WTW 161 : ALGEBRA. EKSAMEN / EXAMINATION Eksterne eksaminator / External examiner: Dr F Theron

Transcription

1 Outeursreg voorbehou UNIVERSITEIT VAN PRETORIA Departement Wiskunde en Toegepaste Wiskunde Copyright reserved UNIVERSITY OF PRETORIA Department of Mathematics and Applied Maths November 006 Maks Punte / Max Marks:40 Tyd / Time: 90 min Punte: Intern Marks: Internal Veranderinge Changes Ekstern External WTW 6 : ALGEBRA EKSAMEN / EXAMINATION Eksterne eksaminator / External examiner: Dr F Theron Van / Surname: VOORNAME / FIRST NAMES: STUDENTNOMMER: STUDENT NUMBER: HANDTEKENING SIGNATURE: Studierigting / Field of Study B C E L M N P R S Z Ander / Other Telefoonnommer gedurende eksamenperiode / Telephone number during exam period Interne eksaminatore / Internal examiners Dr AF Harding Mnr / Mr JH van der Walt Lees eers die volgende instruksies. Slegs nie-programmeerbare sakrekenaars mag gebruik word.. Die vraestel bestaan uit bladsye tot 0 (vrae -0) ) asook n merkleesvorm. Kontroleer of u vraestel volledig is. 3. Doen alle krapwerk op die vraestel. Dit word nie nagesien nie. 4. As u meer as die beskikbare ruimte vir n antwoord nodig het, gebruik dan enige blanko spasie en dui dit duidelik aan deur n raam daarom te trek. 5. Geen potloodwerk word nagesien nie. 6. Korreksievloeistof (bv.tipp-ex ) mag nie gebruik word nie. 7. Geen antwoordboek mag uit die lokaal geneem word nie 8. Toon alle bewerkings duidelik Interne eksaminatore / Internal examiners Prof MJ Schoeman Mnr / Mr H-W van Wyk First read the following instructions. Only non-programmable calculators may be used.. The question paper consists of pages to 0 (questions -0) and an optic reader form. Check if your paper is complete. 3. Scribbling can be done on the script. This will not be marked. 4. If you need more than the available space for an answer, you may also use any empty space. Indicate it clearly by framing it. 5. Work in pencil will not be marked. 6. Use of correction fluid (e.g.tipp-ex) is not allowed. 7. No test scripts may be removed from the venues 8. Show all computations clearly

2 Afdeling A: Meervoudige keuse / Section A: Multiple Choice Tyd: 30 minute; Punte: 4 / Time: 30 minutes; Marks: 4. Die vrae in Afdeling A moet op KANT van die merkleesvorm in SAGTE POTLOOD voltooi word. The questions in Section A must be completed on SIDE of the optical reader form in SOFT PENCIL. Die volgende formules mag gebruik word. The following formulae may be used. Ax Bxy Cy Dx Ey K... Pu Qv Ru Sv K... 4AC B 4PQ... 3 B 0,A C tan B C A of / or B 0,A C 0, 4 of / or A Pcos Qsin P Q A C P Q A C B sin cos Q P P Q B sin P Q B C Psin Qcos R Dcos Esin R Dcos Esin D Rcos Ssin S Dsin Ecos S Dsin Ecos E Rsin Scos Vraag / Question Hoeveel komplekse getalle z C bevredig die vergelyking z 6 i How many complex numbers z C satisfy the equation z 6 i a) b) 6 c) 3 d) e) Geen van hierdie / None of these 3? 3? Vrae en 3 / Questions and 3 Beskou die polinome f x x 3 3x en g x x. Consider the polynomials f x x 3 3x and g x x. Vraag / Question Die priemfaktore van f x oor R is / The prime factors of f x over R are a) x en / and x x b) x, x 3 en / and x 3 c) Slegs / Only x 3 3x d) x, x 3i en / and x 3i e) Geen van hierdie / None of these wtw6 exam 006 p of 0

3 Vraag 3 / Question 3 As f x gedeel word deur g x volgens die Delingsalgoritme, dan is die res If f x is divided by g x according to the Division Algorithm, then the remainder is 3a) 3b) 8 3c) x x 3d) 8 3e) Geen van hierdie / None of these Vraag 4 / Question 4 Watter een van die sketse stel die oplossingsversameling voor van die vergelyking z z? Which one of the diagrams represents the solution set of the equation z z? 4a Im(z) 4b Im(z) 4c Im(z) + Re(z) - Re(z) Re(z) 4d Im(z) 4e Geen van hierdie / None of these 3 Re(z) Vrae 5 en 6 / Questions 5 and 6: Beskou die matriks A. Consider the matrix A. Vraag 5 / Question 5 A 0 k k Die determinant van die matriks A is / The determinant of the matrix A is 5a) k k 4 5b) k k 5c) k k 4 5d) k k 5e) Geen van hierdie / None of these Vraag 6 / Question 6 As die martiks A n inverse het, dan is If the matrix A has an inverse, then 6a) k 6b) k of / or k 0 6c) k of / or k 0 6d) c) k en / and k 0 6e) Geen van hierdie / None of these wtw6 exam 006 p of 0

4 Vraag 7 / Question 7 Gegee die parallelogram ABCD met hoekpunte A 0,0, B,, C,4 en D 0,3. Given the parallelogram ABCD with vertices A 0,0, B,, C,4 and D 0,3. Die oppervlaktevan die parallelogram ABCD is The area of the parallelogram ABCD is 7a) 7b) 3 7c) 7 7d) 4 7e) Geen van hierdie / None of these Vraag 8 / Question 8 Beskou die matriksea, B, C en D hier onder: / Consider the matrices A, B, C and D below: A 3 0, B 3 0, C en / and D Watter van die matriks bewerkings hier onder is gedefinieër? Which of the following matrix operations is defined? 8a) CD CB 8b) BA CD 8c) BD 8d) BA B 8e) Geen van hierdie / None of these Vraag 9 / Question 9 As r cos isin die poolvorm van z i is met die hoofargument, dan is If r cos isin is the polar form of z i with the principle argument, then 9a) 3 9b) 3 9c) 3 9d) 4 3 9e) Geen van hierdie / None of these Vraag 0 / Question 0 Laat / Let z e 4 i. Skryf z in die vorm a ib. / Write z in the form a ib. 0a) e e i 0b) e e i 0c) e e i 0d) e e i 0e) Geen van hierdie / None of these wtw6 exam 006 p 3 of 0

5 Vrae tot 3 / Questions through 3 Beskou die kwadratiese vergelyking x 3xy y. Consider the quadratic equation x 3xy y Vraag / Question Watter soort kwadratiese vergelyking stel die vergelyking voor? What kind of quadractic form is represented by the equation? a) Hiperbool / Hyperbola b) Ellips / Ellipse c) Parabool / Parabola d) Sirkel / Circle e) Geen van hierdie / None of these Vraag / Question As die vergelyking in standaardvorm Pu Qv Ru Sv geskryf word, dan is die hoek van rotasie If the equation is written in standard form Pu Qv Ru Sv then the angle of rotation is a) 4 b) 6 c) 3 d) 3 e) Geen van hierdie / None of these Question 3 / Vraag 3 As die vergelyking in standaardvorm Pu Qv Ru Sv geskryf word, dan is If the equation is written in standard form Pu Qv Ru Sv then 3a) P 3 3b) P 3 3c) P 3d) P 3e) Geen van hierdie / None of these Vraag 4 / Question 4 As dit gegee is dat If it is known that a a a a b b c c c k dan is then a a a a b b b 0 c c c 4a) k 4b) k 4c) 6k 4d) 6k 4e) Geen van hierdie / None of these wtw6 exam 006 p 4 of 0

6 AFDELING B / SECTION B [6] BEANTWOORD ALLE VERDERE VRAE OP HIERDIE VRAESTEL en TOON alle bewerkings duidelik aan. ANSWER ALL THE FOLLOWING QUESTIONS ON THE SCRIPT and SHOW all computations clearly. Vraag 5 / Question 5 Beskou die keëlsnedes: Consider the conic sections: A : x y 3xy 8 B : x y xy x y 0 Hiperbool Ellips Parabool 5.) Merk slegs die korrekteblokkies: Tick the correct boxes only: A Hyperbola Ellipse Parabola B 5.) Om die keëlsnit A in standaardvorm Pu Qv Ru Sv K te skryf moet die asse roteer word deur n hoek. In order to write the conic section A in standard form Pu Qv Ru Sv K the axes must be rotated through an angle. 5.3) Skryf A in standaardvorm Pu Qv Ru Sv K Write A in standard form Pu Qv Ru Sv K. 4 wtw6 exam 006 p 5 of 0

7 5.4) As die vergelyking vir die keëlsnit B in standaardvorm u v 0 is, maak n skets van die keëlsnedes A en B op dieselfde uv assestelsel. Toon alle afsnitte met die asse asook alle asimptote, indien van toepassing is, aan. If the equation for the conic section B in standard form is u v 0, make a sketch of the conic sections A and B on the same set of uv axes. Show all intercepts with the axes as well as all asymptotes, if applicable. v u 3 wtw6 exam 006 p 6 of 0

8 Vraag 6 / Question 6 Laat z enige komplekse getal wees. Stel die oplossingsversameling van die ongelykheid z i in die komplekse vlak voor. Let z be any complex number. Represent the solution set of the inequality z i in the complex plane. Im(z) Re(z) Vraag 7 / Question 7 Toon aan dat dat i n reële getal is. / Show that i (Wenk / Hint: Skryf in poolvorm / Write in polar form) is a real number. 3 wtw6 exam 006 p 7 of 0

9 Vraag 8 / Question 8 Gegee die matriks Given the matrix A. As / If u v A x y, gebruik die inverse van A om vergelykings vir x en y in terme van u en v neer te skryf. use the inverse of A to write down equations for x and y in terms of u and v 3 wtw6 exam 006 p 8 of 0

10 Vraag 9 / Question 9 Gegee / Given f x x 4 x 3 x x. Ontbind f x in faktore oor C as dit gegee word dat x i n nulpunt van f x is. Resolve f x into factors over C if it is given that x i is a zero of f x. 3 wtw6 exam 006 p 9 of 0

11 Vraag 0 / Question 0 x y z Beskou die stelsel vergelykings: x z 0 Consider the system of equations: x y 0.) Skryfdie stelsel in aangevulde matriksvorm en reduseer dit na ry-trapvorm. Write the system in augmented matrix form and reduce it to row-echelon form. 3 0.) Los die stelsel op, as dit enige oplossings het. Solvethe system, if it has any solutions. 0.3) Gee die meetkundige interpretasie van die oplosbaarheid van die stelsel lineêre vergelykings. Givethe geometric interpretation of the sovability of the system of linear equations. wtw6 exam 006 p 0 of 0