušić AKSIOM IZBORA I EKVIVALENCIJE Završni rad Mentor: prof. dr. sc. Šime Ungar Osijek, 2013.

3 Sažetak. Ovaj rad se bavi razmatranjem Aksioma izbora i tvrdnji koje su ekvivalentne sa Aksiomom izbora. One su važne za pravilnu izgradnju samih temelja matematike, ali su bile i može se reći da su još uvijek, no u znatno manjoj mjeri, predmet rasprave i neslaganja među matematičarima. Najvažniji momenti vezani za Aksiom izbora i njegove ekvivalente, prikazani su kroz kratki povijesni pregled. U radu se pokušava što objektivnije, no priklanjajući se glavnim strujama u modernoj matematici (odnosno, ZF teoriji, koja je najviše upotrebljivana od svih aksiomatskih teorija skupova), dati sud o ispravnosti i valjanosti Aksioma izbora i nekih njegovih posljedica. Njihov značaj za matematiku u cjelini samo je ukratko naveden, no dokaz međusobne ekvivalentnosti detaljno je učinjen kroz nekoliko poglavlja, što ujedno i predstavlja glavni cilj ovoga rada. Ključne riječi: Aksiom izbora, Zornova lema, Hausdorffov princip maksimalnosti, Zermelov teorem o dobrom uređenju, Hartogsov teorem, Teorem Tarskog, funkcija izbora, izborni skup, linearno uređen skup, lanac, parcijalno uređen skup, ordinalni broj, kardinalni broj Abstract. This paper is considering the Axiom of choice and statements which are equivalent to it. They are important for the proper construction of the very foundations of mathematics, but they were, and it might be said that they still are, but to a much lesser extent, the subject of discussion and disagreements between mathematicians. The most important moments related to the Axiom of choice and it s equivalents are presented through a brief historical review. This paper attempts objectively, but adhering to the main trends in modern mathematics (i.e., ZF theory, which is the most-used of all the axiomatic set theories), to give an appraisal of the correctness and validity of Axiom of choice and some of it s consequences. Their significance for mathematics in general is only briefly mentioned, but the proof of mutual equivalence is thoroughly done through several chapters, which indeed represents the main purpose of this paper. Key words: Axiom of choice, Zorn s lemma, Hausdorff s maximal principle, Zermelo s wellordering theorem, Hartogs theorem, Tarski s theorem, choice function, choice set, linearly ordered set, chain, partially ordered set, ordinal number, cardinal number i

4 Sadržaj Uvod 1 1 Aksiom izbora 2 2 Ekvivalenti Aksioma izbora Zornova lema Hausdorffov princip maksimalnosti Zermelov teorem o dobrom uređenju Hartogsov teorem Tarskijev teorem Zaključak 24 Literatura 25 ii

5 Aksiom izbora je očita istina, princip dobre uređenosti skupova očita neistina, a tko može išta reći o Zornovoj lemi? Jerry Bona Uvod Aksiom izbora zasigurno je jedan od najintrigantnijih i najdiskutabilnijih aksioma u povijesti matematike, odmah uz bok Euklidovom Aksiomu o paralelama. U svoj svojoj ljepoti, on izgleda naivno, intuitivno, pa čak jednolično i dosadno, no u njemu čuči pravi monstrum koji je uzrok mnogim prijeporima između matematičara. Taj naizgled bezopasan teorem ima dalekosežne posljedice od kojih su mnoge danas neophodne u brojnim granama matematike, kao što su prvenstveno Teorija skupova, ali i Algebra, Matematička analiza, Topologija, Teorija mjere, Matematička logika i mnoge druge. S druge strane, neke su posljedice ovog aksioma toliko zbunjujuće da su uzdrmale i dovele u pitanje same temelje matematike, te osvježile filozofski pristup matematici. Ovaj rad se bavi upravo tom tematikom kroz dva glavna poglavlja. Tako je u prvom poglavlju uveden Aksiom izbora kroz kronološki slijed zbivanja, od njegove prvotne verzije, zatim postupnog razvoja i na kraju utjecaja na čitavu matematiku. Neke od značajnijih verzija samog aksioma su izložene i dokazane, te su navedeni matematičari čiji je doprinos u razvoju aksioma i njegovih posljedica bio ključan. Drugi dio je po svome opsegu najveći, ali i najznačajniji, jer sadrži glavnu problematiku rada. Tu je navedeno pet tvrdnji, ekvivalentnih Aksiomu izbora, čija se ekvivalencija dokazivala kroz jednako mnogo potpoglavlja. Za svaku je tvrdnju ukratko rastumačen njezin značaj i smisao, te put kojim se razvijala. Dokazi su detaljno objašnjeni i prirodno slijede jedan iz drugoga. Tijekom rada, kada se za to javljala potreba, navedene su određene definicije i pomoćni teoremi, koji su zbog svoje referentnosti na samo specifični dio rada numerirani malim rimskim brojevima. Također, pokušao sam što efikasnije, ali bez smanjenja smisla i točnosti, uvesti čitatelja u dodatnu tematiku koja je neophodna za razumijevanje samih ekvivalenata i njihovih dokaza. 1

6 1 Aksiom izbora Navedimo prvo dvije pomoćne definicije, koje su nužne za razumijevanje daljnjeg teksta: Definicija 1. Neka je A neka neprazna familija skupova i neka je J neki neprazni skup. Svaka surjekcija f : J A naziva se indeksna funkcija. J se naziva indeksni skup ili skup indeksa, a familija A zajedno sa indeksnom funkcijom f, tj. uređeni par (A, f), naziva se indeksirana familija skupova. Napomenimo kako je za α J vrijednost f(α) =: A α A. Definicija 2. Neka je {A α : α J} neprazna indeksirana familija nepraznih skupova i neka je A = {A α : α J}. Funkcija i : J A takva da je i(α) A α za svaki α, naziva se funkcija izbora ili izborna funkcija. Primijetimo kako ovime nismo izrekli postojanje izborne funkcije za neki skup, već smo ju samo definirali. Postavlja se pitanje, ako je {A j : j J} neprazna indeksirana familija nepraznih skupova, je li tada i Kartezijev produkt A = A j također neprazan? Odgovor je intuitivan u slučaju kada je J konačan, tj. kada se radi o konačnoj familiji {A 1,..., A n }, odnosno {A j : j [1.. n]}. Tada produkt A možemo zapisati kao A = n A j = A 1 A n, a prema teoremu o uzastopnom prebrojavanju (konačni Kartezijev produkt konačnih skupova je konačan) taj je skup također konačan, odnosno postoji samo konačno mnogo izbora (a 1,..., a n ) takvih da je a j A j. Drugim riječima iz svakog nepraznog skupa A j možemo birati po jedan element a j, a to je skup svih izbornih funkcija f : [1.. n] f(j) =: a j A j za sve j = 1,..., n, pa je A = n j J j=1 j=1 n A j i=j takvih da je A j = {(a 1,..., a n ) : a j A j, j = 1,..., n}. Dakle A je skup uređenih n-torki, odnosno ovime smo intuitivno definirali Kartezijev produkt za konačne skupove, te je (a 1,..., a n ) A što znači da je produkt A također neprazan. 2

7 Vidljivo je da nam za konačne familije konačnih skupova aksiom izbora nije potreban. No, što ako imamo beskonačno mnogo nepraznih skupova A j, j J? Je li tada moguće, kao kod konačnog skupa, odabrati po jedan element iz svakog A j? Specijalno, ako je A beskonačan skup međusobno disjunktnih nepraznih skupova, postoji li tada izborni skup C koji sadrži točno po jedan element svakog tog nepraznog skupa? Tvrdnja koja kaže da takav izborni skup uvijek postoji danas je poznata kao Aksiom izbora. Njegova je posebnost u tome što on omogućuje izvršavanje beskonačno mnogo izbora, jer skup A može sadržavati kao svoje elemente beskonačno mnogo skupova A α i iz svakog A α prema tom aksiomu možemo izabrati jedan element, čak i u slučaju kada nemamo mogućnosti izvršiti konkretan izbor. Također, Aksiom izbora osigurava postojanje skupa C, ali ne daje mogućnost njegove konstrukcije. Zaista, mogućnost da se izvršiti jedan izbor, ili postupno, konačno mnogo izbora, nam je prihvatljiva i intuitivna, no teško je prihvatiti mogućnost beskonačnog broja takvih izbora. Pogotovo, jer se uporabom ovog rezultata dobivaju dosta neočekivani rezultati. Aksiom izbora (AC) Za svaku nepraznu familiju A međusobno disjunktnih nepraznih skupova A α, postoji barem jedan skup C koji se sastoji od po točno jednog elementa iz svakog skupa A α iz familije A. Povijesno gledano, Aksiom izbora u matematiku je ušao implicitno, tako da su mnogi matematičari, pa čak i sam otac teorije skupova, Cantor, koristili neki njegov oblik nevidjevši nužnost da ga se posebno izdvoji. Prvi koji je uočio da je taj aksiom upotrijebljen kao argument za dokaz, bio je G. Peano, godine, dok je radio na svom teoremu o postojanju rješenja sustava običnih diferencijalnih jednadžbi. Vjerojatno ključni trenutak dogodio se godine, kada je Beppo Levi izložio Aksiom izbora u dokazu da je unija disjunktnih nepraznih skupova koji čine skup A veće ili jednake kardinalnosti nego skup A, tj. da je kardinalnost skupa koji je unija n nepraznih, međusobno disjunktnih skupova veća ili jednaka od n. Ustvrdio je da je to nemoguće dokazati ako ne istaknemo po jedan element iz svakog od n skupova, no nije bio u stanju iskazati aksiom u općoj formi. Bertrand Russel je godine Aksiom izbora iskazao u formi koja je danas poznata kao Russelov multiplikativni aksiom, prema kojem ako je A skup disjunktnih nepraznih skupova, onda je A, te na kraju E. Zermelo formalno uvodi i formulira Aksiom izbora (kao eksplicitnu pretpostavku), a sve u cilju da formalizira svoj dokaz da se svaki skup može dobro urediti. Prema tome, prihvativši da izborni skup postoji, formalnom sustavu Zermelo-Fraenkelove (kraće ZF) teorije skupova treba dodati i Aksiom izbora (kraće AC, prema eng. axiom of choice) i tada takvu teoriju, obilježavamo sa ZFC. Pri pokušajima dokazivanja Aksioma izbora matematičari su pronašli brojne ekvivalente tog aksioma, tako se smatra da danas postoji otprilike 200 ekvivalenata Aksioma izbora 1. 1 Prema: H. Rubin, J.E. Rubin, Equivalents of the axiom of choice. 2nd ed.,north-holland, Amsterdam- New York-Oxford,

8 Prava bura oko Aksioma izbora nastala je tek nakon pronalaska nekih od njih, tako da su mnogi matematičari počeli sumnjati u njegovu jednostavnost i očiglednost, te su ga nakon dokaza da je AC ekvivalentan sa Aksiomom o dobrom uređenju, prema kojem se svaki skup, pa tako i skup realnih brojeva, može dobro urediti, počeli odbacivati. Jedno od temeljnih pitanja, pitanje proturječnosti Aksioma izbora u odnosu na ZF teoriju, razriješio je K.Gödel godine dokazavši da je Aksiom izbora suglasan sa ZF teorijom, tj. ako je ZF neproturječna teorija, onda je neproturječna i ZFC. Konkretno, to znači da se AC ne može opovrgnuti unutar ZF sustava, jer ako je tako, onda se AC i njegova negacija u isto vrijeme mogu prikazati kao istine, što je naravno kontradikcija. Teže pitanje je bilo može li se Aksiom izbora izvesti iz aksioma ZF teorije. Zbog jednostavnosti i očiglednosti samog aksioma većina matematičara je smatrala da se to može učiniti, međutim, godine P.J. Cohen je dokazao da se Aksiom izbora prema ZF teoriji ponaša kao Aksiom o paralelama u geometriji: Aksiom izbora je nezavisan od ZF teorije, tj. ako je ZF neproturječna, onda je neproturječna i ZF teorija kojoj je dodana negacija Aksioma izbora. Time je riješena i prijašnja nedoumica oko proturječnosti sa ZF teorijom, jer je Cohen dokazao da je i negacija Aksioma izbora konzistentna sa ZF aksiomima, pa se stoga AC ne može dokazati. Time je status Aksioma izbora sveden na tvrdnju koja niti može biti dokazana, niti može biti opovrgnuta, unutar sustava ZF aksioma. Sada, kada smo pokazali valjanost, logičku ispravnost i istinitos Aksioma izbora, možemo navesti jedan od važnijih oblika, odnosno formulacija, Aksioma izbora: Teorem 1. izbora. Za svaku nepraznu indeksiranu familiju nepraznih skupova postoji funkcija Dokaz: Neka je {A α : α J} neprazna indeksirana familija nepraznih skupova. Za svaki α J definiramo B α = A α {α} = {(x, α) : x A α }. Indeksirana familija {B α : α J} sastoji se od međusobno disjunktnih nepraznih skupova, tj. za sve α J je skup B α, te ako je α β onda je B α B β =, jer su (x, α) B α i (x, β) B β međusobno različiti. Primjenom Aksioma izbora na familiju {B α : α J} slijedi da postoji skup C koji sadrži jedan i samo jedan element iz skupa B α za svaki α J, tj. C B α = {(a α, α)}, odnosno presjek je jednočlan skup. Očito je a α A α, a funkcija i : J {A α : α J} definirana s i(α) = a α A α, je funkcija izbora za početnu familiju. Zanimljiva je i preformulacija prethodnog teorema koja ne koristi indekse: Teorem 1. Neka je A neprazna familija nepraznih skupova. Tada postoji funkcija i : A A takva da je i(a) A za sve A A. A A Dokaz: Slično kao u dokazu teorema 1, za svaki A A definirajmo skup 4

9 a A := {(x, A) : x A}. Kako je A onda je i a A, te je za A B, a A a B =, jer elementi skupova a A i a B imaju različitu drugu koordinatu. Stoga, prema Aksiomu izbora postoji skup C (izborni skup) koji ima samo jedan zajednički element sa svakim a A i to je (x A, A), za svaki A A, te je očito x A A. Sada definiramo funkciju i : A A s i(a) = x A A, i to je funkcija izbora za polaznu familiju A. A A Razlika između Aksioma izbora i teorema 1 je u tome što se u teoremu nije zahtijevalo da članovi familije moraju biti međusobno disjunktni, no to smo kompezirali tako što nismo izabirali točno jedan element iz svakog A α. Teorem 1 je zapravo ekvivalentan s Aksiomom izbora, jer kao što smo pokazali da iz AC slijedi teorem 1, isto tako možemo pokazati i obrnutu implikaciju. Naime, ako su skupovi familije {A α : α J} međusobno disjunktni, tada je i(α) A α, i(β) A β, pa za α β, a α a β jer je A α A β =. Stoga je C = {a α : α J} upravo onakav skup kakav se traži u Aksiomu izbora. Mnoge tvrdnje i dokazi u matemtici su nemogući bez Aksioma izbora, tako za dokazati da svaki vektorski prostor ima algebarsku (Hamelovu) bazu; da su Heineova i Cauchyeva definicija neprekidnosti funkcije ekvivalentne; da postoji algebarski zatvoreno proširenje svakog polja; da su svake dvije baze vektorskog prostora ekvipotentne, i još mnogo toga, neophodan je upravo ovaj aksiom. 5

10 2 Ekvivalenti Aksioma izbora Kao što je ranije navedeno, danas su poznate mnoge tvrdnje koje su ekvivalentne Aksiomu izbora i ti specifični oblici se koriste u dokazima brojnih teorema. Cilj ovog rada je iskazati i dokazati neke od najznačajnijih i najkorisnijih ekvivalenata. Njih ćemo istaknuti u obliku teorema, a onda ćemo svakom ekvivalentu posebno, posvetiti razmatranje u zasebnom odlomku. Teorem 2. Sljedeće tvrdnje su ekvivalentne sa Aksiomom izbora [AC]: [1] Zornova lema: Neka je (X, <) parcijalno uređen skup sa svojstvom da svaki lanac iz X ima gornju među u X. Tada (X, <) ima barem jedan maksimalni element. [2] Hausdorffov princip maksimalnosti: Neka je (X, <) parcijalno uređen skup. Tada za svaki lanac L od X postoji maksimalni lanac koji ga sadrži. [3] Zermelov teorem o dobrom uređenju: Svaki skup se može dobro urediti, tj. za svaki skup A postoji relacija R X X takva da je (X, R) dobro uređen skup. [4] Hartogsov teorem: Ako su A i B proizvoljni skupovi tada vrijedi kard A kard B ili kard B kard A. [5] Tarskijev teorem: Ako je λ beskonačan kardinalni broj tada je λ 2 = λ. Iako različito nazvani: aksiom, lema, princip, teorem ; svaki od ovih iskaza se može, umjesto Aksioma izbora, uzeti kao aksiom, nezavisan i u skladu sa svim prihvaćenim aksiomima matematike. Dokaz ekvivalencije provodit ćemo tako da dokazujemo međusobne implikacije i to u smislu da koristimo jednu da bi dokazali drugu. Zatvaranjem kruga dokaz ekvivalencija bit će učinjen. Skica implikacija koje ćemo redom provoditi u pojedinim potpoglavljima je sljedeća: [1] [2] [5] [AC] [3] [4] 6

11 Prije samih dokaza, navedimo nekoliko fundamentalnih definicija, koje ćemo koristiti u daljnjem tekstu: Definicija 3. Parcijalni uređaj na skupu X je svaka antirefleksivna i tranzitivna relacija na X, oznaka <. Par (X, <) naziva se parcijalno uređen skup. Definicija 4. Neka je (X, <) parcijalno uređen skup i A X. Najmanji element (minimum) skupa A je element a 0 A takav da je a 0 a za sve a A. Minimalni element skupa A je element a A takav da ne postoji a A za koji vrijedi a < a. Analogno se definiraju najveći element i maksimalni element. Važno je uočiti da najmanji element, ako postoji, onda je jedinstevn i on je ujedno jedini minimalni element. Nadalje, minimalnih elemenata može biti više i u tom slučaju najmanji element ne postoji. Ali niti najmanji, niti minimalni element ne moraju postojati. Analogne činjenice vrijede i za maksimalni element. Definicija 5. Neka je (X, <) parcijalno uređen skup i A X. Element x 0 X je donja međa skupa A, ako je x 0 a za sve a A. Skup A je odozdo omeđen ako postoji donja međa skupa A. Najveće donja međa skupa A, ako postoji, naziva se infimum. Analogno se definiraju gornja međa, odozgo omeđen i supremum. Skup A je omeđen ako je omeđen odozdo i odozgo. Definicija 6. Za parcijalno uređen skup (X, <) kažemo da je linearno uređen ili totalno uređen ili potpuno uređen ili da je lanac, ako su svaka dva različita elementa usporediva. Odnosno, parcijalno uređen skup (X, <) je linearno uređen skup ako je relacija < na X anisimetrična, tranzitivna i povezana. Definicija 7. Za parcijalno uređene skupove (X, <) i (Y, ) kažemo da su slični ako postoje uzlazne funkcije f : X Y i g : Y X takve da je g f = 1 X i f g = 1 Y. Njihovu sličnost obilježavamo sa (X, <) (Y, ) ili kraće X Y ako je jasno, ili nevažno, o kojem se uređaju radi. Svaka takva funkcija naziva se sličnost ili preslikavanje sličnosti. Definicija 8. Dobro uređen skup, DUS, je linearno uređen skup (lanac) sa svojstvom da svaki njegov neprazni podskup ima minimum. Očito je svaki podskup dobro uređenog skupa, s nasljeđenim uređajem, i sam dobro uređen skup. 7

12 2.1 Zornova lema Ovaj teorem 2 se vrlo često rabi u teoriji skupova, ali i općenito, u cijeloj matematici, te je svojevrsno predstavljao noviju verziju Hausdorffovog principa maksimalnosti. Varijantu teorema u kojoj je promatran dobro uređen skup, dokazao je K. Kuratowski godine, a zatim M. Zorn, godine, daje dokaz oslabljene verzije, sa parcijalno uređenim skupom, kakvu koristimo i danas. Max Zorn također predlaže da to postane novi aksiom teorije skupova, koji će zamijeniti Zermelov teorem o dobrom uređenju, te pokazuje njegovu ulogu u mnogim dokazima, kao npr. da svaki vektorski prostor ima bazu, te da ako je R prsten sa jedinicom, onda je svaki ideal J u R sadržan u maksimalnom idealu, itd. Dokažimo sada Zornovu lemu koristeći Aksiom izbora, na taj način će implikacija [AC] [1], tj. da Aksiom izbora povlači Zornovu lemu, biti pokazana: Dokaz: Za dokaz će nam, uz Aksiom izbora, trebati nekoliko pomoćnih tvrdnji, lema i teorema koje ćemo, kako se tokom dokaza bude javljala potreba za njima, iskazati i dokazati: Teorem (i). Neka je (X, <) parcijalno uređen skup. Tada postoji podskup X P(X) takav da su (X, <) i (X, ) slični. (Drugim riječima, ovaj teorem kaže da se svaki parcijalno uređen skup X može reprezentirati kao neki podskup partitivnog skupa P(X) uređenog inkluzijom, tj. relacijom sadržavanja.) Dokaz : Za a X neka je X a = {x X : x a} X, tj. X a je skup svih prethodnika od a zajedno sa a, i neka je X = {X a : a X}. Da bismo dokazali da su (X, <) i (X, ) slični, tj. da su X i X slični (kraće kažemo X X jer nam je jasno iz iskaza teorema o kojim se uređajima radi), trebamo pokazati da postoji uzlazna bijekcija f sa (X, <), odnosno X, na (X, ), odnosno X, čiji je inverz f 1 također uzlazan. Definiramo f : X X s f(a) := X a, a X. Vidimo da je f očito surjekcija. f je također i injekcija jer za X a = X b (a b b a) a = b. Također, f je uzlazna funkcija, odnosno ako je a b c X a je c a c b c X b, pa je X a X b. Na kraju pokažimo da je i f 1 također uzlazna: X a X b c X a, tj. c a, je c X b, tj. c b. Specijalno za a X a je a b. Sada, prema gornjem teoremu slijedi da je (X, <) parcijalno uređen skup, sličan podskupu (X, ) (P(X), ), koji je parcijalno uređen relacijom sadržavanja (inkluzijom), pa je postojanje gornje međe 3 nekog linearno uređenog skupa, odnosno kraće, lanca, u X ekvivalentno postojanju gornje međe odgovarajućeg lanca u X, a maksimalan element u X 2 Za Zornovu lemu se često kaže da je teorem, iako joj je u samom nazivu riječ lema jer tako zvuči više tehnički, a i koristi se u drugim dokazima, no ona je po svom opsegu primjene zapravo teorem. 3 To da svaki lanac iz X ima gornju među u X znači da za svaki lanac L X postoji neki y X takav da je y x za sve x L 8

13 odgovara maksimalnom elementu u X. Također, iz dokaza teorema je vidljivo da su elementi od X skupovi X a = {x X : x a} i da je sličnost (X, <) (X, ) dana s a X a. Kako je X uređen inkluzijom, gornja međa lanca L X je svaki element od X koji sadrži uniju svih članova od L. Dakle, treba dokazati da ako svaki lanac u parcijalno uređenom skupu (X, ) ima svojstvo da je unija njegovih elemenata sadržana u nekom elementu od X, onda X ima barem jedan maksimalana element (ne maksimum, nego maksimalni element, dakle barem jedan element od kojeg nema većeg). Primijetimo kako elementi od X nisu samo lanci u X, jer X nije linearno uređen skup. Iz tog razloga ćemo umjesto X promatrati jedan drugi skup. Nazovimo sa X skup svih lanaca u X i uredimo ga inkluzijom. Primijetimo kako su elementi od X lanci u X, dakle elementi su mu podskupovi od X, odnosno X je podskup partitivnog skupa od X. (X, ) je parcijalno uređen skup i ima sljedeća svojstva: (a) Ako je A X, tj. ako je A lanac u X, onda je i svaki podskup od A, uključujući i, lanac, odnosno element od X. (b) Ako je L = {A λ : λ Λ} lanac u X, onda je i unija L = {A λ : λ Λ} element od X, tj. lanac u X. (c) Svaki lanac u X ima supremum (najmanju gornju među) u X. Tvrdnja pod (a) je očita jer je svaki podskup lanca u X opet lanac u X. Tvrdnju pod (b) možemo raspisati ovako: neka su a, b L, gdje je L = {A λ : λ Λ}, a b i λ, µ Λ takvi da je a A λ i b A µ. Kako je L lanac, te A λ, A µ L, slijedi da je A λ A µ ili je A µ A λ. Neka je npr. A λ A µ. Tada su a, b A µ, a kako je A µ X, dakle lanac u X, tada je ili a < b ili b < a, tj. L je lanac u X, dakle, element od X. Lanac L iz (b) je očito najmanji element u X koji sadrži sve članove L, pa je L = sup L, te vrijedi tvrdnja pod (c), tj. dok smo na početku pretpostavljali da svaki lanac u (X, <) ima samo gornju među, sada smo se uvjerili da svaki lanac u X ima čak supremum. Tvrdnja 1: Svaki element iz X sadržan je u nekom elementu iz X. Zaista, ako je L X bilo koji lanac u X, onda je L lanac i u X i prema pretpostavci da svaki lanac u X ima gornju među, L u X ima gornju među, nazovimo ju l. Tada je L {x X : x l} = X l X. Dakle, svaki element iz (X, ) je sadržan u nekom elementu iz (X, ). Tvrdnja 2: Ako je L maksimalan elment u X i l je gornja međa od L, onda je X l maksimalan element u X. 9

14 Naime, kada bi postojao C X koji striktno sadrži X l, taj skup C bi bio oblika C = X c za neki c X, pa bi redna unija 4 L {c} (dakle, svi iz lanca L i još na kraju dodan c, jer su svi iz lanca L ispred c) bio lanac u X, tj. element u X, koji striktno sadrži L. Prethodne dvije tvrdnje pokazuju da razmatranjem skupa X umjesto skupa X nećemo dobiti nove maksimalne elemente, drugim riječima, za svaki maksimalni element u X postoji odgovarajući maksimalni element u X. Prema tome, da bi dokazali Zornovu lemu treba dokazati da skup (X, ) ima barem jedan maksimalni element. U tu svrhu, iskoristit ćemo svojstva (a), (b), (c) skupa X, te Aksiom izbora, točnije teorem 1 prema kojem postoji funkcija izbora f koja svakom nepraznom podskupu S X pridružuje element f(s) S, dakle f svakom podskupu skupa X pridružuje element iz tog istog skupa. Za svaki element A X, dakle lanac u X, označimo sa Ā skup svih x X takvih da je A {x} opet lanac u X, odnosno Ā X, tj. Ā = {x X : A {x} X}. A {f(ā Definirajmo funkciju g : X X s g(a) = \ A)}, za Ā \ A A, za Ā \ A =. Drugim riječima, funkcija g dodaje lancu A u X jedan, funkcijom f izabaran x, takav da je A {x} opet lanac u X i g(a) = A onda i samo onda ako je A makisamalan lanac 5 u X, odnosno, maksimalan element u X. Istaknimo da je bitna prednost prelaska na skup X, što je uvijek A g(a), jer ili je A = g(a) ili smo mu dodali još jedan element pa je A g(a), a ako je g(a) A, onda je skup g(a) \ A jednočlan, tj. sadrži samo jedan element iz skupa X. Dakle, Zornova lema će biti dokazana ako dokažemo da u X postoji element A takav da je g(a) = A, odnosno lanac A kojem se ne može ništa dodati da on opet bude lanac. Iskažimo to u obliku nove tvrdnje: Tvrdnja 3: Postoji lanac A X takav da je g(a) = A. Neka je J X bilo koji podskup od X takav da je: (i) J (ii) Ako je A J onda je g(a) J. (iii) Ako je L J lanac u J, onda je unija svih elemenata iz L, L, element u J (odnosno, unija lanca koji se sastoji od lanaca u X koji su elementi od J, je lanac u X koji je opet element od J). 4 Neka su A i B disjunktni linearno uređeni skupovi. Njihova redna unija, A B, je unija A B s uređajem, takva da A i B zadržavaju svaki svoj uređaj, te je svaki a A ispred svakog b B. Uočimo da vrijedi: A B B A 5 To da je A maksimalan lanac u X znači da mu se ne može dodati niti jedan element da on opet bude u X, tj. g(a) = A, odnosno A = Ā 10

15 Za početak uočimo kako neprazni podskupovi J X s ova tri svojstva postoje, tj. skup J nije prazan, jer na primjer, čitav skup X zadovoljava gornje uvjete. Neka je J 0 presjek svih podskupova J X koji zadovoljavaju gornja tri svojstva. Očito je J 0 najmanji podskup od X koji zadovoljava uvjete (i), (ii), (iii). Dokažimo sada da je J 0 lanac u X 6 Za C J 0 kažemo da je usporediv u J 0 ako je usporediv sa svakim elementom iz J 0, tj. ako za svaki A J 0 vrijedi da je A C ili C A. Jasno je da će skup J 0 biti lanac ako i samo ako je svaki element u J 0 usporediv u J 0. Usporedivi elementi u J 0 postoje, na primjer je usporediv u J 0, A, A J 0. Pretpostavimo da je C J 0 usporediv u J 0 i neka je A J 0 pravi podskup od C, A C. Tvrdimo da je g(a) C. Zaista, zbog svojstva (ii) je g(a) J 0, pa kako je C usporediv u J 0, mora biti ili g(a) C (uključeno je i g(a) = C) ili je C g(a). Međutim, slučaj kada je C g(a) nije moguć, jer bi tada bilo A C g(a), pa bi g(a) imao barem dva elementa više nego A, što prema definiciji funkcije g, nije moguće. Preostaje prva mogućnost, dakle, za svaki A C je g(a) C. Za C J 0 neka je I(C) = {A J 0 : A C ili g(c) A}. Zbog (ii) je za svaki C J 0 i g(c) J 0, pa su skupovi, C i g(c) elementi skupa I(C). Dodatno, ta tri skupa su i usporediva u I(C), jer za svaki A I(C) vrijedi A i A C g(c) ili C g(c) A. Kako bismo završili dokaz Zornove leme, neophodne su nam sljedeće dvije leme: Lema (ii). Za svaki C J 0 je I(C) = J 0. Dokaz : Iz same definicije skupa I(C) slijedi da je I(C) J 0, što znači da treba dokazati samo obratnu inkluziju, J 0 I(C). Za to je dovoljno pokazati da I(C) zadovoljava uvjete (i), (ii), (iii), jer je J 0 najmanji podskup od X koji ih zadovoljava. Kako je I(C), uvjet (i) je ispunjen. Dokažimo uvjet pod (ii), tj. ako je A I(C) onda je g(a) I(C). Kako J 0 zadovoljava uvjet (ii), za A I(C) je A J 0, pa ako je A C onda je g(a) C, te još g(a) I(C). Ako je A = C, onda je g(a) = g(c), tj. g(a) = g(c) I(C). Konačno, ako je g(c) A onda je g(c) g(a), te je g(a) I(C), a time je (ii) ispunjeno. Preostaje još pokazati da I(C) zadovoljava i (iii), tj. da ako je L I(C) lanac u I(C), onda je unija svih elemenata iz L element u I(C), odnosno L I(C). Mogu nastupiti dva slučaja: 1 Za svaki A L je A C. Tada je i unija svih elemenata iz L sadržana u J 0, te je ta unija element u I(C), tj. L I(C). 6 Uočimo da se do sada nigdje nije tražilo da J-ovi moraju biti lanci; oni su samo sadržavali lance. 11

16 2 Postoji A 0 L takav da A 0 C, pa je onda g(c) A 0. Tada je pogotovo g(c) L, pa je opet, kao u 1, L I(C). Time smo pokazali da I(C) zadovoljava i uvjet (iii), pa je zaista I(C) = J 0, a time je lema (ii) dokazana. Lema (iii). Svaki element iz J 0 je usporediv u J 0, tj. J 0 je lanac u (X, ). Dokaz : Neka je C J 0 proizvoljan. Tada je, prema lemi (ii), I(C) = J 0, pa iz definicije skupa I(C) slijedi da za svaki A J 0 vrijedi ili A C ili C g(c) A. Prema tome, C je usporediv sa svakim A J 0, tj. zbog proizvoljnosti od C, svaka dva elementa iz J 0 su usporediva, pa je J 0 lanac. Sada smo konačno u mogućnosti završiti dokaz Zornove leme. Neka je J 0 := J 0, tj. J 0 je unija svih elemenata lanca J 0. Prema lemi (ii), je J 0 J 0. Kako J 0 zadovoljava (iii), zaključujemo da je i g(j 0 ) J 0. No, kako je J 0 unija svih skupova iz lanca J 0, on i sadrži sve skupove iz J 0. Posebno je i g(j 0 ) J 0, a kako je J 0 g(j 0 ), iz ove dvije inkluzije slijedi da je g(j 0 ) = J 0. Dakle, J 0 je maksimalan element u J 0, odnosno vrijedi J 0 J 0 X, što je dokaz da vrijedi tvrdnja 3. Time je Zornova lema dokazana. Važno je napomenuti, kako je ovo egzistencijalni dokaz i on bez obzira na svoju robusnost ne pokazuje kako se maksimalan element u X zaista može pronaći, već samo tvrdi da on postoji. No, i sama egzistencija maksimalnog elementa je dovoljno važna i zanimljiva da bi ovaj dokaz imao svoju vrijednost. Dakle, korištenjem Aksioma izbora uspješno smo napravili dokaz Zornove leme i time pokazali da implikacija [AC] [1] zaista vrijedi. 2.2 Hausdorffov princip maksimalnosti Može se reći da je povijest Principa maksimalnosti prilično zapetljana. Prvi osvrt na Princip maksimalnosti dao je, godine, Felix Hausdorff, izvevši jedan specijalni oblik toga principa, koji je kasnije, točnije godine, i dokazao. Nakon toga, godine u svojoj knjizi, Hausdorff, iz Teorema o dobrom uređenju, izvodi novu modifikaciju, te još kasnije, godine, isto radi uz pomoć Aksioma izbora. Usporedno sa Hausdorffom, C. Kuratowski i M. Zorn, i godine, nezavisno jedan o drugom, shvaćaju da se Teorem o dobrom uređenju skupova može zamijeniti sa Principom maksimalnosti. Kako je Hausdorffov prvi koji je u svom radu naveo Princip maksimalnosti, danas on nosi njegovo ime i predstavlja stariju i alternativnu formu Zornove leme. Sada nam je cilj pokazati da iz Zornove leme slijedi Hausdorffov princip maksimalnosti, 12

17 odnosno [1] [2]. Time će, po zatvaranju kruga implikacija na kraju rada, biti pokazana ekvivalencija Hausdorffovog principa maksimalnosti sa Aksiomom izbora, ali i sa Zornovom lemom. Dokaz: Neka je < parcijalni uređaj na skupu X i neka je L neki lanac u parcijalno uređenom skupu (X, <), odnosno L X. Maksimalni lanac u X koji sadrži L je, po definiciji, neki lanac X X takav da je L X i ne postoji lanac Y u X takav da je L Y i X Y. Drugim riječima, ne postoji niti jedan lanac u (X, <), takav da sadrži L i da mu je X pravi podskup. Definirajmo L := {L : L je lanac u X takav da L L }, tj. L je skup svih lanaca L iz X za koje vrijedi L L, gdje je L odabrani lanac iz X. Tada je maksimalni lanac u X koji sadrži L i maksimalni element u L s inkluzijom kao parcijalnim uređajem, tj. u (L, ), ustvari jedno te isto. To znači da je dovoljno pokazati da parcijalno uređen skup (L, ) sadrži maksimalni element. Očito je da (L, ) zadovoljava uvjete Zornove leme, jer ako je W neki lanac iz L, onda je W lanac koji je jedna gornja međa za W. Očito je da će sada, kako parcijalno uređeni skup (L, ) zadovoljava uvjete Zornove leme, slijediti da taj skup sadrži maksimalan element, a prema tome i (X, <) sadrži maksimalni lanac. Što smo i trebali pokazati. Radi veće dosljednosti, raspišimo zadnji dio dokaza: Neka je W lanac iz L i neka je Z = W. Pretpostavimo da su a, b Z i neka su A, B W takvi da je a A i b B. Kako je W lanac u L, A i B su usporedivi. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostavit da je A B, a tada su i a, b B. Kako je B lanac u L, tada je ili a < b ili b < a. Stoga je i Z lanac u (L, ). Kako smo Z definirali kao uniju lanca W, sigurno A W vrijedi da je A Z. Stoga je jasno, da je Z gornja međa lanca W. Konačno, imamo da A W takav da je L A vrijedi da L Z. Prema tome je Z L. Ovime je dokaz Hausdorffovog principa maksimalnosti napravljen uz pomoć Zornove leme i pokazana je implikacija [1] [2]. Ovo je također egzistencijalni dokaze, kao uostalom i svi koje ćemo do kraja pokazati. 13

18 2.3 Zermelov teorem o dobrom uređenju Povijesno najvažnija primjena Aksioma izbora, svakako je, Teorem o dobrom uređenju, koji kaže da se svaki skup može dobro urediti. Još je Cantor smatrao da bi Teorem o dobrom uređenju trebao biti temeljno načelo misli. No, mnogi matematičari su naišli na poteškoće sa vizualizacijom dobrog uređenja, npr. već za skup realnih brojeva godine Gyula König je tvrdio kako je dokazao da takvo dobro uređenje ne postoji. No, samo par tjedana poslije F. Hausdorff pronalazi grešku u dokazu, i gura stvar u drugom smjeru, tvrdeći da je Teorem o dobrom uređenju ekvivalentan Aksiomu izbora. Nakon što ga je E. Zermelo, godine uspješno dokazao iz Aksioma izbora, u svijetu matematike nastala je prava pomutnja, jer je dokazano nešto za što je bilo očito da ne vrijedi. Tako, možemo uzeti linearno uređen skup realnih brojeva sa relacijom manje ili jednako i to neće definirati dobar uređaj čak ni na intervalu 0, 1, jer u njemu nema najmanjeg člana. Zermelov dokaz je čisto egzistencijalan i ne daje nikakvu informaciju kako konstruirati dobro uređenje na nekom skupu. Ipak, još uvijek nije poznato niti jedno dobro uređenje na skupu realnih brojeva, iako ako prihvatimo Aksiom izbora, ono postoji. Ta kontroverza oko Teorema o dobrom uređenju živi još i danas, i pravo je pitanje hoće li ikada biti definitivno razriješena. Možda najbliže odgovoru došao je američki matematičar i filozof Raymond Smullyan, istaknuvši da zbunjenost oko valjanosti Aksioma izbora i nekonstruktivnost Teorema o dobrom uređenu, ne znači da su ta pitanja nedokučiva. To samo znači, da je naša ZF aksiomatska teorija skupova, nedovoljna da odluči o tom pitanju. Dokažimo sada Zermelov teorem o dobrom uređenju uz pomoć Hausdorffovog principa maksimalnosti, odnosno implikaciju [2] [3]: Dokaz: Neka je X neki skup i neka je W = {(A, ) : A X i je dobar uređaj za A}. Dakle W je familija parova (A, ) svih podskupova A X i dobrih uređenja na A. Važno je primijetiti da smo pretpostavili da su A takvi podskupovi na kojima se može definirati dobar uređaj i, ako A ima više dobrih uređenja, uzima se sa svim svojim dobrim uređenjima. Familija W sigurno nije prazna, jer na primjer, svaki jednočlan podskup od X s trivijalnim (dobrim) uređajem pripada familiji W, kao i prazan skup. Navedimo sada tri definicije potrebne za razumijevanje ovog dokaza: Definicija (i). Neka je (X, <) dobro uređen skup i a X. Početni komad ili segment definiran elementom a je skup X[a] := {x X : x < a} svih prethodnika od a. Za a = min X je X[a] := Definicija (ii). Za dobro uređen skup Y kažemo da je produljenje dobro uređenog skupa X ako je X neki početni komad skupa Y. 14

19 Relacija produljenja je očito tranzitivna, a kako dobro uređen skup nije sličan niti jednom svom početnom komadu, je i antirefleksivna, pa je ona relacija (strogog) uređaja. Definicija (iii). Neka su A i B disjunktni linearno uređeni skupovi. Njihova redna unija, A B, je unija A B s uređajem, tako da A i B zadržavaju svaki svoj uređaj i svaki a A je ispred svakog b B. Definirajmo u W parcijalni uređaj relacijom produljenja: za (A, ), (A, ) W je (A, ) (A, ), ako je A produljenje od A, tj. A je (segment) početni komad od A. Znači, sada imamo parcijalni uređaj u (W, ) i želimo pokazati da je to dobar uređaj. Kako je (W, ) parcijalno uređen skup, prema Hausdorffovom principu maksimalnosti, on sadrži maksimalni lanac L, tj. ne postoji lanac u (W, ) kojem je L pravi podskup. Uzmimo da je maksimalni lanac L u (W, ) oblika L = {A λ : λ Λ}, tj. za λ 1 λ 2 je ili A λ1 produljenje od A λ2 ili je A λ2 produljenje od A λ1. Neka je C := L = {A λ : λ Λ} X, skup koji sadrži sve A λ i produljenje je svakog od njih. Sigurno je (C, ) linearno uređen skup. No, (C, ) će biti, još više, dobro uređen skup. Uvjerimo se u to: neka je Z neprazan podskup od C. Tada sigurno postoji neki A λ, takav da Z A λ, dakle u presjeku sigurno postoji neki element z, takav da je z A λ C. Neka je m = min(z A λ ) = min(z C) = min Z, znači svaki neprazan podskup od C ima minimum, a to znači da je C dobro uređen. Dakle (C, ) je dobro uređen skup, a kako je još C X onda je i C W. Da bi dokazali teorem trebamo se još uvjeriti da C = X, tj. da je dobro uređenje cijelog skupa X. Pretpostavimo da postoji x X \ C. Onda je redna unija C = C {x} dobro uređen podskup od X koji sadrži C, pa je onda L {C } također lanac iz W. Zbog maksimalnosti od L je C L, pa je C C. Specijalno je onda x C, a to je kontradikcija s pretpostavkom da je x X \ C. Time je dokazana implikacija [2] [3] da se svaki skup može dobro urediti, ali nije pokazano kako na nekom skupu konstruirati dobar uređaj. 15

20 2.4 Hartogsov teorem Iako postoje desetci teorema ekvivalentnih sa Aksiomom izbora koji govore o odnosima kardinalnih brojeva, posebno mjesto među njima zauzima Teorem o trihotomiji kardinalnih brojeva. Još godine, Cantor, iako nije dao dokaz, potvrđuje postojanje trihotomije za kardinalne brojeve i u svome pismu Dedekindu, godine, navodi kako trihotomija slijedi iz Principa o dobrom uređenju skupova. No, njihova ekvivalencija ostaje nedokazana sve do godine, kada Hartogsu to polazi za rukom. Navedimo neke definicije važne za ovo potpoglavlje: Definicija (i). Dobro uređen skup (X, <) naziva se segmentni skup ako za svaki a X vrijedi a = X[a]. Definicija (ii). Neka je (X, <) dobro uređen skup. Jedinstven segementni skup sličan skupu X, točnije skupu (X, <), naziva se ordinalni ili redni broj skupa X. (Iz definicije je vidljivo da ako je (X, <) segmentni skup, onda je X ujedno i ordinalni broj toga skupa, pa se ordinalni brojevi ne razlikuju od segmentnih skupova.) Definicija (iii). Kardinalni broj skupa X, kard A, je najmanji ordinalni broj (ordinalni broj= segmentni skup) koji je ekvipotentan skupu X. Dokažimo sada implikaciju [3] [4]: Dokaz: Neka su A i B dva proizvoljna skupa, i neka su < i njihova dobra uređenja, koja postoje prema Zermelovom teoremu o dobrom uređenju. Pokažimo sada jedan teorem koji nam je neophodan za dokaz ovog teorema: Teorem (o usporedivosti dobro uređenih skupova) Neka su (A, <) i (B, ) dobro uređeni skupovi. Tada vrijedi točno jedna od sljedećih tvrdnji: a) A B b) Postoji jedinstveni a A takav da vrijedi A[a] B, gdje je A[a] početni komad definiran elementom a, tj. A[a] = {x A : x < a}. c) Postoji jedinstveni b B takav da vrijedi A B[b]. Dokaz : U slučaju kada je A = ili B =, tvrdnja teorema očito vrijedi. Razmatrat ćemo slučaj kada je A i B. Neka je A = {a A : postoji (jedinstveni) b B takav da A[a] B[b]} 16

21 B = {b B : postoji (jedinstveni) a A takav da A[a] B[b] } Kao prvo, to su neprazni skupovi, jer ako označimo sa a 0 najmanji element skupa A, odnosno sa b 0 najmanji element skupa B, tada imamo A[a 0 ] = = B[b 0 ]. Očito su A i B dobro uređeni skupovi, te vrijedi A B. Neka je a A proizvoljan element. Tada iz definicije skupa A slijedi da postoji b B i sličnost f : A[a ] B[b]. Ako je a A takav da je a < a tada je očito A[a] B[f(a)], pa je onda a A. Iz toga vidimo da je A = A ili postoji a A takav da je A = A[a]. U slučaju da je A A, uzmemo a najmanji element skupa A \ A. Analogno napravimo za skup B. Moguća su sljedeća četiri slučaja: (i) A = A i B = B (ii) B = B i postoji a A takav da je A = A[a]. (iii) A = A i postoji b B takav da je B = B[b] (iv) Postoji a A takav da je A = A[a] i postoji b B takav da je B = B[b] Primijetimo kako je slučaj pod (iv) nemoguć, jer tada, kako smo ranije i naveli, uzmemo da je a najmanji element skupa A \ A, tj. a = min(a \ A ) i b = min(b \ B ). Međutim, odavde slijedi da je A = A[a] i B = B[b], što je nemoguće jer bi tada f bila sličnost između A[a] i B[b], pa bismo imali da je a A i b B. Slučaj (i) dokazuje tvrdnju teorema pod a), slučaj (ii) dokazuje tvrdnju pod b), a slučaj (iii) tvrdnju pod c), što smo i trebali dokazati. Kažemo da je kardinalnost, odnosno kardinalni broj (to su ekvivalentni pojmovi, vidi [1]) nekog skupa X manja od kardinalnosti nekog skupa Y ako postoji injekcija X Y, i pišemo kard X kard Y, te kažemo da imaju istu kardinalnost, i pišemo kard X = kard Y, ako postoji bijekcija sa X na Y. Iz Teorema o usporedivosti dobro uređenih skupova slijedi kako je ili A sličan s B, i tada postoji bijekcija s A na B, tj. vrijedi da je kard A = kard B, ili je A sličan nekom početnom komadu od B, i tada postoji injekcija sa A u B, tj. vrijedi da je kard A kard B, ili je B sličan nekom početnom komadu od A, što znači da postoji injekcija sa B u A, tj. vrijedi da je kard B kard A, a time je trihotomija za kardinalne brojeve dokazana. Time je dokazan Hartogsov teorem tj. pokazana je implikacija [3] [4]. 17

22 2.5 Tarskijev teorem Dokaz koji pokazuje da u ZF teoriji, tvrdnja da za svaki beskonačni skup A postoji bijekcija između A i A A implicira Aksiom izbora, dao je godine Alfred Tarski. Obrnuta implikacija je bila već otprije poznata, no važnost Tarksijevog dokaza je u tome što je pokazano da su to ekvivalenti. Danas je taj teorem u ZF teoriji, poznat pod nazivom Tarskijev teorem. Zanimljivo je, da je Tarski, u svojim nastojanjima da objavi svoj teorem u dva pariška časopisa, u oba naišao na odbijanje. Iz prvog je dobio objašnjenje kako implikacija između dvije dobro poznate propozicije nije novi rezultat, a iz druge da implikacija između dvije netočne propozicije nije zanimljiva. Prije samog dokaza teorema, nužno je dati objašnjenja vezana za beskonačne kardinalne brojeve, kako bi dokaz bio u cijelosti razumljiv. Još prije smo kardinalni broj skupa A, kard A, definirali kao najmanji ordinalni broj, odnosno segmentni skup, koji je ekvipotentan skupu A. Skupovi A i B su ekvipotentni ako i samo ako je kard A = kard B. Svakom konačnom skupu A pripada jedinstveni ordinalni broj koji je ujedno i kardinalni broj skupa A. Čak je uobičajena praksa u konačnosti ne praviti razliku između tih dvaju vrsta brojeva. Do razlike dolazi kada krenemo raditi sa beskonačnim skupovima. Ako je (A, <) dobro uređen skup i ord(a, <) = α njegov ordinalni broj, onda prema teoremu koji kaže da je svaki dobro uređen skup sličan jedinstvenom segementnom skupu, slijedi da postoji jedinstveni segementni skup sličan skupu (A, <). Ako je W prava klasa svih ordinalnih brojeva, onda je to upravo W [α] = {ξ W : ξ < α}, dakle skup svih ordinalnih brojeva manjih od α, uključujući i 0. Taj skup ima ordinalni broj α, tj. ord W [α] = α i dobro je uređen inkluzijom, odnosno relacijom produljenja. No, kard W [α] je prema definiciji najmanji ordinalni broj koji pripada skupu W [α], tj. koji je ekvipotentan sa W [α]. Kako dobro uređeni skup ne može biti sličan svom segmentu tako α nije ekvipotentan nekom ordinalnom broju manjem od njega, tj. nekom svom segmentu, pa je on ujedno i kardinalni broj skupa W [α], tj. kard W [α] = α. Ako je A ekvipotentan sa W [α] onda kažemo da A ima α elemenata. Ako je A pravi podskup od W [α], onda je A sličan segmentu od W [α], pa je kard A < α. Definicija (i). Skup A je konačan ako je ekvipotenatn nekom segmentu skupa W [ω]. Skup A je beskonačan ako nije konačan, to jest ako je kard A ω, tj. kard A ℵ 0. Svaki se beskonačan skup može dobro urediti tako da različiti uređaji imaju različite ordinalne brojeve. Stoga je prirodno da se ordinalni brojevi svrstavaju u razrede ili klase, tako da se u istom razredu nalaze svi ordinalni brojevi, odnosno segmentni skupovi, istog kardinalnog broja. Ako je a beskonačan kardinalni broj, onda se brojevni razred Z(a) sastoji od svih ordinalnih brojeva čiji je kardinalni broj jednak a. Skup Z(a) je dobro uređen prema veličini relacijom produljenja, dakle ima minimum, ali nema maksimuma. Naime, za 18

23 ξ Z(a) je kard(ξ + 1) = kard(ξ), tj. ξ + 1 Z(a), i ξ + 1 > ξ. Tako kažemo da je brojevni razred Z(ℵ 0 ) skup svih prebrojivo beskonačnih ordinalnih brojeva, tj. skup svih ordinalnih brojeva kojima je kardinalni broj ℵ 0. Uočimo da je Z(ℵ 0 ) zaista skup, jer ako je α ordinalni broj koji pripada bilo kojem neprebrojivom skupu (tj. takvom koji je beskonačan i nije ekvipotentan sa N, npr. takav je R) onda je svaki element skupa Z(ℵ 0 ) segment skupa W [α], a to znači da je Z(ℵ 0 ) sadržan u skupu svih segmenata W [α]. Prema shemi aksioma separacije, Z(ℵ 0 ) je skup. Važna tvrdnja, odnosno teorem, je onaj koji kaže da je kardinalni broj skupa Z(ℵ 0 ) veći od kardinalnog broja skupa ℵ 0. Jasno je da kada bi skup Z(ℵ 0 ) bio prebrojiv, prebrojiv bi bio i prvi ordinalni broj koji je veći od svih ordinalnih brojeva iz Z(ℵ 0 ), dakle element od Z(ℵ 0 ), (to pak vrijedi prema teoremu koji kaže da za svaki prebrojiv podskup S Z(ℵ 0 ), prvi ordinalni broj koji dolazi iza svih ordinalnih brojeva iz S također pripada skupu Z(ℵ 0 )) pa bi on bio veći od sebe samog, što ne može biti. Označimo sa ω 1 ordinalni broj dobro uređenog skupa Z(ℵ 0 ), tj. ω 1 = ord(z(ℵ 0 )). Isto tako, preko redne unije i funkcije sličnosti, moguće je pokazati kako je ω 1 ordinalni broj dobro uređenog skupa svih ordinalnih brojeva manjih od ω 1, tj. ω 1 = W [ω 1 ]. Bitno je uočiti, da zbog toga što je svaki ordinalni broj α < ω 1 konačan ili prebrojiv, slijedi da je ω 1, kao najmanji neprebrojiv ordinalni broj, ujedno i kardinalni broj i tada se ω 1 označava sa ℵ 1. Dakle vrijedi, ℵ 1 = kard Z(ℵ 0 ) = kard W [ω 1 ]. Kardinalni broj ℵ 1 dolazi neposredno iza ℵ 0, tj. ne postoji niti jedan kardinalni broj koji je između ℵ 0 i ℵ 1. Zaista, ako je α < ℵ 1 i A skup takav da je kard A = α, onda svako dobro uređenje skupa A ima ordinalni broj manji od ω 1, pa je A sličan nekom segementu skupa W [α], te je α = kard A ℵ 0. Svi ordinalni brojevi kojima je kardinalni broj jednak ℵ 1 čine brojevni razred Z(ℵ 1 ) i kardinalni broj skupa Z(ℵ 1 ) veći je od ℵ 1. Ordinalni broj dobro uređenog skupa Z(ℵ 1 ) označava se s ω 2, a kako je to i najmanji ordinalni broj koji je veći od svih elemenata skupa Z(ℵ 1 ), on je ujedno i kardinalni broj, i u tom slučaju, slično kao za ranije za ω 1, on se označava sa ℵ 2. Svaki skup ordinalnih brojeva je dobro uređen, a iz toga slijedi i dobro uređenje svakog skupa kardinalnih brojeva. veličini (uključit ćemo i konačne kardinalne brojeve): Tako dobivamo sustav kardinalnih brojeva poredanih prema 0 < 1 < < n < < ℵ 0 < ℵ 1 < ℵ 2 < < ℵ ξ < ℵ ξ+1 <... Razlog zašto ordinalnie brojeve ω 0 = ω, ω 1,..., ω ξ,... kada na njih gledamo kao na kardinalne brojeve označavamo sa ℵ 0, ℵ 1,..., ℵ ξ,... je zbog praktičnosti, jer znamo kako za ordinalne i kardinalne brojeve vrijede različita svojstva računskih operacija. Na primjer, ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0, dok je ω + ω = ω 2 ω. Iako su ω i ℵ 0 dvije oznake za isti pojam, u prvom slučaju se znak + odnosi na zbrajanje kardinalnih brojeva, dok se u drugom slučaju odnosi na zbrajanje ordinalnih brojeva što ima veze sa rednom unijom, a samim time i sa uređajem. Za kraj ovog uvoda u dokaz, važno je pitati se što je sa brojem c = kard R, kardinalnim 19

24 brojem skupa R, za koji znamo da vrijedi c = 2 ℵ 0 > ℵ 0. Kako je ℵ 0 najmanji beskonačni kardinalni broj, a ℵ 1 drugi najmanji, prema hipotezi kontinuuma 7, koja kaže da ne postoji niti jedna kardinalnost između ℵ 0 i c slijedi da je onda c = ℵ 1 (prema generaliziranoj hipotezi kontinuuma vrijedi 2 ℵα = ℵ α+1, za svaki ordinalni broj α). To znači da su svi beskonačni kardinalni brojevi ℵ 0, ℵ 1,..., a iz toga slijedi da Tarskijev teorem smijemo iskazati kao: Za svaki kardinalni broj ℵ α vrijedi ℵ α ℵ α = ℵ 2 α = ℵ α Iskažimo i dokažimo princip koji ćemo koristi u dokazu, te jednu definiciju: Teorem (princip transfinitne indukcije). Neka je (X, <) dobro uređen skup i A X podskup za koji vrijedi: ( x X) X[x] A x A. Tada je A = X. (Ovo je poopćenje principa matematičke indukcije, koji vrijedi za skup N tj. skup ω, na bilo koji dobro uređen skup.) Dokaz : Pretpostavimo suprotno, tj. A X, odnosno X \ A i neka je m = min(x \ A). Uvjerimo se da je X[m] A: za svaki x X[m] je x < m = min(x \ A), pa je x X \ A, tj. x X \ (X \ A) = A. Dakle, zaista je X[m] A. Prema pretpostavci o skupu A, slijedi da je m A, što je u kontradikciji sa m X \ A. Defincija (ii). Svaki se dobro uređen skup (A, <) može zapisati kao A = {a ξ : ξ < α}, gdje je α = ord(a, <), ili još bolje kao transfinitni niz (a ξ ) ξ<α, odnosno a 0, a 1,..., a ξ,..., ξ < α. Dokažimo sada Tarskijev teorem koristeći Hartogsov teorem, tj. dokažimo da ako su svaka dva kardinalna broja usporediva, onda za svaki beskonačan kardinalni broj ℵ α vrijedi ℵ α ℵ α = ℵ 2 α = ℵ α : Dokaz: Znamo da je ω α = W [α], pa je ℵ α = kard W [ω α ] = kard ω α, tj. ℵ α ℵ α jednak je Kartezijevom produktu W [ω α ] W [ω α ]. Dakle, treba dokazati da je kard ( W [ω α ] W [ω α ] ) = kard W [ω α ]. Kardinalni broj Kartezijeva produkta W [ω α ] W [ω α ] je kardinalni broj skupa svih uređenih parova (u, v), gdje je u < ω α i v < ω α. Uz Hartogsov teorem, koristi ćemo još i princip transfinitne indukcije. Uzmimo da je α najmanji ordinalni broj za koji tvrdnja nije istinita. Tada je α sigurno veći od nule, jer je za α = 0 tvrdnja sigurno istinita (jer je Kartezijev produkt dvaju prebrojivih skupova prebrojiv skup), tj. ℵ 2 0 = ℵ 0. Označimo sa K = W [ω α ] W [ω α ] i za svaki ξ < ω α neka je K ξ skup svih uređenih parova (u, v) iz K za koje je u + v = ξ. Tvrdimo da je K ξ = K. Neka je u + v = ξ < ω α. ξ<ω α Tada je sigurno u < ω α i v < ω α, pa je (u, v) K. Kako to vrijedi za svaki ξ < ω α, slijedi 7 vidi [2] i [3] 20

25 da je K ξ K. Nadalje, iz u < ω α i v < ω α, odnosno iz (u, v) K, slijedi 8 da je ξ<ω α kard u kard ω α = ℵ α i kard v kard ω α = ℵ α, pa prema pretpostavci o α, postoji neki γ < α takav da je kard u ℵ γ i kard v ℵ γ, te kard(u + v) = kard u + kard v ℵ γ + ℵ γ = 2ℵ γ ℵ γ ℵ γ = ℵ 2 γ = ℵ γ < ℵ α = kard ω α. Sada, kako vrijedi kard(u + v) < kard ω α i kako je svaki kardinalni broj ujedno i ordinalni broj, slijedi da je u + v < ω α, pa postoji neki ξ < ω α takav da je u + v = ξ, te onda vrijedi i u + v K ξ. Ovime je pokazana i implikacija K K ξ, dakle vrijedi K = K ξ. ξ<α ξ<α Za svaki ξ < ω α, dobro ćemo urediti skup K ξ tako da usporedimo prve koordinate, tj. (u 1, v 1 ) prethodi elementu (u 2, v 2 ) ako je u 1 < u 2. Ovakav uređaj je moguće konstruirati jer za svaki u ξ postoji jedinstveni v za koji je u + v = ξ. Zaista, ako je u = ξ, tada je v = 0. Ako je pak u < ξ, označimo ξ = ord Q, te je u ordinalni broj nekog segmenta iz Q. Neka je u = ord Q[x], gdje je Q[x] segment skupa Q, tada imamo da je Q = Q[x] ( Q \ Q[x] ). Uzmimo da je v = ord ( Q \ Q[x] ), tada je u + v = ξ. Pokažimo još da je takav v jedinstven. Kada bi postojao v 1 v, na primjer v 1 < v, takav da je ξ = u + v 1, postojao bi ordinalni broj γ > 0 takav da je v = v 1 + γ, te ξ = u + v = u + (v 1 + γ) = (u + v 1 ) + γ = ξ + γ, što nije moguće, jer ako bilo kojem ordinalnom broju pribrojimo ordinalni broj veći od nula, dobijemo veći ordinalni broj. Stoga se u K ξ ne mogu pojaviti dva elementa koja imaju jednake prve a različite druge koordinate. Iz toga zaključujemo da je skup K, kao dobro uređena redna unija K = K ξ, i sam dobro uređen skup. ξ<α Pokažimo da je ordinalni broj skupa K jednak ω α, tj. ord K = ω α. Kako je K dobro uređen skup, sigurno sadrži transfinitni niz: (0, 0), (1, 0),..., (ξ, 0),..., za ξ < ω α, pa njegov ordinalni broj ne može biti manji od ω α. Pretpostavimo da je ord K > ω α, tj. da K sadrži segment čiji je redni broj ω α. Neka je to neki segment P definiran elementom (u 0, v 0 ). Onda je (u 0, v 0 ) K ξ, za ξ < ω α i u 0 + v 0 = ξ. Ako uzmemo bilo koji element (u, v) K koji dolazi prije elementa (u 0, v 0 ), onda je u ξ i v ξ. Skup svih rednih brojeva u, takvih da je u ξ, ima redni broj ξ + 1, a zbog toga što je ξ < ω α i jer je ω α granični ordinalni broj, onda je i ξ + 1 < ω α, odnosno kard(ξ + 1) = ℵ γ, za neki γ < α. Iz toga slijedi da skup svih uređenih parova (u, v) K takvih da je u ξ i v ξ ima kardinalni broj ℵ γ ℵ γ = ℵ γ (prema pretpostavci indukcije), pa je kard P ℵ γ. No, kako je ord P = ω α, slijedi da je kard P = ℵ α, što je kontradikcija. Prema tome, ordinalni broj skupa K mora biti jednak ω α, pa je stoga kard K = ℵ α, tj. ℵ α ℵ α = ℵ 2 α = ℵ α. Ovime je dokazan Tarskijev teorem, a time i implikacija [4] [5]. Matematičkom indukcijom se može pokazati da vrijedi i ℵ n α = ℵ α, n ω. Kako bismo zatvorili krug implikacija iz teorema 2, potrebno je još pokazati da iz Tarski- 8 Za kardinalni broj α kažemo da je manji od kardinalnog broja β, i pišemo α < β, ako za α i β shvaćene kao ordinalne brojeve vrijedi α < β. 21