Simulácie ako nástroj riadenia rizika v neživotnom poistení

Transcription

1 4. eznárodní konference Řízení a odelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonocká fakulta, katedra Fnancí.-2. září 2008 Suláce ako nástroj radena rzka v nežvotno postení Vladír Mucha Abstrakt Ceľo príspevku je poukázať na ožnost využta sulácí celkového postného plnena resp. prebytku posťovne v rác procesu radena rzka v portfólu postných zlúv nežvotného postena. Výsledky dosahnuté rešení úloh pravdepodobnostného charakteru na základe počítačovej suláce organzovaného náhodného procesu sú hodnoty náhodných velčín, takže na ch spracovane je potrebná aplkáca etód ateatckej štatstky. Sulačný prístup určena pravdepodobnost krachu posťovne generovaní hodnôt celkového postného plnena resp. počtu postných plnení predstavuje efektívnu a flexblnú foru zabezpečena solventnost posťovne. Použtá sulačná etóda Monte Carlo bola realzovaná v prograovaco jazyku VISUAL BASIC for Applcatons v Mcrosoft EXCEL. Kľúčové slová suláce, náhodná preenná, prebytok, kvantly, rozdelene, kolektívny odel rzka, Monte Carlo, pravdepodobnosť krachu, počet postných plnení, výška postného plnena, celkové postné plnene Úvod S rýchly rozvojo technckých ožností a softwarového vybavena počítačov sa do popreda dostávajú nové prístupy rešena probléov, ktoré sú založené na kvaltatívne novo spôsobe využívana výpočtovej technky. a analýzu a skúane zložtých procesov sa využívajú sulačné etódy predstavujúce potenconálne jeden z najúčnnejších rešteľských nástrojov. Ich základná yšlenka je poerne jednoduchá, pretože vychádza z praeho napodobňovana reálneho systéu. Ich použte á opodstatnené esto hlavne v prípade, keď vytvorený odel reálneho systéu ne je ožné rešť analytcký postup, pretože by to bolo prnajenšo extréne náročné. Pretože sulačné etódy sú jedný z prostredkov rešena určtých probléov pravdepodobnostného charakteru, ožno ch aplkovať v prípade rešena úloh z postnej praxe. Výsledky získané z pravdepodobnostných odelov je potrebné považovať za hodnoty náhodných velčín, takže ch spracovane je potrebné realzovať etóda ateatckej štatstky. A práve preto je celko pochopteľné využívať suláce aj v oblast teóre rzka. V procese radena rzka v portfólu postných zlúv nežvotného postena spĺňajúco podenky kolektívneho odelu rzka [2] je pleentáca sulačných etód efektívny spôsobo zabezpečovana solventnost posťovne. Hodnoty celkového postného plnena S pre celé portfólo sú generované na základe náhodného procesu prostredníctvo náhodných preenných počtu a X ( =,..., ) ndvduálnej výšky postných plnení s dentcký zákono rozdelena. Celkové postné plnene S je defnované vzťaho Mgr. Vladír Mucha, PhD.Katedra ateatky, Fakulta hospodárskej nforatky, Ekonocká unverzta. Dolnozeská cesta /b, Bratslava. e-al : ucha@euba.sk.,vega /0724/08

2 4. eznárodní konference Řízení a odelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonocká fakulta, katedra Fnancí.-2. září 2008 S = X () = Základo realzáce sulovana hodnôt celkového postného plnena S resp. prebytku posťovne Z je poznatok o rozdelení počtu a výšky postných plnení X. Preto je potrebná celková analýza spracovana dát o počte a výške postných plnení za predchádzajúce obdoba. a základe týchto poznatkov sa za predpokladaného vývoja portfóla v nasledujúco období realzuje saotná suláca prebytku posťovne. V prípade avzovaných zen, čo sa týka rozdelena počtu a výšky postných plnení sulovane budúceho stavu portfóla poskytuje cenné nforáce potrebné k efektívnej regulác rzka. Určovane pravdepodobnost krachu posťovne resp. pravdepodobnost toho, že posťovňa nadobudne prebytok v rác určeného ntervalu je ožné využtí sulovana hodnôt celkového postného plnena S resp. jej prebytku Z sulačnou etódou Monte Carlo. Exstuje aj jednoduchša alternatíva sulačného prístupu pr odhade spoínaných pravdepodobností, operajúca sa o generovane hodnôt počtu postných plnení. Získane nforác o počte postných plnení, ktorý by predstavoval napríklad krach posťovne ôže byť do určtej ery ovplyvnený rozdelení výšky postného plnena X resp. rozptylo hodnôt tejto náhodnej preennej okolo očakávanej hodnoty E( X ). 2 Suláca hodnôt prebytku Z posťovne využtí sulačnej etódy Monte Carlo a určene pravdepodobnost krachu posťovne Budee sa zaoberať odelo prebytku Z posťovne, ktorý je na konc sledovaného obdoba defnovaný nasledujúc vzťaho Z = U + RP S, (2) kde U - je hodnota rezervného postného fondu na začatku sledovaného obdoba S - výška celkového postného plnena defnovaná ako súčet ndvduálnych postných plnení X vzťaho S = X+ X X (3) θ - rzková prrážka RP - rzkové postné : RP = E ( X ) E ( ) ( + θ ), (4) V prípade, že Z < 0 nterpretujee prebytok posťovne ako stratu posťovne Z > 0 nterpretujee prebytok posťovne ako zsk posťovne áhodné preenné X ajú dentcký zákon rozdelena a nadobúdajú rôzne hodnoty t.j. napríklad hodnotu x preenná X,..., hodnotu x preenná X. Súčet týchto hodnôt predstavuje jednu z ožných hodnôt s náhodnej preennej S celkového postného plnena 2... s x x x = (5) V rác určena pravdepodobnost krachu posťovne využtí generovana hodnôt jej prebytku Z a ch štatstckého spracovana dochádza k sulác hodnôt celkového postného plnena S poocou etódy Monte Carlo [8]. Aplkovaní algortu tejto etódy -krát vygenerujee hodnôt celkového postného plnena S,

3 4. eznárodní konference Řízení a odelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonocká fakulta, katedra Fnancí.-2. září 2008 s, s2,..., s, Hodnotu s, =,..., náhodnej preennej S celkového postného plnena získae vygenerovaní hodnoty n, =,..., náhodnej preennej počtu postných plnení a následný generovaní n nezávslých hodnôt náhodnej preennej výšky postných plnení X : x, x,..., x. Spočítaní týchto hodnôt 2 n n x j dostanee hodnotu náhodnej preennej S : j= n s = x, =,..., Hodnoty s, s 2,..., s ožno využť pr sulovaní hodnôt prebytku posťovne z, z2,..., z na základe vzťahu (2). Dôležtý faktoro analýzy radena rzka sulovaní budúceho vývoja daného portfóla posťovne je určene pravdepodobnost krachu posťovne na základe vzťahu j= ( 0) ( 0) P Z < = P U + RP S < = ε. (6) Štatstcký spracovaní vygenerovaných hodnôt prebytku z, z 2,..., z odhadnee pravdepodobnosť krachu posťovne ε na základe vzťahu k, (7) kde je počet vygenerovaných hodnôt náhodnej preennej prebytku posťovne Z a k je počet týchto hodnôt pre ktoré platí z < 0. Odhad pravdepodobnost krachu posťovne ožno realzovať aj spracovaní kvantlov náhodnej preennej Z. Určení kvantlu z δ, pre ktorý platí z δ 0, (8) je hodnota δ odhado pravdepodobnost krachu posťovne ε. Keďže sulovane prebytku posťovne Z je založené na generovaní hodnôt celkového postného plnena S úpravou vzťahu (6) dostanee vyjadrene poocou dstrbučnej funkce F x celkového postného plnena ( ) S j P( S U + RP) = ε (9) F ( U + RP) = ε resp. F ( U + RP) = ε, (0) S Štatstcký spracovaní vygenerovaných hodnôt celkového postného plnena s, s2,..., s odhadnee prevdepodobnosť krachu ε na základe vzťahu = ε h, () kde je počet vygenerovaných hodnôt náhodnej preennej celkového postného plnena S a h je počet týchto hodnôt pre ktoré platí s U + RP. Hodnotu kvantlu x ε je ožné určť na základe vzťahu (0) štatstcký spracovaní vygenerovaných hodnôt celkového postného plnena s, s2,..., s. Získane tejto nforáce S

4 4. eznárodní konference Řízení a odelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonocká fakulta, katedra Fnancí.-2. září 2008 uožňuje radene rzka napríklad určení začatočných rezerv U resp. rzkového postného RP tak, aby posťovňa s vopred danou pravdepodobnosťou ε bola schopná plnť svoje záväzky v dano portfólu postných zlúv nežvotného postena. 3 Suláca hodnôt prebytku Z posťovne využtí suláce počtu postných plnení a určene pravdepodobnost krachu posťovne Pre sulácu hodnôt. prebytku posťovne Z na základe generovana hodnôt počtu postných plnení realzujee odhad hodnôt náhodných preenných X tak, že ch hodnoty nahradíe očakávanou hodnotou E( X ) t.j. s E( X ) E( X ) E( X ) = , (2) vzhľado na dentckosť zákona rozdelena náhodných preenných X E( X) = E( X2 ) =... = E( X) = E( X) = E( X) (3) dostanee vzťah pre celkové postné plnene S S = E( X) (4) Hodnoty prebytku posťovne Z získae využtí spoínaného generovana hodnôt počtu postných plnení na základe vzťahu Z = U + RP E( X) (5) a pre odhad pravdepodobnost krachu posťovne ε dostanee vzťah U + RP = P( U + RP E( X) < 0) = P > E( X) (6) Odhad tejto pravdepodobnost je ožné získať štatstcký spracovaní vygenerovaných hodnôt počtu postných plnení na základe vzťahu U + RP q P > E( X), (7) kde je počet vygenerovaných hodnôt náhodnej preennej počtu postných plnení a q je počet týchto hodnôt pre ktoré platí U + RP n >. E X ( ) Odhad počtu postných plnení, ktorý predstavuje krach posťovne je ožné realzovať grafcký znázornení závslost prebytku posťovne Z od vygenerovaného počtu postných plnení. Vzhľado na nahradene hodnôt náhodnej preennej X očakávanou hodnotou E ( X ) je odhad pravdepodobnost krachu posťovne závslý od rozptylu hodnôt náhodnej preennej X okolo očakávanej hodnoty výšky postného plnena E ( X ). Čí je tento rozptyl enší, tý je odhad pravdepodobnost krachu posťovne dosahnutý na základe opísaného sulačného prístupu porovnateľný s výsledka dosahnutý využtí etódy Monte Carlo. Poocou štatstckého spracovana nagenerovaných hodnôt náhodnej preennej prebytku posťovne Z, napríklad určení prslušných kvantlov je ožné odhadnúť aj pravdepodobnosť, s akou bude prebytok posťovne Z nadobúdať hodnoty z daného zvoleného ntervalu.

5 4. eznárodní konference Řízení a odelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonocká fakulta, katedra Fnancí.-2. září Praktcká ukážka a základe analýzy dát týkajúcch sa vývoja rozdelení počtu a výšky postných plnení X predpokladáe portfólo postných zlúv nežvotného postena, v ktoro platí (, ) B r q a = 000 X s nasledujúc paraetra a charakterstka: pre počet postných plnení : X, prčo X Γ ( αβ, ) ( 500;0,2) r E( ) D( ) pre výšku postného plnena X = 000 X : B tj. = 500, q= 0,2 = 00, = 80 ( 60;0,) X Γ tj. α = 60, β = 0, 2 ( X) ( ) ( X) ( ) ( X ) = 774, E = 000 E X = 6000, D = 000 D X = σ Pravdepodobnosť krachu posťovneε, ktorá dsponuje na začatku sledovaného obdoba rezerva vo výške U = p.j. a rzkové postné určuje na základe vzťahu (4) s rzkovou prrážkou θ = 0,05 určíe: A) sulácou = hodnôt náhodnej preennej prebytku posťovne Z s následný štatstcký spracovaní týchto hodnôt využtí vzťahov (7) a (8) 529 = 0, z0,07628 = 0, ε δ = 0, Obr.č. : Kvantly náhodnej preennej prebytku posťovne Z B) sulácou = hodnôt celkového postného plnena S s následný štatstcký spracovaní týchto hodnôt využtí vzťahu ()

6 4. eznárodní konference Řízení a odelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonocká fakulta, katedra Fnancí.-2. září = ε = 0, = 0, C) sulácou = hodnôt počtu postných plnení s následný štatstcký spracovaní týchto hodnôt využtí vzťahu (7) = P > = P( > 9,67) = 0, a základe nasulovaných hodnôt prebytku posťovne Z v závslost od počtu postných plnení je odhadovaný počet postných plnení predstavujúcch krach posťovne n = 9,67 20, čo dokuentuje aj grafcké znázornene na obr.č.2. Lteratúra Obr.č. 2 Závslosť prebytku Z posťovne od počtu postných plnení [] DAYKI, C. D., PETIKÄIE, T., PESOE, E.: Practcal rsk theory for Actuares. Chapan &Hall, London, 994 [2] HORÁKOVÁ, G., MUCHA, V.: Teóra rzka v postení I. EKOÓM, Bratslava,2006 [3] RUBISTEI, REUVE Y.: Sulaton and the Monte Carlo ethod. John Wley & Sons,Toronto, 98 [4] HORÁKOVÁ, G., MUCHA, V.: Teóra rzka v postení II. EKOÓM, Bratslava,2008 [5] HUŠEK, R., LAUBER, J. :Sulační odely. STL, Praha, 987 [6] HORÁKOVÁ, G., HUŤKA, V.: Teóra pravdepodobnost, EKOÓM, Bratslava,2004 [7] FEIMEIR,M., BERTRAM,J.: Anwendung nuerscher Methoden n der Rskotheore, DGVM, Karlsruhe, 986 [8] HORÁKOVÁ, G., MUCHA, V.: Určene rozdelena celkových škôd využtí etódy Monte Carlo a jeho porovnane s nuercky presný výpočto v dano portfólu postných zlúv. Zborník príspevkov 2.edznárodnej konference Řízení a odelování fnančních rzk, Ostrava, 2004

7 4. eznárodní konference Řízení a odelování fnančních rzk Ostrava VŠB-TU Ostrava, Ekonocká fakulta, katedra Fnancí.-2. září 2008 Suary The rapd developent of coputer technology and software has brought to the forefront new ethods of solvng probles, whch are based on a qualtatvely new approach to the use of IT. The Monte Carlo sulaton ethods provdes approxate solutons to a varety of atheatcal probles by perforng statstcal saplng experents on coputer. In vew of ether non-exstent or very onerous analytcal ethods of solvng real-lfe stuatons, there s a sgnfcant place for the use of sulaton technques also n the area of nsurance atheatcs. Deternaton of the run probablty of an nsurer usng sulated values of ts surplus s one of the odern fors of control and rsk anageent wth the a of ensurng solvency. The a of ths paper s to show how to use the sulaton ethod for a portfolo of nsurance contracts, whch fulfl the condtons of the collectve rsk odel.