VAN / SURNAME: VOORNAME / FIRST NAMES: STUDENTENOMMER / STUDENT NUMBER: HANDTEKENING / SIGNATURE: TELEFOON / TELEPHONE:

Transcription

1 UNIVERSITEIT VAN PRETORIA / UNIVERSITY OF PRETORIA FAKULTEIT NATUUR- EN LANDBOUWETENSKAPPE / FACULTY OF NATURAL AND AGRICULTURAL SCIENCES DEPARTEMENT WISKUNDE EN TOEGEPASTE WISKUNDE DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND APPLIED MATHEMATICS WTW 126 LINEÊRE ALGEBRA 126 / LINEAR ALGEBRA 126 EKSAMEN : NOVEMBER 2006 / EXAM : NOVEMBER 2006 Tyd / Time Punte / Marks Afdeling / Section A 0 min 10 Afdeling / Section B 60 min 5 Totaal / Total 90 min 45 VAN / SURNAME: VOORNAME / FIRST NAMES: STUDENTENOMMER / STUDENT NUMBER: HANDTEKENING / SIGNATURE: TELEFOON / TELEPHONE: PUNTE (Afdeling B) MARKS (Section B) 5 Eksterne eksaminator / External examiner: Interne eksaminatore / Internal examiners: Dr J K Djoko Dr F Theron, Mr J-H van der Walt & Mr R Venter LEES DIE VOLGENDE INSTRUKSIES / READ THE FOLLOWING INSTRUCTIONS: 1. Die vraestel bestaan uit bladsye 1 tot 10 (Vrae 1 tot 16.2). Kontroleer dat you vraestel volledig is. The paper consists of pages 1 to 10 (Questions 1 to 16.2). Check that your paper is complete. 2. Doen alle krapwerk in die oop spasies. Dit word nie nagesien nie. Do all scribbling in the open areas. It will not be marked.. As jy meer as die beskikbare ruimte vir n antwoord benodig, gebruik dan ook die oop ruimtes (op 4. bladsye 4, 10 en die rugkant) en dui dit asseblief baie duidelik aan. If you need more than the available space for an answer, use the blank areas (on pages 4, 10 and the back of the book) and please indicate it very clearly. 5. Doen eers Afdeling A. Dit word na 0 minute ingeneem. Do Section A first. It will be collected after 0 minutes. 6. Doen Afdeling A in potlood op die merkleesvorm. Geen potlood of rooi ink in Afdeling B word nagesien nie. Do Section A in pencil on the mark reader form. No work in pencil or red ink in Section B will be marked. 7. As jy korrigeerink ( Tipp-Ex ) gebruik, verbeur jy die reg om moontlike vrae wat nie gemerk is nie aan te meld of om enige vrae te laat hernasien. If you use correcting fluid ( Tipp-Ex ), you lose the right to any queries on questions not marked or marked incorrectly. 6. Slegs nie-programmeerbare sakrekenaars mag gebruik word. Only non-programmable pocket calculators may be used. 8. Toon die nodige stappe en verduidelik wat jy doen in berekeninge en probleme in Afdeling B, en gee volledige motiverings vir jou bewerings in bewyse. Show the necessary steps and explain what you are doing in calculationsand problems in Section B, and give full justifications for the assertions you make in proofs. 8. Benader die antwoorde tot desimale plekke waar van toepassing. Approximate the answers to decimal places where appropriate. Outeursreg voorbehou Copyright reserved

2 Afdeling A: Veelvuldige keuse / Section A: Multiple Choice Tyd: 0 minute / Time: 0 minutes Punte: 10 (1 punt per vraag) \ Marks: 10 (1 mark per question) Die vrae in Afdeling A moet op KANT 1 van die merkleesvorm in SAGTE POTLOOD voltooi word. The questions in Section A must be completed on SIDE 1 of the mark reader form in SOFT PENCIL. Die volgende inligting geld vir Vrae 1 en 2 / The following information holds for Questions 1 and 2: Laat a 0, 1, 1 en b 2, 1, 1 twee vektore wees. Let a 0, 1, 1 and b 2, 1, 1 be two vectors. Vraag 1 / Question 1 Die rigtingshoek van a (in radiale) is The direction angle of a (in radians) is 1(a) (b) (c) (e) Geeneen van bogenoemde nie / None of the above (d) Vraag 2 / Question 2 Watter een van die volgende vektore is loodreg op beide a en b? Which one of the following vectors is perpendicular to both a and b? 2(a) 1, 1, 1 2(b) 2, 2, 2 2(c) 0, 2, 2 2(d) 1, 1, 1 2(e) Geeneen van bogenoemde nie / None of the above Vraag / Question Watter vlak is loodreg op die lyn x 1 y z2? Which plane is perpendicular to the line x 1 y z2 (a) x y z 0 (b) x y 2z 1 (c) x y z 5 (d) x y 2z (e) Geeneen van bogenoemde nie / None of the above.? 1

3 Vraag 4 / Question 4 Watter een van die volgende sketse is n meetkundige voorstelling van die stelsel lineêre vergelykings? Which one of the following sketches is a geometrical representation of the system of linear equations? x 1 2x 2 x 1 2x 1 4x 2 6x 2 x 1 6x 2 9x (Hierdie vraag moet beantwoord word sonder om die stelsel vergelykings op te los.) (This question must be answered without solving the system of equations.) 4(a) A 4(b) B 4(c) E 4(d) F 4(e) Geeneen van bogenoemde nie / None of the above. Vraag 5 / Question 5 n Stelsel lineêre vergelykings word in aangevulde matriksvorm geskryf en na trapvorm herlei. Die resultaat is A system of linear equations is written in the augmented matrix form and is reduced to echelon form. The result is a 2 1 a 2 2a 1. Vir watter waarde(s) van a sal die stelsel drie vlakke voorstel wat in n reguitlyn sny? For which value(s) of a will the system represent three planes intersecting in a straight line. 5(a) Vir / For a 1 5(b) Slegs vir / Only for a 1 5(c) Slegs vir / Only for a 1 5(d) Vir / For a 1 5(e) Geeneen van bogenoemde nie / None of the above 2

4 Vraag 6 / Question 6 Laat / Let A a As A n inverteerbare matriks is, dan is If A is an invertible matrix, then 6(a) a 1 6(b) a 0 6(c) a 1 6(d) a 0 6(e) Geeneen van bogenoemde nie / None of the above. Vraag 7 / Question 7 Laat z en w komplekse getalle wees met z cis en beskou die volgende voorstelling van z en w op die Argand-vlak (komplekse vlak): Let z and w be complex numbers with z cis and consider the following representation of z and w on the Argand (complex) plane: Dan is / Then w 7(a) 2z 7(b) z 2 7(c) cis 2 7(d) z 2 7(e) Geeneen van bogenoemde nie / None of the above Vraag 8 / Question 8 Die vergelyking z 4 i 2 het / The equation z 4 i 2 has 8(a) 2 oplossings / 2 solutions 8(b) 4 oplossings / 4 solutions 8(c) 1 oplossing / 1 solution 8(d) Geen oplossings / No solution 8(e) Geeneen van bogenoemde nie / None of the above

5 Vraag 9 / Question 9 4 i 1 i 9(a) 4 9(b) 9(c) i 9(d) i 9(e) Geeneen van bogenoemde nie / None of the above Vraag 10 / Question 10 Watter een van die volgende waardes is n nulpunt vir fz z 2iz 2 z2i? Which one of the following values is a zero for fz z 2iz 2 z2i? 10(a) i 10(b) 2 10(c) 2i 10(d) 2i 10(e) Geeneen van bogenoemde nie / None of the above 4

6 Afdeling B: Langer vrae / Section B: Longer questions Tyd: 60 minute / Time: 60 minutes Punte: 5 / Marks: 5 Hierdie Afdeling moet IN PEN in hierdie vraestel gedoen word (doen sketse ook in pen). This Section must be completed IN PEN in this paper (sketches to be done in pen too). Vraag 11 / Question Laat P1, 0, 1 en Q1, 1, 2 twee punte in die driedimensionele ruimte wees. Vind n parametriese vektorvergelyking van die lyn deur P en Q. Let P1, 0, 1 and Q1, 1, 2 be two points in the three-dimensional space. Find a parametric vector equation of the line through P and Q Vind die Cartesiese vergelyking van die vlak wat ewewydig is aan die vektor v 2, 1, 0 en die lyn bevat. Find the Cartesian equation of the plane which is parallel to the vector v 2, 1, 0 and contains the line. 4 5

7 Vraag 12 / Question Los die volgende stelsel lineêre vergelykings op. Gee jou antwoord in vektorvorm. Solve the following system of linear equations. Give your answer in vector form. x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 1 x 2 4x Gee n meetkundige interpretasie (in woorde) van die stelsel in Vraag Give a geometrical interpretation (verbally) of the system in Question

8 Vraag 1 / Question Neem aan dat rcis n r n cisn vir alle positiewe heelgetalle n. Bewys dat rcis m r m cism vir alle negatiewe heelgetalle m. Assume that rcis n r n cisn for all positive integers n. Prove that rcis m r m cism for all negative integers m Bereken i 6. Gee jou antwoord in die modulus-argumentvorm (dit wil sê gebruik die hoofargument). Calculate i 6 Give your answer in the polar form (that is, use the principal argument). 4 7

9 Vraag 14 / Question 14 Maak n voorstelling van die volgende versameling op die gegewe Argand-vlak: Make a representation of the following set on the given Argand plane: z zi z2i Vraag 15 / Question 15 Los op in en gee jou antwoorde in die standaardvorm a ib : Solve in giving your answers in the standard form a ib : fz z 6 2iz 5 z 4 16z 2 2iz16 0. (Wenk: Begin met groepering en gemeenskaplike faktore.) (Hint: Start with grouping and common factors.) Vraag 16 / Question Laat A n matriks wees. Beskou die bewering Pn : deta n deta n. 5 8

10 Voltooi die volgende wiskundige induksiebewys van die bewering Pn vir alle natuurlike getalle n. (Jy mag aanvaar dat detcd detc. detd vir alle matrikse C en D. ) Let A be a matrix. Consider the statement deta n deta n. Complete the following mathematical induction proof of the statement Pn for all natural numbers n. (You may assume that detcd detc. detd for all matrices C and D.) Stap 1 / Step 1: deta 1 deta deta 1, dus is P1 triviaal waar. / so P1 is trivially true. Stap 2 / Step 2:, d.w.s. / i.e. A Ons moet bewys dat ook waar is / We have to prove that is also true, d.w.s / i.e. B Nou is / Now LK van B / LHS of B Dus is Pn waar vir alle natuurlike getalle n. / Thus Pn is true for all natural numbers n. 5 9

11 16.2 n Matriks A word nulpotent genoem as A n 0 vir een of ander natuurlike getal n. Bewys dat n nulpotente matriks A nie inverteerbaar is nie. A matrix A is called nilpotent if A n 0 for some natural number n. Prove that a nilpotent matrix A is not invertible. 10