Lecţii de TEORIA RELATIVITĂŢII Gheorghe Munteanu, Vladimir Bălan 2000
2
Cuprins PREFAŢĂ 7 I Elemente de teoria relativităţii restrânse 9 1 Universul spaţio-temporal Minkowski 11 1.1 Introducere............................ 11 1.1.1 De la mecanica newtoniană la relativitatea restrînsă........................... 11 1.1.2 Câteva noţiuni fundamentale.............. 18 1.2 Spaţiul Minkowski......................... 27 1.2.1 Metrica Minkowski..................... 27 1.2.2 Transformări Lorentz speciale.............. 29 1.2.3 Consecinţe cinematice ale transformărilor Lorentz.... 33 1.2.4 Imaginea euclidiană a transformărilor Lorentz...... 35 1.2.5 Hipercon luminos...................... 37 1.2.6 Linii de univers. Timp propriu.............. 39 1.2.7 Mărimi tensoriale în spaţiul Minkowski.......... 40 2 Elemente de dinamică relativistă 43 2.1 Cvadiviteză şi cvadriacceleraţie.................. 43 2.1.1 Principiul minimei acţiuni................. 43 2.1.2 Principiul minimei acţiuni pentru particula liberă.... 44 2.2 Dinamica particulei relativiste................... 46 2.2.1 Cvadrivectorul energie-impuls............... 46 2.2.2 Cvadriforţă........................ 48 2.3 Relativitatea câmpului electromagnetic............. 49 2.3.1 Tensorul câmpului electromagnetic............ 49 3
4 2.3.2 Lagrangianul câmpului electromagnetic......... 52 II Relativitate Generală 55 3 Elemente de geometria varietaţilor diferenţiabile 63 3.1 Varietate diferenţiabilă....................... 63 3.2 Derivata covariantă........................ 71 3.3 Vatietăţi riemanniene....................... 77 4 Teoria gravitaţiei. 87 4.1 Universului spaţio-temporal Einsteinian............. 87 4.2 Particula liberă în câmp gravitaţional.............. 91 4.2.1 Ecuaţiile de mişcare ale particulei libere........ 91 4.2.2 Aproximarea newtoniană a câmpului gravitaţional........................ 93 4.2.3 Principiul de covarianţă.................. 94 4.3 Ecuaţii Einstein.......................... 96 4.4 Soluţii ale ecuaţiilor Einstein pentru câm- pul gravitaţional slab.101 4.5 Metrica Schwarzschild cu simetrie sferică............. 105 4.5.1 Geodezicele metricii Schwarzschild............ 109 4.5.2 Metrici cu simetrie sferică generalizată.......... 119 4.6 Spaţii Einstein........................... 123 4.7 Elemente de cosmologie...................... 125 III Further developments of Einstein s theory 131 5 The extended theories of gravity 133 5.1 Conformal metrics. The Palatini approach........... 133 5.1.1 Ehlers-Pirani-Schild extended theory of gravitation.. 133 5.2 The Kerr-Newman metric.................... 133 5.3 Kaluza-Klein theory....................... 133 6 Teorii gravitaţionale dependente de direcţie 135 6.1 A (1+3) threading of spacetime with respect to an arbitrary timelike vector field........................ 135 6.2 Geometria fibratului tangent T M................. 137 6.3 Ecuaţii Einstein pe T M...................... 144
6.4 Spaţii Finsler. Spaţii Lagrange.................. 147 6.5 Teoria gravitaţională şi câmpul elecromagnetic pe T M..... 150 6.6 Modele relativiste în spaţii Lagrange şi Finsler......... 152 6.6.1 Metrica Beil........................ 152 6.6.2 Metrica Miron-Tavakol................... 154 6.6.3 Modele în optica relativistă................ 156 6.7 Deviaţii ale geodezicelor în spaţiul Finsler al universului spaţiotemporal.............................. 159 6.8 Ecuaţii Einstein pe T M pentru câmpul gravitaţional slab... 162 6.9 Ecuaţii Einstein pe fibratul olomorf T M............. 165 6.9.1 Geometria fibratului T M................. 165 6.9.2 Spaţii Lagrange şi Finsler complex............ 168 Bibliografie 173 5
6
PREFAŢĂ Când ne-am propus să scriem o carte de teoria relativitaţii, am fost deseori întâmpinaţi cu observaţia că aceasta este treaba fizicienilor. Într-adevar, teoria relativitaţii este o teorie a spaţiului, a timpului şi a gravitaţiei - deci utilizează concepte fundamentale ale fizicii. Înţelegerea acestor idei, în special cele ale gravitaţiei - relativitatea generală, presupune o pregătire matematică consistentă în domenii cum ar fi mecanica, geometria afină, dar, mai ales, geometria varietăţilor diferenţiale. Din punctul nostru de vedere am putea spune că teoria relativităţii este un capitol aplicativ de geometrie diferenţială. Parcurgerea unui curs de geometria varietăţilor diferenţiale (care la nivelulul actual este destul de axiomatizat şi formalizat) dă senzaţia unei teorii matematice pure, aplicaţiile fiind adesea tot cu tentă teoretică. Abia parcurgând un astfel de curs de teoria relativităţii generale poţi să-ţi lămureşti importanţa unui spaţiu curb şi să inţelegi ce modele importante oferă geometria pentru fizicieni. Prezentul curs se adresează studenţilor matematicieni din anii terminali şi noi considerăm că este indispensabil pregătirii lor, în special pentru cei ce au optat pentru o pregătire geometrică mai consistentă. Ei pot găsi aici baza cunoştinţelor atât matematice cât şi fizice necesare înţelegerii lui. Credem, din acest motiv, că el poate fi folosit în egală măsură şi de studenţii fizicieni care prin pregătirea lor nu au întodeauna cunoştinţele matematice necesare parcurgerii capitolelor de relativitate generală. Desigur, cursul poate fi utilizat şi de alte persoane dornice să înţeleagă această teorie teribilă a secolului XX, ne gândim în primul rând la cei ce abordează aspecte filozofice ale relativităţii, fără să aibă pregătirea matematică necesară. Cartea este concepută în două părţi: elemente de teoria relativităţii restrânse (speciale), în care cititorul se familiarizează cu universul spaţio-temporal al lui Minkowski şi transformările Lorentz ce îl guvernează. 7
8 PREFAŢĂ Sunt abordate principalele interpretări cinematice şi dinamice din relativitatea restânsă. Se face şi o scurtă incursiune în teoria relativistă a electromagnetismului. în partea a doua, intitulată Relativitate generală, după o scurtă pregătire matematică, se studiază teoria gravitaţiei. Sunt studiate soluţii pentu ecuaţiile Einstein, în cazul soluţiilor Schwarzschild, făcându-se referinţe şi la teoria găurilor negre. Ultimul capitol din această parte, intitulat Teorii gravitaţionale dependente de direcţie, face trimiteri la o teorie modernă în care şcoala românească de geometrie are contribuţii remarcabile. El ar putea oferi deschideri pentru cercetări ulterioare. Credem că prezentul curs va fi primit corespunzător dorinţelor noastre atât de matematicieni cât şi de fizicieni, el venind în completarea unor cărţi excelente cum sunt cele ale lui Gh.Vrânceanu, N.Mihăileanu [86] (ce se adresează în special matematicienilor) sau C.Vrejoiu [89] (ce se adresează in special fizicienilor). Gheorghe Munteanu Universitatea Transilania Braşov Vladimir Balan Universitatea Politehnică Bucureşti
Partea I Elemente de teoria relativităţii restrânse 9
Capitolul 1 Universul spaţio-temporal Minkowski 1.1 Introducere 1.1.1 De la mecanica newtoniană la relativitatea restrînsă. Pentru a înţelege sensul formulării teoriei relativităţii este necesar să dăm unele precizări privind noţiunile implicate şi să facem o scurtă incursiune în problematica fizicii ce a condus la elaborarea teoriei relativităţii. În fizica clasică se operează cu noţiuni, concepte aflate in mişcare sau repaus raportat la un anumit loc (spaţiu) şi timp. Aceste noţiuni au un caracter relativ, deoarece se raportează la repere constând din obiecte materiale şi respectiv, un ceas. De regulă, spaţiul este descris prin marcarea poziţiilor unui obiect in raport cu un reper spaţial tridimensional real, iar timpul printr-o singură coordonată reală. Descrierea unui fenomen în timp - adică a unui eveniment, trebuie să se facă deci într-un anumit loc şi moment într-un reper 4-dimensional, numit sistem de referinţă (SR) spaţio-temporal. Orice proces fizic devine o succesiune de evenimente spaţio-temporale. Având în vedere că poziţionarea spaţială trebuie să se facă şi din punct de vedere metric, în mecanica clasică este unanim acceptată structura euclidiană a spaţiului tridimensional, poziţionarea matematică în reperul spaţial fiind cea vectorială. 11
12 Capitolul 1. Ca orice ştiinţă, fizica trebuie să cuprindă legi general acceptate ce nu depind de SR spaţio-temporal. Aspectul relativ al teoriilor este legat de raportarea la diverse SR, de poziţionarea SR, de direcţiile axelor de coordonate, precum şi de fixarea unui timp 0. Într-un sistem R = {O, e i} fixat, un punct va fi deci caracterizat de coordonatele spaţiale (x 1, x 2, x 3 ), sau vectorial de r = x i e i. Peste tot vom presupune convenţia lui Einstein de sumare a indicilor. Descrierea evenimentului este făcută de elementul (t, x 1, x 2, x 3 ), t fiind variabila temporală. Mişcarea, raportată la un SR, este percepută prin schimbarea în timp a coordonatelor spaţiale, mărimea specifică ce descrie mişcarea fiind viteza, adică variaţia coordonatelor spaţiale in raport cu timpul, v = d r. Dacă dt v =constant, mişcarea este uniformă. Variaţia vitezei în raport cu timpul este accleraţia, a = d v dt. La baza mecanicii newtoniene stau următoarele legi (principii): P1.(Principiul inerţiei, Galilei). În absenţa interacţiilor cu alte corpuri, un corp se află în stare de repaus sau de mişcare rectilinie şi uniformă. Să observăm de la început că mişcarea (repausul) este raportată la un SR dat, ceea ce înseamnă că mişcare într-un SR poate însemna repaus în altul SR. Este binecunoscut exemplul cu obiectele dintr-un vagon de tren în deplasare, care se află în repaus în raport cu un reper fixat din interiorul vagonului şi în mişcare în raport cu o gară. Totalitatea SR pentru care se aplică principiul inerţiei se numesc sisteme inerţiale, (SRI). În această parte le vom lua în considerare numai pe acestea. P2.(Principiul fundamental al dinamicii). Forţa ce acţionează asupra unui corp este proporţională cu acceleraţia impusă lui, F = m a; m =masa corpului. P3.(Principiul interacţiunii).acţiunile reciproce a două corpuri sunt egale în mărime şi de semne opuse: F1 = F 2. P4.(Principiul lui Galilei). Acţiunile reciproce a mai multor corpuri este rezultanta vectorială a interacţiilor lor. Acţiunea unei forţe asupra unui corp nu spune nimic dacă nu este privită în timp, F t = m a t = m v = m v m v 0, vectorul p = m v numindu-se inpuls.
Introducere 13 Efectul total al unei forţe este direct proporţional cu distanţa pe care acţionează, şi este dat de lucrul mecanic L = F s = mv2 2 mv2 0 2, unde cantitatea E = mv2 2 este energia cinetică imprimată corpului. Considerând două SRI diferite suntem nevoiţi să acceptăm câteva ipoteze valabile în mecanica newtoniană: intervalele de timp sunt aceleaşi în cele două SRI. distanţele spaţiale s 2 = ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 se păstrează dacă ambele repere sunt ortonormate, fapt justificat geometric prin s 2 = s 2 = ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 la transformările ortogonale. masa este o noţiune invariantă. forţele de interacţtiune dintre două corpuri nu depind decât de poziţiile corpurilor, de vitezele lor şi de timp. Pentru a exprima reguli obiective ale fizicii, este necesar să avem relaţii matematice ce exprimă transformările de coordonate în cele două SRI, adică (t, x 1, x 2, x 3 ) T (t, x 1, x 2, x 3 ) cu T inversabilă. În plus, o lege sau o ecuaţie, este de luat în seamă dacă ea îşi păstrează caracterul de adevărat sau fals prin trecerea cu transformarea T de la un reper la altul. Acesta este un principiu esenţial în fizică, numit proprietatea de invarianţă. Transformările ce satisfac ipotezele de mai sus se exprimă simplu sub forma transformărilor lui Galilei:
14 Capitolul 1. Figura 1.1: Transformarea lui Galilei Presupunem că t 0 = t 0 şi că sistemul SRI se deplasează prin translaţie faţă de SRI cu viteza constantă v. Avem: OM = OO + O M, adică, pe componente: x i = x i v i t, i = 1, 2, 3 (1.1) Legile ce satisfac pricipiul de invarianţă la transformările lui Galilei se spune că verifică principiul relativist al lui Galilei. Dacă un punct M se deplasează în SRI după o anumită regulă x i = x i (t), (i = 1, 2, 3), atunci, derivând în transformările lui Galilei în raport cu t, obţinem că viteza de deplasare u = d r dt a lui M in SRI se leagă de viteza în SRI prin u i = u i v i ; i = 1, 2, 3 (1.2)
Introducere 15 Derivând încă o dată, obţinem că transfornările lui Galilei păstrează expresia forţei. Lumea ar fi simplă (şi monotonă) dacă ea ar fi numai de natură materială. Evoluţia fizicii de la Newton până astăzi a scos la iveală o seamă de fenomene ce au pus la îndoială valabilitatea invarianţei lui Galilei. Primul semn de întrebare a fost legat de viteza luminii şi natura undei luminoase. Încercări de a determina viteza luminii sunt mai vechi, începând cu observaţiile danezului O.Römer (1644-1710) şi ale englezului J.Brandley (1693-1762) ce au stabilit o valuare de 302000 Km/s pentru viteza luminii. Experienţele tereste au constatat în secolele următoare (A.Fizeau, J.Foucault, A.Michelson, etc.) o valoare apropiată de c=300000km/s acceptată astăzi. Dacă am presupune că două SRI se deplasează cu o viteză v mare, conform cu (1.2) ar însemna o diferenţă considerabilă între c şi c, vitezele lumini in cele două sisteme. Chiar mai mult, am deduce că putem considera SRI în care viteza luminii să fie oricât de mare. Acesta a fost un prim semn de întrebare. În ceea ce priveşte natura luminii, lucrurule stau şi mai complicat. Nu dorim aici să evidenţiem elemente ce stau la baza fizicii de astăzi. Ele se pot găsi pe înţeles în lucrări de popularizare a ştiinţei, una excelentă şi accesibilă tuturor fiind [57]. Amintim doar că Newton considera, în 1675, că lumina are o natură materială, corpusculară, ce se reflectă diferit pe obiecte. Odată cu apariţia teoriei ondulatorii, la numai trei ani diferenţă, în 1678, fizicianul C.Huygens emite ipoteza naturii ondulatorii a luminii. Experienţele ulterioare făcute de Th.Young (1817), J.A.Fresnel (1819) au arătat că teoria optică ondulatorie a lui Huygens complică mult lucrurile, ducând la introducerea unei noţiuni cu caracter semiabstract: eterul. Fizica intră într-un nou impas odată cu studiul câ mpului electromagnetic. Ecuaţiile lui Maxwell (1864) realizează o descriere unitară a fenomenelor electrice şi magnetice.în lumea fizicii secolului trecut apare ideea că toate fenomenele fizice ar trebui să-şi găsească explicaţii prin aplicarea legilor lui Galilei la un mediu suport, eterul, dar de natură electomagnetică. Eterul este considerat pretutindeni iar câmpul electromagnetic o stare a sa. Dificultatea ce apare este că legile lui Maxwell nu ramân invariante la transformările de tip Galilei. Ca urmare, la sfârşitul secolului trecut se dezvoltă două teorii prerelativiste: ipoteza lui Hertz (1888), ce consideră că la rândul său eterul este total
16 Capitolul 1. antrenat într-o mişcare ce face ca viteza luminii să rămână o constantă. Ideea este curând infirmată de experienţe. ipoteza olandezului H.A. Lorentz (1853-1928), ce separă invarianţa de tip Galilei pentru lumea materială, iar pentru celelalte fenomene se acceptă existenţa unui SR preferenţial, supus legilor electromagnetismului. Experienţele făcute au condus la concluzia că nu se poate pune în evidenţă mişcarea Pământului faţă de eter şi nici dovedi dependenţa vitezei luminii faţă de sistemul de referinţă. Iată impasul în care se găsea fizica la sfârşitul secolului trecut. Renunţând la ipoteza eterului, Albert Einstein (1879-1956) formulează în lucrarea Asupra electrodinamicii corpurilor în mişcare (1905) următoarele postulate: Postulatul I. Principiul relativităţii se aplică tuturor proceselor naturale; legile fizicii şi rezultatele tuturor experienţelor, formulate într-un sistem de referinţă dat, sunt independente de mişcarea rectilinie şi uniformă a sistemului. (Formularea nu se referă neapărat la SRI) Postulatul II. Valoarea vitezei de propagare a luminii în vid este aceeaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale. Desigur, formularea celor două Postulate, dincolo de interpretarea lor filosofică, presupune ieşirea din cadrul strict al mecanicii newtoniene. Consecinţa a fost evidenţierea caracterului relativ al timpului şi al spaţiului. Timpul şi lungimile pentru Einstein nu mai au o semnificaţie absolută în orice SRI. Teoria relativităţii, expusă în 1905 de A.Einstein, are, aşa cum se vede, un caracter axiomatic şi este cunoscută sub denumirea de teoria relativităţii restrânse, sau speciale. În cei 105 de ce au urmat teoria a fost perfecţionată (în bună parte chiar de Einstein) şi în acelaşi timp supusă şi unor critici. Cu toate acestea, rezultatele sale, confirmate şi de practică, nu pot fi contestate. Some chronological order for Special Relativity: 1619: Johannes Kepler (1571 1630) is best known for his laws of planetary motion, based on his works Astronomia Nova in which states the Three laws of planet motion. 1632: Galileo Galilei (1564-1642) introduced his Galilean relativity which
Introducere 17 states that the fundamental laws of physics are the same in all inertial frames. 1687: Sir Isaac Newton (1642-1727), the originator of the Newton s Laws of Motion which were published in the Philosophiae Naturalis Principia Mathematica in which is laid the foundations for classical mechanics. Newton made seminal contributions to optics and nature of the light. 1781: J. Michell issuing idea the possibility of existence of the region from which the light cannot escape. In 1795 P. S. Laplace studied condition for the region from which the light cannot escape. 1785: Charles-Augustin de Coulomb (1785-1789) published a series of papers on his observations of electrodynamics, the first and second of which laid out what is now known as Coulomb s Law. 1804: Thomas Young (1773-1829) performed thedouble-slit experiment, demonstrating the wavelike nature of light. An excellent article on accurately reproducing the experiment can be found. 1851: Hippolyte Fizeau (1819-1896), experimentaly measured the relative speeds of light in moving water. 1861: James Clerk Maxwell (1831-1879), predict the existence of a fixed speed of light, independent of the speed of the observer - that paved the way for Einstein s special theory of relativity. With the publication of A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field in 1865, Maxwell demonstrated that electric and magnetic fields travel through space as waves moving at the speed of light. Maxwell s equations for electromagnetism have been called the second great unification in physics after the first one realised by Isaac Newton. 1887: Albert Michelson (1852-1931) and Edward Morley (1838-1923) make known Michelson-Morley Experiment by which is proved that the ether is not a physical existing entity enabling Einstein later to postulate that there is no a natural rest or relative frame in the universe and that any measurement of the speed of light in any inertial frame will always give 300 000 Km per second. 1889: George FitzGerald (1851-1901), suggested the contraction of the length detected by an observer of objects that travel at any non-zero velocity is relative to that observer. 1895: Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), derived the transformation equations subsequently used by Albert Einstein to describe space and time in
18 Capitolul 1. Special Theory of Relativity. In 1902 Lorentz shared the Nobel Prize in Physics with Pieter Zeeman for the discovery and theoretical explanation of the Zeeman effect. In 1892 and 1895 Lorentz worked on describing electromagnetic phenomena in reference frames that move relative to the luminiferous aether. He discovered that the transition from one to another reference frame could be simplified by using a new time variable which he called local time. In 1899 and again in 1904, Lorentz added time dilation to his transformations and published what Poincar in 1905 named Lorentz transformations. 1905: Jules Henri Poincare (1854-1912), was the first who present the Lorentz transformations in their modern form. 1905: Albert Einstein (1879-1955), published his theory of special relativity stating that all uniform motion is relative and that there is no absolute state of rest. Einstein theory is based on two postulates. The consequence of special relativity reformulate the classical Newton s dynamics and states the equivalence of matter and energy, E = mc 2. This part of relativity elaborated in 1905 by Einstein is known as Special Relativity Theory. 1907: Hermann Minkowski (1864-1909), introdued the Minkowski spacetime as a four dimensional space including time. Minkowki proved that the special Relativity of his former student A. Einstein, based on the previous work of Lorentz and Poincar, could be understood geometrically as a theory of four-dimensional spacetime, since known as the Minkowski space-time. Einstein himself at first viewed Minkowski s treatment as a mere mathematical trick, before eventually realizing that a geometrical view of spacetime would be necessary in order to complete his own later work in general relativity (1915). 1907: Begin the era of General Relativity. Apeare the initial paper on General Relativity, in which he introduced the Correspondence Principle, the bending of light paths by gravity, and the extension of the equivalence of mass and energy to include gravitational mass as well as inertial mass. In 1915 Albert Einstein expanded his Special Theory of Relativity into the General Theory of Relativity as a theory of Gravitation. 1.1.2 Câteva noţiuni fundamentale. Presupunem că cititorul a parcurs până în prezent un curs de geometrie afină şi euclidiană, fiind familiarizat cu notaţii tensoriale. Pentru unitatea expunerii, vom trece aici în revistă câteva noţiuni de bază pentru cele ce
Introducere 19 urmează. Peste tot vom folosi convenţia lui Einstein de sumare. Să considerăm V = (R n, +, R) spaţiul vectorial numeric real n dimensional. Într-o bază B = {e i} i=1,n un punct x se scrie x = x i e i, iar (x 1,.., x n ) R n se numesc componentele lui x în baza B. Dacă B = {e i} i=1,n este altă bază în V şi S = ( sj) i (indicele de sus indice de linie, cel de jos de coloană) este matricea de trecere de la baza B la B, adică e j = s i je i, j = 1, n, atunci componentele lui x în baza B sunt (x 1,..., x n ) date de: ( ) x i = s i j x j (1.3) unde s i j = S 1 este matricea inversă a lui S. Matricial scriem: X = S 1 X. Notam cu V spaţiul dual al lui V, adică spaţiul 1- formelor liniare f : V R. Relativ la baza B din V, obţinem baza duală B = {f i } i=1,n în V, unde f i sunt 1- formele definite unic de f i (e j ) = δj i (simbolii lui Kronecker) şi deci f i (x) = x i. Orice 1 - formă f se va exprima după baza B ca fiind f = a i f i. Legătura între bazele duale B şi B este dată de f i = s i j f j, deci se face cu matricea inversă, iar exprimarea 1 - formei în baza B este a i = s j i a j (1.4) şi evident că a j = s i j a i. Pentru două 1 - forme f şi g putem defini produsul lor tensorial f g : V V R, (f g)(x, y) = f(x)g(y). Să considerăm acum spaţiul formelor p liniare L p (V, R). O bază corespunzătoare lui B în L p (V, R) este B p = {f i 1...i p = f i 1... f ip }, iar exprimarea unei p forme h este h = a i1...i p f i 1... f ip.
20 Capitolul 1. La schimbarea bazei cantităţile a i1...i p se schimbă după regula: a i 1...i p = s j 1 i1 s jp i p a j1...j p (1.5) Spaţiul dual al lui L p (V, R) este izomorf cu V p, iar baza duală a lui B p este notată cu B p = { e i1... e ip }. Suntem acum în măsură să definim noţiunea de tensor (afin) de tip (p, q) ca fiind o (p + q) formă liniară t : V p V q R. Referitor la baza B şi duala sa B, un (p, q) tensor se va descompune astfel: t = t j 1...j p i 1...i q e j1... e jp f i 1... f iq (1.6) iar la schimbările de baze B B cu matricea S, componentele tensorului se vor schimba după regula: t h 1...h p k 1...k q = s i 1 k1... s iq k q s h 1 j 1... s hp j p t j 1...j p i 1...i q (1.7) Evident, vectorii sunt tensori de tip (1, 0), 1-formele fiind de tip (0, 1), iar p formele de tip (0, p). Din punct de vedere algebric se poate pune în evidenţă o structură de algebră T (V ) peste mulţimea tuturor tensorilor, produsul a doi tensori a şi b de tip (p, q) şi respectiv (r, s) fiind tensorul de tipul (p + q, r + s) dat de aplicaţia(p + q + r + s) - liniară de componente tensoriale: t j 1...j pv 1...v r i 1...i qu 1...u s = a j 1...j p i 1...i q b v 1...v r u 1...u s. O p formă se numeşte simetrică în indicii h şi k dacă f(x 1,.., x k,.., x h,.., x p ) = f(x 1,.., x h,.., x k,.., x p ) şi complet simetrică dacă este simetrică in toţi indicii. Dacă pentru h k avem f(x 1,.., x k,.., x h,.., x p ) = f(x 1,.., x h,.., x k,.., x p ) forma se numeşte alternată. Pe spaţiul formelor alternate de orice ordin A(V ), se poate defini produsul exterior a unei p forme f cu o q formă g, obţinându-se o (p + q) formă alternată notată cu: (f g)(x 1..x p, x p+1,...x p+q ) = 1 ε σ f(x σ(1),.., x σ(p) ) g(x σ(p+1),.., x σ(p+q) ) p!q! σ σ p+q
Introducere 21 A(V ) capătă structură de algebră numită algebra exterioară a formelor alternate pe spaţiul vectorial V. În particular, ω = f 1... f p se numeşte forma de volum in L p (V, R) relativ la baza B. Dacă X α = (X 1 α,..., X n α), α = 1, n, atunci ω(x 1,..., X n ) = det(x i α). Prin produs scalar pe V înţelegem o 2 formă liniară (o formă biliniară) g : V V R, simetrică şi pozitiv definită pe V, adică: g(x, y) 0 x, y V şi g(x, x) = 0 x = 0. Perechea (V, g) se numeşte spaţiu euclidian. Renunţând la condiţia de pozitivă definire se obţin spaţiile pseudoeuclidiene, unul din ele stă la baza teoriei ce o vom studia. Într-o bază B din V, produsul scalar se scrie g(x, y) = g ij x i y j, x = x i e i, y = y j e j V cu det(g ij ) 0 şi, evident, forma pătratică asociată h = g ij x i x j pozitiv definită (adică se reduce, eventual într-o altă bază, la o sumă de pătrate). Baza B se numeşte ortonormată dacă g(e i, e j ) = g ij = δ ij. La schimbări de baze (0, 2) tensorul g ij, numit tensorul metric, se schimbă după regula (1.5), sau matricial scris G = S t G S. Produsul scalar g(x, y) = x i y i se numeşte uzual (canonic), G = I, şi se notează, de obicei, prin g(x, y) = x, y. La schimbări de baze la fel orientate, forma de volum ω se transformă după regula ω = gω, unde g = det(g ij ). Tensorul metric permite ridicarea sau coborârea indicilor unui tensor, de exemplu x i = g ij x j, e.t.c. Să introducem acum şi puţină geometrie diferenţială în R n. Fie în R n o curbă (C) : λ x i (λ), λ variind într-un interval din R, şi f(x i (λ)) o funcţie realădepinzând de curba (C). Presupunând condiţiile de diferenţiabilitate îndeplinite, avem df = f dx i şi aceasta independent de dλ x i dλ funcţia f. Astfel, suntem conduşi să considerăm operatorul d dλ = dxi dλ x. i
22 Capitolul 1. Fie P (x 1,.., x n ) un punct al curbei (C) şi notăm cu v i = dxi dλ. Vectorul v = (v 1,..., v n ) se numeste câmpul viteză al curbei (C) şi este un câmp de vectori tangenţi la curbă în P, deci v = v i e i unde am notat: e i = x i ; i = 1, n (1.8) Spaţiul generat de v se numeste spaţiul tangent la curbă în P. Considerând alte curbe prin P, vectorii lor tangenţi se vor exprima funcţie tot de e i = x i şi deci B = { e i = constituie o bază a vectorilor tangenţi la curbele x }i=1,n i prin P, numit spaţiul tangent în P la R n. Reunind aceste spaţii se obţine spaţiul total al fibratului tangent la R n. Să considerăm acum o schimbare de coordonate x i x i în P ( eventual dictată de o schimbare de baze în R n ) şi e i = noua bază a vectorilor x i tangenţi. Deoarece = xj, rezultă că : x i x i x j deci, matricea schimbării de baze este S = e i = xj x e i j, (1.9) ) (, cu inversa S 1 x = i. ( x j x i x j ) Schimbarea componentelor vectorilor tangenţi se face după regula v i = x j v j, dată de (1.3). x j Acum, pentru curba (C), să considerăm diferenţiala df = f dx i. Considerând toate curbele ce trec prin P, diferenţiala lui f pe aceste curbe se x i descompune după {dx i } i=1,n. În particular, dacă f(x 1 (λ),..., x n (λ)) = x i (λ), obţinem că dx i ( ) = δ x j, i adică {f i = dx i } j i=1,n este baza duală bazei B în spaţiul diferenţialelor funcţiilor depinzând de curbele ce trec prin P. Un element a = a i dx i se va numi 1-formă. Un exemplu sugestiv de 1-formă este gradientul unei funcţii scalare (aici vectorul gradient se identifică cu 1 - forma gradient grad f= (gradf) i dx i.) Să remarcăm că la schimbări de coordonate, funcţiile f i = dx i se schimbă după regula f i = x i x j f j (1.10)
Introducere 23 Spaţiul 1-formelor se numeşte ( ) spaţiul cotangent în ( P la ) R n. x Folosind matricea S = j x i şi inversa sa S 1 x = i, putem extinde x j noţiunea de (p, q) - tensor. În particular, tensorul metric g ij va trebui să satisfacă regula de transformare g ij = xk x h g x i x j kh. Astfel că forma pătratică se va scrie g = g ij dx i dx j, din care se deduce că g(, ) = g x i x j ij. Tensorul metric are următoarea semnificaţie: Fie d r = dx i un vector tangent la curba (C) şi δ r = δx j vectorul x i x j tangent la curba (C ) ce se intersectează cu (C) în P. Atunci g(d r, δ r) = dx i δx j, g( x i, x j ) = g ijdx i δx j. În particular, norma d r 2, notată ds 2, va fi tocmai ds 2 = g ij dx i dx j (1.11) şi se numeşte forma fundamentală pe R n a metricii g în raport cu baza B, iar ds = g ij dx i dx j este lungimea elementului de arc de curbă (C). Unghiul celor două curbe este cos α = g(d r, δ r ) d r δ r. Relativ la baza B, forma de volum este dω = gdx 1...dx n. În continuare vom încerca să particularizăm la spaţiul R n conceptul de derivată Lie. Fie P (x) un punct şi W un obiect geometric definit intr-o vecinătate a ( lui P. Să considerăm o curbă (C) şi v = variaţie infinitesimală pe curbă în direcţia v se scrie: cu dx i = v i dλ = ζ i. dx i dλ ) vectorul tangent la curbă. O x i = x i + dx i (1.12)
24 Capitolul 1. Figura 1.2: Derivata Lie Corespunzător vom avea variaţia de primul ordin a lui W, W (x ) = W (x) + W x j ζj Pe de altă parte, x i defineşte o schimbare de coordonate şi deci fie W (x ) expresia lui W în reperul { x i } din x. Diferenţa se numeşte variaţia Lie a obiectului geometric W. Să facem următoarele particularizări: L ζ W = W (x ) W (x ) (1.13) 1. Dacă W (x ) = W (x) este o funcţie scalară ce nu se schimbă la transformările infinitesimale, atunci 2. Dacă W (x) = W i x i L ζ W = W (x ) + W x i ζi W (x ) = W x i ζi este un câmp vectorial, atunci: W i (x ) = x i x W j (x) = (xi + ζ i ) W (x) = W j (x) + ζ j x jw i j (x), j
Introducere 25 unde am folosit notaţia ζ i j = ζi x j. Rezultă că L ζ W i = W i x j ζ j ζ i j W j 3. Dacă W = W i dx i este o 1- formă, atunci şi deci Analog se găseşte W (x ) = xj x i W j(x) = W i (x) ζ j i W j(x) L ζ W i = W i x j ζj + ζ j i W j. sau L ζ W ik = W ik x j ζj + ζ j i W jk + ζ j k W ij L ζ W i k = W i k x j ζj ζ i jw j k + ζj k W j j şi altele. În încheierea acestei secţiuni vom repeta un principiu fundamental al mecanicii analitice,principiul minimei actiuni. Să presupunem că evoluţia unui sistem fizic este caracterizată la un moment dat λ în funcţie de coordonatele generalizate x i (λ) şi de derivatele lor ẋ i (λ). Deplasarea sistemului mecanic între două stări corespunzătoare valorilor λ 1 şi λ 2 se face în lipsa unor forţe de interacţie (adică sistemul este izolat), astfel ca integrala acţiunii A = λ2 λ 1 L(x i (λ), ẋ i (λ), λ)dλ (1.14) să se minimizeze, unde L(x i (λ), ẋ i (λ)) este funcţia lui Lagrange. Să considerăm o variaţie infinitesimală x+dx şi L(x+dx, ẋ+dẋ, λ) starea Larangianului în punctul corespunzător. Vom obţine o variaţie a acţiuni A + δa =Ã.
26 Capitolul 1. Extremul acţiuni se obţine anulând prima variaţie δa, adică δa = = = λ 2 λ 1 λ 2 λ 1 λ2 λ 1 L(x + dx, ẋ + dẋ, λ)dλ λ 2 λ 1 L(x, ẋ, λ)dλ ( L(x, ẋ, λ) + L dx i x i dλ + L dẋ i L(x, ẋ, λ) ẋ i dλ ( L x i dx i dλ + d = L x i dxi λ 2 λ 1 + A 1 A 2 ) dλ dλ ( L x i dxi ) dxi d dλ dλ ( L ) ẋ ) dλ [ i L x d i dλ ( L ] ẋ ) dx i = 0, i unde A 1, A 2 sunt punctele corespunzătoare stărilor λ 1, λ 2. Presupunând că în punctele A 1 şi A 2 variaţiile sunt nule, dx i (λ 1 ) = dx i (λ 2 ) = 0 şi în rest arbitrare, rezultă că δa = 0 dacă şi numai dacă funcţia lui Lagrange satisface: L x d i dλ ( L ) = 0 ; i = 1, n (1.15) ẋi numite ecuaţiile lui Euler-Lagrange. Acest principiu variaţional al minimei acţiuni determină drumurile cele mai scurte (optime) de deplasare a sistemului din punctul A 1 în punctul A 2. Problema se poate generaliza la cazul când sistemul depinde de mai mulţi parametri (λ 1,..., λ p ). În acest caz trebuie ca integrala acţiunii A = Ldω A 1 A 2 să se minimizeze şi să nu depindă de parametri. Pentru aceasta se consideră dω = gdω 0, unde dω 0 = dλ 1...dλ p este forma elementară de volum. Scalarul L = L g se numeşte densitate de Lagrangian. Calcule asemănătoare ca mai sus privind anularea primei variaţii ne conduc[65] la următoarele ecuaţii Euler-Lagrange L x i ( λ α L ( ) x i λ α ) = 0 ; i = 1, n ; α = 1, p (1.16)
Spaţiul Minkowski. 27 1.2 Spaţiul Minkowski. 1.2.1 Metrica Minkowski. Am văzut că într-un sistem de referiţă inerţial, SRI, un eveniment este caracterizat de coordonatele spaţiale (x 1, x 2, x 3 ) şi momentul t la care se referă măsurătorile. Viteza de propagare rectilinie a unui semnal luminos în vid ar trebui să satisfacă conform mecanicii clasice legea x k = c k t. Admiţând Postulatul 2 al lui Einstein, c k = c este o constantă. Trecând la norma euclidiană din R 3, vom avea: ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 = c 2 ( t) 2 (1.17) condiţie ce ar trebui să aibă un caracter relativist invariant în raport cu două evenimente din SRI. Apare astfel natural (acum!) să considerăm elementele din R 4 de forma ( x 0 = ct, x 1, x 2, x 3) iar două evenimente să fie separate printr-o condiţie de forma : s 2 = ( x 0 ) 2 ( x 1 ) 2 ( x 2 ) 2 ( x 3 ) 2 numit interval spaţio-temporal. Sub formă diferenţială avem: ds 2 = (dx 0 ) 2 (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2 (1.18) Intervalul spaţio-temporal se poate scrie tensorial sub forma metricii spaţio-temporale, sau mai exact metrica Minkowski: ds 2 = η ij dx i dx j ; i, j = 0, 1, 2, 3 (1.19) unde η 00 = 1, η 11 = 1, η 22 = 1, η 33 = 1 şi în rest 0. Obţinem astfel matricea Λ = diag (1, 1, 1, 1) = (η ij ) 4 4 M 4 (R), cu detλ = 1. În cele ce urmează, peste tot indicii i, j, k... vor lua valorile 0, 1, 2, 3, iar indicii α, β, γ...(spaţiali) vor lua valorile 1, 2, 3. Putem introduce coordonatele covariante x i = η ij x j, unde x 0 = x 0 şi x α = x α, şi deci ds 2 = η ij dx i dx j = dx i dx i.
28 Capitolul 1. Aşa cum am afirmat, la schimbări de repere inerţiale SRI SRI f ecuaţia s 2 = 0 trebuie să rămână un invariant relativist, adică şi s 2 = 0. Fie ({x i }) f {x i } această schimbare ce trebuie să fie inversabilă, şi deci x det i 0. x j Dezvoltând în serie Taylor, obţinem: x i = x i x j xj + 1 2 x i 2 x j x k xj x k +... Variaţiile spaţiale şi temporale trebuiesc să fie invariate la translaţii spaţiale şi temporale ale reperelor, fapt ce se exprimă prin x i = a i x j j = const., iar derivatele de ordin superior sunt nule. Obţinem că dx i = a i jdx j şi prin integrare rezultă: x i = a i jx j + a i (1.20) cu a i constante şi det ( a i j) 0. Sub formă matricială această condiţie se scrie X = A X +A 0, deta 0, ce ne aminteşte de transformările afine în R 4 În SRI, metrica Minkowski se scrie ds 2 = η ij dx i dx j = η ij a i ka j l dxk dx l. Condiţia de invarianţă ne conduce la : η kl = η ij a i ka j l (1.21) sau matricial : Λ = A t Λ A. Transformările (1.20) cu condiţile (1.21) se numesc transformări Lorentz generale. Câteva proprietăţi imediate ale lor se pot desprinde: 1. Trecând la determinanţi în Λ = A t Λ A, obţinem că det A = ±1. 2. Calculăm din (1.21) pe η 00 = 1 = η ij a i 0a j 0 = (a 0 0) 2 (a 1 0) 2 (a 2 0) 2 (a 3 0) 2 (1.22) Astfel că: 3 (a 0 0) 2 = 1 + (a α 0 ) 2 1 α=1
Spaţiul Minkowski. 29 3. Matricea A 1 = a 0 0= a 0 0, şi a α 0 = a 0 α; ( ) a i j are ca elemente a i j= η jl η ik a l k. De aici rezultă că a 0 α= a α 0 4. Suntem acum în măsură să desprindem câteva proprietăţi grupale. În primul rând, mulţimea T a transformărilor Lorentz generale formează grup în raport cu compunerea lor, numit grupul Poincaire. În T considerăm următoarele submulţimi : - transformările proprii T +, pentru care det A = 1, cu subclasele : -transformări proprii octocrone T +, pentru care a 0 0 1, -transformări proprii anticrone T +, pentru care a 0 0 1, - transformările improprii T, pentru care det A = 1, cu subclasele: -transformări improprii octocrone T, pentru care a 0 0 1, -transformări improprii anticrone T, pentru care a 0 0 1. Dacă A 0 = (a i 0) = 0, transformarea Lorentz (1.2.1.4) se numeşte omogenă. Câteva din subclasele de mai sus sunt subgrupuri în (T, ) : Subgrupul transformărilor Loretz omogene, L Subgrupurile T + şi L + ale transformărilor proprii octocrone neomogene, respecriv omogene. Subgrupul translaţiilor spaţiale-temporale X = X ( + A 0. ) 0 0 Subgrupul rotaţiilor spaţiale, pentru care Λ =, unde 0 O 3 3 O 3 3 grupului spaţial ortogonal. Cazul transformărilor propii octoctone omogene L + ne va preocupa în mod deosebit. 5. În spaţiul R4 putem considera g(x, y) = η ij x i y j ce ne defineşte un pseudoprodus scalar, (R 4, g) = M 4,1, fiind numit spaţiul Minkowski. Condiţia g(x, x) = 0 nu implică întodeauna x = 0. 1.2.2 Transformări Lorentz speciale Transformările Lorentz speciale se referă la cazul transformărilor propii ortocrone omogene L +. Să considerăm S şi S două SRI ce se deplasează unul faţă de celălalt cu viteza v respectiv v = v. Notăm cu (x 0 = ct, x 1, x 2, x 3 ) şi respectiv (x 0 = ct, x 1, x 2, x 3 ) coordonatele spaţio-temporale ale unui punct material P în cele două sisteme.
30 Capitolul 1. Dacă P este fixat spaţial în S atunci dx α = 0, α = 1, 2, 3. Rezultă că în dt raport cu sistemul S, punctul P se va deplasa cu viteza: ( ) ( ) dx v α α dx α = = c (1.23) dt dx 0 x β =const. Şi analog, fixând P în reperul S vom avea în S : ( ) dx v α α = c dx 0 x β =const. x β =const. Fie x i = a i jx j o transformare Lorentz specială (det ( aj) i = 1, a 0 0 1) şi x i = a i j x j inversa sa, a i j a j k = δi k. Presupunem coordonatele x α sunt fixate în S, rezultă că dx α = a α 0 dx 0 + 0 şi dx 0 = a 0 0 dx 0 + 0, astfel că formula (1.23) se scrie: ( ) dx v α α = c dx 0 dx β =0 = c a α 0 a 0 0 = c a0 α. a 0 0 Analog rezultă viteza când fixăm punctul în S: ( ) dx v α α = c = c aα 0 dx 0 a 0 0 Din aceste relaţii obţinem că: dx β =0 a 0 α = 1 c a0 0v α ; a α 0 = 1 c a0 0v α (1.24) Pe de altă parte din (1.22) rezultă că : ( a 0 0 ) 2 [ 1 1 c 2 ( (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2)] = 1 şi deci : (a 0 0) 2 = 1, unde v 2 = v 2 = v 2 = v 2, iar diferenţa este 1 v 2 c 2 dată doar de sensul vectorului v α = v α. Cum a 0 0 1, utilizând şi (1.24) obţinem că: a 0 0 = 1 ; a α 0 = a 0 α = 1 v2 c 2 vα c 1 v2 c 2 ; α = 1, 2, 3 (1.25)
Spaţiul Minkowski. 31 Vom folosi următoarele notaţii consacrate a 0 0 = γ şi v c = β. Pentru componentele spaţiale (a µ λ ), să remarcăm din (1.21) că acestea formează coeficienţii unei matrice ortogonale de ordin 3. Deci, forma generală a transformărilor Lorentz speciale este dată de matricele: A = ( γ - γ c v - γ c v aµ λ ) (1.26) în care a µ λ, µ, λ = 1, 2, 3, verifică următoarele condiţii de ortogonalitate: v λ a µ λ = γvµ η λµ a ν λa σ µ = η νσ γ2 c 2 vν v σ η λµ a λ νa µ σ = η νσ γ2 c 2 v νv σ unde convenim ca v λ = v λ. În [89] se justifică următoarea proprietate: Orice transformare Lorentz specială scrisă sub forma (1.26) poate fi reprezentată ca un produs între o transformare Lorentz, ce lasă neschimbate componentele vectorilor de poziţie în planul perpendicular pe v, şi o transformare ortogonală în acest plan. Fără să intrăm în aceste calcule, se arată că în urma acestor transformări avem: a µ λ = δµ λ + γ 1 v 2 v µ v λ (1.27) În cazul particular, când S se deplasează printr-o translaţie paralelă cu Ox 2 şi Ox 3, avem reprezentarea:
32 Capitolul 1. Figura 1.3: Transformările Lorentz restrânse atunci transformarea Lorentz este de matrice A = γ -γβ 0 0 -γβ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Deci, au loc schimbările de coordonate: x 0 = γx 0 γβx 1 x 1 = γβx 0 + γx 1 x 2 = x 2 x 3 = x 3
Spaţiul Minkowski. 33 sau aşa cum sunt cunoscute din manualele de liceu: t = x 1 = x 2 = x 2 x 3 = x 3 1 v (t 1 c 2 x1 ) (1.28) v2 c 2 1 ( vt + x 1 ) 1 v2 c 2 numite transformări Lorentz speciale (sau restrânse). În acest caz, pe care o să-l tratăm în continuare, dacă notăm cu γ = chϕ, atunci din relaţia (a 0 0) 2 (a 1 0) 2 = 1 rezultă că shϕ = γβ. Deci transformarile Lorentz restrânse se pot scrie sub forma echivalentă : x 0 = x 0 chϕ + x 1 shϕ x 1 = x 0 shϕ + x 1 chϕ x 2 = x 2 (1.29) x 3 = x 3, cu transformarea inversă: x 0 = x 0 chϕ x 1 shϕ x 1 = x 0 shϕ + x 1 chϕ x 2 = x 2 x 3 = x 3. (1.30) 1.2.3 Consecinţe cinematice ale transformărilor Lorentz. Din analiza transformărilor Lorentz restrânse vom desprinde câteva implicaţii privind noţiunle de simultaneitate, distanţă, durată şi viteză. 1. Relativitatea noţiunii de simultaneitate. Să considerăm în cele două SRI, S şi S, două evenimente care presupunem că se realizează simultan în S, t 1 = t 2. Din prima relaţie (1.28) obţinem că t = t 2 t 1 = γ c 2 v x1,
34 Capitolul 1. adică dacă x 1 0 evenimentele nu sunt percepute simultan în S. Deci noţiunea de simultaneitate are caracter relativ, neputându-se vorbi, ca în cazul newtonian, de un timp absolut. 2. Dilatarea timpului. Să considerăm un ceas ce se află în repaus în punctul fixat spaţial A(x 1, 0, 0) din reperul S. Facem două măsurători la momentele t 1 şi t 2. Fie t = t 2 t 1 durata dintre cele două evenimente din sistemul S, caracterizate de coordonatele (t 1, x 1, 0, 0) şi (t 2, x 1, 0, 0). Corespunzător în sistemul S obţinem din (1.28) (sau direct din (1.29)) că: t = t 2 t 1 = t chϕ, adică t = γ t. Cum γ > 1, rezultă că în S vom avea o dilatare a intervalului de timp comparativ cu cel din S în care punctul A este fixat. La modul general, fixând un sistem în care două evenimente se petrec în acelaşi loc, dar separate printr-un inteval de timp, notat diferenţial dτ şi numit timp propriu, în orice alt sistem diferenţa de timp va fi dt = γdτ, adică dτ = 1 v2 dt (1.31) c2 3. Contracţia lungimilor. În sistemul de referinţă S să cosiderăm o bară rigidă de lungime l cu capetele fixate în punctele A 1 (x 1 1, 0, 0) şi A 2 (x 1 2, 0, 0),văzute în acelaşi moment t 1 = t 2. Dat fiind faptul că lungimea barei este finită, în sistemul S se pot face măsurători asupra capetelor barei la acelaşi moment t 1 = t 2. Din a doua transformare (1.30) obţinem că: l = x 1 2 x 1 1 = x 1 2 x 1 1 chϕ = l chϕ, adică l = l 1 v2 şi deci l < l. c 2 Considerând sistemul S fixat, atunci în orice alt sistem S va avea loc o contracţie a lungimilor segmentelor. 4. Legea compunerii vitezelor.
Spaţiul Minkowski. 35 Să considerăm un punct material ce se deplasează raportat la sistemul S cu viteza u, a cărei primă componentă este u x 1 = dx1. Ţinând cont dt de (1.30), prin diferenţiere, obţinem că dt = dt chϕ 1 c dx 1 shϕ dx 1 = dx 1 chϕ cdt shϕ. Scoţând factor pe chϕ dt, şi cum shϕ chϕ = v c u x 1 = = β, rezultă : u x 1 + v 1 + v c 2 u x 1 (1.32) formulă ce exprimă legătura între componenta pe Ox 1 a vitezei de deplasare a punctului material în sistemul S şi componenta pe O x 1 a vitezei de deplasare a punctului material în sistemul S. În particular, dacă v c, adică cele două sisteme se deplasează unul în raport cu celălalt cu viteză relativ mică (cazul newtonian), regăsim formula lui Galilei pe axa Ox 1. Componenta pe axa Ox 2 a vitezei aceluiaşi punct va fi: Analog se întâmplă pe Ox 3. u x 2 = dx2 dt = dx 2 dt dt dt = u x 2 (1.33) 1 v2 c 2 1.2.4 Imaginea euclidiană a transformărilor Lorentz. Să considerăm în spaţiul euclidian E = (R 4,, ), unde x, y = 3 x i y i este produsul scalar uzual, un reper ortonormat R = {O, E i } i=0,3. Spaţiul R 4 poate fi înzestrat şi cu pseudoprodusul scalar g(x, y) = η ij x i x j, obţinându-se, aşa cum am spus, spaţiul M 4,1 al lui Minkowski. Pentru un SRI dat S, fixat în O, să asociem geometric versorilor {e i } i=0,3 ai lui S vectorii ortonormaţi în raport cu produsul scalar uzual {E i } i=0,3 adică, e i E i. Obţinem o imagine geometrică 4-dimensională euclidiană a sistemului S, ce asociază unui eveniment un punct din reperul R euclidian. i=0
36 Capitolul 1. Fie S alt SRI cu versorii {e i} i=0,3. Să considerăm o transformare Lorentz ce leagă cele două sisteme. Atunci e i = a j i e j şi corespunzător vom avea imaginea euclidiană E i = a j i E j. În spaţiul Minkowski, transformările Lorentz păstrează metrica g, adică Λ = A t Λ A,însă în spaţiul euclidian E, aceasta nu se mai întâmplă, deoarece A nu este neapărat o matrice ortogonală. Exemplificăm geometric acest lucru, în continuare, în cazul transformărilor Lorentz restrânse, pentru care vom reprezenta doar axele Ox 0 şi Ox 1 : Avem: Figura 1.4: Imaginea euclidiană E 0 = E 1 = a 0 0 E 0 + a 1 0 E 1 = γe 0 + γβe 1 a 0 1 E 0 + a 1 1 E 1 = γβe 0 + γe 1 Extremităţile vectorilor E 0 şi E 1 sunt punctele A 0(γ, γβ) şi respectiv A 1(γβ, γ). Ele verifică hiperbolele echilatere de ecuaţii (x 0 ) 2 (x 1 ) 2 = 1 pentru A 0, respectiv (x 0 ) 2 (x 1 ) 2 = 1 pentru A 1.
Spaţiul Minkowski. 37 Unghiul θ dintre E 1 şi E 1 este: θ = arctgβ, iar când v c atunci β 1 şi deci prima, respectiv a doua bisectoare a sistemului sunt asimptotele hiperbolelor. Pe această imagine putem da o interpretare geometrică a simultaneităţii evenimentelor: Figura 1.5: Simultaneitatea evenimentelor Fie A(t, a) şi B(t, b) două evenimente simultane, deci t = 0. Atunci t = t B t A = γv (b a) 0. c2 Interpretări asemănătoare se pot da altor consecinţe. 1.2.5 Hipercon luminos. Am văzut că s 2 este un invariant la transformările Lorentz. Să exprimăm această cantitate pentru două evenimente din sistemul S. Pentru a pune în evidenţă cele două evenimente, vom nota distanţa spaţio-temporală cu s 2 12 = c 2 (t 1 t 2 ) 2 (x 1 1 x 1 2) 2 (x 2 1 x 2 2) 2 (x 3 1 x 3 2) 2 = c 2 t 2 12 d 2 12.
38 Capitolul 1. În alt sistem S, vom avea s 2 12 = s 2 12. Putem analiza aici câteva situaţii particulare: a) Evenimentele se produc la timpi diferiţi dar în acelaşi loc. Atunci s 2 12 = s 2 12 = c 2 t 2 12 > 0. Un astfel de interval s 12 se numeşte de tip temporal şi este un număr real. Fie t = t 12 = t 1 t 2 > 0. Avem t 12 = t 1 t 2 = γ(t 12 v x c 2 ) = γt 12 > 0. Aceasta ne spune că ordinea evenimentelor nu se schimbă în S, noţiunea de ordine a evenimentelor având un caracter absolut. O altă consecinţă imediată este că în orice alt sistem S evenimentele nu mai sunt simultane. b) Evenimentele se produc simultan în locuri diferite. Atunci t 12 = 0 şi s 2 12 = d 2 12 < 0, deci intervalul s 12, numit de tip spaţial, este imaginar. Din invarianţa s 2 12 = s 2 12 rezultă că în orice alt sistem de referinţă S, d 12 0, şi deci, noţiunea de separare spaţială are caracter absolut. Să observăm că ordinea evenimentelor separate spaţial poate să difere. c) Evenimentele se produc simultan în acelaşi loc. Atunci s 2 12 = s 2 12 = 0. Evident, aceasta nu înseamnă că în S evenimentele sunt neapărat simultane şi în acelaşi loc. Intervalul s 12 se numeşte de tip izotrop. Să analizăm ce ar însemna că în sistemul S metrica s 2 12 = 0. Vom da o imagine euclidiană acestui fapt. Aşa cum ştim, o ecuaţie de forma (x 0 ) 2 (x 1 ) 2 (x 2 ) 2 (x 3 ) 2 = 0 reprezintă un hipercon în E 4, numit hipercon luminos.
Spaţiul Minkowski. 39 Figura 1.6: Hipercon luminos Distingem astfel următoarele situaţii: Cazul a) al intervalelor temporale, s 2 12 > 0,este reprezentat de puncte interioare hiperconului. Dacă, în plus, x 0 > 0 se numeşte timp absolut in viitor T +, iar daca x 0 < 0 se numeşte timp absolut in trecut T. Cazul b) al intervalelor spaţiale, s 2 12 < 0, este reprezentat de evenimente din afara hiperconului. Cazul c) al intervalelor izotrope este descris de evenimente aflate pe hiperconul luminos. 1.2.6 Linii de univers. Timp propriu. Mişcarea unei particule faţă de sistemul S poate fi descrisă de o lege t x α (t), cu α = 1, 2, 3. Aplicaţia Γ : t (t, x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) determină o curbă în spaţiul Minkowski, numită linie de univers a particulei. Parametrizarea cu t nu este întodeauna avantajoasă, coordonatele neavând
40 Capitolul 1. întodeauna aceeaşi tratare. Ar fi util un parametru care să fie invariant la schimbările de SRI. Să observăm că pe o linie de univers Γ, intervalul ds 2 Γ = c 2 dt 2 (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2 = (c 2 v 2 )dt 2 > 0 este temporal, deci linia de univers este interioară hiperconului luminos. Definim mărimea : dτ = 1 ds 2 Γ c = 1 v2 c dt = 1 dt < dt (1.34) 2 γ Ţinând seamă de (1.31), dτ are semnificaţia unui interval temporal măsurat într-un SRI propriu particulei, deci care se deplasează faţă de S cu viteza particulei la momentul t respectiv. Prin integrarea lui (1.34) cu τ(0) = 0, obţinem următorul parametru τ(t), care este un invariant relativist, numit timp propriu: t τ(t) = 1 + v2 dt (1.35) c2 0 Timpul indicat de parametrul τ(t) este indicat de un ceasornic legat de particula respectivă, numit ceasornic standard. 1.2.7 Mărimi tensoriale în spaţiul Minkowski. Conform principiului invarianţei, legile fizici şi ecuaţiile ei trebuiesc să-şi păstreze valabilitatea la schimbările de SRI, deci la transformările Lorentz. Fizica clasică a scos în evidenţă că mărimile ce rămân invariante la schimbări de coordonate se pot exprima sub formă tensorială. Astfel, se impune ideea de a studia acele mărimi în spaţiul Minkowski ce au legi de schimbare la transformările Lorentz ca şi mărimile tensoriale din spaţiul euclidian, numite cvadritensori. Să considerăm o transformare Lorentz x i = a i jx j, cu inversa x i = a i j x j. Fie (O, e i ) i=0,3 versorii fixaţi în O ai SRI-S.
Spaţiul Minkowski. 41 Prima mărime pe care o putem introduce este invariantul scalar Φ, ce trebuie să satisfacă Φ(x) = Φ (x ). Considerăm un alt SRI-S. Atunci transformarea Lorentz poate fi interpretată ca o schimbare a bazelor reperului, adică: e i = a j i e j, şi invers e j = a i j e i. Un cvadrivector se va scrie X = X i e i în S şi X = X i e i în S, din care rezultă clar că X i = a i jx j. Cel mai simplu exemplu de cvadrivector este cel tangent la o linie de univers X i = dxi. Considerând toţi cvadivectorii tangenţi la liniile de univers ce trec printr-un punct P, obţinem spaţiul dλ tangent la spaţiul Minkowski în P, reuniunea acestor spaţii ne dă fibratul tangent. Observăm că x = x j = a j i x i i x, j şi deci { este o bază în spaţiul tangent în P la liniile de univers. x }i=0,3 i Să considerăm metrica ds 2 = η ij dx i dx j. Cu ajutorul ei, construim ω i = η ij X j, unde X j sunt componentele unui cvadrivector. Avem: ω i = η ij X j = η ij a j k Xk = η ij a j k ηkh ω h = a h i ω h şi deci ω i sunt componentele unei 1-cvadriforme ω = ω i f i. Cel mai simplu exemplu de 1-cvadriformă este gradientul unei funcţii scalare dφ = Φ f i. x i O bază în spaţiul cotangent la liniile de univers al 1- cvadriformelor este {dx i } i=0,3. Acum, noţiunea de (p, q) cvadritensor se defineşte ca fiind acea mărime ce satisface regula de tipul cunoscut (1.7) cu t j 1...jp i 1..i q s j i = aj i = x j x i şi s j i = a j i = xj x i. Cu ajutorul lui η ij putem să ridicăm sau să coborăm indicii. Produsul scalar în spaţiul Minkowski este definit de (0,2)-cvadritensorul η ij prin g(x, Y ) = η ij X i Y j. Distingem următoarele trei cazuri
42 Capitolul 1. Cazul g (X, Y)<0 când X se numeşte de tip temporal; Cazul g (X, Y)>0 când X se numeşte de tip spaţial; Cazul g (X, Y)=0 când X se numeşte de tip izotrop. Un (0,4) - cvadivector important este cel al lui Levi-Civita : +1, dacă(ijkl) este o permutare pară a indicilor 0,1,2,3. ε ijkl = 1, dacă este impară 0, în rest. Alte exemple de cvadrivectori (cvadriviteză, cvadriacceleraţie, tensori electromagnetici) vor fi tratate în seţiunile următoare. Derivata unui (p,q)-cvadritensor este un (p,q+1)-cvadrivector, de exemplu t i j x k = T i jk. În general, atunci când nu există posibilitatea de confuzie vom spune pe scurt tensori în loc de cvadritensori.
Capitolul 2 Elemente de dinamică relativistă 2.1 Cvadiviteză şi cvadriacceleraţie. 2.1.1 Principiul minimei acţiuni. Am văzut în Cap.1 că în mecanica newtoniană mişcarea unui particule între două puncte se face pe acele curbe Γ : λ x i (λ), pe care se realizează minimul integralei acţiunii: A = λ2 λ 1 Ldλ, unde L(x, ẋ) este funcţia lui Lagrange. Spre exemplu, în cazul particulei aflate în câ mpul potenţial F = grad U, funcţia lui Lagrange este L P = mv2 2 + U adică energia cinetică plus cea potenţială. Să considerăm acum cazul relativist. În esenţă, principiul trebuie să rămână neschimbat, dar referitor la o linie de univers Γ : λ x i (λ), i = 0, 1, 2, 3. Refăcând calculele din Cap.1 pentru variaţii infinitesimale pe linie de univers, obţinem ecuaţiile Euler-Lagrange (E-L) : 43
44 Capitolul 2. L x d i dλ ( L ) = 0 ; i = 0, 1, 2, 3. (2.1) ẋi acestea fiind scrise relativ la un SRI-S pentru funcţia lui Lagrange L(λ) = L(x(λ), ẋ(λ)). Aici, problema principală este invarianţa relativistă a ecuaţiilor E-L. Fie S un alt SRI în care λ este parametru şi L(λ ) = L(x (λ ), ẋ (λ )) este scrierea Lagrangianului în acest SRI. Cum λ era un parametru arbitrar, putem alege în particular λ = λ. Să considerăm transformarea Lorentz x i = a i jx j de la S la S. Pe linia de univers Γ avem: ẋ i (λ) = a i jẋ j (λ), x = i aj i x, j ẋ = i aj i ẋ. j Din (2.1) deducem că problema invarianţei relativiste se reduce doar la invarianţa funcţiei L. Dacă L este o funcţie scalară relativist invariantă, atunci obţinem că ecuaţia E-L este invariantă. O analiză mai atentă, în care ţinem seamă că în ecuaţia E-L funcţia L este determinată până la o diferenţială totală (nefiind unică deci), ne arată că această condiţie ca L să fie funcţie scalar invariantă este condiţie necesară şi suficientă pentru invarianţa relativistă a ecuaţiilor E-L. 2.1.2 Principiul minimei acţiuni pentru particula liberă. Dacă particula este liberă (nesupusă interacţiunilor), atunci traiectoria va trebui să fie rectilinie, s = aλ + b, deci o dreaptă în univesul spaţio-temporal. Luând a = k un scalar şi parametrul λ ca fiind timpul propriu τ(t) unui SRI, principiul minimei acţiuni ne conduce la următoarea integrală a acţiunii: t2 A A1 A 2 = k dτ = k A 1 A 2 t 1 1 v2 c 2 dt = k c A 1 A 2 ds 2 (2.2) Pe de altă parte, considerând ds 2 = η ij dx i dx j pe o linie de univers cu parametrul λ oarecare (nu neapărat τ), obţinem că ds 2 = η ij dx i dλ dx j dλ dλ2 = η ij ẋ i (λ)ẋ j (λ)dλ 2 = ẋ i (λ)ẋ i (λ)dλ 2
Cvadiviteză şi cvadriacceleraţie. 45 Rezultă că integrala acţiunii este A A1 A 2 = k c λ2 λ 1 η ij ẋ i (λ)ẋ j (λ)dλ, din care obţinem Lagrangianul particulei libere pentru parametrul λ L 0 = k η ij ẋ c i (λ)ẋ j (λ) (2.3) Să observăm că actiunea A A1 A 2 nu depinde de alegerea parametrului λ şi că L 0 este un scalar invariant relativist deoarece se obţine din ds 2. O altă particularitate este că L 0 (x, αẋ) = αl 0 (x, ẋ), deci L 0 este o funcţie pozitiv omogenă de grad 1 în ẋ, α > 0, fapt ce ne aminteşte de spaţiile Finsler([44]) Considerând cazul nerelativist v c şi λ = t, dezvoltând în serie Taylor L 0 (t) = k 1 v2 c = k(1 1 v 2 2 2 c +...), 2 putem compara pe acesta cu L P = m 0v 2 + U. Obţinem: k = m 2 0 c 2 şi deci L 0 (t) = m 0 c 2 1 v2 c, 2 unde m 0 masa particulei, privită ca un scalar invariant relativist. Deoarece L 0 depinde numai de ẋ i, ecuaţia E-L devine: d dλ ( η ij ẋ j ηij ẋ i ẋ ) = 0 d j dλ ( ẋ ẋiẋ i ) = 0, i = 0, 1, 2, 3 (2.4) i Dacă λ = τ(t) este timpul propriu, atunci dx ηij ẋ i ẋ j = η i dx j ds ij dτ dτ = 2 dτ = c dτ dτ = c. Astfel, că (2.4) ne conduce la dẋ i = 0 adică ẍ dτ i(τ) = 0, din care deducem că ẍ i (τ) = 0. Să considerăm următoarele mărimi ce se dovedesc a fi cvadrivectori: u = u i e i unde u i = dxi dτ = ẋi (τ) w = w i e i unde w i = d2 x i dτ 2 = ẍi (τ) (2.5)
46 Capitolul 2. numiţi cvadriviteză, respectiv cvadriacceleraţie. Ecuaţiile E-L ne confirmă faptul că, pentru particula liberă, cvadriacceleraţia este nulă. Să calculăm componentele acestor cvadrivectori pentru o particulă oarecare. Pentru cvadriviteza u, componentele sunt: u 0 = dx0 dτ = dx0 dt dt u α = dxα dτ = dxα dt dτ = cγ dt dτ = vα γ ; α = 1, 2, 3. (2.6) De remarcat că u este un vector tangent la curbele de univers, τ jucând rolul parametrului natural din geometria euclidiană. Pentru cvadriacceleraţia w, mai întâi prin calcul direct, găsim că dγ dt = 1 c 2 γ3 v a deci, produsul scalar din R 3, unde v α = dxα dt w 0 = c dγ dτ w α = duα dτ = duα dt dγ = cγ dt = γ4 v a c dt dτ = γ d(γvα ) dt şi a α = d2 x α, astfel că: dt 2 = γ 2 dvα dt + γ dγ dt vα (2.7) Calculul normelor ne arată că u > 0, deci u este de tip temporal, şi w < 0, deci w este de tip spaţial. O altă remarcă este că g(u, w) = 0, adică cei doi cvadivectori sunt ortogonali. 2.2 Dinamica particulei relativiste. 2.2.1 Cvadrivectorul energie-impuls. Principiul variaţional pentru particula liberă ne dă generalizări naturale ale vitezei şi acceleraţiei, obţinându-se cei doi cvadrivectori viteză şi acceleraţie. Modificări mai puţin naturale apar în introducerea impulsului şi energiei cinetice. Să alegem parametrul λ = t şi
Dinamica particulei relativiste. 47 L 0 (t) = m 0 c 2 1 v 2 c 2 = m 0 c η ij ẋ i (t)ẋ j (t). Impulsul cinetic p al particulei este, prin definiţie, de componente spaţiale sau, echivalent, p α = L 0 ẋ α = m 0c 2 2 vα c 2 2 1 v2 c 2 = m 0 v α 1 v2 c 2 ; α = 1, 2, 3. p α = m 0 γv α = m 0 u α ; α = 1, 2, 3 (2.8) Energia cinetică a particulei relativiste este, prin definiţie : Înlocuind, obţinem: W = 3 p α ẋ α L 0 = p v L 0. α=1 W = m 0c 2 = m 0 γc 2 = m 0 cu 0. (2.9) 1 v2 c 2 Combinând cele două noţiuni obţinem cvadivectorul energie-impuls de componente: T = 1 c W e 0 + p α e α T 0 = m 0 u 0 ; T 1 = m 0 u 1 ; T 2 = m 0 u 2 ; T 3 = m 0 u 3 (2.10) În calcule, m 0 are semnificaţie nerelativistă, numită masă de repaus, sau masă proprie. Facem observaţia că pentru particula liberă derivatele în raport cu τ ale lui T se anulează, acceleraţia fiind zero. Urmărind acum expresiile impulsului şi energiei suntem conduşi, natural, să introducem noţiunea de masă relativistă a particulei m(v) = m 0 γ = m 0 1 v2 c 2, (2.11)
48 Capitolul 2. masă ce caracterizează proprietăţile inerţiale ale particulei în mişcare cu viteza v. Energia cinetică capătă binecunoscuta expresie a lui Einstein: W = mc 2. (2.12) Energia W 0 = m 0 c 2 este cunoscută sub denumirea de energie de repaus, prin energie de mişcare inţelegem diferenţa W cin = W W 0 = m 0 c 2 (γ 1). Cvadrivectorul energie-impuls se scrie în funcţie de masa relativistă T = (mc, mv 1, mv 2, mv 3 ). Formula masei relativiste poate fi legată de legea conservării impulsului din mecanica newtoniană, m u = mu. Scriind pe Ox 2 acest lucru, folosind (1.33) u x = γu 2 x 2 şi luând m = m 0, obţinem tocmai formula masei relativiste. Numim densitatea masei m a particulei de volum ω cantitatea µ = dm dω. (2.13) Dacă m 0 este masa de repaus şi ω 0 este volumul în acelaşi sistem propriu, atunci µ = µ 0 γ 2. 2.2.2 Cvadriforţă Dacă particula liberă intră în interacţiune cu alt sistem fizic (asupra ei se exercită o forţă K), traiectoria nu va mai fi rectilinie pe o linie de univers, deci are loc o curbare a liniei. Admitem că această forţă K este proporţională cu cvadriacceleraţia, K = m 0 w, (2.14) relaţie numită legea fundamentală a mecanicii relativiste. Se observă caracterul invariant al acestei cvadriforţe şi faptul că are componentele spaţiale aceleaşi ca pentru o forţa F din mecanica newtoniană. În plus, (2.14) se transcrie cu ajutorul tensorului energie-impuls: dt dτ = K (2.15)
Relativitatea câmpului electromagnetic 49 Forţa K este ortogonală în spaţiul Minkowski pe u, astfel că cγk 0 γ 2 v F = 0, şi de aici putem scoate componenta K 0 = 1 c γ v F. Pentru componentele spaţiale se obţine dw dt = v F, relaţie ce justifică în mecanica newtoniană formula lucrului mecanic. Nu ne putem permite aici să abordăm problema sistemelor de particule sau cea a particulelor în câmp de forţe [89] Folosind variaţia Lie a integralei acţiunii, în [65] se obţin ecuaţii de mişcare pentru fluide ce se deplasează în câmp de forţe al căror potenţial este determinat de un (0,2)-tensor simetric, nedegenerat G ij. Aici intervine un tensor specific T ij = µu i u j numit tensorul energie-impuls al fluidului. După calcule ceva mai complicate se găsesc următoarele ecuaţii de mişcare: d 2 x m dτ 2 + 1 2 Glm ( G lj x i ecuaţii ce pot fi puse sub forma + G il x j G ij x l )u i u j = 0 µ d2 x m dτ 2 + Γm ij T ij = 0, unde Γ m ij sunt simboli lui Christoffel ai lui G ij. Evident, pentru G ij = const., se regăsesc ecuaţiile particulei libere. 2.3 Relativitatea câmpului electromagnetic 2.3.1 Tensorul câmpului electromagnetic. Secolul al IX-lea a adus pentru fizica teoretică descoperirea legilor electromagnetismului: ecuaţiile lui Maxwell şi Legea lui Lorentz. Odată cu descoperipea lor fizica intră într-un nou impas, deoarece legile clasice ale lui Galilei nu respectă condiţii de invarianţă pentru aceste ecuaţii. Soluţia este dată de electrodinamica relativistă care, în esenţă, este teoria câmpului electromagnetic bazată pe ecuaţiile Maxwell invariante la transformările Lorentz, împreună cu cinematica şi dinamica relativistă.
50 Capitolul 2. Vom încerca să introducem principalele concepte pentru legile câmpului electromagnetic în vid. Fie q sarcina electrică a unei particule de volum ω. Numim densitate de sarcină electrică mărimea ρ = dq. Ţinând cont de modificările de volum la dω transformările Lorentz, scriem ρ = ρ 0 γ, unde ρ 0 este densitatea de repaus. Se numeşte curent cvadivectorul J = (J 0 = ρ, J 1 = ρ v1 c, J 2 = ρ v2 c, J 3 = ρ v3 c ). Presupunem că mişcarea particulei de masă m se face într-un câmp electromagnetic cu componenta electrică E = (E 1, E 2, E 3 ) şi cea magnetică B = (B 1, B 2, B 3 ), descompuse după axele (Ox 1, Ox 2, Ox 3 ). Plecăm de la legea lui Lorentz (1889, adesea atribuită lui O. Heaviside), care spune că mişcarea particulei electrice se face sub actiunea forţei: F = d(m v) dt = q [ E + 1 ] c v B, (2.16) v fiind viteza de deplasare a particulei. Această lege poate fi reformulată relativist invariant astfel: Pe componente prima ecuaţie din (2.16) este din care rezultă: d(mv 1 ) dt = [ E 1 + 1 c ( v 2 B 3 v 3 B 2)], cd(mv 1 ) = q(e 1 dx 0 + B 3 dx 2 B 2 dx 3 ) Analog obţinem celelalte două componente din (2.16): cd(mv 2 ) = q(e 2 dx 0 B 3 dx 1 + B 1 dx 3 ) cd(mv 3 ) = q(e 3 dx 0 + B 2 dx 1 B 1 dx 2 )
Relativitatea câmpului electromagnetic 51 Pe de altă parte, variaţia energiei este dw = F d x, şi, cum d x este coliniar cu v, din(2.16) rezultă că: dw = q(e 1 dx 1 + E 2 dx 2 + E 3 dx 3 ). Aceste patru ecuaţii pot fi reunite sub forma ecuaţiilor 4-dimensionale dt i = q c F i j dx j, i = 0, 1, 2, 3 (2.17) unde T i sunt componentele cvadrivectorului energie-impuls şi 0 E 1 E 2 E 3 Fj i = E 1 0 B 3 B 2 E 2 B 3 0 B 1 (2.18) E 3 B 2 B 1 0 este numit tensorul electromagnetic. Să remarcăm din (2.17) caracterul tensorial relativist al lui Fj i. Pentru a ridica sau coborî indicii folosim tensorul metric η ij, astfel obţinem următorii tensori F ij = η ik Fj k şi F ij = η ik F j k da ti de: F ij = 0 E 1 E 2 E 3 E 1 0 B 3 B 2 E 2 B 3 0 B 1 E 3 B 2 B 1 0, F ij = 0 E 1 E 2 E 3 E 1 0 B 3 B 2 E 2 B 3 0 B 1 E 3 B 2 B 1 0 (2.19) Folosind aceşti tensori şi formulele (1.29) ale lui Lorentz se pot găsi cu uşurinţă regulile de transformare a componentelor lui E şi B la transformările Lorentz. De notat că tensorii (2.19) sunt antisimetrici. Introducerea acestor cvadritensori dă o formulare nouă legilor lui Maxwel deduse în 1864 (reformulate de O. Heaviside in 1884): B 1 c B = 0 E = 4πρ (2.20) E t = 4πJ E 1 B + c t = 0 unde J = (J 1, J 2, J 3 ) este curentul tridimensional. Prima ecuaţie, B 1 x + B2 1 x + B3 2 x = 0 3
52 Capitolul 2. se scrie cu ajutorul tensorului elecromagnetic sub forma echivalentă: şi, cu totul analog, se traduce ecuaţia F 23 x 1 + F 31 x 2 + F 12 x 3 = 0 E + 1 c B t = 0 cu ajutorul derivatelor tensorului electromagnetic. Obţinem următoarea scriere echivalentă cu cele două ecuaţii vectoriale : ijk [i F jk] F jk x i + F ki x j + F ij = 0 i, j, k = 0, 1, 2, 3. (2.21) xk Ecuaţiile E = 4πρ şi B 1 c asemănător sub forma : E t = 4π J se explicitează cu totul f i F ij x j = 4πJ i ; i = 0, 1, 2, 3 (2.22) Astfel că ecuaţiile Maxwel se traduc prin două tipuri de ecuaţii care sunt invariant relativiste datorită caracterului tensorial al lui F ij, F ij şi J i, x k. 2.3.2 Lagrangianul câmpului electromagnetic Mişcarea sarcinei punctiforme înt-un câmp extern este descrisă de legea lui Lorentz (2.16). Pe de altă parte, aceeaşi mişcare trebuie să se obţină din problema variaţională. Un calcul direct pentru acţiunea Lagrangianului : ( L q (t) = m 0 c 2 1 v2 c q Φ 1 ) A 2 c v = L 0 q ( Φ ẋ0 (t) A α ẋ α (t) ) (2.23) c ne conduce la concluzia că ecuaţiile E-L corespunzătoare lui L q (t) sunt echivalente cu legea lui Lorentz, unde Φ(x) este un potenţial scalar şi A(x) este un câmp 3-dimensional.
Relativitatea câmpului electromagnetic 53 Problema principală aici este invarianţa relativistă a ecuatiilor E-L. Scris într-un parametru oarecare λ, Lagrangianul are forma: L q (λ) = m 0 c η ij ẋ i (λ)ẋ j (λ) q c [Φẋ0 (λ) A α ẋ α (λ)] (2.24) cu A = (A 1, A 2, A 3 ). Deci, este suma Lagrangianului L 0 (λ) = m 0 c η ij ẋ i (λ)ẋ j (λ) al particulei elementare, care este invariant relativist, cu un câmp scalar U(λ) = q η ij ẋ i (λ) c ẋ j (λ), ce se impune să păstreze caracterul invariant relativist. Introducem următorul ansamblu, numit cvadripotenţial: Atunci U(λ) se scrie: A = (A i ) i=0,3 = ( Φ, A 1, A 2, A 3) (2.25) U(λ) = q c A i(λ)ẋ i (λ). Cum ẋ i sunt componentele unui cvadrivector şi λ este arbitrar, este necesar ca A să fie o cvadriformă. Obţinem astfel o condiţie necesară şi suficientă pentru invarianţa relativistă a întregului Lagrangian: L q (λ) = m 0 c η ij ẋ i (λ)ẋ j (λ) q c A i(λ)ẋ i (λ) (2.26) Din calcule, rezultă că: L = L 0 U(x(λ), x(λ)) E L = E L0 + U x x j 2.. U i x j x x j 2 U i x j x, i cu 2 U x j x = 0. i Luând parametrul λ ca fiind timpul propriu τ(t), ecuaţiile E-L ne conduc la următoarea scriere tensorială [89], pag.247: dt i dτ = q [ Aj A ] i u j (τ) (2.27) c x i x j
54 Capitolul 2. unde T i = η ij T j sunt componentele covariante ale tensorului energie-impuls Amplificând acum cu dτ şi ridicând indicii cu η ij, obţinem exact (2.17). Prin urmare, în (2.27) avem componentele covariante ale tensorului electromagnetic: F ij = A j A i (2.28) x i x j cu exprimarea (2.19) Fără a intra în detalii, trebuie spus că cvadrivectorul energie-impuls T nu este în măsură să caracterizeze complet energia şi mişcarea unei particule. Este necesar să se ia în calcul şi alte elemente cum ar fi: densitatea mediului, natura mediului, forţele ce acţionează etc. În acest scop, a fost introdus un tensor simetric de tip (2,0), definit de relaţia vectorială T = 1 c F J, unde F = (F ij ) este tensorul electromagnetic. Folosind ecuaţiile lui Maxwell tensoriale se găseşte [[89],pag.256], că tensorul energie-impuls T = (T ij ) al câmpului electromagnetic are exprimarea : T ij = 1 4µ 0 F kh F kh η ij 1 µ 0 F ik F jh η kh (2.29) sau T ij = η ij η jl F kl şi F kl x h = 0. Proprietatea importantă a acestui tensor este că : T ij x i = 0, i, j = 0, 1, 2, 3 adică divergenţa sa este nulă, proprietate cunoscută sub denumirea de legea conservarii energiei. Scopul acestei secţiuni a fost să pună în evidenţă câteva mărimi tensoriale relativiste specifice electromagnetismului. Probleme precum: sisteme de particule în câmp gravitaţional,comportarea în diverse medii, etc.sunt mai puţin necesare nouă.
Partea II Relativitate Generală 55
Teoria relativităţii restrânse formulată în 1905 de către A.Einsein este o teorie simplificată a spaţiului şi timpului. Ea are cel puţin două neajunsuri fundamentale. În primul rând, în această teorie se iau în considerare numai sisteme de referinţă inerţiale, apoi nu se include descrierea proceselor fizice în prezenţa câmpului gravitaţional ce influenţează fundamental comportarea lor. Teoria dezvoltată ulterior de A.Einstein elimină aceste neajunsuri, fiind cunoscută sub denumirea de teoria relativităţii generale, formulată complet în 1917. Germenii acestei teorii se găsesc in principiul echivalenţei formulat de către Einstein în 1908. Se obişnueşte să se dea două formulări acestui principiu: slabă şi tare. Principiul echivalenţei slabe este cunoscut din mecanica newtoniană prin care se face o egalitate între masa inerţială m i a unui corp şi masa sa gravitaţională m g. Masa inerţială a corpului este constanta ce exprimă proporţionalitatea între forţă şi acceleraţia imprimată corpului F = m i a şi se referă la rezistenţa ce o opune un corp atunci când încerci să-l împingi. Masa gravitaţională este cea din legea gravitaţiei a lui Newton, 57 sau exprimată vectorial F g = G m g r 2, F g = m g Φ unde Φ este potenţialul gravitaţional. Cele două mase au un caracter diferit, eglitatea lor atrăgând condiţia a = Φ. Pe baza acestei egalităţi se justifică următoarea proprietate fundamentală a câmpului gravitaţional : în prezenţa unui câmp gravitaţional extern toate corpurile de probă se mişcă în acelaşi mod. Proprietatea este simţită la modul popular în urma unei experienţe simple. Să ne imaginăm un lift (o cutie închisă) în cădere liberă sub influenţa forţei gravitaţionale. Corpurile aflate în lift se mişcă în acelaşi mod pentru condiţii iniţiale identice, nepercepând de fapt gravitaţia decât dacă ar avea posibilitatea de a privi în afara liftului,
58 adică de a se raporta la sisteme de referinţă exterioare liftului. Aceasta se explică prin anularea forţei gravitaţionale de către forţa de inerţie. Corpurile aflate în interiorul liftului se pot raporta la un sistem de referinţă inerţial local (SRIL) pentru durate relativ mici ale măsurătorilor, câmpul gravitaţional nefiind omogen în timp şi spaţiu. Aceeaşi particulă din lift, raportată la un sistem de referinţă fixat pe Pământ, are o mişcare accelerată determinată de căderea liftului. Deci acest sistem de referinţă fixat pe Pământ este neinerţial, SRN. Suntem conduşi la a doua formulare, cea tare, a principiului echivalenţei: legile de mişcare ale corpurilor sunt aceleaşi cu cele dintr-un SRIL în absenţa câmpului gravitaţional. În cazul câmpului gravitaţional static şi omogen putem alege SRIL în care forţa de inerţie compensează pe cea gravitaţională. Din punct de vedere matematic lucrurile se pot gândi astfel. Considerăm un SRN fixat ( de Pământ, spre exemplu) în raport cu care un punct P are coordonatele spaţio-temporale P (x 0 = ct, x 1, x 2, x 3 ) şi un SRIL fixat intr-o vecinătate a punctului P în care câmpul gravitaţional este static şi omogen (interiorul cutiei liftului) şi raportat la el punctul P are coordonatele P (ξ 0 = cτ, ξ 1, ξ 2, ξ 3 ). Pentru punctele din această vecinătate putem aplica teoria relativităţii restrânse cu transformările Lorentz relativ la SRIL. Problema este cum traducem rezultatele obţinute în raport cu SRN. Ar trebui să avem relaţii bijective care să exprime legătura (x i f ) (ξ i ) şi care să poată fi exprimate global, la întreg spaţiu. În plus, aceste condiţii ar trebui să satisfacă condiţii de diferenţiabilitate. În SRIL avem o metrică, cea Minkowski ds 2. Există o metrică în SRN corespunzătoare care, evident, va depinde de câmpul gravitaţional?. Acestea sunt problemele matematice ce trebuiesc analizate în teoria relativităţii generale. Aşa cum vom vedea, şi este de intuit din ce am spus mai sus, avem nevoie de mai multă geometrie în special legat de varietăţile diferenţiabile, lucru pe care îl facem în capitolul de început al acestei părţi. It would be interesting to see how they evolved ideas of the Theory of Gravity. Some chronological data on General Relativity
59 1634: Galileo Galilei (1564-1642), understanding of the motions on an inclined plane and falling bodies paved the way for Newton s theory of gravity. 1687: Sir Isaac Newton (1642-1727), states Newton s law of universal gravitation published in the Principia, by which gravity is the result of an attractive force between massive objects but although even Newton was bothered by the unknown nature of this force. 1798: Henry Cavendish (1731-1810), British: measured the Earth s density and the result was later used to calculate gravitational constant (G). 1854: Bernhard Riemann (1826-1866), founded Riemannian geometry enabling the later development of general relativity by Einstein. 1885: Lorand Eotvos (1848-1919), make an experiment that measured the correlation between inertial mass and gravitational mass, demonstrating that the two were one and the same (equivalence principle). 1905: Albert Einstein (1879-1955) elaborated the theory of special relativity, expanding Newton s low speed laws of motion to high speed. In other words, at this stage Einstein restricted his theory to non-gravitational motion. 1907: Begin the era of General Relativity. A. Einstein published the initial paper on General Relativity, in which he introduced the Correspondence Principle, the bending of light paths by gravity, and the extension of the equivalence of mass and energy to include gravitational mass as well as inertial mass. 1912: A. Einstein begins to realize that the relativistic theory of gravity he is developing cannot allow time to warp while keeping space flat. 1913: A. Einstein enlisted the help of his old ETH friend Marcel Grossmann to incorporate Riemannian geometry into his nascent theory of General Relativity. 1914: A. Einstein presented the Hole Argument to explain why he felt it would be impossible to construct gravitational field equations in his theory
60 which satisfy general covariance. 1915: A. Einstein presented four iterations of his General Theory of Relativity to the Prussian Academy of Science with an explanation for the precession of the perihelion of Mercury, and the last containing the final form of his field equations - The Einstein Equations. 1916: A. Einstein published the final form of his paper on the General Theory of Relativity. A. Einstein, Die Grundlage der allgemeinen Relativittstheorie ( The Foundation of the General Theory of Relativity ), Annalen der Physik, Vol. 354, Issue 7, pp. 769-822 (1916). 1915: David Hilbert (1862-1943), submitted an article containing the correct field equations for general relativity five days before Einstein. Hilbert never claimed priority for this theory (the matter is disputed). 1915: Karl Schwarzschild (1873-1916), provided the first exact solution to the Einstein field equations of general relativity for the limited case of a single spherical non-rotating mass (Schwarzschild solution). It describes spacetime in the vicinity of a non-rotating massive spherically-symmetric object. Schwarzschild accomplished this triumph while serving in the German army during World War I. He died at May 11 1916 from the autoimmune disease pemphigus, which he developed while at the Russian front. 1915-1917: Tullio Levi-Civita (1873 1941), a pupil of Gregorio Ricci-Curbastro - the inventor of tensor calculus, correspondence with Einstein. The correspondence was initiated by Levi-Civita, as he found mathematical errors in Einstein s use of tensor calculus to explain the theory of relativity. It s evident from these letters that, after numerous letters, the contribution of Levi-Civita to the modern mathematical formulation of General Relativity. In one of the letters, regarding Levi-Civita s new work, Einstein wrote I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot. 1917: A. Einstein determines the Cosmological constant. 1917: Hermann Weyl (1885 1955), was one of the first to conceive of com-
bining general relativity with the laws of electromagnetism in Weyl model. In 1918, he introduced the notion of gauge, and gave the first example of what is now known as a gauge theory. Weyl s gauge theory was an unsuccessful attempt to model the electromagnetic field and the gravitational field as geometrical properties of spacetime. 1918: A. Einstein predicted the gravitational waves. 1919: Arthur Eddington (1882-1944), confirmed general relativity s prediction for the deflection of starlight by the Sun during a total solar eclipse. This is the beginning of the glory of A. Einstein. 1921: Theodor Kaluza (1885-1954) gave an introduction of Kaluza-Klein theory, an early attempt to unify gravitation with electromagnetism. Kaluza s theory was a purely classical extension of general relativity to five dimensions. In 1926, Oskar Klein gave Kaluza s classical 5-dimensional theory a quantum interpretation. 1922: Alexander Friedman (1888-1925), derived from Einstein s general relativity field equations that the universe is expanding. 1923: George David Birkhoff (1884-1944), in general relativity, Birkhoff s theorem states that any spherically symmetric solution of the vacuum field equations must be static and asymptotically flat. This means that the exterior solution must be given by the Schwarzschild metric. 1929: Edwin Hubble (1889-1953), found evidence for the Friedman s idea that the universe is expanding and this evidence is consistent with the solutions of Einstein s equations of General Relativity. 1936: Howard Robertson (1903-1961) and Arthur Walker (1909-2001), gave an exact solution of Einstein s cosmological equations. It describes a homogeneous, isotropic expanding or contracting universe that may be simply connected or multiply connected. Friedmann-Robertson-Walker or Robertson-Walker (RW) or Friedmann-Lematre model is sometimes called the Standard Model of modern cosmology. It was developed independently by the named authors in the 1920s and 1930s. 61
62 1965: Roy Kerr (1934 - -) and Ezra Newman (1929 - -) found a solution of the Einstein-Maxwell equations in general relativity that describes the spacetime geometry in the region surrounding a charged, rotating mass.
Capitolul 3 Elemente de geometria varietaţilor diferenţiabile 3.1 Varietate diferenţiabilă. Presupunem că cititorul a parcurs deja un curs de geometria varietăţilor diferenţiabile ([31],[34],[62]..). Câteva elemente pe care le repetăm aici au rolul de a fixa cadrul de lucru. Noţiunea de varietate diferenţiabilă este fundamentală atât în matematică, cât şi în fizică. Vom discuta cazul varietăţilor n dimensionale reale, ce cuprind, în mare, ideea de spaţiu cu structură topologică diferenţială, ce seamănă local cu R n. Evident, cazul care ne interesează este n = 4. O hartă locală pe varietatea C k - diferenţiabilă M este formată din perechea (U, ϕ), unde ϕ : U R n este un omeomorfism al deschisului U M pe un deschis din R n. Considerăm proiecţia pe componenta i, π i : R n R atunci x i (x) = π i ϕ(x), x U ne defineşte un sistem de coordonate în harta locală (U, ϕ) în punctul x U, iar punctele (x 1 (x),... x n (x)) R n se numesc coordonate locale ale punctului x. 63
64 Capitolul 3 Figura 3.1: Hartă locală Două hărţi locale (U, ϕ), (V, ψ) se numesc C k compatibile dacă aplicaţia ψ ϕ 1 : ϕ(u V ) ψ(u V ) este diferenţiabilă de clasă C k, cu inversă diferenţiabilă de aceeaşi clasă (C k difeomorfism). Figura 3.2: Hartă locală Aplicaţia ψ ϕ 1 se numeşte schimbare de hărţi locale şi determină schimbările
Varietate diferenţiabilă. 65 de coordonate x i = x i (x), ( ) x i rang = n, x j care sunt C k difeomorfisme. Se numeşte atlas de clasă C k o colecţie indexată de hărţi locale {(U α, ϕ α )} α I astfel ca α U α = M şi pentru U α U β, α β, hărţile (U α, ϕ α ) şi (U β, ϕ β ) sunt C k compatibile. Două atlase se numesc echivalente dacă reuniunea lor este un atlas de aceeaşi clasă. Se numeşte varietate diferenţiabilă de clasă C k n dimensională o clasă de atlase echivalente. De regulă, vom discuta de varietăţi C diferenţiabile, fără a mai preciza acest lucru. Exemplele cele mai cunoscute de varietăţi diferenţiabile sunt: R n, sfera, torul, etc. Fiind date două varietăţi diferenţiabile, dimm 1 = m 1, dimm 2 = m 2, o aplicaţie µ : M 1 M 2 se numeşte C k - diferenţiabilă în x M 1 dacă există (U, ϕ) hartă locală în x şi (V, ψ) hartă locală în µ(x) astfel ca aplicaţia ψ µ ϕ 1 : ϕ(u) ψ(v ) să fie C k diferenţiabilă. Definiţia aceasta nu depinde de hărţile locale respective, deci are caracter geometric. Local ea se exprimă sub forma y i = µ i (x), i = 1, n. Aplicaţia µ se numeşte imersie dacă în toate punctele x M 1 avem rang(µ) x = m 1, şi se numeşte submersie dacă rang(µ) x = m 2. Noţiunea de vector tangent la o varietate se poate da în mod natural cu ajutorul curbelor de pe varietate, sau axiomatic, ca fiind o clasă de echivalenţă a tripletelor X x = (U, ϕ, (X i )), cu (X i ) R n, astfel ca la schimbări de hărţi locale să avem X i = x i x j Xj. Mulţimea tuturor vectorilor tangenţi în x M are o structură naturală de spaţiu vectorial T x M numit spaţiul tangent la varietate în x, izomorf cu R n.
66 Capitolul 3 Baza corespunzătoare bazei canonice din R n în T x M se notează cu { x i }i=1,n şi deci orice vector tangent în x M se scrie X x = X i x. i O aplicaţie diferenţiabilă µ : M 1 M 2 induce pe spaţiile tangente o aplicaţie liniară µ,x : T x M 1 T µ(x) M 2, numită aplicaţia tangentă, care local acţionează asupra bazei vectorilor tangenţi astfel: ( ) µ,x = µk x i x i y. k Dualul spaţiului tangent T x M se notează cu T x M şi se numeşte spaţiul cotangent. Elementele sale sunt 1-formele liniare ω x : T x M R. Dacă f : M R este o funcţie diferenţiabilă, definim d x f T x M ca fiind 1-forma dată de d x f(x x ) = X i f x i. În particular, funcţiilor de coordonate le putem asocia 1-formele {d x x i } i=1,n, definite de relaţia (d x x i )( x j ) = δi j, ce { formează o bază în spaţiul cotangent Tx M, numită baza duală bazei. De regulă, vom omite pentru vectori şi 1-forme să specificăm x }i=1,n i punctul de lucru, acesta subînţelegându-se. O altă noţiune fundamentală este cea de fibrat vectorial, noţiune ce generalizează ideea de produs direct dintre o varietate n dimensională M şi R m. Vom prezenta pentru început o noţiune mai generală, cea de spaţiu fibrat. Un grup (G, ) înzestrat cu structură topologică de varietate diferenţiabilă astfel încât aplicaţia (x, y) x y 1 să fie diferenţiabilă se numeşte grup Lie. Exemple imediate de grupuri Lie sunt: (R n, +), Gl(n, R), SU(1), SU(2), etc.([31]). Pe un grup Lie sde pot defini difeomorfismele următoare: translaţia la dreapta R a : G G, x x a; translaţia la stânga L a : G G, x a x.
Varietate diferenţiabilă. 67 Un câmp vectorial X pe G se numeşte stâng invariant dacă aplicaţia tangentă L a, : T x G T ax G satisface condiţia L a, (X x ) = X ax. Mulţimea câmpurilor stâng invariante pe G formează o algebră Lie. Considerând o bază în această algebră {X α } α=1,n, atunci [X α, X β ] = C γ αβ X γ, unde C γ αβ se numesc coeficienţii de structură Maurer-Cartan ai lui G. Un alt exemplu de grup Lie G, dimg = n, este cel al transformărilor infinitesimale pe o varietate n dimensională M, adică transformări de forma: x i = f i (x, a) unde x = (x 1,...x n ) (3.1) x i = f i (x, 0) a = (a 1,...a m ) care formează un grup în raport cu compunerea. Pentru o transformare infinitesimală a lui G, să facem următoarea aproximare în dezvoltarea în serie Taylor: x i = x i + ξλε i λ unde ξλ(x) i = xi a λ a =0; ε λ = δa λ (3.2) λ Se obţin atunci următoarele variaţii: δx i = x i x i = ξ i λε λ (3.3) Aceste variaţii δx i determină variaţii ale unei funcţii scalare Φ(x) (funcţia de undă, spre exemplu): δφ = Φ Φ = Φ x i δxi = ξλ i Φ x i ελ = X λ (Φ)ε λ, (3.4) unde X λ = ξλ i se numesc generatorii grupului Lie de transformări şi sunt x i o bază în algebra câmpurilor stâng invariante, [X α, X β ] = C γ αβ X γ. Acest grup Lie joacă un rol însemnat în teoriile gauge clasice ce sunt legate de dezvoltări ulterioare ale teoriei relativităţii. Să considerăm M şi F două varietăţi, dim M = n, dim F = m şi G un grup Lie ce actionează diferenţiabil pe F. Fie E o mulţime oarecare şi π : E M o surjecţie, numită proiectia canonică. Numim hartă vectorială pe E tripletul (U, ϕ U, F ), unde U M este un deschis, iar ϕ U : π 1 (U) U F este o bijecţie astfel încât următoarea diagramă este comutativă: π 1 (U) ϕ u U F p 1 U
68 Capitolul 3 Două hărţi vectoriale (U, ϕ U, F ), (U, ϕ U, F ) în x U U se numesc compatibile dacă ϕ U,x ϕ 1 U,x = g UU (x) G, (3.5) unde ϕ U,x este restricţia aplicaţiei ϕ U la x, adică ϕ U,x : π 1 (x) {x} F. O colecţie {(U i, ϕ Ui, F )} i I de hărţi fibrate compatibile două câte două pe intersecţia lor nevidă, x U i = M, se numeşte atlas fibrat. Două atlase fibrate sunt echivalente dacă reuniunea lor este tot un atlas fibrat. Numim spaţiu fibrat, notat ξ = (E, π, M, F, G) o colecţie de atlase echivalente. Varietatea M se numeşte bază, F este fibra tip, G grupul structural şi g UU : U U G se numesc funcţii structurale, iar E x = π 1 (x) este fibra locală. Un caz particular de spaţiu fibrat este fibratul vectorial în care F este spaţiu vectorial, pe care îl putem lua chiar R m în acest caz finit dimensional. Notăm cu ξ = (E, π, M) un fibrat vectorial. Orice spaţiu fibrat are structură de varietate (n + m) dimensională, hărţile locale de pe ξ obţinându-se cu ajutorul hărţilor locale de pe M şi de pe F ([31],[44]). Dacă x = (x 1,..., x n ) sunt coordonatele locale în (U, ϕ) de pe M şi y = (y 1,..., y m ) sunt coordonate locale în (V, ψ) de pe F, un punct de pe varietatea ξ este u = (x, y) iar schimbările de coordonate sunt de forma. x k = x k (x 1,.., x n ) (3.6) y a = ϕ a (g UU (x 1,.., x n ), y 1,...y m ) În cazul particular al fibratelor vectoriale, (3.6) devine: x k = x k (x 1,.., x n ) (3.7) y a = M a b (x)y b unde (Mb a (x)) GL(m, R). Exemplul natural de fibrat vectorial este fibratul tangent la o varietate M T M = ( x M T x M, π, M),
Varietate diferenţiabilă. 69 unde π : T( x M ) x. Pe T M schimbările de hărţi vectoriale sunt date de x g Ui U j (x) = i şi deci schimbările de coordonate pe varietaeta T M sunt x j de forma: x k = x k (x 1,..., x n ), (3.8) y k = x k x j yj, ( ) x unde rang k = n. x j Un alt caz particular de spaţiu fibrat ce constituie suportul multor teorii fizice moderne este fibratul principal. Un fibrat principal este un spaţiu fibrat în care F G şi acţiunea lui G pe G este dată de translaţia la stânga L guu a = g UU a. Pentru fibrate principale, se utilizează notaţia (P, π, M, G). Exemple remarcabile de fibrate principale sunt: 1. (M G, π 1, M, G), fibratul principal produs direct. 2. Fibratul principal al reperelor. În spaţiul T xm am văzut că { } x este i o bază naturală a vectorilor tangenţi. Considerând în T x M altă bază Z x = {X 1,x,...X n,x }, cu X i,x = X j i în x M. Notăm cu P x M mulţimea tuturor reperelor în x M, şi reuniunea lor P (M) = x M P x M, iar π : Z x x. Atunci P (M) are o structură de fibrat principal, numit fibratul principal al reperelor., atunci Z x j x se numeşte reper Ne oprim aici cu teoria generală a spaţiilor fibarate, pentru detalii se pot consulta monografiile:[31],[44]. Utilizând noţiunea de grup uniparametric al unui câmp vectorial X, se defineşte derivata Lie ce generalizează pe cea de variaţie Lie. Aici amintim doar regulile de calcul ale derivatei Lie în raport cu un câmp X χ(m). derivata unei funcţii f : M R este L X f = X(f) derivata câmpului Y χ(m) este croşetul lor, unde [X, Y ] x = ( X i Y j x i L X Y = [X, Y ], ) Y i Xj x i x j
70 Capitolul 3 dervata unei 1-forme, (L X ω)(y ) = Xω(Y ) ω([x, Y ]) derivata unei p-forme liniare ω L(T M, R) este (L X ω)(y 1,...Y p ) = Xω(Y 1,..., Y p ) ω(y 1,.., [X, Y i ],...Y p ) Un exemplu remarcabil de fibrat vectorial este cel al aplicaţiilor p-liniare alternante, A p (T M, R), pentru care se poate se poate defini produsul exterior: dacă ω A p (T M, R) şi θ A q (T M, R) atunci este dată de ω θ A p+q (T M, R) (ω θ)(y 1,..., Y p, Y p+1,..., Y p+q ) = 1 p!q! σ σ p+q ε σ ω(y σ(1),.., Y σ(p) ) θ(y σ(p+1),..., Y σ(p+q) ) În particular, produsul exterior a p forme liniare este p forma diferenţială: (ω 1... ω p )(Y 1,..., Y p ) = det(ω i (Y j )) (3.9) Altă operaţie în A p (T M, R) este produsul interior al unei forme diferenţiale ω A p (T M, R) cu X χ(m) şi se obţine i X ω A p 1 (T M, R) definită de (i X ω)(x 1,...X p 1 ) = ω(x, X 1,..., X p 1 ) (3.10) Diferenţiala exterioară a unei p forme ω A p (T M, R) este aplicaţia d : A p (T M, R) A p+1 (T M, R) dată de relaţia implicită L X = d i X +i X d. Expresia diferenţialei exterioare este: p (dω)(x 0, X 1,..., X p ) = ( 1) i X i ω(x 0,..., ˆX i,.., X p ) + (3.11) i=0 + ( 1) i+j ω([x i, X j ], X 0,.., ˆX i,.., ˆX j,.., X p ) i<j
Derivata covariantă. 71 unde ˆX i înseamnă omiterea acelui câmp. Presupunem, în continuare, cunoscut procedeul de obţinere a fibratului tensorilor de tip (p, q) şi operaţiile cu tensori. Amintim că la schimbările de hărţi locale pe M un tensor t Tq p (M) se schimbă după regula: t j 1...j p i 1...i q = x j 1 x... x jp k 1 x k p1. xh1 x... xhq i 1 x tk 1...k q iq h 1...h q (3.12) Exemple particulare de tensori fiind vectorii, 1-formele, p-formele liniare. 3.2 Derivata covariantă. Derivata covariantă generalizează noţiunea de derivare a unui vector după direcţia altuia. Pentru început, prezentăm derivarea covariantă în fibrate vectoriale, cazul particular al fibratului tangent fiind cel ce a generat acest concept la începutul secolului al-xx-lea. Derivata parţială a componentelor unui vector nu mai păstrează caracterul tensorial al său, fapt ce a dus la introducerea aşa-numiţilor coeficienţi de conexiune Γ k ij, astfel ca Y j ( Y k x i x = x i ) + Γ k ijy j x k să fie un vector. Desigur, acest nou operator este necesar să se reducă la operatorul de derivare parţială în cazul spaţiului plat R n, spaţiile pentru care nu se întâmplă aşa ceva fiind numite, în special de fizicieni, spaţii curbate. Introducerea acestui nou concept ar trebui să se răsfrângă asupra întregi geometrii a spatiului, dar şi asupra proceselor fizice din el, caracterizate în special de tensorul energie-impuls, ce are divegenţa nulă. Astăzi, noţiunea de derivată covariantă se preferă să se introducă axiomatic după cum urmează. Fie ξ = (E, π, M) un fibrat vectorial. Numim secţiune în ξ o aplicaţie diferenţiabilă s : U E, unde U este un deschis din M, astfel ca π s = id M. Mulţimea secţiunilor formează un modul notat SectE. În cazul particular al fibratului tangent T M, secţiunile sunt câmpurile vectoriale pe M, iar modulul lor se notează cu χ(m).
72 Capitolul 3 Numim lege de derivare pe E o aplicaţie D : χ(m) SectE SectE, adică D : (X, s) D X s cu proprietăţile: D X+Y s = D X s + D Y s; D X (s 1 + s 2 ) = D X s 1 + D X s 2 D fx s = fd X s; D X (fs) = (Xf)s + fd X s (3.13) unde X χ(m), s SectE, f F(M) este o funcţie reală pe M. D X s se numeşte derivata covariantă a secţiunii s în raport cu vectorul X Exemplul uzual de lege de derivare este în fibratul ξ = (E = M R, π, M) şi este D X f = Xf, deoarece SectE = F(M). Diferenţa a două legi de derivare, D D = h, este o aplicaţie liniară pe χ(m). Existenţa unei legi de derivare pe E permite extinderea acestei noţiuni la alte fibrate legate de ξ. Spre exemplu în fibratul aplicaţiilor p liniare L p (T M, ξ) putem defini următoarea lege de derivare: p (D X ω)(x 1,..., X p ) = D X (ω(x 1,..., X p ) ω(x 1,..., D X X i,..., X p ) (3.14) Altă extindere se referă la p formele diferenţiale cu valori într-un fibrat vectorial, A p (T M, ξ), pentru care putem generaliza derivata Lie şi diferenţiala exterioară după cum urmează : p (L X ω)(x 1,..., X p ) = D X (ω(x 1,..., X p ) ω(x 1,..., [X, X i ],..., X p ) şi respectiv : (dω)(x 1,..., X p+1 ) = i=0 i=0 (3.15) p+1 ( 1) i+1 D Xi (ω(x 1,..., ˆX i,..., X p ) + (3.16) i=0 ( 1) i+j ω([x i, X j ],..., ˆX i,..., ˆX j..., X p+1 ) i<j Prin curbura unei legi de derivare D pe E înţelegem operatorul 2-liniar real R A p (T M, L(ξ, ξ)) dat de: R(X, Y )s = D X (D Y s) D Y (D X s) D [X,Y ] s X, Y χ(m) şi s SectE. (3.17)
Derivata covariantă. 73 Între L X, d şi R există anumite legături cunoscute din cursurile de geometrie, legături care ne interesează mai puţin aici, eventual de reţinut că dr = 0. Rezultate mai deosebite se obţin în cazul particular al fibratului tangent T M, caz în care legea de derivare D se va numi conexiune liniară şi pentru a o distinge o vom nota cu : χ(m) χ(m) χ(m), şi va trebui să satisfacă condiţii de tipul (3.13): X1 +X 2 s = X1 s + X2 s X (s 1 + s 2 ) = X s 1 + X s 2 fx s = f X s X (fs) = (Xf)s + f X s (3.18) Curbura conexiuni liniare va fi dată de operatorul R : R(X, Y )Z = X ( Y Z) Y ( X Z) [X,Y ] Z (3.19) În plus, acum putem discuta de următoarea 2-formă diferenţială numită torsiunea conexiunii liniare, T = di, adică: T (X, Y ) = X Y Y X [X, Y ] (3.20) Legătura între curbură şi torsiune este dt = R I, I fiind identitatea. Luând în considerare (3.14) putem defini derivata ( X ω)(x 1,..., X p ). În particular, luând ω ca fiind R sau T, după calcule se obţin următoarele identităţi Bianchi: ( X R)(Y, Z) = R(T (X, Y ), Z) (X,Y,Z) (X,Y,Z) ( X T )(Y, Z) = (X,Y,Z) (X,Y,Z) R(X, Y )Z (X,Y,Z) T (T (X, Y ), Z), (3.21) sumarea fiind ciclică. Aceste identităţi se simplifică considerabil în cazul particular când T = 0, conexiunea liniară numindu-se simetrică: ( X R)(Y, Z) = 0 ; R(X, Y )Z = 0 (3.22) (X,Y,Z) (X,Y,Z) Pentru calcule, sunt utile exprimări în hărţi locale ale noţiunilor introduse.
74 Capitolul 3 Fie X = X i şi Y = Y j x i (3.18) obţinem că x j X Y = X i ( Y j două câmpuri în harta locală (U, ϕ). Folosind x i ) x + Y j j x i x j Deci, conexiunea este cunoscută în această hartă locală, dacă se cunosc câmpurile vectoriale = Γ k x i x j ij, funcţiile Γ k x k ij se numesc coeficienţii conexiunii liniare. Prin urmare vom avea: X Y = X i ( Y k x i + Γ k ijy j ) x k (3.23) Schimbând harta locală (U, ϕ) (U, ϕ ), bazele câmpurilor vectoriale în x U U sunt legate prin = xj, din care, după calcul, se deduce x i x i x j regula de schimbare a coeficienţilor de conexiune: Γ i jk = x i x m x n x h x j x k Γh mn + x i 2 x h (3.24) x h x j x k Dacă luăm în seamă liniaritatea curburii şi a torsiunii, ne este suficient să cunoaştem ( ) ( ) R x, j x k x = i Rh ijk x ; T h x, = T k i x j ij (3.25) x k Folosind (3.19) şi (3.20), calculul lor ne conduce la : R h ijk = Γh ik x j Γh ij x k + Γl ikγ h jl Γ l ijγ h kl (3.26) T k ij = Γ k ij Γ k ji (3.27) Derivata covariantă a unui câmp tensorial t de tip (p, q) se face după formula (3.14), şi obţinem tensorul : i t k 1...k p j 1...j q = tk1...kp j 1 l...j q + x i p h=1 Γ k h il t k 1...l...k p j 1...j q q h=1 t k 1...k p j 1...l...j q Γ l ij h (3.28) unde prin i t înţelegem derivarea x i t şi care se mai notează tk 1...k p j 1...j q i.
Derivata covariantă. 75 Identităţile lui Bianchi local se scriu: { i Rljk h + RlrkTij} h r = 0 (3.29) (i,j,k) (i,j,k) { i T h jk R h kij + T h lkt l ij} = 0 (3.30) În cazul T = 0 al conexiunilor liniare simetrice, aceste identităţi Bianchi devin: i R h ljk + j R h lki + k R h lij = 0 (3.31) R h ijk + R h jki + R h kij = 0 (3.32) Putem discuta de conexiuni liniare care au atât torsiunea cât şi curbura nulă, T = R = 0. Acestea se numesc conexiuni local afine. Existenţa unei conexiuni local afine implică faptul că schimbările de hărţi locale se fac liniar, cu ajutorul transformărilor afine, spaţiul prezentându-se local ca un spaţiu afin. Diferenţa esentială dintre un spaţiu plat, pentru care curbura şi torsiunea sunt nule în orice punct, şi unul curbat este că, dacă dorim să transportăm un vector dintr-un punct în altul rămânând paralel cu el însuşi, acest lucru nu este posibil pe orice drum ce leagă cele două puncte din spaţiul respectiv. Să ne imaginăm sfera S 2. Figura 3.3: Geodezice
76 Capitolul 3 Un vector perpendicular pe ecuator şi tangent la sferă se va transporta paralel cu el pe întreg ecuatorul. Dacă un vector va face un unghi θ π 2 cu tangenta la ecuator, atunci el nu mai rămâne paralel cu el însuşi, dar unghiul θ rămâne acelaşi indiferent de punctul de pe ecuator. Nu acelaşi lucru se poate spune despre alte curbe de pe sferă ce nu sunt cercuri. Desigur, unghiul dintre cei doi vectori se calculează de fiecare dată în planul tangent la sferă în punctul respectiv. Vom spune că un vector dat, tangent la sferă, este transportat prin paralelism pe o curbă de pe sferă dacă în alte puncte de pe curbă el are aceeaşi poziţie (acelaşi unghi faţă de tangentă la curbă) şi aceeaşi mărime cu vectorul dat. Deci este necesar să generalizăm această idee de a ţine vectorul constant în sensul spus mai sus. Fie o conexiune liniară şi Γ : t x i (t) o curbă de pe varietatea M. Vom spune că un vector Y se transportă prin paralelism în lungul lui Γ dacă derivata sa covariantă în raport cu vectorul tangent la curbă ẋ i (t) se anulează, ẋi (t)y = 0. Dacă Y este şi el un câmp vectorial în lungul curbei Γ, atunci componentele sale se vor exprima funcţie de parametrul t, Y (t) = Y i (t) ( x )x(t) şi i condiţia de transport paralel în lungul lui Γ se traduce prin: dx i dt [ ] Y k x (t) + i Γk ij(x(t))y j (t) = dy k dt + Γ k ij(x(t)) dxi dt Y j (t) = 0 Curbele pentru care în particular vectorul tangent ẋ(t) se transportă prin paralelism în lungul ei se numesc curbe autoparalele, sau geodezice ale spaţiului respectiv. Deoarece în acest caz Y k (t) = ẋ k (t) = dxk, rezultă ca dt ecuaţiile unei geodezice sunt: d 2 x k dt 2 + Γk ij(x(t)) dxi dt dx j dt = 0 (3.33) Revenind la exemplul cu sfera, curbă geodezică va fi aceea pentru care vectorul său tangent transportat în lungul curbei face acelaşi unghi cu tangenta la curbă, singurele geodezice de pe sferă fiind doar cercurile mari. Rezultă că o conexiune liniară, de fapt, măsoară abatera de la paralelism a unui câmp vectorial. Legat de geodezice, sunt cunoscute multe alte rezultate. În cazul varietăţilor dotate cu metrici aceste rezultate capătă o semnificaţie geometrică mai substanţială.
Vatietăţi riemanniene. 77 3.3 Vatietăţi riemanniene. După cum ştim, un spaţiu vectorial real se geometrizează atunci când este dotat cu un produs scalar, adică atunci când el este euclidian. Considerând M o varietate diferenţiabilă, în fiecare punct putem lua spaţiile tangente T x M, care sunt spaţii vectoriale, în care putem lua un produs scalar g x. Presupunem că aplicaţia x g x este diferenţiabilă, atunci obţinem o secţiune g L 2 (T M, R), perechea (M, g) numindu-se varietate riemanniană. Mai exact, numim varietate riemanniană perechea (M, g), unde g este o secţiune în fibratul aplicaţiilor reale biliniare ce satisface condiţiile: a) g(x, Y ) = g(y, X), X, Y χ(m) b) g(x, X) 0 şi g(x, X) = 0 X = 0, X χ(m) g se numeşte metrică riemanniană. Să considerăm (U, ϕ) o hartă locală în x U şi X = X i, Y = Y j, x i xj două câmpuri vectoriale. Ţinând seamă de biliniaritatea lui g, rezultă că, în x U, metrica reimanniană va fi dereminată de următoarele n 2 funcţii diferenţiabile ( ) g ij = g x,, i x j iar g(x, Y ) = g ij X i Y j (3.34) Din condiţiile a) şi respectiv b) rezultă că g ij = g ji şi că forma pătratică h = g ij X i X j este pozitiv definită. În plus, la schimbări de hărţi locale, g ij se transformă astfel: ( ) g ij = g x, = x k x h i x j x i x j g kh, deci, este un tensor de tip (0, 2). Trecând la deteminanţi obţinem că ( ) x k 2 det g = det det g (3.35) x i Condiţia b) de pozitivă definire ne asigură de existenţa matricei inverse (g ij ) a lui (g ij ), g ik g kj = δ i j, tensorul g ij fiind de tip (2, 0).
78 Capitolul 3 că Considerând baza duală {dx i } i=1,n, cum dx i (X) = X i, din (3.34) rezultă g = g ij dx i dx j (3.36) adică este o formă patratică diferenţială. Aplicaţia X g X, unde g X este 1-forma g X : Y g(x, Y ), detemină în fiecare punct un izomorfism al spaţiilor tangente şi cotangente. Fiind dată o funcţie f F(M), prin gradientul său înţelegeem vectorul grad f, definit de g(grad f) = df. Într-o hartă locală el este dat de ij f grad f = g (3.37) x i x j Cum det g > 0,din (3.35) rezultă că det g şi ( ) det g se transformă ( cu ) x det k x. Varietăţile pe care există un atlas pentru care det k x i x i este pozitiv se numesc varietăţi orientabile. Pe o varietate orientabilă avem dω = det gdx 1... dx n = det g dx 1... dx n şi deci dω se conservă la schimbările de hărţi locale. Ea se numeşte forma de volum a varietăţii riemanniene. Divergenţa unui câmp vectorial X se defineşte prin (div X) dω = d(i X ω). De remarcat că slăbirea condiţiei b) de metrică riemanniană duce la unele încurcături. Aşa cum ştim din prima parte a cursului metrica ds 2 = η ij dx i dx j este pseudoriemaniană, det(η ij ) = 1. Unele din proprietăţile de pe varietăţile riemanniene se păstrează şi pe astfel de varietăţi pseudorieemaniene, altele nu. Deci, va trebui să fim cu mare atenţie asupra lor. Spre exemplu, pentru metrica ds 2 forma de volum va fi dω = det gdx 1... dx n. Revenind la varietăţile riemanniene, este bine cunoscut următorul rezultat ([31],[?],[34]..): Pe orice varietate riemanniană există o unică conexiune liniară 0, metrică şi simetrică, adică 0 g = 0, T = 0, numită conexiunea Levi-Civita, sau conexiunea riemaniană a spaţiului: 2g 0 ( X Y, Z) = Xg(Y, Z) + Y g(z, X) Zg(X, Y ) + (3.38) g([x, Y ], Z) + g([z, X], Y ) g([y, Z], X) Luând X =, Y = şi Z = în (3.38) obţinem următoarea x i x j x k exprimare locală a coeficienţilor conexiunii Levi-Civita: { Γ k ij = g hk ghj + g ih x i x g } ij (3.39) j x h
Vatietăţi riemanniene. 79 numiţi simbolii lui Christoffel. Două observaţii se cuvin făcute aici: 1. Existenţa conexiunii Levi-Civita pe un spaţiu pseudoriemannian se dovedeşte la fel cu condiţia ca metrica să nu fie degenerată, det g 0. 2. Anularea simbolilor lui Christoffel, Γ k ij = 0, atrage g ij = 0 şi deci x h coeficienţii metricii sunt constanţi indiferent de hartă, adică g = c ij dx i dx j şi din pozitiva definire a lui g deducem că varietatea M se comportă local ca un spaţiu euclidian. Considerând (M, g) şi (M, g ) două varietăţi riemanniene, se numeşte izometrie o aplicaţie h : M M,cu proprietatea că în fiecare x M avem: g x (X x, Y x ) = g h(x)(h,x X x, h,x Y x ) unde X x, Y x T x M şi h,x este aplicaţia tangentă. În particular, una din varietăţi poate fi subvarietate în cealaltă. Un exemplu util în acest sens este următorul. Fie M o sfera S 2 în varietatea M = R 3 cu metrica ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 în raport cu coodonatele carteziene u = (x, y, z). Pe S 2 putem considera coordonatele sferice v = (θ, ϕ) legate de cele din R 3 prin aplicaţia h(θ, ϕ) = (R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ) unde R este raza sferei S 2. În raport cu aceste coordonate ds 2 induce metrica ds 2 = R 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) pe S 2, aplicaţia tangentă h fiind dată de matricea Jacobi a transformării, adică: ( ) ( ) u i cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ = R v α sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ 0 ( ) Astfel că (h 1 ) αβ = ui u j 1 0 g v α v β ij = R 2 0 sin 2, adică tocmai metrica θ g αβ a lui ds 2. Deci h este o izometrie.
80 Capitolul 3 Se ştie că un câmp vectorial X pe o varietaete determină un grup uniparametric de transformări α t. Considerând cazul particular când cele două varietăţi coincid, atunci α t ar putea fi o izometrie. Aceste câmpuri vectoriale X pentru care α t este izometrie, adică g(α t Y, α t Z) αt(x) = g(y, Z) x, Y, Z T x M se numesc câmpuri Killing. Echivalent, avem că αt g = g. Calculul derivatei Lie a lui g în raport cu un vector Killing X ne arată că L X g = 0([31]). Vectorii Killing pe o varietate orientată păstrează forma de volum. Un spaţiu se numeşte cu simetrie sferică dacă admite un număr maximal de vectori Killing. În cazul lui R n putem determina acest număr maximal ţinând cont că orice izometrie în R n înseamnă translaţie (în număr de n faţă de fiecare axă), rotaţii în număr de n(n 1)/2 (deoarece pentru fiecare coordonată putem lua n 1 direcţii de rotit) şi compuneri ale lor. În total sunt n+n(n 1)/2 = n(n + 1)/2 vectori Killing independenţi. Pe sfera S 2 cu metrica ds 2 vom avea trei vectori Killing independenţi X 1, X 2, X 3 ce corespund celor trei versori ai axelor de coordonate (avem rotaţii şi simetrii în raport cu cele trei axe ) din R 3. Rezolvând ecuaţia Killing şi apoi calculând croşetele lor se găseşte că [X 1, X 2 ] = X 3, [X 2, X 3 ] = X 1 şi [X 3, X 1 ] = X 2. În teoria grupurilor Lie se arată că astfel de vectori definesc generatorii grupului rotaţiilor SO(3). Să revenim acum asupra conexiunii Levi-Civita 0 a metricii g. 0 Curbura conexiuni permite introducerea unor noi tensori, în primul rând tensorul lui Riemann: cu proprietăţile: R(X, Y ; Z, V ) = g(r(z, V )Y, X) (3.40) R(X, Y ; Z, V ) = R(Y, X; Z, V ) ; R(X, Y ; Z, V ) = R(Z, V ; X, Y ) ; R(X, Y ; Z, V ) = 0, (Y,Z,V ) ultima ca o consecinţă a identităţilor Bianchi cu T = 0. Într-o hartă locală, tensorul lui Riemann este bine determinat de : R(, ;, ) = R x i x j x k x l ijkl. Din definiţia (3.40) rezultă că : R ijkl = g ih R h jkl (3.41)
Vatietăţi riemanniene. 81 în care Rjkl h este dat de (3.26), cu Γk ij simbolii lui Christoffel (3.39). Ţinând seamă de proprietăţile tensorului lui Riemann enumerate mai sus, se arată că doar 1 12 n2 (n 2 1) dintre componentele sale sunt independente. Deci, pentru cazul n = 4 vor fi 20 componente independente ale tensorului lui Riemann. Se numeşte curbură secţională în 2 planul (π) determinat de vectorii X şi Y din T x M, expresia: K(x, π) = R(X, Y ; X, Y ) g(x, X)g(Y, Y ) g(x, Y )g(x, Y ) (3.42) Curbura secţională depinde de planul (π) şi de x M. Dacă K depinde numai de x şi (π) spaţiul se numeşte cu curbură constantă. Este cunoscut următorul rezultat datorat lui F.Schur : Pe o varietate riemaniană conexă de dimensiune 3, dacă curbura K nu depinde de planul (π) atunci spaţiul este cu curbură constantă. Pe un spaţiu cu curbură constantă tensorul de curbură este R(X, Y )Z = K[g(Z, Y )X g(z, X)Y ]. Un alt tensor legat de cel de curbură este tensorul lui Ricci: S(X, Y ) = trace (V R(V, X)Y ) (3.43) Tensorul lui Ricci se poate exprima în funcţie de o bază ortonormată {e i } i=1,n din T x M sub forma S(X, Y ) = n R(e h, X; e h, Y ) h=1 şi este independent de această bază. Se observă că tensorul lui Ricci este simetric, S(X, Y ) = S(Y, X). Local, tensorul lui Ricci are exprimarea S ij = S( x i, x j ) = n Rilj l = l=1 n g hk R ihjk (3.44) h=1 Se numeşte curbură scalară Ricci (sau scalarul de curbură Ricci) funcţia scalară: ρ = g ij S ij (3.45)
82 Capitolul 3 Se numeşte spaţiu Einstein un spaţiu riemannian pentru care tensorul Ricci este proporţional cu metrica, S(X, Y ) = λg(x, Y ). Spaţiile cu curbură constantă sunt spaţii Einstein. Din punct de vedere intuitiv, am văzut că tensorul de curbură măsoară abaterea varietăţii de la un spaţiu local euclidian. Aceeaşi semnificaţie revine tensorului lui Riemann. Curbura secţională constantă egală cu zero înseamnă varietate local euclidiană, pozitivă înseamnă local izometrică cu o sferă (suma unghiurilor unui triunghi de pe varietate este > π), negativă înseamnă că varietatea este local izometrică cu un spaţiu hiperbolic (suma unghiurilor unui triunghi este < π) Tensorul lui Ricci măsoară abaterea de la un spaţiu local euclidian între două direcţii tangente la varietate. Curbura scalară Ricci e o medie pe varietate a tensorilor lui Ricci şi apare în expresia volumelor unor sfere mici centrate în fiecare punct de pe varietate. Alte semnificaţii ale acestor obiecte geometrice sunt discutate în [19]. Tensorul lui Ricci verifică o proprietate geometrică interesantă. Să plecăm de la identitatea (3.31) lui Bianchi pentru conexiunea Levi-Civita cu T = 0 : 0 i Rljk+ h 0 j Rlki+ h 0 k Rlij h = 0 în care facem contracţia indicilor j şi h (egalarea lor şi sumare): 0 i S lk + 0 j R j lki 0 k S li = 0 Din faptul că 0 g = 0 rezultă că 0 (gs) = g 0 S, şi dec,i ridicând indicii în ecuaţia precedentă cu tensorul g lm, obţinem derivata covariantă a tensorului lui Ricci de tip (1,1), S m k = glm S lk : 0 i Sk m + 0 j g lm R j lki 0 k Si m = 0 în care contractând din nou indicii m şi k, obţinem că: şi deci : g lk R j lki = glk g jh R hlki = g lk g jh R hlik = g jh S hi = S j i, 0 i ρ 0 j S j i 0 k Si k = 0, adică 0 i ρ = 2 0 j S j i (3.46) Introducem acum tensorul lui Einstein: E ij = S ij 1 2 ρg ij (3.47)
Vatietăţi riemanniene. 83 sau contractat cu g mj : E m i = S m i 1 2 ρδm i (3.48) Derivăm (3.48) în rapor cu 0 m şi, ţinând cont de (3.46), obţinem: 0 m Ei m = 0 m Si m 1 2 δm i 0 m ρ = 0 (3.49) Deci divergenţa tensorului Ei m a lui Einstein este nulă, operatorul de derivare parţială fiind înlocuit cu derivarea covariantă. Tensorul lui Ricci şi scalarul Ricci sunt legaţi de urma tensorului lui Riemann, în consecinţă şi tensorul lui Einstein este legat de el. Un alt tensor ce se leagă de tensorul lui Riemann este tensorul lui Weyl: C ijkl = R ijkl 2 ( ) 2 gi[k S l]j g j[k S l]i + n 2 (n 1)(n 2) ρg i[kg l]j (3.50) unde [, ] înseamnă comutarea indicilor respectivi. O proprietate importantă a tensorului lui Weyl este că el rămâne invariant la transformările conforme ale metricei g, adică metrici de forma α(x)g. Aşa cum spuneam g ij se numeşte tensorul metric al varietăţii riemanniene. El aduce precizări asupra lungimii arcelor de curbă pe varietate. Fie Γ : t x i (t) o curbă pe M. Atunci funcţia s(t) = t t 0 g ij dx i dt dx j dt (3.51) dt nu depinde de hărţile locale şi se numeşte parametrul natural al curbei. Cantitatea ds = g i dx j dx ij dt este elementul de arc de curbă pe Γ. dt dt Noţiunea capătă semnificaţie geometrică importantă în studiul geodezicelor conexiunii riemanniene 0. Am dedus în (3.23) ecuaţiile unei geodezice pentru o conexiune oarecare. Să luăm această conexiune să fie cea riemanniană cu Γ k ij simbolii lui Christoffel. Atunci geodezica este dată de sistemul de ecuaţii diferanţiale de ordin doi : d2 x k + Γ k dt 2 ij dxi dx j = 0. dt dt Să considerăm funcţia lui Lagrange L = ds = g ij dx i dt dx j dt
84 Capitolul 3 pe curba Γ. Scriind problema variaţională pentru Lagrangianul L, se găseşte([40],[?]) că ecuaţiile Euler-Lagrange sunt echivalente cu ecuaţiile următoarei geodezice: d 2 x k ds 2 + dx i dx j Γk ij ds ds = 0, scrisă în parametrul natural ds. Rezultă că o curbă pe o varietate riemanniană este geodezică dacă şi numai dacă extremizează (minimizează) lungimea arcului de curbă. Deci geodezicele sunt curbe de lungime minimă ce unesc două puncte de pe varietatea riemaniannă. Aşa cum am mai afirmat, raţionamentele ce vizează proprietăţi tensoriale (conexiune, curbură, torsiune..) sunt identice ca exprimare într-un spaţiu pseudoriemannian în care metrica satisface doar condiţia de nedegenerare, det g 0, fără a fi pozitiv definită. În schimb probleme ce vizează forma de volum, lungimea arcului de curbă trebuiesc analizate separat. Considerând universul spatio-temporal cu metrica ds 2 = η ij dx i dx j, am văzut că cel mai convenabil parametru pe o linie de univers este timpul propriu τ. Mergând pe ideea de mai sus pentru calculul lungimii arcului de curbă ds, aici lucrurile se complică deoarece ds poate fi o cantitate reală pozitivă (interval de tip temporal), imaginară (interval spaţial) sau chiar 0 (interval izotrop). În situaţia intervalelor de tip temporal, cu τ parametru, lucrurile se petrec ca în cazul riemannian şi deci caracterul extremal al geodezicei se referă la lungimea sa în raport cu timpul propriu. Să remarcăm că ecuaţiile geodezicei rămân neschimbate la transformări afine ale timpului propriu, τ = aτ + b, cu a şi b constante reale. În cazul intervalelor de tip spaţial nu mai putem lua τ ca parametru. În schimb τ este un parametru convenabil, ecuaţiile geodezicei rămân neschimbate ca formă, dar interpretarea este alta. Pentru cazul izotrop parametrul τ trebuie schimbat în totalitate, putând exista geodezice de lungime nulă ce unesc două punte diferite. De remarcat că la aceste schimbări de parametru caracterul geodezicei de a fi de tip temporal, spaţial sau izotrop nu se schimbă deoarece unghiul vectorilor se păstrează prin transport paralel şi aceasta se reflectă la produsul scalar g ce satisface 0 g = 0. Lungime extremă a curbei nu înseamnă neapărat minimă. Spre exemplu, lungimea unei geodezice temporală este maximă deoarece putem aproxima
Vatietăţi riemanniene. 85 curba temporală cu o curbă care pe bucăţi are lungimea nulă (de tip izotrop) şi curba rezultată este de lungime maximă. Situaţia poate fi comparată cu următoarea : Pe sfera S 2 două puncte pot fi unite printr-o geodezică care este cercul mare de pe sferă ce le uneşte în două moduri, pe arcul de cerc mai scurt, sau pe cel mai lung. În cazul geodezicelor temporale o luăm pe drumul mai lung. Această situaţie seamănă cu cea a unui astronaut ce înaintează în vârstă datorită dilatării timpului. În cazul geodezicelor spaţiale este vorba de minimul lungimi distanţei. Figura 3.4: Lungimea geodezicelor în M 4,1
86 Capitolul 3
Capitolul 4 Teoria gravitaţiei. 4.1 Universului spaţio-temporal Einsteinian. Să revenim la experimentul descris la începutul celei de-a doua părţi a acestei lucrări. Unui observator aflat într-un lift în cădere liberă i-am asociat un sistem de referinţă inerţial local, SRIL, în raport cu care forţa gravitaţională este compensată de cea de inerţie. Am formulat pe această cale pricipiul echivalenţei masei inerte cu cea gravitaţională. Caracterul local al SRIL se referă la o zonă în care câmpul gravitaţional este omogen ca densitate şi staţionar în timp. Pe de altă parte, aceluiaşi observator putem să-i asociem un sistem de referinţă neinerţial SRN, fixat într-un punct de pe Pământ, în raport cu care se observă căderea liftului. Caracterul neinerţial rezultă din căderea accelerată a liftului. Presupunem că în SRIL un punct P are coordonatele P (ξ 0 = cτ, ξ 1, ξ 2, ξ 3 ), τ fiind timpul propriu. În SRN, acelaşi punct are coordonatele P (x 0 = ct, x 1, x 2, x 3 ). Construcţia spaţio-temporală făcută în prima parte, privind teoria relativităţii restrânse, se poate aplica la SRIL situate într-o vecinătate a lui P, relativ la metrica ds 2 = η ij dξ i dξ j, (4.1) metrică ce rămâne invariantă relativ la SRIL dintr-o vecinătate a lui P (x), adică puncte Q(x + dx). Dacă ar exista o transformare bijectivă (x) (ξ) între cele două sisteme de coordonate la care se raportează punctul P, pro- 87
88 Capitolul 4 blema studiului în SRN ar fi rezolvată. Avem: şi introducând următorii coeficienţi : obţinem că ds 2 în SRN se scrie: ds 2 = η ij ξ i x k ξ j x h dxk dx h g kh = η ij ξ i x k ξ j x h (4.2) ds 2 = g kh dx k dx h (4.3) Cantităţile formale e i ξi k := sunt cunoscute în literatura de spacialitate sub x k denumirea de veilbeins. Să analizăm proprietăţile lui g kh. În primul rând, g kh (x) sunt componentele unui (0, 2) tensor 4 dimensional, simetric, deoarece la schimbările de SRN avem: g kh ξ i ξ j = η ij x k x = η ξ i ξ j x m x n xm x n h ij = x m x n x k x h x k x g mn. h Acest tensor este nedegenerat: ( ) ξ i 2 det (g kh ) = det < 0. x m Notăm cu g = det (g kh ). O altă proprietate se referă la schimbările de SRIL. Să considerăm o transformare Lorentz generală de sisteme locale ξ i = a i k ξk + a i. Atunci d ξ i = a i k dξk şi deci: g kh = η ξ i ξ j ij x k x = η ija i ma j ξ m ξ n h n x k x = η ξ m ξ n h mn x k x = g kh. h A rezultat o proprietate remarcabilă a lui g kh (x), aceea că nu depinde de schimbările de SRIL. Spaţiul (R 4, g) se numeşte spaţiul pseudoriemanian sau universul spaţiotemporal Einsteinian, local fiind reductibil la universul spaţio-temporal al lui Minkowski M 4,1. Notăm cu g kh (x) = xk x h η ij inversul lui g ξ i ξ j kh, adică g ki g ih = δh k.
Universului spaţio-temporal Einsteinian. 89 Faptul că g ij (x) nu depinde de SRIL ne permite să particularizăm sistemul local într-o vecinătate a punctului P. Spre exemplu, pe o linie de univers Γ depinzând de parametrul t = x 0 /c, Γ : t (x 0, x 1 (x 0 ), x 2 (x 0 ), x 3 (x 0 )), să considerăm SRIL în raport cu care ξ α = const, α = 1, 2, 3, adică punctul P este spaţial fixat. Pentru aceste SRIL avem (ds 2 ) Γ = c 2 dτ 2, unde τ este timpul propriu măsurat cu un ceas legat de SRIL, insensibil la acceleraţia gravitaţională, numit timp standard. Astfel de sisteme locale sunt preferabile pentru a exprima legătura cu pseudometrica g ij (x). Pentru a le distinge vom nota coordonatele cu indice 0, ξ α 0 = const. Să presupunem acum că în SRN avem un punct A fixat spaţial, dx α = 0, α = 1, 2, 3. Un astfel de punct se numeşte punct de referinţă. Dintr-un punct de referinţă, două evenimente vecine P (x) şi Q(x + dx) vor depinde pe o linie de univers doar de t, măsurat cu un ceasornic numit de referinţă. Intervalul P Q va fi: ds 2 = g 00 (x) ( dx 0) 2 = c 2 dτ 2 (4.4) Deducem că g 00 > 0 şi că, într-un punct de referinţă, intervalele de tip standard şi cele de referinţă se leagă prin dτ = g 00 dt, cu dx α = 0, α = 1, 2, 3 (4.5) τ este timpul propriu specific SRIL(spre exemplu un ceas al unui astronaut) şi t este timpul real, care permite o comparare obiectivă a lucrurilor. Pentru două puncte de referinţă vecine A(x) şi B(x + dx) în SRN definim distanţa spaţială standard, dată de dl 2 = η αβ dξ α dξ β = η αβ ξ α 0 x i ξ β 0 x j dxi dx j. (4.6) Din (4.5) rezultă că ξ0 0 x 0 = g 00, iar ξα 0 x 0 Să calculăm şi ξ0 0 x α. Plecăm de la : dl 2 = η αβ ξ α 0 x µ ξ β 0 x ν dxµ dx ν. ξ 0 0 = 0, ξ α 0 fiind constant. Astfel că, ξ0 0 ξ j 0 g 0α = η ij x 0 x = η ξ0 0 α 00 x 0 x = ξ0 0 g α 00 x, α
90 Capitolul 4 ξ0 adică : 0 = 1 x α g00 g 0α. Înlocuind şi grupând termenii în (4.6), obţinem: Folosim notaţiile : Atunci dl 2 devine: dl 2 = η ij ξ i 0 x µ ξ j 0 x ν dxµ dx ν + η 00 ξ 0 0 x µ ξ 0 0 x ν dxµ dx ν = g µν dx µ dx ν + 1 g 00 g 0µ g 0ν dx µ dx ν = ( g µν + 1 g 00 g 0µ g 0ν )dx µ dx ν. γ α = 1 g00 g 0α ; γ αβ = γ α γ β g αβ (4.7) dl 2 = γ αβ dx α dx β (4.8) deci este o metrică spaţială, care nu este neapărat pozitiv definită. Legătura între ds 2 şi dl 2 este: adică: ds 2 = g 00 (dx 0 ) 2 + 2g 0α dx 0 dx α + g αβ dx α dx β = g 00 (dx 0 ) 2 + 2g 0α dx 0 dx α + (γ α γ β γ αβ )dx α dx β, ds 2 = (c g 00 dt + γ α dx α ) 2 dl 2 (4.9) O primă remarcă ce rezultă de aici este că dacă P şi Q sunt două puncte pentru care dx 0 = γα g00 dx α, atunci ds 2 = dl 2, deci o simultaneitate a evenimentelor în SRIL şi SRN. O altă remarcă se referă la aşanumita problemă a celor două ceasornice. Să considerăm τ timpul standard al unei particule materiale în SRIL şi v α = dx α /dt componentele vitezei de deplasare a particulei raportată la SRN, v = γ αβ v α v β marimea acestei viteze. Din (4.9) se obţine: adică: c 2 dτ 2 = (c ) dx α 2 g 00 + γ α (dt) 2 dl 2, dt [ ( dτ = c g 00 + γ ) ] 1 αv α 2 v2 2 dt (4.10) c c 2
Particula liberă în câmp gravitaţional. 91 Pe baza acestei formule putem compara indicaţiile τ ale ceasornicului standard situat sub acţiunea câmpului gravitaţional în raport cu cele ale unui alt ceasornic, în particular acesta ar putea fi de referinţă. Cum g 00 este strâns legat de câmpul gravitaţional, rezultă că ceasornicul standard merge mai încet acolo unde câmpul gravitaţional este slab. O altă experienţă legată de aceeaşi formulă (4.9) se referă la modificarea frecvenţei unui semnal luminos în câmp gravitaţional. Pe atomul de hidrogen se constată o scădere a frecvenţei atunci când unda vine dintr-un loc în care potenţialul gravitaţional este mai mic faţă de locul recepţiei. Se spune că are loc o deplasare spre roşu a spectrului luminos. 4.2 Particula liberă în câmp gravitaţional. 4.2.1 Ecuaţiile de mişcare ale particulei libere Presupunem că asupra unei particule acţionează doar forţa gravitaţională pe o linie de univers Γ. În raport cu un SRIL de pe curbă particula se comportă potrivit relativităţii restrânse, adică cvadriacceleraţia sa este nulă: d 2 ξ i = 0 ; i = 0, 1, 2, 3 (4.11) dτ 2 Sã trecem aceste ecuaţii în raport cu un SRN arbitrar: d 2 ξ i dτ 2 = d dτ ( ξi x j dx j dτ ) = Din care deducem că: 2 ξ i dx j dx k x j x k dτ dτ + ξi d 2 x j x j dτ = 0. 2 d 2 x h dτ 2 + dx j dx k Γh jk dτ dτ = 0 (4.12) unde Γ h jk = xh ξ i 2 ξ i x j x k. Se observă imediat că Γ h jk sunt independente de SRIL şi prin calcul direct se verifică faptul că la schimbări de SRN Γ h jk se transformă ca şi coeficienţi unei conexiuni liniare (3.24). Deci (4.12) reprezintă ecuaţiile unei geodezice în raport cu o conexiune liniară pe care am dori să o precizăm. Pentru aceasta vom da o altă formă coeficienţilor Γ h jk.
92 Capitolul 4 Să considerăm Lagrangianul particulei libere dξ L 0 = m 0 c η i dξ j ij dλ dλ = m 0c Notăm cu ẋ i = dxi dλ g ij (x) dxi dλ dx j dλ şi scriem ecuaţiile E-L pentru L 0, adică L 0 x d ( ) L0 = 0. k dλ ẋ k Ţinând cont că în L 0 doar g ij depind de x, obţinem: [ ] d g kj ẋ j 1 ẋ i ẋ j g ij dλ gij ẋ i ẋ j 2 gij ẋ i ẋ j x = 0 k Dacă luăm λ = τ atunci g ij ẋ i ẋ j = devin: d dτ Urmează să calculăm termenul d dτ astfel că, înlocuind mai sus, obţinem: dξ η i dξ j ij dτ dτ ( gkj ẋ j) 1 2 g ij x k ẋi ẋ j = 0 ( gkj ẋ j) = g kj ẍ j + g kj x i ẋi ẋ j, g kj ẍ j + g kj x i ẋi ẋ j 1 g ij 2 x k ẋi ẋ j = 0. Ţinând seamă de simetria lui g kj, rezultă: = c şi deci ecuaţiile E-L g kj d 2 x j dτ 2 + 1 2 ( gkj x i + g ki x j g ij x k ) dx i dτ dx j dτ = 0. (4.13) Obţinem de aici aceeaşi ecuaţie (4.12) a geodezicei în care se vede clar că Γ h jk sunt chiar simbolii lui Christoffel ai conexiunii riemanniene în raport cu metrica g ij. Metrica g ij (x) a spaţiului pseudoriemannian depinde în mod necesar de gravitaţie, motiv pentru care funcţiile g ij (x) se mai numesc potenţiale gravitaţionale. Deci întreg spaţiul (R 4, g) este o exprimare a acţiunii gravitaţiei. Problema principală rămâne de a găsi acele legi bijective de transformare (x) (ξ) şi de aici potenţialele gravitaţionale g ij (x).
Particula liberă în câmp gravitaţional. 93 4.2.2 Aproximarea newtoniană a câmpului gravitaţional. Mişcarea pe o geodezică a particulei libere în câmp gravitaţional este un argument pentru ideea ca geometria să descrie gravitaţia. Este acesta un argument şi suficient? Pentru a putea răspunde la această întrebare ar trebui cel puţin ca rezultatele din mecanica newtoniană să se încadreze în acest tablou. Limitele mecanicii newtoniene se referă la viteze mici şi la câmpuri gravitaţionale slabe, stabile în timp. Deci, să considerăm o particulă liberă într-un câmp gravitaţional în următoarele condiţii: a) Viteza particulei este mică comparativ cu viteza luminii, dx α /dx 0 1 Ca o consecinţă a acesteia, din dxα dτ = dxα dx 0 dx 0 dτ rezultă că dxα dτ b) Câmpul gravitaţional este static, adică g ij nu depind de x 0 = ct. c) Câmpul gravitaţional este slab: g ij = η ij + h ij unde h ij 1. dx0 dτ. În aceste condiţii, ecuaţiile (4.12) sau (4.13) ale geodezicei de mişcare a particulei libere pot fi aproximate doar la : Şi cum g ij x 0 d 2 x k dτ 2 + Γk 00 ( ) dx 0 2 = 0 (4.14) dτ = 0, rezultă că simbolii lui Christoffel sunt: Γ k 00 = 1 g 2 gkα 00 x 1 α 2 (ηkα h kα ) h 00 x 1 h α 2 ηkα 00 x = 1 h 00 α 2 x k unde h ij = η ik η jl h kl. Astfel că (4.14) se scrie: d 2 x k dτ = 1 h 00 2 2 x k ( ) dx 0 2. (4.15) Pentru k = 0, deoarece g ij nu depind de x 0, rezultă că nici h 00 nu depind de x 0 şi deci d2 x 0 = 0, adică dx0 = const. dτ 2 dτ dτ
94 Capitolul 4 Pentru k 0, calculăm intâi d 2 x α dτ = d ( ) dx α = d2 x α 2 dτ dτ (dx 0 ) 2 şi atunci (4.15) se scrie adică: d 2 x α dt 2 d 2 x α (dx 0 ) = 1 h 00 2 2 x, α = c2 2 ( dx 0 dτ ) 2 h 00, α = 1, 2, 3. (4.16) xα Semnificaţia newtoniană a lui d2 x α este cea a componentelor acceleraţiei dt 2 determinată de forţa de inerţie. Potrivit principiului echivalenţei a = Φ, unde Φ = GM este potenţialul gravitaţional. r Din (4.16) obţinem că Φ(x) = c2 h 2 00 şi deci g 00 = η 00 + h 00 este: g 00 = 1 + 2 Φ. (4.17) c2 Deducem că mişcarea particulei libere în condiţiile mecanicii newtoniene se face după formulele (4.16) ce includ potenţialul gravitaţional Φ. Pentru a descrie geometria spaţiului în care (4.16) este geodezică este suficient să cunoaştem g 00 dat de (4.17). Acest g 00 variază ca mărime, spre exemplu 1 c 2 Φ este 10 9 la suprafaţa Pământului şi 10 6 la suprafaţa Soarelui, ceea ce ne arată măsura în care geometria acestui spaţiu se abate de la cea euclidiană. 4.2.3 Principiul de covarianţă. Formularea oricărei legi a fizici trebuie să fie independentă de sistemul de coordonate. Mai mult în această teorie a gravitaţiei am acceptat principiul de echivalenţă Teoria relativităţii restrânse, valabilă aici în SRIL, conţine reguli ce se referă la derivate parţiale clasice. Trecând în SRN, geometria spaţiului este pseudoriemaniană, aici derivarea parţială nu mai păstrează caracterul tensorial al mărimilor, locul deivatei parţiale va fi luat de derivata covariantă. Principiul covarianţei, care este o consecinţă a acestor idei, afirmă că: atunci când trecem de la mărimi tensoriale, cunoscute în relativitatea restrânsă, la corespondentele lor din relativitatea generală, este necesar să păstrăm caracterul tensorial al lor.
Particula liberă în câmp gravitaţional. 95 Câteva cazuri prezintă interes deosebit şi vom arăta aici cum se transcriu. Spre exemplu, particula liberă, în baza acestui principiu al covarianţei, are traiectoria o geodezică, scrisă cu ajutorul derivatei covariante şi exprimă ecuaţii tensoriale invariante. Să vedem alte situaţii. Am spus în prima parte că specific mediului respectiv (electromagnetic, 0 T ij fluid, etc.) este un tensor, numit tensorul energie-impuls 0 spaţiul plat Minkowski verifică legea conservării energiei T ij (ξ) (ξ), care în = 0 (aici ξ i ξ i sunt coordonatele în SRIL şi am notat cu indice 0 componentele în raport cu acest sistem local). În spaţiul curbat pseudoriemannian această lege a conservării energiei va trebui să se traducă prin: i T ij = 0 unde T ij = xi ξ k x j ξ h 0 T kh, (4.18) ecuaţie ce exprimă conservarea energiei în prezenţa câmpului gravitaţional, fiind conexiunea Levi-Civita a metricii g ij (x) (am omis indicele 0 pentru conexiunea riemanniană pentru a nu crea confuzie). 0 Fie F ij 0 (ξ) tensorul elecromagnetic într-un SRIL şi J i (ξ) curentul 4- dimensional. Aceste mărimi ne conduc la tensorii corespunzători din spaţiul curbat (R 4, g), F ij 0 (x) = xi x j F kh şi respectiv J i 0 (x) = xi J k. ξ k ξ h ξ k 0 F ij şi 0 J i verificau ecuaţiile ecuaţiile tensoriale ale lui Maxwell: 0 ijk 0 [if jk] = 0 ; 0 0 0 f i 0 jf ij = 4π 0 J i Pentru a păstra caracterul tensorial, va trebui să înlocuim derivatele parţiale i= 0 cu derivatele covariante ξ i i. Astfel, legile lui Maxwell capătă următorul aspect tensorial: [i F jk] = 0, j F ij = 4πJ i (4.19) În notaţia cu bară pentru derivarea covariată a unui tensor, aceste ecuaţii se scriu: F jk i = 0, F ij j = 4πJ i cicl(i,j.k) j
96 Capitolul 4 Din nesimetria tensorului energie-impuls se poate trage concluzia existenţei potenţialului electromagnetic A i astfel ca: F ij = i A j j A i (4.20) sau, în formă diferenţială echivalentă, F = da. Ecuaţia (4.20) se poate obţine traducând cu principil de covarianţă ecuaţia 0 corespunzătoare din SRIL pentru un câmp potenţial A j. Analog, se poate aplica principiul de covarianţă pentru alte medii: fluid în câmp gravitaţional, etc. 4.3 Ecuaţii Einstein. Cu pregătirea geometrică de până acum într-un spaţiu curbat, dar şi cu rezultatele ce trebuie să aproximeze teoria newtoniană, suntem în măsură să introducem ecuaţiile Einstein, ecuaţii ce descriu legătura dintre metrica pseudoriemanniană şi tensorul energie-impuls. Există cel puţin două căi de a le introduce: I Cea intuitivă, bazată pe argumentele de până acum, metodă ce a scos în evidenţă genialitatea lui Einstein II Cea care porneşte de la principiul variaţional al mişcării, metodă gândită de D.Hilbert. Argumentele lui Einstein sunt următoarele : Ecuaţia de tip Poison a potenţialului gravitaţional Φ în mecanica newtoniană este Φ = 4πµG, unde G/c 2 = 7, 425.10 29. Am văzut că g 00 1 + 2 c 2 Φ, iar tensorul energie-impuls, în cazul unui fluid simplu, are componenta T 00 = µc 2. De aici deducem că g 00 χt 00, unde χ = 8πG. Deci, ecuaţiile ce trebuie găsite vor satisface (în particular) neapărat o astfel de condiţie de proporţionalitate a derivatelor de ordin doi ale tensorului metric în raport cu tensorul energie-impuls. Apoi, tensorul energie-impuls satisface legea de conservare (4.18), adică divergenţa sa este nulă i T ij = 0, sau echivalent i T i j = 0, fiind conexiunea Levi-Civita a metricei g ij (x). Un tensor proporţional cu el ar trebui să satisfacă o condiţie asemănătoare. Un asemenea tensor l-am întâlnit în partea pregătitoare a acestei teorii, el fiind tensorul lui Einstein (3.47): E ij = S ij 1 2 ρg ij (4.21)
Ecuaţii Einstein. 97 ce satisface (3.49), adică i E i j = 0. Apare natural pentru Einstein să lege geometria de mecanică prin următoarele ecuaţii: S ij 1 2 ρg ij = χt ij (4.22) numite ecuaţiile lui Einstein, χ se numşte constanta universală. Aceste ecuaţii răspund cerinţelor formulate mai înainte. Ulterior elaborării acestei teorii, Huble a demonstrat că în problema cosmologiei are loc o dilatare a Universului. Einstein constată că ecuaţiile sale nu răspund acestor idei cosmologice, fapt ce îl determină să adauge un factor. Care ar putea fi acest facor? Un alt tensor simetric şi cu derivata covariantă nulă nu este altul decât tensorul metric g ij. Astfel că : S ij 1 2 ρg ij + Λg ij = χt ij (4.23) sunt cunoscute ca fiind ecuaţiile Enstein cosmologice, Λ este constanta cosmologică. În acest capitol ne vom referi numai la ecuaţiile Einstein (4.22). În cazul câmpului gravitaţional slab g ij = η ij + h ij cu avem: h ij 1, Γ k ij 1 2 ηmk { i h mj + j h im m h ij } iar S ij = R h ihj m Γ m ij j Γ m im 1 2 ( i m h m j + j m h m i i j h m m h ij ). Din aproximarea newtoniană avem T αβ T 00, iar din calculul lui S ij rezultă că E ij E 00 şi prin urmare S αβ 1ρg 2 αβ.calculul scalarului de curbură ρ este: ρ = η ij S ij S 00 + 3ρ şi deci S 2 00 1 ρ. În consecinţă, 2 pentru aproximarea newtoniană a câmpului gravitaţional ecuaţiile Einstein se verifică. Să facem o scurtă analiză a ecuaţiilor Einstein.
98 Capitolul 4 Membrul stâng conţine aspectele geometrice ale spaţiului, în timp ce membrul drept este legat de aspectele mecanice ale spaţiului. Este un sistem de zece ecuaţii (datorită simetriei tensorilor) cu derivate parţiale de ordinul al doilea, necunoscute fiind componentele tensorului metric g ij în nunăr de 10. Dacă ţinem seamă că aceste ecuaţii verifică în fiecare membru legea conservării energiei, i T i j = 0, apar 4 dependenţe funţionale, deci din cele 10 ecuaţii doar 6 sunt independente, numărul necunoscutelor rămânând acelaşi. Drept urmare celor 10 ecuaţii li se pot impune patru condiţii suplementare, convenabile, pentru a elimina arbitrarietatea. De exemplu, se poate cere să avem : Γ k = g ij Γ k ij = 0, numite condiţii de armonicitate. Sistemul de ecuaţii rămâne oricum foarte complicat, soluţii pentru el se cunosc până în prezent doar pentru cazuri particulare. În alte situaţii sau încercat metode numerice. Chiar în cazul vidului când T ij = 0, şi deci ecuaţiile Einstein se reduc la E ij = 0, problema este tot complicată. Vom analiza în secţiunile următoare câteva metode de lucru în această situaţie. Ca pentru orice sistem de ecuaţii diferenţiale unicitatea soluţiilor depinde de condiţiile iniţiale impuse (problema lui Cauchy). Pentru simplitate putem lua de la început ca variabile potenţialele gravitaţionale g ij. Condiţiile iniţiale pentru un sistem de ecuaţii de ordinul al doilea vor trebui să se refere atât la valorile lui g ij pe o hipersuprafaţă Σ : t x i (t) cât şi pentru valorile lui t g ij Σ. În general, sistemul are un grad de arbitrarietate datorat celor patru dependenţe funcţionale. Pentru a rezolva problema condiţiilor iniţiale, fizicienii au propus un model, numit orizontul Cauchy, în care se consideră un domeniu conex S Σ. Cu D + (S) se notează domeniul de dependenţă în viitor ca fiind mulţimea tuturor punctelor P pentru care orice mişcare în trecut pe o curbă temporală, de lungime nulă sau infinită, intersectează S. Frontiera lui D + (S) se notează cu H + (S) şi se numeşte orizont Cauchy în viitor. Cu totul analog pentru mişcările în viitor se defineşte D (S) şi H (S). Privită pe imaginea euclidiană a spaţiului Minkowski, Σ este în interiorul hiperconului luminos, deoarece se referă la curbe temporale. Ecuaţiile Einstein pot fi scrise într-o formă echivalentă făcând următoarele
Ecuaţii Einstein. 99 calcule. Ridicăm indicii cu g jm şi obţinem: S m i 1 2 ρδm i = χt m i. Apoi făcând m = i rezultă: ρ 1 2 ρ 4 = χt, unde T = Ti i. Obţinem că ρ = χt, care înlocuit în (4.22) ne conduce la următoarea formă echivalentă a ecuaţiiloe Einstein: S ij = χ(t ij 1 2 T g ij) (4.24) Observăm că în cazul vidului, ecaţiile Einstein se reduc la anularea tensorului lui Ricci. Pentru a întări încrederea în ipoteza făcută privind forma ecuaţiilor Einstein, vom arăta pe scurt cum pot fi ele obţinute pe o cale mai matematizată din principiul variaţional al acţiunii, metodă descisă de Hilbert. Hilbert observă că, o funcţie scalară care să conţină derivatele parţiale de ordinul al doilea este scalarul lui Ricci, ρ şi în consecinţă consideră următoarea densitate de Lagrangian (pentru a avea independenţa de sistemul de coordonate): L H = gρ (4.25) g = det (g ij ) < 0. Acţiunea sa va fi A H = L H dω, unde dω = dx 0 dx 1 dx 2 dx 3. Cum ρ = g ij S ij, variaţia acţiuni ne dă: δa H = [ g g ij δs ij + g S ijδg ij + ρδ( g) ] dω (4.26) = δa 1 + δa 2 + δa 3 Variaţia δa 2 are o exprimare clară. Să explicităm celelalte variaţii. Să ne amintim că S ij = R h ihj, deci variaţiile δs ij vor fi legate de variaţiile Γ k ij Γ k ij = Γ k ij + δγ k ij. Cum diferenţa a două conexiuni este un tensor, rezultă că δγ k ij este un tensor şi deci derivarea sa h (δγ k ij) se va face ca a unui tensor. Înlocuind în variaţia curburii se obţine că δrijk h = j(δγ h ki ) k(δγ h ji). Astfel că variaţia δa 1 va fi: δa 1 = = g { g ij h (δγ h ji) j (δγ h hi) } dω g { m g im (δγ h hi) g ih (δγ m ij ) } dω
100 Capitolul 4 Calculul lui δ( g) ne conduce la δ(( g) 1 2 ) = δ[( g 1 ) 1 2 ] = 1 2 ( g 1 ) 3 2 δ( g) 1 = 1 g g δg 1 2 = 1 2 g gij δg ij. Înlocuind toate acestea în (4.26) şi grupând termenii se obţine întreaga variaţie: [ g δa H = S ij 1 ] 2 ρg ij δg ij dω (4.27) Pentru variaţii arbitrare ale metricii δg ij această variaţie a acţiunii va fi nulă dacă şi numai dacă tensorul lui Einstein se anulează, E ij = 0, adică tocmai ecuaţiile Einstein pentru vid. Pentru a obţine ecuaţiile în alt mediu este necesar să luăm în calcul şi acţiunea mediului respectiv A M, rezultanta acţiunii va fi o sumă de forma A = 1 8πG A H + A M (4.28) Refăcând calculul pentru variaţia acţiunii δa, se obţine că aceasta se anulează dacă şi numai dacă 1 8πG E ij + 1 δa M = 0 (4.29) g δg ij Acestea sunt tocmai ecuaţiile Einstein cu χ = 8πG, unde G este constanta gravitaţională a lui Newton şi T ij = 1 g δa M δg ij (4.30) este tensorul energie-impuls. Această exprimare ne dă de fapt cea mai bună cale de a scriie tensorul energie-impuls, acesta fiind o funcţie de acţiunea mediului. În acest context legea conservării energiei nu este altceva decât teorema de invarianţă a ecuaţiilor E-L, cunoscută sub denumirea de teorema lui Nöether. Nu intrăm în detalii în acest sens ([90],[41]..).
Soluţii ale ecuaţiilor Einstein pentru câmpul gravitaţional slab. 101 Cu totul analog, considerând acţiunea A H = g(ρ 2Λ)dω se pot obţin ecuaţiile Einstein pentru cosmologie. Metoda aceasta a lui Hilbert permite să obţinem alte generalizări ale ecuaţiilor Einstein. Am putea considera, spre exemplu, acţiuni de forma A H = g(ρ + αρ 2 + βs ij S ij +...)dω unde în paranteză păstrăm funcţii sclare. O altă generalizare a ecuaţiilor Einstein se referă la cazul când în locul conexiunii Levi-Civita a metricii g ij se ia o conexiune metrică dar cu torsiune. În această situaţie scrierea formală a ecuaţiilor Einstein are sens dar va trebui să fie insoţite de condiţii ce rezulta din invarianţa Nöether, adică legea conservării energiei. O astfel de discuţie o vom întâlni în capitolul final. 4.4 Soluţii ale ecuaţiilor Einstein pentru câmpul gravitaţional slab. În aproximarea newtoniană a câmpului gravitaţional am presupus trei condiţii care erau impuse de limitele teoriei newtoniene. În această secţiune vom căuta soluţii pentru ecuaţiile Einstein relativ la un câmp gravitaţional slab, fără a mai impune condiţiile ca acesta să fie static şi mişcarea particulei să se facă cu viteze mici. Drept aplicaţii vom obţine modele pentru radiaţia gravitaţională (ce variază în timp) şi pentru deflexia luminii(ce implică viteze mari de deplasare). Să presupunem că ne aflăm în prezenţa unui câmp gravitaţional slab: g ij (x) = η ij + h ij (x), h ij 1 (4.31) Metrica g ij apare ca o deviaţie a metricii Minkowski η ij cu ajutorul unor perturbaţii mici h ij. Vom face o aproximare pentru calculul inversei lui g ij. Faptul că h ij este suficient de mic ne permite să ignorăm termenii de ordin superior în dezvoltarea sa în serie şi după un calcul asemănător cu cel făcut la obţinerea transformărilor Lorentz să presupunem că h ij = a k i a l j h kl, unde a k i = x k. Atunci x i inversa matricei h ij se obţine prin ridicarea indicilor, h ij = η ik η jh h kh. Din (4.31) obţinem că : g ij = η ij h ij (4.32)
102 Capitolul 4 Dorim să examinăm ecuaţiile Einstein pentru metrica (4.31). Începem cu calculul simbolilor lui Christoffel Γ k ij. Înlocuind g ij din (4.31) şi (4.32), făcând apoi aproximările cunoscute, găsim că : Γ k ij = 1 2 ηlk { hlj x i + h il x h ij j x l Un calcul direct ne permite acum să obţinem tensorul lui Riemann } (4.33) R ijkl = η im ( k Γ m jl l Γ m jk) = 1 2 { j k h il + i l h jk j l h ik i k h jl } şi tensorul lui Ricci: S ij = 1 { } j k h k i + i k h k j i j h h ij 2 (4.34) (4.35) unde h j i = ηjk h ik şi este operatorul lui D Alambert, Scalarul lui Ricci este: = 2 ct 2 x 1 2 x 2 2 x 3. ρ = i j h ij h (4.36) unde h = η ik h ik. Tensorul lui Einstein capătă exprimarea liniarizată: E ij = 1 2 { j k h k i + i k h k j i j h h ij η ij k l h kl + η ij h } (4.37) Acest tensor poate fi obţinut şi din problema variaţională pentru un Lagrangian liniarizat (4.25). Ecuaţiile Einstein liniarizate, E ij = χt ij, se pot scrie dacă se cunosc componentele tensorului energie-impuls. Putem presupune că acestea sunt mici, adică T ij trebue să fie de aceeaşi magnitudine ca şi perturbaţia, şi care să verifice legea de conservare k T ki = 0. În cazul vidului, ecuaţiile Einstein se reduc la anularea tensorului lui Ricci, S ij = 0. Înainte de a pune în discuţie rezolvarea acestor ecuaţii, se ridică o problemă: cea a caracterului geometric al scrierii metricii g ij = η ij + h ij. La schimbări de SRN perturbaţiile h ij se vor schimba într-un mod necunoscut
Soluţii ale ecuaţiilor Einstein pentru câmpul gravitaţional slab. 103 şi deci pentru a păstra caracterul geometric al scrierii este necesară modificarea lor astfel încât g ij să aibă caracter tensorial. Aceste mărimi h ij au şi un caracter infinitesimal fapt ce ne duce cu gândul la transformările gauge. Să considerăm spaţiul Minkowski ca varietate bază M b, şi universul Einsteinian (R 4, g) ca spaţiu fizic M f. Problema caracterului tensorial al lui g ij se reduce deci la a defini perturbaţiile h ij astfel ca metrica η ij de pe M b să se transforme într-o metrică g ij de pe M f. Să presupunem că avem un difeomorfism Φ : M b M f (existenţa sa în cazul de faţă o vom discuta). Acesta va duce tensorii de pe M b în tensori de pe M f, în particular tensorul metric η ij va fi dus într-o metrică pe care o notăm cu g ij. Aplicaţia sa cotangentă Φ va duce invers, tensorul metric g ij de pe M f în metrica (Φ g) ij de pe M b. Figura 4.1: Câmp slab gravitaţional Definim atunci pe M b următoarele perturbaţii determinate de difeomorfismul Φ : h ij = (Φ g) ij η ij (4.38) Dacă pe M f câmpul gravitaţional este slab, va trebui să ne alegem acele difeomorhisme Φ pentru care h ij 1. Faptul că g ij verifică ecuaţiile Einstein pe M f impune ca h ij să satisfacă ecuaţiile Einstein liniarizate de pe M b, deoarece ele pot fi privite ca fiind imaginea prin Φ a ecuaţiilor Einstein de pe M f. Existenţa unui astfel de difeomorfism pentru care perturbaţiile sunt mici este legată de transformări gauge. Cum se poate obţine el?. O metodă ar fi
104 Capitolul 4 urmãtoarea : Să fixăm un câmp vectorial X pe M b şi fie α ε grupul său uniparametric, Φ un difeomorfism oarecare. Atunci Φ α ε este un difeomorfism ce îndeplineşte cerinţa că perturbaţiile sale sunt mici. Alegerea lui X, şi deci a lui α ε, depinde de situaţia fizică ce se studiază. Spre exemplu, dacă (x i ) sunt coordonatele în SRN şi (ξ i ) sunt coordonatele în SRIL, atunci grupul uniparametric poate fi gândit ca o transformare de forma α ε : x i εξ i. O transformare gauge convenabilă din punctul de vedere al invarianţei ecuaţiilor Einstein este cea armonică pe care noi am anticipat-o([?],[92],[22]): Să vedem care sunt perturbaţiile în acest caz. Condiţiile de armonicitate se scriu echivalent: g ij Γ k ij = 0 (4.39) i h i j 1 2 jh = 0 (4.40) relaţie numită şi transformare gauge Lorentz sau, de către alţii, Einstein. În raport cu această transformare ecuaţiile Einstein cu E ij din (4.37) se simplifică considerabil: h ij 1 2 η ij h = 2χT ij (4.41) Pentru cazul vidului ecuaţiile liniarizate ale lui Einstein S ij = 0 cu această transformare gauge armonică devin: h ij = 0 (4.42) numite ecuaţiile relativiste ale undelor, şi care descriu distribuţia cămpului graviataţional în vid. O altă formă a acestor ecuaţii şi a metricii perturbatoare se obţine considerând următoarele noi perturbaţii sugerate de (4.41): h ij = h ij 1 2 η ijh (4.43) ce umăresc ca transformarea gauge Lorentz-Einstein (4.40) să devină: i hi j = 0 (4.44)
Metrica Schwarzschild cu simetrie sferică. 105 Drept consecinţă (4.42) se scrie: h ij = 0 (4.45) În cadrul restrâns al aproximării newtoniene am găsit că h 00 = 2 Φ, lucru c 2 care trebuie să se verifice şi aici. Mai facem o aproximare, presupunem că h αβ h 00. Rezultă : h00 = 2h 00 = 4 Φ şi atunci h = η ij hij h c 2 00 = 4 Φ. Pe de altă parte h = h. c 2 Rămâne de calculat : h α0 = h α0 1η 2 α0 h = 0, şi calculul componentelor h αβ = h αβ 1η 2 αβ h = 2Φ δ c 2 αβ. De aici obţinem forma metricii g ij = η ij + h ij. În concluzie ds 2 = g ij dx i dx j se scrie: ds 2 = (1 + 2Φ c 2 )(dx0 ) 2 (1 2Φ c 2 ) [ (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2] (4.46) ce reprezintă soluţie pentru ecuaţiile Einstein ale unui câmp gravitaţional slab. Aplicaţiile acestei metrici se referă la radiaţiile gravitaţionale(distribuţia câmpului gravitaţional) şi la deflexia luminii. Nu dorim să aprofundăm aici aceste probleme ce ar necesita mai multe cunoştinţe de fizică. Precizăm doar faptul că ecuaţiile de undă (4.45) admit soluţii de forma h jk = C jk e ikmxm, unde i este unitatea imaginară, K m sunt componentele unui covector constant şi C jk este un tensor constant. Pentru detalii se pot consulta: [?],[22]. 4.5 Metrica Schwarzschild cu simetrie sferică. Să părăsim cazul particular al câpmului gravitaţional slab şi să studiem alte soluţii pentru ecuaţtiile Einstein neliniare. Cea mai interesantă soluţie a fost dată de Schwarzschild imediat după formularea ecuaţiilor Einstein. Această soluţie priveşte cazul spaţiului cu simetrie sferică statică, şi sunt formulate pentru vid, S ij = 0. Simetria sferică înseamnă că spaţiul are aceleaşi simetrii ca şi ale sferei S 2. Deci problema este cea a determinării unei metrici cu o astfel de simetrie. Ştim deja că simetria lui S 2 este caracterizată de exitenţa a trei câmpuri Killing independente ce satisfac condiţiile: [X 1, X 2 ] = X 3, [X 2, X 3 ] = X 1, [X 3, X 1 ] = X 2.
106 Capitolul 4 Să considerăm în spaţiul R 3 coordonatele sferice: x 1 = r sin θ cos ϕ (4.47) x 2 = r sin θ sin ϕ x 3 = r cos θ în raport cu care metrica euclidiană din R 3 se scrie: dl 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 = dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) Fixând o valoare a lui r şi lăsând θ [0, π], ϕ [0, 2π] variabile se obţin punctele unei sfere S 2 din R 3. Astfel că R 3 poate fi acoperit, sau matematic spus foliat, cu aceste sfere cu centrul în origine : R 3 R S 2. Metrica dl 2 va rămâne invariantă la rotaţii dacă pentru r constant ea nu îşi schimbă scrierea în ϕ şi θ, adică: dl 2 = g(r)dr 2 + f(r)(dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) Prin darea în factor a unui termen putem presupune că f(r) = r 2, şi deci: dl 2 = A(r)dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) Această problemă poate fi încadrată într-o teorie mai amplă cu privire la varietăţile foliate: Dacă avem o varietate n dimensonală, x i coordonate locale, foliată de o subvarietate m dimensională, u α, α = 1, m, coordonate locale şi v a, a = 1, n m, coordonate într-o varietate suplementară, atunci întodeauna se poate alege coordonatele u α pe subvarietatea maximală astfel încât : g ij dx i dx j = g ab (v)dv a dv b + f(v)γ αβ (u)du α du β, unde γ αβ (u) este metrica subvarietăţii([92]) Să revenim, metrica universului Einsteinian ds 2 = g ij dx i dx j se poate scie dezvoltat : ds 2 = g 00 (dx 0 ) 2 + 2g 0α dx 0 dx α + g αβ dx α dx β, unde g αβ dx α dx β depinde numai de coordonatele spaţiale. În continuate să presupunem o condiţie suplimentară: metrica cu simetrie sferică să fie statică, adică g ij nu depind de timp. În acest caz se poate alege un al patrulea vector Killing 0 ortogonal familiei de suprafeţe t = const. Reducem forma pătratică ds 2 la expresie canonică prin metoda lui Gauss, adică efectuând o translaţie. Cum dl 2 este invariantă la translaţii obţinem,
Metrica Schwarzschild cu simetrie sferică. 107 analog ca în (4.9), următoarea expresie canonică : ds 2 = g 00 (r)(dx 0 ) 2 dl 2, adică : ds 2 = g 00 (r)(dx 0 ) 2 A(r)dr 2 r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) (4.48) Aceasta este deocamdată cea mai bună exprimare pentru metrica Schwarzschild statică, cu simetrie spaţială. Pentru simplitatea scrierii vom nota pe scurt g 00 (r) = B, astfel că metrica (4.48) are în raport cu coordonatele (x 0 = ct, r, θ, ϕ) (în această ordine) următorii coeficienţi nenuli: g 00 = B, g 11 = A, g 22 = r 2, g 33 = r 2 sin 2 θ Componentele matricei inverse lui (g ij ) sunt: g ii = 1 g ii şi g ij = 0 pentru i j. Prin calcul direct obţinem următorii coeficienţi nenuli ai lui Christoffel: Γ 0 01 = Γ 0 10 = B 2B, Γ1 11 = A 2A, Γ1 00 = B 2A, (4.49) Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 r, Γ1 22 = r A, Γ1 33 = r sin2 θ A Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1 r, Γ2 33 = sin θ cos θ Γ 3 32 = Γ 3 23 = ctgθ unde A = da, dr B = db Tensorul lui Ricci S ij = k Γ k ij j Γ k ik + Γl lk Γk ij Γ l jk Γk il are următoarele componente nenule: dr. S 00 = B 2A B 4A (A A + B B ) + 1 B r A S 11 = B 2B + B 4B (A A + B B ) + 1 r S 22 = 1 1 A + r 2A (A A B B ) S 33 = S 22 sin 2 θ A A (4.50) Astfel că ecuaţiile Einstein pentru vid, S ij = 0, ne conduc doar la S 00 = S 11 = S 22 = 0. Din (4.50) se obţine că 1 A S 11 + 1 B S 00 = 1 Ar (A A + B B ) = 0,
108 Capitolul 4 din care deducem : (A B) = 0 şi deci, A B = const. Atunci când r va trebui ca g ij η ij şi deci metrica (4.48) ar trebui să fie o aproximare a metricii Minkowski, adică lim A(r) = lim B(r) = 1 r r iar din A B = const.,rezultă că A(r) = 1/B(r). Înlocuim aceasta în S 11 = S 22 = 0 şi obţinem: S 11 = 1 2rB (rb + 2B ) = 0 ; S 22 = 1 B rb = 0 ds 22 Se observă că S 11 = 1 şi deci este suficient (lucru de aşteptat având 2rB dr în vedere identităţile Bianchi) de rezolvat ecuaţia S 22 = 0,adică : rb +B = 1, d const care se mai scrie: (rb) = 1. Astfel că B = 1 +. dr r Pentru determinarea acestei constante, facem ipoteza naturală că pentru r suficient de mare câmpul este de tip newtonian cu potenţialul Φ = MG/r. Pe de altă parte B = g 00 1 + 2 Φ(r) = 1 2GM şi deci: c 2 c 2 r B(r) = 1 A(r) = 1 r g r (4.51) unde r g = 2GM se numeşte rază gravitaţională. c 2 În final, obţinem următoarea formă a metricii Schwarzschild, statică cu simetrie sferică: ( ds 2 = 1 r g r ) ( (dx 0 ) 2 1 r g r ) 1 dr 2 r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 ) (4.52) Aşa cum vom vedea într-un alt paragraf, această soluţie comportă unele discuţii dar este singura pentru cazul simetriei sferice statice în vid, unicitatea fiind cunoscută sub denumirea de Th. Birkhoff. Pentru r = 0 sau r = r g se obţin singularităţi ale metricii, problemă care ne va conduce la o teorie interesantă. Pentru r metrica Schwarzschild coincide cu metrica Minkowski. Putem presupune că pentru un r = r 0 suficient de mare lucrurile se petrec astfel: în interiorul sferei de rază r 0 se aplică relativitatea generală, în exteriorul său facem docamdtă ipoteza că spaţiul este plat (nu acţionează gravitaţia) şi se aplică relativitatea restrânsă.
Metrica Schwarzschild cu simetrie sferică. 109 4.5.1 Geodezicele metricii Schwarzschild. Pentru a putea scrie ecuaţiile de mişcare ale particulei libere va trebui să scriem ecuaţiile geodezicelor metricii Schwarzschild. Problema revine la a calcula simboli lui Christoffel din (4.49) cu B = 1 A = 1 r g r şi apoi să înlocuim în ecuaţiile geodezicelor. Se obţin ecuaţii diferenţiale a căror rezolvare deocamdată nu este prea uşoară. Să analizăm un caz particular important. Considerăm planul x 1 Ox 2, adică θ = π. În acest plan dacă A şi B sunt două puncte fixate, atunci fie 2 Γ o geodezică ce le uneşte. Deoarece în (4.52), cu sin 2 θ = 1, prin înlocuirea θ θ metrica nu-şi scimbă forma, înseamnă că geodezica Γ nu iese din planul θ = π, deoarece în caz contrar simetrica sa faţă de plan ar fi tot o 2 geodezică ce trece prin cele două puncte, fapt ce contrazice unicitatea ei. În concluzie Γ este în planul θ = π. 2 Pentru θ = π metrica (4.52) se reduce la : 2 ( ds 2 = 1 r g r ) ( (dx 0 ) 2 1 r g r ) 1 dr 2 r 2 dϕ 2 (4.53) Folosim următoarea notaţie simplificatoare: 1 rg = r eλ(r), fapt justificabil în exteriorul sferei de rază r g < r. Ecuaţiile geodezicelor se reduc la următorul sistem de trei ecuaţii diferenţiale: d 2 x 0 dτ 2 d 2 r dτ + λ 2 d 2 ϕ dτ 2 + 2 r dx0 + λ dτ 2 e2λ dϕ dτ dr dτ = 0 ( dx 0 dτ dr dτ = 0 ) 2 λ 2 ( dr dτ Prima şi ultima ecuaţie se rescriu: ) d (e λ dx0 = 0, dτ dτ ) 2 ( ) 2 dϕ re λ =0 dτ d dτ ( r 2 dϕ ) = 0, dτ (4.54) din care deducem că e λ dx0 dτ = α şi r 2 dϕ dτ = β sunt două constante.
110 Capitolul 4 În locul celei de-a doua ecuaţii scriem o condiţie mult mai convenabilă. Vectorul tangent dxi este costant în lungul geodezicei Γ, dτ (x0 = ct, x 1 = r, x 2 = π, 2 x3 dx = ϕ), şi deci g i dx j ij = γ = const pe geodezică. Adică, ( ) dτ dτ 2 e ( ) ( λ dx 0 dτ e λ dr 2 ) dτ r 2 dφ 2 dτ = γ. Din care, înlocuid α şi β, deducem ( ) 2 dr = α 2 e λ (γ + β2 dτ r ). 2 Luând în considerare şi faptul că ( ) dφ 2 ( dτ = β ) 2 r şi împărţind, rezultă: 2 ( ) 2 1 dr = 1 )] [α 2 e (γ λ + β2, (4.55) r 4 dϕ β 2 r 2 ecuaţie ce reprezintă geodezicele metricii Schwarzschild în coordonatele polare r, ϕ din planul θ = π. 2 Această ecuaţie se poate tansforma succesiv ţinând seamă că e λ = 1 rg. r Întâi să facem notaţia ρ = 1 r (4.55) devine ( ) 2 dρ = 1 dϕ β 2 Folosim acum notaţiile α 1 = α2 β 2. Din faptul că dρ dϕ [α 2 e λ (γ + β2 r 2 = dρ dr )]. dr = 1 dϕ şi β 1 = γ β 2, ecuaţia se rescrie: dr r 2 dϕ ecuaţia ( ) 2 dρ = α 1 + (1 r g ρ) ( β 1 ρ 2) (4.56) dϕ sau prin derivare în raport cu ϕ, în final obţinem ([86]): d 2 ρ dϕ 2 = r g 2 β 1 ρ + 3 2 r gρ 2. (4.57) Această formă a ecuaţiei geodezicelor în coordonatele polare ρ, ϕ din planul θ = π permite să dăm câteva interpretări şi soluţii unor probleme apărute 2 în astonomie şi fizică. Ele sunt cunoscute sub denumirea de probleme test şi au întărit încrederea în teoria elaborată. Iată pe scurt care sunt acestea.
Metrica Schwarzschild cu simetrie sferică. 111 a) Rotaţia planetelor în plan ecuatorial. Pentru a obţine notaţii uzale din astronomie să considerăm în (4.57) r g β 1 = 2 p şi 3 2 r g = q. - Deoarece în cazul planetelor ρ = 1 1, atunci r ρ2 1 şi într-o primă aproximare vom neglija termenul ρ 2. Astfel că ecuaţia geodezicelor este : ρ = 1 ρ, unde ρ este evident funcţie de ϕ. Integrând această ecuaţie p diferenţială se obţin următoarele soluţii: ρ = c 1 cos ϕ + c 2 sin ϕ + 1 p = L cos(ϕ ψ) + 1 p unde L = c 2 1 + c 2 2 şi tgψ = c 2 /c 1. Acum, efectuând eventual o translaţie, putem considera ψ = 0 şi notând e = Lp obţinem r = 1 ρ = p 1 + e cos ϕ, ecuaţia de mişcare a planetei. Deci într-o primă aproximare mişcarea planetei se face pe o conică(elipsă). - în a doua aproximare, căutăm soluţii pentru ecuaţia ρ = 1 ρ + p qρ2 de forma ρ = ρ 0 + ρ 1 în care ρ 0 este soluţia din prima aproximare şi pe ρ 1 îl presupunem suficient de mic. Înlocuim în ecuaţie şi rezultă: ρ 1 = ρ 1 + q(ρ 0 + ρ 1 ) 2. Cum ρ 1 l-am presupus mic, neglijând pe ρ 1 din paranteza cu pătratul, obţinem : ρ 1 = ρ 1 + qρ 2 0 = ρ 1 + q (1 + e cos ϕ)2 p2 ecuaţie liniară neomogenă în ρ 1 (ϕ). Integrând obţinem că ρ 1 = qe p 2 ϕ sin ϕ o soluţie, şi deci soluţia ρ = ρ 0 + ρ 1 în a doua aproximare este : ρ = 1 p + e p (cos ϕ + q ϕ sin ϕ) (4.58) p care nu mai este periodică datorită termenului ϕ sin ϕ. Aproximând totuşi p ϕ sin p ϕ (deoarece q p), ecuaţia (4.58) devine: q q ρ 1 + e cos(1 q )ϕ. Perioada lui ρ fiind acum 2π 2π(1 + q ). Deci p p p 1 q p p planeta se roteşte în planul ecuatorial cu unghiul ε = 2πq = 3π rg. Are loc p p
112 Capitolul 4 Figura 4.2: Abaterea de la elipsă o abatere de la elipsă, fapt sesizat în special pentru planetele grele, de exemplu pentru Mercur ε = 42 9 pe secol. Această abatera de la elipsă este cunoscută sub denumirea de precesia periheliului planetei, elipsele ne mai fiind curbe închise. b) Curbarea razelor de lumină în câmp gravitaţional. Razele de lumină au traiectorii aproximativ rectilinii, deci geodezicele vor avea vectorii tangenţi ( dxi ) nuli. În consecinţă γ = β dτ 1 = 0. Ecuaţia geodezicei devine: ρ = ρ + qρ 2. - într-o primă aproximare neglijăm ρ 2. Pentru ecuaţia ρ = ρ obţinem ca mai înainte soluţiile: ρ 0 (ϕ) = L cos(ϕ ψ), şi deci raza vectoare este r 0 = ecuaţia dreptei în coordonatele polare (r 0, ϕ ψ). -în a doua aproximare, facem mai întâi translaţia ϕ ψ ϕ şi deci presupunem că : ρ 0 = L cos ϕ. Apoi căutăm soluţii de forma ρ = ρ 0 + ρ 1 cu ρ 1 1. Rezultă: l, cu l = cos(ϕ ψ) L 1 = r 0 (0), adică tocmai ρ 1 = ρ 1 + qρ 2 0 = ρ 1 + q cos2 ϕ l 2,
Metrica Schwarzschild cu simetrie sferică. 113 care prin integrare ne dă: ρ 1 = q 3l 2 (1 + sin 2 ϕ). Astfel că soluţiile celei de-a doua aproximări sunt: ρ = cos ϕ l + q 3l 2 (1 + sin2 ϕ) (4.59) Deci are loc o abatere de la dreaptă a traiectoriei razei luminoase. Mai exact în vecinătatea lui ϕ = π + δ cu δ mic, făcând aproximările sin ϕ 1 şi 2 cos ϕ δ se obţine că δ 2q = rg adică 3l r(0) 1 74, valoare ce coincide cu cea obervată experimental în 1919 pentru raza luminoasă în câmpul gravitaţional al Pământului. c) Deplasrea spre roşu a razelor spectrului luminos. Fie S un punct fixa t - Soarele, şi P un punct mobil - Pământul, de masă neglijabilă în raport cu S. O sursă luminoasă are frecvenţa ν S şi lungimea de undă λ S raportat la un sistem cu originea în S. Faţă de un sistem cu originea în P raza luminoasă va avea frecvenţa şi respectiv lungimea de undă γ P şi λ P. Presupunem că raza are o direcţie fixată, adică θ şi ϕ sunt constante. Pe conul izotrop ds 2 = 0 al metricii Schwarzschild r devine funţie de t, astfel că din (4.52) obţinem o viteză, numită radială, la distanţa r a razei luminoase.: dr ( dt = c 1 r ) g (4.60) r şi dτ = g 00 dt dr dτ = c(1 r g r ) 1 2 Această viteză nu depinde de timp ci numai de r şi r g, şi deci două impulsuri luminoase lansate la un interval t S de pe S vor ajunge pe Pământ la acelaşi interval de timp raportat la S. Lungimea unui arc parcurs de raza luminoasă într-un interval t S va fi l = r şi îl obţinem din (4.60): ( l = r = c 1 r ) 1 2 g τs r S în care presupunem că raza pleacă din S. Dar lungimea de undă este distanţa parcursă în unitatea de timp, astfel că ( l = λ S = c 1 r ) 1 2 g τs. r P
114 Capitolul 4 Pentru observatorul din P, λ P = c(1 rg ) 1 2 τ r S, şi calculând raportul lor obţinem : ( ) 2 λp = 1 rg r P = 1 + r 1 g( r S 1 r P ) λ S 1 rg r S 1 rg r S După o aproximare a dezvoltării în serie Taylor a lui λ P λs λ P λ S 1 + r g 2r S. λ S λ S se obţine: Considerând λ P = λ S + λ S se obţine că: rg 2r S 2, 12 10 6, ce justifică o deplasare spre roşu a spectrului luminos. Observaţie: Aceste trei mari probleme au fost propuse ca teste clasice pentru teoria relativităţii generale. Am preferat aici o tratare directă, clasică, a lor pe baza teoriei geodezicelor metricii Schwarzschild. Se cunosc soluţii ce utilizează ceva multă geometrie în problema geodezicelor metricii Schwarzschild ([92],[74],[22]..) Iată câteva idei ce stau la baza acestor teorii. Simetria sferică statică am vazut că este caracterizată de patru vectori Killing : unul pentru translaţiile temporale şi trei pentru simetria sferică. Fiecare din ei lasă constant produsul scalar cu vectorii tangenţi la geodezică, adică dacă (K i ) sunt componentele unuia K din ei,atunci K i dxi = const.(λ parametru pe geodezică). Mai mult, dλ dx vectorii tangenţi sunt constanţi pe geodezică, g i dx j ij = ε = const. Dacă dλ dλ alegem λ = τ atunci ε ia doar una din valorile: ε = 1 pentru particulele grele(masice), ε = 0 pentru particulele uşoare (fară masă), ε = 1 pe geodezice de tip spaţial. Invarianţa faţă de translaţiile temporale duc la conservarea energiei, iar invarianţa la rotaţii spaţiale duc la păstrarea celor trei momente unghiulare. Momentele unghiulare au urmăoarele trei componente: una fiind magnitudinea şi două sunt direcţiile. Conservarea direcţiei momentului unghiular înseamnă că particula se mişcă într-un plan. Astfel că doi vectori Killing K 1, K 2 ce pastrează direcţia momentul unghiular vor fi caracterizaţi spre exemplu de θ = π. Al treilea vector Killing va trebui să păstreze magnitudinea momentului unghiular L = ϕ, adică K 3 = (0, 0, 0, r 2 sin 2 θ). Evident 2 al patrulea vector Killing este cel temporal, K 4 = (1 rg, 0, 0, 0). r Deoarece sin θ = 1, cele două cantităţi ce se păstrează sunt enegia ( E = 1 r g r ) dx 0 dτ
Metrica Schwarzschild cu simetrie sferică. 115 şi magnitudinea momentului L = r 2 dϕ. În cazul metricii Schwarzschild dτ se traduce prin : ( 1 r g r g ij dx i dτ ) ( ) dx 0 2 ( dτ dx j dτ = ε = const., 1 r g r care se poate scrie sub forma echivalentă: sau unde ) 1 ( dr dτ ) 2 ( ) dϕ r 2 = ε, dτ ( ) 2 dr ( E 2 1 r ) ( ) g L 2 dτ r r + ε = 0 (4.61) 2 1 2 V (r) = 1 2 ( ) 2 dr + V (r) = 1 dτ 2 E2 (4.62) ( 1 r g r ) ε + L2 2r 2 r2 g r 3 joacă rolul unui potenţial, ecuaţia (4.62) fiind asemănătoare cu cea clasică, atunci când se cunoaşte energia 1 2 E2 şi potenţialul V (r). Pe baza acestei ecuaţii, în deducerea căreia s-a ocolit problema obţinerii geodezicelor, în [92],[22] se justifică cele trei probleme propuse de Einstein. Considerăm că ele au fost clarificate prin abordarea clasică. Există alte probleme ulterioare celor trei formulate de Einstein şi care îşi găsesc interpretare cu metrica Schwarzschild: problema celor două stele pulsatoare, problema încetiniri timpului în câmp gravitaţional (descoperită de Shapiro), teoria găurilor negre-teorie asupra căreia vom insista în continuare, etc. d) Soluţii Schwarzschild pentru găurile negre. Până acum am considerat r g < r, cazul r g = r constituind o singularitate, iar în rest am aproximat spaţiul cu unul Minkowski. Situaţia aceasta r g r va fi analizată în continuare, şi se va numi gaură neagră (black hole), denumire ce o vom justifica în continuare şi care corespunde corpurilor de masă foarte mare, M = r g c 2 /2G. Nu ne propunem aici să facem o teorie a găurilor negre, ci doar să dăm o soluţie cu metrica Schwarzschild pentru ele. Pentru mai multe detalii se pot consulta [22],[37][64].
116 Capitolul 4 Să considerăm o rază pe conul luminos ds 2 de direcţie fixată, ϕ, θ constante. Atunci, din metrica Schwarzschild obţinem că: ( 1 r ) g (dx ) ( 0 2 = 1 r ) 1 g dr 2, r r adică : dt ( dr = ±1 1 r ) 1 g (4.63) c r dt dr Figura 4.3: Abaterea de la elipsă Privit în planul variabilelor t şi r atunci când r r g = 2MG rezultă că c 2 ± şi deci conul luminos se restrâge devenind direcţie asimptotică. Această situaţie se datorează alegerii sistemului de coordonate a metricii Schwarzschild, fiind o iluzie. Un observator ce ar emite un semnal din zona găuri negre se aude din ce în ce mai slab faţă de unul exterior ei, acest lucru justificându-se după aceleaşi formule de calcul al frecvenţelor din deplasarea spre roşu a sectrului luminos. Pentru a putea depăşi singularitatea respectivă este nevoie de o schimbare de coordonate. Direcţia asimptotică se traduce prin faptul că atunci când r r g timpul t creşte foarte rapid. Vom înlocui într-o primă etapă r cu r în lungul geodezicei nule: r = r g ln ( ) r 1 + r dr = 1 r g 1 rg r dr (4.64)
Metrica Schwarzschild cu simetrie sferică. 117 valabilă pentru r > r g, egalitatea fiind situaţie limită. Metrica Schwartzschild devine: ( ds 2 = 1 r ) ) g ((dx 0 ) 2 dr 2 r 2 dω 2 r unde peste tot de acum încolo vom folosi notaţia evidentă: dω 2 = dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 În continuare introducem coodonatele Eddington-Finkelstein: şi deci metrica se va scrie: ( ds 2 = ũ = x 0 + r ; ṽ = x 0 r (4.65) 1 r g r ) dũdṽ r 2 dω 2 (4.66) Acum putem introduce aşa-numita coordonată broască, x 0 = r + r + const, ce se modifică încet în lungul unei geodezice nule. Înlocuind mai sus dṽ în funcţie de dr şi dũ obţinem metrica Schwatzschild în coodonate Eddington- Finkelstein: ds 2 = (1 r g r )dũ2 (dũdr + drdũ) r 2 dω 2 (4.67) Privită în coordonatele (ũ, r, θ, ϕ) metrica (4.67) este nedegenerată, det (g ij ) = r 4 sin 2 θ, chiar şi în cazul singular r = r g al găurilor negre. Astfel că putem discuta de (g ij ), inversa metricii. Condiţia de geodezică nulă, ds 2 = 0, ne dă: { dũ dr = 0, în interiorul găurii negre, 2(1 rg r ) 1, în afara găurii negre. Analiza acestei situaţii ne arată că, în sistemul acesta de coordonate, conul luminos este bine definit şi pentru r = r g, mai exact avem următorul desen: Suprafaţa r = r g se numeşte orizontul evenimentelor, un eveniment din r < r g nu poate influenţa unul pentru r > r g. Odată trecut de orizontul
118 Capitolul 4 Figura 4.4: Abaterea de la elipsă evenimentelor este imposibil de văzut ce se întâmplă în interiorul său. De aici şi termenul de gaură neagră. Există şi altă cale de a aborda această problemă în afara introducerii coordonatelor broască. Facem în (4.66) schimbarea : u = e ũ 2rg ; v = e ũ 2rg (4.68) în urma căreia metrica (4.66) devine : ds 2 = 2r3 g r r e rg (du dv + dv du ) r 2 dω 2 (4.69) În această formă, coeficienţii metricii sunt bine definiţi şi pe orizontul evenimentelor. Mai deperte procedăm ca mai sus, notăm u = 1 2 (u v ), v = 1 2 (u + v ), variabile ce se pot scrie cu ajutorul sh(r/r g ) şi ch(r/r g ). Metrica devine: ds 2 = 4r3 g r e r ( rg dv 2 + du 2) r 2 dω 2, (4.70)
Metrica Schwarzschild cu simetrie sferică. 119 unde u, v sunt funcţii de r şi x 0. Sistemul de coordonate (v, u, θ, ϕ) se numesc coordonate Kruskal. Aceste coordonate prezintă proprietăţi interesante, în planul v, u având loc aşa-numita diagramă Kruskal. Figura 4.5: Diagrama Kruskal 4.5.2 Metrici cu simetrie sferică generalizată. Am văzut în obţinerea metricii Schwarzschild că termenul dω 2 = dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 constituie condiţia de simetrie sferică a metricii ds 2, iar condiţia ca ea să fie statică simplifica calculele, coeficienţii metricii fiind în acest caz funcţii numai de r. În continuare vom analiza mai în detaliu această metrică cu simetrie sferică (invariantă la transformările ortogonale spaţiale) fără a mai