OpenStax-CNX module: m Meetkunde: Meting * basis loodregte hoogte. Figure 1. Figure 2

Transcription

1 OpenStax-CNX module: m Meetkunde: Meting * Free High School Science Texts Project This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the Creative Commons Attribution License Meting 1.1 Area (Oppervlakte) van Poligone 1 1. Area van driehoek: 2 basis loodregte hoogte Figure Area van trapesium: 2 (som van (parallelle) sye) loodregte hoogte Figure 2 3. Area van parallelogram en rombus: basis loodregte hoogte Figure 3 4. Area van reghoek: lengte breedte * Version 1.1: Aug 4, :52 am

2 OpenStax-CNX module: m Figure 4 5. Area van vierkant: sylengte sylengte Figure 5 6. Area van sirkel: π x radius 2 Figure 6 Khan Akademie video oor area en omtrek This media object is a Flash object. Please view or download it at < Figure 7 Khan Akademie video oor area van [U+0149] sirkel This media object is a Flash object. Please view or download it at < Figure 8 Exercise 1: Berekening van area (Solution on p. 14.) Vind die area van die volgende gure:

3 OpenStax-CNX module: m Figure Poligone 1. Sê of die bewering WAAR of VALS is in elk van die gevalle hieronder. Indien die bewering vals is, gee [U+0149] teen-voorbeeld om dit te staaf: a. Alle vierkante is reghoeke. b. Alle reghoeke is vierkante. c. Alle pentagone is gelykvormig. d. Alle gelyksydige driehoeke is gelykvormig. e. Alle pentagone is kongruent. f. Alle gelyksydige driehoeke is kongruent. Kliek hier vir die oplossing 1 2. Vind die areas vir elk van die gegewe gure. Onthou area word gemeet in vierkante eenhede (cm 2, m 2, mm 2 ). Figure 10 Kliek hier vir die oplossing 2 2 Reghoekige Prismas en Silinders In hierdie afdeling leer ons hoe om die oppervlakarea (buite-oppervlakte) en volume van reghoekige prismas en silinders te bereken. [U+0149] Reghoekige prisma is [U+0149] veelhoek wat uitgerek word in [U+0149]

4 OpenStax-CNX module: m kolom sodat die hoogte van die kolom reghoekig tot sy basis is. [U+0149] Vierkantige prisma het [U+0149] vierkantige basis en [U+0149] driehoekige prisma het [U+0149] driehoekige basis. Figure 11: silinder Voorbeelde van [U+0149] vierkantige prisma, [U+0149] driehoekige prisma en [U+0149] Dit is eenvoudig om die oppervlakarea en volume van prismas te bereken. 2.1 Oppervlakarea Die term oppervlakarea verwys na die totale area van die oppervlak aan die buitekant van die prisma. Dit is makliker om te verstaan as [U+0149] mens aan die prisma dink as [U+0149] soliede voorwerp. As jy die prismas in Figure 11 bestudeer, sal jy sien dat die boonste syvlak van die prisma [U+0149] eenvoudige veelhoek is. Die driehoekige prisma het twee syvlakke wat driehoekig is en drie syvlakke wat reghoekig is. Om die oppervlakarea van [U+0149] prisma te bereken moet die oppervlak van elke syvlak bereken word en bymekaar getel word. [U+0149] Silinder bestaan uit twee sirkelvormige syvlakke en [U+0149] reghoekige kolom. Oppervlakarea van Prismas Bereken die area van elke syvlak en tel die areas bymekaar om die oppervlakarea van die prisma te bereken. Bepaal eers wat die regte vorm is van elke syvlak en bereken dan die area van daardie syvlak. Die oppervlakarea van die prisma is gelyk aan die som van die oppervlakareas van al die syvlakke Bespreking: Oppervlakareas In pare, bestudeer die volgende prismas saam met die diagram wat langs elke prisma vertoon word en verduidelik watter oppervlakareas elke prisma het. Verduidelik vir jou maat hoe elke diagram verband hou met die gepaardgaande prisma. Figure Aktiwiteit: Oppervlakarea Soek [U+0149] prentjie of neem [U+0149] foto van [U+0149] gebou wat nie [U+0149] eenvoudig gedenieërde vorm het nie (byvoorbeeld een wat nie net [U+0149] reghoek is nie). Soek vir [U+0149] kasteel met torings of [U+0149] huis met gewels of [U+0149] stoep. Veronderstel jy moet die buitekant van die gebou verf. Hoeveel verf sal jy benodig? Dink aan dit wat jy geleer het omtrent oppervlakarea van poligone. Kan jy reëlmatige poligone in jou prent/foto vind en hulle gebruik om die oppervlakarea te bereken?

5 OpenStax-CNX module: m Oppervlakareas 1. Bereken die oppervlakarea van elk van die volgende: Figure 13 Kliek hier vir die oplossing 3 2. As [U+0149] liter verf nodig is vir [U+0149] area van 2m 2, bereken hoeveel verf die verwer nodig het om die volgende areas te verf: a. [U+0149] Reghoekige swembad met binnewande en bodem met die volgende afmetings: 4m 3m 2, 5m b. [U+0149] Sirkelvormige opgaardam waarvan die bodem [U+0149] middellyn het van 4m en met [U+0149] diepte van 2, 5m Figure 14 Kliek hier vir die oplossing Volume Die volume van [U+0149] reghoekige prisma word bereken deur die area van die basis met die hoogte te vermenigvuldig. Vir [U+0149] vierkantige prisma met [U+0149] sylengte van a en [U+0149] hoogte van h is die volume a a h = a 2 h. Volume van [U+0149] Prisma Bereken die volume van [U+0149] prisma deur eers die area van die basis te bereken en dan te vermenigvuldig met die hoogte van die prisma. Exercise 2 (Solution on p. 14.) Vind die oppervlakarea en volume van [U+0149] vierkantige prisma met hoogte 4 cm and basislengte 3 cm

6 OpenStax-CNX module: m Figure Volume 1. Skryf die formule vir die berekening van elk van die volgende prismas se volumes neer: Figure 16 Kliek hier vir die oplossing 5 2. Bereken die volgende volumes: 5

7 OpenStax-CNX module: m Figure 17 Kliek hier vir die oplossing 6 3. [U+0149] Kubus is [U+0149] spesiale prisma waarvan al die sye gelyk is. Dit beteken dat elke syvlak [U+0149] vierkant is. [U+0149] Dobbelsteen is [U+0149] voorbeeld van [U+0149] kubus. Bewys dat [U+0149] kubus met [U+0149] sylengte van a, [U+0149] oppervlakte het van 6a 2 en [U+0149] volume van a 3. Figure 18 Kliek hier vir die oplossing 7 Hoe verander die oppervlakarea as een van die afmetings vermenigvuldig word met [U+0149] konstante. Byvoorbeeld, hoe verander die oppervlakarea van [U+0149] reghoekige prisma as die hoogte deur 2 gedeel word? Figure 19: Reghoekige prismas Figure 20: Reghoekige prismas 2 Exercise 3: Verander die afmetings van [U+0149] prisma (Solution on p. 14.) Die grootte van die prisma word beskryf deur die lengte van sy sye. Die prisma in die diagram het sye met lengtes L, b en h

8 OpenStax-CNX module: m Figure Vergroot al die sye van die prisma met [U+0149] konstante faktor van x, waar x > 1. Bereken die volume en die oppervlakarea van die vergrote prisma as [U+0149] funksie van die faktor x en die oorspronklike volume. 2. Soortgelyk aan die geval hierbo, dink nou aan [U+0149] geval waar 0 < x < 1. Bereken vervolgens die verkleiningsfaktor in die volume en die oppervlakarea. Wanneer die lengte van een van die sye vermenigvuldig word met [U+0149] konstante, is dit soos om die oorspronklike volume met die derdemag van dieselfde konstante te vermenigvuldig. Sien die voorbeeld in Figure Right Piramides, Regte Kegels (Keëls / Konusse), Sfere [U+0149] Piramide is [U+0149] soliede geometriese guur met [U+0149] poligoonbasis wat verbind is aan die toppunt waar die syvlakke ontmoet. Twee voorbeelde van piramides word getoon in die linkerkantste en middelste gure in. Die regterkantste guur het [U+0149] toppunt wat verbind is aan die sirkelvormige basis en hierdie tipe soliede geometriese guur word [U+0149] kegel genoem. Kegels is soortgelyk aan piramides behalwe dat hulle basisse sirkels is in plaas van poligone. Figure 22: Voorbeelde van [U+0149] vierkantige piramide, [U+0149] driehoekige piramide en [U+0149] kegel Oppervlakarea van [U+0149] Piramide Khan Akademie video oor die volume van soliede geometriese gure This media object is a Flash object. Please view or download it at < Figure 23 Die oppervlakarea van [U+0149] piramide word bereken deur die areas van die onderskeie vlakke bymekaar te tel.

9 OpenStax-CNX module: m Exercise 4: Oppervlakarea (Solution on p. 15.) As [U+0149] kegel [U+0149] hoogte het van h en [U+0149] basis met radius r, toon dat die oppervlakarea gegee word deur πr 2 + πr r 2 + h 2. Volume van [U+0149] Piramide: Die volume van [U+0149] piramide word gevind deur: V = 1 3 A h (23) waar A die area van die basis is en h die hoogte is. [U+0149] Kegel is soos [U+0149] piramide, daarom word die formule vir die volume van [U+0149] kegel gegee deur: [U+0149] Vierkantige piramide se volume: V = 1 3 πr2 h (23) waar a die sylengte van die vierkantige basis is. V = 1 3 a2 h (23) Exercise 5: Volume van [U+0149] Piramide (Solution on p. 19.) Wat is die volume van [U+0149] vierkantige piramide, 3cm hoog met [U+0149] sylengte van 2cm?

10 OpenStax-CNX module: m Figure 24

11 OpenStax-CNX module: m Ons aanvaar die volgende formules vir die volume en oppervlakarea (buite-oppervlakte) van [U+0149] sfeer (bal). Oppervlakarea = 4πr 2 Volume = 4 3 πr3 (24) Exercise 6 (Solution on p. 19.) [U+0149] Driehoekige piramide word bo-op [U+0149] driehoekige prisma geplaas. Die prisma het [U+0149] gelyksydige driehoek met [U+0149] sylengte van 20 cm as basis en [U+0149] hoogte van 42 cm. Die piramide is 12 cm hoog. a. Vind die totale volume van die voorwerp. b. Vind die area van elke vlak van die piramide. c. Vind die totale oppervlakarea van die voorwerp.

12 OpenStax-CNX module: m Figure 25

13 OpenStax-CNX module: m Oppervlakarea en Volume 1. Bereken die volumes en oppervlakareas van die volgende soliede liggame: (*Wenk vir (e): vind die loodregte hoogte met behulp van die Stelling van Pythagoras.) Figure 26 Kliek hier vir die oplossing 8 2. Water bedek ongeveer 71% van die aardoppervlakte. As die benaderde radius van die aarde 6378 km is, wat is die totale landoppervlakte (d.w.s. land wat nie bedek is met water nie)? Kliek hier vir die oplossing

14 OpenStax-CNX module: m Solutions to Exercises in this Module Solution to Exercise (p. 2) Step 1. Ons moet eers vir BE, die loodregte hoogte van die parallelogram vind. Ons kan Pythagoras gebruik om dit te doen: BE 2 = AB 2 AE 2 BE 2 = BE 2 = 16 BE = 4 Step 2. Ons pas die formule vir die area van [U+0149] parallelogram toe om die berekening te doen: (26) Area = h b = 4 7 = 28 (26) Solution to Exercise (p. 5) Step 1. Ons gebruik die formule vir die oppervlakarea van [U+0149] prisma: S.A. = 2 [2 (L b) + (b h)] = 2 [2 (3 4) + (3 4)] (26) = 72 cm 2 Step 2. Om die volume van die prisma te bereken, vermenigvuldig ons die area van die basis met die hoogte: Solution to Exercise (p. 7) V = l 2 h = ( 3 2) 4 (26) = 36 cm 3 Step 1. Die volume van die prisma word beskryf deur: V = L b h Die oppervlakarea van die prisma word beskryf deur: A = 2 (L b + L h + b h) Step 2. As al die sye van die prisma eweredig (dus, in dieselfde verhouding) verander sal die nuwe sye as volg beskryf kan word: Die nuwe volume word beskryf deur: L ' = x L b ' = x b h ' = x h (26) V ' = L ' b ' h ' = x L x b x h = x 3 L b h = x 3 V (26)

15 OpenStax-CNX module: m Die nuwe oppervlakarea van die prisma word beskryf deur: A ' = 2 ( L ' b ' + L ' h ' + b ' h ') = 2 (x L x b + x L x h + x b x h) = x 2 2 (L b + L h + b h) = x 2 A (26) Step 3. a. Ons vind hierbo dat die nuwe volume beskryf word deur: V ' = x 3 V. Waar x > 1, sal die volume van die prisma vermeerder met die faktor van x 3. Die oppervlakarea van die veranderde prisma word beskryf deur: A ' = x 2 A. Weereens, omdat x > 1, sal die oppervlakarea vergroot met [U+0149] faktor van x 2. Oppervlakareas wat tweedimensioneel is, vermeerder met die kwadraat van die faktor maar driedimensionele volumes vermeerder met die derde mag van die faktor. b. Die antwoord hier is gebaseer op dieselfde idee as wat hierbo beskryf word. Waar 0 < x < 1 sal die volume verminder met [U+0149] faktor van x 3 en die oppervlakarea sal met verminder met [U+0149] faktor van x 2 Solution to Exercise (p. 8)

16 OpenStax-CNX module: m Step 1. Figure 27

17 OpenStax-CNX module: m Step 2. Die kegel het twee vlakke: die basis en die wand. Die basis is [U+0149] sirkel met radius r en die wand kan ontvou word tot [U+0149] sektor van [U+0149] sirkel.

18 OpenStax-CNX module: m Figure 28

19 OpenStax-CNX module: m Die geboë vlak kan opgesny word in [U+0149] klomp smal driehoekies waarvan die hoogte, wat byna gelyk is aan a, die skuinshoogte genoem word. Die som van die areas van hierdie driehoekies is 1 2 basis hoogte (van [U+0149] klein driehoekie) = 1 2 2πr a = πra Step 3. a kan bereken word met die Stelling van Pythagoras. Dus: Step 4. Step 5. Step 6. a = r 2 + h 2 (28) A b = πr 2 (28) A w = πra = πr r 2 + h 2 (28) A = A b + A w = πr 2 + πr r 2 + h 2 (28) Solution to Exercise (p. 9) Step 1. Die volume van [U+0149] piramide is V = 1 3 A h (28) waar A die area van die basis en h die hoogte van die piramide is. Vir [U+0149] vierkantige basis beteken dit V = 1 3 a a h (28) Step 2. waar a die sylengte van die vierkantige basas is. = = 3 12 (28) = 4cm 3 Solution to Exercise (p. 11) Step 1. Ons gebruik die formule vir die volume van [U+0149] reghoekige prisma: V = 1 2 bh2 = = (28) Step 2. Ons gebruik die formule vir die volume van [U+0149] driehoekige piramide: V = 1 6 bh2 = = 5880 (28) Step 3. Ons sien dat ons doodeenvoudig die volumes van elk van die twee soliede liggame kan bymekaartel. Dan kry ons: = Dit is die antwoord van a.

20 OpenStax-CNX module: m Step 4. Ons sien daar is vier driehoeke wat die piramide uitmaak. Dus die area van elke vlak is: Area = 1 2 bh = = 420 (28) Dit is die antwoord van vraag b. Step 5. Die totale area is = 1680 Step 6. Die oppervlakarea van die prisma is: Oppervlakarea = b h + 2 H S + H b = = 1120 (28) Step 7. Om die totale oppervlakarea te bereken, moet ons die area van een vlak (die basis) van die piramide aftrek van die oppervlakarea van die prisma. Dit gee die totale oppervlakarea as: = 1960 Dit is die antwoord van vraag c.