FUNGSI BALL TERITLAK NISBAH UNTUK LENGKUNG INTERPOLASI CEMBUNG DAN BEREKANADA. oleh SAMSUL ARIFFIN BIN ABDUL KARIM

Transcription

1 FUNGSI BALL TERITLAK NISBAH UNTUK LENGKUNG INTERPOLASI CEMBUNG DAN BEREKANADA oleh SAMSUL ARIFFIN BIN ABDUL KARIM Tess yang dserahkan untuk memenuh keperluan bag Ijazah Sarjana Sans JULAI 2008

2 PENGHARGAAN Saya ngn mengucapkan rbuan terma kash kepada penyela utama saya Prof. Madya Dr Abd. Rahn Mt. Pah d atas bmbngan, bantuan dan juga masa yang belau luangkan untuk berbncang dengan saya dsepanjang pengajan saya n. Perbncangan dengan Prof. Madya Dr Jamaludn Md Al dan Prof. Dr Ong Boon Hua berkenaan dengan pengekalan bentuk data cembung telah banyak membantu mengukuhkan pemahaman saya. Penyeldkan tess n telah dlengkapkan dengan mengadakan perbncangan dengan Dr Keth Unsworth darpada Unverst Lncoln, New Zealand. Penghargaan juga saya tujukan kepada rakan-rakan kerana sentasa memberkan sokongan dan dorongan kepada saya untuk menamatkan pengajan saya n. Kepada semua staf d Pusat Pengajan Sans Matematk terutama Enck Syed dan Puan Azzah Abdul Ran terma kash d atas pertolongan yang dberkan. Saya ngn merakamkan penghargaan kepada Unverst Sans Malaysa kerana membantu saya darpada seg kewangan d bawah skm geran penyeldkan fundamental (FRGS), nombor akaun 203/PMATHS/671040/11000 darpada Mac 2007 sehngga November Saya juga ngn mengucapkan rasa terma kash yang tak terhngga kepada ayah saya Haj Abdul Karm Mat Arf dan ahl keluarga saya Kamarzaman, Jamaludn, Jamalah, Norezea, Zulkefly, Bakr, Megat Ghazal dan saudar Masarah Bt Mustofa, yang sentasa menyokong dan mendoakan kejayaan saya.

3 SUSUNAN KANDUNGAN Muka surat PENGHARGAAN JADUAL KANDUNGAN SENARAI JADUAL SENARAI RAJAH SENARAI PENERBITAN ABSTRAK ABSTRACT v v xv xv xv BAB SATU : PENGENALAN 1.0 Pengenalan Objektf Kajan 11 BAB DUA : LENGKUNG DAN PERMUKAAN BERPARAMETER 2.0 Pengenalan Lengkung Bézer dan Permukaan Bézer Lengkung Kubk Ball dan Permukaan bkubk Ball Lengkung Sad-Ball dan Permukaan Sad-Ball Lengkung Wang-Ball dan Permukaan Wang-Ball Lengkung Delgado-Pena (DP) dan Permukaan DP Perbncangan 44 BAB TIGA : INTERPOLASI MENGEKAL BENTUK 3.0 Pengenalan Pengnterpolas Nsbah Data Berekanada dan Cembung Data Berekanada Data Cembung 49

4 3.3 Penentuan Nla Parameter Terbtan Kaedah Mn Artmetk Kaedah Mn Geometr Kaedah Mn Harmonk Sorotan Kajan Terdahulu Pengekalan Bentuk Data Berekanada Sarfraz (2000) kubk/kubk Sarfraz (2003) kuadratk/kuadratk Wang dan Tan (2004) kuartk/lnear Sorotan Kajan Terdahulu Pengekalan Bentuk Data Cembung Sarfraz (2002) kubk/kubk Duan et al. (2003) kubk/lnear Perbncangan 92 BAB EMPAT : PENGEKALAN BENTUK DATA BEREKANADA DAN CEMBUNG MENGGUNAKAN FUNGSI BALL TERITLAK (KUARTIK/LINEAR) 4.0 Pengenalan Pengnterpolas Ball Tertlak Nsbah (kuartk/lnear) Pengnterpolas Nsbah Analss Kawalan Bentuk Motvas Penggunaan Pengnterpolas kuartk/lnear Pengekalan Bentuk Data Berekanada Syarat Cukup Keselanjaran C Kaedah Pemlhan Automatk Parameter Bentuk Interpolas Mengekal Bentuk Data Berekanada Pengekalan Bentuk Data Cembung Syarat Cukup dan Perlu Kaedah Pemlhan Automatk Parameter Bentuk Interpolas Mengekal Bentuk Data Cembung 127 v

5 4.4 Perbncangan 132 BAB LIMA : PERBANDINGAN BERANGKA 5.0 Pengenalan Hasl Berangka Perbandngan untuk Pengekalan Bentuk Data 134 Berekanada Perbandngan untuk Pengekalan Bentuk Data Cembung Perbncangan 150 BAB ENAM : KESIMPULAN DAN CADANGAN KAJIAN LANJUTAN 6.0 Rumusan Kajan Lanjutan 156 SENARAI RUJUKAN 157 LAMPIRAN A: Rumus Terbtan Pertama Pengnterpolas Ball Tertlak Nsbah 163 v

6 SENARAI JADUAL Muka surat Jadual 2.1 Sfat fungs asas Bézer dan fungs asas Ball tertlak 45 Jadual 3.1 Set data berekanada Akma (1970) 62 Jadual 3.2 Set data berekanada fungs sgmodal Sarfraz (2003) 62 Jadual 3.3 Set data cembung sukuan bulatan Delbourgo (1989) 84 Jadual 3.4 Set data cembung fungs eksponen Duan et al. (2003) 84 Jadual 3.5 Set data cembung Sarfraz (2002b) 84 Jadual 4.1 Set data Sarfraz et al. (2001) 98 Jadual 4.2 Nla terbtan d bag data sgmodal 122 v

7 SENARAI RAJAH Muka surat Rajah 2.1 Fungs asas kubk Bernsten-Bézer 19 Rajah 2.2 Lengkung kubk Bézer 19 Rajah 2.3 Fungs asas kuartk Bernsten-Bézer 20 Rajah 2.4 Lengkung kuartk Bézer 20 Rajah 2.5 Fungs asas kubk Ball 23 Rajah 2.6 Lengkung kubk Ball 23 Rajah 2.7 Lengkung kuadratk Bézer yang terhasl apabla V = V bag Rajah Rajah 2.8 Fungs asas kuartk Sad-Ball 31 Rajah 2.9 Lengkung kuartk Sad-Ball 31 Rajah 2.10 Fungs asas kuartk Wang-Ball 35 Rajah 2.11 Lengkung kuartk Wang-Ball 35 Rajah 2.12 Fungs asas kubk DP 41 Rajah 2.13 Lengkung kubk DP 41 Rajah 2.14 Fungs asas kuartk DP 42 Rajah 2.15 Lengkung kuartk DP 42 Rajah 2.16 Rajah 2.17 Lengkung kubk Bézer (tebal), Ball (putus-putus) dan DP (kelabu) Lengkung kuartk atu Bézer (tebal), Sad Ball (basa),wang-ball (putus-putus) dan DP (kelabu) Rajah 3.1 (a) Lengkung nterpolas apabla v = w = 3 untuk Jadual Rajah 3.1 (b) Lengkung nterpolas mengekal bentuk untuk Jadual v

8 Rajah 3.1 (c) Lengkung nterpolas mengekal bentuk (tebal) dan lengkung spln apabla v = w = 3 (putus-putus) untuk Jadual Rajah 3.2 (a) Lengkung nterpolas apabla v = w = 3 untuk data Jadual Rajah 3.2 (b) Rajah 3.2 (c) Rajah 3.3 (a) Rajah 3.3(b) Rajah 3.4 (a) Rajah 3.4 (b) Lengkung nterpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.2 Lengkung nterpolas mengekal bentuk (tebal) dan lengkung spln apabla v = w = 3 (putus-putus) untuk Jadual 3.2 Lengkung nterpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.1 Lengkung nterpolas mengekal bentuk (tebal) dan lengkung spln apabla v = w = 3 (putus-putus) untuk Jadual 3.1 Lengkung nterpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.2 Lengkung nterpolas mengekal bentuk (tebal) dan lengkung spln apabla v = w = 3 (putus-putus) untuk Jadual Rajah 3.5 (a) Lengkung kuartk Bézer apabla α = β = 1 untuk Jadual Rajah 3.5 (b) Rajah 3.5 (c) Lengkung nterpolas mengekal bentuk menggunakan skema Wang & Tan (2004) untuk Jadual 3.1 Lengkung nterpolas mengekal bentuk Wang & Tan (2004) (tebal) dan lengkung kuartk Bézer (kelabu) untuk Jadual Rajah 3.6 (a) Lengkung kuartk Bézer apabla α = β = 1 untuk Jadual Rajah 3.6 (b) Rajah 3.6 (c) Lengkung nterpolas mengekal bentuk menggunakan skema Wang & Tan (2004) untuk Jadual 3.2 Lengkung nterpolas mengekal bentuk Wang & Tan (2004) (tebal) dan lengkung kuartk Bézer (kelabu) untuk Jadual v

9 Rajah 3.7 (a) Lengkung kubk spln apabla v = w = 3 untuk Jadual Rajah 3.7 (b) Interpolas mengekal bentuk data menggunakan skema Sarfraz (2002b) untuk Jadual Rajah 3.8 (a) Lengkung kubk spln apabla v = w = 3 untuk Jadual Rajah 3.8 (b) Interpolas mengekal bentuk data menggunakan skema Sarfraz (2002b) untuk Jadual Rajah 3.9 (a) Lengkung kubk spln apabla v = w = 3 untuk Jadual Rajah 3.9 (b) Rajah 3.10 Rajah 3.11 Rajah 3.12 Interpolas mengekal bentuk data menggunakan skema Sarfraz (2002b) untuk Jadual 3.5 Interpolas mengekal bentuk menggunakan skema Duan et al. (2003) untuk Jadual 3.3 Interpolas mengekal bentuk menggunakan skema Duan et al. (2003) untuk Jadual 3.4 Interpolas mengekal bentuk menggunakan skema Duan et al. (2003) untuk Jadual Rajah 4.1 (a) α = β = 1 98 Rajah 4.1 (b) α = 10, β = 1 99 Rajah 4.1 (c) α = 1, β = Rajah 4.1 (d) d = 0, α = β = 1 99 Rajah 4.1 (e) α 1000, β = = Rajah 4.1 (f) α 0.001, β = = Rajah 4.1 (g) α 10000, β = = Rajah 4.1 (h) α = 1,1,10,1, β = Rajah 4.1 () α = 1, β = 1,1,10,1 101 Rajah 4.2 Rantau keekanadaan untuk pengnterpolas Ball tertlak nsbah 105 x

10 Rajah 4.3 (a) Lengkung nterpolas apabla α = β = 1 untuk Jadual Rajah 4.3 (b) Rajah 4.3 (c) Interpolas mengekal bentuk apabla α = 1, β = 10,5,15,12,8 untuk data Jadual 3.1 Interpolas mengekal bentuk apabla α = 1, β = 10,5,15,9,3 untuk Jadual Rajah 4.3 (d) Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.1 d = 0,1.0833,6.75, ,8.4615, , dengan, { } α 0.1, , , , β = 118 Rajah 4.3 (e) Rajah 4.3 (f) Rajah 4.3 (g) Rajah 4.3 (h) Interpolas mengekal bentuk dengan d = 0,1.0833,6.75,15,10, , { } α 0.1, , , , β = untuk Jadual 3.1 Interpolas mengekal bentuk dengan d = 0,1.0833,6.75,15,15, , { } α 0.1, , , , β = untuk Jadual 3.1 Interpolas mengekal bentuk dengan d = 0,1.0833,6.75,15,12.5, , { } α 0.1, , , , β = untuk Jadual 3.1 Interpolas mengekal bentuk dengan d = 0,1.0833,6.75,15,11, , { } α 0.1, , , , β = untuk Jadual Rajah 4.4 (a) Lengkung nterpolas apabla α = β = 1 untuk Jadual x

11 Rajah 4.4 (b) Rajah 4.4 (c) Rajah 4.4 (d) Interpolas mengekal bentuk data berekanada untuk Jadual 3.2 dengan α = 1,1,1,1,1,1,10,5,1,1, β = 2, 4, 4, 4, 4, 2,1,1,15,10 Interpolas mengekal bentuk data berekanada untuk Jadual 3.2 dengan α = 1,1,1,1,1,1,15,5,1,1, β = 2, 4, 4, 4, 4, 2,1,1,15,10 Interpolas mengekal bentuk data berekanada untuk Jadual 3.2 dengan α = 1,1,1,1,1,1,15,5,1,1, β = 2, 2, 2, 2, 4, 2,1,1,15, Rajah 4.5 (a) Lengkung kuartk Ball tertlak ( e = 1) untuk Jadual Rajah 4.5 (b) Interpolas mengekal bentuk menggunakan fungs Ball tertlak nsbah untuk Jadual Rajah 4.6 (a) Lengkung kuartk Ball tertlak ( e = 1) untuk Jadual Rajah 4.6 (b) Interpolas mengekal bentuk menggunakan fungs nsbah Ball tertlak untuk Jadual Rajah 4.7 (a) Lengkung kuartk Ball tertlak ( e = 1) untuk Jadual Rajah 4.7 (b) Rajah 5.1 (a) Rajah 5.1 (b) Rajah 5.1 (c) Interpolas mengekal bentuk menggunakan fungs Ball tertlak nsbah untuk Jadual 3.5 Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.1 oleh Sarfraz (2000) (tebal) dan Sarfraz (2003) (kelabu). Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.1 oleh Sarfraz (2000) (putus-putus), Sarfraz (2003) (kelabu), fungs Ball tertlak nsbah (tebal) darpada Rajah 4.3 (d) dan Wang & Tan (2004) (putus-putus tebal) Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.1 oleh Sarfraz (2000) (putus-putus), Sarfraz (2003) (kelabu), fungs Ball tertlak nsbah (tebal) darpada Rajah 4.3(e) x

12 Rajah 5.1 (d) Rajah 5.1 (e) Rajah 5.1 (f) Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.1 oleh Sarfraz (2000) (putus-putus), Sarfraz (2003) (kelabu), fungs Ball tertlak nsbah (tebal) darpada Rajah 4.3(f) Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.1 oleh Sarfraz (2000) (putus-putus), Sarfraz (2003) (kelabu), fungs Ball tertlak nsbah (tebal) darpada Rajah 4.3(g). Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.1 oleh Sarfraz (2000) (putus-putus), Sarfraz (2003) (kelabu), fungs Ball tertlak nsbah (tebal) darpada Rajah 4.3(h) Rajah 5.2 (a) Fungs sebenar sgmodal untuk Jadual Rajah 5.2 (b) Interpolas mengekal bentuk untuk data Jadual 3.2 oleh Sarfraz (2000) (tebal), Sarfraz (2003) (putusputus) dan fungs sebenar sgmodal (kelabu) darpada Rajah 5.2(a). 138 Rajah 5.2 (c) Rajah 5.2 (d) Rajah 5.2 (e) Rajah 5.2 (f) Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.2 oleh skema kuartk/lnear Ball tertlak (tebal) darpada Rajah 4.4(b), dengan fungs sebenar sgmodal (kelabu) darpada Rajah 5.2(a). Kedua-dua fungs adalah serupa. Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.2 oleh skema kuartk/lnear Ball tertlak (tebal) darpada Rajah 4.4(c) dengan fungs sebenar sgmodal (kelabu) darpada Rajah 5.2(a). Kedua-dua fungs adalah serupa. Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.2 oleh skema kuartk/lnear Ball tertlak (tebal) darpada Rajah 4.4(d) dengan fungs sebenar sgmodal (kelabu) darpada Rajah 5.2(a). Kedua-dua fungs adalah serupa. Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.2 oleh skema kuartk/lnear Ball tertlak (tebal) darpada Rajah 5.2(c), Sarfraz (2000) (kelabu) dan Sarfraz (2003) (putus-putus), dan fungs sebenar sgmodal (serupa dengan skema kuartk/lnear Ball tertlak nsbah) x

13 Rajah 5.2 (g) Rajah 5.2 (h) Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.2 oleh skema kuartk/lnear Wang & Tan (2004) (putusputus) darpada Rajah 3.6(b), dengan fungs sebenar sgmodal (tebal) darpada Rajah 5.2(a). Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.2 oleh skema kuartk/lnear Wang & Tan (2004) (putusputus) darpada Rajah 3.6(b), skema kuartk/lnear Ball tertlak (tebal) dan fungs sebenar sgmodal darpada Rajah 5.2(a) (serupa dengan skema kuartk/lnear Ball tertlak nsbah) Rajah 5.3 (a) Fungs sebenar sukuan bulatan untuk Jadual Rajah 5.3 (b) Rajah 5.3 (c) Rajah 5.3 (d) Rajah 5.3 (e) Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.3 oleh skema kuartk/lnear Ball tertlak (tebal) darpada Rajah 4.5(b) dengan fungs sebenar sukuan bulatan (putus-putus) darpada Rajah 5.3(a). Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.3 oleh skema kubk/lnear Duan et al. (2003) (tebal) darpada Rajah 3.10 dengan fungs sebenar sukuan bulatan (putus-putus) darpada Rajah 5.3(a). Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.3 oleh skema kubk/kubk Sarfraz (2002b) (tebal) darpada Rajah 3.7(b) dengan fungs sebenar sukuan bulatan (putus-putus) darpada Rajah 5.3(a). Interpolas mengekal bentuk bag Jadual 3.3 untuk kesemua skema yang telah dbncangkan dengan fungs sebenar sukuan bulatan (putus-putus) darpada Rajah 5.3(a) Rajah 5.4 (a) Fungs sebenar eskponen untuk Jadual Rajah 5.4 (b) Rajah 5.4 (c) Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.4 oleh skema kuartk/lnear Ball tertlak (tebal) darpada Rajah 4.6(b) dengan fungs sebenar eskponen (putusputus) darpada Rajah 5.4(a). Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.4 oleh skema kubk/lnear Duan et al. (2003) (tebal) darpada Rajah 3.11 dengan fungs sebenar eskponen (putusputus) darpada Rajah 5.4(a) x

14 Rajah 5.4 (d) Rajah 5.4 (e) Rajah 5.4 (f) Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.4 oleh skema kubk/kubk Sarfraz (2002b) (tebal) darpada Rajah 3.8(b) dengan fungs sebenar eskponen (putusputus) darpada Rajah 5.4(a). Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.4 oleh skema kubk/kubk Sarfraz (2002b) (kelabu) darpada Rajah 3.9(b), skema kuartk/lnear Ball tertlak darpada Rajah 4.6(b) (basa) dengan skema kubk/lnear Duan et al. (2003) (putus-putus) darpada Rajah Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.4 oleh skema kubk/kubk Sarfraz (2002b) (kelabu) darpada Rajah 3.9(b), skema kuartk/lnear Ball tertlak darpada Rajah 4.5(b) (tebal) dengan skema kubk/lnear Duan et al. (2003) darpada Rajah 3.11 (putus-putus) dan fungs sebenar eskponen (basa). Tdak banyak perbezaan antara fungs eskponen sebenar dengan skema kuartk/lnear Ball tertlak dan Duan et al. (2003) Rajah 5.5 (a) Fungs sebenar untuk Jadual Rajah 5.5 (b) Rajah 5.5 (c) Rajah 5.5 (d) Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.5 oleh skema kuartk/lnear Ball tertlak (tebal) darpada Rajah 4.7(b) dengan fungs sebenar (putus-putus) darpada Rajah 5.5(a). Kedua-dua fungs adalah serupa. Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.5 oleh skema kuartk/lnear Ball tertlak (tebal) darpada Rajah 4.7(b) dengan fungs sebenar (putus-putus) darpada Rajah 5.5(a). Kedua-dua fungs adalah serupa. Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.5 oleh skema kubk/kubk Sarfraz (2002b) (tebal) darpada Rajah 3.9(b) dengan fungs sebenar (putus-putus) darpada Rajah 5.5(a) xv

15 Rajah 5.5 (e) Interpolas mengekal bentuk untuk Jadual 3.5 oleh skema kubk/kubk Sarfraz (2002b) (kelabu) darpada Rajah 3.9(b), skema kuartk/lnear Ball tertlak darpada Rajah 4.7(b) (tebal) dengan skema kubk/lnear Duan et al. (2003) darpada Rajah 3.12 (putus-putus) dan fungs sebenar (basa). Kta dapat melhat dengan jelas skema kuartk/lnear yang dcadangkan dapat mengekal bentuk data cembung dengan lebh bak berbandng dengan skema Sarfraz (2002b) dan Duan et al. (2003) terutama dalam selang [ 1, 2 ]. 149 SENARAI PENERBITAN 1. Convexty-preservng nterpolaton by pecewse ratonal quntc generalzed Ball. 2. Ratonal Generalzed Ball Functons for Convex Interpolatng Curves xv

16 FUNGSI BALL TERITLAK NISBAH UNTUK LENGKUNG INTERPOLASI CEMBUNG DAN BEREKANADA ABSTRAK Tess n membncangkan skema nterpolas lengkung yang berasaskan fungs asas Ball tertlak (Sad-Ball) untuk menampakkan data santfk. Skema menggunakan fungs nsbah cebs dem cebs Ball tertlak dengan pengangka kuartk dan penyebut lnear, yang melbatkan dua parameter bentuk. Penuls menggunakan pengnterpolas nsbah untuk mengekal bentuk data berekanada dengan darjah keselanjaran 2 C dan mengekal bentuk data cembung dengan darjah keselanjaran C 1. Motvas utama penuls menggunakan skema kuartk/lnear terbt darpada kertas kerja Wang & Tan (2004). Fungs pengangka yang mereka gunakan adalah Bézer berdarjah kuartk. Kelebhan utama skema yang dcadangkan adalah dar aspek rantau keekanadaan yang lebh besar berbandng dengan rantau keekanadaan Wang & Tan (2004), yang membolehkan skema yang dcadangkan member hasl yang kelhatan lebh memuaskan. Algortma yang penuls kemukakan untuk mendapat nla parameter bentuk atau nla terbtan adalah secara nteraktf bag mengekal bentuk data berekanada dan cembung. Perbandngan berangka d antara skema yang dcadangkan dengan skema yang telah dhaslkan oleh Wang & Tan (2004), Sarfraz (2000, 2002b, 2003) dan Duan et al. (2003) juga dkemukakan dalam tess n. xv

17 RATIONAL GENERALIZED BALL FUNCTIONS FOR MONOTONIC AND CONVEX INTERPOLATING CURVES ABSTRACT Ths thess dscusses a curve nterpolaton scheme based on the generalzed Ball bass functons (Sad-Ball) to vsualze the scentfc data. The scheme uses pecewse generalzed Ball functons wth quartc numerator and lnear denomnator nvolvng two shape parameters. We use ratonal nterpolant to preserve the monotonc data shape wth 2 C contnuty and preserve the convex data shape wth C 1 contnuty. The man motvaton to use the quartc/lnear scheme comes from the work of Wang & Tan (2004). The numerator functon whch they used s a quartc Bézer. The man advantage of our proposed scheme s a larger monotonc regon as compared to the regon of Wang & Tan (2004), whch enables our proposed scheme to produce a better vsually pleasng result. The proposed algorthm to obtan the shape parameter values or dervatve values s done by nteractvely to preserve the monotoncty and convexty of the data. The numercal comparsons between the proposed scheme and the schemes of Wang & Tan (2004), Sarfraz (2000, 200b, 2003) and Duan et al. (2003) are presented n ths thess. xv

18 BAB 1 PENGENALAN 1.0 Pengenalan Kaedah Bézer adalah kaedah asas yang dgunakan secara meluas d dalam sstem Reka Bentuk Geometr Dbantu Komputer (CAGD) dan Reka Bentuk Dbantu Komputer/Pembuatan Dbantu Komputer (CAD/CAM) untuk tujuan memodel lengkung dan permukaan berparameter bentuk-bebas (Farn, 1996; Hoschek & Lasser, 1993). Ia telah dperkenalkan secara berasngan oleh Bézer pada tahun 1962 dan de Casteljau pada tahun 1959 (Boehm et al., 1984). Kaedah Bézer telah dgunakan d dalam sstem UNISURF (Bézer, 1972) oleh syarkat pengeluar kereta Renault. D sampng tu juga terdapat banyak pakej grafk telah menggunakan lengkung Bézer d dalam sstem CAD mereka; antaranya adalah Adobe Illustrator, CorelDraw dan menjana fon untuk PostScrpt (Farn, 1996; Farn & Hansford, 2000). Sejak beberapa dekad yang lalu kajan berkatan dengan lengkung Ball tertlak adalah amat kurang sekal. Lengkung kubk Ball telah dperkenalkan oleh Ball untuk kegunaan dalam sstem CONSURF oleh Brtsh Arcraft Corporaton d Warton (Ball, 1974, 1975, 1977). Manakala Sad (1989), Wang (1987) dan Delgado & Pena (2003) telah mengtlakkan lengkung Ball berdarjah lebh tngg darpada tga, d mana fungs asas n dberkan nama sebaga fungs asas Ball tertlak. Othman & Goldman (1997) pula membncangkan mengena fungs asas dual bag fungs asas Ball tertlak (berdarjah ganjl) yang dcadangkan oleh Sad (1989). Menurut Goodman & Sad (1991a, 1991b) penggunaan fungs asas Ball tertlak yang dperkenalkan oleh Sad (1989) mempunya beberapa kelebhan berbandng 1

19 dengan kaedah Bézer yang merupakan ntpat d dalam bdang CAGD dan CAD/CAM. Antara kelebhan kaedah Ball tertlak adalah darpada aspek pengraan yakn penjanaan lengkung dan permukaan Ball tertlak adalah lebh pantas dan cekap berbandng dengan meggunakan algortma de Casteljau bag penjanaan lengkung dan permukaan Bézer. D sampng tu juga, proses penngkatan darjah dan penurunan darjah dengan menggunakan kaedah Ball tertlak n adalah lebh pantas berbandng dengan kaedah Bézer (Goodman & Sad, 1991b). Hu et al. (1996) telah membuat kajan berkenaan dua fungs asas Ball tertlak yakn kaedah Sad (1989) dan Wang (1987), dan mereka telah menamakan semula kedua-dua fungs asas Ball tertlak n sebaga fungs asas Sad-Ball dan fungs asas Wang-Ball. D dalam kertas kerja n, mereka menunjukkan bahawa darpada aspek penjanaan lengkung berparameter dengan menggunakan kaedah Bézer, Sad-Ball dan juga Wang-Ball; kaedah yang dperkenalkan oleh Wang (1987) adalah lebh cekap kerana a mempunya kekompleksan masa lnear berbandng dengan kekompleksan masa kuadratk bag kaedah Bézer dan Sad-Ball. Namun begtu, sungguhpun kaedah Sad-Ball mempunya kekompleksan masa kuadratk sepert juga kaedah Bézer, adalah ddapat bahawa blangan operas penambahan dan pendaraban bag penjanaan lengkung Sad-Ball adalah sentasa kurang darpada blangan operas artmetk bag kaedah Bézer; yakn kaedah Sad-Ball adalah lebh cekap darpada kaedah Bézer (Sad, 1989; Hu et al., 1996). Salah satu krtera yang pentng bag penjanaan lengkung adalah sfat postf seluruh bag suatu fungs asas yang dgunakan. Goodman & Sad (1991a) telah membuktkan bahawa fungs asas Ball tertlak (Sad-Ball) adalah postf seluruh (TP) 2

20 dan juga postf seluruh ternormal (NTP). Oleh kerana fungs asas Sad-Ball adalah bersfat NTP maka bentuk lengkung Sad-Ball yang terhasl akan cuba untuk menru bentuk polgon kawalan; yakn sfat pengekalan bentuk akan dkekalkan dengan mengunakan fungs asas Sad-Ball untuk lengkung Sad-Ball (Goodman & Sad, 1991a). Sungguhpun kaedah Wang-Ball mempunya kekompleksan masa lnear, a tdak memenuh syarat sfat pengekalan bentuk yakn a tdak memenuh sfat TP dan NTP untuk lengkung Wang-Ball yang bedarjah lebh darpada tga (Delgado & Pena, 2003). Dengan yang demkan penggunaan lengkung dan permukaan Wang-Ball untuk darjah kuartk dan bkuartk ke atas tdak akan menjamn sfat pengekalan bentuk polgon akan dkekalkan (Delgado & Pena, 2003). Sungguhpun begtu terdapat kajan berkenaan dengan penggunaan lengkung dan permukaan Wang-Ball samada bentuk nsbah mahupun bukan nsbah (sla lhat (Dejdumrong et al., 2000; Dejdumrong et al., 2001; Delgado & Pena, 2002, 2006; Wang & Cheng, 2001) untuk maklumat lanjut). Delgado & Pena (2003) telah memperkenalkan fungs pengadun Ball tertlak yang baru yang dkenal sebaga fungs asas Delgado-Pena. Adalah ddapat bahawa fungs asas kubk bag kaedah Delgado & Pena (2003) tdak sama dengan fungs asas kubk Ball (1974). Dejdumrong (2007) telah menamakannya sebaga fungs asas DP. Fungs asas n mempunya beberapa kelebhan berbandng dengan fungs asas Sad- Ball dan Wang-Ball. Darpada aspek kekompleksan masa kaedah DP adalah lnear yang setandng dengan kaedah Wang-Ball akan tetap kaedah DP adalah memenuh sfat TP dan NTP (Delgado & Pena, 2003). Motvas darpada fakta bahawa fungs asas DP n mempunya sfat-sfat pengekalan bentuk yang amat dperlukan dalam proses merekabentuk untuk sstem CAGD dan CAD/CAM, Jang & Wang (2005) telah 3

21 mengkaj proses pertukaran asas dan juga penjanaan permukaan berparameter antara dua permukaan yang dbna darpada asas NTP yakn kaedah Bézer dan kaedah DP. Dejdumrong (2006) pula telah membuat kajan berkenaan dengan lengkung nsbah DP. D mana belau telah menunjukkan bahawa proses penjanaan lengkung nsbah DP adalah lebh pantas berbandng dengan kaedah de Casteljau untuk penjanaan lengkung nsbah Bézer. Dejdumrong (2006) juga mencadangkan untuk menjana lengkung nsbah Bézer, kta perlu menukarkan terlebh dahulu asas Bézer kepada asas DP (darjah yang sama) dan kemudan gunakan algortma penjanaan lengkung nsbah DP. Merujuk kepada artkel yang terbaru darpada Dejdumrong (2007), adalah ddapat bahawa polnomal DP tdak memenuh syarat sfat pengekalan bentuk bag suatu lengkung berparameter. Belau mendapat bahawa polnomal Sad-Ball mengekal bentuk bag lengkung Sad-Ball dengan lebh bak berbandng dengan pengekalan bentuk lengkung Wang-Ball dan lengkung DP dengan menggunakan polnomal Wang- Ball dan polnomal DP masng-masng. Dejdumrong (2007) telah membuat usulan bahawa polnomal Wang-Ball dan polnomal DP tdak memenuh syarat sfat pengekalan bentuk kerana ttk-ttk kawalan kedua-dua lengkung Wang-Ball dan DP tdak dapat mengekal bentuk lengkung yang akan terhasl. Hal n akan dapat kta lhat dengan jelas dalam Bab 2 nant. Sla rujuk Dejdumrong (2007) untuk maklumat lanjut berkenaan dengan sfat pengekalan bentuk lengkung n. Salah satu kajan yang amat pentng d dalam bdang CAGD adalah mengekal bentuk data. Pengekalan bentuk data merupakan satu kaedah bagamana kta boleh mengekalkan sfat data yang hendak dnterpolas ataupun mendapatkan penghampran bag set data dengan mengekalkan sfat-sfat geometr yang dmlk oleh data tu. 4

22 Terdapat tga sfat data yang amat dperlukan dalam aplkas atu postf, berekanada dan cembung. Kajan dalam tess n akan memfokuskan berkenaan dengan nterpolas mengekal bentuk data skalar berekanada dan cembung menggunakan skema pengnterpolas spln nsbah dalam bentuk kuartk/lnear (pengangka adalah fungs Sad- Ball berdarjah kuartk manakala penyebut adalah fungs lnear.) Penjanaan pengekalan bentuk suatu lengkung dengan darjah keselanjaran tertentu yang melalu kesemua ttk data merupakan masalah yang amat pentng ddalam bdang nterpolas. Penggambaran santfk merupakan perwaklan secara grafk bag sebarang data untuk membolehkan para pengguna dapat memaham dan mendapat gambaran berkenaan dengan corak data yang dberkan tu. Kajan sepert grafk komputer, pemprosesan mej, pengawalan data metereolog, pemetaan, plot data, luksan dan banyak lag merupakan ntpat bdang penggambaran santfk (Sarfraz, 2000, 2008). Adalah menjad suatu keperluan untuk ahl matematk dan pengguna CAD untuk menjana fungs yang lcn yang melalu kesemua ttk data yang dberkan dengan mengekalkan sfat yang dmlk oleh data tu atu kepostfan, keeekanadan dan kecembungan; yakn pengnterpolas mengekal bentuk yang lcn dan selanjar (Cravero & Mann, 2003). Terdapat pelbaga kaedah yang efektf yang telah dbna untuk membentuk pengnterpolas bag mengekal bentuk data yang memenuh darjah keselanjaran 1 C atau C 2 (sebaga contoh, sla lhat Goodman (2002) dan senara rujukan d dalamnya). Antara kaedah-kaedah tu adalah menggunakan polnomal dan juga menggunakan kaedah tegangan (antaranya adalah menggunakan fungs nsbah dan 5

23 spln pemberat dan juga spln-eksponen dalam tegangan) (Foley, 1986; Cravero & Mann, 2003; Kvasov, 2000; Goodman, 2002). Kaedah yang basa dgunakan untuk menggambarkan data santfk adalah fungs 2 spln. Walaupun fungs spln adalah lcn kerana a mempunya darjah keselanjaran C, a tdak banyak membantu d dalam mengnterpolas bentuk bag data. Beberapa keputusan yang tak djangkakan akan terhasl, antaranya a tdak menepat bentuk data yang hendak dnterpolas, juga akan wujud masalah ayunan atau wggles dalam nterpolas lengkung yang dhaslkan kelak (Sarfraz, 2000, 2008; Kvasov, 2000). Dengan yang demkan skema pengekalan bentuk data sememangnya amat dperlukan bag mengatas masalah n. Kta ngnkan satu skema nterpolas yang akan menghapuskan kesemua sfat ayunan tu dan juga sfat geometr data mest dkekalkan. Inlah objektf utama kajan berkenaan dengan pengekalan bentuk lengkung. Masalah mengekal bentuk data telah banyak dkaj oleh penyeldk. Frstch & Carlson (1980) dan Frstch & Butland (1984) telah membncangkan pengekalan bentuk data berekanada dengan menggunakan polnomal kubk spln C 1 cebs-dem cebs. Kaedah yang dperkenalkan oleh Frstch & Carlson (1980) telah ddokumentaskan d dalam Matlab yang dkenal sebaga fungs PCHIP (Pecewse Cubc Hermte Interpolatng Polynomal). Frstch & Carlson (1980) telah memberkan syarat cukup dan perlu bag terbtan pertama d untuk membolehkan polnomal kubk menjad berekanada. Untuk data yang menokok secara berekanada, rantau keekanadaan Frstch & Carlson (1980) melput elps dan juga segempat [ 0,3] [ 0,3]. Hayman (1983) dan Huynh (1993) juga telah membncangkan pengekalan data berekanada dengan menggunakan polnomal kubk. Dougherty et al. (1989) pula telah membncangkan 6

24 mengena pengekalan bentuk data berekanada dan cembung dengan menggunakan fungs Hermte berdarjah kubk dan kuntk. Passow & Rouler (1977) telah membuat kajan berkenaan dengan pengekalan bentuk data cembung dan berekanada menggunakan kaedah geometr (Lam, 1990). Algortma untuk penjanaan nterpolas mengekal bentuk menggunakan polnomal kuadratk telah dbncangkan d dalam McAllster dan Rouler (1981) dan dea mereka telah dlanjutkan oleh Schumaker (1983), De Vore & Yan (1986), Lam (1990) dan Lahtnen (1996). Brodle & Butt (1991) telah menggunakan polnomal kubk dengan menyeltkan knot tambahan untuk mengekal bentuk data cembung. Schumaker (1983) pula menggunakan polnomal kuadratk dengan menyeltkan knot tambahan untuk mengekal bentuk data cembung dan berekanada dengan darjah keselanjaran 1 C. Sebaga satu alternatf terhadap penggunaan polnomal untuk mengekal bentuk data, kaedah spln nsbah telah dperkenalkan. Terdapat pelbaga jens skema pengnterpolas nsbah yang telah dperkenalkan untuk mengekal bentuk data berekanada dan cembung. Skema kuadratk/kuadratk telah dperkenalkan oleh Gregory dan Delbourgo (1982) untuk mengekal bentuk data berekanada dengan mencapa darjah keselanjaran 1 C. Idea n telah mereka kembangkan untuk mengekal bentuk data berekanada yang mencapa darjah keselanjaran C 2 (Delbourgo & Gregory, 1983). Skema kubk/kuadratk telah dperkenalkan oleh Delbourgo & Gregory (1985b) untuk mengekal bentuk data berekanada dan cembung yang mencapa darjah keselanjaran Parameter tegangan/bentuk r dalam penakrfan pengnterpolas spln nsbah mereka dgunakan untuk mengekal bentuk data berekanada dan cembung. Skema n juga akan terturun kepada skema kuadratk/kuadratk Gregory & Delbourgo (1982) dan Delbourgo & Gregory (1983) dengan memlh parameter tegangan/bentuk r yang sesua. Skema 1 C. 7

25 n juga telah dgunakan oleh Gregory (1986) untuk mengekal bentuk data berekanada dan cembung yang mencapa darjah keselanjaran 2 C. Gregory & Delbourgo (1985a) telah mencadangkan kaedah untuk menganggar nla parameter terbtan bag mengekal bentuk data berekanada dengan menggunakan skema yang telah mereka perkenalkan d dalam Gregory & Delbourgo (1982). Delbourgo (1989) pula telah mengekal bentuk data cembung dengan menggunakan skema pengnterpolas kuadratk/lnear dengan darjah keselanjaran yang dcapa adalah darjah keselanjaran 1 C. Analss pengekalan bentuk data cembung dengan 2 C juga dberkan. Delbourgo (1989) telah menunjukkan bahawa pengnterpolas nsbah yang belau gunakan adalah kes stmewa darpada skema kubk/kuadratk dalam Delbourgo & Gregory (1985b). Kelebhan utama skema pengnterpolas nsbah Gregory & Delbourgo (1982,1983,1985b) n adalah kekangan ke atas terbtan pertama hanyalah d > 0 yang berbeza dengan skema Frstch & Carlson (1980). Tan et al. (2005) pula telah menggunakan skema kubk/kuadratk yang berbeza dengan skema yang dpelopor oleh Delbourgo & Gregory (1985b). Mereka mengekal bentuk data cembung dengan mengenakan kekangan terhadap dua parameter bentuk u, v. Idea mereka n telah dlanjutkan oleh Hussan & Hussan (2007) untuk mengekal bentuk data berekanada bag lengkung dan permukaan. Skema kubk/kubk atu fungs kubk untuk pengangka dan fungs kubk untuk penyebut telah dgunakan oleh Ismal (1992). Belau telah mengekal bentuk berekanada dengan darjah keselanjaran 2 C dengan mengekang parameter bentuk 2 r dan skema n bersfat tempatan. Gregory & Sarfraz (1990) telah menggunakan skema kubk/kuadratk Delbourgo & Gregory (1985b) untuk mengekal bentuk data berparameter dengan darjah keselanjaran 2 C. Sarfraz (1992) telah menggunakan skema kubk/kubk untuk mengekal bentuk data berparameter dengan mengambl dua 8

26 parameter bentuk v, w. Sarfraz (2000) pula melanjutkan dea n untuk mengekal data berekanada yang skalar dengan darjah keselanjaran C 2. Sarfraz et al. (2001) telah menggunakan skema Sarfraz (2000) untuk mengekal data postf dan berekanada dengan darjah keselanjaran 1 C. Skema pengnterpolas nsbah yang mereka perkenalkan n mempertmbangkan data skalar. Sarfraz (2003) telah menunjukkan bahawa skema kubk/kubk akan terturun kepada skema kuadratk/kuadratk dengan pemlhan parameter bentuk v, w yang sesua. Sarfraz (2002b) pula telah menggunakan skema kubk/kubk darpada Sarfraz (2000) untuk mengekal bentuk data cembung dengan darjah keselanjaran 1 C. Pengekalan bentuk data berekanada dan cembung akan dapat dcapa dengan menghtung nla kedua-dua parameter bentuk n yang membolehkan pengnterpolas spln nsbah menjad berekanada atau cembung dalam setap selang. Kemudan nterpolas lengkung akan djana secara cebs-dem cebs dengan darjah keselanjaran tertentu. Skema kubk/lnear atu fungs kubk untuk pengangka dan fungs lnear untuk penyebut telah dperkenalkan oleh Duan et al. (1999a, 1999b). Idea n telah mereka lanjutkan untuk mengekal bentuk data cembung dan juga mengekal data d bawah syarat kekangan tertentu yang mencapa darjah keselanjaran 1 C atau 2 C (Duan et al., 2003). Analss ralat untuk mengnterpolas set data darpada suatu fungs dengan menggunakan skema kubk/lnear pula telah dbncangkan d dalam Duan et al. (2007). Motvas utama skema kubk/lnear yang telah dperkenalkan oleh Duan et al. (1999a, 1999b) adalah sekranya kta ngn mengnterpolas ttk darpada suatu fungs dan juga nla terbtan tdak dketahu, bagamanakah kta harus mengekal bentuk data tu? Mereka mencadangkan agar nla terbtan tu dkra darpada terbtan pertama fungs tersebut. Untuk mengekal bentuk data cembung pula mereka telah memberkan syarat 9

27 cukup dan perlu bag membolehkan lengkung pengnterpolas nsbah menjad cembung dalam setap selang. Wang & Tan (2004) yang menjad motvas kepada penuls, pula telah memperkenalkan skema kuartk/lnear atu fungs kuartk untuk pengangka dan fungs lnear untuk penyebut bag mengekal bentuk data berekanada yang mencapa darjah keselanjaran 2 C. Dua parameter bentuk, α β dalam penakrfan pengnterpolas nsbah n akan d kekang bag mengekal bentuk data berekanada. Wang & Tan (2004) menyatakan bahawa lengkung nterpolas akan mencapa darjah keselanjaran C 2 dengan memlh nla terbtan d yang betul. Akan dbncangkan kelak kaedah yang mereka perkenalkan n mempunya beberapa kekurangan. Pada dasarnya skema pengnterpolas nsbah dbna dengan mengambl bentuk kubk Hermte bag pengangka. Sebaga contoh, skema kubk/kubk oleh Sarfraz et al. (2001) mengambl skema nsbah Bernsten-Bézer bedarjah kubk bag pengangka dan penyebut, d mana fungs pengangka adalah dalam bentuk Hermte. Begtulah juga skema kuartk/lnear oleh Wang & Tan (2004) d mana mereka telah menakrfkan pengangka dalam bentuk Bézer berdarjah kuartk. Motvas darpada kaedah yang telah dgunakan oleh Wang & Tan (2004), penuls akan menggunakan fungs asas Ball tertlak kuartk untuk pengangka manakala fungs lnear untuk penyebut. Penuls juga akan mengatas masalah dan juga kekurangan kaedah yang telah dperkenakan oleh Wang & Tan (2004) d dalam mengekal bentuk data berekanada yang mencapa darjah keselanjaran 2 C. Dua parameter bentuk, α β dalam penakrfan pengnterpolas nsbah n akan dtentukan bag mengekal bentuk data berekanada. Darpada beberapa aspek yang akan dbncangkan kelak, skema 10

28 kuartk/lnear dengan menggunakan fungs nsbah Ball tertlak yang penuls cadangkan n adalah setandng dengan kaedah Sarfraz (2000, 2003) untuk mengekal bentuk data berekanada dengan darjah keselanjaran C 2. Penuls juga akan membncangkan pengekalan bentuk data cembung dengan menggunakan fungs Ball tertlak nsbah atu skema kuartk/lnear. Darjah keselanjaran yang dcapa adalah 1 C. Pengekalan bentuk data cembung dcapa dengan mendapatkan nla parameter bentuk α, β yang membolehkan pengnterpolas nsbah menjad cembung dalam setap selang dengan yang demkan sfat kecembungan data akan dkekalkan. 1.1 Objektf Kajan Tujuan utama tess n adalah membuat kajan berkenaan dengan fungs asas Ball tertlak dan menggunakannya untuk mengekal bentuk data berekanada dan cembung. Fungs asas Ball tertlak n telah dperkenalkan oleh Sad (1989), Wang (1987) dan Delgado & Pena (2003). Sebaga permulaan kajan akan fokus kepada penakrfan lengkung kubk dan kuartk menggunakan fungs asas Bézer dan Sad-Ball, Wang-Ball dan DP masng-masng untuk fungs asas Ball tertlak yang dperkenalkan oleh Sad (1989), Wang (1987) dan Delgado & Pena (2003). Permukaan berparameter Bézer dan Ball tertlak juga akan dbncangkan Penuls juga akan menunjukkan contoh berangka bahawa lengkung DP tdak mengekal bentuk polgon kawalannya sebagamana yang telah dusulkan oleh Dejdumrong (2007). Kemudan penuls akan menggunakan fungs asas Ball tertlak yakn Sad-Ball untuk membentuk satu skema pengnterpolas nsbah yang berbentuk kuartk/lnear bag mengekal bentuk data berekanada dengan darjah keselanjaran 2 C dan mengekal bentuk data cembung dengan darjah keselanjaran 1 C. Penuls akan menggunakan fungs asas 11

29 Sad-Ball berdarjah kuartk untuk pengangka manakala fungs lnear sebaga penyebut. Skema yang penuls perkenalkan n adalah setandng dengan kaedah Sarfraz (2000, 2002b, 2003) dan Duan et al. (2003) serta memberkan hasl yang kelhatan lebh memuaskan berbandng dengan skema Wang & Tan (2004). Penuls menggunakan fungs asas Ball tertlak (Sad-Ball) untuk menakrfkan skema pengnterpolas nsbah kuartk/lnear adalah kerana tada kajan untuk mengekal bentuk data sama ada berekanada, cembung atau postf dengan menggunakan fungs asas Ball tertlak. Pada kebasaannya, kajan mengekal bentuk data hanya menggunakan fungs kubk Hermte, kuntk Hermte, Bézer dan fungs spln. Tess n dbahagkan kepada 6 bab. Bab 2 akan membncangkan mengena lengkung dan permukaan berparameter bag darjah kubk dan kuartk untuk kaedah Bézer, Sad-Ball, Wang-Ball dan DP. Bab 3 akan membncangkan mengena nterpolas mengekal bentuk data berekanada dan cembung. Bahagan 3.1 akan membncangkan takrf pengnterpolas nsbah. Takrfan data berekanada dan cembung akan dbncangkan dalam bahagan 3.2. Manakala pengganggaran nla terbtan d akan dbncangkan dalam bahagan 3.3. Pengekalan bentuk data berekanada yang memenuh darjah keselanjaran 2 C dengan menggunakan skema kubk/kubk oleh Sarfraz (2000, 2003) dan skema kuartk/lnear oleh Wang & Tan (2004) akan dbncangkan dalam bahagan 3.4. Seterusnya pengekalan bentuk data cembung dengan darjah keselanjaran yang dcapa adalah C 1 akan dbncangkan dalam bahagan 3.5. Penuls akan membncangkan skema kubk/kubk oleh Sarfraz (2002b) dan skema kubk/lnear oleh Duan et al. (2003). Beberapa contoh berangka akan dberkan. 12

30 Pengekalan bentuk data berekanada dan cembung dengan menggunakan fungs nsbah Ball tertlak berbentuk kuartk/lnear d mana pengangka adalah fungs asas kuartk Sad-Ball manakala penyebut adalah fungs lnear, akan dbncangkan dalam Bab 4. Dalam bahagan 4.1, penuls bermula dengan memberkan takrfan pengnterpolas nsbah berbentuk kuartk/lnear yang akan dgunakan untuk mengekal bentuk data berekanada dan cembung kelak. Kemudan penuls akan membncangkan mengena analss kawalan bentuk terhadap skema pengnterpolas nsbah yang dcadangkan n. Analss kawalan bentuk amat pentng sekal kerana a membolehkan kta menukar bentuk lengkung nterpolas sepert yang kta ngn dengan hanya memanpulas nla parameter bentuk α, β. Bahagan 4.2 pula akan membncangkan mengena syarat cukup untuk membolehkan pengnterpolas nsbah n mengekal bentuk data berekanada dan juga mendapatkan syarat bag lengkung nterpolas mencapa darjah keselanjaran C 2. Penuls juga mencadangkan algortma untuk penjanaan lengkung nterpolas yang mengekal bentuk data berekanada dengan darjah keselanjaran 2 C. Akan dtunjukkan kelak bahawa skema yang penuls cadangkan n adalah bersfat tempatan. Pengekalan bentuk data cembung pula akan dbncangkan dalam bahagan 4.3. Syarat cukup dan perlu untuk pengnterpolas nsbah menjad cembung akan dbncangkan dahulu dkut dengan mendapatkan kaedah automatk dan praktkal bag menghtung nla parameter bentuk α, β. Sfat kecembungan data yang hendak dnterpolaskan akan dapat dkekalkan dengan darjah keselanjaran berangka akan dberkan. 1 C. Beberapa contoh Bab 5 pula akan memfokuskan kepada perbandngan secara berangka bag kesemua skema pengnterpolas nsbah yang telah dbncangkan dalam Bab 3 dan Bab 4. Darpada contoh berangka yang dperoleh dalam bahagan 5.1 dan bahagan 5.2, 13

31 jelas sekal bahawa skema yang dcadangkan dalam tess n atu skema pengnterpolas nsbah berbentuk kuartk/lnear dengan menggunakan fungs Ball tertlak nsbah setandng dengan skema Sarfraz (2000, 2002b, 2003) dan Duan et al. (2003). Bab 6 pula akan membncangkan kesmpulan darpada dapatan hasl kajan dalam tess n dan juga penuls mencadangkan beberapa kajan lanjutan untuk mengekal bentuk data sama ada data cembung atau berekanada. 14

32 BAB 2 LENGKUNG DAN PERMUKAAN BERPARAMETER 2.0 Pengenalan Bab n akan menerangkan beberapa kaedah penjanaan lengkung berparameter dan permukaan berparameter dengan menggunakan kaedah Bézer, Sad-Ball, Wang- Ball dan DP masng-masng. Andakan sstem fungs asas { g 0, g1,..., g n } dengan ttk kawalan { V 0, V1,..., V n } dalam s R untuk suatu nteger postf yakn s 2, maka suatu lengkung P dtakrfkan oleh persamaan yang berkut: P n ( u) = V g ( u) = 0 (2.1) dengan 0 u 1. Lengkung n dnamakan sebaga lengkung berparameter. Sekranya fungs asas { g g,..., } 0, 1 g n memenuh syarat petak kesaan dan syarat kepostfan, yakn n = 0 g = 1 dan g ( u) 0 (2.2) Maka fungs asas n dkenal sebaga fungs pengadun. Kedua-dua sfat n amat pentng sekal kerana a menjamn lengkung yang terhasl kelak akan terletak d dalam hul cembung polgon kawalan yang dbentuk darpada ttk-ttk kawalan { V V,..., } 0, 1 V n. Iatu bentuk lengkung yang terhasl akan lebh mudah dramal apabla fungs asas bag lengkung tu memenuh sfat kedua-dua sfat n (Farn, 1996; Hoschek & Lasser, 1993). 2.1 Lengkung Bézer dan Permukaan Bézer Lengkung berparameter Bézer berdarjah n dengan + 1 adalah dtakrfkan sebaga (Farn, 1996) n ttk kawalan { } = 0 n V, 15

33 ( ) = n n Pu VB ( u ), [ 0,1] = 0 u (2.3) n { } = 0 n Fungs asas Bézer adalah ( ) ( ) n B = (1 ) u u u n n dengan pekal bnomal dtakrfkan sebaga B u atu polnomal Bernsten, yang dtakrfkan oleh:, [ 0,1] u (2.4) n! n =!( n )! 0, jka 0, lan-lan n n Ttk { } = 0 V dkenal sebaga ttk kawalan lengkung Bézer atau a juga dsebut ttk Bézer. Ttk-ttk kawalan n akan membentuk polgon kawalan dengan menyambungkan gars lurus antara ttk V ke V + 1 untuk = 0,1,..., n 1 (Farn, 1996; Hoschek & Lasser, 1993). Farn (1996) telah memberkan dengan lengkap sekal sfat-sfat yang dmlk oleh lengkung Bézer. Berkut dsenarakan beberapa cr yang dpunya oleh lengkung Bézer (untuk maklumat yang lengkap, sla rujuk Farn (1996)): o tak varans dbawah suatu transformas afn n = 0 n n o hul cembung kerana B ( u ) = 1 dan B ( u ) 0, u [ 0,1] o nterpolas ttk-ttk hujung yakn P( 0 ) = V 0 and P( ) n n n o smetr atu VB ( u) = V B ( 1 u ) n = 0 = 0 n 1 = V n 16

34 o kejtuan lnear. Katakan bucu polgon V adalah daghkan dsepanjang gars lurus yang menghubungkan ttk p dan ttk q, maka V = 1 p+ q; n n = 0,..., n Permukaan Bézer dtakrfkan dengan menggunakan hasl darab tensor. Ia dberkan oleh m n dengan ( ) ( ) m n m n, j j = 0 j= 0 P( u, v) V B ( u) B ( v ),, [ 0,1] = uv (2.5) B u, B v : = 0,..., m; j = 0,..., n merupakan polnomal Bernsten berdarjah j m dan n masng-masng. Manakala { },, j mn V adalah ttk-ttk kawalan bag permukan, j= 0 Bézer. Ttk-ttk kawalan n akan membentuk polhedron kawalan bag permukaan Bézer. Permukaan Bézer yang terjana akan cuba untuk menru bentuk polhedron kawalan n dengan yang demkan kta peroleh suatu permukaan penghampran kepada polhedron kawalan tu. Untuk tujuan tess n, kta akan hanya menggunakan lengkung Bézer berdarjah tga (kubk) dan berdarjah empat (kuartk). Fungs asas kubk Bézer dberkan sebaga: ( ) ( 1 ), ( ) 3( 1 ) ( ) 31 ( ), ( ) B0 u = u B1 u = u u B2 u = u u B3 u = u (2.6) Manakala lengkung kubk Bézer dan permukaan bkubk Bézer masng-masng dtakrfkan oleh 3 3 Pu ( ) VB u (2.7) = = 0 ( ) 17

35 dan ( ) ( ) ( ) P u v = V B u B v (2.8),, j j = 0 j= 0 dengan cara yang sama kta akan peroleh lengkung kuartk Bézer dengan fungs asas Bézer dtakrfkan sebaga: ( ) ( 1 ), ( ) 4( 1 ), ( ) 6( 1 ) ( ) 41 ( ), ( ) B0 u = u B1 u = u u B2 u = u u B3 u = u u B4 u = u Algortma de Casteljau dgunakan untuk menjana lengkung Bézer dan permukaan Bézer. Berkut dnyatakan algortma de Casteljau bag menjana lengkung Bézer berdarjah n. Algortma 2.1. [Algortma de Casteljau, Farn (1996)] Step 1. Dberkan ttk-ttk kawalan { V } = 0 n Step 2. Untuk Step 3. Untuk Untuk 0 = 0,1,., n, set V = V = 1,., j n = 0,1,., n V j = 1 1 ( 1 ) u V + uv j j+ 1 n Step 4. Ttk yang dkehendak adalah dberkan oleh ( u) = V P 0 Rajah 2.1 menunjukkan fungs asas kubk Bézer, Rajah 2.2 menunjukkan lengkung kubk Bézer manakala Rajah 2.3 menunjukkan fungs asas kuartk bag Bézer dan Rajah 2.4 menunjukkan lengkung kuartk Bézer. 18

36 1 B 3 3 u 0.8 B 0 3 u B 1 3 u B 2 3 u Rajah 2.1: Fungs asas kubk Bernsten-Bézer V 1 V 2 V 0 V 3 Rajah 2.2: Lengkung kubk Bézer 19

37 1 B 4 4 u 0.8 B 0 4 u B 1 4 u B 2 4 u B 3 4 u Rajah 2.3: Fungs asas kuartk Bernsten-Bézer V 1 V 3 V 0 V 4 V 2 Rajah 2.4: Lengkung kuartk Bézer 20

38 2.2 Lengkung Kubk Ball dan Permukaan Bkubk Ball Ball (1974,1975,1977) telah menggunakan fungs asas yang berlanan sama sekal dengan kaedah yang dpelopor oleh Bézer untuk sstem UNISURF d Renault. Ball telah menggunakan fungs asas kubk belau d dalam sstem CONSURF yang telah dgunakan oleh bekas syarkat Penerbangan Brtsh d Warton. Fungs asas yang Ball gunakan adalah polnomal kubk yang berbeza dengan polnomal kubk Bernsten yang dgunakan dalam penakrfan kaedah Bézer. Namun begtu, fungs asas kubk Ball n mash memlk sfat pengekalan bentuk yang sama dengan polnomal Bernsten (Goodman & Sad, 1991b). Satu kelebhan fungs asas kubk Ball berbandng dengan fumgs asas kubk Bézer adalah apabla ttk kawalan pedalaman bag lengkung kubk Ball bertndh, maka fungs kubk Ball akan terturun kepada bentuk kuadratk yakn bentuk kuadratk Bézer. Sfat nlah yang memberkan Sad (1989) motvas untuk menerbtkan rumus fungs asas Ball tertlak untuk sebarang darjah ganjl yang akan kta bncang pada bahagan yang berkut. Dberkan ttk-ttk kawalan V, = 0,1, 2,3 pada satah, lengkung kubk Ball dtakrfkan oleh: 3 3 ( ) β ( ) B u = V u, 0 u 1 (2.9) = 0 dengan fungs asas kubk Ball dberkan sebaga β β ( u) ( 1 u), β ( u) 2u( 1 u) 2 2 ( u) 2u ( 1 u), β ( u) u 2 2 = = = = (2.10) Lengkung B ( ) 3 u akan member penghampran kepada polgon kawalan yang dbentuk darpada menyambungkan gars lurus antara ttk V ke V + 1 untuk = 0,1, 2. Fungs asas Ball, ( ): 0,1,2,3 β = u mempunya sfat-sfat yang berkut: 21

39 ) β ( ) 0 u, = 0,1, 2,3 (sfat kepostfan) 3 = 0 ) β ( ) u = 1 (petak kesaan) 3 3 ) β ( ) = ( ) 1 u u, = 0,1,...3 (smetr) β3 untuk 0 1 u. Sfat-sfat d atas menunjukkan bahawa B ( ) 3 u adalah kombnas cembng bag ttk kawalan V, yakn lengkung kub Ball akan terletak d dalam hul cembung polgon kawalan Ball. Jka V1 = V 2, maka lengkung kubk Ball aan terturun kepada lengkung kuadratk Bézer (Sad, 1989). Rajah 2.5 menunjukkan fungs asas kubk Ball. Rajah 2.6 menunjukkan lengkung kubk Ball manakala Rajah 2.7 menunjukan lengkung kuadratk Bézer yang tehasl apabla kta meletakkan V 1 = V 2 pada Rajah 2.6. Permukaan bkubk Ball dtakrfkan dengan mengunakan hasl darab tensor yang sama dengan penakrfan permukaan bkubk Bézer. Permukan bkubk Ball dberkan sebaga: 3 3 B ( uv, ) V β ( u) β ( v ), [ 0,1] = j j 3,3, = 0 j= 0 dengan ( u), β ( u) : = 0,...,3; j = 0,..., 3 j uv (2.11) β masng-masng merupakan polnomal kubk Ball dan { } 3, j, j = 0 V merupakan ttk kawalan bag permukan bkubk Ball. Ttk-ttk kawalan n akan membentuk polhedron kawalan. Pemukaan bkubk Ball akan memberkan penghampran kepada bentuk polhedron kawalan tu. 22

40 1 Β 3 u 0.8 Β 0 u Β 1 u Β 2 u Rajah 2.5: Fungs asas kubk Ball V 1 V 2 V 0 V 3 Rajah 2.6: Lengkung kubk Ball 23

41 V 1 V 0 V 3 Rajah 2.7: Lengkung kuadratk Bézer yang terhasl apabla V1 = V 2 bag Rajah Lengkung Sad-Ball dan Permukan Sad-Ball D dalam kertas kerja Sad (1989), fungs asas Ball telah dtlakkan kepada polnomal sebarang darjah n yang ganjl dengan meggunakan perwaklan tak tersrat nterpolas Hermte (Sad, 1989). Sungguhpun Sad (1989) menakrfkan fungs asas Ball tertlak berdarjah ganjl, akan tetap fungs asas Ball tertlak berdarjah genap akan dperoleh darpada fungs asas Ball tertlak bedarjah ganjl dengan mengunakan konsep yang sama sepert kes fungs asas kubk Ball yang lalu, atu kta samakan dua ttk kawalan pedalaman (Sad, 1989). Untuk tujuan kajan tess n, kam akan menggunakan takrfan fungs asas Ball tertlak darpada kertas kerja Hu et al. (1996) yang berbeza dengan penakrfan oleh Sad (1989), akan tetap kedua-dua susunan rumus memberkan fungs asas yang sama. 24