RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI

Anul VIII, Nr. Ianuarie Iunie 006 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Editura Recreaţ ii Matematice IAŞ I - 006

Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o formă concisă, formula e = leagă cele patru ramuri fundamentale ale matematicii: ARITMETICA reprezentată de GEOMETRIA reprezentată de π ALGEBRA reprezentată de i ANALIZA MATEMATICĂ reprezentată de e Redacţia revistei : Petru ASAFTEI, Dumitru BĂTINEŢU-GIURGIU (Bucureşti), Temistocle BÎRSAN, Dan BRÂNZEI, Cătălin - Cristian BUDEANU, Constantin CHIRILĂ, Eugenia COHAL, Adrian CORDUNEANU, Mihai CRĂCIUN (Paşcani), Gabriel DOSPINESCU (student, Paris), Marius FARCAŞ, Paraschiva GALIA, Paul GEORGESCU, Mihai HAIVAS, Gheorghe IUREA, Lucian Georges LĂDUNCĂ, Mircea LUPAN, Dan Ştefan MARINESCU (Hunedoara), Gabriel MÎRŞANU, Andrei NEDELCU, Gabriel POPA, Dan POPESCU (Suceava), Florin POPOVICI (Braşov), Maria RACU, Ioan SĂCĂLEANU (Hârlău), Ioan ŞERDEAN (Orăştie), Dan TIBA (Bucureşti), Adrian ZAHARIUC (Bacău), Adrian ZANOSCHI. Adresa redacţiei: Catedra de Matematică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Bd. Carol I, nr., 700506, Iaşi Tel. 03 3737 / int. 3 E-mail: recreatii.matematice@gmail.com http://www.recreatiimatematice.uv.ro COPYRIGHT 006, ASOCIAŢIA RECREAŢII MATEMATICE Toate drepturile aparţin Asociaţiei Recraţii Matematice. Reproducerea integrală sau parţială a textului sau a ilustraţiilor din această revistă este posibilă numai cu acordul prealabil scris al acesteia. TIPĂRITĂ LA SL&F IMPEX IAŞI Bd. Carol I, nr. 3-5 Tel. 0788 498933 E-mail: simonaslf@yahoo.com

Anul VIII, Nr. Ianuarie Iunie 006 RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Revistă cu apariţie semestrială publicată de ASOCIAŢIA RECREAŢII MATEMATICE IAŞI - 006

Elogiu adus revistei "Gazeta Matematică" la 0 ani de apariţie neîntreruptă Cum podul de la Cernavodă îşi întinde braţele peste apele Dunării, aşa şi Gazeta Matematică îşi întinde existenţa, care are începutul în secolul al XIX-lea, peste întreg secolul al XX-lea şi continuă să-şi aducă aportul la dezvoltarea învăţământului şi ştiinţelor matematice din ţara noastră şi în acest nou secol, al XXI-lea. Gazeta Matematică, prin cele 0 tomuri durate în timp unul după altul, este piramida Keops a publicisticii periodice româneşti, punctul de maxim absolut al acesteia. Este a doua publicaţie de matematică din lume ce se adresează tineretului şi prima de acest fel în privinţa apariţiei neîntrerupte şi longevităţii. A avut o existenţă zbuciumată şi cu multe momente dramatice, existenţă strâns legată de soarta învăţământului din şcolile româneşti - cel matematic mai ales - dar şi de cea a poporului român. A trecut prin două războaie mondiale, reforme neinspirate ale învăţământului public, regimuri adverse poporului român etc. Să amintim doar un singur episod din existenţa Gazetei. În primul război mondial, în urma ocupării capitalei, Iaşul devine centrul politic şi administrativ al ţării; tot aici se refugiază şi Gazeta Matematică, care, datorită devotamentului şi strădaniilor lui Traian Lalescu, Vasile Teodoreanu şi altor membri din redacţie, continuă să fie tipărită şi expediată, ajungând chiar şi în mâinele abonaţilor aflaţi în primele linii ale frontului. Sub deviza Entuziasm, armonie, muncă dezinteresată, sacrificii continue au fost depăşite toate greutăţile materiale şi vicisitudinile vremurilor; oameni minunaţi strânşi în jurul şi pătrunşi de spiritul Gazetei Matematice, au asigurat prin munca şi bărbăţia lor mersul ei înainte. În prima jumătate de veac, la cârma destinelor revistei au fost "cei 4 stâlpi ai Gazetei Matematice": Ion Ionescu, Gheorghe Ţiţeica, Andrei Ioachimescu şi Vasile Cristescu. Merită elogiată, de asemenea, contribuţia lui Nicolae Teodorescu, care a condus cu multă competenţă, în ultimul sfert al secolului trecut, activităţile la Gazetă şi cele legate de ea, devenite între timp mult mai diverse. Tinerii talentaţi din generaţii succesive au "frecventat" şcoala Gazetei Matematice, unde şi-au format deprinderile şi tehnicile de lucru, şi-au şlefuit raţionamentul matematic sau şi-au văzut publicate primele încercări originale în paginile acesteia. Nume de viitori iluştri matematicieni români se găsesc menţionate în paginile Gazetei Matematice printre rezolvitorii şi propunătorii de probleme, premianţii unor concursuri sau ca autori de note originale interesante, iar unii dintre ei asumându-şi responsabilităţi redacţionale. Lista lor fiind prea lungă, amintim doar câteva nume: Gh. Ţiţeica, C. Popovici, T. Lalescu, N. Abramescu, O. Mayer, Al. Pantazi, D. Barbilian, Fl. Vasilescu, N. Ciorănescu, T. Popoviciu, Gr. Moisil, N. Teodorescu etc. În aceşti 0 ani de existenţă, Gazeta Matematică a devenit o cariatidă a culturii româneşti, simbol al permanenţei şi continuităţii, componentă a învăţământului matematic din ţara noastră, pepinieră de talente matematice. Ca o recunoaştere a meritelor sale, Preşedintele României, prin decretul 988 din 7 octombrie 005, conferă Gazetei Matematice Ordinul "Meritul Cultural" în gradul de Ofiţer, categoria H "cercetare ştiinţifică", pentru contribuţia deosebită la promovarea învăţământului şi cercetării aprofundate a ştiinţelor matematice. Prof. dr. Temistocle BÎRSAN

00 de ani de la naşterea matematicianului Grigore C. Moisil Multe capitole ale matematicii mi-au fost dragi. Matematica e una (Gr.C.Moisil) În Istoria matematicii în România, George Şt. Andonie îl prezintă pegrigore C. Moisil ca "o fericită întruchipare a dominantelor matematicii noastre: dinamism, varietate, tendinţa spre universalitate". Afostunuldintreceimaimarişi talentaţi matematicieni români şi, indiscutabil, cel mai prolific. Atacând cu succes aproape toate domeniile matematicii pure şi aplicate s-a dovedit un creator în continuă înnoire. Jovial şioptimist, cuunumorplindesevă, era un povestitor fermecător. Opera lui Grigore C. Moisil nu este doar creaţia individuală aunuiomdeosebitdeînzestrat. Ease bazează petradiţia "dinastiei" Moisileştilor, pe sprijinul permanent al familiei care a stimulat şi sprijinit inteligenţa sa sclipitoare. S-a mândrit întotdeauna că se trage dintr-o familie de grăniceri năsăudeni. Familia sa, originară din Maramureş, a descins în comuna Şanţ, în imediata vecinătate a Năsăudului. Străbunicul matematicianului, care purta numele de Grigore, a fost primul cărturar care s-a ridicat din comuna Şanţ. A fost preot, profesor şi primul director al celui de al patrulea liceu românesc înfiinţat în Austria, la Năsăud. Fiul acestuia, Constantin, a obţinut titlul de doctor în ştiinţe filologice la Universitatea din Viena şi a funcţionat 3 de ani ca profesor la Năsăud. Unul dintre fii acestuia, numit tot Constantin, tatăl matematicianului, a urmat, cu sprijinul lui Al. Odobescu, şcoala Normală Superioară din Bucureşti; a funcţionat ca profesor la Focşani, Tulcea şi Bucureşti. Ulterior, a părăsit profesoratul consacrându-se arheologiei şi numismaticii, devenind un reputat specialist în acest domeniu şi membru al Academiei Române. La Tulcea s-a căsătorit cu institutoarea Elena Nicolescu, care a devenit ulterior directoarea Şcolii "Enăchiţă Văcărescu" din Bucureşti. La Tulcea s-au născut primii trei copii ai familiei; Grigore (0 ianuarie 906), Florica (cercetătoare la Biblioteca Academiei; căsătorită cuacad. Emil Condurache) (909) şi Ioan (90); ultimul copil, Gheorghe, s-a născut în 97 la Vaslui (în timpul refugiului). Ambii fraţi au fost ingineri, profesori universitari. Dotată cu o inteligenţă vieşi un umor sănătos, mama, Elena, a avut un rol decisiv în formarea lui Grigore, care i-a urmat cu sfinţenie sfaturile, în întreaga sa viaţă. De la ea a moştenit deviza: "Nu crede tot ce ţi se spune, judecă tusingur". Grigore C. Moisil aurmatşcoala primară în Bucureşti şi liceul la "Mihail Kogălniceanu" din Vaslui (96 98) şi "Spiru Haret" din Bucureşti (98 93). S-a înscris apoi la secţia de matematică delafacultateadeştiinţe a Universităţii din Bucureşti, unde a a vut ca profesori pe D. Pompeiu, Gh. Ţiteica, A. Davidoglu, Tr. Lalescu. Primul i-a fost mentor nu numai în matematică, ci şi în anumite reguli de viaţă. Într-un articol ("Viaţa studenţească", nr., 967) mărturiseşte: "For-

marea generaţiei matematice din care fac parte coincide cu începuturile matematicii abstracte româneşti. Generaţia mea a păşit cu dreptul. Ea a profitat de faptul de a fi avut ca profesori oameni de ştiinţă şi ai căror profesori şi ei oameni de ştiinţă". Ca student a participat şi la cursuri de istorie (N. Iorga), filozofie, sociologie (Mihail Dragomirescu), istoria artelor. A urmat în paralel şi secţia de construcţii de la Institutul Politehnic Bucureşti la care a renunţat (în anul al IV-lea) când a obţinut doctoratul şi a plecat în străinătate. A luat doctoratul la 4 iunie 99 în faţa unei comisii prezidatădegh. Ţiţeica şi din care făceau parte Dimitrie Pompeiu şi Anton Davidoglu. În teza de doctorat întitulată Mecanica analitică a sistemelor continue a studiat analitic mecanica sistemelor cu un număr infinit de grade de libertate folosind metoda funcţională (noţiunea de funcţională fusese introdusă cu puţin timp în urmă de Vito Volterra). În 930 pleacă, cu o bursă a ministerului la Paris, unde ia contact cu Jaques Hadamard, Paul Levy, Henri Villat, Paul Montel şi Elie Cartan, care apreciază elogios contribuţiile originale din teza de doctorat. La iulie 93 îşi trece docenţa în specialitatea analiză matematică, la Universitatea din Bucureşti. Se întoarce la Paris unde urmează cursul lui Vito Volterra. În toamna anului 93 se stabileşte la Iaşi fiind numit conferenţiar la Universitatea "Al. I. Cuza". Matematicianul Ion Creangă, fost profesor şi rector al Universităţii îşi aminteşte: În acel timp eram student în anul al III-lea al secţiei de matematică de la Universitatea din Iaşi; în curând am aflat că lasecţia noastră aînceputuncurs de factură modernă predat de un tânăr matematician, deja cu renume format şi care revoluţionează concepţia noastră despre algebră. Am fost atras de acest curs, am început să-l audiez şi în curând am fost furat de noutăţile atât de atractive cuprinse în lecţiile cursului. Prelegerile lui Moisil ne-au deschis porţile spre fermecătoarea lume a structurilor algebrice, a laticelor, a împletirii strânse dintre procesele de logică şi abstractizarea teoriei mulţimilor. Perioada de 0 ani petrecuţi în Iaşi a fost de mare importanţă pentru creaţia sa ştiinţifică şi pentru desăvârşirea personalităţii sale. În vârstăde6deani,agăsit la Iaşi o atmosferădeînaltăcultură. Peste ani îşi amintea: La Iaşi era o extraordinară densitate de oameni deştepţi pe metrul pătrat. Aiciagăsit matematicieni de mare valoare ştiinţificăşi spiritualăşi arămas toată viaţa prieten cu cei care îl primiseră cu simpatie la sosirea în Iaşi: Alexandru şi Vera Myller, Simion Sanielovici, Octav Mayer, Mendel Haimovici, Ilie Popa, Adolf Haimovici şi asistentul său din acea perioadă Ion Creangă. În Biblioteca Seminarului Matematic din Iaşi a găsit cărţile care aveau să facă din el un matematician modern. Proaspăt titularizat ca profesor în 935, în introducerea primului curs de algebră abstractămodernăţinut în România, afirmă: La Iaşi am citit multe cărţi de algebră, dar cartea directoare a fost cea a lui B. L. Van der Warden "Moderne Algebra". Era acolo un nou mod de a concepe matematica şi anume algebra, dar nu numai algebra; matematica era concepută nu ca o ştiinţă a cantităţii, ci ca o ştiinţă a structurii. Peste câţva ani au apărut alte două cărţi care evidenţiau acelaşi mod de a privi matematica: "Topologia" lui Kuratowski şi cartea lui St. Banach asupra spaţiilor care îi poartă numele. Se putea, cu aceste volume şi punând în fruntea lor "Teoria numerelor transfinite" a lui W. Sierpinski, organiza un curs de matematici în înţelesul de studiu al structurilor. Înţelegeam încet, încet că matematica se schimbase. Se schimbă. Se va schimba. 3

În Iaşi s-a simţit în largul său, a legat numeroase prietenii, participând cu exuberanţa specificătinereţii la viaţă acestui oraş pentrucareapăstrat permanent o afecţiune nedesminţită. S-au creat legende în legătură cuviaţa boemă atânărului "răsfăţat" al Iaşului. La restaurantul de lângă vecheaclădire a Academiei Mihăilene s-a păstrat într-un colţ discret,pânălademolarealocalului,omasă cunoscută subnu- mele de "masa lui Moisil". Se spune că la restaurantul "Corso" din centrul oraşului, îi plăcea să asculte orchestra interpretând un vals a cărui melodie şi versuri erau compuse chiar de Moisil. Tot la Iaşi s-a petrecut un eveniment care i-a marcat întreaga viaţă şi creaţie. O cunoaşte pevioricaconstantecucaresevacăsători. Viorica Moisil i-a stat alături în permanenţă, l-a sprijinit şi stimulat, i-a asigurat calmul şi confortul necesare creaţiei. După moartea savantului, pe baza scrisorilor şi altor documente de familie, i-a dedicat o carte minunată scrisă cu talent, dragoste şi discreţie "Un om ca oricare altul. Grigore C. Moisil", apărută în 979 în editura Albatros. În anul 94 s-a creat la Facultatea de Matematică auniversităţii din Bucureşti catedra de analiză superioară şi logică la care este încadrat Grigore C. Moisil. După perioada 946-948 când a fost ambasador al României în Turcia, revine la Universitatea Bucureşti unde a predat cursuri de elasticitate, algebră şi maşini de calcul. În 948 devine mebru activ al Academiei Române şi şeful secţiei de algebră dela Institutul de Matematică al Academiei, nou înfiinţat. În 948 este ales preşedinte al Societăţii Române de Matematică, post pe care îl va ocupa toată viaţa. DupăceGrigore C. Moisil formeazălabucureşti o veritabilăşcoală de mecanica solidelor deformabile, începând din 949 ia naştere în jurul său Şcoala de teorie algebrică a mecanismelor automate. Alături de ruşii V. I. Şestacov şi M. Gavrilov şi americanul Shannon este fondatorul acestei teorii, care are la bază utilizarea algebrelor Boole în studiul automatelor. În această direcţie publică douătratate: Teoria algebrică a mecanismelor ordonate şi Teoria algebrică a schemelor cu contacte şi relee. Începând din 955 călătoreşte foarte mult, fiind invitat la congrese, sesiuni de comunicări, cursuri sau conferinţe. Devine membru al Academiei din Bologna şi al Institutului Internaţional de Filozofie din Paris. Grigore C. Moisil are lucrări importante în analiza funcţională, mecanica teoretică, geometrie diferenţială şi algebră. Partea cea mai originală dincreaţiasao constituie preocupările de logică matematică (începuteînperioadadelaiaşi, unde a ţinut şi primele cursuri de logică matematică din România), care l-au condus la consideraţii filozofice asupra matematicii şi la teoria algebrică a mecanismelor automate. Aceste preocupări i-au asigurat un loc cu totul aparte în matematica românească. S-a stins din viaţă la mai 973, la Ottawa, în Canada, în timpul unei vizite în care a pus jaloanele colaborării între informaticienii candieni şi cei români. La un an de la dispariţia sa, fostul său elev, Mircea Maliţa îl caracteriza: Moisil a fost mai mult decât un savant, a fost mai mulţi savanţi întruniţi în sesiune permanentă sau luânduşi locul unul altuia în cicluri succesive mari, reprezentate de temele fundamentale pe care le-a abordat. A fost până în ultimele zile deschizător de drumuri, inovator. În această aventură spirituală nu a admis dilentatismul superficial. 4 Prof. dr. Petru MINUŢ

Asupra problemei 809 din Gazeta Matematică, volumul VIII (90 903) D. M. BĂTINEŢU - GIURGIU Cu ocazia aniversării a 0 ani de apariţie neîntreruptă a Gazetei Matematice În istoria matematicii din ţara noastră Traian Lalescu reprezintă un creator de diversitate rară, un mare animator al generaţiei sale de matematicieni, un om dotat cu o mare putere de muncă şi inteligenţă scânteietoare, un profesor înzestrat cu deosebit talent pedagogic. Traian Lalescu s-a născut la /4 iulie 88, în Bucureşti. Studiile primare le-a făcut la Bucureşti, primele două clase de gimnaziu la Craiova (89-894), iar clasele aiii-aşi a IV-a la Roman (894-896). Clasele a V-a şiavi-ale-afăcut la Liceul Internat din Iaşi (actualul Colegiu Naţional "C. Negruzzi") în perioada 896-900. În liceu, ca şi în gimnaziu, Lalescu a fost premiantul I al clasei şi a primit premiul de onoare al şcolii (Lalescu se află trecut pe tabela de onoare a Liceului Internat din Iaşi). Chiar din clasa a VI-a a liceului (februarie 898), Lalescu ajunge corespondent la Gazeta Matematică. Profesorul său de mai târziu, inginerul Ion Ionescu, relatează despre Traian Lalescu că: "Intrarea lui în rândul corespondenţilor "Gazetei Matematice" nu s-a făcut ca de obicei, în mod timid, lent, progresiv, ci deodată, intens, la maximum posibil. A fost un caz unic de apariţiune la "Gazeta Matematică" de activitate prodigioasă a unui tânăr licean!". În v. VIII (90-903), la pagina 44, Traian Lalescu a propus Problema 809, cu următorul enunţ: d n+ µ Să searatecă: dx n+ x n sh ch = x x x n+. La pag. 83 din Gazeta Matematică, v. IX (903-904), este publicată soluţia dată de Traian Lalescu acestei probleme, urmată deonotă: "Se ştie că: sh x = x! + x3 3! Vom avea deci: şi, prin urmare: x n sh x = P (x)+ xn+ xn + + + şi ch x =+x + + (n +)!! (n)! +. sh x = x + 3!x 3 +... + (n +)!xn+ (n +)!x + (n +3)!x 3 + + +, (n +p +)!xp+ P (x) fiind un polinom întreg în x de gradul n. Profesor, Colegiul Naţional "Matei Basarab", Bucureşti 5

Seria din membrul al II-lea, uniform convergentă în tot planul exceptând originea, e derivabilă termen cu termen şi rezultatele găsite sunt serii convergente pe aceeaşi întindere, ale căror sume sunt date de derivatele de acelaşi ordin ale membrului I. Observând acum că: d n+ dx n+ (P (x)) = 0, d n+ µ (p +)(p +) (p +n +) dx n+ x p+ = x n+p+ şi că, prin urmare d n+ µ dx n+ (p +n +)!x p+ = (p)!x p x n+, obţinem d n+ µ dx n+ x n sh = µ x x n+ +!x + + ch + = x (p)!xp x n+. (T.L.) Notă. Această problemă a fost rezolvată de D-nii: N. Abramescu, Gr. Orăşanu, G. Constantinescu, M. Radu, C. Gheorghiu şi I. G. Niculescu. În acelaşi mod se pot demonstra şi formulele: d n+ µ dx n+ x n sin cos =( ) n+ x x x n+ ; d n ³ /x dx n x n e =( ) n e /x x n+ etc. " Ca un omagiu adus marelui matematician român Traian Lalescu, vom da acestei probleme o nouă soluţie, accesibilă elevilor actualului liceu. Să considerăm funcţiile f n : R R, f n (x) =x n sh, unde n N. Se constată imediatcă f n este indefinit derivabilă, oricare ar fi n N. Ne propunem să x demonstrăm că f n (n+) (x) = x n+ ch, n N () x prin metoda inducţiei matematice, folosind formula lui Leibniz de derivare a produsului a două funcţii indefinit derivabile, adică nx (uv) n = Cnu k (n k) v (k), n N. () Avem f 0 0 (x) = µ sh x k=0 0 = x ch,decipentrun =0formula () se verifică. x De asemenea avem: f (x) =x sh x, deci f 0 (x) =x sh x ch x ; f 00 (x) =sh x x ch x + x ch x ; f 000 (x) = x ch x + x ch x + x 3 sh x x 4 ch x = x 4 ch x, deci şi pentru n =formula () se verifică. Presupunem că formula() este adevărată pentrun N adică arelocrelaţia 6

f n (n+) (x) = x n+ ch x, (3) şi demonstrăm că eaesteadevărată şi pentru n +,adicăavem f (n+3) n+ (x) = x n+4 ch x. (4) Să observăm că f n+ (x) =x f n (x), n N, (5) şi atunci, cu ajutorul formulei (), avem: n+ (x) = x f n+ (x) n+3 (n+3) X = Cn+3f k n (n+3 k) (x) x (k) = f (n+3) =Cn+3f 0 n (n+3) (x) x + Cn+3f n (n+) (x) x + Cn+3f (n+) (x) = k=0 =x f n (n+3) Conform presupunerii relaţia (3) fiind adevărată, rezultă că: f n (n+) (x)= şi atunci f (n+3) n (x) = (x)+(n +3)xf n (n+) (x)+(n +3)(n +)f n (n+) (x), n N, (6) ³ ³ f (n+) n f (n+) n µ 0 (x) = x n+ ch 0 = x µ 0 n + (x) = x n+3 ch x + x n+4 sh 0 = x n + x n+3 ch x + x n+4 sh x, n N, (n +)(n +3) = x n+4 ch n + x x n+5 sh n +4 x x n+5 sh x x n+6 ch x = = (n +)(n +3)x + x n+6 ch 4n +6 x x n+5 sh x. (8) Dacă ţinem seama de relaţiile (3), (7) şi (8), relaţia (6) devine f (n+3) n+ (x) = (n+)(n+3)x + x n+4 ch x 4n+6 x n+5 sh x + (n+)(n+3) x n+ ch x + (n +3) + x n+3 sh (n +)(n +3) x x n+ ch x = = µ x n+5 (n+)(n+3)x + ch x +x (n+)(n+3)ch x (n +)(n +3)x ch = x x n+4 ch x, ceea ce demonstrează cărelaţia (4) este adevărată. Conform principiului inducţiei matematice, rezultă că f n (n+) (x) = x n+ ch, n N. x Bibliografie. G. Şt. Andonie - Istoria matematicii în România, v., Ed. Şt., Buc., 965.. M. D. Bătineţu-Giurgiu, M. Bătineţu-Giurgiu, I. Bîrchi-Damian, A. Semenescu - Analiză matematică. Probleme pentru clasa a XI-a, Ed. MatrixRom, Buc., 003. 3. Colecţia "Gazeta Matematică", 895-005. 7 (7)

Câteva proprietăţi ale subgrupurilor finite din GL n (Z) Gabriel DOSPINESCU Cu ocazia aniversării a 0 ani de apariţie neîntreruptă a Gazetei Matematice. Introducere: lema lui Serre. Ceea ce veţi citi în continuare este o încercare timidă de a expune o colecţie de rezultate referitoare la subgrupurile finite din GL n (Z). Se prea poate ca demonstraţiile care urmează să fie cunoscute; autorul le-a găsit "aproape" singur şi crede că merităsă fie prezentate. Articole (mai serioase) despre proprietăţile acestor subgrupuri s-au scris multe şi, cu siguranţă, se vor mai scrie, căci problemele referitoare la ele sunt dificile şi multe dintre ele îşi aşteaptă de ani buni rezolvările. Îl invităm pe cititorul interesat de rezultate mai profunde să citească articolele din bibliografie, mult mai tehnice şi mai specializate. Se pare că în [3] arfiodescrieresuperbăaaceloraşi (sau chiar a mai multor) rezultate, însă, din păcate, nu am avut acces la acest articol, aşa că nu putem decât să-l recomandăm "orbeşte" cititorilor interesaţi de asemenea aspecte. Iată, mai întâi, ce rezultate vom demonstra (sau doar aminti). Vom deduce forma simplă ateoremeijordan-zassenhaus (cu ajutorul lemei lui Serre, de care am luat cunoştinţă din[7]) relativ la finitudinea claselor de izomorfism ale subgrupurilor finite ale lui GL n (Z), apoi vom demonstra că orice subgrup finit din GL n (Z) are cel mult (n)! elemente şi că există 9 clase de izomorfism pentru subgrupurile lui GL (Z). Vom începe cu lema lui Serre, un rezultat de o frumuseţe deosebită, care permite oprimă majorare a ordinului subgrupurilor finite din GL n (Z); utilitatea acesteia ne permite să onumim"teoremă". Toate grupurile despre care va fi vorba în continuare au cel puţin două elemente. Teorema (Lema lui Serre). Fie G GL n (Z) un grup finit şi p> un număr prim. Considerăm aplicaţia ϕ : GL n (Z) GL n (Z p ) care asociază fiecărei matrici A matricea claselor de resturi modulo p ale elementelor din A. Atunci restricţia acestei aplicaţii la G este injectivă. Demonstraţie. Desigur, ϕ este bine definită şi este un morfism între grupurile GL n (Z) şi GL n (Z p ) (aşa cum se verifică imediat). Să presupunem că restricţia aplicaţiei ϕ la G nu este injectivă, deci există A G, A 6= I n astfel încât ϕ(a) =ϕ(i n ). Asta înseamnă că putem scrie A = I n +pb, unde B M n (Z). Fieλ,λ,...,λ n valorile proprii ale matricii B; seştie atunci că A are valorile proprii +pλ i, i n. Acum să privimcuatenţie sumele S k = λ k + λ k + + λ k n (pentru k număr natural): toate vor fi numere întregi (cel mai simplu argument este teorema fundamentală a polinoamelor simetrice, căci toate aceste sume sunt polinoame cu coeficienti întregi în sumele simetrice fundamentale ale numerelor λ,λ,...,λ n, iar aceste sume simetrice sunt - modulo un semn plus sau minus - coeficienţii polinomului caracteristic al matricii B M n (Z), deciîntregi). Însă, G fiind finit, putem scrie A G = I n, deci trebuie să avem( + pλ i ) n =, pentru fiecare i n, iar de aici obţinem imediat că λ i <, i n. Or, aceasta înseamnăcăşiruldenumereîntregi(s k ) k tinde Student, École Normale Supérieure, Paris 8

la zero, deci trebuie ca toţi termenii săi să fienuli(delaunrangîncolo). Osimplă aplicare a formulelor lui Newton ne va duce la concluzia că e necesar, pentru asta, ca toţi λ i să fie egali cu 0; dar atunci toate valorile proprii ale matricii A sunt egale cu, deci (teorema Cayley-Hamilton) eaeste"rădăcină" a polinomului (X ) n.cumam văzut, mai este rădăcină şi pentru X G, deci va fi rădăcină pentru cel mai mare divizor comun al acestor polinoame, care este X : adică A = I n (alt argument ar fi că identitatea este singura matrice unipotentă diagonalizabilă, iar matricea A are aceste două proprietăţi: este unipotentă -căcitocmaiamarătat că toate valorile sale proprii sunt egale cu -şi diagonalizabilă, deoarece polinomul său minimal nu are decât rădăcini simple, fiind un divizor al lui X G )şi teorema este demonstrată. Săexaminăm puţin consecinţele acestei teoreme; obţinem imediat că ϕ(g) (imaginea lui G prin morfismul ϕ) este un subgrup cu G elemente din GL n (Z p ). Însă GL n (Z p ) are exact (p n )(p n p) (p n p n ) elemente (lăsăm cititorului ca exerciţiu demonstraţia acestui rezultat clasic). Rezultă atunci, din teorema lui Lagrange, că G divide pe (p n )(p n p) (p n p n ), pentru orice subgrup finit G GL n (Z) şi orice p>prim. În particular, există unnumăr finit de ordine posibile ale matricilor din GL n (Z) (participanţii la olimpiade - şi nu numai ei - trebuie să-şi fi amintit celebra problemă: orice matrice din GL (Z) are ordinul,, 3, 4, sau6; încercaţi să demonstraţi aceasta pentru n =3!;maimult,curajoşii se pot gândi la o variantă mult mai generală: mulţimile ordinelor posibile ale matricilor din GL k (Z) şi GL k+ (Z) coincid, pentru orice k natural). De asemenea, mai rezultă (totcauncazparticular)că ordinul oricărei matrici din GL n (Z) divide pe (3 n )(3 n 3) (3 n 3 n ) (această problemă a fost propusă de autor în Rec- Mat, pe vremea când nu cunoştea lema lui Serre; de altfel, am reuşit să demonstrăm că ordinuloricărei matrici din GL n (Z) este mai mic decât A n ln n, unde A este o constantă pozitivă ce nu depinde de n, dar nu despre asta ne-am propus să vorbim aici). Tot din lema lui Serre mai putem deduce şi varianta simplă ateoremeilui Jordan-Zassenhaus, căci am obţinut că orice subgrup finit al lui GL n (Z) are cel mult (3 n )(3 n 3) (3 n 3 n ) elemente, deci, cu siguranţă, există unnumăr finit declasedeizomorfism în GL n (Z). Desigur, de aici şi până la demonstrarea teoremei lui Jordan-Zassenhaus (care afirmă finitudinea numărului claselor de conjugare ale subgrupurilor finite ale lui GL n (Z)) mai e mult de muncă, şi, oricum, nu vom face asta aici; recomandăm excelentul articol [7].. Majorări pentru ordinele subgrupurilor finite ale lui GL n (Z). Şi iată că ne apropiem de un punct sensibil al acestei note, anume de obţinerea unei majorări bune pentru ordinul oricărui subgrup finit din GL n (Z); amobţinut deja că cel mai mare divizor comun al numerelor (p n )(p n p) (p n p n ),p>, p prim este un astfel de majorant. Minkowski ademonstratşi un rezultat asemănător pentru p =,anumecă ordinul oricărui subgrup finit din GL n (Z) divide pe n ( n )( n ) ( n n ). Din păcate această majorare este oricum, dar nu uşoară şi este departe de a fi cea mai bună. Vom încerca sădăm un rezultat mai "simplu" (în sensul că formula e mai simplă) care este, şi el, departe de valoarea optimală conjecturată. Teorema. Orice subgrup din GL n (Z) are cel mult (n)! elemente; de fapt, 9

ordinul oricărui subgrup din GL n (Z) divide pe (n)!. Menţionăm că o majorare bună pentru ordinul maxim al subgrupurilor din GL n (Z) este, după câteştim noi, o problemă deschisăşi foarte dificilă. Cititorulvafiobservat o minorare aproape evidentă: există subgrupuri cu n n! elemente (gândiţi-vă, de exemplu, la matricile ce au exact un sau pe fiecare linie şi pe fiecare coloană, în rest zerouri!). Cel mai bun rezultat obţinut până în prezent pare să fie o majorare de forma C n (n!) +ε, unde C este o constantă care depinde de ε, nuşi de n, însă aceasta necesită un efort considerabil, pe care nu-l vom face aici. Invităm cititorul să găsească mai multe detalii în [5], unde există chiarşi o menţiune referitoare la faptul că n n! este valoarea maximă a ordinului unui subgrup finit din GL n (Z) pentru toţi n 6 {, 4, 6, 7, 8, 9, 0} (afirmaţie atribuită acolo lui W. Feit). Să revenim acum la Teorema, a cărei origine nu o ştim - ştim doar că aapărut în [7] fără menţiuni suplimentare şi fără... demonstraţie. Demonstraţia (cel puţin cea pe care am găsit-o noi) cere răbdare din partea cititorului, precum şi nişte rezultate ajutătoare, pe care le vom numi tot teoreme, datorită frumuseţii şi utilităţii lor. Teorema 3. Fie G GL n (Z) un subgrup finit. Atunci, pentru orice k N, G este un divizor al numărului X (tr(g)) k. g G Demonstraţie. Înainte de toate, să spunem că nicimăcar nu e nevoie să presupunem că elementele matricilor sunt numere complexe; acestea pot fi dintr-un corp comutativ oarecare a cărui caracteristică estenumăr prim cu G. Demonstrăm mai întâi afirmaţia pentru k =.Săconsiderăm matricea M = X g G pentru care, clar, avem M = G X g G X gh = M, g G h G deoarece, pentru fiecare g G, avem(g fiind grup) {gh h G} = G. Egalitatea M = M implică faptulcă toate valorile proprii ale matricii M sunt 0 sau, deci tr(m) (care este urma matricii M, deci suma valorilor proprii) este un număr întreg; or, folosind proprietăţile urmei, avem tr(m) = G X tr(g), deci demonstraţia pentru k =este încheiată (totodatăamrezolvatşi o problemă mai veche de la concursul Putnam: dacă P tr(g) =0, G fiind un grup finit de matrici P g G pătratice, atunci g =0;într-adevăr, egalitatea P tr(g) =0implică faptulcă g G suma valorilor proprii ale matricii M - definită ca mai sus- este 0, deci toate valorile proprii sunt 0; atunci M este idempotentă şi nilpotentă, deci este matricea nulă). Acelaşi argument nu funcţionează însă pentru k (din păcate); şi totuşi...o clipă de graţie în algebra liniară a permis introducerea noţiunii de produs tensorial adouămatrici. Astfel,dacă A M n (K) şi B M p (K), produsullortensorialeste definit prin 0 g G g G

a B... a n B A B =..... M np (K). a n B... a nn B O proprietate fundamentală a produsului tensorial (uşor de verificat) este că (A B) (C D) =(AC) (BD), A, C M n (K), B,D M p (K); această egalitate ne permite să definim un subgrup G 0 GL n (Z) prin G 0 = {g g g G} (relaţia de mai sus, precum şi faptul că det(a B) =(deta) p (det B) n, pentru A, B ca mai sus, folosesc ca să arătăm că G 0 este subgrup al lui GL n (Z)). Acest subgrup are, evident, tot G elemente, deci îi putem aplica rezultatul deja demonstrat pentru a deduce că G X tr(g g) = X (tr(g)) g G g G (dacă mai folosim şi formula foarte simplă tr(a B) =tr(a) tr(b)). Cititorul a înţeles acum modul în care va demonstra afirmaţia pentru orice k N (vom mai spune doar că pentruk =3trebuie considerat G 00 = {(g g) g g G}). Acum putem începe să demonstrăm Teorema. Să notăm x >x > >x q elementele mulţimii {tr(g) g G} şi să observăm că avemq şi x = n. Nefiind evidente (dar interesante şi în sine) vom demonstra aceste proprietăţi. În primul rând, am văzut că, dacă A G, atuncia G = I n, deci valorile proprii ale lui A sunt rădăcini ale unităţii, în particular ele au modulul. E clar atunci că avem tr(a) n, pentru orice A G; cumi n G, secheamăcă x = n. Dar, sămai observăm, dacă A G {I n } (şi existenţa unei asemenea matrici e asigurată de presupunerea făcută încă de la început), nu putem avea tr(a) =n, căci atunci toate valorile proprii ale matricii A ar fi egale cu, ceea ce este imposibil (cititorul nu a uitat argumentul final din demonstraţia teoremei ); deci q. Înplus, dacănotăm cu a,a,...,a q numărul apariţiilor numerelor x,x,...,x q respectiv în mulţimea urmelor matricilor din G, teorema 3 afirmă că G a x k + a x k + + a q x k q, k. Desigur, mai avem şi G = a + a + + a q,precumşi a =(este suficient să fiînţeles argumentele din acest paragraf pentru a ne convinge şi de acest lucru, precum şi de faptul că, dacă x q = n, atunci şi a q =;toateacesteobservaţii se vor dovedi esenţiale în studiul subgrupurilor finite ale lui GL (Z)). Iar avem nevoie de un rezultat ajutător. Teorema 4. Fie a,a,...,a q,x,x,...,x q şi m numere întregi astfel încât m a x k + a x k + + a q x k q, k N. Atunci avem şi m a (x x ) (x x q ). Demonstraţie. Să considerăm seria formală f(z) = a x z + a x z + + a q x q z şi să observăm că

f(z) = Ã qx qx! Ã qx! a i + a i x i z + a i x i z +, i= i= deci, folosind ipoteza, rezultă existenţa unor numere întregi b 0,b,b,... astfel încât f(z) =m P b j z j.pedealtăparte, putem scrie şi j 0 P a ( x z) ( x q z) f(z) = ( x z)( x z) ( x q z). Asta ne arată căseriaformală (de fapt, polinomul) de la numărător poate fi scris în forma X a ( x z) ( x q z)=m( x z)( x z) ( x q z) X b j z j, qp deci are toţi coeficienţii divizibili cu m, deundeobţinem că m a i S (i) t, unde S (i) t i= este a t-a sumă simetrică fundamentală înx,...,x i,x i+,...,x q, ceea ce implică şi qx qx qx m x q a i x q a i S (i) + +( ) q a i S (i) q sau m i= qx i= i= i= i= a i (x q x q S (i) + +( ) q S (i) q ). Cum, pentru i>, avem(x x ) (x x i )(x x i+ ) (x x q )=0,adică x q x q S (i) + +( ) q S (i) q =0, ne rămâne doar că m a (x q x q S () + +( ) q S () q )=a (x x ) (x x q ), ceea ce trebuia demonstrat. Iar asta încheie şi demonstraţia teoremei : din teoremele 3 şi 4 şi faptul că a =, rezultă că G divide (x x ) (x x q ),careesteprodusulaq numere naturale diferite şi cel mult egale cu n (deoarece urma oricărei matrici din G este un număr întreg cuprins între n şi n), deci divide şi pe (n)!. Bibliografie. G. P. Dresden - There are only nine finite groups of fractional linear transforms with integer coefficients, Mathematics Magazine, June 004, -8.. R. A. Horn, Ch. R. Johnson - Analiză matricială, Fundaţia Theta, Bucureşti, 00. 3. J. Kuzmanovich, A. Pavlichenkov - Finite groups of matrices whose entries are integers, American Mathematical Monthly, February 00. 4. T. J. Laffey - Lectures in integer matrices. 5. D. N. Rockmore, Ki-Seng Tan - A note on the order of finite subgroups of GL n (Z), Commutative Algebra, /999. 6. Ken-Ichi Tahara - On the finite subgroups of GL 3 (Z), Nagoya Math. Journal. 7. Nicolas Tossel - Reseaux et théorèmes de finitude, Revue des mathèmatiques speciales, -/005. j 0

Ceviene şi triunghiuri triomologice Temistocle BÎRSAN Cu ocazia aniversării a 0 ani de apariţie neîntreruptă a Gazetei Matematice În această Notă, pornind de la un triunghi oarecare, punem în evidenţă o configuraţie de triunghiuri triomologice cu acelaşi centrudegreutatecaşi triunghiul iniţial. Două triunghiuri, 4ABC şi 4XY Z, se numesc omologice dacădrepteleax, BY, CZ sunt concurente; punctul de concurenţă senumeşte centru de omologie al triunghiurilor. Triunghiurile date sunt triomologice dacă admit trei centre de omologie.. Fie ABC un triunghi oarecare şi numerele α, β, γ R \{} cu αβγ =. Pe dreapta BC considerăm punctele A α, A β, A γ determinate de rapoartele A αb A α C = α, A β B A β C = β şi respectiv A γb = γ (utilizăm segmentele orientate pentru ca punctele A γ C A γ, A β şi A γ să poată fi situate în orice poziţie pe BC, exceptând vârfurile B şi C ale 4ABC). Punctele B α,b β,b γ CA şi C α,c β,c γ AB se determină înmod similar. Condiţia αβγ = asigură existenţa punctelor X α, Y α etc. definite prin {X α } = AA α BB β CC γ, {X β } = AA β BB γ CC α, {X γ } = AA γ BB α CC β, {Y α } = AA α CC β BB γ, () {Y β } = AA β CC γ BB α, {Y γ } = AA γ CC α BB β. Atât pe figură câtşi schematic din A B C X α (α β γ) X β (β γ α) X γ (γ α β) A B C (α γ β) Y α (β α γ) Y β (γ β α) Y γ () se poate urmări formarea acestor puncte şi a triunghiurilor X α X β X γ şi Y α Y β Y γ. C β C α Y α A X β B γ α = 3 β = γ = 6 G Y γ B β Bα B C γ X X γ α Y β A α A β A γ C Prof.dr.,Catedradematematică, Univ. Tehnică "Gh.Asachi",Iaşi 3

Se observă că 4ABC şi 4X α X β X γ sunt invers orientate, pe când 4ABC şi 4Y α Y β Y γ sunt la fel orientate. Propoziţia. Triunghiurile X α X β X γ şi Y α Y β Y γ sunt triomologice, centrele lor de omologie fiind vârfurile triunghiului ABC. Demonstraţie. Vom arăta următoarele: (i) 4X α X β X γ şi 4Y α Y β Y γ sunt omologice cu centrul A; (ii) 4X α X β X γ şi 4Y β Y γ Y α sunt omologice cu centrul C; (iii) 4X α X β X γ şi 4Y γ Y α Y β sunt omologice cu centrul B. Aceste trei afirmaţii decurg din (). Astfel, afirmaţia () revine la a vedea că dreptele X α Y α, X β Y β şi X γ Y γ sunt concurente în A. Cum din prima şi a patra egalitate din () rezultă că X α,y α AA α,vomaveacă A X α Y α. La fel obţinem relaţiile A X β Y β şi A X γ Y γ. Aşadar (i) este adevărată. Pe aceeaşi cale se dovedesc (ii) şi (iii). Q.e.d. Observaţie. În consecinţă, configuraţia conţine şi perechile de triunghiuri triomologice: 4ABC şi 4X α X β X γ, 4ABC şi 4Y α Y β Y γ ; pentru prima pereche avem: 4ABC, 4X α X β X γ ; Y α, 4ABC, 4X β X γ X α ; Y β, 4ABC, 4X γ X α X β ; Y γ, iar pentru a doua avem: 4ABC, 4Y α Y γ Y β ; X α, 4ABC, 4Y β Y α Y γ ; X β, 4ABC, 4Y γ Y β Y α ; X γ, (pe un rând sunt scrise două triunghiuri, pe baza schemei (), şi centrul lor de omologie).. În această secţiune vom stabili o altă proprietateaconfiguraţiei: cele trei triunghiuri au acelaşi centru de greutate. Pentru aceasta, vom utiliza metoda vectorială. Avem nevoie de următoarea Lemă. Fie ABC un triunghi oarecare şi punctele A 0 BC, B 0 CA. Dacă λ = A0 B A 0 C, µ = B0 C B 0 A şi λµ λ +6=, atunci cevienele AA0 şi BB 0 au un punct de intersecţie X şi avem r X = λµ λ + (λµ r A + r B λ r C ). (3) ( r X notează vectorul de poziţie al punctului X faţă deooriginearbitrară.) Demonstraţie. Cu teorema lui Thales se arată uşor că λµ λ + = 0 AA 0 k BB 0. Din λ = A0 B A 0 C şi µ = B0 C urmează că B 0 A r A 0 = r B λ r C, λ r B 0 = µ λ r A. r C µ µ 4 B A B X A C

Ţinând cont de aceste relaţii, ecuaţiile vectoriale ale cevienelor: (AA 0 ) r = r A + u ( r A 0 r A ), (BB 0 ) r = r B + v ( r B 0 r B ) se scriu sub forma (AA 0 ) r =( u) r A + u r B λu r C, λ λ (4) (BB 0 ) r =( v) r B + v r C µv r A. µ µ (5) Vectorul r X asociat punctului X de intersecţieseobţine din (4) sau (5) pentru u sau v luat dintr-o soluţie (u, v) a sistemului liniar de ecuaţii u = µv µ, u λu = v, λ λ = v µ. (6) Găsim, cu uşurinţă, ca soluţie a sistemului (6) perechea (u, v) cu λ u = λµ λ +, v = λµ λ λµ λ +. (7) După înlocuirea lui u sau v din (7) în (4) sau (5), obţinem pentru r X reprezentarea (3), q.e.d. Propoziţia. Triunghiurile ABC, X α X β X γ şi Y α Y β Y γ au acelaşi centru de greutate. Demonstraţie. Vom arăta că 4X α X β X γ şi 4ABC au acelaşi centru de greutate (la fel se procedează cu perechea formată din4y α Y β Y γ şi 4ABC). Este suficient să stabilim că r Xα + r Xβ + r Xγ = r A + r B + r C. (8) Într-adevăr, utilizând Lema relativ la 4ABC şi cevienele AA α şi BB β,obţinem r Xα = αβ α + (αβ r A + r B α r C ); (9) similar obţinem şi relaţiile: r Xβ = αβ α + ( r A α r B + αβ r C ) (4CAB şi CC α, AA β ), (0) r Xγ = αβ α + ( α r A + αβ r B + r C ) (4BCA şi BB α, CC β ). () Ţinând seama de (9), (0) şi (), avem r Xα + r Xβ + r Xγ = (αβ + α) r A αβ α + +( α + αβ) r B +( α + αβ +) r C = r A + r B + r C. adică areloc(8), q.e.d. 3. Să presupunem că triunghiul ABC este echilateral. Se constată uşor, pe cale elementară şi ca o consecinţă arelaţiilor (), că triunghiurile X α X β X γ şi Y α Y β Y γ sunt, la rândul lor, echilaterale. Conform Propoziţiei, aceste triunghiuri au acelaşi centru ca şi triunghiul ABC. Esteevidentă, în acest caz particular, înrudirea cu un rezultat remarcabil, teorema lui Barbilian: două triunghiuri echilaterale cu acelaşi centru sunt triomologice. 5

Construcţii aproximative cu rigla şi compasul ale numărului π Alexandru MOSCALIUC Notaţia π pentru raportul dintre lungimea unui cerc şi diametrul său s-a încetăţenit în matematică datorităluil. Euler, care a utilizat-o în tratatul său Introductio in analysis infinitorum (748). Valori aproximative ale lui π au fost utilizate încă din antichitatea timpurie de multe popoare. Amintim doar că Arhimede, întratatul Asupra măsurării cercului, agăsit că 3 0 7 <π<3 prin aşa-numita acum metodă a 7 perimetrelor (cea cu poligoanele regulate înscrise şi circumscrise). În strânsă legătură cu identitatea numărului π este problema cuadraturii cercului construcţia cu rigla şi compasul a unui pătrat de arie egală cuariaunuicercdat; problema revine la rectificarea cercului construcţia cu aceleaşi instrumente a unui segment de lungime egală cu lungimea unui cerc dat ce se reduce la rându-i la construcţia cu rigla şi compasul a unui segment de lungime π. Această problemă celebră formulată de grecii antici şi-a găsit rezolvarea în anul 88, când F. Lindemann adoveditcă π este transcendent (adică nu-i număr algebric). Graţie acestui rezultat şi faptului că numerelecesepotconstruicuriglaşi compasul formează oparteamulţimii numerelor algebrice, rezultă căesteimposibilă cuadratura cercului. Putem aproxima, însă, numărul π cu numere constructibile cu rigla şi compasul. Scopul acestei lucrări estedeadaoastfeldeaproximarealuiπ şi câteva aplicaţii ilustrative, într-o prezentare accesibilă elevilor de cl. a IX-a. Propoziţie. Are loc următoarea inegalitate: + 3 0, 0 <π< + 3, () i.e. + 3 aproximează numărul π prin adaos cu o eroare mai mică de0,0. Soluţie. Fie l, L lungimile laturilor poligoanelor regulate cu n laturi înscris şi respectiv circumscris unui cerc A l B de rază egală cu. Între perimetrele acestor poligoane şi lungimea cercului avem relaţia nl < π <nl. () O Deoarece m(\aob) =m( \A 0 OB 0 )= 360 şi l =sin80 n n, L =tg 80,relaţia () se scrie n n sin 80 80 <π<ntg n. (3) B L A n Luând în (3) n =60,obţinem 60 sin 3 <π<60 tg 3. (4) Ţinând seama că 3 =8 5,vomavea sin 3 =sin8 cos 5 sin 5 cos 8 şi tg 3 = tg 8 tg 5 +tg8 tg 5. (5) Profesor, Şcoala generală nr.6,botoşani 6

Cum sin 8 = 4 ³ 5, cos 8 = q 4 ³ 6, cos 5 = 0 + 5, tg 8 = 5 5, sin 5 = 6+, tg 5 = 3, 4 4 inegalităţile (4) se scriu: q q 60 ³ 5 ³ 6+ 0 + ³ 5 6 5 5 3 <π<60 q 6. + 5 5 3 (6) Printr-un calcul de rutină anevoiosşi neplăcut se verifică faptulcă membrul stâng din (6) este mai mare ca + 3 0, 0, pe când cel drept este mai mic ca + 3. În concluzie, inegalităţile () sunt adevărate. Observaţie. Construcţia cu rigla şi compasul a unui segment de lungime + 3 (în prezenţa unui segment unitate) este elementară. Ca urmare, Propoziţia oferă o modalitate de a construi aproximativ numărul π cu rigla şi compasul. În aplicaţiile următoare ale Propoziţiei se face cuadratura/rectificarea unui cerc cu rigla şi compasul în mod aproximativ, adicăseconstruieşte cu aceste instrumente un pătrat/segment având aria/lungimea aproximativ aria/lungimea cercului dat. Aplicaţia. Fie ABC un triunghi isoscel cu AB = AC = 3, BC = şi C (I,r) cercul înscris acestuia. Atunci lungimea cercului C (I,r) este aproximativ egală cubc, iar aria lui este aproximativ egală cuaria4bic; înambelesituaţii eroarea aproximării fiind mai mică ca0, 0. Soluţie. Avem: AD = AB BD =, deciad =şi r = S p =. + 3 AD BC AB + BC + AC = Ţinând cont de faptul că π ' + 3, pentru cercul C (I,r) obţinem: B ³ D L =πr ' + 3 =, adică L'BC; + 3 A = πr ' ³ Ã! + 3 =, adică A'A BIC + 3 + 3 (într-adevăr, A BIC = BC ID = = ). + 3 + 3 Să dovedimcă, în formulele găsite, L şi A sunt aproximate cu o eroare mai mică decât 0, 0. Într-adevăr, înmulţind inegalitatea + 3 π < 0, 0 (adevărată conform Propoziţiei!) cu r, obţinem + 3 L < 0, 0 r sau + 3 BC L < 0, 0 r. Cum r = <, urmează că BC L < 0, 0. La fel, + 3 dar înmulţind aceeaşi inegalitate cu r,obţinem A BIC A < 0, 0. 7 A I r C

Aplicaţia. Fie cercul C (O, ) şi punctele A, B, C şi D ca în figura de mai jos: BC =, BD = AC. Arătaţi că lungimea semicercului AB (aria semicercului) este aproximativ egală culungimeasegmentului [AD] (respectiv aria triunghiului ABD), eroarea fiind mai mică decât 0, 0. Soluţie. Deoarece AB =şi BC =,rezultăcă AC = 3;lafel,dinBC =şi BD = AC = 3, deducem că CD =. Atunci, AD = AC + CD = + 3 ' π şi AABD = AD BC = π + 3 ' A O C π etc. = Aplicaţia 3. Dat un pătrat de latură, construiţi numai cu compasul un cerc de lungime aproximativ egală cu perimetrul pătratului. Soluţie. Mai întâi, să observăm că uncercdelungimeegală cu perimetrul pătratului dat are raza π.dar,ţinând cont de Propoziţie, π ' = 3. + 3 Aşadar, urmează să construim cu compasul un cerc de rază 3. Etapele unei posibile construcţii sunt: D. Construim simetricul E al punctului B faţă dea: {E} = C (A, ) C (D, DB).. Construim punctul F astfel încât 4BEF să fie echilateral, iar F şi D să fiedeoparteşi de alta a E A dreptei BE: {F } = C (B,BE) C (E,EB); evident,a, D, F sunt coliniare şi AF = 3 (înălţime în 4BEF de latură ). 3. Construim punctul G de partea dreptei BE în care G se află F prin {G} = C (A, AC) C (B,AF). Deoarece AB =, AG = şi BG = 3, rezultă că 4AGB este F dreptunghic în A şi, ca urmare, punctele A, F, G sunt H coliniare, iar FG = AF AG = 3. 4. Construm simetricul H al lui G faţăde F (construcţia, numai cu compasul, a simetricului M 0 al punctului M faţă de un punct O poate fi urmărităpefiguraalăturată); evident GH = 3. 5. Construim C(H, HG), care va fi cercul căutat: lungimea lui este 4π 3 ' 4 + 3 3 =4, cu o eroare de ³ ³ ³ 4π 3 4=4 3 h π 3+ i < 4 M O P B M Q ³ 3 0, 0, conform cu (). Cum 3 <,vomavea ³ 4π 3 4 < 4 0, 0 = 0, 0, adică eroarea cu care lungimea cercului construit este aproximată deperimetrulpă- tratului este mai mică decât0, 0. 8 C D B

Inegalităţi generatoare de noi inegalităţi I. V. MAFTEI Pornind de la anumite inegalităţi cunoscute ne propunem să obţinem noi inegalităţi. Propoziţia. Să se demonstreze că x x x k x n + x n + + x n k x n+k + x n+k + + x n+k k, () x,x,...,x k R +, n, k N, n,k. Demonstraţie. Utilizând relaţia dintre mediile aritmetică şi geometrică, aplicată numerelor a,a,...,a k R +, n, k N, n, k, obţinem succesiv: p n+k a n a a k na + a + + a k, p n + k n+k a a n a k a + na + + a k, n + k ()... p n+k a a a n k a + a + + na k. n + k Sumând p inegalităţile (), rezultăcă n+k a n a a k + n+k p a a n a k + + n+k p a a a n k a + a + + a k. Dacă notăm n+k a i = x i, i =,k,obţinem x n x x k + x x n x k + + x x x n k x n+k + x n+k + + x n+k k, care este tocmai inegalitatea (). Pentru k =şi n =h, h N, inegalitatea () devine x h+ + x h+ x x x h + x h. (3) Propoziţia. Fie a, b, c R + şi k N. Atunci, are loc inegalitatea (ab) k a k+ + b k+ +(ab) k + k (bc) b k+ + c k+ +(bc) k + k (ac) a k+ + c k+ +(ac) k ab (a + b)+ + bc (b + c)+ + ac (a + c)+. (4) Demonstraţie. Aplicând inegalitatea (3) de k ori, obţinem x k+ + x k+ (x x ) k (x + x ), x,x R +, k N. (5) Ţinând seama de (5), putemscrie a k+ + b k+ (ab) k (a + b), (6) de unde a k+ + b k+ +(ab) k (ab) k [ab (a + b)+] Profesor, Colegiul Naţional "Sf. Sava", Bucureşti 9

sau (ab) k a k+ + b k+ +(ab) k ab (a + b)+. Sumând această inegalitate cu analoagele ei, obţinem (4). Observaţie. Dacă în(4) luăm k =şi considerăm abc =, suntem conduşi la inegalitatea ab a 5 + b 5 + ab + bc b 5 + c 5 + bc + ca c 5 + a 5, (7) + ca care a fost discutată la O. I. M. din anul 996, India. Propoziţia 3. Fie numerele a, b, c R +.Săsedemonstreze că a n+ b n + bn+ c n + cn+ a n a n b + b n c + c n a, n N. (8) Demonstraţie. Înmulţind inegalitatea (6), consideratăpentruk = n, cua n c n, iar analoagele ei cu b n a n şi respectiv b n c n, vom obţine relaţiile a 3n+ c n + b n+ a n c n a n+ b n c n + a n b n+ c n, b 3n+ a n + c n+ b n c n b n+ a n c n + b n c n+ a n, c 3n+ b n + a n+ c n b n c n+ b n a n + c n a n+ b n, din care, prin adunare, deducem că a 3n+ c n + b 3n+ a n + c 3n+ b n a n b n c n (a n b + b n c + c n a), adică (8). Procedând ca în Propoziţia 3 se obţine Propoziţia 4. Pentru n N şi a, b, c R + avem a bn+ c n + b cn+ a n + c an+ b n ab n+ + bc n+ + ca n+. (9) Propoziţia 5. Să searatecă n N avem: q a) k+ + k+ + + n k+ n (n +) n (n!) k, (0) b) n+ + n+ + + n n+ n (n +) (n!). () Demonstraţie. Pentru n = avem egalitate. Considerăm n şi înlocuim în inegalitatea (6) succesiv a =şi b = n, a =şi b = n,..., a = n şi b =. Sumând inegalităţile rezultate, vom obţine k+ + k+ + + n k+ h (n +) k n k + k (n ) k + + n k ki. q Cum paranteza pătrată este n n ( k k n k ) = n q(n!) n k,avem k+ + k+ + + n k+ n (n +) q(n!) n k, adică (0). Luând în (0) k = n, obţinem inegalitatea (). 0

Asupra unei probleme dată la ONM, Bistriţa, 005 Claudiu-Ştefan POPA Cele ce urmează au ca punct de plecare o problemă datălaonm,bistriţa, 005 [] aparţinând autorului acestei note şi pe care o vom nota în continuare cu (P ): (P ) Fie ABCD un trapez cu bazele AB şi CD, având diagonalele perpendiculare în O. Pesemidreptele (OA şi (OB se consideră punctelem şi respectiv N astfel încât unghiurile \AN C şi \BMD să fie drepte. Notăm cu E mijlocul segmentului MN.Săsearatecă: a) triunghiurile OMN şi OBA sunt asemenea; b) dreapta OE este perpendiculară pedreapta AB. Rezolvarea acestei probleme poate fi găsită deasemeneaîn[]. Considerăm configuraţia geometrică pusă în valoare de (P ) îndeajuns de generoasă pentru a prezenta alte câteva rezultate legate de ea. Dăm întâi o caracterizare a trapezului ortodiagonal, interesantă şi în sine. Propoziţia. Fie ABCD un patrulater convex şi AB k CD. DacăpunctulO este intersecţia diagonalelor sale, patrulaterul este ortodiagonal dacă şi numai dacă AB CD = AO CO + BO DO. Demonstraţie. AB k CD 4AOB 4COD AO CO = BO DO = AB AO CO BO DO AB CD AO CO + BO DO = CD CO = DO = CD = CO + DO. Acum AO CO + BO DO = AB CD CD = CO + DO AC BD, q.e.d. Adăugăm la ipoteza problemei (P ): punctele K, L sunt mijloacele bazelor [AB], respectiv [CD] iar punctul D 0 este simetricul punctului D faţă de punctul O. În aceste condiţii, pentru cele ce urmează presupunem cunoscute următoarele: punctele K, O şi L sunt coliniare, A AOD = A BOC, A AOD = A AOBA COD ([], p. 43). Propoziţia. În ipoteza problemei (P ), aulocurmătoarele: i) MN = AB CD şi MN < KL; ii) MN KL; iii) A OMN = A AOB A COD ; iv) AN k MD 0 ; Demonstraţie. i) 4ANC şi 4BMD sunt dreptunghice în N, respectiv M şi NO AC, MO BD. Aplicând teorema înălţimii obţinem NO = AO CO şi MO = BO DO. Cum m( \MON)=90,avemMO + NO = MN şi obţinem MN = AB CD. Deoarece KL = KO + LO = AB + CD AB + CD = şi AB + CD AB CD < (ABCD trapez, deci AB 6= CD), rezultă că MN < KL. ii) Fie R (OL astfel încât L (OR) şi (OL) (RL). Cum (DL) (CL), urmează că OCRD este paralelogram. Dar CO DO, deciocrd este dreptunghi şi Profesor, Şcoala "Alecu Russo", Iaşi

avem \CDO \CRO. Din(P ), punctul a) avem \CDO \NMO; deci \CRO \NMO. Aceasta şi MO CR conduc la NM RO NM KL. iii) ON OM A MON = = D C AO CO BO DO = = O AO CO BO DO N =. D Cum 4AOB 4COD, avemao DO = P AO DO E BO CO, deci A MON = = A AOD. A K B Dar A AOD = A AOBA COD, deci A OMN = M = A AOB A COD. iv) La fel ca la iii), OM ON = OA OD. Deci ON OA = OD ON sau OM OA = OD0 OM, adică AN k MD 0, q.e.d. Observaţie. Dacă MN LK = {P }, propunem cititorului să demonstreze că OE = LO KO şi OP = p dist (O; AB) dist (O; CD). Bibliografie. G.M. seria B, nr. 7/005, p.98 şi p. 30.. D. Mihalca, I. Chiţescu, M. Chiriţă - Geometria patrulaterului, Ed. Teora, Bucureşti, 998. ERATA Mai mulţti colaboratori aduc la cunoştinţă Redacţiei revistei următoarea greşeală în scrierea numelui marelui matematician Leonhard Euler: în loc de Leonhard s-a scris Leonard atât în titlul materialului din nr. /004, p. 9, cât şi în cel din nr. /005, p. 9 (prin preluarea primului pe calculator). COMENTARIU D-l D. Plăeşu din Iaşi semnalează Redacţiei faptul că Problema L.6, autorm. Bîrsan, publicată în nr. /004 este cunoscută apare în cartea lui W. Sierpiński intitulată Ce ştim şi ce nu ştim despre numerele prime (în l.rom.la Editura Ştiinţifică, Bucureşti, 966) la p. 04. Cele două soluţii date acestei probleme în nr. /005, pp. 67-68, diferă desoluţia prezentată încarteamenţionată. Vizitaţi pe Internet revista "Recreaţii Matematice" la adresa http://www.recreatiimatematice.uv.ro