RECREAŢ II MATEMATICE

Anul VII, Nr. Iulie Decembrie 005 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI 00 de ani de la introducerea distanţei între mulţimi de către Dimitrie Pompeiu e iπ = Editura Crenguţa Gâldău IAŞI - 005

Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o formă concisă, formula e = leagă cele patru ramuri fundamentale ale matematicii: ARITMETICA reprezentată de GEOMETRIA reprezentată de π ALGEBRA reprezentată de i ANALIZA MATEMATICĂ reprezentată de e Redacţia revistei : Petru ASAFTEI, Temistocle BÎRSAN, Dan BRÂNZEI, Cătălin - Cristian BUDEANU, Constantin CHIRILĂ, Eugenia COHAL, Adrian CORDUNEANU, Mihai CRĂCIUN (Paşcani), Gabriel DOSPINESCU (student, Paris), Marius FARCAŞ, Paraschiva GALIA, Paul GEORGESCU, Dumitru GHERMAN (Paşcani), Mihai HAIVAS, Gheorghe IUREA, Lucian Georges LĂDUNCĂ, Mircea LUPAN, Dan Ştefan MARINESCU (Hunedoara), Gabriel MÎRŞANU, Andrei NEDELCU, Gabriel POPA, Dan POPESCU (Suceava), Florin POPOVICI (Braşov), Maria RACU, Ioan SĂCĂLEANU (Hârlău), Ioan ŞERDEAN (Orăştie), Dan TIBA (Bucureşti), Lucian TUŢESCU (Craiova), Adrian ZAHARIUC (Bacău), Adrian ZANOSCHI. Adresa redacţiei: Catedra de Matematică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Bd. Carol I, nr., 700506, Iaşi Tel. 03 3737 / int. 3 E-mail: recreatii.matematice@gmail.com http://www.recreatiimatematice.uv.ro EDITURA CRENGUŢA GÂLDĂU Toate drepturile rezervate ISSN 58-765 Bd. N. Iorga, Bl. K, ap. 4, IAŞI Tel. / Fax: 03 30598 TIPĂRITĂ LA SL&F IMPEX IAŞI Bd. Carol I, nr. 3-5 Tel. 0788 498933 E-mail: simonaslf@yahoo.com

Anul VII, Nr. Iulie Decembrie 005 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Revistă cu apariţie semestrială publicată de ASOCIAŢIA RECREAŢII MATEMATICE IAŞI - 005

Un secol de la publicarea tezei de doctorat a lui Dimitrie Pompeiu La data de 3 martie 905, Dimitrie Pompeiu (873 954) susţinea la Faculté des Sciences de Paris teza sa de doctorat, Sur la continuité des fonctions de variables complexes, înfaţa unei comisii de examinare prezidată deh. Poincaré şi având în componenţă pe G. Koenigs şi E. Goursat. Lucrarea a apărut în acelaşi an în Ann. Fac. Sci. de Toulouse, II-e série, 7 (905), p. 64-35. P. Montel, ilustru matematician francez cu strânse legături de prietenie cu mulţi matematicieni români, a apreciat valoarea de excepţie a tezei lui Pompeiu într-o succintă formulare: Pour un coup d essai, c est un coup de maître []. Idei, noţiuni şi rezultate prezente în teza lui Pompeiu au trezit interes şi au suscitat discuţii în rândul unor mari matematicieni ai timpului: P. Painlevé, A. Denjoy, F. Hausdorff, etc. Continuate de însuşi D. Pompeiu sau preluate şi îmbunătăţite cu noi idei de puternice şcoli matematice, acestea fac parte acum din patrimoniul matematicii universale. În Teza sa, abordând o problemă relativ la singularităţile funcţiilor analitice uniforme, problemă ce era subiect de căutări în acel moment, Pompeiu aduce clarificări surprinzătoare şi neconforme cu rezultatele considerate pe atunci a fi verosimile. Chestiunea fusese formulată de P. Painlevé [3] încă în 897 şi exista părerea că o funcţie analitică uniformă nu poate fi continuă pemulţimi discontinue de puncte singulare ale sale. Pompeiu arată, printr-un exemplu, că există funcţii de felul menţionat ce sunt continuepemulţimea punctelor singulare şi având această mulţime de arie strict pozitivă. Suspiciunile asupra corectitudinii exemplului au fost înlăturate în 909 de către A. Denjoy, ceea ce a dus la consacrarea lui D. Pompeiu. O prezentare documentată a acestui moment din istoria matematicii se găseşte în [9]. Matematicianul italian T. Levi-Civita îl considera pe D. Pompeiu ca fiind cel mai bun 85

cunoscător, la începutul secolului trecut, al teoriei funcţiilor analitice uniforme []. Tot în Teză segăseşte punctul de plecare al unei alte realizări remarcabile a lui Pompeiu. În cercetările sale privind comportarea funcţiilor analitice uniforme în vecinătatea punctelor singulare, la pag. 45 din [4], Pompeiu se foloseşte deun exemplu datorat lui A. Köpcke. Cum construcţia acestuia era foarte complicată, Pompeiu dă înanulurmător un exemplu simplu de acelaşi fel, adică defuncţie derivată mărginită careseanulează în orice interval şi nu este identic nulă înniciun interval [6]. Exemplul a fost inclus imediat în tratatele de teoria funcţiilor reale, funcţia construită fiind numită funcţia lui Pompeiu [8]. În rezolvarea problemelor abordate, amintite mai sus, Pompeiu utilizează cele mai noi concepte şi teorii existente la acea vreme (teoria mulţimilor şi topologia, integrala Lebesgue etc.). Mai mult, în acelaşi scop, Pompeiu introduce în Teză ideişi noţiuni noi care joacă un rol important în matematica de azi. Amintim că Topologia s-a dezvoltat în legătură cuteoria funcţiilor de variabilă reală şi s-a desprins de aceasta odată cu publicarea celebrei cărţi Grundzüge der Mengenlehre (94) de către marele matematician german F. Hausdorff. Noţiunea de distanţă întredouă elemente (în sensul de metrică) apare în teza de doctorat a ilustrului matematician francez M. Fréchet, teză publicată în 906 [3]. Spaţiile metrice vor căpăta o utilizare şi importanţă mare după 90. Acesta este contextul în care D. Pompeiu introduce în 905 noţiunile de "écart" şi "écart mutuel" între două mulţimi ([4], secţiunea, pag. 7 şi 8), context care pune în evidenţă valoarea ideilor şi puterea de anticipaţie a matematicianului român. Păstrând notaţiile utilizate de Pompeiu, fie E h şi E k două mulţimi dinplanînchiseşi mărginite (deci compacte); distanţa mulţimii E h în raport cu E k ("écart de E h par rapport à E k "), notată 4 hk, este definită ca maximul distanţelor unui punct mobil P h (din E h ) la mulţimea E k,iarsuma 4 hk + 4 kh este numită distanţa reciprocă ("écart mutuel") întremulţimile E h şi E k. Aceastănoţiune de distanţă îipermiteluipompeiuca,privindmulţimile de părţi dinplanînchiseşi mărginite ca pe nişte mulţimi de elemente, să definească în mod firesc elementele- 86

limită şi derivata acestor mulţimi de mulţimi, precum şi condiţia caacesteasăfie mulţimi închise. Pompeiu nu dezvoltă aceste idei, care ţin de teoria hiperspaţiilor, ci se limitează doar la aspectele care-i erau necesare transpunerii, în limitele posibilului, a unor raţionamente valabile pentru mulţimile de elemente la familii de curbe plane. Astăzi, mulţimea părţilor nevide, închise şi mărginite ale unui spaţiu metric X este notată cuclb (X), pentruproprietăţile şi aplicaţiile acestui spaţiu existândovastă bibliografie. Teza de doctorat a lui D. Pompeiu este "actul de naştere"anoţiunii de distanţă între mulţimi şi importanţa ei a fost imediat sesizată decătre contemporani. Chiar în 905, în recenzia făcută Tezei pentru Jahrbuch fuer Mathematik, 36 (905), pag. 455, A. Gutzmer califică distanţa lui Pompeiu astfel: "Einfuerung einesneuen Begriffes der Mengenlehre" (un nou concept al teoriei mulţimilor). În anul 94, în Grundzüge der Mengenlehre [5], menţionată şimaisus, F. Hausdorff preia ideea de distanţă aluipompeiu,osituează în cadrul natural al spaţiilor metrice şi consideră cadistanţă întredouămulţimi maximul distanţelor lor relative în locul sumei acestora, aşa cum făcuse Pompeiu; în forma utilizată astăzi, dacă A şi B sunt douămulţimi nevide, închise şi mărginite ale unui spaţiu metric (X, d), distanţa lor este dată de ½ d (A, B) =max sup x A ¾ d (x, B), sup d (x, A). x B Hausdorf dedică un paragraf consistent studiului proprietăţilor distanţei între mulţimi şi îl citează corect pe D. Pompeiu la pag. 463 [5] ca autor al acestei noţiuni. De asemenea, el observă că distanţele între mulţimi definite ca "sumă" sau ca "maximum" induc aceeaşi topologie, deci sunt echivalente. Hausdorff reia subiectul şi în 97 în cartea Mengenlehre [6], unde Pompeiu este citat la pag. 80. De remarcat că, în acele timpuri, textul principal al unei cărţi nu cuprindea nici o referinţă la originea unui subiect, toate informaţiile în această privinţă fiind concentrate într-o extrem de succintă anexă, la sfârşitul cărţii. Din acest motiv, mulţi matematicieni au preluat noţiunea de distanţăîntremulţimi direct din textul lui Hausdorff fărăasesiza referinţa din anexă, iar distanţa dintre mulţimi este adesea numită distanţa Hausdorff. În literatura ştiinţifică se folosesc şi denumirile: distanţă Pompeiu, distanţă Hausdorff-Pompeiu, saudistanţă Hausdorff -Pompeiu. Marele matematician polonez C. Kuratowski în tratatul său Topologie [7], care a cunoscut mai multe ediţii, citează atât pe Pompeiu cât şi pe Hausdorff la pag. 06; menţiunea este făcută într-o notă de subsol, pe pagina unde este introdusă noţiunea, fiind astfel foarte accesibilă cititorilor. În 978, B. L. McAllister [0] publică un remarcabil studiu istoric al teoriei hiperspaţiilor pentru prima jumătate de secol a existenţei lor, 900 950. Aportul adus de D. Pompeiu în teza sa din 905 este scos în evidenţă în cuvinte categorice: "who [Pompeiu] may with some justice be said to have invented hyperspaces, and Hausdorff s use of them in 94 in his treatrise Grundzüge der Mengenlehre had made them very well known" (pag. 30) şi, de asemenea, în "I ve found no evidence of the Hausdorff metric itself before Pompeiu s thesis" (pag. 3). Există şi alte noţiuni de distanţă între mulţimi, neechivalente cu cea de mai sus; de exemplu, se poate defini distanţa între două mulţimi măsurabile Lebesgue, 87

M,N R n,prinmăsura Lebesgue a diferenţei lor simetrice (M \ N) (N \ M) etc. Dar distanţa Hausdorff - Pompeiu este unica posedând o remarcabilă proprietate de compactitate: dacă (A n ) n N este un şir de mulţimi compacte, mărginit în R n, atunci există omulţime compactă A R n şi un subşir (indexat tot prin n) astfel încât lim d (A n,a)=0. Această proprietate face din distanţa Hausdorff -Pompeiu n onoţiune fundamentală în studiul topologiilor pe familii de submulţimi şi în teoria modernă aoptimizării geometrice (shape optimization, optimal design). La Conferinţa IFIP, Torino, iulie 005 (www.polito.it/ifip005), secţiunea de optimizare a formelor este dedicată aniversării a 00 de ani de la introducerea noţiunii de distanţă între mulţimi de către Dimitrie Pompeiu. Cititorul interesat în astfel de studii poate consulta recenta monografie []. * * * Întreaga operă matematică lăsată de D. Pompeiu se caracterizează printr-o profundă originalitate. D. Pompeiu a dat impulsul iniţial multor idei fecunde sau metode ingenioase pe care le-a dezvoltat, cel mai adesea, doar în partea lor de început şi a oferit cu generozitate altora posibilitatea de a continua cu propriile cercetări pe direcţiile deschisedeel. Cei00deanitrecuţi de la susţinerea Tezei de către Pompeiu au dat mai multă strălucire ideilor cuprinse în ea. Multe alte concepte sau idei, oferite de Pompeiu ulterior, de-a lungul vieţii sale, au avut sau continuă săaibăo evoluţie spectaculoasă. Amintim în treacăt de derivata areolară introdusă de Pompeiu în 9, teoria căreia a fost dezvoltată înmaremăsurădeşcoala matematică românească(m. Nicolescu, Gh. Călugăreanu, N. Ciorănescu, N. Teodorescu, Gr. Moisil etc.), dar şi de matematicieni din alte ţări. Probabil cea mai citată lucrare a lui Pompeiu este Nota [7] din anul 99 (estimări recente indică în jur de o mie de articole publicate în diverse reviste internaţionale de specialitate şi dedicate problemei introduse în această Notă). Aici este enunţată faimoasa sa conjectură, nerezolvată complet până înprezent. RR Fie f ofuncţie continuă înplanşi D R omulţime compactă astfelîncât f (x, y) dx dy =0,undeσ (D) notează oricemulţime plană obţinută prinmişcări σ(d) rigide ale lui D. Atunci,rezultăcă f este nulă înplan? Pentru cazul când D este un disc, există contraexemple de tipul f (x, y) = =sin(ax + by) cu a, b R convenabil alese [4], dar pentru alte domenii plane D răspunsul pare să fiepozitiv,deşi nu există demonstraţii decât în cazuri particulare [9]. Subliniem caracterul fundamental al proprietăţii de mai sus în analiza matematică (dacăarfidemonstrată!) şi legătura cu conjectura Schiffer, ulterioară, referitoare la autovalorile operatorului Laplace cu condiţii Cauchy pe frontieră[,8]. Toate aceste fapte demonstrează importanţa deosebită a acestei probleme a lui Pompeiu. O. Onicescu, distins matematician şi savant român, elev al lui Pompeiu, în cartea Pe drumurile vieţii (98) îşi omagiază maestrul în cuvinte de o nemărginită preţuire şi admiraţie: 88

"Un Brâncuşi al matematicii, ale cărui creaţii au fost simple, plastice, globale şi încărcate de semnificaţii în lumea formelor ştiinţei sale aşa cum erau ale sculptorului în lumea realizărilor lui." Bibliografie. G. Şt. Andonie - Istoria matematicii în România, v. I, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 965, 34-365.. C. A. Bernstein - An inverse spectral theorem and its relation to the Pompeiu problem, Journal d Analyse Mathématique, 37 (980), 8-44. 3. M. Fréchet - Sur quelques points du calcul fonctionnel (Thèse), Rend.Circ.Mat.Palermo, (906), -74. 4. N. Garofalo, F. Segala - Univalent functions and the Pompeiu problem, Trans. A.M.S., 346 (), (994), 37-46. 5. F. Hausdorff - Grundzüge der Mengenlehre, Viet, Leipzig, 94. 6. F. Hausdorff - Mengenlehre, Walter de Gruyter, Berlin, 97. 7. C. Kuratowski - Topologie, v. I, Warszawa, 95. 8. S. Marcus - Funcţiile lui Pompeiu, Sudii şi Cercet. Mat., 5 (954), 43-49. 9. M. Mitrea, F. Şabac - Pompeiu s integral representation formula. History and mathematics, Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 43 (998), no. -, -6. 0. B. L. McAllister - Hyperspaces and Multifunctions, the First Half Century (900-950), Nieuw Arch. Wisk. (3), 6 (978), 309-39.. P. Neittaanmäki, J. Sprekels, D. Tiba - Optimization of elliptic systems. Theory and applications, Springer Verlag, New York, 005.. O. Onicescu - Pe drumurile vieţii, Ed. Şt. şi Enciclopedică, Bucureşti, 98. 3. P. Painlevé - Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles, professées à Stockholm, Hermann, Paris, 897. 4. D. Pompeiu - Sur la continuité des fonctions de variables complexes (Thèse), Gauthier-Villars, Paris, 905; Ann. Fac. Sci. de Toulouse, 7 (905), II-e série, 64-35. 5.D.Pompeiu- Opera matematică, Ed. Acad. Române, Bucureşti, 959. 6.D.Pompeiu- Sur les fonctions dérivées, Math. Ann., 63 (907), 36-33. 7. D. Pompeiu - Sur certains systemes d équations linéaires et sur une propriété intégrale des fonctions de plusieurs variables, C. R. Acad. Sc. Paris, 88 (99), 38-39. 8. M. Vogelius - An inverse problem for the equation 4u = cu d, Annales de l Institut Fourier, 44 (4) (994), 8-09. 9. S. A. Williams - A partial solution of the Pompeiu problem, Math. Ann., 3 (976), 83-90. Prof. dr. Temistocle BÎRSAN (Iaşi) Cercet. pr. dr. Dan TIBA (Bucureşti) 89

William Rowan Hamilton (805-865) W. R. Hamilton a fost un remarcabil om de ştiinţă care a obţinut rezultate profunde şi fundamentale în toate domeniile în care a lucrat. O caracterizare sintetică a acestuia propusă de Petit Larousse (974) este: astronom şi matematician irlandez, fondatorul geometriei vectoriale şi creatorul calculului cuaternionic. William Rowan Hamilton s-a născutla4au- gust 805 în Irlanda, la Dublin, şi a murit la septembrie 865 tot în Dublin. El aparţine unei ramuri de familii scoţiene stabilite în nordul Irlandei in timpul regelui James I. Semnalele de copil talentatpecareledădea micul William l-au determinat pe tatăl său să-l încredinţeze de timpuriu pentru educaţie unchiului său, reverendul James Hamilton. Încă dela4anifăcuse progrese în învăţarea limbii ebraice, iar la 5 ani ştia deja latina, greaca şi ebraica. La 3 ani avea cunoştinţe bune de franceză, italiană, spaniolă, germană, siriană, persană, arabă, sanscrită, hindusă şi malaieziană. Interesul pentru matematică i-a fost trezit de întâlnirea cu americanul Zerah Coburn care avea abilitatea de a face rapid calcule cu numere mari. În fapt, a fost aproape autodidact în matematică. Introducerea în lumea matematicii şi-a făcut-o citind la 0 ani o traducere în latină aelementelor lui Euclid. Lanu- mai3aniacititalgebra lui Clairaut, iar la 5 ani a început să studieze lucrările lui Newton şi Laplace. Timp de aproape ani s-a ocupat de celebra carte a lui Newton Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, de calculul diferenţial şi de Mécanique céleste a lui Laplace. La 7 ani Hamilton a găsit o greşeală încartea lui Laplace. Prin aceasta a atras asupra sa atenţia astronomului Curţii regale din Irlanda, John Brinkley, careîivaurmări plin de admiraţie întreaga evoluţie şi care îl va recomanda mai târziu în 87 pentru postul de profesor de astronomie. Hamilton a fost trimis la Colegiul Trinity din Dublin la vârsta de 8 ani. În primul an a obţinut calificativul optime la literatura greacă (Clasics) lucru ce se întâmpla odată la 0 de ani. Trebuie remarcat că în 94, la numai 9 ani, a trimis Academiei Regale din Irlanda prima sa lucrare, intitulată On caustics în care cercetează oclasă particulară de curbe curbele caustice. Cu acest prilej a degajat pricipiul acţiunii minime. În 86 Hamilton a primit din nou calificativul optime atât la ştiinţe cât şi la literatură mai precis la Fizică şi Greacă lucru nemaiîntâmplat până lael. În acelaşi an, anul său de absolvire a colegiului, a prezentat o lucrare originală de optică geometrică laacademiaregalădinirlanda. Is-acerutsă dezvolte complet acest subiect. În consecinţă, Hamilton a scris memoriul intitulat Teoria sistemelor de raze, lucrare în care introduce funcţia caracteristică pentruoptică. Prin funcţie caracteristică se înţelege acţiunea sistemului în mişcare de la punctul iniţial la cel final din spaţiul ambiental (este vorba de un principiu variaţional). De fapt, acest memoriu va fi completat mai târziu cu încă trei suplimente, din care ultimul în 83. La finalul celui de al treilea supliment la memoriul despre sistemele de raze, a 90

aplicat funcţia caracteristică lastudiulsuprafeţei de undă Fresnel. Pe această bază pur teoretică a prezis refracţia conică, confirmată experimental,douălunimaitârziu de către Humphrey Lloyd profesordefizică la Colegiul Trinity. Prin refracţie conică seînţelege calitatea razei de lumină de a se desface într-un cristal, în anumite condiţii, într-un con de raze. Ultimele două suplimente s-au ocupat de ceea ce numim astăzi mecanică hamiltoniană şi a servit mai târziu ca bază pentru mecanica cuantică. Zvonurile despre geniul său au început să serăspândească şi l-au recomandat la Universitatea Cambridge, unde devine student în anul 85. Aici talentul său neobişnuit s-a manifestat într-un climat academic de rang înalt. Cariera sa de student a fost întreruptă într-un mod mai puţin obişnuit şi anume, student fiind, a fost cooptat în corpul profesoral. Mai mult decât atât, în 87 la recomandarea lui Brinkley a fost numit profesor de astronomie la Colegiul Trinity la vârsta de 0 de ani. Se ştie că algebriştii şcolii engleze au degajat primii, între 830 şi 850, noţiunea abstractă delegedecompoziţie. Hamilton a fost cel care a aplicat (şi îmbogăţit acest domeniu) la vectori, cuaternioni şi sisteme hipercomplexe. Peaceastă linie reamintim că, pe 4 noiembrie 833, Hamilton a prezentat o lucrare la Academia Regală Irlandeză în care prezenta numerele complexe ca perechi ordonate de numere reale. El este cel care a propus şi notaţia a + ib. Hamilton este precursorul algebrei abstracte moderne. A prezentat de fapt numerele complexe ca un caz particular de sisteme de numere hipercomplexe. În cadrul acestor sisteme de numere a evidenţiat proprietăţile de comutativitate, asociativitate, distributivitate. El va folosi algebra în studiile sale de dinamică. In lucrarea Asupra unei metode generale în dinamică apărută în 834 foloseşte algebra şi dă prima expresie a funcţiei caracteristice pentru dinamică. Noua metodă îndinamică, propusă de Hamilton, este o extensiune remarcabilă şi o completare a ecuaţiilor generale Lagrange. De altfel, Hamilton a fost numit şi "Lagrange al Irlandei", comparaţie care s-a dovedit a fi inspirată. Cuaternionii sunt desigur cea mai importantă descoperire a lui Hamilton, realizată în 843. El însuşi a fost atât de impresionat de această descoperire încât în ultimii 0 ani de viaţă s-a ocupat numai de cuaternioni concretrizând un vast program de construcţie pentru cuaternioni a câte unui analog al teoriilor analitice şi algebrice de la numere complexe. Este remarcabilă şi impresionantă lucrarea sa în 8 volume (900 pagini) Lecţii despre cuaternioni apărută la Dublin în 853. Această carteesteurmată în 856 de cartea Elemente de teoria cuaternionilor. Folosind cuaternionii Hamilton a definitprodusulvectorialadoivectoridinspaţiul cu 3 dimensiuni. Studiul cuaternionilor a fost un stimulent major pentru dezvoltarea teoriei algebrelor, a algebrei liniare şi a analizei vectoriale dar rolul lor în matematică este mai modest în comparaţie cu cel al numerelor complexe. Încheiem amintind că Hamilton a introdus printre alte noţiunipeceledecâmp vectorial, operatorul (lui Hamilton), divergenţa unui câmp vectorial. William Rowan Hamilton este unul dintre cei mai mari matematicieni ai secolului al XIX-lea. Prof. dr. Ilie BURDUJAN 9

Principiul lui Cousin principiu fundamental al analizei matematice Florin POPOVICI Foarte adesea ca principiu fundamental în construcţia mulţimii numerelor reale, deci şi a analizei matematice, este luat principiul existenţeimarginiisuperioare.sunt cunoscute şi alte modalităţi de definire a mulţimii R. Scopul propus este de a informa cititorul asupra unui principiu, principiul lui Cousin, care poate înlocui cu succes pe cel menţionat mai sus. Mai precis, în rândurile ce urmează ne propunem să stabilim echivalenţa dintre principiul lui Cousin şi cel al existenţei marginii superioare şi să demonstrăm un număr de rezultate clasice ale analizei direct pe baza acestuia. Menţionăm că principiul lui Cousin joacă un rol important în cadrul teoriei integralei Henstock - Kurzweil (sau integralei Riemann generalizate). Fie {x 0,x,...,x n } [a, b] omulţime de puncte astfel încât a = x 0 <x < < <x n = b; familia de intervale juxtapuse d := [x i,x i ] i =,n ª se numeşte diviziune a intervalului [a, b]. Fie x 0 i,x00 i [a, b], i =,n,astfelîncâtx 0 <x 00 x 0 <x 00 x 0 n <x 00 n; familia de intervale d := [x i,x i ] i =,n ª se numeşte diviziune parţială a intervalului [a, b]. Fied := [x 0 i,x00 i ] i =,nª o diviziune parţială a intervalului [a, b] şi punctele z i [x 0 i,x00 i ], i =,n; familia de perechi ordonate ([x 0 i,x00 i ],z i) i =,n ª se numeşte diviziune parţială indexată a intervalului [a, b] şi se notează ([x 0 i,x00 i ],z i) i =,n. Definiţie. Fie δ :[a, b] (0, ) ofuncţie dată. O diviziune parţială indexată ([x 0 i,x 00 i ],z i) i =,n se numeşte δ-fină dacă [x 0 i,x00 i ] (z i δ (z i ),z i + δ (z i )), i =,n. Echivalenţa celor două principii este dată deurmătoarea Teoremă. Fie K un corp comutativ total ordonat. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: (principiul existenţei marginii superioare) pentru orice mulţime A K nevidă şi majorată există sup A; (principiul lui Cousin) pentru orice a, b K, a<b,şi pentru orice funcţie δ :[a, b] (0, ) există o diviziune indexată δ-fină a intervalului [a, b]. Demonstraţie..FieCfamilia diviziunilor parţiale ale intervalului [a, b], formate din intervale juxtapuse, iniţializate în punctul a, adică C = ([x i,x i ],z i ) i =,n x 0 = a;[x i,x i ] (z i δ (z i ),z i + δ (z i )),i=,n ª. Pentru orice x (a, a + δ (a)) [a, b] avem ([a, x ],a) C, decic 6=. Fiemulţimea C = x n ([x i,x i ],z i ) i =,n C ª. Evident, C 6= şi C (a, b]. Fie c =supc. Arătăm că c = b. Presupunem prin reducere la absurd că c<b. Rezultăcăexistă ([x i,x i ],z i ) i =,n C, astfel încât x n (c δ (c),c]. Fie x n+ (c, c + δ (c)) (c, b] şi fie z n+ = c. Rezultă că ([xi,x i ],z i ) i =,n+ C şi x n+ >c, absurd. Deci c = b. Profesor, Liceul Teoretic "N. Titulescu", Braşov 9

Fie ([x i,x i ],z i ) i =,n C, cux n (b δ (b),b]. Dacă x n = b, atunci ([xi,x i ],z i ) i =,n este o diviziune indexată δ-fină aintervalului[a, b]. Dacă x n <b, atunci fie x n+ = b şi z n+ = b. Rezultăcă ([x i,x i ],z i ) i =,n+ este o diviziune indexată δ-fină a intervalului [a, b].. Fie a A. Conform ipotezei există b K, astfelîncâtx<b, x A. Fie mulţimea B = {z K z b; x z, x A}. Evident, b B şi B [a, b]. Presupunem prin reducere la absurd că nuexistă sup A. Rezultăcănuexistă min B. Fie z B. Urmeazăcăexistă z 0 B, cuz 0 <z. Fie δ (z) =z z 0. Avem z 0 = z δ (z) <z<z+ δ (z). Fiez [a, b] \ B (6= ). Urmează căexistă z 00 A, cu z<z 00.Fieδ(z) =z 00 z. Avemz δ (z) <z<z+ δ (z) =z 00. Conform ipotezei, există o diviziune indexată δ-fină ([x i,x i ],z i ) i =,n a intervalului [a, b]. Ţinând seama de modul cum a fost definită funcţia δ, z [a, b]\b şi z n B (deci n ). Fie j =min{i {,...,n} z i B}. Rezultă că z j B şi z j [a, b] \ B. Urmeazăcă x j B şi x j [a, b] \ B, absurd. Rezultă că presupunerea că nuexistă sup A este falsă. Odată demonstratăechivalenţa acestor principii, putem afirma că orice teoremă de analiză poate fi dovedită direct cu principiul lui Cousin. În continuare, vom exemplifica această afirmaţie pe câteva teoreme clasice ale analizei; cititorul poate spori lista acestora. Teorema (Cantor). Fie un şir de intervale ([a n,b n ]) n N, [a n,b n ] R, T n N. Dacă [a n+,b n+ ] [a n,b n ], n N,atunci [a n,b n ] 6=. În plus, n= dacă lim (b T n a n )=0,atunciexistă x 0 R, astfelîncât [a n,b n ]={x 0 }. n n= Demonstraţie. Dacă a = b,atunci[a n,b n ]={a }, n N. Rezultăcă T [a n,b n ]={a } 6=. n= Considerăm cazul în care a < b. Presupunem prin reducere la absurd că T [a n,b n ]=. Pentru orice z [a,b ] există şi alegem n (z) N astfel încât n= z/ a n(z),b n(z).fieδ:[a,b ] (0, ) funcţia definită prin ½ an(z) z, dacă z<a δ (z) = n(z). z b n(z),dacă z>b n(z) Conform principiului lui Cousin, există o diviziune indexată δ-fină (([x i,x i ],z i ) i =,k) aintervalului[a,b ]. Fie N =max n(z i ) i =,k ª. Rezultăcă [a N,b N ] [x i,x i ]=, i =,k.urmeazăcă [a N,b N ] [a,b ]=, deci [a N,b N ]=, absurd. T Rezultă că presupunerea că [a n,b n ]= este falsă. n= Teorema (Weierstrass). Dacă f :[a, b] R este o funcţie continuă pe[a, b], atunci funcţia f este mărginită şi îşi atinge marginile. Demonstraţie. Deoarece funcţia f este continuă pe[a, b], pentru orice z [a, b] există δ (z) (0, ), astfelîncât x (z δ (z),z+ δ (z)) [a, b] f (x) f (z) <. 93

Urmează că x (z δ (z),z+ δ (z)) [a, b] f (x) < + f (z). Conform principiului lui Cousin, există o diviziune indexată δ-fină (([x i,x i ],z i ) i =,n) a intervalului [a, b]. Rezultă că f (x) < +max f (z i ) i =,n ª, x [a, b], deci funcţia f este mărginită. Fie M =sup{f (z) z [a, b]}. Presupunem prin reducere la absurd că f (z) 6= M, z [a, b]. Urmeazăcă f (z) <M, z [a, b]. Deoarece funcţia f este continuă pe [a, b], pentruoricez [a, b] există δ (z) (0, ) astfel încât x (z δ (z),z+ δ (z)) [a, b] f (x) f (z) < (M f (z)). Urmează că x (z δ (z),z+ δ (z)) [a, b] f (x) < (M f (z)) + f (z) = (M + f (z)). Conform principiului lui Cousin, există o diviziune indexată δ-fină (([x i,x i ],z i ) i =,n) a intervalului [a, b]. Rezultă că f (x) < M +max f (zi ) i =,n ª <M, x [a, b], absurd. Deci există z 0 [a, b] astfel încât f (z 0 )=M =sup{f (z) z [a, b]}. În mod analog se arată căexistă z 00 [a, b] astfel încât f (z 00 )=inf{f (z) z [a, b]}. Teorema 3. Dacă f :[a, b] R este o funcţie continuă pe[a, b] astfel încât f (x) 6= 0, x [a, b], atuncif (x) > 0, x [a, b], sauf (x) < 0, x [a, b]. Demonstraţie. Deoarece funcţia f este continuă pe[a, b], pentru orice z [a, b] există δ (z) (0, ), astfelîncât x (z δ (z),z+ δ (z)) [a, b] f (x) f (z) < f (z). Urmează căpentruoricex (z δ (z),z+ δ (z)) [a, b] avem f (z) > 0 f (x) =f (x) f (z)+f (z) > f (z)+f (z) = f (z) > 0 şi f (z) < 0 f (x) =f (x) f (z)+f (z) < f (z)+f (z) = f (z) < 0. Conform principiului lui Cousin, există o diviziune indexată δ-fină (([x i x i ],z i ) i =,n) a intervalului [a, b]. Pe fiecare interval [x i,x i ], i =,n, funcţia f are semn constant. Urmează căavem f (a) > 0 f (x) > 0, x [a, b] şi f (a) < 0 f (x) < 0, x [a, b]. Observaţie. Teorema valorilor intermediare este o consecinţă imediatăateore- mei 3. Definiţie. Omulţime A R se numeşte neglijabilă Lebesgue dacă pentru orice ε (0, ) există unşir de intervale (a j,b j ) S,astfelîncâtA (a j N j,b j ) şi P (b j a j ) <ε. j= 94 j=

Teorema 4 (Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann). Dacă f : [a, b] R este o funcţie mărginită şi există o mulţime neglijabilă Lebesgue A [a, b], astfel încât funcţia f este continuă pe[a, b] \ A, atuncifuncţia f este integrabilă Riemann. Demonstraţie. Fie ε (0, ). Fie z [a, b] \ A. Deoarece funcţia f este continuă înpunctulz, există δ (z) (0, ), astfelîncât ε x (z δ (z),z+ δ (z)) [a, b] f (x) f (z) < 4(b a). Urmează că x 0,x 00 (z δ (z),z+ δ (z)) [a, b] f (x 00 ) f (x 0 ) < ε (b a). Conform ipotezei, există M (0, ), astfelîncât f (x) M, x [a, b]. Deoarece mulţimea A este neglijabilă Lebesgue, există unşir de intervale (a j,b j ) astfel încât A P j N S (a j,b j ) şi (b j a j ) < ε. Pentru orice z A alegem j (z) N j= j= 4M astfel încât z a j(z),b j(z).alegemδ(z) (0, ) astfel încât (z δ (z),z+ δ (z)) aj(z),b j(z). Corespunzător funcţiei δ :[a, b] (0, ), conform principiului lui Cousin, există o diviziune indexată δ-fină ([x i,x i ],z i ) i =,n a intervalului [a, b]. Pentru orice zi 0,z00 i [x i,x i ], i =,n,avem nx nx f (zi 00 )(x i x i ) f (zi)(x 0 i x i )= deci = nx i= z i A i= (f (z 00 i ) f (z 0 i)) (x i x i )+ nx i= < M ε 4M + f (z 00 i )(x i x i ) i= nx i= z i / A (f (z 00 i ) f (z 0 i)) (x i x i ) < ε (b a) =ε, (b a) nx f (zi)(x 0 i x i ) <ε. i= Rezultă că S d (f) s d (f) <ε, unde s d (f) şi S d (f) sunt sumele integrale Darboux asociate funcţiei f şi diviziunii d = [x i,x i ] i =,n. Conform criteriului lui Darboux ([4], Teorema 9..8) rezultă că funcţia f este integrabilă Riemann. Bibliografie. P. Cousin - Sur les fonctions de n variables complexes, Acta Math., 9 (985), -6.. M. Megan - Analiză matematică. Analiză pe dreapta reală, vol. II, Editura Mirton, Timişoara, 999. 3. C. P. Niculescu - Analiză matematică pe dreaptă reală. O abordare contemporană, Editura Universitaria, Craiova, 00. 4. Gh. Sireţchi - Calcul diferenţial şi integral, vol. I, EdituraŞtiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 985. 95

Oproblemădeolimpiadăşi... câteva norme polinomiale Gabriel DOSPINESCU O interesantă problemădatălafazafinală a olimpiadei japoneze în anul 994 cerea Să se demonstreze că existăoconstantăabsolută c>0 cu proprietatea că pentru orice numere reale a, a,...,a n şi orice număr n are loc ny ny max x a i c n max x a i. x [0,] i= x [0,] i= Se poate arăta fără foarte mare dificultate, cu ajutorul interpolării, că c =este o valoare admisibilă. Alexandru Lupaş ademonstratcă 5+ 6 este de asemenea o valoare admisibilă. Astfel că problema determinării celei mai mici constante admisibile se impune. Înceleceurmeazăvomdemonstracă 3+ este cea mai bună constantăşi vom generaliza problema pentru un polinom arbitrar cu coeficienţi complecşi. În afară de rezultatul lui Alexandru Lupaş numaicunoaştem nimic în legătură cu această problemă, aşa că ne cerem scuze dacă doar repetăm demonstraţia altcuiva. Fie P n mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi, de grad n. Să definim pentru a b norma polinomului f S P n (din motive lesne de înţeles, nu ne vor n interesa polinoamele constante) ca fiind kfk [a,b] = max x [a,b] f (x). Fie T n polinomul Cebâşev de ordin n. Să demonstrăm următoarea Propoziţie. Pentru orice polinom f P n are loc inegalitatea kfk [0,] h³ 3+ n ³ + 3 ni kfk [0,]. () Estimarea este optimală, pentru polinomul T n (x ) obţinându-se egalitate. Partea simplă a trecut, este timpul să facem nişte mici calcule. Instrumentul de lucru pe care îl vom folosi este interpolarea. Înainte de a trece la demonstraţia propriu-zisă, să dovedimmaiîntâi Lema. Dacă t k =cos kπ n pentru k = 0,n, atunci polinomul P Q n (x) = n (x t k ) k=0 are expresia x h³ P n (x) = n x + p n ³ x x p ni x. () Demonstraţia nu este deloc dificilă. Este suficient să demonstrăm că x h³ f (x) = n x + p n ³ x x p ni x Student, École Normale Supérieure, Paris 96

este un polinom monic de grad n+ ce se anuleazăînt k =cos kπ n.faptulcăesteunpolinom monic de grad n+ rezultă din scrierea f(x) = µ n n x n x +... (ce arată de fapt doar că f este polinom) şi din faptul că lim x f (x) x n+ =(ceea ce este evident). Că acest polinom se anulează înt k =cos kπ rezultă dinformulalui n Moivre. Din Lema vom deduce câteva rezultate care se vor dovedi esenţiale în demersul nostru. Lema. Au loc identităţile: Q j6=k (t k t j )= ( )k n n pentru k 6= 0,n, nq (t 0 t j )= n n, n Q j= j=0 (t n t j )= ( )n n n. Demonstraţie. Să derivăm relaţia (). Dupăcalcule,celelăsăm în seama cititorului, obţinem Pn 0 (x) = n h³x n + p n ³ x + x p ni x + x h³ + n x + p n ³ x x p ni x. (4) x Din (4) şi formula lui Moivre obţinem imediat că Y (t k t j )=Pn 0 (t k )= ( )k n n. j6=k Tot din (4), dar de această datăcalculând lim P n 0 (x) cu ajutorul regulii lui x ± l Hospital, obţinem şi celelalte două relaţii din enunţ. Demonstraţia Propoziţiei. Înaintedetoateobservăm că putem presupune fără a restrânge generalitatea ca kfk [0,] =.Dacăarătăm că pentru orice x [, ] n n 3+ + 3 are loc f (x),varezultacăpentru orice x [0, ] n n 3+ + 3 avem f (x) şi de aici obţinem relaţia (). Săfixăm, deci, x [, ] şi să considerăm numerele x k = µ +cos kπ,pentruk = 0,n. n Folosind formula de interpolare Lagrange putem scrie nx f (x) = f(x k ) Y x x j, x k x j k=0 j6=k de unde nx Y f (x) x x j nx x k x j = Y x x n j x k x j X Y x n j x k x j = X Y 3 t j t k t j k=0 j6=k k=0 j6=k 97 k=0 j6=k k=0 j6=k (3)

(să nuuităm că f (x j ), x j [0, ], x [, ]). Să observăm că,dinlema,ultimasumăsepoaterescrie n n X Y (3 t j )+ n n Y ny (3 t j )+ (3 t j ). (5) n n k= j6=k Folosind Lema şi (4) avem n h³ n 3+ n ³ + 3 ni 3 h³ + n+ 3+ n ³ 3 ni = n X Y n Y ny = Pn 0 (3) = (3 t j )+ (3 t j )+ (3 t j ). Rămâne să constatăm că n Q (3 t j ).Însă, întorcândune în (), observăm că n Y j= k= j6=k j=0 (3 t j )+ n Q (x t j )= n x j= j=0 j=0 (3 t j )=6 n Q j= j= j= h³ x + p n ³ x x p ni x, de unde n Y h³ (3 t j )= n+ 3+ n ³ 3 ni. (6) j= Un mic calcul bazat pe relaţiile (5) şi (6) arată cădefapt nx Y n n 3 t j 3+ + 3 t k t j =. k=0 j6=k Desigur, ca să terminăm demonstraţia propoziţiei rămâne să arătăm că pentru polinomul T n (x ) chiar avem egalitate. Aceasta este o consecinţă imediatăa faptului că x + x n + x x n T n (x) =. Într-adevăr, ultima reprezentare arată tocmaifaptulcăpentrux [, 3] are loc n n 3+ + 3 T n (x), de unde n n 3+ + 3 kt n (x )k [0,] = = n n 3+ + 3 = kt n (x )k [0,]. Iniţial, ne gândeam să punem punct notei aici, dar ulterior am descoperit că lemele demonstrate mai au câteva aplicaţii deloc de neglijat. Într-adevăr, să vedem pentru 98

început cum decurge teorema de deviaţie minimalăaluicebâşev, din rezultatele de până acum. Teoremă (Cebâşev). Pentru orice polinom monic f P n are loc kfk [,] n, estimarea fiind optimală, în sensul că pentru polinomul T n are loc egalitate. n Demonstraţie. Să presupunem căexistă f P n astfel încât afirmaţia kfk [,] n este falsă. Folosind interpolarea Lagrange cu nodurile t k =cos kπ n, k = 0,n, obţinem nx f (x) = f (t k ) Y x t j. (7) t k t j k=0 j6=k Împărţind cu x şi făcând x în (7) (folosind desigur ipoteza că polinomul f este monic) rezultă identitatea nx = f (t k ) Y k=0 j6=k din care, prin utilizarea inegalităţii modulului, rezultă estimarea < nx Y n k=0 j6=k t k t j, (8) t k t j. (9) Nu avem decât să observăm acum că din Lema rezultă identitatea nx Y n t k t j =, k=0 j6=k T n este n care contrazice relaţia (9). Cititorul poate verifica imediat că polinomul monic, de grad n şi că are norma n. Observaţie. Menţionăm că se poate determina cea mai mică valoare a normei unui polinom monic de grad n pe orice interval, aplicând Teorema lui Cebâşev transformatei polinomului prin intermediul unui homeomorfism liniar ce aplică intervalul respectiv în [, ]. Desigur, este binecunoscută următoarea problemă, ce apare în fiecare an măcar la una din olimpiadele locale sau interjudeţene: Dacă ax + bx + c pentru x [, ], atunci cx + bx + a pentru x [, ]. Dacă această problemăestecâtsepoatedesimplă, despre cazul general: µ Determinaţi o margine optimală pentru norma polinomului x n f pe [, ], x dacă f P n este un polinom de norma pe [, ], nu putem spune decât contrariul. Acum doi - trei ani figura în Crux Mathematicorum ca problema deschisălansatădewalther Janous. Dinpăcate, nemaiavând acces la numerele noi ale revistei, nu ştim dacă afostrezolvatăsaunu. Certestecăaceastă 99

problemă decurge destul de repede din următoarea afirmaţie mult mai generală (a cărei originalitate o lăsăm în seama cititorului avizat): Propoziţia. Pentru orice polinom f P n are loc f (x) T n (x) kfk [,] pentru orice x (, ) (, ). Demonstraţie. Să fixăm u [, ] nenul şi să scriemiarăşi formula de interpolare Lagrange cu nodurile t k =cos kπ,adicărelaţia (7). Cum (7) este valabilă n pentru orice valoare reală a variabilei, obţinem cu ajutorul inegalităţii modulului că µ f u nx u n kfk Y ut j [,] t k t j. (0) k=0 j6=k Dacă scriem acum formula de interpolare pentru polinomul T n obţinem, ţinând cont că T n (t k )=( ) k şi de rezultatele din Lema, că µ Tn u = nx u n ( ) Y k ut j t k t j k=0 j6=k = nx Y ut j u n t k t j. () k=0 j6=k µ µ Din (0) şi () rezultă desigurcă f kfk u [,] Tn u pentru orice u [, ] nenul, ceea ce nu este decât o reformulare a inegalităţii de demonstrat. Şi acum, două consecinţe interesante ale Propoziţiei. Consecinţa. Teorema lui Cebâşev. Într-adevăr, nu avem decât să scriem inegalitatea din Propoziţie sub forma f (x) x n kfk T n (x) [,] x n şi să facem x. Ţinând cont că T n are coeficientul dominant n,rezultăcă, dacă f P n este monic, atunci kfk [,],adică n tocmai teorema de care am vorbit adineauri. Consecinţa. Problema lui Walther Janous. Într-adevăr, dacă presupunem că f µ P n are norma µ pe intervalul [, ], atunci pentru orice x [, ] vom avea xn f x xn T n x n,căci pentru µ x [, ] avem xn T n x = h + n i n x + x n (inegalitatea ( + a) n +( a) n n fiind uşor µ de demonstrat pentru 0 a ). Rezultă, deci, că norma polinomului x n f este majorată de n, iar această x constantă esteoptimală, căci pentru polinomul Cebâşev de ordinul n marginea este atinsă. Şi aici se termină vizita în lumea problemelor de olimpiadă şi nu numai... 00

Asupra similitudinii a două triunghiuri echilaterale Cătălin ŢIGĂERU Un rezultat cunoscut (vezi [] sau[6] pentru demonstraţia sintetică) afirmă că două triunghiuri direct asemenea se transformă unul în celălalt sau prin intermediul unei translaţii sau printr-o similitudine. În cazul a două triunghiuri echilaterale, deoarece acestea pot fi în trei moduri direct asemenea, vom avea, în general, trei centre de similitudine distincte. În această Notă ne propunem sădemonstrăm că aceste trei centre coincid dacă şi numai dacă centrele celor două triunghiuri coincid. Reamintim că similitudinea este transformarea plană obţinută prin compunerea unei omotetii cu o rotaţie, ambele având acelaşi centru. Vom folosi notaţia S M0 (k, ϕ) pentru similitudinea de centru M 0, de raport k>0 şi unghi ϕ [0, π). În formalismul complex, pe care îl vom folosi în demonstraţii, dacă afixulpunc- tului M 0 este z 0 şi al punctului oarecare M este z, atunci expresia algebrică a similitudinii este S M0 (k, ϕ)(z) =z 0 + ke iϕ (z z 0 ). Propoziţia. Fie A A A 3 şi B B B 3 două triunghiuri la fel orientate, asemenea în această ordine; atunci sau unul se obţine din celălalt printr-o translaţie sau există unpunctω şi o similitudine de centru Ω care transformă triunghiul A A A 3 în triunghiul B B B 3. Demonstraţie. Notăm afixele vârfurilor triunghiurilor date cu a, a, a 3,respectiv b, b, b 3 ; fiind la fel orientate, se verifică relaţia a a = b b,dincare a 3 a b 3 b deducem a 3 (b b )=a (b b )+(b 3 b )(a a ). ( ) Să presupunem că triunghiurile nu se obţin unul din altul printr-o translaţie, ceea ce implică, de exemplu, că relaţia (a a ) (b b ) 6= 0este adevărată. Determinăm similitudinea care transformă punctul A în B şi A în B calculând numerele complexe ω şi ke iϕ astfel ca b = ω + ke iϕ (a ω), b = ω + ke iϕ (a ω). Scăzând cele două relaţii şi înlocuind rezultatul obţinut într-una din relaţiile de mai sus, ajungem la: ke iϕ = b b b a b a, ω = a a (a a ) (b b ). () Demonstrăm că similitudinea definită de () aplică punctula 3 în B 3, ceea ce, în limbajul afixelor, înseamnă S ω (k, ϕ)(a 3 )=b 3. În adevăr, se obţine: S ω (k, ϕ)(a 3 )=ω + ke iϕ (a 3 ω) = b a b a = (a a ) (b b ) + b b a3(a a ) a 3 (b b ) b a + b a ; a a (a a ) (b b ) folosind relaţia (*) rezultăcăa 3 (a a ) a 3 (b b ) b a +b a =(a a )(a 3 b 3 ), Universitatea "Ştefan cel Mare", Suceava 0

ceea ce, după înlocuire, conduce la S ω (k, ϕ)(a 3 )= b a b a +(b b )(a 3 b 3 ) = (a a ) (b b ) = b a b a + a 3 (b b ) b 3 (b b ), (a a ) (b b ) de unde, folosind din nou (*), obţinem: S ω (k, ϕ)(a 3 )= b a b a + a (b b )+(b 3 b )(a a ) b 3 (b b ) = (a a ) (b b ) = ((a a ) (b b ))b 3 = b 3, (a a ) (b b ) adică ceea ce trebuia demonstrat. Geometric, demonstraţia de mai sus înseamnă următoarele: introducem notaţiile C (ij),(kl) = A i A j B k B l, unde (ij), (kl) {(), (3), (3)}; cititorul va observa uşor că patrulaterele A C (),() B C (3),(3), A C (3),(3) B C (),(), A 3 C (3),(3) B 3 C (3),(3) sunt inscriptibile, nu neapărat în această ordine, şi că cercurile circumscrise lor sunt concurente în centrul de similitudine Ω. Să presupunem că triunghiurile A A A 3 şi B B B 3 sunt echilaterale; atunci, ca triunghiuri µ la fel orientate, µ ele sunt µ asemenea în trei moduri distincte, anume A A în ordinile: A 3 A A, A 3 A A, A 3. Figuraobţinută conţine nouă B B B 3 B 3 B B B B 3 B patrulatere inscriptibile, cărora le corespund nouă cercuri circumscrise, trei câte trei concurente în centrele de similitudine corespunzătoare. Vom nota centrele de similitudine respectiv cu Ω, Ω, Ω 3 (vezi Figura ) şi afixele lor cu ω, ω, ω 3 ; atunci, conform (), expresiile analitice ale afixelor sunt: b a b a ω = (a a ) (b b ), ω b 3 a b a = (a a ) (b b 3 ), ω b a b 3 a 3 = (a a ) (b 3 b ). () Rezultatul central al notei este Propoziţia. Centrele de similitudine Ω, Ω, Ω 3 coincid dacă şi numai dacă triunghiurile echilaterale A A A 3 şi B B B 3 au acelaşi centru. Demonstraţie. Afirmaţia reciprocă fiind imediată, ne ocupăm de demonstraţia directei. Avem succesiv: ω a ω a = b a b a (a a ) (b b ) a = (a a )(b a ) b a b a (a a ) (b b ) a (a a )(b a ) = b a ; b a de asemenea ω b = (b b )(b a ) ω b (b b )(b a ) = b a, b a ceea ce conduce la egalitatea ω a = ω b = b a. (3) ω a ω b b a 0

C (3),(3) A 3 C (3),(3) B 3 C (3),(3) Ω 3 Ω A C (3),() B Ω C (),() B C (),(3) C (3),() C (3),(3) C (),(3) A Figura În mod analog se demontrează următorul şir de egalităţi: ω a = ω b = b a ; ω a 3 ω b 3 b 3 a 3 (4) ω a = ω b 3 = b 3 a ; ω a ω b b a (6) 03 ω a 3 = ω b 3 = b 3 a 3 ; ω a ω b b a (5) ω a = ω b = b a ; ω a 3 ω b b a 3 (7)

ω a 3 = ω b = b a 3 ω 3 a ; (8) = ω 3 b = b a ; (9) ω a ω b 3 b 3 a ω 3 a ω 3 b 3 b 3 a ω 3 a = ω 3 b 3 = b 3 a ω 3 a 3 ; (0) = ω 3 b = b a 3. () ω 3 a 3 ω 3 b b a 3 ω 3 a ω 3 b b a Dacă presupunem că Ω = Ω = Ω 3 = Ω; atunci, dacă ω este afixul lui Ω, se obţine ω a (6) = ω b 3 (0) = ω a (4) = ω b (8) = ω a 3, ω a ω b ω a 3 ω b 3 ω a deci, ω a = ω a = ω a 3 ceea ce, trecând la argumente şi ţinând cont că ω a ω a 3 ω a suma lor este 360, conduce la concluzia µ µ µ ω a ω a ω a3 arg =arg =arg = 0, ω a ω a 3 ω a de unde deducem că Ω este centrul triunghiului A A A 3 ; la fel demonstrăm că Ω este şi centrul triunghiului B B B 3 şi cu aceasta demonstraţia este încheiată. Remarcăm în finalfaptulcădouă triunghiuri echilaterale pot fi şi invers asemenea în trei ordini distincte, dar transformarea care le aplică unul pe celălalt este o compunere dintre o omotetie şi o simetrie, ambele având acelaşi centru. Asupra acestui subiect vom reveni. Bibliografie. D. Andrica, N. Bişboacă - Numere complexe, Ed. Millenium, Alba Iulia, 00.. C. Ionescu - Bujor - Elemente de transformări geometrice, Bibl. Soc. St. Mat. R.S.R., Ed. Tehnică, Bucureşti, 958. 3. C. Cocea - 00 de probleme din geometria triunghiului echilateral, Ed."Gh. Asachi", Iaşi, 99. 4. C. Cocea - Noiproblemedegeometrie, Ed."Spiru Haret", Iaşi, 997. 5. N. Mihăileanu - Utilizarea numerelor complexe în geometrie, Bibl. Soc. St. Mat. R.S.R., Ed.Tehnică, Bucureşti, 968. 6. D. Smaranda, N. Soare - Transformări geometrice, Bibl. profesorului de matematică, Ed. Acad. R.S.R., 988. ERATĂ În legătură cuarticolul"două funcţii cu aceeaşi derivată pe un interval nu diferă neapărat printr-o constantă", apărut în nr. /005 al revistei noastre, pp. 3-33, redacţia face următoarele precizări:. Articolul se referă la funcţii cu derivate egale în orice punct al unui interval.. Enunţul de teoremă citat în primele rânduri nu este cel prezent în "Manualul de matematică, cl. a XI-a", ed. 00, al prof. M. Ganga, aşa cum se menţionase în articol. Redacţia regretă această eroareşi cere scuze profesorului Mircea Ganga. 04

Asupra unor inegalităţi în tetraedru Marius OLTEANU În Gazeta Matematică revistă de cultură matematică pentru tineret nr. 0/004 a fost publicat articolul []. Scopul prezentei Note este acela de a extinde şi generaliza unele dintre rezultatele prezentate în acest articol, precum şi a unor inegalităţi din []. Fie [ABCD] un tetraedru oarecare. Vom folosi următoarele notaţii: V volumul tetraedrului, R raza sferei circumscrise, r razasfereiînscrise,r A razasferei exînscrise de speţa întâi, care este tangentă lafaţa BDC (analog r B, r C, r D ), h A înălţimea tetraedrului coborâtă dinvârfula (analog h B, h C, h D ), S A ariafeţei BCD (analog S B, S C, S D ), S aria totală a tetraedrului, H ortocentrul tetraedrului ortocentric [ABCD], m A mediana tetraedrului dusă dina la faţa BCD (analog m B, m C, m D ). Propoziţia. În orice tetraedru [ABCD] au loc următoarele inegalităţi: ra m h n A m A r A m A a) + rm B h n + rm C B h n + rm D C h n +m n r m n, m, n {0} [, ); D b) + m B + m C + m D 8; r B r C r D c) + m B + m C + m D 3 S A r A S B r B S C r C S D r D S ; d) SA nrm A + Sn B rm B + Sn C rm C + Sn D rm D +m n r m n (3V ) n, m, n {0} [, ); m A e) + m B + m C + m D 64 r S A S B S C S D S ; f) m A r A + m B r B + m C r C + m D r D 3r; g) m A ra + m B rb + m C rc + m D rd 6. Demonstraţie. Presupunem că S A S B S C S D. Deoarece 3V = r A (S S A ) (şi analoagele) şi 3V = h A S A (şi analoagele) rezultă imediatcă r A r B r C r D şi h A h B h C h D, () deci ra m rb m rc m rd m şi h n A h n B h n C h n. () D a) În baza inegalităţilor (), se poate aplica inegalitatea Cebâşev şi obţine X r m A h n ³X ³X r m A 4 A h n. (3) A Se cunoaşte, de asemenea, inegalitatea x p µ p +xp +xp 3 +xp 4 x +x +x 3 +x 4, x i >0, i=, 4, p {0} [, ) (4) 4 4 Inginer, S. C. Hidroconstrucţia S. A. Bucureşti, Sucursala "Olt-Superior", Râmnicu Vâlcea 05

(inegalitatea lui Jensen pentru funcţia convexă f :(0, ) (0, ), f (x) =x p, p {0} [, ) ). Dacă în(4) luăm p = m, x = r A, x = r B, x 3 = r C, x 4 = r D şi apoi p = n, x =, x =, x 3 =, x 4 =,obţinem: h A h B h C h D ³X r m 4 A µp ra 4 m, X h n A 4 Ã X h A 4 P Dar, = şi h A r P ra X 6 =8r. Ţinând seama de aceste relaţii, rezultă că r A µ X µ X r m A 4! n. (5) P =. În plus, din inegalitatea mediilor avem r A r h n A µ m µ n 8r 4 = +m n r m n. (6) 4 4r Din (3) şi (6) rezultă în final inegalitatea dorită. X ma b) X h A ³X ha µx r A r A 4 r A 4 6 X P =8. r A h A c) Avem P m A S A r A P h A S A r A.Dar h A S A h B S B h C S C h D S D şi. Aplicând din nou inegalitatea Cebâşev, obţinem r D X ha µ X µ ha X = µ X ha S A r A 4 S A r A r S A X ha µ X µ X ha S A 4 Însă, din inegalitatea mediilor, avem X ha 6 P h A =6r şi S A r A r B r C, (7). (8) X S A 6 P SA = 6 S. (9) Din relaţiile (8) şi (9) se obţine că X ha 6 6r S A 4 S = 64r S. (0) Din inegalităţile (7) şi (0), obţinem în final P h S A r A r 64 r S = 3 S,q.e.d. d) S A = 3V (şi analoagele) P µ P r SA n m h rm A =(3V A )n A h n +m n r m n (3V ) n, A conform punctului a). e) P m A S A P h A S A 64 r S (conform inegalităţii (0)). 06

f) g) X m A r A X m A r A X h A µ X µ X h A r A 4 ³X ha 6 r 8r X h A ra µ X µ X h A 4 ra ³X µ X ha 6 4 r A 64 r A 6 X h A =3r 6 P 4 r h =6. A ) Inegalitatea a) generalizează inegalitatea 5) din [] precumşi Observaţii. problema 83-a) din []. ) Inegalitatea b) extinde la un tetraedru oarecare (nu neapărat ortocentric) relaţia 7) din [] şi problema 9-d) din []. 3) La punctele a) - g) egalităţile au loc numai dacă [ABCD] este tetraedru echifacial. 4) Inegalitatea c) extinde la un tetraedru oarecare (nu neapărat ortocentric) inegalitatea 0) din []. 5) Inegalitatea d) generalizează inegalitatea ) din [] şi problema 83-b) din []. 6) Inegalitatea e) extinde la un tetraedru oarecare (nu neapărat ortocentric) problema 9-e) din []. Având în vedere cele expuse mai înainte, propunem cititorului interesat sădemonstreze că, în orice tetraedru [ABCD] au loc şi inegalităţile: m A h A g 0 ) g 00 ) + + + m A r A m B r B m C r C m D r D r. Propoziţia. În orice tetraedru [ABCD] ortocentric în punctul H int (ABCD) au loc inegalităţile: ra m m n A + m B h B + m C h C + m D h D 6r; h) + rm B m n + rm C B m n + rm D C m n +m n 3 n rm, m, n {0} [, ), D Rn S m µ n A i) m n + Sm B A m n + Sm C B m n + Sm D 3 C m n S m 4 n m, m, n {0} [, ), D R ra m j) h m A m + rm B A h m B m + rm C B h m C m + rm D C h m D m 3 D m R. Demonstraţie. Presupunem că S A S B S C S D. Atunci m A m B m C m D, + + + 3 m A m B m C m D R. () Demonstraţiile afirmaţiilor () pot fi găsite în [] pag. 4 şi 3 sau în [3]. h) Deoarece ra m rm B rm C rm D şi m n A m n B m n C m n, se poate aplica D inegalitatea lui Cebâşev obţinând 07

µp ra 4 m 4 X r m A m n A µ X m A 4 4 n µ X µ X r m A µ m 8r 4 4 (s-a aplicat şi inegalitatea lui Jensen). i) X SA m m n ³X µx S m A 4 A m n A 4 µ n 4 Sm 3 m n 3n 4 m =4 4R R n Sm. r B h B j) r A h A = r C h C S A S S A r D ; deci h D r A h A S B S S B r B h B µp SA m n A µ 3 4R = r B h B,deunde r A r C h C r D h D şi n = +m n 3 n rm m 4 Ã X m A 4 h A ra m h m A! n R n r B h B. Analog se aratăcă rm B h m B rm C h m C rm D h m. Cum D avem şi, aplicând inegalitatea lui Cebâşev se obţine m A m B m C m D X r m A h m A m µ X µ r m X A A 4 h m A m A 4 m 3 R = 3 m R (s-a utilizat şi inegalitatea a) pentru cazul m = n). Observaţii. ) Inegalităţile h) şi i) generalizează problemele 9-a) şi 9-b) din []. ) Inegalităţile b), e), f), g) şi g 0 ) constituie fondul problemei PP.574 din [4]. 3) Inegalitatea j) generalizează inegalitatea 8) din []. 4) Pentru punctele h), i), j) egalităţile au loc numai dacă [ABCD] este regulat. În final menţionăm faptul că inegalităţile 5), 7), ) din [] şi modul de obţinere a inegalităţilor de tipul celor prezentate în [], pot fi găsite şi în [5], [6]. Bibliografie. R. Bairac, I. Popov - Unele proprietăţi pentru sferele exînscrise ale tetraedrului, G.M. 0/004, 369-373.. M. Olteanu - Inegalităţi în tetraedru, EdituraUniversitară Conspress, Bucureşti, 003. 3. M. Olteanu - Obţinerea unor inegalităţi într-un tetraedru cu ajutorul inegalităţilor de tip Cebâşev şi Jensen (I), revista Panmatematica, Rm. Vâlcea, 994, nr.. 4. M. Olteanu - PP.574, Octogon Mathematical Magazine, Braşov (Romania), vol. (004), nr., p. 40. 5. M. Olteanu - Obţinerea unor inegalităţi remarcabile într-un tetraedru cu ajutorul inegalităţilor de tip Cebâşev şi Jensen, (depusă la Gazeta Matematică, 993). 6. M. Olteanu - Obţinerea unor inegalităţi într-un tetraedru cu ajutorul inegalităţilor de tip Cebâşev şi Jensen (II), (depusă la Panmatematica, Rm. Vâlcea). 08