Barem de notare clasa a V-a

Barem de notare clasa a V-a Problema1. Determinați mulțimile A și B, formate din numere naturale, știind că îndeplinesc simultan condițiile: a) A B,5,6 ; b) B A 0,7 ; c) card AB 3; d) suma elementelor mulțimii A B este 8. Din a),5,6 A și,5,6 B. Din b) 0,7 B și 0,7 A. Din c) A B x, x, x și utilizând d) obținem x1 x x3 8. 1 3 Cum elementele x1, x, x 3 sunt diferite între ele și diferite de 0,, 5, 6, 7, obținem p { x1; x; x3} {1;3;4} A 1; ;3; 4;5;6 B 0;1;3; 4;7. p

017 Problema. Să se arate că nu există n astfel încât n 1 3 5... 1 016. 1 3 5... n 1 n 1 1 n 1 0 1 11 1... n 1 1 3... ( n1) n n n p Suma se poate calcula și aplicând formula progresiei aritmetice. Obținem membrul stâng pătrat perfect. U U 017 017 016 8 Dacă ultima cifră a unui număr natural este, 3, 7 sau 8, atunci numărul nu este pătrat perfect. Deci, membrul drept nu este pătrat perfect. p Cum membrul stâng este pătrat perfect și membrul drept nu este pătrat perfect, atunci nu există n astfel încât să aibă loc egalitatea.

Problema 3. Fie numărul A 9 99 999... 999...9 017. 017cifre a) Arătați că numărul A este divizibil cu 10; b) Aflați câtul și restul împărțirii numărului A la 111. A 9 99 999... 999...9 017 017 cifre A 9 1 99 1 999 1... 999...9 1 a) 017 cifre A 10 100 1000... 1000...0 A 111...10 017de 1 017de 0 p Cum U A 0 Aeste divizibil cu 10. Sau a) U9 99 999... 999...9 U0179 3 017 cifre U 9 99 999... 999...9 017 0 017 cifre Obținem că numărul A se termină în 0, deci este divizibil cu 10. 3p

b) A:111 C rest R, 0 R 111 A 111 C R, 0 R 111 Din punctul a) avem p A 111...10 017 cifre 015 01 009 111 10 111 10 111 10... 111 10 10 015 01 009 111 10 10 10... 10 10 Obținem 015 01 009 C 10 10 10... 10 și R 10

Problema 4. Determinați numerele abcd știind că abcd abd abcd. Gazeta matematică abcd abd abcd, ac, 0 abcd 10ab d 100 ab cd abcd d 90ab 10c d abcd 90ab 10 c abcd 90ab 10 c ab( cd 90) 10 c cd 90 > 0 c 9 ab(9d 90) 90 abd 90 Cum d este cifră și divizor al lui 90, obținem d 1,,3,5, 6,9 1,5p Numerele sunt: abcd 9091, 459,3093,1895,1596,1099.

Barem de notare clasa a VII-a Problema 1. Calculaţi numerele: Soluţie și barem: 1 13 14 110 1 1 1 a... 1... 11 33 1089 3 99 1 b 3 3 3 3 3 3 1 13 14 110 Notăm: S1..., sumă ce are 1089:11 99 termeni. 11 33 1089 1 1 1 Notăm: S 1..., sumă ce are 99 termeni. 3 99 Regrupând termenii, obţinem 1 13 1 110 1 S1 S 1... 11 1089 99 1 1 1 1 S1 S... 99 9. 11 11 11 11 99 termeni Aşadar, a 9 3. 3 3 3 3 1 b 3 3 1 b 1 b 3 3 Avem 3 > 0 și 3 < 0 b 1 3 3 1 b b

Problema. Utilizând formula a b a ab b numerelor întregi nenegative, are ecuaţia x y 1960., aflaţi câte soluţii, în mulţimea Soluţie și barem: 1960 19610 14 10 x 1960 y (1) şi cum x 0 obţinem că 1960 y 0 y 1960. Ridicând relaţia (1) la pătrat, obţinem 1960 yx 1,5p x 1960 8 10y y 10y Q. 8 Se aplică proprietatea: dacă n N şi n Q atunci n N. Aşadar, din 10y Q şi 10y N 10y N. Altfel spus, k N astfel încât 10 10 10 / 10 / y k y k k k. Rezultă că an astfel încât k 10a. Din 10y k şi k 10a, obţinem că 10y 10 a y 10 a, a N. Analog, obţinem şi că x 10 b, b N. Ecuaţia din enunţ devine: 10a 10b 14 10 a b 14. Cum a, b N ( a, b) {(0,14),(1,13),(,1),...,(13,1),(14,0)}. În concluzie, ecuaţia dată are 15 soluţii în N N.

Problema 3 Considerăm dreptunghiul ABCD în care bisectoarea unghiului BAD intersectează BD în E şi BC în F. Paralela prin E la AB intersectează AC în punctul G. Arătaţi că FG BD. Fie EG BC { M} şi FG BD { N}. Din EM AB şi AB BF EM BF. Deoarece trebuie demonstrat că FG BD și cum EG BF, este suficient de demonstrat că punctul G este ortocentrul triunghiului EBF. Aşadar, trebuie demonstrat că BG EF. În triunghiul ABF avem că m( B) 90 o şi m( A) 45 o, de unde rezultă că ABF este dreptunghic isoscel în B (1) ABGE trapez isoscel deoarece EG AB şi AO=OB. Se obţine că m( GBA) m( EAB) 45 o o o o, de unde m( FBG) 90 45 45 Deci obținem că [BG este bisectoarea ABF () Din (1) şi () obţinem că BG EF q.e.d.

Problema 4. Fie ABCD un paralelogram. Pe segmentele (AB) și (BC), se iau punctele M, respectiv N, astfel încât AB BC. BM CN Dacă T DM AC și U BD AN, demonstrați că AB TU. Gazeta matematică În ADU, BN DA T... DU UA DA BC DUA BUN (1) BU UN BN BN,5p În DTC, DC AM T... DT TC DC AB DTC MTA () MT TA MA MA,5p AB BC AB BC AB BC Din BM CN AB BM BC CN AM BN (3).Re. Din relaţiile (1), (), (3) DU DT T c Th BU MT TU MB Cum M ( AB) obţinem că TU AB.

Barem de notare clasa a VIII-a Problema 1. Să se arate că pentru orice numere reale x, y, z > 0, cu z x + y, este adevărată relaţia: x + y z + xy x + y z x + y + z + 3.. Gazeta matematică Rezolvare 1. Relaţia din enunţ este echivalentă cu: Punctaj x + y z x + y z x + y + z + 3. x+ y z x+ y+ z x+ z z x+y+z+3 3. x + y + z x+y+z+3 4. x + y + z x + y + z + 3 5. 0 x x + 1 + y y + 1 + z z + 1 p 6. 0 x 1 + y 1 + z 1. Cum ultima relaţie este adevărată, deoarece este o sumă de numere nenegative, înseamnă că şi relaţia din enunţ, care este echivalentă cu ea, este adevărată.

Problema. În tetraedrul ABCD, cu lungimile muchiilor AB, BC şi CA proporţionale cu numerele 3,4 respectiv 5, se construieşte M simetricul lui M faţă de B, unde M (CD). Arătaţi că AM = AM dacă şi numai dacă AB (BCD). 1. AM = AM AB (BCD) Rezolvare Punctaj Din AM = AM ΔAMM este isoscel M simetricul lui M faţă de B M B = MB [AB] este mediană [AB] este înălţime AB MM (1) Din (AB, BC, CA) direct proporţionale cu (3,4,5) AB = 3k,

BC = 4k, CA = 5k conform teoremei reciproce a lui Pitagora ΔABC dreptunghic în B AB BC () Din (1) şi () AB (BCD). AB (BCD) AM = AM Din M simetricul lui M faţă de B M B = MB [AB] este mediană Din AB (BCD) [AB] este înălţime ΔAMM este isoscel AM = AM.

Problema 3. Într-o urnă se află o bilă cu cfra 1 înscrisă pe ea, două bile cu cifra înscrisă pe fiecare dintre ele şi aşa mai departe, n bile cu numărul n înscris pe fiecare dintre ele. Se extrag 1 două bile și probabilitatea ca suma numerelor de pe cele două bile extrase să fie n-1 este. 9 Calculaţi n. 1. În urnă se află 1 3... Rezolvare n( n 1) n bile. Punctaj 1 p. Numărul total de cazuri este: 3p n( n 1) 1 3... 1 n( n 1)( n 8 n ) n( n 1) n( n 1) 1 n( n 1)( n 1)( n ). 8 1 3. Pentru a calcula numărul cazurilor favorabile trebuie să ţinem cont că suma n-1 se poate obţine doar dacă pe una din bile este scris n-1 şi pe cealaltă n, deci sunt n(n-1) cazuri favorabile. 1 p 4. nr. cazuri favorabile P nr. total de cazuri 8 ( n 1)( n ) 1 9 n( n 1) n( n 1)( n 1)( n ) 8 ( n 1)( n ) 89 n 7. 1 9 p

Problema 4. Fie A, B, C, D puncte necoplanare, G centrul de greutate al triunghiului BCD şi punctul M (AG). Fie {P}=AB (CDM), {Q}=AC (BDM) şi {R}=AD (BCM). a) Arătaţi că AM = 3 AR ; b) Demonstraţi că (PQR) (BCD). GM DR Rezolvare 1. G centrul de greutate al triunghiului BCD D G= 1 3 DD Punctaj p DD D G = 3. În ABB B M AB = {P}PAB, P B M B CD, CD (CDM) B (CDM) B M (CDM) M(CDM) {P}=AB (CDM). Analog, D M AD = {R}{R}=AD (BCM), C M AC = {Q}{Q}=AC (BDM).. În ADG, cu transversala RD conform teoremei lui Menelaus p AR RD DD D G MG AM = 1 AM MG = 3 AR DR. (1) 3. În ABG, cu transversala PB conform teoremei lui Menelaus

AP PB BB B G MG AM = 1AM MG = 3 AP PB. () Din (1) AR = 1 AM DR 3 MG Din (1) AP = 1 AM PB 3 MG AP PB = AR RD conform teoremei reciproce a lui Thales PR BD. Analog PQ BC (PQR) (BCD)

Barem de notare clasa a VI-a Problema 1. Numărul aaa8 împărțit la un număr de două cifre dă restul 98. Aflați numărul. Gazeta matematică Deoarece împărțitorul are două cifre și este mai mare decât restul, deducem că acesta este 99. (1,5p) Atunci aaa8 99c 98 aaa9 99( c 1) (p) Obținem 11 aaa9 și aaa9 1100a a9. (p) Cum 111100 rezultă 11 a9 a 9. () Numărul căutat este 9998. ()

Problema. a) Fie șirul 1,,4,7,11, de numere naturale. i) Scrieți următorii doi termeni ai șirului; ii)să se determine termenul de pe locul 100. b) Arătați că numărul: 1 1 1 x (1... 100)(... ) 1 3 100101 este pătrat perfect. a) i) a1 1, a, a3 4, a4 7, a5 11 a a1 1, a3 a, a4 a3 3, a5 a4 4 () Obținem a6 a5 5 16, a7 a6 6 () ii) a a1 a3 a a4 a3 a100 a99 1,, 3,..., 99 () 99100 Adunând relațiile obținem: a100 a1 1 3... 99 4950 (1,5p) Obținem a100 4951 () b) 101100 1 3... 100 () 1 1 1 1 1 1 1 1 100... 1... 1 3 100101 3 100 101 101 101100 100 x 101 x 100 Deci x este pătrat perfect. (1,5p) () ()

Problema 3.. Fie A 3n1 n n 3 157 și B 4n n n 3 4 5, unde n. Să se arate că fracția A B se simplifică prin 17. Trebuie să demonstrăm că A și B sunt multipli de 17. () A 4 15 7 (17 7) 15 7 ( M 7 ) 15 7 M 7 15 7 M 17 7 M (3 p) n n n n n n n n n 17 17 17 17 B 4 16 9 9 100 5 36 144 100 5 36 (136 8) 100 (17 8) 36 ( M 8 ) 100 ( M 8 ) n n n n n n n n n 17 17 M 36 8 100 8 M 136 8 M (3 p). n n n 17 17 17 Problema 4. Fie triunghiul ABC, isoscel, cu AB AC, M un punct pe latura un punct pe latura AC astfel încât AM MB AN NC. Arătaţi că: a) BN CM ; b) AD este bisectoarea unghiului BAC, unde BN CM D. AB şi N a) Din ipoteză avem că AM MB AN NC. AB AC AM MB AN NC. Adunând membru cu membru relaţiile, se obţine că AM AN AM AN. Avem ABN ACM ( LUL), de unde rezultă că BN CM şi ABN ACM,5p,5p b) ABD ACD ( LLU ), de unde rezultă că 1,5p BAD CAD AD este bisectoarea unghiului BAC.