Câteva rezultate de algebră comutativă

Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Câteva rezultate de algebră comutativă Aceste note conţin noţiuni şi rezultate de algebră comutativă care sunt utilizate pe parcursul cursului. Majoritatea rezultatelor sunt date fără demonstraţii, unele putând fi considerate ca exerciţii (acestea vor fi identificate cu simbolul ). Detalii pot fi găsite (de exemplu) în [2], [4], [8] sau [10]. 1 Inele 1.1 Inele, ideale Inelele vor fi întotdeauna comutative, cu unitate. Notăm S idealul inelului A generat de mulţimea S A: { } r S = f = a i f i / r N, f i S, a i A. i=1 Un ideal a al inelului A este de tip finit dacă admite un sistem finit de generatori: există x 1,..., x n a astfel încât orice x a se scrie n x = a i x i, a i A. i=1 Idealul a se numeşte principal dacă admite un sistem de generatori format dintr-un singur element. Notăm a sau aa idealul principal generat de elementul a A. Inelul A se numeşte inel principal dacă orice ideal propriu al său este principal. 1.1.1 Inele cât; o teoremă de izomorfism Fie A un inel şi a un ideal. Mulţimea cât A/a este înzestrată în mod canonic cu o structură de inel, care se numeşte inelul cât A/a. Morfismul de inele φ : A A/a, x x := x + a este surjectiv şi îl numim proiecţie canonică. 1

Propoziţia 1.1 ([2], Propoziţia 1.1). Există o corespondenţă bijectivă, ce păstrează ordinea dată de incluziune, între mulţimea idealelor b ale lui A ce conţin a şi cea a idealelor b ale lui A/a, corespondenţă dată de b = φ 1 (b). Teorema 1.2. (de izomorfism) Fie f : A B un morfism de inele, I = ker f, a un ideal al lui A inclus în I şi φ : A A/a proiecţia canonică. Atunci: 1) Există un unic morfism f : A/a B astfel încât f = f φ. 2) Morfismul f este injectiv dacă şi numai dacă a = I. 3) Morfismul f este surjectiv dacă şi numai dacă f este surjectiv. În particular, Imf A/ ker f. Fie A şi B două inele. Notăm A[X 1,..., X n ] inelul polinoamelor în n nedeterminate peste A (n N ). Un morfism f : A[X 1,..., X n ] B este determinat de restricţia sa la A şi de imaginile nedeterminatelor X i, i {1,..., n}. Fie A un inel. Numim A-algebră un inel B înzestrat cu un morfism (care, în acest volum, este în cele mai multe situaţii injectiv) f : A B. A-algebra B se numeşte de tip finit dacă este generată de un număr finit de elemente x 1,..., x n, în sensul următor: orice element al lui B se poate obţine ca un polinom în x i cu coeficienţi în A. Altfel spus, inelul B este izomorf cu un cât al inelului de polinoame A[X 1,..., X n ]. 1.1.2 Divizori ai lui zero; elemente nilpotente; unităţi Un element x A se numeşte divizor al lui zero dacă există y A\{0} astfel încât xy = 0. Un inel fără divizori ai lui zero nenuli se numeşte inel integru domeniu de integritate. Un element x A se numeşte nilpotent dacă există n N astfel încât x n = 0. Un element x A este inversabil (sau element unitate) dacă există y A astfel încât xy = 1. Elementul y este determinat în mod unic de x şi este notat x 1. Mulţimea elementelor inversabile ale lui A formează un grup 2

abelian 1 (multiplicativ), notat A. Un corp este un inel în care 1 0 şi orice element nenul este inversabil. Propoziţia 1.3 ([2], Propoziţia 1.2). Fie un inel A 0. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) A este un corp; ii) singurele ideale ale lui A sunt idealul nul 0 şi A; iii) orice morfism de inele A B, B 0 este injectiv ( ). Un element a A se numeşte ireductibil dacă a = b c = b A sau c A. Inelul A se numeşte factorial dacă orice element nenul a A se scrie ca un produs de elemente ireductibile, scrierea fiind unică până la înmulţirea cu un element inversabil. Factorii acestui produs se numesc divizorii elementului a. 1.1.3 Operaţii cu ideale Intersecţia unei familii de ideale este un ideal. De exemplu, în inelul numerelor întregi Z, intersecţia idealelor x şi y este idealul generat de cel mai mic multiplu comun al întregilor x şi y. Suma idealelor dintr-o familie {a i } i Υ (unde Υ este o mulţime de indici) este mulţimea { } ak := x i, x i a i, x i = 0 exceptând un nr. finit de indici. i Υ Această mulţime este un ideal ce conţine toate idealele a i. În particular, dacă a i = f i (f i A), obţinem idealul generat de elementele f i. În Z suma idealelor x şi y este idealul generat de cel mai mare divizor comun al întregilor x şi y. Produsul a două ideale a şi b este idealul notat ab şi generat de produsele xy, unde x a şi y b. Atunci ab a b ( ). În Z, produsul idealelor x şi y este idealul xy. 1 Niels Abel (5.08.1802, Frindoe, Norvegia - 6.04.1829, Froland, Norvegia): matematician norvegian. Unul din cei mai mari matematicieni ai secolului XIX, face parte dintre fondatorii algebrei şi analizei matematice moderne. 3

1.1.4 Ideale prime, ideale maximale Un ideal p A se numeşte prim dacă xy p implică x p sau y p. Idealul p A este prim dacă şi numai dacă A/p este domeniu de integritate. Un ideal m A se numeşte maximal dacă nu există nici un ideal a astfel încât m a A. Idealul m A este maximal dacă şi numai dacă A/m este un corp. Dacă f : A B este un morfism de inele şi q este un ideal prim al lui B, atunci p = f 1 (q) este un ideal prim al lui A ( ). Folosind Lema lui Zorn, se poate demonstra imediat propoziţia următoare: Propoziţia 1.4. Orice inel A 0 are cel puţin un ideal maximal. În particular, orice ideal a A este conţinut într-un ideal maximal. De asemenea, orice element care nu este inversabil aparţine unui ideal maximal. Intersecţia N(A) a tuturor idealelor prime ale unui inel se numeşte nilradicalul inelului. Idealul N(A) coincide cu mulţimea elementelor nilpotente ( ). Inelul A este domeniu de integritate dacă şi numai dacă idealul 0 este prim (deci N(A) = 0). Exemplul 1.1. a) A = Z. Idealul p este prim dacă şi numai dacă p = 0 sau p este număr prim. În acest ultim caz, idealul p este maximal şi A/ p este corpul F p cu p elemente. b) A = K[X 1,... X n ] (K un corp comutativ). Fie f A un polinom ireductibil. Atunci idealul f este prim. Propoziţia 1.5 ([8], 1.B). (a) Fie {p 1,..., p n } o familie de ideale prime şi fie a un ideal astfel încât n a p i. i=1 Atunci există i {1,..., n} astfel încât a p i ( ). (b) Fie {a 1,..., a n } o familie de ideale şi fie p un ideal prim astfel încât n p a i. i=1 Atunci există i {1,..., n} astfel încât p a i. Dacă p = n a i, atunci 4 i=1

există i astfel încât p = a i ( ). Dacă a este un ideal al inelului A, radicalul lui a este idealul r(a) = {x A / n N, x n a }. Idealul r(a) este intersecţia idealelor prime ale lui A ce conţin a ( ). Un ideal a se numeşte radical dacă a =r(a). În acest caz inelul cât A/a nu are elemente nilpotente (spunem că este un inel redus). 1.2 Inel local; localizare Definiţia 1.1. Inelul A se numeşte local dacă are un singur ideal maximal m. Corpul A/m se numeşte corpul rezidual al inelului local A. Dacă A este un inel local, orice element u A \ m este inversabil ( ). O submulţime S A se numeşte multiplicativ închisă dacă 1 S şi x, y S, xy S. Fie A un inel şi S o submulţime multiplicativ închisă. Pe A S putem defini relaţia de echivalenţă (a, s) (a, s ) t S astfel încât t(as a s) = 0. În particular, dacă inelul A este integru, (a, s) (a, s ) dacă şi numai dacă as = a s. Mulţimea claselor de echivalenţă se notează A S şi este un inel numit localizatul lui A în raport cu S. Clasa de echivalenţă a perechii (a, s) se notează a. Cele două operaţii se definesc în mod analog cu adunarea şi s înmulţirea din Q. Există un morfism injectiv ι : A A S, a a 1. Imaginea unui element a este un element inversabil în inelul A S dacă şi numai dacă a este element inversabil în A sau a S. Inelul A S verifică proprietatea de universalitate următoare: dacă B este un inel iar ϕ : A B este un morfism de inele cu proprietatea că ϕ(s) este un element inversabil al lui B, oricare ar fi s S, atunci există un unic morfism de inele ϕ S : A S B astfel încât ϕ = ϕ S ι. 5

Idealele prime ale lui A S corespund de manieră biunivocă, via ι 1, idealelor prime ale lui A ce nu au elemente comune cu S ( ). Exemplul 1.2. 1) Fie A un inel întegru şi S = A \ {0}. Atunci A S se numeşte corpul de fracţii al lui A şi se notează F r A. De exemplu, F r Z = Q; F r K[X 1,..., X n ] = K(X 1,..., X n ) se numeşte corpul funcţiilor raţionale cu coeficienţi în corpul K. 2) Fie f A şi S = {f n / n N}. În acest caz A S este notat A f şi este izomorf cu inelul cât A[T ]/(ft 1) ( ). Inelul A f se numeşte localizatul inelului A în raport cu elementul f. 3) Fie p un ideal prim al inelului A şi S = A \ p. În acest caz notăm A S = A p. Acesta este un inel local cu idealul maximal pa p. Idealele prime ale lui A p corespund de manieră biunivocă, via ι 1, idealelor prime ale lui A incluse în p ( ). Inelul A f se numeşte localizatul inelului A în raport cu idealul prim p. 1.3 Inele noetheriene Un inel A se numeşte noetherian 2 dacă verifică una din următoarele condiţii echivalente ([2], Propoziţiile 6.1, 6.2; [8], 2.A): 1. orice şir crescător de ideale ale lui A este staţionar; 2. orice mulţime nevidă de ideale ale lui A are un element maximal în raport cu incluziunea; 3. orice ideal al lui A este de tip finit. Exemplul 1.3. Un corp K, inelul numerelor întregi Z, un inel principal sunt inele noetheriene. Un cât al unui inel noetherian este noetherian. Dacă A este inel noetherian, atunci: 2 Emmy Amalie Noether (23.03.1882, Erlangen, Germania - 14.04.1935, Bryn Mawr, SUA): matematician german. Contribuţii importante în teoria inelelor şi fizica teoretică. 6

- dacă f : A B este un morfism surjectiv de inele, atunci B este inel noetherian ( ). - inelul de polinoame A[X] este noetherian (Teorema bazei a lui Hilbert, [2], Teorema 7.5). - dacă S A este o submulţime multiplicativ închisă, atunci A S este inel noetherian ([2], Teorema 7.3). Un inel noetherian are un număr finit de ideale prime minimale ( ). Propoziţia 1.6 ([2], Propoziţia 7.8). Fie inelele A B C. Dacă A este noetherian, C este o A-algebră finit generată iar C este un B-modul de tip finit, atunci B este o A-algebră finit generată. 1.4 Elemente întregi Fie B un inel şi A B un subinel. Fie x B. Definiţia 1.2. Spunem că punctul x este întreg peste A dacă x verifică o ecuaţie polinomială unitară: cu a i A, i {0,..., n 1}. x n + a n 1 x n 1 +... + a 0 = 0 Exemplul 1.4. Elementele i, 3 C sunt întregi peste inelul numerelor întregi Z, însă elementele 1 5, 1 2, π nu sunt întregi peste Z( ). Inelul B se numeşte întreg peste inelul A dacă toate elementele sale sunt întregi peste A. Este suficient să verificăm această proprietate pentru un sistem de generatori. În general, mulţimea elementelor lui B care sunt întregi peste A este un inel şi se numeşte închiderea întreagă a lui A în B. Propoziţia 1.7 ([2], Corolarul 5.2). Fie A un inel. Dacă B este o A- algebră de tip finit, atunci B este întreg peste A dacă şi numai dacă există un sistem finit de elemente ale lui B astfel încât orice element al lui B se scrie ca o combinaţie liniară de elemente ale acestui sistem, cu coeficienţi în A (spunem că B este o A-algebră finită). 7

Definiţia 1.3. Un inel integru A se numeşte întreg închis dacă închiderea sa întreagă în corpul său de fracţii coincide cu A. Propoziţia 1.8 ([2], Propoziţia 5.6). Fie B o A-algebră şi S o submulţime multiplicativ închisă a lui A. Dacă B este întreg peste A, atunci inelul B S este întreg peste A S. Propoziţia 1.9 ([2], Propoziţia 5.13). Fie A une domeniu de integritate. Proprietăţile următoare sunt echivalente: (a) inelul A este întreg închis; (b) inelul local A p este întreg închis, oricare ar fi idealul prim p A; (c) inelul local A m este întreg închis, oricare ar fi idealul maximal m A. Propoziţia 1.10. Orice inel factorial este întreg închis. 1.5 Dimensiunea unui inel Definiţia 1.4. Fie A un inel şi p A un ideal prim. Numim inălţime a idealului p numărul (eventual ) { } p h(p) = sup n N / 0 p 1... p n = p. lanţ de ideale prime distincte Definiţia 1.5. Se numeşte dimensiune a inelului A numărul (eventual ) dim A = sup {h(p) / p A ideal prim}. Dacă A este un inel noetherian, atunci dimensiunea lui A este finită. Teorema 1.11. Fie K un corp şi A un domeniu de integritate care este o K-algebră finit generată. Atunci: (a) dimensiunea lui A este egală cu gradul de transcendenţă al corpului de fracţii F r(a) al lui A peste K (vezi Secţiunea A.3.2). (b) oricare ar fi p A un ideal prim, h(p) + dim B/p = dim B. 8

Teorema 1.12 ([2], Corolarul 11.17). (Hauptidealsatz, Krull) Fie A un inel noetherian şi f A un element neinversabil ce nu este divizor al lui zero. Atunci orice ideal prim minimal ce conţine f are înălţimea 1. Propoziţia 1.13. Un domeniu de integritate noetherian A este inel factorial dacă şi numai dacă orice ideal prim de înălţime 1 este principal. 1.6 Inele de valuare discretă Definiţia 1.6. Fie K un corp. O valuare discretă a lui K este o funcţie v : K Z cu proprietăţile Mulţimea v(xy) = v(x) + v(y) v(x + y) min(v(x), v(y)). A := {x K / v(x) 0} este un inel, numit inelul de valuare al lui v. Valuarea v se extinde la întreg corpul K luând v(0) =. Exemplul 1.5. 1) K = Q. Fie p Q un număr prim. Orice număr raţional nenul x Q se scrie în mod unic x = p a y, cu a Z, iar numitorul şi numărătorul lui y Q nu sunt divizibili cu p. Funcţia v p : Q Z, v p (x) = a este o valuare discretă. Inelul său de valuare este inelul local Z p, localizatul lui Z în raport cu idealul prim p. 2) K = k(x), corpul funcţiilor raţionale peste un corp k. Fie f k[x] un polinom ireductibil. Putem defini v f în mod analog cu exemplul de mai sus: dacă g k(x), g = f a h (a Z, h = h 1 h 2 k(x) astfel încât f nu divide polinoamele h 1 şi h 2 ), definim v f : k(x) Z, v f (g) = a. Această funcţie este o valuare discretă, al cărui inel de valuare este localizatul inelului de polinoame k[x] în idealul prim f. 9

Definiţia 1.7. Un domeniu de integritate A se numeşte inel de valuare discretă dacă există o valuare discretă v a corpului său de fracţii astfel încât A este inelul său de valuare. În acest caz A este un inel local, iar idealul său maximal este m = {x K / v(x) > 0. Propoziţia 1.14 ([2], Propoziţia 9.2). Fie A un domeniu de integritate noetherian 1-dimensional, m idealul său maximal, k = A/m corpul său rezidual. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1. A este un inel de valuare discretă; 2. A este întreg închis; 3. m este ideal principal; 4. orice ideal nenul al lui A este o putere a lui m. 1.7 Inele graduate Definiţia 1.8. Inelul R se numeşte inel graduat dacă R se poate scrie ca o sumă directă R = n N R n unde, pentru orice n N, R n este subgrup al grupului aditiv (R, +) şi R p R q R p+q. Elementele lui R p se numesc omogene de grad p. În particular, R 0 este un subinel al lui R, deci R este o R 0 -algebră. Observăm că m = R + = n>0 R n este un ideal al lui R şi R/R + R 0. Dacă R şi R sunt două inele graduate, un morfism de inele ϕ : R R se numeşte omogen dacă, pentru orice a R, deg a = deg ϕ(a). 10

Exemplul 1.6. Inelul polinoamelor peste un corp K, R = K[X 1,..., X m ] este un inel graduat, cu gradul uzual. În acest caz R 0 K-spaţiu vectorial, oricare ar fi n N. = K, iar R n este Propoziţia 1.15 ([2], Propoziţia 10.7). Fie R un inel graduat. Atunci R este un inel noetherian dacă şi numai dacă R 0 este un inel noetherian şi R este o R 0 -algebră de tip finit. Propoziţia 1.16 ([8], A.10). Fie k un corp, R o k-algebră graduată şi fie I un ideal al lui R. Următoarele condiţii sunt echivalente: (i) I este generat de elemente omogene; (ii) dacă f I, f = r i=0 atunci f i I pentru orice i {0,..., r}. Un astfel de ideal se numeşte ideal omogen. f i unde f i sunt polinoame omogene de grad i, Propoziţia 1.17. Fie R o k-algebră graduată şi fie I un ideal omogen al lui R. Fie k-algebra cât S := R/I şi φ : R R/I proiecţia canonică. Atunci S este înzestrată cu o graduare naturală dată de S i = φ(r i ). Demonstraţie. Este suficient să arătăm că S este suma directă a subspaţiilor S i, ceea ce rezultă imediat din propoziţia precedentă, (ii). 2 Module, produse tensoriale 2.1 Module Definiţia 2.1. Fie A un inel. Un grup abelian (M, +) se numeşte A-modul dacă M este înzestrat cu o lege de compoziţie externă : A M M 11

astfel încât a(x + y) = ax + ay (a + b)x = ax + bx (ab)x = a(bx) 1x = x, a, b A, x, y M Exemplul 2.1. Orice ideal al inelului A este un A-modul. Dacă A este un corp, atunci un A-modul nu este altceva decât un A-spaţiu vectorial. Orice grup abelian este un Z-modul. Un modul se numeşte de tip finit dacă are număr finit de generatori, în sensul următor: există x 1,..., x n M astfel încât orice x M se scrie x = n a i x i, unde a i A. În particular, un ideal al inelului A este de tip finit i=1 (în sensul definit în Secţiunea A.1.1) dacă şi numai dacă este un A-modul de tip finit. Rezultă atunci că inelul A este noetherian dacă şi numai dacă orice ideal al său este un A-modul de tip finit. În mod natural se definesc noţiunile de submodul şi modul cât. Dacă S A este o submulţime multiplicativ închisă, putem defini, ca în Secţiunea A.1.2, A S -modulul M S (localizatul lui M în S). Un şir de A-module şi A-morfisme f i f i+1... M i 1 Mi Mi+1... se numeşte exact în M i dacă Im (f i ) = ker(f i+1 ). În particular ( ): 0 M f M 2.2 Proprietăţi locale 0 M f M este exact f este injectiv M g M 0 este exact g este surjectiv g M 0 este exact f este injectiv, g surjectiv, şi M cokerf := M/f(M ). Fie P o proprietate ce poate fi atribuită unui A-modul M. Spunem că P este o proprietate locală atunci când: M are proprietatea P dacă şi numai dacă M p are proprietatea P, oricare ar fi idealul prim p A. 12

Propoziţia 2.1. (i) Fie M un A-modul. Următoarele proprietăţi sunt echivalente ( ): 1. M = 0; 2. M p = 0, p A ideal prim; 3. M m = 0, m A ideal maximal. (ii) Fie φ : M N un morfism de A-module. Următoarele proprietăţi sunt echivalente ( ): 1. φ este injectiv; 2. φ p : M p N p este injectiv, p A ideal prim; 3. φ m : M m N m este injectiv, m A ideal maximal. Am văzut că proprietatea unui inel de a fi întreg închis este o proprietate locală (Propoziţia 1.9). 2.3 Produse tensoriale Fie A un inel şi M, N două A-module. Produsul tensorial al modulelor M şi N peste A este un A-modul, notat M A N, generat de simbolurile x y, cu x M, y N (un element al lui M A N este aşadar o combinaţie liniară finită a i (x i y i ) cu a i A) astfel încât (x + x ) y = x y + x y x (y + y ) = x y + x y (ax) y = x (ay) = a(x y), a A, x M, y N. Următoarea proprietate de universalitate este satisfăcută: dată o aplicaţie A-biliniară de A-module f : M N P, există o unică aplicaţie A-liniară f : M A N P astfel încât f(x y) = f(x, y), x M, y N. Dat fiind un morfism de A-module f : M M şi un A-modul N, prin tensorizare cu N obţinem f Id : M A N M A N, x y f(x) y. 13

Produsul tensorial este exact la dreapta: dat fiind un şir exact scurt 0 M M M 0 (1) prin tensorizare cu un A-modul N obţinem şirul exact M A N M A N M A N 0 ([2], Propoziţia 2.18). Un A-modul N se numeşte plat dacă, dat fiind şirul exact (1), şirul este exact. 0 M A N M A N M A N 0 Propoziţia 2.2. Dacă A este un inel şi f A, atunci A-modulul A f plat. este Demonstraţie. Exerciţiu ( ). 2.3.1 Extinderea scalarilor Fie A un inel şi f : A B un morfism de inele. Dacă N este un B-modul, putem defini, pentru a A şi y N, a y := f(a)y. Obţinem astfel o structură de A-modul pe mulţimea N. Spunem că această structură este obţinută prin restricţia scalarilor de la B la A. Dacă M este un A-modul, produsul tensorial M A B este înzestrat în mod canonic cu o structură de B-modul, indusă de legea de compo-ziţie externă: b (x c) := x bc. Spunem că această structură este obţinută prin extinderea scalarilor de la A la B. Exemplul 2.2. 1) Fie a un ideal al inelului A şi B = A/a. Atunci M A/a = M/aM este un B-modul. 2) Fie S o submulţime multiplicativ închisă a inelului A şi fie B = A S. Atunci M A S = M S este un B-modul. 14

2.3.2 Lema lui Nakayama Fie A un inel local cu idealul maximal m şi k = A/m. Fie M un A-modul de tip finit astfel încât M A k = 0. Atunci M = 0 ( ). 3 Extinderi de corpuri 3.1 Extinderi algebrice Fie K L o extindere de corpuri. Spunem că aceasta este o extindere algebrică dacă orice element x L este soluţia unei ecuaţii algebrice cu coeficienţi în K: a n x n +... + a 0 = 0, a i K, i {0,..., n}. În general, L este un spaţiu vectorial peste K. Dacă acesta este de dimensiune finită, numim această dimensiune gradul extinderii K L şi o notăm [L : K]. Dacă x L, există un unic polinom unitar, ireductibil în K[X], ce admite x ca rădăcină, numit polinomul minimal al lui x. Propoziţia 3.1. Dată o extindere algebrică finită K L de corpuri de caracteristică 0, există un element x L astfel încât L = K(x). Altfel spus, orice element al lui L se scrie ca un polinom în x având coeficienţi în K. Elementul x se numeşte element primitiv al lui L peste K. Fie K L o extindere de corpuri. Mulţimea tuturor elementelor lui L care sunt algebrice peste K se numeşte închiderea algebrică a lui K în L. Fie K un corp fixat. Să considerăm extinderile K L care satisfac următoarea proprietate: oricare ar fi f K[X] un polinom cu coeficienţi în K, f are cel puţin o rădăcină în L. Fie K un element minimal (în raport cu incluziunea) în mulţimea extinderilor L ale lui K având această proprietate. Există astfel de corpuri minimale şi orice două asemenea corpuri sunt izomorfe. Atunci extinderea K K este algebrică, iar K se numeşte închi-derea algebrică a corpului K. Aşa cum am menţionat, aceasta este bine definită până la un unic izomorfism de corpuri. 15

În cazul în care corpul K coincide cu K, spunem că el este algebric închis. O extindere algebrică K L se numeşte separabilă dacă orice polinom P K[X], ireductibil peste K, are cel mult rădăcini simple în L. O extindere algebrică K L se numeşte normală dacă orice polinom P K[X], de grad n, o dată cu o rădăcină în L, are n rădăcini în L. O extindere algebrică finită K L, separabilă şi normală, se numeşte extindere Galois 3. Grupul automorfismelor lui L ce lasă fixe elementele lui K, Gal(L/K), acţionează în mod tranzitiv pe mulţimea rădăcinilor în L ale unui polinom P K[X]. Grupul Gal(L/K) este finit, are cardinalul [L : K] şi se numeşte grupul Galois al extinderii K L. 3.2 Baze de transcendenţă Fie K L o extindere de corpuri. O submulţime B L se numeşte algebric independentă peste K dacă pentru orice elemente {x 1,..., x n } B şi orice P K[X 1,..., X n ], P (x 1,..., x n ) = 0 P = 0. Fie K L o extindere de corpuri. O submulţime B L se numeşte sistem algebric de generatori peste K dacă L este o extindere algebrică peste corpul K(B) generat de B peste K. Fie K L o extindere de corpuri. O submulţime B L se numeşte bază de transcendenţă a lui L peste K dacă este simultan algebric independentă şi sistem algebric de generatori. (A se observa paralelismul cu noţiunile de independenţă liniară şi bază pentru spaţii vectoriale.) Pentru orice extindere de corpuri K L există baze de transcen-denţă. Toate acestea au acelaşi cardinal, numit gradul de transcen-denţă al lui L peste K şi notat trdeg K (L). Exemplul 3.1. 1) Dacă L este algebric peste K, trdeg K (L) = 0. 2) Dacă L = K(X 1,..., X n ) este corpul funcţiilor raţionale în n nedeterminate peste K, atunci B = {X 1,..., X n } este o bază de transcendenţă şi trdeg K (L) = n. 3 Evariste Galois (25.10.1811, Bourg La Reine, Franţa - 31.05.1832, Paris, Franţa): matematician francez. Iniţiatorul teoriei ecuaţiilor algebrice, cunoscută în prezent sub numele teoria Galois. A murit într-un duel. 16

3) Fie A = K[X, Y ]/ F, unde F K[X, Y ] este un polinom care nu este constant în Y, şi fie L = F r A. Atunci trdeg K (L) = 1 (o bază de transcendenţă este formată din imaginea x a nedeterminatei X în A, prin proiecţia canonică) ( ). Bibliografie [1] Artin, E.; Tate, J. : A Note in Finite Ring Extensions, J. Math. Soc. Japan 3, 1951, 74-77 [2] Atiyah, M.F. : Macdonald, I.G. : Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading, 1969 [3] Bogomolov, F; Petrov, T. : Algebraic Curves and One-Dimensional Fields, Courant Lecture Notes in Mathematics, AMS, Providence, 2002 [4] Eisenbud, D. : Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, GTM150, Springer, 1995 [5] Hartshorne, R. : Algebraic Geometry, GTM 52, Springer, 1977 [6] Kunz, E. : Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhäuser, Boston, Basel, Stuttgart, 1985 [7] Liţcanu, R. : Introducere în geometria algebrică, Ed. Demiurg, 2004 [8] Matsumura, H. : Commutative Algebra, W. A. Benjamin, New York, 1970 [9] Perrin, D. : Géométrie algébrique, une introduction, InterEditions & CNRS Editions, Paris, 1995 [10] Zariski, O.; Samuel, P. : Commutative Algebra, D. Van Nostrand Comp. Inc., Princeton, NJ, 1958,1960 17