FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII

DIDACTICA MATHEMATICA, Vol. 34), pp. 53 67 FORMULELE LUI STIRLING, WALLIS, GAUSS ŞI APLICAŢII Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Abstract. In this paper are presented the Wallis, Stirling, Gauss formulae and are given some their applications. MSC. 6A4 Key words. Stirling s formula, Wallis s formula, infinite product. FORMULA LUI WALLIS Formula lui Wallis este prima reprezentare a numărului iraţional π ca limită a unui şir de numere raţionale. Pentru a o obţine, calculăm integralele S n şi K n, unde S n : sin n xdx şi K n : şi n este un număr întreg. Pentru n şi n avem respectiv S dx π şi S Pentru n integrăm prin părţi; obţinem cos n xdx, sin xdx. S n sin n x sin xdx sin n x cos x) dx sin n x cos x π/ + n ) sin n x cos xdx n ) de unde rezultă formula de recurenţă sin n x sin x ) dx n ) S n S n ), ns n n ) S n, oricare ar fi n N, n. Această formulă de recurenţă, mai exact formula S n n n S n, oricare ar fi n N, n,

54 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca unde S π/ şi S, ne permite să reducem, succesiv, calculul lui S n la S sau S după cum n este par, respectiv impar. Într-adevăr, dacă n m este par atunci S m m ) m 3) 3 m) m ) 4 π, iar dacă n m + este impar, atunci S m+ m) m ) 4 m + ) m ) 3. Acelaşi rezultat obţinem şi pentru K n. Prin urmare S n : n )!! n!! sin n xdx K n : π, dacă n este par n )!!, dacă n este impar. n!! cos n xdx Pe de altă parte, pentru fiecare n N şi x [, π/], avem sin n+ x sin n x sin n x. Întegrând aceste inegalităţi obţinem că sau de unde deducem că n)!! n + )!! n )!! π n)!! n )!! n )!!, [ ] n)!! n )!! n + π [ ] n)!! n )!! n, π [ n)!! ] n )!! n + [ ] n)!! [ ] n)!! n )!! n n )!! n + oricare ar fi n N. Deoarece [ ] n)!! n )!! n n + ),

3 Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 55 urmează că sau lim lim lim [ ] n)!! n )!! n n + ), [ ] n)!! n )!! n + ) π, 4 4 n) n) 3 3 n ) n ) n + π, relaţie cunoscută în matematică sub numele de formula lui Wallis. Formula lui Wallis, celebră din punct de vedere istoric, se foloseşte şi azi în cercetările teoretice. Comentariu. John Wallis 3 noiembrie 66, Ashford Kent 8 octombrie 73, Oxford) - matematician şi teolog englez - a studiat la Cambridge, după care a îmbrăţişat cariera eclesiastică. La 33 de ani a devenit profesor de geometrie la Oxford. A fost un admirator al matematicii greceşti, editând o parte din operele lui Eutokios sec. 4 î.h.), Arhimede sec. 3 î.h.), Aristarh sec. 3 î.h.) şi Ptolomeu sec. d.h). Lui i se datorează crearea învăţământului pentru surdomuţi.. FORMULA LUI STIRLING Formula lui Stirling este una din formulele celebre ale analizei matematice, obţinută din formula lui Wallis. Să considerăm funcţiile f, g : [, + [ R definite prin f x) ln x + ) ln x, oricare ar fi x [, + [, x + g x) ln x ln x + ) + x +, oricare ar fi x [, + [. x x + ) Evident funcţiile f şi g sunt derivabile pe [, + [ şi f x) 4x x + ) x + ), g x) x x + ), oricare ar fi x [, + [. Aşadar ambele funcţii au derivatele negative pe mulţimea de definiţie f x) <, g x) <, oricare ar fi x [, + [. Urmează că atât f cât şi g sunt strict descrescătoare pe [, + [, deci avem f x) f ) ln 3 < lim g x) < g x), x

56 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca 4 oricare ar fi x [, + [. Prin urmare, pentru orice x [, + [ au loc inegalităţile ) x + < ln x + ) ln x < x + x x + ). Dacă în ) punem x n N, obţinem că ) n + < ln n + ) ln n <, oricare ar fi n N. n + n n + ) Fie acum u ], + [ şi h :], + [ R funcţia definită prin h x) : x + u ) ln + u ) u, oricare ar fi x ], + [. x Evident funcţia h este derivabilă de două ori pe ], + [ şi pentru orice x ], + [ avem h x) ln x + u x ux + u) x x + u), h p) u 3 x x + u). Întrucât h x) >, oricare ar fi x ], + [, deducem că derivata h este strict crescătoare pe ], + [. Urmează că h x) < lim t h t), oricare ar fi x ], + [, şi deci funcţia h este strict descrescătoare pe ], + [. Aşadar avem h x) > lim t h t), oricare ar fi x ], + [. Ţinând seama de expresia funcţiei h şi de faptul că u > a fost ales oarecare, obţinem că sau echivalent 3) exp u < x + u ) ln + u ) > u, oricare ar fi x, u ], + [, x + u ) x+ u, oricare ar fi x, u ], + [. x Cu aceste pregătiri, putem demonstra formula lui Stirling.

5 Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 57 Teorema. formula lui Stirling) Şirul x n ) n N cu termenul general este convergent şi 4) lim x n : n! n n, n N) n exp n n! n n n exp n π. formula lui Stirling) Demonstraţie. Evident x n >, oricare ar fi n N. Pe de altă parte, din 3) avem că 5) x n+ x n + n e ) n+/ <, oricare ar fi n N. Prin urmare şirul x n ) este strict descrescător şi mărginit inferior, aşadar convergent. Fie x lim x n. Evident x [, x [. Vom arăta, pentru început, că x. Din 5), obţinem că < ln x n ln x n+ n + ) [ln n + ) ln n], oricare ar fi n N. Cum, din ), avem ln n + ) ln n < n + n n + ), oricare ar fi n N, obţinem că ln x n ln x n+ < n + ) n + n n + ) 4 n ), n + oricare ar fi n N. Aşadar 6) < ln x n ln x n+ < 4 Din 6), deducem că pentru orice n N, avem < ln x ln x 3 < 4 3) < ln x 3 ln x 4 < 4 3 4) n ), oricare ar fi n N. n + < ln x n ln x n < 4 n n )

58 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca 6 de unde, prin adunare membru cu membru, obţinem sau sau 7) exp < ln x ln x n < 4 ) n < x < exp x n 4 )) n 4 n )) < x n <. x Dacă acum, în 7), facem n obţinem exp şi deci x. Cum, pentru fiecare n N, avem ) x 8 x x n 4n n!) x n n)! n 4 n) 3 n ) n în baza formulei lui Wallis, deducem că 4 n) n + ) 3 n ), n + n x π. Comentariu. James Stirling mai 69, Garden, Stirlingshire 5 decembrie 77, Edinburgh) - matematician scoţian - a studiat la Oxford, Padova şi Veneţia. A fost membru al Academiei Regale din Berlin. Formula, care azi îi poartă numele, se găseşte în tratatul Methodus Differentialis, publicat în 78... Funcţiile beta şi gama ale lui Euler. Funcţiile beta şi gama au fost introduse şi studiate de către Euler în 73.

7 Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 59.. Funcţia beta a lui Euler. Dacă x şi y sunt numere reale astfel încât x >, y >, atunci funcţia f :], [ R definită prin f t) : t x t) y, oricare ar fi t ], [, este integrabilă impropriu pe ], [ vezi, de exemplu, []). Funcţia B :], + [ ], + [ R definită prin B x, y) : t x t) y dt, oricare ar fi x, y ], + [, se numeşte funcţia beta a lui Euler sau integrala lui Euler de prima speţă). Câteva proprietăţi ale funcţiei beta a lui Euler sunt date în teorema următoare. Teorema. Următoarele afirmaţii sunt adevărate: B x, y) B y, x), oricare ar fi x, y >. B x +, y) x B x, y), oricare ar fi x, y >. x + y 3 B x, y + ) y B x, y), oricare ar fi x, y >. 4 B x, y) x+y + t α x+y dt, oricare ar fi x, y >. t + ) 5 B x, ) x, oricare ar fi x >. 6 n )! B x, n), oricare ar fi x > şi n N. x x + ) x + n ) 7 B m, n) 8 B, ) π. m )! n )!, oricare ar fi n, m N. m + n )! Demonstraţie. Facem schimbarea de variabilă t : u. Integrăm prin părţi; obţinem B x +, y) y tx t) y + x t x t) y dt y x y x y [ ] t x t) y t) y t dt t x t) y dt x y x y B x, y) x B x +, y), y t x t) y dt

6 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca 8 de unde deducem formula din afirmaţia. 3 Se aplică şi. 4 Facem schimbarea de variabilă t : u u + ; obţinem B x, y) + ) u x ) y u + u + u + du 5 Avem B x, ) + + u x u + ) x+y du. t x dt x tα x. 6 În baza afirmaţiilor anterioare, avem B x, n) n n B x, n ) x + n x + n n B x, n ) x + n n n x + n x + n n n ) B x, ) x + n n ) 7 Se aplică 6 şi. 8 Facem schimbarea de variabilă n )! x x + ) x + n ). t : cos u, u ], π/[; obţinem B, ) + π/ cos u sin u dt t t) + cos u cos u) du du π.

9 Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 6.3. Funcţia gama a lui Euler. Funcţia f :], + [ R definită prin f t) : exp t) t x dt, oricare ar fi t ], + [, este integrabilă impropriu pe ], + [ vezi, de exemplu, []). Funcţia Γ :], + [ R definită prin Γ x) : exp t) t x dt, oricare ar fi x ], + [, se numeşte funcţia gama a lui Euler sau integrala lui Euler de speţa a doua). Câteva proprietăţi ale funcţiei gama a lui Euler sunt date în teorema următoare. Teorema 3. Următoarele afirmaţii sunt adevărate: Γ ). Γ x + ) xγ x), oricare ar fi x >. 3 Γ n + ) n!, oricare ar fi n N. 4 Γ x) lim Gauss). 5 B x, y) n!n x, oricare ar fi x > formula lui x x + ) x + n) Γ x) Γ y), oricare ar fi x, y >. Γ x + y) 6 Γ x) Γ x) B x, x), oricare ar fi x ], [. 7 Γ x) Γ x) ), oricare ar fi x ], [. x x n n 8 Γ x) Γ x) π, oricare ar fi x ], [ formula lui Euler). sin πx 9 Γ /) π. Demonstraţie. Avem Γ ) : exp t) t dt Integrând prin părţi obţinem Γ x + ) xγ x). exp t) dt exp t) + exp t) t x dt exp t) t x + x 3 În baza afirmaţiilor şi, pentru orice n N, avem +. exp t) t x dt

6 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca Γ ) Γ ) Γ ) Γ 3) Γ ) Γ n) n ) Γ n ) Γ n + ) nγ n) Înmulţind aceste egalităţi membru cu membru obţinem egalitatea din afirmaţia 3. 4 Fie x ], + [. Pentru n N, considerăm integrala n I n : n) t n t x dt. Integrând prin părţi, obţinem I n t ) n t x n n x + n x n n x n x + t x+ n x n n) t n n n ) x x + ) n n n + n n t n) n t x dt n n ) x x + ) n! x x + ) x + n ) t n) n t x dt n n t n) n t x+ dt t n) n t x+ dt n n n n!n x x x + ) x + n). t x+n dt Întrucât lim t n exp t), oricare ar fi t ], + [, n) deducem că Γ x) exp t) t x dt lim de unde rezultă concluzia. 5 Fie x, y, s >. Cu schimbarea de variabilă n t n) n t x dt,

Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 63 t s + ) u, u ], + [, obţinem de unde, rezultă că Γ x + y) exp t) t x+y dt exp s + ) u) s + ) x+y u x+y du s + ) x+y exp s + ) u) u x+y du, Γ x + y) s x s + ) x+y s x exp s + ) u) u x+y du. De aici, prin integrare de la la +, obţinem s x ) Γ x + y) x+y ds s x exp s + ) u) u x+y du ds, s + ) prin urmare Γ x + y) B x, y) ) exp s + ) u) u x+y s x ds du x+y Γ x) exp u) u du Γ x) u y Γ x) Γ y). u x exp u) du 6 Fie x ], [. Atunci punând y : x > în relaţia din 5, obţinem Γ x) Γ x) B x, x) Γ ) B x, x). 7 Din 6 şi 4 deducem că pentru orice x ], [, lim lim Γ x) Γ x) B x, x) n!n x x x + ) x + n) lim n!n x x) x) n + x) n n!) x x ) n x ) n + x ) ) ) x x x ) x n+ n n x ). n

64 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca lim ) ) x x x x n ) ). x x n n 8 Întrucât sin x x n ) x n π, oricare ar fi x R, şi deci sin πx πx n ) x n, oricare ar fi x R, din egalitatea stabilită la 7, obţinem că, oricare ar fi x ], [, avem Γ x) Γ x) πx n π x n ) π sin πx. 9 Punem x / în egalitatea din afirmaţia 5 ; obţinem Γ )) Γ ) Γ ) B, ) π. Rezultă Γ /) π. 3. APLICAŢII În baza teoremei 3, pentru orice x, y ], [, avem

3 Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 65 şi deci 8) Γ x) Γ x) Γ y) Γ y) sin πy sin πx ) y y n n ) x x y x n n n ) y n ) y x x n n y n x n Γ x) Γ x) Γ y) Γ y) y n y) n + y) x n x) n + x). n Dacă în 8) luăm x /6 şi y /4 membrul întâi devine n Γ x) Γ x) Γ y) Γ y) iar membrul al doilea y n y) n + y) x n x) n + x) 6 4 Aşadar 9) Γ /6) Γ 5/6) sin π/4) Γ /4) Γ 3/4) sin π/6), 4n )4n+) 4 6n )6n+) n 6 6 4 n 3) n + 3) n ) n + ) n 3 9 5 4 n + 3) n + 9) n + ) n + ) n + 3) n + 9) n + ) n + ). n 3 9 5 4 n + 3) n + 9) n + ) n + ) Formula 9) a fost obţinută de Catalan în anul 873 vezi [3]). Dacă în 8) luăm x 3/8 şi y /4 membrul întâi devine Cum Γ x) Γ x) Γ y) Γ y) sin 3 π 8 sin π π 8 ) Γ 3/8) Γ 5/8) sin π/4) Γ /4) Γ 3/4) sin 3π/8). cos π 8 + cos π/4) +,

66 Eugenia Duca, Emilia Copaciu şi Dorel I. Duca 4 obţinem că π Γ x) Γ x) sin Γ y) Γ y) 4 sin 3 π. 8 Pe de altă parte, membrul al doilea al relaţiei 8), este y n y) n + y) 4n )4n+) x n x) n + x) 4 4 3 8n ) 8n + ) 8n 3)8n+3) 3 8n 3) 8n + 3) n 8 n 4 n 6 4 8n + ) 8n + 6) 3 5 3 8n + 3) 8n + 5) 8n + ) 8n + 6) 8n + 3) 8n + 5). Aşadar n 6 4 8n + ) 8n + 6) 3 5 3 8n + 3) 8n + 5). 3 În 8) să luăm x /6 şi y 5/. Atunci membrul întâi devine Întrucât obţinem că Γ x) Γ x) Γ y) Γ y) sin 5 π sin π π π Γ x) Γ x) sin 5 Γ y) Γ y) sin π 6 Γ /6) Γ 5/6) sin 5π/) Γ 5/) Γ 7/) sin π/6). ) cos π + cos π/6) + 3 + 3, + 3. Pe de altă parte, membrul al doilea al relaţiei 8), devine y 5 n y) n + y) n 5)n+5) x n x) n + x) 5 n 5) n + 5) 6n )6n+) n ) n + ) n 6 n 6 n 5 7 7 9 4 n + 5) n + 7) n + ) n + ) n + 5) n + 7) n + ) n + ). Aşadar n + 3 5 7 7 9 4 n + 5) n + 7) n + ) n + )

5 Formulele lui Stirling, Wallis, Gauss şi aplicaţii 67 4 În 8) să luăm x /3 şi y /6. Atunci membrul întâi devine Γ x) Γ x) Γ y) Γ y) Γ /3) Γ /3) sin π/3) Γ /6) Γ 5/6) sin π/6) 3 3. Pe de altă parte, membrul al doilea al relaţiei 8), devine y n y) n + y) 3n )3n+) x n x) n + x) 3 3 6n ) 6n + ) 6n )6n+) 6n ) 6n + ) n 6 n 6 n 4 5 8 6n + ) 6n + 4) 7 6n + ) 6n + 5) 6n + ) 6n + 4) 6n + ) 6n + 5). Aşadar n 4 3 5 8 6n + ) 6n + 4) 7 6n + ) 6n + 5) BIBLIOGRAFIE [] Duca D.I.: Analiză matematică vol. ), Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 3 [] Duca D.I.: Analiză matematică vol. ), Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 4 [3] Catalan E.: Sur la constant d Euler et la function de Binet, C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. Math., 77 873), 98 [4] Melzak Z.A.: Infinite products for πe and π/e, American Mathematical Monthly, 68 96), no., 39 4 [5] Osler T.J.: The union of Vieta s and Wallis s products for pi, Amer. Math. Monthly, 6 999), 774 776 [6] Stirling J.: Methodus Differentialis, London, 73 [7] Wallis J.: Arithmetica Infinitorum, Oxford, 656 Universitatea Tehnică Cluj-Napoca Departamentul de Matematică str. Gh. Bariţiu, nr. Cluj-Napoca, Romania e-mail: jeniduca@yahoo.com Colegiul Tehnic Ana Aslan str. Decebal, nr. 4, Cluj-Napoca, Romania e-mail: emiliacopaciu@yahoo.com Universitatea Babeş-Bolyai Faculatea de Matematică şi Informatică str. Kogălnceanu, nr., Cluj-Napoca, Romania e-mail: dduca@math.ubbcluj.ro; dorelduca@yahoo.com Primit la redacţie: Decembrie 4