Numere prime O selecţie de probleme petru gimaziu Adria Zaoschi Colegiul Natioal "Costache Negruzzi" Iasi (Clasa a V-a) Determiați submulțimea B a mulțimii A 0,,,, 49, 50, formată di toate elemetele lui A care sut umere prime Aflați cardialul mulțimii B (Recuoașterea umerelor prime mai mici decât 50 Memorarea lor pri repetare Folosirea oțiuilor de mulțime, submulțime și cardialul uei mulțimi) card B 5 Soluție Evidet, B,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, 47 și (Clasa a V-a) Stabiliți care ditre următoarele umere aturale este prim: 0, 0, 45, (Îvățarea uui algoritm petru recuoașterea umerelor prime mai mici, de exemplu, ca 0 5 ) Soluție Deorece 0 împărțit la dă câtul 5 și restul, 0 împărțit la dă câtul 4 și restul, 0 împărțit la 5 dă câtul 0 și restul, 0 împărțit la 7 dă câtul 4 și restul 5, 0 împărțit la dă câtul 9 și restul 4, iar la ultima împărțire câtul este mai mic decât împărțitorul, rezultă că umărul 0 este prim Aalog, avem 0 împărțit la dă câtul 0 și restul, 0 împărțit la dă câtul 67 și restul, 0 împărțit la 5 dă câtul 00 și restul, 0 împărțit la 7 dă câtul 9 și restul 0, deci umărul 0 u este prim Se observă ușor că 5 divide 45 și divide, ceea ce îseamă că 45 și u sut umere prime Observații O altă metodă petru a determia umerele prime (u prea mari) este ciurul lui Eratostee Se poate folosi și programul de pe iteret cu adresa https://wwwwolframalphacom/
74 07 8 Cel mai mare umăr prim cuoscut pâă acum este, u umăr cu 8 68 cifre, care a fost găsit î iauarie 06 de către Great Iteret Mersee Prime Search (GIMPS) Se știe că mulțimea umerelor prime este ifită Cea mai veche demostrație cuoscută a acestui rezultat aparție lui Euclid (-8 îe) (Clasa a V-a) Determiați umerele prime, a, b, c, știid că a b 6c 590 (Sigurul divizor mai mare decât al uui umăr prim este umărul îsuși Proprietăți ale relației de divizibilitate ) Soluție Fie a, b, c trei umere prime care verifică relația dată Cum 590 este divizibil cu și suma b 6c este, de asemeea, divizibilă cu, rezultă că și a este divizibil cu, deci a Îlocuid pe a cu î egalitatea di euț, obțiem bc 94, de ude, avâd î vedere că 94 și c se divid cu, rezută că b este divizibil cu, deci b Drept urmare, c 97, care este umăr prim Observație Ipoteza ca c să fie umăr prim u este ecesară O putem lăsa, totuși, petru a atrage ateția elevilor că este de preferat ca ipoteza uei probleme să fie miimală 4 (Clasa a V-a) Determiați toate umerele aturale petru care umerele 4, 4 5 și sut prime 5 (Numere prime și paritate) 4 4 5 5, adică u Soluție Îtrucât suma celor trei umere este umăr par, rezultă că măcar uul ditre termei este (altfel toate cele trei umere prime ar fi impare și ar avea suma impară) Aalizâd toate cazurile posibile, obțiem soluția 5 (Clasa a V-a) Fie u umăr atural mai mare decât Arătați că cel puți uul ditre umerele, este umăr compus Există vreo valoare a lui petru care ambele umere sut compuse? (Numere compuse Divizibilitate) Soluție Deoarece umerele,, sut cosecutive, îseamă că uul ditre ele se divide cu Cum u se divide cu, rezultă că uul ditre umerele, se divide cu Dacă este mai mare decât, atuci umerele, sut mai mari decât, deci uul ditre ele este compus Petru 6, cele două umere sut 6 și 65, deci ambele sut compuse
6 (Clasa a VI-a) Stabiliți care ditre umerele 60, 59 are mai mulți divizori (Descompuerea umerelor î factori primi Numărul divizorilor uui umăr îtreg) a a a Soluție Numărul divizorilor îtregi pozitivi ai uui umăr îtreg p k p p k, ude p sut umere prime disticte, iar a sut umere îtregi pozitive, este Descompuâd umerele cosiderate î factori primi obțiem 5 4 59 a a a 60 5 7 și, deci 60 6 și Numărul 60 are mai mulți divizori decât 59 7 (Clasa a VI-a) Calculați suma divizorilor îtregi ai umărului (Divizorii îtregi ai uui umăr îtreg) 59 5 4 0 06 a 06 0 Soluție Opusul oricărui divizor îtreg al umărului a este și el divizor al umărului a (divizorii îtregi ai lui a sut,, 4, 5, ) Suma cerută este egală cu 0 k 8 (Clasa a VI-a) Determiați umărul aaa, știid că este produs de umere prime cosecutive (Descompuerea uui umăr îtreg î factori primi Criterii de divizibilitate) Soluție Deoarece suma cifrelor umărului este a 6, deducem că se divide cu, deci este uul ditre factorii primi ai lui De aici, avâd î vedere că și este produs de umere prime cosecutive, rezultă că coție factorul 5, deci a 0 sau a 5 Dacă a 0, atuci 000 5 7, ceea ce arată că 000 este o soluție a problemei Dacă a 5, atuci 555 5 0, care u satisface codiția di euț 9 (Clasa a VI-a) Să umim u umăr atural straiu dacă este mai mare decât și, î descompuerea lui î factori primi, fiecare umăr prim are expoetul impar De exemplu,, și 4 formează u grup de trei umere straii cosecutive, deoarece Determiați lugimea celui mai mare grup de umere straii cosecutive 4 (Descompuerea uui umăr î facori primi),, 4 Soluție Observăm că lugimea celui mai mare grup u poate fi mai mare decât 7, deoarece pritre opt umere aturale cosecutive există u umăr care se divide cu 4, dar u se divide cu 8 și care, evidet, u este straiu Îtrucât există cel puți u grup de șapte umere îtregi cosecutive: 5 9 9, 0 5,,,, 4 7, 5 5 7, rezultă că lugimea celui mai mare grup de umere straii cosecutive este 7
4 0 (Clasa a VI-a) Fie u umăr atural petru care divizori aturali are umărul 4 8 (Numărul divizorilor aturali ai uui umăr îtreg) 0 are 0 divizori aturali Aflați câți a a ak Soluție Fie 0 p p p k, ude p sut umere prime disticte, iar îtregi pozitive Numărul divizorilor aturali ai umărului k 0 este egal cu 0 a a a 0 De aici, avâd î vedere că 0 5, obțiem a sut umere k și p, p, p,, 5 presupue, fără a restrâge geeralitatea, că a, a 4 și a 0 Astfel, avem Putem 4 0 p p p 9 p p, deci p p 0 4 4 4 Pri urmare, 8 p p și, deoarece, p și p sut umere prime disticte, rezultă că 4 8 55 5 (Clasa a VII-a) Determiați toate umerele aturale petru care umărul umăr prim (Numere prime Descompuerea polioamelor î factori) 4 este Soluție Deoarece 4 și 0, rezultă că umărul Așadar, 4 este prim dacă și umai dacă și este prim (Clasa a VII-a) Fie p u umăr atural Arătați că, dacă p și și p este umăr prim 8 (Numere prime Pătratul ui biom) Soluție Dacă p, atuci de forma sau k, 8p 7 k 4k 6k 8 9k 6 8p sut simulta prime, atuci, care este umăr prim Orice umăr prim, diferit de, este 8p 8 k cu k umar atural eul Î primul caz,, care este umăr compus, iar î al doilea caz, k 89k k 4 4k k 8p 8 Așadar, p și care este umăr prim, care este umăr compus 8p sut simulta prime dacă și umai dacă p Petru p, 8p 7, 4
5 (Clasa a VII-a) Determiați toate umerele îtregi petru care există umerele prime p și q astfel îcât p p q q A Dragomir, L Dragomir, ONM 0, lista scurta (Numere prime Relația de divizibilitate î Descompuerea polioamelor î factori ) Soluție Fie u umăr cu proprietatea di euț Cum p p și rezultă că divide umărul qq, deci q p p 8 4 4 4 p p (căci q este prim) Astfel, avem: p sut umere pare, 9 p 4 p 4p 4 p p de ude obțiem 4,,, 6, 4 (Clasa a VII-a) Fie u umăr îtreg mai mare decât Demostrați că există umere compuse cosecutive (Numere compuse Factorial) Soluție Numerele a!, a!,,a! cerute îdepliesc codițiile 5 (Clasa a VII-a) Opt persoae au vârstele exprimate pri umere prime cu media 5 Persoaele care au 9 ai sut cele mai multe ditre cele opt, iar media vârstelor celor două persoae situate la miloc, î ordiea vârstelor, este Determiați vârsta maximă a celei mai bătrâe persoae (Numere prime Media aritmetică Logică) Soluție Suma vârstelor celor opt persoae este 0, iar suma vârstelor oameilor di miloc este Numărul se poate scrie doar î trei moduri ca o sumă de umere prime: 7 9 Cazul I Deoarece 9 apare mai des ca, trebuie ca cele mai î vârstă trei persoae să aibă 9 ai și iciua di cele mai tiere trei u poate avea ai Suma vârstelor celor mai tiere trei persoae este, î acest caz, 0 9 4, dar suma umerelor prime mai mici decât este cel mult 7 7 7 Acest caz este imposibil Cazul al II-lea 5 7 Vârstele celor patru oamei mai tieri pot fi,, 5 (ai) Coform pricipiului cutiei, doi ditre aceștia trebuie să aibă aceeași vârstă, deci cele mai î vârstă trei persoae au câte 9 ai fiecare Vom avea aceeași cotradicție ca la cazul I Cazul al III-lea 9 Cele mai î vârstă trei persoae u pot avea 9 ai fiecare, deci sut cel mult trei persoae de 9 ai Vârstele celor mai tiere patru persoae pot fi sau (ai), deci sut două de ai și două 5
6 de ai Astfel, cea mai î vârstă persoaa are 0 9 5, care este umăr prim 6 (Clasa a VIII-a) Determiați umerele prime p și q, știid că ecuația îtregi pozitive și disticte (Numere prime Relațiile lui Viète) x px q 0 are rădăcii Soluție Dacă otăm cu x și x, x < x, rădăciile aturale ale ecuației cosiderate, atuci x x p și xx că p și q q Cum q este umăr prim, rezultă că x și x q, deci p q, de ude deducem 7 (Clasa a VIII-a) Fie x, y, z trei umere prime disticte Arătați că (Numere prime Iegalități) 0 xy yz zx xyz Soluție Deoarece iegalitatea de demostrat este simetrică î x, y, z putem presupue, fără a restrâge gearilitatea, că x y z Astfel, țiâd cot că x, y, z sut umere prime, deducem că x,y, z 5 Avem 0 xy yz zx xyz x y z 0 Ultima iegalitate este adevărată, deoarece x y z 5 0 8 (Clasa a VIII-a) Fie a, b, c trei umere aturale eule, a c, astfel îcât Demostrați că a b c este umăr compus (Numere prime Calcul algebric Iegalități) a a b c c b a a b Soluție Avem ac ab a c b c a c b ac 0 b ac, deci c c b a b c a ac c b a c b a c b Este clar că 0 a c b a c b Dacă a c b, atuci b a c b a b c b a b c a c a b c, imposibil î codițiile problemei Așadar, a c b, ceea ce îseamă că umărul a b c este compus 6
7 9 (Clasa a VIII-a) Rezolvați ecuația (Numere prime Relația de cogrueță) Soluție Dacă q, atuci q p, ude p și q sut umere prime 999 p 8 999, imposibil Deci qk, ude k este umar atural eul Dacă qk, atuci q p 999 4 5 mod 7, ceea ce este fals, iar dacă q k q p 999 4 4 0 mod 7, de ude rezultă că 7 q și atuci qk sau, atuci p, deci q 4 4 4 0 (Clasa a VIII-a) Fie umerele prime astfel îcât 0, ude este u umăr atural Arătați că pritre cele de umere prime cosiderate există trei umere prime cosecutivebara OBMJ 00, V Berghea (Numere prime Relația de cogrueță) Soluție Fie atuci mod S Dacă 4 4 4 S, deci S 0 Dacă 5, atuci mod, atuci mod 5 S, deci S 0 Dacă, S, deci S 0 Pri urmare,,, 5, ceea ce îseamă că pritre cele de umere prime cosiderate există trei umere prime cosecutive (clasa a IX-a sau a X-a) Determiați umerele prime p și q, știid că GM 9/04, B G Niculescu (Numere prime Relația de cogrueță Teorema lui Fermat Iducție) q p p q p q Soluție Fie p și q două umere prime care verifică ecuația dată Evidet p q și q 0mod Coform teoremei lui Fermat, avem p q qmod p p p q q p p p q 0 mod p Pri urmare,, deci, de ude, avâd î vedere că p și q sut umere prime diferite, deducem că q q q Deoarece q 5, Soluția este p,q 5, petru orice q 7, rezultă că q q q Temă Compueți câte o problemă folosid ca model următoarele probleme:,,, 6, 7,, Bibliografie America Mathematics Competitios T Adreescu, D Adrica, Z Feg, 04 Number Theory Problems, Birkhauser, Bosto, Basel, Berli T Cohal, Vă place matematica?, Editura Moldova, Iași 4 A Lyu, Upper Elemetary School Mathematics, Chiu Chag Math Books & Puzzles Co Press 04, Taiwa 7