Structura matematicii (II)

Structura matematicii (II) Oana Constantinescu Contents 1 Notiuni - denitii 1 2 Propozitii adevarate: axiome si teoreme 5 2.1 Elemente de logica.......................... 5 2.2 Teoreme................................ 8 3 Aplicatii - exercitii si probleme 11 1 Notiuni - denitii Pentru a introduce o notiune i se indica totalitatea proprietatilor, deci continutul notiunii, sau totalitatea obiectelor reprezentate de aceea notiune, adica sfera notiunii. Continutul notiunii este format de reectarea in gandire a insusirilor esentiale comune obiectelor, fenomenelor, etc care se constituie in notiunea respectiva. Prin insusiri esentiale intelegem acele insusiri care sunt necesare si suciente determinarii unui obiect si deosebirii lui de altele. Continutul notiunii se realizeaza prin operatia de abstractizare. Constituirea sferei unei notiuni se face mai ales prin generalizare. Rareori sfera unei notiuni se poate epuiza prin enumerarea tuturor elementelor. De exemplu, notiunea de numar natural se formeaza la elevi prin exemple, prin actiuni asupra lor (numaratoare, operatii) dar in mod evident se mizeaza pe generalizarea in zone indepartate (mii, milioane) a ceea ce s-a vericat in zonele familiare (numere mici). Intre sfera si continutul unei notiuni exista o legatura inversa: cu cat continutul este mai bogat, cu atat sfera este mai restransa (exista mai putine obiecte cu un numar mare de insusiri). De exemplu, continutul notiunii de numar prim este mai bogat decat continutul notiunii de numar natural. Deci sfera notiunii de numar prim va continuta de cea a notiunii de numar natural. Ilustrarea acestor situatii se face prin diagrame Venn-Euler si prin utilizarea simbolurilor din teoria multimilor. Astfel de ilustrari sunt utile pentru xarea cunostintelor respective. Comparand notiuni cu continut diferit, putem gasi unele note esentiale comune in care caz notiunile devin comparabile (C(A) C(B) ): de exemplu poligoanele si cercurile sunt guri coplanare. Sau, este posibil sa nu existe astfel 1

de note esentiale comune (C(A) C(B) = S(A) S(B) = ) si in acest caz le declaram necomparabile. De exemplu poligoanele si notiunea de combinari de m luate cate n. Notiunile comparabile pot clasicate astfel: 1. cand sferele celor doua au elemente comune S(A) S(B) spunem ca notiunile sunt concordante: identice (C(A): patrulater convex cu laturile opuse respectiv paralele, C(B) : patrulater convex cu diagonalele avand mijlocul comun, evident C(A) C(B) dar S(A) = S(B) ); una subordonata alteia ( sfera notiunii numar rational este inclusa in sfera notiunii numar real, de aceea spunem ca notiunea numar rational este subordonata celei de numar real); doua notiuni cosubordonate unei a treia notiuni (S(A) S(B) S(C) : notiunile de trapez si paralelogram sunt cosubordonate notiunii de patrulater convex); incrucisate: nici una din situatiile anterioare (notiunea de patrulater circumscriptibil si cea de patrulater inscriptibil ). 2. daca sferele notiunilor sunt disjuncte S(A) S(B) = ele sunt neconcordante: contrare ( C a.i. S(C) (S(A) S(B)) =, sunt notiuni ale caror sfere nu pot armate deodata dar pot negate concomitent; triunghiul si patratul sunt notiuni contrare, caci un triunghi nu poate patrat, si nici patratul nu poate triunghi, dar exista poligoane care nu sunt nici patrate, nici triunghiuri); contradictorii( C, S(C) (S(A) S(B)), sferele acestor notiuni nu pot nici armate, nici negate concomitent, continuturile lor negandu-se reciproc; de exemplu functia continua si cea discontinua). In matematica exista cinci metode de a deni o notiune. I Printr-un sistem axiomatic semiformalizat O notiune primara a unui sistem axiomatic este initial un simbol, dar dupa introducerea axiomelor se precizeaza continutul acestei notiuni: axiomele si teoremele deduse din ea. De exemplu, notiunea de numar natural a sistemului axiomatic al lui Peano, sau notiunea de dreapta a sistemului axiomatic al lui Hilbert. II Prin gen proxim si diferenta specica Sa presupunem ca vrem sa denim o notiune N. Ea este in general conexata cu mai multe notiuni. Spunem ca o notiune N 1 este subordonata unei notiuni N 2 daca sfera notiunii N 1 este inclusa in sfera notiunii N 2. Intr-un mod intuitiv, N 1 este mai complexa decat N 2. 2

De exemplu, notiunea de paralelogram este subordonata celei de patrulater. Relatia de subordonare este o relatie de ordine partiala pe multimea notiunilor. Pentru a formula denitia unei notiuni N, cautam notiunile la care ea este subordonata (mai simple decat ea), si dintre ele o alegem pe cea mai apropiata in sensul subordonarii (complexitatii) de N, numita gen proxim. De exemplu, pentru paralelogram genul proxim este patrulaterul (convex). Apoi precizam notele esentiale ce se adauga la notiunea gen proxim pentru a obtine pe N, adica diferenta specica fata de genul proxim. In exemplul anterior, diferenta specica este proprietatea de a avea laturile opuse respectiv paralele. Chiar si cu acelasi gen proxim, diferenta specica se poate da in moduri diferite. De exemplu proprietatea deca diagonalele sa aiba acelasi mijloc. Alegerea notiunii gen proxim si a diferentei specice depinde de necesitati teoretice sau didactice. Se poate intampla ca diferenta specica sa contina prea multe proprietati, in sensul ca una din ele este o consecinta a celorlalte. Denitia devine supraabundenta, si e bine sa se evite acest lucru. Dar uneori, pentru a evita demonstrarea prea complicata a dependentei unor proprietati de altele, se accepta si aceasta situatie. De exemplu, pentru a deni notiunea de grup, se cere existenta elementului neutru printr-o conditie ce ar putea slabita. III Enumerarea obiectelor din sfera Aceasta este o metoda rar folosita, caci notiunile cu o sfera nita sunt destul de rare. Intalnim exemple ca: patrulaterele particulare sunt paralelogramul, trapezul si patrulaterul convex inscriptibil. IV Desfacerea notiunii pe componente De exemplu, pentru a deni notiunea de grup, armam ca este o prereche (A, ),unde A este o multime nevida (deci am precizat una din componente) iar este o lege de compozitie : A A A cu urmatoarele proprietati:... V Prin factorizare Se considera o multime A si o relatie de echivalenta ρ pe A. Pentru ecare element a A multimea elementelor din A, echivalente cu a, adica ρ[a] = {b A/aρb} se numeste clasa de echivalenta a lui a. Se constata ca orice clasa de echivalenta este nevida si este clasa de echivalenta a ecaruia dintre elementele sale. Rezulta ca, atunci cand a parcurge A, clasele de echivalenta corespunzatoare formeaza o partitie a multimii A. Fiecare element al lui A apartine exact unei multimi din aceasta partitie. Pentru partitie se foloseste notatia A/ρ si denumirea de multime factor a lui A prin relatia de echivalenta ρ. Sunt multe exemple in materia predata in timpul liceului cand se foloseste aceasta metoda. Numarul intreg apare ca un element al multimii factor al lui N N prin relatia de echivalenta (a, b)ρ(c, d) a + d = b + c. Sau vectorul liber este o clasa de echivalenta in raport cu relatia de echipolenta pe multimea 3

segmentelor orientate. Dar aceasta idee de factorizare este pregatita inca din gimnaziu. Paralelismul in sens larg este o relatie de echivalenta pe multimea dreptelor unui plan dat. Clasa de echivalenta corespunzatoare poarta numele de directie. Insasi notiunea de numar natural e data ca o clasa de echivalenta in raport cu relatia de echipotenta pe multimea multimilor. Primul pas dupa introducerea unei denitii este dovedirea consistentei acesteia, altfel spus trebuie vericat ca sfera notiunii denite este nevida. In general se evidentiaza obiecte ce apartin sferei notiunii respective. In cazul unor denitii prin factorizare, unele denitii ulterioare vor folosi clasele de echivalenta, deci trebuie sa se demonstreze independenta de alegerea reprezentantilor acestor clase. 4

2 Propozitii adevarate: axiome si teoreme 2.1 Elemente de logica Aristotel considera ca judecata este forma logica in care se xeaza reectarea raporturilor reale prin care armam sau negam ceva despre ceva. Judecata acceptata in acest sens are structura logica formata din subiect, predicat si particula de legatura (nu confundati cu notiunile similare din gramatica!). Subiectul logic este notiunea despre care se arma sau se neaga un anumit raport. Predicatul logic este notiunea care reecta insusirile armate sau negate subiectului.particulele de legatura sunt cuvintele care exprima relatiile posibile intre subiect si predicat ca: armatia, negatia, existenta, apartenenta, cauzalitatea, etc. Dupa calitate, judecatile pot amative sau negative: S P : patratul are patru laturi, S P : functia putere nu este periodica. Nu confundati judecata negativa cu negarea unei judecati! Calitatea unei judecati se refera la si este determinata de predicat. Putem clasica judecatile si in functie de cantitate, care se refera la subiect. Avem astfel judecati singulare (Numarul π este irational transcendent), particulare (unele functii numerice sunt injective), universale (toate numerele irationale in scriere zecimala au un numar innit de zecimale). Dupa natura relatiei intre subiect si predicat, judecatile pot categorice sau ipotetice. Judecatile categorice reecta legatura neconditionata dintre subiect si predicat: cubul are 12 muchii. Cele ipotetice reecta conditiile in care are loc atribuirea predicatului catre subiect: daca un triunghi are doua laturi congruente, atunci el are si doua unghiuri congruente. Cele mai des intalnite forme in predarea matematicii sunt structurile de doua judecati categorice, legate prin daca...atunci. Cea care conditioneaza se numeste antecedent, iar cea realizata conditionat se numeste consecvent. Dupa modalitate, judecatile pot : asertorice (reecta legaturile reale si certe ale lucrurilor: solutia acuatiei 2x + 1 = 0 este x = 1 2 ), sau apodictice (oglindesc apartenenta unor insusiri care nu pot lipsi obiectului: orice solutie a ecuatiei 4n 12m = 0 in N 2 este o pereche de numere naturale, cu una din componente multiplu de 3 ). Judecatile sunt reprezentate prin propozitii logice. Asupra acestora se pot efectua diferite operatii logice: negatia: p : triunghiul este un poligon convex, p : triunghiul nu este un poligon convex; conjunctia: p : paralelogramul este un patrulater particular, q : paralelogramul este un patrulater inscriptibil, p q : arma simultan ce arma p si ce arma q : paralelogramul este un patrulater particular si paralelogramul este un patrulater inscriptibil; 5

disjunctia: p q arma ce arma p sau ce arma q :paralelogramul este un patrulater particular sau paralelogramul este un patrulater inscriptibil; implicatia: p q : adevarul lui p atrage adevarul lui q si falsitatea lui q atrage falsitatea lui p. Realizati tabelele de adevar pestru operatiile logice anterioare! Operatiile logice prin care se evidentiaza un adevar continut implicit intr-o judecata data sau prin care deducem un adevar din alte adevaruri deja armate sau cunoscute, constituie inferente logice. Rationamentul este o succesiune de judecati cunoscute care conduc la o judecata noua. Rationamentele pot : deductive: se pleaca de la adevaruri generale si se ajunge la un adevar particular sau la un adevar cu acelasi grad de generalitate; deductia se desfasoara in planul ideilor; daca sunt respectate legile logicii, concluziile deductiei sunt certe; acest tip de rationament este specic demonstratiei matematice; insa orice sura in lantul de judecati compromite rezultatul nal; inductive: de pleaca de la particular spre general, punctul de plecare este o etapa senzoriala, receptarea unui adevar in urma unei experiente sau un adevar particular deja stabilit; concluziile inductiei sunt doar plauzibile. In matematica, ambele tipuri de rationamente: inductiv (plauzibil) si deductiv (cert) sunt necesare, ele completandu-se unul pe altul. Un studiu interesant asupra acestor tipuri de rationamente in predarea matematicii si in activitatea de cercetare este facut de G. Polya in Matematica si rationamentele plauzibile. El arma ca ne intarim cunostintele matematice prin rationamente demonstrative, insa ne sprijinim ipotezele prin rationamente plauzibile. Rationamentele demonstrative patrund stiinta in aceeasi masura ca si matematica, insa, ca atare, ele nu sunt capabile (la fel ca matematica insasi) sa ne furnizeze cunostinte esentialmente noi despre lumea inconjuratoare. Matematica expusa intr-o forma inchegata se prezinta ca o stiinta pur demonstrativa, constand numai din demonstratii. Insa in procesul de formare, matematica seamana cu toate celelalte stiinte umane aate si ele in acest proces. Trebuie sa intuiti o teorema matematica inainte de a o demonstra; trebuie sa intuiti ideea demonstratiei inainte de a o efectua in toate detaliile ei. Trebuie sa combinati observatiile si sa urmati analogiile, trebuie sa incercati si iarasi sa incercati. Rezultatul muncii de creatie a matematicianului este un rationament demonstrativ, o demonstratie; insa demonstratia se dezvaluie cu ajutorul unui rationament plauzibil, cu ajutorul unei ipoteze. Daca predarea matematicii reecta modul in care se creeaza matematica, atunci ea trebuie sa faca loc ipotezei, inferentei plauzibile. O alta forma fundamentala de rationament este silogismul. Acesta este un rationament prin care din doua judecati numite premize se obtine o alta judecata 6

numita concluzie. Dintre cele doua premize una este universala. Notiunile care intra in componenta silogismului se numesc termeni si se clasica in termeni majori (cu sfera cea mai mare), premisa care contine termenul major numinduse majora, si o vom nota cu P, deoarece va predicatul concluziei. Termenul cu sfera mai mica se numeste minor, iar premisa ce contine termenul minor este premisa minora, notata cu S deoarece va subiectul concluziei. Termenul intermediar (ca sfera) se va nota cu M. Schema generala a silogismului este M P S M... S P Un exemplu extrem de cunoscut este: Toti oamenii sunt muritori. Socrate este un om. Deci Socrate este muritor. Termenul intermediar M este oameni, cel minor S este Socrate iar cel major P este muritor. Exista diferite tipuri de silogisme, nu vom insista asupra lor ci doar vom da cate un exemplu. Silogismul anterior este unul categoric. Un exemplu de silogism disjunctiv este urmatorul: Discriminantul unei ecuatii de gradul al II lea, cu coecienti reali, poate negativ, nul sau pozitiv. Discriminantul (unei ecuatii date) este nul. Deci nu este nici negativ, nici pozitiv. Un exemplu de silogism ipotetic: Daca p atunci q. Daca q atunci r. Deci: daca p atunci r. Acesta este cel mai utilizat in demonstratiile matematice. (El poate formulat astfel: din armatiile (ipoteza, axioma, teorema) p rezulta armatia (concluzia, consecita) q, etc.) Nuantarea acestui tip de silogism ipotetic conduce la diferentierea: silogism ipotetic propriu-zis, in care ambele premise sunt judecati ipotetice silogism ipotetic categoric, in care una dintre premise este ipotetica, iar cealalta premisa si concluzia sunt judecati categorice; acestea din urma pot : ponens: daca p atunci q 7

p (e dat, exista, e adevarat)... Deci: q ( e adevarat). tollens: daca p atunci q q fals... Deci: p fals. Observati ca modul tollens este folosit in demonstratiile prin reducere la absurd. Problematica silogismelor este mult mai complexa, dar ne oprim aici, avand in vedere si faptul ca in anul I ati urmat un curs de logica matematica. 2.2 Teoreme Deoarece in cursul anterior am explicat ce reprezinta o axioma si am dat numeroase astfel de exemple, vom trata direct celalalt tip de propozitie matematica adevarata, si anume teorema. Consideratiile urmatoare sunt preluate din [1]. Teoremele matematice sunt prezentate schematic sub forma daca p atunci q, forma transcrisa logic prin p q. (1) Consideram (1) ca teorema directa. Sunt cunoscute urmatoarele denumiri pentru propozitiile derivate din cea directa: reciproca: contrara: contrara reciprocei: q p, (2) p q, (3) q p. (4) Pentru a putea formula usor aceste propozitii derivate, de multe ori e bine ca in ipoteza p sa se distinga o serie de date ce formeaza cadrul teoremei respective. Acest cadru reprezinta o conjunctura care ofera sens propozitiei concluzie, el precizeaza de obicei o conguratie. Pe langa aceasta conguratie, in cadru sunt subintelese (fara enuntare explicita) denitii ale unor notiuni prezente in q, adevaruri acceptate (axiome sau teoreme deja demonstrate), conventii de 8

notatie. De aceea poate este preferabil ca forma (1) a teoremei directe sa e inlocuita cu una de tipul c (p q). (5) Vom intelege prin aceasta notatie in cadrul c are loc: daca p atunci q. Exemple: 1. T. Pitagora: cadrul c : triunghiul ABC. Propozitia p :  este unghi drept. Propozitia q : a 2 = b 2 + c 2. Observam ca tot in cadru apar notatiile cunoscute pentru lungimile laturilor opuse varfurilor unui triunghi cat si defnitia unghiului drept. 2. T. Ceva: cadrul c : triunghiul ABC, punctele M, N, P situate pe dreptele BC, CA, AB dar fara ca vreunul sa coincida cu un varf al triunghiului. Tot in cadru este inclusa denitia segmentului orientat si a raportului in care un punct imparte un segment orientat dat. Propozitia p : dreptele AM, BN, CP sunt concurente. Propozitia q : MB NC P A = MC NA P B 1. Observam ca putem construi formal o reciproca de tipul c (q p). Reciproca teoremei lui Pitagora este adevarata, si o numim atunci teorema reciproca: daca in triunghiul ABC are loc a 2 = b 2 + c 2, atunci unghiul  este drept. Se pot gasi demonstratii pentru teorema reciproca independente de cea directa, dar si demonstratia prin reducere la absurd. Daca formam acelasi tip de reciproca pentru teorema lui Ceva, observam ca ea nu mai este adevarata. Deci nu orice reciproca este o teorema! Pentru a obtine o reciproca adevarata, se inlocuieste propozitia p prin propozitia p : dreptele AM, BN, CP sunt concurente sau paralele. Astfel reciproca teoremei lui Ceva este: Fie triunghiul ABC, punctele M, N, P situate pe dreptele BC, CA, AB dar fara ca vreunul sa coincida cu un varf al triunghiului. Daca MB MC NC P A NA P B = 1 atunci dreptele AM, BN, CP sunt concurente sau paralele. Contrara unei teoreme formulate prin (5) este de tipul c ( p q). Atentie! Nu negam propozitiile matematice continute in cadru. Contrara reciprocei: c ( q p). Exercitiu: precizati care sunt contrara, respectiv contrara reciprocei pentru cele doua teoreme prezentate anterior. Care din ele sunt teoreme? 9

O ranare a schemei (5) este des intalnita: c (p 1 p 2 q). (6) Bineinteles ca ipoteza poate contine un numar nit de conjunctii de propozitii. Exemplu: Teorema celor trei perpendiculare: cadrul c : un plan α, o dreapta d si punctele A, B, O ce satisfac restrictiile: (r 1 ) : A / α, (r 2 ) : O / d, (r 3 ) : B d, (r 4 ) : d α, (r 5 ) : O α. Propozitia p 1 : AO α, propozitia p 2 : OB d si propozitia q : AB d. Acestei teoreme directe ii putem asocia formal doua reciproce: (R1) : c (p 1 q p 2 ), (R2) : c (q p 2 p 1 ). Reciproca (R1) este aici adevarata, dar (R2) este falsa. Este acceptata insa drept reciproca a T. celor 3 perpendiculare teorema schematizata prin c (q p 2 p 3 p 1 ), unde p 3 este AO OB. Deci se accepta ca reciproca pentru (5) o teorema de tipul c (q q p), unde q este o consecinta a lui p. Exeritiu: formulati in cuvinte cele doua reciproce. La fel pentru contrara si contrarele reciprocelor. Care sunt adevarate? Un alt tip de teoreme sunt cele cu concluzie ramicata: c q 1 q 2. (7) In aceasta situatie nu am mai precizat distinct propozitia p, ea putand interpretata ca o particularizare a cadrului. Rezolvarea acestei teoreme se reduce la rezolvarea succesiva a doua teoreme: c q 1 si c q 1 q 2. Exemplu: c: Fie OBC isoscel (OB = OC) si A (OC) a.i. OA = AB = BC. Atunci au loc urmatoarele armatii: q 1 : BOC = 36 OA ; q 2 : OC = 5 1 2 ; q 3 : sin 18 = 5 1 4 ; q 4 : cos 36 = 5+1 4. Exercitiu: demonstrati teorema anterioara impartind-o in patru teoreme asa cum s-a precizat mai sus. Multe teoreme se incadreaza in schema c (p q). (8) Acest tip de teorema poate gandit in mod echivalent c (p q) (q p). Cum propozitiile ce alcatuiesc concluzia teoremei de mai sus sunt reciproce una alteia, uneori este util sa se inlocuiasca una din ele cu contrara celeilalte, 10

folosindu-se ca orice propozitie directa este echivalenta cu contrara reciprocei. Exemple: (T1: teorema bisectoarei interioare) c : Fie ABC si D (BC). Atunci are loc p : DAB = DAC daca si numai daca q : BD DC = c b. (T2: teorema bisectoarei exterioare) c : Fie ABC cu AB AC si E BC\[BC]. Atunci p : (AE este bisectoarea exterioara a unghiului A daca si numai daca q : BE EC = c b. O metoda de obtinere de noi teoreme interesante pornind de la doua (sau mai multe) teoreme date, este juxtapunerea teoremelor. Astfel, daca sunt formulate doua teoreme T : c s si T : c s (urmariti cele doua teoreme ale bisectoarelor), se obtine o suma a acestor teoreme: c c s s. Asa se formeaza cunoscuta teorema a celor doua bisectoare. Fie c : ABC cu AB AC, D (BC) si E BC\[BC]. Daca p : (AD si (AE sunt bisectoarele interioara, respectiv exterioara a unghiului A, atunci q : BD DC = c b = BE EC. In plus q : DAE = 90. Foarte interesanta este reciproca acestei teoreme, cunoscuta drept reciproca comuna teoremelor bisectoarelor: c (q q p), unde q BD : DC = BE EC. Exercitiu: formulati aceasta reciproca in cuvinte si demonstrati-o. Ne oprim aici cu acest mic studiu privind diferitele tipuri de teoreme. Metodele de demonstrare ale acestora vor precizate in cursul urmator, dedicat strategiilor didactice de predare a matematicii. 3 Aplicatii - exercitii si probleme Problemele constituie motivul, mijlocul si scopul invatarii matematicii scolare. Motivul, deoarece acestea suscita curiozitatea elevilor si impun acomodari cu teoria ce ajuta la rezolvari. Mijlocul, deoarece studiul exclusiv al teoriei nu poate certica in ce masura aceasta a fost insusita creativ. Scopul, deoarece majoritatea elevilor invata matematica spre a avea rezultate bune la examene, in care rezolvarea de probleme este prioritara, adesea exclusiva. [2] Va recomandam cartea Cum rezolvam o problema, G. Polya, Ed, Stiintica, 1965. Problemele didactice de matematica se impart in: probleme de aplicare (a sti sa faci); 11

probleme de logica (a sti sa judeci); probleme de gandire euristica (a incerca sa creezi). Bineinteles ca aceasta clasicare nu este stricta, aceeasi problema poate combina abilitatile de mai sus. In [3] H. Banea propune urmatoarea schema (gandim problema de tipul I C, prin I notand ipotezele, prin rationamentele ce formeaza demonstratia, iar prin C concluziile): Cunoscute Necunoscute Denumire orientativa 1 I,, C - exercitiu doar de vericare 2 I, C exercitiu 3 I, C exercitiu, problema 4, C I problema 5 I, C problema 6 C I, problema de descoperire 7 I, C problema de creativitate 8 - I,, C creatie 1. In aceasta grupa sunt cuprinse exercitiile de tipul: sa se arate ca ecuatia 2x + 3 = 0 are solutia x = 3 2 (chiar daca toate elementele sunt date si metoda de rezolvare este cunoscuta, totusi elevul depune efort matematic pentru a rezolva acest exercitiu); 2. de exemplu rezolvari de ecuatii sau sisteme de ecuatii; aceste doua nivele sunt cele pe care toti elevii, indiferent de anitati, ar trebui sa le atinga; 3. probleme de geometrie plana, la care se da ipoteza si concluzia si elevul trebuie sa descopere demonstratia; 4. acest tip de probleme apare foarte rar, de exemplu pentru ca o functie data sa e bine denita, cum trebuie ales domeniul acesteia? sau probleme in care se cer conditii suciente pentru ca o anumita proprietate sa aiba loc; 5. sunt problemele de inceput de capitol, care incita elevii sa gaseasca metoda cat si rezultatul: inainte ca elevii sa cunoasca formula de rezolvare a ecuatiei de gradul II, apare cerinta: rezolvati ecuatia x 2 10x + 24 = 0; aici se aplica, drept strategie, problematizarea; elevii simt ca nu au suciente cunostinte pentru a aplica o teorie cunoscuta, o metoda, o regula de calcul, si incearca sa descopere singuri solutia; 6. sunt probleme analoage celor de la 4. dar mai dicile: sa se gaseasca forma unei ecuatii de gradul... astfel incat solutiile ei sa aiba proprietatea...; 7. exemplu: faceti o problema in care sa folositi regula de trei simpla; 12

8. aici e vorba de stimularea elevilor sa creeze singuri probleme (de exemplu pentru Gazeta Matematica); profesorul poate dirija totusi elevul pana ce acesta capata experienta. Incheiem cu enumerarea catorva aspecte in care se manifesta rolul problemelor in invatarea matematicii: prin situatia problema se anticipeaza si se provoaca introducerea teoriei; problemele intervin direct in formarea unei notiuni; prin varietatea lor, problemele delimiteaza sfera notiunii si intelegerea ei; prin rezolvarea de probleme se formeaza priceperi si deprinderi; rezolvarea problemelor asigura feed-back-ul necesar; dezvolta capacitati de investigare si creativitate; asigura legatura cu practica, caracterul interdisciplinar; unele probleme pot avea caracter ludic. References [1] R. Branzei, D. Branzei, Asupra unor tipuri de teoreme in geometrie, Caiete Metodico - Stiintice, Universitate din Timisoara, nr. 47, 1987; [2] D. Branzei, R. Branzei, Metodica Predarii Matematicii, Paralela 45, Pitesti, 2007; [3] H. Banea, Metodica Predarii Matematicii, Paralela 45, Pitesti, 1998; [4] I. Rus, D. Varna, Metodica Predarii Matematicii, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1983. 13