Vplyvy chybných meraní na spracovanie 2D lokálnych geodetických sietí. Gabriel Weiss, Štefan Rákay, ml., Slavomír Labant a Lucia Kalatovičová 1

Transcription

1 Acta Montanistica Slovaca Ročník 13 (008), číslo 3, Vplyvy chybných meraní na spracovanie D lokálnych geodetických sietí Gabriel Weiss, Štefan Rákay, ml., Slavomír Labant a Lucia Kalatovičová 1 Influence of bad measurements in establishment of D Local Geodetic Network The quality of Local Geodetic Network (LGN) for technical and scientific purposes is very important from many points of view. These nets require compatible points (given and new ones), measurements among points without blunders and reliable determination of approximate coordinates for the new (to be established) points. If some from the 3 mentioned requirements is not fulfilled for the network computation, the various results from the net adjustments are defective and unusable. In the present treatise, all requirements for faultless measurements are introduced and demonstrated in adjustments of a trilateral net using the standard, constrained adjustment (GMM of full rank with minimum constraints) and the interactively reweighed Least-Square Robust Adjustment. From analyses of their solutions can be by convenient introduced methods determined and identificy all errors in the net measurements. Key words: Local Geodetic Network, Method of least squares, robust adjustment, weight iteration adjustment Úvod Kvalita každej lokálnej geodetickej siete (LGS) pre technické a vedecké účely je dôležitá z rôznych hľadísk. Zakladané LGS vyžadujú kompatibilné body (jestvujúce aj nové), zameranie veličín medzi bodmi bez hrubých chýb a spoľahlivé určenie približných súradníc nových bodov. Keď z uvedených 3 požiadaviek nie je splnená ktorákoľvek v spracovaní LGS, rôzne výsledky z vyrovnania sú skreslené a nepoužiteľné. V práci sú požiadavky kvalitných meraní prezentované v rámci spracovania trilateračnej siete: štandardným väzbovým MNŠ vyrovnaním a iteratívne váhovaným robustným MNŠ vyrovnaním, z analýz výsledkov, ktorých vyplývajú vhodné postupy pre identifikáciu chýb v zameraní LGS. 1. Detekcia rušiacich vplyvov v spracovaní LGS V matematickom spracovaní dvojrozmerných LGS, t.j. v ich vyrovnaniach môžu pôsobiť chyby 3 druhov: chyby v nameraných hodnotách veličín L v sieti, t.j. dĺžok, smerov a uhlov a iných, ktoré vytvárajú rozmery a štruktúru LGS a determinujú polohy bodov LGS. Tieto chyby ovplyvnia (znehodnotia) všetky výsledné parametre vyrovnania, t.j. vektora rezíduí V (bude obsahovať vychýlené V i chybných observácií L i ), odhady súradníc ( XYˆ s, kvadratickú formu rezíduí kfv, aposteriórny variačný faktor ) UB ˆ, ich štandardné odchýlky ( X ˆ s Y ˆ ) UB s 0 a ďalšie, chyby v súradniciach tých bodov, ktoré sú deklarované a použité za dátumové body (DB) na väzbu LGS v určitom súradnicovom systéme a ktoré chyby charakterizujú porušenú kompatibilitu DB (neidentita) súradnicovej polohy bodu a jeho značkovej (fyzickej) polohy (Stichler, 1985, Weiss et al., 1997, 006). Chybné hodnoty ( XY ) DB súradníc dátumových bodov, ktoré nie sú kompatibilné so svojimi meračskými (fyzickými) značkami vyvolajú vo výstupných veličinách: vo vektore rezíduí V aj väčší počet vychýlených hodnôt, neprijateľne veľké, vychýlené štandardné odchýlky ( s X ˆ s Y ˆ ) UB, nereálne veľkú hodnotu kvadratickej formy opráv kfv ako aj aposteriórnej jednotkovej variancie meraní s 0 i ďalšie problémové výsledky, chyby v určených približných súradniciach 0 ( X Y ) UB 0 nových určovaných bodov (UB) v LGS v dôsledku omylov a vadných meraní alebo aj výpočtov. Chybné hodnoty 0 0 ( X Y ) UB niektorého (niektorých) UB neovplyvnia síce spravidla hodnoty veličín V, kfv, s 0 a ( s X ˆ s Y ˆ ) UB ale len niektoré výsledné súradnice Xˆ Yˆ určovaných UB, ktoré budú vadné, čo je ovšem tiež neprijateľné pre tvorbu LGS. ( ) UB 1 prof. Ing., Gabriel Weiss, PhD., Ing. Štefan Rákay ml., Ing. Slavomír Labant, Ing. Lucia Kalatovičová, Fakulta BERG Technickej univerzity v Košiciach, Ústav geodézie, kartografie a geografických informačných systémov, Park Komenského 19, Košice, Gabriel.Weiss@tuke.sk, Stefan.Rakay@tuke.sk, Slavomir.Labant@tuke.sk, Lucia.Kalatovicova@tuke.sk (Recenzovaná a revidovaná verzia dodaná ) 90

2 Acta Montanistica Slovaca Ročník 13 (008), číslo 3, Tieto chyby v rámci vyrovnania LGS sa prejavia v rôznych priebežných a finálnych veličinách vyrovnania, najmä v rezíduách V a teda aj v ich kvadratickej forme kfv, v odhadoch určovaných súradníc ˆ, v aposteriórnej (empirickej) jednotkovej variancii s a v ďalších výstupných produktoch ( XŶ) UB z vyrovnania. Hodnoty uvedených veličín budú predovšetkým signalizovať chybné (neprijateľné) výsledky z vyrovnania LGS, či sa ich spracovanie bude realizovať ako štandardné väzbové MNŠ vyrovnanie (Zeleňák, F., et al, 007; Michalíková, F. et al, 006) alebo ako iteračne váhované MNŠ (robustné) vyrovnanie. ( iterativ gewichtete kleinste Quadrate - robuste Schätzung, iteratively reweighted Least Square robust estimation ) (Caspary, 1988; Gašinec et al., 000; Gašinec et al., 005; Grafarend et al., 1993; Jäger et al., 005; Wolf, 1997 a iní). Každá z načrtnutých 3 skupín chýb bude pôsobiť v príslušných spracovaniach LGS síce na všetky priebežné a finálne hodnoty určovaných veličín, pritom však najvýraznejšie bude tvoriť chybné výsledky pre uvedené veličiny. Uvedené vplyvy a výsledné situácie sa vytvárajú aj v iteračne váhovanom robustnom MNŠ vyrovnaní, keďže táto procedúra tvorí MNŠ odhady so špeciálne vytvorenými váhami podľa zvolenej a použitej váhovej funkcie. (Carosio, 1995; Gašincová et al., 008; Jäger et al., 005; Kegel, 1987; Soha, 1988; Samogyi, 1988; Wicki, 199). Predmetná problematika pri tvorbe LGS je rozsiahla a zložitá. V danom ukážkovom prípade bude demonštrovaná len pre viazanú trilateračnú sieť. Sú v nej simulované dve chybne merané veličiny dĺžky a jej spracovanie sa vykonáva: s použitím viazaného MNŠ vyrovnania, s použitím iteratívne váhovaného robustného MNŠ vyrovnania. Cieľom tejto štúdie oboch spôsobov spracovania LGS je prezentovať získané experimentálne výsledky o relevantných vlastnostiach LGS a poukázať najmä na vplyvy a možnosti identifikácie chybných vstupných veličín z vektora L do spracovania LGS. Chybné DB z nekompatibility sú zistiteľne na LGS známymi 0 0 spôsobmi a lokalizácia chýb v určení ( X Y ) UB sa spravidla detekuje dvomi nezávislými určeniami UB. V prezentovanom pojednaní sa rieši preto situácia, kedy len niektoré merané veličiny z vektora L v LGS sú zaťažené chybami, ktoré sa v rámci zamerania siete nepreukázali. 0. Spracovanie demonštračnej LGS Pôjde o trilateračnú sieť (Obr. 1) v súradnicovom systéme S-JTSK, v ktorej sa simulovali chybné dĺžky: medzi bodmi 1 a 4, d14 = 110, 411m so zohľadnenou chybou 14 mm (7. dĺžka) medzi bodmi 5 a 8, d58 = 106, 837m so zohľadnenou chybou + 31mm (9. dĺžka). Sieť sa spracovala väzbovými MNŠ vyrovnaním a robustným MNŠ vyrovnaním. Obr. 1. Trilateračná sieť. Fig. 1. Trilateration network. 91

3 Gabriel Weiss, Štefan Rákay, ml., Slavomír Labant a Lucia Kalatovičová: Vplyvy chybných meraní na spracovanie D lokálnych geodetických sietí.1. Väzbové MNŠ vyrovnanie LGS Tab. 1. Dátumové body DB. Tab. 1. Datum points DB. DB X m] Y m] , , , , , , ,569 Určované (nové) body UB a ich približne súradnice LGS sú uvedené v Tab. : 0 Y 0 X určené rôznymi postupmi v rámci zamerania Tab.. Približné súradnice nových bodov. Tab.. Approximate coordinates of the new points. UB X 0 m] Y 0 m] , , , , , , , , , ,061 Dĺžky L =, d d ] d 1,..., medzi bodmi siete: 4 L = ], sú určené z opakovaných meraní. Ich výsledné hodnoty transformované do projekčnej roviny S-JTSK sú: L = 709,97 498,107 39, ,96 64, , , , , , ,04 666, , , , ,74 667,595 83,990 7, ,036 57, , ,506 38,667]. Na základe d i, ich aposteriórnych odchýlok s di, i = 1,,..., 4 a s použitím apriórnych štandardných odchýlok σ di (od výrobcu), určili sa kofaktory dĺžok q di : Q L = 1,67 1,64 0,70 0,63 1,37 1,69 1,5 1,57 0,79 0,93]. 0,77 1,0 1,08 0,79 0,6 0,76 1,59 0,97 1,3 0,9 0,74 Výsledky z 1. MNŠ vyrovnania: Rezíduá V mm]: V = 1,9 8,4 3,3 0, 3,0 3,5 8,3 1,3 0,6,9 0,6 0,4], 3,0, 4,1 6, 14,6 0, 7,3 1,3 0,41,7 8,5 0,9 Určené súradnice UB a ich štandardné odchýlky sú uvedené v Tab. 3: Tab. 3. Výsledky 1. MNŠ vyrovnania. Tab. 3. Results of the first adjustment by least squares method. UB ˆX () 1 m] s () mm] Y ˆ ( 1 ) m ] s () mm] ˆX ,87 6, ,973 4, ,545 7, ,87 4, ,93 7, ,37 5, ,564 5, ,15 5, ,33 6, ,065 4,5 Yˆ 1 9

4 Acta Montanistica Slovaca Ročník 13 (008), číslo 3, Kvadratická forma rezíduí: kfv = 1019,959. Aposteriórna jednotková variancia meraní s 0 = 8,535 mm. Testovanie V (Krüger, J.): K tvorbe testovacej štatistiky sa použijú veličiny: Vi θi =, ( i = 1,,...,4), qvi T 1 V QL V θi si =, ( i = 1,,...,4), n u 1 ktoré sa zoradia podľa veľkosti s max... smin, θmax... θmin. Testovacia štatistika sa vytvára podľa: T θmax α = ~ F 1- ; 1, n u 1 ; α = 0,05, n = 4, u = 10 smax n, kde θ max a s max prináležia dĺžke L 9 a ktorá má F-rozdelenie. Jej kritická hodnota na hladine významnosti α je: α T α = F 1 ; 1, n u 1. n V danom prípade bude T=16,004, T α =14,67 a v zmysle T > Tα, H 0 sa zamieta. Dĺžka L 9 je chybne zameraná, z L sa vyradí, vznikne vektor L r, s ktorým sa vykoná nové,. vyrovnanie LGS. Výsledky z. MNŠ vyrovnania: Rezíduá V r mm]: V r = 0,7 3,4 1,5 0,4 3, 0,7 9,0,1 1,4], 1,6,9 4,0 3,8, 0, 1,9 4,8 0,5 10,0 0,6 4,4 0, Odhady súradníc UB a ich štandardných odchýlok sú uvedené v Tab. 4: Tab. 4. Výsledky. MNŠ vyrovnania. Tab. 4. Results of the second adjustment by least squares method. UB ˆX ( ) m] s ( ) mm] Y ˆ( ) m] s ( ) mm] ˆX ,88 4, ,97 3, ,546 5, ,81 3, ,91 5, ,34 4, ,566 3, ,13 3, ,35 4, ,06 3, Yˆ Kvadratická forma rezíduí: kfv r = 457,56. Aposteriórna jednotková variancia meraní s 0 r = 5,933 mm. Testovanie V r (Krüger, J.): Nulová hypotéza H 0 : E( V r ) = 0. Hodnota testovej štatistiky T r = 39, 357, kritická hodnota testovej štatistiky T rα na hladine významnosti α = 0,05 je T = 15, 08. rα Na základe r > T r α T sa H 0 znovu zamieta. Dĺžka L 7 sa z vektora L rr, s ktorým sa vykoná nové, 3. MNŠ vyrovnanie LGS. L r tiež vyradí, vznikne vektor 93

5 Gabriel Weiss, Štefan Rákay, ml., Slavomír Labant a Lucia Kalatovičová: Vplyvy chybných meraní na spracovanie D lokálnych geodetických sietí Výsledky z 3. MNŠ vyrovnania: Rezíduá V rr mm]: V rr = 3,4, 0,0 0,1], 0,4,1 3, 5,6 3,4 0,3 4,0,9 1,3,5 0,8,0 0,4 3,1 Odhady súradníc UB a ich štandardných odchýlok sú uvedené v Tab. 5: Tab. 5. Výsledky 3. MNŠ vyrovnania. Tab. 5. Results of the third adjustment by least squares method. UB ˆX () 3 m] s ( ) mm] Y ˆ( 3) m] s ( ) mm] ˆX ,831, ,980, ,544, ,83 1, ,93, ,36, ,565 1, ,14 1, ,33, 64 51,065 1,6 Kvadratická forma rezíduí: kfv rr = 106,903, Aposteriórna jednotková variancia meraní s 0 rr =,868 mm. Testovanie V rr (Krüger, J.): Nulová hypotéza H 0 : E( V rr ) = 0. Hodnota testovej štatistiky T rr = 4, 575, kritická hodnota testovej štatistiky T rrα na hladine významnosti α = 0, 05 je T = 14, 89. rrα Na základe T r < T r α sa H 0 nezamieta, vektor L rr (a tým aj V rr ) je očistený od pôvodných dĺžok L 7, L 9 zaťažených hrubými chybami. Výsledky po 3. vyrovnaní LGS sú prijateľné a použiteľné. Yˆ 3.. Iteračne váhované robustné MNŠ vyrovnanie LGS robustné MNŠ vyrovnanie Robustné MNŠ vyrovnanie LGS s určením jej parametrov ( X ˆ Yˆ, s X ˆ syˆ, V, kfv, s 0, prípadne ďalších) sa realizovalo s použitím váhovej funkcie (Soha, 1988): 1 pi =, i = 1,,...,4, 1+ 0,05 V i a s j = 11 iteráciami (empiricky zistená dostatočná konvergenčná oblasť) pri použití východiskových jednotkových váh p i = 1 pre Li ( L vzdialeností v LGS. 4,1) Z 1. iteračného postupu sa získali nasledovné hodnoty príslušných veličín: Odhady súradníc UB a ich štandardných odchýlok uvedené v Tab. 6: UB () 1 m] ˆX () mm] ˆX 1 Tab. 6. Odhady súradníc z prvého robustného vyrovnania. Tab. 6. Coordinate estimations of the first robust adjustment. Y ˆ 1 m s Yˆ () 1 mm] s ( ) ] ,83, ,980 1, ,549, ,83 1, ,97, ,33, ,564, ,14 1, ,30, ,061 1,7 94

6 Acta Montanistica Slovaca Ročník 13 (008), číslo 3, Rezíduá V mm]: V = 1,3 0,0 0,6 0,8 1,5 0, 0,0,6 0,1 0,6], 8,0,3, 1,3 0,9 5,4 6,8 4,7 5,4,8 11, Kvadratická forma rezíduí: kfv (1) = 139,77. Aposteriórna jednotková variancia meraní s () 3,160 mm. 0 1 = Testovanie V (Baarda, W. data snooping): Nulová hypotéza H : E( V ) 0. 0 = Vi Testová štatistika: T =, i =1,,..., 4 σ q kde: i, di di T i( = 0,41 1) 0,46 0,60 0,04 0,06 0,74 0,83 0,48 3,9 0,45 0,68 1,75 7,3 1,78,11 5,14 6,8 0,51 0,61 0,43 0,00 0,01 0,18 0,7]. Kritická hodnota testovej štatistiky T α na hladine významnosti α = 0, 05 : T α = 3, 84. Keďže ( T7 T9 T0 ) > Tα, H 0 sa zamieta, t.j. vektor V je kontaminovaný hrubými chybami, skresľujúcimi dĺžky L 7, L9, L0, pričom najväčšie skreslenie je pre L 9. Táto dĺžka L 9 sa z vektora L vyradí, vzniká vektor L r, s ktorým sa vykoná nové vyrovnanie LGS (. robustné MNŠ vyrovnanie)..... robustné MNŠ vyrovnanie Určenie parametrov LGS sa vykonalo opäť s váhovou funkciou (*), s rovnakým rozsahom (j=1,,...,11) iteračného procesu, s použitím jednotkových východiskových váh p i = 1 pre Li L r dĺžok v LGS. Z. iteračného procesu vyrovnania LGS sa získali nasledovné výsledky: Odhady súradníc UB a ich štandardných odchýlok uvedené v Tab. 7: Tab. 7. Odhady súradníc z druhého robustného vyrovnania. Tab. 7. Coordinate estimations of the second robust adjustment. UB ˆX ( ) m] s ( ) mm] Y ˆ ( ) m ] s ( ) mm] ˆX ,87 4, ,973 3, ,548 5, ,8 3, ,9 5, ,36 4, ,566 3, ,1 3, ,34 4, ,06 3,3 Ŷ Rezíduá V r mm]: V r = 1,3,0 0, 0,3 4, 8,,1 0,5], 3,5,1 4,8 3, 00 1,0 14,6 4,0 3,8 0,4 8,0 3,3,1 Kvadratická forma rezíduí: kfv () = 473,70. Aposteriórna jednotková variancia meraní s 6,033 mm. 0 () = 95

7 Gabriel Weiss, Štefan Rákay, ml., Slavomír Labant a Lucia Kalatovičová: Vplyvy chybných meraní na spracovanie D lokálnych geodetických sietí Testovanie V r (Baarda, W. data snooping): Nulová hypotéza : ( ) 0 H 0 E V r =, Vri Testová štatistika: T =, i =1,,..., 3 σ q kde: i, di di T i( ) = 0,41 0,84 0,7 0,66,61 0,88 1 0,51,00 1,04 0,01 0,14 5,05 1,50 1,58 0,5 1,73 0,07 0,57 0,45 0,49 0,]. 1,08 kritická hodnota testovej štatistiky T α na hladine významnosti α = 0, 05 : T α = 3, 84. Keďže T7 > Tα, H 0 sa znovu zamieta, vektor V r je ešte stále kontaminovaný hrubou chybou v 7. observácii (dĺžky). Meraná hodnota dĺžky L 7 sa z vektora L r vyradí, vznikne vektor observácií L rr, s ktorým sa vykoná nové vyrovnanie (3. robustné MNŠ vyrovnanie) robustné MNŠ vyrovnanie Aj v tomto vyrovnaní sa určenie parametrov LGS vykonalo s váhovou funkciou (*), s identickým rozsahom iteračného procesu (j = 11) a s použitím štartovacích váh p i = 1 pre Li L rr dĺžok v LGS. Z 3. iteračného procesu vyrovnania LGS sa získali nasledovné výsledky: Odhady súradníc UB a ich štandardných odchýlok uvedené v Tab. 8: Tab. 8. Odhady súradníc z tretieho robustného vyrovnania. Tab. 8. Coordinate estimations of the third robust adjustment. UB ˆX () 3 m] s ( ) mm] Y ˆ( 3) m] s ( ) mm] ˆX ,89, ,980, ,547 3, ,84 1, ,94 3, ,38, ,565, ,13, ,33, ,064 1,9 Yˆ 3 Rezíduá V rr mm]: V rr = 0,84 3,45 1,5 0,30 1,5 0,5], 1,63 1,48 4,7 4,60 4,31 1,59 3,33 4,59 0,93,6 3,40 0,16 0,68 0,71 0,96 Kvadratická forma rezíduí: kfv (3) = 14,99. Aposteriórna jednotková variancia meraní s 3,444 mm. 0 (3) = Testovanie V rr (Baarda, W. data snooping): Nulová hypotéza H 0 : E( V rr ) = 0, Vrri Testová štatistika: T =, i = 1,,..., σ q kde: i, di di T i( 3) = 0,7 0,47 0,9 1,5 0,61 0,55 1,51 0,87 1,77 0,31 0,84 1,57 1,94 0,3 0,53 0,8 0,04 0,3 0,18 0,5]. 0,88 0,5 Kritická hodnota testovej štatistiky T α na hladine významnosti α = 0, 05 : T α = 3,

8 Acta Montanistica Slovaca Ročník 13 (008), číslo 3, V 3. robustnom vyrovnaní pre všetky T i( 3) je T i ( 3 ) < Tα, teda H 0 sa nezamieta. Vektor V rr predstavuje dekontaminovaný pôvodný vektor V od vychýlených hodnôt V 7,V9, vzťahujúcich sa na observácie L 7, L9 zaťažené hrubými chybami. 3. Poznatky z riešení Postup väzbového a robustného vyrovnania LGS pre získanie spoľahlivých výsledok (bez vplyvu chybami zaťažených dĺžok L, L 9 7 sa opakoval 3x podľa schémy uvedenej v Tab. 9: Vyrovnanie 1. L. L Tab. 9. Schéma postupu vyrovnania. Tab. 9. Scheme of the adjustment process. Testuje indikované chybné dĺžky vo vyrovnaniach: MNŠ ROB L L 7, L9, L0, eliminácia L 9 L 7, L 9, eliminácia 9 L 7, L 9, eliminácia 7 L L 3, L7, L9, eliminácia L 7 3. L 0 0 Z riešení sa získali výsledky (len najaktuálnejších parametrov): vyrovnané súradnice ( Xˆ Yˆ ) UB a ich štandardné odchýlky ( s X ˆ s Y ˆ ) UB z 1.,. a 3. vyrovnania vykonaného MNŠ väzbovým postupom a iteračne váhovaným robustným MNŠ postupom. Prehľad odhadov ( Xˆ Yˆ ) UB a ich štandardných odchýlok ( s X ˆ s Y ˆ ) UB z 1.,. a 3. vyrovnania väzbového a robustného postupu dáva Tab. 10. Postup Bod ( ˆYˆ ) m] Väzbové MNŠ X ( ) mm] s ( ˆYˆ ) m] ˆ s X Yˆ Tab. 10. Výsledky vyrovnaní. Tab. 10. Results of adjustments. Robustné MNŠ (váhová funkcia: SOHA, iter = 11) X ( s ) mm] , ,973 6,9 4, , ,980,5 1, , ,87 7,5 4, , ,83,8 1,5 ( L,1) , ,37 7,5 5, , ,33,8, , ,15 5,5 5, , ,14,0 1, , ,065 6,3 4, , ,061,3 1,7 ˆ s X Yˆ , ,97 4,8 3, , ,973 4,9 3, , ,81 5, 3, , ,8 5,3 3,4 ( L 3,1) , ,34 5, 4, , ,36 5,3 4, , ,13 3,8 3, , ,1 3,9 3, , ,06 4,4 3, , ,06 4,5 3, , ,980,4, , ,980,8, , ,83,5 1, , ,84 3,0 1,9 ( L,1) , ,36,6, , ,38 3,1, , ,14 1,9 1, , ,13,, , ,065, 1, , ,064,6 1,9 Výsledky prezentujú praktickú totožnosť vyrovnaných súradníc UB (rozdiely medzi súradnicami z väzbového a robustného vyrovnania 0 3 mm). V danom, aj v každom inom prípade, v ktorom sú chybné merania, ako MNŠ tak aj ROB postup určenia vyrovnaných súradníc UB poskytuje možnosť identifikovať chybné výsledky z meraní (dĺžky, uhly ). To umožňuje ich elimináciu z vektora L a vykonať spracovanie LGS s nekontaminovanými vplyvmi vo výsledkoch vyrovnania. 97

9 Gabriel Weiss, Štefan Rákay, ml., Slavomír Labant a Lucia Kalatovičová: Vplyvy chybných meraní na spracovanie D lokálnych geodetických sietí Záver V danom, aj v každom inom prípade, v ktorom sú chybné merania, ako metóda najmenších štvorcov tak aj robustný postup výpočtu vyrovnaných súradníc určovaných bodov poskytuje možnosť identifikovať chybné výsledky z meraní (dĺžky, uhly ). To umožňuje ich elimináciu z vektora L a vykonať spracovanie LGS s nekontaminovanými vplyvmi vo výsledkoch vyrovnania. Literatúra References Aduol, F. W. O.: Robust Geodetic Parameter Estimation under Least Squares Through Weighting on the Basis of the Mean Square Error. In: (Grafarend, E.W. et al.): Geodesy. The Challenge of the third Millenium, p Springer. Berlin Carosio, A.: Ausgleichung geodätischer Netze mit Verfahren der robusten Statistik. Verm., Photogram. Kulttechnik 93, 6, Caspary, W. F.: Concepts of Network and Deformation Analysis (nd Impr). Monograph 11. School of Surveying U.N.S.W Kensington Gašinec, J., Gašincová, S., Rajniak, M.: K problematike vyrovnania D geodetických sietí. In: Aktuálne otázky meračstva a inžinierskej geodézie: Zborník z medzinárodneho vedeckého seminára: Herľany, október 000, s ISBN Gašinec, J., Gašincová, S.: Neštandardné postupy v spracovaní meraní v lokálnych geodetických sieťach. Acta Montanistica Slovaca, roč. 10., č., s Košice ISSN Gašincová, S., Gašinec J., Trembeczká, E.: Vyrovnanie D. geodetických sietí pomocou robustných metód. In: Geodézia, kartografia a geografické informačné systémy 008: 5. Vedecko-odborná konferencia s medzinárodnou účasťou, september 008, Vysoké Tatry-Stará Lesná, Kočice ÚGK a GIS, s ISBN Grafarend, W. E, Schaffrin, B.: Ausgleichungsrechnung in linearen Modellen. B.I.Wissenschaftsverlag, Mannheim Jäger, R. et al.: Klassische und Robuste Ausgleuchungsverfahren. Wichmann Vlg, Heidelberg Kegel, G.: Zur Lokalisierung grober Datenfehler mit Hilfe robuster Ausgleichsverfahren. Vermessungstechnik 35, 10, Michalíková, F., Kozáková, Ľ., Zeleňák, F., Sisol, M.: Rádioaktivita tuhých odpadov zo spaľovania uhlia v tepelných elektrárňach. In: Odpady. roč. 6, č. 7 (006), s ISSN Soha, G.: Robusztus kiegyenlítés mérési javitástól függő súlyozással. Geodézia és kartográfia 5, Somogyi, J.: Robust estimation and their use in geodesy. Acta Geod. Geoph. Mont. Hungar., Vol 3, Stichler, S.: Untersuchung von Methoden der Identifizierung stabiler Punkte. Vermessungstechnik 33, 11, Weiss, G., Sütti, J.: Geodetické lokálne siete I. TU Košice, F BERG Weiss, G., Jakub, V., Weiss, E.: Kompatibilita geodetických bodov a jej overovanie. TU Košice, F BERG Wicki, F.: Robuste Ausgleichung geodätischer Netze. Bericht Nr. 190, ETH. Zürich Wolf, H.: Ausgleichungsrechnung I.,II. (3.Aufl) Dümmler Vlg. Bonn Zeleňák, F., Kozáková, Ľ.: Vzorkovanie. 1. vyd. Rastislav Mantič-Willcom. Košice ISBN