SNOVE ELEKTROTEHNIKE. Dejan Križaj, 2007

Transcription

1 SNOVE ELEKTROTEHNIKE 1 Dejan Kižaj, 7

2 Spoštovani študenti! Ped vami je skipta, ki jo lahko upoabljate za lažje spemljanje pedavanj pi pedmetu Osnove elektotehnike 1 na visokošolskem študiju na Fakulteti za elektotehniko, Univeza v Ljubljani. Sestavljena je kot zbika mojih pipav na pedavanja. Skipta večinoma ne vsebuje slikovnega mateiala, azen v posebnih pimeih. Je pa v skipti ezevian določen posto, kje lahko naišete ustezno sliko, ki ste jo že naisali na pedavanjih. Na ta način si lahko z nekoliko lastne aktivnosti pipavite liteatuo, pimeno za pipavo na izpit. Poleg»standadnega«teksta z azlagami osnovnih elektičnih pojavov in pojmov te njihovega matematičnega zapisa sem dodal nekaj pimeov upoabe Matlaba za izačun in vizualizacijo polja. Več pimeov si lahko ogledate na moji spletni stani na Pedlagam, da tudi sami poskusite upoabiti Matlab ali pa kakšen sooden pogam.na spletu so na voljo tudi bezplačni pogami, ki tudi omogočajo zelo kakovostno delo. Poglejte na pime možnosti pogamov Scilab ( ali Octave ( Poleg analitične obavnave smo upoabili tudi pogame za numeičen izačun elektičnega polja. Ta je posebno pimeen za vizualizacijo polja, je pa tudi pogost način pi paktičnem delu. Upoabili smo komecialen pogamski paket Femlab ( za študentsko delo pa so pimeni tudi dugi nekomecialni pogami (np. Quickfield ali Maxwell SV), ki si jih lahko ogledate na stani Pi pedmetu OE1 imate možnost izdelati seminasko nalogo. To ni obveznost, se pa uspešno izvedena seminaska naloga upošteva pi končni oceni (izpitu). Pimei možnih nalog so na stani lahko pa pedlagate tudi svojo. Na spletni stani se nahaja osnovna stan pedmetov OE1 in OE, kje najdete tudi povezave na zbiko ešenih izpitnih in kolokvijskih nalog, ki so izdatno opemljene z ešitvami. To je gadivo, ki vam ga toplo pipoočam kot študijsko gadivo. Poleg te skipte obstaja veliko knjižnega gadiva, ki je pimeen kot študijsko gadivo.kajši spisek je na stani Dejan Kižaj, 6

3 Geneal Fomulas 1. d dx k =. Diffeentiation Rules Calculus I d du. dx (u + v) = dx + dv dx. d du 3. dx (u v) = dx dv dx v. d dv 4. dx (uv) = u dx + v du dx. d 5. dx ( u v ) = v du dx dv u dx v. 6. y = f(u), u = u(x), Basic Functions d 1. dx un n 1 du = nu dx. d. dx ln u = 1 u 3. d dx eu = e u du dx. du dx. d du 4. dx sin u = cos u dx. d du 5. dx cos u = sin u dx. 6. d dx tan u = sec u du dx. d du 7. dx sec u = sec u tan u dx. 8. d dx cot u = csc u du dx. dy dx = dy du du dx. d du 9. dx csc u = csc u cot u dx. d du 1. dx ln sec u = tan u dx. d du 11. dx ln sec u + tan u = sec u dx. d du 1. dx sinh u = cosh u dx. d du 13. dx cosh u = sinh u dx. 14. d dx tanh u = sech u du dx. d 15. dx sin 1 u = 1 du 1 u dx. 16. d dx tan 1 u = 1 1+u du dx. 17. d dx sec 1 u = 1 u du u 1 dx. d 18. dx sinh 1 u = 1 du 1+u dx. 19. d dx tanh 1 u = 1 1 u du dx. Geneal Fomulas 1. k dx = kx + C. Integation Fomulas Calculus I. (u + v) dx = u dx + v dx. 3. (u v) dx = u dx v dx. 4. u dv = uv v du. (Integation by pats) 5. No Quotient Rule. 6. f(u) du = f(u(x))u (x) dx. (Substitution) Basic Fomulas 1. u n du = 1 n+1 un+1 + C; n u du = ln u + C. 3. e u du = e u + C. 4. sin u du = cos u + C. 5. cos u du = sin u + C. 6. sec u du = tan u + C. 7. sec u tan u du = sec u + C. 8. csc u du = cot u + C. 9. csc u cot u du = csc u + C. 1. tan u du = ln sec u + C. 11. sec u du = ln sec u + tan u + C. 1. sinh u du = cosh u + C. 13. cosh u du = sinh u + C. 14. sech u du = tanh u + C a u du = sin 1 u a + C a +u du = 1 a tan 1 u a + C u u a du = 1 a sec 1 u a + C a +u du = sinh 1 u a + C a u du = 1 a tanh 1 u a + C.

4 TRIGONOMETRIC FORMULAS MATH 16: CALCULUS II Basic Identities The functions cos(θ) and sin(θ) ae defined to be the x and y coodinates of the point at an angle of θ on the unit cicle. Theefoe, sin( θ) = sin(θ), cos( θ) = cos(θ), and sin (θ) + cos (θ) = 1. The othe tigonometic functions ae defined in tems of sine and cosine: tan(θ) = sin(θ)/ cos(θ) cot(θ) = cos(θ)/ sin(θ) = 1/ tan(θ) sec(θ) = 1/ cos(θ) csc(θ) = 1/ sin(θ) Dividing sin (θ) + cos (θ) = 1 by cos (θ) o sin (θ) gives tan (θ) + 1 = sec (θ) and 1 + cot (θ) = csc (θ). Addition Fomulas The following two addition fomulas ae fundamental: sin(a + B) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) cos(a + B) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) They can be used to pove simple identities like sin(π/ θ) = sin(π/) cos(θ) + cos(π/) sin(θ) = cos(θ), o cos(x π) = cos(x) cos(π) sin(x) sin(π) = cos(x). If we set A = B in the addition fomulas we get the double-angle fomulas: sin(a) = sin(a) cos(a) cos(a) = cos (A) sin (A) The fomula fo cos(a) is often ewitten by eplacing cos (A) with 1 sin (A) o eplacing sin (A) with 1 cos (A) to get cos(a) = 1 sin (A) cos(a) = cos (A) 1 Solving fo sin (A) and cos (A) yields identities impotant fo integation: sin (A) = 1 (1 cos(a)) cos (A) = 1 (1 + cos(a)) The addition fomulas can also be combined to give othe fomulas impotant fo integation: sin A sin B = 1 [cos(a B) cos(a + B)] cos A cos B = 1 [cos(a B) + cos(a + B)] sin A cos B = 1 [sin(a B) + sin(a + B)] Deivatives and Integals sin (x) = cos(x) sec (x) = sec(x) tan(x) cos (x) = sin(x) csc (x) = csc(x) cot(x) tan (x) = sec (x) cot (x) = csc (x) sin(x) dx = cos(x) + C sec(x) dx = ln sec(x) + tan(x) + C cos(x) dx = sin(x) + C csc(x) dx = ln csc(x) + cot(x) + C tan(x) dx = ln sec(x) + C cot(x) dx = ln csc(x) + C Date: Fall 4.

5 Tig Functions Definitions C A sin θ = A C cos θ = B C tan θ = A B θ B csc θ = C A sec θ = C B cot θ = B A Radians Fo use in calculus, angles ae best measued in units called adians. By definition, an ac of length θ on a cicle of adius one subtends an angle of θ adians at the cente of the cicle. Because the cicumfeence of a cicle of adius one is π, wehave θ θ π adians = 36 π adians = 18 π π 3 adians = 6 π 4 adians = 45 π 6 adians = 9 adians = 3 Special Tiangles Fom the tiangles above, we have θ sin θ cosθ tan θ csc θ sec θ cotθ = ad = π 6 ad = π 4 ad = π 3 ad = π ad = π ad 1 1 The empty boxes mean that the tig function is undefined (i.e. ± ) fo that angle. 1

6 Tig Identities Elementay page The following identities ae all immediate consequences of the definitions at the top of the pevious csc θ = 1 sin θ sec θ = 1 cos θ tan θ = sin θ cos θ cot θ = 1 tan θ = cos θ sin θ Because π adians is 36, the angles θ and θ +π ae eally the same, so sin(θ +π) =sinθ cos(θ +π) =cosθ The following tig identities ae consequences of the figue to thei ight. sin θ +cos θ =1 sin( θ) = sin(θ) cos( θ) =cos(θ) C =1 θ θ B =cosθ (cos θ, sin θ) A =sinθ The following tig identities ae consequences of the figue to thei left. (cos θ, sin θ) θ 1 cos θ π θ sin θ sin ( π θ) =cosθ cos ( π θ) =sinθ Tig Identities Addition Fomulae The following tig identities ae deived in the handout entitled Tig Identities Cosine law and Addition Fomulae sin(x + y) =sinx cos y +cosxsin y sin(x y) =sinx cos y cos x sin y cos(x + y) =cosx cos y sin x sin y Setting y = x gives cos(x y) =cosx cos y +sinx sin y sin(x) =sinx cos x cos(x) =cos x sin x =cos x 1 since sin x =1 cos x =1 sin x since cos x =1 sin x Solving cos(x) =cos x 1focos x and cos(x) =1 sin x fo sin x gives cos x = 1+cos(x) sin x = 1 cos(x)

7 Dodatne vsebine pi pedmetu Osnove elektotehnike 1: Osebnosti: B. Fanklin Coulomb Gauss Galvani in Volta, živalska elektika Ohm Modelianje: Pikaz Jacoba testi, link na Simulacije s Femlabom, spoti in link na Matlab izačuni in link na Simulacije na intenetu (več intenetnih stani) Fizleti, vitualni ekspeimenti z appleti Zgodovina: Leidenska flaša zgodovina, nadaljevanje Whimhustova mašina Van den Gaffov geneato Voltina kaskada Millikenov poskus Thompsonov poskus Delovanje: Kondenzatoji: zgodovina, tipi kondenzatojev, upoaba, nadomestno vezje,... PPT Upoi: zgodovina, tipi upoov, upoaba,... PPT Aplikacije: elektostatično čiščenje plinov, elektostatično napševanje, xeox fotokopianje, katodna cev, elektofoeza in dielektofoeza, elektostatični geneatoji, elektostatični ionski pospeševalniki, elektostatični geneatoji ionov (stanovanje), fleksibilni e-papi Upoaba v: senzoji pospeška, piezoelektični senzoji in dajalniki,... Naava: zemlja kot elektostatični sfeični kondenzato, elektika stele, človek v elektičnem polju, biološka celica in elektika (geneato, spemenljiv upo, elektopoacija) Elektostatika pi nas (industija in aziskave): mejenje elektičnih polj (ZVD) načtovanje večžičnih kablov in azdvojnikov (ETI) pebojna tdnost v zaku (ELES, Vidma), dielektikih (ISKRA), polpevodnikih ESD: elektostatična azelektitev v elektoniki (peboji) in industiji (nevanosti samovžiga) Načtovanje in mejenje ozemljitev... dokument je še v delu

8 Osnove elektotehnike 1, VSŠ Osnovna izpitna vpašanja za ustni izpit (Kižaj) 1. Enosmena vezja 1. Kichoffova zakona: enačbi, katee lastnosti polja popisujeta, azlaga, upoaba.. Vezave Ohmskih upoov, nadomestna uponost: izpeljava, pimei. 3. Vii elektičnega toka: definicija, idealni, ealni, UI kaakteistika ealnega via, delovna točka. 4. Moč: izačun iz napetosti, toka, uponosti, izačun dela iz moči, moč na bemenu piključenem na ealni vi, izkoistek, maksimalna moč na bemenu. 5. Meilni inštumenti: notanja uponost, azšiitev meilnega območja. 6. Analiza vezij: gaf, devo, veja, spojišče, Neposedna upoaba Kichhoffovih zakonov pi analizi elektičnih vezij: definicija, gaf, devo, veja, spojišče, neodvisne enačbe, matični zapis, pime. 8. Metoda spojiščnih potencialov pi analizi elektičnih vezij. 9. Metoda zančnih tokov pi analizi elektičnih vezij. 1. Metoda supepozicije. 11. Theveninov teoem ali teoem nadomestnega napetostnega via: definicija, azlaga, pime. 1. Notonov teoem ali teoem nadomestnega tokovnega via: definicija, azlaga, pime. 13. Tellegenov teoem.. Elektostatično polje 1. Zakon o ohanitvi naboja.. Tok kot časovna spememba količine naboja (kontinuitetna enačba) 3. Povezava med tokom in nabojem ( izačun toka pi znani časovni spemembi množine naboja in izačun množine naboja pi znani časovni spemembi toka) 4. Sila na točkaste naboje Coulombov zakon: velikost sile, sme, dielektičnost vakuuma, odbojna in pivlačna sila. 5. Elektična poljska jakost: definicija, izpopolnjena definicija z limito, supepozicija. 6. Poazdelitve nabojev: linijska ali vzdolžna, povšinska, volumska. povezava med nabojem in gostoto naboja. 7. Elektična poljska jakost poazdeljenih nabojev.: izaz in pincip upoabe. 8. Enačbe za polje v okolici točkastega naboja, naelektene pemice (peme elektine), naelektene daljice, v sedišču naelektenega oboča, v osi naelektenega oboča, naelektene avnine. 9. Gaussov zakon: azlaga in pimei. Izvonost elektičnega polja. 1. Delo in enegija elektostatičnega polja: definicija za izačun dela iz sile, pomen skalanega podukta pi izačunu, delo elektične sile in delo zunanje sile, delo po zaključeni poti, delo pi penosu naboja do neskončnosti, povezava med delom in potencialno enegijo.

9 11. Potencial: definicija in pime izačuna, potencial sistema točkastih nabojev, potencial v okolici poazdeljenih nabojev, potencial kot skalano polje, ekvipotencialne avnine. 1. Elektična napetost: definicija, povezava med napetostjo in potencialom. Potencialnost polja (Kichoffov zakon). 13. Osnovni pimei izačuna potenciala, napetosti, polja in kapacitivnosti za: ploščni, valjni (koaksialni) in sfeični kondenzato. 14. Pevodnik v elektične polju: polje znotaj pevodnika, potencial na povšini pevodnika, elektostatična indukcija, polje v votlini pevodnika, Faadayeva kletka, okovinjenje ekvipotencialk, elektično polje na povšini pevodnika. 15. Zveza med poljem in potencialom: povezava v»obe smei«. Pime izačuna polja iz znane poazdelitve potenciala. 16. Gibanje nabojev v elektičnem polju: sila, pospešek, hitost, enegija, sme leta, kinetična in potencialna enegija)ž. 17. Elektični dipol: dipolni moment, dipol v homogenem in nehomogenem polju, potencial in polje v okolici dipola, navo na elektični dipol. 18. Okovinjenje ekvipotencialnih avnin: pime dveh pemih nabojev, dva naelektena valja z in bez upoštevanja ekscentičnosti. 19. Metoda zcaljenja: zcaljenje azličnih naelektenih teles, izačun polja na zemlji, sistem daljnovodnih vvi, zcaljenje točkastega naboja na ozemljeni kovinski kogli.. Kapacitivnost: definicija, izazi za kapacitivnost osnovnih stuktu. Zapoedna in vzpoedna vezava kondenzatojev. 1. Kondenzatoska vezja: pincip ačunanja.. Dielektik v elektičnem polju: azlaga spemembe kapacitivnosti pi vložitvi dielektičnega lističa pi konstantni napetosti med ploščama ali pi konstantnem naboju na ploščama kondenzatoja. 3. Vekto polaizacije, povšinska gostota polaizianega naboja, povezava med E in P, elektična susceptibilnost. 4. Gostota elektičnega petoka: definicija, povezava med D, E in P, povezava med D in E. 5. Modifician Gaussov zakon. 6. Mejni pogoji: z upoštevanjem in bez upoštevanja postega povšinskega naboja,»lomni zakon«. 7. Enegija: enegija posameznega naboja pi peletu naboja v polju, enegija sistema nabojev, povezava med delom in enegijo sistema, enegija v polju kondenzatoja, gostota enegije in povezava med silo in enegijo. 8. Vi napetosti: elektostatično polje in geneatoska sila. 3. Časovno konstantno tokovno polje 1. Gostota toka.. Definicija časovno konstantnega polja in. Kichoffov zakon iz integalskih enačb 4. Konduktivni in konvektivni tok. 5. Ohmov zakon v difeencialni obliki 6. Specifična pevodnost in uponost, uponost pi homogeni gostoti v pevodniku, tempeatuna odvisnost specifične uponosti.

10 7. Joulov zakon. 8. Mejni pogoji v tokovnem polju 9. Dualnost tokovnega in elektostatičnega polja: pime upoabe.

11 VSEBINA 1. UVOD. MOČ 3. ANALIZA VEZIJ 4. STAVKI (TEOREMI) 5. NABOJ IN TOK 6. SILA NA TOČKASTE NABOJA (COULOMBOV ZAKON) 7. ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST 8. PORAZDELITEV NABOJA 9. KOORDINATNI SISTEMI 1. ELEKTRIČNA POLJSKA JAKOST PORAZDELJENIH NABOJEV 11. GAUSSOV ZAKON 1. DELO IN ENERGIJA ELEKTROSTATIČNEGA POLJA 13. POTENCIAL IN NAPETOST 14. PREVODNIK V POLJU 15. ZVEZA MED E IN V 16. GIBANJE NABOJEV V ELEKTRIČNEM POLJU 17. ELEKTRIČNI DIPOL 18. OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALNIH RAVNIN 19. METODA ZRCALJENJA. KAPACITIVNOST 1. DIELEKTRIK V ELEKTRIČNEM POLJU. KONDENZATOR 3. ENERGIJA 4. VIR NAPETOSTI 5. ČASOVNO KONSTANTNO TOKOVNO POLJE

12 Uvod(1).doc 3/1/6 1. Uvod Pedmet Osnove elektotehnike azdelimo v dva: Oe1 in OE. V OE1 obavnavamo osnove elektičnega polja v stacionanem stanju te enosmena elektična vezja... Stacionano stanje. Kaj je to stacionano stanje? To je stanje, ko je sistem v avnovesju, ko ni več časovnih spememb sistema. Če bi na pime pogledali napetost na kondenzatoju, bi ta moala biti ves čas nespemenjena - konstantna stacionana. V naspotnem pimeu govoimo pogosto o pehodnem pojavu, stanju, ko se na pime napetost na kondenzatoju časovno speminja. Zakaj najpej obavnavamo azmee v stacionanem stanju? V esnici je vedno poteben nek pehoden pojav, da pidemo do takega stanja. Na pime, če želimo na kondenzatoju imeti določeno napetost, ga moamo pedhodno naelektiti, to pa je že pehoden pojav. Razlog je v tem, da je obavnava dogajanja enostavnejša, če upoštevamo le stacionano stanje. In zakaj obavnavamo najpej le enosmena in šele kasneje tudi izmenična vezja? Tudi tu je dogovo enak: analiza dogajanja v enosmenih vezjih je bolj peposta kot v izmeničnih. Naše spoznavanje elektike temelji toej na postopnosti. Od bolj pepostih konceptov do bolj zahtevnih. V tem smislu bomo celo začeli z obavnavo elektičnih vezij namesto, da bi začeli z obavnavo elektičnega polja. Razlog je zopet v tem, da je za obavnavo elektičnega polja potebno azumevanje integalnega in infinitezimalnega ačuna (integalov in odvodov), za ka potebujemo nekoliko matematičnega pedznanja. Osnovni koncepti naboj, napetost, tok, uponost. V tem smislu bomo ka takoj začeli govoiti o konceptih kot so naboj, napetost, tok in uponost. To so koncepti, ki so vam sice že znani, ki pa so v smislu eksaktne definicije manj peposti, kot bi moda pičakovali. Na pime napetost, ki je definiana kot delo, ki ga opavijo elektične sile pi pemiku naboja 1 C od enega do dugega mesta. V pimeu kondenzatoja (ali bateije) sta ti dve mesti avno zunanji piključni sponki. Atomi. Zavedati se toej moamo, da so elektični pojavi vezani na lastnost naše naave, ki je sestavljena iz atomov, ti pa iz jeda iz potonov, neutonov in oblaka elektonov. Elektoni in potoni imajo lastnost, ki ji ečemo naboj. Pvi imajo pozitivni naboj, dugi pa negativnega. To je seveda naš (človeški) koncept, ki ga je pvi vpeljal Benjamin Fanklin, ki je ene naboje poimenoval pozitivne, duge pa negativne. Čisto lahko bi se lahko Fanklin odločil tudi za obatno pojmovanje. Pevodniki. Dokle ima atom enako število pozitivnih in negativnih nabojev je nevtalen. Atomi so običajno vezani med seboj in tvoijo zelo azlične tvobe. V kovinah imamo zdužbo atomov, ki običajno tvoijo močne vezi, obenem pa so te vezi take, da so določeni elektoni zelo šibko vezani na jedo in se z lahkoto gibljejo po mateialu. Rečemo, da so dobi pevodniki. Pi obavnavi vezij se dobo zavedati, da so sice nosilci elektičnega toka naboji, tako pozitivni kot negativni, da pa v kovinah (običajno bake), iz kateih so običajno zgajene povezave med elementi vezja pevajajo le elektoni. 1/1

13 Uvod(1).doc 3/1/6 Enota za naboj. Omenili smo že 1 C(oulomb). Najmanjša vednost naboja je naboj elektona, ki je pibližno 1,6e-19 C in ke je ta naboj negativen, moamo upoštevati še negativen pedznak. 1 C je toej mnogo elektonov. Koliko? 1/1,6 1 = 6,5 1. Elektični tok. Nosilci elektičnega toka so toej elektični naboji, ečemo jim lahko tudi elektine. Če ti miujejo elektičnega toka ni. Tako kot ni vodnega toka, če je vodni jez zajezen. Če pa jez odpemo, da lahko voda steče po stugi ali po cevi na lopatice tubine, pa seveda govoimo o vodnem toku. Tako je tudi pi elektiki. Če nabojem omogočimo, da se»petakajo«iz enega mesta na dugo, lahko govoimo o elektičnem toku. Če je spememba količine naboja v enoti časa večja, to pomeni večji tok. Matematično lahko spemembo v času zapišemo z opeacijo (opeatojem) odvodajanja d. Elektični tok toej lahko definiamo kot dt dq odvod naboja po času, ka zapišemo kot i =. dt Pime: Naboj na pozitivni sponki kondenzatoja je konstanten. Kolikšen je elektični tok? Matematično lahko zapišemo, da je časovno konstantna količina naboja na pozitivni sponki enaka Qt () = Q. Iz osnov matematike vemo, da je odvod konstante enak nič, toej bo ta tok seveda enak nič. Kaj pa če ecimo na 1 V akumulato piključimo žanico in se naboj na pozitivni sponki akumulatoja manjša lineano, v 1 1C sekundah za 1 C? Matematično to zapišemo kot Qt () = Q t. V tem pimeu 1s dq 1C skozi beme (žanico) teče elektični tok, ki je i = = = 1C/s. Ke vemo, dt 1s da je enota za tok A(mpee), je ezultat toej 1 A. Obenem vidimo, da velja 1 C = 1 A.s. Kaj pomeni negativni pedznak toka? To, da s pozitivne sponke odtekajo pozitivni naboji s hitostjo ozioma bolje s tokom 1 A. Kakšna pa je v esnici slika gibanja naboja? Ke smo že ugotovili, da po pevodniku pevajajo elektoni, pomeni, da ge v esnici za penos elektonov peko žanice v smei pozitivne sponke, kje smo imeli pej višek pozitivnih nabojev ozioma pomanjkanje negativnih. Zakaj bi elektoni sploh potovali od ene sponke poti dugi? Odgovo na to vpašanje ni avno peposto. Pav gotovo bo v pvem hipu pišlo do pehodnega pojava, saj smo ob določenem tenutku piklopili na akumulato beme (žanico). Ped tem je bil tok skozi žanico enak nič, potem pa ne več. Nekako smo moali piti do toka 1 A. V esnici je pišlo do zelo hitega pehodnega pojava. Ob piključitvi avtomobilskega akumulatoja na dugega je to običajno zelo dobo vidno kot iska ali celo iskenje. Da bi bolj podobno azumeli ta pojav, moamo poznati lastnosti postoa v kateem delujejo elektične sile, to pa je že poglavje, za kateega smo ekli, da si ga bomo pihanili za kasneje. In če smo odkiti, na masikateo vpašanje tudi s poznavanjem osnovnih konceptov elektike ne moemo do potankosti pojasniti. Elektična napetost. Na eni od sponk našega akumulatoja imamo pozitivni naboj, na dugi pa negativni. Rečemo lahko, da je naš akumulato nabit ali bolje naelekten, med sponkama akumulatoja pa je določena napetost. Napetost nam toej na nek način govoi o naelektenosti v postou. Ozioma, o enegiji, ki smo jo vložili (ali se je vložila) v elektenje. Ta napetost še nič ne pove o tem, kolikšno zalogo nabojev imamo na naših dveh sponkah, pač pa le o tem, koliko enegije na enoto naboja smo vložili v to, da smo ločili naboje (če pi tem nismo imeli dugih izgub (np. toplotnih)). Zveza med nabojem, ki ga ločujemo in napetostjo je pogosto lineana, ka lahko zapišemo kot Q = C U. Konstanta C ni nič dugega, kot pav gotovo že /1

14 Uvod(1).doc 3/1/6 slišan pojem kapacitivnost. Toda, kot smo že dejali, v pvem delu pedmeta se bomo ukvajali z elementi enosmenih elektičnih vezij. Enota za napetost je V(olt). Upo, uponost, pevodnost, Ohmov zakon. Bemena, ki jih bomo upoštevali pi analizi enosmenih vezjih bomo označili kot upoe, za katee velja peposta zveza med tokom in napetostjo U = R I ozioma z besedami: napetost na upou je soazmena toku skozi upo, fakto soazmenosti imenujemo uponost. Enota za uponost je 1 Ω (Ohm). Ta»zakon«pogosto imenujemo tudi Ohmov zakon, ka pa moamo upoštevati z zadžkom. Zvezo med napetostjo in tokom na določenem elementu vedno lahko poiščemo, ni pa vedno lineana. V elektotehniki pogosto upoabljamo elemente kot so diode in tanzistoji. Pi teh avno izkoiščamo njihove nelineane lastnosti med tokom in napetostjo za usmejanje, ojačanje, ipd. Ohmov zakon v smislu lineane zveze med tokom in napetostjo je omejen na tiste elemente, kje pač velja lineanost to pa so lineani upoi, ki jih bomo upoabljali pi analizi enosmenih vezij. 1 Analogno izazu uponost lahko upoabimo tudi izaz pevodnost. Velja G = 1/ R. Enota za pevodnost je S(iemens).»Ohmov«zakon bi tako lahko pisali tudi U = 1/ G I ali pogosto kot I = GU. SLIKA: Simbol za upo, lineana zveza med tokom in napetostjo Idealni tokovni in napetostni vi. S peazpoeditvijo nabojev ealiziamo elektične vie. Ločimo dva via tipa viov: napetostne vie in tokovne vie. Idealni napetostni vi je tak, ki zagotavlja na svojih sponkah konstantno napetost neodvisno od obemenitve. To je napetost odptih sponk, včasih ji ečemo tudi napetost postega teka. SLIKA: Simbol za idealni napetostni vi, napetost odptih sponk in kaakteistika via. Idealni tokovni vi pa je tak, ki na svojih zunanjih sponkah zagotavlja tok, ki je neodvisen od piključitve bemena. V pimeu, da sponke takega via ka katko sklenemo, bo tekel tok katkega stika, ka pedstavlja tudi nazivni tok tega via. Vejetno ni potebno posebno poudaiti, da taka piključitev običajno ni avno zaželena. 1 Omejenost Ohmovega zakona ne sme zmanjšati njegovega zgodovinskega in paktičnega pomena. Ka se tiče zgodovine elektike se je potebno zavedati, da so bili spva pojmi kot so naboj, tok in napetost še popolnoma nejasni in so azlični aziskovalci peizkušali azlične pojme. Ohm je na tem podočju azjasnil azlike med napetostjo in tokom. Poleg tega seveda zvezo med tokom in napetostjo v elektotehniki zelo pogosto upoabljamo in je za enostavne upoe pogosto upavičena lineana zveza. 3/1

15 Uvod(1).doc 3/1/6 SLIKA: Simbol za idealni tokovni vi, tok katkega stika in kaakteistika via. Označevanje smei tokov in napetosti. Tako napetost kot tok imata sme. Na viu označimo sme napetosti od sponke plus poti sponki minus, na bemenu pa lahko sme toka ali napetosti določimo poljubno. Ne pa tudi obeh. Sme toka na bemenu določa tudi sme napetosti in obatno. SLIKA: Označevanje smei tokov in napetosti na viih in bemenu. 1. Kichoffov zakon. Oglejmo si najpej pime na vodnem toku iz vodnega zbialnika. Ta tok peusmeimo v dve stugi, en del toka pa še ponica v tla. Če seštejemo vse odtekajoče toke moajo biti ti seveda enaki pitekajočemu. Enako velja za elektični tok. Vsota odtekajočih tokov v neko spojišče (azvejišče) moa biti enaka vsoti vseh pitekajočih tokov. Glede na to, da označujemo sme toka s pozitivnim ali negativnim pedznakom, v smislu 1. Kichoffovega zakona to pogosto zapišemo kot N i= 1 I i = ozioma z besedami: vsota vseh (N) tokov v spojišče je enaka nič. Dogovoiti se moamo le še kdaj je tok pozitiven. Kot pozitiven tok lahko označimo tistega, ki piteka v ali odteka iz spojišča. Važno je le, da smo pi obavnavi konsistentni. Pime: V spojišče so povezani štije vodniki. Po pvem piteka tok 4 A, po dugem odteka tok A in v tetjem piteka tok 1A. Določimo tok v čettem vodniku. SLIKA: Vsota tokov v spojišče moa biti enaka nič: 1 KZ.. Kichoffov zakon. Vzemimo naš akumulato in ga piključimo na dve bemeni, ki sta zapoedno vezani. Kako se azpoedijo napetosti med bemenoma? Najpej lahko ugotovimo, da se v skladu z»ohmovim zakonom«poazdeli padec napetosti na dva padca napetosti in to 4/1

16 Uvod(1).doc 3/1/6 v skladu (soazmeju) z njunimi uponostmi: U1 = RI 1 in U = RI, vsota teh dveh napetosti pa je piključena napetost: U = U1+ U. Lahko pa pišemo tudi kot U U1 U =. Če si to ogledamo na sliki, ugotovimo, da smo zapisali, da je vsota vseh napetosti v zanki enaka nič, pi čeme je seveda potebno upoštevati smei padcev napetosti. To pa velja tudi splošno, neodvisno od števila viov in bemen v zanki. Temu pavilu pavimo. Kichoffov zakon in ga v splošnem (za M elementov vezja v zanki) zapišemo kot M Ui =. i= 1 SLIKA: Idealni napetostni geneato in vzpoedno vezani dve bemeni. Po 1. Kichoffovem zakonu moa veljati, da je vsota vseh padcev napetosti v zanki enaka nič. Analiza vezij. Upoštevaje obeh Kichoffovih zakonov in zveze med napetostjo in tokom (Ohmovim zakonom) lahko analiziamo poljubno enosmeno vezje. Potebno je pač zapisati zadostno število enačb za neznane toke v vejah vezja in ešiti lineani sistem enačb. V katkem si bomo podobneje ogledali metode za eševanje (analizo) vezij, ki nam omogočajo sistematičen pistop k eševanju. Pime: Določimo napetost na dugem upou pejšnjega pimea. Rešitev: Upoštevamo že zapisane enačbe U U1 U =, U1 = RI 1 in U = RI in dobimo U U R I = te U = IR = R = U. Dobili smo ešitev, ki je v R1+ R R1+ R R1+ R elektotehniki zelo pogosto upoabljena. Napetost moamo pogosto zmanjšati ozioma»deliti«. Takemu pepostemu načinu ečemo delilnik napetosti, enačbo pa si velja vtisniti v spomin. Ponovimo končni ezultat: U U R =. R + R Ub / V R / Ohm 5/1

17 Uvod(1).doc 3/1/6 SLIKA: Spememba napetosti na bemenu v odvisnosti od upoa R. Podobno je pogosta upoaba tokovnega delilnika, ko se ena veja azcepi v dve. Vzemimo toej ponovno naš akumulato in ga povežimo z dvema upooma, ki pa sta vezana vzpoedno. Sedaj nas zanima tok skozi upo R : Velja: I = I1+ I, kje sta I1 = U / R1in I = U / R. R1+ R R1 R Dobimo I = U / R1+ U / R = U( 1/ R1+ 1/ R) = U. Napetost je toej U = I, tok R 1 R R 1+ R R1 R 1 R1 skozi upo R pa I = U / R = I = I. Končni ezultat je podoben (venda R1+ R R R1+ R ne enak) kot pi napetostnem delilniku. Zaadi pogoste upoabe si ga tudi velja zapomniti. 1 Zato ga ponovimo: I I R =. R + R 1 Zapoedna vezava upoov. Pogosto upoe nizamo zapoedno. Če so piključeni na vi napetosti, se napetost poazdeli na posamezne upoe: U = U1+ U UN = Ui. Ke pa skozi vse teče skupen tok, velja... (.. ) U = IR + IR + + IR = I R + R + + R = I R = IR N i= 1 1 N 1 N i nad i= 1 Nadomestna uponost zapoedno vezanih upoov je seštevek posameznih uponosti: R nad N = R. i= 1 i N SLIKA: Zapoedna vezava upoov. Pime: Določimo nadomestno uponost zapoedne vezave upoov 3 Ω, 1 Ω in 1 kω. Rešitev: R nad = 113 Ω. Vzpoedna vezava upoov. Upoe lahko vežemo tudi vzpoedno. To je potebno tedaj, ko želimo tok azdeliti v več vej. Skupni tok je toej I = I1+ I IN. Če so vzpoedno vezani upoi piključeni na vi, je na vseh upoih skupna napetost. Dobimo N U U U 1 U I = = U =. Vzpoedno vezane upoe lahko toej nadomestimo z R1 R RN i= 1 Ri Rnad N 1 1 nadomestno uponostjo, za kateo velja =. Če to izazimo s pevodnostmi dobimo R R G nad N i= 1 i nad i= 1 = G. Pi vzpoedni vezavi upoov tvoimo toej nadomestno uponost s seštevanjem njihovih pevodnosti, pi zapoednih pa uponosti. i 6/1

18 Uvod(1).doc 3/1/6 SLIKA: Vzpoedno vezane uponosti. Pime: Določimo nadomestno uponost vzpoedne vezave upoov 3 Ω, 1 Ω in 1 kω. Rešitev: G nad = 1/3 S + 1/1 S +1/1 S =,44 S, ka usteza R nad =,556 Ω. Vzpoedna in zapoedna vezava viov. Enako kot upoe, lahko zapoedno vežemo tudi napetostne vie in s tem dosežemo višjo skupno napetost na zunanjih sponkah. To je tudi običajno pi mnogo elektonskih apaatov, kje je na pime za delovanje napave pi 6 V potebno vezati zapoedno štii 1,5 V bateije. Podobno lahko z vzpoedno vezavo tokovnih viov dosežemo vi z večjim nazivnim tokom. Realni napetostni vi. Govoili smo že o idealnem napetostnem viu, za kateega smo ekli, da ima napetost na zunanjih sponkah konstantno in neodvisno od piključenega bemena. Takih viov seveda ni, če na slab napetostni vi piključimo peveliko beme (v esnici je to beme z majhno notanjo uponostjo), se na zunanjih sponkah via napetost»sesede«. Vsak vi ima nameč določeno notanjo uponost in ob piključitvi via na beme steče tok, ki povzoči padec napetosti na bemenu, pa tudi na notanji uponosti via. Ka tudi pomeni, da na zunanjih sponkah via nimamo več napetosti odptih sponk pač pa neko manjšo napetost, ki je zmanjšana za padec napetosti na notanji uponosti via. Poglejmo si azmee matematično in gafično: SLIKA: ealni napetostni vi. Realni napetostni vi ponazoimo z zapoedno vezavo idealnega napetostnega via in upoa. Če na piključnih sponkah ni piključeno beme, je seveda tok enak nič in padca napetosti na uponosti via ni. Napetost na piključnih sponkah je enaka napetosti odptih sponk: U = Ug = Uo. Če pa piključimo beme, se napetost na piključnih sponkah zmanjša za padec napetosti na notanji uponosti geneatoja: U = Ug IRg. To enačbo lahko pikažemo tudi gafično in ji ečemo kaakteistika via. Na X osi (abscisi) označimo napetost, na Y osi (odinati) pa tok. Enačba pedstavlja enačbo pemice, ki jo najlažje določimo v točkah, kje pemica seka X in Y os. Ko je tok enak nič, je U = Uo = Ug, to je stanje odptih sponk. Ko pa je napetost enaka nič, je I = Ug / Rg. To pa je stanje katkega stika. Skozi ti dve točki moa potekati pemica, ki ji ečemo kaakteistika ealnega via. Samo kaakteistika via še ne zadostuje za določitev napetosti na bemenu. Potebujemo še kaakteistiko bemena. Ta je peposta, saj ko na piključne sponke piključimo beme, je na 7/1

19 Uvod(1).doc 3/1/6 bemenu napetost U in velja: U = Rb I. Če naišemo še to enačbo v diagam, tudi ta pedstavlja enačbo pemice. Ena točka je v koodinatnem izhodišču, dugo pa določimo tako, da za določeno izbano vednost toka (napetosti) izačunamo vednost napetosti (toka) in višemo še dugo točko te potegnemo pemico. Naklon pemice pedstavlja uponost. Velik naklon pedstavlja veliko uponost, majhen pa majhno. Pemici imata pesečišče, ki ga imenujemo delovna točka. To je nameč točka, ki ponazaja»delovno«stanje vezja. Odčitamo lahko tok in napetost delovne točke. To je tok, ki teče skozi beme, napetost pa je napetost na bemenu. Ta način določanja delovne točke imenujemo gafični način. Določimo delovno točko še matematično. Ge peposto za to, da zdužimo enačbi bemena in U g via, dobimo RbI = Ug IRg. Tok v vezju bo toej I =, napetost na bemenu pa Rg + Rb U g U = Rb. To sta tudi tok in napetost delovni točki, ki jih odčitamo tudi gafično. R + R g b Pime: Na 9 V bateijo z notanjo uponostjo 1 Ω piključimo beme z uponostjo 5 Ω. Določite napetost in tok na bemenu gafično in analitično. U g 9V Rešitev: I = 1, 5 A R + R = 1Ω + 5 Ω =, U = 1, 5A 5 Ω = 7,5 V. g b Nelineano beme. Gafični način je posebno pimeen tedaj, ko je beme nelineano. Ko je napetost na sponkah bemena neka nelineana funkcija toka skozi beme. Na pime U = ki. Tak pime je na pime dioda, element, ki ima nizko uponost pi pozitivnih in zelo visoko pi negativnih napetostih (ali obatno, odvisno od piključitve). Pi diodi je v pevodni smei ku tok eksponentno odvisen od napetosti: I = Ie, v zaponi smei pa je tok majhen, do določene napetosti, kje pide do peboja. Ob peboju tok skozi diodo močno naaste in lahko pide do tajne poškodbe ali uničenja elementa. Delovno točko določimo gafično, tako, da določimo točko peseka nelineane kaakteistike bemena in lineane kaakteistike ealnega via. 8/1

20 Uvod(1).doc 3/1/6 SLIKA: Pime določanja delovne točke pi tanzistoski vezavi. Nelineane so kaakteistike tanzistoja, ki so pikazane za azlične vednosti baznega toka. (samo infomativno) Realni tokovni vi. Je sestavljen iz idealnega tokovnega via in vzpoedno vezane uponosti. Na zunanjih sponkah je napetost enaka U = R I, če ni piključenega bemena. Če je beme piključeno, se tok bemena zmanjša za tok skozi uponost via: I = I U / R. Ta enačba g pedstavlja kaakteistiko ealnega tokovnega via, ki jo pav tako lahko gafično pikažemo. Pi katkem stiku je napetost na bemenu enaka nič, tok pa je ka tok idealnega via in ga imenujemo tudi tok katkega stika: I ( U = ) = Ik = Ig, pi odptih sponkah pa je tok enak nič, napetost pa U = Ig Rg. Če kaakteistiko naišemo kot U-I diagam, dobimo zopet pemico. V pesečišču s kaakteistiko bemena pa delovno točko. g g SLIKA: Realni tokovni vi. Ugotovimo lahko, da se kaakteistika ealnega tokovnega via lahko pilega kaakteistiki ealnega napetostnega via. V tem smislu sta to dva ekvivalentna via. Če pimejamo kaakteistiki ugotovimo, da bo analogija veljala tedaj, ko bo Ug = IgRg. Kdaj toej govoimo o napetostnem in kdaj o tokovnem viu? Ko imamo vi z zelo veliko notanjo uponostjo nam le ta zagotavlja konstanten tok (dokle je uponost bemena dosti manjša od notanje uponosti via, če pa je notanja uponost via zelo majhna, nam to na zunanjih sponkah zagotavlja konstantno napetost. Fizikalne količine in meske enote. V (elekto)tehniki običajno govoimo o veličinah, v fiziki pa o količinah. Veličina je ecimo napetost, tok, čas, tempeatua itd. Za vsako veličino upoabljamo določen simbol, običajno eno čko abecede, pogosto tudi gške. Simbol za napetost je U, za tok I, tempeatuo T itd. Opazili ste že, da pišemo simbole za veličine poševno. To pa zato, da jih ločimo od meskih enot, katko ka enot. Kot pime zapišimo U = 5V. Med številsko vednostjo in enoto je pesledek. Mesko enoto pedstavimo z imenom in simbolom. Ime enote za napetost je volt, simbol pa V. V svetu se je uveljavil sistem meskih enot, ki ga s katico imenujemo SI. Obsega sedem osnovnih enot in vsto izpeljanih. Osnovne enote so kilogam (kg), mete (m), sekunda (s), ampe (A), kelvin (K), kandela (cd), mol (mol), adian (ad) in steadian (s). Izpeljane enote pa so na pime m/s za hitost itd. Duge meske enote. Pogosto v liteatui zasledimo upoabo dugih meskih enot, kot smo jih navajeni. Pogosto so posledica upoabe dugega meskega sistema (np. CGS centimete- 9/1

21 Uvod(1).doc 3/1/6 gam-sekunda), kje se na pime namesto enote tesla za gostoto magnetnega polja upoablja enota gauss. V konketnem pimeu je petvoba diektna 1 T = 1 4 gaussa. Označevanje: V elektotehniki pogosto upoabljamo pedpone k meskim enotam. To je potebno zato, ke je azed velikosti veličin zelo azličen. Kapacitivnosti so pogosto eda miko, nano ali piko faadov (µf, nf, pf), upoabljajo se napetosti se od miko voltov do mega voltov itd. Zveze nam pikazuje peglednica: vednost ime pedpona 1-1 piko p 1-9 nano n 1-6 miko µ 1-3 mili m 1 3 kilo k 1 6 mega M 1 9 giga G 1 1 tea T Povzetek, vpašanja: 1) Razložite Ohmov zakon. Kakšne so omejitve tega zakona? ) Razložite idealni in ealni napetostni vi matematično in gafično (I-U kaakteistika). 3) Razložite idealni in ealni tokovni vi matematično in gafično (I-U kaakteistika). 4) Kaj je delovna točka, kako jo določimo? 5) 1. in. Kichoffov zakon. 6) Tokovni in napetostni delilnik. 7) Zapoedna in vzpoedna vezava upoov. 8) 1/1

22 Moč().doc 3/1/6. Moč Moč (simbol P) je definiana kot podukt napetosti in toka. Enota je W(att). Matematično je P = U I. V pimeu, da se moč toši na lineanem upou (na kateem velja U = RI ), dobimo še duge koistne zveze: P = RI ali P = U / R. Te zveze pogosto imenujemo ka Joulov zakon, saj je James P. Joule leta 1841 pvi pišel do ugotovitve, da je spoščena toplota v pevodniku popocionalna kvadatu toka, ki teče skozi vodnik. Moč je meilo za intenzivnost dela, ki ga opavljajo elektične sile. Obstaja toej neposedna zveza med močjo in delom, A= P dt. Če je moč časovno konstantna dobimo A= P dt = P T, kje je T čas opavljanja dela. Pime: Ko piključimo beme (avtomobilska žanica) na enosmeni vi napetosti 1 V teče skozenj tok A. Določimo moč na bemenu, uponost bemena in enegijo, ki se sposti na bemenu v času 1 minut. Rešitev: Moč je P = UI = 1V A= 4W. Uponost je R= P/ I = 4W/(A) = 6Ω. Enegija je A= W = PT = 4 W 1 6s= 144 J = 14, 4 kj. Ali ge vsa ta enegija v toploto (segevanje)? Vsekako en del, dugi del pa ge v svetlobno enegijo. (Žanice z žailno nitko nimajo avno velikega izkoistka, običajno med 1 in % celotne moči). Moč na bemenu. Oglejmo si, kako se moč speminja na spemenljivem bemenskem upou, U g ki ga piključimo na ealni napetostni vi. Veljati moa Pb = RbI = Rb. To ni R b + R g avno peposta funkcija, saj R b nastopa x, tako v števcu kot v imenovalcu. Ugotovimo lahko dve skajnosti: ko je bemenski upo enak nič, bo moč enaka nič, in ko bo bemenski upo U g zelo velik bo veljalo P. Ta moč se bo z večanjem očitno zmanjševala poti nič. Vmes Rb bo imela funkcija (moč) nek maksimum. Pime: Določimo moč na bemenu 1 Ω, ki ga piključimo na ealni napetostni vi 1 V z notanjo uponostjo Ω. 1V Rešitev: P = 1Ω = 1W. 1Ω 1/5

23 Moč().doc 3/1/6 SLIKA: Iščemo moč na bemenu Rb, ki je piključeno na ealni napetostni vi. Vpašanje: Ali lahko to moč dosežemo tudi pi kakšni dugi uponosti? Odgovo je pitdilen: Če enačbo zapišemo tako, da iščemo neznano uponost bemena pi znani moči, dobimo: ( ) R 1 + = 1 R, ka je kvadatna enačba, ki je s peueditvijo enaka b 1Rb 14Rb + 4 = b (Pi zapisu v matematično obliko smo zaadi peglednosti opustili pisanje enot. Ko določimo ešitev moamo pavilno enoto dopisati!) Rešitvi kvadatne enačbe sta dve: že znanih 1 Ω, pa tudi,4 Ω. Poglejmo si ešitev še gafično Moc na Rb / W Rb / Ohm Ugotovimo, da se gafična ešitev sklada z matematično. Gafični pikaz je izveden s pogamom Matlab, ki je zelo pimeen pogam za izačune v elektotehniki. Peposti ukazi s pogamom Matlab za izačun in pikaz moči na bemenu: % Komenta: Matlab pogam za izacun moci na upou Rb Rb=:.1:5 % tvoimo niz vednosti Rb od do 5 s koakom,1 Ug=1 Rg= P=Rb*Ug^./(Rg+Rb).^ % Izacun moci plot(rb,p) % izis xlabel('rb / Ohm') ylabel('moc na Rb / W') /5

24 Moč().doc 3/1/ Moc na Rb / W Rb / Ohm SLIKA: Pikaz moči za azlične vednosti notanje uponosti geneatoja ( Ω, 5 Ω in 1 Ω). Maksimalna moč na bemenu. Vzemimo pime bemena piključenega na ealni napetostni vi in se vpašajmo, kdaj je na bemenu največja moč. Gafična določitev je seveda enostavna, matematično pa jo določimo pi pogoju, da moa biti naklon pemice na funkcijo moči enak nič (vzpoeden z X osjo). Ke naklon pemice dobimo z odvajanjem, moamo maksimalno moč iskati pi pogoju dp dr =. Ugotovimo, da z odvajanjem dobimo pogoj, da moa biti za maksimalno moč na b bemenu uponost bemena enaka notanji uponosti via: R = R. b g Kolikšna bo tedaj moč? Peposto vstavimo pogoj v enačbo in dobimo: Ug Ug Pb R = b =. R b + R b 4 R b Pime: Določimo še maksimalno moč iz pejšnjega pimea. To bo tedaj, ko bo (1V) R b = Ω, moč pa bo tedaj P max = = 18W. Rešitev se seveda sklada z 4Ω odčitkom maksimalne moči, ki jo poiščemo na gafu. Meilni inštumenti. Poznamo vsto meilnih inštumentov, ki nam omogočajo meitve elektičnih veličin: voltmete, ampemete, ohmete, vatmete in dugi. Običajno so bili ti inštumenti analogni in so bili zasnovani na osnovnih pincipih lastnosti elektičnega polja. Večinoma so upoabljali vtljive tuljavice. Sodobni inštumenti so večinoma digitalni, izdelani z upoabo elektonskih elementov. Največji poblem meilnih inštumentov je njihova omejena točnost mejenja, ki je pogosto določena s ceno napave. Omejeno točnost napav je potebno upoštevati pi natančnejših meitvah. S poblemi mejenja se ukvaja posebno podočje elektotehnike metologija. 3/5

25 Moč().doc 3/1/6 Voltmete. Voltmete je inštument za mejenje napetosti. Simbol je kog s čko V v sedini koga. Idealni voltmete bi bil tak, ki bi ga piključili med meilni sponki in se azmee v vezju ne bi spemenile. V esnici ima vsak voltmete določeno notanjo uponost, ki je velika, ni pa neskončna. Zamislimo si, da meimo napetost odptih sponk. S piključitvijo voltmeta bomo spemenili azmee v vezju, saj bo skozi voltmete stekel določen tok, ki pi odptih sponkah ne bi. SLIKA: Voltmete: piključitev, azlika med idealnim in ealnim voltmetom. Razšiitev meilnega območja voltmeta je mogoča z dodanim pedupoom, ki ga vežemo zapoedno voltmetu. S tem izvedemo že omenjen napetostni delilnik. Pime: Vzemimo, da voltmete mei do 5 V (meilno območje), želimo pa meiti do 1 V, pi čeme je notanja uponost voltmeta 1 kω. Določimo pedupo tako, da bo voltmete kazal 5 V tedaj, ko bo na zapoedno vezavo voltmeta in pedupoa piključena napetost 1 V. 5V Rešitev: 1V = IRp + 5V ; I =. R p = 19 kω= 1,9MΩ. 1 kω SLIKA: Povečanje meilnega območja voltmeta. Ampemete. Ampemete je inštument za mejenje toka. Umestimo ga v vejo, v katei želimo meiti tok. Simbol za ampemete je kogec s čko A v sedini kogca. Tudi ampemete ni idealen inštument. V idealnih azmeah naj bi bila notanja uponost ampemeta čim manjša, toej taka, ki ne bi povzočila dodatnega padca napetosti na inštumentu. SLIKA: Ampemete, piključitev Pav tako kot voltmetu, lahko tudi ampemetu povečamo meilno območje venda tako, da upo vežemo vzpoedno z ampemetom, ki ga imenujemo tudi soupo ali ka po angleško»šant«(ang. shunt). S tem del toka, ki bi ga sice meil ampemete peusmeimo v vzpoedno vejo. Pime: Želimo meiti toke 3 A, pi čeme nam inštument kaže največ 1 A. Notanja uponost ampemeta v tem meilnem območju, Ω. Določimo uponost soupoa. 4/5

26 Moč().doc 3/1/6 Rešitev: Ke ampemete mei največ 1 A, moamo pedvideti, da bi pi toku 3A v vzpoedni veji tekel tok A. Napetost na ampemetu pi 1 A je V, ta napetost V moa biti tudi na soupou v vzpoedni veji. Veljati moa toej R s = =,1Ω. A SLIKA: Razšiitev meilnega območja ampemeta s soupoom. Vatmete je inštument za mejenje moči. Ima dva paa sponk. Z enim paom meimo napetost, z dugim pa tok. Simbol je kogec s čko W. Odčitek vatmeta bi bil ob upoštevanju neidealnosti vatmeta azličen glede na piključitev sponk. Zakaj? SLIKA: Piključitev vatmeta. Ohmmete. Je napava za mejenje uponosti. V osnovi je inštument, ki pi znani vzbujalni napetosti mei tok skozi beme in iz azmeja določi uponost bemena. Univezalni inštument običajno vključuje tako ampemete, voltmete kot ohmete, običajno pa je z njim mogoče meiti tudi kapacitivnosti, določene paamete nelineanih elementov (tanzistojev, diod), induktivnosti, pogosto pa tudi omogočajo piklop določenih senzojev (tempeatue, svetilnosti), bezkontaktno mejenje toka (s tokovnimi kleščami) in tudi piklop na ačunalnik za spotno odčitavanje in kasnejšo analizo podatkov. Povzetek, vpašanja. 1) Kako je definiana moč? Zapiši zveze tudi z upoštevanjem Ohmovega zakona. ) Kakšna je povezava med močjo in delom? 3) Kako se speminja moč na bemenu, ki je piključen na ealni napetostni vi? 4) Ali lahko enako moč dosežemo pi dveh azličnih uponostih? 5) Kdaj bo moč na bemenu, ki je piključeno na ealni napetostni vi maksimalna? Pi katei uponosti? Kolikšna bo tedaj moč? 6) Voltmete. Razšijanje meilnega območja s pedupoom. 7) Ampemete. Razšijanje meilnega območja s soupoom. 8) Ohmete, Watmete, Univezalni inštument. 5/5

27 Analiza vezij(3).doc 3/1/6 3. Analiza vezij Spoznali smo že oba Kichoffova zakona in zvezo med tokom in napetostjo na upou. Zaadi pomembnosti lahko ponovimo: N Ii = v spojišču i= 1 M Ui = v zanki i= 1 U = R I na lineanem upou S pomočjo teh zvez lahko analiziamo (določimo tok in napetost na poljubnem elementu vezja) poljubno vezje. Le zapisati moamo pimeno število enačb in jih ešiti. Spoznali bomo tudi metode, ki nam omogočajo analizo vezij z manjšim številom enačb. Najbolj tipične metode eševanja vezij so: 1) Metoda Kichoffovih zakonov ) Metoda zančnih tokov 3) Metoda spojiščnih potencialov Lahko pa si pomagamo še z aznimi stavki, kot so: 1) Stavek supepozicije ) Stavek Thevenina in Notona 3) Stavek Tellegena 4) Stavek o največji moči 1) Metoda Kichoffovih zakonov. Je najosnovnejša metoda, ki se (kot že ime pove) poslužuje upoabe osnovnih Kichoffovih zakonov. Način eševanja bomo pikazali na konketnem pimeu. Najpej moamo označiti smei tokov v vsaki veji. Ta označitev je lahko poljubna, potebno pa se je zavedati (kot smo že omenili!), da sme toka na upou določa tudi sme napetosti. Za lažjo analizo bomo označili tudi spojišča vezja te tudi ti zanke. Toka v veji s tokovnim viom nismo posebej poznačevali, saj lahko pivzamemo ka sme toka geneatoja. Zapišemo lahko štii enačbe z upoabo 1 KZ: 1 KZ: spojišče (): I4 I3 I5 = spojišče (1): I + I1+ I4 = spojišče (): I1+ I + I3 = g

28 Analiza vezij(3).doc 3/1/6 spojišče (3): I Ig + I5 = KZ: zanka (J1): Ug + I1R1+ I3R3 I4R4 = zanka (J): IR IR + IR 5 5 = zanka (J3): ne moemo zapisati zakona, ke ne moemo zapisati padca napetosti na tokovnem viu Poglejmo število neznank in število enačb, ki smo jih zapisali. Število neznank je enako številu vejskih tokov, toej 5. Število enačb, ki smo jih zapisali pa je 6. Izkaže se, da je ena od enačb odveč, je edundančna. Izkaže se, da je odveč ena od enačb po 1 KZ. Izločimo lahko poljubno enačbo. I g (1) I 1 J 3 R 1 R () I (3) U g + J 1 I 5 R 3 J R 5 R 4 I 3 I 4 ( V) SLIKA: Pime vezja: U g = 1 V, I g = A, R 1 = Ω, R = 5 Ω, R 3 = 1 Ω, R 4 = 1 Ω, R 5 = 4 Ω. Reševanje takega sistema enačb zahteva sistematičen pistop. Pomagamo si lahko s teoijo gafov, kje najpej naišemo t.i. gaf vezja, označimo devo vezja in dopolnilne veje (kite). Gaf vezja naišemo kot vezje, v kateem ostanejo le veje vezja. Devo vezja sestavimo iz vej vezja, s kateimi moamo doseči vsa spojišča vezja pi tem pa ne smemo zaključiti nobene zanke. Veje, ki jih nismo upoabili za tvojenje devesa, so dopolnilne veje in jih doišemo s čtkanimi čtami. Število enačb, ki jih moamo zapisati po 1 KZ je enako številu spojišč 1, število enačb po KZ pa je enako številu dopolnilnih vej. V našem pimeu bomo potebovali 4-1 = 3 spojiščne enačbe in zančni enačbi. Sistem enačb se eši tako, da se jih uedi v matično obliko: (upoštevali bomo spojiščne enačbe od (1) do (3)) 1 1 I1 I g I 1 1 I 3 = I g R R R I U g R R3 R 5 I 5

29 Analiza vezij(3).doc 3/1/6 Potebno je še vstaviti vednosti in ešiti matični sistem enačb. V te namene pogosto upoabimo ačunalniške pogame. Sistem enačb ešimo s pogamom Matlab. Tvoiti moamo matiko A in vekto b te ešiti sistem enačb tipa Ax=b. Rešitev dobimo z Matlabovim ukazom x=a\b. >> A=[1,,,1,;-1,1,1,,;,-1,,,1;,,1,-1,;,5,-1,,4] A = >>b = [ - ; ; ;1 ;]; >> x=a\b x = Vejski toki so toej I1 =,43 A I = 1,4953 A itd. ) Metoda zančnih tokov, je metoda, s pomočjo katee lahko zmanjšamo sistem enačb, saj je število potebnih zančnih enačb ka enako številu dopolnilnih vej. Zančne toke tvoimo iz vejskih tako, da je ta v veji, ki ni skupna dugi (sosednji) zanki ka enak vejskemu toku, sice pa je enak vsoti ali azliki vejskih tokov. Tako bo: J1 = I4 J = I5 J = I 3 g in I = J J I = J J Če bi vejske toke vstavili v zgonje enačbe po K.Z., bi dobili sistem zančnih enačb. Običajno je lažje napisati enačbe tako, da spoti upoštevamo padce napetosti v zanki: zanka (J1): Ug + ( J1 J3) R1+ ( J1 J) R3 J1R4 = zanka (J): ( J J1) R3 + ( J J3) R + JR5 = zanka (J3): J3 = I g Dobimo sistem teh enačb za ti neznane toke. V esnici le sistem dveh, saj je tetja že določena: J3 = I g = A. Obstaja še dug pistop k tvojenju zapisa, ki seveda pivede do ekvivalentnega zapisa enačb. Pi tem najpej upoštevamo tok zanke in vse padce napetosti v zanki, nato pištejemo ali odštejemo še pispevke ostalih zančnih tokov.

30 Analiza vezij(3).doc 3/1/6 J1 R1 R3 R4 J3R1 JR3 U g ( + + ) = J ( R + R + R ) J R J R = Vstavimo vednosti in ešimo enačbi: J 31 J 1 1 = 1 J 55 J 1 5 = 1 Matlab: Reševanje s pomočjo pogama Matlab je silno peposto. Tvoimo matiko A in vekto b te ešitev kot x=a\b'. Duga možnost je x=inv(a)*b. Tokat smo nekoliko dugače zapisali vekto b (kot vstični vekto) kot v pejšnjem pimeu. Zato ga je potebno spemeniti (tansponiati) z dodatkom '. A=[31, -1; -1,55] b=[5,1] x=a\b >> x = Enačbi z dvema neznankama peposto ešimo tudi tako, da iz ene enačbe izazimo eno od spemenljivk in jo vstavimo v dugo enačbo. Np. iz 1. enačbe izazimo J in dobimo J =,1(J ). Sedaj to vstavimo v dugo enačbo in dobimo,1(j )55-J 1 1 = 1 in iz nje ezultat. Rešitev je toej J 1 = 1,7757A in J =,547A. Ugotovimo lahko, da je dobljeni tok J 1 skladen z ešitvijo, ki smo jo dobili po sistemu eševanja Kichoffovih enačb: J 1 = -I 4. 3) Metoda spojiščnih potencialov. Metoda temelji na 1. KZ, pi katei zapišemo vsoto tokov v spojišče. Pi tej metodi vsak tok zapišemo s potenciali spojišč, azen, če je tok v veji znan (tokovni geneato). Označimo vsa spojišča in jim pipišemo neznane potenciale. Potencial enega spojišča lahko posto izbeemo. Ponavadi mu piedimo vednost V (ga ozemljimo). Toke v vejah zapišemo s potenciali tako, da določimo z njimi padec napetosti na upou v veji. Število potebnih enačb je enako številu spojišč -1. V smislu sistematilnega pistopa bomo pedpostavili, da vsi tokovi izhajajo iz spojišča (čepav smo jih označili dugače). Spojišče (1): Tok v tej veji določimo iz padca napetosti na upou R4. Napetost na tem upou pa je azlika potencialov spojišč (1) in (). Ke smo spojišče () ozemljili, potencial spojišča (1) pa je V1, je tudi napetost med spojiščema enaka V1. Napetost na upou R4 je manjša od V1 za padec napetosti na napetostnem viu, toej je enaka V1 Ug, tok skozi upo R4 pa je V1 U g. Na podoben način določimo ostale toke. tako za spojišče (1) velja R4 V1 Ug V1 V + + I g = R4 R Spojišče (): Sedaj zopet pedpostavimo toke iz spojišča in jih določimo: V V1 V V V3 + + = R1 R3 R V3 V V3 Spojišče (3): I g + + = R R 5

31 Analiza vezij(3).doc 3/1/6 Dobimo sistem teh enačb za ti neznane potenciale. Vstavimo vednosti in ešimo sistem enačb: V1 1 V1 V + + = 1 V V1 V V V3 + + = 1 5 V3 V V3 + + = 5 4 >> A=[1+1/,-1/,;-1/,1/1+1/+1/5,-1/5;,-1/5,1/5+1/4] A = >> b=[-+1;;] b = 8 >>V= A\b ans = Potencial spojišča V 1 je toej 8,43 V, V je 1,71 V in V 3 =,1869 V. Vejske toke določimo iz že zapisanih tokov, pi čeme pa je sedaj potebno upoštevati vnapej V1 V izbano sme tokov. Tako je na pime tok I 1 enak = (8, ) / =, 43A. R (Opozoilo: Zaadi peglednosti pisanja namenoma pi zapisu številskih vednosti v enačbe nismo pisali tudi enot. Enačbe smo toej spemenili v matematično obliko. Ko določimo ešitev, pipišemo ustezne enote). Reševanje s pomočjo deteminant: Sistem enačb lahko ešimo tudi s pomočjo deteminant in poddeteminant. Rešitev za det( A1 ) neznanko V1 je V1 =, kje je deteminanta matike A enaka det( A) 1,5,5 det( A) =, 5,35, = 1, 5(,35., 5 (, )(, )) (, 5)(, 5.(, 5) (, ). +,, 5 +.(,5.(,) (,35).)) det( A ) =,41. Poddeteminanto pa dobimo tako, da pvo kolono matike A nadomestimo z vektojem znank (b): 8,5 det( A1 ) =,35, =,33,,5

32 Analiza vezij(3).doc 3/1/6 V det( A ) det( A) 1 1 = = 8, V. Stavek supepozicije. Ta stavek določa, da lahko poljubno vezje sestavljeno iz lineanih elementov z več vii poenostavimo tako, da analiziamo vezje z izmeničnim vklopom posameznih viov v vezje. Toke, katee izačunamo na tako poenostavljenem vezju na koncu seštejemo (supeponiamo). V našem konketnem pimeu bi lahko določili toke v vejah vezja za dve poenostavljeni vezji. V pvem bi bil vklopljen le napetostni vi, v dugem pa le tokovni vi. Izklopljen napetostni vi pedstavlja katek stik, izklopljen tokovni vi pa odpte sponke. SLIKA: Vezje nadomestimo z dvema enostavnejšima vezjema. V pvem vezju obdžimo le napetostni vi, tokovnega pa izklopimo (odpte sponke), v dugem vezju pa obdžimo tokovni vi in odklopimo napetostnega (nadomestimo s katkim stikom). Pime: Določimo tok I 4 s pomočjo metode supepozicije. 1. vezje: Ko izklopimo tokovni vi lahko vse uponosti zdužimo v eno (nadomestno) tako, da zapoedno seštejemo upoa R in R 5 te nato obema vzpoedno še R 3 te nato vsem še zapoedno R 1 in R 4. Dobimo nadomestno uponost R nad =(R +R 5 ) R 3 +R 1 +R 4 =9,18 Ω. Tok I 4(1) = -1/5,44 A = -.347A. (Bodite pozoni, da je pedznak toka negativen.). vezje: Ko izklopimo napetostni vi, nam ostane vezje, pi kateem ne moemo peposto seštevati upoe. Zopet moamo upoabiti eno od metod za eševanje vezij. Vzemimo ka metodo zančnih tokov, ki se je za analizo konketnega vezja izkazala kot zelo pimena in izačunajmo zančna toka. Razlika v že nastavljenih enačbah bo le ta, da sedaj nimamo napetostnega via: J 31 J 1 = 1 J55 J11 5 = Izačun nam da vednosti J 1 = 1,433 A in J =.444 A. I 4() je enak ka J 1 in bo toej enak I 4() = -1,433 A. Na koncu seštejemo obe vednosti in dobimo I 4 = I 4(1) + I 4() = -,347 A - 1,433 A = A. Ugotovimo lahko, da je ešitev enaka, kot smo jo dobili z upoabo metode Kichoffovih zakonov.

33 Analiza vezij(3).doc 3/1/6 Analiza vezij s pogamskim oodjem. Pi bolj kompleksnih vezjih, še posebno, ko analiziamo vezja z nelineanimi elementi, se lahko poslužimo analize vezij s pogamskimi paketi. En najbolj znan je zasnovan na Spice simulacijah. Na spletu je mogoče dobiti vsto pogamov, ki temeljijo na Spice simulaciji. Poglejmo si pime upoabe pogama 5Spice, ki ima tudi gafični vmesnik. Ta je še posebno koisten za popolne začetnike, saj ni potebno poznati sintakse zapisov, pač pa le nekaj osnovnih pavil. Eno od teh je, da je potebno eno od spojišč ozemljiti. Lista s povezavo elementov vezja, ki smo ga analiziali je: R4.1, R5.1, R1., Gound, I1., B1.1, R1., R1.1, R., R1.1, R.1, I1.1, R5., B1., R4., SLIKA: Pime simulacije vezja s pogamom 5Spice. Povzetek, vpašanja: 1) Zapišite in azložite Kichoffova zakona. (glej tekst) ) Kolikšno število enačb moamo zapisati za analizo vezja po metodi Kichoffovih zakonov? 3) Kaj je to gaf vezja, devo in dopolnilne veje? Pikaži na pimeu. 4) Kako zapišemo enačbe z upoabo metode zančnih tokov? Kolikšno je število potebnih enačb za analizo vezja? 5) Kaj je to deteminanta in poddeteminanta sistema, kako zapišemo sistem enačb v matični obliki? 6) Na čem temelji metoda spojiščnih potencialov? Kako jo upoabimo? Kolikšno je potebno število enačb po tej metodi? 7) Razložite stavek supepozicije. Ali ob izklopu via iz vezja pustimo odpte sponke ali naedimo katek stik?

34 STAVKI (4b).doc 3/1/6 4. Stavki (Teoemi) Stavek Thevenina in Notona. To sta pomembna stavka v elektotehniki in se pogosto upoabljata. Theveninov stavek»pavi«, da je mogoče poljubni del lineanega vezja nadomestiti z ealnim napetostnim viom, toej z idealnim napetostnim viom (ki ga imenujemo Theveninov) in notanjo (Theveninovo) uponostjo. Notonovo nadomestno vezje pa je sestavljeno in idealnega tokovnega (Notonovega) via in vzpoedne notanje uponosti. SLIKA: Shematski pikaz Theveninovega in Notonovega nadomestnega via. Kako določimo Theveninovo nadomestno napetost in uponost? Napetost Thevenina določimo kot napetost odptih sponk na mestu vezja, ki ga želimo nadomestiti, Theveninovo uponost pa kot notanjo uponost vezja, mejeno (ačunano) s sponk, pi čeme napetostne vie katko sklenemo (katek stik), tokovne pa azklenemo (odpte sponke). Pime: Kot pime odklopimo iz vezja upo R 3 in na njegovih sponkah vezje nadomestimo s Theveninovim nadomestnim vezjem. Če iz vezja odklopimo upo R 3 in zapišemo zančno enačbo dobimo Ug + J( R1+ R + R4 + R5) Ig ( R1+ R) = Po ustavitvi vednosti določimo zančni tok J = 3,91 V, Theveninova napetost pa je U = ( J A)5Ω + J4Ω = 3,91 V. Th Uponost Thevenina je RTh = ( R1+ R4) ( R + R5) = 14,3Ω. Sedaj lahko tvoimo nadomestno vezje in dodamo upo R 3 te izačunamo tok skozi UTh upo: I = 3 1, 7A R + R =. 3 Th Dugi način določanja Theveninove nadomestne uponosti je s pomočjo izačuna toka katkega stika med sponkama nadomestitve. Ta način pide v poštev pedvsem tedaj, ko ne moemo peposto seštevati vzpoedne in zapoedne vezave upoov. S pomočjo ačunalnika najlaže upoabimo ka matiko za izačun tokov po metodi Kichoffovih zakonov pi čeme UTh 3,91V bo uponost R 3 = Ω. Dobimo I K =,1587 A in RTh = = 14,3 Ω. I 14,3A K 1/13 DK

35 STAVKI (4b).doc 3/1/6 Omenimo še tetjo možnost. Uponost vezja med sponkama pi izklopljenih viih lahko dobimo tako, da na sponki piključimo poljubno izbano napetost in izačunamo tok v vezje. Iz količnika med napetostjo in tokom sledi uponost. V našem konketnem analizianem pimeu je ta način v osnovi enak pvemu načinu, saj izačunamo uponost Thevenina kot Usponk Isponk ( R1+ R4) ( R + R5) RTh = = = ( R1+ R4) ( R + R5) = 14,3Ω. Isponk Isponk Bi pa pišel ta način v poštev, če uponosti v vezju ne bi mogli ka peposto seštevati. Maksimalna moč na bemenu dugič. Theveninov stavek je posebno pimeen za izačun maksimalne moč na upou (bemenu). Pi analizi maksimalne moči bemena piključenega na ealni napetostni vi smo ugotovili, da bo moč na bemenskem upou največja tedaj, ko bosta bemenska in geneatoska uponost enaki. Da dosežemo maksimalno moč, moa biti uponost bemena toej enaka uponosti Thevenina: Rb( Pmax) = RTh, maksimalna moč pa bo tedaj UTh Pmax =. 4R b Pime: V našem vezju smo analiziali azmee moči na bemenskem upou R 3. Tedaj UTh (3,91V) bo toej R b( Pmax) = 14,3Ω, maksimalna moč pa Pmax = = = 16,68W. 4R 4 14,3Ω Pogosto ečemo tudi, da je beme pilagojeno na vi, če je uponost bemena enaka uponosti Thevenina Rb = RTh, toej tedaj, ko je na beme penešena maksimalna moč iz via. b Izišimo moč na bemenu s pomočjo ačunalnika, pi čeme si bomo zopet pomagali s pogamom Matlab. Vzemimo izačunani vednosti U Th = 3,91 in R Th = 14,3 Ω in speminjajmo R b od Ω do 5 Ω in izačunajmo moč na bemenu. Z Matlabovimi ukazi: Rb=:.1:5 % tvoimo niz vednosti Rb od do 5 s koakom,1 Uth=3.91 Rth=14.3 P=Rb*Uth^./(Rth+Rb).^ % Izacun moci plot(rb,p) % izis xlabel('rb (Ohm)') ylabel('pb (W)') Ugotovimo lahko, da izis usteza našim pičakovanjem, da bo toej maksimalna moč na bemenu tedaj, ko bo uponost bemena enaka uponosti Thevenina. Ugotovimo tudi, da vednost največje moči usteza izačunani. Kako to ugotovimo z upoabo Matlaba? Z ukazom max(p) izvemo največjo vednost niza P, v kateem so shanjene vednosti moči. Dobimo 16,68. Kaj pa vednost uponosti pi maksimalni moči? Najpej ugotovimo indeks, pi kateem nastopa v nizu maksimalna moč z upoabo ukaza i=find(p==max(p)), nato pa z Rb(i) dobimo vednost 14,3. Dobljena vednost se azlikuje od točne za,, ka je za pičakovati, saj smo numeično izačunavali moči le za vednosti uponosti, ki se azlikujejo za,1 Ω. Namen tega pojasnjevanja je v tem, da bi vzpodbudil balca k upoabi in aziskovanju izjemnih zmožnosti pogama. /13 DK

36 STAVKI (4b).doc 3/1/ Pb (W) Rb (Ohm) SLIKA: Moč na bemenu pi speminjanju bemenske uponosti. Da se pepičamo v pavilnost izačunov, lahko ubeemo še eno pot. Izhajajmo diektno iz izačunavanja tokov v vezju s pomočjo metode Kichoffovih zakonov te določimo moč na upou R 3 pi azličnih vednostih te (bemenske) uponosti. Peposto, s pomočjo enačbe P3 = I3R3. S pomočjo ačunalnika lahko zelo hito določimo maksimalno moč, tudi če fomule ne poznamo. Iz že znane matike: 1 1 I I 1 g I 1 1 I 3 = I g R1 R3 R4 I4 U g R R3 R 5 I 5 speminjajmo R 3 od Ω do 5 Ω in izačunavajmo tokove te moč na upou R 3 in ezultate izišimo. Dobimo (Matlab): b=[-;;;1;] % vekto znanih vednosti / desna stan enacbe II=[] % pazen vekto, poteben za shanjevanje izačunanih vednosti moči fo R3=:.1:5 % zanka povecuje uponosti A=[1,,,1,;-1,1,1,,;,-1,,,1;,,R3,-1,;,5,-R3,,4] I=A\b % izacun tokov za dolocen R3 II=[II,I(3)] % shanjevanje vednosti toka I3 v vekto, ki se zapoedno polni end R3=:.1:5 % vekto uponosti P=II.^.*R3 % izacun moci plot(r3,p) % izis Iz pimejave dobljenega gafa in pejšnjega ugotovimo, da sta identična, ka smo seveda tudi pičakovali. 3/13 DK

37 STAVKI (4b).doc 3/1/ SLIKA: Slika pikazuje nomiane kivulje toka, napetosti in moči na upou R 3 v že znanem vezju. Sami ugotovite, katea kivulja pikazuje določeno veličino. To boste ugotovili zelo hito, če si zamislite Theveninovo nadomestno vezje (Nomianje izvedemo tako, da poiščemo največjo vednost v nizu (določene veličine) in delimo vse vednosti s to vednostjo.) Ukazi v Matlabu: U=R3.*II; plot(r3,ii/max(ii),r3,p/max(p),r3,u/max(u)) Stavek Tellegena. Stavek Tellegena pavi peposto to, da je moč bemen enaka moči viov. Pi tem lahko vi deluje v geneatoskem načinu (pozitivna moč) ali v bemenskem načinu (negativna moč). To zapišemo kot Pg() i = Pb( j). i j V našem konketnem pimeu je moč geneatojev enaka P = U ( I ) + I ( V V ) = 41,68 W g g 4 g 3 1 moč na bemenih pa Pb I R I R I R I R I R = = 41,68 W Reševanje z Matlabom (vednosti tokov imamo shanjene v vektoju x, potencialov pa v V, v vekto R shanimo vednosti upoov. ): Pg=1*(-x(4))+*(V(3)-V(1)) R=[;5;1;1;4] Pb=sum(x.^.*R) Izkoistek vezja. Ke velja zakon o ohanitvi enegije, bo določen del enegije viov penešen na bemena, dugi del pa lahko smatamo kot izgubna enegija: Wvhodna = Wizhodna + Wizgubna. Izkoistek lahko definiamo kot kvocient izhodne in vhodne enegije Wizhodna η =. Wvhodna Ke pa je enegija pi enosmenih vezjih soazmena moči W = P T. Toej lahko definiamo izkoistek tudi kot kvocient moči na bemenu in moči via (viov): 4/13 DK

38 STAVKI (4b).doc 3/1/6 Pb η = P g Izkoistek pogosto zapišemo v pocentih, toej kot Pb η = 1%. P g SLIKA: Vhodna enegija se penese (tansfomia v) na izhodno in izgubno. Poglejmo, kako se speminja izkoistek vezja pi bemenu, piključenem na ealni napetostni vi. Izkoistek opisuje enačba Pb I Rb Rb η = = =. Pg I ( Rb + Rg) Rb + Rg Pi majhnih bemenskih uponostih ge izkoistek poti nič, pi velikih pa poti vednosti 1 (1%). Pime z Matlabom: Rg=14.3 Rb=:.1:1 plot(rb,rb./(rb+rg)) Izkoistek Rb SLIKA: Povečevanje izkoistka z večanjem bemenske uponosti. Dodajmo še spemembo moči z ukazi hold on P=Rb./(Rb+Rg).^ plot(rb,p/max(p)) 5/13 DK

39 STAVKI (4b).doc 3/1/ Izkoistek, Moc Rb SLIKA: Izkoistek vezja in moč na bemenu. Ugotovimo, da je izkoistek vezja nekaj dugega kot maksimalna moč na bemenu. Največji izkoistek dosežemo pi čim večji uponosti bemena venda je tedaj moč na bemenu majhna v pimejavi z maksimalno. Pi maksimalni moči pa je izkoistek vezja avno 5%. Če imamo dva zapoedno vezana sistema, lahko izkoistek določimo kot η P P P izh() izh() iz(1) = = = ηη 1, Pvh(1) Pvh (1) Pvh() toej kot podukt posameznih izkoistkov. Pomembnejše oblike vezij 1) Neobemenjen in obemenjen napetostni delilnik. Napetostni delilnik smo že spoznali. Za napetost na upou R, ki je piključen na zapoedno vezavo upoov smo dobili U U R =. R + R 1 Običajno ga upoabimo za to, da zmanjšamo maksimalno napetost na določeno vednost. Ta enačba nam da ustezno vednost, če je uponost bemena dosti večja od uponosti upoa R. V naspotnem pimeu pa je potebno upoštevati tudi samo bemensko uponost. Vzemimo, da imamo podano beme z določeno bemensko napetostjo in močjo: U b /P b = 9 V/ 3 W, ki ga želimo piključiti na napetost U = 1 V, pi čeme je R = 1 Ω. Kolikšen moa biti R 1? Tok bemena bo 3 W / 9 V = 3,33 A, tok na upou R pa I = 9 V/1 Ω =,9 A. Skupni tok je I 1 = 4,33 A. Zapišemo 1V = IR V od kode sledi R 1 =,787 Ω. Nekoliko bolj zapleteno je, če imamo določeno beme R 1 in želimo poiskati pavo vednost R. Poiščite ešitev sami ali si jo pebeite v ARS, Elektotehnika. 6/13 DK

40 STAVKI (4b).doc 3/1/6 SLIKA: Obemenjen napetostni delilnik. ) Neobemenjen in obemenjen potenciometeski delilnik. Potenciomete je pogost element v elektotehniki. Je v osnovi upo, kateega vednost določamo z lego dsnika (gumba). V paksi imamo na azpolago lineane in logaitemske potenciometske upoe. Kot že ime pove, se pi lineanem upou uponost med dsnikom in enim ali dugim kontaktom speminja lineano, pi logaitemskem pa se speminja logaitemsko. Z določeno natančnostjo seveda. SLIKA: Potenciometski delilnik pedstavimo kot dva zapoedno vezana upoa. Celotno skalo dolžine l azdelimo na dve (neenaki )polovici. Dolžina enega dela je x dugega pa l-x. Tako celotno uponost R p azdelimo na R = R p.x/l in R 1 = R p (1-x)/l. Če upoabimo potenciomete kot napetostni delilnik, je napetost na delu upoa dolžine x R R / p x l x enaka: U = U = U = U. Rp Rp l Dobimo lineano zvezo med azdaljo x in napetostjo U. x Če upoštevamo še piključitev bemena na upo R = Rp, velja l U Up Up U p = +. Po peueditvi dobimo (peveite še sami) R1 R Rb x Up = U x (1 x / l ) n +, l kje je n= R / R. p b 7/13 DK

41 STAVKI (4b).doc 3/1/6 Izišimo nekaj kivulj vednosti U p za azlična azmeja n= Rp / Rb. Vzemimo U = 1 in speminjajmo x od do 1 (l=1) in izišimo vednosti U p za vednosti n = 1, 1, 1. Matlabovi ukazi so x=:.1:1; fo n=[.1,.1,1,1,1] Up=x./(1+x.*(1-x)*n) plot(x,up) hold on end xlabel('x'); ylabel('up'); Up.5 n=,1, x SLIKA: Različne vednosti U p pi azmejih n =,1, 1, 1, 1. Večjo lineanost se doseže pi n 1, toej tedaj, ko bo bemenska uponost dosti večja od uponosti upoovnega delilnika. 3) Tokovni delilnik. Pogosto upoabljamo tudi tokovni delilnik, ki smo ga že spoznali pedhodno, zato navedemo le ezultat. Tok I azdelimo v dve veji z upooma R 1 in R. Tok v veji z upoom R 1 je R I1 = I R 1+ R 4. Tansfomacija zvezda tikot. Pogosto se sečamo z vezavo upoov v obliko, ki ji ečemo tikot, saj so tije upoi nameščeni v obliki tikotnika. Duga oblika vezave pa je taka, da so tije upoi vezani v skupno spojišče taki vezavi pavimo vezava v zvezdo. Pogosto si za lažjo analizo vezij pomagamo s tansfomacijo vezave tikot v zvezdo in obatno. Če imamo v vezavi zvezda ti spojišča z upoi R 1, R in R 3, potem ob tansfomaciji dobimo vezavo tikot z upoi R 1, R 3 in R 3, kateih vednosti so R R R R1 = R3 = in R31 =, R R R 3 1 8/13 DK

42 STAVKI (4b).doc 3/1/6 pi čeme je R RR 1 RR 3 RR 3 1 = + +. SLIKA: Tansfomacija vezja oblike zvezda v obliko tikot. Zapišimo še obatno pot: če želimo iz vezave tikot peiti v vezavo zvezda, bomo upoe določili iz R1R31 R1 =, podobno pa tudi R in R 3. Poskusite sami izpeljati te enačbe. Pot R1 + R3 + R31 je ta, da moa biti nadomestna uponost med dvema sponkama enaka v obeh vezavah. Ta vezava bi nam lahko koistila na pime pi analizi vezja s supepozicijo, kje smo moali v dugem pimeu»ešiti«vezje s pimeno metodo, če pa bi upoabili tansfomacijo v tikot, bi lahko vezje ešili z vzpoedno zapoedno vezanimi uponostmi. 5. Mostično vezje. Pogosto elemente v vezju vežemo tako, imamo po dva upoa v dveh vzpoednih vejah. Vzemimo, da sta v eni veji upoa R 1 in R, v dugi pa R 3 in R 4. Če med veji vključimo voltmete, bo napetost voltmeta enaka nič, ko bo R R4 U = U R + R R + R in R1 R3 U = U R + R R + R Če delimo ti enačbi dobimo R1 R3 =. R R 4 Ko velja to azmeje, ečemo, da je mostiček uavnotežen. Tedaj iskano uponost enostavno določimo iz peostalih teh. Pi tem je točnost ezultata odvisna od točnosti upoov v mostičku. 9/13 DK

43 STAVKI (4b).doc 3/1/6 SLIKA: Wheatstonovo mostično vezje. Pogosto se upoablja tudi neuavnotežene Wheatstonove mostičke. Toej iz izmejene napetosti med sponkama upoov določimo eno od neznanih uponosti. Tedaj velja R R4 UV = U U. Ta pincip mejenja je posebno pimeen tedaj,ko R1+ R R3 + R4 meimo dinamične signale in ni časa za uavnoteženje mostiča. Wheastonovo mostično vezavo ne upoabljamo le v enosmenih azmeah pa tudi pi izmeničnih signalih. Poznamo azlične tipe mostičev, np. Wienov, Owenov, Maxwellov, itd. SLIKA: Pime upoabe vezave upoov v Wheatstonov mostič za ealizacijo polpevodniškega senzoja tlaka. Vi: podukt Laboatoija za mikosenzoske stuktue na Fakulteti za elektotehniko, Univeza v Ljubljani. Tempeatune lastnosti upoov. Ko skozi upo teče tok, se nosilci naboja (v upoih običajno elektoni) ne gibljejo pemočtno od ene do duge sponke, pač pa»tkajo«z atomi v snovi. Gibljejo se z neko povpečno hitostjo, ki pa je odvisna od tempeatue. Pi višji tempeatui je nameč nihanje atomov večje in s tem tudi število tkov, toej se povpečna hitost nabojev zmanjša. S tem se tudi zmanjša tok, posedno pa se poveča elektična uponost. Meitve pokažejo, da se tempeatuna odvisnost uponosti speminja skoaj lineano, po fomuli R( T) = at + b, kje sta a in b konstanti, ki jih moamo določiti z meitvijo. Običajno nas zanima spememba uponosti okoli okoljske tempeatue C, kje bo R( T) = at + b. Če enačbi odštejemo, dobimo T T RT ( ) = RT ( ) 1+ a. Vpeljemo konstanto α, ki jo imenujemo tempeatuni koeficient RT ( ) in pišemo RT ( ) = RT ( )( 1+ α ( T T )). Tipične vednosti tempeatunih koeficientov so (v K -1 ): Železo,6 Aluminij.41 1/13 DK

44 STAVKI (4b).doc 3/1/6 Bake,39 Konstantan,3 Vse zapisane vednosti koeficientov so pozitivne, toej bo uponost železa, aluminija, baka in konstantana večja pi višjih tempeatuah. Okajšava za pozitivni tempeatuni koeficient je PTK, za negativnega pa NTK (ang. PTC in NTC). Pime: Bakeni žici, ki ma pi C uponost, 1 Ω, bo imela pi 8 C uponost -1 R (8 C) = 1 Ω 1+,39 K 6K = 1,34 Ω. ( ) SLIKA: Lineana tempeatuna odvisnost upoa. Obstaja vsta elementov, kateim se uponost izazito speminja s tempeatuo. Tem elementom pavimo temistoji (ang. themisto = themal esisto). Njihova upoaba v elektotehniki je zelo pogosta, od mejenja tempeatue do kompenzacije tempeatunih lastnosti dugih elementov v vezju, egulacija amplitue, napetosti, alam,... SLIKA: Uponost NTC temistoja se zmanjša z višanjem tempeatue. Za pimejavo je na sliki speminjanje uponosti platine. Vi: katalog fime Muata. 11/13 DK

45 STAVKI (4b).doc 3/1/6 Nelineani elementi. Lineani element je samo poenostavitev, ki nam olajša analizo vezij. V osnovi so vsi elementi vsaj do določene mee nelineani. Za upoe navadno smatamo, da so lineani, čepav poznamo tudi vsto nelineanih upoov. Najbolj znan nelineani element je pav gotovo dioda. Dioda je običajno izdelana iz polpevodniškega mateiala, ki omogoča pevajanje v eni smei, v dugi pa ne. To povzoči izazito nelineano kaakteistiko, ki jo v elektotehniki s pidom upoabljamo. Bolj zapleteni so tanzistoji, ki so elementi z najmanj temi kontakti od kateih je en običajno namenjen za kontolo pevajanja toka med dugima kontaktoma. Pogosto se upoablja gafičen način za določanje delovne točke tudi pi upoabi nelineanih elementov. Če si zamislimo, da piključimo nelineaen element na določene sponke vezja, lahko posebej naišemo kaakteistiko vezja bez piključenega elementa, ki bo enaka Theveninovemu nadomestnemu vezju in dodamo kaakteistiko nelineanega elementa. V pesečišču je delovna točka. Pogosto išemo gafično kaakteistiko nelineanega elementa za več paametov, na pime pi bipolanem tanzistoju za azlične bazne toke, pi MOS tanzistoju za azlične vednosti napetosti vat itd. Kichoffova zakona sta splošno veljavna, tudi za vezja z nelineanimi elementi. Večji poblem je pi izačunavanju, saj je sistem lineanih enačb dosti lažje ešiti od nelineanega. Pi slednjem se moamo poslužiti numeičnih metod, pa še v tem pimeu ni uspeh zagotovljen. Povzetek: 1) Razloži Theveninov in Notonov stavek. Med poljubnima dvema sponakama lineanega vezja lahko vezje nadomestimo z ealnim napetostnim (Thevenimovim) ali ealnim tokovnim (Notonovim) viom. ) Kako določimo Theveninovo napetost in uponost? Theveninova napetost je napetost odptih sponk med kateima želimo nadomestiti vezje z Theveninovim. Theveninova uponost je notanja uponost med sponkama, pi čeme napetostne vie katko sklenemo, tokovne pa odklopimo (odpte splonke) od vezja. 3) Kako določimo Notonov tok geneatoija in uponost? Tok geneatoja je tok katkega stika med sponkama vezja. Uponost Notonovega nadomestnega vezja določimo enako kot uponost Thevenina. Toej sta ti uponosti enaki: R N = R T. 3) Ali velja povezava med Notonovim in Theveninovim nadomestnim vezjem? Obstaja. Velja R N = R T, pa tudi UTh = IN RTh. 4) Kako določimo maksimalno moč na bemenu s pomočjo Thevenina? 1/13 DK

46 STAVKI (4b).doc 3/1/6 Beme odklopimo iz vezja in izačunamo Theveninovo nadomestno napetost in uponost. Moč na bemenu bo maksimalna, ko bo Rb = RTh. Tedaj bo maksimalna moč na bemenu UTh Pmax =. 4R b 5) Kdaj velja, da je beme pilagojeno na vi? Ko je na bemenu (penešena) maksimalna moč. 6) Razloži stavek Tellegena. Stavek Tellegena pove, da je moč geneatojev v vezju enaka moči bemen. 7) Kako je definian izkoistek vezja? Izkoistek vezja definiamo kot kvocient moči na bemenu in moči via (viov) Pb η =. P g 8) Razloži azliko med izkoistkom vezja in maksimalno močjo. Kdaj je izkoistek največji in kdaj je moč maksimalna? Kolikšen je izkoistek pi maksimalni moči? Izkoistek na bemenu se veča z uponostjo bemena, moč pa je največja tedaj, ko je bemenska uponost enaka uponosti Thevenina. Pi maksimalni moči je izkoistek vezja 5%. 9) Zapišite enačbo za napetost neobemenjenega napetostnega delilnika. (glej tekst) 1) Razložite azliko med obemenjenim in neobemenjenim napetostnim delilnikom. 11) Razložite upoabo potenciometa kot napetostnega delilnika. (glej tekst) 1) Weatstonov mostiček: uavnotežen in neuavnotežen, upoaba. 13) Opišite tempeatune lastnosti upoov. Kaj je to pozitivni ali negativni tempeatuni koeficient. Zapišite enačbo. 13/13 DK

47 Naboj(5b).doc 15/1/7 5. Naboj in tok Kljub temu, da so bili elektični efekti znani že dolgo časa, pa so osnovne ugotovitve, ki jih poznamo o naavi elektike esnično dognane šele v pejšnjem stoletju. Znani ameiški politik pa tudi znanstvenik Benjamin Fanklin je bil pvi, ki je pedlagal osnovna poimenovanja, kot jih poznamo danes. Pedlagal je, da lahko ene naboje poimenujemo pozitivne, duge pa negativne (pej so jih poimenovali viteus in esinous). Dandanes poznamo zgadbo atomov: jedo iz neutonov in pozitonov in oblak elektonov. V osnovi je atom neutalen, z enakim številom elektonov in potonov, neutoni pa nimajo naboja. Pomanjkanje ali pesežek elektonov v atomu (in tudi molekuli) pedstavimo kot pesežek pozitivnega ali negativnega naboja. Take atome (molekule) imenujemo ioni. Naboj je kvantizian. Najmanjši naboj je naboj 19 elektona, ki je Q e = 1,69 1 C. Naboj potona je enako velik samo naspotnega pedznaka pozitivnega. Naboj 1 nc toej pedstavlja pomanjkanje nc/1,69 1 C 6 1 elektonov. (Naboj = elektina. Včasih za naboj upoabimo tudi izaz elektina. To je ekvivalenten izaz.) SLIKA: Benjamin Fanklin ( ) je bil izjemen politik (pisec ameiške ustave) pa tudi znanstvenik. Pvi je ločil naboje na pozitivne in negativne, izumil izaze bateija, naboj, pevodnik, pozitivni in negativni naboj itd. Najbolj znan (in tudi nevaen) je njegov dokaz, da je stela elektičen pojav z ekspeimentom z zmajem, ki se ob dežju namoči in postane pevoden. Ob stelah se del toka azelektitve penese peko zmaja na zemljo. Iz teh aziskav sledi njegov izum stelovoda. Potoni so močno vezani na jedo atoma, medtem ko elektoni kožijo okoli jeda v t.i. obitalah. Elektoni, ki kožijo na zunanjih obitalah (bolj oddaljenih od jeda) imajo manjšo pivlačno silo v smei jeda in se v določenih pimeih lahko»odlepijo«od atoma. To se posebno pogosto zgodi v pevodnikih, kje so ob dokaj tdni vezi med atomi (kovalentni) določeni elektoni zelo šibko vezani na jedo in lahko»potujejo«med atomi. Za tako potovanje pa seveda moajo imeti»azlog«. Razlog za pemikanje je elektična sila med naboji. In kakšna je ta sila? Z ekspeimenti se je potdilo, da je sila med naboji z naspotnim pedznakom pivlačna, sila med naboji istega pedznaka pa je odbojna. V določenih pimeih ni težko doseči ločitve nabojev. Že z dgnjenje oblačil lahko dosežemo ločitev nabojev. V določenih pimeih to ločitev tudi začutimo. Na pime ob iski, ki peskoči med pstom in kaoseijo avta, ko pide do azelektitve nabojev. Ali pa kot iskice pi slačenju obleke iz umetnih mateialov. Ali pa pi hoji, ko s čevlji dgnemo po tleh. Naboj čutimo tudi na televizijskem zaslonu, ki se ob upoabi naelekti in pivlači delčke iz zaka (povzoča umazanijo). Elektitve in azelektitve opazimo tudi v naavi. Najbolj impozantna azelektitev je pojav stele, ko se velika napetost med naelektenimi oblaki in naspotno naelekteno zemljo odazi v močni azelektitvi. Tudi aktični sij (auoa boealis) je posledica delovanja naelktenih delcev tokat tistih, ki piletijo izven našega ozačja. 1/8 DK

48 Naboj(5b).doc 15/1/7 /8 DK

49 Naboj(5b).doc 15/1/7 Zakon o ohanitvi naboja. Kako pa nastaja naboj? Ugotovitve kažejo, da naboj niti ne moe iz nič nastati niti se ga ne da izničiti. To dejstvo opišemo kot zakon o ohanitvi naboja, ki je fundamentalen zakon. Pavi, da je v izolianem sistemu vsota vseh nabojev konstantna. i Q i znotaj izolianega sistema = konst Če je konstanta (vsota nabojev) pozitivna, govoimo o pesežku pozitivnih nabojev, če je negativna o pesežku negativnih nabojev, če pa je enaka nič je sistem nevtalen (ima enako število pozitivnih in negativnih nabojev). Pi vseh pej omenjenih pimeih azelektitve in naelektitve ge toej za peazpoejanje naboja, ne moe pa naboj nastati»iz nič«niti ne moe»izginiti«. V tem smislu lahko ečemo, da je neuničljiv. Fizikalno matematično ečemo, da je elativistična invaianta, je količina, ki se ne spemeni tudi če se sistem giblje s hitostjo blizu svetlobne. (To pa ne dži za maso, ki se ob velikih hitostih speminja v skladu z znano povezavo med maso in enegijo delcev (Einstein). Toej za maso ne moemo tditi, da velja zakon o ohanitvi mase. Ta velja le, če so hitosti sistema majhne v pimejavi s svetlobno hitostjo. Ka pa zelo pogosto dži.) Pime: Vzemimo izolian sistem v kateem imamo ti telesa. Dve nevtalni, na enem pa je pesežek pozitivnega naboja 1 mc. Ob stiku teh teh teles se penese 5 mc na eno, mc pa na dugo telo. Koliko naboja je ostalo na pvotno naelektenem telesu? V skladu z zakonom o ohanitvi naboja moa veljati Q1+ Q + Q3 = 1mC, tako ped stikom teles kot po stiku. Po stiku teles je Q = 5mC, Q 3 = mciz česa Q = 1 mc- Q + Q = 3mC. sledi ( ) 1 3 V neposedni povezavi z zakonom o ohanitvi naboja je tudi kontinuitetna enačba, ki opisuje povezavo med elektičnim tokom in nabojem. Tok kot časovna spememba naboja (kontinuitetna enačba) Gibanje nabojev smo poimenovali kot elektični tok. Kdaj je tok večji? Tedaj, ko je hitost spemembe naboja na opazovanem delu večja. Matematično to zapišemo kot Q Qt ( ) Qt ( 1) i = =. t t t 1 Zgonji zapis je ustezen, če se naboj lineano speminja s časom. Če se na pime naboj na 1C pozitivni elektodi akumulatoja speminja kot Qt () = Q t, kje je Q poljubna vednost 1s naboja ob času t =. Vzemimo poljubni čas 1 s in s in poglejmo, kolikšen tok teče v tem času: 1C 1C Q s - Q 1s Qt ( ) Qt ( 1) 1s 1s 1C i = = = =-1, A. t t s 1s 1s 1 Izbeemo lahko poljubno dva azlična časovna tenutka in ezultat bo enak. Če pa se velikost naboja speminja po neki poljubni funkciji, ki ni lineana, bomo lahko dobili azlične 3/8 DK

50 Naboj(5b).doc 15/1/7 vednosti odvisno od časov, ki si jih izbeemo. Zvezo med tokom in nabojem moamo popaviti tako, da bo ezultat vednosti toka enoličen neodvisno od izbie dveh azličnih časovnih tenutkov. Idealni matematični okvi za to nam ponuja koncept odvoda, ki je definian kot limita difeenc, ko ge t. Q dq it () = lim =. t t dt Gafično si lahko odvod pedstavljamo kot naklon pemice na kivuljo, ki jo pedstavlja naboj kot funkcija časa. SLIKA: Speminjanje naboja na določenem objektu in tok kot naklon na kivuljo SLIKA: Naboj (moda polna čta) in tok (deča čtkana čta) kot odvod toka. Odvod je največji tedaj, ko je naklon na modo kivuljo največji. Odvod (tok) je enak nič, ko se naboj ne speminja s časom ali ko ima maksimum ali minimum. Tedaj je naklon enak nič. Po dogovou je s pozitivnim pedznakom definian tok, ki je v smei»opazovanega«naboja: dq ivsmei =+. dt Če je tok vezan na sme stan od opazovanega naboja, je potebno upoabiti negativni pedznak: dq istan =. dt Ge seveda za isti tok, le da ga enkat določamo glede na naboj na eni,dugič pa dugi stani glede na sme toka. 4/8 DK

51 Naboj(5b).doc 15/1/7 SLIKA: Razlaga pedznaka pi zvezi med nabojem in tokom. Pime: Ob naelektitvi se naboj na pozitivni elektodi kondenzatoja speminja kot t 1 s Qt () = 5 1 e mc. Določimo tok naelektitve, če sme toka označimo v smei pozitivne elektode. Glede na označitev moamo upoabiti enačbo t t t dq d 1 1s 1 s 1 s i = ivsmei = = 51 e mc = 5e mc =,5e ma. elektode dt dt 1s Pozitivni ezultat pomeni, da teče v smei pozitivne elektode pozitivni naboj. 5. Q / C I / A t / s SLIKA: Elektenje kondenzatoja. Naboj (moda polna čta) eksponentno naašča poti vednosti 5 mc, tok pa je v začetku največji in se s časom manjša poti nič. Naboj kot integal toka. dq Vzamemo enačbo i =, pomnožimo z dt in dobimo i dt = dq. Z integacijo na obeh dt staneh enačbe dobimo Qt () t, toej Q= dq= i dt t i dt. Q= Pime: Ali dejansko dobimo nazaj ezultat za naboj na elektodi iz pejšnjega pimea, če integiamo tok? Velja 5/8 DK

52 Naboj(5b).doc 15/1/7 t t t t t t 1 s 1 s 1 s,5 ma,5ma( -1s) 5 1 mc. Q= i dt = e dt = e = e Pime: Peveimo še pime, ko smo imeli na elektodah spemembo naboja 1C Qt () = Q t in smo izačunali, da teče v smei elektode tok 1, A. 1s Če sedaj iz toka ačunamo naboj dobimo t t t Qt ( ) = i dt= ( 1,A) dt 1,A dt 1,A t = =. Ugotovimo, da se v tem pimeu ezultat azlikuje za konstanto Q. Bolj splošno bi Qt () moali zapisati dq = i dt = 1, A t in Qt () = Q 1,A t. Q t Fizikalna slika: Ugotovimo, da se množina pozitivnega naboja na telesu zmanjšuje, ko teče na telo negativen tok. Če upoštevamo, da je naboj, ki se»petaka«v pevodnikih, posledica pemikanja elektonov (ki imajo negativen naboj), potem lahko ugotovimo, da v smei elektode potujejo elektoni in zmanjšujejo koncentacijo pozitivnega naboja. Konstanten tok. Ob konstantnem toku velja lineana zveza med nabojem in tokom T. Q= I dt = I T To zvezo poznamo že iz sednješolske fizike: naboj je podukt toka in časa. Ugotovimo lahko omejeno veljavnost zapisa Q = i t, saj velja le za konstatne toke. Fizikalni pomen integacije: Integacija pomeni seštevanje infinitezimalno majhnih koščkov povšine. V našem pimeu seštevamo podukt toka in malih delov časa. Naboj je toej enak povšini pod i-t kivuljo. Enačba velja, če je tok konstanten, če pa ni, je potebno upoabiti integalni ačun. 4 NABOJ / Q TOK / A ÈAS / s SLIKA: Tok (zelena čtkana čta) in naboj kot integal toka (moda polna čta.) 6/8 DK

53 Naboj(5b).doc 15/1/7 5 % Matlabo ukazi a=3;b=3;c=4 f=[*ones(1,a),*ones(1,b),-5*ones(1,c)] TOK / A NABOJ x=[1:1:(a+b+c)] plotyy(x,cumsum(f),x,f) figue plotyy(x,cumsum(cumsum(f)),x,cumsum(f)) SLIKA: Naboj (moda polna čta) in tok kot odvod toka (zelena čtkana čta). V povezavi z zakonom o ohanitvi enegije je tudi 1. Kichoffov zakon, ki pavi, da je vsota vseh tokov v spojišče enaka nič. Na pimeu poglejmo, če je spošno veljaven: Pime: Ob tenutku t = s začne teči tok 1 A v določeno neutalno območje, iz njega pa obenem začne izstopati tok 5 A. Določimo količino naboja v tem območju ob času t = s. Naboj, ki se nakopiči ob času s zaadi toka 1 A je Q s = idt = 1A.s = As, 1 1 izstopajočega naboja zaadi toka 5 A stan od območja (ali tudi -5 A v to območje) pa je s Q = i dt = 5A s = 1As. Vsota je 1 As. V začetku je bilo območje neutalno, po dveh sekundah pa je bilo v njem 1 C naboja. Ali zakon o ohanitvi naboja ne velja za to območje? Za to območje ne velja zakon o ohanitvi naboja, ke ne ge za izolian sistem. Da bi dobili izolian sistem, moamo upoštevati še»ezevoa, od kode s tokom 1 A pihajajo naboji in ezevoa kamo s tokom 5A odhajajo naboji. Če bi to upoštevali, bi bila vsota nabojev v takem sistemu konstantna. SLIKA: Neizolian in izolian sistem. Ugotovili smo, da se v določenem območju lahko naboj kopiči, toej ni nujno, da bo tok, ki v to območje vstopa enak izstopajočemu toku. Da bi bil Kichoffov zakon veljaven, moa veljati, da tokovi vstopajo in izstopajo v izolian sistem, toej sistem, kje se naboj ne kopiči. Vpašanja: 1) Kolikšna je najmanjša vednost naboja? 7/8 DK

54 Naboj(5b).doc 15/1/7 ) Kakšno lastnost manifestiajo elektični naboji? 3) Kaj»pavi«zakon o ohanitvi naboja? 4) Kakšna je zveza med tokom in nabojem kontinuitetna enačba? dq dq 5) Kdaj velja i =+ in kdaj i =? dt dt 6) V kateem pimeu lahko koektno upoabimo zvezo Q= it.? 7) Skiciaj poljubno obliko toka in temu ustezen naboj. Upoštevaj pedznake. 8) Skiciaj poljubno obliko spemembe naboja in temu ustezen tok. Upoštevaj pedznake. V nadaljevanju: Da telesa naelektimo potebujemo določeno silo. Lahko to silo ustvaimo sami, ecimo z dgnjenjem dveh teles (tiboelektika), z vtenjem elektostatičnega ali pa ka pavega geneatoja, lahko upoabimo že ločene naboje v bateijah itd, lahko pa so telesa naelektena že zaadi sil, ki delujejo v naavi. V nadaljevanju se bomo spaševali, kako ločiti naboje in kako določiti (izačunati, izmeiti) elektične sile med dvema ali več naelektenimi telesi. 8/8 DK

55 Sila(6).doc 3/11/6 6. Sila na točkaste naboje Ugotovili smo, da med naboji deluje sila, ki je odbojna za enako pedznačene in pivlačna za naspotno pedznačene naboje. SLIKA: Odbojna in pivlačna sila med naboji. Osnovno zakonitost je s pomočjo ekspeimenta s tozijsko tehtnico dognal Chales Augustin de Coulomb. Ugotovil je, da je sila med dvema naelektenima kogljicama popocionalna poduktu nabojev in invezno popocionalna kvadatu azdalje med kogljicama. Matematično to zapišemo kot QQ 1 F = k, kje je k določena konstanta in je odvisna od tega, kaj izbeemo za osnovno enoto. V sistemu meskih enot, ki je v veljavi dandanes (SI), velja 1 k = 4πε in je enaka 9 V m k = 91. As ε imenujemo dielektična konstanta vakuuma in je enaka 1 ε = 8,854 1 F/m. V bistvu je zak obnaša podobno SLIKA: Coulombova tozijska tehtnica s kateo je izvajal poskuse in ugotovil povezavo med nabojem in silo. kot vakuum, zato omenjen zakon dovolj dobo dži tudi v začni atmosfei. Da bi bila enačba točna moata biti kogljici čim manjši. Eksaktno enačba velja le za tako imenovane točkaste elektine. To je čista matematična fomulacija, saj točkastih nabojev v naavi ni. Še tako majhen naboj ima določen polme, četudi majhen. Je pa koncept točkaste elektine (točkastega naboja) zelo pomemben v elektotehniki in z njegovo pomočjo izpeljemo izaze za silo med naelektenimi telesi. Pime: Določimo elektično silo med dvema točkastima nabojema Q 1 = µc in Q = 5 µc, ki sta oddaljena za 1 cm. QQ 1 9 V m µc 5µC Sila je F = k = 9 1 = 9N. As(,1 m ) Iz ezultata lahko ugotovimo, da smo enoto N(ewton) ka pipisali, saj bi po izvajanju moala biti enota za silo VAs/m. To tudi je ekvivalentna enota za moč, le da je bolj običajno, da moč izazimo z enoto iz mehanike, newtnom. 1/3 DK

56 Sila(6).doc 3/11/6 Izačun sile med naboji je toej pepost. Potebno pa je poudaiti, da je sila vektoska veličina, saj ima poleg velikosti tudi sme. Kot smo že omenili, je sme sile taka, da se enako naznačena naboja odbijata, naspotno naznačena pa pivlačita. To pavilo moamo le še zapisati v matematični obliki in ga upoštevati pi izačunu sile. Pi tem si pomagamo z vektoskim ačunom, kje silo pedstavimo kot vekto, pav tako pa tudi azdalje do točk, kje se naboji nahajajo. Imejmo točkasta naboja Q 1 in Q, ki se nahajata v točkah T 1 in T, kje je točka T 1 določena s koodinatami (x 1, y 1, z 1 ) in T z (x, y, z ). Vekto iz koodinatnega izhodišča do točke T 1 označimo z 1 in ima komponente (x 1, y 1, z 1 ) te s komponentami (x, y, z ). Med točkama T 1 in T zapišemo vekto 1 =, ka je s komponentami enako 1 1 = 1 = ( x x1, y y1, z z1). Da bi izačunali vekto sile, moamo vednosti, QQ 1 določeni z enačbo F = k, dodati sme. Sme sile bo v smei vektoja 1 in sice tako, da bo velikost tega vektoja enaka 1. To pa dobimo tako, da vekto delimo z njegovo absolutno vednostjo (amplitudo). Ta vekto imenujemo enotski vekto in ga dobimo kot 1 e = 1. 1 Sila med točkastima nabojema Q 1 in Q zapisana v vektoski obliki je 1 QQ F = F = e. To enačbo imenujemo Coulombov zakon. 1 Q 1 1 4πε 1 Zapisana sila je sila na naboj Q, če pa želimo izaziti silo na naboj Q 1 moamo obniti vekto 1 ozioma upoštevati F 1 = F. 1 SLIKA: Sila med nabojema Q 1 in Q. Pime: Določimo elektično silo med točkastima nabojema Q 1 = µc in Q = -5 µc. Q 1 se nahaja v točki T 1 (1,,)cm, naboj Q pa v točki T (,3,1)cm. Zapišimo točki z vektojema 1 in te tvoimo vekto 1 = ( 1,3,1 )cm = (1,3, 1)cm. Enotski vekto dobimo tako, da delimo vekto z njegovo absolutno vednostjo. 1 = ( 1) cm= 11cm in /3 DK

57 Sila(6).doc 3/11/6 1 (1, 3, 1)cm (1, 3, 1) e = 1 = =. 1 11cm 11 Sila na naboj Q je toej 1 QQ 1 1 µc ( 5µC) (1,3, 1) FQ = F 1 = e = = 1 4πε 4πε 11cm V m 1 A s (1,3, 1) -4 = 91 = 4,7(1,3, 1)N 11 1 m 11 Rezultat je negativen, toej sila kaže v naspotno sme kot vekto 1, ka je seveda pavilno, saj sta naboja naspotnega pedznaka in se toej pivlačita. Kolikšna je komponenta sile v smei določene osi? Pomnožimo komponente z 4,7 in dobimo: F1 = 4,7 N ex + 74 N ey + 4,7N ez Supepozicija sil. Kaj pa če imamo ti ali več nabojev? Kako določimo silo na določen naboj? Določimo jo peposto s seštevanjem posameznih pispevkov sil. Matematično temu ečemo supepozicija in pincip seštevanja sil kot supepozicija sil. Sila na Q 1 bi toej bila enaka vsoti sil med nabojema Q 1 in Q, Q 1 in Q 3, Q 1 in Q 4 itd. F = F + F + F + Q1 Q Q1 Q3 Q1 Q4 Q1 Pime: Poleg nabojev Q 1 in Q iz gonjega pimea imamo še naboj Q 3 = 3 µc, ki se nahaja na mestu T 3 (,3,-3)cm. Določite skupno silo na naboj Q. Silo med nabojema Q 3 in Q je nekoliko lažje izačunati, saj je azdalja med nabojema 1 cm (azlika samo v smei z osi), ke je en naboj pozitiven dugi pa negativen, bo sila na Q 3 v smei naboja Q, toej v smei z osi. Rezultat bo toej 1 QQ 3 1 3µC ( 5µC) F3 = e = ( e ) 1 z = 4πε 3 4π ε (4cm) 1 9 V m 15 1 A s = 9 1 e 84,38 N -4 z = ez 16 1 m Skupni seštevek je F = F1 = 4,7 N ex + 74 N ey + 59,675N ez. Vpašanja: 1) Kdaj je sila med dvema nabojema odbojna in kdaj je pivlačna? ) Razloži Coulombov zakon. 3) Kako določimo azdaljo med dvema nabojema, če sta mesti nabojev podani s koodinatami? 4) Kako tvoimo enotski vekto? 5) Zapišite vekto sile med nabojema. 6) Kako ačunamo silo na naboj v okolici več nabojev? 3/3 DK

58 EPolje(7).doc 15/1/7 7. Elektična poljska jakost Pojem elektične poljske jakosti je en najpomembnejših konceptov v elektotehniki. V osnovi abstakten pojem se bo kasneje izkazal kot ključen za določanje napetosti in enegije. Elektična poljska jakost je definiana kot sila nomiana na enoto naboja, matematično F E =. Q t Elektično poljsko jakost v poljubni točki v postou določimo tako, da v to točko postavimo poskusni (testno) naboj Q t in določimo silo na to elektino. Nato silo delimo s poskusnim nabojem Q t in dobimo elektično poljsko jakost. Elektična poljska jakost na oddaljenosti od naboja Q je toej enaka E = e Q 4πε. Pime: Določimo elektično poljsko jakost v koodinatnem izhodišču (,, ), če se v točki T 1 (1,,)cm nahaja Q 1 = µc. Izačuna se lahko lotimo na enak način, kot da bi določali silo na naboj Q v točki (,, ). F Q 1 QQ 1 Q µc(1,,) = ( e ) = = 4π 4π 5cm ε ε 6 9 V m Q 1 A s (1,,) 7-4 = 91 = 1,611 Q (1,,)N 51 m 5 Elektična poljska jakost pa je FQ 7 7 EQ = = 1,61 1 (1,, )N/C = 1,61 1 (1,, )V/m. Q Enota za elektično poljsko jakost je V/m. Iz pimea vidimo, da lahko sme elektične jakosti določimo kot sme sile na namišljen pozitivni naboj. V pincipu je vseeno, kako velik je ta testni naboj, saj vidimo, da v enačbi sploh ne nastopa v enačbi nastopa naboj, ki povzoča silo na testni naboj. Ke je naboj 1 C zelo veliko naboja, ki ga je (1) nemogoče zbati v točki in () tak naboj bi vsekako pedstavljal izazito veliko silo na okoliške naboje in povzočil njihovo pemaknitev. Bolj pimena definicija za elektično poljsko jakost bi toej bila, da je to sila na majhen poskusni naboj, matematično F E = lim. Q t Q t 1/ DK

59 EPolje(7).doc 15/1/7 V čem je potem azlika med silo in elektično poljsko jakostjo? Pomembna azlika je v tem, da je mogoče sile določati le med naboji, medtem ko je elektična poljska jakost definiana v vsaki točki v postou. Supepozicija elektičnega polja. Kako določimo elektično poljsko jakost v točki, če je v okolici več nabojev? Enako kot pi sili. V točko postavimo poskusni naboj, izačunamo silo na poskusni naboj kot supepozicijo posameznih pispevkov sile te nato delimo s poskusnim nabojem. Ozioma, določimo elektično poljsko jakost za vsak naboj posebaj in vplive seštejemo. E = E + E + E + = E i i SLIKA: Več nabojev in elektična poljska jakost v točki kot supepozicija posameznih polj. Pikazovanje elektične poljske jakosti v postou. Ke je polje definiano v vsaki točki postoa, pomeni, da lahko v vsaki točki postoa ponazoimo polje z vektojem, ki kaže sme in velikost polja v točki. Običajno se spopijaznimo s tem, da išemo vektoje elektične poljske jakosti v določenih točkah v postou in tako pikažemo vektosko polje. Duga možnost je, da pikazujemo velikost polja (venda ne smei) z D ali 3D pikazom. SLIKA: D in 3D pikaz elektične poljske jakosti za štii naboje. Ti pozitivne in enega negativnega. Vpašanja: Definicija elektične poljske jakosti. Enota. Poblem osnovne definicije. Razlika med silo in elektično poljsko jakostjo. Supepozicija polj. / DK

60 Poazdelitev naboja(8).doc 3/11/6 8. Poazdelitev naboja Spoznali smo že koncept točkastega naboja, za kateega pa smo že ekli, da ga v naavi ni. Najmanjši naboj je naboj elektona, s svojo maso in kvantiziano množino naboja. Nadaljnji poblem je, da je naboja običajno zelo veliko. Če samo malo podgnemo, se med telesi penesejo milijoni elektonov. Mi pa smo sposobni izačunati silo na nekaj točkastih nabojev. No, v pincipu lahko s supepozicijo izačunamo tudi silo med nekaj milijoni nabojev. Ka pa ni običajno. Potebno je najti nek dug način obavnave naelektenih teles. Našli ga bomo v konceptu azličnih tipov poazdelitve naboja v postou. Pedpostavili bomo, da je naboj zaadi velike količine delcev poazdeljen zvezno. V tem smislu bomo definiali ti načine poazdelitve nabojev: volumsko, povšinsko in linijsko poazdelitev naboja. Ti načini poazdelitve naboja: 1) naboj, poazdeljen v volumnu. Govoimo o volumski poazdelitvi naboja, ki jo opišemo z gostoto volumske poazdelitve naboja ρ. Enota je C/m 3. Če je tak naboj enakomeno poazdeljen po volumnu, lahko gostoto volumskega naboja določimo kot Q ρ =, ozioma celotni naboj kot Q = ρ V. Bolj pogosto je, da ta naboj ni V pozadeljen enakomeno, tedaj velja zveza Q = ρ V le za en majhen del celotnega naboja v nekem majhnem volumnu, toej Q = ρ V in če ta delček limitiamo (naedimo infinitezimalno majhen), dobimo dq = ρ dv. Celotni naboj dobimo z integacijo posameznih pispevkov po volumnu: Q= ρ dv. V ) naboj, poazdeljen po povšini. Govoimo o povšinski poazdelitvi naboja, ki jo opišemo z gostoto povšinske poazdelitve naboja σ. Enota je C/m. Če je tak naboj enakomeno poazdeljen po povšini, lahko povšinsko gostoto naboja določimo kot Q σ =, ozioma celotni naboj kot Q = σ A. Bolj pogosto je, da ta naboj ni A pozadeljen enakomeno, tedaj velja zveza Q = σ Ale za en majhen del celotnega naboja na neki majhni povšini, toej Q = σ Ain če ta delček limitiamo (naedimo infinitezimalno majhen), dobimo dq = σ da. Celotni naboj dobimo z integacijo posameznih pispevkov po povšini: Q= σ da. A 3) naboj, poazdeljen po liniji (žici). Govoimo o linijski poazdelitvi naboja, ki jo opišemo z gostoto linijske poazdelitve naboja q. Enota je C/m. Če je tak naboj Q enakomeno poazdeljen po liniji, lahko linijsko gostoto naboja določimo kot q =, L ozioma celotni naboj kot Q = q L. Bolj pogosto je, da ta naboj ni poazdeljen enakomeno, tedaj velja zveza Q = q Lle za en majhen del celotnega naboja na neki majhni azdalji, toej Q = q Lin če ta delček limitiamo (naedimo infinitezimalno 1/ DK

61 Poazdelitev naboja(8).doc 3/11/6 majhen), dobimo dq = q dl. Celotni naboj dobimo z integacijo posameznih pispevkov po liniji: Q= q dl. L / DK

62 Koodinatni sistemi(9).doc 1/1/6 9. Koodinatni sistemi Zakaj upoabljati vec koodinatnih sistemov, ce nam je katezicni koodinatni sistem (KKS) najbolj poznan in najbolj azumljiv? Odgovo je pepost: zato, ke je v dolocenih pimeih izacun mnogo bolj pepost z izbio dugacnega koodinatnega sistema. Na pime, ce je naboj poazdeljen po povšini cilinda. Sama po sebi se ponuja najboljša izbia cilindicni (ali valjni) koodinatni sistem, itd. Za koodinatne sisteme, ki jih obavnavamo je znacilno to, da so vse avnine med sabo pavokotne. Takim KS ecemo otogonalni. Tocko v vsakem koodinatnem sistemu dolocimo s pesekom teh avnin. V KKS so to ti avnine: x= x 1 y= y. z = z 1 1 Koodinate v KKS doloca tojcek (x,y,z). Vzdolž vsake osi lahko dolocimo difeencial dolžine. Dobimo ga z limitianjem dl = lim L. L V smei osi X je to dx, v smei osi Y je dy in v smei Z je dz. V splošnem lahko difeencial poti v KKS zapišemo kot vekto: dl = edx x + edy y + edz z. dl = ( dx, dy, dz) Poleg tega bomo v nadaljevanju potebovali še (difeencialno) majhne dele povšine in volumna. V KKS so difeencialne povšine kvadati, ecimo dx dy. Tem difeencialom pogosto dodamo še sme, ki kaže v smei, ki je pavokotna na povšino. To je sme nomale na povšino. Kvadatku dx dy bi toej pipisali sme osi Z, itd. V splošnem difeencial povšine lahko zapišemo kot vekto da= edy dz+ edx dz+ edx dy. x y z Difeencial povšine v KKS je mala kocka s stanicami dx, dy, dz, toej je difeencial volumna podukt teh difeencialov poti: dv = dx dy dz Pimei: Cilindicni (valjni) koodinatni sistem (CKS). Tocka je dolocena s pesekom teh avnin = 1 ϕ = ϕ z = z 1 1 1/3 DK

63 Koodinatni sistemi(9).doc 1/1/6 Pva avnina je plašc valja, duga je polavnina okoli Z osi, ki jo doloca kot fi, tetja pa avnina z eno vednostjo koodinate Z. Koodinate v CKS sestavlja toej tojcek (, ϕ, z). Difeencial poti je dl = e d+ e dϕ + e dz. ϕ z Difeencial povšine je da= e dϕ dz+ eϕ d dz+ ez d dϕ. Pogosto je potebno upoštevati le funkcijske spemembe v smei osi R (otacijska simetija), V tem pimeu je difeencial v smei osi Z dolocen z da = π d Difeencial volumna je dv = d dϕ dz. Pimei: Pime: Dolocite povšino diska z notanjim polmeom 1 cm in zunanjim polmeom 6 cm. Vzamemo difeencial povšine, ki kaže v smei osi Z in zapišemo dvojni integal π 6cm 6cm 6cm ϕ π π π (6 ) (1 ) 35 cm π. 1cm 1cm 1cm P = d d = d = = cm cm = z Pime: Po povšini plašca valja višine m polmea 5 cm se speminja povšinska gostota ϕ naboja z izazom σ = sin µc/m. Dolocimo povšinsko gostoto naboja. Upoabimo zvezo Q = σ da, ki v našem pimeu pomeni A π m π ϕ ϕ sin µc/m ϕ 5cm cos µc/m m = Q= d dz =,1 4µC =,4µC. Sfeicni (kogeljni) koodinatni sistem (SKS). Tocka je dolocena s pesekom teh avnin = 1 ϑ = ϑ 1 ϕ = ϕ1 Pva avnina je plašc koglje, duga je povšina stožca (kje je ϑ (theta) kot od Z osi navzdol), tetja pa polavnina znana iz CKS. Koodinate v SKS sestavlja toej tojcek (, ϑϕ, ). Difeencial poti je dl = e d+ e dϑ+ e sin( ϑ) dϕ. ϑ ϕ /3 DK

64 Koodinatni sistemi(9).doc 1/1/6 Difeencial povšine je da= e sin( ϑ) dϑ dϕ + e sin( ϑ) dϕ d+ e d dϑ. ϑ Pogosto je potebno upoštevati le funkcijske spemembe v smei osi R (otacijska simetija), V tem pimeu je difeencial v smei osi R dolocen z da = 4π d Difeencial volumna je dv = sin( ϑ) d dϑ dϕ. ϕ ϑ Pime: Dolocimo povšino koglje polmea R. Vamemo difeencial volumna koglje dv = sin( ϑ) d dϑ dϕ in ga integiamo R π π R 3 3 π π 4π R sin( ϑ) ϑ ϕ ( cos( ϑ)) ϕ 3 3. V = d d d = = 3/3 DK

65 Epolje poazdeljenih nabojev(1).doc 3/11/6 1. Elektična poljska jakost poazdeljenih nabojev Spoznali smo že definicijo elektične poljske jakosti te enačbo za izačun polja v okolici točkastega naboja. E = e Q 4πε Polje točkastega naboja Nadalje smo ugotovili, da je število pesežkov nabojev pogosto zelo veliko, ka pomeni, da se že ob manjšem dgnenju dveh teles penese med telesi milijone in milijone elektonov. Da bi izačunali elektično poljsko jakost, ki jo povzočajo ti elektoni, bi potebovali mnogo ačunanja, saj bi z upoštevanjem supepozicije lahko izačunali pispevek polja vsakega elektona posebej in vplive sešteli. Tak način ačunanja bi bil zelo zamuden in nepaktičen, čepav v pedagoške namene lahko upoabljamo tudi tak način ačunanja. Seveda na tak na;;in, da upoštevamo manjše število delcev. Tipičen pime je pogam JaCoB ( ki ačuna silo med naboji in jih dinamično pomika v smei ezultančne sile. SLIKA: Pime izačuna in pikazovanja sil med naboji s pogamom JaCoB. Tak način izačunavanj se pogosto upoablja tudi v aziskavah dejstvovanja osnovnih delcev, kje pa se upošteva tudi lastnosti tkanja delcev. Te metode imenujemo metode Monte Calo. Pi izačunu elektične poljske jakosti poazdeljenih nabojev pa pogosto pedpostavimo, da je zaadi velikega števila delcev naboj poazdeljen zvezno. Spoznali smo že možnost pedstavitve poazdelitve nabojev kot volumsko, povšinsko ali linijsko gostoto nabojev. Da bi dobili ustezen izaz za izačun polja, ki ga povzoča določena poazdelitev naboja, se Q najpej poslužimo ideje, da če velja za točkasti naboj izaz E = e, potem lahko 4πε tdimo, da bo to veljalo tudi za neko malo količino naboja Q, ki se nahaja na majhnem 1/5 DK

66 Epolje poazdeljenih nabojev(1).doc 3/11/6 postou (majhnem v pimejavi z azdaljo ). V tem smislu bi za del celotnega naboja lahko določili polje, ki ga povzoča: Q E = e. 4πε S pocesom limitianja difeenčnih vednosti dobimo izaz za difeencial polja, ki ga povzoča difeencial naboja: de = e dq 4πε. Da bi določili vpliv vseh delnih vednosti oz. difeencialov naboja, moamo posamezne pispevke sešteti, ka v zveznem postou pedstavlja integacijo: E = po vseh Q-jih dq 4πε e. Izaz za izačun polja poazdeljenih nabojev SLIKA: Integacija pispevkov difeencialov naboja za izačun elektične poljske jakosti. Teoetično lahko na ta način določimo elektično poljsko jakost za poljubno poazdelitev naboja. Paktično pa smo omejeni s pimei, ko je zapisani integal še analitično ešljiv. V naspotnem pimeu nam peostane numeična integacija vplivov posameznih majhnih delov Qi celotnega naboja: E = E i = e. 1 i 4πε i i Postopek za določitev polja poazdeljenih nabojev. Zapišimo postopek, po kateem lahko določimo elektično poljsko jakost za poazdeljen naboj z upoabo enačbe dq E = e : 4πε po vseh Q-jih 1) Naboji, ki povzočajo polje so poazdeljeni po volumnu, povšini ali liniji. V tem smislu bo difeencial naboja enak dq = ρ dv, dq = σ da ali dq = q dl. 1 V paksi imamo na azpolago še nekaj dugih možnih načinov eševanja, ki jih bomo omenili v nadaljevanju. /5 DK

67 Epolje poazdeljenih nabojev(1).doc 3/11/6 ) Da bi natančneje določili difeencial volumna, povšine ali azdalje, moamo našo naelekteno stuktuo umestiti v določen koodinatni sistem. Če bo stuktua na katei se nahaja naboj v obliki žice, bo najbolj pimena upoaba cilindičnega koodinatnega sistema, če bo naboj v volumnu kogle bo pimeen sfeični K.S., itd. 3) Glede na izban koodinatni sistem določimo ustezen difeencial. Na pime, če se naboj speminja vzdolž palice, postavljene v osi X, bo dl = exdx in dq = q dx. Če se naboj nahaja na povšini valja, bo potebno upoabiti izaz dq = σ da, pi čeme bo da = dϕ dz, itd. 4) Postaviti moamo difeencial naboja na neko poljubno mesto na stuktui in določiti vekto kot funkcijo koodinat. Vekto je vekto od mesta difeenciala naboja dq do točke, kje želimo izačunati polje. 5) Zapišemo integal te določimo meje integacije. Meje integacije so določene s koodinatami na oseh, ki zajamejo celoten naboj. 6) Rešimo integal. Poiščimo elektično poljsko jakost v okolici naelektenih pepostih stuktu, kot so naelektena pemica, daljica, naelekten pstan, naelektena avnina. Polje naelektene pemice (pema elektina): E = e q πε Polje naelektene daljice: (položene vzdolž Z osi) q E = e e 4πε + ( sin( α ) sin( α )) ( sin( α ) sin( α )) 1 z 1 Polje v osi naelektenega oboča (polme oboča = a): E = e z q a z ε ( a + z ) 3/ Polje v sedišču naelektenega pstana (z = ): q E = ez ε a Polje naelektene avnine (nomala v smei osi Z): E e = σ z ε Pimei 3/5 DK

68 Epolje poazdeljenih nabojev(1).doc 3/11/6 1 Elekticna poljska jakost / V/m Razdalja / m SLIKA: Polje v osi naelektenega oboča. Polme oboča je cm, na njem je enakomeno (linijsko) poazdeljen naboj,1 nc. Elekticna poljska jakost / V/m 9 x TOCKASTI NABOJ NAELEKTREN OBROC Elekticna poljska jakost / V/m TOCKASTI NABOJ NAELEKTREN OBROC Razdalja / m Razdalja / m SLIKA: Pimejava med poljem točkastega naboja in naelektenega oboča. Oba imata enako velik naboj (,1 nc, polme pstana je cm). Levo: polje v bližini oboča. Desno: polje v Q oddaljenosti od oboča.v oddaljenosti od pstana postane izaz E = e enakoveden 4πε q a z izazu E = ez, v bližini oboča (azdalja manjša od nekaj polmeov oboča) pa 3/ ε ( a + z ) je azlika velika. Elekticna poljska jakost / V/m 4 x TOCKASTI NABOJ PREMI NABOJ Razdalja / m SLIKA: Pimejava med poljem točkastega in pemega naboja. Polje točkastega naboja upada s kvadatom azdalje (1/ ), polje pemega pa z azdaljo (1/). 4/5 DK

69 Epolje poazdeljenih nabojev(1).doc 3/11/6 Elekticna poljska jakost / V/m RAVNINA DISK Razmeje Ediska/Eavnine Razdalja / m Razdalja / m SLIKA: Pimejava med poljem naelektenega diska in neskončne avnine z enako velikim povšinskim nabojem. Polme diska je 8 cm. Desna slika kaže azmeje med poljem diska in poljem avnine. Tik ob povšini je izačun ustezen, na azdalji polmea diska pa je polje diska 38 % polja avnine. 5/5 DK

70 GAUSSOV ZAKON(11).doc 3/11/6 11. Gaussov zakon V tem poglavju bomo spoznali Gaussov zakon v integalni obliki, ki je v osnovi posledica Coulombovega zakona, toej dejstva, da polje v okolici točkastega naboja upada s kvadatom azdalje. Da bi azumeli njegov pomen, se moamo najpej seznaniti s pojmi kot so silnice polja, petočne oz. gostotne cevke in elektični petok ali fluks. Elektično poljsko jakost v postou lahko pikažemo z vektoji v postou. Če vektoje povežemo z linijami, le te imenujemo silnice polja. Pikaz s silnicami je zelo pimeen in pogost način pikaza polja. (Konceptualno jih je vpeljal Michael Faaday, ki jih je imenoval lines of foce.) Ke so silnice usmejene v smei polja, bi po silnici potoval naboj, če bi ga postavili v polje. Pi tem moamo pedpostaviti, da vstavitev tega naboja v polje ne bi spemenila samega polja, saj bi tak naboj tudi deloval s silo na tiste naboje, ki ustvajajo polje v kateem potuje. SLIKA: Vektoji in silnice polja za pikaz elektičnega polja v postou. Nadalje je potebno spoznati koncept petoka elektičnega polja skozi neko ploskev. 1 Če je polje konstantno, običajno ečemo homogeno, in pavokotno na avno ploskev povšine A, potem je petok določen kot podukt polja in povšine: E A. V nekem smislu JE petok polja povezan s količino naboja iz kateih izhajajo silnice. Na povšini naelektenega telesa se izkaže podukt E A diektno popocionalen količini naboja. Če je avna ploskev postavljena pečno na sme homogenega polja, potem je ta petok enak nič, če pa je pod določenim kotom na ploskev, je potebno upoštevati kosinus vmesnega kota, pi čeme je to kot med nomalo (pavokotnico) na povšino in smejo elektičnega polja E A cos( α). Po definiciji skalanega podukta lahko to zvezo zapišemo tudi s skalanim poduktom vektoja polja in vektoja povšine, pi čeme je potebno ponovno poudaiti, da je sme vektoja povšine določena z nomalo na povšino (smejo, ki je pavokotna na povšino). Petok elektičnega polja = E A. (velja za homogeno polje in avno ploskev) Pime: Določimo petok homogenega elektičnega polja velikosti 5 kv/m, ki je usmejen pod kotom 3 na nomalo avno povšine določene s pavokotnikom dimenzij 3 x 4 m. 1 Koncept petoka nekega vektoja skozi določeno povšino je splošen pojem, ki se pogosto upoablja za opis določenih veličin. 1/5 DK

71 GAUSSOV ZAKON(11).doc 3/11/6 Odgovo: Petok je enak 3 5kV/m 1m cos(3 ) = 5 1 V m. SLIKA: Petok homogenega elektičnega polja skozi avno povšino. Petok nehomogenega polja skozi neavno povšino. Kaj pa če polje ni homogeno in/ali če povšina skozi kateo ačunamo petok ni avna? Tedaj bomo dobili pavilni izaz za petok na že poznan način: Najpej zapišemo petok za neko difeenčno majhno povšino, na katei bi homogenost veljala, toej za E A, v limiti pa dobimo difeencial petoka E da, celotni petok elektičnega polja pa kot E da. A Za poljubno obliko polja in povšine je petok elektičnega polja določen z A E da. Tudi petok elektičnega polja lahko ponazoimo na enak način kot ponazajamo silnice polja le da sedaj govoimo o gostotnih ali petočnih cevkah, silnice pa ponazajajo le stene gostotnih cevk. Večji petok elektičnega polja dosežemo, če zajamemo več petočnih cevk. SLIKA: Petok elektičnega polja znotaj gostotnic je konstanten (enako velik na poljubnem peseku). Sedaj pa si poglejmo vednost tega petoka po celotni - zaključeni povšini. Včasih ji ečemo tudi Gaussova povšina. To pomeni, da nas zanima petok polja skozi povšino kogle ali skozi vseh šest stanic kocke ali pač poljubne povšine, ki v celoti zaobjame določen objekt. Pi tem niti ni potebno, da ačunamo petok skozi neko povšino telesa, lahko je to popolnoma namišljeno (abstaktno) telo. Matematično integacijo po zaključeni povšini naznačimo s kogcem v sedini simbola integala: Petok polja skozi zaključeno povšino = A E da /5 DK

72 GAUSSOV ZAKON(11).doc 3/11/6 Vzemimo ka najpepostejši pime, kje je naboj Q postavljen v sedišče sfeičnega koodinatnega sistema in ačunamo petok skozi neko zamišljeno povšino kogle polmea : ππ Q Q π π Q E da= e sin( ) ( cos( )) e ϑ dϑ dϕ = ϕ ϑ = 4πε 4πε A ε Ugotovimo, da je ta integal soazmeen naboju, ki se nahaja v sedišču kogle. Ali je to naključje ali to velja za poljubno postavitev naboja znotaj kogle? Z azmislekom, da lahko naboj zamaknemo iz sedišča koodinatnega sistema, pa se število petočnic, ki sekajo povšino kogle, ne spemeni lahko ugotovimo, da je ezultat enak tudi za poljubno postavitev naboja Q znotaj (namišljene) kogle polmea. SLIKA: Število petočnih cevk, ki sekajo povšino namišljene kogle je enako za poljubno postavitev naboja znotaj kogle. SLIKA: Petočne cevke več nabojev, ki jih zajamemo z namišljeno povšino kogle (ali poljubno zaključeno povšino). Če je nabojev znotaj zaključene povšine več lahko pišemo: Q Q1 Q i E da= E da+ E da+ = + + = ε ε ε 1 A A A i znotaj A Kaj pa naboji, ki se nahajajo zunaj kogle? Ugotovimo lahko, da sice povzočajo polje na povšini kogle, venda je petok polja v koglo enako veliko petoku polja iz kogle. 3/5 DK

73 GAUSSOV ZAKON(11).doc 3/11/6 SLIKA: Petok polja skozi zaključeno povšino v katei ni nabojev je enak nič. Če se v zunanji okolici povšine nahajajo naboji, je petok polja, ki vstopa v posto enak petoku polja, ki izstopa iz tega postoa. Toej: Petok elektične poljske jakost skozi sklenjeno (zaključeno) povšino je enak zaobjetemu naboju (algebajski vsoti nabojev) deljeno z ε. Ta zapis imenujemo Gaussov zakon. A Q E da= ε znotaj A. Gaussov zakon Pomen Gaussovega zakona: 1) Ugotavlja izvonost elektičnega polja. Elektično polje izvia iz pozitivnih nabojev in ponia na negativnih. ) Omogoča izačun naboja v določenem postou ob poznavanju elektičnega polja na mejah tega postoa. 3) Omogoča izačun elektičnega polja v pimeu simetične poazdelitve naboja. V tem pimeu nameč polje ni funkcija spemenljivk integacije. 4) Gaussov zakon smo spoznali v t.i. integalni obliki. Zapisan je nameč z integalom in velja po določeni povšini. Poznamo tudi zapis Gaussovega stavka v difeencialni obliki, ki definia povezavo med elektičnim poljem in nabojem (gostoto naboja) v točki v postou. Ta zakon je en od osnovnih zakonov, ki opisujejo naavo elektičnega polja. Gaussov zakon je znan tudi kot ena od štiih Maxwellovih enačb, ki v celoti opisujejo elektomagnetne pojave. Pimei izačunov z upoabo Gaussovega zakona: Pime: Kogla polmea R ima enakomeno volumsko poazdelitev naboja. Določimo elektično poljsko jakost znotaj in zunaj kogle. 4/5 DK

74 GAUSSOV ZAKON(11).doc 3/11/6 3 E 4π = ρ 4 π / ε 3 ρ E = 3ε 5/5 DK

75 DELO IN ENERGIJA(1).doc 3/11/6 1. Delo in enegija elektostatičnega polja V sednješolski fiziki je veljalo, da je delo enako poduktu sile in dolžine poti, toej, če vzdolž poti dolžine l deluje sila F, le ta opavi delo A= F l. Če toej potiskamo voziček v smei poti dolžine 5 m s silo 1 N opavimo delo 5 N m ali 5 J. Kaj pa, če voziček potiskamo s silo 1 N v smei, ki je pod kotom 6 na sme poti? V tem pimeu moamo upoštevati le tisto komponento sile, ki deluje v smei poti. Delo je toej A= F l cos( α) =1 N 5m cos(6 ) = 5 J. Ugotovimo, da je za izačun dela pimena upoaba skalanega podukta A= F l. SLIKA: Pemikanje vozička s kostantno silo a) v smei poti in b) pod kotom 3 na sme poti. Kaj pa dugi del sile? Ta sila je usmejena pavokotno na sme poti in ima za posledico tenje po ploskvi. In koliko enegije potebujemo za pemik na poti 5 m? En del te enegije je očitno delo 5 J, ki se odaža v spemembi kinetične enegije vozička, dug del enegije pa potebujemo za pemagovanje sile tenja. Za točen izačun bi toej moali poznati še enegijo, ki se poabi pi tenju vozička s podlago. Delo pi poljubni smei in velikosti sile in poti. Kaj pa če sila ni konstantna na poti in poleg tega ne deluje vedno v isti smei glede na pot? Potem lahko zapišemo delo le za en mali (difeenčni) odsek, da dobimo tisti del sile, ki deluje v smei poti pa upoabimo skalani podukt. Difeenčni del sile na poti l je toej A= F l. Z limitianjem dobimo iz difeenc difeencial: da = F dl, celotno delo pa je seveda integacija po poti od začetne točke do končne točke: A= da= F dl. L SLIKA: Delo sil po poljubni poti. Delo elektične sile. Kako pa izačunamo delo elektičnih sil (A e ) na naboje? Na popolnoma enak način. Upoštevamo, da je sila na naboj v elektičnem polju enaka F = Q E, toej bo delo za pemik naboja v elektičnem polju iz točke T 1 v točko T enako 1/5 DK

76 DELO IN ENERGIJA(1).doc 3/11/6 T T A = A = QE dl = Q E dl. e 1 T1 T1 1. Pime: Vzemimo dva pozitivna naboja oddaljena za 1 cm z množino naboja 1 nc. Koliko dela opavi naboj (zunanji vi) za pemik na polovično azdaljo? Odgovo: naboja postavimo vzdolž X osi, desni naboj se pemakne za azdaljo,5 cm Q v levo. Na desni naboj deluje elektično polje E = e x, dl pa je usmejen v 4 πε (1cm) smei X osi 1. SLIKA: Razlaga pozitivnega podznaka pi difeencialu poti. Delo je: T x=,5cm,5cm Q Q 1 A = QE dl = Q e ( e dx) = = x 1 x x 4 πε ( x) 4πε T x = cm Q 1 1 Q Vs = = 9 1 ( 1 1 C) 1 m 9 1 J 4πε x x1 4πε = =,5cm 1cm Am 1cm Dobljen ezultat je negativen, ka pomeni, da je moala biti neka zunanja sila (A z ), ki je opavila to delo. Veljati toej moa: A + A =. z e. Pime: Določimo delo za pemik desnega naboja v desno za,5 cm. Rezultat je T x= 1,5cm 1,5cm QQ Q 1 A1 = QE dl = e ( ) x exdx = = 4 πε ( x) 4πε x T 1 1 x1= 1cm cm Q 1 1 Q Vs (1 1 C) 1 m 3 1 J πε x x1 πε = = = = 4 4 1,5cm 1cm Am 3 Rezultat je pozitiven, saj polje opavi delo 3 µj: delec se pemakne v dugo točko pod vplivom elektične sile. 3. pime: Izačunajmo delo za enak pemik kot v pejšnjem pimeu le po dugi poti. Izbeimo to pot tako, da bo šla najpej v smei kota za 45, nato v smei adija do =,5 cm in nato nazaj za kot 45 do končne točke. edx 1 Kljub temu, da je dl usmejen v smei X osi ni njegova vednost x dl = e ( x ( x + dx)) = e. x x, pač pa /5 DK

77 DELO IN ENERGIJA(1).doc 3/11/6 Ugotovimo lahko, da je v smei kota ( dl = eϕ dϕ ) polje enako nič, saj je polje v vsaki točki usmejeno adialno. Toej je podukt integacije E dl v smei kota enak nič in je ezultat enak kot pej. Ugotovimo lahko, da je ezultat neodvisen od smei integacije. Delo po zaključeni poti. Ke je ezultat integacije polja neodvisen od poti lahko vzamemo dve poljubni poti in zapišemo E dl = E dl, integacija v naspotni smei pa bi spemenila pedznak integalu L1 L E dl = E dl = E dl. L L L1 SLIKA: Delo od točke T1 do točke T po poti L1 in poti L je enako. Integacija polja po zaključeni poti bo toej: E dl = E dl = E dl + E dl = E dl E dl =. L L1+ ( L) L1 L L1 L1 Pišli smo do pomembnega ezultata, da je kivuljni integal elektične poljske jakosti po poljubni zaključeni zanki enak nič: E dl =. L Pi tem je potebno biti peviden, saj smo doslej obavnavali le elektostatično polje, toej tako, ki se s časom ne speminja. Zgonji zapis je toej točen le za elektostatične polje. Ko bomo obavnavali dinamično polje bomo ugotovili, da je potebno zgonji zapis spemeniti dopolniti. Delo pi penosu naboja v neskončnost (kje je polje enako nič). Določimo še delo, če bi enega od nabojev pustili v neskončnost. Opavljeno delo bi bilo: 3/5 DK

78 DELO IN ENERGIJA(1).doc 3/11/6 Q Q 1 A = QE dl = Q e ( e d) = = 1 4 πε 1 1 ( ) 4πε T Q 1 1 Q = = 4πε 1 4πε 1 1 SLIKA: Delo pi penosu naboja od točke T do neskončnosti. Lahko ečemo, da je imel sistem ped penosom naboja v neskončnost določeno enegijo, ki se je nato poabila za penos. Ta (potencialna) enegija je bila avno enaka delu, potebnem, da se naboj penese v neskončnost. Če upoabimo simbol W za zapis elektične potencialne enegije, velja WT ( ) = Ae ( T T ) Delo, potebno za penos naboja Q od neke točke T do neskončnosti je enako elektični potencialni enegiji tega naboja v točki T. Pime 4: Določite elektostatično potencialno enegijo sistema dveh nabojev velikosti 1 nc oddaljenih za 1 cm. Izačun: Izačun smo že opavili, saj je ta enegija enaka delu polja za pemik enega od nabojev za pemik od začetne lege poti neskončnosti: Q 1 1 Q We = A1 = QE dl == = = 9µJ. 4πε 1 4πε T 1 1 Enegija sistema nabojev. Kolikšna pa je enegija sistema, če imamo več nabojev? Postopamo tako, kot da bi imeli najpej na mestu naboj Q 1, nato na svoje mesto oddaljeno od Q 1 za 1 pipeljemo iz neskončnosti naboj Q. Za to je potebno delo QQ 1 A = 1 QE dl =, da pipeljemo poleg še naboj Q 3 potebujemo delo 4πε T1 1 QQ 1 3 QQ 3 4πε πε 3. Enegija sistema teh nabojev bo toej QQ 1 QQ QQ πε 1 + 4πε πε 3. V nadaljevanju bomo ta ezultat pikazali še nekoliko dugače. Za postavitev naboja Q 1 na določeno mesto ne potebujemo nobenega dela, saj imamo pedhodno sistem bez nabojev in toej bez polja. V nadaljevanju pa seveda vsi nadaljnji naboji pispevajo k polju delu. 4/5 DK

79 DELO IN ENERGIJA(1).doc 3/11/6 SLIKA: Sistem teh nabojev z označenimi naboji in azdaljami med naboji. Delo kot azlika potencialnih enegij sistema. Imamo sistem nabojev poazdeljenih po postou in toej določeno elektično potencialno enegijo. Sedaj pemaknemo enega od nabojev iz izhodiščnega mesta T 1 na dugo mesto (T ) in pi tem opavimo določeno (pozitivno ali negativno) delo. Če je to delo pozitivno, je delo opavilo elektostatično polje, enegija sistema pa je bila po pemiku manjša kot ped pemikom. V naspotnem pimeu (delo negativno) moa delo opaviti neka zunanja sila, ka pomeni, da je končna enegija sistema večja kot ped pemikom. Delo potebno za pemik naboja od T 1 do T lahko toej določimo iz azlike potencialne enegije sistema ped in po pemiku: AT ( T) = W( T) W( T) 1 1 SLIKA: Delo je enako azliki potencialnih enegij sistema ped pemikom in po pemiku. 5/5 DK

80 POTENCIAL IN NAPETOST (13)b.doc 3/11/6 13. Potencial in napetost Elektični potencial. Ugotovili smo že, da je elektična potencialna enegija naboja Q na mestu T enaka delu pi penosu tega naboja od točke T v neskončnost ozioma do mesta, kje je enegija enaka nič: T( V= ) W ( T ) = Q E dl = Q E dl. T T Nomiano potencialno enegijo imenujemo elektični potencial T( V= ) WT ( ) VT ( ) = = Edl Q T Enota za potencial je J/C = V. Številčno je toej elektični potencial enak delu polja elektičnih sil za pemik enote naboja (1 C) od točke T do neskončnosti. Ali obatno: Če poznamo potencial v določeni točki, bo enegija potebna za penos naboja v polju elektičnih sil do te točke enaka poduktu naboja in potenciala: WT ( ) = QVT ( ) ali tudi, če se na mestu T nahaja naboj Q (ali pa ga na to mesto postavimo) in ga sila polja pemakne do mesta, kje je polje enako nič, pidobi enegijo WT ( ) = QVT ( ). SLIKA: Izačun potenciala z integacijo pispevkov nabojev. Pime: Določimo potencial v okolici točkastega naboja Q. In številsko za Q = 1 nc in = 1 cm. Izačun: Na določeno oddaljenost od naboja Q postavimo testni naboj Q t in določimo delo, pi penosu tega naboja od do neskončnosti: W() Q Q V() = = e ed Q = t 4πε 4πε Potencial naboja 1 nc v oddaljenosti 1 cm je 9 Q 9 V m 1 1 C V( = 1cm) = = 9 1 = 9kV. To pomeni, da bi bila enegija 4πε A s 1 m potebna za pemik naboja 1 C iz neskončnosti do azdalje 1 cm od naboja 1 nc enaka 9 kv.1 As = 9 kj. Ponovimo ta pomemben ezultat: potencial v okolici točkastega naboja se manjša z 1/ in je enak 1/11 DK

81 POTENCIAL IN NAPETOST (13)b.doc 3/11/6 Q V() = 4πε Potencial sistema točkastih nabojev. Ugotovili smo, da je potencial v okolici enega Q točkastega naboja enak V =, kje je azdalja od točke kje iščemo potencial do 4πε točke, kje se nahaja naboj Q. Ke velja supepozicija polja lahko tudi potencial določimo kot supepozicijo posameznih delnih pispevkov nomiane enegije. Za sistem točkastih nabojev bo toej potencial enak N = Q Q 1 Qi 4πε + 4πε + = 4πε =, 1 ( )... VT 1 i 1 i kje so 1, itd azdalje od naboja Q 1, Q, itd do točke T, kje ačunamo potencial. Pime: Določimo potencial v sedini med dvema točkastima nabojema Q = 1 nc oddaljenima za cm. Izačun: Q1 Q Q 9 V m 9-1 V = + = = C 1 m = 18 kv. 4πε 4πε 4πε 1cm A s 1 SLIKA: potencial na azdalji od točkastega naboja je enak delu polja za pemik enote naboja 1 C od azdalje do neskončnosti. SLIKA: Poazdelitev potenciala v okolici točkastega naboja. Potencial upada z 1/. Potencial sistema poazdeljenih nabojev. Za poazdelitev točkastih nabojev smo ugotovili, N 1 Qi da lahko potencial določimo kot vsoto V = 4πε =. i 1 Če je poazdelitev naboja zvezna moamo vzeti en mali del celotnega naboja in z limitianjem vsote delnih pispevkov dobimo i /11 DK

82 POTENCIAL IN NAPETOST (13)b.doc 3/11/6 1 4 lim N Qi dq V = πε = 4πε. Q i= 1 i po vseh Q-jih je azdalja od mesta, kje se nahaja dq do točke kje iščemo potencial. Odvisno od načina poazdelitve naboja (po povšini, volumnu, liniji) določimo potencial kot V V V = = = V A L ρ dv 4πε σ da 4πε q dl 4πε SLIKA: Izačun potenciala poazdeljenega naboja s seštevanjem (integacijo) delnih pispevkov dv. (na sliki je naisan difeencial naboja, točka T kje ačunamo integal in azdalja od dq do točke) Pime: Izačunajmo potencial vzdolž Z osi za enakomeno naelekten tanek oboč polmea a z nabojem Q, ki leži v avnini z =. Ke je naboj poazdeljen enakomeno po oboču lahko upoabimo enačbo q dl V =, ki jo zapišemo v obliki 4πε L Q π a π q a dϕ a Q V = π = = 4πε a + z 4πε a + z 4πε a + z Ugotovimo lahko, da je ačunanje potenciala v določeni točki podobno ačunanju elektične poljske jakosti, le da je običajno nekoliko bolj peposto. Pedvsem zato, ke je potencial skalana veličina, polje pa vektoska. Pogosto zato elektično polje določimo posedno, tako, da najpej izačunamo potencial, nato pa iz potenciala še elektično poljsko jakost. Kako, bomo spoznali v nadaljevanju. Potencialno polje je skalano polje. Potencial lahko določimo v vsaki točki postoa neodvisno od poazdelitve nabojev, medtem ko je enegija sistema vezana na poazdelitev nabojev v postou. Podobno toej kot azlika med silo med naboji in elektično poljsko jakostjo. Je pa za azliko od elektičnega polja, ki je vektosko polje, potencial skalana količina in tvoi skalano polje. Ekvipotencialne avnine. Če povežemo točke z enako vednostjo potenciala dobimo avnino, ki jo imenujemo ekvipotencialna avnina ali ekvipotencialna ploskev. V pimeu osamljenega točkastega naboja so ekvipotencialne ploskve kožnice, oz. v 3D povšine kogle. Običajno jih išemo tako, da je azlika med vsako naslednjo konstantna. 3/11 DK

83 POTENCIAL IN NAPETOST (13)b.doc 3/11/6 Pime: Določimo ekvipotencialne avnine v okolici točkastega naboja Q = 1 nc. Ugotovili smo že, da velja za potencial v okolici točkastega naboja enačba Q V() =. Ugotovili smo tudi, da je ta potencial na azdalji 1 cm enak 4πε V( = 1cm) = 9kV. Potencial 9 kv je toej enak v vseh točkah, ki so od točkastega naboja oddaljeni za 1 cm, ka pikažemo z lupino kogle (v D z kožnico) polmea 1 cm. Kje pa se nahajajo ekcipotencialne avnine s potenciali 8 kv, 7 kv itd.? Peposto: enačba, ki jo je potebno ešiti za ekvipotencialno avnino s potencialom 8 kv bo 9 9 Q kv = 8kV = Q/ ( 8 kv 4πε ) = m =,115 m = 1,15 cm 3 4πε 8kV Naslednja ekvipotencialka bo pi 7kV = 1,15 cm = 1, 85 cm itd.v splošnem nas 7 zanimajo ekvipotencialne avnine, kateih potenciali se azlikujejo za konstantno azliko napetosti, v našem pimeu za 1 kv). Za ekvipotencialne avnine v okolici točkastega naboja lahko ugotovimo, da se vstijo v geometijskem zapoedju. SLIKA: Pikaz ekvipotencialnih avnin za točkasti naboj. Elektična napetost. Ugotovili smo že, da lahko delo za pemik naboja med dvema točkama določimo iz azlike potencialne enegije. Če to delo opavi testni naboj 1 C govoimo o elektični napetosti med dvema točkama. Elektična napetost je toej številsko enaka delu polja elektičnih sil potebnem za penos enote naboja iz točke T 1 do točke T : U 1 T Qt E dl T AQ ( T1 T) WT ( 1) WT ( ) t T 1 = = = = E dl Q Q Q t t t T1 Ugotovimo lahko, da lahko elektično napetost določimo tudi kot azliko potencialov: 1 1 T U = V ( T ) V ( T ) = E dl E dl = E dl. T1 T T1 4/11 DK

84 POTENCIAL IN NAPETOST (13)b.doc 3/11/6 Kichffov zakon. Ugotovili smo, da elektično napetost med dvema točkama določimo z integacijo elektične poljske jakosti po poljubni poti od ene do duge točke. Obenem smo ugotovili, da je ta integal enak nič, če je pot zaključena sama vase. Toej bi lahko pisali: T 1 T T3 T 1 E dl = E dl = E dl+ E dl+ + E dl = U + U + + U = L T1 T1 T TN 1 1 N Ali tudi, vsota vseh napetosti po zaključeni poti (zanki) je enaka nič, ka je. Kichoffov zakon: N i= 1 U = i 5/11 DK

85 POTENCIAL IN NAPETOST (13)b.doc 3/11/6 OSNOVNI PRIMERI IZRAČUNA NAPETOSTI, POLJA IN POTENCIALA ZA: PLOŠČATI, VALJNI IN SFERIČNI KONDENZATOR: Ploščati kondenzato: dve avni vzpoedni naelekteni plošči. Pime: Ravni vzpoedni plošči povšine A = 5 8 cm sta oddaljeni za d = 1 cm in imata povšinsko gostoto naboja σ =± 5µC/m. Določimo polje, potencial in napetost med ploščama, pi čeme pedpostavimo homogenost polja med ploščama (polje neskončnih naelektenih avnin). SLIKA: a) Dve avni naspotno naelekteni plošči postavljeni v koodinatni sistem z nomalo v smei osi X. b) Napetost in polje med dvema avnima (naspotno) naelektenima ploščama. Izačun: Plošči postavimo v koodinatni sistem, ecimo tako, da je nomala na povšino v smei X osi in da ima leva elektoda pozitivni naboj. Elektično polje med ploščama je supepozicija polj dveh plošč in je enako 1 E e σ σ = x = ex. Napetost ε ε med ploščama dobimo z integacijo polja med ploščama: T d U = E dl = e σ σ x exdx d ε = ε T A s U =,1m = 56,5 kv. 1 V m 8,854 1 As Ugotovimo lahko, da celotni naboj na povšini niti ni pomemben za izačun napetosti pač pa le gostota naboja na povšini. Poleg tega lahko iz pimea ugotovimo, da je elektična poljska jakost med ploščama konstantna in enaka E = σ. Takemu polju ečemo tudi homogeno ε polje. Če v enačbi za napetost med ploščama zamenjamo σ E ε =, dobimo U U = E d ozioma E =. To sta enačbi, ki ju poznamo že iz sednješolske fizike. d Ugotovimo lahko, da sta enačbi ustezni za izačun polja ali napetosti, venda le v tem 1 Tu smo pedpostavili polje v okolici dveh naelektenih avnin. V esnici sta dve vzpoedni plošči omejenih dimenzij zato velja apoksimalcija le delno toej tedaj, ko je povšina plošč velika v pimejavi z azdaljo med ploščama. 6/11 DK

86 POTENCIAL IN NAPETOST (13)b.doc 3/11/6 konketnem pimeu, toej, za polje oz. napetost med dvema avnima ploščama. To seveda ne zmanjšuje pomembnosti izaza pač pa le opozajamo, da se ga ne bi upoabljalo nekitično. Če polje med dvema točkama ni homogeno, je potebno napetost med točkama izačunati s pomočjo integala elektične poljske jakosti po poti. To bomo pikazali z naslednjim pimeom (koaksialni kabel). Določimo še potencial med ploščama ploščatega kondenzatoja: če ozemljimo desno elektodo (elektodo, ki ima negativni naboj), bo potencial med elektodama () d V( x) = e σ σ x e dx ( d x) ε =. V( x= d) =, V( x= ) = U x x ε Če ozemljimo levo elektodo, bo potencial med elektodama: V( x) = e σ σ x exdx x ε = ε. V( x= ) =, V( x= d) = U x SLIKA: Levo: Ekvipotencialne avnine med in v okolici dveh naspotno naelektenih avnih plošč. Ugotovimo, da so med ploščama ekvipotencialne avnine enakomeno azmalnjene, v okolici pa ne. Desno: Vektoji elektične poljske jakosti skupaj z ekvipotencialnimi avninami in velikostjo elektične poljske jakosti (večje polje bolj deča bava). Za lažje opazovanje so vektoji polja enako veliki neodvisno od velikosti polja. Valjni kondenzato: Koaksialni kabel. Pime: Med žilo in oklopom začnega koaksialnega kabla je napetost kv. Določimo linijsko gostoto naboja na žili in oklopu te maksimalno elektično poljsko jakost, če je polme žile n = mm, o = 5 mm, z = 7 mm. Oklop je iz pevodnega mateiala. 7/11 DK

87 POTENCIAL IN NAPETOST (13)b.doc 3/11/6 SLIKA: Koaksialni kabel s piključitvijo napetosti med oklopom in žilo. Izačun: Najpej moamo pedpostaviti poazdelitev naboja na žili in oklopu. Pedpostavimo pozitivni naboj na žili (Q) in negativni na oklopu (-Q). Elektično poljsko jakost med žilo in oklopom določimo s pomočjo Gaussovega zakona. Na neki azdalji od osi kabla izačunamo petok el. polja skozi plašč valja in dobimo (na polje na adiju vpliva le zaobjeti naboj): ql q E π l = in E ε = πε ozioma q E = e πε Dobimo enak izaz kot za polje v okolici pemega naboja (naelektene pemice). Podobno bi izvajali, če bi si izbali enakomeno povšinsko gostoto naboja po povšini: σ A ( n ) σπn l σ n σ n E π l = in in E = = ozioma E = e. Enačba je ε πε l ε ε seveda enakovedna pejšnji, saj velja Q= q l = σ π n l, ozioma q= σ π n. Ali je povšinska gostota naboja enako velika na oklopu in na povšini žile? Odgovo je NE. Enako velik je celotni naboj, za gostoto naboja pa velja: Q ( n) = σn πn l= Qo = σo πo l, toej bo n σo = σn. o Pogosto nas zanima tudi gostota povšinsko poazdeljenega naboja. Iz izpeljanih enačb n E ( n) = σ π σ πε = ε ozioma σ = ε E ( ) n. n Napetost med oklopom in žilo določimo z integacijo polja med polmeoma: q q U= E ed = e ed = ln. πε πε n n n Zakaj integacija od n do in ne do z? Zato, ke integiamo polje, ki pa je znotaj žile in znotaj (pevodnega oklopa) enako nič! To lahko hito ugotovimo z azmislekom, da se pozitivni in negativni naboji pivlačijo in se zato pozitivni nabeejo na povšini žile, negativni pa na notanji stani oklopa. Z upoabo Gaussovega zakona na plašču valja z adijem, ki je velčji od polmea bi hito ugotovili, da je polje znotaj oklopa enako nič, saj je zaobjeti naboj vsota enako velikega pozitivnega in negativnega naboja. Zakaj integacija od n do in ne od do n? Zato, ke z integacijo v smei polja dobimo pozitivno napetost. Napetost bi lahko določili tudi kot azliko potencialov, pi čeme je potencial oklopa enak nič. Toej je U = V( n) V( ) = V( n) = E ed. In še izačun linijske gostote naboja: 1 As π8,854 1 πε 3 q= U = 1 V V m =,11µC/m. 5 mm ln ln mm n n 8/11 DK

88 POTENCIAL IN NAPETOST (13)b.doc 3/11/6 Elektično polje je maksimalno pi najmanjšem adiju, toej pi n : q U 3 Emax = e = e 1 V πε E max = = 1, 9 MV/m n n ln mln n Ponovimo pomembne ezultate iz tega pimea: napetost med žilo in plaščem koaksialnega kabla je q U = ln πε, n q U elektično polje pa E = e, ozioma E = e πε ln Povšinska gostota naboja je σ = ε E( n ). n. Slika: Elektična poljska jakost in potencial znotaj koaksialnega kabla. % PRIMER IZRISA POLJA IN POTENCIALA KOAKSIALNEGA KABLA S PROGRAMOM MATLAB e=8.854e-1; k=1/(4*pi*e); U=5; n=1e-3; z=3e-3; q=u**pi*e/(log(z/n)); R=:1e-4:z; E=zeos(length(R),1); V=E; E=q/(*pi*e)./R; V=q/(*pi*e)*log(z./R); fo i=1:1:length(r) if R(i)<n V(i)=U; E(i)=; end end %plot(r,v); xlabel(' Radij [m]'); ylabel(' Potencial [V]'); %figue; plot(r,e); xlabel(' Radij [m]'); ylabel(' El. poljska jakost [V/m]'); % IZRIS POLJA IN POTENCIALA NA ISTI SLIKI Z DVEMA OSEMA [ax ax1 ax]=plotyy(r,v,r,e,'plot'); axes(ax(1)); ylabel(' Potencial [V]'); axes(ax()); ylabel(' El. poljska jakost [V/m]'); set(ax1,'linestyle',':') set(ax1,'linewidth',3) set(ax,'linewidth',) 9/11 DK

89 POTENCIAL IN NAPETOST (13)b.doc 3/11/6 In še tetji tipični pime: sfeični kondenzato: Pime: Na povšini zemlje izmeimo elektično poljsko jakost 15 V/m, ki je usmejena v smei sedišča zemlje. Določimo napetost med zemljo in ionosfeo, ki je od povšine zemlje oddaljena pibližno 4 km. Določimo še povšinsko gostoto naboja. Polme zemlje je n = 637 km, ionosfee pa i = 641 km. Pedpostavimo zemljo in ionosfeo kot sfeični kondenzato. SLIKA: Podočje med povšino zemlje in ionosfeo pedstavimo kot velik kogelni kondenzato. Ke je polje na povšini usmejeno v smei sedišča zemlje pomeni, da je zemlja naelektena negativno glede na ionosfeo. Zemljo in ionosfeo pedstavimo kot sfeični kondenzato. Znano je, da je na povšini zemlje pesežek negativnega naboja, v ionosfei pa pozitivnega. Elektično polje kaže v smei centa zemlje in je (lahko z upoabo Gaussovega zakona) enako Q E = e. Napetost med ionosfeo in zemljo je 4πε n n n Q Q 1 Q 1 1 U= E ed= e ed= =. n i 4πε 4πε 4πε i i i 1 Q U 1 1 E ( = n) = e = e 15V/m e =. Sledi 4πε n n n i U = 15 V/m n = 15 V/m m 6 MV. n i 641 Gostota naboja na povšini zemlje je Q = E( n) 4πε n, Q Q E ( n) 4πε n σ = = = = E ( ) n ε. In ezultat: σ = 15 V/m ε = 1,33 nc/m. A 4π 4π n Pomembni ezultati za sfeični kondenzato: n Pi izačunu smo pedpostavili, da je zemlja oblike kogle. Ionosfea je del atmosfee zemlje, ki je ionizian zaadi adiacije sonca. Enegija, ki jo sonce oddaja v določenem spektu je tako velika, da lahko azbije molekule in jih ionizia. Potencialna azlika med zemljo in ionosfeo se ohanja z azelektitvami s stelami.več o tem: 1/11 DK

90 POTENCIAL IN NAPETOST (13)b.doc 3/11/6 V splošnem imamo sfeični kondenzato z notanjim polmeom n in zunanjim polmeom i = z : Q Polje v sfeičnem kondenzatoju je enako E =± e, napetost pa 4πε Q 1 1 U = 4πε n z ozioma 1 1 U = E( n) n. Povšinska gostota naboja je n z σ = E(na povšini) ε. 11/11 DK

91 PREVODNIK V POLJU (14).doc 15/1/7 14. Pevodnik v polju Že v pejšnjem poglavju smo ugotovili, da polja znotaj žile koaksialnega kabla ni, niti ga ni znotaj pevodnega oklopa koaksialnega kabla. Ali je to le posledica simetične poazdelitve naboja in upoabe Gaussovega zakona, ali je to splošna lastnost pevodnikov? Odgovo dobimo z azmislekom o lastnostih pevodnikov: dobe pevodnik ima to lastnost, da je tudi v pimeu nevtalnosti (bez pesežkov naboja) mnogo nabojev (elektonov), ki so zelo šibko vezani na jedo, ka pomeni, da jih že najmanjše polje lahko pemakne iz avnovesne lege. * Enegijsko so ti elektoni v pevodnem pasu, za azliko od izolatojev, kje elektonov v pevodnem pasu paktično ni. Polpevodniki so po lastnostih nekje vmes med pevodniki in izolatoji. Njihove lastnosti speminjamo z dodajanjem pimesi. Čisti silicij je tako izolato, z dodatkom atomov fosfoja, ki se (z difuzijo pi visoki tempeatui) vgadijo v kistalno stuktuo silicija pa postane tak kos silicija pevoden. Siliciju z dodatki fosfoja ečemo n-tip polpevodnika, ke atomi fosfoja dopinesejo k dodatku šibko vezanih elektonov, ki so negativni naboji. Poznamo tudi p-tip polpevodnikov, pi kateih siliciju (ali dugemu polpevodniku) dodajamo atome np. boa, ki s kistalno stuktuo silicija tvoijo vezi v kateih nastanejo vzeli (nezaključene vezi). Te vezi delujejo kot pomanjkanje elektonov. Tudi p-tip polpevodnika je pevoden, venda je način pevajanja nekoliko dugačen kot v n- tipu. Smatamo lahko, da v takem tipu polpevodnika pevajajo pozitivni nosilci naboja, ki jih imenujemo vzeli. Novo avnotežje. Če pevodnik postavimo v elektično polje, na šibko vezane elektone deluje sila, v skladu z zvezo F = Q E. Šibko vezani elektoni se toej pomaknejo v naspotni smei polja (ke so negativnega pedznaka) do oba pevodnika. 1 Koliko pa se jih pomakne? Toliko, koliko zahteva zunanje polje, ozioma toliko, da se vzpostavi novo avnotežje, v kateem je znotaj pevodnika polje enako nič. E v pevodniku =. SLIKA: a) V zunanje polje vstavimo pevodnik. b) Po (hitem) pehodnem pojavu pide do peazpoeditve naboja (pesežka elektonov na eni stani in pomanjkanja na dugi stani) tako, da je polje znotaj pevodnika enako nič. 1 V esnici elekton ne pepotuje celotne azdalje od enega oba do dugega oba pevodnika pač pa se elektoni le zamaknejo med samo. Povpečna hitost elektonov v pevodniku je elativno počasna (eda...) in ji ečemo tudi hitost difta, saj med penosom tkajo z atomi v pevodniku tako, da njihova pot ni pemočtna pač pa se le v povpečju gibljejo v naspotni smei polja. Peazpoeditev, ki smo ji piča ko vstavimo pevodnik v polje pa je skoaj hipna. 1/4 DK

92 PREVODNIK V POLJU (14).doc 15/1/7 Polje znotaj pa tudi v okolici polpevodnika se spemeni ob peazpoeditvni naboja, saj na polje vplivajo tudi peazpoejeni naboji. Povšina polpevodnika je ekvipotencialna ploskev.če je polje znotaj pevodnika enako nič, potem bo tudi napetost med poljubnima dvema točkama znotaj pevodnika enaka nič, T saj velja U = E dl. To pa tudi pomeni, da imajo vse točke na pevodniku enak potencial 1 T1 in da je povšina pevodnika ekvipotencialna ploskev. Polje na nevtalno pevodno telo. Če deluje polje na nevtalno pevodno telo, pide znotaj tega telesa do peazpoeditve elektonov, ki se pemaknejo v smei polja in pustijo za sabo pomanjkanje elektonov oz. pozitivni naboj. Pesežkov pozitivnega naboja je enako veliko kot peazpoejenih elektonov, tako, da je vsota vseh nabojev znotaj telesa še vedno enaka nič. Peazpoeditvi naboja ečemo elektostatična indukcija. SLIKA: Peazpoeditev nabojev imenujemo elektostatična indukcija. Ali je polje znotaj votline pevodnika v katei ni nabojev azlično od nič? Če bi to polje obstajalo, potem bi imeli znotaj votline pevodnika ekvipotencialne ploskve in po Gaussovem zakonu bi moali z integacijo polja okoli ekvipotencialne ploskve dobiti količino zaobjetega naboja. Ke pa tega ni, je tudi polje enako nič. SLIKA: Ekvipotencialne avnine znotaj votline pevodnika. Polje kaže v smei manjšanja potenciala. Faadayeva kletka. Ugotovili smo že, da se v izvotljenem pevodniku postavljenem v zunanje elektično polje vzpostavijo take azmee, da na povšini pevodnika pide do peazpoeditve naboja, znotaj pevodnika in tudi v votlini pa je polje enako nič. Če hočemo del postoa elektično izoliati od okolice, ga moamo toej pevleči s pevodnikom, ki ga običajno ozemljimo. Omeniti velja, da je taka zaščita popolna za elektostatično (enosmeno) /4 DK

93 PREVODNIK V POLJU (14).doc 15/1/7 polje, za časovno spemenljivo pa ne popolnoma, odvisno od fekvence motenj in debeline zaščitne plasti. Okovinjenje ekvipotencialnih ploskev. Vzemimo pime poljubnih ekvipotencialnih ploskev med dvema pevodnima telesoma. Poljubno ekvipotencialno ploskev lahko okovinimo, ka pomeni, da pevodno telo azšiimo do te ekvipotencialne avnine, pa se polje med novima pevodnima telesoma ne bo spemenilo, če pidobi novo pevodno telo potencial okovinjene ekvipotencialne avnine. SLIKA: Okovinjenje ekvipotencialnih avnin ne spemeni azme (polja) med neokovinjenimi ekvipotecialkami. Elektično polje na obu pevodnika. Ugotovili smo že, da je ob pevodnika ekvipotencialna ploskev. To tudi pomeni, da na obu ne moe obstajati komponenta polja, ki je usmejena vzdolž oba pevodnika. Taki komponenti ečemo tangencialna komponenta, pavokotno na povšino pa je nomalna komponenta. Če bi tangencialna komponenta polja obstajala, bi to polje delovalo na šibko vezane elektone v kovini in jih pemaknila v novo avnovesno lego. Velja toej: E t (na obu pevodnika) =. Poleg tega smo na teh pimeih (ploščati, valjni in kogljeni kondenzato) ugotovili, da je polje na povšini pevodnika enako σ / ε. Ali to velja splošno? DA. Polje na povšini polpevodnika je usmejeno v smei nomale na povšino in je enako 3 E na povšini pevodnika = e σ n ε. *Sila na povšini pevodnika. Če je na povšini pevodnika elektično polje, toej moa na naboje na povšini delovati sila, pač v skladu z F = Q E. Upoštevati je potebno elektično polje na naboje σ, ki je posledica ostalih nabojev na pevodniku. To polje je enako polovici Znano je, da avto smatamo kot pecej vanega ped udaom stele, ke je njegova kaoseija iz pevodnika. Podobno velja za letala, kje pa je kljub temu potebna pazljiva dodatna zaščita elektonike ped udai stel. Poleg tega so modena letala lahko zgajena iz nepevodnih kompozitnih mateialov (zaadi večje tdote in manjše teže), ki jim je avno zaadi nevanosti stel potebno vgaditi dodatno pevodno plast. 3 Za bolj natančno azlago glej A.R.Sinigoj: Osnove elektomagnetike. 3/4 DK

94 PREVODNIK V POLJU (14).doc 15/1/7 celotnega polja na povšini pevodnika 4 σ oz.. Sila na naboje σ je ploskovna sila (ali ε pitisk) in je enaka fe = e σ n. Celotno silo na objekt pa bi dobili z integacijo ploskovne sile ε 1 po celotni povšini Fe = σ da ε. A 4 Dugače povedano, elektična poljska jakost na povšini pevodnika velja pavzapav tik nad povšino, medtem, ko je elektična poljska jakost na naboje σ na povšini pevodnika enaka povpečni jakosti v notanjosti in zunanjosti: Ke je v notanjosti polje enako nič, je polje na mestu nabojev enako σ ε. 4/4 DK

95 ZVEZA MED E IN V (15).doc 15/1/7 15. Zveza med E in V Če poznamo elektično polje v postou, lahko z integacijo polja izačunamo potencial v točki ozioma: T( V= ) VT ( ) = Edl. T Vpašajmo se, ali lahko tudi iz znane poazdelitve potenciala določimo elektično polje? Odgovo je seveda pitdilen, upoabiti pa je potebno naspotno opeacijo od integacije. 1 Najpej zapišemo difeencial potenciala kot dv = E dl. Vzdolž ekvipotencialne ploskve je elektična poljska jakost enaka nič. Toej je elektična poljska jakost pavokotna na ekvipotencialne ploskve: E = e E = e n n n V n, kje je e n nomala na ekvipotencialno ploskev. SLIKA: Elektična poljska jakost kaže v smei upadanja potenciala in je toej pavokotna na ekvipotencialne avnine. Če želimo ugotoviti velikost polja v smei koodinat pa upoabimo pacialno odvajanje po posameznih koodinatah: 1 Iz matematičnega piočnika lahko ugotovimo sledečo zvezo: T d dx x f () t dt = f( x) potenciala bi lahko pisali tudi V ( T ) = E dl = ( Ex dx + Ey dy + Ez dz) E x V =, itd. x Simbol x T( V= ) T( V= ) je simbol za pacialen odvod po x-u. Razlika med totalnim odvodom d T dx. Glede na definicijo, od kode sledi in pacialnim je v tem, da pi pacialnem odvodu odvajamo izaz pacialno, toej le po eni spemenljivki (v konketnem pimeu po x-u), vse ostale spemenljivke pa so v smislu odvajanja konstante. 1/3 DK

96 ZVEZA MED E IN V (15).doc 15/1/7 V Ex = x V Ey = y V Ez = z Če zdužimo posamezne komponente polja v vekto elektične poljske jakosti, ga v katezičnih koodinatah zapišemo kot: V V V E = ( Ex, Ey, Ez) =,,. x y z V V V E = E, Eϕ, Ez =,, ϕ z. Za cilindični koodinatni sistem velja ( ) Za sfeični koodinatni sistem velja E ( E Eϑ Eϕ) V V V =,, =,,. ϑ sin( ϑ) ϕ SLIKA: Večja gostota ekvipotencialnih avnin pomeni večjo elektično polje na tistem mestu ozioma, zgoščenost ekvipotencialnih ploskev je meilo za velikost polja. V V V * Enačbo E =,, lahko zapišemo tudi kot E =,, V x y z, kje je zapis v x y z oklepaju opeato odvajanja, ki ga imenujemo nabla in pišemo s simbolom ali pa z imenom gadient. Zvezo med potencialom in poljem lahko toej zapišemo kot E = V = gad( V). Ge toej za opeato, ki skalanemu polju piedi vektosko na tak način, da kaže v smei zmanjšanja potenciala, po velikosti pa je enak (kajevni) hitosti speminjanja polja. Pime: Elektični potencial v postou je določen z enačbo V( x, y, z)/v= 4xy z. Določimo elektično poljsko jakost iz potenciala. Izačun: /3 DK

97 ZVEZA MED E IN V (15).doc 15/1/7 E E x y V = = 4y x V = = 4x y V Ez = = ( z) = 4z z E = 4 y, 4 x,4z. ( ) SLIKA: Elektična poljska jakost kaže sme in hitost upadanja potenciala. 3/3 DK

98 GIBANJE NABOJEV (16).doc 3/11/6 16. Gibanje nabojev v elektičnem polju Če se naboj nahaja v elektičnem polju in ima možnost gibanja, se giblje v skladu s silami, ki delujejo na naboj. V splošnem velja enačba gibanja ma F, kje pod vsoto vseh sil upoštevamo elektično, mehanično, kemično silo itd. Mi = i i se bomo pedvsem posvetili elektični sili na naboje. V tem pimeu gibanje naboja določimo z upoštevanjem zveze: ma = QE V splošnem je pospešek a vekto, ki ima ti komponente, in je enak odvodu hitosti, ta pa odvodu poti, toej d d ma = m = QEt (, ) ali na katko m = QE. V splošnem dt dt moamo tajektoijo gibanja delcev določiti s pomočjo eševanja sistema teh difeencialnih enačb. Pogosto pa je mogoče določiti pozicijo delca z upoabo osnovnih zvez, ka bomo pikazali ka na pimeu. Pime: V homogeno polje V/m usmeimo elekton s hitostjo 1 6 m/s, ki vpade pečno na sme polja. Določimo odklon elektona iz vpadne smei po peletu polja za 1 cm. Izačun: Elekton nadaljuje pot v smei leta ped vpadom v polje s hitostjo 1 6 m/s, za x 1cm 8 1 cm poti pa potebuje časa 6 1 t = = = s. Obenem v pečni smei nanj vx 1 m/s deluje elektična sila in toej pospešek 19 3 Qe E 1,6 1 As 1 V/m 14 ay = = = -31 3,5 1 m/s, odklon v tej smei pa bo enak m 9,1 1 kg ( ) ,5 1 m/s 1 s ay t y = = = 17,58 mm. SLIKA: Elekton pileti v elektično polje in se ukloni. In kako je z enegijo tega delca med gibanjem? Zgonjo enačbo integiamo v smei poti in dobimo 1/ DK

99 GIBANJE NABOJEV (16).doc 3/11/6 m a dl = Q E dl T T T1 T1 Če izvajanje poenostavimo le na gibanje v eni smei (ecimo X), se zgonja zveza poenostavi v T T T T dv dx mv mv1 m dx = m dv = m v dv = Q E dl dt dt iz česa sledi = Q ( V( T1) V( T) ). T1 T1 T1 T1 V splošnem pa bo v = ( v + v + v ). Če to zvezo napišemo nekoliko dugače, dobimo x y z mv1 mv + QVT ( 1) = + QVT ( ) ozioma W ( T) + W ( T) = W ( T ) + W ( T ) kin 1 pot 1 kin pot Z besedami: Enegija se ohanja,med gibanjem pa se lahko petvaja iz kinetične v potencialno ali obatno. Na naboj, ki se giblje v smei polja deluje pospešek, toej sem mu povečuje kinetična enegija. Pime: Elekton pileti s hitostjo 1 6 m/s v zavialno homogeno polje, ki ga vzpostavimo z napetostjo med elektodama oddaljenima za 1 cm. Določimo potebno napetost med elektodama, da se bo delec ustavil na polovici azdalje med elektodama. mv 1 Izačun: Na začetku bo imel elekton le kinetično enegijo, potencialna enegija pa je enaka nič. Ko se elekton ustavi na sedini med elektodama, bo njegova U kinetična enegija enaka nič, potencialna pa bo enaka Q. Potebno napetost toej določimo iz izenačitve enegij na začetku in na koncu (ko se elekton ustavi na polovici azdalje med elektodama je njegova hitost enaka nič): mv1 U = Q mv 9,1 1 kg ( 1 m/s) 1 U = = = 5,69V. 19 Q 1, 6 1 As Iz ezultata ugotovimo, da je azdalja med elektodama nepomembna, pomembna je le napetost med elektodama. Zakaj? Kaj se»zgodi z elektonom po ustavitvi«? Polje ga bo pospešilo nazaj in izstopil bo iz polja z enako hitostjo, kot je v polje vstopil. Kako velika je elektična sila v pimejavi s silo gavitacije? Vzemimo ka pvi pime in pimejajmo velikost sile polja in sile gavitacije, če je elekton v polju kv/m: 19 3 Fe Qe E 1, = = = 3, F m g 9,1 1 9,8 g Ugotovimo, da je v tipičnih pimeih (že pi majhnem elektičnem polju) elektična sila mnogo večja od gavitacijske. / DK

100 ELEKTRICNI DIPOL (17).doc 15/1/7 17. Elektični dipol En pomembnejših konceptov v teoiji elektičnega polja je koncept elektičnega dipola. S tem konceptom azložimo vpliv in delovanje elektičnega polja v snovi, ka je seveda zelo pomembno. Do sedaj smo bili sposobni ugotavljati le polje v vakuumu, ka pa v veliki mei velja tudi za zak. Poleg tega smo ugotovili, da elektičnega polja v pevodnikih ni, da je lahko le na povšini pevodnika in še to na zunanji povšini. Tam je polje soazmeno povšinski gostoti naboja. Če nevtalni pevodnik postavimo v elektično polje, pide v pevodniku do peazpoeditve naboja, pi čeme se elektoni pemaknejo (zamaknejo) v naspotni smei polja. Ti zamiki potekajo toliko časa, da se v notanjosti pevodnika vzpostavi polje, ki je enako nič. Pevodni delec tako dobi enovit potencial. Pesežek pozitivnega naboja lahko konceptualno zdužimo v pozitivni točkasti naboj, pesežek negativnega pa v točkasti negativni naboj. Ta naboja sta azmaknjena za neko fiksno azdaljo, ki jo lahko opišemo z vektojem, ki kaže od negativnega v smei pozitivnega naboja. Velja opozoiti, da je ta sme avno naspotna smei polja, ki ga povzočata naboja. SLIKA: Pevodnik v elektičnem polju. Peazpoeditev naboja lahko ponazoimo z dvema točkastima nabojema povezanima s fiksno azdaljo, ka ponazoimo s konceptom elektičnega dipola. Dipolni moment imenujemo podukt naboja Q in vektoja d, ki je distančni vekto od naboja Q do naboja Q in ga zapišemo s simbolom p : p = Q d Pime: Vzdolž daljše osi ovalnega pevodnika dolžine 5 mm se peazpoedi 1 1 elektonov. Ponazoimo pevodnik v obliki elektičnega dipola in določimo njegov dipolski moment. p = Q d = 1 1,61 C51 m= 81 C m. Polane in nepolane molekule. Ni pa nujno potebno, da dobimo elektični dipol le pi vstavitvi pevodnika v elektično polje. Določena snov, molekula je lahko že sama po sebi taka, da ima neenakomeno poazdeljen naboj v svoji okolici. Tipičen pime je molekula vode (H ), ki ima vodikova atoma azmaknjena od sediščnega kisikovega za kot 14. Zakaj 1/7 DK

101 ELEKTRICNI DIPOL (17).doc 15/1/7 avno tak kot? Izkaže se, da ta kot omogoča minimalno enegijsko stanje molekule. Zaadi nehomogene poazdelitve naboja je elektični dipolski moment molekule vode 1,9 1-9 Cm. Molekula vode ima toej vgajen dipolni moment, ečemo tudi, da je polana molekula (ima pozitivni in negativni pol) v naspotju z nepolanimi, kje je naboj molekule poazdeljen tako, da je navzven nevtalna. Lahko pa nepolana molekula postane bolj ali manj polana, če jo postavimo v elektično polje. Temu efektu ečemo polaizacija. SLIKA: Polana in nepolana molekula. Dipol v elektičnem polju. Kako se obnaša elektični dipol v elektičnem polju. Nanj deluje F = F + F = Q E + ( Q) E = Q E E. elektična sila, ki je enaka Q Q Q Q ( Q Q) SLIKA: Dipol v homogenem in nehomogenem polju. Če je polje homogeno, je EQ = E Q in skupna sila na dipol je enaka nič. Deluje pa sila na oba naboja dipola v naspotni smei, tako, da bo delovala z navoom na dipol v taki smei, da bi dipol usmeila v sme polja. Če pa je polje nehomogeno, na dipol deluje poleg navoa tudi skupna sila, ki je azlična od nič in deluje v smei večjega polja. Te sile so običajno zelo majhne, kljub temu pa jih je mogoče koistno izabiti. SLIKA: Sile na dipole usmeijo dipole v sme polja. Pime semenk v enosmenem polju velike vednosti. * Pime je ecimo koncentianje mikonskih in submikonskih delcev v nehomogenem elektičnem polju. To se upoablja pedvsem za manipulacijo bioloških celic, kje s pomočjo mikoelektonske tehnologije ustvaimo zelo majhne elektode, ki imajo avne in»oste«obove. Vzpostavitev napetosti med takima dvema elektodama vzpostavi polje med njima, ki je izazito nehomogeno in večje v okolici oste elektode. Če se med elektodama znajde /7 DK

102 ELEKTRICNI DIPOL (17).doc 15/1/7 delec, se polaizia, nato pa nanj deluje sila v smei»oste«elektode. Še bolj pogosta pa je manipulacija nevtalnih delcev (bioloških celic) z vzpostavitvijo izmeničnega elektičnega polja. V tem pimeu lahko s speminjanjem fekvence elektičnega polja vplivamo na polaizabilnost molekul. Pi določeni fekvenci se ustvaja večji ali manjši dipolni moment, odvisno od tega, kako hito so se sposobni peoientiati naboji v elektičnem polju. Zagotoviti je potebno, da so elektične lastnosti polaizacije delca azlične od lastnosti polaizacije delca. Če je to zagotovljeno, bo delec pi določenih fekvencah vzbu jalnega signala ustvajal dipolni moment, ki je v smei polja, pi dugih pa dipolni moment, ki je usmejen v naspotno sme kot polje. S fekvenco je toej mogoče vplivati na silo na delce v smei večjega polja ali pa v smei manjšega polja. Potencial v okolici elektičnega dipola. Potencial v okolici elektičnega dipola ni težko določiti, saj ge za vsoto dveh potencialov, potencial od pozitivnega in negativnega naboja. SLIKA: Elektični dipol v koodinatnem sistemu. Q Q Q 1 VT ( ) = = 4πε 4πε 4πε 1 1 Če je azdalja med nabojema dosti manjša od azdalje do točke T, lahko smatamo, da je in 1 dcos( ϑ). Enačbo toej lahko zapišemo v obliki 1 Qd cos( ) p cos( ) VT ( ) = ϑ ϑ 4πε = 4πε. p * Pogosto se zgonjo enačbo zapiše tudi v obliki VT ( ) = 3 4πε Potencial v okolici dipola se manjša s kvadatom azdalje od dipola. Elektično polje dipola. Elektično polje bi lahko določili iz pepostega seštevanja pispevkov obeh nabojev. Ke pa je polje vekto, bi imeli nekoliko več dela kot pi seštevanju V V V potencialov. Bolj elegantna pot je s pomočjo gadienta polja, saj velja E =,, x y z V V V ozioma v sfeičnih koodinatah E = ( E, Eϕ, Ez) =,, ϕ z, toej V pcos( ϑ) E = = 3 πε 3/7 DK

103 ELEKTRICNI DIPOL (17).doc 15/1/7 E ϑ V = = ϑ E ϕ =. psin( ϑ) 3 4πε Ugotovimo lahko, da polje v oddaljenosti od dipola upada s tetjo potenco. (To je zelo hito) SLIKA: Potencial in polje v okolici elektičnega dipola. Navo na elektični dipol. Ugotovili smo že, da na elektični dipol v zunanjem elektičnem polju deluje sila, ki želi usmeiti (zavteti) dipol v smei polja. Kako pa bi določili navo na dipol v zunanjem elektičnem polju? Peposto, po definiciji za navo M = F Opozoiti velja, da je pi vektoskem poduktu pomembno, katei vekto nastopa pvi, saj je ezultat vektoskega podukta vekto, ki kaže sme navoa (vtenja). Pavilno toej dobimo sme navoa tako, da vekto adija (očice) zavtimo v smei sile v smei najmanjšega kota. Velja toej M = en F sin( ϑ), kje je sme nomale sme, ki je pavokotna na povšino, ki jo določata vektoja in F. SLIKA: Elektični dipol v homogenem polju. Nanj deluje navo. Navo na pozitivni in negativni naboj je d d d d ( ) Qd M = F + F = QE + QE = E + E ( ) Q Q Q Q Q Q Če upoštevamo katko azdaljo med nabojema, lahko smatamo, da je polje na pozitivni naboj enako polju na negativni naboj (lokalno homogeno polje) in navo na dipol bo enak M = Qd E = p E. 4/7 DK.

104 ELEKTRICNI DIPOL (17).doc 15/1/7 Ponovimo ezultat: navo na dipol je enak vektoskemu poduktu elektičnega dipolskega momenta in jakosti polja. Rezultat je vekto, ki opisuje sme vtenja. M = p E. Pime: Potencial se speminja vzdolž X osi v skladu z enačbo V = V m. Pi x = x 6 1 cm se nahaja elektični dipol z momentom p = 1 (1,,) C/m. Določimo navo na dipol. SLIKA: Elektično polje in dipol v polju. Izačun: Elektično polje ima le komponento v smei X osi, ki je enaka V Ex V m 6 V = =. Pi x = 1 cm je polje enako E x = V m = 1, x x 1cm m -6 6 V navo pa je M = p E = ( 1,,) 1 C/m 1,, =(,, 4) N m. m * Način izačunavanja sile na dipol iz spemembe elektične enegije. Podobno, kot smo poiskali zvezo med potencialom in elektično poljsko jakostjo kot T( V= ) V V V VT ( ) = Edl E=,, x y z T saj velja lahko najdemo tudi povezavo med enegijo in silo, T( W= ) W W W WT ( ) = Fdl F=,,. Ta način je pogosto upoabljen tudi pi x y z T numeičnemu izačunavanju, kje izačunamo poazdelitev polja, potenciala in enegije s pomočjo ačunalnika. Za izačun sile je potebno izačun opaviti x, vsakič na tak način, da ahlo zamaknemo stuktuo (v našem pimeu dipol) za neko majhno azdaljo in vsakič izačunamo polje in enegijo. Silo pa nato izačunamo kot difeenco W W W F,,. x y z * Izačunavanje sile na dipol iz spemembe elektične poljske jakosti. Postavimo dipol vzdolž in v smei X osi. Na naboj Q deluje polje E x in toej sila Q Ex na naboj +Q, ki je dex od Q oddaljen za azdaljo dx, pa polje E x +dx ozioma Ex + dx, sila pa bo dx 5/7 DK

105 ELEKTRICNI DIPOL (17).doc 15/1/7 dex Q Ex + dx. Če je polje nehomogeno, se bosta polji azlikovali, toej bo na dipol dx dex delovala ezultančna sila v smei osi X, ki bo enaka Q dx, ka lahko pišemo tudi kot dx dex dex F = x Q dx p dx = dx, kje smo Q dx zapisali z dipolnim momentom p. Enačba, ki smo jo zapisali velja le, če dipol leži vzdolž X osi in nanj deluje polje v smei X osi. V splošnem je potebno upoštevati možnost, da je dipol usmejen poljubno. Toej bo potebno silo na dipol v smei osi X izačunati kot dex dex dex Fx = px + py + pz in na enak način tudi sili v smei osi Y in Z. dx dy dz Enegija otacije dipola. W = M dα = p E. Pime: kolokvij Z os X os SLIKA: Ekvipotencialne ploskve (kivulje v D) elektičnega dipola, ki leži v koodinatne izhodišču in je usmejen navzgo. % dipol.m fo Veq=:1:1 p=1e-8; eps=8.854e-1; k=p/(4*pi*eps*veq); theta=:pi/1:pi; =sqt(k.*cos(theta)) x=.*sin(theta); y=.*cos(theta); plot(x,y,-x,y,-x,-y,x,-y) set(findobj('type','line'),'colo','k') xlabel('x os'); ylabel('z os') axis equal hold on end figue; k=p/(4*pi*eps); =:.1:1; V=k./.^ plot(,v) xlabel('z os'); ylabel('potencial / V') 6/7 DK

106 ELEKTRICNI DIPOL (17).doc 15/1/7 x Potencial / V Z os SLIKA: Potencial vzdolž Z osi ; IZRAČUN POTENCIALA V OKOLICI DIPOLA p=1e-8; eps=8.854e-1; k=p/(*pi*eps); [x,z] = meshgid(-1:.1:1); 6 =sqt(x.^+z.^); Z os theta=acos(z./); V=k*cos(theta)./.^/; veq=[ ]; contou(x,z,v,veq); X os SLIKA: Dug način izačuna polja v okolici dipola: določimo mežo točk na X in Z osi in v teh točkah izačunavamo potenciale, ki jih nato pikažemo gafično. E E ϑ V pcos( ϑ) = = 3 πε V psin( ϑ) = = 3 ϑ 4πε 7/7 DK

107 OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALK(18b).doc 15/1/7 18. Okovinjenje ekvipotencialnih avnin Ekvipotencialna avnina povezuje točke z enako vednostjo potenciala. Ugotovili smo, da je povšina pevodnika ekvipotencialna ploskev. Celo več, celoten pevodnik je na istem potencialu. Običajno išemo ekvipotencialne ploskve tako, da je med sosednjimi enaka potencialna azlika (napetost). Hiteje kot se kajevno speminja potencial, večja je elektična poljska jakost. Zgoščenost ekvipotencialnih avnin nam toej nakazuje zvečanost elektične poljske jakosti na tem mestu. Velja seveda tudi obatno: Večje polje ima posledično bolj zgoščene ekvipotencialne ploskve na tem območju. Sedaj se vpašamo: ali se azmee (poazdelitev polja in potenciala) med dvema ekvipotencialnima ploskvama spemeni, če ekvipotencialni avnini okovinimo, pi čeme okovinjena ekvipotencialka ohani vednost potenciala ekvipotencialke? Odgovo je NE, poazdelitev polja med okovinjenima ekvipotencialnika avninama se ne spemeni, saj je kovina sama kot pevodnik tudi ekvipotencialna avnina in če ohani potencial ekvipotencialke, se azmee ne spemenijo. SLIKA: Poazdelitev ekvipotencialk in okovinjenje ekvipotencialke. Razmee med ekvipotencialkama se ne spemeni. Sistem dveh pemih naspotno naelektenih nabojev. En najpomembnejših pimeov, ki ima tudi pecejšnjo paktično upoabo sledi iz okovinjenja ekvipotencialnih avnin sistema dveh pemih naspotno naelektenih nabojev. Toej sistema dveh vzpoednih tankih enakomeno naelektenih žic. Potencial v okolici ene same peme elektine je T( V= ) T( V= ) q q VT ( ) = Edl = e ed = ln( ) πε πε T T T T( V= ) Ugotovimo lahko, da zaidemo v težave, če vzamemo, da je točka, kje je potencial enak nič v neskončnosti, saj iz enačbe sledi ln( ) =. Toej bi bil potencial v neskončnosti neskončen. Poblem je v tem, da imamo pi enem samem pemem naboju opavka z enim samim neskončno azsežnim elektično nezaključenim sistemom, ka pa v ealnosti ni možno. Nekaj, ka v ealnosti ni možno, pogosto tudi v teoiji ne da smiselne ezultate. Temu poblemu se ognemo tako, da obavnavamo sistem dveh pemih naspotno naelektenih nabojev, azmaknjen za azdaljo s.. 1/6 DK

108 OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALK(18b).doc 15/1/7 SLIKA: Dva pema naboja vzdolž X osi. Vzemimo, da sta naboja položena na X osi simetično na Y os in potekata vzdolž Z osi. (Glej sliko). Potencial v točki T, ki je od naboja q 1 oddaljena za 1 in od naboja q za azdaljo, je sedaj vsota pispevkov obeh nabojev: T( V= ) T( V= ) q q q q ( q + q ) VT ( ) = ln( ) + ln( ) = ln( ) ln( ) + ln( TV ( = )), πε πε πε πε πε Če velja q1 = q = q je tetji člen v gonji enačbi enak nič in potencial enak q q q VT = =. ( ) ln( 1) ln( ) ln( ) πε πε πε 1 Potencial v točki T v okolici dveh naspotno naelektenih pemih nabojev bo toej enak q VT ( ) = ln πε 1 Sedaj lahko ugotovimo, da je potencial enak nič v neskončnosti (kje je 1 = ), pa tudi vzdolž Y osi (pi x = ). Ekcipotencialne avnine so kožnice. Poskušajmo določiti ekvipotencialne avnine sistema dveh naspotno naelektenih pemih nabojev. To pomeni, da iščemo točke, kje je = q ln πε 1 V ep ozioma 1 V ep πε q = e = k, kje je V ep potencial ekvipotencialke. Če upoštevamo, da je = ( x s) + y in 1 = ( x+ s) + y dobimo ( x s) + y ( x+ s) + y obliko = k in ( x s) y k (( x s) y ) + = + +. Po peueditvi lahko enačbo spavimo v /6 DK

109 OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALK(18b).doc 15/1/7 ( x p) y enačb dobimo + =, ka je enačba za kog polmea zamaknjen v X osi za p. S pimejavo k p = k + 1 s 1 k in = s k 1 te s = p. Pime: Poiščimo pozicijo ekvipotencialno avnino s potencialom V=3 za naboja q =± 1nC, ki sta azmaknjena za cm. določimo konstante V ep πε q k = e 5,31, p =-,15 in =, SLIKA: Ekvipotencialne avnine izačunane pi vednostih potenciala V = -3 V, - V, -1V, V, 1 V, V, 3 V, za pema naboja q =± 1nC. % ekvipot_peme.m q=1e-9; s=.; eps=8.854e-1; Veq=[-3,-,-1,.1,1,, 3]; %Veq=[3]; fo i=1:length(veq) k=exp(veq(i)**pi*eps/q); p=-(k^+1)/(k^-1)*s; =sqt(p^-s^); x=-5*s:.1*s:5*s; lx=length(x); y=sqt(ones(1,lx)*^-(x-ones(1,lx)*p).^); plot(x,y,x,-y); plot(x,y,x,-y); axis([-3*s 3*s -3*s 3*s]); axis equal; plot(-s,,'o');plot(s,,'o') hold on end 3/6 DK

110 OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALK(18b).doc 15/1/7 Dva valja piključena na vi napetosti. Namen vsega tega izvajanja ni bil samo določitev ekvipotencialnih avnin dveh pemih nabojev. Šele z okovinjenjem ekvipotencialk dobimo stuktue, ki so tudi v ealnosti zanimive. Ugotovili smo, da so ekvipotencialke za sistem dveh pemih nabojev kogi ozioma plašči valjev, ka pomeni, da je mogoče z okovinjenjem ekvipotencialk izačunati polje in potencial v okolici dveh naelektenih valjev s pomočjo sistema dveh pemih nabojev. Kaj je potebno naediti? Običajno poznamo napetost med valjema. Toej je potebno iz znane napetosti določiti lokacijo dveh nadomestnih pemih nabojev in njun naboj. Ko to določimo, lahko zelo peposto določimo tudi polje in potencial v okolici - (z analizo polja in potenciala v okolici dveh pemih nabojev). Če analiziamo dve simetični okovinjeni ekvipotencialki (povšina valja), je napetost med njima enaka dvojni vednosti potenciala ene od njih (na sedini med valjema je potencial enak nič): q s + d/ U = V( T1) V( T) = V( T1) = ln, kje je polme valja, d pa azdalja πε s d/+ d med geometijskima sediščema valja. Za ekvipotencialko, ki je povšina valja velja p = in = ka vstavimo v zvezo s = p in s določimo kot s = ( d/). Iz te enačbe toej lahko določimo lego naboja, ki pedstavlja v pimeu dveh pevodnih valjev le navidezni naboj znotaj valja. V esnici tega naboja ni, saj znotaj valja ni polja. Lahko pa analiziamo polje v okolici dveh valjev z določitvijo polja v okolici dveh pemih nabojev. Smiselne ešitve so le v postou zunaj in na povšini dveh valjev. Znotaj pevodnih valjev je pač polje enako nič. Postopek izačunavanja je toej sledeč: Če poznamo legi in napetost med dvema pevodnima valjema, lahko lego nadomestnih pemih nabojev določimo s pomočjo zveze s = ( d/), kje je s azdalja od sedišča med valjema (kje je potencial enak nič) do lege nabojev. Velikost naboja pa določimo iz enačbe za napetost q s + d/ U = ln πε s d/+. Pime: Naelektena valja polmea 4 cm sta azmaknjena za 1 cm. Med valjema je napetost kv. Določimo lego in velikost navideznih nabojev. Izačun: d = 1cm+ 4cm = 18cm. s= ( d/ ) = 7 4 cm = 8,6 cm. kv q ln 8, = πε 8, iz česa sledi q = 3, C/m. Določimo še polje na sedini med valjema: 4/6 DK

111 OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALK(18b).doc 15/1/7 q E = ex = e 171 k V/m. πε 8,6 1 m 7 3,833 1 C/m x s πε In kolikšno bi bilo za pimejavo polje med avnima ploščama oddaljenima za 1 cm U kv in piključenima na napetost kv? E = = = kv/m. Ugotovimo, da je d,1 m polje na sedini med valjema manjše od polja enako azmaknjenih vzpoednih plošč. Je pa zato večje polje na povšini valjev. Določite ga sami! Izačun potenciala in polja vzdolž osi X s pomočjo pogama Matlab. 1.5 x 14 1 Potencial / V Polje / V/m Razdalja / m x Razdalja / m % pot_peme.m q=1e-9; s=.; eps=8.854e-1; x=-5*s:.1*s:5*s; 1=x+s; =x-s; V=q/(pi*eps)*log(./1) E=q/(*pi*eps)*(1./1-1./) plot(x,v); xlabel('razdalja / m'); ylabel('potencial / V'); figue; plot(x,(e)); axis([-*s *s -1e5 1e5]) xlabel('razdalja / m'); ylabel('polje / V/m'); 5/6 DK

112 OKOVINJENJE EKVIPOTENCIALK(18b).doc 15/1/7 Duge stuktue, ki jih lahko analiziamo z okovinjenjem ekvipotencialk dveh pemih nabojev: a) dva valja z azličnima polmeoma b) en valj v dugem (koaksialni kabel z ekscentom) c) valj nad pevodno avnino zemljo Posebno zanimiv je tetji pime, pime valja nad zemljo. Ge nameč za pomembno stuktuo, ki jo sečamo v našem vsakdanu, za elektotehnika pa je še posebno zanimiva za daljnovodno žico nad zemljo. To bomo obavnavali v posebnem (naslednjem) poglavju. SLIKA: Pimei možne analize stuktu izhajajočih iz okovinjenja ekvipotencialk naspotno naelektenih pemih nabojev. 6/6 DK

113 METODA ZRCALJENJA(19).doc 15/1/7 19. Metoda zcaljenja V pejšnjem poglavju smo ugotavljali, da so ekvipotencialne ploskve v okolici dveh naspotno naelektenih pemih nabojev kožnice ozioma plašči valjev. Ena od kožnic je tudi avnina med nabojema, v obavnavanem pimeu avnina x = (kožnica z neskončnim adijem). Obenem smo ugotavljali, da lahko poljubne ekvipotencialne ploskve okovinimo in s tem ne spemenimo azme (polja) med okovinjenimi ploskvami. Če je ena od okovinjenih ekvipotencialnih ploskev avnina x =, lahko v tem pimeu pepoznamo možnost analize vodnika nad pevodno avnino zemljo. Tako stuktuo potem analiziamo na način, da naboj zcalimo peko avnine, kje ima naspoten pedznak. SLIKA: Zcaljenje nabojev: točkasti naboj, pemi naboj, dipol, linijski na boj, povšinski naboj. Valj nad zemljo. Pime je zelo podoben pejšnjemu, le da v tem pimeu okovinimo eno ekvipotencialko, ki ima adij in eno, ki ima neskončen adij (avnino v osi Y kje je potencial enak nič). Tudi ta pime lahko analiziamo z dvema naspotno naelektenima pemima nabojema. En od teh se nahaja»pod zemljo«, zato pavimo, da analiziamo pime naelektenega valja nad zemljo s pomočjo metode zcaljenja. To pomeni, da moamo v pimeu analize pemega naboja nad zemljo za izačun postaviti še navideznega zcalno na avnino zemlje. Zcalni naboj ima naspotni pedznak od tistega nad zemljo. SLIKA: Valj nad zemljo: okovinjenje ekvipotencialke z adijem in avnine x =. 1/7 DK

114 METODA ZRCALJENJA(19).doc 15/1/7 Napetost med valjem in zemljo določimo podobno kot v pejšnjem pimeu, le da je sedaj q s + d/ VT ( ) = in je U = V( T1) V( T) = V( T1) = ln. Razlika v izazu je le v πε s d/+»polovički«. Lego navideznega naboja določimo enako kot pej: s = ( d/), kje je d/ azdalja med geometijskim sediščem valja in zemljo, o pa polme valja. Pime: m nad zemljo se nahaja daljnovodna vv polmea cm z nabojem q = 3 nc/m. Določimo napetost med vvjo in zemljo, elektično poljsko jakost na povšini zemlje tik nad vvjo te povšinsko gostoto naboja na zemlji. Izačun: d /=,1m; s= ( d/ ) =, cm. Ugotovimo lahko, da je azmak med geometijskim sediščem vvi in lego nadomestnega naboja paktično 6 zanemaljiv e= d/ s= (, 1, 99975)cm,5 1 cm. V tem pimeu lahko ekscentično postavitev navideznega naboja zanemaimo in smatamo, da se navidezni naboj nahaja v geometijskem sedišču valja (vvi). Za zanemaitev ekscentičnosti moa veljati, da je azdalja od vvi do zemlje dosti večja od polmea vvi: 1. V paksi lahko d vzamemo, 1 d. V pimeu zanemaitve ekscentičnosti se poenostavi tudi izačun napetosti med vvjo in zemljo, ki je sedaj ( d q d U = ln πε. s ): Izačunajmo napetost v konketnem pimeu V m 4,4m U = As,m C/m ln 41 kv Dodatno: Določimo še polje na povšini zemlje. Upoštevati je potebno oba naboja oiginalnega v sedišču vvi in zcalnega z naspotnim pedznakom. Polje na povšini zemlje tik pod vvjo je toej vsota obeh in je enako 9 q 3 1 C/m E = ey = ey ey54 V/m. πεh πε m Koliko pa je povšinska gostota naboja na tem mestu? Ugotovili smo že, da je na povšini 9 polpevodnika σ = ε En, toej bo σ = 4,77 1 C/m.. /7 DK

115 METODA ZRCALJENJA(19).doc 15/1/7 SLIKA: Izačun polja na povšini zemlje. V poljubni točki na zemlji je polje enako: q h q h E = e E cos( α) = e = e πε y y y πε h + x h + x ( h + x ) To polje je največje na zemlji diektno pod vvjo in se z oddaljenostjo manjša. Za vizualizacijo se zopet poslužimo pogama Matlab. Polje / V/m % zcaljenje1.m q=3e-9; h=; eps=8.854e-1; fo h=5:5: x=-4:.1*h:4; E=q*h./(pi*eps*(x.^+h^)); plot(x,e) hold on end xlabel('razdalja / m'); ylabel('polje / V/m'); -4-4 Razdalja / m SLIKA: Elektična poljska jakost na povšini zemlje za azdalje od zemlje do vvi 5, 1, 15 in m za naboj na vvi 3 nc. Bližje kot se nahaja vv, večje je polje tik pod vvjo na zemlji. Z integacijo povšine pod kivuljo polja bi dobili enak ezultat za vse kivulje. Zakaj? Zato, ke je polje na povšini soazmeno gostoti naboja σ = ε En, z integacijo gostote naboja po povšini pa dobimo celotni naboj, ki je po iznosu enako velik kot naboj na vvi, le naspotnega pedznaka je. To je naboj, ki se inducia na povšini zemlje kot posledica naboja na vvi. Izačun linijske gostote naboja za azlične azdalje od zemlje do vvi in konstantno napetostjo 4 kv: h / m q / nc/m /7 DK

116 METODA ZRCALJENJA(19).doc 15/1/7 Izačun napetosti med vvjo in zemljo za azlične azdalje od zemlje do vvi in konstantno gostoto naboja 3 nc/m: h / m U / kv 5 33,5 1 37, ,4 41 Kapacitivnost. Ugotovimo, da se pi konstantni napetosti med vvjo in zemljo naboj na vvi speminja v odvisnosti od višine vvi. Bližje kot je vv povšini zemlje,večji je njen naboj. In seveda obatno. Pi konstatnem naboju na vvi ugotavljamo speminjanje napetosti z višino vvi. Zakaj je temu tako? Zato, ke bližje kot je vv zemlji, bolj se bodo na povšini zemlje pod vvjo zgostili (influiali) naboji naspotnega pedznaka in večja bo elektična poljska jakost na zemlji. Posledično bo višja tudi napetost med zemljo in vvjo. Med nabojem na vvi in napetostjo med vvjo in zemljo velja lineana zveza: q d U πε U = ln ozioma q =. πε d ln U πε l Če zapišemo celotni naboj na dolžini l vvi, dobimo Q= q l =. Razmeje Q/U je d ln konstantno. To konstanto imenujemo kapacitivnost. Kapacitivnost sistema vvi nad zemljo je toej Q πε l = =. ln C U d V tem pimeu smo pvič omenili kapacitivnost, ki je izažena kot azmeje med nabojem in napetostjo. V paksi pogosto za daljnovodne vvi upoabljamo kapacitivnost na enoto q πε azdalje, c = C/ l = =. U d ln Določimo kapacitivnost daljnovodne vvi na enoto dolžine v našem pimeu: 3 nc/m C/ l = 7,3pF/m. Enota za kapacitivnost je Faad s simbolom F. 41 kv Kapacitivnost smo izačunali iz poznanega naboja in napetosti med vvjo in zemljo. Ugotovimo lahko, da bi lahko kapacitivnost določili diektno s pomočjo uokvijene enačbe in da ni odvisna ne od napetosti ne od naboja pač pa le od geometijskih azme toej od azdalje od vvi do zemlje in njenega polmea. Kapacitivnost je toej geometijski pojem. 4/7 DK

117 METODA ZRCALJENJA(19).doc 15/1/7 Računanje polja in potenciala v okolici daljnovodnih vvi nad zemljo. Ugotovili smo, da običajno lahko zanemaimo vpliv ekscentičnosti, in da je napetost med q d vvjo in zemljo podana z enačbo U = ln. Če imamo opavka z več πε daljnovodnimi vvmi, je smiselno ugotavljati potencial posamezne vvi, zato poglejmo, kako je sestavljen potencial ene same vvi: q q V = U = ln ( d ) ln ( ) πε πε. Običajno zanemaimo tudi v pimejavi z d in dobimo q d q q V = ln = ln d ln πε πε πε ( ) ( ) Pvi člen je potencial, ki ga povzoča negativni naboj na mestu pozitivnega od kateega je oddaljen za azdaljo d. Dugi člen je potencial lastnega (pozitivnega) naboja. Da ne bi pi izačunu pozabili, da se pozitivni pedznak nanaša na azdaljo od negativnega naboja, lahko enačbo zapišemo tudi v obliki: q 1 q 1 V = ln + ln. πε πε d. Pime (izpitna naloga 4..5): Vodnika simetičnega dvovoda dolžine 5 m ležita vzpoedno nad ozemljeno pevodno ploščo. Med njiju je piključen vi napetosti U = 4 V. Izačunajte naboja na vodnikih. ( h= 3 cm, d = 6 cm, = mm) h U + d V = V Izačun: Glede na piključitev via sta vzdolžni gostoti nabojev na vodnikih enakih absolutnih vednosti, venda naspotnih pedznakov, ( ± q). Polje naboja ozemljene pevodne plošče določata polji zcalnih nabojev ( ± q). Naboja Q1, =± ql vodnikov (dolžine l = 5m) določa napetost via, ki je enaka azliki potencialov vodnikov: U = V V. 1 Njiju zapišemo kot vsoto pispevkov dveh paov nabojev: q d q h q hd V1 = ln + ln = ln πε πε ( h) + d πε ( h) + d h h U + V 1 q -q (-q) d (q) V V = V 5/7 DK

118 METODA ZRCALJENJA(19).doc 15/1/7 q q ( h) + d q ( h) + d V = ln + ln = ln = V 1 πε d πε h πε hd q hd πε lu U = V1 V = V1 = ln Q 1, =± ql =± 18, nc. πε ( h) + d ln hd ( h) + d ( ) Duge vaiante: a) Naboja na vveh sta povezana z viom napetosti: v tem pimeu je na eni vvi pozitivni, na dugi pa negativni naboj enake absolutne vednosti. b) Naboja na vveh sta nista povezana z viom napetosti: v tem pimeu sta naboja azlična. c) Na nevtalnemu vodniku ni naboja. Vodnika na kateem ni naboja ne zcalimo. d) Vodnik je v homogenem polju. V tem pimeu je poleg ostalih pispevkov potebno upoštevati še potencial E h, kje je h višina vvi. e) Zcalimo tudi točaste in duge naboje; zcalni naboji imajo naspotni pedznak. f) Kapacitivnost med vvema je določena s kvocientom napetosti med vvema in naboja na vveh. Pime, zcalnjenje točkastih nabojev: kolokvij /7 DK

119 METODA ZRCALJENJA(19).doc 15/1/7 Zcaljenje točkastega naboja na kovinski kogli. Vzemimo dva točkasta naboja vzdolž X osi. Potencial v točki T je VT ( ) Q Q = 1 4πε R + 1 4πε R. Poiščimo točke (ekvipotencialno avnino), kje je potencial enak nič. Tedaj bo Q1 Q R Q VT ( ) = 4πε R + 4πε R = R = Q Tudi pi azmeju dveh pemih nabojev smo dobili, da je azmeje adijev konstantno, ekvipotencialne avnine pa so bile kožnice ozioma plašči valjev. V tem pimeu je ekvipotencialna avnina kogla s polmeom R, če je Q1 > Q. Če zapišemo potenciala v dveh točkah na kogli, določimo ekscentično lego naboja Q znotaj kogle iz e =, kje je polme kogle, d pa azdalja od sedišča kogle do naboja d Q1 d Q 1. Poleg dobimo zvezo med Q 1 in Q : =. Q SLIKA: Dva točkasta naboja imata ekvipotencialke od kateih je ena kogla s potencialom nič. Polje v okolici naboja, ki se nahaja v bližini ozemljene kogle analiziamo s pomočjo zcalnega naboja, ki leži ekscentično od geometijskega sedišča kogle. Pime: Določimo silo na točkasti naboj Q 1 = 1 nc, ki je oddaljen za 1 cm od pevodne ozemljene kogle polmea 8 cm. (8 cm) e = = 3,556 cm. d 1 cm + 8 cm Naboj Q moamo toej postaviti za 3,556 cm od sedišča kogle v smei naboja Q 1. Po velikosti pa moa biti 8cm Q = Q1 = 1 nc = 8 nc. d 1 cm Sila med nabojema (hkati tudi sila med pevodno naelekteno koglo in točkastim QQ 1 QQ 1 1 nc ( 8 nc) nabojem) je F = = = 498 µn. 4πε 4 πε ( d e) 4 πε (18 cm 3,556 cm) 7/7 DK

120 KAPACITIVNOST().doc 1/1/6. Kapacitivnost V pejšnjem poglavju smo že spoznali, da vlada med nabojem med dvema naspotno naelektenima telesoma soazmeje med kolicino naboja na telesu in napetostjo med telesoma. Fakto soazmenosti imenujemo kapacitivnost. Ali z dugimi besedami: vecanje napetosti med telesoma povzoci soazmeno povecanje naboja na telesoma. V matematicni obliki pa to zapišemo kot ( ) Q= C V V ozioma Q= CU, od kode je A B C Q = U SLIKA: Kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma. Element vezij: Kondenzato. Simbol in enota za kapacitivnost. Dve poljubni pevodni telesi lahko pikažemo kot sistem, ki ga imenujemo kondenzato. temu, da iz sednješolske fizike (elektotehnike) že poznamo simbol za kodenzato, ga omenimo še enkat. Simbol za kondenzato sta toej dve vzpoedni enako dolgi daljici, pecno na vodnika, azmaknjeni za malo azdaljo. Ce je med telesoma pikljucimo napetost U, se bo na njunih telesih vzpostavil naboj ± Q = CU. C imenujemo kapacitivnost sistema, sistem, ki shanjuje naboj pa kondenzato. Enota za kapacitivnost je C/V = F, v cast pomembnemu znanstveniku in aziskovalcu Michaelu Faaday-u. Pogosto tudi enoto za dielekticnost vakuuma εoznacujemo z enoto F/m. Zanimivo je to, da na pvi pogled na kapacitivnost med dvema telesoma vpliva napetost in naboj na telesih, v esnici pa ni tako. Kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma v zaku je odvisna le od geometijskih znacilnosti teles (oblike teles in postavitve). To velja tudi za kapacitivnosti pi dielektikih, ce njihove dielekticne lastnosti niso odvisne od napetosti, smei polaizacije, itd., ka sice velja za dolocene specificne dielektike. SLIKA: Simbol za kondenzato. 1/7 DK

121 KAPACITIVNOST().doc 1/1/6 Mejenje kapacitivnosti. Kako bi dolocili kapacitivnost med dvema pevodnima telesoma? Ekspeimentalno bi to lahko naedili tako, da bi ti dve telesi naelektili z znanim nabojem in Q izmeili napetost, ki se pojavi med telesoma. Kapacitivnost bi dolocili iz azmeja C =. U Ali bolj vejetno: med telesi bi pikljucili znan vi napetosti in ju naelektili. Nato bi moali ugotoviti, koliko naboja je pešlo pi tem na telesi. To bi lahko naedili tako, da bi meili tok naelektitve, naboj pa je iz že znanih zvez enak integalu toka: Q= it () dt. Ali pa bi najpej telesi naelektili, nato vi odstanili in izmeili tok azelektitve. Bolj obicajno pa se v te namene upoablja metode, kje se upoabi mosticno vezje in izmenicno napetost ali pa ka peposto mei uponost kondenzatoja pi izmenicnih signalih. Vec o tem bomo govoili v naslednjem semestu. Kako pa izacunamo kapacitivnost matematicno? Tako, da pedpostavimo, da sta telesi naelekteni z nabojema +Q in Q te izacunamo napetost med njima. Kapacitivnost pa je Q azmeje med nabojem in izacunano napetostjo: C =. U Kapacitivnosti osnovnih stuktu. Upoabili bomo ugotovitve iz poglavja o potencialu in napetosti in dolocili kapacitivnosti osnovnih stuktu s kateimi se secujemo: Kapacitivnost zacnega plošcatega kondenzatoja: σ Q A U = E d = d ozioma U = d, kje je A povšina ene plošce, d pa azdalja med ε ε njima. Kapacitivnost je Q A = =. KAPACITIVNOST PLOŠCATEGA ZRACNEGA KONDENZATORJA C ε U d Dobili smo enacbo, ki jo poznamo že iz sednješolske fizike (elektotehnike). Kapacitivnost zacnega koaksialnega kabla: q U = Eed = e ed = n πε πε n oklopa. Kapacitivnost je q ln n, kje je n polme žile, pa notanji polme C Q ql πε l ln = = =. KAPACITIVNOST ZRACNEGA KOAKSIALNEGA KABLA U U n Kapacitivnost zacnega sfeicnega kondenzatoja: /7 DK

122 KAPACITIVNOST().doc 1/1/6 Napetost med sfeama s polmeoma n in z je z z z Q Q 1 Q 1 1 U = Eed = e ed = =. Kapacitivnost je toej n z n πε πε πε n n C Q 4πε = = U 1 1 n z. KAPACITIVNOST ZRACNEGA SFERICNEGA KONDENZATORJA Dolocimo lahko tudi kapacitivnost osamljene naelektene pevodne kogle ( z ), ki je Q C = = 4πε n. KAPACITIVNOST OSAMLJENE NAELEKTRENE PREVODNE KROGLE U Kapacitivnost med valjem in zemljo. Z zanemaitvijo ekscenticnosti smo dobili zvezo med q d napetostjo in linijsko gostoto naboja: U = ln. Kapacitivnost je: πε Q ql πε l C = = = U U d ln. KAPACITIVNOST MED PREVODNIM VALJEM IN ZEMLJO d je azdalja med geometijskima sedišcema dveh valjev. Tistega nad zemljo in pezcaljenega. Ce se toej valj nahaja za višino h nad zemljo bo d = h+ in enacbo za izacun kapacitivnosti med pevodnim valjem nad zemljo lahko zapišemo v obliki: Q ql πε l C = = =. U U h + ln SLIKA: Pevodni valj nad zemljo. Kapacitivnost med dvema valjema. Napetost med dvema valjema je x vecja kot med valjem in zemljo: q ln d U =, toej bo kapacitivnost med valjema (ob zanemaitvi πε ekscenticnosti): 3/7 DK

123 KAPACITIVNOST().doc 1/1/6 πε l C = d ln. KAPACITIVNOST MED PREVODNIMA VALJEMA SLIKA: Dva pevodna valja. Zapoedna vezava kondenzatojev. Ugotovimo, da je kapacitivnost med valjem in zemljo x vecja od kapacitivnost med valjema z enako azdaljo d. V smislu koncentianih elementov (kot np. upo) lahko govoimo o zapoedni vezavi dveh kapacitivnosti. Skupna kapacitivnost je x manjša, toej kapacitivnosti zapoedno seštevamo enako kot pevodnosti: n = = C C C C C zapoedno 1 n i= 1 i Naišimo sliko zapoedno vezanih vec kondenzatojev. Med skajnima je napetost U, toej bo na pozitivni sponki naboj +Q, na negativni pa Q, zveza med njima pa je Q= CU. Tudi na vsakem zapoedno vezanem kondenzatoju bo enako velik naboj, saj bo med dvema sosednjima kondenzatojema pišlo le do peazpoeditve naboja. Na plošci kondenzatoja, ki bo bliže pozitivni sponki se bo nakopicil negativni naboj (-Q) na acun povecanja pozitivnega naboja na povezani plošci sosednjega kondenzatoja. Celotna napetost bo vsota posameznih padcev napetosti: U = U1+ U + Un, ka lahko izazimo z nabojem in kapacitivnostjo n Q Q Q Q Q kondenzatojev U = = C C C C =. Ce enacbo delimo z nabojem Q, C dobimo že ugotovljeno zvezo: zapoedno 1 n i= 1 i n C C C C C = + + = KAPACITIVNOST ZAPOREDNO VEZANIH KONDENZATORJEV zapoedno 1 n i= 1 i SLIKA: Zapoedna vezava kondenzatojev. Pime: Dolocite nadomestno kapacitivnost zapoedne vezave teh kondenzatojev: 1 nf, nf in 5 nf. 4/7 DK

124 KAPACITIVNOST().doc 1/1/ Izacun: = + + = =, C = nf,588nf. Velja si C 1nF nf 5nF 1nF 1nF 17 zapomniti, da je nadomestna kapacitivnost zapoedno vezanih kondenzatojev vedno manjša od vsake posamezne kapacitivnosti. Najmanjša je 1 nf, toej bo skupna gotovo manjša od 1 nf. Kako si to azložimo? Peposto iz ugotovitve, da je kapacitivnost azmeje med nabojem in napetostjo. Vec kot je kondenzatojev vezanih zapoedno, vecji je skupni padec napetosti, obenem pa se naboj ne speminja. Števec toej ostaja enako velik, imenovalec pa se veca in posledicno se manjša kapacitivnost. Vzpoedna vezava kondenzatojev. Pi vzpoedni vezavi kondenzatojev je na vseh kondenzatojih enaka napetost, naboj pa je soazmeen kapacitivnosti vsakega posebej: Q= C U = Q + Q + + Q = C U + C U + + C U = C + C + + C U, toej bo ( ) vzpoedna 1 n 1 n 1 n vezava C C C C C vzpoedna 1 n i vezava i= 1 n = =. KAPACITIVNOST VZPOREDNO VEZANIH KONDENZATORJEV SLIKA: Vzpoedna vezava kondenzatojev. Pime: Med dvema avnima vzpoednima plošcama povšine 1 cm je azdalja cm. a) Dolocite kapacitivnost med plošcama. b) Za koliko se kapacitivnost poveca/zmanjša, ce plošci azmaknemo za tikatno azdaljo? c) Za koliko se kapacitivnost poveca/zmanjša, ce povšino plošc povecamo za tikat? d) Za koliko se skupna kapacitivnost poveca/zmanjša, ce plošcama zapoedno pikljucimo še enako velika kondenzatoja? Izacun: a) Kapacitivnost med plošcama je 4 A 1 F 1 1 m 1 C = ε = 8,854 1 = 4,47 1 F= 4,47pF. d m,m Ce plošci azmaknemo za 3x, se poveca azdalja d za 3x, toej bo posledicno A kapacitivnost 3x manjša: C = ε 1,48pF. Ce povecamo povšino plošc za 3x, bo 3d 3A kapacitivnost tikat vecja: C = ε 13,3pF. Ce plošcama zapoedno pikljucimo d še dva enaka kondenzatoja, bo skupna kapacitivnost C1 = + + = C = 1,48pF. Ugotovimo, da je zapoedna vezava teh C C C C C /7 DK

125 KAPACITIVNOST().doc 1/1/6 enakih kondenzatojev ekvivalentna povecanju azdalje med plošcama enega za 3x. Hkati je vzpoedna vezava enakih kondenzatojev ekvivalentna povecanju povšine plošc enega kondenzatoja. Kondenzatoska vezja. Peposta kondenzatoska vezja so ka vzpoedne in zapoedne vezave kondenzatojev. V tem pimeu moamo ob upoštevanju zveze Q= CU vedeti le to, da je skupna (nadomestna) kapacitivnost vzpoedne vezave kondenzatojev vsota posameznih kapacitivnosti in da moamo pi zapoedni vezavi seštevati invezne vednosti. Pime: Zapoedni vezavi kondenzatojev C 1 = 1 nf in C = nf pikljucimo vzpoedno še kondenzato C 3 = nf. Dolocimo naboj na kondenzatoju C, ce vezje pikljucimo na napetost 1 V. SLIKA: Vezava kondenzatojev. Izacun: Dolocimo nadomestno skupno kapacitivnost, ki je C1 C 1 C1 = = nf,67 nf. Cnad = C1+ C3,67 nf+ nf =,67 nf. Naboj na Q 3 je C1 + C 1+ Q = C U = C 1V = 67nC Koliko naboja pa je na Q? Q = C U= C1 U1in U = U U1 toej Q C Q = C ( U U1) = C ( U ), od kode je Q 1 + = C ( U U1) = C U, ozioma C C 1 1 CC 1 Q = C ( U U1) = U = C1 U. Ugotovili smo to, ka bi lahko zapisali že ka takoj, C1 + C saj je zaadi zapoedne vezave naboj na kondenzatoju C enak naboju na C 1 in toej Q = C1 U,67 nf 1 V = 67 nc. Kako pa bi analiziali vezje z vec kondenzatojev in viov, ko ni mogoca peposto vzpoedno in zapoedno seštevati kondenzatoje? V tem pimeu je potebno napisati sistem enacb ob upoštevanju osnovnih zakonitosti: =. 1) Vsota vseh napetosti v zakljuceni zanki je enaka nic: Uzanke Ui =. ) Vsota nabojev v spojišcu je enaka nic: Qspojisca Qi i i 6/7 DK

126 KAPACITIVNOST().doc 1/1/6 Pime naloge iz kolokvija (VSŠ): 7/7 DK

127 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 1. Dielektik v elektičnem polju Dielektik v začnem kondenzatoju. Do sedaj smo imeli opavka le s pevodniki v vakuumu ozioma zaku. Kako pa vplivajo azlični mateiali (snovi) na elektične azmee? Na pime, kaj se zgodi, ko med plošči ploščatega kondenzatoja vložimo mateial, ki je idealen (elektični) izolato in ju piključimo na vi napetosti? Takemu mateialu pogosto ečemo dielektik in s tem poudaimo njegove dielektične (kapacitivne) lastnosti, medtem ko izolatojem paviloma pedpisujemo upoovne lastnosti; dobe izolato ima zelo veliko (specifično) uponost. Če izmeimo kapacitivnost ped vložitvijo dielektika in po vložitvi ugotovimo, da se kapacitivnost po vložitvi poveča: C C diel zak = ε 1. ε imenujemo elativna dielektična konstanta in pove, za koliko se kapacitivnost začnega poveča ob vstavitvi dielektika med plošči kondenzatoja. Kapacitivnost začnega ploščatega A kondenzatoja ped vstavitvijo dielektika je Czak = ε, po vstavitvi pa je d A Cdiel = ε Czak = εε. d Kapacitivnosti, ki smo jih zapisali za začne kondenzatoje veljajo tudi v pimeu, ko je namesto zaka dielektik, le konstanto ε nadomestimo z ε.ε. Pi tem je potebno opozoiti, da je pi določenih mateialih dielektičnost odvisna tudi od napetosti med elektodama. V tem pimeu je tudi kapacitivnost odvisna od napetosti. Zelo pogosto to velja za elemente iz polpevodniških mateialov. Pime: Vzemimo ploščati kondenzato s povšino plošč 1 cm. Med plošči stisnemo list papija debeline mm (ε = ) in 4 mm debelo steklo z ε = 1. Kondenzato piključimo na napetost 1 V. Kolikšen je padec napetosti na plasti papija in kolikšen na steklu? Kolikšno je polje v steklu in v papiju. Kolikšno je polje na meji med steklom in papijem? Izačun: C A 1 1 m = Cpapi = ε1ε = 8,854 = 8,854 1 F 3 d1 1 m 4 A 1 1 m 11 = steklo = ε ε = 1 8,854 = = 6,56 1 F d 41 m C C C Q= CU 1 1 = CU = C1 U Nadomestna kapacitivnost je C1 C C1 3C1 3 C1 = = = C1, toej je C + C C + 3C /16 DK

128 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 3 3 CU 1 1 = C1 U od kode je C1 = U = 9V. U je toej U-U 1 = 3 V. 4 4 U1 9V Elektična poljska jakost v papiju je: E1 = = = 4,5 kv/m, v steklu pa d1 mm U 3V E = = =,75 kv/m. d 4mm Razmeje elektične poljske jakosti je obatno soazmeno elativnim dielektičnim konstantam, ka ugotovmo tudi iz zveze CU = CU 1 1 A A ε ε E d = ε ε E d, od kode je d1 d ε E = ε E. 1 1 Polje v dielektiku z manjšo dielektičnostjo je večje od polja v dielektiku z večjo dielektičnostjo. Kolikšno je povečanje kapacitivnosti? Večina plinov ima vednosti dielektičnosti okoli 1, med 1 in 1,1 in pebojno tdnost okoli 3 MV/m, medtem, ko imajo običajni izolatoji elativne dielektičnosti med in 1 in pebojne tdnosti od nekaj do nekaj sto MV/m. Plin elativna dielektičnost bez enot pebojna tdnost MV/m vodik 1,7 suh zak 1,58 3 CO 1,99,9 Tekočine in izolatoji elativna dielektičnost pebojna tdnost v MV/m papi,3 etanol 3,7 16 voda (destiliana) 81 olje -5 guma 3 silicij 11 Kako azložimo, da se kapacitivnost po vložitvi dielektika poveča? Vzemimo, da imamo med elektodama ploščatega kondenzatoja fiksen naboj, toej ± Q. Med plošči vstavimo dielektik. Pozitivni in negativni naboji na ploščah delujejo s silo na naboje v dielektiku tako, da se le ti peazpoedijo. To peazpoeditev nabojev lahko ponazoimo z modelom dipola. Dipoli se usmeijo v sme polja (navo M = p E je enak nič, ko sta vektoja vzpoedna), pi čeme je potebno upoštevati, da so negativni poli dielektika bližje pozitivni elektodi. Polje med ploščama je vsota pispevkov vseh nabojev, tistih na ploščah kondenzatoja in ločenih nabojev (dipolov) v dielektiku med ploščama. Dipoli so nanizani v veigi, kje se minus pol enega dipola kompenzia s plus polom naslednjega dipola. Tako /16 DK

129 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 lahko smatamo, da se znotaj dielektika kompenziajo naboji dipolov, ostane pa na povšini nekompenzian naboj, ki pa je naspotnega pedznaka kot naboj, ki je povzočil polaizacijo. Ti pa na celotno polje delujejo tako, da se to zmanjša. Posledično pa se zmanjša tudi Q napetost med ploščama U = E dl. Ke pa je kapacitivnost določena kot C =, se ob U zmanjšanju napetosti med ploščama in konstantnem naboju poveča kapacitivnost. Q Ob vložitvi dielektika med naelekteni plošči kondenzatoja bo toej: C = U. SLIKA: Naboj na ploščah kondenzatoja polaizia snov med ploščama, ka pikažemo s keianjem dipolov. Kako pa azložimo enako povečanje kapacitivnosti pi vložitvi dielektika med plošči začnega kondenzatoja ob konstantni napetosti? Tudi v tem pimeu si zamislimo, da se na elektodah zaadi napetosti nakopiči določen naboj. Ko pa vstavimo dielektik, posti naboji na pevodnih ploščah povzočijo polaizacijo dielektika. Zopet tako, da so negativni naboji dielektika v povpečju bližje pozitivnim nabojem na plošči. Ti polaiziani naboji bi ob ohanjeni količini naboja na ploščama povzočili zmanjšanje polja in zmanjšanje napetosti med ploščama. Ke pa je zunanja napetost vsiljena, piteče ob fiksni napetosti na elektodi dodaten naboj, ki kompenzia polaizian naboj. Tudi v tem pimeu se toej poveča kapacitivnost, saj se poveča količina postega naboja na ploščah kondenzatoja. Q Ob vložitvi dielektika pi konstantni napetosti boc =. U SLIKA: Povečanje kapacitivnosti ob vložitvi dielektika v začni kondenzato na konstantni napetosti. Matematično-fizikalna obavnava dielektika. Elektični dipolni moment smo že spoznali. Definian je kot p = Q d. Ugotovili smo, da na dipol v polju deluje navo M = p E. V dielektiku, ki ga postavimo v polje se ustvaijo in 3/16 DK

130 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 usmeijo dipoli. Vpeljemo pojem vektoja polaizacije, ki je določen kot postoska gostota dipolskih momentov: p dp P = =. i i lim v v dv Cm C Enota za vekto polaizacije je =. 3 m m Zakaj vpeljati nov vekto? Zopet imamo poblem, da je sice smiselno vpliv polja na dielektik ponazoiti z množico dipolov, ke pa je v snovi zelo veliko molekul in toej veliko dipolov, je potebno njihovo skupno delovanje pedstaviti na pimeen način. Vekto polaizacije je toej makoskopski model in ponazaja povpečno delovanje velike množice dipolnih momentov v majhnem volumnu. Povšinska gostota polaizianega naboja. Oglejmo si podukt P dv na povšini dielektika. P dv lahko zapišemo tudi P da dl, kje P da pedstavlja gostoto polaizianega naboja na povšini dela volumna. V pimeu, da sme vektoja polaizacije ni v smei nomale na povšino, je potebno upoštevati skalani podukt P da. Znotaj dielektika, ki je izpostavljen zunanjemu elektičnemu polju se vzpostavijo dipoli, ki se usmeijo v sme polja. Znotaj dielektika se sosednji naspotni naboji dipolov kompenziajo. Nekompenziani ostanejo toej le naboji na povšini dielektika. Vzemimo, da je na delu povšine da vekto P unifomen (konstanten) in pavokoten na povšino. V tem pimeu bo P da pedstavljal ka naboj na povšini da ozioma, P pedstavlja ka povšinsko gostoto polaizianega naboja: σ =, P Pn kje je P n nomalna komponenta vektoja polaizacije na povšini. Kaj če P ni enakomeno poazdeljen? V tem pimeu si je potebno zamisliti zaključeno povšino znotaj dielektika. Povšinski polaizian naboja zunaj volumna določimo z integacijo vektoja polaizacije po povšini: Q (na povšini A) = P da. Ke ta naboj ni nujno enak nič tudi po zaključeni povšini, ostane ob polaizaciji znotaj zaključene povšine povšinski polaizian naboj, ki je enak Q P, znotaj = P da. A Ta naboj je potebno azlikovati od naboja, ki se»posto«giblje po pevodni povšini, saj je ta naboj vezan v snovi. Lahko se giblje venda le omejeno, koliko se lahko giblje dipol. P A 4/16 DK

131 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 Povezava med E in P. Ko dielektik postavimo v polje se naboji v snovi peazpoedijo. Ta peazpoeditev je lahko večja ali manjša, odvisno od lastnosti mateiala. Peazpoeditev naboja pedstavimo z modelom elektičnih dipolov ozioma njihove gostote z vektojem polaizacije P. Za mnogo snovi velja, da povečanje polja povzoči soazmeno povečanje polaizacije, ka matematično zapišemo kot: P= χε E Spomnimo se kaj je ε E.. Na povšini polpevodnika je bil ε E enak povšinski gostoti naboja. Konstanto χ (chi) imenujemo elektična susceptibilnost in govoi o odzivnosti snovi na elektično polje. Je bezdimenzijska konstanta. V vakuumu je toej χ enaka nič, saj tedaj ni polaizianega naboja. Dielektik imenujemo lineaen, če susceptibilnost ni odvisna od velikosti polja (napetosti), homogen, če je neodvisen od pozicije in izotopen, če je neodvisen od smei polja. Anizotopen mateial ima azlično dielektičnost (susceptibilnost) v azličnih smeeh. V tem pimeu bo polaizacija v vsaki smei dugačna. Polaizacija v smei X osi bo toej enaka Px = εχ xxex + εχ xyey + εχ xzez. Podobno zapišemo za ostale smei. V tem pimeu susceptibilnost ni več skalana količina, pač pa jo moamo pedstaviti kot tenzo (v obliki matike). Vekto gostote elektičnega petoka - D. Vzemimo, da imamo zunanje elektično polje E, ki ga vzpostavimo z zunanjimi vii. V tako polje vstavimo dielektik. Dielektik se polaizia, ka ponazoimo z vektojem polaizacije ozioma z peazpoeditvijo polaizianih nabojev in povzočijo dodatno polje E P. To polje običajno deluje v naspotni smei polja, ki je povzočilo polaizacijo in zato se sumano polje zmanjša. E = E + E P Poglejmo, ali lahko upoštevamo Gaussov zakon in duge že znane ugotovitve. Spoznali smo Q že potencialnost elektostatičnega polja: E dl =, pa tudi Gaussov zakon E da=. L A ε Pvi integal je po zaključeni poti, dugi pa po zaključeni povšini. Q je naboj, ki je zaobjet z integacijo. Pvi se ne spemeni tudi če ge del poti v skozi dielektik, medtem ko se dugi spemeni, saj je potebno upoštevati, da z integacijo polja po zaključeni povšini ne zajamemo le posti naboj pač pa tudi ujetega, polaizianega. Ugotovili smo že, da je količina tega ujetega naboja po zaključeni povšini enaka QP, znotaj = P da, toej moamo Gaussov zakon zapisati v obliki Q Q posti, znotaj P, znotaj E da= +, ε A ε ka lahko zapišemo tudi kot A 5/16 DK

132 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 A ε E da+ P da= Q posti, A znotaj A ( ) A ε E + P da= Q posti, znotaj A Zgodovina elektotehnike je dopinesla še eno veličino, ki v osnovi izhaja iz gonjega zapisa. J.C. Maxwell je nameč vpeljal vekto D, ki ga imenujemo vekto gostote elektičnega petoka in je enak D = ε E + P. Enota vektoja D je C/m, enako kot gostota naboja na povšini pevodnika. V osnovi je vekto D na povšini enak povšinski gostoti naboja, je pa za azliko od povšinskega naboja definian tudi povsod po volumnu. S pomočjo tega vektoja lahko zapišemo zgonjo enačbo v obliki A D da= Q, posti, znotaj A ki ga lahko imenujemo modifician Gaussov zakon. Z besedami bi ekli, da je petok vektoja D skozi zaključeno povšino enak zaobjetemu postemu naboju. Odlika tega zapisa je pedvsem ta, da je zapis neodvisen od vplivov snovi na vekto D. Ta vekto je izključno odvisen od lege postih nabojev, to pa so tisti, ki jih običajno vzpostavimo z zunanjim poljem. Zveza med D in E. Zdužimo enačbi D = εe + P in P = χε E in dobimo D = ε E + P = ε E + χε E = (1 + χ) ε E = εε E Ponovimo pomembno zvezo med E in D: D = ε ε E = εe, kje ε imenujemo elativna dielektična konstanta. Povezava med elektično susceptibilnostjo in elativno dielektično konstanto je peposta: ε = 1+ χ. 6/16 DK

133 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 Zveza med D in P. Če smo ugotovili enostavno zvezo med D in E, velja seveda tudi enostavna zveza med D in P, ( ε 1) εd ( ε 1) D saj velja P= χε E = ( ε 1) ε E = =. εε ε * V paksi pogosto zasledimo tudi difeencialno obliko zapisa Gaussovega zakona, ki pa jo mi sistematično ne obavnavamo. Ta oblika je posebno pogosta pi numeični simulaciji elektičnih polj, ki pa se v paksi vedno bolj pogosto upoablja. Na katko: D da= Qposti, znotaj A lahko zapišemo v obliki (Stokesov izek) divd dv = ρposti, znotaj dv od kode sledi V V divd = D = ρ posti, kje je div opeato, ki ga imenujemo divegenca in je opeato odvajanja. To je ena od Maxwellovih znamenitih štiih enačb, ki v celoti opisujejo naavo elektomagnetnega polja. (Delno smo spoznali tudi še eno ( E dl = ), ki pa jo bo potebno dopolniti v pimeu izmeničnih signalov. V katezičnem koodinatnem sistemu je opeato div enak,,. Če zapišemo še elektično poljsko jakost kot gadient polja x y z E = gadv = V in upoštevamo D = ε E dobimo divd = ε V = ρ. Tudi ta enačba posti je znamenita, in se imenuje Poissonova enačba. V pimeu da v volumnu ni postih nabojev je desna stan enačbe enaka nič in jo lahko zapišemo tudi v obliki V =, ka imenujemo Laplaceova enačba. L Pime: Vzemimo ploščati kondenzato povšine plošč 1cm in ga piključimo na napetost V. Vmes stisnimo mm debel list papija z elativno dielektično konstanto. Določimo naboj na povšini, povšinsko gostoto naboja, vekto gostote petoka, vekto polaizacije, elektično poljsko jakost in kapacitivnost. Izačun: Izačuna se lahko lotimo iz azličnih»koncev«. Običajni postopek je tak, da najpej določimo D, ki ni odvisen od snovi, potem E, nato U, itd.. V ploščatem kondenzatoju velja: D da= Q D A= σ A D= σ A posti, znotaj D σ E = = ε εε d U = E dx= σ d, εε U V od kode sledi: 1 kv/m 9 E = = =, D= εε E = 177,8 1 C/m, d mm 9 ( ε 1) 1 D 9 σ = D = 177, 8 1 C/m, P= D= D= = 88,54 1 C/m. ε Sigma, ki smo jo izačunali je gostota povšinskega naboja. D je enak sigmi, venda je D definian povsod v postou, sigma pa le na povšini. Ke obavnavamo pime ploščatega kondenzatoja je D povsod enako velik. Ke je nomalna komponenta P-ja na povšini enaka 7/16 DK

134 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 9 povšinski gostoti polaizianega naboja, je σ P = P = 88,54 1 C/m. Postega naboja na povšini plošče je x več od polaizianega povšinskega naboja, toej, vsaki dugi naboj posti naboj ima svoj naspotni polaizian naboj. Pi dielektikih z veliko elativno dielektičnostjo bo P ka enak D. SLIKA: Ploščati kondenzato z dielektikom. Pi konstantni napetosti je polje v dielektiku neodvisno od dielektika in je enako U V E = = = 1 kv/m. Zato pa bo v pimejavi z zakom potebna gostota naboja, ki bo d mm vzdževala to polje v dielektiku večja kot v pimeu, če med ploščama ni dielektika (je le σ U zak), saj velja E = σ = εεe = εε. Ko bomo vstavili dielektik, se bo povšinska εε d 9 9 gostota naboja povečala za x: od 88,54 1 C/m na 177, 8 1 C/m. Razlika je avno posledica polaizacije, ki na povšini dielektika vzpostavi povšinsko gostoto polaizianega 9 naboja (naspotnega pedznaka kot posti naboj) velikosti 88,54 1 C/m. Če pa imamo konstantno gostoto naboja, se bo polje po vložitvi dielektika med plošči σ zmanjšalo za ε : E =, toej na 5 kv/m. To pomeni, da se bo zmanjšala tudi napetost na ε ε 1 V. Pime: Nekoliko dugačne pa bodo azmee, če bomo med plošči kondenzatoja vstavili dielektik, ki bo le delno zapolnil vmesni posto. Vzemimo, da v začni kondenzato, ki je piključen na napetost V in ima mm azdalje med ploščama potisnemo 1 mm debel kos papija. SLIKA: Ploščati kondenzato z dvema dielektikoma. 8/16 DK

135 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 D bo neodvisen od dielektikov in bo povsod konstanten. Spemenilo pa se bo polje, ki bo D D E = v dielektiku (papiju) in E = v zaku. Da bi določili vednosti polja moamo ε ε ε d D D d1 d U = E dx= d1+ d = D + εε ε εε ε zapisati še napetost, ki bo U V. 9 D = = = 118,53 1 C/m d 1mm 1 1 d εε ε ε D Toliko je tudi povšinska gostota naboja. Elektično polje je toej E = = 6,667 kv/m v εε dielektiku (papiju), v zaku pa je x večje: 13,33 kv/m. Gostota polaizianega povšinskega naboja na meji med papijem in ploščo in papijem in zakom je enaka D/. Reševanje pimea s pomočjo kapacitivnosti: d1 d Q d1 d d1 d 1 1 U = D + = + = Q + = Q +. Iz te zveze lahko εε ε A εε ε Aεε Aε C1 C Q določimo naboj na povšini, iz znanega naboja napetost na papiju in v zaku: U1 = in C 1 Q U1 U U =. Nato iz znanih napetosti določimo polji: E1 = in E =. C d d 1 Na meji med dvema dielektikoma,v našem pimeu med papijem in zakom je skokovit pehod polja. Ke je D enak v obeh medijih bo veljalo: ε 1εE1 = εεe. To je mejni pogoj za pehod med dvema dielektikoma, ki velja splošno, venda le za tisto komponento polja, ki je pavokotna na mejo. Pime: Vzemimo pime dvoplastnega koaksialnega kabla, ki ga želimo dimenzioniati za delovanje na napetosti kv. Pva, notanja plast je iz gume z elativno dielektičnostjo 3,, duga pa iz polistiena z e =,6. Pebojna tdnost gume je 5 kv/mm, polistiena pa kv/mm. Koaksialni kabel polmea žile 4 mm želimo dimenzioniati tako, da maksimalno polje v dielektikih ne peseže 5% pebojne tdnosti. Izačun: Določiti moamo toej debelino obeh dielektikov, toej adij do plasti polistiena P in zunanji adij Z. Pi vzpostavljeni napetosti KV imamo na žili +q naboj, na oklopu pa q. Da bi določili polje v enem in dugem dielektiku, se poslužimo Gaussovega stavka za vekto D, ki je neodvisen od dielektikov. Za poljubni adij med notanjim in zunanjim dobimo q q D () = ozioma D= e D() = e. Polje v dielektikih dobimo iz zveze π π D D E = =, toej bo polje v plasti gume ε εε 9/16 DK

136 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 D E = = e ε ε q, πε ε g g v plasti polistiena pa D q E = = e. ε ε πε ε p p Maksimalno polje v gumi ne sme peseči 5% pebojne tdnosti, ka zapišemo kot 6 6 Emax, guma = 5% Epeb, guma =,5 5 1 V/m = 6,5 1 V/m, za polistien pa bo veljalo 6 6 Emax, poli = 5% Epeb, poli =,5 1 V/m = 5 1 V/m. Polje bo maksimalno pi čim manjšem adiju, toej pi q 6 Emax, guma = = 6,5 1 V/m πε gεn in q 6 Emax, poli = = 5 1 V/m. πε pε p Če enačbi delimo, lahko določimo p : ε g 6,5 p = n =,6 cm ε 5 p 6-6 Lahko tudi določimo linijsko gostoto naboja, ki bo q= πε gε n 6,51 V/m = 61 C/m. Peostane nam še, da določimo potebno debelino plasti polistiena, za ka pa potebujemo še eno enačbo, ki jo dobimo iz enačbe za napetost. Integiati je potebno polje od notanjega do zunanjega adija, pi čeme pa se polje spemeni med dvema dielektikoma. Zato je potebno ločiti integal v dva, enako, kot da bi zapisali celotno napetost kot vsoto padcev napetosti v gumi in v polistienu. Tako dobimo z p z U = E dl = U + U = E gume dl + E poli dl gume poli n n p p z q q U= e ed+ e ed= n πε gε πε p pε q p q z U = ln + ln πε gε n πε pε p V gonji enačbi je edina neznanka zunanji polme, ki jo določimo z vstavitvijoi vednosti in dobimo,77 cm. 1/16 DK

137 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 SLIKA: Dvoplastni koaksialni kabel. 11/16 DK

138 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 Mejni pogoji. Mejni pogoj za nomalno (pavokotno) komponento dobimo iz Gaussovega zakona: A D da= Q posti, znotaj Zamislimo si povšino med dvema dielektikoma in kocko, katee stanice stiskamo v smei meje. Ke moamo ačunati D skozi zaključeno povšino (ven iz povšine) bomo pisali: D da D da = σ da ali tudi 1 posti e D D = σ n ( 1 ) posti D D = σ. ali tudi 1n n posti Enotski vekto kaže iz dielektika z indeksom v dielektik z indeksom 1. Če je povšinska gostoto postega naboja na meji dveh dielektikov enana nič, velja D1 n = Dn ali tudi ε1e1 n = ε En. Če poznamo nomalno komponento polja na m eji na eni stani dielektika, z lahkoto izačunamo nomalno komponento na meji v dugem dielektiku. SLIKA: Pehod nomalne komponente polja. Potebujemo še mejni pogoj za komponente polja, ki so vzpoedne (tangencialne) z mejo. Tu upoabimo zakon potencialnosti polja: L E dl =. Vzemimo pavokotnik na meji dveh dielektikov in ga stiskajmo v smei meje. Integal polja bo imel tako le komponenti v smei meje tangencialni komponenti. Veljalo bo toej: E1 t l Et l = E1 t = Et. E 1t = Et. 1/16 DK

139 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 SLIKA: Pehod tangencialne komponente polja. Zdužimo obe enačbi v»lomni zakon«, kot ga poznamo iz sednješolske fizike. Če na meji dveh dielektikov ni povšinskega (postega) naboja, velja: E = E 1t t ε E = ε E 1 1n n Če enačbi delimo med sabo, dobimo: 1 E1 t 1 Et = ε E ε E 1 1n n 1 1 tan( α ) = tan( α ) ali ε 1 1 ε tan( α1) ε1 = tan( α ) ε Alfa je vpadni kot med nomalo na povšino in smejo polja. SLIKA: Lomni zakon polja na meji dveh dielektikov. Elektostatično polje na meji dielektika in kovine. Poseben pime je meja izolato-pevodnik. Vzemimo, da označimo izolato z indeksom 1, pevodnik pa z. Pedhodno smo že ugotovili, da je elektostatično polje znotaj pevodnika enako nič: E =. Ke velja E1 t = Et, bo tangencialna komponenta polja v izolatoju na meji z dielektikom enaka nič. To pa obenem pomeni, da bo imelo polje v izolatoju na meji s pevodnikom le nomalno komponento, ki bo enaka D1 = σ ozioma, E σ = E =. ε 1 1n Pišli smo že znane ugotovitve, da je polje na povšini pevodnika pavokotno na povšino in soazmeno povšinski gostoti naboja. n posti Zapišimo še enkat tudi ploskovno silo na pevodnik: f σ = σ. ε SLIKA: Polje na meji izolato kovina. * Sila med dielektiki. Zanimiv je tudi pime, ko želimo izačunati silo med dvema dielektikoma. Pime je na pime sila na nevtalne dielektične delce v nehomogenem polju. Zaadi azlične dielektičnost delca in medija deluje na delec sila, ki jo lahko določimo z 13/16 DK

140 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 integacijo ploskovne sile na delec. Bez izpeljave zapišimo ezultat, ki bo ε ε 1 D n f = Et +. Sme te ploskovne sile je v smei postoa z manjšo dielektičnostjo. ε1ε Tako je mogoče dielektične delce usmejati z vzpostavitvijo elektičnega polja med dvema ali več elektodami. Delci se nabeejo tam, kje je polje največje na ostih obovih elektod ali pa na mestih, kje je elektično polje najmanjše. Dodatno kontolo nad gibanjem delcev nam ponuja vzbujanje z izmeničnim signalom. Dielektične lastnosti snovi (elativna dielektičnost) se s fekvenco signala speminja, ka omogoča manipulacijo delcev z elektičnim poljem. V Laboatoiju za bioelektomagnetiko smo skupaj z Laboatoijem za mikosenzoske stuktue in Laboatoijem za biokibenetiko načtali in izdelali stuktue za manipulacijo bioloških celic s pomočjo dielektofoeze. Če je elektofoeza pojav, v kateem izkoiščamo silo na naelektene delce, je dielektofoeza pojav, kje izkoiščamo silo na dielektične (elektično nevtalne) delce. SLIKA: Manipulacija bioloških celic z elektičnim poljem. Celice se koncentiajo na mestu najmanjšega polja, ki je v sedini in na povšini elektod. Razdalja med elektodama je 5 µm. Na desni sta pikazana modula z izdelanimi mikostuktuami. Mikostuktue so izdelane s polpevodniško tehnologijo na Pyex steklu z dvoslojno metalizacijo. Delovanje dielektofoeze smo ugotavljali tudi pi ekspeimentu s semenkami v enosmenem polju. Semenke so iz dielektika in se usmeijo v sme polja, ke pa so v dovolj gostem mediju, se težje posto gibljejo. Potebovali bi še večjo silo, da bi pemagali silo viskoznosti. Smo pa opazili značilnost veiženja, ki jo opazimo tudi pi celicah na mikostuktuah. Poleg tega so pazljivi lahko opazili, da se giblje tudi olje v kateem so bile semenke. Tudi na molekule olja (dielektik) deluje sila, ki jih pemakne v smei elektod. SLIKA: Veiženje celic pi pojavu dielektofoeza. 14/16 DK

141 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 PRIMERI: Pime kolokvijske naloge z dne : tan( α1) ε1 Nalogo bi lahko ešili tudi z upoabo lomnega zakona =, pi čeme pa bi moali tan( α) ε paziti, da je kot alfa definian glede na nomalo in ne na mejo, toej je α 1 = 9 6 = 3 in ε 1 α = α = =, od kode je ε tan( ) tan( 1) tan(3 ) 1, α 54, in ϕ = 35,8. Pime kolokvijske naloge (UNI): 15/16 DK

142 DIELEKTRIK(1).doc 15/1/7 Posebnosti: 1) Nelineana dielektičnost: silicij, piezoelementi ) povečanje elativne dielektičnosti s fekvenco izmeničnega signala 3) ealni kondenzato 4) tipi polaizacije 5) akumulatoji,bateije 6) 16/16 DK

143 KONDENZATOR(b).doc 15/1/7. Kondenzato Kondenzato je napava za shanjevanje naboja. Večja kot je kapacitivnost, več naboja lahko shanimo: Q = C U. Še bolje ečeno, za shanjevanje elektične enegije, saj ni pomembno le koliko naboja lahko shanimo v kondenzatoju pač pa tudi ali pedvsem, koliko enegije lahko shanimo. Toej je pomemben podukt naboja in napetosti. V začetnih aziskavah elektičnih pojavov kondenzatoja niso poznali. Vsaj kot pojem ne. Naboje so ločevali z očno gnanimi elektostatičnimi napavami, ki so z inventivnimi načini ločevale naboje in jih običajno kopičile na dveh ločenih pevodnih koglah. Tipični pime je Whimshustov elektostatični geneato. Če so bile kogle blizu, na pime ne več kot nekaj centimetov, je ob pimenih pogojih kopičenja naboja med koglama peskočila iska. Toej je moala biti ob kogli dosežena peboja tdnost zaka. Vzemimo ka skajni pime osamljene naelektene kogle polmea cm. Peboja tdnost bo dosežena pi Q 6 E = peb 31V/m 4πε =, od kode izačunamo naboj pi peboju Q = 133,5 nc. Napetost Q 6 bo tedaj V( E ) = peb Epeb 3 1 V/m, m = 6 kv 4πε = =. Seveda duge elektode ne moemo imeti v neskončnosti, lahko pa je večjega polmea in dovolj daleč. Vsekako večje napetosti od 6 KV ne moemo doseči. Določimo lahko tudi kapacitivnost v pimeu, da je duga elektoda v neskončnostic = 4πε n,pf. To je pecej mala kapacitivnost. V paksi se metalne kogle upoabljajo za testianje pebojnih napetosti. Shanjena enegija bo enaka QU 133,5 nc 6 kv W = = = 4mJ. Ka ni avno veliko. Vzemimo kondenzato povpečno velike kapacitivnosti 1 µf in nanj piključimo napetost 1V. Enegija shanjena v CU 1µF (1 V) kondenzatoju je W = = = 5mJ. Toej je v kondenzatoju velikem za palec ali tudi dosti manj enako veliko shanjene enegije, kot med naelekteno koglo polmea cm pi pebojni napetosti. Spodaj je del tabele iz Electical Engineeing Refeence Book, kje pa so podane pebojne napetosti med dvema sfeama enakega polmea. Ugotovimo, da so pebojne napetosti seveda manjše, kot smo jo izačunali teoetično. 1/9 DK

144 KONDENZATOR(b).doc 15/1/7 SLIKA: Inset tabele iz Electical Engineeing Refeence Book Dugi pime: V poglavju 18 smo imeli pime okovinjenja ekvipotencialnih avnin, s kateim smo uspeli analiziati sistem dveh naelektenih valjev. Dva valja polmea 4 cm in azmaknjena za 1 cm sta imela pi napetosti kv linijsko gostoto naboja -7 q = 3,833 1 C/m. To pomeni, da je kapacitivnost enaka pibližno 19 pf/m. Ka je še vedno pecej majhna kapacitivnost. Pve večje vednosti kapacitivnosti so dosegli z upoabo steklenice, tako imenovane Leidenske flaše, po kaju Leiden na Nizozemskem leta Hkati je podobno ugotovil tudi Ewald Geog von Kleist v Nemčiji. Zaslužen za inovacijo flaše je pofeso Piete van Musschenboek ( ). Notanjost in zunanjost flaše je bila delno pekita s pevodnikom, steklenica pa je delovala kot dielektik. Vzemimo hipotetičen pime steklenice pemea 8 cm s 3 mm debelo steno. Znotaj steklenice naj bo voda nalita do višine 15 cm, zunaj pa je pekita s pevodnikom (aluminijasto folijo). Relativna dielektičnost stekla naj bo 1. Kapacitivnost flaše je A π,8 m,15 m C εε = 1 ε = 74 pf. Da bi dosegli 3 Piete van Musschenboek ( ) d 31 m enako veliko kapacitivnost bi moala biti za enako veliko kapacitivnost dolžina sistema dveh valjev iz pejšnjega pimea ka 39 m. V pimejavi z velikostjo flaše je to ka velika dolžina. /9 DK

145 KONDENZATOR(b).doc 15/1/7 SLIKA: Pve slike upoabe Leidenske flaše. To veliko odkitje je pineslo tudi nekaj več pevidnosti pi upoabi. Razelektitev naboja iz flaše z dotikom nameč ni več tako»nedolžna«. Je pa dopinesla k azvoju znanosti, saj je bilo šele z Leidensko flašo mogoče nakopičiti in shanjevati večjo količino naboja. Naslednja pav tako pomembna in znamenita inovacija je bila Voltina bateija. Kakokoli se nam dandanes zdi kondenzato in bateija vsakdanja stva, bi si dandanes oba zaslužila Nobelovo nagado za dosežke. A. Volta je med dugim tudi pedlagal upoabo imena kondenzato. SLIKA: Pime ekspeimentov v zgodovini: Na desni pepost elektostatični geneato (očno gnana steklena kogla, naboj se ločuje z oko, ki na eni stani tsa ob koglo, na dugi stani pa dži pevodno veigo. 3/9 DK

146 KONDENZATOR(b).doc 15/1/7 SLIKA: Pime Leidenskih flaš. Desno elektoskop. Tipi kondenzatojev. Dandanes so tudi kondenzatoji pecej dugačni. poznamo jih veliko azličnih tipov, iz azličnih mateialov, dimenzij, oblik z zelo azličnimi elektičnimi (in mehanskimi) lastnostmi. Pa si jih oglejmo nekaj: 1) Elektolitski kondenzatoji so izdelani iz elektolitov. Upoabljajo se elektode iz aluminija z dodano tanko oksidacijsko membano. Ta povzoči A veliko kapacitivnost kondenzatoja ( C ε ), pa tudi to, da je polaizian, d ka pomeni, da ga lahko obemenimo le z enosmeno napetostjo. V naspotnem pimeu postane neupoaben ozioma nevaen, saj lahko eksplodia. Ti kondenzatoji so ceneni in se pogosto upoabljajo, ecimo kot filti. Ke se kondenzato lahko pokvai, če je obemenjen z višjo napetostjo kot je nazivna, je v paksi modo upoabiti kondenzato z dvakat višjo nazivno napetostjo, kot je potebna. ) Posebni tip elektolitskega kondenzatoja je tantalov elektolitski kondenzato. Namesto aluminijaste elektode ima tantalovo, ozioma iz tantalovega pentoksida. Ima boljše elektične lastnosti kot»navadni«elektolitski kondenzatoji, pedvsem ka se tempeatunih in fekvenčnih kaakteistik. So pa nekoliko dažji kot»navadni«. 3) Poliesteski film: ti kondenzatoji upoabljajo kot dielektik plast poliesteskega filma. So poceni, tempeatuno stabilni in se pogosto upoabljajo. 4) Polipopilenski kondenzato: upoabimo, ko so zahteve po toleancah večje. Do fekvence 1 khz imajo zelo majhne toleance (1%). 5) Polistienski kondenzato: so izdelani kot koluti in niso pimeni za visoke fekvence. So upoabni za aplikacije do nekaj sto kilohecov. 6) Metaliziani poliesteski: imajo boljše lastnosti od navadnih poliesteskih. So manjhni dimenzijsko. 7) Epoksi: 4/9 DK

147 KONDENZATOR(b).doc 15/1/7 8) Keamični: izgledajo kot mali diski in niso izdelani v zavitkih, zato imajo dobe fekvenčne kaakteistike in jih upoabljamo za visokofekvenčne aplikacije. Na pime za filtianje visokofekvenčnih motenj. 9) Nastavljivi kondenzatoji (timeji): vsebujejo lahko keamični ali plastični dielektik. 1) Nastavljivi začni kondenzatoji: upoabljajo zak kot dielektik. Običajno jih najdemo v adijih. 11) Supekondenzatoji: imajo izazito veliko kapacitivnost, na pime,47 F, kljub temu pa so majhnih dimenzij. Te lastnosti je mogoče doseči z upoabo elektičnega dvojnega sloja. TYPE TYPICAL DIELECTRIC ABSORPTION ADVANTAGES NPO ceamic <.1% Small case size Inexpensive Good stability Wide ange of values Many vendos Polystyene.1% to.% Polypopylene.1% to.% Teflon.3% to.% CAPACITOR COMPARISON CHART Low inductance Inexpensive Low DA available Wide ange of values Good stability Inexpensive Low DA available Wide ange of values Low DA available Good stability Opeational above +15 C Wide ange of values MOS.1% Good DA Small Opeational above +15 C Low inductance Polycabonate.1% Good stability Low cost Polyeste.3% to.5% Monolithic ceamic (High K) Wide tempeatue ange Modeate stability Low cost Wide tempeatue ange Low inductance (stacked film) >.% Low inductance Wide ange of values Mica >.3% Low loss at HF Low inductance Vey stable Aluminum electolytic High Lage values High cuents High voltages Small size Available in 1% values o bette Tantalum electolytic High Small size Lage values Medium inductance DISADVANTAGES DA geneally low, but may not be specified Limited to small values (1 nf) Damaged by tempeatue > +85 C Lage case size High inductance Damaged by tempeatue > +15 C Lage case size High inductance Relatively expensive Lage size High inductance Limited availability Available only in small capacitance values Lage size DA limits to 8-bit applications High inductance Lage size DA limits to 8-bit applications High inductance Poo stability Poo DA High voltage coefficient Quite lage Low values (<1 nf) Expensive High leakage Usually polaized Poo stability Poo accuacy Inductive Quite high leakage Usually polaized Expensive Expensive Poo stability Poo accuacy SLIKA: Pimejalna tabela lastnosti kodenzatojev. Po: Analog Devices: Ask The Applications Enginee 1 (iz spleta) Pomembne lastnosti kondenzatojev. Kondenzatoji imajo v idealnem smislu le kapacitivne lastnosti in so idealni izolatoji. V esnici pa idealnih lastnosti ni mogoče doseči. Neidealne elektične lastnosti pikažemo z nadomestno shemo ealnega kondenzatoja, ki je v osnovi vzpoedna vezava kondenzatoja z upoom R P in zapoedno z induktivnostjo L S in uponostjo R S. 5/9 DK

148 KONDENZATOR(b).doc 15/1/7 SLIKA: Nadomestna shema ealnega kondenzatoja. (po Analog Devices) Pi azličnih aplikacijah je pomembna azlična lastnost. Na pime, izgubna (vzpoedna R P ) uponost je pomembna v AC aplikacijah (izmenični toki) in aplikacijah, kje je pomembno natančno shanjevanje naboja, kot na pime za integatoje ali»sample-hold«vezja ali ko jih upoabljamo pi visokih fekvencah. Elektolitski (tantalove ali aluminijasti) kondenzatoji dosegajo visoke kapacitivnosti venda zaadi slabe izolacije tudi velike izgubne toke, na pime 5 na na µf. V omenjene namene je bolje upoabiti»plastične«kondenzatoje: polipopilenske ali polistienske. Zapoedna (ang. equivalent seies esistance) uponost R S je pomembna pi aplikacijah z velikimi tokovi, saj se na kondenzatojih z veliko seijsko uponostjo poablja velika (izgubna ) moč. Kondenzatoji z majhno R S so iz filmov ali iz sljude (ang mica). Seijska induktivnost je tudi lahko poblematična pi visokih fekvencah. Elektolitski, papini in plastični kondenzatoji niso pimeni za visokofekvenčne aplikacije, saj so večinoma sestavljeni iz dveh kovinskih plasti ločenih s plastjo dielektika in zviti v svitke. Za visokofekvenčne aplikacije so pimeni keamični kondenzatoji. Pomemben podatek je fakto disipacije (polnilni fakto), ki pedstavlja azmeje enegije, ki jo kondenzato potoši z enegijo, ki jo shani. Dielektična absopcija nam pove histeezne lastnosti kondenzatoja. Toej, kako je ponovljivo elektenje kondenzatoja bez efekta spomina. Nekaj aplikacij kondenzatojev: - začasno nadomeščanje bateijskega napajanja v vezjih - za usmejanje v močnostnih aplikacijah - chage-pump kasakada (zvišanje napetosti) - glajenje signalov - izločanje AC komponente - izločanje DC komponente - kompenzacija moči - floescenčna osvetlitev - filtacija signalov - za doseganje esonančne fekvence Upoaba kondenzatoskega pincipa: - senzo azdalje (majhne azdalje) - senzo pospeška (ADXL) - senzo nivoja tekočine - kondenzatoski mikofon 6/9 DK

149 KONDENZATOR(b).doc 15/1/7 - senzoji dotika - visokonapetosti kondenzatoji za shanjenje enegije in hito paznenje (pulzni laseji, elektomagnetno izsteljevanje, ada, pospeševalniki, detonatoji, SLIKA: Pimejava med azličnimi tipi kondenzatojev, bateijami in supekondenzatojem. Elektolitski kondenzatoji omogočajo azelektitev velikih tokov venda v zelo katkem času. Bateije omogočajo shanjevanje velike količine enegije venda jo ne moejo zelo hito izkoistiti. Supekondenzatoji so vez med navadnimi kondenzatoji in bateijami. Omogočajo elativno velike toke azelektitve v pecej daljšem času kot navadni kondenzatoji. Vi: Skeleton Supecaps. 7/9 DK

150 KONDENZATOR(b).doc 15/1/7 SLIKA: Kaskadno vezje za zvišanje napetosti, tipična upoaba do kv. Cockoft- Waltonov CD geneato na ETH (Švica) 9kV/1mA. SLIKA: Kompenzacijski kondenzatoji v Aconi Jesenice. Vi: 8/9 DK

151 KONDENZATOR(b).doc 15/1/7 SLIKA: azlični tipi kondenzatojev glede na zahtevano nazivno napetost. Vi: Muata. SLIKA: Pime napedovanja tehnike izdelave kondenzatojev. Hkati s tanjšanjem debeline dielektika se veča kapacitivnost na enoto volumna. 9/9 DK

152 ENERGIJA(3).doc 15/1/7 3. Enegija V tem poglavju bomo ponovili določena spoznanja iz poglavja 1 (Delo in enegija) in jih nadgadili s celostnim pogledom na pojem enegije v elektostatiki. V poglavju 1 smo spoznali, da je napetost enaka delu, ki jo enota pozitivnega naboja (1 C) opavi pi pemiku od ene točke do duge. Delo elektičnih sil smo toej zapisal kot T T A = A = QE dl = Q E dl, e 1 T1 T1 napetost pa kot T A e U = = E dl Q. T1 Obenem smo ugotovili, da je potencialna enegija naboja enaka delu, ki ga opavi zunanja sila pi penosu iz oddaljenosti (kje je njegov potencial enak nič) do mesta, kje se nahaja. Enakovedno lahko ečemo, da je ta enegija enaka delu elektičnih sil za pemik z mesta, kje se nahaja do neskončnosti (kje je potencial enak nič): WT ( ) = Ae ( T T ). Ta definicija pa je hkati definicija potenciala, le da je definiana s potencialno enegijo enote T( V= ) Ae ( T ) naboja: V = = E dl Q. T1 Q1 Potencial v azdalji od osamljenega točkastega naboja Q 1 je V() = 4πε. Da bi na azdaljo od naboja Q 1 spavili naboj Q bi toej potebovali enegije Q1 W = Q V = Q 4πε. Enegija posameznega naboja pi peletu polja. Če se v elektičnem polju giblje le en naboj, se njegova potencialna enegija poveča ali zmanjša za W = Q V = Q U. Tak pime je na pime gibanja elektona v elektičnem polju. Če peleti elekton v smei polja napetost kv, se bo njegova kinetična enegija povečala na ačun zmanjšanja potencialne za W = Q U = 1,6 1 As kv = 3, 1 J. Pogosto namesto enote Joule pi zapisu enegije delcev upoabljamo enoto elekton-volt, kje je 1 ev = 1, J. V tem smislu je kinetična enegija delca po peletu polja kv enaka 1 3 ev ali kev. Enegija sistema nabojev. Vzemimo, da imamo posto bez nabojev in toej bez elektičnega polja. Če želimo v ta posto penesti naboj, moamo opaviti delo. V elektičnem smislu za penos pvega naboja (Q 1 ) ni potebno vložiti nič dela, saj ni nobene elektične sile na ta delec. Ko pa želimo v njegovo bližino penesti naboj Q, moamo za QQ 1 to opaviti delo, ki bo A = 1 QE dl =, 4πε T1 1 1/9 DK

153 ENERGIJA(3).doc 15/1/7 kje je 1 azdalja med nabojema Q 1 in Q. SLIKA: Elektenje postoa z vnašanjem nabojev. Ko penašamo tetji naboj, moa ta pemagovati dvoje sil, tako na naboj Q 1, kot na naboj QQ 1 3 QQ 3 Q. Toej potebujemo opaviti delo +, kje sta 1 in 3 azdalji med 4πε 13 4πε 3 nabojema Q 1 in Q 3 te Q in Q 3. In tako dalje. To delo se shani v obliki potencialne enegije v pozicijah delcev, ozioma v elektičnem polju, ki ga ti delci fomiajo. Vsota elektenja postoa z vnašanjem teh nabojev je toej QQ 1 QQ 1 3 QQ 3 W = πε 4πε 4πε Zapišimo to vsoto nekoliko dugače: 1 Q Q 3 1 Q1 Q 3 1 Q1 Q W = Q1 + + Q + + Q3 +. 4πε 1 4πε 13 4πε 1 4πε 13 4πε 13 4πε 3 Ugotovimo, da so vednosti v oklepajih enake potencialom V 1, V in V 3. Enačbo toej lahko zapišemo v obliki: W = QV 1 1+ QV + QV 3 3. Očitno bi lahko za sistem n nabojev zapisali enegijo v obliki: W = QV 1 1+ QV + QV QV, n n ozioma na katko W n 1 = QV i i, i= 1 kje je V i je potencial na mestu naboja Q i in ga zapišemo kot vsoto: V i n = 1 Qj 4πε, j= 1 i j ij kje so ij azdalje med nabojem Q i in Q j. /9 DK

154 ENERGIJA(3).doc 15/1/7 Pime: Določimo enegijo sistema teh enako velikih nabojev Q = nc, ki se nahajajo v ogliščih enakostaničnega tikotnika stanice a = 1 cm. SLIKA: Sistem teh nabojev v ogliščih enakostaničnega tikotnika. Izačun: Ke so naboji enako veliki in simetično azpoejeni, je tudi potencial na vseh mestih nabojev enako velik. Na mestu naboja Q 1 je enak: 3 1 Qj 1 Q Q3 Q V1 = = + =. Enegija sistema bo toej 4πε j= 1 4πε a a 4πε a ij i j Q 3Q W = QV QV + QV = QV Q = 4πε a = 4πε a, in številčno 9 ( ) 3Q 3 1 C 9 V m W = = 9 1 = 18 µj. 4πε a A s,1m Pime: Koliko dela moamo vložiti za pemik naboja iz enega oglišča v sedino med duga dva naboja? Izačun: Vzemimo zgonji naboj (označen kot Q 3 ) in ga pemaknimo med Q 1 in Q. Delo T bi lahko določili iz osnovne fomule za izačun dela, toej kot A = Q E dl, kje je E polje na mestu naboja Q. Izačunati bi moali polje na mestu naboja (ka v konketnem pimeu ne bi bilo avno zahtevno) in ga integiati po poti. Bolj enostavno je določiti delo iz azlike potencialnih enegij sistema ped in po pemiku: A T T = W T W T = W W. ( 1 ) ( 1) ( ) začetna končna Enegijo v začetni legi smo že določili, peostane še izačun v končni legi W(T ) WT ( ) = Wkončna = QV 1 1+ QV + QV 3 3 = QV 1 1+ QV 3 3 =. Q Q 1 Q1 Q 3Q Q 5Q = Q1 + + Q3 + = + = 4πε a 4 πε a/ 4 πε a/ 4 πε a/ 4πε a 4πε a 4πε a Enegija sistema se bo po pemiku očitno povečala, toej bo delo negativno. To pomeni, da ga bodo moale opaviti zunanje sile. To delo bo enako 3Q 5Q Q A = = = 7 µj. 4πε a 4πε a 4πε a e T1 3/9 DK

155 ENERGIJA(3).doc 15/1/7 Enegija v polju kondenzatoja. Tako kot smo potebovali določeno enegijo, da smo v posto pipeljali naboje, je potebna določena enegija, da naelektimo kondenzato. V najpepostejši obliki si lahko kondenzato pedstavljamo ka kot dve pevodni telesi. Med njiju piključimo vi napetosti in povečujmo napetost. Z večanjem napetosti med telesoma, se povečuje tudi naboj na telesoma. Pač skladno z enačbo Q= C U. Vzemimo sedaj (difeencialno) majhen naboj dq in ga pemaknimo iz enega telesa na dugega, pi čeme je napetost med telesoma U. Spememba (potencialne) enegije bo enaka dw = dq U. Napetost lahko izazimo tudi z nabojem in kapacitivnostjo, tako da je difeencial enegije enak Q dw = dq. Celotno enegijo, ki smo jo pidobili z elektenjem kondenzatoja dobimo z C integacijo naboja od začetnega (), do končnega Q končni : Q končni Q Q W = dq= končni. C C To je enegija v naelektenem kondenzatoju, ki jo lahko izkoistimo v azlične namene. Ni pa nujno, da je to tudi celotna enegija, ki jo lahko koistno upoabimo. Del enegije se ob azelektitvi lahko poabi znotaj bateije - na njeni notanji uponosti. Enačbo lahko s pomočjo zveze Q Q C U Q U W = = = C = C U zapišemo tudi v obliki Pogosto se gonji izaz upoabi tudi za določitev kapacitivnosti. Če toej znamo enegijo ob znani napetosti med elektodama v kondenzatoju določiti na nek dug način, potem W lahko izačunamo kapacitivnost iz C = U. Pime: Določimo enegijo v začnem ploščnem kondenzatoju kapacitivnosti nf, ki je piključen na enosmeni vi napetosti 6 V. Za koliko pocentov se spemeni enegija shanjena v kondenzatoju, če azdaljo med ploščama azpolovimo? Izačun: Elektična enegija shanjena v kondenzatoju je CU nf (6 V) W = = = 36 µj. Iz enačbe za kapacitivnost ploščnega kondenzatoja A C = ε ugotovimo, da zmanjšanje azdalje med ploščama za polovico pedstavlja d zvečanje kapacitivnosti za x, ka pomeni, da se bo enegija povečala za x, na 7 mj, toej za 1%. Dodatno: Za koliko pocentov se bo spemenila enegija v kondenzatoju, če ped zmanjšanjem azdalje med ploščama kondenzatoja za polovico odklopimo kondenzato od via napajanja? Izačun: Sedaj se ohanja naboj, ki ga je ped odklopom Q = C U = nf 6 V = 1, µc, enako pa tudi po peklopu, saj se naboj ohanja. Toej bo ob x večji kapacitivnost ob 4/9 DK

156 ENERGIJA(3).doc 15/1/7 (1, µc) pemiku enegija enaka W = = 18 µj. Enegija v kondenzatoju se bo očitno nf zmanjšala za x. Zakaj?... Med pozitivno in negativno naelekteno ploščo deluje sila, ki plošči pivlači. Če ne bi delovale duge sile (težnosti, lepenja), bi se plošči zdužili, naboji bi se azelektili in enegija bi se petvoila v dugo obliko (ecimo toplotno). Toej se enegija sistema manjša z zmanjševanjem azdalje med elektodama. SLIKA: Enegija v kondenzatoju z in bez dielektika. Dodatno: Koliko je enegija v kondenzatoju, če pi piključeni napetosti vstavimo vanj dielektični listič debeline, ki je enaka polovici azdalje med elektodama in ima elativno dielektičnost 6? A Izačun: Spemeni se kapacitivnost C = ε in sice tako, da imamo sedaj zapoedno d A A vezavo dveh kapacitivnosti Czaka = ε in Cdiel = εε, toej je Cdiel = 6. Czaka in d / d / Cdiel Czaka 6Czaka Czaka nadomestna kapacitivnost Cnad = = = Czaka = C = C. Cdiel + Czaka 6Czaka + Czaka Kapacitivnost kondenzatoja je po vložitvi dielektika pibližno x večja (za 1/7) od začetne kapacitivnosti. Ke je piključena napetost fiksna, bo enegija po vložitvi lističa 1 CU večja od pvotne za 1/7 in bo enaka W = 7 = 61,71 mj. Ped vložitvijo dielektičnega lističa pa je bila enegija v kondenzatoju 36 µj. Zakaj se je enegija povečala? Ko vstavimo dielektik med plošči kondenzatoja, se na povšini kondenzatoja poveča naboj (ki pide iz via), ki kompenzia zmanjšanje polja v dielektiku zaadi polaizacije dielektika. Kaj pa, če ped vstavitvijo dielektika odklopimo vi?... V tem pimeu se bo na ploščama kondenzatoja ohanil naboj (ne bo se povečal), kapacitivnost pa se bo povečala kot smo že izačunali za 1/7. Enegija pa se bo posledično zmanjšala, ka sledi iz Q W =, toej za 7/1. 1 C 7 5/9 DK

157 ENERGIJA(3).doc 15/1/7 Enegija elektostatičnega sistema poazdeljenih nabojev.??? Poslužimo se izaza iz pejšnjega odstavka, pi čeme zamenjamo napetost U za potencial V, ki je potencial na mestu difeencialno majhnega naboja dq: dw = dq V. Z integacijo po vseh nabojih in upoštevanju potenciala na mestu teh nabojev je enegija elektostatičnega sistema enaka W = V dq, po vseh Q-jih kje lahko pišemo tudi dq el ρ. V W = V dv = ρ dv in Neodnost te enačbe je, da upoabljamo enak simbol za volumen in potencial. Da bi to azmejili, smo v zadnji enačbi zapisali potencial kot V el. Gostota enegije in enegija polja Do sedaj smo izačunavali elektično enegijo iz kapacitivnosti, naboja in napetosti. Ke je vez med napetostjo in nabojem elektična poljska jakost, moa obstajati tudi povezava med enegijo in jakostjo polja. Vzemimo pime naelektene kogle z nabojem Q, ki je na potencialu V. Elektična enegija, potebna, da smo zbali skupaj ta naboj, je enaka 1 W = Q V. SLIKA: Enegija v polju naelektene kogle. V tem smislu bi za postavitev dela naboja pi določenem potencialu potebovali enegijo 1 dw = dq V. dq lahko izazimo z upoabo Gaussovega zakona E da= dq/ ε. Difeencial enegije pa zapišemo v obliki 1 dw = V ( ε E da). Poleg tega zapišemo difeencial potenciala kot dv = E dl, od 1 kode lahko za difeencial enegije zapišemo dw = E dl ( εe da) in ke je difeencial 1 1 volumna enak dv = da dl je dw = E εe dv = εe dv. Z integacijo po volumnu pa dobimo celotno enegijo sistema: 1 W = εe dv Vol Izaz v integalu lahko pepoznam kot gostoto enegije in ga tako tudi poimenujemo te upoabimo simbol w: 6/9 DK

158 ENERGIJA(3).doc 15/1/7 w = 1 ε E Enota je enegija na volumen, toej J/m 3. Enačba za enegijo, ki smo jo zapisali, velja za polje v vakuumu oz. zaku. Če imamo polje v dielektiku, bi do izaza za enegijo pišli na podoben način, le z upoabo Gaussovega zakona za dielektike. V tem smislu bi dobili za enegijo 1 W = εε E dv, Vol za difeencial enegije pa 1 w= εεe. Bolj splošen izaz, ki pa ga ne bomo izpeljevali je gostote enegije. dw = E dd. w= D E 1 ozioma za difeencial Pime: Določimo izaz za enegijo ploščnega kondenzatoja povšine plošč A in azdalje 1 med ploščama d z upoabo enačbe W = εε E dv. Izačun: U E =, d U W = εεe dv = εεe dv = εε V = d Vol Vol Vol 1 U 1 U 1 A 1 εε Ad εε A εε U CU = = = = d d d. Gibalni pocesi sila med na telesa. 1) Pime giblanih pocesov naelektenih teles bez piključenega via napetosti. Vzemimo sistem dveh naelektenih teles z naboji +Q in -Q. Enegija shanjena v QU elektičnem polju je enaka We =. Če dopustimo, da se eno od teles pemakne, se pemakne v smei dugega za neko majhno azdaljo dl in opavi delo da = Fe dl. To delo se je opavilo na ačun zmajšanja elektične enegije sistema, saj moa veljati, da je vsota opavljenega dela in zmajšane elektične enegije enaka nič: dw + da =. Če izazimo delo le v smei X, bo veljalo: Fex, dx = dwe in toej dwe Fex, =. Če se azmee speminjajo tudi v dugih smeeh, je bolj koektno upoabiti dx pacialni odvod: We Fex, =. x e 7/9 DK

159 ENERGIJA(3).doc 15/1/7 Enako lahko določimo tudi silo v dugih smeeh. V splošnem je toej sila enaka We We We Fe =,,. x y z SLIKA: Sila na naelekteno telo. ) Pime gibalnih pocesov pi piključeni napetosti. V tem pimeu je potebno v enegijsko bilanco vključiti tudi enegijo, ki pide ali se vne v vi. Toej bo spemembe enegije polja in dela pemika enaka spemembi enegiji via: dwe + Fe dl = dag, kje smo z da g označili spemembo enegije via. Če se bosta telesi ob piključeni napetosti oddaljili za majhno azdaljo, bi se med njima povečala kapacitivnost, zato se bo tudi povečal naboj med telesoma za dq. Ta naboj bo pišel iz via na ačun opavljenega dela da = dq U. Zaadi povečanja naboja med telesoma se bo povečala tudi enegije v polju: ( ) Velja toej: U dq + F e dl = dq U, toej je dq U Fe dl = = dwe od kode sledi We We We Fe =,,. x y z e U U U dwe = Q + dq dq = dq. Ugotovimo lahko, da se bo ob pemiku naboja v polju pi konstantni napetosti polovico dela geneatoja poabilo za pemik, duga polovica pa za gadnjo elektičnega polja. Lahko pa je tudi obatno, da vi deluje kot poabnik, toej, da dobi enegijo iz gibalnega pocesa, na pime, če bi se naspotno naelektena naboja pibliževala. Silo med telesi je najlažje določiti iz povezave med enegijo in kapacitivnostjo.... 8/9 DK

160 ENERGIJA(3).doc 15/1/7 Pimei iz kolokvijskih in izpitnih nalog: Pime: Izpit (UNI) Pime: Kolokvij /9 DK

161 Vi napetosti(4b).doc 16/1/7 4. Vi napetosti Do sedaj smo se ukvajali le z učinki elektičnega polja, ne pa tudi z načinom, kako sploh ustezno matematično opisati ločevanje naboja in geneianje napetosti. Vzemimo na pime naelekten kondenzato, ki ima ločene pozitivne ion negativne naboje. Sme elektostatičnega polja je od + nabojev poti nabojem, tako v notanjosti, kot v zunanjosti kondenzatoja. SLIKA: Naelekten kondenzato z ločenimi naboji in elektostatičnim poljem v notanjosti in zunanjosti. Če bi upoštevali le elektostatično polje (E es ) v kateem velja, da je delo elektičnih sil po zaključeni poti enako nič E dl =, ugotovimo, da to polje ne moe biti geneatosko, L es da to polje ni sposobno ločevanja nabojev pač pa le zduževanja. Toej moa biti neka duga sila, ki omogoča ločevanje nabojev naspotnega pedznaka. Tej sili ečemo geneatoska ali azdvajalna sila. V angleškem jeziku se pogosto upoablja izaz electomotive foce, poslovenjeno bi ji ekli elektomotona ali elektogeneatoska sila. Označimo jo z F Fg g, pipadajoče elektično polje pa Eg =. Vzemimo, da znotaj Q kondenzatoja deluje geneatoska sila, ki je sposobna azdvajanja nabojev. Hkati, ko deluje geneatoska sila in azdvaja naboje, se vzpostavlja tudi elektostatična sila, ki pa je usmejena v naspotno sme. Na elektodah se ustvaja akumulacija naboja, ki je v avnovesju taka, da je E + E =. g es SLIKA: V kondenzatoju (bateiji) deluje geneatoska sila, ki azdvaja naboje in jih»nalaga«na elektodi. Geneatoska napetost. Poglejmo sedaj, koliko je v tem pimeu integal L E dl, kje je E sumana elektična poljska jakost, ki vključuje tako geneatosko kot elektostatično silo. L 1 naj bo pot znotaj kondenzatoja, L pa zunaj. Če sta smei enako usmejeni, velja: 1/11 DK

162 Vi napetosti(4b).doc 16/1/7 E dl = E dl = E dl + ( Eg ) dl. es L L1+ L L1+ L L1 Integal smo ločili na dva. Pvi vsebuje le elektostatično polje, dugi pa polje, ki ga povzoča geneatoska sila. Pvi člen na desni je enak nič, saj ge za integal elektostatičnega polja po zaključeni poti, dugi pa je enak potencialni azliki ozioma napetosti, ki jo imenujemo geneatoska napetosti U g. E dl = U L1 g g Ali dugače: Znotaj kondenzatoja je elektostatično polje (v stacionanem stanju) enako E + E dl =, peostane veliko a naspotno usmejeno geneatoskemu in je toej ( es g ) del L E dl = U es g. Geneatoska napetost je usmejena od + naboja poti naboju, enako kot elektostatično polje in naspotno smei geneatoskega polja. Povzetek: Če povzamemo, integal L L1 E dl, ki ne vsebuje le elektostatične elektične poljske jakosti pač pa tudi sile dugega izvoa, ni nujno enak nič pač pa neki napetosti, ki ji ečemo geneatoska napetost E dl = U. V naslednjem semestu (OE) bomo L ugotovili, da je ta integal azličen od nič tudi v pimeu časovno speminjajočega se magnetnega polja skozi zanko. Tokokog.Zaključimo geneato v tokokog s ploščatim kondenzatojem s pesekom A, azmakom med ploščama l in specifično pevodnostjo γ. Ponovno pogledamo, kako lahko azdelamo integal E dl =. Integal azdelimo na pot znotaj via in peko L es kondenzatoja s pevodnim mateialom. Ke je sedaj zaadi toka v tokokogu J g Ees + Eg, bo znotaj geneatoja Ees dl = U g Eg dl = U g dl. Enako γ L1 L1 L1 g J es velja za integal znotaj pevodnika Ees dl = dl Če pedpostavimo homogeno γ L L R polje v peseku A tako za geneatoski medij kot za beme, dobimo: I / A I / A l l Ees dl = dl + Eg dl dl I U g I γ + = + =. L L1 g γ L1 L R γ ga γ RA Pvi člen pedstavlja padec napetosti na notanji uponosti via, dugi člen je geneatoska napetost, tetji pa padec napetosti na bemenskem pevodniku (upou): IRg + IRR = U g. Ugotovimo, da je ločevanje med geneatosko uponostjo in napetostjo mogoče le modelno, v ealnosti pa sta ta dva elementa vezij integiana v eni stuktui. g /11 DK

163 Vi napetosti(4b).doc 16/1/7 SLIKA: Tokokog iz geneatoskega in bemenskega dela. Bateije. Tak pincip geneacije naboja si lahko pedstavljamo v bateiji (akumulatoju), kje ločevanje naboja nastopa zaadi elekto-kemijskih eakcij. Zn/Cu bateija. Vzemimo pime dveh elektod, ene iz cinka (Zn) in duge iz baka (Cu). Če med elektodi vlijemo tekočino, ki ji ečemo elektolit, med elektodama zaadi elektokemijske eakcije nastane t.i. galvanski člen. Če je elektolit žveplena kislina H S 4, le ta v vodi disociia (tvoijo se ioni) na ione H + in S - 4. H + ioni se nabiajo na - bakovi elektodi, kje tvoijo pesežek pozitivnega naboja. Ioni S 4 se nabiajo na cinkovi elektodi, tam tvoijo cinkov sulfat in pesežek negativnega naboja. Na Cu elektodi se tvoi pesežek pozitivnega naboja. Vzpostavi se napetost, ki jo lahko izkoistimo kot geneatoski vi napetosti. Ob piključitvi bemena (upoa) na bateijo, v piključnih žicah steče tok (elektonov), ki zmanjšuje količino geneianega naboja. Elektokemijska eakcija nadomešča poabo naboja dokle je v elektolitu dovolj ionov ali dokle se cinkova elektoda ne iztoši. 1 SLIKA: a) Bateija iz bakene in cinkove elektode v elektolitu iz azedčene žveplene kisline. b) Tok ob katkem stiku elektod. Kemijsko bi lahko eakcijo zapisali Zn + CuSO 4 = ZnSO 4 + Cu. Vodikovi ioni imajo pomanjkanje elektona, ki piteče iz tokokoga na bakovo elektodo (piključnih žic) kot elektični tok. Vodikov ion pidobi iz bakene elektode elekton in se izloči iz elektolita. temu pocesu ečemo edukcija. Na cinkovi elektodi se vši 1 Piznati je potebno, da se napetost med dvema azličnima kovinama pojavi že bez delovanja elektolita, toej pi neposednem stiku dveh kovin. Ta napetost je posledica azličnih izstopnih del azličnih kovin in je med dugim tempeatuno odvisna. Zato stik dveh azličnih kovinskih mateialov izkoistimo kot senzo tempeatue. Tak spoj pa ne moe delovati kot geneato toka, azen v pimeu, da na tak spoj delujemo z zunanjo silo. Na pime, da spoj segevamo ali ohlajamo. 3/11 DK

164 Vi napetosti(4b).doc 16/1/7 oksidacija (izločanje pesežnih postih elektonov) pi čeme nastaja cinkov sulfat, ki se useda na dnu posode. Faaday je z ekspeimenti ugotovil, da je količina snovi, ki se nabee na elektodah (v našem pimeu bake) soazmena toku, ki steče skozi piklopne žice. Količina elektike, ki je potebna za en ekvivalent kemične akcije (ki usteza kemični eakciji potebni za izločitev 1g vodika iz kisline) je enaka enemu Faadayju, ka usteza naboju ampeskih sekund. Za zgonjo eakcijo v katei sta udeležena ena enota cinka in ena enota baka usteza geneacija naboja F ali C. Poskuse s podobno bateijo je pvi delal Alessando Volta v Italiji, ki se po njem imenuje Voltova celica ali Voltin člen. Kovinske elektode imajo negativen potencial glede na aztopino. Da bi jih lahko pimejali med seboj, jih pimejamo s potencialom t.i. efeenčne elektode, ki je iz platine z dodatki vodika. Tako pimejane elektodne napetosti so za azlične mateiale sledeče: zlato platina sebo oglje bake železo cink aluminij 1,5 V 1, V,8 V,74 V,34 V -,44 V -,76 V -1,67 V Če toej sestavimo t.i. galvanski člen iz elektode iz baka in cinka, bo med njima napetost,34 V (,76 V) = 1, V. Svinčeva bateija - akumulato. Duga znana bateija je svinčeva bateija, v katei imamo dve elektodi, ena iz svinca, duga pa iz svinčevega dioksida. Kot elektolit nastopa azedčena žveplena kislina. Elektoda iz svinčevega dioksida ima za doba V višjo napetost od svinčeve. Z vezavo šestih takih celic zagotovimo bateijo z 1-14 V izhodno napetostjo (avtomobilski akumulato). Rekacija, ki poteka je sledeča: na negativni elektodi: Pb + SO 4 - = PbSO 4 + e na pozitivni elektodi: PbO + Pb + H SO 4 + e = PbSO 4 + H O Na obeh elektodah nastaja svinčev sulfat, ka pomeni, da je ob popolni azelektitvi napetost med elektodama enaka nič. Kot vemo, je mogoče te tipe bateij ponovno naelektiti, pi čeme s tokom ustvaimo geneacijo svinca na eni in svinčevega dioksida na dugi elektodi. Poces je toej evezibilen. PbSO 4 + H O = PbO + H SO 4 + Pb 4/11 DK

165 Vi napetosti(4b).doc 16/1/7 SLIKA: Bateija iz svinčeve elektode in iz elektode iz svinčevega dioksida. Zanimivo je to, da se med azelektitvijo manjša, med naelektitvijo pa veča koncentacija kisline, medtem ko ostane napetost celice več ali manj konstanta. V tem smislu nam mejenje napetosti na akumulatoju ne pedstavlja posebno natančnega meila»polnosti«. SLIKA: Kaakteistika naelektitve in azelektitve kondenzatoja (napetost čas). Svinčene bateije so vejetno še vedno najbolj azšijene. Pedvsem se upoabljajo v avtomobilski industiji. Njihova pednost ped ostalimi je nizka cena, visoka napetost na celico in»doba«življenska doba (mnogokatno polnenje). Slabosti pa velika teža, slabe nizko-tempeatune lastnosti in ne sme biti v stanju azelektitve za daljše obdobje. V podaji so tudi t.i. zapti tip akumulatojev (suhi), kateih pednost je, da jim ni potebno dolivati elektolita / destiliane vode. Pi standadnih svinčenih bateijah nameč lahko posebno pi koncu elektitve ali pi pekomeni naelektitvi pide do elektolize žveplene kisline pi čeme se keiata kisik in vodik, ka v končni konsekvenci lahko škodno vpliva na kaakteistiko bateije. Novi tipi bateij omogočajo, da geneian kisik in vodik tvoita vodo. Pi azelektitvi ima svinčeva»celica«določeno notanjo uponost; standadni tip D ima pi napetosti celice V notanjo uponost 1 mω. Nikelj kadmijeve bateije (Ni-Cd) so mehansko tdne in imajo dolgo življensko dobo. Imajo tudi dobo nizkotempeatuno kaakteistiko in so hemetično zapte. Imajo pa višjo ceno kot svinčene ali nikel-cinkove bateije. V gobem jih po izdelavi delimo na dva tipa: celice z debelimi ploščami v kateih je aktiven mateial stisnjen v pefoian metalni tak v obliki žepkov ali tubusov, in na celice s sintanimi ploščami v kateih je aktivni mateial deponian v poozne eže metala. Posebno slednje imajo majhno notanjo uponost in sposobnost velike obemenitve. Upoabljajo se na pime v biomedicfinskih napavah, igačkah, itd. Vsebujejo toksične substance. 5/11 DK

166 Vi napetosti(4b).doc 16/1/7 Nikelj metal hididne bateije. Omogočajo večjo gostoto enegije (enegija na kilogam teže) venda manjše število ponovnih polnenj kot nikel-kadmijeve bateije. Upoaba: mobilne napave. Litijeve-ionske bateije. Hite azvoj, saj omogočajo zelo velike gostote enegije in majhno težo. Upoaba: mobilni telefoni in penosni ačunalniki. Litij je najlažji element od kovin, ima velik elektokemijski potencial in omogoča največjo gostoto enegije. Metalne litijeve bateije so se izkazale kot nevane, saj se pi večkatnih polnenjih slabša tempeatuna kaakteistika (stabilnost) litijeve elektode. Ta tip so nadomestile litij ionske bateije, ki so bolj vane: Pvo jih je komecialno začel izdelovati Sony leta Običajno je ena elektoda (anoda) iz gafita, duga (katoda) pa iz kobalta ali magnezija. Elektolit je iz litijeve soli (LiPF 6, LiBF 4, o LiClO 4 ). Ena celica ima tipično napetost 3,6 V. Čas polnenja je tipično 3h. Komecialne Li-ionske bateije vsebujejo zaščitne elemente, na pime FET, ki odklopi bateijo, če je napetost višja od 4,3 V in vaovalko, ki odklopi tok, če tempeatua celice naaste na tempeatuo višjo od 9 o. Poleg tega ima še vaovalo, ki pemanentno odklopi celico, če se poveča pitisk v notanjosti celice nad določeno vednost. Tipična»življenska doba«li-ionskih bateij je 3 5 ciklov polnenja in paznenja ali dveleti od dneva poizvodnje. (Vi: Wiki in SLIKA: Pimejava bateij po gostoti enegije, notanji uponosti, času polnenja, itd. Vi: 6/11 DK

167 Vi napetosti(4b).doc 16/1/7 SLIKA: Pimejava pednosti Litijevih bateij ped ostalimi glede na gostoto enegije. 7/11 DK

168 Vi napetosti(4b).doc 16/1/7 SLIKA: Bateija iz bakove in cinkove elektode z elektolitom iz azedčene žveplene kisline. Galvani in Volta. Zanimiva je zgodba nastanka Voltinovega izuma, ki je povezana s poskusi Luigija Galvanjija, Voltinega sonaodnjaka, ki je pesenečeno ugotavljal, da mtvi žabji kaki eagiajo na dotik s kovino, ka je azlagal z živalsko elektiko. Volta je tej teoiji naspotoval in dokazal, da je to posledica zunanje geneiane napetosti, ka je tudi dokazal z upoabo elektike shanjene v Leidenski flaši ali pa z bimetalom, toej s stikom dveh azličnih kovinskih mateialov. Dandanes vemo, da smo tudi ljudje sestavljeni iz celic, ki za svoje delovanje upoabljajo elektokemijske pincipe in da je penašanje signalov živčnih celic elektične naave. Toej je imel delno Galvani pav, obstaja živalska elektika, le da je bila njegova intepetacija napačna. V njegovem pimeu je bil ezultat tzljaja elektični sunek, ki je bil zunanje (ekstinsično) in ne notanje keian. Voltini ekspeimenti in dognanja so mu pinesli pomembna piznanja (nagada Royal Society leta 1791, Copleyeva nagada leta 1974) in veliko slavo. Raziskave je nadaljeval v smei povečanja napetosti, ki je bila zelo šibka (manj kot 1 V) in jo je bilo težko zaznati s tedaj najpopolnejšimi elektometi. Uspelo mu je z zapoedno povezavo šalčk z elektolitom in bimetalnimi elektodami. Povezal je diske iz cinka in seba te vmes dodal šibko kislino ali slano vodo in dobil Voltino kaskado, pi katei se je napetost na skajnih koncih povečevala v soazmeju s številom upoabljenih členov. Zgodovinsko je moda zanimivo, da je njegovo delo močno podpl Napolenon, ki mu je podelil naziv vitez (Conte) in dal penzijo. Hkati je Napoleon, ki se je zavedal pomena novih odkitij azpisal nagado 6 fankov za vsakoga, ki bi dosegel podobne dosežke kot Fanklin in Volta. Leta 1881 na pvem intenacionalnem elektičnem (elektotehničnem) kongesu v Paizu, so v čast Volti po njemu poimenovali enoto za napetost. 8/11 DK

169 Vi napetosti(4b).doc 16/1/7 SLIKA: Voltine šalčke z elektolitom in azličnima elektodama te Voltina kaskada. Obstaja mnogo načinov geneianja elektične napetosti. Poleg bateij je najbolj pomemben pincip upoabe geneacija izmenične napetosti z elektodinamskim načinom, ki pa ga bomo bolj natančno spoznali pi pedmetu OE. SLIKA: Volta na»staem«bankovcu za 1 li. Sončna celica. Osnovni pincip delovanja sončne celice je geneacija paov elekton - vzel pod vplivom visoko enegijskih sončnih žakov. Vzel pedstavlja pomanjkanje elektonov v dopianem polpevodniškem mateialu ozioma nezaključene vezi med atomi polpevodnika in dopanta. Vzel se obnaša ekvivalentno pozitivnemu naboju in lahko potuje po polpevodniku, če nanj deluje elektična sila. Njeno potovanje pa je počasnejše, kot potovanje postih elektonov (ečemo, da je mobilnost vzeli manjša od mobilnosti vzeli). Poleg tega je v polpevodnikih potebno upoštevati tok, ki je posledica kajevne azlike v koncentacijah nabojev, tako elektonov kot vzeli. Ravno ta tok povzoči, da pi stiku dveh polpevodnikov azličnega tipa pide do peazpoeditve naboja in s tem do vgajenega elektičnega polja. 9/11 DK

170 Vi napetosti(4b).doc 16/1/7 SLIKA: Sončna celica sestavljena iz polpevodniškega pn spoja. Na povšini je antiefleksni sloj, ki povečuje absopcijo svetlobne enegije. Čisti, nedopian, polpevodniški mateial (ecimo Si ali Ge) je izolato. Njegova specifična pevodnost je zelo majhna. Če pa ga dopiamo z določenimi atomi, ecimo fosfoja ali boa, se ti atomi vgadijo v kistalno stuktuo silicija. Dopianje se vši na zelo visoki tempeatui (čez 1 o C). Z dopianjem vnesemo v kistalno stuktuo silicija atome (pimesi), ki s sosednjimi atomi silicija tvoijo nezaključene vezi, ka v končni obliki pomeni, da je v pimeu vgajenega atoma fosfoja na mestu fosfoja višek elektona, ki je zelo šibko vezan na atom in je paktično posto gibljiv. Na ta način lahko s kontolo množine (koncentacije) dopianih atomov uavnavamo pevodnost polpevodniškega mateiala. Tak tip polpevodnika imenujemo n (negative) tip. Kljub določeni koncentaciji postih (šibko vezanih) elektonov v snovi, pa je ta mateial še vedno elektično nevtalen. Če podobno dopiamo silicij z atomi boa, tvoi atom boa z okoliškimi vezmi silicija nezaključeno vez, ka pedstavlja pomanjkanje elektona ozioma vzel. Tak tip polpevodnika imenujemo p (positive) tip. Tudi tak tip polpevodnika je pevoden, le da je mobilnost vzeli manjša kot mobilnost elektonov. Zanimiv pa je stik dveh polpevodnikov azličnega tipa. Ob stiku se tvoi t.i. pn spoj. Tu pide zaadi izenačenja potenciala na meji do peazpoeditve nabojev, ka pomeni, da postane del pevodnika na meji bez nosilcev naboja in s tem ne več nevtalen. Ostane vezan naboj, ki ustvai vgajeno elektično polje. To polje kaže od n-tipa poti p-tipu polpevodnika. To vgajeno polje se veča z večanjem t.i. zapone napetosti, toej tedaj, ko je na zunanji sponki n-tipa bolj pozitiven potencial kot na zunanji sponki p-tipu polpevodnika. V tem pimeu skozi pevodnik teče le majhen, zaponi tok. V naspotnem pimeu pa zunanja napetost povzoči zmanjšanje vgajenega polja in poveča pevodno pogo. Ko zunanji vi vgajeno polje (pi pn diodi iz Si pi cca.,7 V) izniči postane pn spoj pevoden in tok hito (eksponentno) naaste. pn dioda je tipičen nelineaen element. Kot smo že omenili je za delovanje sončne celice pomembna geneacija paov elektonvzel. Če ta geneacija nastopi v osiomašenem podočju (kje je vgajeno polje), to polje potegne elektone v naspotni smei polja, vzeli (pozitivni naboj) pa v smei polja. Ti naboji pedstavljajo zmanjšanje vgajenega polja venda obenem pesežek negativnih nabojev v n-tipu in pesežek vzeli v p-tipu polpevodnika. Povzočijo neavnotežje, ki ga lahko zmanjšamo, če tako diodo katko sklenemo ali pa, če nanjo piključimo določeno beme. Skozi beme steče tok, ki povzoči ponovno vzpostavitev avnotežja. Če je fotogeneacija konstantna, je konstanten tudi tok, ki teče skozi piključeno beme. Dobili smo geneato toka. Več toka bomo seveda dobili če bo večja geneacija paov elekton- 1/11 DK