2.2.3 Absolute value function, x

Size: px

Start display at page:

Download "2.2.3 Absolute value function, x"

Samantha Ball
5 years ago
Views:

1 Sets ad fuctios Á ÉÌ Ê É ÑÌÁ ÂÕ Òº ÁÌ ÒÖ Ò ÑÖ ÊÌ Fig 60¹Ö ÑØ Öº å Ì Ì Ð Õ Â f()¹ö value Ø Àº Â ÑÉÝ Ì ÒÁ Ì ÑÖ ÌÙ ÑÙÝ ÝÕ Ì Õ Ö Ýµ ÂØ Ò ÚÙÐ ÙÖ ÒÑ Ò Éº 2 x 2 Fig 57 Example 27: Â if 0 x < g(x) = 3 if x = 2 if < x 2 ÀÝ Ø ØÖ Ê À ÖÑ 3 2 ½ Fig 58 ½ Fig 59 ¾ ¾ 2 ½ Fig 60 ¾ Absolute value fuctio, x Þ ÌÙÖ¹ÇÝÐ fuctio ÒÝ ÉÑ ÑÉ ÑÒ Ö ËÙÖÙ ÀÐ ØÖ Ì ÑÖ ÁØÀ Õº fuctio ÐØ ÜÐ À À Ò Ø ÂÙÐ Ð ÜÒ ÑÙÐ ÝÁ ÐÜ Ð ÂÝ ÂÑÒ x 2 + 3x six Á º D Alembert ÒÑ Ò ÔØ ÕÐÒ ØÖ ÊÀ ÕÐ Ú ØÖÖ Â Ö Ë à Ö Á ÈÝ ÈÆ ÒÝº ÞÖ ÌÖÖ Ì ØÖ Ì ÂÜÒ ÔÕ ØÜÒ ÜØ À Fig 6¹ Ö ÑØ ÕÙ Ìº ÁÌ D Alembert sie, cosie ÁØ Ý ÐÜØ ÔÖÕÐÒº Ù ÂÜÒ ØÖÌ ÉÑ ÌÒ ÀÝÕÐ ØÜÒ Ì ÜØ ÕÐ Fig 62¹Ö ÑØ ÂÌ ÙÌ ÖÐÖÜ Ù äøöº ÁÜÒÁ D Alembert ÚÖ Þ Ô ÐÒ ÔÙÖÌ Ì fuctio Ð Ú ÍØ ÑÐ Euler 2 Ð ÖÒ ÆØ ÕÐÒ ØÒ ÐÒ Â ÙÌ ÌÙÖ ÑÐÝ Ì fuctio ÚØ Ô É ÍØ ÒÝº Ë ÉÌ D Alembert¹Ö ÑÒ ÞÖ Òº Ì fuctio¹ö Þ ÌÙÖ ÉØ ÔÖ Ò Á ÒÝ ÂÜÒ Ý Ø ÐÕ ØÜÒ Cauchy Ëµ ÒÑ Ö ÆØ Á fuctio¹ì ÒÐÒ { x if x 0 f(x) = x otherwise. ÌÖÖ ØÖ ÂÜÒ ÔÕº Fig 6 ÂÜÒ ÉÑ ÌÒ ÀÝÕº Fig 62 2 ÍÖÆ ÝÐÖº ÁÍÐÖ ÒÝ 37

2 Real Aalysis ÉÑÁ a AÕ ØÁ a Take ay a A. Ö Ì ǫ > 0 Ö ÖØ Àº The a A i for some A i. Sice A i is ope, ǫ Choose this ǫ > 0. ǫ > 0 N(a,ǫ) A i. Á ÀÐ ÑÖ ÝÒÝ ǫ. Ö Ü Â N(a,ǫ) A. A i A N(a,ǫ) A, as required. [Q.E.D] ÑÖ ÜÕ Â ope iterval¹ö ope set ÀÝ Ã ope set¹ö uio ope ÀÝº ÙØÖÃ ÕÙ opeiterval¹ö uio ÒÐ Ì ope set Ôº Ñ ÀÐ Ö ÍÌÌÇ Ø ÑÒ ÂÒ (oempty) ope set¹á ÕÙ ope iterval¹ö uio À ÐÜ Ð ÂÝº ÑÆÌ ðö Exercise 58: Show that every oempty ope set ca be expressed as a uio of ope itervals.[2] (203.2c) Let A φ be a ope subset of R. The a A ǫ a > 0 N(a,ǫ a ) A. ÜÒ À ÜÐ ǫ Ò ÐÜ ǫ a ÐÜÐÑ Ò ÖÆ ÜÒ ÑÖ Ú a¹ö Ò ÔÇÝ Ú ǫ ÒÝ Á Öº ØÁ Ò ǫ¹ì Ò a¹ö Ò Ì ÜÝÐ ÖÜÖ Ò ǫ a ÐÜÕº ÂÑÒ ÑÝÖÁ Ì ÙÙÖ Õ ÐÜÖ Ò g GIRL d DOG g has d ÐÜÐÁ Ðº Ù Ö Â ÑÝÖ Á ØÖ ÙÙÖ ÒÝ Ò ÙÙÖ¹ËÒØ ÂÝ Ø ÙÙÖÖ ÐÝ ØÖ ÑÐÖ ÒÑ ÐÜ Ð ÐÝ ÇÝ ÚÐº ÃÖ ÚÈÝ g GIRL d g DOG g has d g. Ø Þ ÑÝÖ ÙÙÖÖ ÒÝ ÖØ Ò ÀÐ d g Ò ÐÜ ÜÐ d ÐÜÐÁ Ðº ÑÖ Ã Ö º Ð Ö Â N(a,ǫ a )¹Ö Á ope iterval. Ö uio ÒÐÁ Ø ÔÙÖ A¹Ì ÔÝ Â 58

3 Limit poits Example 50: Show that 2 is a isolated poit of {,2,2.5,3}. To show 2 is a isolated poit of {,2,2.5,3}, ØÖ ÑÒ ÜØ À Â 2 {,2,2.5,3} ÂÌ ÐÁ ÀÙÐµ Ù 2 Á set¹ìö limit poit ÒÝº i.e., 2 {,2,2.5,3}, which is obvious, ad 2 is a ot a limit poit of {,2,2.5,3}, i.e., Target ǫ > 0 N (2,ǫ) {,2,2.5,3}= φ. ÒÌØÑ ØËÖ É Ö ÀÐ ÁÌ ÔÐÑ limit poit¹ö ÃÖ egatio ÒÝº Fig 3 É ÜØ ÔÕ Â 2 ÃÜÌ Ö É ÌÙ ØØ Õ ÑÖ ǫ¹ì Ò ÑÒÚ ÂØ Ì 2¹Ö ÒÌØÑ ØËÖ ÖÖ ÑÒ ØÖ Ý Ñ ÀÝº ÜÒ 2¹Ö Ö ØË ÀÐ, Ö = 2 = 2) Ö ÒÖ ØË ÀÐ 2.5 Ö 2.5 2= 2 ). ØÖ ÑÒÖ ÒÌØÑ ØË ÀÐ 2.5, ÂÖ Ö 2. ØÁ ÑÖ ǫ = 2 ÒØ ÔÖº ǫ Choose ǫ = 2. Check The N (2,ǫ) = ( 3 2,2) (2, 5 2 ). So N (2,ǫ) {,2,2.5} = φ, as required. Ö ÀÐ 2¹Ö ÙÁ ØËº Fig 3 Exercise 73: ÜÇ Â ÒÖ ØÌ Á a ÃÜÌ S¹ Ö Ì limit poit, Ù b ÃÜÌ ÒÝº Õ ÒØ ÚÙÐ Ò ÂÒ. S = [,2] {3}, a = 3 2, b = S = (, ), a =, b = S = (0,) N, a =, b = 2. Ò ÕÁ ÜÕ ÂÖ limit poit Ö boudary poit ÙÐÝ Ðº ÂÑÒ Â Ð (0,)¹Ö ØÒÌ limit poit Ø Ø ÙÌ limit poit ÌÔÌ ÐØ ÔÖ 0 Ö. ØÖÔÖ ÜÒÆ ÑÉ ÙÐ ÑØ ÑØ Ö Ð ÑÖ 7

4 Real Aalysis {0} {, 2, 3,...,,...} the set is ot closed. 0 Fig 24 ÒÖ ÃÌ ÜØ ÒÖÑ ÀÐÇ Ð Ò Ì Áº ÜÐ ËÙÖÙÌ ÞÖÝ Õº Exercise 0: Correct or justify: { x R : cos x = 0} is ot a closed set.[3] (202.ci) ÉÑ Ú ÒÁ set¹ì ÜØ ÖÑº ÜÒ cos x = 0 ÀÝ ÂÜÒ ÜØ ÀÝ x (2 )π 2 ¹Ö ÑØ ÂÜÒ Z. ØÖ ÑÒ 2 x À π(2 ) ¹Ö ÑØ ÜØº É ÑÖ set¹ì ÀÕ { } 2 π(2 ) : Z. ÌÙ ÚÐÁ Ù Â ÂØÁ ¹Ö ÂÕ ØØÁ poit¹ùð 0¹Ö Õ Ú ÑÕº Ð ÕÌ ÀÕ Fig 24¹ Ö ÑØº À ÒÁ ÒÝÁ Â 0 Ì limit poit, É 0 Ò Ù set¹ìö ÑÞ ÒÁº ÙØÖÃ set¹ì Ö closed ÀÝ Ö Ö Ì ÞÔ ÞÔ ÙÕÝ ÐÜ Ü Ö ÃÌÖ ÑØ Öº Exercise 02: Let A R ad G be a ope subset of R. If A deotes the set of all limit poits of A the show that G A = φ wheever G A = φ. [3] (998,2006) ÉÑ ÐÜ ËÙÖÙ Ö ÇÝ Õ Ö ÜØ À Give: A R ay subset, G R ope, G A = φ. To show: G A = φ. ÑÖ ÜÒ proof by cotradictio Öº Let, if possible, G A φ. Â G A φ ÀÝ Ø Ö ÑÞ Ø Ì poit Õº ÁÖÑ Ì poit ÒÁ Pick ay x G A. ÂÀØÙ G ope ØÁ x¹ Ö G¹Ö ÑÞ ÕÙÌ Ý Ôº 92

5 Completeess 7.3 Existece of supremum Â set¹ö Ò upper boud É Ò ØÖ Ð ubouded above. Ö Ö ÔÂ àø ÀÝ ÂÑÒ N,Z (2, ). Á ÖÑ set¹ö supremum É Òº Ò É Ò ÙØÁ ÔÖÕ ubouded above ÀÐ Ò upper boud¹á Ô Ò Ð ÙÐÌ ÉÝ ÖÜ ËÙÖÙ Ö ÖÌ set¹öç supremum É Ò ÀÐ φ. ÖÆ φ¹ Ö ÐÝ ÙÐÌ ÂØÁ ÖÇ Ò ÒÁ Ì Òº Ð φ Ø ÑÐÙÑ Ö Ì Á ÙÁ ÞÖÆÖ set¹ Ð set¹ö Á supremum ÉØ Þº Á ÉÌ Ð completeess axiom supremum axiom least upper boud axiomº ÉÌ ËÙÒØ ÑÑÐ ÐØ ÔÖ Ù Ö ÔÖ Ñ ÙÖÙº Á ÑÖ ÌÙ ÔÖÁ Õº Exercise 4: State the least upper boud axiom for the set of real umbers.[] (997,200,2003,2005,2009,200,203) Least upper boud axiom If A R is oempty ad bouded from above, the A has a supremum i R. ÜÒ Ì Õ É Ð ÖÜ ÑÖ Ù ÜÐ A has a supremum. Ò ÐÜ ÐÜÕ A has a supremum i R. å ËÈÖ i R ¹ÌÙÙ Ò ÐÜÐ ÑÒ ÀØ ÂÒ supremum¹ Ì A¹Ö ÚØÖÁ Éº Ù Ì ÒÝ ÂÑÒ (0,)¹Ö supremum ÀÐ, Ù (0,). Exercise 5: State the completeess axiom of R.[] (20) Ö ËÌÁº Supremum¹Ö Ò Ì axiom Õº Ifimum¹Ö Ò ÒÁ Ò ÖÆ supremum¹ö axiom¹ì ÉÁ ÑÖ ifimum¹ö Ç ÔÝ ÂØ ÔÖº ÌÁ ÒÖ Ã ÇÝ ÀÝÕº 03

6 Sequeces (part ) b },{a b },{a b },¹Ç coverget Àº Ì Ò ÒÝ Â a ±b a±b, a b ab Àº ÚÖ ÐØÇ ÑÖ Á É ÐØ ÔÖ a /b a/b, ÜÐ ÙØÁ ÔÖÕ Â ØÖ Ò b,b 0 Ðº Diverget sequece¹ö ÐØÇ ÔÌ ÁÖÑº Â a Ö b ÀÝ Ø a + b Ã a b Àº Ø Ö ÌÙ Ñ Ú a b Ã a /b ¹ Ö ÈÝ Ö Ý ÕÙ Ð ÂÝ Òº Exercise 67: Â a Ö b ÀÝ Ø ÒÖ sequece¹ùðö ÈÝ ÐØ ÔÖ iµ a +b, iiµ a b, iiiµ a b, Exercise 68: Â a Ö b ÀÝ Ã a,b 0 ÀÝ Ø Ö Ô ÐØ ÔÖ iµ a, iiµ b, iiiµ a +b Ö Ý ÚÖ ÉÝº Â {a },{b } ÙÒÁ oscillatig ÀÝ Ø a + b,a b,a b,a /b Ö Í ÒÝÁ Ö Ý ÕÙÌ ÐÖ ÒÁ ÂÑÒ ÒÖ ÃÌÁ ÞÖº ÙÒ Ú ÙÆ ÖÐ Ú ØÖ ÚØÙÐ ÌÌ ÀÝ Ý ÙÆÐÌ Ú ÀÝ ÂØ ÔÖ Ü Exercise 69: Give examples of two o-coverget sequeces {x } ad {y } such that the sequece {x y } is coverget.[2] (202.3a) Let x = ( ) ad y = ( ). The {x } ad {y } are o coverget. But x y, ad so {x y } is a costat sequece, ad hece coverget. Á ÃÖ ÍÀÖÆÌ Ö ÒÐÑ Ì Ð ÖÆ ÝÌ Ò ÝØÇ Ðº ÉÑ Â ÜÙË Ì coverget sequece ÒÝÕÐÑ {z }, ÂÜÒ ÑÝÁ z 0. Á Ã z ÒÝÕº ÖÔÖ Â ÜÙË Ì oscillatig sequece ÒÝÕÐÑ {x }, ÜÐ ÂÒ x 0 ÀÝº ØÖÔÖ y = z /x ÒÝÕº ÂÀØÙ x y = z ÀÕ ØÁ {x y } ¹ Ö coverget ÀÇÝ Í Ø ÔÖÕ Òº Ö {y } 45

7 Sequeces (part ) ÁÖ Õ N, ØÁ Take ay N. Check The b = a + +a a + +a N + a N + +a a + +a N + a N + +a N 2 < ǫ 2 + a N + +a ǫ 2 + a N + + a ǫ 2 + ( N +)ǫ 2 [ by (**) ] [ ] by triagle iequality ÖÆ a N,..., a ØÁ < ǫ 2, Ã Ö ÑÌ N + Ò Õº [ by triagle iequality [ N N 2 ] ] ǫ 2 + ǫ 2 [ N ] = ǫ, as required. Exercise 86: If lim x = l, show that x +x 2 + +x lim = l. [3] (200.4b) Ö ÃÌÁ ÜÐ 0¹Ö ÝÝ l. DAY 2 Recurrece relatio Ò ÑÝ Ì sequece¹ recurrece relatio Ý Ë Ö ÀÝ ÂÑÒ a = 2a. 57

8 Cotiuity ad Limit DAY 6 Limits Á ÍÊÔÉÖ ÖÐÐÁÒ ÚÖ ÍÔÑ ÑÒ Õ ÜÒ ÑÖ Ú ÝÌÝ ÖÐÐÁÒÖ Ö Ö ÒÖ Ö É ÐÕÐÑº Ê É Á ÙÁ Ö ÉÒ ÜÁ ÑÖ Ú ÞÖÆÖ discotiuity¹ Ð ÖØ ËÜÕº Á Ö Ì Ð left limit, Ö ÒÖ Ì Ð right limit. Fig 96 Üº ÜÒ x = a¹ø f(x)¹ö value ÀÐ p. Ù x = a¹ø f(x)¹ö right limit ÀÐ q, Ö left limit ÀÐ r. Á ÉÌ ÑÖ ÃÔ ÐÜ f(a) = p, f(a+) = q Ö f(a ) = r. Right limit¹ f(a+) Õ lim x a+ f(x) À Ç ÐÜ ÂÝº ØÁ ÑÖ ÚÇ ÐÜØ ÔÖØÑ lim f(x) = q Ö lim x a+ f(x) = r x a Ö Fig 97 Üº ÜÒ x Â ÝÁ a¹ö Õ Ù ÑÝÁ f(x) ÂÕ q¹ö Õº ÑÖ Ð Â x = a¹ø f(x)¹ö limit ÀÐ q. É left right ÉÌ Ð Ö Ö ÐÜ Òºµ 6. Domai¹Ö ÁÖ limit Õ lim x a f(x) Ö ÖÖ Ò a¹ f(x)¹ö domai¹ ÉØ À ÑÒ f(a)¹ì exist ÖØ À ÑÒ ÀØ ÔÖ Â f(a) ÀÐ udefied, É lim x a f(x), exist Ö ÍÖ ÀÐ À ÑÒÌ Ù Á ÝÌ ÌÙ ÞÒ ÙØ Àº Fig 98¹Ö ÊÌÖ ÉÁ ÞÖº ÜÒ f(a) ÀÐ udefied. ÂÀØÙ x = a¹ø ÊÖ Ò Ù ÒÁµº Ù ØÇ lim x a f(x) = q. ÙØÖÃ x = a fuctio¹ìö domai of defiitio¹ö ÁÖ ÔÐÇ lim x a f(x) exist ÖÕº Ù ÑÝÁ Â ÑÒÌ À ÑÒ É ÒÁ ÂÑÒ Fig 99¹ Ö f(x)¹ö domai ÀÐ D, Ö a ÖÝÕ D É Ë ÕÙÌ Öº ËÁ lim x a f(x) ÒÝ É ÐÖ Ò ÑÒÁ ÀÝ Ò ÖÑ ÖÌ ÒÖ É Ð Á Ö ÁØ ÌÒº Fig 200¹ f(x)¹ö domai ÀÐ D = [0,] {2}. ÜÒ f(2) ËÁ exist Ö Ù ÜÒÇ lim x 2 f(x)¹ö Ò ÑÒ ÀÝ Ò ÖÆ 2 ÖÝÕ D¹Ö poit¹ö É ÌÙ ØØº ÙØÖÃ Ë Ö ÙØ ÔÖÕ Â f : D R ÀÐ Ð Ñ ØÜÒÁ lim x a f(x)¹ö ØÐ ÂØ ÔÖ ÂÜÒ a À D¹Ö Ì limit poit. ÑÒ ÖÜ Â a Ù D¹Ö limit poit ÀÐÇ lim x a f(x) ÒÇ exist ÖØ ÔÖ Ù limit poit Ò ÀÐ exist ÖÖ ËÌÇ Ç Òº ÂÑÒ Â ÕÐ Ð ÚØÁ ÀÝ Ò ØÖ Ô ÐÖ ÔÖÝ ÔË Ö Ò ÖÖ ËÁ ÒÁº q y = f(x) a x = a¹ø Ù f(x) defied ÒÝ Fig 98 Domai Á poit¹ìö ÞÖÕ f(x) ÉÇ defied ÒÝº Fig 99 a 2 x = a¹ø f(x) exist Ö Ì Ù ÞÖÕ Ö ÉÇ Ö Òº Fig

9 Sequeces (part 2) {x } is coverget. (a) Ö Ì Õ Ò Ã Á Ø ÚÈÖ Ì ù Ô Õ ÞÖØ ÔÖ Ò Ü Exercise 274: Ì sequece¹ö ÙÐ coverget subsequece¹á Â Á limit¹ coverge Ö Ø ÑÐ sequece¹ìç coverget ÀÁ a Bolzao-Weierstrass for sequeces ÑÖ ÖÖÁ ÐÕ Â Ì sequece Ò coverge Ò ÖÐÇ ØÖ Ò Ì subsequece Ù coverge ÖÐÇ ÖØ ÔÖº Ö Á ÉÌÖÁ Ì Ö ÖÖ ÃÖÆ Ö ÑÆ Ö Ì sequece Â bouded ÀÝ Ø ØÖ Ø Ì subsequece Ù coverge ÖÁ Á ÉÌ Ð Bolzao- Weierstrass theorem for sequeces. ÑÖ Â Bolzao-Weierstrass theorem for sets ÖÕÐÑ ØÖ Ö Ò Ô Õ Ì ÑÖ ÌÙ ÔÖÁ Üº Exercise 275: Prove that every bouded sequece i R has a coverget subsequece. [4] (200,2003,20) Á ÃÌ ÕÙ ØÁ ÞÔ ÞÔ Öº Step : Shall show: Every sequece has either a odecreasig or a oicreasig subsequece: Ò sequece¹ö Ê Ö ÔÖÌ Ö ÜÙ º ÌÙ ÐÝ ÒÇÝ Âº Fig 232(a)¹Ø Ì sequece¹ö Ê ÖÝÕº Ì ÜÒ ÍÕ ÜÒ ÒÑÕ É icreasig decreasig ÒÌÁ ÒÝº Fig 232(b)¹ Ö sequece¹ì Ù icreasig. Ö Fig 232(c)¹ÖÌ decreasig. Ö Ì ÒØÙÒ Ò ÑÒ Ö Call N a balcoy if k > we have a > a k. Á balcoy ÉÌ Ò stadard term ÒÝ Ð ÑÖ ÐÜÖ ÙÞÖ Ò äøö Öº ÔÖÌ Ö Ò Fig 233 Üº ÜÒ Ð Ð ÙÙÐ ÀÐ balcoy. ÙÐ ÒÝº Õ Ü Ì Ö ÂÕ ÞÖ ØÙÑ Ì Ð ÙØ Õ ÜÒ É Ò ØÇ Ë Ë ØÖ ÖÖº Ð Ö Â ØÑÖ à ÉÇ Þ Ô Ò É ÒÖ Ö Ò Ù ØÑÖ ÇÔÖ ÑÉ ØÐÒº Á a a (b) (c) Fig 232 Fig

10 Pick ay u k U. Sequeces (part 2) The u k = s k +t k, where s k S ad t k T. s k ifs ad t k ift. u k = s k +t k ifs +ift. So ifs + ift is ideed a lower boud for U, completig the proof. Exercise 302: If {u } ad {v } are bouded sequeces, prove that Fig 249 limu +limv lim(u +v ). [2] (20.4c) Á ÃÌ ÖÁ Ö ÑØ ÜÐ limif¹ö ÝÝ limsup, ØÁ Ö ÒØÙÒ Ö ÖÐÑ Òº 0 Fig 250 DAY 22 Cauchy sequeces ÖÖÒÖ Ô ÖÑ ÒÖ É Õ ÂÖ Ö ËÐ ÑÖ ÑØ ÔÙÖ Ë ÕÝ Ö ÞÖ Ö Ð É Ö ÕÌ ÀØ ÀØ Ì Ð Ã Ò Ö æìö ÑÞ Ì ÂØ ÔÖº Ò Ò sequece¹öç ÁÖÑ Úº ÑÒØ Â Ò sequece¹á ifiitely may term É Ù Á sequece¹ö term¹ùð ÔÖÔÖÖ ØÁ ÕÕ Â Ø Ù ÝÖ ÑÞÁ Ý ÙÐ term¹á Ì ÂÝº Ý ÙÐ ÐÖ ÖÆ Á Â Ò ÑÝ Ö Ö fiitely may term ÁÖ É ÂÝ ifiitely may term Ù ÂÝ ÕÌ ÝÌÙÙÖ ÑÞº Á ÖÑ sequece ¹Ö Ð Cauchy sequece. Example 82: ÞÖ Á sequece¹ì, 2, 3, 4, 5,... Fig 250 ÜÐÁ Ù Â term¹ùð ÖÑ 0¹Ö Õ Ú Ö Õº ØÙÑ Ñ ÂØ ÕÌ ÜÙË Ì ǫ > 0 Ç Ñ Ý ÙÐ term¹á ǫ ÁÖ Ì æìø ÚÖ ÐØ ÔÖº ÂÑÒ Â ǫ = 3 Ç Ø ÉÑ ØÒÌ term Á (0, )¹Ö ÑÞ ÞÖ Â 3 (Fig 25). Â ǫ = 0 Ç ØÀÐÇ Ý ÁÁ Ñ (0, 0 )¹Ö ÑÞ ÔÝ Â ÜÐ ÉÑ ËÌ ÁÖ É Â (Fig 252). Á Ö Â Â Ò ǫ > 0¹Ö ÒÁº ØÁ Á sequece¹ì Ì Cauchy sequece. 0 0 Ý Á Á 3 äö ÑÞ Ì Õ ÜÐ Á ÝÌ ÁÖ ÖÝÕº Fig 25 Ý Á Á 0 äö ÑÞÇ Ì Õ ÁÖ ÖÝÕ ÜÐ Á ÝÌº Fig

11 More o cotiuity f caot be uiformly cotiuous o (0,]. x six x Ì fuctio ÇÝ ÉÐ Ö Ù Ì uiformly cotiuous Ò Á Ë ÒÁ Ü ÜÝº ÒÖ ÃÌ ÖÐ ÒÌ ÞÖÆ Àº si x Exercise 386: Prove or disprove: x, x > 0 is ot uiformly cotiuous.[3] (203.6c) ÑÝÁ Ò Â fuctio¹ìö ÊÖ ÐÌ Ò ÉÐ ÙÞ ÀÝº ÜÒ ÊÌ ÜÝÕ Fig 302¹º Á ÊÌ Â ÖÑ ÜØ À Ì Ù ÀØ Á ÂÝ ÁÚ ÑÖ Ò Â six¹ö Ê ÀÝ Í ÜÐÒ ÍÙÐ six É ÔÂ ÇÒÑ Öº ÙØÖÃ x Â ÇÒÑ Ö x É ÔÂ Ø Ö ÂÖ Õ ÙØÖÃ ÉÑ x x Ö x ¹Ö Ê ÙÌ À Ö ÒÇ ØÖÔÖ ØÖ ÑÞ Ì Í ÜÐÒ ÐÁÒ ÐÁ six x ¹Ö ÊÖ ÐÌ ÔÝ Âº ÜÐ Ñ ÀÐ x ÂÜÒ 0¹Ö ÜÙ Õ ØÜÒ Ö x ¹Ö Õ Ð ÂÝº Ù ÑÖ ÀÝÖ Ö ÉÁ Ò Â six lim x 0+ x =. ÙØÖÃ ÑÖ ÍÌ ¹Ö ËÙÖÙ Àº Ö Ì Ö ÊÌÖ Ý Ü ÙÐÝ Ü ÉÇ ÚÖ ÕÙ Õ Òº Â É Ø discotiuous, ÙØÖÃ uiform cotiuity¹ö Ë ÜÒÁ ËÈº ÜÒ Ë Ñ ÒÁº Ö Ü ÊÌ ÉÇ ÚÈÆ ÚÈÆ Ü ÀÝ ÍÕ ÒÑÕµ Òº ÚÈÆ ÚÈÆ Ü ÀÝ Ç Ð ØÖ ÒÑÙÒ Ö ÃÁ ÜÕº ÜÒ ÖÑ Ò Ñ ÒÁº ØÙÑ Ò ÀÝ ÐØ ÔÖ Â Ì uiformly cotiuous ÀÁº Shall show that f(x) = six x uiformly cotiuous o (0, ), is x Fig 302 Ë ÀÐ ÑÆ Ö Ö ÑÖ Ò Â Ì cotiuous fuctio ÑÝÁ closed, bouded set¹ö ÍÔÖ uiformly cotiuous ÀÝº Ù ÜÒ domai¹ì ÀÐ (0, ), ÂÌ closed¹ç ÒÝ bouded¹ç ÒÝ ÙØÖÃ Ö Ö Ã É ÑÆ ÖÖ Ö ie, Target ǫ > 0 δ > 0 x,y (, ) ( x y < δ = f(x) f(y) < ǫ ). ǫ Take ay ǫ > 0. Ö Ì Õ ÙØÖÃ ÑÉÝ ÖØ Àº ÉÑ Ð Ö Â ÑÖ domai¹ì (0, ) ÀÐÇ ÇÌ 323

12 Coutability For x I let A x = ( f(x ),f(x+) ). The A x is oempty ad ope. Also, f(x) is mootoic, x y I we have A x A y φ. Ö Ö ÃÖ ÂÙñÌÁ Ð Sice Q is dese i R, there must be a ratioal q x A x. Let B = {q x : x I}. Cosider the fuctio f : I B defied as f(x) = q x It is oto by defiitio. Also, it is oe oe. [[ Because: A x s are disjoit, q x s are distict. ]] So f : I B is a bijectio. So I ad B are equipotet. But B Q ad Q is coutable. So B is coutable. So I is coutable, as required (0, ),[0, ] oeumerable Á ÁÝÖ È ÞÝ termiatig Ö otermiatig decimal expasio¹ö É ËÜÕÐÑ ÑÒ Õ Á Â Georg Cator ÒÑÖ Á ÑÖ ÚÐÖ Ì Ö Â ÃÌ ËÜ ÌÇ Á ÚÐÖ Ñ Øº Ã ÜÒ decimal expasio¹ö ÔÖÌ Ðº ÌÙ ÑÒ ÖÝ Áº ÑÖ Ò Â ¹ ÐÜ ÂÝ Ð 2 ¹Ö decimal expasio. ÜÒ poit¹ö ÔÖ ÜÐ ÌÁ ÃÜ Õº Â decimal expasio¹ poit¹ö ÔÖ ÜÐ fiite ÃÜ ÃÜ É ØÖ Ð termiatig decimal expasio, ÂÑÒ Ò ÃÜÖ Ò termiatig decimal expasio É Ò ÂÑÒ 3. Ö decimal expasio ÀÐ ÖÌ ÍÀÖÆ ÀÐ 2 = ÖÑ decimal expasio¹ö Ð otermiatig decimal expasio. È ÞÝÁ ËÜÕÐÑ Â ÃÜÖ termiatig decimal expasio Ò ÉÐÇ ØÖÁ Ì Ö otermiatig decimal 353

An Example file... log.txt

An Example file... log.txt # ' ' Start of fie & %$ " 1 - : 5? ;., B - ( * * B - ( * * F I / 0. )- +, * ( ) 8 8 7 /. 6 )- +, 5 5 3 2( 7 7 +, 6 6 9( 3 5( ) 7-0 +, => - +< ( ) )- +, 7 / +, 5 9 (. 6 )- 0 * D>. C )- +, (A :, C 0 )- +,