Matematici speciale Integrarea functiilor complexe

Transcription

1 Matematii speiale Integrarea funtiilor omplexe Martie 18

2 ii

3 Be yourself, everyone else is already taken. Osar Wilde 5 Integrarea funtiilor omplexe Integrala Riemann a unei funtii u valori omplexe se defineste in mod natural prin: Integrala Riemann: Fie f : [a, b] C o funtie ontinua. Definim integrala lui f pe [a, b] prin: b a f(t)dt := b a Re(f(t))dt + i b a Im(f(t))dt π Exemplu: os t + i sin tdt = π os tdt + i π sin tdt = sin t π ( π) + i os t = + i = i. Pentru a defini insa integrala unor funtii omplexe este nevoie de un studiu amanuntit al urbelor si al unor lase de multimi in planul omplex. 1

4 Curbe in planul omplex: Prin urba in planul omplex vom intelege o apliatie ontinua: : [a, b] C, a < b, intre un interval ompat si multimea numerelor omplexe. Orie urba va avea o reprezentare: (t) = x(t) + i y(t), t [a, b] O urba se numeste neteda daa este derivabila u derivata ontinua. Exemplu: Fie z 1 = x 1 + y 1 si z = x + y. Segmentul dintre puntele A(x 1, y 1 ) si B(x, y ) reprezinta de fapt o urba : [, 1] C : (t) = z 1 + t(z z 1 ) = x(t) + i y(t), t [, 1], unde x(t) = x 1 + t(x x 1 ) si y(t) = y 1 + t(y y 1 ). Un er de raza R si entru M(x, y ) poate fi interpretat a fiind o urba : [, π] C : (t) = (x + R os t) + i (y + R sin t), t [, π]. Curbe netede pe portiuni : O urba se numeste neteda pe portiuni daa exista o partitie: a = a < a 1 <... < a n = b astfel a sa fie neteda pe fieare interval (a k, a k+1 ), k < n 1. Domeniu: Multimea D C se numeste domeniu daa este deshisa si pentru orie z 1, z D exista o urba D are uneste z 1 u z.

5 Domeniu simplu onex: D este un domeniu si urba inhisa γ aflata in D poate fi ontratata pana devine un punt al multimii respetive. (nu are gauri) Domeniu multiplu onex: Un domeniu are nu este simplu onex se numeste multiplu onex.(are gauri) Integrala in planul omplex: Fie D C un domeniu, f : D C o funtie ontinua si : [a, b] D o urba neteda. Atuni definim integrala urbilinie omplexa a lui f pe urba prin: f(z)dz = b Cand este doar neteda pe portiuni definim: pentru partitia orespunzatoare. a n 1 f(z)dz = k= f((t)) (t)dt ak+1 a k f(z)dz. Exemplu: Calulam: 1 z dz, unde este erul unitate. Pentru ineput urba are reprezentarea parametria: (t) = os t + i sin t, t [, π]. 3

6 Conform definitiei: 1 π z dz = 1 os t + i sin t (os t + i sin t) dt = = π (os t i sin t)( sin t + i os t)dt = π π os t i sin t os t + sin ( sin t + i os t)dt t i dt = πi. Proprietati elementare aleintegralelor omplexe: i) αf(z) + βf(z)dz = α f(z)dz + β g(z)dz, α, β C. ii) f(z)dz = 1 f(z)dz + 1 f(z)dz, Remara: Integrala omplexa nu depinde de parametrizarea urbei. Integrala omplexa urbilinie depinde de orientarea urbei! Daa notam prin urba data u orientarea inversa, atuni: f(z)dz = f(z)dz. Reuperarea unui rezultat lasi: Fie D C deshisa si f : D C ontinua. O primitiva a lui f este o funtie olomorfa F : D C pentru are F = f. Atuni pentru orie urba neteda pe portiuni aflata in D are lo: f(z)dz = F ((b)) F ((a)). 4

7 Exemplu: Funtia f(z) = z are primitiva: F (z) = z. Fie aum semierul erului unitate (onsiderat u orientarea pozitiva) situat intre puntele A( 1, ) si B(1, ). Aest semier onsiderat a fiind o urba admite parametrizarea (t) = os t + i sin t pentru t [π, π], deoaree z A = 1 + i = os π + i sin π si z B = 1 + i = os π + i sin π. zdz = F ( (π)) F ((π)) = (1 + i ) ( 1 + i ) = 1 1 = Pe de alta parte: zdz = = = π π π π π π (os t + i sin t)(os t + i sin t) dt (os t + i sin t)( sin t + i os t)dt sin(t) + i sin(t)dt = os(t) π π i os(t) π π = Serii de puteri: 1 1 z = 1 + z + z +... z n +... = z n, z < 1 n= e z = 1 + z + z! +... zn n! +... = sin z = z z3 3! + z5 5!... = n= n= z n n! ( 1) n z n+1 (n + 1)! 5

8 Serii de puteri: os z = 1 z! + z4 4!... = n= ( 1) n z n (n)! In general pentru funtii olomorfe are lo formula de dezvoltare in serie Taylor: f(z) = n= f (n) (z ) n! (z z ) n Dezvoltarea in serie Laurent: Fie f o funtie olomorfa in oroana irulara r < z z < R. Atuni ea poate fi dezvoltata in serie Laurent in puntele aestei multimi: f(z) = n= n= a n (z z ) n. Coefiientii dezvoltarii sunt dati prin: a k = 1 f(w) dw, k =, ±1, ±,..., πi (w z ) k+1 unde este o urba inhisa simpla, positiv orientata, are este situata in totalitate in r < z z < R si ontine puntul z in interiorul sau. Exemplu: Consideram funtia f(z) = sin z z pe are dorim sa o dezvoltam in serie Laurent in jurul lui z = si putem onsidera z a faand parte din oroana irulara < z <. Cu ajutorul dezvoltarii in serie Taylor: sin z = z z3 3! + z5 5! z7 7! +... obtinem dezvoltarea in serie Laurent in jurul lui z = : f(z) = sin z z = 1 z z 3! + z3 5! z5 7!

9 dei a n = pentru n < 1, a 1 = 1, a =, a 1 = 1 3!, a =, a 3 = 1 5! si asa mai departe. Singularitati izolate: Fie D C, z D si F : D {z } C olomorfa. Atuni numim z izolata a lui f. singularitate In ele e urmeaza vom dori sa lasifiam singularitatile izolate ale unei funtii. Caraterizarea singularitatilor izolate prin intermediul seriilor Laurent: Funtia f poseda in z C o singularitate izolata. Atuni numim z : i) o singularitate aparenta a lui f, daa in dezvoltarea in serie Laurent in jurul lui z toti a n u n < sunt nuli: f(z) = a + a 1 (z z ) + a (z z ) +... ii) un pol de ordinul m al lui f, daa in dezvoltarea in serie Laurent a n = pentru n < m : f(z) = a m (z z ) m + a (m 1) (z z ) m a + a 1 (z z ) + a (z z ) +... iii) o singularitate esentiala, and dezvoltarea Laurent admite o infinitate de termeni u exponent negativ: f(z) =... + a (z z ) + a 1 + a + a 1 (z z ) + a (z z ) +... z z Teorema de araterizare a polilor: Funtia f are in z un pol de ordin m daa si numai daa exista o funtie g olomorfa in z astfel a g(z ) iar intr-o veinatate a lui z avem: f(z) = g(z) (z z ) m 7

10 Conseinta Daa funtia f are in z un pol, atuni: lim f(z) = z z Exemplu: os z f(z) = (z i) are in z = i un pol de ordin, verifiam usor a os(i) iar os z este olomorfa in orie punt din C. Teorema de araterizare a singularitatilor aparente: Singularitatea z este o singularitate aparenta daa si numai daa limita lim z z f(z) exista in C. Exemplu: sin z Funtia f(z) = are o singularitate aparenta in z =. Daa ineram z sa apliam teorema de araterizare a polilor observam a sin = dei nu se poate aplia. In shimb fie dezvoltam in serie Laurent in jurul lui z si folosind deja mentionata dezvoltare: sin z = z z3 3! + z5 5!... vedem a: sin z = 1 z z 3! + z4 5!... si prin urmare nu avem termeni u exponent negativ dei z este singularitate aparenta onform definitiei. In aelasi timp putem observa a sin z lim = 1 z z dei apliand teorema de araterizare ajungem la aelasi rezultat. Teorema de araterizare a singularitatilor esentiale: Singularitatea z este o singularitate esentiala daa si numai daa limita lim f(z) nu exista iar lim f(z). z z z z 8

11 Exemplu: Funtia f(z) = e 1 z are in z = o singularitate esentiala. Metoda 1: Limita lim z e 1 z nu exista si lim z e 1 z. Pentru prima limita alegem z n = 1 n si w n = 1 n. Atuni f(z n ) = e n si f(w n ) = e n dar: lim f(z n) = = = lim f(w n) n n Pentru a argumenta relatia lim z f(z) putem onsidera aeleasi siruri. Atuni e z = e x, pentru z = x + iy C si prin urmare: lim f(z n) = = = lim f(w n). n n Metoda : Pe de alta parte putem sa dezvoltam in serie Laurent funtia f(z) = e 1 z in jurul puntului z =. Pornim din nou de la dezvoltarea in serie Taylor, de data aeasta a lui e z in z = : De unde rezulta: e z = 1 + z + z! + z3 3! +... e 1 z = z + 1!z + 1 3!z Aeasta ultima identitate arata a dezvoltarea Laurent a lui f in jurul lui z = are o infinitate de termeni u exponent negativ. Reziduul unei funtii: Fie D C deshisa, z D, f : D {z } C olomorfa si ε >, astfel a D(z, ε) D. Atuni numim: Res(f, z ) = 1 f(z)dz πi reziduul lui f in z. z z =ε Remara: Reziduul nu depinde de alegerea razei ε. z nu trebuie sa fie in mod obligatoriu o singularitate dar and nu este singularitate reziduul va fi. 9

12 Curba inhisa simpla: O urba inhisa : [a, b] C se numeste simpla, atuni and pe intervalul [a, b) este injetiva. Din punt de vedere geometri asta inseaman a nu are punte de auto-intersetie. Teorema reziduurilor: Fie D C un domeniu, z 1, z,..., z n punte distinte in D si f : D {z 1, z,..., z n } C olomorfa. Atuni pentru orie urba neteda pe portiuni, inhisa simpla si pozitiv orientata, are se afla in totalitate in D si ontine in interior puntele z 1, z,..., z n avem relatia: n f(z)dz = πi Res(f, z k ). k=1 Remara: Pentru o urba orientata negativ se obtine: n f(z)dz = πi Res(f, z k ). k=1 1

13 Exemplu: Vom evalua urmatoarea integrala: z 3 z(z i) dz unde este urba din desenul alaturat: Se observa usor a = 1 si este orientata pozitiv iar 1 este orientata negativ. Funtia f(z) = z3 are o singularitate izolata in z(z i) 1 in puntul z 1 = si alta in in puntul z = i. Pentru ineput avem: z 3 1 z(z i) dz = z 3 1 z(z i) dz + z 3 z(z i) dz Apoi onform teoremei reziduurilor: ( ) z 3 dz = πi Res 1 z(z i) ( z 3 ) z(z i), si ( ) z 3 ( z 3 ) dz = πi Res z(z i) z(z i), i. Din moment e reziduurile devin instrumente importante in alulul integralelor avem nevoie de metode mai rapide de evaluare a aestora. Calulul reziduurilor: i) Daa funtia olomorfa f are in puntul z un pol de ordin m, m 1, atuni: 1 d m 1 Res(f, z ) = lim (m 1)! z z dz m 1 ((z z ) m f(z)) Pentru un pol simplu (m = 1) avem: Res(f, z ) = lim z z (z z )f(z). 11

14 Calulul reziduurilor: ii) In general: unde a 1 este oefiientul lui puntului z. Res(f, z ) = a 1, 1 z z dezvoltarea Laurent a lui f in jurul Formulele integrale ale lui Cauhy = Fie G un domeniu simplu onex si f : D C olomorfa. Atuni pentru orie urba inhisa neteda pe portiuni din D are lo: f(z)dz =, deoaree Res(f, z ) = a 1 = pentru o funtie olomorfa in z. = Fie G un domeniu si f : D C olomorfa. Atuni pentru o multime D(z, ε) D : z z =ε f(z) (n) (z z ) n+1 dz = πif (z ), n! deoaree z este un pol pentru funtia din interiorul integralei si: ( ) f(z) Res (z z ) n+1, z = 1 d n ( ) lim n! z z dz n (z z ) n+1 f(z) (z z ) n+1 = f (n) (z ) n! pentru orie funtie olomorfa f. Exemplu: In ultimul exemplu ambele singularitati sunt poli, deoaree: si notand g(z) = z3 +3 (z i) f(z) = z3 z(z i) = z 3 +3 (z i) z avem srierea f(z) = g(z) z, iar g este olomorfa in z 1 = si g(). Din teorema de arterizare a polilor rezulta a f are in z 1 = un pol simplu. Din aeasta auza: Res ( z 3 ) z(z i), = lim z (z ) z3 z(z i) = lim z z 3 (z i) = 3 1 = 3 1

15 Prin urmare: ( ) z 3 dz = πi ( 3) = 6πi. 1 z(z i) Pe de alta parte: f(z) = z3 z 3 +3 z(z i) = z (z i) si h(z) = z3 +3 z este olomorfa si are proprietatea h(i). Asadar f are in z = i un pol de ordinul doi. Dei: ( z 3 ) ( Res z(z i), i d = lim (z i) z3 z i dz z(z i) ( z 3 ) = ( ) = lim z i d dz = i 3 1 z = i. ) 3z z (z 3 ) = lim z i z z 3 dz = πi (i ) = 4π + 6πi z(z i) si in onluzie: z 3 dz = 6πi + 4π + 6πi = 4π + 1πi. z(z i) Teorema semireziduurilor: Fie D D un domeniu simplu onex si o urba simpla inhisa, neteda pe portiuni in domeniul D. Consideram o funtie f are admite in interiorul urbei un numar finit de singularitati izolate z 1, z,..., z n si un numar finit de poli simpli w 1, w,..., w p situati pe urba astfel a: f : D {z 1, z,..., z n, w 1, w,..., w p } C este olomorfa. Atuni: i) daa admite o tangenta unia in w 1, w,... w p atuni: fdz = πi n Rez(f, z k ) + πi k=1 p Rez(f, w j ) j=1 ii) daa α j este unghiul dintre semitangentele in w j la : fdz = πi n Rez(f, z k ) + i k=1 p (π α j )Rez(f, w j ) j=1 13

16 Exemplu: Vom alula integrala: e z z(z ) dz, unde este urba alaturata. Se observa usor a ele doua singularitati ale integrandului sunt z 1 = si z = ambele fiind poli simpli iar ultima fiind siituata pe urba. In puntul z urba nu admite o tangenta unia iar unghiul format de semitangente va fi α = π. Conform teoremei semireziduurilor avem: e z z(z ) dz = πirez(f, ) + i(π π )Rez(f, ) Pentru poli simpli avem formulele: Rez(f, ) = lim(z ) z z(z ) = 1, e z In onluzie: e z Rez(f, ) = lim(z ) z z(z ) = e. e z z(z ) dz = πi + iπ e 14

17 Bibliografie [1] D. G. Zill, P. D. Shanahan. A First Course in Complex Analysis with Appliations, Jones and Bartlett Publishers, In., 3. [] K. Fritzshe. Grundkurs Funktionentheorie: Eine Einführung in die komplexe Analysis und ihre Anwendungen, Spektrum Akademisher Verlag Heidelberg, 9. 15