Analiza omrežij Zgradba omrežij:

Transcription

1 Univerza v Ljubljani podiplomski študij statistike Analiza omrežij Zgradba omrežij: podomrežja in povezanosti Vladimir Batagelj Anuška Ferligoj Univerza v Ljubljani Ljubljana, 0. in 7. november 2003 izpisano: 7. januar 2005 ob 03 : 34

2 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti Kazalo Pristopi k velikim omrežjem Stopnje grafa Pajek in R Slučajni grafi Porazdelitve stopenj Povezanosti med grafi Skupine, razvrstitve, razbitja, razslojitve Skrčitev skupine Podgraf Prerezi Sprehodi Najkrajše poti

3 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 2 6 Enakovrednosti in razbitja Povezanosti Posebni grafi dvodelni, drevo Skrčitev grafa Dvopovezanost k-povezanost Trikotniška povezanost neusmerjeni grafi Trikotniška povezanost usmerjeni grafi

4 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti Pristopi k velikim omrežjem Pri velikih omrežjih (več tisoč ali milijonov točk, omrežje je mogoče shraniti v pomnilniku) se moramo odpovedati celoviti sliki, uporabni so le redki postopki. Za analizo velikih omrežij lahko uporabimo statistiko ali pa izpeljana mala in srednja (pod)omrežja.

5 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 2 Stopnje grafa stopnja točke v, deg(v) = je število povezav, ki imajo točko v za krajišče; vhodna stopnja točke v, indeg(v) = je število povezav, ki imajo točko v za konec (krajišče neusmerjene povezave je hkrati njen začetek in konec); izhodna stopnja točke v, outdeg(v) = je število povezav, ki imajo točko v za začetek. v V n = 2, m = 23, indeg(e) = 3, outdeg(e) = 5, deg(e) = 6 indeg(v) = outdeg(v) = A + 2 E, deg(v) = 2 L E 0 v V v V

6 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 3 Pajek in R Pajek 0.89 (in kasnejši) omogoča uporabo statističnega programa R in tudi drugih programov kot orodij (izbira Tools). V programu Pajek določimo stopnje točk in jih podtaknemo R-ju info/network/general Net/Partitions/Degree/All Partition/Make Vector Tools/Program R/Send to R/Current Vector Tu določimo porazdelitev stopenj in jo narišemo summary(v2) t <- tabulate(v2) c <- t[t>0] i <- (:length(t))[t>0] plot(i,c,log= xy,main= degree distribution, xlab= deg,ylab= freq ) Pozor! Če obstajajo točke stopnje 0, jih tabulate ne upošteva.

7 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 4 Velja p = Slučajni grafi Erdős in Renyi sta definirala slučajni graf takole: vsako mogočo povezavo vključimo v slučajni graf z dano verjetnostjo p. V programu Pajek (Net / Random Network / Erdos-Renyi) uporabljamo namesto verjetnosti p povprečno stopnjo deg = n m m max in, za enostavne grafe, še deg = 2m n. v V deg(v) Na sliki je prikazan slučajni graf na 00 točkah s povprečno stopnjo 3.

8 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 5 Porazdelitve stopenj Random graph degree distribution, n=00000, degav=30 US Patents degree distribution freq freq e+00 e+02 e+04 e deg deg Dejanska omrežja so vse prej kot slučajna. Analiza porazdelitev je dala nov pogled na zgradbo dejanskih omrežij Watts (Small worlds), Barabási (nd/networks, Linked).

9 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 6 Povezanosti med grafi Preslikavi (ϕ, ψ), ϕ: V V in ψ: L L določata šibki homomorfizem grafa G = (V, L) v graf H = (V, L ) ntk velja: u, v V p L : (p(u : v) ψ(p)(ϕ(u) : ϕ(v))) in določa (krepki) homomorfizem grafa G v graf H ntk velja: u, v V p L : (p(u, v) ψ(p)(ϕ(u), ϕ(v))) EulerGT Ko sta ϕ in ψ bijekciji in ustrezni pogoj velja v obe smeri, govorimo o izomorfizmu grafov G in H. Da sta grafa šibko izomorfna zapišemo G H; da sta (krepko) izomorfna pa G H. Velja. Stalnica ali invarianta grafa imenujemo vsako grafu prirejeno število, ki je enako za vse med seboj izomorfne grafe..

10 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 7 Skupine, razvrstitve, razbitja, razslojitve Neprazno podmnožico C V imenujemo skupina. Neprazna množica skupin C = {C i } je razvrstitev. Razvrstitev C = {C i } je razbitje ntk C = i C i = V in i j C i C j = Razvrstitev C = {C i } je razslojitev ali hierarhija ntk C i C j {, C i, C j } Razslojitev C = {C i } je polna, če je C = V ; in je osnovna, če je za vsak v C tudi {v} C.

11 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 8 Skrčitev skupine Skrčitev skupine C imenujemo graf G/C, ki ga dobimo tako da vse točke skupine C zamenjamo z eno točko, recimo c. Natančneje G/C = (V, L ), kjer je V = (V \ C) {c} in L sestavljajo povezave iz L, ki imajo obe krajišči v V \ C. Poleg teh pa še zvezda z vrhom c in krakom (v, c), če p L, u C : p(v, u), oziroma krakom (c, v), če p L, u C : p(u, v). V točki c je zanka (c, c), če p L, u, v C : p(u, v). V omrežju nad grafom G moramo povedati še, kako so določene vrednosti/uteži v skrčenem delu. Običajno kar kot vsota ali maksimum/minimum izvornih vrednosti.

12 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 9 Skrčitev skupin trgovanje med državami Pajek - shadow [0.00,.00] usa can cub hai dom jam tri mex gua hon els nic cos pan col ven ecu per bra bol par chi arg uru uki ire net bel lux fra swi spa por wge ege pol aus hun cze ita mat alb yug gre cyp bul rum usr fin swe nor den ice mli sen dah nau nir ivo gui upv lib sie gha tog cam nig gab car chd con zai uga ken bur rwa som eth saf maa mor alg tun liy sud egy irn tur irq syr leb jor isr sau yem kuw afg cha mon tai kod kor jap ind pak brm sri nep tha kmr lao vnd vnr mla phi ins aut nze usa can cub hai dom jam mex gua hon els nic cos pan col ven ecu per bra bol par chi arg uru uki net bel lux ire fra swi spa por wge ege pol aus hun cze mat alb yug gre cyp bul rum usr swe nor den ice mli sen dah nau nir ivo gui upv sie gha tog cam nig gab car chd con zai uga ken bur rwa som eth saf maa mor alg tun sud egy syr leb irn tur irq jor sau yem kuw afg cha mon kod kor jap ind pak brm nep tha kmr lao vnd vnr mla phi ins aut nze tri ita fin lib liy isr tai sri Azija Evropa Avstralija Ju.Amerika Se.Amerika Sr.Amerika Afrika Snyder in Kickovi podatki o trgovanju med državami. Matrični prikaz gostih omrežij. w(c i, C j ) = n(c i, C j ) n(c i ) n(c j )

13 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 0 Podgraf Podgraf H = (V, L ) danega grafa G = (V, L) je graf, katerega povezave L so vsebovane v povezavah grafa G, L L, točke V pa v točkah grafa G, V V, in vsebujejo tudi vsa krajišča povezav L. Podgraf je lahko porojen z dano podmnožico točk ali povezav. Podgraf je vpet, če je V = V.

14 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti Izrez: Snyder in Kick Afrika sie nir gab ivo maa chd upv gui mli mor cam nig sen lib gha tun con nau saf egy liy tog alg zai car sud dah som uga eth ken rwa bur

15 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 2 Prerezi Povezavni prerez omrežja N = (V, L, w), w : L IR na ravni t je določeno z množico povezav L = {e L : w(e) t} To je podomrežje N(t) = (V (L ), L, w), kjer je V (L ) množica vseh krajišč povezav iz L. Točkovni prerez omrežja N = (V, L, p), p : V IR na ravni t je podomrežje N(t) = (V, L(V ), p), določeno z množico točk V = {v V : p(v) t} kjer je L(V ) množica vseh povezav iz L, ki imajo obe krajišči v V. Vrednosti ravni t določimo na osnovi porazdelitve vrednosti funkcij w oziroma p. Običajno nas zanimajo komponente prereza, ki niso niti prevelike, niti premajhne.

16 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 3 Sprehodi Graf je acikličen, ntk. ne vsebuje nobenega cikla. dolžina s sprehoda s je število povezav, ki ga sestavljajo. s = (j, h, l, g, e, f, h, l, e, c, b, a) s = Sprehod je sklenjen ali obhod ntk. njegov začetek in konec sovpadata. Če ne upoštevamo smeri povezav v sprehodu, dobimo polsprehod ali verigo. sled sprehod z različnimi povezavami pot sprehod z različnimi točkami cikel sklenjen sprehod z različnimi notranjimi točkami.

17 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 4 Najkrajše poti Dolžino najkrajše poti iz u v v označimo z d(u, v). Če ne obstaja sprehod iz u v v postavimo d(u, v) =. d(j, a) = (j, h, d, c, b, a) = 5 d(a, j) = ˆd(u, v) = max(d(u, v), d(v, u)) je razdalja: ˆd(v, v) = 0, ˆd(u, v) = ˆd(v, u), ˆd(u, v) ˆd(u, t) + ˆd(t, v). Premer grafa je enak razdalji med, glede na d(u, v), najoddaljenejšima točkama: D = max u,v V d(u, v).

18 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 5 Najkrajše poti black lack back blank clack rack lace balk wack lick bank lank bask blink clank click rick race late bale walk bilk lice wick bane lane link bast clink chick rice rate hale wale bile wink bine wane line bait wast cline chink chic rite whale wile wine wait chine chit write while whine whit white DICT28.

19 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 6 Enakovrednosti in razbitja Relacija R na V je enakovrednost ntk. je refleksivna v V : vrv, simetrična u, v V : (urv vru) in tranzitivna u, v, z V : urz zrv urv. Vsaka enakovrednost R določa neko razbitje v razrede [v] = {u : vru}. Vsako razbitje C določa neko enakovrednost urv C C : u C v C. k-sosedi točke v je množica točk, ki so za k oddaljene od v, N k (v) = {u v : d(v, u) = k}. Množica vseh množic k-sosedov, k = 0,,... of v je razbitje množice V. k-soseščina točke v, N (k) (v) = {u v : d(v, u) k}.

20 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 7 Soseščina Motorole MasterCard MasterCard Fujitsu Fujitsu MapInfo MapInfo ComputerAssociates ComputerAssociates Nextel Nextel iplanet 3 3 iplanet #### Sun Cisco AOL IBM GM Motorola 365 #### Sun Cisco AOL IBM GM Motorola 3COM 3COM 2 MSFT 6 MSFT 22 BaltimoreTechnologies BaltimoreTechnologies Unisys Unisys AvantGo AvantGo Yahoo! Yahoo! Debelina povezav je koren iz vrednosti.

21 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 8 Povezanosti Točka u je dosegljiva iz točke v ntk. obstaja sprehod z začetkom v in koncem u. Točka v je šibko povezana s točko u ntk. obstaja veriga s krajiščema v in u. Točka v je krepko povezana s točko u ntk. sta vzajemno dosegljivi. Šibka in krepka povezanost sta enakovrednosti. Razredi porajajo šibke/krepke komponente ali kose grafa. Večino problemov lahko ločeno rešujemo na (šibkih) komponentah in nato dobljene rešitve združimo.

22 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 9 Posebni grafi dvodelni, drevo Graf G = (V, L) je dvodelen ntk. lahko množico točk V razbijemo na podmnožici V in V 2, tako da ima vsaka povezava iz L eno krajišče v V drugo pa v V 2. Šibko povezan graf G je drevo ntk. ne vsebuje (zank in) polciklov dolžine vsaj 3.

23 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 20 Skrčitev grafa Če v danem grafu skrčimo vsako krepko komponento v ustrezno točko, odstranimo zanke in združimo vzporedne povezave, je tako dobljeni skrčeni graf acikličen. Za vsak aciklični graf obstaja urejenost / oštevilčenje i : V IN, tako da velja (u, v) A i(u) < i(v).

24 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 2 Dvopovezanost Točki u in v sta dvopovezani ntk. sta povezani (v obe smeri) s po dvema neodvisnima (brez skupnih notranjih točk) potema. Dvopovezanost določa razbitje množice povezav. Točka je stična točka ali stičišče ntk. njena odstranitev poveča število šibkih komponent grafa. Povezava je most ntk. njena odstranitev poveča število šibkih komponent grafa.

25 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 22 k-povezanost Točkovna povezanost κ grafa G je enaka najmanjšemu številu točk, ki jih je potrebno odvzeti iz grafa, tako da je graf porojen s prestalimi točkami nepovezan ali trivialen (enak K ). Povezavna povezanost λ grafa G je enaka najmanjšemu številu povezav, ki jih je potrebno odvzeti iz grafa, tako da je graf porojen s prestalimi povezavami nepovezan ali trivialen. Velja Whitneyeva neenakost: κ(g) λ(g) δ(g). Graf G je (po točkah) k povezan, če je κ(g) k in je po povezavah k povezan, če je λ(g) k. Velja Whitneyeva različica Mengerjevega izreka: Graf G je po točkah/povezavah k povezan ntk. vsak par točk povezuje vsaj k po točkah/povezavah ločenih sprehodov.

26 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 23 Trikotniška povezanost neusmerjeni grafi V neusmerjenem grafu imenujemo trikotnik podgraf izomorfen K 3. Zaporedje trikotnikov (T, T 2,..., T s ) grafa G (točkovno) trikotniško povezuje točki u, v V ntk. u T in v T s ali u T s in v T ter V (T i ) V (T i ), i = 2,... s; in povezavno trikotniško povezuje točki u, v V ntk zadošča še strožji različici zadnjega pogoja E(T i ) E(T i ), i = 2,... s. Točkovna trikotniška povezanost je enakovrednost na točkah; povezavna pa na povezavah. Članek.

27 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 24 Trikotniško omrežje Naj bo G = (V, E) enostaven neusmerjen graf. Prirejeno trikotniško omrežje N T (G) = (V, E T, w) določeno z G je podgraf G T = (V, E T ) grafa G, kjer je E T množica tistih povezav iz E, ki leže na vsaj enem trikotniku. Utež w(e) povezave e E T je enaka številu različnih trikotnikov, ki jim povezava e pripada. Trikotniška omrežja omogočajo učinkovito razkrivanje gostih delov omrežja. Če povezava e pripada k-kliki podgrafu izomorfnemu K k v G, je w(e) k 2.

28 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 25 Povezavni prerez na ravni 6 trikotniškega omrežja Erdős-ovega grafa sodelovanj WORMALD, NICHOLAS C. LASKAR, RENU C. SHELAH, SAHARON MCKAY, BRENDAN D. HEDETNIEMI, STEPHEN T. MAGIDOR, MENACHEM KLEITMAN, DANIEL J. SAKS, MICHAEL E. CHUNG, FAN RONG K. GRAHAM, RONALD L. ARONOV, BORIS LINIAL, NATHAN PACH, JANOS POLLACK, RICHARD M. HENNING, MICHAEL A. FRANKL, PETER SPENCER, JOEL H. ALON, NOGA OELLERMANN, ORTRUD R. LOVASZ, LASZLO KOMLOS, JANOS GODDARD, WAYNE D. FUREDI, ZOLTAN TUZA, ZSOLT ALAVI, YOUSEF BABAI, LASZLO SZEMEREDI, ENDRE CHARTRAND, GARY BOLLOBAS, BELA HARARY, FRANK AJTAI, MIKLOS KUBICKI, GRZEGORZ SCHWENK, ALLEN JOHN brez Erdősa, n = 6926, m = 343 RODL, VOJTECH NESETRIL, JAROSLAV ROSA, ALEXANDER GYARFAS, ANDRAS SCHELP, RICHARD H. STINSON, DOUGLAS ROBERT LEHEL, JENO CHEN, GUANTAO MULLIN, RONALD C. FAUDREE, RALPH J. COLBOURN, CHARLES J. JACOBSON, MICHAEL S. PHELPS, KEVIN T.

29 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 26 Trikotniška povezanost usmerjeni grafi Če je graf G mešan, zamenjamo neusmerjene povezave s pari nasprotno usmerjenih. Naj bo G = (V, A) enostaven usmerjen graf brez zank. Za izbrano usmerjano povezavo (u, v) A obstajajo štiri vrste usmerjenih trikotnikov: cyclic, transitive, input in output. cyc tra in out Za vsako vrsto trikotnikov lahko vpeljemo ustrezno trikotniško omrežje: N cyc, N tra, N in in N out. Pojem trikotniške povezanosti lahko posplošimo na povezanost s kratkimi (pol)cikli in ustrezna omrežja.

30 V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrežij, Zgradba omrežij podomrežja in povezanosti 27 Povezavni prerez na ravni tranzitivnega trikotniškega omrežja slovarja ODLIS American Library Directory transaction log publication periodical serial suggestion box charge library call number review series Library Literature issue frequency colophon journal layout fixed location publishing printing blanket order American Library Association /ALA/ title page Books in Print /BIP/ vendor homepage International Standard Book Number /ISBN/ entry round table published price dummy librarian condition edition catalog plate fiction Oak Knoll bibliographic record imprint abstract dust jacket work book bibliography half-title editor library binding title table of contents /TOC/ index invoice new book text endpaper copyright book size parts of a book front matter collation publisher binding folio cover page Pajek