UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE POČTU UDALOSTÍ Peter Kertys

Transcription

1 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE POČTU UDALOSTÍ Peter Kerts

2 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY MODELOVANIE POČTU UDALOSTÍ Baalársa ráca Študý rogram: Eoomcá a fačá matemata (Jedoodborové štúdum, baalárs I st, deá forma) Študý odbor: 99 alovaá matemata Šolace racovso: Katedra alovae matemat a štatst Šolteľ: RNDr Beáta Stehlíová, PhD Evdečé číslo: da9a-4aef-bc9d-d4bf6bc3 Bratslava, Peter Kerts

3

4 ČESTNÉ PREHLÁSENIE Prehlasuem, že redložeú baalársu rácu som vracoval samostate s oužtím uvedee lteratúr V Bratslave, 36 ods autora ráce v

5 POĎAKOVANIE Chcem sa úrme oďaovať šolteľe moe baalárse ráce, RNDr Beáte Stehlíove, PhD, za e dôsledé vedee, oštrutíve rome, ale amä za e rívetvý rístu, flexbltu a ochotu Ďauem a moe rode a rateľom za vtrvalé ovzbudzovae, trezlvosť a schcú odoru V eosledom rade ďauem a áu Bohu Ďauem tatež a Tomášov Vroňsému a Jae Mózešove za ch eoceteľú štlstcú omoc očas celého ísaa ráce v

6 Abstrat KERTYS, Peter Modelovae očtu udalostí [Baalársa ráca] Kerts Peter Uverzta Komesého v Bratslave, Faulta matemat, fz a format, Katedra alovae matemat a štatst Šolteľ: RNDr Beáta Stehlíová, PhD Bratslava FMFI UK,, očet strá 48 Predmetom redladae baalárse ráce e aláca matematcých ozatov o Possoovom rozdeleí a vtvoree Possoovho regresého modelu, torý redovedá budúc očet udalostí V rác sa asôr redvedú rôze model re modelovae očtu udalostí Následe sa redstaví Possoovo a egatíve bomcé rozdelee V teto čast sú tatež oísaé ch záladé charaterst a odvodeé stredé hodot a dserze Ďale sa ráca veue odrobému osu Possoovho regresého modelu, odhadovau arametrov, ch vlastostam a testovau hotéz o model Dôležtú časť tvorí a vtvoree a vsvetlee modelu v štatstcom softvér R Podstatou ráce e aoec samotá ratcá aláca ozatov o Possoove regres a modelovae očtu úmrtí ásledom doravých ehôd vo Švédsu v rooch Vchádzame z aalýz a modelov štatstcého šttútu dorav vo Švédsu, torú odrobe overíme a odrobíme dôladému resúmau a testovau Tatež sa veueme orovau redovedaých výsledov s realtou Kľúčové slová: očet udalostí, Possoovo rozdelee, egatíve bomcé rozdelee, Possoova regresa, Possoov model v R, úmrta ásledom ehôd, smrteľé doravé ehod, Švédsa dorava v

7 Abstract KERTYS, Peter Models for cout data [Bachelor s wor] Kerts Peter Comeus Uverst Bratslava, Facult of Mathematcs, Phscs ad Iformatcs, Deartmet of Aled Mathematcs ad Statstcs Thess suervsor: RNDr Beáta Stehlíová, PhD Bratslava FMFI UK,, 48 gs The theme of roosed wor s the alcato of mathematcal owledge about Posso dstrbuto order to create Posso regresso model, whch should redct further cout data At the begg we offer descrto of dfferet models for cout data Furthermore the Posso ad egatve bomal dstrbuto are troduced Ma characterstcs, derved mea ad varace of these dstrbutos are descrbed too ths secto As follows we are amed o recse descrto of Posso regresso model, estmatg arameters, ther attrbutes ad testg model hothess Creatg ad mlemetato of the Posso model to statstc software R s a sgfcat art as well The ma art s a ractcal alcato of formato ow about Posso regresso ste of modelg traffc fataltes Swede durg erod The estoe of ths art s stud o traffc fataltes made b Swedsh Natoal Road ad Trasort Research Isttute A roer aalss ad revse of ths stud s the followed b model testg Fall we would comare redcted results wth the realt Kewords: cout data, Posso dstrbuto, egatve bomal dstrbuto, Posso regresso, Posso model R, death caused b traffc accdet, traffc fataltes, Swede traffc v

8 Obsah Obsah v Úvod Model s dsrétou závslou remeou Modelovae očtu udalostí 4 Possoovo rozdelee 4 Negatíve bomcé rozdelee 7 3 Rozdel medz Possoovým a egatíve bomcým rozdeleím 4 Modelovae väčšeho očtu úl 5 Ďalše model 3 3 Possoov regresý model 4 3 Formuláca a šecfáca 4 3 Odhadovae arametrov 6 33 Testovae hotéz 9 4 Possoov regresý model v softvér R 3 4 Prírava dát 3 4 Modelovae 4 43 Negatíve bomcý model 5 5 Model očtu úmrtí ásledom doravých ehôd vo Švédsu 7 5 Švédsa štúda 7 5 Modelovae očtu úmrtí ásledom ehod odľa štúde 8 53 Alteratíve model Testovae modelov Negatíve bomcý model 36 Záver 38 Lteratúra 39 v

9 Úvod Túto tému som s zvoll re e sotosť s blízou budúcosťou Oddáva ľuda remýšľal, ao redovedať astávaúce udalost a s rozvoom matemat sa teto s stávaú sutočosťou Des sa už beže modeluú eoomcé a socologcé av omocou rôzch modelov, z torých hlavá časť má svo ôvod v dobre oísae mulost Modelovae očtu udalostí sa od ostatých modelov líš hlave svoou dsrétosťou, t celočíselosťou Vďaa teto vlastost možo model očtu udalostí oužť v mohých oblastach reáleho žvota V teto rác sa budeme veovať hlave Possoovmu regresému modelu, torý e zároveň avac oužívaým modelom re očet udalostí Nemáme za ceľ redložť možstvo formác o model, ale chceme ho redstavť v edoduche, rístue forme a redladáme a etoré záladé dôaz Zhreme záladé ozat s reoeím a ratcé oužte Porovae redovedí z mulost o udalostach, toré už medztým astal, ám áslede uáže vhodosť taéhoto modelovaa a celový ríos modelu Dalo b sa ovedať, že čtateľ b mohol oužť túto rácu ao ávod re vtvoree svoho vlastého modelu

10 Model s dsrétou závslou remeou Pre valté oísae bežých avov a ch vývu v budúcost sa často vtváraú matematcé model Jedým z aoužívaeších štatstcých a eoometrcých modelov e leára regresa Závslú remeú Y modelueme omocou ede, alebo vacerých vsvetľuúcch remeých Y K x, K, x Predoladáme, že závslosť má tvar β βx β x ε, re eaé oefcet β, K,β Náhodá remeá ε vadrue odchýlu sutoče hodot Y od e strede hodot Klascým redoladom e ormále rozdelee ε Aooľve a r oslabeí tohto redoladu, čo e bežé, ostáva Y r daých hodotách x, K, x sotou áhodou remeou O regresom model sa dá vac dočítať v hách od Greeea [], Motgomerho [], alebo Fshera [3] Reál svet e vša v mohých ríadoch dsrét Ao rílad ám môžu slúžť výsled voleb, eď addát dostae aoec resý očet hlasov, alebo očet ochoreí, eď rese ľudí ochore, ríade, eď sa za ro udee rese 4 doravých ehôd V etorých ríadoch môžeme re očet udalostí oužť aroxmácu sotým rozdeleím Na obrázu vľavo e uáža hustot, torou b sme modeloval očet hlasov, torá eaá straa dostae vo voľbách Je to soté rozdelee, ravdeodobosť ažde oréte hodot e ula, ale eďže emá ratcý výzam rozlšovať arílad medz 4 a 4 hlasm, emusí to bť roblém Pratc ás zauímaú ravdeodobost určtých tervalov (V sutočost b v tomto ríade mohlo bť leše modelovať erceto očtu hlasov, toré straa dostala) Na obrázu vravo e soté rozdelee avrhuté re očet gólov vo futbalovom záase Na rozdel od redchádzaúceho ríadu, teto model oužteľý e e, lebo r týchto malých očtoch sotý model e e dobrou aroxmácou

11 obrázo : Prílad rozdeleí Model re dsréte závslé remeé môžeme rozdelť do eoľých suí odobe ao Gree [] Ich oužte lustrueme a ríladoch Modelovae očtu udalostí Vo všeobecost e to remeá, tore výv adobúda ezáoré hodot,,, Môžeme arílad modelovať očet atetov za ro, očet redaých áut v rae za mesac, alebo očet vmešaých dí žam Teto model maú šroé vužte vo vacerých odboroch a dsclíach ao zdravotíctvo, šolstvo, osťovíctvo, ale a eoóma Kvaltatíve model Sem atra model, de závslá remeá e ódovaím re eaý valtatív výstu Model môžu bť rôzeho charateru: Báre model arílad účasť oslacov v arlamete: e bude ódovaé ao a áo ao Model orada arílad ázor v aete: re sle rot, rot, eutrál, 3 za, 4 sle za Teto čísla sú stuňovaím a hodota e sôr oradím ao valtatívm uazovateľom Kategorcé model arílad t zamestaa: ech e ezamestaý, študet, žer, 3 ráv, atď Teto dáta sú zväčša ategóre, eudávaúce očet a orade Každý z týchto tov modelov s vžadue ý rístu modelovau M sa v teto rác budeme zaoberať rvou tredou modelov modelovaím očtu udalostí 3

12 Modelovae očtu udalostí V asleduúce čast redstavím záladé rozdelea oužívaé r modelovaí očtu udalostí Teto rozdelea sú sracovaé redovšetým odľa [4], é zdroe sú uvedeé a ríslušom meste Netoré záladé tvrdea uvedeé v [4] bez dôazu sú doleé o dôaz Podrobeše oíšem hlave dve avac oužívaé rozdelea, Possoovo a egatíve bomcé Possoovo rozdelee Je rozdeleím, toré sa r modelovaí očtu udalostí oužíva avac Jeho výhodou e relatíva edoduchosť a rtom efetívosť Defíca Nech Y e áhodá remeá s dsrétm rozdeleím, toré e defovaé a može celých ezáorých čísel {,,,K } Y má Possoovo rozdelee s arametrom > (ozačueme ao Y ~ Posso ), a eho rozdelee ravdeodobost e e P( Y ) ),,,,K! Stredá hodota a dserza Stredú hodotu áhode remee Posso Y ~ e rová arametru : E( Y ) e ( ) P Y e ( )! e e! e! e ( )! Podobe vočítame E ( Y ) : 4

13 5!!!!!!!! ) ( e e e e e e e e P Y Y E Dserza e otom [ ] ) ( ) ( ) ( Y E Y E Y D Pre modelovae omocou tohto rozdelea e veľm dôležtý vzťah, že stredá hodota e rová dserz 3 Possoovo rozdelee a modelovae očtu udalostí Uvažume udalost, toré áhode astávaú v čase a defume stochastcý roces { } T t t X, ao očet udalostí, toré sa usutoča red časom t Uvedomme s, že otom re t s < udáva s X t X udáva očet udalostí v tervale t s, Proces očtu udalostí sa azýva stacoárm a rozdelee očtu udalostí v aomoľve časovom tervale záleží ba od dĺž tervalu, t re aždé čas t t a re aždé > s (ozačue dĺžu tervalu) latí t X t X s t X s t X Hovoríme, že roces očtu udalostí má ezávslé rírast, a očet udalostí v dsutých tervaloch e ezávslý (rírast rocesu X vadruú očet udalostí, toré astal) Pomocou týchto vlastostí teraz defueme Possoov roces, rčom defueme rozdelee eho rírastov (t oíšeme, ao astávaú udalost, torých výst teto roces očíta) Possoov roces e sotý roces očtu udalostí v čase so stacoárm a ezávslým rírastam Môžeme to teda formále zhrúť ao Pravdeodobosť, že sa obaví udalosť očas tervalu t t, e stochastc ezávslá a očte udalostí red časom t

14 Pravdeodobost očtu udalostí očas tervalu ( t ) dĺž tohto tervalu Ozačme ( t t ) očas tervalu ( t ) P t, závsa ba od Y, očet udalostí, toré astaú t, Possoov roces e charaterzovaý tým, že { Y( t, t ) } o( ) a P{ Y ( t t ) } o( ), Promeňme s, že o ( ) e fuca, re torú latí [ ( ) / ] o a Pravdeodobosť astaa udalost očas určtého časového tervalu e roorčá dĺže tervalu a roorčý fator e oštata ezávslá od t Všmme s, že otom { Y ( t t ) > } P{ Y( t, t ) } P{ Y ( t, t ) } o( ) P, Ozačme ďale ( t ) P{ Y (, t ) } ao ravdeodobosť, že sa udee udalostí a tervale dĺž ( t ) (zo stacoart vlýva, že táto ravdeodobosť závsí ba od dĺž tervalu) Hodota re { Y (, t ) } ombáca ( ) možostí: môže bť vadreá ao { Y (, t) } { Y ( t, t ) }, { Y (, t) } { Y ( t, t ) }, K, { Y (, t) } { Y ( t, t ) } Z ezávslost vlýva, že ravdeodobosť aždého všše uvedeého výstuu sa rová súču edotlvých ravdeodobostí dvoch častí Narílad a odobe [{ Y (, t) } { Y ( t, t ) } ] ( t) ( o( ) ) ( t)( ) o( ) P I, P [{ Y (, t) } { Y ( t, t ) }] ( t) ( o( ) ) ( t) o( ) I, [{ Y(, t) } { Y ( t t ) } ] o( ) P I,, re Naoec, eďže teto uvažovaé možost sú dsuté, ravdeodobosť ch zedotea e daá súčtom ch ravdeodobostí, a teda dostaeme ( t ) ( t)( ) ( t) o( ) ( t ) ( t) A sravíme lmtu, dostaeme Podobe d dt ( t) d dt ( t), teda ( ) o ( ( t) ( t) ) ( ( t) ( t) ) ( ( t) ( t) ) ( ( t) ) ( t) 6

15 Touto dferecálou rovcou s očatočou odmeou ( ) (eďže a tervale dĺž ula eastae žada udalosť s ravdeodobosťou ) zísame re > ( t) ex( t) Matematcou ducou teraz doážeme, že re aždé latí ( t) Pre výočet ( t) a dostaeme: ( t) t oužeme dučý redolad, že toto tvdrdee latí a re ( t) ex( t) ( ) ex( ( t s) ) ex de sme vužl, že ( ) rozdelee t s t ( )! t ds re ( t)! Negatíve bomcé rozdelee e t, ( s) ( )! ex ( s)! ds Potom re aždé t, tvorí ( t) e Possoovo Je hlavou alteratívou voč Possoovmu rozdeleu Výhodou tohto rozdelea e rdaý ďalší arameter umožňuúc väčšu flexbltu v modelovaí dserze Ao sme vdel, v ríade Possoovho rozdelea, stredá hodota sa zhodue s dserzou Pr aalýze reálch dát sa vša často stretávame s tým, že dserza e väčša (arílad roztl volebých výsledov býva tamer vžd väčší ao ch stredá hodota, reto bol dcé voľb v rou 4 modelovaé cez toto rozdelee vď [5]) Negatíve bomcé rozdelee ám umožňue túto charaterstu zachtť omocou rdaého arametra θ Defíca Náhodá remeá Y má egatíve bomcé rozdelee s arametram a θ, (ozačume ao Y ~ Negb (,θ )), a rozdelee ravdeodobost e Γ( ) ( ) Γ( ) θ P( Y ),,,,K, Γ θ θ de Γ ( ) e Gama fuca defovaá vzťahom s Γ s z e z dz re s > 7

16 8 Klascý bomcý oefcet sa omocou gama fuce zovšeobecí a re mmo mož rrodzeých čísel, ozr [6] Potom ravdeodobosť udalost Y môžeme zaísať ao Y P, de sme ozačl θ Stredá hodota a dserza Narv doážeme, že latí rovosť Pre zovšeobeceé bomcé oefcet latí, ozr [6] Z toho dostaeme a a, res a a Vužtím zovšeobecee bomce vet (vď [6]) dostaeme ) ( a a a a, čo o dosadeí otvrdzue redoladaú rovosť Stredú hodotu vrátame ao: θ Y E!!!

17 9 Podobe Y E bude: [ ] /!!! /!!! θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ E Y Dserza e otom: [ ] θ θ θ θ θ θ θ Y E Y E E Y D Y Keďže θ, ta dserza egatíve bomcého rozdelea resahue svou stredú hodotu 3 Parametrzáca Toto rozdelee sa oužíva v rôzch arametrzácách Ozačme θ, de e stredá hodota Rozdelee sa zväčša oužíva v asledových formách, toré oísal už Camero a Trved v rou 986 (vď [7]) Negb I: V tomto ríade sa uvažue trasformáca θ / Potom dserza bude

18 θ Y D, a ravdeodobosť vadreá omocou arametrov θ, má tvar Y P Γ Γ Γ θ θ θ θ θ θ / / / Negb II: Tu uvažume trasformáca θ / Potom Y D Pravdeodobosť vadreá omocou arametrov θ, má tvar Y P Γ Γ Γ V rax sa oužívaú a mohé é arametrzáce somíaé v hách veuúcch sa dsrétm rozdeleam (orova [8]) 4 Vz egatíve bomcého rozdelea Budeme ostuovať odľa [9] Nech áhodá remeá X má Possoovo rozdelee s arametrom Na veľosť (hodotu) arametra vlýva veľa fatorov Preto ho môžeme ovažovať za áhodú remeú A redoladáme, že má gama rozdelee s arametram q / ;, t eho hustota e q e q f q < < > Γ,,,, ta áhodá remeá X má egatíve bomcé rozdelee s arametram ; Pravdeodobosť toho, že x X otom bude K,,,,!!! Γ Γ Γ Γ x x x x x q d e x q d e q x e x X P x x q q x, čo e ravdeodobosté rozdelee egatíve bomcého rozdelea

19 3 Rozdel medz Possoovým a egatíve bomcým rozdeleím Už sme someul, že r dae strede hodote e dserza Possoovho rozdelea edozače určeá (a rová strede hodote), ým v ríade egatíve bomcého rozdelea môže adobúdať rôze hodot (väčše ao stredá hodota) Na obrázu e Possoovo rozdelee so stredou hodotou 3 a eoľo egatíve bomcých rozdeleí re orovae s rovaou stredou hodotou, toré sa líša dserzou v edotlvých ríadoch sa rová 4, 6, 9 Porovae Possoovho rozdelea so stredou hodotou E ( Y ) 3 a egatíve bomcého e odľa obráza asledové: obrázo : Porovae Possoovho a egatíve bomcého rozdelea Ďalším rozdelom medz Possoovým a egatíve bomcým rozdeleím e ravdeodobosť toho, že modelovaá remeá adobude ulovú hodotu Z ravdeodobostých rozdeleí Possoovho a egatíve bomcého rozdelea vlýva re ulový očet udalostí, že

20 ( Y e a ( Y ) P oss ) P egb A teda máme daú stredú hodotu, v ríade Possoovho rozdelea e ravdeodobosť, že Y už určeá V ríade egatíve bomcého rozdelea závsí od druhého arametra Zoberme teda stredú hodotu, a obrázu 3 vdíme závslosť ravdeodobost ulove udalost v závslost od arametra egatíve bomcého rozdelea Táto ravdeodobosť e orovaá s ravdeodobosťou teto udalost re Possoovo rozdelee s rovaou stredou hodotou Platí (ozr []) lm e, a teda lm f b ( ) lm f s ( ) Pre oečé vša latí (ozr tež []) < e, čo zameá egb ( ) Poss ( ) P > obrázo 3:Podmeeé rblížee egatíve bomcého rozdelea Possoovmu 4 Modelovae väčšeho očtu úl Teto model slúža a oísae dát, toré obsahuú veľa ulových údaov Dobré orovae týchto modelov e v [] Vo všeobecost môže ula v dátach zameať buď sutočú -ovú ameraú hodotu, alebo eameraú hodotu Ao rílad ám môže slúžť očet detí že Buď mala detí, lebo bola elodá, alebo mala detí, lebo sa ta rozhodla Iý rílad e modelovae očtu chteých rýb deťm, toré sa a výlete sažl chtať rb a rôzch mestach v rôzch odmeach Ne všet det sa vša do chtaa rýb zaol

21 Teto model sa otom odhaduú omocou dvoch rovíc, edou re očet udalostí vrátae ul a druhou re eusutočteľé udalost - adbtočé ul V tomto model sa doĺňa ešte eda bára remeá c, omáhaúca vsvetlť -ové očt udalostí: * a c a c A ravdeodobosť, že c ozačíme ao ω, ta rozdelee ravdeodobost Y môže bť aísaé ao de P a a,,k d a egatíve bomcého rozdelea ( Y ) ω d ( ω) g,,,, K g e ravdeodobosť bežého Possoovho, alebo Na všše somíaom rílade s rbam b sme v rvom rou modeloval ravdeodobosť, že deťa echtí rbu Pre ostaté det otom oužeme Possoovo rozdelee (v torom tež môžu vzúť eaé ul, a deťa síce chtať bude, ale eodarí sa mu chtť žadu) 5 Ďalše model Struče someeme etoré ďalše t modelov: Model, de sa ombuú dva model a to očet ulových udalostí a ladý očet udalostí s Possoovým, geometrcým, alebo egatíve bomcým rozdeleím Possoov, alebo egatíve bomcý model, de sa z dát vberú ulové hodot Krížeý model, torý vzaú zložteším sáaím a arametrzácou modelu re väčší očet úl Podrobost sa daú ásť v [4] 3

22 3 Possoov regresý model Possoov regresý model e záladý model re modelovae očtu udalostí, rovao ao všeobecý leár regresý model re modelovae reálch sotých dát Vlastost modelu, roblém a etoré z ríladov vchádzaú oäť od Weelmaa [5] Prvýrát sa model somía v rou 98 Glbertom [], esôr ho odrobeše rozvul Camero a Trved v rou 986 [8] Model dostal meo odľa záladého redoladu a to, že súmaá velča má Possoovo rozdelee Pre svou relatívu edoduchosť, r tore s zachováva robustosť, e zároveň a aoužívaeším modelom r modelovaí očtu udalostí Possoova regresa vchádza z toho, že závslá celočíselá a ladá remeá Y má Possoovo rozdelee Má ede arameter, torý e stredou hodotou a tatež dserzou rozdelea súmae remee Logartmus očaávae hodot e modelovaý ao leára ombáca ezámch arametrov Teto model e tež eed zám od meom log-leár model [3] Uveďme eoľo ríladov oréteho oužta Possoove regrese McCullagh a Nelder [4] ozoroval ehod určtých lodí sôsobeé vlam a zálade dát osťovace soločost Modeloval očet ehôd odhladuc od stuňa a rozsahu ošodea Švédsa štúda v rou 5 [5], tore sa odrobeše veueme ďale modelovala očet úmrtí ásledom doravých ehôd za ro a zálade dát o obvateľoch a ceste remáv z roov a redovedal modelom očet úmrtí v rou 7 Modelovae očtu arodeých detí a Fdž závsac od dĺž trvaa maželstva, mestu bdlsa a vzdelaa mat (vď [6]) 3 Formuláca a šecfáca Model Possoove regrese sa vzťahue ravdeodobosté rozdelee závsle remee Y v závslost od regresorov X Nech e očet regresorov (zvčae zahŕňaúc oštatu), X e otom vetor dmeze Naoec e očet ozorovaí v súbore Štadardý Possoov regresý model oužíva 3 asleduúce redolad: 4

23 Predolad (Possoovo rozdelee): Predoladáme, že súmaá remeá Y má Possoovo rozdelee Pravdeodobosť, že astae udalostí za edotu času, a arameter rozdelea e >, e otom e P( Y ),!,,,K Predolad (logartmcá forma): Parameter sa dá vadrť v tvare ex ( x β ), de β e vetor arametrov a x e vetor regresorov obsahuúc oštatu To zameá, že logartmus arametra e leárou ombácou regresorov Predolad 3 (ezávslosť): Pozorovaa ( x ),, detc rozdeleé Hlavé výhod tohto tvaru strede hodot sú (odľa [5]):, Automatc zachováva ezáorý rozsah závsle remee, K sú ezávslé a Postue edoduchú terretácu oefcetov v zmsle sem-elastct aý ercetuál vlv má zmea ede ezávsle remee, r zafxovaí ostatých remeých, a odhad E ( Y ), t Ao uvdíme esôr, vede edoduchým výočtom fuce verohodost a odhadovau arametrov Exstuú vša a ríad, ed taýto model e e vhodý Oäť odľa [5] uvedeme eoľo taýchto stuác: Neozorovaá heterogeta dát Hodot regresorov x,, x rostredíctvom fuce ex ( x β ) určuú teztu, s aou sa udalostí K obava A b v model bola ešte eaá ďalša remeá ovlvňuúca teztu, torú b sme vša evedel ozorovať, čell b sme roblému s eozorovaou heterogetou dát Chba meraa Narrodzeeším ohľadom a modelovaím chb meraa e vchádzať z e remee odvodee od x a to arílad z x ε, de sa o áhode remee ε redoladá, že e ezávslá od x, má stredú hodotu a ovaračou matcou Ω Guo a L [7] dobre oísal dôsled taéhoto 5

24 astavea Zstl, že tato uraveá remeá z e e veľm vhodá re Possoovu regresu a arúša ozstetosť modelu Závslosť Pôvodý model redoladá o edotlvých ozorovaach, že sú ezávslé V realte sa ale často stáva, že teto redolad e arušeý, arílad v ríade časových radov, eď hodot remeých v čase e sú ezávslé Dá sa to rešť omocou modelovaa samotého rocesu závslost Model e zostaveý ba z čast sutočých dát Stáva sa to arílad vted, a * e celový očet udalostí (torý eozáme) a ahláseý očet udalostí Toto eahlásee môže vzať z rôzch dôvodov (áhodé eahlásee, logstcé eahlásee a odmeeé eahlásee) Podobe ao v atole o ravdeodobostých rozdeleach môže bť roblémom väčša dserza (romeňme, že v Possoovom model e rová strede hodote), väčší očet úl, atď Nebudeme sa veovať všetým týmto roblémom a otrebým modfácám Possoovho modelu V aše rác sa budeme veovať otáze dserze 3 Odhadovae arametrov 3 Výočet odhadov arametrov Nasôr vsvetlíme rcí metód maxmále verohodost (ozr ar [8]) Mame ozorovaí, toré chceme modelom vsvetlť Pre údae tu (, x ), de e vsvetľovaá remeá, x e vetor regresorov a β e vetor arametrov, združeá fuca hustot bude súč edotlvých odmeeých hustôt (v sotom ríade), res ravdeodobostí (v dsrétom ríade) tu ozačueme obe smbolom f f (,, x, Kx; β ) f ( x ; β ) K Táto fuca sa ozačue ao fuca verohodost (lelhood fucto) a íše sa ( β, K,, x, K ) L L, teda cháeme u ao fucu arametrov β ; x Potom odhad metódou maxmále verohodost bude argumet maxma teto fuce, t 6

25 ( β;, K,, x, K ) ˆ β arg max L x Pre zedodušee výočtu sa teto súč zedodušue logartmcou trasformácou (zachováva argumet maxma) a logartmcú fucu verohodost (log-lelhood fucto) l log L Táto trasformáca zároveň umožňue vužte cetrále lmte vet r súmaí vlastostí zísaého odhadu V ríade Possoovho regresého modelu bude (ozr [5]) l ( β; Y, X ) log P( Y x, β ) log P( Y x, β ) ex ( x β ) x β log! Hodota β, re torú sa adobúda maxmum (ozačíme u βˆ ) sa vráta lascou rvou dervácou fuce l, oložeou do rovost s ulou V Possoovom regresom model, ta zísame dervác rslúchaúce edotlvým hodot β, β,, β K Teto β budeme mať v edom vetore ozačovaom ao gradet, alebo sóre Teto vetor dervác vrátame ao ( β;, x) l s ( β;, x) β β de e očet údaov Rešme teda rovcu Na tomto meste s ešte ozačme rezíduá ( ˆ ;, x) s β ameraých a to u ˆ Eˆ ( x ) ex( x βˆ ) [ ex( x )] x û ao rozdel redovedaých hodôt od, V zísaom sstéme rovíc re vetor s ďale odľa odmeo rvého rádu re ádee maxma re oštaté x musí latť u ˆ a re eoštaté regresor odme ortogoalt uˆ x, K,, Pre overee, č sme aoza zísal maxmum otrebueme zrátať a druhú dervácu fuce verohodost l Táto druhá derváca ám dá Hessá H ( β, x) ( β;, x) l ; ex( x ) β x xí, β β 7

26 torý e záore deftý re všet hodot β Fuca l e teda oáva a ta latí, že zísaý odhad βˆ e sutoče maxmom verohodoste fuce 3 Vlastost odhadov Vlastost odhadu βˆ sú sumarzovaé v asleduúcom overgečom vzťahu, torý formuloval a doázal omocou cetrále lmte vet Amema [9] a Cramer [] de ( ˆ d β β ) N(, I( β ) ) ; d e overgeca odľa dstrbúce a Fsherova formačá matca I ( β ) e rová záore očaávae strede hodote Hessáu založeom a ozorovaach s oužtím sutočého arametru β I ( β ) ( β;, x) l E β β Odhad metódou maxmále verohodost e asmtotc evchýleý, lebo rozdelee, u tore overgue e cetralzovaé a sutočú hodotu arametru β Odhad e ďale asmtotc efetív, eďže eho dserza e rová verze Fsherove formác, teda Cramér-Raove dole hrac re evchýleý odhad Keďže teto asmtotcé vlastost v strtom zmsle lata le re eoečé vzor dát, v rax sa často redoladá, že lata le rblže Prblžý odhad dstrbúce βˆ e daý vzťahom ( β, [ I( β )] ) ˆ β ~ N Medz ďalše dôležté vlastost odhadu atrí a robustosť Platí, že odhad re β e ozstetý oaľ stredá hodota e dobre vsvetleá, a eď redolad Possoovho rozdelea e e sleý [4] 33 Odhad ovarače matce Pre vtvoree ovarače matce otrebueme arv zrátať Fsherovu formačú matcu I ( β ), torá závsí a ezámom β Jeho hodota e v rcíe ezáma, reto môžeme sravť ba odhad varače matce Ao sme uvedl, I ( β ) sa rová záore očaávae strede hodote Hessáu založeom a ozorovaach a β Už sme uázal ao vrátať Hessá Môžeme ho β, 8

27 teda oužť re výočet Î ( β ), t aroxmáce Fsherove formače matce Všeobece oužteľý odhad varače matce oužtím vzťahu Iˆ ( β ) H ( ˆ β ) V ˆar ( ˆ β ) [ H ( ˆ β )] 33 Testovae hotéz e Keďže odhadueme Possoov regresý model metódou maxmále verohodost, a testovae hotéz môžeme oužť etorý z troch štadardých testov test omerom verohodost, Waldov test a test Lagrageových multlátorov (LM test) Prílad hotéz, toré môže bť zauímavé testovať sú rôze leáre a eleáre hotéz o arametroch, alebo Possoovo verzus eaé é všeobeceše rozdelee, ríade egatíve bomcé rozdelee Netoré test oíšeme ďale Prílad mohých ých testov sú zhruté v [] Uvažume hotézu, torá redstavue latosť reštrgovaého modelu Nech lˆ r e hodota fuce verohodost vrátaá re reštrgovaý model a lˆ u e hodota ôvode fuce verohodost a ech e očet reštrcí Test omerom verohodost e založeý a orovaí týchto dvoch hodôt A latí H, teda reštrca e sráva, e štatsta ( lˆ ˆ r l u ) ~ χ LR, de χ ( ) e chí-vadrát rozdelee s stuňam voľost A hodota LR reročí staoveú rtcú hodotu, zametame ulovú hotézu (odľa []) Nevýhodou tohto testu e, že vžadue rravť zvlášť dva odhad a model, toré sa otom orovávaú LM test (test Lagrageovým multlátorm) a rozdel od redchádzaúceho a a Waldovho testu evžadue rátať alteratív model Je zám a od meom sóre test, lebo vužíva vetor sóre, t vetor rvých dervác logartmce fuce verohodost Mame log ( L u ) ao logartmcú fucu verohodost ereštrgovaého modelu Potom θˆ u e rešeím odmeo rvého rádu 9

28 log θ L u θ u l u θ θ u A do tohto vetora sóre dosadíme odhad reštrgovaého modelu θ r, ta edostaeme rese ulový vetor A ale hotéza o reštrgovaom model latí, emal b bť od ulového vetora rílš vzdaleý Hotézu H zametame a e hodota sóre ďaleo od ul Formále (vď []) r reštrcách LM l ˆ θ r ( ˆ θ ) [ ] ( ˆ r ˆ θ r ) I θ l ~ χ V súvslost s Possoovou regresou uveďme zauímavý rílad LM testu Je ím edoduchý test, torým veme o odhadutí Possoove regrese testovať, č b ebol vhodeší eaý všeobeceší model a modelovae väčše dserze (odľa [] a [8]) Pre dobré orovae Possoovho verzus egatíve bomcého modelu slúž LM štatsta Váh LM wˆ r ( ˆ ) ˆ θ wˆ ˆ ŵ závsa a redoladaom alteratívom rozdeleí Pre egatíve bomc model budú váh rové Nasledove otom štatsta re teto model bude edoducho v tvare ( e e ) r LM ˆ ˆ Hlavá výhoda tohto testu e, že stačí odhadúť ba Possoov model A latí hotéza, že dáta maú Possoovo rozdelee, LM štatsta má chí-vadrát rozdelee s stuňom voľost Test dobre zhod vo všeobecost orováva Possoov model so sutočým hodotam (aoľo dobre ch model osue), resetíve s edoduchým modelom - stredou hodotou (č e ríos modelu v orovaí s taýmto edoduchým modelom dostatoče veľý) Jede možý rístu vchádza z Pearsoove štatst

29 P ˆ ˆ Motvácou zostavea taeto štatst e rovosť (ozr []) [ ] [ ], / / E E E de sme vužl, že [ ] [ ] D E V rax väčšou resú hodotu eozáme, máme dsozíc le odhad Preto e P orovávaé s, de e očet odhadovaých arametrov (ozr []) A P reročí rtcú hodotu χ rozdelea, hotézu o vhodost Possoovho modelu zametame Camero a Wdmeer (vď []) rozoberal oužte seudo R a určee dobre zhod v rámc tred modelov očtu udalostí V ríade Possoove regrese e e taý ramočar reds R ao re leár model V he [] sa uvádza eoľo možostí, e všet vša maú vlastost, toré b sme od taeto mer valt modelu očaával Príladom môže bť R ˆ ˆ Teto odhad má dobrú vlastosť, že orováva odhad modelu s modelom založeom le a oštatom člee Nevýhodou e eho možosť záore hodot a lesae a vecháme v model eaú remeú (orova []) Leší rístu (odľa [4]) e [ ] d R / log ˆ / ˆ log Veme vša, že a Possoov model obsahue oštatý čle, súčet rezíduí e ulový (vď atola 3 ) Teda sčítaec ˆ e ulový a zostae

30 R log log ( ˆ / ) ( / ) Dá sa doázať (ozr []), že odhad e ohračeý ulou a edotou a raste s očtom rdaých regresorov do modelu Pre ďalše testovae modelov exstue ešte šroá aleta ďalších ástroov Narílad a smuláce Mote-Carlo, Vuogov, č Hausmaov test Podrobeše sú teto a redtým uvedeé test rozobraté tamer vo všetých hách veuúcch sa eoometrcým odhadom a modelom, arílad [3],[4] a [5]

31 4 Possoov regresý model v softvér R Pre somíaé model exstue šroá aleta ástroov a rogramov, v torých sa relatíve edoducho daú zrátať Podstatá časť ráce otom záleží a ozorovateľov, torý musí vedeť sráve zísaé výsled vsvetlť a terretovať Narozšíreeším a zároveň adostueším rogramom re teto model e softvér R, v torom sme a m aše model Keďže teto rogram e voľe dostuý a a eho vývo sa eustále racue, oúa šroú aletu rídavých balíov a fucí, toré veda efetíve zrátať všet všše somíaé model a test V asleduúce čast uvedeme le te edoduchše rílad modelov a smulác someuté v ublác o oužívaí rogramu R a modelovae oštu udalostí Achmom Zelesom (vď []) 4 Prírava dát Použte softvéru R vsvetlíme a orétom rílade Budeme racovať s dátam z [4] Samoté dáta sú v radu oddeleé čaram (ozor a desaté čar, resetíve astavee rozhraa v R) v súbore s ocovou csv V rvom radu sú ázv remeých, tež oddeleé čaram Vď obrázo 4 Pre ačítae dát oužeme teto ríaz: obrázo 4: Uáža rraveých dát <-readtable("k:/bakalarka/chbae/chbaecsv", se",", header TRUE) attach() ames() Príaz attach() vtvorí vetor velčí odľa ázvov v rvom radu Pomocou ríazu ames() s zobrazíme aé ázv remeých máme v dátach Použtím žce felds (calzueme u ríazom lbrar(felds)) a ríazom stats() môžeme zísať záladý rehľad o modelovaých dátach Výstu e zobrazeý a obrázu 5 3

32 obrázo 5: Výstu ačítaých dát a záladé charaterst dát Pred vtváraím modelu e otrebé vsvetlť remeé, toré chceme oužť v model Z dát, toré máme dsozíc, ás zauímaú (re modelovae dchb): dchb ~ očet dí za ro, ed ža chýbal, ch ~ dumm remeá určuúca ohlave žaa ( začí devča, chlaca), mat ~ udáva očet bodov vo vstuom teste z matemat ume ~ udáva očet bodov vo vstuom teste z umea 4 Modelovae Na začatu s musíme uvedomť aú fucoálu formu má model mať ( x β ) Possoov regresý model má exoecál tvar ( x β ) e x β l ex, teda Ab sme mohl teto model v R odhadúť, otrebuem vmeovať remeé, toré tvora vetor x Preto arílad model v tvare dchb mat ume ch a b c d zaíšeme ao A ozačíme ( dchb) ~ l a mat lb ume l a ch l d l l oefcet modelu teda budú ( dchb ) ~ β mat β ume β ch 3 β, a β β β, β3 e, b e, c e d e Model odhadem omocou fuce glm() Vstuý ríaz re vtvoree Possoovho modelu m bude m< glm(dchb~matlumech, famlosso), de dchb e ázov závsle remee a mat, ume a ch sú ázv ezávslých remeých, teda vetor regresorov x vo všeobece formulác modelu Pre zobrazee výsledov modelu sa ouže ríaz summar() ostuúc záladé charaterst modelu odhad oefcetov, ch sgfatosť a ďalše štatst 4

33 obrázo 6: Výstu z R re rílad Possoovho modelu Na obrázu 6 vdeť hodot vrátaých oefcetov v stĺc Estmate ao hodot už somíaých oefcetov β, β, β, β3 Podľa ódov sgface vdíme, že všet oefcet sú v tomto rílade výzamé, mee hvezdče začí,%, % a 5% hladu výzamost Pre samostaté zobrazee oefcetov slúž ríaz rt() Predovedaé hodot môžeme zísať omocou ríazu redct(): ftted<-redct(m, te"resose") A chceme s týmto hodotam ďale racovať v om softvér, dáta sa daú exortovať omocou ríazu wrte(): wrte(roud(ftted), fle"k:/bakalarka/datacsv", colums) 43 Negatíve bomcý model Teto model uvádzame ao hlavú alteratívu Possoovmu modelu Použe sa a sme vvrátl hotézu o rovost dserze so stredou hodotou Pr zadávaí modelu oužeme ríaz z žce MASS a to glmb() Teto model ám zráta oefcet tatež v logartmce forme a avše rdá hodotu ďalšeho arametra θ re leší odhad dserze Vzťah medz dserzou a odhadutým arametrom θ, odľa tohto modelu v rograme R, e ( Y ) E( Y ) [ E( Y )] D, vď atola 3 θ Model, bude vzerať rovao ao r Possoovom model, vrobíme ho ríazom m<-glmb(dchb~matlumech, l"log") 5

34 Výstu tohto oréteho modelu e otom a obrázu 8 Odhad re arameter θ všel,767, čo dáva, r E ( dchb) 5,87, D ( dchb) 5,775 ám všel oefcet r remee mat ao esgfatý Zároveň obrázo 7: Výstu z R re rílad egatíve bomcého modelu Odhad modelovae remee môžeme vvolať tým stým ríazom redct() Hodot ravdeodobostí s môžeme zobrazť ríazom hst(redct(m), col"gre", freqfalse)) Atrbút freqfalse ám zobrazí ravdeodobostí, a b zobrazlo očetosť Na obrázu 8 e orovae ravdeodobostí dvoch všše oísaých modelov obrázo 8: Porovae ravdeodobostí Possoovho a egatíve bomcého modelu 6

35 5 Model očtu úmrtí ásledom doravých ehôd vo Švédsu V asleduúce čast sa budeme veovať oréte aalýze vbraých častí zo Štatst ehôd a dorav a ých súvsacch vlvov vo Švédsu, torá bola ublovaá v rou 5 (vď [6]) Štúda sa veue omlete aalýze úmrtí ásledom doravých ehôd o ro 4 5 Švédsa štúda Publáca asôr redladá štatstcé dáta z obdoba roov 95 až 4 V teto čast sa veue očtom obvateľov, úmrtí, arodeí, doravých ehôd, úmrtí ásledom doravých ehôd, vlvu ráce a ehod a osu doravých aradeí v tom období Štúda teto údae orováva a medzárode, ao a šadávse úrov Ďale sa štúda veue štatstcým tredom v rooch 996 až 4 Táto časť má hlave vsvetľuúc charater, torý dáva do súvsu somíaé oolost Pre toto obdobe oúa údae o úmrtach, rôzch toch zraeí, ch ásledov a vlvov vzhľadom a zabezečee olícou, frmam a zdravotíctvom Možo tu tatež ásť údae o očte vozdel, vodčov, ch zručostí, oužívaa bezečostých oatreí, vlve aloholu, rýchlostých lmtov a bezečostých oatreí Smrteľé ehod otom odľa olcaých údaov orováva mere remáv, očtu áut, ľudí a zraeí, tež sa veue orovau s ým ra a merou ehodovost a obvateľov V trete čast sa štúda veue detalému osu všše redložeých štatstí Vsvetľue vlv olíce, záoov a tredov dorav s orétm reoeím a somíaé čísla Sú tu tatež someuté záladé štatstcé uazovatele ao remerá ehodovosť za mesac, alebo ercetuále vlv očasa, ríade vťažeosť cest, ve vozdel K záveru e someutá redoveď vývu ouláce Kľúčovým rvom teto čast e Predoveď úmrtí ásledom doravých ehôd re ro 7, torú budeme ďale aalzovať V oslede atole štúde sú someuté všet ďalše doravé štatst a dodat, toré bol oužté r aalýze dát, ao všet odladové dáta 7

36 5 Modelovae očtu úmrtí ásledom ehod odľa štúde V rvých dvoch častach teto atol oíšeme model štúde [6] a avrhuté redce omocou ch zísaé Štúda za zamerala a redcu re ro 7, torý bol vrcholým obdobím stredodobého láu zížť očet úmrtí ásledom doravých ehôd od hracu 36 Na asleduúcch radoch bude ctovaá redoveď zo štúde Uvedeé graf sme tatež zísal vlastým výočtam, toré áslede vsvetlíme 5 Použté remeé Pre modelovae očtu úmrtí ásledom doravých ehôd bol oužté teto remeé a údae: Mrtv ~ očet úmrtí sôsobeých doravým ehodam za ro, Ro ~ remeá re otreb modelu, očíslovae orada roov začíaúc -ou re ro 986 a očac re ro 7, Prem ~ očet mlóov aazdeých m vozdlam vo Švédsu za ro, Lud ~ očet obvateľov Švédsa a oc roa, Aut ~ očet áut vo Švédsu a oc roa Výv týchto remeých e sumáre zhrutý v obrázu 9: obrázo 9: Výv remeých zo štúde 8

37 5 Odhad modelov a výočet redcí re ro 7 Všet model maú tvar: Očaávaý očet mŕtvch Ro c a b Prem, de Ro e rový,,3, a Prem e mera remáv očet aazdeých lometrov Model budeme odhadovať omocou Possoove regrese Model I Model I bol vtvoreý a zálade dát z obdoba roov 986 až 4, a re redoveď o ro 7 bola redoladaá zvýšeá mera remáv o % roče Výstu odhadovaého modelu e a obrázu : obrázo : Výstu z R re Model I Všet oefcet všl sgfaté Očaávaý očet mŕtvch e teda: Očaávaý očet mŕtvch e -6,879 e,6336 Ro Prem,5535 de už e rovca v tvare odľa atol 4 Pre výočet redovede o ro 7 bola redoladaá zvýšeá mera remáv o % roče Grafcé orovae redovedí s reálm očtam, ao a redovede re eoľo asleduúcch roov sú a obrázu, 9

38 Predčý MODEL Úmrtí Model I obrázo : Porovae realt a Modelu I s redoveďou o ro 7 Ao vdo a obrázu, sutočé očt bol v rooch žše ao očaávaé (redovedaé) V rou 999 sa tred zmel a otom bol očt všše ao očaávaé Po dosadeí redoladae mer remáv (rastúce aždoroče o %) v rou 7 a úrov 7848 dostaeme rovcu Očaávaý očet mŕtvch e -6,879 e, ,5535 Výsledom e 43 redoladaých úmrtí ásledom doravých ehôd Model II Model II bol vtvoreý le a zálade tredu očas roov 986 až 998 Výstu odhadovaého modelu e a obrázu : obrázo : Výstu z R re Model II 3

39 A re model II, torý vchádzal ba z údaov z roov 986 až 998 všl všet oefcet oäť sgfaté a reto má Model II tvar Očaávaý očet mŕtvch -4, ,7734 Ro e e Prem,958 Pre výočet redovede o ro 7 bola redoladaá zvýšeá mera remáv o % roče Grafcé orovae redovedí s reálm očtam, ao a redovede re eoľo asleduúcch roov sú a obrázu 3: Predčý MODEL Úmrtí Model II obrázo 3: Porovae realt a Modelu II s redoveďou o ro 7 Po dosadeí redoladae mer remáv (rastúce aždoroče o %) v rou 7 a úrov 7848 dostaeme rovcu Očaávaý očet mŕtvch -4, ,7734,958 e e 7848 Výsledom redovede e 43 úmrtí Sutočé a redovedaé hodot seda veľm dobre re celé obdobe roov 986 až 998, ale re ro 999 až 4 sú už sutočé hodot zače všše ao redovedaé Model III Model III (rovao ao Model I) bol tež robeý z dát re ro a doleý ásobacm vlešuúcm fatorom ( dumm remeá re ro 999-7) Dumm remeá mala re ro hodotu d a re ro hodotu d Dôvodom e leše vsvetľovae očtu mŕtvch Výstu re Model III z R e a obrázu 4: 3

40 obrázo 4: Výstu z R re Model III A v tomto model všl všet oefcet sgfaté a Model III má tvar Očaávaý očet mŕtvch e -5, ,77 Ro,48,3856 d e e Prem Dolňuúc fator v tomto ríade ásobí model re ro rblže číslom,7 Grafcé orovae redovedí s reálm očtam, ao a redovede re eoľo asleduúcch roov sú a obrázu 5: Predčý MODEL Úmrtí Model III obrázo 5: Porovae realt a Modelu III s redoveďou o ro 7 Očaávaá hodota v rou 7 (za redoladu rastu remáv %, a úrov 7848 v rou 7) ám všla 44 3

41 V tabuľe sú zhruté výsled modelov a tatež a oužté remeé Ro Mrtv Model I I Model II II Model III III tabuľa : Číselé orovae redovedí modelov I, II a III s realtou 53 Porovae redcí s realtou Podľa štatstí [6] meraých Eurósou úou bol vo Švédsu výv očtu úmrtí ásledom ehôd relatíve odobý, ao redovedala štúda Ro Úmrtí Model I Model III Úmrtí Model I Model III tabuľa : Dáta modelov I a III obrázo 6: Grafcé orovae vývu úrmtí Ao vdeť a obrázu 6 hodota z rou 4 súmaá štúdou v rou 4, eď robl odhad a ro 7 sa z evsvetleých ríč vmá redchádzaúcemu a astávaúcemu tredu Pre výočet Modelu I a III re ro 4 až 9 sme redoladal rast dorav o % roče 33

42 53 Alteratíve model Model IV Poúsme sa ásť ý model, vsúšame oužť a ďalše relevaté remeé, toré máme dsozíc Model bude mať tvar Očaávaý očet mŕtvch Ro c d e a b Prem Lud Aut V tomto model všl sgfaté ba oefcet r Rou a očte Ľudí A b sme robl model v tvare Očaávaý očet mŕtvch Ro c d a b Lud Aut, vdú ám všet oefcet už sgfaté a model má tvar: Očaávaý očet mŕtvch 46, ,53485 Ro -5,54674 e e Lud Aut 3,389 Teto model vša e e dobre oužteľý, lebo le ťažo odôvodť egatív vlv rastúceho očtu ľudí (r zafxovaí ostatých arametrov) a oles očtu úmrtí ásledom ehôd Pre rovaý dôvod e e oužteľý a model v tvare Očaávaý očet mŕtvch Ro c d a b Lud Prem Testoval sme a ostaté ombáce, avša te sa edal oužť z rovaých, už somíaých, dôvodov Ao rílad mame model: Očaávaý očet mŕtvch Ro c d e a b Prem Lud D, de D e dumm remeá s hodotou re ro a re Výstu tohto modelu e a obrázu 7: Tvar modelu s oefcetm e: obrázo 7: Zlý rílad modelu 34

43 Očaávaý očet úmrtí e 57,669 e -,5496 Ro Prem,5393 Lud 4,636 e,534 D Podľa obráza 7 vdeť, že časť remeých všla esgfatá a sgfatý oefcet r remee Lud všel záorý A teto model e teda evhodý Dosel sme tato taému stému záveru ao švédsa štúda s Modelom III, a zálade torého redovedal výv o ro 7 Model III e reto avhodeší Model V Pre teto model oužeme ovše dáta, bude vchádzať z údaov z roov a budeme sa ím sažť redovedať očet úmrtí v rou Použeme už osvedčeý tvar Mrtv Ro c D a b Prem d, de D e dumm remeá a D re ro Po výočte bude mať model tvar D re ro Očaávaý očet mŕtvch e -9,48749 e -,85777 Ro Prem 3,89 e,7499 D Pre ro ta dostaeme hodotu -9, , ,89,7499 e e e & 348 Keď budú sutočé dáta dsozíc, e možé túto redoveď overť 54 Testovae modelov Exstue moho lteratúr, torá sa odrobe veue testovau regresých modelov (vrátae Possoovho modelu) v softvér R (ar [7], [9], ) M sa tu budeme veovať hlave testovau hotéz someutých v teoretce čast v atole 33 Budeme testovať Model I a III Pseudo R Táto hodota určue celovú valtu modelu Čím e táto hodota blžše, tým leše, lebo to doazue, že modelovaá velča sa málo líš od sutočost A rdávame do modelu remeú, musí bť árast štatst dostatoče vsoý Hodotu zrátame ao R log log ( ˆ / ) ( / ) Pre Model I všla hodota,865485, čo e už relatíve blízo edote Pre Model III všla hodota,949676, čo e emý árast Test dobre zhod V tomto teste orovávame Pearsoovu štatstu Modelu I s 5% rtcou hodotou χ 6 (6,96) Štatstu vrátame ao 35

44 P ( ˆ ) ˆ Pre Model I dostaeme vsoú hodotu 73,874, re Model III máme hodotu 7,453, torú orovávame s 5% rtcou hodotou χ 5 (4,996), lebo tam máme 4 arametre Táto štatsta tatež vvraca vhodosť Possoovho modelu re teto dáta LM test Possoovho rozdelea Hlavým ceľom e zstť, č e Possoov model vhodý A e, treba oužť alteratívu egatíve bomcý model Uvažume hotézu, že Possoovo rozdelee e sráve Potom somíaá LM štatsta: LM ( e e ) ˆ ˆ ám dá, za redoladu latost ulove hotéz, hodotu s rozdeleím chívadrát s stuňam voľost Pre Model I všla hodota 8,4964 Táto hodota e ďaleo a za 5% rtcou hodotou χ 6 (6,96) Pre Model III všla 8,4987 Túto hodotu sme vša orovával s 5% rtcou hodotou χ 5 (4,996) ) Náš redolad, že modelovaý očet úmrtí má Possoovo rozdelee e teda odľa týchto testov v oboch modeloch esráv Výsled týchto testov sú zhruté v tabuľe 3 a 4 seudo R^ - 5% χ LM test verdt Zhoda verdt Model I, ,96 8,496 zametame 73,8 zametame tabuľa 3: Výsled testov re Model I seudo R^ - 5% χ LM test verdt Zhoda verdt Model I,95 5 4,996 8,499 zametame 7,4 zametame tabuľa 4: Výsled testov re Model III Ao vdeť v oboch ríadoch zametame Possoovo rozdelee, t a ede model e e vhodý re Possoovu regresu 55 Negatíve bomcý model Keďže LM test a test dobre zhod sgalzoval evhodosť redoladu o Possoovom rozdeleí, sravíme ešte Model IIIB, torý redoladá egatíve 36

45 bomcé rozdelee Použeme dáta z rovaého obdoba ao v ríade Modelu III (t z roov 986 až 4) ab sme mohl orovať výsled týchto modelov Model IIIB má taý stý tvar ao Model III Výstu z R so všetým otrebým údam re Model IIIB e a obrázu 8: obrázo 8: Výstu z R re Model IIIB Všet oefcet všl a v tomto model sgfaté a model bude mať teda tvar Očaávaý očet mŕtvch e e Prem e -5,5896 -,776 Ro,4534,384 d Dserze modelu r odhadutom arametr θ 357 e odľa vzťahu uvedeého v atole ( Mrtv) [ 633,] D 633,5 98, V tabuľe 5 e orovae výsledov redovedaých úmrtí týchto modelov Ro Model III Model IIIB Rozdel - Ro Model III Model IIIB Rozdel tabuľa 5: Číselé orovae Modelov III a IIIB Oba model teda tamer detc redovedaú výv očtu úmrtí ásledom doravých ehôd v období roov 986 až 9 37

46 Záver Ao sme vdel, redložeé model očtu udalostí, res Possoov regresý model má sutoče adeváte a relatíve ravdvé ulatee v rax Korét rílad švédse štúde e tatež výsledo ch dôsledého sledovaa dorave stuáce a celového rehľadu o roblemate Taéto schoé šttúce, toré veree formuú o svoe dôlade rác ám môžu bť vzorom Vďaa oročle teche a softvérom des už e e roblém vsutu oamžte zrátať a veľý model s moho remeým Na ás vša otom ostáva hlavé bremeo modelovaa, a to dobre vsvetlť, čo zameaú remeé v model a aý maú vlv a redoladaú realtu Keďže sme oužíval logartmcú formu modelovaa, ôde o eaý ercetuál vlv ezávslých remeých a modelovaý odhad Teto formáce môžu ratc vužť vlád a šttúce r určovaí a dosahovaí ceľov a zížee očtu ochoreí, úmrtí, alebo ríade havárí o 5,, č 5% Naoo e dobré s uvedomť a mať a amät, že aéoľve modelovae založeé a mulost ebude d úle rese redovedať budúcosť, lebo žeme v rýchlom damc sa meacom svete, do torého vstuue moho vac, alebo mee áhodých fatorov Dôsled taýchto udalostí možo badať aždý deň a bolo b avé solehať sa ba a model Ao hovorí vývoár [8] o redovedaí budúcost omocou zložtých modelov: ľuda budú museť vžd urobť dôležté ro, toré očítač ezvláde Otáza blíze budúcost adobúda vďaa modelom orétešu odobu, toré vša eahrádzaú atuále lé žte rítomost 38

47 Lteratúra [] GREENE Wllam, Ecoometrc Aalss, Pretce Hall 5th edto,, ISBN- : [] MONTGOMERY Douglas, Itroducto to Lear Regresso Aalss, Wle-Iterscece, 4th edto, 6, ISBN : [3] FISHER Roald, Statstcal Methods For Research Worers, 95, ISBN: 57 [4] WINKELMAN Raer, Ecoometrc Aalss of Cout Data, Srger-Verlag 5th edto, 8, ISBN: [5] BHATTACHARYA Kaush, Emergece of Ideedet Caddates:A Negatve Bomal Regresso Model of a Ida Parlametar Electo, Südase Isttut (SAI),, ISBN: [6] Wolfram Mathorld, htt://mathworldwolframcom/bomalcoeffcethtml, 35, 6:6 [7] CAMERON Col A TRIVEDI Prav K, Ecoometrc Models Based o Cout Data: Comarsos ad Alcatos of Some Estmators ad Tests, Joural of Aled Ecoometrcs, stra 9-53, Joh Wle & Sos, 986 [8] JOHNSON Norma L KEMP Adree W KOTZ Samuel, Uvarate Dscrete Dstrbutos, Joh Wle ad Sos, 3rd edto, 5, ISBN: [9] WIMMER Geza, Dsréte edorozmeré rozdelea ravdeodobost, MATFYZPRESS,, ISBN: X [] NEUBRUNN Tbor VENCKO Jozef, Matematcá aalýza I, 99, ISBN [] ZEILEIS Achm KLEIBER Chrsta JACKMAN Smo, Regresso models for cout data R, 8, htt://crar-roectorg/web/acages/scl/vgettes/coutregdf 35, : [] GILBERT Chrstoher L, Ecoometrc models for dscrete (teger valued) ecoomc rocesses, : EG Charatss (ed) Selected Paers o Cotemorar Ecoometrc Problems, The Athes School of Ecoomcs ad Busess scece, 98 [3] RODRÍGUEZ Germá, Geeralzed Lear Models, htt://datarcetoedu/wws59/otes/c4df, 95,3:46 [4] MCCULLAGH P NELDER JA, Geeralzed lear models, Chama & Hall/CRC, d edto, 989, ISBN: [5] VTI, Basc statstcs for accdets ad traffc ad other bacgroud varables Swede, VTI - N7A-5, Verso 5-6-3, 5, htt://wwwvtse/epbrowser/publatoer%-%eglsh/n7a-5df, 3, 4:5 [6] LITTLE Roderc JA, Geeralzed Lear Models for Cross-Classfed Data from the WFS, Iteratoal Statstcal Isttute The Hague, 978 [7] GUO Je LI Tog, Posso regresso models wth errors--varables: mlcato ad treatmet, Deartmet of Ecoomcs, Idaa Uverst, [8] KUBÁČEK L PÁZMAN A, Štatstcé metód v meraí, Veda,

48 [9] AMEMIYA T, Advaced Ecoometrcs, Harvard Uverst Press, 985, ISBN: [] CRAMER JS, Ecoometrc Alcatos of Maxmum Lelhood Methods, Cambrdge Uvert Press, 986, ISBN: [] ROTHERMEL G HARROLD MJ, Aalzg regresso test selecto techques, Joural IEEE Trasactos o Software Egeerg, IEEE Press Pscatawa, str , ISSN: [] CAMERON Adra WINDMEIJER Fra, R-squared Measures for Cout Data Regressso Models wth Alcatos to Health-care Utlzato, Worg Paer No 93 4, Uverst of Calfora, 993 [3] DURBIN J, KOOPMAN SJ, Mote Carlo Maxmum Lelhood Estmato for o-gaussa State Sace Models, Bometra, 996 [4] BRUIN J, Itroducto to SAS, UCLA: Academd Techolog Servces, Statstcal Cosultg Grou, 6, htt://wwwatsuclaedu/stat/stata/ado/aalss/, 9, : [5] YAFFE Robert, A rmer for Pael Data Aalss, 5 [6] EUROSTAT, htt://assoeurostateceuroaeu/u/showdo?datasetroad_ac_death&lage, 5, : [7] BRUIN J, Itroducto to SAS, UCLA: Academd Techolog Servces, Statstcal Cosultg Grou, 6, htt://wwwatsuclaedu/stat/r/dae/, 35, 3: [8] GREEN Travs, webstráa Techet CZ, rozhovor zo dňa 75, htt://techetdescz/google-dz-mate-hode-dat-muzete-redovdat-budoucost--chutva-8-/sw_teretasx?ca53_56_sw_teret_a, 6, 6:5 4