Rekurzivni algoritmi POGLAVLJE Algoritmi s rekurzijama
|
|
- Hilary Shaw
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 POGLAVLJE 8 Rekurzivni algoritmi U prošlom dijelu upoznali smo kako rekurzije možemo implementirati preko stogova, u ovom dijelu promotriti ćemo probleme koje se mogu izraziti na rekurzivan način Vremenska složenost takvih algoritama je izražena u obliku rekurzivnih formula 81 Algoritmi s rekurzijama U poglavlju o stogovima, vidjeli smo da upravo stogovi omogućuju funkijske pozive unutar drugih funkija, pa je rekurzivno pozivanje funkije speijalan slučaj tog svojstva Promotrimo na primjeru računanja faktorijela Sljedeći pseudokod predstavlja algoritam za nalaženje n! (za bazni kriterij je uzet n = 1, isto tako se može uzeti n = 0): Fatorial(n) 1 if n = 1 2 then return 1 3 else return n Fatorial(n 1) Neka je T(n) funkija vremenske složenosti Fatorial algoritma za broj n Vremensku složenost možemo sada iskazati rekurzivno kao O(1), n 1 T(n 1) + O(1), inače Svaki rekurzivni poziv predstavlja novu funkiju koja ima izvršiti neko računanje Bitna stvar je uočiti slijed izvršavanja rekurzivnih poziva Radi jednostavnosti praćenja rekurzivnih poziva ponekad se izvršenje rekurzivnog algoritma bilježi preko rekurzivnog stabla Rekurzivno stablo za Fatorial(5) = 120 i određivanje vremenske složenosti prikazano je na Slii 81 Ukupno vrijeme potrebno za algoritam je zbroj ijena potrebnih po svakom nivou rekurzivnog stabla, u ovom slučaju n + T(1) = (n 1) + d = O(n) i=2 73
2 74 Rekurzivni algoritmi 5 24 Fatorial(5) Fatorial(4) Fatorial(3) Fatorial(2) T(n 1) Fatorial(1) 1 T(1) Slika 81: Rekurzivno stablo izvršenja algoritma gdje su, d > 0 konstante odabrane kako bi zamijenile asimptotsku oznaku O(1) Problemi koji se na prvi pogled čine da su prirodno definirani rekurzivno, ne podrazumjevaju i efikasan algoritam po toj definiiji Pogledajmo na primjeru Fibonaijeva niza Primjer 81 Fibonaijev niz je niz brojeva 1, 1, 2, 3, 5, 8 koji se može rekurzivno zapisati u sljedećem obliku: Neka je s F(n) označen n-ti Fibonaijev broj, sljedeća rekurzija nam daje način nalaženja n-tog Fibonaijevog broja: 1 n 2 F(n) = (81) F(n 1) + F(n 2) inače Sljedeći algoritmi nalaze n-ti Finonaijev broj preko rekurzivnih poziva ili top-down pristupa Rješenje Fib(n) 1 if n 2 2 then return 1; 3 else return Fib(n 1) + Fib(n 2) Analizirajmo vremensku složenost algoritma Primjetimo da vremensku složenost možemo izraziti rekurzijom O(1) n 2 T(n 1) + T(n 2) + O(1) inače Raspisujući rekurzivno stablo u Slii 82 gdje, d zamjenjuju O(1) možemo vremensku složenost omeđiti odozdo i odozgo na sljedeći način: s ograničenjima na T L, T R : T L (n) T(n) T U (n) T L (n) n/2 1 i=0 2 i = (2 n/2 1) T U (n) n 1 i=0 2i = 2 n za odabran tako d Drugim riječima, T(n) kao funkija u ovisnosti o n raste eksponenijalno, te impliira da ovaj algoritam nije efikasan za nalaženje n-tog Fibonaijevog broja
3 82 "Podijeli-pa-vladaj" strategija 75 T (n) T (n 1) T (n 2) T (n 2) T (n 3) T (n 3) T (n 4) T L T U T (1) T (1) Slika 82: Rekurzivno stablo za Fibonaijev algoritam Jednostavniji i efekasniji način bi bio izgraditi Fibonaijev niz odozdo-prema-gore u O(n) vremenu: Fib(n) n-ti Fibonaijev broj u O(n) vremenu 1 F F for k 3 to n 4 do F F 1 + F 2 5 F 1 F 2 6 F 2 F 7 return F 82 "Podijeli-pa-vladaj" strategija Rekurzivni način rješavanja problema je temelj podijeli-pa-vladaj (engl devide-and-onquer) strategije u dizajniranju algoritama Strategija se sastoji od sljedećih koraka: 1 podijeli: podijeli problem u potprobleme koji su manje instane istog tipa originalnog problema 2 vladaj: rekurzivno riječi potprobleme 3 spoji: na odgovarajući način spoji rješenja potproblema
4 76 Rekurzivni algoritmi Promotrimo ovu strategiju na sljedećem primjeru: Primjer 82 Napišite naivni algoritam koji računa n-tu poteniju broja a Dajte O(lg n) algoritam koji će nalaziti n-tu poteniju broja a Rješenje Po matematičkoj definiiji možemo napisati rekurzivni (ali i iterativni) algoritam u O(n) vremenu za poteniranje broja a > 0 Sljedeća 2 algoritma nam nalaze a n, n N, a > 0 Power(a, n) 1 if n = 1 2 then return a 3 else return a Power(a, n 1) Pokušajmo na brži način naći a n : Power(a, n) 1 if n = 1 2 then return a 3 else if n even 4 then return (Power(a, n/2)) 2 5 else return a (Power(a, (n 1)/2)) 2 Primjetite da je vrijeme izvršenja prvog algoritma O(n) (analogno zaključivanje kao i kod faktorijela) Tvrdnja: Vrijeme izvršenja alternativnog algoritma za poteniranje broja je O(lg n) Kako bi ovo pokazali koristiti ćemo rekurzivno stablo Uzmimo da je n prava potenija broja 2 Vrijeme izvršenja algoritma je onda O(1), n = 1 T(n/2) + O(1), inače Postoji nekoliko načina kako je moguće utvrditi zatvorenu formulu za rekurziju 82, detaljnije se može naći u [2] Mi ćemo se ovdje poslužiti metodom rekurzivnog stabla i radi jednostavnosti uzmimo O(1) = (82) T(n) T(n/2) T(n/4) T(1) lg n 1 i=0 + T(1) lg n + d = O(lg n)
5 82 "Podijeli-pa-vladaj" strategija 77 Dakle, problem smo podijelili na manje instane veličine n/2, i zatim spojili rješenje kvadriranjem člana a n/2 Kvadriranje u RAM modelu je O(1) vrijeme U slučaju da je n nije prava potenija broja 2, osim kvadriranja imali bi dodatno množenje s a što daje najviše 3 množenja: T( n/2 ) + O(1) što se matematičkom indukijom može pokazati da vrijedi O(lg n) Podijeli-pa-vladaj strategija nam može ubrzati sortiranje Primjer 83 Neka je dano polje A od n elemenata Proedura MergeSort opisana u koraima: 1 podijeli polje veličine n u 2 podpolja veličine n/2 2 rekurzivno sortiraj podpolja veličine n/2 3 rješenje kombiniraj tako da spojiš 2 sortirana podpolja u novo sortirano podpolje ili u pseudokodu: MergeSort(A, p, r) 1 if p < r 2 then q p+r 2 3 MergeSort(A, p, q) 4 MergeSort(A, q + 1, r) 5 Merge(A, p, q, r) sortira polje A u O(n lg n) vremenu Učinite sljedeće: napišite proeduru Merge(A, p, q, r) koja će u O(n) vremenu spojiti 2 sortirana potpolja A[p q], A[q + 1 r] u sortirano polje A[p r] Primjenite algoritam na polju A = 5, 2, 4, 7, 1, 3, 2, 6, 11 Pokažite da je vremenska složenost algoritma O(n lg n) Rješenje Riječ je o podijeli-pa-vladaj algoritmu koji dijeli problem u O(1) vremenu, rekurzivno rješava 2 potproblema veličine n/2 i spaja rekurzivna rješenja u O(n) vremenu Definirajmo sada proeduru spajanja:
6 78 Rekurzivni algoritmi Merge(A, p, q, r) 1 n 1 q p n 2 r q 3 stvori pomoćna polja L[1 n 1 + 1] and L[1 n 2 + 1] 4 for i 1 to n 1 5 do L[i] A[p + i 1] 6 for j 1 to n 2 7 do R[j] A[q + j] 8 L[n 1 + 1] 9 L[n 2 + 1] 10 i 1 11 j 1 12 for k p to r 13 do if L[i] R[j] 14 then A[k] L[i] 15 i i else A[k] R[j] 17 j j + 1 Ilustraija rada MergeSort algoritma na primjeru A = 5, 2, 4, 7, 1, 3, 2, 6, 11 prikazano je na Slii MergeSort(A, p, r) Merge(A, p, q, r) Slika 83: MergeSort algoritam na primjeru A = 5, 2, 4, 7, 1, 3, 2, 6, 11 Indeksi polja označavaju vrijednosti p, r za svaki rekurzivni poziv
7 82 "Podijeli-pa-vladaj" strategija 79 Vrijeme izvršenja MergeSort alogirtma je opisano rekurzijom: O(1), n = 1 T( n/2 ) + T( n/2 ) + O(n), inače (83) Prethodnu rekurziju možemo pojednostaviti, štoviše, može se pokazati da asimptotska ojena se neće promijeniti ukoliko koristimo (84) umjesto (83) U [1] je dano formalno opravdavanje ove relaksaije O(1), n = 1 (84) 2T(n/2) + O(n), inače i pokazati da je ono O(n lg n) prema rekurzivnom stablu prikazano u Slii 84 (pojednostavljeno, uzeto je = d): lg n 1 i=0 n }} ijena stabla bez listova (n + 1) lg n + (d + 1)n = O(n lg n) + 2 lg n T(1) }} ijena u listovima Primjer 84 Neka su x, y dva n-bitna ijela broja Zbog jednostavnosti pretpostavite neka je n neka potenija broja 2 Pokažite kako možemo pomnožiti 2 n-bitna ijela broja metodom "podijeli pa vladaj" Primjetite da svaki ijeli broj zapisan u n bitova možemo zapisati na sljedeći način: x = x L x R = 2 n/2 x L + x R y = y L y R = 2 n/2 y L + y R i definirati množenje dva ijela broja rekurzivno Npr broj x u binarnom zapisu je se može zapisati kao x = a) Napišite rekurzivni(devide-and-onquer) algoritam u O(n 2 ) vremenu za množenje 2 ijela broja od n bita b) Pokažite kako se algoritam može ubrzati u O(n lg 3 ) vremenu na način da se broj rekurzivnih poziva smanji s 4 na 3 ) Napišite pseudokod za algoritam Rješenje ad a) Napisati ćemo prvo deskriptivno devide-and-onquer algoritam Uočimo: x y = (2 n/2 x L + x R )(2 n/2 y L + y R ) = 2 n x L y L + 2 n/2 (x L y R + x R y L ) + x R y R i ako označimo vidimo da P 1 = x L y L, P 2 = x L y R, P 3 = x R y L, P 4 = x R y R (85) xy = 2 n P n/2 (P 2 + P 3 ) + P 4 (86)
8 80 Rekurzivni algoritmi Slika 84: raspis rekurzije vremenske složenosti u koraima (a),(b),(),(d) za Merge-Sort algoritam gdje su P 1, P 2, P 3, P 4 definirani rekurzivno kao (85) i predstavljaju množenje n/2 bitna broja Utvrdimo vremensku složenost algoritma T(n) Problem smo podijelili na instane veličine n/2 u svakom rekurzivnom pozivu, i rješenje kombiniramo po formuli (86) Korak kombiniranja rješenja je O(n) zato što umnožak binarnog broja x s 2 k je implementirano kao bitovni pomak za k mjesta ulijevo u registrima zapisa broja x
9 82 "Podijeli-pa-vladaj" strategija 81 Vrijeme izvršenja algoritma je izraženo rekurzijom: O(1), n = 1 4T(n/2) + O(n), inače (87) Uz pomoć rekurzivnog stabla utvrdimo asimptotsku ojenu na rekurziju Izdvojimo zadnju sliku: Ideja je sumirati ijenu svih operaija po svim nivoima (od korijena stabla do 1n 2n 4n log 2 n 4 lg n = n lg 4 listova) U našem primjeru imamo lg n 1 (4/2) i n + 4 lg n T(1) }} i=0 }} ijena u listovima ijena stabla bez listova (2 lg n 1)n + 4 lg n d = (2 2 lg n 1)n lg n d n 2 + n 2 d = O(n 2 ) ad b) Primjetite kako član n lg 4 dolazi od svojstva da imamo 4 rekurzivna množenja i u svakom novom rekruzivnom pozivu smanjujemo instanu problema za pola Pokušajmo umjesto 4 operaije množenja pronaći način da koristimo samo 3 množenja! Ideja: x, y C, xy = (a + bi)( + di) = a bd + (ad + b)i ima 4 množenja, uz supstituiju ad + b = (a + b)( + d) a bd pišemo xy = a bd + ((a + b)( + d) a bd)i što zahtjeva 3 množenja!
10 82 Rekurzivni algoritmi Primjenimo ideju na naš primjer: x L y R + x R y L uvrstimo u (86) imamo: = (x L + x R )(y L + y R ) x L y L x R y R i x y = (2 n/2 x L + x R )(2 n/2 y L + y R ) = 2 n x L y L + 2 n/2 [(x L + x R )(y L + y R ) x L y L x R y R ] + x R y R i uz P 1 = x L y L, P 2 = x R y R, P 3 = (x L + x R )(y L + y R ) možemo sada zapisati xy = 2 n P n/2 (P 3 P 1 P 2 ) + P 2 što sadrži 3 množenja! Vremensku složenost možemo sada zapisati kao rekurziju O(1), n = 1 3T(n/2) + O(n), inače (88) Tvrdnja: Vrijeme izvršenja devide-and-onquer algoritma s 3 množenja je O(n lg 3 ) Vrijeme izvršenja algoritma možemo analizirati na rekurzivnom stablu Sumiramo ijene n n n/2 n/2 n/2 3/2n h = lg n n/4 n/4 9/4n T (1) T (1) w T (1) w = 3 h = 3 lg n = n lg 3 ; po svim nivoima+ijena u listovima (radi jednostavnosti, O(1) = d, O(n) = n): lg n 1 (3/2) i n + 3 lg n T(1) }} i=0 }} ijena u listovima ijena stabla bez listova ((3/2) lg n 1)n + n lg 3 d (3/2) lg n n + n lg 3 d = n lg 3/2 + n lg 3 d = O(n lg 3 )
11 82 "Podijeli-pa-vladaj" strategija 83 ad ) Zapišimo sada drugi algoritam u pseudokodu: Multiply(x, y) 1 n = maxsize[x], size[y]} u slučaju da x, y nisu jednake duljine 2 if n = 1 3 then return xy 4 x L, x R leftmost n/2, rightmost n/2 5 y L, y R leftmost n/2, rightmost n/2 6 P 1 Multiply(x L, y L ) 7 P 2 Multiply(x R, y R ) 8 P 3 Multiply(x L + x R, y L + y R ) 9 return P 1 2 n + (P 3 P 1 P 2 ) 2 n/2 + P 2 S time je ovaj primjer završen
Projektovanje paralelnih algoritama II
Projektovanje paralelnih algoritama II Primeri paralelnih algoritama, I deo Paralelni algoritmi za množenje matrica 1 Algoritmi za množenje matrica Ovde su data tri paralelna algoritma: Direktan algoritam
More informationAlgoritam za množenje ulančanih matrica. Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek
Algoritam za množenje ulančanih matrica Alen Kosanović Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek O problemu (1) Neka je A 1, A 2,, A n niz ulančanih matrica duljine n N, gdje su dimenzije matrice
More informationALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Penzer ALGORITMI PODIJELI PA VLADAJ Diplomski rad Voditelj rada: izv.prof.dr.sc. Saša Singer Zagreb, rujan 2016. Ovaj diplomski
More informationTEORIJA SKUPOVA Zadaci
TEORIJA SKUPOVA Zadai LOGIKA 1 I. godina 1. Zapišite simbolima: ( x nije element skupa S (b) d je član skupa S () F je podskup slupa S (d) Skup S sadrži skup R 2. Neka je S { x;2x 6} = = i neka je b =
More informationSlika 1. Slika 2. Da ne bismo stalno izbacivali elemente iz skupa, mi ćemo napraviti još jedan niz markirano, gde će
Permutacije Zadatak. U vreći se nalazi n loptica različitih boja. Iz vreće izvlačimo redom jednu po jednu lopticu i stavljamo jednu pored druge. Koliko različitih redosleda boja možemo da dobijemo? Primer
More informationU ovom dijelu upoznat ćemo strukturu podataka stablo, uvesti osnovnu terminologiju, implementaciju i algoritme nad tom strukturom.
POGLAVLJE Stabla U ovom dijelu upoznat ćemo strukturu podataka stablo, uvesti osnovnu terminologiju, implementaciju i algoritme nad tom strukturom..1 Stabla Stabla su vrlo fleksibilna nelinearna struktura
More informationZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA. Šefket Arslanagić, Sarajevo, BiH
MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7), -7 http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 75/МК7A ISSN 5-6969 (o) ISSN 986-588 (o) ZANIMLJIV NAČIN IZRAČUNAVANJA NEKIH GRANIČNIH VRIJEDNOSTI FUNKCIJA Šefket Arslanagić,
More informationSortiranje podataka. Ključne riječi: algoritmi za sortiranje, merge-sort, rekurzivni algoritmi. Data sorting
Osječki matematički list 5(2005), 21 28 21 STUDENTSKA RUBRIKA Sortiranje podataka Alfonzo Baumgartner Stjepan Poljak Sažetak. Ovaj rad prikazuje jedno od rješenja problema sortiranja podataka u jednodimenzionalnom
More informationpretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam
pretraživanje teksta Knuth-Morris-Pratt algoritam Jelena Držaić Oblikovanje i analiza algoritama Mentor: Prof.dr.sc Saša Singer 18. siječnja 2016. 18. siječnja 2016. 1 / 48 Sadržaj 1 Uvod 2 Pretraživanje
More informationZanimljive rekurzije
Zanimljive rekurzije Dragana Jankov Maširević i Jelena Jankov Riječ dvije o rekurzijama Rekurzija je metoda definiranja funkcije na način da se najprije definira nekoliko jednostavnih, osnovnih slučajeva,
More informationNIZOVI I REDOVI FUNKCIJA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Danijela Piškor NIZOVI I REDOVI FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Ljiljana Arambašić Zagreb, rujan 206.
More informationVedska matematika. Marija Miloloža
Osječki matematički list 8(2008), 19 28 19 Vedska matematika Marija Miloloža Sažetak. Ovimčlankom, koji je gradivom i pristupom prilagod en prvim razredima srednjih škola prikazuju se drugačiji načini
More informationSveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Ivana Oreški REKURZIJE.
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ivana Oreški REKURZIJE Završni rad Osijek, 2011. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationHornerov algoritam i primjene
Osječki matematički list 7(2007), 99 106 99 STUDENTSKA RUBRIKA Hornerov algoritam i primjene Zoran Tomljanović Sažetak. U ovom članku obrad uje se Hornerov algoritam za efikasno računanje vrijednosti polinoma
More informationPRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK BINARNI POLINOMI. Diplomski rad. Voditelj rada: doc. dr. sc. Goranka Nogo. Zagreb, 2017.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Jure Šiljeg BINARNI POLINOMI Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Goranka Nogo Zagreb, 2017. Ovaj diplomski rad obranjen
More informationALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ALGORITAM FAKTORIZACIJE GNFS Ivan Fratrić Seminar iz predmeta Sigurnost računalnih sustava ZAGREB, Sažetak Faktorizacija brojeva jedan je od
More informationMaja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Maja Antolović Algoritmi u teoriji brojeva Završni rad Osijek, 2017. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike. Sortiranje u linearnom vremenu
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni nastavnički studij matematike i informatike Tibor Pejić Sortiranje u linearnom vremenu Diplomski rad Osijek, 2011. Sveučilište J.
More informationMehurasto sortiranje Brzo sortiranje Sortiranje učešljavanjem Sortiranje umetanjem. Overviev Problemi pretraživanja Heš tabele.
Bubble sort Razmotrimo još jedan vrlo popularan algoritam sortiranja podataka, vrlo sličan prethodnom algoritmu. Algoritam je poznat pod nazivom Bubble sort algoritam (algoritam mehurastog sortiranja),
More informationPellova jednadžba. Pell s equation
Osječki matematički list 8(2008), 29 36 29 STUDENTSKA RUBRIKA Pellova jednadžba Ivona Mandić Ivan Soldo Sažetak. Članak sadrži riješene primjere i probleme koji se svode na analizu skupa rješenja Pellove
More informationMetode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda
Osječki matematički list 10(2010), 31 42 31 STUDENTSKA RUBRIKA Metode izračunavanja determinanti matrica n-tog reda Damira Keček Sažetak U članku su opisane metode izračunavanja determinanti matrica n-tog
More informationSveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Valentina Volmut Ortogonalni polinomi Diplomski rad Osijek, 2016. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationKarakteri konačnih Abelovih grupa
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matija Klarić Karakteri konačnih Abelovih grupa Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationNilpotentni operatori i matrice
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Nikolina Romić Nilpotentni operatori i matrice Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationKLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES. NIKOLA MILIKIĆ URL:
KLASIFIKACIJA NAIVNI BAJES NIKOLA MILIKIĆ EMAIL: nikola.milikic@fon.bg.ac.rs URL: http://nikola.milikic.info ŠTA JE KLASIFIKACIJA? Zadatak određivanja klase kojoj neka instanca pripada instanca je opisana
More informationMathcad sa algoritmima
P R I M J E R I P R I M J E R I Mathcad sa algoritmima NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 Napraviti algoritam za sabiranje dva broja. NAREDBE - elementarne obrade - sekvence Primjer 1 POČETAK
More informationFormule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti math.e Vol 28.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Formule za udaljenost točke do pravca u ravnini, u smislu lp - udaljenosti Banachovi prostori Funkcija udaljenosti obrada podataka optimizacija Aleksandra
More informationFunkcijske jednadºbe
MEMO pripreme 2015. Marin Petkovi, 9. 6. 2015. Funkcijske jednadºbe Uvod i osnovne ideje U ovom predavanju obradit emo neke poznate funkcijske jednadºbe i osnovne ideje rje²avanja takvih jednadºbi. Uobi
More informationMatrice u Maple-u. Upisivanje matrica
Matrice u Maple-u Tvrtko Tadić U prošlom broju upoznali ste se s matricama, a u ovom broju vidjeli ste neke njihove primjene. Mnoge je vjerojatno prepalo računanje s matricama. Pa tko će raditi svo to
More informationPRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU
MAT KOL Banja Luka) ISSN 0354 6969 p) ISSN 1986 58 o) Vol. XXI )015) 105 115 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PRIPADNOST RJEŠENJA KVADRATNE JEDNAČINE DANOM INTERVALU Bernadin Ibrahimpašić 1 Senka Ibrahimpašić
More informationKVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU 1
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 1986 5228 (o) Vol. XXII (1)(2016), 5 19 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm KVADRATNE INTERPOLACIJSKE METODE ZA JEDNODIMENZIONALNU BEZUVJETNU LOKALNU OPTIMIZACIJU
More informationFibonaccijev brojevni sustav
Fibonaccijev brojevni sustav Ljerka Jukić asistentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, ljukic@mathos.hr Helena Velić studentica Odjela za matematiku Sveučilišta u Osijeku, hvelic@mathos.hr Sažetak
More informationMetoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tamara Sente Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model Diplomski rad Voditelj rada: Izv.prof.dr.sc. Miljenko Huzak
More informationKvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe
Kvaternioni i kvaternionsko rješenje 1 Uvod Kvaternioni i kvaternionsko rješenje kvadratne jednadžbe Željko Zrno 1 i Neven Jurić Što je matematika? Na što prvo čovjeka asocira riječ matematika? Matematika
More informationIvan Soldo. Sažetak. U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica. Svaki od njih ilustriran je primjerom.
Osječki matematički list 5(005), 8 Različiti načini množenja matrica Ivan Soldo Sažetak U članku se analiziraju različiti načini množenja matrica Svaki od njih ilustriran je primjerom Ključne riječi: linearni
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mateja Dumić Cjelobrojno linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku
More informationFajl koji je korišćen može se naći na
Machine learning Tumačenje matrice konfuzije i podataka Fajl koji je korišćen može se naći na http://www.technologyforge.net/datasets/. Fajl se odnosi na pečurke (Edible mushrooms). Svaka instanca je definisana
More informationPogled u povijest razvoja algoritama
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Tea Fijačko Pogled u povijest razvoja algoritama Diplomski rad Osijek, 2011. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Tea
More informationPrsten cijelih brojeva
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU Marijana Pravdić Prsten cijelih brojeva Diplomski rad Osijek, 2017. SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA MATEMATIKU
More informationRed veze za benzen. Slika 1.
Red veze za benzen Benzen C 6 H 6 je aromatično ciklično jedinjenje. Njegove dve rezonantne forme (ili Kekuléove structure), prema teoriji valentne veze (VB) prikazuju se uobičajeno kao na slici 1 a),
More informationUNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET MASTER RAD SUFIKSNI NIZ Mentor: Student: Prof. dr Miodrag Živković Slaviša Božović 1014/2011. Beograd, 2015. UVOD... 1 1. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE... 2 1.1.
More informationQuasi-Newtonove metode
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević Quasi-Newtonove metode Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Milan Milinčević
More informationAlgoritam za odre divanje ukupnog poravnanja dva grafa poravnanja parcijalnog ure daja
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA ZAVRŠNI RAD br. 000 Algoritam za odre divanje ukupnog poravnanja dva grafa poravnanja parcijalnog ure daja Mislav Bradač Zagreb, lipanj 2017.
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 207 Matematička indukcija Princip matematičke indukcije: Da bi za svako n N važilo tvrdjenje T (n) dovoljno je pokazati: bazu indukcije: tvrdjenje T () induktivni
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike. Završni rad. Tema : Vedska matematika
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski sveučilišni studij matematike Završni rad Tema : Vedska matematika Student : Vedrana Babić Broj indeksa: 919 Osijek, 2016. 1 Sveučilište
More informationDISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI
Postavka 7: međusobno isključivanje sa read/write promenljivama 1 DISTRIBUIRANI ALGORITMI I SISTEMI Iz kursa CSCE 668 Proleće 2014 Autor izvorne prezentacije: Prof. Jennifer Welch Read/Write deljene promenljive
More informationSveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku DIOFANTSKE JEDNADŽBE
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE JEDNADŽBE Završni rad Osijek, 2016. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Violeta Ivšić DIOFANTSKE
More informationDES I AES. Ivan Nad PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Nad DES I AES Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zrinka Franušić Zagreb, srpanj, 2014. Ovaj diplomski rad obranjen
More informationPRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI. Diplomski rad. Voditelj rada: prof.dr.sc.
SVEUČ ILIŠ TE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marina Zrno KOMUTATIVNI PRSTENI Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Ozren Perše Zagreb, 2014 Ovaj diplomski rad obranjen
More informationSITO POLJA BROJEVA. Dario Maltarski PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc. dr. sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Dario Maltarski SITO POLJA BROJEVA Diplomski rad Voditelj rada: Doc. dr. sc. Filip Najman Zagreb, rujan 2014. Ovaj diplomski
More informationLinearno programiranje i primjene
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka Čordaš Linearno programiranje i primjene Diplomski rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Rebeka
More informationHRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA
HRVATSKA MATEMATIČKA OLIMPIJADA prvi dan 5. svibnja 01. Zadatak 1. Dani su pozitivni realni brojevi x, y i z takvi da je x + y + z = 18xyz. nejednakost x x + yz + 1 + y y + xz + 1 + z z + xy + 1 1. Dokaži
More informationUvod u dinamičko programiranje
Uvod u dinamičko programiranje Andreja Ilić Aleksandar Ilić e-mail: ilic andrejko@yahoo.com e-mail: aleksandari@gmail.com Prirodno Matematički Fakultet u Nišu 1 Uvod Jedan od čestih algoritamskih problema
More informationPARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Anto Čabraja PARALELNI ALGORITMI ZA PROBLEM GRUPIRANJA PODATAKA Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Goranka Nogo Zagreb,
More informationKRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Stela Šeperić KRITERIJI KOMPLEKSNOSTI ZA K-MEANS ALGORITAM Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Pavle Goldstein Zagreb, Srpanj
More informationAsocijativna polja POGLAVLJE Ključevi kao cijeli brojevi
POGLAVLJE 7 Asocijativna polja U ovom poglavlju promotrit ćemo poopćenje strukture podataka polja. Upoznali smo se s činjenicom da se elementima polja efikasno pristupa poznavajući cjelobrojni indeks određenog
More informationKonstekstno slobodne gramatike
Konstekstno slobodne gramatike Vežbe 07 - PPJ Nemanja Mićović nemanja_micovic@matfbgacrs Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu 4 decembar 2017 Sadržaj Konstekstno slobodne gramatike Rečenična forma
More informationMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio II Bez obzira kako nam se neki teorem činio korektnim, ne možemo biti sigurni da ne krije neku nesavršenost sve dok se nam ne čini prekrasnim G. Boole The moving power
More informationAriana Trstenjak Kvadratne forme
Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Ariana Trstenjak Kvadratne forme Završni rad Osijek, 014. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera
More informationOsobine metode rezolucije: zaustavlja se, pouzdanost i kompletnost. Iskazna logika 4
Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Rezolucija 1 Metod rezolucije je postupak za dokazivanje da li je neka iskazna (ili
More informationMatrice traga nula math.e Vol. 26. math.e. Hrvatski matematički elektronički časopis. Matrice traga nula. komutator linearna algebra. Sažetak.
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis komutator linearna algebra Marijana Kožul i Rajna Rajić Matrice traga nula marijana55@gmail.com, rajna.rajic@rgn.hr Rudarsko-geološko-naftni fakultet,
More informationPitagorine trojke. Uvod
Pitagorine trojke Uvod Ivan Soldo 1, Ivana Vuksanović 2 Pitagora, grčki filozof i znanstvenik, često se prikazuje kao prvi pravi matematičar. Ro - den je na grčkom otoku Samosu, kao sin bogatog i zaslužnog
More informationLINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE
LINEARNI MODELI STATISTIČKI PRAKTIKUM 2 2. VJEŽBE Linearni model Promatramo jednodimenzionalni linearni model. Y = β 0 + p β k x k + ε k=1 x 1, x 2,..., x p - varijable poticaja (kontrolirane) ε - sl.
More informationMatea Ugrica. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni diplomski studij matematike i računarstva Matea Ugrica Upravljivost linearnih vremenski neovisnih sustava Diplomski rad Osijek, 215
More informationUvod u algoritamske tehnike
Uvod u algoritamske tehnike Tema i nacrt predavanja: Razmatraćemo različite pristupe u rešavanju programerskih problema. Fokusiraćemo se na tehnike za konstrukciju algoritama, na osobine, primenljivost
More informationSveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku. Sveučilišni preddiplomski studij matematike
Sveučilište J.J.Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Lorena Škalac Fermatova metoda beskonačnog spusta Završni rad Osijek, 014. Sveučilište J.J.Strossmayera
More informationAlgoritmi za mnoºenje i dijeljenje velikih. brojeva. Marko Pejovi UNIVERZITET CRNE GORE. Prirodno-matemati ki fakultet Podgorica. Podgorica, 2018.
UNIVERZITET CRNE GORE Prirodno-matemati ki fakultet Podgorica Marko Pejovi Algoritmi za mnoºenje i dijeljenje velikih brojeva SPECIJALISTIƒKI RAD Podgorica, 2018. UNIVERZITET CRNE GORE Prirodno-matemati
More informationGrupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2
Klaster analiza 1 U tekstu vjerojatno ima pogrešaka. Ako ih uočite, molim da mi to javite Grupiranje podataka u skupine 1 Rudolf Scitovski, Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku 2 1 Formulacija problema
More informationMetode rješavanja kvadratičnog problema pridruživanja
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA MAGISTARSKI RAD Metode rješavanja kvadratičnog problema pridruživanja Dipl. ing. Zvonimir Vanjak Mentor: Prof.dr. Damir Kalpić . Sadržaj. SADRŽAJ...2
More informationPORAVNANJE VIŠE NIZOVA. Neven Grubelić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Neven Grubelić PORAVNANJE VIŠE NIZOVA Diplomski rad Voditelj rada: izv. prof. dr. sc. Saša Singer Zagreb, studeni, 2015. Ovaj
More informationMirela Nogolica Norme Završni rad
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mirela Nogolica Norme Završni rad Osijek, 2014. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za
More informationPoložaj nultočaka polinoma
Osječki matematički list 4 (204), 05-6 Položaj nultočaka polinoma Mandalena Pranjić Rajna Rajić Sažetak Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različite realne nultočke polinoma
More informationGrafovi. Osnovni algoritmi sa grafovima. Predstavljanje grafova
Grafovi Osnovni algoritmi sa grafovima U ovom poglavlju će biti predstavljene metode predstavljanja i pretraživanja grafova. Pretraživanja grafa podrazumeva sistematično kretanje vezama grafa, tako da
More informationDISKRETNI LOGARITAM. 1 Uvod. MAT-KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XVII (2)(2011), 43-52 DISKRETNI LOGARITAM Bernadin Ibrahimpašić 1, Dragana Kovačević 2 Abstract U ovom članku se opisuje pojam diskretnog
More informationMetode praćenja planova
Metode praćenja planova Klasična metoda praćenja Suvremene metode praćenja gantogram mrežni dijagram Metoda vrednovanja funkcionalnosti sustava Gantogram VREMENSKO TRAJANJE AKTIVNOSTI A K T I V N O S T
More informationAn Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index
CROATICA CHEMICA ACTA CCACAA68 (1) 99-103 (1995) ISSN 0011-1643 CCA-2215 Original Scientific Paper An Algorithm for Computation of Bond Contributions of the Wiener Index Istvan Lukouits Central Research
More informationMersenneovi i savršeni brojevi
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Diplomski studij matematike Ana Maslać Mersenneovi i savršeni brojevi Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel
More informationMatrične dekompozicije i primjene
Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić Matrične dekompozicije i primjene Diplomski rad Osijek, 2012 Sveučilište JJ Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Goran Pavić
More informationHIBRIDNI KRIPTOSUSTAVI
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Josip Iveković HIBRIDNI KRIPTOSUSTAVI Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Andrej Dujella Zagreb, rujan 2014 Ovaj diplomski
More information1.1 Algoritmi. 2 Uvod
GLAVA 1 Uvod Realizacija velikih računarskih sistema je vrlo složen zadatak iz mnogih razloga. Jedan od njih je da veliki programski projekti zahtevaju koordinisani trud timova stručnjaka različitog profila.
More informationVektori u ravnini i prostoru. Rudolf Scitovski, Ivan Vazler. 10. svibnja Uvod 1
Ekonomski fakultet Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Ivan Vazler 10. svibnja 2012. Sadržaj 1 Uvod 1 2 Operacije s vektorima 2 2.1 Zbrajanje vektora................................
More informationTeorem o reziduumima i primjene. Završni rad
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matej Petrinović Teorem o reziduumima i primjene Završni rad Osijek, 207. Sveučilište J. J. Strossmayera
More informationAKSIOME TEORIJE SKUPOVA
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354/6969 XV(1)(2009), 17-25 AKSIOME TEORIJE SKUPOVA Duško Bogdanić 1, Bojan Nikolić 2 i Daniel A. Romano 2 Sažetak: Postoji više od jedne mogućnosti aksiomatizacije teorije skupova.
More informationUvod u numericku matematiku
Uvod u numericku matematiku M. Klaricić Bakula Oujak, 2009. Uvod u numericku matematiku 2 1 Uvod Jedan od osnovnih problema numericke matematike je rješavanje linearnih sustava jednadbi. U ovom poglavlju
More informationNekoliko kombinatornih dokaza
MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm Vol. XXII (2)(2016), 141-147 Nekoliko kombinatornih dokaza Duško Jojić Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet
More informationNTRU KRIPTOSUSTAV. Valentina Pribanić PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Pribanić NTRU KRIPTOSUSTAV Diplomski rad Voditelj rada: Andrej Dujella, prof. dr. sc. Zagreb, srpanj 2015. Ovaj diplomski
More informationOSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE
SVEUČILIŠTE U SPLITU FILOZOFSKI FAKULTET Nives Baranović, predavač OSNOVE MATEMATIČKE LOGIKE Recenzenti: dr. sc. Sanja Rukavina, izv. prof., Sveučilište u Rijeci, Odjel za matematiku dr. sc. Damir Vukičević,
More informationO aksiomu izbora, cipelama i čarapama
O aksiomu izbora, cipelama i čarapama Aksiom izbora može se izreći u raznim ekvivalentnim formama. Dokazi ekvivalencije aksioma izbora npr. sa Zornovom lemom, ili pak sa Zermelovim teoremom o dobrom uredaju,
More informationGeometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Osječki matematički list 6(2006), 79 84 79 Geometrijski smisao rješenja sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice Zlatko Udovičić Sažetak. Geometrijski smisao rješenja sustava od dvije linearne
More informationU čemu je snaga suvremene algebre?
1 / 33 U čemu je snaga suvremene algebre? Dr Ivan Tomašić Queen Mary, University of London SŠ Mate Blažina Labin 2014 2 / 33 Pitagorine trojke Teorem Postoje cijeli brojevi x, y i z koji zadovoljavaju:
More informationODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA
Sveučilište u Zagrebu GraĎevinski faklultet Kolegij: Primjenjena matematika ODREĐIVANJE DINAMIČKOG ODZIVA MEHANIČKOG SUSTAVA METODOM RUNGE-KUTTA Seminarski rad Student: Marija Nikolić Mentor: prof.dr.sc.
More informationKonstrukcija i analiza algoritama
Konstrukcija i analiza algoritama 27. februar 2017 1 Pravila zaključivanja i tehnike dokazivanja u iskaznoj i predikatskoj logici 1 1.1 Iskazna logika Pravila zaključivanja za iskaznu logiku: 1. DODAVANJE
More information1 Pogreške Vrste pogrešaka Pogreške zaokruživanja Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka
Sadržaj 1 Pogreške 1 1.1 Vrste pogrešaka...................... 1 1.1.1 Pogreške zaokruživanja.............. 1 1.1.2 Pogreške nastale zbog nepreciznosti ulaznih podataka....................... 2 1.1.3 Pogreška
More informationUvod u relacione baze podataka
Uvod u relacione baze podataka Ana Spasić 2. čas 1 Mala studentska baza dosije (indeks, ime, prezime, datum rodjenja, mesto rodjenja, datum upisa) predmet (id predmeta, sifra, naziv, bodovi) ispitni rok
More informationProcjena funkcije gustoće
Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Jelena Milanović Procjena funkcije gustoće Diplomski rad Osijek, 2012. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Jelena Milanović
More informationALGORITMI. Pojam algoritma Blok dijagram
ALGORITMI Pojam algoritma Blok dijagram UVOD U ALGORITME Sadržaj Pojam algoritma Primjeri algoritama Osnovna svojstva algoritama Pojam algoritma Što je algoritam? Grubo rečeno: Algoritam = metoda, postupak,
More informationPOOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Petra Zubak POOPĆENJE KLASIČNIH TEOREMA ZATVARANJA PONCELETOVOG TIPA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Juraj Šiftar
More informationALGORITMI ZA ISPITIVANJE DJELJIVOSTI
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Preddiplomski stručni studij Elektrotehnika, smjer Informatika ALGORITMI ZA ISPITIVANJE
More informationMostovi Kaliningrada nekad i sada
Osječki matematički list 7(2007), 33 38 33 Mostovi Kaliningrada nekad i sada Matej Kopić, Antoaneta Klobučar Sažetak.U ovom radu su najprije dane stvarne situacije oko Kalingradskih mostova kroz povijest.
More informationNEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Lina Rajković NEKE VARIJANTE PITAGORINOG TEOREMA Diplomski rad Voditelj rada: Prof. dr. sc. Mirko Primc Zagreb, veljača, 2017.
More information