Probleme reolvate Lăcrimioara GRAMA, Coreliu RUSU, Prelucrarea umerică a semalelor aplicații și probleme, Ed UTPRESS, Clu-Napoca, 008 Capitolul Semale și secvețe Problema Geerarea uei expoețiale complexe: Se doreşte geerarea şi repreetarea grafică a secveţei expoeţiale complexe: x 5exp, 0,50 0 5 Secveţa fiid ua complexă, vom putea afişa partea reală a acesteia, respectiv partea imagiară x 5exp 5exp cos 5exp si 0 5 0 5 0 5 Partea reală a secveţei x este: Rex 5exp cos, 0 5 respectiv partea imagiară: Imx 5exp si 0 5 Problema Eroarea de alias determiată de eșatioare: Se cosideră două semale aalogice x t cu amplitudiile: A A, frecveţele: F 500 H, F H şi faele: xa t şi a 0, care se eşatioaeaă cu: Fs 5 H Se urmăreşte repreetarea semalelor aalogice, a secveţelor discrete obţiute după eşatioare şi a semalelor recostituite di eşatioae Semalele aalogice: xa t cos 500 t; x a t cos 0 t Secvețele obțiute î urma eșatioării: 500 x cos cos ; 50 5 0 x cos cos cos 5 0 5 5 Semalele recostituite di eșatioae: xat cos 50 t cos 500 t xat; 5 xat cos 50 t cos 500t xat 5
Probleme reolvate Cel de-al doilea semal aalogic u poate fi recostituit, deoarece petru acesta u s-a respectat teorema eşatioării (alias) Problema Eșatioare : Se cosideră semalul aalogic: x t cos 00 t a Se cere: Determiaţi vitea miimă de eşatioare petru evitarea oricărui alias Presupuâd că semalul este eşatioat cu rata Fs 00 H, care este semalul discret î timp obţiut după eşatioare? Care este semalul recostituit di eşatioaele de la puctul? Presupuîd că semalul este eşatioat cu Fs 75 H, care este semalul discret î timp obţiut după eşatioare? 5 Care este frecveţa 0F F a uei siusoide, care să producă eşatioae idetice cu cele de la puctul? 6 Care este semalul recostituit di eşatioaele de la puctul? Vitea miimă de eşatioare petru evitarea oricărui alias trebuie să fie dublul frecveţei semalului: x t cos 50t F 50 H F mi F 00 H a Secveţa obţiută după eşatioaarea cu Fs 00 H este: 50 x xa cos cos f, Fs 00 perioada este N Semalul recostituit di eşatioaele de la puctul este: xat x tfs cos 00t cos 00 t Semalul recostituit este este idetic cu semalul aalogic iiţial, deoarece a fost respectată teorema eşatioării Secveţa obţiută după eşatioaarea cu Fs 75 H este: 50 x x a cos cos f, Fs 75 frecveţa discretă trebuie adusă î itervalul fudametal Di relaţia (9) avem: f f0, f0 Î acest ca particular: f ' f, x ' cos cos f, perioada este N 5 F 75 f F f Fs 75 5, 0 5 F Reultă că semalul aalogic: y t cos 5t s a s, eşatioat cu F 75 H, produce aceleaşi eşatioae ca cele de la puctul Î cocluie, F 50 H este u alias petru F 5 H, petru o rată de eşatioare de Fs 75 eşatioae/secudă 6 Semalul recostituit di eşatioaele de la puctul este: xat x tfs cos 75t cos50t Distorsiuea semalul aalogic origial a fost determiată de efectul de alias, deoarece a fost utiliată o rată de eşatioare prea mică (mai mică decât dublul frecveţei semalului aalogic origial) s
Probleme reolvate Capitolul Sisteme discrete Problema Caracteriarea sistemelor discrete: Se cosideră u sistem discret LTI caracteriat î domeiul timp de ecuaţia cu difereţe fiite: y 5y y x x Se cere: Să se determie ieşirea sistemului, y, la secveţa de itrare: x u, ştiid că y y ; Să se evaluee răspusul la impuls h Dorim să aflăm ieşirea sistemului, y, 0, petru u semal de itrare dat ude: x, 0 şi u set de codiţii iiţiale Soluţia totală are două compoete: compoeta omogeă şi compoeta paticulară: y y y h p y se umeşte soluţie omogeă sau complemetară, iar y h p se umeşte soluţie particulară Soluţia omogeă a ecuaţiei cu difereţe fiite Vom îcepe cu reolvarea ecuaţiei liiare cu difereţe fiite şi coeficieţi costaţi (cosiderâd că itrarea x 0 ) Astfel vom obţie prima dată soluţia ecuaţiei cu difereţe fiite omogee: y 5y y 0 Cosiderăm că soluţia este de forma uei expoeţiale, adică: yh, ude idicele h folosit cu y este folosit petru a meţioa că este vorba de soluţia omogeă a ecuaţiei cu difereţe fiite Dacă substituim această soluţie î ecuaţia omogeă, obţiem ecuaţia poliomială: 5 0 5 0, deumită şi ecuaţie caracteristică, sau poliom caracteristic Rădăciile ecuaţiei caracteristice sut: 5 5 6 5, Deoarece rădăciile ecuaţiei caracteristice sut suprauitare î modul i, este vorba despre u sistem istabil Avâd radăciile ecuaţiei caracteristice, putem evalua soluţia ecuaţiei omogee, de forma: y h C C u C C u C C u ude C şi C se umesc coeficieţi de poderare; se determiă di codiţiile iiţiale Soluţia particulară a ecuaţiei cu difereţe fiite Soluţia particulară,, trebuie să satisfacă ecuaţia cu difereţe fiite iiţială, petru semalul de itrare dat x, 0 soluţia care satisface relaţia: y 5y y x x Petru yp Cu alte cuvite, y p p p y cosiderăm o formă ce depide de forma semalului de itrare, p p este orice x Deoarece secveţa de itrare cosiderată petru acest sistem este produsul ditre o costată şi o expoeţială, soluţia particulară corespuătoare ecuaţiei eomogee, este: y p K u, ude K este u factor de scalare care satisface relaţia (î ecuaţia iiţială): K u 5K u K u u u
Probleme reolvate Petru a determia valoarea lui K, trebuie să evaluăm ecuaţia aterioară petru orice Deci: K 5K K Ca atare, soluţia particulară a ecuaţiei cu difereţe fiite este: K 0K 6K 5K 5 K 9 y p u 9 Soluţia totală a ecuaţiei cu difereţe fiite Soluţia totală, este suma ditre soluţia omogeă şi cea particulară, adică: y C C u 9 Costatele C şi C se determiă di codiţiile iiţiale y 0 şi y : 0 y 0 5y y x 0 x y 0 5 9 y 5y 0 y x x 0 y 0 Avâd codiţiile iiţiale y 0 şi y 9, putem afla cotatele C şi C : ude 7 C C CC 9 9 9 65 C C C C 9 9 7 65 6 6 / C C C 9 9 9 9 7 7 6 6 C C C C 9 9 9 9 Ieşirea sistemului este: 6 y u, 9 9 9 yi ys este răspusul sistemului la itrarea ero cotribuţia sistemului (răspus atural/răspus yi liber), iar ys este răspusul sistemului î codiţii iitiale ule cotribuţia itrării (răspus forţat) Răspusul la impuls îl obţiem cosiderâd ca semal de itrare impulsul uitate:, 0 x y h 0, i rest x 0, 0 y h 0 Răspusul la impuls va vea doar compoeta omogeă, adică: h D D u D D u, ude şi sut rădăciile ecuaţiei caracteristice, determiate aterior Cosiderăm că sistemul este caual ( h 0, 0 ) şi evaluăm codiţiile iiţiale: 0 h 0 5h h 0 h 0 h 0 CI h 5h 0 h 0 h 5 6 h 6 p p
Evaluăm coeficieţii D şi D : Probleme reolvate D D DD 6 5 D D DD 5 5 D D Răspusul sistemului la impuls este: 5 h u / D 5 Problema 5 Răspusul la impils și ecuația de itrare-ieșire: Se cosideră u sistem caual care, 0,, 0, 5,, 5 6 produce la ieşire secveţa y,, la excitaţia x 6,, 0, i rest, 6 0, i rest Se doreşte determiarea răspusului la impuls, costaţi corespuătoare h, şi a ecuaţiei cu difereţe fiite şi coeficieţi Aplicăm trasformata î secveţei de ieşire: 5 Y 6 Trasformata î corespuătoare secveţei de la itrare este: 5 X 6 6 Avâd trasformatele î corespuătoare secveţelor de itrare, respectiv de ieşire, putem evalua fucţia de trasfer: 5 5 Y H 6 6 X 5 6 6 Deoarece sistemul este caual, regiuea sa de covergeţă este Sistemul este stabil, deoarece polii se află î iteriorul cercului uitate Ecuaţia cu difereţe fiite şi coeficieţi costaţi este: 5 5 y y y x x 6 6 6 Răspusul la impuls se obţie aplicâd trasformata î iversă fucţiei de sistem Î prealabil trebuie să descompuem fucţia de trasfer î fracţii simple, de forma: A A H 5 5 A 6 8 A 6 7 5
Probleme reolvate Avâd coeficieţii A şi A, putem scrie expresia fucţiei de trasfer descompusă î fracţii simple: 8 7 H Î coseciţă, răspusul la impuls va fi: h Z H 8 7 u Problema 6 Evaluarea ieșirii, cuoscâd răspusul la impuls și excitația: Se doreşte determiarea secveţei de la ieşirea sistemului care are răspusul la impuls: h u,, dacă semalul de la itrarea este: x e, Răspusul î frecveţă al acestui sistem este: H he e 0 e Petru, fucţia răspus î frecveţă devie: 65 H 057 07, cos si 5 5 e iar modulul, respectiv faa sut date de relaţiile: H 057 07 07 0 05, H arcta 6 057 0 Secveţa de ieşire se evalueaă cu autorul relaţiei (0) : y AH e, adică H 0 0 6 6 y H e H e 05 e 5e Se observă că sigurul efect al sistemului asupra semalului de itrare costă î scalarea 0 amplitudiii cu 05 şi defaarea cu 6 Semalul de ieşire este î acest ca o expoeţială 0 complexă cu frecveţa, amplitudie 5 şi faă 6 Problema 7 Ieșirea uui sitem LTI la o excitație expoețială: Acest exemplu are ca scop determiarea răspusului la secveţa de itrare: x 9 u, petru sistemul descris de ecuaţia cu difereţe fiite şi coeficieţi costaţi: y 09 y 08y x, ştiid că: y y y y 0; ; utiliâd trasformata î Fucţia de sistem corespuătoare ecuaţiei cu difereţe fiite şi coeficieţi costaţi este: H 09 08 Cei doi poli corespuători lui, 09 H : p e, au valori complex-cougate 0 6
Probleme reolvate Trasformata î corespuătoare secveţei de itrare este: X Z u 9 Răspusul de stare ero al sistemului, î domeiul este: Ys H X 09e 09e 9 Petru a afla răspusul forţat î domeiul timp, vom descompue Y î fracţii simple şi apoi aplicăm trasformata î iversă: A A A Ys 9 09e 09e Evaluâd petru obţiem coeficietul A 09e : A 09 9 e 09e e 0e 09e 09e cos si 0 cos si 0 s 7 5 805 5 7 7 7 09 A 0095 009 Deoarece polii p şi p au valori complex-cougate, şi coeficieţii A şi A vor avea valori complex-cougate, adică: * A A 0095 009 Evaluâd petru obţiem coeficietul A : A A 9 0989 09 08 09 9 8 0095 009 0095 009 0989 Ys 9 09e 09e Î coseciţă, răspusul de stare ero al sistemului este: ys 0095 00909e 0095 00909e 0989 9 u 0095 09 009 09 0989 9 009909 cos 0069809 si 09899 u e e e e u 09 0099 cos 00698si 0989 9 u Folosid idetitatea trigoometrică: cos si cos arcta b a x b x a b x a, obțiem: 7
Probleme reolvate 00698 ys u 0099 09 0099 00698 cos arcta 0989 9 09 0cos arcta 0705 0989 9 u 0 09 0cos 5858 0989 9 u 0 ys 009 cos 5858 0989 9 u Deoarece codiţiile iiţiale sut ule, ieşirea sistemului va fi: 0 y ys 009 cos 5558 0989 9 u y y, şi vom avea îcă o compoetă la Î acest ca codiţiile iiţiale sut eule, trasformata î (trasformata î a răspusului câd itrarea este ulă): D Y i N a y 009 08 A 09 08 09e 09e Evaluăm costatele D şi D : * 09e 009 09e D 09e 07 09 D D 009 08 009 09 09e e 09e 07 09 05 05 596 9 D 005 096 D 005 096 005 096 005 096 Yi 09e 09e Î coseciţă, răspusul la itrare ero este: yi 005 09609e 005 09609e u 005 09 096 09 00909 cos 098709 si 0989 u e e e e u 09 009 098 0987 009 7 cos arcta u 0 y 09909 cos 879 u Răspusul total are trasformata î : 0005 0587 0005 0587 0989 Y Ys Yi 9 09e 09e 0 09 099cos arcta09689 u 09 099cos 879 u 8
Probleme reolvate Aplicâd trasformata î iversă răspusului total di domeiul, obţiem ieşirea sistemului: y 0005 058709 e 0005 058709 e 0989 9 u 0005 09 0587 09 0989 9 000909 cos 09709 si 09899 u e e e e u 097 09 0009 097 cos arcta 0989 9 u 0009 09 097 cos arcta09 0989 9 u 0 09 097 cos 898 09899 u y 0 09 097cos 898 0989 9 u Problema 8 Evaluarea răspusului la impuls și a regiuii de covergeță: Se cosideră u sistem LTI este caracteriat de fucţia de trasfer: H 5 5 Să se specifice regiuea de covergeţă a lui H şi să se determie răspusul la impuls, următoarele codiţii: Sistemul este stabil; Sistemul este caual; Sistemul este pur ecaual h, î Petru a putea evalua răspusul la impuls, trebuie descompus sistemului sut p şi p H A A H î fracţii simple Polii A A H Deoarece sistemul este stabil, regiuea de covergeţă trebuie să icludă cercul uitate, deci Î coseciţă, răspusul la impuls este ecaual: Deoarece sistemul este caual, h u u, iar u h 9
Sistemul este istabil, deoarece coţie Probleme reolvate u Dacă sistemul este pur ecaual, regiuea de covergeţă este, şi h u Sistemul este istabil, deoarece coţie u Problema 9 Evaluarea covoluției liiare: Acest exemplu urmăreşte evaluarea ieşirii uui sistem, cu autorul covoluţiei liiare ditre secveţa de la itrarea sistemului şi răspusul la impuls al acestuia î Se cosideră secveţa de itrare: x,,, şi răspusul la impuls: h,,, Covoluţia liiară va fi evaluată prima dată folosid metoda grafică, apoi utiliâd trasformata Metoda Evaluarea covoluţiei liiare cu metoda grafică Repreetăm gafic cele două secveţe, h şi x (figura 6 a)), folosid drept idice, petru a fi î acord cu relaţia (5) Realiăm simetrica secveţei h, obţiem secveţa h şi o repreetăm grafic (figura 6 b)); acum putem evalua ieşirea la mometul 0, coform relaţiei (5), adică Secveţa produs v xh 0 y 0 x h este de asemeea repreetată grafic î figura 6 b) Aduâd 0 toţi termeii secveţei produs, obţiem y v 0 Cotiuăm calculul evaluâd ieşirea petru 0, de exemplu la Petru aceasta, h cu eşatio, spre stâga (figura 6 c)) Coform relaţiei (5) traslatăm secveţa Secveţa produs v xh y x h este de asemeea repreetată grafic î figura 6 c) y v 0 Aduâd toţi termeii secveţei produs, obţiem Observăm că dacă cotiuăm să traslatăm secveţa h, spre stâga, secveţele produs obţiute vor avea toate eşatioaele ule Ca atare, putem spue că y 0, Evaluăm acum ieşirea, y, petru 0 Îcepem cu Petru aceasta, traslatăm secveţa h cu eşatio, spre dreapta, şi obţiem secveţa h (figura 6 d)) Coform relaţiei (5) Secveţa produs v xh y x h este de asemeea repreetată grafic î figura 6 d) Aduâd y v toţi termeii secveţei produs, obţiem Î mod similar obţiem secveţa y, traslatâd h 6 e)) Secveţa produs v xh Aduâd toţi termeii secveţei produs, obţiem cu eşatioae, spre dreapta (figura este de asemeea repreetaă grafic î figura 6 e) y v 0
Probleme reolvate Figura 6 Evaluarea covoluţiei liiare, folosid metoda grafică
Probleme reolvate Traslatâd î cotiuare secveţa h cu,, eşatioae, spre dreapta, îmulţid secveţele corespuătoare şi aduâd valorile secveţelor produs reultate, obţiem y 5, y 5, y 6 8 Petru 6 corespuătoare au valori ule Acum avem îtregul răspus al sistemului petru, obţiem y 0 :,0,,,,, 5,, 8,0, y Metoda Evaluarea covoluţiei liiare cu autorul trasformatei î Z x X ( ), Reultă ( ), Z h H Y ( ) X ( ) H ( ) 5 6 5 6 8 5 6 5 8,,,, 5,, 8 Z Y y y,, deaoarece secveţele produs Problema 0 Evaluarea ieșirii uis sistem cu autorul covoluției liiare: Se urmăreşte determiarea ieşirii y a uui sitem LTI relaxat, al cărui răspus la impuls este: la treapta uitate x u Î acest ca, atât h cât şi covoluţie dată de relaţia (): ude secveţa reflectată este petru 0 petru petru x, h a u a, x sut secveţe de durată ifiită Vom folosi formula de y h x, y 0 h x a u u a 0 avem: y h x a u u a a a avem: 0 y h x a u u a a a a a avem: 0 Se observă că petru 0, ieşirea este a y a a a a, 0 a Pe de altă parte, petru 0, secveţele produs vor avea doar valori ule, deci 0, 0 y Petru, ieşirea este a y lim y lim, a a
Probleme reolvate Î cocluie, ieşirea sistemului LTI este: 0, 0,, 0, y a, 0, a, a Problema Evaluarea răspusului folosid covoluția liiară: Se urmăreşte evaluarea covoluţiei liiare ditre: x u şi h u Î acest ca, atât covoluţie dată de relaţia () ude secveţa reflectată este h cât şi x sut secveţe de durată ifiită Vom folosi formula de y x h, h Secveţa produs va fi: v x h care are valori eule petru 0 şi 0 sau 0 Petru 0, v 0,, deci Petru 0 y 0, 0 suma valorilor secveţei produs v va fi: y, 0 0 0 Petru, ieşirea este: y lim y lim 0, Î cocluie, ieşirea sistemului LTI este: 0, 0, y, 0, Capitolul Trasformata Fourier Discretă Problema evaluarea DFT-ului: Acest exemplu urmăreşte evaluarea trasformatei Fourier discrete a uei secveţe date Se cosideră o secveţă de lugime :,,, x petru care se doreşte evaluarea DFT-ului î 8 pucte, Petru a evalua DFT î 8 pucte, secveţa trebuie să aibă 8 valori Vom adăuga erouri, astfel îcât secveţa x să aibă lugime 8 Obţiem,,,,0,0,0,0 x
Îcepem cu evaluarea poderilor Ţiâd cot de codiţia de simetrie W avem: N Probleme reolvate 8 8, W W e e 0,7 N / N W N, î caul acestui exemplu W W, W W, W W, W W, 7 6 5 0 8 8 8 8 8 8 8 8 W 0 0 8 e W8 e cos si W8 e e cos si W8 e cos si 0 W W 8 8 5 W8 W8 6 W W 8 8 7 W8 W8 Avâd calculate rădăciile uităţii, putem cotiua cu evaluarea lui X, 0,7, cosiderâd relaţia (), adică 7 0 X x W, 0, N 0 5 6 7 X x W x W x W x W x W x W x W x W 8 0 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 W W W W 0 8 8 8 8 şi ţiâd cot de codiţia de periodicitate W N N W N, î acest ca W 0 0 0 0 0 8 8 8 8 8 W 8 8 8 X 0 W W W W 0W 0 X W W W W 0 8 8 8 8 0 6 0 0 0 X W W W W W W W W W W 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 6 9 0 X W8 W 8 W 8 W 8 W8 W 8 W 8 W 8 0 8 0 0 0 0 0 X W W W W W W W W W 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 5 0 5 0 X 5 W8 W 8 W 8 W 8 W8 W 8 W 8 W 8 0 6 8 0 0 0 X 6 W W W W W W W W W W 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 7 0 X 7 W8 W 8 W 8 W 8 W8 W 8 W 8 W 8
Idicaţie: Probleme reolvate Acum putem evalua modulul şi faa petru X, 0,7, a b a b a b iar valorile faei trebuie repreetate î domeiul, X X X b arcta, a 0 a, b arcta, a 0 a 0 0, X 0 0 755 X arcta 57 655 679 X 88, X arcta 0785 56 75, X arcta 075 X, X 0 X 5 X 75, X 5 X 075 X 6 X 88, X 6 X 56 X 7 X 755, X 7 X 679 0, 755, 88, 75,, 75, 88, 755 0, 679, 56, 075, 6, 075, 56,679 X X Problema Covoluția circulară: Acest exemplu urmăreşte evaluarea ieşirii uui sistem, cu autorul covoluţiei circulare ditre secveţa de la itrarea sistemului şi răspusul la impuls al acestuia Se cosideră secveţa de itrare: x,,, şi răspusul la impuls h,,, Covoluţia circulară va fi evaluată prima dată folosid metoda grafică, apoi utiliâd trasformata Fourier discretă Metoda Evaluarea covoluţiei circulare cu metoda grafică Fiecare secveţă coţie valori eule Petru ilustrarea operaţiilor care apar la evaluarea covoluţiei circulare, vom desea fiecarea secveţă ca pucte ale uui cerc Repreetarea secveţelor h şi x este ilustrată î figura 8 a) Meţioăm că secveţele sut deseate pe cerc, î ses trigoometric (cotrar acelor de ceasoric) Aceasta stabileşte direcţia de referiţă la rotirea uei secveţe faţă de cealaltă Secveţa y se obţie pri covoluţia circulară ditre Îcepâd cu m 0, obţiem y 0 x h 0 h şi x, ca î relaţia (9) Secveţa h este simetrica secveţei h, deseată pe cerc (figura 8 b)) Altfel spus, secveţa simetrică este simplu, secveţa h deseată î sesul acelor de ceasoric (ivers trigoometric) 5
Secveţa produs se obţie îmulţid Probleme reolvate x cu h, puct cu puct Secveţa produs este de asemeea repreetată î figura 8 b) Î fial, aduâd valorile secveţei produs, obţiem y 0 h a) x h h h 0 x x x 0 Reflexie h h Multiplicare x h h h 0 b) x h Traslaţie h h 0 c) h h h 6 x h h h d) h 0 h h x h h h e) 8 h h h x h Figura 8 h 0 Evaluarea covoluţiei circulare, folosid metoda grafică Petru secveţa h m avem: y x h Se verifică uşor faptul că h 0 este traslatată (rotită) î ses trigoometric cu eşatio, ca î figura 8 c) Această secveţă se îmulţeşte cu valorile secveţei produs, obţiem x petru obţierea secveţei produs (figura 8 c)) Aduâd toate y 6 6
Petru secveţa h Probleme reolvate m avem: y x h Se verifică uşor faptul că h 0 este traslatată (rotită) î ses trigoometric cu eşatioae, ca î figura 8 d) Această secveţă se îmulţeşte cu valorile secveţei produs, obţiem Petru secveţa h x petru obţierea secveţei produs (figura 8 d)) Aduâd toate y 8 6 m avem: y x h Se verifică uşor faptul că h 0 este traslatată (rotită) î ses trigoometric cu eşatioae, ca î figura 8 e) Această secveţă se îmulţeşte cu valorile secveţei produs, obţiem x petru obţierea secveţei produs (figura 8 e)) Aduâd toate y Observăm că dacă cotiuăm evaluarea, petru m, obţiem aceleaşi patru valori aterioare Î cocluie, covoluţia circulară a secveţelor x şi h determiă secveţa:,, 6, y Metoda Evaluarea covoluţiei circulare cu autorul trasformatei Fourier discrete Evaluăm prima dată DFT-urile corespuătoare secveţelor x şi h DFT î pucte petru x este: 0 DFT x X x e, 0, X e e e e e e cos si cos si cos si cos cos cos si si si X 0 0 X cos cos cos si si si X cos cos cos si si si 9 9 X cos cos cos si si si DFT-ul î pucte petru h este: DFT h H h e, 0, 0 H e e e cos si cos si cos si cos si cos si cos si cos cos si si H 0 H cos cos si si 7
H Probleme reolvate cos cos si si 5 H cos cos si si Y X H sau echivalet Îmulţid cele două DFT-uri obţiem produsul Y 0 X 0 H 0 0 0 Y X H Y X H 5 0 Y X H Petru a obţie secveţa de ieşire y, trebuie evaluat IDFT-ul secveţei IDFT Y y Y ( ) e, 0, 0 y 0 e 0e e 0 cos si 0 cos si Y : 0 cos 0cos si 0 si cos si 5 5 5 cos cos si si 5 5 y 0 5 5 5 5 5 y cos cos si si 5 5 5 5 5 y cos cos si si 6 5 5 5 5 5 y cos cos si si,, 6, y Problema Evaluarea coeficieților DFT: Se cosideră u semal aalogic x t cos 00 5cos 600t, a care este eşatioat cu Fs H Se doreşte evaluarea coeficieţilor DFT Î urma eşatioării, obţiem secveţa: 00 00 x cos 5cos cos 5cos 000 000 0 0 Perioada acestei secveţe este N 0, deci vom evalua DFT-ul î 0 pucte Secveţa x o putem scrie ca sumă de expoeţiale, de forma: 0 0 0 0 0 0 0 0 e e e e x 5 5e 5e 75e 75e 0 9 7 5 0 5 0 75 0 75 0 e e e e 0 iar relaţia ditre secveţa X, este: x şi coeficieţii DFT, 8
Probleme reolvate 9 x X e 0, 0,9 0 0 X 9 5 X 7 75 X 0 X X X 5 X 6 X 8 0 X X Problema 5 Ieșirea uui filtru cu răspus fiit la impuls: Folosid DFT şi IDFT se doreşte determiarea ieşirii filtrului cu răspus fiit la impuls, caracteriat de răspusul la impuls:,, la itrarea x,,, h Lugimea secveţei răspus la impuls este M, iar lugimea secveţei de itrare este L Dacă am realia covoluţia liiară am obţie secveţa de ieşire de lugime N L M 6, ceea ce îseamă că DFT-urile trebuie evaluate î cel puţi 6 pucte Î practică, metodele umerice folosite î evaluarea DFT-ului impu ca N să fie o putere îtreagă a lui (ceriţă impusă de algoritmii FFT de calcul ai DFT-ului) Cea mai mică putere îtreagă a lui, mai mare sau egală cu 6 este N 8 Vom evalua DFT-ul corespuător secveţei de itrare, î 8 pucte: 7 0 X x W, 0,7 0 5 6 7 X x W x W x W x W x W x W x W x W 8 0 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 W W W W 0 8 8 8 8 ude poderile W au fost evaluate la Problema N Evaluâd petru 0,7 obţiem succesiv X e e e X 0 8 0 X e e e X e e e 0 0 0 9 0 X e e e X e e e 0 0 0 0 5 5 5 5 0 X e e e 9 X 6 e e e 0 0 0 7 7 7 0 X e e e Vom evalua DFT-ul corespuător secveţei răspus la impuls, h, î N 8 pucte: 7 0 Evaluâd petru 0,7 obţiem succesiv H h W, 0,7 8 0 8 8 8 W W W e e H 0 6 9
Probleme reolvate H e e H e e H e e H e e 5 5 5 H e e 6 H e e 7 7 7 H e e Efectuâd produsul Y H X, 0,7, obţiem Y 0 68 8 Y 89 Y Y 069 5 Y 0 Y 5 069 5 Y 6 Y 7 89 Petru a obţie secveţa de ieşire, y, se aplică IDFT-ul, secveţei 7 8 y IDFT Y Y e, 0,7 8 0 Y : y 0 5 6 7 8 Y Y e Y e Y e Y e Y e Y e Y e 6 9 cos si cos si 5 5 009 09cos si 0 009 09cos si 7 7 cos si 9 cos si x cos xcos x si xsi 5 7 6 9 cos 05 cos si 009 cos si 09 si 6 58 cos cos si 08cos 6si 08si Evaluâd petru 0,7 obţiem succesiv y 0 6 9 009 009 9 09 09 0
Probleme reolvate y 6 58 cos cos si 08cos 6si 08si 6 58 08 6 08 5 07 y 6 58cos cos si 08cos 6si 08si 6 6 08 0 9 9 y 6 58 cos cos si 08cos 6si 08si 6 58 08 6 08 7 9 y 6 58cos cos si 08cos 6si 08si 6 58 08 5 5 5 5 5 5 y 5 6 58 cos cos si 08cos 6si 08si 6 58 08 6 08 5 07 6 9 9 y 6 6 58cos cos si 08cos 6si 08si 6 6 08 0 7 7 7 7 y 7 6 58 cos cos si 08cos 6si 08si 6 58 08 6 08 7 5 0 Î cocluie, ieşirea filtrului cu răspus fiit la impuls este:,,0,,,6,0,0 y Deşi multiplicarea a două DFT-uri corespude covoluţiei circulare î domeiul timp, se observă că pri completarea secveţelor x şi h cu u umăr suficiet de erouri, covoluţia circulară coduce la acelaşi reultat ca şi covoluţia liiară se obţie Dacă î exemplul aterior se efectueaă covoluţia circulară ditre,,,0,0,0 şi x,,,,0,0 h Evaluâd petru 0,5 obţiem succesiv 5 0, y( ) h x 5 y 0 x h 5 0 0 y x h 5 0 y x h 0 5 0 y x h 5 y x h 0 5 y 5 x h 5 6 0 6 6 6 6 6 6 6
Probleme reolvate,,0,,,6 y Dacă N M L, u apare suprapuere (eroare alias) î domeiul timp, î ca cotrar, secveţa reultată va coţie suprapueri ale uor compoete Problema 6 Ieșirea uui filtru FIR, iterfereță compoete: Acest exemplu îşi propue evaluarea DFT-ului îtr-u mod oarecum deficitar, petru a se observa apariţia iterfereţei compoetelor Se va repeta Problema 5, petru N Vom evalua DFT-ul corespuător secveţei răspus la impuls î N pucte: 0 0 H h W W W W e e, 0, Evaluâd petru 0, obţiem succesiv H 0 6 H e e H e e H e e Vom evalua DFT-ul corespuător secveţei de itare, 0 X x W, 0, Evaluâd petru 0, obţiem succesiv x, î N pucte 0 W W W W e e e X 0 8 X e e e X e e e 0 9 X e e e Efectuâd produsul Y H X, 0,, obţiem Petru a obţie secveţa de ieşire Y 0 68 8 Y 0 0 faptul că cos x cos x, si x si x 0 Y Y y IDFT Y Y e, 0, y se aplică IDFT-ul secveţei Y și se ție cot de 0 8 0 Y Y e Y e Y e e e e cos si cos si cos si cos si cos si
se obţie Evaluâd petru 0,7 obţiem succesiv Probleme reolvate y 0 y cos si 0 y cos si 0 y cos si,0,0, y Dacă se efectueaă covoluţia circulară ditre,,,0 şi x,,, h Evaluâd petru 0, obţiem succesiv 0, y( ) h x 0 y 0 x h 0 6 y x h 0 5 0 y x h 0 5 0 y x h 6 6 6,0,0, y Dacă se compară reultatul y obţiut pri folosirea DFT-ului şi IDFT-ului î pucte cu y obţiut pri DFT şi IDFT î 8 pucte, se observă difereţe datorită suprapuerilor sau iterfereţei compoetelor y 0 y 0 y y y y 5 6 0 y y y 6 0 0 0 y y y 7 0 Se observă că umai primele două compoete sut afectate de eroarea alias, adică mi LM, compoete Problema 7 Evaluarea spectru: Se doreşte evideţierea procedurii de evaluare a spectrului uui semal aalogic şi a spectrului secveţei discrete obţiute pri eşatioarea uiformă a semalului aalogic Cosiderăm semalul aalogic: x t e at, a 0 Spectrul semalului aalogic este: a a 0 Ft at Ft at Ft at Ft a 0 X F x t e dt e e dt e e dt e e dt at Ft at Ft e e dt e e dt a a F a F a F 0 0
Probleme reolvate Presupuâd că semalul aalogic este eşatioat cu frecveţa Fs T, obţiem secveţa discretă: at at x x T e e Spectrul semalului discret obţiut pri eşatioare este: F f at f X X f x e e e Fs Spectrul secveţei relaţiei (50) a at f at f at f at f e e e e e e e e 0 0 at f at f e e e e 0 0 at e at f at f at e e e e e cos f e x este periodic cu perioada F s, datorită termeului Spectrul X spectrul semalului recostituit a cos F Fs F fiid de badă limitată, eroarea de alias u mai poate fi evitată Coform xa X f F X F F, t este: s a s at at e T e Fs, F at at F at s F at e cos e e cos FT e T Xa F Fs Fs 0, F T Comparâd spectrul semalului eeşatioat cu cel al semalului recostituit, se observă că acestea pot diferi semificativ petru o frecveţă de eşatioare aleasă ecorespuător Dacă î relaţia corespuătoare spectrului semalului recostituit cosiderăm T suficiet de mic, astfel îcât at, umărătorul şi umitorul pot fi descompuse î puteri ale lui T, pâă la ordiul doi Petru F T şi x folosid aproximaţiile: obţiem X F a at at e x x x şi cos x x at at T e T at a T e cos FT e at a T F T at a T at a T a T F T a F T a F T Dacă egliăm termeii care coţi puteri ale lui T mai mari ca doi, avem: at a Xa F a T F T a F Petru acest ca particular, spectrul semalului recostituit se apropie de spectrul semalului aalogic de badă elimitată, dacă frecveţa de eşatioare creşte suficiet de mult
Probleme reolvate Lăcrimioara GRAMA, Ali GRAMA, Coreliu RUSU, Filtre umerice aplicații și probleme, Ed UTPRESS, Clu-Napoca, 008 Capitolul Filtrări selective Problema Proiectarea uui FTJ ideal aproximat pri truchiere: Se doreşte proiectarea uui FTS cu răspus ifiit la impuls, de ordiul îtâi, cu frecveţa de tăiere (la db) egală cu 07 (pulsaţia) Fucţia de trasfer petru FTS de ordiul îtâi este dată de (): a sic HTS, a a cosc Petru a evalua fucţia de trasfer, trebuie evaluat î prealabil parametrul a : si 07 0809, cos07 0588 0809 a 05 05878 Î coseciţă, fucţia de trasfer corespuătoare FTS de ordiul îtâi este: 05 HTS 0665 05 05 Problema Proiectarea uui FTB: Acest exemplu urmăreşte proiectarea uui FTB, cu răspus ifiit la impuls, de ordiul al doilea, cu lăţimea de badă egală cu 0 şi frecveţa cetrală 06 Fucţia de trasfer petru FTB de ordiul doi este dată de relaţia: a HTB, b a a ude costatele a şi b se evalueaă î fucţie de frecveţa cetrală şi de lăţimea de badă a filtrului: a 0 arccosb, B arccos a Petru filtrul cosiderat frecveţa cetrală este 06, ca atare b cos06 009, iar bada este 0, adică: a cos0 0809 a Pe a îl aflăm reolvâd ecuaţia de ordiul doi 679 756 a 05 0809a a 0809 0 a, 68 68 a 96 Fucţiile de trasfer corespuătoare FTB de ordiul al doilea sut: 05 H TB 05, 009 05 05 0666 05 H TB 96 085 009 96 96 0956 96 Petru ambele fucţii de trasfer avem erourile:, 0666 077 0 Polii fucţiei HTB sut p, 0 0675, iar modulul lor este 07, ceea ce e idică faptul că sut î iteriorul cercului uitate Ca atare, acest sistem este BIBO stabil 0956 088 785 Polii fucţiei HTB sut p, 0578, iar modulul lor este, ceea ce e idică faptul că sut î afara cercului uitate Ca atare, această fucţie u este stabilă 5
Probleme reolvate Problema Evaluarea fucției de sistem: Se urmăreşte evaluarea fucţiei de sistem petru u filtru cu răspus fiit la impuls, de faă liiară, cu coeficieţi reali, căruia i se cuoaşte ordiul şi localiarea câtorva ditre erouri Cosiderăm u filtru cu răspus fiit la impuls de faă liiară, cu coeficieţi reali, cu M 8, cu erourile localiate astfel: 05, 0 05, Petru determiarea fucţiei de sistem, iiţial trebuie localiate celelalte cici erouri Deoarece ordiul filtrului cu răspus fiit la impuls este M 8, trebuie să avem 8 erouri Zeroul real 05 determiă existeţa îcă a uui erou real, reciprocul său: 05 Zeroul complex 0 05, aflâdu-se î iteriorul cercului uitate ( 058 ), determiă existeţa eroului complex-cougat: precum şi a erourilor reciproce: * 5 0 05 0 05 0 05 0 05 088 7 0 05 0 05 0 05 0 05 0 0 6 5 * 7 6 088 7 Zeroul complex, aflâdu-se pe cercul uitate ( ), determiă existeţa * eroului complex-cougat: 8 Fucţia de trasfer corespuătoare acestor erouri va fi: M 8 H 5 0565 568 977 568 5 0565 5 6 7 8 Problema FTJ cu poli: Cosiderâd u FTJ cu doi poli, caracteriat de fucţia de sistem: b0 H, se doreşte determiarea valorile parametrilor b p 0 şi p, astfel îcât răspusul î frecveţă, H, să satisfacă codiţiile: H 0 şi H Răspusul î frecveţă corespuător acestui FTJ este: b0 H pe La frecveţa 0, avem: La frecveţa, avem: Deci H b0 H 0 b 0 p p p p b 0 pe pcos si p p p p H p p p p p p p 6
Probleme reolvate p p p p p 0 p, Valoarea p 0 satisface această ecuaţie Î coseciţă, fucţia de sistem corespuătoare filtrului dorit este: 08 H 0 Problema 5 FTB: Se urmăreşte proiectarea uui FTB, cu frecveţa cetrală la şi cu caracteristica răspusului î frecveţă de valoare ulă la 0 şi Valoarea modului răspusului î frecveţă este la 9 Deoarece frecveţa cetrală este, filtrul va avea polii: p re Caracteristica răspusului î frecveţă are valoare ulă la 0 şi, deci erourile vor fi: 0 e și e Î coseciţă, fucţia de sistem este: H G G r r r Factorul de câştig, G, se determiă evaluâd răspusul î frecveţă al filtrului, adică:, H, la, e r H G G G r re H, la 9, adică: Valoarea lui r se determiă evaluâd răspusul î frecveţă, 8 8 9 cos si r r e H 9 9 9 8 8 9 re r cos r si 9 9 8 8 cos si 8 r cos 9 9 r 9 8 8 8 r cos r si r cos r 9 9 9 8 8 r cos r cos r r r 0 9 9 569 r, 065 07 r trebuie să aibă o valoare subuitară, ca atare soluţia aleasă este este G 055 Fucţia de sistem corespuătoare FTB proiectat este: H 055 069 r 069, de ude valoarea câştigului Problema 6 Filtru de reecție obțiut di FTS: Acest exemplu ilustreaă covertirea uui FTS îtru filtru de reecţie Se cosideră u FTS cu fucţia de sistem: H, a, şi se doreşte a obţierea uui filtru de reecţie, ce reecteaă frecveţa 0 şi armoicele corepuătoare 7
Probleme reolvate Petru filtrul de reecţie se vor determia ecuaţia cu difereţe fiite şi coeficieţi costaţi şi diagrama poli-erouri Frecveţele ce trebuie reectate sut: 0,,,,, ca atare fucţia de trasfer va fi de ordi 8 (trebuie să aibă 8 erouri): 8 Y H 8 a X Ecuaţia cu difereţe fiite corespuătoare este: y ay 8 x x 8 Fucţia de sistem corespuătoare filtrului de reecţie are erouri la, e, e, e, 8 8 8 8 8 şi poli la, p a a e, a e, a e, a Răspusul î frecveţă al filtrului de reecţie este dat de relaţia 8 e e e e e cos H 8 ae a cos8 asi8 acos8 asi8 H cos acos8 a arcsi 8 arcta, cos 0 arccos8 H arcsi 8 arcta, cos 0 arccos8 Răspusul î frecveţă al FTS este dat de relaţia: e e cos H ae a cos a si Petru FTS modulul răspusului î frecveţă este: cos H, acos a iar faa răspusului î frecveţă: H arcsi arcta, cos 0 arccos arcsi arcta, cos 0 arccos Capitolul Filtre cu răspus fiit la impuls Problema 7 Evaluarea răspusului î frecveță: Se cosideră u sistem LTI cu răspusul la impuls, h, real şi lugimea M, pară Se doreşte determiarea răspusului î frecveţă, H, ştiid că a cos partea reală a răspusului î fecveţă este HR, a acos a Prima dată evaluăm secveţa pară h, pe care o otăm, H H R R e hpar Meţioăm că 8
ude H R Probleme reolvate a a a a a a a a a a a a a a a Se observă că polii sut p a a a a a a a şi p a Sistemul fiid stabil, cercul uitate este cupris î regiuea de covergeţă, care va fi u iel circular cupris ître p şi p, care coţie cercul uitate Adică, regiuea de covergeţă (ROC Regio of Covergece) este: ROC: a a Î coseciţă, hpar este o secveţă bilaterală, î care polul p a determiă o parte cauală, iar polul p a, o parte ecauală Aplicâd trasformata î iversă lui H, vom obţie secveţa h Î prealabil H par R trebuie descompus î fracţii simple: A A HR a a a a a a a a A a a a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a HR a a Partea pară a răspusului la impuls va fi: hpar Z H R a a a a a Răspusul la impul î fucţie de partea pară a răspusului la impuls este: h h u h 0, 0 par Deci, răspusul total la impuls este: iar trasformata sa Fourier: H h par a u, ae Problema 8 FTJ cu răspus fiit la impuls: Se urmăreşte determiarea fucţiei de sistem, răspusului î frecveţă, răspusului la impuls (simetric) şi ecuaţiei de itare-ieşire corespuătoare uui FTJ FIR de faă liiară, de lugime, al cărui răspus î frecveţă satisface codiţiile: HR 0 şi H R R 9
Probleme reolvate Fiid vorba despre u filtru FIR, de lugime M, fucţia de sistem este: 0 0 0 H b h h h h h Răspusul la impuls fiid smetric şi M, avem: h0 h h hm h h Ca atare, fucţia de sistem poate fi scrisă ca: H h 0 h h h 0 Ştiid că: răspusul î fecveţă este: H H e 0 0 H h h e h e h e Filtrul FIR, fiid de faă liiară: H e h 0e h e h e h 0e e h 0e e h e e e h 0cos h cos e h 0cos h cos Di HR 0 şi H R vom obţie u sistem de două ecuaţii cu două ecuoscute, adică: h0 h h 0 h h 0 h h0 h h 0 h h h h0 h h0 h h 0 8 h h h 8 Fucţia de sistem corespuătoare filtrulu FIR este: H 8 8 8 8 8 8 iar răspusul î frecveţă H e cos cos e cos cos 8 8 Dar H H e H Î coseciţă, modulul răspusului î frecveţă este: H cos cos iar faa răspusului î frecveţă:, cos cos 0 H, cos cos 0 0
Probleme reolvate Se poate evalua şi timpul de îtăriere de grup: dh g d Petru filtrele FIR de faă liiară, petru orice M (par sau impar), timpul de îtâriere de grup are valoare costată: dh M g d Răspusul la impuls este: h,,, 007,07,07,007 8 8 8 8 iar ecuaţia de itrare-ieşire: y x x x x 8 8 8 8 x x x x 8 8 Capitolul Filtre cu răspus ifiit la impuls Problema 9 Obțierea uui filtru digital ditr-uul aalogic pri metoda ivariaței răspusului la impuls: Se urmăreşte trasformarea uui filtru aalogic îtr-uul digital IIR, folosid metoda ivariaţei răspusului la impuls s 0 Se cosideră u filtru aalogic descris pri fucţia de sistem: Ha s s 0 9 Prima dată determiăm eroul şi polii fucţiei de sistem aalogice: s 0 0 ero 0 s 0 9 0 s 0s 90 0 0 06 66 0 6 0 6 p, 0 p 0 polii p 0 Cei doi poli au valori complex-cougate Petru proiectarea filtrului IIR u trebuie determiat răspusul la impuls direct H, după ce î prealabil Ha H a s se descompue î fracţii simple, astfel: A A s 0 s 0 s s 0 0 0 A s0 s 0 0 0 6 s0 s 0 0 0 A s0 s 0 0 0 6 s0 Ha s s 0 s 0 Pe baa relaţiilor () (5) N N c c Ha s H pt s p e, e pt,, N ha t, ci se determiă
Probleme reolvate obţiem fucţia de trasfer a filtrului digital, de forma : H 0T T 0T T e e e e Cei doi poli complex-cougaţi pot fi combiaţi petru a forma u filtru cu doi poli, cu fucţia de sistem: 0T T 0T T 0T T T e e e e e e e H 0T T 0T T 0T T T 0T e e e e e e e e 0T 0T e cos T e cos T 0T 0T 0T 0T e cost e e cost e Se observă că eroarea de alias este mai semificativă la T 05, decât la T 0 Odată cu modificarea lui T, frecveţa de reoaţă se deplaseaă; petru valori mici a lui T, eroarea de alias este micşorată Problema 0 Obţierea uui filtru digital ditr-uul aalogic pri metoda trasformării biliiare: Acest exemplu urmăreşte trasformarea uui filtru aalogic îtr-uul digital IIR, folosid metoda ivariaţei răspusului la impuls s 005 Se cosideră u filtru aalogic descris pri fucţia de sistem: Ha s Filtrul s 005 6 digital trebuie să aibă frecveţa de reoaţă la r Se observă că frecveţa de reoaţă corespuătoare filtrului aalogic este r Această frecveţă aalogică trebuie mapată î frecveţa discretă r, selectâd o valoare corespuătoare petru parametrul T Di relaţia () r r ta ta, T T T reultă că T Î cocluie, maparea care trebuie făcută coform relaţiei (7) petru obţierea filtrului digital este: s Filtrul digital va avea fucţia de sistem: 005 005 H 005 6 6 0 6005 005 6 0 6005 s T 05 005 95 099 0005 09 05 0005 605 00005 0975 Obsevăm că la umitor, coeficietul lui are o valoare mică (poate fi aproximat cu ero Fucţia de sistem H va fi î acest ca: H Polii şi erourile acestui filtru sut: 099 0005 09 0975 p, 098758e 09976, 996 Î acest exemplu, parametrul T a fost ales astfel îcât frecveţa de reoaţă corespuătoare filtrului aalogic să corespudă cu frecveţa de reoaţă a filtrului digital,
Probleme reolvate De obicei, proiectarea filtrului îcepe cu specificaţiile î domeiul digital Aceste specificaţii î T ta frecveţă sut trasformate î domeiul aalogic, pri relaţia () Filtrul aalogic este proiectat petru aceste specificaţii şi covertit îtr-u filtru digital pri trasformarea biliiară (7) Î această procedură parametrul T dispare di expresia lui H, astfel îcât poate avea o valoare arbitrară Problema ilustreaă acest lucru Problema Obțierea uui FTJ digital ditr-uul aalogic pri metoda trasformării biliiare: Se doreşte proiectare uui FTJ IIR, porid de la u FTJ aalogic, folosid metoda trasformării biliiare Se urmăreşte proiectarea uui FTJ, cu u sigur pol, cu lăţimea de badă 0 la db, pri p trasformarea biliiară aplicată filtrului aalogic Ha s, ude p este lăţimea de badă a s filtrului aalogic la db Î domeiul aalogic, frecveţa discretă 0 corespude la p 0 0 p ta ta T T T Fucţia de sistem corespuătoare filtrului aalogic este 0 Ha s T 0 s T Aplicâd trasformarea biliiară, reultă: 0 0 077 T H 0 0 098 05 T T Răspusul î frecveţă corespuător filtrului digital este: 077 e H 05e La 0 H 0 şi la 0 H 0 0707 (răspusul dorit),, p p Problema Metoda Padé, parametrii IIR: Acest exemplu urmăreşte evaluarea parametrilor uui filtru IIR petru care se ştie răspusul al impuls dorit, h, folosid metoda Padé Se presupue că răspusul la impuls dorit este: h u filtrului cu fucţia de sistem: Î acest exemplu, H d 0 a d Se vor determia parametrii b b, folosid aproximarea Padé H se poate potrivi exact cu Hd, selectâd parametrii după cum urmeaă: b0, b 0, a Vom aplica acum aproximarea Padé, să vedem dacă îtr-adevăr obţiem acelaşi reultat Cosiderâd la itrarea lui H impulsul uitate, obţiem răspusul la impuls h a h b b 0 Petru avem a h h a h h d d
Îlocuid hd Probleme reolvate dat iiţial î ultima relaţie, obţiem: u a u u au a b folosim relaţia Petru a afla costatele b 0 şi cu codiţia h h h ah ah anh N b d Cosiderâd 0 îl obţiem pe b 0 b0 b0 Cosiderâd 0 îl obţiem pe b Î cocluie b b 0 d H H Acest exemplu arată că aproximarea Padé are ca reultat o potrivire perfectă cu Hd, câd fucţia de sistem dorită este o fucţie raţioală şi se cuoaşte umărul de poli şi erouri di fucţia de sistem Acesta lucru u se îtâmplă î geeral î practică, deoarece se determiă di specificaţiile răspusului dorit î frecveţă, H d hd O soluţie de a obţie o aproximare buă a filtrului dorit cu metoda Padé, este de a îcerca diverse valori petru M şi N, pâă câd răspusul î frecveţă al filtrului reultat coverge la răspusul î frecveţă dorit cu o eroare de aproximare acceptabil de mică Problema Proiectare FTB: Se doreşte proiectarea uui FTB, calat pe frecveţa 0, petru care: H Se va determia fucţia de sistem corespuătoare şi răspusul la impuls Fiid vorba despre u FTB calat pe frecveţa 0, polii corespuători sut: 0 p, re re r cos si r, iar fucţia de trasfer este: G G G H p p r r r Vom evalua acum răspusul î frecveţă corespuător FTB: G G H H e r e r cos si Modulul răspusului î frecveţă este: G G H r cos r r cos r si Dar H şi H, ca atare vom avea u sistem de două ecuaţii cu două ecuoscute:
Probleme reolvate G r cos r G r r r r G G G r G r r r 8r 0 r r cos r 7 t 05 r, 067 r t 8 6 6 7 r 8r 0 t, 6 7 t r, 9 Valoare lui r trebuie să fie poitivă şi subuitară, aşa că alegem 055 Fucţia de trasfer este: H 05 Petru a obţie răspusul la impuls, trebuie să despărţim 075 075 067 067 H r r 067 G 055 H î fracţii simple: 075 067 075 067 075 067 h u u Capitolul Structuri petru implemetarea sistemelor discrete Problema Filtru FIR: Acest exemplu urmăreşte descrierea modului de realiare a formei directe şi a celei laticiale petru u filtru FIR Se va realia implemetarea î formă directă şi laticială şi se vor determia ecuaţiile de itrareieşire corespuătoare, petru filtrul FIR cu fucţia de sistem: 5 H 8 Fucţia de trasfer petru u filtru FIR este dată de relaţia (), iar răspusul la impuls al acestuia este idetic cu coeficieţii b Petru filtrul cosiderat M ; răspusul la impuls este: 5 h,,, 8, iar implemetarea î formă directă este cea di figura 5 8 Figura Forma directă petru filtrul FIR H Ieşirea filtrului FIR este dată de relaţia (6), adică 5 y x x x x 8 Petru implemetarea laticială fucţia de trasfer a uui filtru FIR este H A 5 H A 8 M, adică 5
Probleme reolvate Se observă că K Poliomul reciproc al lui A este B, dat de 5 B 8 Folosid testul de stabilitate Schür-Coh, dat de relaţia (5), petru m, obţiem 5 5 A KB 8 8 A K 5 5 9 8 7 8 9 9 8 7 8 9 9 9 9 A 8 Pri urmare K, iar poliomul reciproc B este B 8 Repetâd decremetarea recursivă, petru m, obţiem: A KB 8 8 A K 8 6 6 A Pri urmare K, iar poliomul reciproc B este B Implemetarea laticială petru acest filtru FIR este cea di figura 5 H 8 Figura Structura laticială petru filtrul FIR 6
Probleme reolvate Cu autorul ecuaţiilor recursive (8), (9) şi ţiîd cot de relaţia (7), putem evalua ieşirea y Îcepem cu evaluarea ieşirilor corespuătoare primului stagiu, adică petru m : ieşirea f f0 Kg0 x x g Kf0 g0 x x Cotiuăm cu m, evaluâd ieşirile celui de-al doilea stagiu f f Kg x x x x f x x x 8 g K f g x x x x g x x x 8 Î caul implemetării laticiale, ieşirea y este dată de relaţia (0) Petru m, obţiem y, corespuătoare filtrului FIR y f f K g x x x x x x 8 8 5 y x x x x 8 Problema 5 Determiarea filtrului FIR pe baa coeficieților laticiali: Se doreşte determiarea fucţiei de trasfer a uui filtru FIR, cuoscâdu-se coeficieţii laticiali Se cosideră coeficieţii laticiali: K, K şi K, corespuători uei structuri laticiale cu trei stagii Se va determia fucţia de trasfer coeficieţii filtrului FIR petru realiarea î forma directă şi ieşirea sistemului directă H şi, răspusul la impuls al filtrului h m y Î fial se vor ilustra grafic structura laticală şi implemetarea î formă Petru determiarea fucţiei de trasfer şi a coeficieţilor filtrului FIR petru implemetarea î formă directă, se vor utilia relaţiile () (5) Problema se reolvă recursiv, îcepîd cu m A A0 K B0 Pri urmare, coeficieţii filtrului FIR corespuători structurii laticiale cu u sigur stagiu, sut daţi de relaţiile (8) (50), adică 0 K Deoarece Bm este reciprocul lui Am B Se adaugă al doilea stagiu structurii laticiale Petru m, reultă A A K B 6 Parametrii filtrului FIR corespuători structurii laticiale cu două stagii sut: (0) () () 7
Probleme reolvate iar poliomul reciproc B este B Î fial, pri adăugarea celui de-al treilea stagiu î structura laticială, reultă poliomul A A K B şi, ca urmare, filtrul FIR î formă directă este caracteriat de coeficieţii (0) () () () iar poliomul reciproc B este B H A, adică Î caul sistemului FIR, fucţia de trasfer H A Petru determiarea răspusului la impuls se aplică trasformata î iversă fucţiei de sistem:,,, h Z H Cosiderâd relaţia (6), ieşirea sistemului este y x x x x Avâd daţi coeficieţii laticiali, implemetarea corespuătoare este cea di figura 5 M A H Figura 5 Structura laticială petru filtrul FIR Cu coeficieţii formei directe evaluaţi aterior (0) () () () putem realia implemetarea acestui filtru, ca î figura 6 H Figura 6 Structura directă petru filtrul FIR Problema 6 Filtru FIR, implemetare cu eșatioare î frecveță: Se urmăreşte implemetarea uui filtru cu răspus fiit la impuls, petru care se cuosc valorile eşatioaeleor î domeiul frecveţă Se va realia atât implemetarea î formă directă, cât şi cea cu eşatioare î frecveţă, petru a evideţia complexitatea de calculul petru cele două structuri Se cosideră filtrul FIR cu faă liiară, cu M 5 şi 0, descris de eşatioaele î frecveţă:, 0,, H,, 5 0,,7 8
Probleme reolvate Deoarece filtrul este de faă liiară, răspusul său la impuls preită o formă de simetrie, care va coduce, î caul implemetării î forma directă, la reducerea umărului de multiplicări de la 5 la 8 Numărul de sumatoare este Diagrama bloc a formei directe de implemetare este ilustrată î figura 7 Figura 7 Implemetarea î formă directă petru filtrul FIR de faă liiară cu M 5 Petru implemetarea cu eşatioare î frecveţă folosim relaţiile (7), (9), respectiv () şi elimiăm toţi coeficieţii cu câştig ero, H Coeficieţii cu câştig eul sut H şi perechile corespuătoare H M, petru 0, Petru M 5, fucţiile de trasfer H, respectiv H H sut: 5 H, 5 5 / H 0 A B cos 5 A B A B A B 6 cos cos cos 5 5 5 5 5 A H H M, B H e H M e Cosiderâd răspusul la impuls simetric, obţiem succesiv: petru A H H petru petru Î coseciţă, H H 5 5 B H e H e cos 5 A H H 5 5 B H e H e cos 5 A H H 6 6 6 5 5 B H e H e cos 5 este 6 cos cos cos 5 5 5 6 cos cos cos 5 5 5 9
Deoarece H Probleme reolvate 0, filtrul cu u sigur pol u ecesită operaţii de multiplicare Cele trei filtre cu doi poli ecesită trei multiplicări fiecare, deci, î total, ouă multiplicări Numărul total de aduări este Pri urmare, implemetarea cu eşatioare î frecveţă a filtrului FIR este, di puct de vedere al calculului, mult mai eficietă decât forma directă de implemetare Diagrama bloc petru acest tip de implemetare este cea di figura 8 Figura 8 Implemetarea cu eşatioare î frecveţă, FIR de faă liiară, M 5 Problema 7 Filtru FIR, implemetare cascadă: Acest exemplu ilustreaă implemetarea î forma cascadă petru u sistem FIR, căruia i se cuoaşte relaţia de itrare-ieşire Se cosideră sitemul descris de ecuaţia cu difereţe fiite şi coeficieţi costaţi: 5 y x cos x x cos x x 7 6 7 6 Se va determia fucţia de sistem corespuătoare şi se va implemeta sistemul î forma cascadă Fiid vorba despre u sistem FIR, relaţia de itrare-ieşire este dată de ecuaţia (), iar fucţia de sistem de ecuaţia () Ca atare, fucţia de trasfer corespuătoare acestui sistem este 5 H cos cos 7 6 7 6 Fucţia de trasfer se poate obţie şi aplicâd trasformata î, ecuaţiei cu difereţe fiite: 5 Y X cos X X cos X X 7 6 7 6 5 Y X cos cos 7 6 7 6 Y 5 H cos cos X 7 6 7 6 0
Probleme reolvate Implemetarea î cascadă presupue scrierea fucţiei de sistem dată de relaţia () sub forma uui produs de factori H,, K, ca î relaţia (8) ude, î caul implemetării cu module de ordiul doi: H b b Petru că fucţia de trasfer este de ordiul patru, petru implemetarea î cascadă, avem: H H H Î prealabil trebuie aflate rădăciile fucţie de trasfer, adică erourile fucţiei Se observă că şi sut două ditre soluţii, de ude reultă: Zerourile lui Petru aflarea lui H H, împărţim H la 5 cos cos 7 6 7 6 H H : / cos cos 7 6 7 6 cos cos 7 7 sut / / 6 6 / / 6 6 / / H 7 6 cos cos 7 6 cos cos cos cos cos si 7 7 6 7 7 7 7, 7, e Î cocluie, cele două fucţii de sistem sut: H 7 7 H cos e e 7 6 iar implemetarea î cascadă este ilustrată î figura 9 Figura 9 Implemetarea î forma cascadă petru filtrul FIR
Probleme reolvate Problema 8 Filtru IIR, implemetare directă, cascadă și paralelă: Se cosideră u sistem cu poli şi erouri descris de fucţia de sistem e e 5 5 H e e Se va determia ieşirea sitemului y şi se va implemeta sistemul î forma I directă, forma caoică, forma cascadă, respectiv forma paralelă Fiid vorba despre u sistem IIR cu poli şi erouri, ieşirea este dată de relaţia (), iar fucţia de trasfer de relaţia () Petru sistemul cosiderat N şi M Fucţia de trasfer este: cos 6 5 5 6 5 5 H cos 6 6 9 H 0 50 50 75 5 6 6 Ieşirea, ţiâd cot de coeficieţii a şi b este 5 a a a a 6 6 9 b0 b b b b 0 50 50 75 5 y y y y y 6 6 9 x x x x x 0 50 50 75 Petru implemetarea sub forma I directă, fucţia de sistem trebuie scrisă ca u produs de două fucţii de sistem: ua care coţie toate erourile fucţiei de trasfer, şi ua care coţie toţi polii acesteia, ca î relaţiile (55) (57) Î caul de faţă 9 H 0 50 50 75 H 5 6 6 iar implemetarea sub forma I directă este cea di figura 0 Dacă se plaseaă filtrul umai cu poli, îaitea celui care are doar erouri, se obţie forma caoică (forma a II-a directă), ca î figura Petru implemetarea sub forma cascadă sistemul trebuie diviat îtr-o cascadă de subsisteme de ordiul doi, ca î relaţia (58), ude fiecare subsistem este de forma (59) Rădăciile complexcougate, atât petru umărător, cât şi petru umitor, vor fi combiate împreuă, petru a evita calculele cu umere complexe Sistemul propus va fi compus ditr-o cascadă de două susbsisteme de ordiul al doilea, date de relaţiile: H 6
H Probleme reolvate e e 5 5 5 5 e e 6 Implemetarea sub formă cascadă este ilustrată î figura Figura 0 Forma I directă petru sistemul IIR Figura Forma caoică petru sistemul IIR (forma a II-a directă) Figura Implemetarea cascadă petru sistemul IIR
Probleme reolvate Petru implemetarea î paralel, fucţia de trasfer trebuie descompusă î fracţii simple ca î relaţia (60) Vom descompue î fracţii simple fucţia de trasfer, H : Evaluâd petru A A A A H e e, vom obţie coeficietul A, evaluâd petru coeficietul A respectiv evaluâd petru e, vom obţie coeficietul A 9 0 50 50 75 05 8 8 A 50 7 567 A e A 6 A 097 9 0 50 50 75 9 8 50 7 566 6 A 089 9 0 50 50 75 e e e e e e e e e 9 8e e 56e 5 75 75 75 6e e 75 7 6 755 7 5 7, vom obţie 75 0 9 5 56 8 9 7 75066 5006 75 50 9 7 75 5 7 75 5 7 5 7 5 7 5 7 5 A 007 009 Deoarece polii p e şi p e au valori complex-cogate şi coeficieţii A şi A vor avea valori complex-cougate, adică: * A A 007 009 Fucţia de trasfer, H H, descompusă î fracţii simple este: 097 089 007 009 007 009 e e H Petru a evita operaţiile cu umere complexe, se pot combia perechi de poli complex-cougaţi petru a forma subsisteme de ordiul al doilea cu coeficieţi reali Fiecare ditre aceste subsisteme va H
Probleme reolvate avea fucţia de sistem de forma (6) Vom grupa polii complex-cougaţi, p şi p împreuă, respectiv polii reali p şi p împreuă, petru a forma două subsisteme de ordiul al doilea Astfel: H H H ude 076 078 H, 00706 0097 H 0555 0065 Avâd fucţiile de trasfer corespuătoare celor două subsisteme di implemetarea î forma paralelă, realiarea paralelă se poate face ca î figura Figura Implemetarea paralelă petru filtru IIR Problema9 Filtru IIR umai cu poli, structura laticială: Petru sistemul IIR descris de fucţia de trasfer H 09 08 05 Se vor de termia coeficieţii laticiali, se va realia implemetarea laticială şi se va evalua ieşirea sistemului Fiid u sistem laticial IIR umai cu poli, trebuie determiaţi doar coeficieţii laticiali i, N, folosid relaţiile de decremetarea ca la Problema Petru sistemul IIR doar cu poli, fucţia de sistem este: H A A Se observă că N A 09 08 05 05 05 08 09 K B Folosid testul de stabilitate Schür-Coh, dat de relaţia (5), petru m, obţiem A 09 08 05 0505 08 09 A K B K 05 05 09 0 08 05 05 05 5 05 05 05 05 075 075 A 7 67 K i, 5