UPORABA KALMANOVEGA FILTRA V TERESTRIČNI GEODEZIJI USE OF KALMAN FILTER IN TERRESTRIAL GEODESY

Transcription

1 1 UVOD UPORABA KALMAOVEGA FILTRA V TERESTRIČI GEODEZIJI USE OF KALMA FILTER I TERRESTRIAL GEODESY Sonja Bogatin, Dušan Kogoj UDK: 528.2: Klasifiacija prispeva po COBISS-u: 1.2 IZVLEČEK ABSTRACT Predmet prispeva je predstavitev modela Kalmanovega filtra ot alternativne metode za vrednotenje inematičnih geodetsih meritev. a osnovi simulacije inematičnega procesa je podan model linearnega Kalmanovega filtra. Kinematična opazovanja so izvedena z eletronsim tahimetrom, i omogoča samodejno sledenje refletorja in izvajanje meritev. V računsem primeru je priazan pomen ustrezne določitve začetnih parametrov filtra, s poudarom na določitvi procesne napae. KLJUČE BESEDE Kalmanov filter, inematične meritve, linearni model, mersa napaa, procesna napaa The objective of the article is to introduce the model of Kalman filter as an alternative method for estimation of inematic geodetic measurements. On the basis of inematic process simulation the model of linear Kalman filter is given. Kinematic observations are done with electronic tachymeter, which enables automatic tracing of reflector and measuring. In numerical example the importance of initial filter s parameters definition, with emphasis on defining the process noise, is given. KEY WORDS Kalman filter, inematic measurements, linear model, measurement noise, process noise V geodeziji se že od nedaj pojavljajo naloge, pri aterih se meritve nanašajo na premiajoče ali navidezno premiajoče se objete. V pretelosti se je obravnava inematičnih nalog izvajala na osnovi transformacije inematičnega problema v zaporedje statičnih meritev. Rezultat nanadno obdelanih statičnih opazovanj, izvedenih v različnih časovnih trenutih, so spremembe položaja opazovanih toč objeta v času med izbranimi časovnimi trenuti opazovanj. Z razvojem inematičnih mersih sistemov globalnega in terestričnega položajnega sistema (GPS angl. Global Positioning System in TPS angl. Terrestrial Positioning System) pa se je na trgu pojavil instrumentarij najrazličnejših proizvajalcev, i omogoča samodejno, ontinuirano spremljanje premiajočih se objetov in določitev položaja v soraj realnem času. Klasični postopi obravnave deformacijsih procesov so v pretelosti temeljili na statičnih oz. vazistatičnih modelih. Razvoj računalništva ter razvoj novih mersih tehni in algoritmov Geodetsi vestni 5/26 2 IZ Z 211

2 Geodetsi vestni 5/26 2 IZ Z vrednotenja je v sredini 6-ih bistveno spremenil metodio deformacijse analize. Poleg čisto osnovne določitve geometrijsega stanja je vljučen časovni pote sprememb in premiov; razvili so se t.i. inematični modeli. Kinematična obravnava oordinat toč ot funcij časa posuša opisati spremembe s oordinatami, hitrostjo in pospešom (Bogatin, Kogoj, 26). Da bi laho opisali gibanje toče, je potrebno opisati tirnico gibanja v odvisnosti od časa, aor tudi spremljati geodetsi datum izbranega oordinatnega sistema. V inematični mersi tehnii imamo oprava s časovnimi analizami in tehniami filtriranja, i temeljijo na izravnavi opazovanj ter podajajo zvezo med opazovanji in neznanami v stohastičnem in funcionalnem modelu. Ker je položaj ( x, y, z) pri inematičnih meritvah funcija časa r( t) ( x( t), y( t), z( t)), nanadna obdelava na osnovi nadštevilnih opazovanj ni možna, zato so potrebni posebni postopi, i omogočajo vrednotenje opazovanj v soraj realnem času. Vrednotenje temelji na napovedovanju vnaprej pričaovanega obnašanja sistema, ob dobrem poznavanju in razumevanju njegovega pretelega obnašanja. V realnih časovnih vrstah je veliorat prisoten tudi šum, i otežuje modeliranje in pridobitev optimalnih rezultatov. Med standardne tehnie za odstranjevanje šuma iz časovne vrste sodijo postopi filtriranja in glajenja. V smislu obravnavanja najmanjše vadratne napae je odstranjevanje šuma iz časovne vrste optimalno s Kalmanovim filtrom, i ga laho uporabimo le, če poznamo enačbe procesa (Lotrič, 2). V nadaljevanju je predstavljen model linearnega Kalmanovega filtra in enostaven primer uporabe le-tega za vrednotenje inematičnih meritev, izvedenih s tahimetrom TCRA115plus Leica Geosystems. 2 KALMAOV FILTER Teorija Kalmanovega filtra je bila izpeljana na delih Gaussa, Kolmogorova in izsledih Wienerjevega filtra v začetu 6-ih let 2. stoletja. V splošnem je namen filtriranja ločiti en predmet od drugega. Problem filtiranja v inženirsih nalogah izhaja iz področja eletrotehnie: določitev signala v določenem frevenčnem območju in izločitev frevenc izven definiranega območja. Problem laho v osnovi rešujemo na dva načina: - z izbiro ustreznega instrumentarija ali - z modeliranjem ustreznega matematičnega algoritma za ovrednotenje isanih in merjenih oličin. V 4-ih letih 2. stoletja je orbert Wiener pristopil problemu z matematičnega vidia in si zadal nalogo odgovoriti na vprašanje, ašna naj bo vrednost filtrirane frevence, da bo zagotavljala optimalno ločitev signala od motečih vplivov - šuma. Rezultat je Wienerjev filter, i je definiran z naslednjimi lastnostmi: - predpostava, da sta signal in šum slučajna procesa, - riterij pridobitve optimalne rešitve je minimum srednje vrednosti vadratov popravov, - rešitev temelji na določitvi optimalne utežne funcije filtra. Končni rezultat Wienerjevega filtra je utežna funcija filtra, i določa uteži vhodnih oličin tao, da je rezultat optimalna ocena izhodnih oličin v danem trenutu. Z algoritmom je laho 212

3 izvedena ocena signala za predhodni trenute glajenje, ocena signala za dani trenute filtriranje ali pa je izvedeno napovedovanje vrednosti signala za prihodnji trenute napoved (tabela 1). Tabela 1: Postopi ocenjevanja mersih podatov ot funcija časa (Gelb, 1974) Wienerjev pristop filtriranju po metodi najmanjših vadratov je uporabljen tudi v Kalmanovem filtru. Oba modela temeljita na določitvi utežne funcije: ao naj bodo uteženi vhodni podati, da bo zagotovljena najboljša ocena isanih oličin v sedanjem trenutu (tabela 2). Tabela 2: Diagram sistema, meritev in filtra (Gelb, 1974) Začeti pratične uporabe Kalmanovega filtra segajo na področje navigacije in določanja tirnice gibanja telesa v prostoru in času. Kalmanov filter je optimalni reurzivni linearni algoritem za obdelavo podatov opazovanj. Za pridobitev ocene stanja sistema ali isanih oličin algoritem obdela vsao opazovanje ne glede na natančnost. Pri tem vljučuje vsa razpoložljiva znanja o: - dinamii sistema in mersih naprav, - statističnih lastnosti mersih napa, napa sistema in dinamii modela ter - začetnih vrednostih isanih oličin. Pri reurzivni obdelavi podatov algoritem Kalmanovega filtriranja ne zahteva shranjevanje vseh meritev in stanj sistema, saj so za izračun isanih oličin potrebni le podati iz predhodnega oraa. Ta lastnost utemeljuje prednost algoritma pri veliih sistemih, z velio oličino podatov. Model je linearen. V primeru, da nastopijo nelinearne zveze, jih lineariziramo z razvojem funcij v Taylorjevo vrsto. Kalmanov filter predpostavlja, da so šumi sistema in meritev beli in Gaussovi. Beli šum je slučajni proces e t, jer so spremenljive neorelirane E( e e ), t j, s srednjo t j Geodetsi vestni 5/26 2 IZ Z 213

4 Geodetsi vestni 5/26 2 IZ Z 2 vrednostjo nič e ( t) E( e t ) in varianco E( e 2 ) t s. V primeru, da so šumi porazdeljeni z normalno porazdelitvijo, govorimo o Gaussovem šumu. Oglejmo si model Kalmanovega filtra. Kalmanov filter obravnava slučajni proces, i je opisan z linearno procesno enačbo (Welsch, Bishop, 24): x 1 A x w (1) in enačbo meritev: z H x v, (2) jer so (Pavlovčič Prešeren, 2): A prehodna matria sistema x... vetor neznan za trenute t w procesni beli šum H matria idealne povezave med opazovanji in vetorjem neznan z vetor opazovanj v času t v... trenutni beli šum opazovanj. Matria A n,nv enačbi procesa (1) povezuje trenutno vrednost vetorja neznan x v časovnem trenutu t in napovedano vrednost x 1 za časovni trenute t. Matria H 1 m,nv enačbi meritev (2) povezuje vetor neznan x z opazovanji z. Matrii A in H sta laho funciji časa, vendar n sta za večino procesov onstantni. Algoritem oceni vetor isanih oličin x (n je število m neznan za časovni ora ) na osnovi disretnih opazovanj z (m je število meritev za časovni ora ), za trenute t. Vetorja w in v predstavljata napao sistema in slučajne napae meritev. Za spremenljivi se predpostavlja, da sta beli, z normalno verjetnostno porazdelitvijo: p w ) ~ (, Q ) ( p( v ) ~ (, R ) Pripadajoči ovariančni matrii Q in R vetorjev w in v sta dani z: R w w R v v T i T i Q,, R,, T v, i i i i i R w za vse in i, in sta laho teom procesa onstantni ali pa sta funciji časa ter se spreminjata z vsaim časovnim trenutom meritev t. Kovariančna matria opazovanj R m,m je določena na osnovi poznane 214

5 natančnosti mersih sistemov ali pa je določena na osnovi predhodnih meritev. Določitev ovariančne matrie sistema Q n,n je bistveno težja, saj procesa, i ga ocenjujemo, običajno ne moremo opazovati diretno. Cilj izpeljave Kalmanovega filtra je pridobiti enačbe za izračun aposteriori ocene vetorja neznan xˆ ot linearno ombinacijo apriori ocene xˆ ter utežene razlie med dejansimi meritvami z in predicijo meritev H xˆ : x ˆ xˆ K ( z H xˆ ). (3) Razlia d z H xˆ predstavlja izboljšavo ali poprave meritev in odraža odstopanje med napovedanimi vrednostmi meritev H xˆ in dejansimi meritvami z. Vrednost poprava d pomeni popolno sladnost napovedanih in dejansih vrednosti meritev. Postavi se vprašanje, ao določiti matrio K n, m, Kalmanovo matrio ojačenja, i bo zagotavljala najboljšo optimalno aposteriori oceno vetorja neznan. Kot riterij ocene je izbrana minimalna vsota vadratov popravov, i nam da rešitev optimalne Kalmanove matrie ojačenja K : K P H. (4) H P H R T T V primeru, o se ovariančna matria opazovanj R (diagonalni elementi podajajo natančnost opazovanj in sicer variance opazovanj) približuje nič, vrednost K onvergira 1 / H. Dejanso opazovanje z dobiva vedno večje zaupanje, H xˆ pa čedalje manjše. V obratnem primeru, o se apriori ovarianca ocene vetorja neznan P približuje, dobiva vetor opazovanj z manjše zaupanje, opazovanja H xˆ pa vedno večje. Celotna Kalmanova zana je podana v tabeli 3. Kalmanov filter oceni proces na osnovi povratne ontrole. Filter oceni procesno neznano za ne časovni trenute, za aterega so izvedena disretna opazovanja s prisotnimi motnjami. Filter je sestavljen iz časovnih enačb napovedi in enačb opazovanj enačb popravov. Časovne enačbe podajajo apriori oceno stanja sistema za naslednji časovni ora, na osnovi trenutne ocene neznan in pripadajoče ovariančne matrie. Sledi povratna ontrola in orecija apriori ocenjenih vrednosti na osnovi izvedenih opazovanj. Izračunana je aposteriori ocena vetorja neznan in pripadajoča ovariančna matria. Kalmanov filter je torej algoritem za reševanje numeričnih problemov, i temelji na napovedih in popravih napovedi. Geodetsi vestni 5/26 2 IZ Z 215

6 Geodetsi vestni 5/26 2 IZ Z Tabela 3: Kalmanova zana (Brown, Hwang, 1992) 3 RAČUSKI PRIMER LIEAREGA KALMAOVEGA FILTRA 3.1 Instrumentarij in vzpostavitev oordinatnega sistema V učilnici zimsih vaj na Faulteti za gradbeništvo in geodezijo je bil vzpostavljen testni loalni oordinatni sistem s tirnico za simuliranje gibanja refletorja (slia 1). Slia 1: Loalni oordinatni sistem 216

7 Opazovanja so bila izvedena s tahimetrom TCRA115plus (Leica Geosystems) v modulu LOCK, ar pomeni, da instrument sam sledi gibajoči refletor. TCRA označuje avtomatsi tahimeter s samodejnim viziranjem in sledenjem prizme z vgrajenim IR in lasersim RL razdaljemerom, i omogoča merjenje dolžin brez refletorja ( Z uporabo programa AutoRecord (Leica Geosystems), nameščenega v instrumentu, se meritve izvajajo samodejno, glede na izbran riterij registracije meritev: časovni interval, sprememba dolžine ali čas mirovanja refletorja. Program je narejen posebej za instrumente z možnostjo avtomatsega prepoznavanja refletorja (ATR) (Kogoj et al., 24). Za izvedbo meritev je bil izbran časovni riterij registracije meritev (poševna dolžina, horizontalni ot, zenitna razdalja) in sicer za časovni interval dt 1 s. Simulacija gibanja 36 refletorja je bila izvedena ročno. Instrument je v času meritev postavljen na stebru I z danimi prostorsimi oordinatami v loalnem oordinatnem sistemu ( y, x, z) (1,1,1). Izhodiščna smer smer x je definirana s smerjo proti stebru II. Koordinatni sistem je levosučen; y -os je usmerjena proti stebru III. Os gibanja refletorja je približno vzporedna z osjo y. Opazovanja so bila shranjena na notranjo pomnilno artico instrumenta. Datotea *.gsi je bila prenešena na zunanji računalni s programom Leica SurveyOffice. Podati bloov opazovanj so bili nato iz *.gsi testovne datotee formata 16 prevedeni v *.txt testovno datoteo, i je vhodna datotea v algoritmu Kalmanovega filtra. 3.2 Model linearnega Kalmanovega filtra V testovni datotei so shranjene prostorse oordinate, ot jih izračuna instrument za vsa trenute meritev. V linearnem Kalmanovem filtru predstavljajo prostorse oordinate hrati meritve z x y z T in omponente vetorja stanja sistema isanih oličin T z x x vx y v y z v (prostorse oordinate položaja refletorja v danem trenutu in hitrost v posamezni smeri). 2 V izračunu Kalmanovega filtra je predpostavljeno enaomerno gibanje, a a a m/s. x y z Iz poznane enačbe gibanja s s v * dt laho zapišemo procesno enačbo (1) v matrični oblii x A 1 x : x vx y v y z vz ,1 1 6,6 z 6,1 Enačba meritev z dt dt 1 H x se glasi: dt x vx y v y z v. (5) Geodetsi vestni 5/26 2 IZ Z 217

8 Geodetsi vestni 5/26 2 IZ Z x y z 1 1 3,1 1 3,6 x vx y v y z vz 6,1. (6) Za izračun algoritma Kalmanovega filtra s časovnimi enačbami napovedi in enačbami popravov je potrebno določiti: - začetni približe vetorja neznan x 6,1 in pripadajočo ovariančno matrio P 6,6 - ovariančno matrio opazovanj R 3,3in - ovariančno matrio procesne napae Q 6,6. Apriori vetor začetnih približov prostorsega položaja refletorja in omponent hitrosti v posamezni smeri je določen na osnovi predhodnih meritev. Začetne vrednosti omponent vetorja hitrosti so določene ot povprečne hitrosti v posamezni smeri. Za določitev apriori ovariančne matrie začetne vrednosti vetorja neznan P je privzeta natančnost določitve začetnega položaja.1 m in omponent hitrosti.1m/s. Kovariančna matria opazovanj R je določena glede na zmogljivosti instrumenta pri inematičnih meritvah in znaša R diag(.1 m 2 ) 3,3 in je časovno neodvisna. Kovariančna matria procesne napae Q je diagonalna matria Q q diag(1, jer je q ustrezen salar. ) 6,6 3.3 Interpretacija rezultatov Računsi primer poaže odvisnost rezultatov od razmerja med procesno napao (matria Q) in merso napao (matria R). atančnost opazovanj matria R je ves čas onstantna. Rezultati so podani za dve različni vrednosti parametra q ovariančne matrie procesne napae Q. Število vseh mersih trenutov v obeh primerih je =48. a spodnjih sliah so podani rezultati za vrednost q=.1. a slii 2 je predstavljena onvergenca sledi matrie P, atere diagonalni elementi so variance isanih oličin omponent položaja in hitrosti. Standardna deviacija posamezne omponente položaja onvergira vrednosti 7.5 mm in omponent hitrosti vrednosti 5mm/s (slia 3). 218

9 Slia 2: Sled matrie P za q=.1 Slia 3: Standardne deviacije omponent položaja in hitrosti za q=.1 a sliah 4 je izris omponent položaja: merjenih, napovedanih in filtriranih vrednosti. x [m] sled(p) x y [m] merjena vrednost x [m] merjena vrednost Geodetsi vestni 5/26 2 IZ Z 219

10 Geodetsi vestni 5/26 2 IZ Z y [m] Slia 4: Merjene, napovedane in filtrirane vrednosti omponent položaja refletorja za q=.1 Iz grafov hitrosti (slia 5) je razvidno, da je bila hitrost v smeri x in smeri z približno nič, v smeri y pa je znašala približno v 2 cm/s. Slia 5: Komponente hitrosti za q=.1 v x [mm/s] y.5 4 v y [mm/s] 2 merjena vrednost V nadaljevanju je podan primer slabe izbire procesne napae in posledično divergence filtra. Izbrana je mejna vrednost q=, i pomeni popolno zaupanje v matematični model. a sliah 6 in 7 vidimo, da je dosežena onvergenca sledi in standardnih deviacij omponent prostorsega položaja in hitrosti. Standardna deviacija pri določitvi položaja je celo trirat boljša ot v primeru q=.1. a osnovi teh rezultatov bi laho zaljučili, da je model popolnoma primeren za vrednotenje inematičnih meritev. Ko pogledamo omponento y (slia 8), vidimo, da nastopi divergenca filtra. Divergenca nastopi, o je vrednost ovariančne matrie P, natančneje diagonalnih elementov, i je določena s procesom filtriranja, nesprejemljivo majhna glede na dejanso oceno neznan (Sorenson, 197). Odstopanje med filtriranimi in merjenimi vrednostmi po omponenti y (slia 8) znaša tudi do 5 cm, ar je glede na zmogljivost instrumenta in hitrost gibanja bistveno preveč. z [m] v.1 z [mm/s] merjena vrednost 22

11 Slia 6: Sled matrie P za q= Slia 7: Standardne deviacije omponent položaja in hitrosti za q= y [m] merjena vrednost v x [mm/s] v y [mm/s] v z [mm/s] Slia 8: Komponenta y za q= Geodetsi vestni 5/26 2 IZ Z 221

12 Geodetsi vestni 5/26 2 IZ Z V primeru, da izberemo preveli q, laho nastopi slučaj, o sled matrie P onvergira velii vrednosti (slia 9) in so posledično tudi standardne deviacije neznan bistveno prevelie glede na natančnost meritev. Filtrirane vrednosti v tem primeru sledijo merjenim (slia 1), saj je v primeru veliega q večje zaupanje v opazovanja. sled(p) Slia 9: Sled matrie P za q=1 4 ZAKLJUČEK V terestrični geodeziji smo priča hitremu razvoju geodetsega instrumentarija ot posledici vedno večjih zmogljivosti mersih senzorjev in programse opreme. Ob predpogoju znanja o geodetsih metodah in postopih laho s poznavanjem delovanja in zmogljivosti mersih senzorjev ter programse opreme bistveno razširimo možnosti uporabe terestričnega geodetsega instrumentarija. Ena od možnosti je zajem inematičnih procesov. Pri inematičnih meritvah zaradi gibanja refletorja ni mogoče izvajati nadštevilnih meritev, s aterimi bi zmanjšali ali odstranili vplive delovnega oolja, instrumentalne pogreše in negativne vplive matematičnega modela. V splošnem so zahteve pri inematičnih meritvah obsežnejše. Izbira instrumenta je pri zajemu inematičnih (dinamičnih) procesov ljučnega pomena. Prav tao je potrebno izbrati ustrezne postope vrednotenja, i nam poleg določitve neznan omogočajo tudi oceno natančnosti. V inematični mersi tehnii imamo oprava s časovnimi analizami in tehniami filtriranja. Učinovitost matematičnega algoritma Kalmanovega filtra je danes razširjena na številna področja: geodezija, eletrotehnia, medicina,... povsod v nalogah, jer je potrebno ovrednotiti neznane oličine ot funcijo časa na osnovi pogrešenih opazovanj. Učinovitost matematičnega algoritma Kalmanovega filtra v geodeziji pa se izaže predvsem v nalogah, jer ni mogoče zagotoviti nadštevilnih opazovanj, torej v nalogah navigacije, ontinuiranih meritvah premiajočega objeta (spremljanje premiov in deformacij). Glede na izušnje laho zaljučimo, da je pri inematičnih meritvah potrebno posvetiti pozornost: x [m] Slia 1: Merjene, napovedane in filtrirane vrednosti položaja refletorja za q=1 y [m] merjena vrednost 222

13 223 a) zmogljivosti instrumenta pri inematičnih meritvah: Pri seriji tahimetrov TPS11 Leica Geosystems se namreč poaže še precejšnja odvisnost natančnosti določitve položaja od hitrosti gibanja refletorja. Odstopanje v položaju laho znaša tudi do neaj centimetrov, odvisno od hitrosti, in je posledica časovnega zamia med merjenjem otov in dolžin. Z decembrom 25 pa je izvedena izboljšava sinhronizacije, jer časovna razlia med merjenje otov in dolžine znaša neaj mili seund. b) ustreznosti modela za vrednotenje: V prihodnje bi bilo potrebno vzpostaviti ustrezni alibracijsi sistem z znano tirnico gibanja za vrednotenje primernosti matematičnega modela in zagotoviti zunanjo mero zanesljivosti. a tašnem sistemu bi bilo mogoče testirati tudi zmogljivost instrumenta za inematične meritve v odvisnosti od merjenih vrednosti in hitrosti gibanja. Literatura in viri: Bogatin, S., Kogoj, D. (26). Pregled modelov vrednotenja geodetsih ontronih meritev. Geodetsi vestni. 26-5/ 2. Ljubljana. Brown, R. G., Hwang, P. Y. C. (1992). Introduction to random signals and applied Kalman filtering. Second edition. Electrical Engineering Department, Iowa State University, Rocwell International Corporation. Copyright 1983, 1992 by John Wiley & Sons, Inc. Reprinted with permission of John Wiley & Sons, Inc. Gelb, A. (1974). Applied Optimal Estimation. Massachusetts: Institute of Technology. Kogoj, D., Bilban G., Bogatin S. (24). Tehnične latnosti tahimetrov Leica Geosystems. Geodetsi vestni /1. Ljubljana. Lotrič, U. (2). Glajenje vhodnih vzorcev pri napovedovanju časovnih vrst. Ljubljana: Faulteta za računalništvo in informatio, Univerza v Ljubljani. Pavlovčič Prešeren, P. (2). Vpliv troposfere na GPS opazovanja. Magistrsa naloga. Ljubljana: Faulteta za gradbeništvo in geodezijo. Sorenson, H. W. (197). Least-squares estimation: from Gauss to Kalman. San Diego: University of California. Copyright (c) 24 IEEE. Reprinted from IEEE Spectrum, vol.7, Welsch, G., Bishop, G. (24). An Introduction to the Kalman Filter. Updated: ~welch/media/pdf/alman_intro.pdf asist. Sonja Bogatin, univ. dipl. inž. geod., inž. mat. FGG Oddele za geodezijo, Jamova 2, SI-1 Ljubljana E-pošta: sbogatin@fgg.uni-lj.si izr. prof. dr. Dušan Kogoj, univ. dipl. inž. geod. FGG Oddele za geodezijo, Jamova 2, SI-1 Ljubljana E-pošta: dogoj@fgg.uni-lj.si Prispelo v objavo: 6. marec 26 Sprejeto: 23. maj 26 Geodetsi vestni 5/26 2 IZ Z