RECREAŢ II MATEMATICE

Anul X, Nr. 1 Ianuarie Iunie 008 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI 15 de ani de la apariţia revistei Recreaţii Ştiinţifice (1883 1888) e iπ = 1 Asociaţ ia Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 008

Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o formă concisă, formula e = 1 leagă cele patru ramuri fundamentale ale matematicii: ARITMETICA reprezentată de 1 GEOMETRIA reprezentată de π ALGEBRA reprezentată de i ANALIZA MATEMATICĂ reprezentată de e Redacţia revistei : Petru ASAFTEI, Dumitru BĂTINEŢU-GIURGIU (Bucureşti), Temistocle BÎRSAN, Dan BRÂNZEI, Cătălin - Cristian BUDEANU, Constantin CHIRILĂ, Eugenia COHAL, Adrian CORDUNEANU, Mihai CRĂCIUN (Paşcani), Paraschiva GALIA, Paul GEORGESCU, Mihai HAIVAS, Gheorghe IUREA, Lucian -Georges LĂDUNCĂ, Mircea LUPAN, Gabriel MÎRŞANU, Andrei NEDELCU, Alexandru NEGRESCU (student, Iaşi), Gabriel POPA, Dan POPESCU (Suceava), Florin POPOVICI (Braşov), Maria RACU, Neculai ROMAN (Mirceşti), Ioan SĂCĂLEANU (Hârlău), Ioan ŞERDEAN (Orăştie), Dan TIBA (Bucureşti), Marian TETIVA (Bârlad), Lucian TUŢESCU (Craiova), Adrian ZANOSCHI, Titu ZVONARU (Comăneşti). Adresa redacţiei: Catedra de Matematică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Bd. Carol I, nr.11, 700506, Iaşi Tel. 03 13737 / int. 13 E-mail: recreatii.matematice@gmail.com http://www.recreatiimatematice.uv.ro COPYRIGHT 008, ASOCIAŢIA RECREAŢII MATEMATICE Toate drepturile aparţin Asociaţiei Recreaţii Matematice. Reproducerea integrală sau parţială a textului sau a ilustraţiilor din această revistă este posibilă numai cu acordul prealabil scris al acesteia. TIPĂRITĂ LA SL&F IMPEX IAŞI Bd. Carol I, nr. 3-5 Tel. 0788 498933 E-mail: simonaslf@yahoo.com ISSN 158-1765

Anul X, Nr. 1 Ianuarie Iunie 008 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = 1 Revistă cu apariţie semestrială EDITURA RECREAŢII MATEMATICE IAŞI - 008

Recreaţii Ştiinţifice 15 de ani de la apariţie La 15 ianuarie 1883, la Iaşi (în tipo-litografia "Buciumului Român"), apărea primul număr al revistei Recreaţii Ştiinţifice, publicaţie ştiinţifică adresată unei largi audienţe, o premieră în peisajul cultural românesc de la acea dată. Colectivul de entuziaşti care au pus piatra de temelie a acestei întreprinderi cu profunde reverberaţii în viaţa academică română era format din N. Culianu, C. Climescu, I. Melik (de la Facultatea de Ştiinţe din Iaşi), G.I. Lucescu, V. Paladi, G.I. Roşiu, I.D. Rallet, G. Zarifopol, I.V. Praja şi I.M. Dospinescu (profesori la diferite licee şi şcoli din Iaşi). Colaboratori regulaţi au fost şi M. Tzony, V.C. Buţureanu, A. Scriban de la Universitatea din Iaşi. Noua publicaţie a avut ca model reviste de prestigiu ce apăreau în ţările cu tradiţie îndelungată din Europa, din care s-au preluat, în timp, articole şi probleme: Analele lui Gergonne (Franţa), Mathesis (Gand, Belgia - a nu se confunda cu societatea italiană cu acelaşi nume fondată la Torino în 1895), Journal de mathématiques élémentaires (Paris), Revue Scientifique etc. Revista a apărut lunar, fără întrerupere, timp de şase ani. Iniţial, fiecare număr avea 3 de pagini, cuprinzând articole cu subiecte variate: aritmetică, algebră, geometrie, geometrie analitică, trigonometrie, calcul diferenţial şi integral, istoria matematicii, mecanică, topografie, cosmografie, astronomie, chimie, geografie sau diverse. Ulterior, s-au publicat şi numere de 4 de pagini sau numere comasate (7 şi 8, numere de vacanţă) de 48 sau 40 de pagini. Revista a cunoscut o bună răspândire în Regatul României (în întinderea sa de atunci), primind colaborări sub forma de note, scrisori, etc. din Iaşi, Bucureşti, Bacău, Botoşani, dar şi din Năsăud, Paris şi a constituit un model pentru întreprinderi similare ulterioare, cum ar fi cunoscuta Gazeta Matematică. Ca "profesie de credinţă" a inimosului colectiv de editori, apare scrisă o scurtă adresare Cătră Cetitoriîn prima pagină a nr.1 din 1883, în care se afirmă dorinţa ca noua publicaţie să remedieze din lacunele existente în învăţământul nostru, să ofere ospitalitate profesorilor sau institutorilor care "tratează o chestiune de ştiinţe după o metoadă proprie lui", să încurajeze tinerimea studioasă. Cu modestie şi obiectivitate se adaugă: "Nu pretindem că vom produce lucrări originale. În starea în care se află ţara noastră, lucrări originale, pe terenul ştiinţific, sînt foarte greu de intreprins. Nimine nu este vinovat pentru aceasta; trebue să ne facem stagiul cuvenit." Într-adevăr, câteva date sunt edificatoare în privinţa situaţiei existente atunci în ţara noastră. Imediat după Unirea Principatelor s-a înlăturat, oficial, scrierea cu alfabetul chirilic (în anul 1860 în Ţara Românească şi 1863 în Moldova), iar în scrierea cu caractere latine s-a adoptat sistemul etimologic cu utilizarea semnelor diacritice. În perioada de pînă la 1880, limba româna literară (modernă) şi-a încheiat procesul de unificare şi de stabilizare în forma pe care o are astăzi. Învăţământul trecea prin mari prefaceri şi frământări: înfiinţarea universităţilor din Iaşi şi Bucureşti, legea învăţământului din 1864, numeroasele regulamente menite să organizeze reţeaua de 1

şcoli şi să stabilească programele acestora, lipsa de manuale şi cursuri în limba română etc. Aceste dificultăţi, greutăţile materiale, cât şi lipsa unui public format pentru receptarea unei reviste ştiinţifice de acest gen fac ca actul publicării Recreaţiilor Ştiinţifice să fie unul temerar şi pornit dintr-o înaltă responsabilitate, pentru îndeplinirea căruia au fost necesare multă dăruire şi multe sacrificii. In vol.vi, nr.1, se subliniază concepţia umanistă a colectivului de redacţie, abordarea conştientă a actului ştiinţific şi a procesului de învăţământ de la noi: "Credem că noi am tras cea întăi brazdă care conduce cătră lucrări originale. Brazda i mică şi îngustă, dar există! [... ] Noi de la început am avut în videre că osătrebuiascăsă facem sacrificiu de timp şi bani. Am făcut şi vom face acest sacrificiu." In numărul 7 din anul IV este amintit rolul deosebit jucat de Ioan Pop (Popp), care "venit din Transilvania în anul 1858 a predat cel întăiu în mod sistematic şi complect ştiinţele matematice în cursul superior al Liceului din Iaşi. [...] afostun excelent profesor. A ştiut să inspiregustulştiinţilor matematicelaomulţime din elevii lui [... ]."; printre aceştia sunt amintiţi Gh. Roşiu, M. Tzony, C. Climescu, V. Palade ş.a. Răsfoind numerele Recreaţiilor Ştiinţifice, cititorul de azi va aprecia frumoasa limbă folosită acumpesteosută de ani, calitatea înaltă a materialelor incluse, dar va constata şi existenţa multor lacune în terminologia de specialitate, mai cu seamă în matematică. Aproape în fiecare număr erau prezente rubricile de Probleme Propuse şi Probleme Rezolvate (soluţii primite de la cititori). Terminologia vremii era Probleme Rezolvite, iar rezolvitorii erau de la diferite licee şi şcoli din Iaşi (în primele luni) ca, mai apoi, să apară rezolvitori din toată Moldova (Bacău, Bârlad, Dorohoi, Focşani, Galaţi etc.), de la Bucureşti (Liceul Sf. Sava, Şcoala de Poduri şi Şosele, Şcoala Militară, Şcoala Normală Superioară), Craiova, Alexandria sau chiar de la Paris, unde îşi continuau studiile mulţi tineri români (Institutul Duvignau, Institutul Jauffret, Collège Sainte- Barbe, Liceul St. Louis). Cel mai activ rezolvitor a fost Vasile Cristescu, întâi elev la Liceul din Iaşi, apoi student la Şcoala de Poduri şi Şosele din Bucureşti, calitate în care a publicat şi câteva Note; ulterior, a fost membru fondator al renumitei Gazeta Matematică - înfiinţată în anul 1895, cu apariţie neîntreruptăpânăastăzi - şi unul din cei patru "stâlpi" ai acesteia. În ultimul an de apariţie a Recreaţiilor Ştiinţifice,1888, printre rezolvitori este de remarcat prezenţa lui Dimitrie Pompeiu (1873-1954), marele matematician de mai târziu, pe atunci în vârstă de 15 ani, elev în cl. a III-a la gimnaziul din Dorohoi. Sunt numeroşi rezovitorii care au devenit apoi nume de prestigiu: Ermil Pangrati (profesor de geometrie descriptivă launiversităţile din Iaşi şi Bucureşti, rector al celei din urmă, organizatorul Şcolii de arhitectură, deputat, ministru, senator), Anastasie Obregia (profesor de chimie organică, Universitatea din Iaşi), Grigore G. Stratilescu, Petru N. Culianu, Vasile Teodoreanu ş. a. Unele materiale publicate sunt menite să suplinească lipsa de cărţi şi cursuri la îndemâna studenţilor şi profesorilor. Constantin Climescu expune, într-un ciclu de

nouă articole intitulat Câteva curbe celebre şi importante (opt apărute în vol.ii-1884 şi unul în nr.1 din 1885), principalele curbe plane clasice: cisoida lui Diocles, concoide, cicloide, spirale etc. Începând cu nr.4 din 1885 şi continuând număr de număr (cu puţine excepţii) până ladispariţia revistei, Miltiade Tzony publică Un curs de probleme, ce cuprinde 98 de probleme de mecanică raţională (anume, statică), care sunt complet rezolvate şi însoţite de figuri (v. [8], pp. 138-140, pentru un studiu amănunţit). O expunere a determinanţilor şi utilizării lor a fost făcută deion D. Rallet în nr.11 şi 1 din 1883 şi nr.1 din 1884; o altă prezentare a acestora (după O.Hesse), ce apare în vol.v (pp. 150 şi 190), este semnată cu pseudonimul Candide. În [1], notele de subsol de la pp. 39 şi 56, se aduc argumente pentru identificarea acestui pseudonim cu Victor Costin, pe atunci student, mai târziu profesor la universitatea din Iaşi. Un membru fondator şi constant colaborator, publicând chestiuni variate de matematică elementară, este I.V. Praja. Din bogatul conţinut al Recreaţiilor Ştiinţifice, punem în evidenţă altecâteva direcţii dezvoltate în paginile sale. G.I. Lucescu publică unstudiuampluşi documentat despre calendar. Vasile C. Buţureanu semnează două lungi cicluri de articole în domeniul mineralogiei. August Scriban publică o serie de articole de geografia Asiei centrale. Iacob Solomon tratează, într-o serie de şase note din vol.vi, chestiuni de istoria matematicii în antichitate utilizând surse la zi (de exemplu, Geschichte der Mathematik (Istoria matematicii) a lui Moritz Cantor, 1880). Revista Recreaţii Ştiinţifice agăzduit şi traduceri (parţiale) ale unor cărţi de referinţă. G.I. Roşiu traduce în româneşte (după oediţie italiană aluie.bettişi F. Brioschi, Florenţa,1868) şi publică învol. IIşi III ale revistei prima carte din Elementele lui Euclid. (Precizăm că traducerea completă aelementelorafostfăcută mult mai târziu de Victor Marian şi publicată în Biblioteca Gazetei Matematice în trei volume, 1939-1941.) Sub acelaşi pseudonim Candide sunt prezentate în vol. IV (nr.4-6 şi 8-11) şi vol. V (nr. şi 3) traduceri din Geometrie der Lage (Geometria de poziţie) a lui Staudt. Rubrica Diverse, cuscopdeinformare,areunconţinut bogat şi variat acoperind toate domeniile ştiinţei. În nr.1 din 15 ianuarie 1883, la p.1, se preia articolul "Fotografia Mişcării" (ce anticipează cinematografia) după Revue Scientifique din 3 dec. 188 - o adevărată dovadă de promptitudine şi de capacitate de selecţie. În nr. din 1883, la p.47, apare o scurtă notiţă despreînfiinţarea la Stockholm, în 188, a faimoasei Acta Mathematica, sub auspiciile regelui Suedo-Norvegiei şi sub conducerea lui G. Mittag-Lefler; printre colaboratori se numărau şi Appell, Goursat, Poincaré (din Franţa) care, mai târziu (în 1905), vor alcătui comisia care a examinat celebra teză de doctorat a lui Dimitrie Pompeiu, la Sorbona [5], [6]. In nr.9 din 1884, un articol întreg este dedicat erupţiei vulcanului Krakatoa, catastrofă care a afectat tot globul (relatare oculară). În vol.iii (1885), nr.5 şi 6, două articole sunt dedicate marelui matematician belgian Eugène-Charles Catalan (1814-1894), menţionânduse inclusiv celebra sa conjectură din 1844 (numerele 8 şi 9 sunt singurele numere naturale consecutive care sunt puteri exacte) rezolvată mult mai târziu, în anul 00, 3

de matematicianul român Preda Mihăilescu [1]. Vol. IV din 1885, p.08 şi următoarele, prezintă fenomenul natural numit mascaret sau pororoca, iar la pp.35-37 cititorul este informat asupra unor date tehnice privind proiectul turnului Eiffel cât şi asupra unor controverse contemporane generate de această construcţie. Sunt cultivate dezbateri în jurul unor probleme din actualitatea ştiinţifică sau din realitatea învăţământului românesc. Astfel, articolul "Sf. Gheorghe şi Paştile" din nr. 5, anul VI, semnat de Paul Tanco (din Năsăud), primul român doctor în matematici, este comentat de Constantin Gogu, ilustru profesor de la Universitatea din Bucureşti, care mai publică, apoi, cinci scrisori asupra regulelor întrebuinţate pentru găsirea zilei Paştilor. Menţionăm polemicile susţinute cu publicişti de la Contemporanul pe teme de chimie sau astronomie (p. 139, p. 14, p. 180 în nr. 5 şi nr. 6 din 1883 etc.). Cu deosebită puteredepătrundere, G. Zarifopol scrie: "teorii, adeseori ipoteze gratuite, emise de un învăţat străin sunt luate de redacţia ziarului Contemporanul ca ultimele adevăruri ale ştiinţei". Este interesantă analiza atentă şi riguroasă făcută deg. Lucescu în vol.vi unui manual manuscris de Aritmetică destinată cl. IşiaII-aprimară şi urmată de avizul negativ dat acestuia. Semnificativă pentru corectitudinea redacţiei este faptul că sunt publicate alăturat atât critica adusă de un referent lucrării lui I.V. Praja "Curs de aritmetică raţionată", Iaşi, 1885, 359 pagini, cât şi replica acestui autor (vol.vi, pp.38-47). Săremarcăm şi faptul că, dintre membrii fondatori, numai N. Culianu şi V. Paladi nu apar în paginile revistei cu nici un fel de contribuţie, iar I.M. Zamfirescu publică doar un rezumat al unui articol din Revue Scientifique asupra filoxerei. Alte trăsături foarte interesante sunt rigurozitatea deosebită a activităţii publicistice, bazată pe standarde care sunt valabile şi astăzi cât şi conectarea excelentă la viaţa ştiinţifică mondială. Se manifestă obunăînţelegere a fenomenului cercetării ştiinţifice şi a evenimentelor care frământau lumea în penultimul deceniu al secolului al XIX-lea. Redacţia acordamaximăimportanţărelaţiilor directe cu cititorii, dovadă fiind publicarea de scrisori, note, a unor soluţii diferite pentru aceeaşi problemă şi a unor statistici amănunţite referitoare la rezolvitori. Pentru toate articolele şi notele publicate se indică sursele folosite. Cu totul extraordinar este aparatul bibliografic folosit de către autori, la toate disciplinele ce fac obiectul publicaţiei. Se citează cărţi şirevistedespecialitatestrăine contemporane (an de apariţie chiar şi 1888), dar şi "Aritmetica" lui Amfilohie Hotiniul din 1795, Iaşi, sau Memoriile Academiei din Paris, începînd cu 1699. Semnalăm cititorilor şi prezenţa unor erori specifice epocii de pionerat (de paginaţie, de numerotare a problemelor, de tipărire etc.), corectate în parte în diverse eratedecătre redacţia revistei şi care nu afectează în mod esenţial lectura. Fără nici o îndoială, revista Recreaţii Ştiinţifice a fost dedicată înprimulrând chestiunilor de matematică. O statistică careiaînconsiderarenumărul de pagini arată că în aproximativ 90% din spaţiul revistei sunt tratate subiecte de matematică, mecanică şi astronomie. Numărul total al problemelor propuse, publicate 4

în cei şase ani de apariţie, este de 98 (cu 84 fiind numerotate două probleme). În dicţionarele de periodice româneşti revista este menţionată ca o publicaţie cu o contribuţie importantă la educaţia matematică a tineretului[3, 7]. În istoria matematicii româneşti, perioada 1860-1898 este marcată de eforturile făcute în scopul organizării şi modernizării învăţământului şi punerii bazelor cercetării ştiinţifice originale. Contribuţia Recreaţiilor Ştiinţifice la realizarea acestui program a fost recunoscută şi apreciată de generaţiile care i-au urmat. În Introducerea din nr.1, an I (1895), redactorii Gazetei Matematice spun: "Mai mulţi dintre noi datoresc acest gust [pentru matematică -n.n.] revistei "Recreaţii Ştiinţifice" ce a apărut în timp de 6 ani la Iaşi şi pe care noi încercăm a o continua" [17]. Mai târziu, în 1935, când această revistă sărbătorea 40 ani de existenţă, I. Ionescu, Gh. Ţiţeica şi mulţi alţii aminteau rolul avut de Recreaţiile Ştiinţifice [9, 16]. Gh. Ţiţeica spunea: "Cea dintâi încercare de a ieşi din acest impas, de a rupe cu inerţia, de a determina un curent de preocupare ştiinţifică şi de a crea astfel un început de atmosferă prielnică dezvoltării ştiinţei matematice, a fost făcută la Iaşi prin publicarea "Recreaţiilor Ştiinţifice" " [16, p. 69]. Alte aprecieri ale unor distinşi matematicieni români pot fi găsite în [18]. I. Popa face în 1955 [14], un studiu aprofundat asupra conţinutului şi aportului Recreaţiilor Ştiinţifice - numind-o precursoare a Gazetei Matematice - cu prilejul sărbătoririi a 60 de ani de apariţie a Gazetei Matematice; studiul este reluat şi în volumul omagial dedicat centenarului Universităţii din Iaşi [15]. Monografiile [1], [11], dar şi articolele [], [4], [13] dau cititorului noi surse de informare. Constantin Climescu a fost,prin bogăţia şi varietatea subiectelor publicate şi sacrificiile materiale făcute, susţinătorul principal şi sufletul Recreaţiilor Ştiinţifice. Pe coperta interioară a revistei din al VI-lea an de apariţie este scris: "Redacţia şi AdministraţialaDl.C.Climescu,ProfesorlaFacultateadeŞtiinţe, Strada Butu." Aceeaşi adresă apare şi în casetele ce urmează titlul în fiecare număr din acest ultim an. Apariţia revistei Recreaţii Ştiinţifice, învingând dificultăţi de tot felul, reprezintă un act de curaj, dăruire, înţelepciune şi clarviziune. Revista a reuşit ca, în cei şase ani de existenţă, să contribuie la ridicarea nivelului învăţământului din ţara noastră, în special al celui matematic. Bibliografie 1. G. Şt. Andonie - Istoria matematicii în România, vol. I, Ed. ştiinţifică, Bucureşti, 1965 (pp. 36-40).. Gh. Bantaş - O pagină din istoria matematicii româneşti: centenarul revistei "Recreaţii Ştiinţifice", Problemedeistoriaşi filozofia ştiinţei, vol. X, 1984, Filiala Iaşi a Academiei Române, 15-30. 3. Şt. Bârsănescu, F. Bârsănescu - Educaţia, învăţământul, gândirea pedagogică din România. Dicţionar cronologic, Ed. ştiinţifică şi enciclopedică, Bucureşti, 1978. 5

4. T. Bîrsan - Recreaţii Ştiinţifice - "cea întăi brazdă", Recreaţii Matematice, 5(003), nr. 1, 1-5. 5. T. Bîrsan, D. Tiba - O suta de ani de la publicarea tezei de doctorat a lui Dimitrie Pompeiu, Recreaţii Matematice VII(005), nr., 85-89. 6. T. Bîrsan, D. Tiba - One hundred years since the introduction of the set distance by Dimitrie Pompeiu, in IFIP, vol.199, "System modeling and optimization", F. Ceragioli, A. Dontchev, H. Furuta, K. Marti, L. Pandolfi eds., Springer, Boston, 006, 35-39. 7. M. Bordeianu, P. Vladcovschi - Învăţământul românesc în date, Junimea, Iaşi, 1979. 8. Gh. Gheorghiev, D. Ieşan - Miltiade Tzony primul profesor de mecanică la Universitatea din Iaşi, Problemedeistoriaşi filozofia ştiinţei, vol. X, 1984, Filiala Iaşi a Academiei Române, 15-146. Apărută, într-o formă prescurtată, şi în l. engleză: Miltiade Tzony the first professor in Mechanics at the University of Iaşi, Noesis, Travaux du Comité Roumain d Histoire et de Philosophie des Sciences, VI(1978), 55-60. 9. I. Ionescu - Constituirea, administrarea şi redactarea "Gazetei Matematice", apărut în volumul jubiliar Gazeta Matematică, 1895-1935. Istoric-învăţăminte, Biblioteca "Gazetei Matematice", vol. XI, Bucureşti, 1935. 10. G. Ivănescu - Istoria limbii române, Junimea, Iaşi, 000. 11. N. Mihăileanu - Reviste de matematici elementare din România (până la1948), Ed. Gil, Zalău, 1995. 1. P. Mihăilescu - Primary cyclotomic units and a proof of Catalan s conjecture, J.Reine Angew. Math. 57 (004), 167-196. 13. R. Miron - Centenarul revistei "Recreaţii Ştiinţifice", Problemedeistoriaşi filozofia ştiinţei, vol. X, 1984, Filiala Iaşi a Academiei Române, 17-19. 14. I. Popa - "Recreaţii Ştiinţifice"- precursoare a "Gazetei Matematice", Gazeta Matematică şi Fizică, seria A, nr. 9, 1955, 49-493. 15. I. Popa - Dezvoltatrea matematicii, apărut în Contribuţii la istoria dezvoltării Universităţii din Iaşi, vol. II, pp. 7-39, Bucureşti, 1960. 16. G. Ţiţeica - Rolul "Gazetei Matematice" în dezvoltarea ştiinţei matematice în România, apărut în volumul jubiliar Gazeta Matematică, 1895-1935. Istoric-învăţăminte, Biblioteca "Gazetei Matematice", vol. XI, Bucureşti, 1935, 67-75. 17. *** - Introducere, Gazeta Matematică, an I, nr. 1, septembrie 1895. 18. *** - "Recreaţii Ştiinţifice"- prezenţă înconştiinţa posterităţii, Recreaţii Matematice, 5(003), nr.1, p.5. Temistocle BÎRSAN, Iaşi Dan TIBA, Bucureşti 6

Proiect de reeditare În anul 1999, la Iaşi, a apărut revista Recreaţii Matematice, iar ulterior, în 005, a fost înfiinţatăoasociaţie cu acelaşi nume, Asociaţia "Recreaţii Matematice", cu membri în toată ţara. Continuarea tradiţiei revistei Recreaţii Ştiinţifice prima revistă ştiinţifică (predominant matematică) adresată tineretului este un obiectiv important al noii asociaţii: încă mai sunt valabile unele din observaţiile conţinute în cuvântul "Cătră Cetitori"din ianuarie 1883. Dar peisajul publicaţiilor matematice româneşti adresate tineretului studios este mult mai bogat acum ca în epoca de început: Gazeta Matematică apare în două serii, A şi B, apar Revista Matematică dintimişoara, Arhimede (Bucureşti), Octogon (Braşov), Foaie Matematică (Chişinău) şi multe alte publicaţii locale. Se susţin numeroase concursuri de matematică, la nivel local, regional, naţional şi internaţional. Chiar şi astăzi, în aceste condiţii de exigenţă sporită, vechea revistă Recreaţii Ştiinţifice prezintă interes, prospeţime şi utilitate. Asociaţia "Recreaţii Matematice" a considerat o datorie de onoare reeditarea integrală acolecţiei revistei Recreaţii Ştiinţifice în forma originară, nemodificată, prin utilizarea tehnicilor moderne de reproducere a textelor şi şi-a fixat ca termen limită de realizare a acestui proiect data de 15 ianuarie 008. La ora actuală, există doar puţine exemplare complete ale colecţiei revistei Recreaţii Ştiinţifice şi care se află într-o stare destul de precară. La Seminarul Matematic "Al. Myller" din Iaşi există douăcolecţii complete ale Recreaţiilor Ştiinţifice: una donată acestei biblioteci de C. Climescu, fondator şi principalul animator al revistei şi o a doua donată dev. I. Praja, redactor fondator şi colaborator al ei. Biblioteca Academiei Române are, de asemenea, colecţia completă arecreaţiilor Ştiinţifice. Redarea în circuitul public a acestui monument de început al culturii ştiinţifice româneşti, este de un real folos tinerimii studioase şi unor cercuri largi de cititori. Realizarea acestui proiect n-ar fi fost posibilă fără sprijinul entuziast şi necondiţionat al doamnei Marinela Ghigea şi al firmelor Kepler Systèmes d Information şi Dazoot din Bucureşti. Exprimăm pe aceastăcalemulţumirile noastre cele mai sincere pentru înţelegerea şi efortul depus pe parcursul a aproape doi ani de muncă. Reeditarea cuprinde cele şase volume originale ale revistei şi o broşură care include o introducere, o notă asupraediţiei, erată, index de autori, de rezolvitori, de subiecte şi de surse (parţial) şi o galerie de portrete. În varianta electronică, aceste instrumente sunt interactive. Republicarea actuală, inclusiv în format electronic, are ca scop preîntâmpinarea riscului dispariţiei acestei opere şi,pedealtăparte,săofacă accesibilă gratuitca CD (sau on-line la adresa http://www.recreatiistiintifice.ro, de unde se va puteapreluagratuit). Sperăm că această acţiune, dedicată aniversării a 15 de ani de la apariţia revistei, va stimula specialiştii să reanalizeze fenomenul ştiinţific în fascinantul secol XIX, veac de ctitorie în ştiinţa românească modernă. Asociaţia "Recreaţii Matematice" 7

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice Loredana STRUGARIU, Ciprian STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fibonacci este cunoscut elevilor încă dincl.aix-a,iarrădăcinile de ordinul n ale unităţii şi polinoamele ciclotomice sunt în materia prevăzută la cl. a X-a pentru olimpiada de matematică, considerăm că abordarea unui asemenea subiect este utilă atât elevilor cât şi profesorilor. Vom prezenta câteva rezultate privind polinoamele Fibonacci şi cele ciclotomice şi legătura dintre ele. 1. Polinoame Fibonacci - definire, legătura cu triunghiul lui Pascal. Polinoamele Fibonacci sunt definite prin relaţia de recurenţă F n+1 (x) =xf n (x)+f n 1 (x), cu F 1 (x) =1 şi F (x) =x (1) sauprinurmătoarea formulă explicită [(n 1)/] X µ n j 1 F n (x) = j j=0 µ n j 1 unde [x] este partea întreagă aluix, iar C j n j 1 j. F 0 =0. Observaţie. Polinoamele Fibonacci pot fi definite prin relaţia de recurenţă x n j 1, () Se convine ca F n (x) =xf n 1 (x)+f n (x), cu F 0 (x) =0 şi F 1 (x) =1. (1 0 ) Exemple: F 1 (x) =1, F (x) =x, F 3 (x) =x +1, F 4 (x) =x 3 +x, F 5 (x) =x 4 +3x +1 etc. Luând x =1în (), obţinem F n (1) = F n, unde F n este şirul lui Fibonacci. Lema 1 (proprietatea de divizibilitate). Dacă m este divizor al lui n, atunci F m este divizor al lui F n. Dacă p este un număr prim, atunci F p (x) este polinom ireductibil. Teorema 1. Fie F 0, F 1, F,... polinoamele Fibonacci peste câmpul Galois de dimensiune. Atunci, avem: 1) F n+1 sunt singurii termeni de grad par şi nu sunt divizibili cu x; F n sunt singurii termeni de grad impar, n 0; ) F n t + F n+t = xf n F t, pentru 0 t n; 3) F n = xfn, pentru n 0; 4) F n+1 = Fn + Fn+1, pentru n 0; 5) F mn (x) =F m (x) F n (xf m (x)), pentru pentru m, n 0; 6) F mn p = xf mn F mn p + F p, pentru 0 p mn; 7) F mn+p = xf mn F mn+p + F p. µ kπ Rădăcinile polinomului F n (x) sunt de forma x k = i cos, pentru k = n 1,...,n 1. Pentru p număr prim, aceste rădăcini sunt de i ori partea reală a 1 Profesori, Colegiul Naţional "Eudoxiu Hurmuzachi", Rădăuţi (Suceava) 8

rădăcinilor polinomului ciclotomic de ordinul p. Analizândcoeficienţii primelor polinoame Fibonacci se observă legătura dintre triunghiul lui Pascal şi aceste polinoame: F 1 (x) =1x 0 F (x) =1x 1 F 3 (x) =1x + 1x 0 F 4 (x) =1x 3 + x F 5 (x) =1x 4 + 3x + 1x 0 F 6 (x) =1x 5 + 4x 3 + 3x 1 F 7 (x) =1x 6 + 5x 4 + 6x + 1x 0 F 8 (x) =1x 7 + 6x 5 + 10x 3 + 4x 1 F 9 (x) =1x 8 + 7x 6 + 15x 4 + 10x + 1x 0 F 10 (x) =1x 9 + 8x 7 + 1x 5 + 0x + 5x 1. A. N. Philippou şi asociaţii săi [4] au studiat polinoamele Fibonacci de ordinul k, k, pecarele-audefinite astfel: F (k) 0 (x) =0,F (k) 1 (x) =1 F n (k) P (x) = n x k j F (k) n j (x), j=1 n =, 3,...,k; (3) F n (k) P (x) = k x k j F (k) n j (x), j=1 n = k +1,k+,... Observaţie. Pentru k =acestea se reduc la F n (x), iarpentruk =1se reduc la şirul lui Fibonacci F n (k) de ordinul k.. Polinoame ciclotomice - definire, proprietăţi. Pentru fiecare număr natural n 1 rădăcinile complexe ale ecuaţiei x n =1se numesc rădăcinile de ordin n ale unităţii. Acestea sunt numere complexe de forma x k =cos kπ kπ + i sin, n n k =1,,...,n 1. (4) Mulţimea acestor rădăcini se notează cu U n = {x C x n =1}. Teorema. Mulţimea U n este un grup ciclic faţă deînmulţirea numerelor complexe, numit grupul rădăcinilor de ordinul n ale unităţii. Propoziţie. Fie U n = x k =cos kπ kπ n + i sin n ; k =1,,...,n 1.ª.Atunci hx k i = U n (k, n) =1. (5) Grupul ciclic U n are ϕ (n) generatori, unde ϕ (n) este numărul numerelor naturale maimicican, relativ prime cu n (indicatorul lui Euler). Cele ϕ (n) rădăcini de ordinul n ale unităţii care generează grupul U n,adică numerele complexe de forma x k =cos kπ kπ + i sin,k=1,,...,n 1, (k, n) =1. n n (6) se numesc rădăcinile primitive de ordinul n ale unităţii. Notăm cu P n mulţimea rădăcinilor primitive de ordinul n ale unităţii şi cu ζ orădăcină primitivă (oarecare) de ordinul n a unităţii. 9

Teorema 3. P n = n o ζ k 0 k n 1, (k, n) =1. (7) Observaţie. Dacă n = p = număr prim, atunci P p = U p \{1}. Teorema 4. 1) S d n P d = U n, ) P d1 T Pd =, d 1, d divizori naturali ai lui n, d 1 6= d. Polinomul monic ale cărui rădăcini sunt rădăcinile primitive de ordinul n ale unităţii, se numeste al n-lea polinom ciclotomic şi are forma Φ n (X) = Y (X ζ), n N. (8) ζ P n Gradul polinomului ciclotomic Φ n (X) este egal cu cardinalul mulţimii P n, adică ϕ (n). Teorema 5 (relaţia lui Dedekind). X n 1= Y d n Φ d (X) (9) unde produsul se face după toţi divizorii naturali ai lui n. Demonstraţie. Folosind descompunerea în factori a polinomului X n 1 şi Teorema 4, avem X n 1= Y ζ U n (X ζ) = Y (X ζ) = ζ S P d d n Y Y (X ζ) = Y Φ d (X). ζ P d d n Teorema 6. Pentru p>0, număr prim, avem: Φ p (X) =X p 1 + X p + + X +1. (10) ³ Observaţie. Φ p k (X) =Φ p X pk 1, k N, p număr prim, p>0. Exemple. Primele 10 polinoame ciclotomice: Φ 1 (X) =X 1 Φ (X) =X +1 Φ 3 (X) =X + X +1 Φ 4 (X) =X +1 Φ 5 (X) =X 4 + X 3 + X + X +1 Φ 6 (X) =X X +1 Φ 7 (X) =X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X + X +1 Φ 8 (X) =X 4 +1 Φ 9 (X) =X 6 + X 3 +1 Φ 10 (X) =X 4 X 3 + X X +1. Teorema 7 (relaţia lui Möbius-Dedekind). Pentru orice n N există relaţia: d n Φ n (X) = Y d n X d 1 µ( n d ), (11) 10

unde µ : N { 1, 0, 1} este funcţia lui Möbius, dată prin 1, dacă n =1, µ (n) = ( 1) k,dacă n = p 1 p p k (p 1,p,...,p k prime distincte), 0, dacă n se divide prin patratul unui numar prim. Alte proprietăţi ale polinoamelor ciclotomice: 1) Φ n (X) Z [X], n N, ) Φ n (X) este ireductibil în inelul Z [X], n N, 3) Φ n (X) este un polinom reciproc, n, 4) Pentru n N şi p>0 un număr prim avem: i) dacă p divide n, Φ np (X) =Φ n (X p ), ii) dacă p nu divide n, Φ np (X) = Φ n (X p ) Φ n (X), 5) Φ n (X) =Φ n ( X), pentrun>1, număr natural impar. 3. Legătura dintre polinoamele Fibonacci şi polinoamele ciclotomice. Această legătură afostexpusădek. Kuwano în The Design of Mathematic Workshop (în japoneză), Scientist, 004 şi apoi preluată dek. Motose în [3]. Considerând două variabile x şi y şi notând cu X = x + y şi Y = xy, vomdefini polinoamele simetrice F n (X, Y ) prin F n (X, Y )= xn y n x y, (1) numite polinoame Fibonacci de două variabile. Exemple. F 0 =0, F 1 =1, F = x + y = X, F 3 = x + y + xy = X Y etc. Lema. i) F m+n = F m F n+1 YF m 1 F n, pentru n 0 şi m 1; în particular, F n+ = XF n+1 YF n. (13) ii) Dacă m este divizor al lui n, atuncif m este divizor al lui F n. Demonstraţie. i) direct prin înlocuire în formula (1). ii) Deoarece x m y m este divizor al lui x n y n,rezultăafirmaţia. Observaţie. Dacă considerăm în formula (13) X = 1 şi Y = 1, obţinem şirul lui Fibonacci, fapt pentru care polinoamele F n (X, Y ) au fost numite polinoame Fibonacci. O altă formă a polinoamelor Fibonacci de două variabile este: F n (x, y) = [(n 1)/] X j=0 µ n j 1 j x n j 1 y j, n 1. (14) În mod inductiv, vom defini polinoamele ciclotomice de două variabile Φ 1 (x, y) =x y, x n y n = Y d n Φ d (x, y). (15) Lema 3. i) Φ n (x, y) = Q d n x d y d µ( n d ). ii) Φ n (x) =Φ n (x, 1). iii) Φ n (x, y) =Φ n (y,x), pentru n. 11

Demonstraţie. i) rezultă din formula de inversiune a lui Möbius, iar ii) din i) şi definiţia lui Φ n (x). iii) decurge din punctul i) şi formula P µ n d =0pentru n. d n Deoarece polinoamele Φ n (x, y) sunt simetrice pentru n, putem defini polinoamele P n (X, Y ) unde X = x + y, Y = xy astfel încât Φ n (x, y) =P n (X, Y ). De exemplu, P 6 = x + y xy = X 3Y. Teorema 8. Vom conveni ca P 1 =1.Atunci,avem: 1) P n este ireductibil în Z [X, Y ]; ) F n = Q P d ; d n 3) P n = Q F µ( n d ) d ; d n 4) (F m,f n )=F (m,n),unde(,) reprezintă c.m.m.d.c.; în particular (F n,f n+1 )= 1. Demonstraţie. 1) P n Z [X, Y ] din definiţie. Dacă P n = ST, cus, T Q[X, Y ] polinoame neconstante, atunci Φ (x)= Φ (x, 1)= P (x+1,x)= S (x+1,x) T (x+1,x) pentru polinoamele neconstante S (x +1,x),T (x +1,x) Q [x], contrar ireductibilităţii peste Q. ) Rezultă dinurmătoarea ecuaţie: F n (X, Y )= xn y n x y = Y Φ d (x, y) =Y P d (x, y). 1 d n d n 3) Rezultă din formula de inversiune a lui Möbius. 4) Dacă mai întâi considerăm P d = P d 0 atunci avem: Φ d (x) =Φ d (x, 1) = P d (x +1,x)=P d 0 (x +1,x)=Φ d 0 (x) şi astfel d = d 0.DinLema,ii), ştim că F (m,n) este divizor comun al lui F m şi F n. Dacă P d este divizor comun al lui F m şi F n, atunci d este divizor comun al lui m şi n şi deci d este divizor al lui (m, n). AstfelP d este divizor al lui F (m,n). Deci, dacă D este divizor comun al lui F m şi F n,atuncid este divizor al lui F (m,n), deoarece D este un produs al polinoamelor ireductibile distincte P d, ceea ce implică afirmaţia. Bibliografie 1. T. M. Apostol - Resultants of Cyclotomic Polynomials. Proc. Amer. Math. Soc. 4(1970), 457-46.. T. Koshy - Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. New York: Wiley, 001. 3. K. Motose - On values of cyclotomic polynomials. VII, Math J. Okayama Univ., 004. 4. A. N. Philippou, C. Georghiou, G. N. Philippou - Fibonacci polynomials of order k, multinomial expansions and probability, Internat. J. Math. Math. Sci., 6(1983), 545-550. 5. M. Ţena - Rădăcinile unităţii, Soc. Şt. Mat., Bucureşti, 005. 6. W. A. Webb, E. A. Parberry - Divizibility Properties of Fibonacci Polynomials, Fibonacci Quarterly 7.5 (1969), 457-463. 7. http://mathworld.wolfram.com 1

Submulţimi ale unei mulţimi finite şi matrici binare Adrian REISNER 1 Fie dată omulţime X de cardinal X finit. Considerăm familia F de submulţimi ale lui X având anumite proprietăţi. Utilizând matricele binare (adică aceleaceau ca elemente 0 sau 1), vom demonstra câteva rezultate privind familia F. I Familii cu proprietatea P. Fie F o familie de submulţimi X 1, X,..., X n ale mulţimii {1,,...,n}. Spunem că familia F verifică proprietatea P, dacăea îndeplineşte condiţiile următoare: a) X i = α + β, unde α, β N, i {1,,...,n}; b) X i X j = β, i, j {1,,...,n}, i 6= j. Spunem că familia F verifică proprietatea duală P 0 aproprietăţii P dacă îndeplineşte condiţiile: a 0 ) j {1,,...,n} aparţine la exact α + β submulţimi X i ale lui F; b 0 ) i, j {1,,...,n} şi distincte aparţin la exact β submulţimi ale lui F. Numim matrice asociată familiei F, matricea binară A =(a ij ) M n (R) definită prin a ij =1dacă i X j şi a ij =0în caz contrar. De asemenea, dată omatrice binară A, se poate face trecerea "inversă" la o familie de submulţimi ale lui X într-un mod evident. Pentru familiile cu proprietatea P, ne propunem să găsim o relaţie între n, α, β şi să demonstrăm proprietatea duală P 0. Propoziţia 1. Sunt adevărate afirmaţiile: 1. F are proprietatea P t AA = αi + βj (1);. F are proprietatea P 0 A t A = αi + βj (1 0 ), unde I este matricea unitate şi J este matricea cu toate elementele 1. Demonstraţie. Calculând produsul t AA, ţinând seama de condiţiile a) şi b), obţinem matricea având elementele de pe diagonala principală egale cu α + β şi celelalte egale cu β, adicămatriceaαi + βj; formula(1) este astfel stabilită. P Invers, dacă (1) are loc, avem X i = n P a ki = n a ki a ki = elemetul de indice i k=1 k=1 de pe diagonala matricei A t A (1) = α + β, adicăproprietateaa). La fel, X i X j = np a ki a kj = β, adicăproprietateab). k=1 Afirmaţia 1 0 se dovedeşte cu argumente similare. Propoziţia. Dacă F are proprietatea P, atuncia GL n (R) şi p (α+nβ) α n 1 Z n. Demonstraţie. Să dovedimcă A este inversabilă, i.e. A GL n (R). Avem: α + β β... β 1 1... 1 det (αi + βj) = β α+ β... β............ =(α + nβ) β α+ β... β............ = β β... α+ β β β... α+ β 1 Cercetător, Centrul de calcul E.N.S.T., Paris 13 =(α + nβ) α n 1.

(ultima egalitate se obţine în urma scăderii primei coloane din celelalte). Deci, (deta) =det( t AA)= det(αi +βj)= (α+nβ) α n 1 şi deta = ε p (α+nβ) α n 1 6=0, unde ε = ±1. Demonstraţia se încheie, deoarece pentru orice matrice binară A avem det A Z. Propoziţia 3. Dacă familia F are proprietatea P, atunciα + nβ =(α + β). Demonstraţie. Prin calcul direct, obţinem că JA =(α + β) J (3) sau J =(α + β) JA 1 (A fiind inversabilă) sau JA 1 = 1 α + β J (4). Din (1) deducem că J t AA = αj + βj =(α + nβ) J, de unde, ţinând seama de (4), J t A =(α + nβ) JA 1 = α + nβ α + β J. Ca urmare, AJ = t (J t A)= α + nβ α + β J (5) şi JAJ = α + nβ α + β J = n α + nβ J. Pedealtă parte, datorită relaţiei (3), JAJ = α + β (α + β) J = n (α + β) J. În consecinţă, n α + nβ α + β adevărată. = n (α + β) şi rezultă că (3) este Propoziţia 4. F având proprietatea P, aulocrelaţiile: 1 AJ = JA, t AA = A t A (i.e. A este matrice normală). Demonstraţie. 1 AJ (5) = α + nβ α + β J () =(α + β) J (3) = JA. t AA (1) = αi + βj = αi + β t A 1 t A J = αi + β t A 1 ( t AJ) 1 = = αi + β t A 1 J t A = t A 1 (αi + βj) t A (1) = t A 1 t AA t A = A t A. Propoziţia 5. Dacă familia de submulţimi F are proprietatea P, atuncieaare şi proprietatea duală P 0. Demonstraţie. Conform Propoziţiilor 1 şi 4, avem t AA = αi + βj şi t AA = A t A. Deci A t A = αi + βj şi, conform punctului 1 0 al Propoziţiei 1, deducem că F are proprietatea P 0. Caz particular şi exemplu. Pentru β =1,relaţiile (1) şi () se scriu t AA = αi + J şi n = α + α +1 = α (α +1)+1 (deci n este impar!). Atunci det A = ε p (α + n) α n 1 = ε (α +1)α α(α+1) Z. De exemplu, matricea binară 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 A = 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 verifică t AA = A t A =I + J. Avemα =şi det A = 4. II Familii cu proprietatea R. Fie X o mulţime de cardinal n 3 şi {X 1,X,...,X m } o familie de submulţimi strict incluse în X. Spunem că această 14

familie verifică proprietatea R dacă pentru orice pereche (i, j) X există şi este unică omulţime X k din familie astfel încât {i, j} X k. Asociem matricea binară B =(b ij ) M n,m (R) luând b ij =1dacă i X j şi b ij =0în caz contrar. Ţinând seama de proprietatea R şi utilizând notaţii evidente pentru elementele unei matrice relativ la matricea B t B M n (R) avem: (i) (B t B) ij = 1 dacă i 6= j, căci elementul (B t B) ij corespunde la numărul submulţimilor conţinând {i, j}; (ii) (B t B) ii = d i, unde d i este numărul submulţimilor ce conţin elementul i. Aşadar, d 1 1... 1 B t B = 1 d... 1............. 1 1... d n Fie X k osubmulţime ce conţine elementul i. Deoarece X k 6= X, există j 6= i cu j/ X k.caurmare,existăcel puţin o submulţime X l diferită dex k conţinând pe i. Rezultă că d i > 1, adică d i =1+a i,iara i > 0. Propoziţia 6. Dacă familia {X 1,X,...,X m } are proprietatea R, atuncimatricea B t B M n (R) este inversabilă, i.e. B t B GL n (R). Demonstraţie. Considerăm x + a 1 x... x f (x) = x x+ a... x............, x R. x x... x+ a n Observăm că f este o funcţie polinomială şi f (1) = det (B t B). Derivata f 0 este osumăden determinanţi având o coloană (coloana derivată!) cu toate elementele egale cu 1: 1 x... x x + a 1 x... 1 f 0 (x) = 1 x + a... x............ + + x x+ a... 1............. 1 x... x+ a n x x... 1 Derivata f 00 va fi o sumă de determinanţi având două coloane cu elementele egale cu 1; decif 00 (x) =0, x R. Ca urmare, f (x) =ax + b şi, din f (0) = b şi f 0 (0) = a, găsim ny b = a i, a = Y a i + + Y a i. i=1 i6=1 i6=n În sfârşit, det B t B ny = f (1) = a + b = a i + Y a i + + Y a i 6=0, i=1 i6=1 i6=n adică B t B GL n (R). Observaţie. În ipotezele Propoziţiei 6, avem rang (B t B)=n m (deoarece rang (B t B)=n rang B m). 15

O generalizare a teoremelor Stolz-Cesaro Sorin PUŞPANĂ 1 1. Rezultate clasice. Vom prezenta în această primă parte bine-cunoscutele teoreme Stolz-Cesaro şi o reciprocă a lor,omiţând demonstraţiile (pentru care pot fi consultate [] şi [3]). Teorema 1. Dacă (a n ) n 1 şi (b n ) n 1 sunt două şiruri de numere reale astfel a n+1 a n încât: i) şirul (b n ) n 1 este strict crescător şi nemărginit, ii) lim = b n+1 b n a n l R, atunci lim = l. b n Teorema. Dacă (a n ) n 1 şi (b n ) n 1 sunt două şiruri de numere reale astfel încât: i) lim a n = lim b a n+1 a n n =0, ii) lim = l R, iii) şirul (b n ) b n+1 b n 1 n este strict descrescător, atunci lim a n b n = l. Teorema 3. Dacă (a n ) n 1 şi (b n ) n 1 sunt două şiruri de numere reale astfel încât: b n+1 a n a n+1 a n i) lim R\{1}, ii) lim = l R, atunci lim = l. b n b n b n+1 b n. Generalizări. Teorema1admiteurmătoarea generalizarea (cu pierderea cazului limitei infinite): Teorema 4. Dacă (a n ) n 1 şi (b n ) n 1 sunt două şiruri de numere reale ast- µ fel încât: a n+1 a n lim i) lim b n =, ii) şirul 1 b n a n b n = l. P b i+1 b i n 1 i=1 este mărginit, n 1 = l R, atunci lim b n+1 b n Demonstraţie. Dacă ε>0 şi M este un majorant pentru şirul de la ii), atunci există m N astfel încât n m să avem a n+1 a n l b n+1 b n < Dar ε M a n+1 a n l (b n+1 b n ) < ε M b n+1 b n a n a m l (b n b m ) < ε n 1 X b i+1 b i ε M b n, n m. i=m Obţinem astfel a n a m l b n b m < ε b n, n >m. b n b m < a m lb m b n 1 Profesor, Craiova a n l b n = a m lb m + b n + a n a m l b n b m b n b m b n µ an a m b n b m l < a m lb m b n 16 bn b m < b n iii) + ε < ε + ε = ε, n m.

Corolarul 1. Dacă (a n ) n 1 şi (b n ) n 1 sunt două şiruri de numere reale astfel µ bn+1 b n încât: i) şirul ( b n ) n 1 este strict crescător şi nemărginit, ii) şirul b n+1 b n a n+1 a n a n este mărginit, iii) lim = l R, atunci lim = l. b n+1 b n b n Într-adevar, ipotezele i) şi ii) implică primeledouă ipoteze ale Teoremei 4. Teoremaadmiteurmătoarea generalizare (cu pierderea cazului limitei infinite): Teorema 5. Dacă (a n ) n 1 şi (b n ) n 1 sunt două şiruri de numere reale astfel µ 1 încât: i) lim a n = lim b n 1 P n =0, ii) şirul b i+1 b i este mărginit, b n i=1 n 1 a n+1 a n a n iii) lim = l R, atunci lim = l. b n+1 b n b n Demonstraţie. Dacă ε>0 şi M este un majorant pentru şirul de la ii), atunci există m N astfel încât n m să avem a n+1 a n l b n+1 b n < ε M a n+1 a n l (b n+1 b n ) < ε M b n+1 b n a n+p a n l (b n+p b n ) < ε M n+p 1 X i=1 b i+1 b i <ε b n+p, n m, p 1. Însă, pentru orice n N, existăunşir crescător de numere naturale (p (k)) k 1 astfel încât b n+p(k) b n, k 1, deci putem presupune că b n+p b n, n m, p 1. Obţinem astfel a n+p a n l (b n+p b n ) <ε b n, n m, p 1. Trecând la limită, după p,obţinem a n lb n <ε b n a n l b n <ε, n m, adică a n lim = l. b n Corolarul. Dacă (a n ) n 1 şi (b n ) n 1 sunt şiruri de numere reale astfel încât: i) lim a n = lim b n =0, ii) şirul ( b n ) n 1 este strict descrescător, iii) şirul µ bn+1 b n a n+1 a n a n este mărginit, iv) lim = l R, atunci lim = l. b n+1 b n n 1 b n+1 b n b n Observaţii. i) Dacă înceledouăteoremeşi corolare înlocuim (a n ) n 1 şi (b n ) n 1 cu (( 1) n a n ) n 1 şi, respectiv, (( 1) n b n ) n 1 obţinem că, pe lângă celelalte ipoteze, µ µ 1 n 1 P bn+1 + b n din mărginirea şirului b i+1 + b i respectiv şi din b n b n+1 b n a n+1 + a n lim b n+1 + b n i=1 a n b n = l. = l R avem lim ii) Teorema reciprocă 3poatefiîmbunătăţită cerând în locul ipotezei i) ca şirul µ bn+1 + b n b n+1 b n n 1 n 1 n 1 săfiemărginit. Într-adevar pentru ε>0avem a n+1 a n l b n+1 b n < ε b n+1 + b n b n+1 b n, n m. 17 n 1

iii) Din demonstraţiile date, şi din enunţurile teoremelor şi corolarelor, este evident că elerămân valabile şi în ipoteza că (a n ) n 1 şi (b n ) n 1 sunt şiruri de numere complexe. De fapt rezultatele pot fi extinse şi în cadru mult mai larg al algebrelor normate cu unitate; enunţurile rezultatelor de mai sus se adaptează cuuşurinţă, iar demonstraţiile se fac cu aceleaşi argumente. 3. Aplicaţii. Problema 1. Fie (x n ) n 1 şi (u n ) n 1 două şiruri de numere reale astfel încât lim u n = u (1, ). Atunci şirul (x n ) n 1 are limită dacă şi numai dacă şirul (u n x n+1 x n ) n 1 are limită, caz în care avem lim x n = 1 u 1 lim (u nx n+1 x n ). Indicaţie. Se aplică Teoremele1şi 3 şirurilor a n = u 1 u u n 1 x n şi b n = u 1 u u n 1. Folosind Corolarul 1 putem extindeacestrezultatşi pentru valori negative ale lui u, pierzândînsă cazul limitelor infinite, ca mai jos: Problema. Fie (x n ) n 1 şi (u n ) n 1 două şiruri de numere reale astfel încât lim u n = u, u > 1. Atuncişirul (x n ) n 1 este convergnt dacă şi numai dacă şirul (u n x n+1 x n ) n 1 este convergent, caz în care avem lim x n = 1 u 1 lim (u nx n+1 x n ). Observaţie. Rezultatul ramâne valabil dacă şirurile ce intervin în enunţ sunt şiruri de numere complexe. Următoarea problemăneprezintăîncecondiţii rezultatul anterior rămâne valabil în cazul u < 1. Problema 3. Fie (x n ) n 1 şi (u n ) n 1 două şiruri de numere reale astfel încât (x n ) n 1 să fie mărginit iar lim u n = u, u < 1. Atuncişirul (x n ) n 1 este convergent dacă şi numai dacă şirul (u n x n+1 x n ) n 1 este convergent, caz în care avem lim x n = 1 u 1 lim (u nx n+1 x n ). Indicaţie. Se aplică Corolarul şirurilor a n =u 1 u u n 1 x n şi b n =u 1 u u n 1. Din nou facem observaţia că rezultatulrămâne valabil şi pentru şiruri de numere complexe. Este evident că ţinând seama de observaţia i) rezultatele anterioare rămân valabile dacă înlocuimu n x n+1 x n cu u n x n+1 + x n şi u 1 cu u +1. Toate acestea pot fi restrânse în Problema 4. Fie (x n ) n 1 un şir mărginitdenumerecomplexe,iar(u n ) n 1 şi (v n ) n 1 două şiruri convergente de numere complexe astfel încât lim u n 6= lim v n. Atunci şirul (x n ) n 1 este convergent dacă şi numai dacă şirul (u n x n+1 + v n x n ) n 1 este convergent, caz în care avem lim (u nx n+1 + v n x n ) lim x n = lim u n + lim v. n Problema următoare este demonstrată în[4] şi generalizează Problema. 18

Problema 5. Fie a 0,a 1,..., a k R, a 0 6=0şi (x n ) n k un şir de numere reale cu proprietatea că şirul (y n ) n k, y n = a 0 x n + a 1 x n 1 + + a k x n k, este convergent. Dacă polinomula 0 x k + a 1 x k 1 + + a k are toate rădăcinile de modul subunitar, atunci şirul (x n ) n k este convergent. Indicaţie. Demonstraţia sefaceprininducţie după k, primul pas al inducţiei reducându-se la: λ < 1 şi (x n+1 λx n ) n k convergent (x n ) n k convergent, adică un caz particular al Problemei. Am văzut însă cădacă cerem mărginirea lui (x n ) n k,atunciafirmaţia anterioară rămâne adevărată pentru λ 6= 1şi, prin urmare, teorema rămâne valabilă dacă rădăcinile polinomului sunt în modul diferite de unitate. Obţinem astfel următoarea generalizare: Problema 6. Fie a (0) n n 1, a (1) n n 1,..., a n (k), k +1 şiruri de numere n 1 complexe, convergente respectiv către a (0), a (1),..., a (k), şi astfel încât rădăcinile polinomului a (0) x k + a (1) x k 1 + + a (k) să fie în modul diferite de unitate. Atunci, un şir mărginit (x n ) n 1 este convergent dacă şi numai dacă şirul ³ a (0) n x n + a (1) n x n 1 + + a (k) n x este convergent, caz în care avem n k n k+1 ³ lim a (0) lim x n x n + a (1) n x n 1 + + a n (k) x n k n =. a (0) + a (1) + + a (k) Demonstraţie. Dacă y n = a (0) n x n + a (1) n x n 1 + + a (k) n x n k şi z n = a (0) x n + a (1) x n 1 + +a (k) x n k atunci, cum (x n ) n 1 este mărginit, rezultăcă lim (y n z n )=0. Cum însă (y n ) n 1 este convergent rezultă că (z n ) n 1 este convergent şi conform problemei precedente (care este valabilă şi pentru şiruri de numere complexe) şi observaţiei făcute, rezultă că şirul (x n ) n 1 este convergent iar relaţia finală esteevidentă. Problema 7. (Jensen) Fie şirurile (x n ) n 1 şi (y n ) n 1 astfel încât: seria P y n µ n 1 y1 + + y n x n este convergentă, şirul este mărginit şi lim = l. Atunci y 1 + + y n n 1 y n x 1 + + x n lim = l. y 1 + + y n Bibliografie 1. R. Cristescu - Analiză functională, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucuresti, 1979.. D.M. Batineţu - Şiruri, Ed. Albatros, Bucureşti, 1979. 3. D.M. Bătineţu, I.V. Maftei, I.M. Stancu-Minasian - Exerciţii şi probleme de analiză matematică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucuresti, 1981. 4. O. Mayer - Teoria funcţiilor de o variabilă complexă, Ed. Academiei, 1981. 5. D. Miheţ - Despre calculul unor limite de şiruri, R.M.T. nr. /1990. 6. D.-Şt. Marinescu,V.Cornea-In legatură cu o problemă ding.m.a., G.M.-A nr. 3/005. 7. D. Miheţ, M. Piticari - O problemă deconvergenţă, G.M.-A nr. 1/1990. 19

O problemă de combinatorică destul de grea Marian TETIVA 1 În această notăneocupăm de următoarea Problemă. Din oricare n +1 numere întregi (distincte) ale căror module nu depăşesc pe n 1, sepotalegetrei(totdistincte)careausumazero. Este o problemă de olimpiadă (cu regret, nu ştiu unde am întâlnit-o) mai grea decât pare la prima vedere. Pentru rezolvare, însă, nu avem nevoie decât de aşanumitul "principiu al cutiei" ("principiul lui Dirichlet", mai este numit în literatura matematică românească; "the pigeonhole principle", în cea engleză şi americană): dacă vremsărepartizăm n +1 obiecte în n cutii, atunci trebuie ca într-o cutie să fie mai mult de un obiect. De asemenea, nu e nevoie, în esenţă, de alt tip de raţionament decât cel din problema lui Erdös [1] (una din rarele probleme "foarte simple" propuse de Erdös). Această problemă cere să searatecă pentru k>[(n +1)/] şi a 1,...,a k numere întregi astfel încât 1 a 1 < <a k n există douăprintreeleacăror sumă este tot unul din aceste numere. Soluţia []estedestuldesimplă: săobservăm că a 1,...,a k pe de o parte, şi a a 1,...,a k a 1 pe de alta, sunt k 1 numere din mulţimea {1,...,n}. Cumk 1 >n două dintre acestea sunt egale (conform principiului cutiei!) şi, pentru că numerele din prima grupă sunt diferite două câte două (ceea ce e valabil şi pentru numerele din a doua grupă), ajungem la o egalitate de forma a i = a j a 1 a i + a 1 = a j care rezolvă problema. Mai mult, pentru k =[(n +1)/], sepotgăsi k numere printre primele n numere întregi pozitive astfel încât suma oricăror două nu este egală cuun al treilea dintre ele; de exemplu, numerele [n/] + 1, [n/] +,..., n (tot din soluţia citată). În cele ce urmează vom arăta cum se rezolvă problema de la care am pornit folosind aceeaşi idee (de mai multe ori vom utiliza acest tip de raţionament), considerând-o folositoare pentru cei care se pregătesc pentru olimpiade, sau, în general, pentru o activitate matematică susţinută. Soluţia problemei. Avem de considerat câteva cazuri. Primul (şi cel mai simplu) dintre ele este acela în care 0 este unul dintre numerele a 1,..., a n+1.într-adevăr, n numere din cele n +1 sunt nenule, deci modulele lor aparţin mulţimii {1,,..., n 1}; atunci (conform principiului cutiei) două dintre module trebuie să fie egale, iar o asemenea egalitate furnizează douănumerecareau suma 0. Aceste două numereşi 0 sunt, desigur, cele trei numere căutate (care au suma 0). Considerăm acum că 0 nu este printre cele n +1numere,pecarelenotăm cu (n 1) a 1 < <a i < 0 <a i+1 < <a n+1 n 1. Se poate uşor observa că existăcelpuţin două numere negative şi cel puţin două numere pozitive. 1 Profesor, Colegiul Naţional "Gheorghe Roşca Codreanu", Bârlad 0

Al doilea caz este acela în care a i 6= a i+1 ; să presupunem, de exemplu, că a i <a i+1.avem 1 a i + a i+1 < <a i + a n+1 n 1 şi 1 a i 1 < < a 1 n 1, adică dinnoudouăgrupeconţinând un total de n numere din mulţimea {1,...,n 1}, în fiecare grupă numerele fiind distincte; prin urmare există unj {i +1,...,n +1} şi un k {1,...,i 1} astfel încât a i + a j = a k a i + a j + a k =0, ceea ce era de demonstrat (evident, i, j, k sunt diferite două câte două). Cazul a i >a i+1 este absolut analog, suntem deci siguri că nu va reprezenta o problemă pentru cititorul interesat. Cazulaltreileaeste şi cel mai greu. Ne aflăm acum în situaţia în care a i = a i+1 şi observăm (aşa cum cititorul trebuie să fi observat deja) că demonstraţia de mai sus nu mai este valabilă pentrucăa i + a i+1 =0face să creascănumărul "cutiilor" în care trebuie aşezate obiectele (făcând principiul inaplicabil!). Din fericire, obstacolul nu este insurmontabil. Observăm mai întâi că acum avem, de fapt, 1 a i + a i+ < <a i + a n+1 n şi, pentru a 1 > (n 1), 1 a i 1 < < a 1 n ; astfel că demonstraţia din al doilea caz se poate utiliza şi acum. Similar se rezolvă cazul a n+1 < n 1, deci putem presupune în continuare că a 1 = (n 1) şi a n+1 =n 1. Şi iar considerăm două posibilităţi: i n sau i n +1. Dacă i n avem numerele a i+1,...,a n şi n 1 a i+1,..., n 1 a n,care sunt toate din mulţimea {1,...,n 1} şi sunt în număr de (n i) n; rezultă că există j, k {i +1,...,n} aşa încât a j =n 1 a k. Avem j 6= k deoarece n 1 este impar şi egalitatea se mai scrie a 1 + a j + a k =0. În cazul i n +1procedăm la fel cu numerele a,..., a i şi n 1+a,..., n 1+a i, ceea ce încheie demonstraţia. Observaţii. 1) Cititorul atent trebuie să fi observat deja că 0, 1,..., n 1 sunt n numere din intervalul [ (n 1), n 1] printrecarenuexistătreicu suma 0; sau, analog, se pot alege 0, 1,..., (n 1) cu aceeaşi proprietate, deci n +1 este cel mai mic număr k astfel încât oricum am alege k numere din mulţimea { (n 1),...,n 1} există printre ele trei cu suma 0. ) O întrebare se pune în mod natural în legătură cu această problemă şi cu observaţia anterioară: care sunt toate posibilităţile de a alege n numere din mulţimea { (n 1),...,n 1} astfel încât printre ele să nuexistetreiacăror sumă săfie 0? Lăsăm în seama cititorului rezolvarea acestei probleme. Bibliografie 1. P. Erdös - Problema E736, The American Mathematical Monthly, 53(1946), 46.. L. Moser - Soluţia problemei E736, The American Mathematical Monthly, 54(1947), 9-30. 1