Graduări pe algebre de matrice

UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ ŞCOALA DOCTORALĂ DE MATEMATICĂ Graduări pe algebre de matrice TEZĂ DE DOCTORAT REZUMAT Coordonator ştiinţific: Prof.univ.dr. Sorin Dăscălescu Doctorand: Mădălina Alexandra Bărăscu Bucureşti 2013

Motivaţia studiului Motivaţia studiului graduărilor pe algebre de matrice vine atât din matematică cât şi din fizică. În matematică, algebrele de matrice joacă un rol fundamental în teoria inelelor şi în teoria reprezentărilor, iar algebrele graduate sunt importante în teoria identităţilor polinomiale. Un exemplu ilustrativ în acest sens este celebra Specht problem rezolvată de Kemer în anii 1980, problemă care a necesitat studiul anumitor graduări. Definiţie: Fie A o K-algebră (K corp comutativ) şi G un grup (multiplicativ). O G-graduare pe A este o descompunere A = g G A g a lui A ca sumă directă de K-subspaţii vectoriale astfel încât A g A h A gh pentru orice g, h G. În acest caz spunem că A este o algebră G-graduată. Dacă în plus avem A g A h = A gh pentru orice g, h G, atunci A se numeşte algebră tare graduată. K-subspaţiile vectoriale A g din descompunerea de mai sus se numesc componente omogene, elementele unei componente omogene se numesc elemente omogene, iar g se numeşte gradul componentei omogene A g. Conceptul de graduare îşi are originea în algebra comutativă, unde o algebră de polinoame este în mod natural o algebră Z-graduată. De asemenea, oricărei filtrări a unei algebre i se asociază în mod natural o Z-algebră graduată. O altă sursă de exemple pentru teoria algebrelor graduate este teoria reprezentărilor de grupuri, unde algebra grupală K[G] (a cărei categorie de module este izomorfă cu categoria K-reprezentărilor grupului G) este o algebră G-graduată. Ideea de a descompune o structură în părţi omogene este fundamentală, conceptul apărând şi în geometria algebrică, fizica teoretică, teoria Galois, teoria alegebrelor Lie şi a algebrelor Hopf. De asemenea, teoria algebrelor graduate a permis prezentarea unui punct de vedere general asupra teoriei Clifford clasice care studiază legătura dintre reprezentările unui grup G şi cele ale unui subgrup normal al său H (vezi [31])). În lucrarea sa din 1937, în contextul în care K este corp, G grup şi H subgrup normal în G, Clifford tratează următoarele două probleme: Problema 1: Dacă M este un K[G]-modul simplu cu dim K M <, care este structura lui M H = M privit ca un K[H]-modul? Răspuns: M H este K[H]-modul semisimplu şi există o anumită relaţie între componentele izotipice ale lui K[H] M. Problema 2: Dacă N este un K[H]-modul simplu, să se caracterizeze K[G]-modulele simple M astfel încât N M ca K[H]-modul. Răspuns: Există o corespondenţă bijectivă între tipurile de izomorfism ale unor astfel de obiecte şi tipurile de izomorfism ale modulelor simple peste un anumit inel. Ţinând cont de izomorfismul dintre categoria K[G]-modulelor stângi şi categoria K-reprezentărilor grupului G, problemele de mai sus se pot formula în limbaj de reprezentări. Întrucât, pentru un subgrup normal H al grupului G şi e elementul neutru din G, obţinem o graduare pe A = K[G] după G în care componenta omogenă de grad ê este K[H] şi în plus A H este tare graduat, constatăm că teoria Clifford poate fi abordată şi în contextul inelelor graduate.

Astfel, fiind dat A = g G A g inel tare graduat, se studiază care este legătura dintre A e -modulele simple şi A-modulele simple, tratându-se practic următoarele două probleme: Problema 1: Pentru A inel tare graduat şi M un A-modul simplu, care este structura lui M ca A e -modul? Problema 2: Pentru A = g G A g inel tare graduat şi N un A e -modul simplu, să se caracterizeze A-modulele simple care conţin un A e -submodul izomorf cu N. În fizică, reprezentări matriceale ale operatorilor sunt folosite în teoria cuantică a câmpului, teoria relativităţii şi statistica cuantică. Un rezultat important în domeniul fizicii este elaborarea teoriei statistice a spinului în care formalismul statisticii cuantice este corelat cu proprietăţile spaţio-temporale ale particulelor elementare (spinul). Cele două tipuri de statistici cuantice (Bose- Einstein, respectiv Fermi-Dirac) pot să apară în mod natural într-o schemă algebrică largă ce include noţiunea de graduare pentru a compatibiliza diferiţi factori în relaţiile de definiţie. Conceptul de supersimetrie, introdus iniţial în fizica particulelor în anii 1970, pentru care au fost făcute verificări experimentale în fizica nucleară, a atras atenţia şi în alte ramuri ale fizicii precum fizica atomică şi fizica materiei condensate. Cadrul matematic folosit pentru a descrie supersimetria este cel al superalgebrelor: algebre Z 2 -graduate constând dintr- o parte 0 şi o parte 1 (conceptul mai general fiind cel de color algebras : algebre graduate după grupuri abeliene finite), fiecare având o anumită semnificaţie fizică. Practic graduările pe algebre de matrice sunt folosite, printre altele, pentru a deosebi tipurile de particule (bozoni-elementele pare-şi fermioni-elementele impare-: bozonii comută, fermionii anticomută). Pe de altă parte, clasificarea graduărilor pe o algebră dată reprezintă un subiect de interes în sine. Un exemplu în acest sens este problema propusă de E. Zelmanov privind clasificarea tuturor graduărilor posibile pe algebra de matrice M n (K) după un grup G (vezi [28]). În această problemă, o clasă specială de graduări este reprezentată de graduările bune. Definiţie: O graduare pe M n (K) se numeşte graduare bună dacă toate unităţile matriceale e i,j sunt elemente omogene, unde e i,j M n (K) are 1 pe poziţia (i, j) şi 0 în rest. Definiţie: O graduare pe M n (K) se numeşte graduare fină dacă dimensiunea oricărei componente omogene este cel mult 1. Până în prezent nu s-a dat un răspuns complet problemei lui E. Zelmanov, cunoscându-se doar rezultate parţiale: S-a dat un răspuns complet pentru problema lui Zelmanov pentru n {2, 3}, clasificându-se toate G-graduările pe M 2 (K) respectiv M 3 (K) pentru G grup arbitrar şi K corp arbitrar. S-a stabilit că pentru n = 2 orice astfel de graduare este fie izomorfă cu o graduare bună, fie se reduce la o graduare după C 2 sau C 2 C 2 (vezi [29]), iar pentru n = 3 orice astfel de graduare este fie izomorfă cu o graduare bună, fie se reduce la o C 3 -graduare sau la o C 3 C 3 -graduare (vezi [11]). S-a realizat o clasificare a G-graduărilor bune pe M n (K) (vezi [13]). S-au dat caracterizări pentru graduări care sunt izomorfe cu graduări bune: de exemplu, o graduare pe M n (K) este izomorfă cu o graduare bună dacă unul dintre e i,j -uri este element omogen 3

(vezi [16]); reciproca nu este valabilă întrucât există graduări izomorfe cu o graduare bună fără ca vreun element e i,j să fie omogen. S-au determinat graduările bune care au o structură de algebră tare-graduată, respectiv de produs încrucişat (vezi [16]). S-a determinat numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe M n (K) pentru G = Z n p cu p prim şi n natural (vezi [10]) şi pentru G = Z t cu t arbitrar (vezi [13]). S-a stabilit că dacă G = C m este un grup ciclic de ordin m şi K este un corp algebric închis, orice G-graduare pe M n (K) este izomorfă cu o graduare bună (vezi [13]). Acest rezultat, combinat cu clasificarea graduărilor bune pe algebra de matrice după grupuri ciclice, completează clasificarea tuturor C m -graduărilor pe M n (K) pentru K corp algebric închis. Au fost studiate graduările pe M n (K) după grupuri ciclice C m cu ipoteza suplimentară în care K conţine o rădăcină primitivă de ordin m a unităţii (i.e. char(k) m) (vezi [16] şi [12]), precum şi graduările după grupuri ciclice pe M n (K) pentru K corp arbitrar, folosind teoria coborârii (vezi [13]). S-au descris C 2 -graduările pe M 2 (K) folosindu-se metode diferite pentru cazurile char(k) = 2, respectiv char(k) 2 şi s-au caracterizat toate C 2 -graduările pe M 2 (K) izomorfe cu o graduare bună (vezi [16]). Un rezultat puternic în direcţia descrierii graduărilor pe algebre de matrice după grupuri nonciclice este dat de descrierea graduărilor pe M n (K) după un grup abelian în cazul în care K este corp algebric închis, o astfel de graduare descompunându-se ca produs tensorial între o graduare bună şi o graduare fină. (vezi [1]). Mai mult, dacă G este grup abelian finit şi K corp algebric închis de caracteristică zero, au fost descrise G-graduările pe algebra de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale peste corpul K ca produs tensorial dintre o graduare bună şi o graduare fină (vezi [38]). S-au descris graduările pe algebre de matrice superior triunghiulare peste un corp comutativ, după un grup arbitrar (vezi [37]). S-au descris graduările după grupuri arbitrare pe algebra diagonală K n cu K corp comutativ arbitrar (vezi [19]). Problema propusă de E. Zelmanov poate fi reformulată pentru semigrupuri: să se descrie şi să se clasifice graduările pe M n (K) după un semigrup S. În această direcţie, până în prezent au fost obţinute câteva rezultate: S-au descris toate graduările pe M 2 (K) după semigrupuri cu două elemente şi s-au determinat tipurile de izomorfism de astfel de graduări. S-au descris graduările pe algebra de matrice superior triunghiulare 2 2, după semigrupuri cu două elemente şi s-a determinat numărul tipurilor de izomorfism de astfel de graduări (vezi [17]). S-a dat o descriere completă a tuturor graduărilor bune pe M n (K) după un semigrup finit (vezi [18]). S-au obţinut rezultate cu privire la graduări pe inele după semigrupuri cu simplificare ([3]). 4

O extindere naturală a clasei algebrelor de matrice este dată de matricele superior triunghiulare cu blocuri diagonale care apar în studiul invarianţilor numerici ai aşa numitelor PI algebras. Astfel apare în mod firesc ideea de a generaliza anumite rezultate obţinute în cazul în care se lucrează cu o algebră de matrice. Contribuţii originale Problema de cercetare abordată în această lucrare are în vedere studiul graduărilor pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale, cu intrări dintr-un corp comutativ K, după un grup G, astfel încât toate unităţile matriceale care apar să fie elemente omogene. Am obţinut descrierea acestor graduări ca algebre de endomorfisme ale unor steaguri graduate, clasificarea lor ca orbite ale unei anumite biacţiuni pe mulţimea G n (unde n este dimensiunea algebrei de matrice) şi determinarea numărului tipurilor de izomorfism de G-graduări bune pe o algebră A de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale pentru anumite grupuri abeliene finite particulare. Anumiţi paşi făcuţi în aceste cazuri particulare pot fi făcuţi în principiu şi în cazul general al unui grup abelian finit arbitrar, însă în cazul general nu avem suficiente informaţii pentru a determina structura laticei subgrupurilor grupului de lucru şi nici chiar pentru a-i determina numărul total de subgrupuri în cazul în care rangul grupului este mai mare decât 3 (menţionăm faptul că a fost determinat numărul total de subgrupuri ale unui grup abelian finit de rang 2 respectiv 3; în acest sens a se vedea [36], [14], [23], respectiv [24] ), fapte ce au constituit un impediment în obţinerea unei descrieri combinatoriale a graduărilor bune pe A (şi în particular pe M n (K)) după un grup abelian finit arbitrar folosind această abordare. Am obţinut însă numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A (şi în particular pe M n (K)) în cazul p-grupurilor abeliene finite de ordin p 4 cu p prim, a grupurilor abeliene finite de indice prim şi a grupurilor ciclice finite, prin generalizarea tehnicilor din [10] respectiv [13], în contextul în care s-a lucrat cu matrice superior triunghiulare cu r > 1 blocuri diagonale. În plus am ilustrat o metodă pe baza căreia suntem în măsură să determinăm numărul tipurilor de izomorfism de Z p α Z p β-graduări bune pe A (pentru p prim şi α β numere naturale). Structura tezei Lucrarea cuprinde nouă capitole: Capitolul 1: Introducere Capitolul 2: Graduări pe algebre A de matrice superior triunghiulare cu r blocuri diagonale Capitolul 3: Tipurile de izomorfism de Z p 2 Z p 2-graduări bune pe A (p prim) Capitolul 4: Tipurile de izomorfism de Z p Z p 2, respectiv Z p Z p 3-graduări bune pe A (p prim) Capitolul 5: Tipurile de izomorfism de Z p 2 Z p Z p -graduări bune pe A (p prim) 5

Capitolul 6: Tipurile de izomorfism de Z l p-graduări bune pe A (p prim, l 2) Capitolul 7: Tipurile de izomorfism de Z t graduări bune pe A (t arbitrar) Capitolul 8: Clasificarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebre structurale de matrice cu blocuri complete Capitolul 9: Asupra tipurilor de izomorfism de Z p α Z p β-graduări bune pe A (p prim, α β numere naturale). În continuare dăm o scurtă prezentare a conţinutului fiecărui capitol. În Capitolul 1 am prezentat motivaţia care stă la baza studiului graduărilor pe algebre de matrice în general şi a graduărilor bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale în particular. De asemenea, am descris rezultatele parţiale cunoscute până în prezent pentru problema formulată de E. Zelmanov şi am reformulat această problemă pentru semigrupuri, enumerând câteva rezultate cunoscute în acest caz. În Capitolul 2 amintim prezentarea graduărilor bune pe o algebră de matrice atât dintr-un punct de vedere interior cât şi dintr-un punct de vedere exterior, în cel de-al doilea caz acestea fiind descrise ca graduări izomorfe cu algebre de endomorfisme ale unor spaţii vectoriale graduate şi apoi clasificate ca orbite ale unei anumite acţiuni. Am generalizat apoi aceste puncte de vedere la cazul algebrelor de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale de forma: A = M m1 (K) M m1,m 2 (K)... M m1,m r (K) 0 M m2 (K)... M m2,m r (K)............ 0 0... M mr (K) M n(k) unde K este corp comutativ, r 1, m 1,..., m r 1, n = m 1 +... + m r şi m = (m 1,..., m r ). Definiţii şi rezultate preliminare: Fie G grup multiplicativ arbitrar. blocuri diagonale, ca mai sus. Fie A o K-algebră de matrice superior triunghiulare cu O G-graduare pe A este o descompunere A = g G A g ca sumă directă de K-subspaţii vectoriale astfel încât A g A h A gh pentru orice g, h G. K-spaţiile A g din descompunerea precedentă se numesc componente omogene, elementele unei componente omogene se numesc elemente omogene, iar g se numeşte gradul componentei omogene A g. O G-graduare bună pe A este o G-graduare pe A astfel încât toate unităţile matriceale e i,j (i.e. matricele care au 1 pe poziţia (i, j) şi 0 în rest) care apar în A sunt elemente omogene. Observăm că unităţile matriceale e i,j care apar în A sunt unităţi matriceale e i,j cu i I p, j I q 6

şi 1 p q r unde I 1 = {1,..., m 1 } I 2 = {m 1 + 1,..., m 1 + m 2 }... I r = {m 1 +... + m r 1 + 1,..., m 1 +... + m r = n} Punctul de vedere interior: Lema L: Considerăm o G-graduare bună pe A. Atunci: deg(e i,i ) = 1 oricare ar fi 1 i n, deg(e i,j ) = deg(e i,i+1 )deg(e i+1,i+2 )...deg(e j 1,j ) pentru 1 i < j n şi deg(e i,j ) = deg(e i 1,i ) 1 deg(e i 2,i 1 ) 1...deg(e j,j+1 ) 1 pentru elementele e i,j cu i > j care apar în A (unde prin deg(e i,j ) am notat gradul lui e i,j ). Observaţie: Importanţa lemei precedente este dată de faptul că ea ne spune că pentru a defini o G-graduare bună pe A este suficient să asociem nişte grade arbitrare elementelor e 1,2, e 2,3,..., e n 1,n, gradele celorlalte unităţi matriceale putând fi uşor calculate odată ce sunt cunoscute cele n 1 grade ale matricelor menţionate. Punctul de vedere exterior: Un şir de subspaţii vectoriale F : V 1 V 2... V r = V cu dim K (V i ) = m 1 +... + m i pentru orice 1 i r se numeşte m steag. Fie F şi F două m-steaguri cu F : V 1 V 2... V r = V şi F : W 1 W 2... W r = W. Aplicaţia f : F F se numeşte morfism de m-steaguri dacă şi numai dacă f : V W este morfism de spaţii vectoriale şi f(v i ) W i pentru orice 1 i r. Un şir de subspaţii G-graduate F : V 1 V 2... V r = V cu dim K (V i ) = m 1 +... + m i, oricare ar fi 1 i r şi V = V g, V i = i ) g spaţii vectoriale graduate se numeşte g G g G(V m-steag G-graduat. f : F F se numeşte morfism de m-steaguri graduate dacă şi numai dacă f este morfism de m-steaguri şi f este compatibil cu gradele componentelor omogene (i.e. f((v i ) g ) (W i ) g, oricare ar fi 1 i r). Observaţie: Steagurile graduate F şi F sunt izomorfe dacă şi numai dacă V i W i, i 1, r. Fie F : V 1 V 2... V r = V un m-steag şi End(V ) algebra endomorfismelor lui V cu multiplicarea dată de compunerea funcţiilor. Definim algebra endomorfismelor lui F prin End(F) = { f End(V ) : f(v i ) V i, i 1, r } multiplicarea fiind dată de compunerea funcţiilor. Observaţie: Algebrele End(F) şi A sunt izomorfe. 7

Fie σ G şi m-steagul G-graduat F : V 1 V 2... V r = V. Definim mulţimea END(F) σ = { f End(V ) : f((v i ) g ) (V i ) σg, g G, i 1, r } Obţinem că suma σ G END(F) σ este directă în interiorul lui End(F). Notăm END(F) = σ G END(F) σ (algebră G-graduată). Rezultate obţinute: ( ) Am descris graduările bune pe A ca algebre de endomorfisme ale unor steaguri graduate. ( ) Am clasificat graduările bune pe A ca orbite { ( 1 ) ale unei anumite biacţiuni ( 2 ) respectiv ca orbite ale unei anumite acţiuni β. ( ) Pe baza acestei clasificări am determinat numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după anumite grupuri alese în aşa fel încât acest lucru să fie posibil prin calcule directe. În continuare vom da o descriere succintă a rezultatelor precizate la primele două puncte. ( ) Descrierea graduărilor bune pe A ca algebre de endomorfisme ale unor steaguri graduate: Propoziţia P: Tipurile de izomorfism de G-graduări bune pe A coincid cu tipurile de izomorfism de algebre G-graduate de forma EN D(F), pentru F un m-steag G-graduat. Teorema A: Fie F şi F două m-steaguri G-graduate cu F : V 1 V 2... V r = V şi F : W 1 W 2... W r = W. Atunci END(F) END(F ) ca algebre G-graduate dacă şi numai dacă există σ G astfel încât F F(σ) ca steaguri G-graduate (i.e. σ G astfel încât W i V i (σ) ca spaţii vectoriale G graduate, 1 i r - unde V i (σ) este σ-suspensia la dreapta a lui V i ). Rezultatul furnizat de Teorema A a fost obţinut astfel: Se constată că END(F) = END(F(σ)) întrucât END(V ) = END(V (σ)). Se demonstrează (adaptându-se rezultatul similar obţinut în cazul r = 1) următoarea Lemă (LA): Dacă END(F) END(F ) ca algebre graduate, atunci există σ G astfel încât W V (σ) ca spaţii vectoriale G-graduate. Se constată că practic adevărata problemă constă în obţinerea unui izomorfism de steaguri prin găsirea unui unificator σ G astfel încât W i V i (σ), pentru orice 1 i r. Acest lucru a fost făcut în prima dintre următoarele două propoziţii care stau la baza demonstraţiei Teoremei A. Propoziţia A1: Dacă φ : END(F) END(F ) izomorfism de algebre G-graduate atunci există σ G astfel încât END(F)-modulul graduat V (σ) este φ-izomorf cu END(F )-modulul graduat W. i.e. există γ : V (σ) W izomorfism de spaţii vectoriale graduate astfel încât γ(fv) = φ(f)γ(v) 8

pentru orice f END(F) şi orice v V. Observaţie: W este un END(F )-modul stâng cu operaţia dată de: fw = f(w), oricare ar fi f END(F ) şi oricare ar fi w W. Mai mult: W este END(F )-modul graduat. Similar: V este EN D(F)-modul graduat şi V (σ) este EN D(F)-modul graduat. Propoziţia A2: Fie F : V 1 V 2... V r = V un m-steag. Atunci submodulele lui V privit ca END(F)-modul sunt: 0, V 1,..., V r. Rezultatul furnizat de Teorema A conduce în continuare la clasificarea graduărilor bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale. ( ) Clasificarea graduărilor bune pe A ca orbite { ( 1 ) ale unei anumite biacţiuni ( 2 ) respectiv ca orbite ale unei anumite acţiuni β ( 1 ) Descrierea biacţiunii şi a rezultatului de clasificare asociat: Dacă S m este grupul de simetrie al mulţimii {1,..., m}, atunci: Grupul S m1... S mr acţionează la stânga pe mulţimea G n prin: (f 1, f 2,..., f r ) (g 1,..., g n ) = (g f1 (1),..., g f1 (m 1 ), g m1 +f 2 (1),..., g m1 +f 2 (m 2 ),......, g m1 +...+m r 1 +f r(1),..., g m1 +...+m r 1 +f r(m r)), oricare ar fi f 1 S m1,..., f r S mr şi oricare ar fi (g 1,..., g n ) G n. G acţionează prin translaţii la dreapta pe mulţimea G n : (g 1,..., g n ) σ = (g 1 σ,..., g n σ), pentru orice (g 1,..., g n ) G n şi orice σ G. Întrucât cele două acţiuni comută, vom obţine o biacţiune S m1... S mr stângă, G dreaptă pe mulţimea G n. Teorema B: Tipurile de izomorfism de G-graduări bune pe A sunt în bijecţie cu orbitele (S m1... S mr, G)-biacţiunii pe mulţimea G n. În consecinţă, numărul tipurilor de izomorfism de G-graduări bune pe A coincide cu numărul orbitelor biacţiunii (S m1... S mr, G) pe mulţimea G n. ( 2 ) Descrierea acţiunii β şi a rezultatului de clasificare obţinut: Fie G un grup aditiv şi un număr natural nenul m. Definim mulţimea: Y(m, G) = {(a g,m ) g G : a g,m Z, a g,m 0 şi g G a g,m = m} 9

Obţinem acţiunea la dreapta definită prin β : (Y(m 1, G)... Y(m r, G)) G Y(m 1, G)... Y(m r, G) ((a g,m1 ) g G,..., (a g,mr ) g G ) h = ((a g+h,m1 ),..., (a g+h,mr )) Mai mult, se obţine o bijecţie între orbitele biacţiunii (S m1... S mr, G) pe mulţimea G n şi orbitele acţiunii β, bijecţie indusă de aplicaţia ϕ : G n Y(m 1, G)... Y(m r, G), ϕ g 1,..., g m1 ;... ; g }{{} m1 +...+m r 1 +1,..., g m1 +...+m r }{{} = z m1 G m 1 z mr G }{{ mr } z G n ) = ((a g (z m1 )) g G,..., (a g (z mr )) g G = (a g (z)) g G unde a g (z mi ) = numărul apariţiilor lui g în z mi, pentru orice 1 i r. Propoziţia C: G-graduările bune pe A se clasifică după orbitele biacţiunii (S m1... S mr, G) pe G n care sunt în bijecţie cu orbitele acţiunii la dreapta a lui G pe Y(m 1, G)... Y(m r, G). ( ) Exemple: 1. Fie n = m 1 + m 2 = 2 + 2, S m1 S m2 = S 2 S 2 şi G = Z 2. Numărul orbitelor biacţiunii (S 2 S 2, Z 2 ) pe mulţimea Z 4 2 este 5, deci numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după grupul ciclic G = Z 2 este 5. 2. Fie n = m 1 + m 2 = 2 + 3, S m1 S m2 = S 2 S 3 şi G = Z 2. Numărul orbitelor biacţiunii (S 2 S 3, Z 2 ) pe mulţimea Z 5 2 este 6, deci numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după grupul ciclic G = Z 2 este 6. 3. Fie n = m 1 + m 2 = 2 + 2, S m1 S m2 = S 2 S 2 şi G = Z 3. Numărul orbitelor biacţiunii (S 2 S 2, Z 3 ) pe mulţimea Z 4 3 este 12, deci numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după grupul ciclic G = Z 3 este 12. În următoarele capitole am numărat tipurile de izomorfism de graduări bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după anumite grupuri abeliene finite particulare. Ţinând cont de grupurile considerate în capitolele 3, 4, 5, 6 şi 7, se constată în final că, pe lângă numărarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după grupuri abeliene de indice prim, respectiv după grupuri ciclice finite arbitrare rezultate prezentate în capitolele 6, respectiv 7 prin generalizarea tehnicilor folosite în cazul în care se lucrează cu o algebră de matrice, am determinat de asemenea numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebra de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după un p-grup abelian finit de ordin mai mic sau egal cu p 4, unde p este un număr prim arbitrar. 10

Astfel, în Capitolul 3 am numărat tipurile de izomorfism de graduări bune pe algebra matricelor superior triunghiulare cu blocuri diagonale, după grupul G = Z p 2 Z p 2, determinând mai întâi numărul subgrupurilor cu p t elemente ale grupului dat, apoi laticea subgrupurilor acestuia şi, ţinând cont de această latice, obţinând în final numărul de orbite ale acţiunii β şi prin urmare numărul tipurilor de izomorfism. Mai exact, folosind teorema factorilor invarianţi, am constatat că problema numărării subgrupurilor cu p t elemente (0 t 4) ale grupului Z p 2 Z p 2 revine la a număra pentru câte baze ale lui Z Z obţinem un acelaşi subgrup al lui Z Z care să conţină subgrupul p 2 Z p 2 Z, problemă care se reduce la a preciza (pentru fiecare pereche (d 1, d 2 ) de factori invarianţi satisfăcând proprietatea 1 d 1 d 2 p 2 ) un sistem complet şi independent de reprezentanţi (notat cu M) pentru o anumită relaţie d (mod K) (unde K este un subgrup precizat al lui GL 2 (Z)), sistem al cărui p 4 cardinal reprezintă (în fiecare caz în parte) numărul subgrupurilor de ordin ale lui Z d 1 d p 2 Z p 2. 2 Identificând apoi toate subgrupurile grupului de lucru şi incluziunile dintre acestea am obţinut laticea subgrupurilor lui Z p 2 Z p 2 pe baza căreia am fost în măsură să determinăm numărul orbitelor acţiunii β, calculând practic suma 1 p t ( Numărul elementelor având orbita de lungime pt ) pornind de la următoarele observaţii: t 0,4 1. pentru orice 0 t 4 am considerat că γ t reprezintă numărul elementelor care au ca stabilizator (relativ la acţiunea β) un subgrup H de ordin p 4 t al lui G, iar s 4,4 t reprezintă numărul de subgrupuri de ordin p 4 t ale lui G. 2. pornind de la laticea subgrupurilor lui G am constatat că: a) oricare ar fi t {0, 1, 3, 4}, modul în care a fost definit γ t nu depinde de alegerea subgrupului H, iar pentru t = 2 vom avea γ t = γ t + γ t, unde fiecare termen al sumei este bine definit. b) pentru t = 2 avem s 4,4 t = s 4,4 t + s 4,4 t unde s 4,4 t este numărul subgrupurilor H de ordin p 4 t din mulţimea subgrupurilor care îl defineşte pe γ t, iar s 4,4 t este numărul subgrupurilor H de ordin p 4 t din mulţimea subgrupurilor care îl defineşte pe γ t. 3. pentru t {0, 1, 3, 4} numărul elementelor cu orbita de lungime p t este dat de produsul γ t s 4,4 t, iar pentru t = 2 numărul elementelor cu orbita de lungime p t este dat de suma de produse γ t s 4,4 t + γ t s 4,4 t. Concret: I. Folosind următoarele notaţii: G k α =< (1, k + αp) >, unde 0 k, α p 1 L =< (0, 1) > K i =< (p, i) > cu 1 i p 1 şi P 0 0 =< (p, 0), (0, p) >, laticea subgrupurilor lui G este descrisă în următoarea diagramă: 11

Diagrama 1: Z p 2 Z p 2 ( p, 0),(0,1) (1,0),(0, p) (1,1),(0, p)... (1, p 1),(0, p).................. 0 G 0 G 0 0 0 1 G 2 G p 1 G 1 0 G 1 1 L K 1 1 G 2 G p 1 G p 1 0 G p 1 1 G p 1 p 1 1 K 2 K 0 p 1 2 G p 1 P 0..................... ( p,0) ( p, p) ( p, 2p)... ( p,( p 1) p) (0, p)... {0} {0} II. Descrierea combinatorială a G-graduărilor bune pe A: Teoremă: Numărul tipurilor de izomorfism de Z p 2 Z p 2-graduări bune pe A este: t {0,1,3,4} 1 p t i 1,r γ t,i unde: γ t = γ t,i, γ 2 = i 1,r i 1,r s 4,4 t + 1 p 2 γ 2,i şi γ 2 = i 1,r γ 2,i, i 1,r γ 2,i (s 4,2 1) + s 4,4 0 = 1, s 4,4 1 = p + 1, s 4,4 2 = p 2 + p + 1, s 4,4 3 = p + 1, s 4,4 4 = 1 şi i 1,r γ 2,i { 1, dacă p γ 0,i = 4 m i 0, altfel ( mi ) + p 1 p 3, p γ 1,i = 3 m i p 1 0, altfel γ 0,i 12

( mi + p 2 ) 1 γ 2,i = p 2, p 2 m p 2 i 1 0, altfel ( mi + p 2 ) 1 γ 2,i = p 2, p 2 m p 2 i 1 0, altfel ( mi p + ) p3 1, p m γ 3,i = p 3 i 1 0, altfel ( mi + p 4 1 γ 4,i = p 4 1 γ 1,i γ 0,i (p + 1) γ 1,i γ 0,i p γ 2,i γ 2,i (p + 1) γ 1,i γ 0,i ) (p + 1) γ 3,i (p 2 + p) γ 2,i γ 2,i (p + 1) γ 1,i γ 0,i. În Capitolele 4 şi 5 am prezentat descrierea combinatorială a tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebra de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după grupurile abeliene finite Z p Z p 2, Z p Z p 3, respectiv Z p 2 Z p Z p pe baza unui procedeu similar, în trei paşi, pe care-l vom prezenta succint in continuare lucrând cu un p-grup generic G. Pasul 1: Determinăm numărul subgrupurilor cu p t elemente ale lui G. Pentru G { Z p Z p 2, Z p Z p 3} am folosit următoarea Teoremă: (M. Tărnăuceanu) Fie α 1 α 2. Fie 0 α α 1 + α 2. Atunci numărul de subgrupuri de ordin p α 1+α 2 α ale grupului Z p α 1 Z p α 2 a) b) p α+1 1 p 1, dacă 0 α α 1; p α1+1 1, dacă α 1 α α 2 ; p 1 c) pα 1+α 2 α+1 1, dacă α 2 α α 1 + α 2. p 1 Pentru G = Z p 2 Z p Z p, pornind de la rezultatul obţinut în [24] conform căruia numărul total de subgrupuri ale acestui grup este 4p 2 + 3p + 5, am determinat efectiv care sunt toate aceste subgrupuri, obţinând în particular numărul subgrupurilor cu p t elemente pentru t {0, 1, 2, 3, 4}. Pasul 2: Descriem laticea subgrupurilor grupului G. Pasul 3: Determinăm numărul tipurilor de izomorfism de G graduări bune pe A calculând numărul de orbite ale acţiunii β. Astfel, dacă G este un p-grup abelian cu G = p k, considerând ) z = ((a g,m1 ) g G,..., (a g,mr ) g G Y(m 1, G)... Y(m r, G) obţinem p k = Stab G (z) Orb β (z). Prin urmare: este: 13

numărul orbitelor acţiunii β este dat de expresia 0 t k h t = 0 t k orbitelor de lungime p t şi e t = numărul elementelor având orbita de lungime p t. 1 p t e t, unde h t = numărul orbita elementului z (relativ la acţiunea β) este de lungime p t dacă şi numai dacă Stab G (z) este un subgrup al lui G de ordin p k t. Remarcăm faptul că Stab G (z) este stabilizatorul oricărui alt element din orbita lui z (deoarece pentru acţiuni de grupurilor abeliene elementele unei orbite au acelaşi stabilizator). Pentru orice H G şi orice 1 i r, definim mulţimea Obţinem Y(m i, G) H = {z i Y(m i, G) : Stab G (z i ) = H} [Y(m 1, G)... Y(m r, G)] H not = {z = (z 1,..., z r ) Y(m 1, G)... Y(m r, G) : Stab G (z) = H} de unde deducem că: unde oricare ar fi 1 i r avem: = Y(m 1, G) H... Y(m r, G) H γ t not = [Y(m 1, G)... Y(m r, G)] H = 1 i r Y(m i, G) H γ t,i not = Y(m i, G) H = {z i Y(m i, G) : z i h = z i, h H} H<K G Y(m i, G) K Mai mult, oricare ar fi 0 t k şi oricare ar fi H G cu H = p k t avem: ( m + p t ) 1 p k t, p {z Y(m, G) : z h = z, for any h H} = k t m p t 1 0, altfel În concluzie, pentru un grup abelian dat G cu G = p k putem calcula γ t = 1 i r γ t,i = numărul elementelor z Y(m 1, G)... Y(m r, G) care au ca stabilizator un subgrup H al lui G de ordin p k t dacă ştim: laticea subgrupurilor lui G, γ t,i nu depinde de alegerea subgrupului H. Pentru acei 0 t k pentru care oricare ar fi 1 i r avem că γ t,i nu depinde de alegerea lui H cu H = p k t, dacă s k,k t = numărul subgrupurilor de ordin p k t ale lui G, obţinem γ t s k,k t elemente având orbita de lungime p t, de unde reiese că numărul orbitelor având lungimea p t ale acţiunii β este 1 p t γ t s k,k t. 14

În cazul în care pentru anumiţi t {1, 2,..., k 1}, γ t,i depinde de alegerea subgrupului H, 1 i r, laticea subgrupurilor lui G ne va indica cum îl putem scrie pe γ t,i ca sumă de forma γ t,i = γ t,i;j cu l 2 astfel încât fiecare γ t,i;j să fie bine definit. Mai mult, pentru orice 1 j l 1 j l, lui γ t,i;j în va corespunde un s k,k t;j reprezentând numărul subgrupurilor de ordin p k t ale lui G din mulţimea care îl determină pe γ t,i;j astfel încât s k,k t;j = s k,k t. Prin urmare 1 j l numărul elementelor cu orbita de lungime p t va fi dat se suma 1 j l γ t,i;j s k,k t;j. În Capitolul 6 lucrăm cu un grup abelian de indice prim G = Z p... Z p (vezi [10] pentru }{{} l ori cazul r = 1). Ţinându-se cont de faptul că G este un Z p -spaţiu vectorial de dimensiune l, se constată că, pentru orice 0 t l, s l,t = numărul subgrupurilor cu p t elemente ale lui G este dat de numărul de baze cu t elemente formate cu elemente din G care determină subgrupuri distincte două câte două, adică de raportul dintre numărul de submulţimi liniar independente cu t elemente ale lui G şi numărul de baze ale unui Z p -spaţiu vectorial de dimensiune t. Prin urmare avem: s l,t = (pl 1)(p l p)... (p l p t 1 ) (p t 1)(p t p)... (p t p t 1 ) oricare ar fi 1 t l Întrucât orice două subgrupuri H şi K de acelaşi ordin ale grupului G sunt Z p -spaţii vectoriale de aceeaşi dimensiune, ducând o bază a lui H într-o bază a lui K obţinem faptul că există φ Aut Zp (G) cu φ(h) = K. De aici, aplicând următoarea Propoziţie: Fie m un întreg pozitiv, G un R-modul liber şi H, K două R submodule libere ale lui G cu H = K. Atunci Y(m, G) H = Y(m, G) K. rezultă (fără a avea nevoie de laticea subgrupurilor lui G) că, pentru orice 0 t l, γ t este bine definit. Mai departe următoarea Lemă: a) γ 0,i = { 1, dacă p l m i 0, altfel, oricare ar fi 1 i r. b) γ t,i = 0 dacă p l t m i, pentru orice 1 t l şi orice 1 i r. c) Pentru orice 1 i r şi orice 1 t l avem: ( mi + p t ) 1 p γ t,i = l t s p t t,1 γ t 1,i s t,2 γ t 2,i... s t,t γ 0,i dacă p l t m i. 1 ne oferă o formulă recursivă pe baza căreia poate fi calculat efectiv γ t,i. Cunoscând valoare numerică a fiecărui γ t,i, pentru 1 i r, obţinem un număr de γ t = γ t,i elemente z Y(m 1, G)... Y(m r, G) care au ca stabilizator un subgrup H al lui G cu 1 i r 15

H = p l t şi ştiind că avem s l,l t subgrupuri de ordin p l t ale lui G, deducem imediat că γ t s l,l t este numărul de elemente având orbita de lungime p t, pentru orice 0 t l, ceea ce înseamnă că numărul orbitelor de lungime p t ale acţiunii β este dat de expresia 1 p t γ ts l,l t. Prin urmare obţinem următorul rezultat: Teoremă: Numărul tipurilor de izomorfism de Z p... Z p -graduări bune pe A este 0 t l 1 p t 1 i r γ t,i s l,l t. În Capitolul 7 am determinat numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după un grup ciclic arbitrar, generalizând procedeul deja cunoscut pentru cazul r = 1 (vezi [13]), aşa cum se va vedea în continuare în descrierea schematică a metodei folosite. Fie G = C t =< c > grup ciclic de ordin t. Ştim că G-graduările bune pe A se clasifică după orbitele biacţiunii (S m1... S mr, G) pe mulţimea G n. Fiecărui n-uplu (g 1,..., g n ) = (g 1,..., g m1 ; g m1 +1,..., g m1 +m 2 ;... ; g m1 +...+m r 1 +1,..., g m1 +...,m r ) G n îi asociem un t-uplu de întregi nenegativi (k 0,..., k t 1 ) astfel încât k j = numărul apariţiilor lui c j în (g 1,..., g n ), j 0, t 1. Oricare ar fi 1 i r, fiecărui m i -uplu (g m0 +...+m i 1 +1,..., g m0 +...+m i 1 +m i ) G m i (m 0 = 0) îi asociem un t-uplu (k i,0,..., k i,t 1 ) astfel încât k i,j = numărul apariţiilor lui c j în m i -uplul dat, j 0, t 1. Obţinem: k 0 + k 1 +... + k t 1 = n k i,0 +... + k i,t 1 = m i, i 1, r k 1,j + k 2,j +... + k r,j = k j, j 0, t 1 Fie s un întreg pozitiv şi F t, s mulţimea t-uplurilor de întregi nenegativi (k 0, k 1,..., k t 1 ) cu proprietatea că k 0 + k 1 +... + k t 1 = s. Fie τ permutarea ciclică (1 2... t) şi H =< τ > S t. H F t, s F t, s este o acţiune la stânga dată de (σ, (k 0, k 1,..., k t 1 )) (k }{{} σ(0), k σ(1),..., k σ(t 1) ) = z σ z Fie β acţiunea la stânga a lui H pe mulţimea F t, m1... F t, mr definită prin β(σ, α) = σ α = (σ α 1,..., σ α r ) σ H, α = (α 1,..., α r ) F t, m1... F t, mr. ϕ : O((S m1... S mr, G) pe G n ) O(H pe F t, m1... F t, mr ), (g 1,..., g m1 ; g m1 +1,..., g m1 +m 2 ;... ; g m1 +...+m r 1 +1,..., g m1 +...,m r ) (k 1,0,..., k 1,t 1 ; k 2,0,..., k 2,t 1 ;... ; k r,0,..., k r,t 1 ) este o bijecţie. 16

Observaţie: Numărul orbitelor biacţiunii (S m1... S mr, G) pe G n coincide cu numărul orbitelor H-acţiunii β la stânga (prin permutări) pe F t, m1... F t, mr. Considerăm laticea: D(t; m 1,..., m r ) = {d : d t, d pozitiv şi t d m l l 1, r} cu ordinea dată de divizibilitate; d 1, d 2 D(t; m 1,..., m r ) gcd(d 1, d 2 ), lcm(d 1, d 2 ) D(t; m 1,..., m r ). Fie D(t; m 1,..., m r ; d) = {d D(t; m 1,..., m r ) : d d}. Fie D 0 (t; m 1,..., m r ; d) mulţimea elementelor maximale din D(t; m 1,..., m r ; d) relativ la relaţia de divizibilitate. Cum H = Stab H (α) Orb β (α), pentru α = (α 1, α 2,..., α r ) cu α i = (k i,0, k i,1,..., k i,t 1 ) F t, mi, i 1, r obţinem: Orb β (α) = d Stab H (α) H cu Stab H (α) = t d Stab H(α) =< τ d >. Dacă τ d α l = α l l 1, r atunci primele d poziţii din α l se repetă de t d ori, deci t d (k l,0 +... + k l,d 1 ) = m l l 1, r, de unde rezultă că t d m l l 1, r. Consecinţă: Propoziţie: Dacă orbita unui element α F t, m1... F t, mr are lungimea d, atunci d D(t; m 1,..., m r ). Prin urmare: numărul orbitelor acţiunii β este h d, unde h d = numărul orbitelor de lungime d. d D(t;m 1,...,m r) Teoremă: Numărul tipurilor de izomorfism de C t -graduări bune pe A este N = unde B d = {α F t, m1... F t, mr Rămâne de calculat B d. d D(t;m 1,...,m r) 1 d B d : Orb β (α) = d}. Considerând A d = {α F t, m1... F t, mr : τ d α l = α l l 1, r}, datorită incluziunii de mulţimi A d A d, pentru orice d D(t; m 1,..., m r ; d), obţinem: B d = A d \ A d = A d \ A d. d D(t;m 1,...,m r;d) d D 0 (t;m 1,...,m r;d) Fie d D(t; m 1,..., m r ) şi fie p 1,..., p s toţi divizorii primi distincţi ai lui d cu proprietatea că d p 1,, d p s D(t; m 1,..., m r ). Rezultă că D 0 (t; m 1,..., m r ; d) = { d p 1,..., d p s }, de unde reiese că B d = A d {A d A d... A d } B d = A d A d A d... A d = p 1 p 2 ps p 1 p 2 ps 17

= A d 1 t s 1 i 1 <...<i t s ( 1) t+1 A d p i1 A d p i2... A d p it. Cum A d1 A d2 = A gcd(d1, d 2 ) oricare ar fi d 1, d 2 D(t; m 1,..., m r ) şi cum gcd( d p i, d p j ) = d vom obţine inductiv că: A d A d... A d = A d. Prin urmare: p i1 p i2 p it p i1...p it. B d = A d + 1 t s 1 i 1 <...<i t s ( 1) t A d p i1...p it Pentru orice l 1, r definim: A d,l = {α l F t, ml : τ d α l = α l }. Cum A d = {α = (α 1,..., α r ) : α l A d,l l 1, r} obţinem A d = Observaţie: B d = ( ml d ) A d,l = F m d, l d = t + d 1 l 1, r t d 1 1 l r (m l d ) + d 1 t + d 1 1 t s 1 i 1 <...<i t s 1 l r ( 1) t A A d,l, unde d p i1...p it În Capitolul 8, am pus în evidenţă legătura cu algebrele structurale de matrice, constatând că dacă algebra structurală de matrice M n (R, K) asociată relaţiei R poate fi adusă, via permutări de linii şi coloane, la forma unei algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri complete, atunci clasificarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe M n (R, K) se reduce la clasificarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A. În Capitolul 9 am propus o metodă de descriere a laticei subgrupurilor lui Z p α Z p β (unde p este număr prim, iar α β sunt numere naturale) pe baza căreia se poate determina numărul tipurilor de izomorfism de graduări bune pe A după grupul menţionat. p i p j, Direcţii viitoare de cercetare: Numărarea tipurilor de izomorfism de graduări bune pe algebre de matrice superior triunghiulare cu blocuri diagonale după un grup abelian finit arbitrar. Clasificarea graduărilor bune pe o algebră structurală de matrice. Descrierea graduărilor bune pe algebre de matrice după semigrupuri speciale (cu puţine elemente, ciclice, cu proprietăţi de simplificare etc). Clasificarea graduărilor pe algebre mici de matrice (M 2 (K), M 3 (K), K n ), după semigrupuri. 18

Bibliografie [1] Yu. A. Bahturin, S. K. Sehgal, M. V. Zaicev, Group gradings on associative algebras, J.Algebra, 241, 677-698, 2001. [2] Yu. A. Bahturin, M. V. Zaicev, Group gradings on matrix algebras, Canad. Math. Bull. 45, 499 508, 2002. [3] Yu. A. Bahturin, M. V. Zaicev, Semigroup gradings on associative rings, Adv. in Appl. Math., 37, 153-161, 2006. [4] Yu. A. Bahturin, S. K. Sehgal, M. V. Zaicev, Finite dimensional graded simple algebras, Sbornik: Mathematics, 199:7, 965-983, 2008. [5] I. N. Balaba, Isomorphisms of graded endomorphism rings of progenerators, J. of Math. Sci., 152, 451-455, 2008. [6] I. N. Balaba, A. V. Mikhalev, Isomorphisms and anti-isomorphisms of endomorphism rings of graded modules close to free ones, Doklady Math., 79, 255-257, 2009. [7] M. Bărăscu, S. Dăscălescu, Good gradings on upper block triangular matrix algebras, Comm. Algebra, 41: 4290-4298, 2013. [8] M. Bărăscu, Counting good gradings on upper block triangular matrix algebras, trimis spre publicare. [9] M. Bărăscu, Good Z p 2 Z p Z p -gradings on matrix algebras, acceptat pentru publicare în Annals pf the University of Bucharest (Mathematical Series), no. 2/2013. [10] C. Boboc, S. Dăscălescu, Good gradings of matrix algebras by finite abelian groups of prime index, Bull. Math. Soc. Sc. Math. Roumanie, 49(97) No.1,5-11, 2006. [11] C. Boboc, S. Dăscălescu, Group gradings on M 3 (K), Comm. Algebra 35: 2654-2670, 2007. [12] C. Boboc, S. Dăscălescu, Gradings of matrix algebras by cyclic groups, Comm. Algebra 29, 5013-5021, 1999. [13] S. Caenepeel, S. Dăscălescu, C. Năstăsescu, On gradings of matrix algebras and descent theory, Comm. Algebra, 30, No. 12, 5901-5920, 2002. [14] G. Călugăreanu, The total number of subgroups of a finite abelian group, Sci. Math. Jpn., 60, 157-167, 2004. [15] C. W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience Publishers, NY, 1962. [16] S. Dăscălescu, B. Ion, C. Năstăsescu, J. Rios Montes, Group gradings on full matrix rings, J. Algebra, 220, 709-728, 1999. [17] S. Dăscălescu, P.D. Jarvis, A.V. Kelarev, C. Năstăsescu, On associative superalgebras of matrices, Rocky Mountain J. Math., 34, No 2, 585-598, 2004. 19

[18] S. Dăscălescu, A. V. Kelarev, L. van Wyk, Semigroup gradings of full matrix rings, Comm. Algebra, 29(11), 5023-5031, 2001. [19] S. Dăscălescu, Group gradings on diagonal algebras, Arch. Math. 91, 212-217, 2008. [20] S. Dăscălescu, L. van Wyk, Do isomorphic structural matrix rings have isomorphic graphs?, Proceedings of the AMS, Vol. 124, No. 5, 1996. [21] O. M. Di Vincenzo, P. Koshlukov and A. Valenti, Gradings on the algebra of upper triangular matrices and their graded identities, J. Algebra 275, 550-566, 2004. [22] A. Giambruno, M. Zaicev, Polynomial identities and asymptotic methods, Mathematical Surveys and Monographs 122, AMS, Providence, RI, 2005. [23] M. Hampejs, N. Holighaus, L. Tóth, C. Wiesmeyr, On the subgroups of the group Z m Z n, arxiv:1211.1797v1. [24] M. Hampejs, L. Tóth, On the subgroups of finite abelian groups of rank three, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp., 39, 111-124, 2013. [25] R. Hazrath, The graded structure of Leavitt path algebras, Israel J. of Math., 195, 833-895, 2013. [26] F. Iachello, Graded Lie algebras and applications, AIP Conference Proceedings, 12/2004; 744(1). [27] I. D. Ion, R. Nicolae, Algebra, Editura Didactică şi Pedagogică, ediţia a III-a, Bucureşti, 1981. [28] A. V. Kelarev, Applications of epigroups to graded ring theory, Semigroup Forum, 50, 327-350, 1995. [29] R. Khazal, C. Boboc, S. Dăscălescu, Group gradings of M 2 (K), Bull. Austral. Math. Soc. Vol. 68, 285-293, 2003. [30] M. A. Knus, Algebras graded by a group, Category Theory, Homology Theory Appl, Proc. Conf. Seattle, Res. Center Baltelle Mem. Inst., 2, 117-133, 1969. [31] C. Năstăsescu, F. Van Oystaeyen, Methods of Graded Rings, vol. 1836, Lecture Notes in Math., Springer Verlag, 2004. [32] C. Năstăsescu, Inele. Module. Categorii., Editura Academiei Române, 1976. [33] D. Popescu, C. Vraciu, Elemente de teoria grupurilor finite, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1986. [34] M. Suzuki, On the lattice of subgroups of finite groups, Transactions of the AMS, 70, 345-371, 1951. [35] M. Tărnăuceanu, A new method of proving some classical theorems of abelian groups, Southeast Asian Bull. Math., 31, 1191-1203, 2007. 20

[36] M. Tărnăuceanu, An arithmetic method of counting the subgroups of a finite abelian group, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, 53(101), 373-386, 2010. [37] A. Valenti, M. V. Zaicev, Group gradings on upper triangular matrices, Arch. Math. 89, 33-40,2007. [38] A. Valenti, M. Zaicev, Abelian gradings on upper block triangular matrices, Canad. Math. Bull. 55, No. 1, 208-213, 2012. [39] V. S. Varadarajan, Supersymmetry for Mathematicians: An introduction, Courant Lecture Notes, AMS, 2004. [40] L. van Wyk, Maximal left ideals in structural matrix rings, Comm. Algebra 16: 2, 399-419, 1988. 21