Primárne matematické vzdelávanie teória, výskum a prax

Transcription

1 Elementary Mathematics Education Primárne matematické vzdelávanie teória, výskum a prax Zborník príspevkov z konferencie s medzinárodnou účasťou Mathematics Education in Primary School Theory, Research and Practice The Conference Proceedings TÁLE

2 Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou organizovanej Fakultou prírodných vied a Pedagogickou fakultou Univerzity Mateja Bela v Banskej Bystrici s podporou projektu KEGA 003TTU-4/2015 Elektronické kurzy pre vyučovanie matematiky na základných školách a v prvých 4 ročníkoch osemročných gymnázií a projektu KEGA 003UMB-4/2017 Implementácia blended learningu do prípravy budúcich učiteľov matematiky, ktorá sa konala na Táloch, Vedecký výbor Pavol Hanzel (Banská Bystrica, SR) Michaela Kaslová (Praha, ČR) Pavel Klenovčan (Banská Bystrica, SR) Gabriela Pavlovičová (Nitra, SR) Jaroslav Perný (Liberec, ČR) Iveta Scholtzová (Prešov, SR) Oliver Židek (Trnava, SR) Katarína Žilková (Ružomberok, SR) Organizačný výbor Pavol Hanzel Pavel Klenovčan Ľubica Gerová Katarína Sebínová Daniela Guffová Patrik Voštinár Recenzenti Ľubica Gerová Pavol Hanzel Pavel Klenovčan Iveta Scholtzová Katarína Žilková Editori Katarína Sebínová Ľubica Gerová Patrik Voštinár Za pôvodnosť a správnosť jednotlivých príspevkov zodpovedajú ich autori. Príspevky neprešli jazykovou úpravou. Univerzita Mateja Bela Banská Bystrica Belianum. Vydavateľstvo UMB/Edícia: FPV UMB ISBN:

3 Úvod Výučba sú myšlienky a činy. Pozeraj sa svetu na hodiny a buď o vždy pol kroka vpred. Dynamický rozvoj súčasnej spoločnosti prináša so sebou požiadavku na zmenu v profesijnej príprave učiteľov tak, aby reflektovala na schopnosť jedinca adaptovať sa na meniaci sa svet a napĺňať jeho víziu. Na túto zmenu treba pripravovať aj učiteľov - elementaristov. Pracovníci fakúlt pripravujúcich učiteľov primárneho školstva a učitelia elementárnej matematiky na Slovensku, v Poľsku a v Čechách sa pravidelne stretávajú na konferenciách EME, aby sa oboznámili s novými odbornými výsledkami v didaktike matematiky, viedli priateľské diskusie, osviežujúce telo i matematického ducha každého účastníka. V diskusiách rezonujú závery medzinárodných kongresov ICME o vyučovaní matematiky. 22. stretnutie učiteľov matematiky - EME 2017, zaoberajúcich sa prípravou učiteľov elementaristov, už po druhý raz víta svojich účastníkov v hoteli Stupka v Nízkotatranskom stredisku Tále na konferencii s medzinárodnou účasťou na tému: Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax. Konferencia sa koná v dňoch pod záštitou dekanky FPV UMB doc. RNDr. Jarmily Kmeťovej, PhD. Organizátormi sú Katedra matematiky Fakulty prírodných vied UMB v Banskej Bystrici v spolupráci s Pedagogickou fakultou UMB, JSMF a Slovenskou matematickou spoločnosťou. Organizácia konferencie EME 2017 bola podporená projektom KEGA 003TTU-4/2015 s názvom Elektronické kurzy pre vyučovanie matematiky na základných školách a v prvých 4 ročníkoch osemročných gymnázií a projektom KEGA 003UMB-4/2017 s názvom Implementácia blended learningu do prípravy budúcich učiteľov matematiky. V rámci riešenia uvedených projektov sa na konferencii realizujú sekcie: Matematická a didaktická príprava učiteľov pre primárne vzdelávanie rozsah, kvalita a aktuálny výskum Efektívne využívanie moderných technológií vo vyučovaní matematiky. Veríme, že rokovanie a závery tejto konferencie obohatia didaktiku matematiky v príprave učiteľov primárnej školy. Prajeme Vám mnoho nových inšpiratívnych podnetov k práci a veľa príjemných chvíľ, strávených na konferencii v krásnom prostredí Nízkych Tatier. doc. RNDr. Jaroslava Brincková, CSc.

4 Obsah Výskum vplyvu iučebnice z hľadiska retencie geometrických poznatkov Erik Bayerl, Katarína Žilková... 6 Od Stewartovy věty k Pythagorově větě Jaroslav Beránek Utváření představ o pojmu trojúhelník v průběhu základní školy Irena Budínová Matematizace slovních úloh problém nejen pro žáky, ale i pro jejich učitele Jana Cachová Tablet vo vyučovaní matematiky Soňa Čeretková, Ivana Boboňová, Mária Bernáthová Analýza vzdělávacích potřeb a kompetencí učitelů 1. stupně ZŠ v Olomouckém kraji k implementaci a využívání ICT ve výuce matematiky Radka Dofková, David Nocar Geometrické myslenie študentov predškolskej a elementárnej pedagogiky Ľubica Gerová, Katarína Sebínová Matematická gramotnosť vo vzdelávaní súčasných i budúcich učiteľov Jana Hnatová Matematika na 1. stupni ZŠ se zaměřením na využití geometrie v praxi Jitka Hodaňová Pracovní listy rozvíjející předmatematickou gramotnost u předškolních děti zařazené do vzdělávání učitelek mateřských škol Michaela Kaslová Intelektovo nadaný žiak a matematika prípadová štúdia Jana Kojnoková, Alena Prídavková Pojem štvorec a deti predškolského veku Janka Kopáčová Možnosti využitia softvéru GeoGebra vo vyučovaní matematiky v primárnom vzdelávaní Lilla Koreňová Očekávání studentů od praktické složky v přípravě budoucích učitelů 1. stupně ZŠ Radek Krpec, Darina Jirotková Geometrické kurikulum na 1. stupni Marie Kupčáková Proces třídění v komunikaci učitelky a dítěte (v mateřské škole) Eva Nováková Několik slov k cyklografii Jitka Panáčová... 86

5 Dizajn výskumu optimalizácie výučbových materiálov z matematiky pre primárne vzdelávanie Edita Partová Význam obrázka pri riešení kombinatorickej úlohy Gabriela Pavlovičová Výchova tvořivého učitele Šárka Pěchoučková Aktivizace výuky matematiky na 1. stupni ZŠ Jaroslav Perný Interaktívne aplikácie na riešenie slovných úloh z matematiky pre 1. stupeň ZŠ Milan Pokorný Exekutívne funkcie v matematike v primárnom vzdelávaní Alena Prídavková, Edita Šimčíková, Blanka Tomková Kombinatorické problémy v prostředí didaktických her na 1. stupni ZŠ Jana Příhonská, Jana Rolečková Gry i zabawy matematyczne sposobem na myślenie matematyczne dzieci Grażyna Rygał Kooperačné nástroje e-learningu v pregraduálnej matematickej príprave učiteľov pre primárne vzdelávanie Iveta Scholtzová, Marek Mokriš Stimulácia kontroly pozornosti - výsledky pilotného výskumu Edita Šimčíková, Alena Prídavková, Blanka Tomková Stavby z kociek prostriedok rozvíjania priestorovej predstavivosti v rámci odbornej pregraduálnej prípravy budúcich učiteľov Dominika Štefková Niektoré miskoncepcie pri riešení slovnej úlohy so zlomkami Valéria Švecová Stimulácia kontroly pozornosti prostredníctvom matematických úloh u žiakov 4. ročníka základnej školy Blanka Tomková, Alena Prídavková, Edita Šimčíková Rozvíjanie číselných predstáv vo fínskych didaktických prostriedkoch pre primárny stupeň vzdelávania Anna Vašutová GeoGebra a JavaScript Patrik Voštinár Studentský pohled na praktickou složku učitelské přípravy v matematice 1. stupně Renáta Zemanová, Darina Jirotková Analýza predstáv štvrtákov o kruhoch Katarína Žilková

6 Výskum vplyvu iučebnice z hľadiska retencie geometrických poznatkov The Research of ibook Impact in Term of Geometrical Knowledge Retention Erik Bayerl, Katarína Žilková MESC: D44, G54, U64, U74 Abstract The paper is specialized on description, especially evaluation of experimental effect s results by means of created ibook from thema about plane isometry in term of retention gained knowledge among students at particular grammar school. Mentioned results of research point to comparison and actually in some tasks are pointed to positive impact of ibook usage retention gained knowledge of students in compare with traditional educational methods. Key words: ibooks textbook, interactivity, dynamic geometry, retention, math education. Abstrakt Príspevok je zameraný na opis a najmä vyhodnotenie výsledkov experimentálneho pôsobenia prostredníctvom vytvorenej iučebnice z tematického celku o zhodných zobrazeniach v rovine z hľadiska retencie získaných vedomostí u žiakov jedného gymnázia. Uvedené výsledky výskumu poukazujú na porovnateľnosť a v niektorých úlohách dokonca pozitívnejší vplyv využívania iučebnice na retenciu získaných vedomostí žiakov v porovnaní s vyučovaním tradičnými metódami vzdelávania. Kľúčové slová: iučebnica, interaktivita, dynamická geometria, retencia, matematické vzdelávanie. 1. Úvod Dnešná moderná spoločnosť si vyžaduje aj moderné prístupy ku vzdelávaniu. Vzdelávanie sa prostredníctvom nových technologických platforiem inovuje na efektívnejšie, pre žiakov zaujímavejšie. V poslednom období dochádza k čoraz častejšiemu využívaniu tabletov vo vzdelávaní. Ich implementácia do vzdelávania so sebou prináša množstvo výhod, ktoré v sebe tablety integrujú. Vzdelávanie prostredníctvom tabletov, či smartfónov zároveň podporuje aj tzv. mobilné vzdelávanie. Už dávnejšie výskumy (Wise, Toto a Lim, 2006) poukazujú na to, že moderné technológie, predstavujú silný faktor vo vzdelávaní, ktorého správne využitie pozitívne ovplyvňuje učenie a pozornosť žiakov. Course a Chen (2010) zistili, že využívaním tabletov sa žiaci dokážu ľahšie orientovať a preskúmať problémy, cítia sa pohodlne 6

7 a zároveň ich používanie podporuje učenie hrou. Galligan, Hobohmand a Loch (2012) vo svojich výskumoch dospeli k záveru, že študentom využívajúcich tablety vo vzdelávaní matematiky ich používanie uľahčuje riešenie úloh, uľahčuje predstavivosť a poskytuje efektívnu spätnú väzbu. Výhody implementácie tabletov do vzdelávania matematiky potvrdzujú aj mnohé ďalšie výsledky výskumov (Schnackenberg, 2013; Courtois, DeGrove, Montrieux, Raes, De Marex a Schellens, 2013; Burden a Kearney, 2016). Aby bolo možné naďalej skúmať vplyv využívania spomínaných platforiem ako sú tablety, či smartfóny, na efektivitu vzdelávania, je potrebné vytvárať edukačné materiály pre takéto zariadenia. K tvorbe takéhoto edukačného materiálu dochádza už aj na Slovensku (Voštinár a Hanzel, 2015). Ide o novú oblasť vzdelávania, v ktorej je potrebné realizovať výskum zameraný na vplyv a efektivitu vzdelávania matematiky a jej jednotlivých tém prostredníctvom spomínaných platforiem. To bol jeden z dôvodov, prečo sme sa rozhodli vytvoriť iučebnicu, ktorú je možné používať nielen priamo na vyučovacej hodine, ale kdekoľvek prostredníctvom ipad, či iphonu. V článku sa zameriavame na to, aký vplyv má využívanie iučebnice v matematickom vzdelávaní na kvalitu poznatkov žiakov, resp. na rozvíjanie ich geometrického myslenia vzhľadom na retenciu nadobudnutých vedomostí v porovnaní s tradičnou formou vzdelávania matematiky. 2. Dizajn a priebeh výskumu Aby bolo možné zrealizovať samotný výskum, potrebovali sme vytvoriť iučenicu zameranú na zhodné zobrazenia v rovine. IUčenicu sme vytvorili prostredníctvom bezplatného softvéru iauthor, ktorý umožňuje integrovať interaktívne a dynamické prvky (aplety vytvorené v GeoGebre) a zároveň má vytvorená učebnica aj benefity tradičnej elektronickej učebnice. Naša iučebnica predstavuje skôr zbierku riešených úloh dopĺnenú o základné teoretické poznatky o zhodných zobrazeniach. Okrem bežných statických prvkov (texty, obrázky) je v každej úlohe implementovaný interaktívny a dynamický applet, ktorý umožňuje meniť polohové a metrické vlastnosti daných geometrických prvkov. Práve tento prvok bol pre nás a náš výskum najpodstatnejší a najdôležitejší, keďže sme chceli zisťovať ako aktívne využívanie interaktívnych a dynamických prvkov vplýva na upevňovanie vedomostí žiakov v procese vzdelávania, a aký vplyv má na uchovanie týchto vedomostí, ich trvácnosť s odstupom času. Keďže bolo našim cieľom odhaliť efektívnosť vplyvu iučebnice na uchovanie vedomostí žiakov, za výskumnú metódu sme zvolili experiment. Nezávisle premennou bola iučebnica a závisle premennou bola miera uchovaných vedomostí žiakov. Predpokladali sme, že využívanie iučebnice bude mať pozitívnejší vplyv na uchovanie vedomostí žiakov v porovnaní s vedomosťami žiakov, ktorí pracovali s tradičnými metódami (bez použitia akýchkoľvek interaktívnych a dynamických prvkov). Keďže išlo o experiment, bolo potrebné zvoliť experimentálnu a kontrolnú skupinu. Vzhľadom na dostupnosť sa jednalo o dostupný výber žiakov. Po zvolení porovnateľných skupín prebehlo experimentálne pôsobenie počas 4 týždňov. Experimentálna skupina pracovala prevažne s iučebnicou, v edukačnom procese žiaci používali ipady a interaktívnu tabuľu. Žiaci kontrolnej skupiny používali tradičné rysovacie pomôcky a využívali tradičné edukačné stratégie. Po odučení tematického celku boli žiaci otestovaní formou písomného testu, ktorý obsahoval 5 úloh tematicky zameraných na zhodné zobrazenia v rovine. Počas testovania používali žiaci oboch skupín len bežné rysovacie pomôcky bez akýchkoľvek 7

8 interaktívnych prvkov. Keďže nás zaujímala miera uchovaných vedomostí, podrobili sme obe skupiny opätovnému testovaniu s polročným odstupom. Žiaci opätovne riešili písomný test obdobným spôsobom s úlohami obdobného typu. 3. Charakteristika výskumného súboru Výskumný súbor tvorili žiaci 2.ročníka gymnázia v Banskej Bystrici, u ktorých bola zachovaná kompaktnosť tried. Aby sme zachovali čo najväčšiu objektívnosť, rozhodli sme sa na začiatku pred samotným výskumom porovnať žiakov všetkých tried 2. ročníka zo všeobecných vedomostí z geometrie. K dispozícii sme mali celkovo 4 triedy. Po zvolení dvoch najporovnateľnejších tried sme obe triedy ešte podrobili štatistickému porovnaniu rovnocennosti. Na porovnanie sme použili neparametrickú verziu 2-výberového Mann-Whitneyho testu, ktorý nám potvrdil rovnocennosť a porovnateľnosť medzi zvolenou kontrolnou a experimentálnou skupinou. Kontrolnú skupinu tvorilo 28 žiakov a experimentálnu 29 žiakov. Následne sme mohli prejsť k samotnému experimentu. 4. Analýza a interpretácia výsledkov Po realizácii experimentu boli žiaci oboch skupín podrobení písomnému testu, ktorý obsahoval 5 úloh tematicky zameraných na zhodné zobrazenia, ktoré reflektovali nižšie aj vyššie poznávacie hladiny. Keďže nás zaujímalo, aký vplyv bude mať používanie iučebnice na úroveň zapamätania a uchovania vedomostí žiakov, tak sme podrobili žiakov obdobnému testovaniu s odstupom pol roka. Po vyhodnotení oboch písomných testov sme pre obe skupiny určili zmenu v počte získaných bodov každého žiaka pre každú úlohu z testu. Získané rozdiely v počtoch bodov sme následne porovnali v oboch skupinách a podrobili štatistickému testovaniu. Použili sme Mann Whitney test. Formulovali sme nulovú a alternatívnu hypotézu: H 0 : Medzi zmenou dosiahnutých výsledkov v teste a posteste v kontrolnej a experimentálnej skupine nie sú rozdiely. H A : Medzi zmenou dosiahnutých výsledkov v teste a posteste v kontrolnej a experimentálnej skupine sú rozdiely. Overovanie sme realizovali na hladine významnosti 0,05. Oba testy (test aj postest) obsahovali úlohy rôzneho typu zameraných na zhodné zobrazenia v rovine. V úlohe 1 mali žiaci zobrazovať lomenú čiaru v osovej a stredovej súmernosti. Pri riešení úlohy im mala pomôcť štvorcová sieť. V úlohe 2 zisťovali, či je útvar zobrazený na obrázku osovo alebo stredovo súmerný. Úloha 3 bola zameraná na určovanie samodružných priamok v stredovej, či osovej súmernosti. Posledné dve úlohy boli rozdelené do dvoch častí. Časť a) bola zameraná na riešenie konštrukčnej úlohy, ktoré malo obsahovať všetky časti riešenia úlohy (náčrt, rozbor, postup konštrukcie, konštrukcia a odpoveď o počte riešení v danej situácii). Časť b) bola zameraná na širšiu diskusiu o počte riešení a analýzu opísanej konkrétnej situácie. Očakávali sme, že práve v posledných dvoch úlohách by mohli byť výsledky v experimentálnej skupine významne lepšie, keďže skúsenosti s využívaním interaktivity a dynamiky by mohli mať vplyv na rozvoj predstavivosti a abstrakcie práve v schopnosti žiaka mentálne manipulovať s geometrickými útvarmi a abstrahovať podstatné prvky. 8

9 Tabuľka 1. Výsledky Mann-Whitneyho testu. Sum of Ranks testovacia Kontrolná sk. Experimentálna sk. štatistika Z p-hodnota 1.úloha 813,5 839,5-0,016 0,984 2.úloha 2284,5 1631,5 1,610 0,107 3.úloha 882,0 771,0-1,109 0,267 4a.úloha 1703,5 1299,5-2,251 0,024 4b.úloha 757,5 953,5-1,516 0,129 5a.úloha 1293,0 918,0 1,969 0,049 5b.úloha 707,0 946,0 1,668 0,095 Z uvedených údajov (Tab. 1) je zrejmé, že testovacia štatistika Z sa nachádza v oblasti nezamietania nulovej hypotézy (-1,96;1,96) pre úlohy 1, 2, 3, 4b a 5b. Zároveň p-hodnota je pre uvedené úlohy vyššia ako hladina významnosti 0,05. Preto na hladine významnosti 0.05 nezamietame nulovú hypotézu a predpokladáme, že neexistuje štatisticky významný rozdiel medzi zmenou dosiahnutých výsledkov úloh 1, 2, 3, 4b a 5b v teste a posteste medzi kontrolnou a experimentálnou skupinou. Zároveň môžeme vidieť (Tab. 1), že testovacia štatistika Z je mimo intervalu (-1,96; 1,96) pre úlohy 4a, 5a. Zároveň aj p-hodnota je uvedené úlohy nižšia ako hladina významnosti 0,05. Na základe týchto kritérií zamietame nulovú hypotézu a predpokladáme, že existuje štatisticky významný rozdiel medzi zmenou dosiahnutých výsledkov úloh 4a, 5a v teste a posteste medzi kontrolnou a experimentálnou skupinou. Zároveň môžeme potvrdiť, že experimentálna skupina má nižšie ohodnotenie poradí v oboch úlohách (tab. 1, stĺpec Sum of ranks), a teda dosahovala menší pokles výsledkov ako kontrolná skupina. Zhrnutím získaných výsledkov môžeme konštatovať, že využívanie iučebnice vo vzdelávaní testovaných žiakov malo prinajmenšom porovnateľný vplyv na mieru ich zapamätania vedomostí. Keďže predchádzajúce výsledky ukazujú, že žiaci využívajúci iučebnicu získali prvotne hlbšie a kvalitatívne lepšie výsledky, ktoré sa tým pádom z hľadiska retencie nadobudnutých vedomostí pevnejšie uchovali, považujeme tento výsledok za viac ako uspokojivý. Našu spokojnosť s dosiahnutými výsledkami potvrdzuje aj fakt, že v úlohách zameraných na riešenie konštrukčných úloh sa dokonca ukázalo, že pokles získaných vedomostí je štatisticky menej výraznejší práve v skupine používajúcej iučebnicu. 5. Záver Cieľom príspevku bolo opísať výsledky experimentálneho pôsobenia iučebnice z tematického celku o zhodných zobrazeniach v rovine z hľadiska retencie nadobudnutých vedomostí žiakov jedného gymnázia. Výsledky experimentu naznačujú, že používanie iučebnice má minimálne porovnateľný vplyv na retenciu získaných vedomostí žiakov ako edukácia tradične používanou formou vzdelávania. Využívanie iučebnice by tak mohlo predstavovať ďalšiu vhodnú alternatívu pre vzdelávanie žiakov. Dokonca v úlohách konštrukčného charakteru sme zaznamenali štatisticky pozitívnejší vplyv na mieru zapamätania a uchovania vedomostí žiakov práve v skupine využívajúcej iučebnicu, čo len podčiarkuje možnosť jej prípadného využívania v edukačnom procese. 9

10 Literatúra BURDEN, K., KEARNEY, M. Future scenarios for mobile science learning. Research in Science Education, 2016, 46.2: COURTOIS, C., et al. Push or pull? A longitudinal survey study on the acceptance of tablets in secondary education. In: 7th International Technology, Education and Development Conference COUSE, L. J., CHEN, D. W. A tablet computer for young children? Exploring its viability for early childhood education. In Journal of Research on Technology in Education. 2010, 43 (1), GALLIGAN, L., HOBOHM, C., LOCH, B. Tablet technology to facilitate improved interaction and communication with students studying mathematics at a distance. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching. 2012, 31(4), HANZEL, P., VOŠTINÁR, P. Elektronický kurz Vybrané kapitoly z diskrétnej matematiky. In Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae, roč. 11, 2016, č. 4, s ISSN SCHNACKENBERG, H. L., et al. Tablet technologies and education. International Journal of Education and Practice, 2013, 1.2: 7. VOŠTINÁR, P., HANZEL, P. Mobile application a tool for teachers, pupils and their families. In Book of Abstracts, 15th Conference on Applied Mathematics Aplimat Bratislava : Nakladateľstvo STU, ISBN WISE, J. C., TOTO, R., LIM, K. Y. Introducing Tablet PCs: Initial results from the classroom. In: Frontiers in Education Conference, 36th Annual. IEEE, p Mgr. Erik Bayerl Katedra matematiky FPV UMB Tajovského 40, Banská Bystrica erik.bayerl@gmail.com doc. PaedDr. Katarína Žilková, PhD. Pedagogická fakulta Katolícka univerzita v Ružomberku Hrabovská cesta 1, Ružomberok katarina@zilka.sk 10

11 Od Stewartovy věty k Pythagorově větě From Stewart s theorem to Pythagoras` theorem Jaroslav Beránek MESC: G10 Abstract The article is devoted to teaching mathematics to future teachers at elementary schools. It contains one not very familiar topic which can be used as the means for broadening and deepening mathematics teaching, and further as the motivation for individual study. First, there is given the formulation, the proof and several applications of Stewart s theorem while determining the lengths of the median, altitude and axis of the interior angle in a triangle. In the conclusion, there is shown that under certain conditions Stewart s theorem transforms into Apollonius theorem and finally to Pythagoras` theorem. Key words: Teaching of mathematics, triangle, Stewart s theorem. Abstrakt Příspěvek je věnován výuce matematiky budoucích učitelů prvního stupně základní školy. Obsahuje málo známé téma, které je možno použít jako zajímavý námět k rozšíření a zpestření výuky elementární geometrie, a dále jako motivaci k samostatnému studiu. Nejprve je uvedena formulace, důkaz a několik aplikací Stewartovy věty při určení délky těžnice, výšky a osy vnitřního úhlu v trojúhelníku. V závěru je ukázáno, že za jistých předpokladů lze ze Stewartovy věty obdržet větu Apolloniovu, a následně i větu Pythagorovu. Klíčová slova: Výuka matematiky, trojúhelník, Stewartova věta. 1. Úvod Důležitým činitelem ovlivňujícím kvalitu výuky matematiky na 1. stupni základní školy je kromě promyšleně stanoveného obsahu učiva a kvalitních učebnic rovněž kvalitní příprava učitelů. Fakulty připravující učitele pro uvedený stupeň školy musí budoucí učitele připravit nejen na odborně i metodicky správné vedení výuky matematiky, ale dát jim i jistý matematický nadhled. Proto je nutno hledat témata, která by výuku matematických disciplín těchto studentů zpestřila a rozvinula jejich znalosti a přitom nebyla příliš vzdálená od školské matematiky. Jako výhodné se např. v elementární geometrii jeví využití Stewartovy věty a některých jejích aplikací. Stewartova věta není dnes běžně známá a není ani součástí učebnic matematiky, přestože se jedná o jednoduché planimetrické tvrzení týkající se trojúhelníka. V další části uvedeme její znění i důkaz (viz [1]). Připomeňme jen (viz [2]), že Matthew 11

12 Stewart ( ) byl skotský matematik. Studoval na Univerzitě v Glasgowě, kde započala jeho dlouholetá spolupráce s matematikem Robertem Simsonem, se kterým společně v roce 1749 publikovali dílo Apollonii Pergaei locorum planorum libri II. Nejvýznamnějším Stewartovým dílem je práce Some General Theorems of Considerable use in the Higher Parts of Mathematics, obsahující rovněž hlavní téma tohoto příspěvku, Stewartovu větu. Zabýval se rovněž astronomií, kde přispěl k řešení Keplerovy úlohy geometrickými metodami (1756). 2. Stewartova věta a její využití Stewartova věta (viz [1]) vyjadřuje vztah mezi délkami dvou stran trojúhelníku, délkou příčky ohraničené společným vrcholem těchto dvou stran a libovolným vnitřním bodem strany třetí a délkami úseků, které tato příčka na třetí straně vytíná. Nechť ABC je libovolný trojúhelník, nechť X je libovolný vnitřní bod strany AB. Využijeme označení podle obrázku 1, tedy AC = b, BC = a, CX = x, AX = p, BX = q. Podle Stewartovy věty platí: Věta 1: a 2 p + b 2 q = (p + q)(pq + x 2 ). Obrázek 1. Stewartova věta-označení. Důkaz: (viz [1]) Využijeme označení podle obrázku 1, nechť dále značí velikost úhlu AXC. Podle kosinové věty pro trojúhelníky AXC a BXC platí: b 2 = p 2 + x 2 2px cos, a 2 = q 2 + x 2 2qx cos (180 ). První rovnici vynásobíme q, druhou p a obě rovnice sečteme. Dostaneme b 2 q + a 2 p = p 2 q + q 2 p + x 2 (p + q) 2pqx cos 2pqx cos (180 ). Protože platí známý vztah cos (180 ) = cos, máme po dosazení b 2 q + a 2 p = p 2 q + q 2 p + x 2 (p + q). Odtud již Stewartova věta plyne snadnou úpravou. Dříve než uvedeme využití Stewartovy věty pro některé speciální případy, dokážeme jedno pomocné tvrzení. Také toto tvrzení se v učebnicích matematiky základních a středních škol vyskytuje poměrně málo, většinou bez důkazu. Proto pro úplnost bude uvedeno nyní. Lemma: Každá z os vnitřních úhlů libovolného trojúhelníka rozděluje protější stranu v poměru délek přilehlých stran, tj. při označení podle obrázku 2 (kde CX je osa vnitřního úhlu při vrcholu C), platí p : q = b : a. 12

13 Obrázek 2. Důkaz pomocného tvrzení-označení. Důkaz: Nechť platí označení podle obrázku 2. Podle sinové věty pro trojúhelníky ACX a BCX platí (sin = sin, protože = 180 ): b p a q,. sin sin sin(180 ) sin Z těchto vztahů vyjádříme p, q a dosadíme do hledaného poměru: b sin p sin b, q a a sin sin (180 ) protože sin 0 a sin (180 ) = sin 0. Pomocné tvrzení tedy platí. a) Určení délky těžnice trojúhelníku Nechť úsečka CX je těžnicí trojúhelníka ABC v označení podle obrázku 1, platí tedy p = q = 2 c. Její délku místo x označíme tc. Dosadíme do Stewartovy věty a upravíme (úpravy uvádíme zkráceně): a 2 c + b 2 2 c c c c = ( + )( (a 2 + b 2 c c ) 2 = c ( + t 2 c ), 2 4 c + 2 tc ), 2 2( a b ) c t c =. 2 Délky zbývajících dvou těžnic dostaneme snadno cyklickou záměnou. 2 b) Určení délky osy vnitřního úhlu trojúhelníku Nechť úsečka CX je osou vnitřního úhlu ACB trojúhelníka ABC v označení podle obrázku 2 (její délku místo x označíme o c ), rozděluje tedy tento úhel na dva shodné úhly, které označíme. Pro úseky p, q na straně AB platí podle pomocného tvrzení vztah p b. Tento vztah spolu se vztahem p + q = c tvoří soustavu rovnic o neznámých p, q q a kterou vyřešíme. Řešením obdržíme vztahy pro výpočet p, q v závislosti na délkách stran trojúhelníka ABC. Platí bc ac p, q. a b a b Tyto vztahy dosadíme do Stewartovy věty a 2 p + b 2 q = (p + q)(pq + x 2 ) a upravíme. Uvedeme pouze dosazení a výsledný vztah. Obdržíme a 2 bc + b 2 ac = ( a b a b bc a 2 2 b + ac a b )( bc ac + o 2 c ), odkud plyne a b a b 13

14 o c ab( a b c )(a b c ). a b Délky zbývajících dvou os dostaneme opět snadno cyklickou záměnou. c) Určení velikosti výšky v trojúhelníku Nechť platí označení podle obrázku 2, kde příčka CX je výškou trojúhelníka ABC, přímky CX a AB jsou na sebe kolmé. Velikost výšky označíme v c, p + q = c. Podle kosinové věty v trojúhelníku ABC platí a 2 = b 2 + c 2 2bc cos.. V pravoúhlém trojúhelníku AXC platí cos = b p. Po dosazení za cos do předchozího vztahu a úpravě b c a dostaneme p. Ze vztahu q = c p obdržíme úpravou 2c Dosadíme za p, q do Stewartovy věty a upravíme: 2 a c b q. 2c ( a b c ) 2( a b c ) vc. 2c Délky zbývajících dvou výšek dostaneme opět cyklickou záměnou. d) Speciální případy Uvažujme nyní znění Stewartovy věty v jejím základním tvaru 2 2 a 2 p + b 2 q = (p + q)(pq + x 2 ). V případě, že příčka CX je těžnicí trojúhelníku ABC, platí p = q. Po dosazení a úpravě přejde Stewartova věta do tvaru (označení podle obrázku 1) a 2 + b 2 = 2(p 2 + x 2 ). Tento vztah bývá uváděn jako tzv. Apolloniova věta nazvaná podle starověkého učence Apollonia z Pergy, od kterého pochází její slovní geometrická formulace (pro libovolný trojúhelník): Součet čtverců nad libovolnými dvěma stranami trojúhelníka je roven dvojnásobku součtu čtverců nad polovinou třetí strany a nad těžnicí na tuto třetí stranu. Je-li navíc trojúhelník ABC pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu C (v označení podle obrázku 1) a příčka CX je jeho těžnicí, platí p = q = x, bod X je střed přepony AB, tedy střed kružnice opsané trojúhelníku ABC (Thaletova kružnice). Dosadíme do Apolloniovy věty p = x a po snadné úpravě s využitím c = 2p obdržíme Pythagorovu větu a 2 + b 2 = c 2. Zajímavé je, že jsme neobdrželi Pythagorovu větu jako speciální případ kosinové věty, jak bývá v učebnicích běžně uváděno, ale jako speciální případ Stewartovy věty Závěr V příspěvku byla uvedena Stewartova věta a její využití na výpočet některých prvků v trojúhelníku, dále věta Apolloniova a věta Pythagorova, které jsou jejími speciálními případy. Cílem nebylo uvedení původních matematických výsledků. Záměrem bylo ukázat studentům učitelství pro 1. stupeň ZŠ nepříliš složité téma pro ně téměř neznámé, na kterém lze mj. zopakovat řada základních geometrických pojmů (včetně procvičení úpravy algebraických výrazů). Pro studenty se zájmem o matematiku může toto téma hrát i roli motivační pro další studium matematiky. 14

15 Literatura [1] CALDA, E. Stewartova věta a příčky v trojúhelníku. In. Rozhledy matematickofyzikální, ročník 86 (2011), č. 2, s ISSN [2] Matthew Stewart (mathematician). Dostupné z Citováno dne [3] Apollonius` theorem. Dostupné z Citováno dne Doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. Katedra matematiky Pedagogická fakulta MU Poříčí 7, Brno, Česká republika beranek@ped.muni.cz 15

16 Utváření představ o pojmu trojúhelník v průběhu základní školy Development of conceptions of the concept triangle during the basic school Irena Budínová MESC: G10 Abstract Geometric shapes are one of the first subjects in mathematics education during the early stage of elementary school. Even before entering formal schooling, children gain some basic information about geometric shapes through their everyday experiences. Children form conceptions about the concepts on the base of their experiences. Some of these early conceptions about geometric shapes might be incorrect, which might negatively impact children s further understanding of geometric shapes. In this study, we try to look at how the conceptions of the concept triangle are developed during elementary and lower secondary school. Key words: geometry, plane figures, triangle. Abstrakt Geometrické útvary jsou jedním z prvních témat, se kterým se setkávají žáci v průběhu 1. stupně ZŠ. Již v předškolním věku získávají o útvarech jisté poznatky, které ale nemusí být správné a mohou ovlivňovat vývoj pojmu v pozdějších letech. Ve studii se pokoušíme zmapovat, jakým způsobem se vyvíjí představy žáků o pojmu trojúhelník v průběhu 1. a 2. stupně ZŠ. Klíčová slova: geometrie, rovinné útvary, trojúhelník. 1. Úvod Představy o geometrických pojmech si žáci utvářejí po celou školní docházku. Již žáci předškolního věku se setkávají s různými geometrickými útvary a vytváří si o nich prvotní představy. V tomto období vzniká řada miskoncepcí o geometrických pojmech např. didaktické pomůcky, jako jsou čtverce a trojúhelníky, mívají zaoblené rohy, aby se dítě neporanilo. Nejedná se tedy o čtverec nebo trojúhelník, spíše o útvary se čtvercovým nebo trojúhelníkovým tvarem, avšak přesto je jim přisouzen název čtverec a trojúhelník. Dále děti připodobňují geometrické útvary k věcem z okolí k dopravním značkám, k vlajkám, ke střeše, aj. Cutugno a Spagnolo (2014) v této souvislosti uvádějí, že mnoho žáků ve věku let připodobňuje geometrické útvary k reálným objektům z jejich okolí. To může ale znamenat, že termín pro ně zatím nemá jasný význam (Cutugno, Spagnolo, 2014). 16

17 Žáci v prvních dvou ročnících základní školy se o geometrických útvarech rozhodují na základě toho, jak na ně útvar působí. Pokud jim připomíná něco, co viděli již dříve a bylo to pojmenováno jako trojúhelník, nazvou to také trojúhelníkem. Giaquinto (2007) se na utváření geometrických pojmů dívá z pohledu vnímání různých objektů jedincem. Naše počáteční geometrické představy závisí podle něj na tom, jak vnímáme dané útvary. Na základě prvotních zkušenosti vzniká percepční pojem např. trojúhelník žák pozná podle obrázku. Některý model trojúhelníku na žáka může působit jako ne-trojúhelník (typicky tupoúhlý trojúhelník postavený na vrcholu), ale také naopak ne-model trojúhelníku žák může vnímat jako trojúhelník (např. rovnoramenný trojúhelník postavený na základnu s ustřiženými či zaoblenými vrcholy). Na základě setkávání s útvary v učebních materiálech nebo v běžném životě vzniká u žáka prototyp pojmu. Tsamir et al. (2015, citováno z Dindyal, 2015) poukazuje, že velice často je to nějaký netypický rys (např. velikost nebo orientace), který přispívá k vytvoření prototypického příkladu. Dětem na 1. stupni ZŠ může použití několika pozitivních a negativních příkladů pomoci získat pevnější pochopení geometrického pojmu. S miskoncepcemi z předškolního vzdělávání je potřeba pracovat v prvních dvou letech školní docházky. Žák sice stále vnímá útvary percepčně, nezvažuje jejich vlastnosti, avšak dostane možnost vytvářet si skupiny modelů a ne-modelů, na které naváže v dalších letech. Van Hiele (viz např. Tipps, Johnson, Kennedy, 2011) nazval první období, kdy se žák rozhoduje jen na základě toho, jak na něj útvar působí, jako období vizualizace. Toto období trvá zhruba do 3. ročníku ZŠ. V té době si žák začne všímat toho, že útvar má určité vlastnosti, podle kterých se může také rozhodovat. Začne přecházet do období analýzy. Ve 4. ročníku by již většina žáků měla být na této druhé úrovni. K přechodu však dojde jen za předpokladu, že žák dostává dostatečné stimuly ve výuce geometrie. V opačném případě žák stagnuje na úrovni vizualizace a nemusí cítit žádnou potřebu začít uvažovat jinak než percepčně. Aktivity na 2. stupni ZŠ by potom měly vést k tomu, že se žák přesune do období neformální dedukce. Žák by měl již vědět, jaké vlastnosti má daný útvar, ale také by měl být schopen provádět jednoduché důkazy tvrzení o útvaru. Opět platí, že pokud žák nedostává dostatečné podněty, může po celý 2. stupeň setrvávat na úrovni analýzy, nebo dokonce vizualizace. 2. Výzkum geometrického myšlení žáků 4. ročníku ZŠ V letech 2015 a 2016 jsem ve spolupráci s Katarínou Žilkovou mapovala žákovské představy o základních geometrických pojmech na základě testu, který K. Žilková vytvořila společně s J. Kopáčovou (Kopáčová, Žilková, 2015). Testu se v ČR účastnilo 226 žáků 4. ročníku. V případě trojúhelníku se ukázalo, že prototypem trojúhelníku je rovnoramenný (více než rovnostranný) trojúhelník stojící na základně. S podobnými výsledky se setkáváme i v zahraničních výzkumech (např. Cutugno, Spagnolo, 2014). Výsledky poukazovaly na to, že mnoho žáků 4. ročníku setrvává na úrovni vizualizace a stále mají o útvarech mnoho miskoncepcí. Zhruba 14 % žáků neidentifikovalo tupoúhlý trojúhelník stojící na vrcholu jako trojúhelník, asi 20 % žáků považovalo za trojúhelník různé útvary trojúhelníkového tvaru (se zaoblenými rohy, se zakulacenými stranami). Tou největší miskoncepcí u trojúhelníku bylo to, že žáci neměli jasno v tom, které body patří trojúhelníku, a mnozí nepovažovali body ležící uvnitř trojúhelníku (tj. ne na hranici) za body trojúhelníku (asi 40 % žáků). Mnoho žáků 17

18 1. stupně se ve výuce setká s tím, že modelují trojúhelníky z dřívek nebo na geodesce z gumičky. Zde může vznikat nesprávná představa o tom, co to trojúhelník vlastně je. Jiná možná příčina mohou být obrázky v učebních materiálech, které většinou také obsahují pouze hranici trojúhelníku a ne jeho vnitřek. 3. Výzkum geometrického myšlení na 1. a 2. stupni ZŠ Zajímalo mě, jaký je další vývoj žákovských představ o základních geometrických útvarech. Chtěla jsem vědět důvody, podle kterých se žáci rozhodují o geometrických útvarech. Podle van Hieleho stupnice by žáci 4. ročníku měli být povětšinou na úrovni analýzy, tj. měli by být schopni zdůvodnit své rozhodnutí, přitom by se měli rozhodovat na základě vlastností útvaru, nikoli podle toho, jak na ně útvar působí. V 8. ročníku by již měli žáci přecházet do úrovně neformální dedukce, jejich zdůvodnění by měla být preciznější, měli by si uvědomovat více vlastností útvaru. Původní test jsem proto pozměnila, k otázce např. který útvar je trojúhelník měli žáci také zapsat, proč tak soudí. U každého útvaru byla rovněž možnost útvar vlastními slovy definovat. Test doposud vyplnilo celkově 130 žáků, a to 40 žáků 4. ročníku, 65 žáků 6. ročníku a 25 žáků 8. ročníku. Testování dále pokračuje, výsledky zatím nejsou konečné. Úloha 1: Je útvar na obrázku trojúhelník? Odpověď zakroužkuj a zdůvodni. proč: proč: ano - ne ano - ne proč: proč: ano - ne ano - ne Jednoznačné výsledky jsem dle očekávání získala v případě 1B (rovnoramenný trojúhelník stojící na základně), který většina žáků vnímá jako prototyp trojúhelníku. V tomto případě 100 % žáků 4., 6. i 8. ročníku odpovědělo, že útvar je trojúhelník. Zajímavé bylo sledovat zdůvodnění žáků. Pro některé bylo určujícím faktorem to, že útvar má tři strany, nebo že má tři vrcholy, ale také že má rovné strany (bez udání jejich počtu). Velmi často byla ale odpověď: vypadá jako trojúhelník. Tj. přesně takto má vypadat trojúhelník. Tato odpověď se nejčastěji objevovala u žáků 4. ročníku a nejméně často u žáků 8. ročníku. Žákova orientace na prototypický tvar a orientaci útvaru sice s věkem a přibývajícími zkušenostmi klesá, avšak odpověď je velmi naivní a neměla by se vyskytovat ani u žáků 4. ročníku. Někteří žáci 8. ročníku byli schopni zvažovat také součet úhlů trojúhelníku, což je vlastnost, která se učí ve vyšších ročnících 2. stupně. Různé odpovědi a jejich procentuální zastoupení jsou uvedeny v tabulce 1. 18

19 Tabulka 1. Odpovědi na úlohu 1B. Odpověď 4. ročník 6. ročník 8. ročník Má 3 strany 20 % 12 % 48 % Má 3 vrcholy 8 % 25 % 4 % Má rovné strany 0 % 9 % 0 % Má 3 úhly 3 % 3 % 0 % Úhly dohromady dávají % 0 % 8 % Vypadá jako trojúhelník 25 % 12 % 8 % Žáci k popisu používali různé nepřesné termíny, vrchol např. nazývali jako špičku nebo rožek, stranu jako čáru nebo hranu. Přesná terminologie je přitom jedna z částí geometrického myšlení, kterou je třeba cíleně rozvíjet. Dle Hoffera (1981, citováno z Dindyal, 2015) jsou verbální dovednosti (tj. správné používání terminologie a přesné vyjadřování při popisování geometrických pojmů) jednou z pěti dovedností, které se mají ve výuce geometrie rozvíjet. Těmito dovednostmi jsou vizuální dovednosti, verbální dovednosti, dovednosti znázorňování a zakreslování, logické dovednosti a schopnosti aplikace. Na obrázku 1 je ukázka řešení žáka 4. ročníku, na níž můžeme sledovat potíže a nepřesnosti při vyjadřování. Obrázek 1. Řešení úlohy 1 žákem 4. ročníku. Ve výsledcích úlohy 1A (tupoúhlý trojúhelník stojící na vrcholu) se projevilo, že zaměření na tvar a orientaci klesá s věkem žáků. Celkové výsledky jsou uvedeny v tabulce 2. Tabulka 2. Celkové výsledky úlohy 1A. Je útvar 1A trojúhelník? 4. ročník 6. ročník 8. ročník Ano 70 % 88 % 96 % Ne 30 % 12 % 4 % Žáci, kteří volili odpověď ano, nejčastěji uváděli zdůvodnění, že útvar má 3 strany. Žáci, kteří zvolili ne, uváděli jako zdůvodnění to, že je nakřivo, nebo že všechny strany nejsou stejně dlouhé, ale objevovala se i další zdůvodnění. Mnoho žáků neuvedlo žádné zdůvodnění. Různé odpovědi a jejich procentuální zastoupení jsou uvedeny v tabulce 3. 19

20 Tabulka 3. Odpovědi pro úlohu 1A. Odpověď 4. ročník 6. ročník 8. ročník Má 3 strany 20 % 12 % 44 % Má 3 vrcholy 10 % 22 % 4 % Má 3 strany a 3 vrcholy 0 % 5 % 4 % Má 3 rovné strany 0 % 10 % 0 % Má rovné strany 0 % 15 % 0 % Má 3 úhly 0 % 3 % 0 % Úhly dohromady dávají % 0 % 8 % Je nakřivo ne 10 % 6 % 0 % Všechny strany nejsou stejně dlouhé ne 10 % 0 % 0 % Z odpovědi má rovné strany lze soudit, že pro některé žáky není jednoznačné, zda strana trojúhelníku je automaticky úsečka, zda by se nemohlo jednat i o křivku. Někteří žáci také zvažovali trojúhelníkovou nerovnost. Na následujícím obrázku vidíme, že žák 6. ročníku usoudil, že trojúhelník 1A nesplňuje trojúhelníkovou nerovnost. Trojúhelníkovou nerovnost desinterpretoval a vyložil si ji nesprávně. Můžeme si všimnout, že měl problémy vyjádřit své myšlenky. Obrázek 2. Řešení úlohy 1 žákem 6. ročníku. U úlohy 1C ubývalo nesprávných odpovědí od 4. do 8. ročníku, jak je vidět v tabulce 4. Žáci, kteří se domnívali, že útvar je trojúhelník, nejčastěji jako zdůvodnění uváděli, že má 3 strany. Termín strana tedy pro ně není ustálený. Žáci, kteří útvar nepovažovali za trojúhelník, uváděli, že nemá rovné strany, nebo má více než 3 strany, má více než 3 vrcholy. Tabulka 4. Celkové výsledky úlohy 1C. Je útvar 1C trojúhelník? 4. ročník 6. ročník 8. ročník Ano 18 % 9 % 0 % Ne 82 % 91 % 100 % Úloha 1D měla ještě vyšší úspěšnost. Jako zdůvodnění žáci uváděli, že nemá rovný spodek, nemá rovné strany a více logická zdůvodnění, jako má 4 strany, má 4 vrcholy nebo má 4 úhly. Celkové výsledky jsou uvedeny v tabulce 5. 20

21 Tabulka 5. Celkové výsledky úlohy 1D. Je útvar 1D trojúhelník? 4. ročník 6. ročník 8. ročník Ano 8 % 3 % 0 % Ne 92 % 97 % 100 % Úloha 2: Doplň: Trojúhelník je Úkolem žáků v úloze 2 bylo vyjádřit vlastními slovy, co je trojúhelník. Nejčastější odpovědí bylo útvar se 3 stranami. Termín strana přitom u mnoha žáků není správně vytvořen. Někteří žáci přidali přívlastek geometrický, jen minimum žáků uvedlo, že se jedná o rovinný útvar. V některých případech zcela chyběl podmět. Mnoho žáků neuvedlo žádnou odpověď. Nejčastější odpovědi a jejich procentuální zastoupení jsou uvedeny v tabulce 6. Tabulka 6. Odpovědi v úloze 2. Trojúhelník je 4. ročník 6. ročník 8. ročník Bez odpovědi 40 % 17 % 16 % geometrický útvar se 3 stranami 30 % 31 % 28 % geometrický útvar se 3 stranami a 3 vrcholy 3 % 9 % 8 % geometrický obrazec se 3 3 % 15 % 4 % vrcholy má dvě ramena stejně dlouhá a větší než spodní 5 % 10 % 0 % Žák 4. ročníku na obrázku 3 vychází z nesprávné představy, že trojúhelník je pouze rovnoramenný trojúhelník. Ve větě chybí podmět. Obrázek 3. Specifikace trojúhelníku žákem 4. ročníku. Jeden z nejšikovnějších žáků 8. ročníku zmiňuje, že se jedná o rovinný útvar a přestože jím uvedená definice (obrázek 4) by byla velmi netypická (uvádí vlastnost, která není vnímána jako definitorická součet vnitřních úhlů), do této specifikace spadají opravdu všechny trojúhelníky. Obrázek 4. Žák 8. ročníku podává jednu z nejlepších odpovědí. 21

22 Úloha 3. Pro trojúhelník ABC doplň: Zakroužkuj všechny body trojúhelníku: A B C D E F Zakroužkuj vrcholy trojúhelníku: A B C D E F Zapiš strany trojúhelníku: Již dříve bylo uvedeno, že mnoho žáků 4. ročníku mělo nesprávnou představu o vnitřních bodech trojúhelníku. Proto mě zajímalo, jak se tyto představy mění v průběhu 2. stupně ZŠ. Nejméně problematická byla druhá část, tedy určit vrcholy trojúhelníku. Správnou odpověď uvedlo 65 % žáků 4. ročníku, 98 % žáků 6. ročníku a 88 % žáků 8. ročníku. Třetí úkol splnilo správně 35 % žáků 4. ročníku, 74 % žáků 6. ročníku a 72 % žáků 8. ročníku. Větší část žáků přitom volila označení pomocí krajních bodů, tj. AB, BC, AC, nežli označení malým písmenem a, b, c. Nejčastějšími chybami bylo označení A, B, C, případně AB, BC, AC, nebo také 3 cm, 5 cm, 6 cm. U první části jsme se setkali s rozličným pojetím. Někteří žáci za body trojúhelníku vnímají pouze jeho vrcholy. Někteří naopak vrcholy za body trojúhelníku nepovažují, a označili pouze body E a F. Jiní žáci za body trojúhelníku považují pouze body A, B, C a E. Vyskytly se i další odpovědi. Nejčastější odpovědi jsou uvedeny v tabulce 7. Tabulka 7. Které body patří trojúhelníku? Odpověď 4. ročník 6. ročník 8. ročník Správně A, B, C, E, F 8 % 26 % 48 % Pouze body E, F 18 % 40 % 8 % Pouze body A, B, C 13 % 2 % 0 % Pouze bod E 10 % 6 % 28 % Pouze bod F 18 % 3 % 4 % Pouze A, B, C, E 3 % 8 % 4 % Body D, E, F 25 % 5 % 0 % 4. Závěr Je zjevné, že na 2. stupni ubývá miskoncepcí o trojúhelníku. Žáci 8. ročníku např. nepovažují za důležité aspekty otočení nebo netypický tvar. I u osmáků se však setkáme s naivním vyjadřováním, používáním nesprávných termínů a desinterpretací některých faktů. Mnozí žáci napříč ročníky nemají usazené některé pojmy, jako je např. strana. Žáci si nejsou jisti, zda je strana úsečka, nebo i křivka Z výsledků je patrné, že žáci se ve výuce nesetkávají s tím, že by pojem nějakým neformálním způsobem vymezovali. Proto i žáci 8. ročníku měli velké problémy s vymezením pojmu. Někteří k popisu používali velmi naivní vyjadřování, někteří zvažovali jen některé vlastnosti trojúhelníku a neuvažovali protipříklady. Žáci mají značné problémy s chápáním, které body patří trojúhelníku. V této souvislosti pro ně může být matoucí práce se dřívky nebo s geodetkou. Tím nechci říci, že by žáci neměli s těmito pomůckami pracovat určitě měli, protože pomůcky rozvíjí 22

23 některé důležité představy. Je však žáky třeba upozornit, že nemodelujeme trojúhelník, ale pouze jeho hranici. Podle mého názoru nejsou žáci 8. ročníku na úrovni neformální dedukce, kde by měli být podle van Hieleho teorie. Dokládá to jejich malá schopnost útvar správným a vyčerpávajícím způsobem specifikovat. Bez této schopnosti stěží mohou provádět důkazy některých tvrzení o trojúhelnících. Literatura CUTUGNO, P., SPAGNOLO, F. (2014). Misconceptions about triangle in Elementary school. Diakses tanggal, 24. DINDYAL, J. (2015). Geometry in the early years: a commentary. ZDM Mathematical Education. FIZ Karlsruhe. GIAQUINTO, M. (2007). Visual Thinking in Mathematics. An epistemological study. Oxford: University Press. HOFFER, A. (1981). Geometry is more than proof. Mathematics Teacher, 74, s KOPÁČOVÁ, J., ŽILKOVÁ, K. (2015). Developing children s language and reasoning about geometrical shapes a case study. In Novotná, H. Moraová, H. (Eds.), International Symposium. Elementary Maths Teaching. Prague: Charles University, Faculty of Education. TIPPS, S., JOHNSON, A., & KENNEDY, L. M. (2011). Guiding Children s Learning of Mathematics. Wadsworth, Cengage Learning. TSAMIR, P., TIROSH, D., LEVENSON, E., BARKAI, R., & TABACH, M. (2015). Early years teachers concept images and concept definitions: triangles, circles and cylindres. ZDM Mathematics Education, 47 (3). Mgr. Irena Budínová, Ph.D. Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU Poříčí 31, Brno, Česká republika budinova@ped.muni.cz 23

24 Matematizace slovních úloh problém nejen pro žáky, ale i pro jejich učitele Mathematizing word problems - a problem not only for students but also for their teachers Jana Cachová MESC: C30 Abstract The paper deals with the mathematizing word problems (horizontal and vertical) in the primary education. It shows some of the difficulties of pupils and their teachers. It is possible to focus the teaching on improving correct ideas and understanding. It is necessary to strengthen solving as well as creating tasks and challenges - for students and for future teachers. Key words: word problems, the horizontal and vertical mathematizing, creating problems. Abstrakt Příspěvek se zabývá otázkami matematizace slovních úloh (horizontální i vertikální) v primárním vzdělávání. Ukazuje obtíže nejen u žáků, ale i jejich učitelů. Zlepšení vidí v zaměření vyučovacích přístupů na utváření správných představ a porozumění, především pak v posílení orientace vzdělávání na řešení, ale i tvoření úloh a problémů, a to jak u žáků, tak u budoucích učitelů. Klíčová slova: slovní úlohy, horizontální a vertikální matematizace, tvoření úloh. 1. Ilustrační ukázka na úvod Ve třetím ročníku děti řeší samostatně úlohu: Kolik pětek je potřeba k zapsání všech čísel od 100 do 200? Velmi brzy ukáže výsledek jeden žák, následně několik dalších. Všichni mají správný výsledek 20. Učitelku to zaráží. Sama úlohu řešila mnohem delší dobu. Vyzve žáky, aby komentovali svůj postup řešení. Lukáš: No, já jsem si řekl, že 200 mínus 100 je 100 a 100 děleno 5 je 20 no a měl jsem výsledek. U: Myslíš, Lukáši, že by to mohlo platit vždy při podobném zadání? L: To nevím, ale já to dělal takhle. U: Má někdo jiný způsob řešení, děti? Žáci: Ne, my jsme to řešili stejně jako Lukáš. U: Aha, já to řešila jinak. Dobrá, řekněme, že je to asi dobře. Učitelka se ani nepokusila pochopit řešení žáků. Pravděpodobně si nevěděla rady, Lukášův komentář ji viditelně překvapil. 24

25 2. Matematizace slovních úloh Úlohu je možné řešit různými způsoby. K dobré představě o vlastnostech čísel druhé stovky napomůže například stovková tabulka od 101 do 200 (součást tisícového leporela Das Tausenderbuch, 2012), z níž je počet hledaných číslic dobře vidět (obr. 1). Lukáš i ostatní s velkou pravděpodobností pouze použili zadaná čísla a provedli s nimi formální operaci, aby výsledek mohl odpovídat očekávání učitelky. Obrázek 1. Stovková tabulka druhé stovky z tisícového leporela s vyznačením výskytu číslice 5. Těžko s jistotou říci, co bylo příčinou, že většina žáků uchopila úlohu povrchně. Bez jasné představy o pravidelném narůstání čísel druhé stovky a jejich zápisu v desítkové soustavě pouze pokusně operovali se zadanými hodnotami. Učitelka nejspíš zařadila tuto úlohu v dobré víře podpořit rozvoj myšlení žáků. Sama ale nebyla schopna reagovat na nečekané řešení, které ji zmátlo o to víc, že se žáci dobrali k výsledku, který považovala za správný. Mezi příčiny chybné matematizace slovních úloh může často patřit také formální a šablonovitý přístup k jejich řešení. Příkladem šablonovitého přístupu k řešení slovních úloh je i striktní požadování jednotného způsobu zápisu slovní úlohy - viz obrázek 2 z jiné školy na začátku druhé třídy. Dívenka úlohu správně vyřešila a zapsala odpověď, učitelka ale po ní požaduje jednotný zápis, zbytečně obohacený o algebraickou neznámou x. Obrázek 2. Ukázka opraveného řešení slovní úlohy. Za formálním postupem žáků při řešení slovních úloh často stojí převládající tzv. mechanické vzdělávání. To se projevuje absencí jak horizontální, tak vertikální matematizace. Horizontální matematizací se rozumí proces, v němž je problém z reality připravován k matematickému zpracování. Horizontální matematizace vede ze světa reálného života do světa matematiky, tedy např. realita vyjádřená slovní úlohou je popsána rovnicí. Vertikální matematizace pak znamená matematické zpracování 25

26 problému. Horizontální matematizace je tedy vytváření matematického modelu reality, vertikální matematizace znamená fungování modelu. Horizontální matematizace je důležitou součástí procesu poznání, na ní záleží, zda matematickými prostředky získané výsledky mají význam pro studovanou část reality (Kuřina, 2016). Podle přístupů k matematizaci rozlišuje Kuřina v souladu s Treffersem čtyři typy vzdělávání (viz jeho tabulka tab. 1): Tabulka 1. VZDĚLÁVÁNÍ Matematizace Horizontální Vertikální Mechanické - - Empirické + - Strukturalistické - + Realistické + + Pokud chybí horizontální matematizace, děti si správně nepředstaví problém, nedokážou situaci vhodným způsobem modelovat, neznázorňují. Pokud není zastoupena vertikální matematizace, vztah použitý k řešení dále nefunguje nedá se zobecnit pro podobné úlohy. Chceme-li dovést žáka ke správným představám a k porozumění, máme podle Stehlíkové a Cachové (2006) několik možností: vést jej k řešení vhodných problémů a samostatné tvůrčí práci, vycházet ze vztahu matematiky k realitě (pracovat na projektech), pěstovat umění vidět v matematice (proč a jak něco funguje), rozvíjet matematickou gramotnost žáka (učit se pro život). Do výše uvedených možností se promítá jak horizontální, tak vertikální matematizace. Někde je více zastoupena horizontální (projekty, učení pro život), jinde vertikální (umění vidět, jak co funguje), konkrétní poměr zastoupení záleží na charakteru dané situace a učitelově přístupu. L. Ma (1999) za základ matematiky považuje čísla a početní algoritmy. F. Kuřina (Hošpesová a kol. 2011) dodává: k řešení úloh, ke skutečnému jádru matematiky se na elementární úrovni hodí spíše klasická aritmetika, algebra a geometrie... Poznat důkladně vlastnosti čísel, početních operací a strukturu elementární geometrie znamená i budování aparátu k řešení úloh. L. Ma zadávala učitelům netradiční úlohy z elementární aritmetiky. Ukázala, že existují učitelé, kteří učí, aniž by rozuměli obsahu. Že ani pro naše budoucí učitele není matematický obsah vždy zcela jasný, dokládají některé z následujících ukázek úloh, které studenti vytvořili k zadání: Sestavte slovní úlohu, kterou bude možné vyřešit pomocí výpočtu 198 : Andrea: Najdi 3 čísla, jejichž součtem je číslo 198. Jedno číslo je o 16 větší než ostatní. (Řešení: 198 : 3 = 66; č. 66, 66, 82) Bára: Maminka měla 198 korun a chtěla je rozdělit mezi 3 děti, nejstarší z nich dostal o 16 Kč více. Kolik dostalo nejstarší dítě? Adam a Aneta jsou dvojčata a Petr je nejstarší dítě. (Řešení: Dvojčata dostala každý 66 Kč, Petr dostal 82 Kč.) Dana: Adélka, Pepíček a Anička mají celkem 198 kaštanů. Adélka má o 16 více než Pepíček a Anička. Kolik má kdo kaštanů? Eva: Na stavbu pyramidy bylo potřeba 198 krychlí. Pyramida se ale stavěla z kvádrů. Jeden kvádr měl spojené 3 krychle. Při dostavbě zaútočil nepřítel a muselo se dodat ještě 16 kvádrů. Kolik kvádrů se spotřebovalo? 26

27 Andree, Báře, ani Daně se nepovedlo dodržet, aby jejich zadání odpovídalo danému výpočtu. Přitom jim nevadí, že součet všech třech částí převyšuje zadaný celek. Studenti většinou volili úlohy s rozdělováním kaštanů, peněz nebo bonbonů mezi děti, neobjevila se zajímavější propojení s realitou. Evino zadání je sice takovým pokusem, ovšem stále neumělým. Hledání vhodných reálných situací, na které je možné konkrétní matematický vztah aplikovat, je pro některé studenty učitelství problematické. Žáci pátého ročníku vymýšleli slovní úlohy k zadanému násobení: Planeo Elektro nakupuje 222 ks mobilních telefonů. 1 stojí 9032 Kč. Kolik zaplatí za celý nákup? Paní vedoucí nakoupila pro svoji firmu 1234 ks zimních bund. Prodávala je po 678 Kč. Všechny bundy byly vyprodány. Kolik Kč si vydělala paní vedoucí? Ačkoli byly úlohy většinou o nakupování, byly reálnější než počítání kaštanů a bonbonů. 3. Tvořivý přístup k řešení úloh jako cesta k lepší profesionalitě učitele Řešení slovních úloh patří neodmyslitelně k vyučování matematice. V přípravě učitele primárního vzdělávání je zapotřebí posílit nejen jejich řešení, ale zároveň tvoření. Ukotvení didaktiky v matematických souvislostech, respektující zákonitosti pedagogiky a psychologie, je základem zvyšování profesionality vyučování v primární škole. V americké pedagogice se vžil termín L. S. Shulmana didaktická znalost obsahu, pro Evropu je ale spojení didaktiky a matematiky přirozené (Hošpesová a kol. 2011). V hodině je důležité vycházet z tvořivé činnosti žáků, vedoucí k nabývání zkušeností důležitých pro porozumění a formování správných představ o věcech a jevech. Dobře vedené vyučování může rozvíjet myšlení i celou osobnost, učit správným pracovním návykům. Ve školské praxi tomu tak často není - nejen v posledních letech. Už F. Krček a C. Kehr (1889) upozorňují: Kvap, s jakým mnozí učitelé vyučují, a kupení a hromadění učiva, v němž si mnohá škola libuje, jsou trvalosti a drženlivosti vyučování na převelikou ujmu a pravidla početní se nepodávají, nýbrž vyhledávají, vyvozují se od žáků cestou názoru a cvičení. F. Kuřina vidí jako pomyslný lék orientaci matematického vzdělávání na řešení úloh, tedy na rozvíjení myšlení ve vyučování (podrobně Hošpesová a kol. 2011). Cestou k dobrému vyučování je tak práce s vhodnými úlohami a problémy. Literatura HOŠPESOVÁ, A., A KOL. Matematická gramotnost a vyučování matematice. České Budějovice: Jihočeská univerzita, ISBN KEHR, K., KRČEK. F. Praxe ve škole obecné. Winkler, Brno, KUŘINA, F. Matematika jako pedagogický problém. Gaudeamus, Hradec Králové, ISBN: STEHLÍKOVÁ, N., CACHOVÁ, J. Konstruktivistické přístupy k vyučování a praxe. In Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě ŠVP : Studijní materiály k projektu. 1. vyd. Praha: JČMF, ISBN WITTMANN, E., MÜLLER, G. Das Tausenderbuch mathe 2000, Klett, Stuttgart, PhDr. Jana Cachová, Ph. D. Katedra matematiky PřF UHK Rokitanského 62, Hradec Králové jana.cachova@uhk.cz 27

28 Tablet vo vyučovaní matematiky Tablet in Mathematics Education Soňa Čeretková, Ivana Boboňová, Mária Bernáthová MESC: Q63,U73 Abstract Since 2013, several projects dealing with the implementation of tablets in primary and secondary education have been carried out in Slovakia. The use of tablets in education create more dynamic learning atmosphere and, subsequently, the requirements on teacher competence are also being changed. The article offers a comparison of teachers' and pupils' activities in solving the same mathematical problem traditionally and using tablets and Samsung School system. Key words: tablet, mathematics, handout, Samsung School. Abstrakt Od roku 2013 sa na Slovensku realizujú viaceré projekty zaoberajúce sa implementáciou tabletov do vyučovania v primárnom a sekundárnom vzdelávaní. Využitie tabletov dynamizuje atmosféru vyučovacej hodiny a tým sa výrazne menia aj požiadavky na kompetencie učiteľa. Článok prináša porovnanie práce učiteľa a žiakov pri riešení tej istej matematickej úlohy tradične a s využitím tabletov a systému Samsung School. Kľúčové slová: tablet, matematika, pracovný list, Samsung School. 1. Digitálne technológie na slovenských školách Digitálne technológie na slovenských školách začínajú reálne prispievať k inovatívnemu spôsobu výučby. Nezisková organizácia EDULAB v spolupráci so spoločnosťou Samsung Electronics Czech and Slovak, s.r.o., začala v roku 2013 realizovať pilotný projekt Škola na dotyk, ktorého cieľom bolo nielen dodať školám tablety a iné dotykové technológie, ale hlavne vytvoriť dlhodobo fungujúce prostredie pre ich využívanie vo výučbe (skolanadotyk.sk, 2013). Inovatívny spôsob výučby pomocou tabletov a dotykových displejov, ktorý sa realizoval v rámci pilotného projektu Škola na dotyk sa naplno rozbehol v roku 2014 na všetkých zúčastnených školách. Ide doposiaľ o najväčší projekt svojho druhu na Slovensku (skolanadotyk.sk, 2014). Do projektu bolo vybratých 12 základných a stredných škôl z celého Slovenska. Ich výber sa uskutočnil na základe kvality projektov predložených školami. Každá zo zúčastnených škôl následne získala, v závislosti od počtu žiakov, približne 30 tabletov, dotykový displej a ďalšie technológie, ktoré žiaci denne využívajú na vyučovaní (skolanadotyk.sk, 2013). Školy 28

29 získali nielen technické vybavenie, ale aj softvérovú a didaktickú podporu od organizátora projektu, neziskovej organizácie EDULAB (skolanadotyk.sk, 2014). Projekt Škola na dotyk sa v roku 2015 rozšíril aj v univerzitnom prostredí pod názvom Škola na dotyk Univerzita. Cieľom bolo vytvorenie tabletových učební na pôde univerzít a začlenenie práce s dotykovými technológiami do bežného vysokoškolského kurikula so zámerom pripravovať budúcich učiteľov v podmienkach, ktoré ich čakajú v ich budúcom zamestnaní (skolanadotyk.sk, 2017). V rovnakom období prebiehal na Slovensku aj národný projekt Elektronizácia vzdelávacieho systému regionálneho školstva. Jeho cieľom bolo zriadenie a vybavenie digitálnych učební, vytváranie digitálneho vzdelávacieho obsahu a vyškolenie vybraných osôb pre zabezpečenie ďalšieho vzdelávania pedagogických pracovníkov. V rámci národného projektu získali materské, základné a stredné školy na Slovensku (s výnimkou Bratislavského kraja) moderné digitálne vybavenie, ktoré im umožní modernizovať výučbu. Spolu škôl bolo vybavených modernou tabletovou učebňou. Partnerom projektu bolo Metodicko-pedagogické centrum, ktoré zodpovedalo za organizačno-personálne zabezpečenie využívania digitálnych vzdelávacích materiálov pre moderné formy vyučovania (digiskola.sk, 2017). Na efektívne využívanie digitálnych technológií vo vyučovaní je potrebné vytvoriť adekvátne pracovné podmienky pre učiteľov, ktoré im umožnia naplno sa venovať zvyšovaniu svojich vedomostí a zručností v oblasti digitálnej gramotnosti. Zdieľanie edukačných aplikácií, či vytvorených metodických materiálov, ale aj zážitkov a skúseností z používania tabletov vo vyučovaní považujeme za veľmi prínosné a preto v tomto článku prinášame ukážku matematickej úlohy, ktorú možno riešiť s využitím tabletu a systému Samsung School. 2. Porovnanie práce s klasickým pracovným listom a práce s tabletom v prostredí Samsung School V nasledujúcom texte uvedieme ukážky matematickej úlohy, ktorá je zložená z troch nadväzujúcich zadaní (úloha 1.1, 1.2 a 1.3). V tabuľkách porovnávame jednotlivé kroky riešenia a prácu žiakov a učiteľa pri tradičnom vyučovaní a pri práci s tabletmi. Úloha bola riešená na jednej vyučovacej hodine matematiky v piatom ročníku v triede, ktorú navštevujú žiaci so všeobecným intelektovým nadaním. Úloha 1.1 Traja kamaráti sa rozhodli, že na Veľkonočný pondelok pôjdu vyšibať päť svojich spolužiačok. Nevedeli presne, kde ktorá spolužiačka býva, ale poznali názov ulice na sídlisku a mali ďalšie informácie, ktoré im mohli pomôcť spolužiačky nájsť. Pomôžte chlapcom vypátrať adresy dievčat. Spolužiačky Evka, Zuzka, Milka, Lucka a Katka bývajú takto: Eva býva v činžiaku, ktorý má v susedstve len jeden činžiak a rovnako býva aj Zuzka. Lucka nebýva pri Evke ani Zuzke. Katka má za susedu Zuzku. Tabuľka 1. Metodický komentár k procesu riešenia úlohy 1.1. Klasický pracovný list Tablet a Samsung School Žiaci pri hľadaní riešenia zapisujú Funkcia pera v tablete umožňuje ceruzkou, pri omyle prečiarkujú, gumujú, zapisovať riešenie, funkcia gumy riešenie na papierovom pracovnom liste nezanecháva stopu, riešenie je sa stáva neprehľadným. prehľadné, žiak voľne experimentuje. 29

30 Učiteľ priebežne zisťuje, aké riešenia žiaci navrhujú, musí chodiť pomedzi žiakov, kladie otázky, aby zistil, kto postupuje v riešení správne. Učiteľ hľadá správne riešenia v pracovných listoch jednotlivých žiakov, ak riešenia hneď hodnotí, zapisuje na papierový pracovný list body, udeľuje pečiatky a pod. Žiak má svoje riešenie vyriešené na papierovom pracovnom liste a keď je vyzvaný, aby s riešením oboznámil ostatných spolužiakov, musí použiť tabuľu a prekresliť obrázok. Úloha má dve riešenia, to predstavuje nové kreslenie na tabuli, vzniká napríklad riziko, že si predošlé riešenie musíme kvôli miestu na tabuli zotrieť a pod.. Učiteľ monitoruje žiakov vo svojom tablete z jedného miesta, vlastné správne riešenie aj riešenia jednotlivých žiakov má v tablete pohotovo pred sebou. Učiteľ vo svojom tablete monitoruje prácu všetkých žiakov súčasne, správne riešenie okamžite ohodnotí spätnou väzbou do tabletu žiaka. Riešenie každého žiaka je možné zdieľať do všetkých žiackych tabletov naraz, prezentujúci žiak prepne funkciu pera z písania na ukazovadlo a môže svoje riešenie okamžite prezentovať ostatným. Ďalšie správne riešenie umožní učiteľ zdieľať do všetkých tabletov - všetkým žiakom, nič sa nezotiera, nemaže. Úloha 1.2 Teraz už vieme, v ktorom činžiaku býva, ktorá kamarátka. Ešte musíme zistiť poschodie a číslo bytu. Číslo poschodia a bytu je výsledok výpočtu aritmetickej úlohy. Vieme, že každá kamarátka býva v byte, ktorého číslo dáva ciferný súčet 9. Jedno z dievčat upresnilo: Ja bývam na prízemí a každá ďalšia kamarátka býva o poschodie vyššie. Tabuľka 2. Metodický komentár k procesu riešenia úlohy 1.2. Klasický pracovný list Tablet a Samsung School Žiaci riešia 25 aritmetických úloh v obore malej násobilky. Žiaci zapisujú riešenia do papierového pracovného listu alebo do zošitov. Kontrola správnych výpočtov spočíva v prečítaní výsledkov všetkých 25 výpočtov. Každý žiak si nahrá zadanie do svojho tabletu zo spoločne zdieľanej databázy úloh (napr. Dropbox). Učiteľ monitoruje na svojom tablete výsledky každého žiaka. Nie je potrebné čítať výsledky nahlas. Učiteľ vidí správne alebo chybné riešenia jednotlivých žiakov. Ak chce učiteľ upozorniť žiaka na chybu a vyžaduje, aby žiak prepočítal zadanie ešte raz, nemusí žiaka upozorniť menovite, ale využije možnosť súkromnej hodiny s daným žiakom: na učiteľskom tablete zdieľa obsah žiakovho tabletu a podčiarkne chybné výsledky, Žiaci si zoberú pero (ceruzku, pastelku) inej farby a hľadajú výsledky, v ktorých je ciferný súčet 9. Opäť môže nastať situácia že je potrebné opravovať (gumovať, škrtať). ktoré by si mal žiak opraviť. Žiaci využijú funkciu pera, zmenia farbu pera. Ak sa žiak pomýli, jednoducho chybné označenie odstráni a riešenie je opäť prehľadné. 30

31 Žiaci zistia, že súčinov s ciferným súčtom 9 je viac ako je dievčeniec. Dôležité je vrátiť sa k zadaniu úlohy a uvedomiť si, čo povedala v poslednej vete zadania spolužiačka (čítanie s porozumením). Prostredie na tablete je prehľadné a žiak si rýchlejšie uvedomí dôležitú informáciu v závere zadania. Žiaci zmenia farbu pera a už len vyznačia ako dievčence bývajú od prízemia po najvyššie poschodie. Úloha 1.3 Dievčatá sa na príchod chlapcov tešili a pripravovali. Každá ozdobila kraslicu a použila nasledovné ozdoby: Ozdobte i vy veľkonočnú kraslicu. Použite tie isté ozdoby geometrické útvary, ktoré použili spolužiačky. Tabuľka 3. Metodický komentár k procesu riešenia úlohy 1.3. Klasický pracovný list Tablet a Samsung School Žiaci pri riešení vyfarbujú v papierových listoch pastelkami. Žiaci vyfarbujú v tablete pomocou funkcie pero. Spoločné prezentovanie riešenia v triede Učiteľ monitoruje všetky tablety, vidí sa môže uskutočniť presunom stoličiek všetky riešenia, svoj tablet zdieľa na do kruhu alebo umiestnením obrázkov na lavice, pripnutím na nástenku a pod.. Žiaci svoje riešenia porovnávajú a zistia, že interaktívnu tabuľu a všetci žiaci vidia riešenia všetkých spolužiakov naraz na interaktívnej tabuli. riešenia sú rôzne a pestré. 3. Záver Práca s digitálnym vzdelávacím obsahom a využitie rôznych digitálnych aplikácií a systémov zdieľania digitálneho obsahu učiteľom a žiakmi počas vyučovacej hodiny s tabletmi prináša súčasnému učiteľovi výzvy k ďalšiemu, permanentnému vzdelávaniu, t. j. nadobúdaniu nových kompetencií najmä v oblastiach organizácie vyučovacej hodiny a primeranej adaptácie obsahu vyučovania do podoby využiteľnej v práci s tabletmi. Otázka, do akej hĺbky dokáže vyučovanie s využitím tabletov nahradiť tradičné vyučovanie (napríklad matematiky) a aké nové kompetencie bude musieť učiteľ zvládnuť, je iba jednou z množstva otázok. Aktuálne sa na súčasné školstvo kladie výzva vzdelávať generáciu žiakov, ktorej sa hovorí (Pilný a Kučerová, 2014) digitálni domorodci alebo generácia Y. Táto výzva nemôže byť ignorovaná. Poďakovanie. Táto práca bola podporovaná Agentúrou na podporu výskumu a vývoja na základe Zmluvy č. APVV Literatúra PILNÝ, I., KUČEROVÁ, T. Manéž informačního věku. 2014, BizBooks. Albatros Media a.s.. ISBN digiskola.sk Národný projekt: Elektronizácia vzdelávacieho systému regionálneho školstva. On line [ ] 31

32 skolanadotyk.sk Tablety mieria do škôl. On line [ ] _final.pdf. skolanadotyk.sk Výučba pomocou tabletov sa rozbehla naplno. On line [ ] uploads/ts_skola_na_dotyk_02-1.pdf. skolanadotyk.sk Aktivity. On line [ ] doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD Katedra matematiky FPV UKF v Nitre Tr. A. Hlinku 1, Nitra sceretkova@ukf.sk PaedDr. Ivana Boboňová, PhD. Katedra matematiky FPV UKF v Nitre Tr. A. Hlinku 1, Nitra ibobonova@ukf.sk Mgr. Mária Bernáthová ZŠ Benkova Nitra mabernathova@gmail.com 32

33 Analýza vzdělávacích potřeb a kompetencí učitelů 1. stupně ZŠ v Olomouckém kraji k implementaci a využívání ICT ve výuce matematiky Analysis of Educational Needs and Competencies of Primary School Teachers in the Olomouc Region for the Implementation and Use of ICT in Teaching Mathematics Radka Dofková, David Nocar MESC: U72 Abstract The article analyses using ICT in mathematical education by primary school teachers in Olomouc region: presentational and mathematical software, interactive whiteboard, using and creating e-learning environments and learning materials, etc. The article is based on the results of the research realized in schools in 2015/2016, aiming to identify the training needs of teachers in different areas. Key words: teaching of mathematics, ICT, teacher, primary school. Abstrakt Příspěvek analyzuje užívání ICT prostředků ve výuce matematiky učiteli prvního stupně ZŠ v Olomouckém kraji: prezentační a matematický software, interaktivní tabule, využití a tvorba e-learningových prostředí a studijních materiálů apod. Vychází z výsledků výzkumného šetření realizovaného ve školním roce 2015/2016 na školách, jehož cílem bylo identifikovat vzdělávací potřeby učitelů v různých oblastech. Klíčová slova: výuka matematiky, ICT, učitel, první stupeň ZŠ. Úvodem Jedním z aktuálních trendů soudobého vzdělávání nejen v matematice je implementace digitálních technologií do edukačního procesu. Aplikované technologie jsou využívány ve velké míře (počítače, výukový software, digitální výukové objekty, mobilní zařízení či interaktivní tabule) pro rozvíjení tvořivosti a kreativity žáků. Tento potenciál je v poslední době ještě více umocněn rozvojem mobilních technologií (smartphone, tablet), a proto není divu, že i tyto technologie je potřeba umět efektivně zapojit do vzdělávacího procesu také v matematice, počínaje již výukou na prvním stupni ZŠ. 1. Výzkumné šetření Realizované výzkumné šetření bylo vedeno se záměrem identifikovat vzdělávací potřeby učitelů 1. stupně základních škol Olomouckého kraje na základě jejich aktuálních kompetencí k využívání ICT ve výuce matematiky, a to nejen pro potřeby 33

34 rozšíření nabídky předmětů v rámci dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků, ale i jako reflexe současné skladby matematické komponenty studijní nabídky realizované v prezenční i kombinované formě Katedrou matematiky PdF UP v rámci pregraduální přípravy budoucích učitelů 1. stupně ZŠ. Učitelé ze škol v Olomouckém kraji byli osloveni buď elektronicky, nebo osobně členy realizačního týmu. Celková návratnost dotazníku byla 114. U dotazníků distribuovaných elektronicky lze procentuální návratnost určit velmi těžko. Větší část (zhruba 2/3) byla shromážděna při osobních návštěvách členů výzkumného týmu na školách, kde byla návratnost 100%. Analýzy a grafické výstupy byly zpracovány v programech Microsoft Excel a Statistica. 1.1 Rozdělení respondentů dle délky praxe U sledovaného vzorku respondentů byla proměnná délka praxe klíčovou pro další analýzy. Dalo se předpokládat, že začínající učitelé prvního stupně budou mít jiné požadavky na své další vzdělávání než učitelé, kteří v praxi působí již delší dobu. V dotazníku se respondenti měli identifikovat s jednou z následujících 4 kategorií: a. začínající učitelé (do 5-ti let praxe), b. učitelé s délkou praxe do 15-ti let, c. učitelé s délkou praxe mezi 15-ti a 30-ti lety, d. učitelé s praxí delší než 30 let. Začínajících učitelů odpovědělo celkem 35 (31 %) a tvořili druhou nejpočetnější skupinu. Učitelů s délkou praxe do 15-ti let bylo 25 (22 %). Nejpočetnější skupinou byli učitelé s délkou praxe mezi 15-ti a 30-ti lety, tvořilo ji 40 učitelů (35 %). Relativně silně zastoupenou skupinou (vzhledem ke shromážděnému vzorku respondentů) byli i učitelé s praxí delší než 30 let. Těch bylo celkem 14 (12 %). Takto vytvořené kategorie byly analyzovány z hlediska normality rozdělení hodnot této proměnné. 1.2 Struktura dotazníku Dotazníkové položky byly rozděleny do dvou částí. V první části byly zjišťovány potřebné informace o osobě respondenta - pohlaví, věk, délka učitelské praxe, způsob a preferovaná forma dalšího vzdělávání. Většinu odpovědí bylo možno realizovat výběrem nabízených možnosti, případně doplnit odpověď, která v možnostech obsažena nebyla. Možnosti poslední položky respondenti seřazovali dle míry vlastní preference od hodnoty 1 (odpověď s nejvyšší prioritou) po hodnotu 4. V další části bylo obsaženo 37 dotazníkových položek, formulovaných jako tvrzení, kdy respondent mohl pomocí pětistupňové škály označit míru svého souhlasu s uvedeným tvrzením, kde hodnota 1 označovala naprostý souhlas, hodnota 5 naopak naprostý nesouhlas. Respondenti měli taktéž možnost zvolit nevím, nedovedu odpovědět. Poslední, volitelná, položka byla formulovaná jako volná odpověď, coby doplnění dotazníku o položku s vysokou důležitostí pro respondenta, která však v dotazníku nebyla zahrnuta. Tuto možnost žádný z respondentů nevyužil. Pro získání zpětné vazby o vlastním hodnocení postojů k dosavadním kompetencím učitelů k využívání ICT ve výuce matematiky si ukážeme výsledky získané z následujících položek dotazníku: oblast č. 1: práce s ICT - prezentační software oblast č. 2: práce s ICT - matematický software, internetové zdroje, tvorba vlastních interaktivních a dynamických materiálů oblast č. 3: práce s ICT - interaktivní tabule 34

35 oblast č. 4: využití e-learningových prostředí ve výuce matematiky na základní škole oblast č. 5: tvorba e-learningových studijních materiálů 1.3 Vyhodnocení sledovaných oblastí z dotazníku Celkové rozložení absolutních četností odpovědí učitelů dle uvedených oblastí a jejich poměrové vyjádření je patrné z následujícího grafu (obr. 1): Obrázek 1. Četnost odpovědí učitelů u jednotlivých oblastí. Nyní se podíváme podrobněji na jednotlivé oblasti. V položce zkoumající zájem o vzdělávání v oblasti práce s ICT (prezentačním softwarem), obr. 2, výrazně převažovaly kladné odpovědi. Obrázek 2. Práce s ICT - prezentační software. Další položka (obr. 3) práce s ICT - matematický software, internetové zdroje, tvorba vlastních interaktivních a dynamických materiálů zaujala téměř 60 % respondentů (naprostý souhlas 23,7 %, souhlas 36 %). 35

36 Obrázek 3. Práce s ICT - matematický software, internetové zdroje, tvorba vlastních interaktivních a dynamických materiálů. Položka práce s ICT - interaktivní tabule zaujala (s průměrnou hodnotou 2,04) 73 % respondentů s kladným postojem (naprostý souhlas 31,6 %, souhlas 41,2 %), (obr. 4). Obrázek 4. Práce s ICT - interaktivní tabule. Nízký zájem o téma využití e-learningových prostředí ve výuce matematiky na základní škole (průměrná hodnota 2,80) lze vysvětlit pravděpodobně nedostatečným rozšířením e-learningu na dotyčných školách případně nižší obeznámeností s tímto způsobem realizace a podpory výuky. Celkově téma odmítá téměř 20 % respondentů - 7 % naprosto, 12,3 % vyjádřilo svůj nesouhlas (obr. 5). Obrázek 5. Využití e-learningových prostředí ve výuce matematiky na základní škole. Nízký zájem byl také o téma tvorba e-learningových studijních materiálů (průměrná hodnota 3,19), celkem souhlasilo necelých 23 % učitelů z toho pouhá 4,4 % naprosto. Zde lze usuzovat, že e-learning není na školách, kde oslovení pedagogové 36

37 působí, dostatečně rozšířen natolik, aby cítili potřebu vzdělávat se v uvedené oblasti (obr. 6). Obrázek 6.Ttvorba e-learningových studijních materiálů. Závěr Hodnocení jednotlivých položek zkoumající vzdělávací potřeby učitelů v oblasti ICT bylo víceméně pozitivní. Pouze u dvou položek vyskytujících se v tomto seznamu je poněkud překvapivý nízký zájem o témata, která jsou, případně budou v blízké budoucnosti, aktuální i na základních školách: využití e-learningových prostředí ve výuce matematiky na základní škole a tvorba e-learningových studijních materiálů. Je možné si zde položit otázku, z čeho nízký zájem o uvedená témata pramení. Zda se jedná pro učitele o nezajímavá, neužitečná témata nebo naopak se jedná o témata, která jsou natolik dobře známá, že učitelé nepociťují potřebu se jim věnovat ve svém dalším vzdělávání. Dosažené závěry chápeme jako východiska nejen pro další zkoumání, ale také pro zkvalitnění pregraduální přípravy budoucích učitelů. Výzkumné šetření k využívání ICT ve výuce matematiky na základních školách a s tím související šetření vzdělávacích potřeb učitelů je realizováno v rámci projektu studentské grantové soutěže UP č. IGA_PdF_2017_014. PhDr. Radka Dofková, Ph.D. Univerzita Palackého v Olomouci Pedagogická fakulta, Katedra matematiky Žižkovo nám. 5., Olomouc, Česká republika radka.dofkova@upol.cz Mgr. David Nocar, Ph.D. Univerzita Palackého v Olomouci Pedagogická fakulta, Katedra matematiky Žižkovo nám. 5., Olomouc, Česká republika david.nocar@upol.cz 37

38 Geometrické myslenie študentov predškolskej a elementárnej pedagogiky Geometric thinking of students in preschool and elementary education Ľubica Gerová, Katarína Sebínová MESC: D75 Abstract Development of geometric thinking is a longer process which is necessary to be supported by manipulation activities from childhood. Quality understanding of geometric concepts is important for future elementary teachers. The article presents some factors that tell us about the state of their knowledge and skills during the bachelor study geometry at university. Key words: Primary and pre-primary education, geometry, preschool and elementary pedagogy. Abstrakt Rozvíjanie geometrického myslenia je dlhšie trvajúci proces, ktorý je potrebné podporiť manipulačnými činnosťami od detského veku. Kvalitné pochopenie geometrických pojmov je dôležité pre budúcich učiteľov elementaristov. Článok prezentuje niektoré činitele, ktoré vypovedajú o stave ich vedomostí a zručností počas bakalárskeho štúdia geometrie na vysokej škole. Kľúčové slová: Primárne a predprimárne vzdelávanie, geometria, predškolská a elementárna pedagogika. 1. Úvod Matematická gramotnosť je podstatným pojmom, ktorý je zdôrazňovaný v každom štátnom vzdelávacom programe (ďalej len ŠVP) pre príslušné vekové kategórie od materských po vysoké školy. Mnohé články odbornej verejnosti v poslednom období poukázali na jej klesajúcu úroveň (napr. Gerová, 2013), (Mokriš, 2010), (Scholtzová, 2010). Výsledky rôznych testovacích meraní žiakov základnej školy to potvrdzujú (NÚCEM, 2017). Alföldyová s Palkovou (2016, s. 44) poukazujú na podpriemernú úroveň vedomostí žiakov na začiatku 5. ročníka ZŠ z tematického okruhu geometria a meranie. Na Pedagogickej fakulte UMB v Banskej Bystrici v príprave budúcich učiteľov - elementaristov je vyučovaný predmet Matematická gramotnosť 2, ktorý je orientovaný na tento tematický okruh ŠVP. V nasledujúcej časti uvedieme niektoré výsledky študentov, ktoré preukazujú v tomto predmete. 38

39 2. Úvod do vyučovania predmetu Predmet Matematická gramotnosť 2 je vyučovaný v 2. ročníku bakalárskeho štúdia odboru Predškolská a elementárna pedagogika. V jeho úvode študenti v LMS Moodle absolvujú vstupný test. Cieľom je dať im spätnú väzbu o ich aktuálnych vedomostiach a zručnostiach z geometrického učiva základnej školy, ktorého ovládanie je nutné pre ich ďalšie štúdium. Test pozostáva z 15 úloh. Niektoré úlohy ponúkajú výber odpovedí zo 4 možností (13), niektoré vyžadujú doplniť krátku odpoveď (2). Úlohy sú algoritmické a poloalgoritmické, teda na úrovni reprodukcie (9) alebo prepojenia (6) poznatkov a zručností. Vychádzajú z učiva o rovinných útvaroch (trojuholníky, štvoruholníky), o telesách (kváder), o podobnosti útvarov, o zhodnom zobrazení (osová súmernosť), o miere rovinných a priestorových útvarov. Zadanie štyroch úloh vychádza z reálneho života. Na základe tohto obsahu by mal byť test pre študenta vysokej školy ľahko zvládnuteľný. V školskom roku 2016/17 vstupný test vypracovalo 75 študentov. Výsledky sú vyjadrené v tabuľke 1. Tabuľka 1. Vstupný test. Úspešnosť v teste Počet % 100 % 6 8,00 Aspoň 65 % 37 49,33 Aspoň 50 % 47 62,67 Menej ako 33,33 % 6 8,00 0 % 14 18,67 n=75 Na základe dosiahnutých výsledkov v teste možno konštatovať priemerný výkon študentov z učiva ZŠ. Sú študenti, ktorých úspešnosť bola nulová. To poukazuje na to, že na učiteľské štúdium sa hlásia študenti, ktorí dosahujú priemernú, príp. podpriemernú úroveň matematických poznatkov. Neselektuje ich prijímacia skúška z matematiky, ktorá sa v danom odbore nerealizuje. Vzhľadom na to študenti nie sú nútení zdokonaliť svoje vedomosti a zručnosti z geometrie pred vstupom na vysokú školu. Na začiatku vyučovania daného predmetu študenti odpovedajú aj na dve otázky: 1. Ako hodnotím svoje súčasné geometrické vedomosti a zručnosti? 2. Ako mienim nadviazať svojou prácou v predmete na dosiahnutú úroveň vedomostí a zručností? Ich odpovede sme zhrnuli v tabuľke 2. Tabuľka 2. Odpovede študentov. 1. otázka 2. otázka Úroveň Počet % Počet % Slabá 41 66,13 Zlepšiť základy učiva 33 53,23 Priemerná 16 25,81 Systematické učenie sa 16 25,81 Dobrá 5 8,06 Doučovanie 6 9,08 Zlepšiť porozumenie textu 5 8,06 Využiť spoluprácu 2 3,23 n=62 39

40 Študenti sa zaradili do troch úrovní, podľa ich vyjadrenia slabej, priemernej a dobrej. Uvedomujú si svoju nedostatočnú úroveň na začiatku vyučovaného predmetu. Na základe toho je pre nich náročnejšie nadviazať na ňu požadovaným učivom v semestri. Každý študent (aj pri dobrej úrovni vedomostí) konštatoval potrebu zlepšovať sa v učive ZŠ, lebo ho dostatočne neovláda. Často tiež konštatujú nedostatočnú pozornosť vyučovaniu geometrie na stredných školách (ďalej len SŠ), a to v súvislosti s absenciou tohto tematického okruhu, alebo s vyučovaním v obmedzenom časovom priestore. Ide najmä o školy mimo gymnázií, z ktorých väčšina študentov prichádza študovať odbor Predškolská a elementárna pedagogika. Časť z nich potrebuje doučovanie mimo školy, alebo pomoc spolužiakov, pretože podľa ich konštatovania nie sú schopní problematiku zvládnuť sami. Uvedomujú si problémy v porozumení odborných textov, zadaní úloh, s čím súvisí ich dosiahnutá úroveň verbálnej a symbolickej terminológie. Okrem teoretických základov študenti vidia svoje rezervy vo svojom systéme učenia sa a v systematickom prístupe k učeniu sa. Viacerí študenti uviedli aj viac možností súčasne. Týmito vyjadreniami študenti len potvrdzujú svoje dosiahnuté výsledky vo vstupnom teste. 3. Testy na priebežné overovanie vedomostí a zručností Študenti mohli preukázať svoje predsavzatia zlepšovať sa v priebehu štúdia predmetu Matematická gramotnosť 2. Ich spätnou väzbou boli aj priebežné výsledky testov v 13 preberaných témach, ktoré im boli zadané v LMS Moodle, a to: Výstavba geometrie (T1), Priestorová predstavivosť (T2), Bod, priamka, polpriamka, úsečka (T3), Rovina, polrovina (T4), Rovinné útvary (T5), Zhodnosť rovinných útvarov (T6), Polohové vlastnosti a kolmosť v priestore (T7), Niektoré topologické pojmy (T8), Telesá (T9), Miera rovinných útvarov (T10), Miera priestorových útvarov (T11), Zhodné zobrazenia (T12), Podobnosť útvarov (T13). Testy vypracovalo 74 študentov. Dosiahnutú úspešnosť prezentuje tabuľka 3. Tabuľka 3. Priebežné testy. Testy Úspešnosť % Testy Úspešnosť % T1 55,14 T8 49,85 T2 42,16 T9 65,92 T3 43,81 T10 45,05 T4 38,42 T11 48,21 T5 48,65 T12 35,14 T6 34,46 T13 34,64 T7 38,82 Cieľom zadaných testov bolo, aby študent zistil, či si v dostatočnej miere doplnil učivo geometrie ZŠ a ako dokázal na to nadviazať učivom daného predmetu. Typy úloh a ich úrovne riešenia boli podobné ako vo vstupnom teste. Úspešnosť v riešení nebola vyššia ako 66 %. Najslabšie výsledky dosiahli študenti v teste T6 (34,46 %) a T13 (34,64 %), ktoré sa týkali relácií v geometrii (zhodnosť a podobnosť rovinných útvarov). S nimi sa v činnosti stretávajú i deti predškolského veku. Uvádzame ukážku najslabšie vyriešených úloh v T6 (18,92 %) a v T13 (14,86 %): 40

41 Uvažujme len konvexné uhly. Ktorý striedavý uhol je zhodný s uhlom TQR? (Pri označení uhla zvoľte abecedné poradie bodov ležiacich na jeho ramenách.) T6 Trojuholník MNO na obrázku je pravouhlý. Úsečka OP je jeho výška. Ktoré z trojuholníkov MPO, OPN, MON sú podobné? Označte jednu odpoveď. 1. Iba MPO a OPN. 2. Žiadne dva. 3. Iba OPN a MON. 4. Všetky tri. T13 Medzi nimi sú úlohy na reprodukčnej úrovni i úrovni prepojenia poznatkov. Študenti najviac uspeli v teste T9 (65,92 %) súvisiacim s témou Telesá. Najvyššiu úspešnosť (82,43 %) dosiahli v algoritmickej úlohe, v ktorej bolo potrebné určiť počet vrcholov, hrán a stien štvorstena. Aj keď celková úspešnosť v tomto teste bola najvyššia zo všetkých, nie je postačujúca. Najlepšie vyriešenou úlohou je úloha na úrovni reprodukcie, nevyriešilo ju však správne 17,57 % študentov. Ukazuje sa, že väčšina študentov potrebuje väčší časový priestor na zlepšenie základov geometrie na úrovni učiva ZŠ, ako majú k dispozícii počas predmetu Matematická gramotnosť 2. Pretrvávajúce problémy im naznačujú, že musia vynaložiť ešte viac úsilia a systematickej práce, ako predpokladali na začiatku predmetu. Pomôcť v tom im môžu aj dobrovoľné konzultácie na vysokej škole, ktoré však využívajú zriedka. 3. Záver Potvrdzuje sa, že sa nezvyšuje kvalita geometrických vedomostí a zručností študentov prijatých na štúdium odboru Predškolská a elementárna pedagogika. V predchádzajúcom období o nej písala i širšia odborná verejnosť napr. (Gerová, 2016), (Žilková, 2014), (Kuřina, 2016) a ďalší. Poukázala na príčiny a navrhla i možnosti riešenia. Tie sú predovšetkým v rukách systematického riešenia problematiky na celoštátnej úrovni a učiteľov ZŠ a SŠ. Budúci učitelia primárneho a predprimárneho vzdelávania majú sklon k menej presnej popisnej geometrickej koncepcii, ktorá je však určená skôr predškolskému a mladšiemu školskému veku. V ich učiteľskej príprave je preto potrebné klásť väčší dôraz na presnosť a správnosť ich geometrických predstáv. Na základe sebareflexie sami študenti musia vytrvať v svojej dôslednejšej príprave. Poďakovanie: Príspevok je súčasťou riešenia projektu KEGA 003TTU-4/2015 Elektronické kurzy pre vyučovanie matematiky na základných školách a v prvých 4 ročníkoch osemročných gymnázií. 41

42 Literatúra ALFÖLDYOVÁ, I. PALKOVÁ, V Úlohy z geometrického učiva v rámci Testovania In Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae, Universitas Catholica Ružomberok. Ružomberok : 2016, Verbum, ročník 11, č. 4, s ISSN GEROVÁ, Ľ Pripravenosť študentov k štúdiu matematiky na vysokej škole. In Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou Matematika v primárnej škole, Rôzne cesty, rovnaké ciele. Prešov : PF PU, s ISBN GEROVÁ, Ľ Geometrické predstavy budúcich učiteľov pre predprimárne a primárne vzdelávanie. In Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae, Universitas Catholica Ružomberok. Ružomberok : 2016, Verbum, ročník 11, č. 4, s ISSN KUŘINA, F Geometrie jako pedagogický problém. In Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae, Universitas Catholica Ružomberok. Ružomberok : 2016, Verbum, ročník 11, č. 4, s ISSN MOKRIŠ, M Priestor a tvar pohľad na matematickú gramotnosť študentov odboru predškolská a elementárna pedagogika. In Acta Universitatis Palackianae Olomoucensis Matematika 4. Olomouc : PF UP, s ISBN NÚCEM [online]. Bratislava : [cit ]. Dostupné na: < SCHOLTOVÁ, I Niektoré aspekty matematickej gramotnosti študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika. In Acta Universitatis Palackianae Olomoucensis Matematika 4. Olomouc : PF UP, s ISBN ŽILKOVÁ, K Poznatky a predstavy o pravouholníkoch študentov učiteľstva pre primárne vzdelávanie. In Acta Universitatis Palackianae Olomoucensis Matematika 6 Mathematics education in primary school tradition, inovation. Olomouc : UP, s ISBN PaedDr. Ľubica Gerová, PhD. Katedra predškolskej a elementárnej pedagogiky Pedagogická fakulta UMB Banská Bystrica Ružová 13, Banská Bystrica lubica.gerova@umb.sk RNDr. Katarína Sebínová, PhD. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied UMB Banská Bystrica Tajovského 40, Banská Bystrica katarina.sebinova@umb.sk 42

43 Matematická gramotnosť vo vzdelávaní súčasných i budúcich učiteľov Mathematical literacy in the education of in-service and prospective teachers Jana Hnatová MESC: U75 Abstract The paper explores the construction task about hexaflexagon as an example of numeracy development with its practical implication. The task was included in the Mathematical Literacy course within the training of primary school teachers and in the We Start with GeoGebra accredited training program for in-service teachers. Key words: Mathematical Literacy, Hexaflexagon Task, Dynamic Geometry, GeoGebra. Abstrakt Príspevok sa zaoberá ukážkou rozvoja matematickej gramotnosti s presahom do praxe prostredníctvom konštrukčnej úlohy o hexaflexagone. Úloha bola zaradená do vzdelávania študentov učiteľstva primárneho vzdelávania v predmete Matematická gramotnosť a do akreditovaného vzdelávacieho programu Začíname s programom GeoGebra určeného pre učiteľov zo škôl. Kľúčové slová: matematická gramotnosť, úloha o hexaflexagone, dynamická geometria, GeoGebra. 1. Úvod V súčasnosti na Slovensku prebieha niekoľko rôznych meraní monitorujúcich dosahovanú úroveň vedomostí a zručností z matematiky žiakov rôznej vekovej alebo vzdelanostnej úrovne. Nelichotivým zistením, že zaradením úloh s praktickým presahom sa úspešnosť ich riešenia znižuje a odporúčaním zaradzovať do výučby viac aplikačných úloh vyššej kognitívnej úrovne (NÚCEM, Testovanie 5, 2015) odbornú učiteľskú obec pravdepodobne neprekvapíme. Tento fakt však bol podnetom pre zamyslenie sa nad potrebou zaraďovať aj do vzdelávania súčasných i budúcich učiteľov úlohy podporujúce rozvoj matematickej gramotnosti s praktickým presahom do reálneho života. 2. Úloha o hexaflexagone Úlohami orientovanými na rozvoj matematickej gramotnosti s presahom do praxe sledujeme schopnosť študenta používať svoje matematické poznatky na pochopenie a riešenie problémov reálneho života. 43

44 Ukážka, pomocou ktorej chceme demonštrovať možnosti rozvoja, vychádza z oblasti zábavnej matematiky. Upravili sme ju však do podoby konštrukčnej geometrickej úlohy o hexaflexagone. Úlohu sme začlenili do vzdelávania učiteľov v akreditovanom vzdelávacom programe Začíname s programom GeoGebra na hodinách matematiky a tiež do vzdelávania študentov bakalárskeho štúdia v predmete Matematická gramotnosť. Dôvodom začlenenia bol práve praktický presah úlohy, jej silný propedeutický náboj a v neposlednom rade veľká variabilnosť jej konštrukčného riešenia s možnosťou využitia klasických rysovacích prostriedkov i dynamických geometrických systémov. Znenie úlohy je jednoduché: Navrhnite predlohu na zhotovenie magického papierového pozdravu v tvare jednoduchého plochého modelu tri-hexaflexagonu. Hexaflexagon je magická skladačka vyrobená z prúžka papiera. Ten postupne skladáme cez rovnostranné trojuholníky do tvaru pravidelného šesťuholníka, ktorý má na rozdiel od jednoduchého modelu mozaikovo vyskladaných viacero povrchových plôch. Vychádzajúc z názvu, sa v tri-hexaflexagone skladaním objavia tri plochy. Samozrejme, na internete nájdeme množstvo voľne stiahnuteľných predlôh hexaflexagonov aj s rôznymi farebnými či obrazovými aplikáciami. Svoj hexaflexagon má napríklad Vida! Science Centrum Brno aj kreslené filmy z produkcie Walt Disney Studio - Inside Out, Zootopia, Moana či Kniha džunglí (obr. 1). Tieto však patria do skupiny hexa-hexaflexagonov, teda hexaflexagonov so šiestimi mozaikovými plochami, ktorých konštrukcia je prácnejšia. Obrázok 1. Ukážky flexagonov dostupných na internete. Ak chceme v rámci vzdelávacej aktivity vytvoriť vlastný model trihexaflexagonu, potrebujeme: prúžok papiera danej šírky alebo hárok papiera s danými rozmermi, rysovacie potreby alebo softvér schopný dynamickej konštrukcie, nožničky a lepidlo. Študent, v pozícii tvorcu predlohy, stojí pred konštrukčnou úlohou zostrojiť 10 zhodných rovnostranných trojuholníkov tak, aby boli rozmery prúžka alebo papiera vhodne využité. Ďalšou limitujúcou podmienkou praktickej realizácie konštrukčného postupu je možnosť (pri konštrukcii na papier) resp. nemožnosť (pri konštrukcii na prúžok papiera) zmysluplne využiť jednotlivé základné rysovacie nástroje. Pôvodná požiadavka na konštrukciu hexaflexagonu sa teda v prvom kroku transformovala do dvoch variantov čiastkových konštrukčných úloh: Úloha 1A: Zostrojte rovnostranný trojuholník ABC, ak je daná jeho výška v s použitím pravítka a uhlomera. Úloha 1B: Zostrojte rovnostranný trojuholník ABC, ak je daná jeho výška v s použitím pravítka a kružidla. Konštrukcie navrhnuté študentmi na seminári Matematická gramotnosť sme vizuálne spracovali v programe GeoGebra (obr. 2). 44

45 a) b) d) c) Obrázok 2. Konštrukcie rovnostranného trojuholníka podľa zadania úloh 1A a 1B v programe GeoGebra. Myšlienkovo podobné typy konštrukcií sa objavovali aj pri zadaní úlohy vo vzdelávaní učiteľov z praxe. V oboch skupinách jednoznačne dominoval konštrukčný postup s využitím uhlomeru (obr. 2b). Konštrukčné postupy bez neho sa objavili len ojedinele, pri študentoch až po praktickej ukážke nemožnosti využitia uhlomeru pri práci s prúžkom papiera. V druhom kroku kompletizácie predlohy musí študent tvorca predlohy zvážiť konštrukciu ostatných zhodných trojuholníkov. Pri nich je možné vychádzať: z konštrukcie trojuholníka podľa niektorej z viet sss, sus alebo usu, v súlade so zadaním nasledujúcej úlohy: Úloha 2A: Je daný rovnostranný trojuholník ABC. Zostrojte rovnostranný trojuholník CBD; z využitia zhodného zobrazenia, konkrétne osovej súmernosti, vychádzajúc z úlohy: Úloha 2B: Zostrojte obraz rovnostranného trojuholníka ABC v osovej súmernosti podľa priamky BC. Zaujímavým momentom bolo študentmi na seminári navrhnuté intuitívne použitie osovej súmernosti pri skladaní prúžka papiera bez potreby realizovať konštrukciu pomocou rysovacích potrieb. Po praktickom vyskúšaní ho však precíznejší študenti zavrhli ako nepresné. V skupine učiteľov pracujúcich s programom GeoGebra boli oba typy konštrukcií navrhnuté a pomocou dynamických konštrukcií aj odskúšané. Oceňovanou sa stala možnosť zostrojenia obrazu trojuholníka v osovej súmernosti pomocou zabudovaného nástroja Osová súmernosť a možnosť záverečných farebných úprav. Dynamická konštrukcia navyše umožňovala v prípade využitia posuvníkov meniť šírku prúžka v predlohe podľa reálnych potrieb a krokovo demonštrovať konštrukčný postup riešenia úlohy. Jej funkčnú verziu sme s možnosťou stiahnutia sprístupnili na (obr. 3). Otázke: Ako postupovať v prípade vytvárania predlohy so žiakmi na primárnom stupni vzdelávania? sa budeme venovať v blízkej budúcnosti. 45

46 Obrázok 3. Výkres dynamickej konštrukcie tri-hexaflexagonu v programe GeoGebra. 3. Zhrnutie Kľúčovou výhodou prezentovanej úlohy je jej prepojenie s praktickým životom v podobe reálne zhotoviteľného výstupu a presah požiadaviek na konštrukciu predlohy cez viacero stupňov vzdelávania. Študentom učiteľstva pre primárne vzdelávanie táto úloha prináša: zábavnú, časovo primeranú, materiálne a finančne nenáročnú aktivitu so silným propredeutickým nábojom pre ich budúcich žiakov, ukážku prepojenia matematiky, konkrétne geometrie s praxou, opodstatnenie požiadavky zvládnuť počas štúdia elementárnej geometrie na požadovanej úrovni konštrukcie trojuholníka a zhodné zobrazenia v rovine, možnosť zapojenia digitálnych technológií do konštrukcie predlohy a následného grafického spracovania výstupu, rôznorodosť v podobe náročnejších konštrukcií ďalších flexagonov (tertaflexagonov alebo octaflexagonov). Učiteľom z praxe táto úloha a jej výstup umožňuje: rozšíriť portfólio o novú, ľahko zhotoviteľnú učebnú pomôcku demonštrujúcu základné vlastnosti rovnostranného trojuholníka a pravidelného šesťuholníka s potenciálom identifikovať základné vlastnosti a vzťahy medzi stranami a uhlami v týchto útvaroch, doplniť zbierku úloh praktického využitia matematiky v edukačnej praxi s reálne použiteľným materiálnym výstupom, využiť metodickú variabilitu pri jej zaradení do výučby, získavať a rozvíjať ďalšie kompetencie či už matematické alebo zamerané na prácu s počítačom a vhodne zvoleným edukačným softvérom. Literatúra MOKRIŠ, M., SCHOLTZOVÁ, I., ZEĽOVÁ V. Matematická gramotnosť študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika na konci 1. stupňa vysokoškolského štúdia in Acta Paedagogicae Presoves - Nova Sandes. Annus VII. Prešov: Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, s ISBN NUCEM. Testovanie Priebeh, výsledky a analýzy. Bratislava: NÚCEM, On line [ ] PRÍDAVKOVÁ, A. Elements of mathematical literacy in primary teacher training in Mathematics XVI. Czestochowa: Publishing House of Jan Dlugosz University of Czestochowa, ISBN

47 PÁLKOVÁ, V., PRÍDAVKOVÁ, A. a kol. Matematika pre život : zbierka úloh na rozvoj matematickej gramotnosti žiakov primárnej školy. Prešov: Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, ISBN WALT DISNEY ANIMATION STUDIOS. The Jungle Book - hexaflexagon On line [ ] WALT DISNEY ANIMATION STUDIOS. Zootopia - hexaflexagon On line [ ] RNDr. Jana Hnatová, PhD. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta Katedra matematickej edukácie 17. novembra 15, Prešov jana.hnatova@unipo.sk 47

48 Matematika na 1. stupni ZŠ se zaměřením na využití geometrie v praxi Mathematics in Elementary School with Focus on Geometry Utilization in Practice Jitka Hodaňová MESC: D40 Abstract The article describes the graphical and non-traditional problems in mathematics. Subject matters are a part of the article which we can use in mathematical and art teaching. The article gives item for relation developing between school subjects. Teachers develop pupils mathematical interest with help of geometrical problems. Geometrical object drawing prepares pupils for technical objects, too. Technical education must start in the elementary school and it is necessary to use the comprehensive approach to the educational program. Key words: geometry, relation between subjects, technical practice. Abstrakt Článek je zaměřený na grafické a netradiční úlohy v matematice. Součástí článku jsou náměty, které je možné využít v hodinách matematiky i v hodinách výtvarné výchovy. Článek rozvíjí mezipředmětové vztahy. Geometrickými úlohami učitelé rozvíjí zájem žáků o matematiku. Rýsování geometrických objektů připravuje žáky také pro technické předměty. Výchova žáků pro technickou praxi musí začít již na 1. stupni ZŠ a je nutné se zaměřit na komplexní přístup k realizaci vzdělávacího programu. Klíčová slova: geometrie, mezipředmětové vztahy, technická praxe. 1. Ukotvení matematiky v Rámcovém vzdělávacím programu pro základní vzdělávání (RVP ZV) Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání je kurikulární dokument, který vymezuje závazné rámce vzdělávání pro jeho jednotlivé etapy. RVP ZV navazuje svým pojetím na RVP PV (Rámcový vzdělávací program pro předškolní vzdělávání) a je východiskem pro koncepci rámcových vzdělávacích programů pro střední vzdělávání. Dále vymezuje to, co je nezbytné a společné pro vzdělávání žáků všech základních škol, především pak základní učivo a očekávané výstupy v jednotlivých obdobích školní docházky. RVP ZV také specifikuje úroveň klíčových kompetencí, jíchž by žáci měli dosáhnout na konci základního vzdělávání. Zároveň také podporuje komplexní přístup k realizaci vzdělávacího obsahu (Hejný, Kuřina, 2009) a umožňuje volbu různých 48

49 vzdělávacích postupů, odlišných metod, forem výuky a využití všech podpůrných opatření ve shodě s individuálními potřebami žáků. Vzdělávací obsah základního vzdělávání je v RVP ZV orientačně rozdělen do devíti vzdělávacích oblastí. Vyučovacímu předmětu matematika je věnována celá jedna vzdělávací oblast s názvem Matematika a její aplikace. Vzdělávací obsah této oblasti je rozdělen na čtyři tematické okruhy Číslo a početní operace; Závislosti, vztahy a práce s daty; Geometrie v rovině a v prostoru; Nestandardní aplikační úlohy a problémy (Hejný, Kuřina, 2009). 2. Výzkumné šetření zaměřené na využití matematiky v běžném životě Komplexní přístup při realizaci vzdělávacího programu v matematice na prvním stupni základní školy zahrnuje rovněž rozvíjení zájmu žáků o matematiku. Zájem žáků o matematiku se prohlubuje také tím, že ukazujeme žákům význam matematiky pro praxi a využití matematiky v běžném životě. V rámci souvisislé pedagogické praxe při výuce matematiky na prvním stupni základních škol jsme se zajímali, zda si žáci na prvním stupni základních škol uvědomují možnosti využití matematiky v běžném životě. Naše výzkumné šetření jsme realizovali v pátých třídách základních škol. Soustředíli jsme se především na to, v jakých oblastech žáci pátých tříd základních škol využívají matematického vzdělání. Ke sběru dat pro odpovědi jsme zvolili dotazník, který byl předložený žákům pátých tříd na prvním stupni fakultních základních škol v Olomouci. Výsledný výzkumný vzorek představoval 71 respondentů. Dotazníky byly zadávány osobně. Následně byla provedena analýza odpovědí. Žáci pátých tříd základních škol měli uvést oblasti, ve kterých využívají matematiku v běžném životě. Tabulka č. 1. Aplikace matematiky v běžném životě. Kategorie uvedených odpovědí Absolutní četnost Obchod a peníze 36 Domácí příprava do hodin matematiky 25 Práce s rodiči doma (dílna, zahrada, kuchyně) 10 Sport, hry na PC 6 Řešení zábavných příkladů a hlavolamů 4 Graf č. 1. Aplikace matematiky v běžném životě. 49

50 Vhodným prostředkem, jak rozvíjet zájem žáků o matematiku je geometrie v rovině a v prostoru. V hodinách matematiky, které jsou věnovány geometrii, je možné rozvíjet grafické dovednosti žáků, které podporují vytváření mezipředmětových vztahů, např. vztah geometrie a výtvarné výchovy. Některé příklady mohou žákům ukazovat využití geometrie v technické praxi. 3. Geometrie v rovině a v prostoru V rámci tematického okruhu geometrie v rovině a v prostoru žáci pracují s geometrickými objekty, a to i v reálných situacích, tedy se zřetelem na objekty kolem nás. Dokážou určovat polohu objektu v rovině i v prostoru, porovnávají, odhadují, měří délku, obvod, obsah i velikost úhlu a zdokonalují svůj grafický projev. (RVP ZV, 2007) Podle RVP ZV řadíme mezi rovinné útvary, se kterými žák na prvním stupni základní školy pracuje, následující objekty: lomená čára, přímka, polopřímka, úsečka, čtverec, obdélník, trojúhelník, kružnice, kruh, čtyřúhelník a mnohoúhelník. Žáci na prvním stupni základní školy si rozvíjí jednak jemnou motoriku, dále pak vizuální a prostorovou představivost, kompozici a fantazii. V článku uvádíme několik příkladů, které rozvíjí geometrické znalosti žáků na prvním stupni základní školy. Současně uvedené příklady ukazují vztah mezi geometrií a výtvarnou výchovou a geometrií a běžným životem. 4. Grafické úlohy v geometrii na 1. stupni základní školy Osová souměrnost nemusí být pouze základním učivem. Lze ji využít prostřednictvím zajímavých úloh jako oživující a motivační prvek během hodin matematiky napříč všemi ročníky prvního stupně ZŠ. Příklad č. 1 Osová souměrnost V levé části obrázků vidíš levou polovinu objektů. Dokresli do obrázků pravé poloviny objektů. Obrázek 1. Osová souměrnost. 50

51 Kružnice a kruh jsou základními geometrickými útvary, se kterými se děti setkávají již od předškolního věku. Dovednost narýsovat kružnici je součástí geometrického učiva již ve třetím ročníku prvního stupně. Přesto je práce s kružítkem pro některé děti poměrně náročná. Následující úlohy slouží jako náměty pro zdokonalení manipulace s kružítkem. Příklad č. 2 Konstrukce kružnic - bubliny Narýsujte libovolný počet kružnic s libovolným poloměrem. Kružnice se mohou vzájemně překrývat. Kružnice vybarvěte dle fantazie. Význam této úlohy spočívá v nácviku práce s kružítkem. Je kladen důraz na přesnost rýsování a na zvládnutí manipulace s kružítkem. Ve výtvarné výchově můžeme využít tohto nácviku v rýsování kružnic z geometrie např. v tématu vodní svět. Obrázek 2. Konstrukce kružnic bubliny. Příklad č. 3 Kružnice - květina Ve středu stránky narýsuj kružnici o poloměru 4 cm. Narýsuj druhou kružnici s týmž poloměrem a se středem ležícím na křivce první kružnice. Středem třetí kružnice, stále s poloměrem 4 cm, je průsečík obou předešlých kružnic. Tento postup opakuj ještě 4krát. Vzniklý květ je možné vybarvit dle fantazie (předlohy). Obrázek 3. Kružnice květina. Příklad č. 4 Geometrické objekty v rovině Narýsujte v rovině libovolný počet obdélníků nebo čtverců. Jednotlivé obdélníky nebo čtverce je možné barevně zvýraznit. 51

52 Obrázek 4. Obdélníky. Obrázek 5. Čtverce. 3. Závěr Tyto úlohy jsou formulovány na stejném principu jako úloha bubliny. Jsou určeny pro nácvik rýsování kružnic, čtverců a obdélníků, pro upevnění této dovednosti a pro rozvoj kreativního vyjadřování žáků. Kreativita je základní podmínkou lidské existence. Rozvíjení kreativity žáků je důležité pro jejich další studium, pro získávání zkušeností a pro budoucí volbu profesního zaměření. Zpracováno za podpory projektu Grantový fond děkana PdF UP v Olomouci, Česká republika. Literatura HEJNÝ, M., KUŘINA, F. Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy k vyučování. 2. vyd. Praha: Portál, ISBN KRIŽALKOVIČ, K., HÁJEK, J., MALINOVÁ, E., DIVÍŠEK, J. Didaktika matematiky pro učitelství 1. stupně ZŠ. 1. vydání. Praha: SPN, 1989, 269s. ISBN NOVÁK, B. Vybrané kapitoly z didaktiky matematiky 2: pro studium učitelství pro 1. stupeň ZŠ). 1. vyd. Olomouc: Univerzita Palackého, 2004, 66s. ISBN STOPENOVÁ, A. Matematika II. Geometrie s didaktikou. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, str. ISBN ZDENĚK, M. Základy výtvarné výchovy: Učebnice pro pedagogické fakulty. 1. vyd. Praha: SPN, 1987, 291 s. Online zdroje: KUCHAŘ, J., A. Grafické a netradiční úlohy ve výuce matematiky na 1. stupni základní školy. Diplomová práce, Olomouc: Univerzita Palackého, Mgr. Jitka Hodaňová, Ph.D. Pedagogická fakulta UP Žižkovo nám. 4, Olomouc, Česká republika jitka.hodanova@upol.cz 52

53 Pracovní listy rozvíjející předmatematickou gramotnost u předškolních děti zařazené do vzdělávání učitelek mateřských škol Work sheets developing the pre-mathematics literacy used in the process of the kindergarten teacher s training Michaela Kaslová MESC: B56 Abstract Work sheets focused on the development of pre-mathematics literacy are numerous. In the Czech Republic it is not obligatory to review them before the publishing. This fact influences their quality and produces a lot of problems in practice. Key words: Quality of worksheet, pre-mathematics literacy. Abstrakt Pracovní listy na trhu určené pro rozvoj předmatematické gramotnosti jsou početné. V ČR nepotřebují recenzní posudek před jejich publikací. To ovlivňuje jejich kvalitu a působí problémy v praxi. Klíčová slova: Kvalita pracovních listů, předmatematická gramotnost. 1. Úvod Pracovní list má relativně mladou historii v kontextu školního prostředí. Podobně jako Čapek (2015) kladu izolovaný pracovní list na pomezí mezi učebnicí a pracovním sešitem. V dostupných materiálech k vývoji našeho školství od období Československa po dnes můžeme spatřovat předchůdce pracovního listu v učitelově práci na tabuli, kdy popsal či pokreslil celou desku tabule před hodinou a během vyučování s danými informacemi pracovala celá třída buď ústně, nebo písemně tak, že text z tabule přepsali do sešitu nebo na papír. Rozvojem nových technologií se objevovaly učitelské - autorské pracovní listy (dále PL) psané na psacím stroji přes kopírovací papír, později množení na cyklostylu až se dospělo k jejich množení na kopírce či elektronické tiskárně. Na popsaných případech šlo dominantně o výtvor učitele. S rozvojem nových technologií se začalo vyskytovat i kopírování jednotlivých listů od jiných autorů. V době internetu jsou v nabídce také PL (i anonymní) k volnému stažení. To, co bylo zpočátku pro PL typické (obsah i forma byly šité na míru dané skupině žáků), zčásti vymizelo. Jsou země, kde se nepoužívají učebnice ani pracovní sešity, ale žáci dostávají od učitele jednotlivé PL a vkládají je do desek. Jejich počet za rok se liší třída od třídy, stát od státu. Nelze tedy tvrdit, že PL se vyskytují jen tam, kde je nadbytek financí. Původní role procvičování se rozšiřuje o role nové. 53

54 Termín pracovní list se vyskytoval zpočátku především v singuláru. Pokud analyzujeme pracovní sešity jak pro ZŠ, tak pro mateřskou školu, pak na pracovní sešit můžeme pohlížet jako na specifický soubor pracovních listů, které jsou v matematice zpravidla svázány. Pokud jde o pracovní sešity v ZŠ, jde vždy o strukturovaný gradovaný soubor PL provázaných více či méně na učebnice, kurikula. Soubor PL zaměřený na vybrané téma nazývám doplňkový pracovní sešit. Pracovní sešity pro mateřské školy však nejsou strukturovány, jde zpravidla o jednotlivé na sobě nezávislé stránky, nepostihují ani jako celek úplné spektrum toho, co by mělo být obsahem přípravy dítěte na školu. Frekventovaná témata někdy neplní tolik roli fixace, ale spíš prohloubení. Do PL ať izolovaných, tak svázaných se předpokládá minimálně grafický zásah žáka, ne-li víc. V lepším případě je to následná diskuse plynoucí z porovnávání oněch zásahů. V matematice ani v pre-matematice nejde jen o pouhé doplňování. PL otvírají svět různých metod řešení, postupů, pro které často v učebnicích nebo v jiném didaktickém prostředí není prostor. V PL tedy vůbec nemusí jít o tréninkově pojaté úkoly. Jsou PL, kde se kombinují techniky komunikace, které přímo vybízejí k mluvě, které podněcují řešitelovu tvořivost. Izolované PL jsou zpravidla nezbytné v outdoorové matematice se zvláštní roli navíc v otevřeném prostoru zvyšují pozornost žáka, jsou oporou pro jeho paměť, jsou prostředím pro odraz jeho emocí, které v nestandardním prostředí prožívá a podobně. PL je z pohledu grafického řešení specifický, v matematice vedle aritmetickoalgebraické symboliky, geometrické symboliky, hláskového písma může obsahovat i grafy, tabulky obrázky, fotografie, avšak zpravidla je v něm více místa, než je v učebnici - je graficky vzdušnější. Pokud jde o PL klasický, pak obsahuje úkoly relativně uzavřené. Zavádím nový termín a to pracovní list polotovar, kde je to žák, který naznačené úkoly dotváří, pak teprve řeší (lze i takové PL mezi žáky vyměňovat), takový v mateřské škole není. PL tištěné pro ZŠ mají většinou doložku ministerstva školství, zejména pokud jsou vázány na učebnice. Jak a co dělá řešitel s PL, záleží na tom, jak je práce zadána. Roli zadavatele vždy alespoň zčásti plní učitel. Nepřesnost v pokynech nebo ve vytištěném zadání mohou způsobit řadu nedorozumění, zklamání, může to mít dopad demotivující, a pokud se nedostatek opakuje, může jít o vliv deformující. V mateřské škole záleží zadání na tom, jak PL učitel pochopil. 2. Pracovní list v mateřské škole Mezi první soubor PL pro mateřské školy lze pokládat publikaci Albatrosu z roku 1979 Těšíme se do školy, od autorů Vebrerová, Dušková, Hřebejková. Všechny dostupné pracovní listy po rok vydání 1995 byly podrobeny analýze a dospěla jsem k jejich detailnější charakteristice, což připouští i kritické pohledy na jednotlivé listy, zadání, ilustrace a podobně. U PL z pozdějších let byl udělán jen výběr, záměrně autory neuvádím. PL v mateřské škole mají svá specifika: na jedné straně listu papíru (zpravidla formátu A4 nebo B4) je jeden až dva úkoly, výjimečně tři nebo čtyři. List papíru může být alternován stránkou na interaktivní tabuli, na tabletu nebo obrazovce počítače. Na PL se objevují většinou obrázky zvířat, dětí a jejich blízkých, dále věcí, které dítě bere do ruky, ale není to pravidlem. Vzhledem k tomu, že dítě ještě neumí číst, bývá v záhlaví PL zapsán pokyn k úkolu pro dospělého, který úkol přečte, předpokládá se 54

55 komentář k zadání. Na PL nenajdeme, na jakou zkušenost by měl PL navázat, ani zda práce s ním není podmíněna jinak, například již jistou úrovní rozvoje grafomotoriky. Chybějící poznámky k PL legalizují to, že se dítě pouští na pokyn dospělých do práce s PL ještě ve fázi, kdy na to není zralé. Pokud se dítě musí stále ještě plně soustředit na to, jak držet tužku/pastelku a má problém vést čáru tak, jak si ono samo přeje, pak na to odčerpává pozornost a energii a vlastní podstat řešení úkolu uniká. Nezkoumá se příliš příčina a nezralost se kompenzuje instrukcemi dospělého. Dítě respektující dospělého se nakonec podřídí jeho instrukcím a PL se míjí účinkem, není-li kopii úkolem. Podobně to může dopadnout, když dítě nemá dostatečnou zkušenost s prostředím, ve kterém se úkol v PL odehrává. Dítě, které má omezenou zkušenost s poznáváním reálného světa nebo má zkušenosti zasazené do jiných kulturních vzorců, bude těžko řešit úkoly, které se o tyto zkušenosti opírají. Cílem pracovního listu v předmatematickém vzdělávání není primárně jeho zaplnění. V PL by mělo docházet k jistému završení poznávání světa všemi smysly (pro matematiku dominantně kinezí, hapticky, manipulativně, zrakem a sluchem). PL staví na jisté míře obecného nebo směřuje k zobecňování. Obrázek, čára, šipka jsou grafické znaky zastupující svět dítěte, znaky, které lze číst nejen jedno/dvouslovně, některé dokonce celou větou podle toho, jak je grafický list pojat. Srozumitelnost pracovního listu tedy spočívá i v kvalitě a srozumitelnosti obrázků, v členění plochy přiměřeně i k rozvoji vnímání dítěte. Aby dítě mohlo řešit PL, musí grafické komunikaci rozumět, onen obrázkovo-symbolický svět chápat, interpretovat. Zásah dítěte do PL je rovněž produktem pochopení dané komunikace, které se v procesu řešení dítě přizpůsobuje, tedy adaptuje se na dané komunikační grafické kódy. Problém nastává, pokud dítě neodlišuje zástupnou roli obrázku od reality, za předpokladu, že realitu zná (podívá se na obrázek psa, pes v jeho představě ožívá, náhle skáče, štěká, je huňatý, třeba i smrdí a má blechy, má jméno). Pohled mladšího dítěte na obrázek se tedy od pohledu dospělého značně liší. Pro dospělého obrázek v pracovním listu hraje roli zástupce druhu, typu je reprezentantem. Toto jde obtížně předpokládat u dítěte na úrovni konkrétního myšlení. Nezvládnutý rozpor mezi světem dospělého a světem dítěte vytváří další předpoklady pro nefunkčnost PL. Zařazení PL je zajímavé ovšem z mnoha důvodů, nezajímá nás pouhý výstup - řešení, ale z hlediska diagnostického je významný i celý proces řešení. Na toto není učitel mateřské školy připraven, ani k tomu není na PL vybízen. Je/není učitel mateřské školy připraven na to, že: a. PL nemají recenzní posudky odborníků; b. PL jsou různé kvality; c. k PL neexistuje metodický doprovod i s uvedením očekávaného přínosu, nejen řešení; d. PL lze řešit i jinak než tužkou; e. PL má více řešení a vede k diskusi; f. PL se nemá řešit izolovaně, ale v sérii, ne nutně v jeden den; g. PL tvoří součást specifické didaktické struktury, která má jak část úvodní, přípravou a další; h. že na některé PL musí navazovat opět manipulativní nebo kinestetické aktivity a tak podobně? Jak se pracuje s pracovními listy? V praxi najdeme nejrůznější postupy od těch, kde ve věkově heterogenních třídách pracují všechny děti od 2,5 roku po 7 let s tímtéž pracovním listem, až po výjimky, kde učitelka čeká na moment, kdy dítě pro PL dozrálo 55

56 a PL nepoužívá plošně, proces individualizuje vzhledem k procesu zrání dítěte. Na základě pozorování i na základě diskusí s 300 učiteli (studenti kombinovaného studia či účastníci kurzů dalšího vzdělávání při různých pedagogických a vzdělávacích centrech bez bakalářského studia) jsme dospěli k běžnému schématu: učitelka rozdá PL(zpravidla po dopolední svačině), sdělí dětem zadání a nechá děti individuálně pracovat, jednotlivé PL kontroluje a děti povzbuzuje a chválí. Dokončené PL se vyberou a někdy vystaví, někdy si je nesou děti domů, což rodiče chválí. Pokud se dítěti práce nedaří, učitelky poradí, nebo děti vyzvou ke spolupráci, nebo dokonce práci za dítě dodělají, či mu nabídnou vzorové řešení, což vede zpravidla k bezduchému kopírování. Ve schématu chybí jak příprava dítěte na práci s PL např. v podobě pohybových aktivit, obměny aktivit v PL, tak závěrečná společná diskuse, porovnávání, kde by se ukázalo, že úkol šlo řešit i jinak. Naopak je relativně významný tlak na unicitu v řešení jak po stránce obsahu, tak i formy. Analýza 300 PL, které jsou dominantně nabízeny na trhu, ukázala, že 28 % PL (Kaslová, Dobrovolná) až 31 % PL (Kaslová) obsahuje závažné chyby či nedostatky; nezapočítáváme jazykové chyby ani nedostatky technického rázu včetně nepřiměřené velikosti grafických znaků, nedostatku místa na práci. Všechny ostatní nedostatky lze začlenit do některé z hlavních skupin: a. nejasné či nepřesné zadání umožňující různé výklady; b. chybné nebo nadbytečné užití terminologie (pokud je vůbec nutná); c. zadání pojato náznakem, nutící řešitele spíše k vciťování než k přemýšlení (Jak to autor asi chtěl?); d. naznačeno chybné řešení jako správné; e. zdůrazňování nepodstatných jevů, respektive jejich protěžování oproti jevům podstatným, což vytváří předpoklad pro vznik formalismů; f. zadání opírající se o realitu mimo zkušenost dítěte; g. zadání kopírující učivo prvního, někdy i druhého ročníku ZŠ (didaktická chyba předbíhání učiva ); h. volba slov odrážející míru nepochopení problematiky zadavatelem nebo rozpor mezi formulací zadání a obrázky. Bylo vybráno 7 pracovních listů s nedostatky, které jsem zadala 260 učitelům/budoucím učitelům mateřských škol. Jejich řešení a poznámky byly analyzovány (z toho 50 řešení studenty ve spolupráci s Dobrovolnou v roce 2016). Z 260 osob tří skupin bylo ve skupině P 115 studentů pomaturitního vyššího odborného vzdělávání nebo bakalářského studia se zaměřením na mateřské školy; ve skupině S bylo 100 učitelek mateřských škol se středoškolským vzděláním, ve skupině M 45 studentů magisterského studia. Analýza reakcí odhalila následující: 13 osob rozpoznalo víc než 50 % nedostatků v zadaných PL, což činí 5 % z celkového počtu. Příčina se ukázala v diskusi: většina osob nepředpokládala, že by v PL mohla být úskalí, výpovědi byly různé, leckdy emotivní (Jak to, když je to tištěný!). Rozložení úspěšných osob ve skupinách: S: 1,0 % (1 ze 100); P: 5,0 % (6 ze 115); M: 13,3 % (6 z 45). Ukázalo se, že z 260 osob mají studenti magisterského studia rozvinutější kritické myšlení a vyšší předmětovou odbornost, která jim umožnila identifikovat více nedostatků. Délka praxe se ukázala jako zcela nevýznamná. Naopak dané PL mylně pokládalo za zcela bezproblémové 15,4 % (40 z 260) s tím, že v dané skupině 40 osob převládaly 70 % učitelky S: (28 ze 40), pak učitelky P: 22,5 % (9 ze 40) a skupina M: 12,5% (5 ze 40). 56

57 3. Závěr Šetření prokázalo, že deficit odborných recenzí k didaktickým materiálům pro mateřské školy pro předmatematickou gramotnost má negativní vliv na kvalitu pracovních listů. Ani střední a ani vyšší odborné vzdělání rozhodně nejsou zárukou pro to, že se učitelka mateřské školy bez doškolení snadno vyrovná s nedostatky v pracovních listech zaměřených na předmatematickou gramotnost. Samo magisterské vzdělání učitelek z praxe není stoprocentní zárukou kvality práce s pracovními listy. Příspěvek podpořen projektem Podpora společenství praxe jako nástroj rozvoje klíčových kompetencí. Reg.č. CZ /0.0/0.0/16_011/ Literatúra ČAPEK, R. Moderní didaktika. Praha: Grada Publishing, ISBN DOBROVOLNÁ V. Kvalita pracovních listů v ČR pro rozvoj předmatematické gramotnosti. Diplomová práce, vedoucí M. Kaslová. Praha: UK Pedf, PhDr. Michaela Kaslová UK PedF v Praze M. Rettigové 4, Praha 1 michaela.kaslova@pedf.cuni.cz 57

58 Intelektovo nadaný žiak a matematika prípadová štúdia The Intellectually Gifted Pupil and Mathematics the Case Study Jana Kojnoková, Alena Prídavková MESC: C42, Q32 Abstract Individual educational requirements of intellectually gifted pupils require teachers increased interest in studying their psychological characteristics. The mathematical problems solving process of pupils shows how good and effective student thinking, systematic planning process and utilize adopted strategy are. Understanding these factors affecting success of intellectually gifted pupils may effect a targeted skills development of intellectually gifted, but also less successful pupils. This paper deals with cognitive and metacognitive processes of intellectually gifted pupils used while solving mathematical problems aimed at creating ideas about cube nets. Key words: Intellectually gifted pupil. Metacognition. Executive functions. Mathematical thinking development. Abstrakt Individuálne edukačné požiadavky intelektovo nadaných žiakov si vyžadujú zvýšený záujem učiteľov o štúdium ich psychologických charakteristík. Proces riešenia matematickej úlohy žiakom ukazuje, ako dobre a efektívne žiak premýšľa, systematicky plánuje postup riešenia, či využíva osvojené riešiteľské stratégie. Pochopenie týchto faktorov ovplyvňujúcich úspešnosť intelektovo nadaných žiakov môže prispieť k cieľavedomému rozvoju schopností intelektovo nadaných, ale aj slaboprospievajúcich žiakov. V príspevku popisujeme kognitívne a metakognitívne postupy intelektovo nadaného žiaka pri riešení matematickej úlohy zameranej na tvorbu predstavy o sieťach kocky. Kľúčové slová: Intelektovo nadaný žiak. Metakognícia. Exekutívne funkcie. Rozvoj matematického myslenia. 1. Úvod Školská legislatíva umožňuje vzdelávanie intelektovo nadaných žiakov formou individuálnej integrácie, ktorá je ale podľa Machů a Kočvarovej (2013) prevažne len priestorová. Znamená to, že individuálne integrovaný žiak je zaradený do kolektívu rovesníkov, pričom nie je v plnej miere braný ohľad na jeho potreby a záujmy, jeho vzdelávaniu sa neprispôsobujú formy, metódy ani obsah vyučovacích predmetov. Spomenutá teória je však v praxi málokedy skutočnosťou. Osobnosť intelektovo nadaného žiaka nenechá učiteľa pasívneho, v záujme rozvoja žiaka, ako aj organizácie vyučovacej hodiny, siahne učiteľ po alternatívnych metódach, či zaujímavých úlohách a problémoch, ktoré majú potenciál zaujať a budovať poznanie žiaka. 58

59 Silným faktorom, ktorý ovplyvňuje tieto zmeny pracovného štýlu učiteľa, aj celej triedy je odlišnosť vnímania intelektovo nadaného žiaka, jeho individualita, jedinečnosť a pohľad na seba samého. Porozumenie tomu, ako intelektovo nadaný žiak premýšľa, organizuje svoje myšlienky, plánuje kognitívnu činnosť je pre učiteľa nevyhnutné pri úspešnej práci s týmto žiakom, ale aj inšpiratívne pri intervencii u slabo prospievajúcich žiakov. Rozvinuté metakognitívne schopnosti a autoregulatívne stratégie uplatňované v procese učenia sa sú východiskové pre úspešné exekutívne fungovanie nielen intelektovo nadaných žiakov. 2. Žiak ABC žiak s intelektovým nadaním Žiak ABC (9;2) je žiakom štvrtej triedy základnej školy, ale každý o ňom hovorí, že sa nespráva ako dieťa. Rád číta, zaujíma sa o zahraničnú politiku a má široký všeobecný prehľad. Okrem iného, je aj hudobne talentovaný, hrá na hudobnom nástroji, spieva a tancuje vo folklórnom súbore. Pri nástupe do základnej školy už dokázal plynulo čítať text s porozumením a písať veľkými tlačenými písmenami, koncentroval sa pomerne dlhý čas na pracovnú úlohu a mal potrebu verbalizovať spôsob svojho uvažovania a postup riešenia úlohy. Diagnostická správa psychologického vyšetrenia potvrdila jeho nadpriemerné schopnosti v oblasti analytického a pojmového myslenia, preto bol od prvého ročníka ZŠ začlenený do triedy ako žiak s intelektovým nadaním. Jeho individuálny výchovno-vzdelávací program (IVVP) bol vypracovaný s ohľadom na rozšírenie požiadaviek zo slovenského jazyka a matematiky. Triedna učiteľka ho ale vníma ako žiaka, ktorý nemá veľmi rád matematiku. Sám o sebe hovorí, že matematiku má celkom rád, ale niekedy sa mu nechce, vôbec nemá rád počítanie príkladov. Jeho pozornosť je hlavne pri povinných úlohách stále viac rozptýlená. Od prvého ročníka bojuje triedna učiteľka s jeho neustálym prečo a snaží sa ho presvedčiť o tom, že sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie sú pre neho dôležité. Žiak ABC má nedostatky v oblasti pamäťového a písomného počítania. Princípu počtových operácií rozumie veľmi dobre, ale základné spoje u neho nie sú zautomatizované a to ho spomaľuje pri riešení úloh, ktoré ho zaujímajú, prestáva sa mu preto dariť a stráca trpezlivosť aj motiváciu. Z uvedeného dôvodu má vo štvrtom ročníku zmenený IVVP, v oblasti matematiky je väčší priestor venovaný podpore rozvoja problematických aritmetických schopností. Obsah programu je doplnený o učivo z iných prírodovedných predmetov. Veľmi ho baví chémia a fyzika, keď vyrastie, túži stať sa nanofyzikom. Pri testovaní úrovne jeho matematických a kognitívnych schopností (využitím štandardizovaných testov) sa potvrdilo, že žiak má nadpriemerné intelektové schopnosti, ale na druhej strane disponuje nedostatkami v aritmetike. V obidvoch testoch pristupoval k riešeniu úloh rozvážne, nebral ohľad na stanovený časový limit a postupoval vlastným pracovným tempom. Počtová batéria testu kognitívnych schopností (Thorndike, Hagen) identifikovala jeho prirodzenú inteligenciu so štandardným skóre (IQ) 112, čo je 79. percentil populácie žiakov v danom veku. Úspešnosť v subtestoch zameraných na porovnávanie a seriáciu a neúspešnosť v subteste vyžadujúcom tvorbu rovníc potvrdila jeho priemerné aritmetické schopnosti. V teste matematických schopností Kalkúlia III prejavil schopnosti na úrovni matematického veku 9;9. Z celkového počtu 29 vyriešených úloh sa objavilo najviac chýb v obrazcoch symetrických podľa vodorovnej osi. 59

60 3. Analýza postupov riešenia vybraných úloh Pri individuálnej práci so žiakom ABC (v čase mimo vyučovania) mu boli zadávané úlohy s gradovanou náročnosťou, ktoré vytvárali podmienky pre uplatnenie rôznych riešiteľských stratégií. Prezentované úlohy sú orientované na oblasť matematiky, kde ide o budovanie konceptu sieť kocky. Pri riešení súboru úloh sa žiak ABC samostatne pokúsil vytvoriť jednotlivé siete kocky na základe mentálnej predstavy podporovanej manipulatívnym experimentovaním so štvorcami. Jirotková (2007) vyjadruje názor, že žiak, ktorý tvorí sieť kocky samostatne, musí prekonávať rôzne prekážky, čo mu prináša informácie a skúsenosti presahujúce oblasť daného matematického problému. Napriek náročnosti na čas a vynaloženú energiu žiaka pri riešení úlohy, je tento spôsob efektívnejší z pohľadu rozvoja inteligencie a osobnosti žiaka, ktorý sa naučí pracovať s chybou, synchronizovať intelektuálnu a manipulatívnu činnosť a experimentálne hľadať rôzne stratégie riešenia problému. Okrem spomenutých edukačných benefitov prináša takýto prístup k riešeniu úlohy aj priestor pre metakognitívne uvažovanie nad procesom riešenia. V ďalšej časti budú predstavené zadania úloh, otázky metakognitívneho charakteru a stručná analýza žiakovho prístupu k riešeniu úlohy. U1: Nakresli všetky rôzne útvary zložené zo štyroch rovnako veľkých štvorcov. Susedné štvorce musia mať spoločnú aspoň jednu stranu. Otázky rozvíjajúce metakogníciu žiaka pri riešení úlohy: Vysvetli, čo je strana štvorca. Vysvetli, čo znamená musia mať spoločnú práve jednu stranu. Koľko takýchto útvarov sa ti podarilo nájsť? Sú v tomto prípade symetrické obrazce podobné, alebo rovnaké? Žiak ABC mal hneď po prečítaní zadania potrebu uistiť sa, či úlohu pochopil správne (Môže to byť nakreslené napríklad aj takto?) Vzťah susedné štvorce nepochopil po prečítaní zadania úlohy, čo demonštroval vymodelovaním správneho umiestnenia štvorcov, pričom si myslel, že je to príklad nesprávneho riešenia. Žiak ABC ďalej chvíľu pokračoval s umiestňovaním vystrihnutých štvorcov, potom kreslil schémy na základe mentálnej predstavy. Problém pri generovaní riešení úlohy nastal, keď si všimol, že niektoré útvary sú rovnaké, ale v zobrazení osovo súmerné, prípadne otočené, a žiak sa zamýšľal nad tým, či aj podobný útvar predstavuje nové riešenie (obr. 1). Obrázok 1. Grafické riešenie prvej úlohy žiakom ABC. U2: Pridaj k nájdeným útvarom jeden rovnako veľký štvorec tak, aby si dostal rôzne útvary zložené z piatich štvorcov. Nájdi čo najviac takýchto útvarov. Otázky rozvíjajúce metakogníciu žiaka pri riešení úlohy: Vysvetli, podľa akého systému si dopĺňal piaty štvorec do obrázka. Dopĺňal si ho náhodne? Čo ti tieto obrázky zo štvorcov pripomínajú? Poznáš hru pentomino? Už pred začatím riešenia tejto časti úlohy si bol žiak jednoznačne vedomý toho, že sa počet riešení po zmene zadania navýši. Jednotlivé riešenia žiak zakresľoval znova iba na základe mentálnej predstavy. Proces riešenia bol sprevádzaný aj verbalizáciou postupu. Pri zakresľovaní riešení pracoval systematicky posúvaním piateho štvorca 60

61 na novú pozíciu v obrazci a bral pri tom do úvahy aj útvary otočené. V priebehu hľadania útvarov viackrát povedal, že už našiel všetky riešenia, vzápätí si bol istý, že ešte nenašiel všetky riešenia a odhodlane hľadal ďalšie. Netradičný bol najmä grafický prejav žiaka: pri kreslení útvarov najprv načrtol obvod celého útvaru, potom ho rozdelil na jednotlivé štvorce (obr. 2). Obrázok 2. Grafické riešenie druhej úlohy žiakom ABC. U3: Útvary sú zložené z piatich štvorcov. Dokresli jeden štvorec tak, aby vznikla sieť kocky. Nájdeš viac ako jedno riešenie? Otázky rozvíjajúce metakogníciu žiaka pri riešení úlohy: Ktorý geometrický útvar má šesť stien? Vysvetli, ako podľa teba vznikne sieť kocky? Nájdeš medzi svojimi obrázkami aj taký, ktorý by sieťou kocky nemohol byť? Vysvetli prečo. Vystrihni si jeden obrázok siete kocky a pokús sa ju poskladať. Po prečítaní úlohy sa zistilo, že žiak nepozná pojem sieť kocky. Po krátkom rozhovore so žiakom o tom, čo je kocka, z čoho sa skladá a vysvetlení toho, ako vzniká jej sieť žiak získal predstavu o tom, čo je potrebné pri riešení úlohy hľadať. Pri hľadaní sietí kocky si pomáhal modelovaním jednotlivých prípadov pomocou vystrihnutých štvorcov. Žiak ale vymodeloval konkrétne riešenie, ktoré mal vytvorené v predstave, neriešil úlohu metódou pokus-omyl, vystrihnuté štvorce využíval iba na uistenie sa o správnosti nájdeného riešenia. Celkový čas, za ktorý žiak ABC našiel všetkých 11 sietí kocky bol šesť minút. Na obrázku 3 je zaznačených iba šesť riešení, pretože žiak vo svojom verbálnom komentári k riešeniu úlohy identifikoval chýbajúcich päť sietí ako symetrické k už zakresleným. Obrázok 3. Grafické riešenie tretej úlohy žiakom ABC. 4. Záver Z analyzovaných ukážok riešenia matematických úloh intelektovo nadaným žiakom ABC vyplývajú o tomto žiakovi pre učiteľa cenné informácie. Hoci žiak ľahko stratí pozornosť a má potrebu komunikovať aj to, čo nesúvisí s riešenou problematikou, prejavuje pri riešení úloh vysokú úroveň uvedomelých aktívnych metakognitívnych schopností (Vyrosteková 2010). Je schopný verbalizovať proces riešenia, plánovať jednotlivé kroky riešenia úlohy, dokonca si celý postup riešenia podržať v pamäti a následne ho vizualizovať na papieri. Tieto schopnosti sú prejavom dobrého exekutívneho fungovania zabezpečujúceho nielen jeho školskú úspešnosť. Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu APVV Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej dochádzky) kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka. 61

62 Literatúra JIROTKOVÁ, D. Budování schématu síť krychle. In Cesty zdokonalování kultury ve vyučování matematice. 2007, České Budějovice: Jihočeská univerzity v Českých Budějovicích. ISBN MACHŮ, E., KOČVAROVÁ, I. et al. Kvalita školy z hlediska péče o nadané žáky. 2013, Zlín: Univerzita Tomáše Bati ve Zlíne. ISBN POLOMČÁKOVÁ, A. Diagnostikovanie a rozvíjanie vybraných kľúčových kompetencií v školskej matematike autoreferát k dizertačnej práci. 2013, Košice: UPJŠ. VYROSTEKOVÁ, K. Metakognícia a diagnostikovanie jej úrovne. In Pedagogická veda a školská prax v historickom kontexte zborník z medzinárodnej vedeckej konferencie konanej dňa 28. januára 2010 v Trnave. 2010, Trnava: Univerzita sv. Cyrila a Metoda v Trnave. ISBN Mgr. Jana Kojnoková Katedra matematickej edukácie Pedagogická fakulta Prešovskej univerzity v Prešove Ulica 17. novembra č. 15, Prešov jana.kojnokova@smail.unipo.sk doc. RNDr. Alena Prídavková, PhD. Katedra matematickej edukácie Pedagogická fakulta Prešovskej univerzity v Prešove Ulica 17. novembra č. 15, Prešov alena.pridavkova@unipo.sk 62

63 Pojem štvorec a deti predškolského veku The Notion of a Square and Pre-school Age Children Janka Kopáčová MESC: C51, D71 Abstract In the VEGA 1/0440/15 project - Geometrical conceptions and misconceptions in pre-school and primary school children we study children s and students perception of planar geometrical shapes. In this article we will observe how children aged 4-6 perceive squares - whether they are able to identify and name squares correctly and which misconceptions occur most often. The aim of this article is not only to ascertain the current situation, but also propose expedient didactic methods for the prevention and correction of misconceptions. Key words: Square, cube, misconception, preschool age, van Hiele. Abstrakt V rámci riešenia projektu VEGA 1/0440/15 - Geometrické koncepcie a miskoncepcie detí predškolského a školského veku sa zaoberáme otázkami, ako vnímajú deti a žiaci rovinné geometrické útvary. V príspevku sa bližšie budeme venovať problematike štvorca u detí vo veku 4 až 6 rokov. Zaujíma nás, či dokážu štvorec správne identifikovať a pomenovať, aké miskoncepcie sú najčastejšie. Cieľom je nielen zistiť aktuálny stav, ale aj navrhnúť vhodné didaktické postupy na prevenciu a korekciu miskoncepcií. Kľúčové slová: štvorec, kocka, miskoncepcia, predškolský vek, van Hiele. 1. Úvod Dieťa predškolského veku je prirodzene zvedavé a aktívne poznáva svet okolo seba. Poznávanie dieťaťa je spontánne, prevažne skúsenostné, zážitkové a je silne emocionálne zafarbené. Vnímanie je základom poznávania skutočnosti, je globálne dieťa vníma celok, aj keď sa občas nechá upútať nepodstatným detailom. V tomto veku hovoríme o názornom (intuitívnom) myslení. Dieťa začína uvažovať v celostných pojmoch, ktoré vznikajú na základe podstatných znakov (napr. ovocie, jedlo...), ale uvažovanie je ešte stále silne viazané na vnímané alebo predstavované objekty. Toto myslenie je prelogické a egocentrické (Sodomková, 2015). Myslenie a reč sa vzájomne podmieňujú a ovplyvňujú. Reč je nielen základným prostriedkom komunikácie, ale aj nástrojom myslenia. Reč si deti rozvíjajú najmä v komunikácií s dospelými, v menšej miere ju ovplyvňujú médiá a rovesníci. Deti sa učia napodobňovaním verbálneho prejavu osôb, s ktorými žijú a komunikujú. 63

64 Neopakujú však všetko čo počujú, opakovanie má selektívny charakter. Najčastejšie opakujú vety, v ktorých je nové slovo alebo slovo v novej situácií (Sodomková, 2015). 2. Metodika výskumu Súčasťou projektu VEGA 1/0440/15 - Geometrické koncepcie a miskoncepcie detí predškolského a školského veku je výskum predstáv detí predškolského veku z oblasti identifikácie, triedenia, vlastností a pomenovania geometrických útvarov. Cieľom je preskúmať predstavy detí predškolského veku o geometrických útvaroch a ich vlastnostiach, identifikovať potenciálne mylné predstavy a identifikovať úroveň geometrických poznatkov detí podľa definovaných hladín van Hiele teórie. V rámci projektu sme skúmali deti predškolského veku, mladšieho aj staršieho školského veku. Teoretický rámec a niektoré výsledky sú sprístupnené v prácach (Tkáčik, Žilková, 2016 a Kopáčová, Žilková, 2016). V nasledujúcom príspevku sa budeme venovať len jednému čiastkovému problému zaujíma nás, či predškoláci dokážu správne identifikovať štvorec v ľubovoľnej polohe a pomenovať ho. Našu výskumnú vzorku tvorilo 46 detí vo veku 4 roky 1 mesiac až 6 rokov 4 mesiace, 22 dievčat a 24 chlapcov, väčšina navštevuje materskú školu a pochádza zo severu Slovenska. Výskum sa realizoval koncom roka Výskum prebehol s každým dieťaťom individuálne, formou pološtruktúrovaného rozhovoru, boli použité modely rovinných geometrických útvarov a jednotné obrazové predlohy. Z výskumu boli vytvorené videozáznamy, čo nám umožnilo robiť pomerne podrobnú analýzu. Modely rovinných geometrických útvarov boli väčšinou vystrihnuté z tvrdého farebného papiera, pričom farba vo vzťahu k tvaru nehrala rolu. Každý útvar kruh, trojuholník, štvorec, obdĺžnik bol ponúknutý vo viacerých veľkostiach. Obrázkových predlôh bolo 6, každá sledovala iný cieľ. Pre účely nášho článku sa zoznámime len s prvými tromi. Prvá predloha (hnedá) slúžila na zistenie, či dieťa vie pomenovať útvar na obrázku. Na druhej predlohe (oranžová) má dieťa ukázať útvar, ktorý pomenuje výskumník (obrázok 1). Tretia predloha (fialová) je zameraná na identifikáciu štvorca, či dieťa vie odlíšiť štvorec od ne-modelov štvorca (obrázok 2). 3. Ako deti identifikujú štvorec Podľa očakávania, deti boli najspontánnejšie pri manipulácií s vystrihnutými geometrickými útvarmi. Zapojili fantáziu, začali si skladať obrázky a jednotlivé útvary pomenovávali v závislosti na veku. Štvorročné deti používali domček, okno, ale staršie sa už snažili použiť správny názov. Štvorec bol najčastejšie chybne pomenovaný ako kocka. Obrázok 1. Rovinné geometrické útvary. 64

65 Na hnedej predlohe (obrázok 1) boli dva štvorce jeden v tzv. základnej polohe, druhý pootočený o 45, a jeden kosoštvorec. Z celkového počtu 46 detí 37 správne pomenovalo štvorec v základnej polohe, pootočený spoznalo a správne nazvalo len 27 detí. Väčšina za štvorec považovala aj kosoštvorec len 14 správne povedalo, že to štvorec nie je. Ukázalo sa, že pre deti je ľahšia opačná úloha. Keď výskumník na oranžovej predlohe (obrázok 1) požiadal, aby mu ukázali štvorec, správne ukázalo 40 detí štvorec v základnej polohe a 34 v pootočenej polohe. Pre porovnanie kruh správne identifikovali všetky deti, len najmenšie používalo názov guľôčka a nebolo ochotné sa ho vzdať. Obrázok 2. Modely a ne-modely štvorca. Identifikácia štvorca vo fialovej predlohe (obrázok 2) pre deti nebola jednoduchá, často svoje výpovede menili. Kým na začiatku správne označili len štvorce, po otázkach výskumníka, ktorý upriamil ich pozornosť na štvorcové tvary, priraďovali aj niektoré z nich k štvorcom. Pomerne jednoznačne vedeli určiť, že kríž (44 správnych odpovedí) a obdĺžnik (43 správnych odpovedí) nie sú štvorce. Prekvapivé je, že len 37 detí označilo štvorec v základnej polohe, mnohé ho prehliadli, čo pripisujeme jeho veľkosti. Naopak, pootočenie štvorca už nezmýlilo taký počet detí ako predtým, správne ho zaradilo až 41 detí. Najväčšie problémy robil útvar so zaoblenými vrcholmi len 16 ho správne nezaradilo k štvorcom a kosoštvorec, ktorý identifikovalo len 13 detí. Lichobežník deti nepoznali, nevedeli jeho názov, ale neoznačovali ho ako štvorec (37 správnych odpovedí). Zaujímavé je, že zakrivenie strán prekážalo menšiemu počtu detí ako zaoblenie vrcholov. Útvar a útvar označilo ako štvorec len 19 detí. Predstavy detí sú veľmi individuálne a vyhranené. Viaceré deti používajú na označenie štvorca slovo kocka. Niektoré to chápu ako synonymum slova štvorec, iné na pokyn ukáž mi štvorec ukazujú pravouhlý trojuholník, pootočený štvorec alebo kosoštvorec. 4. Záver Výskum ukázal, už aj najmladšie dieťa dokáže presne identifikovať štvorec v tzv. štandardnej polohe, priradiť správny názov už nie je také jednoduché. Súhlasíme s Budínovou (2016), že nie vždy možno jednoznačne zaradiť dieťa do niektorej van Hiele hladiny. Veľmi často sa dieťa orientuje aj vizuálnou stránkou útvaru, aj sa pokúša o analýzu štvorec má 4 strany a všetky rovnaké alebo štvorec nie je obdĺžnik, lebo nemá dlhšie.... Ukázalo sa, že nepresné používanie pojmov štvorec a kocka má na deti veľmi silný vplyv. Bežne sa stretávame s vyjadrením, že značka označujúca hlavnú cestu je 65

66 kosoštvorec, károvaná košeľa a štvorčekový papier sú označované ako kockované, veľmi často sú ľubovoľné diely stavebnice označované ako kocka. Táto nepresnosť vo vyjadrovaní robí veľké škody v utváraní správnych predstáv. Pre dieťa je zložité uvedomiť si, že zmena polohy nepredstavuje aj zmenu tvaru vyjadrenie o pootočenom štvorci nie je to štvorec, lebo je naopak, čo je v súlade aj so zistením v iných prácach (Partová, Žilková, 2016). Netreba zabúdať, že reč a myslenie sa navzájom ovplyvňujú. Zisťovanie a odstraňovanie nesprávnych predstáv je veľmi zdĺhavý a namáhavý proces s neistým koncom. Jedinou cestou na vytváranie správnych predstáv je presné vyjadrovanie a dostatok aktivít, ktoré deťom umožnia spoznávať geometrické tvary v rôznych polohách. Poďakovanie: Príspevok je súčasťou riešenia projektu VEGA 1/0440/15 Geometrické koncepcie a miskoncepcie detí predškolského a školského veku. Literatúra BUDÍNOVÁ, I. Developing the Conception of the Notion Square at Elementary School. In: Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae : Universitas Catholica Ružomberok. 2016, roč. 15, č. 4, s ISSN KOPÁČOVÁ, J., ŽILKOVÁ, K. Žiacke predstav o štvorcoch. In: Uhlířová, M. (ed.) EME2016 : Primární matematické vzdělávání v souvislostech. Olomouc : Univerzita Palackého v Olomouci, S ISBN PARTOVÁ, E., ŽILKOVÁ, K. Uvažovanie detí predškolského veku o plohe a tvare rovinných útvarov. In: Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae : Universitas Catholica Ružomberok. 2016, roč. 15, č. 4, s ISSN SODOMKOVÁ, S. Předškolní věk. In: Fuchs, E., Lišková, H., Zelendová, E. (eds.) Rozvoj předmatematických představ dětí předškolního věku. Praha : JSMF, s ISBN TKÁČIK, Š., ŽILKOVÁ, K. Geometrické miskoncepcie o štvoruholníkoch u žiakov 9. ročníka základnej školy. In: Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae : Universitas Catholica Ružomberok. 2016, roč. 15, č. 4, s ISSN RNDr. Janka Kopáčová, CSc. Katedra predškolskej a elementárnej pedagogiky Pedagogická fakulta, Katolícka univerzita v Ružomberku Hrabovská cesta 1 Ružomberok jana.kopacova@gmail.com 66

67 Možnosti využitia softvéru GeoGebra vo vyučovaní matematiky v primárnom vzdelávaní The possibilities of using GeoGebra software in teaching mathematics in elementary education Lilla Koreňová MESC: D53, G53, U63, U73 Abstract This contribution intends to point out the possibilities of GeoGebra software as an effective tool for teaching mathematics in the first stage of primary school. We created and circulated a questionnaire to determine the use of technology by primary education teachers in Slovakia and Hungary, and their opinions and experience concerning GeoGebra software. Key words: GeoGebra, teaching geometry, primary mathematics education. Abstrakt Príspevok chce poukázať na možnosti softvéru GeoGebra ako efektívneho nástroja vyučovania matematiky na 1. stupni základnej školy. Dotazníkom sme zisťovali stav vo využívaní technológií učiteľmi primárneho vzdelávania na Slovensku a v Maďarsku, ako aj ich názory a skúsenosti so softvérom GeoGebra. Kľúčové slová: GeoGebra, vyučovanie geometrie, primárne matematické vzdelávanie 1. Úvod Vyučovanie matematiky v primárnom vzdelávaní je zamerané vo veľkej miere na rozvoj základnej matematickej gramotnosti a rozvíjanie kognitívnych oblastí, ako zapamätanie, porozumenie a aplikácia (podľa Bloomovej revidovanej taxonómie). V súčasnosti je veľmi dôležité, aby sa vo vyučovaní využívali také vyučovacie metódy a formy, ktoré sú pre deti motivujúce a vedú k efektívnejšiemu procesu výučby. Využitie digitálnych technológií, ako napríklad interaktívnej tabule, tabletov a smartfónov s vhodným softvérom alebo aplikáciami je vhodná voľba pre deti, ktorí sú digitálnymi domorodcami. Inovatívne vyučovacie metódy, obohatené o digitálny rozmer, zákonite prenikajú do škôl. Pre vyučovanie matematiky je jednou z možností softvér GeoGebra. Softvér GeoGebra je open-source softvér, je dostupný voľne učiteľom aj žiakom, dynamicky sa vyvíja a je vhodný nielen pre PC a notebooky, ale aj ako aplikácia pre tablety a smartfóny a zároveň je k dispozícii aj ako webová aplikácia. 67

68 2. Príklady využitia softvéru GeoGebra Využitie softvéru GeoGebra v primárnom vzdelávaní môžeme rozdeliť podľa rôznych kritérií. Je zjavné, že vzhľadom na špecifiká obsahu matematického vzdelávania aj na digitálne zručnosti žiakov, sa spôsob využitia v primárnom líši od sekundárneho a terciálneho vzdelávania. Podľa druhu hardvéru, čo ovplyvňuje aj formu vyučovania, môžeme softvér GeoGebra použiť: Premietanie z PC alebo NB cez dataprojektor táto možnosť najmenej využíva potenciál tohto softvéru, učiteľ využíva tento softvér prevažne na transmisiu, animácie vytvorené ako GeoGebra aplety však môžu výrazne zvýšiť názornosť a tým aj pochopenie učiva. GeoGebra aplety alebo GeoGebrabooky na interaktívnej tabuli sa okrem transmisívnej formy, ako sme uviedli vyššie, dajú využiť aj na skupinovú prácu, didaktickú hru a v niektorých prípadoch aj ako aktivizujúci činiteľ objavného vyučovania. GeoGebra aplety, GeoGebrabooky na tabletoch a smartfónoch vytvárajú možnosť okrem klasického precvičovania drillu, e-testovania formou autoevalvácie žiakov aj možnosť konštruktivistického vyučovania, žiackeho objavovania. V ďalšej časti uvádzame ukážky GeoGebra apletov a GeoGebrabookov zaradené podľa možností ich použitia. Pre interaktívnu tabuľu uvedieme príklady z portálu Geomatech: Na obrázku č. 1 je aplet vhodný pre interaktívnu tabuľu a frontálnu prácu učiteľa s triedou. Úlohou žiakov je nájsť algoritmus, ako pracuje stroj. Obrázok 1. zdroj: Na obrázku č. 2 je aplet vhodný na precvičovanie jednotiek dĺžky. Deti majú vložiť do akvária, kde je 20 litrov vody ryby podľa pravidla: každá ryba potrebuje k životu aspoň 1 liter vody. Súčet dĺžok všetkých rýb má byť aspoň 20 cm. Táto úloha má viac riešení, preto podporuje kreativitu detí. Precvičujú sa tým počtoví operácie, relácie viac menej, ako aj premena jednotiek dĺžky. 68

69 Obrázok 2. zdroj: V rámci nášho výskumu na Základnej škole Hlboká v Bratislave sme sa zamerali len na možnosti m-learningu s GeoGebrou. Najviac sa podľa našich experimentálnych skúmaní osvedčila kombinácia manipulatívnych činností s kombináciou Geogebra apletov na smartfónoch a tabletoch. Práca vo dvojiciach sa ukázala ako najefektívnejšia. Aktivita: Osová súmernosť (Obrázok 3) Pre zavedenie pojmu osová súmernosť sme použili objavné vyučovanie a to kombináciu manipulatávnej činnosti s digitálnymi technológiami. V prvom kroku deti rysovali na papier rôzne geometrické útvary a priamku. Potom papier prehli pozdĺž priamky a prekreslili útvar tak, že ho presvietili cez okno. Deti skúmali tieto svoje kresby pomocou zrkadla. V ďalšej časti použili GeoGebrabook dostupný na Obrázok 3. zdroj: Pri tejto aktivite mali žiaci dokresliť v štvorčekovej sieti na GeoGebra aplete útvary osovo súmerné. Niektorí žiaci pracovali na interaktívnej tabuli. Tento GeoGebrabook má 11 apletov, ktoré majú gradujúcu obtiažnosť. Táto aktivita deti veľmi motivovala, mali okamžitú spätnú väzbu. Žiaci riešili úlohy v GeoGebrabooku aj na tabletoch aj na interaktívnej tabuli. 2. Prieskum názorov učiteľov V rámci výskumu využívania digitálnych technológií na hodinách matematiky na 1. stupni základných škôl sme oslovili viac ako 150 učiteľov na Slovensku a viac ako 100 učiteľov v Maďarsku. Väčšinou išlo o učiteľov, ktorí v minulosti absolvovali ďalšie 69

70 vzdelávanie učiteľov a tak sme na nich mali kontakt. Oslovili sme aj učiteľov pomocou Facebooku v ich záujmových skupinách. Na dotazník odpovedalo 107 respondentov, z toho 35 z Maďarska a 72 zo Slovenska. Čo sa týka pohlavia, 98% respondentov boli ženy. V elektronickom dotazníku sme v prvej časti zisťovali vybavenie škôl digitálnymi technológiami. Na základe zistení môžeme predpokladať, že väčšina učiteľov primárneho vzdelávania na Slovensku aj v Maďarsku môže využívať interaktívnu tabuľu, ale tablety a smartfóny menej. Učitelia však nebrali do úvahy možnosť, kde by deti využívali svoje vlastné zariadenia. Podľa našich skúseností veľa detí v tomto veku už vlastní smartfón alebo tablet, ich použitiu bránia skôr legislatívne podmienky. V druhej časti sme sa zamerali na zisťovanie návykov a názorov učiteľov z hľadiska metód vyučovania, ak využívajú digitálne technológie. 52% respondentov uviedlo, že interaktívnu tabuľu využívajú na vysvetľovanie učiva pomocou interaktívnych materiálov, 9% uviedlo, že ju používajú aj na elektronické testovanie pomocou klikerov alebo smartfónov, 51% učiteľov využíva interaktívnu tabuľu aj na prezentáciu žiackych projektov, 64% učiteľov pomocou interaktívnej tabule hrajú s deťmi didaktické hry. 38% učiteľov uviedlo, že interaktívnu tabuľu využívajú len ako klasickú tabuľu na písanie. V ďalšej časti 38% respondentov uviedlo, že majú možnosť aspoň niekedy použiť tablety alebo smartfóny na vyučovaní. Z nich 38% uviedlo, že tablety alebo smartfóny používajú žiaci na individuálnu prácu (vyhľadávanie údajov na internete), 47% využívajú interaktívne aplety, hlavne HotPotatoes testy alebo aplikácie na precvičovanie učiva. Zaujímavé boli zistenia ohľadom vyučovacích metód, ktoré využívajú učitelia v kontexte s digitálnymi technológiami. 78% učiteľov uviedlo, že digitálne technológie využívajú pri výklade učiva, 30% uviedlo, že technológie využívajú aj pri objavnom, heuristickom vyučovaní, 42% uviedlo, že technológie využívajú aj pri projektovom vyučovaní. V poslednej časti sme sa zamerali na využívanie softvéru GeoGebra na hodinách matematiky. Ukázalo sa, že 56% učiteľov, ktorí absolvovali školenia zamerané na softvér GeoGebra, používajú tento softvér aj na hodinách matematiky. Len 16% však si vytvára svoje vlastné GeoGebra aplety, výkresy, ostatní používajú už hotové materiály z GeoGebratube alebo z portálu Geomatech. 3. Záver Na základe našich zistení je softvér GeoGebra vhodným prostriedkom pre primárne vzdelávanie matematiky. Skrýva v sebe veľký potenciál ako pre využitie na interaktívnej tabuli, ale hlavne ako m-learning, kde žiaci využívajú smartfóny a tablety. Hlavne možnosť využiť už hotové GeoGebra aplety je z hľadiska učiteľov veľmi lákavá. Okrem toho, že sa zatraktívni vyučovanie, učitelia majú možnosť vo väčšej miere nahrádzať transmisívnu výučbu matematiky konštruktivistickými metódami. Navyše sa zvyšuje takto digitálna gramotnosť žiakov aj učiteľov, čo je tiež veľkým prínosom. Poďakovanie: Príspevok vznikol za podpory projektu APVV Literatúra: NEWMANN, D., Johnson, Ch., WEBB, B. Evaluating the quality of learning in Computer Supported Co-operative Learning. Queen's University elfast, Information Management Dept. On line [ ] 70

71 GUNČAGA, J. GeoGebra in Mathematical Educational Motivation. Annals: Computer Science Series, 2011, 9, GUNČAGA, J., KOPÁČOVÁ,J.:A Compaprative study: Turkish and Slovak preservice primary mathematics teacher s skills about symmetry.semt 13, Tasks and Tools in Elementary Mathematic, Charles Univesity, Prague, HERENDINÉ-KÓNYA, E. A matematika tanítása alsó tagozaton. Nemzedékek Tudása Tankönyvkiadó, Budapest, KOSTRUB, D. Dieťa/žiak/študent učivo učiteľ, didaktický alebo bermudský trojuholník? Rokus, Prešov, MOLNÁR, P., a LUKÁČ, S. (2015). Dynamic Geometry Systems in Mathematics Education: Attitudes of Teachers. International Journal of Information and Communication Technologies in Education, 2015, 4(4), Doc. PaedDr. Lilla Koreňová, PhD. Katedra predprimárnej a primárnej pedagogiky Pedagogická fakulta Univerzita Komenského v Bratislave Račianska Bratislava korenova@fedu.uniba.sk 71

72 Očekávání studentů od praktické složky v přípravě budoucích učitelů 1. stupně ZŠ Expectation of Undergraduate Students from Practical Aspects of Preparation in Teaching for First Level of Primary Schools Radek Krpec, Darina Jirotková MESC: D40 Abstract In this paper, the first part of the research of expectations of the undergraduate students from the practical aspects of a preparation in a mathematics teaching for the first level of primary schools is presented. These expectations are consisted of an identification of incentives, motives and motivations of the undergraduate students for the purposes of an improvement of the approach to the mathematics teaching. The experiences and expectations of students are investigated before and after their professional practice using the method of a questionnaire construction. The aim of the research is a change in the concept of the professional undergraduate preparation of the mathematics teaching. The research is focused on the field of study Teaching for Primary Schools Level 1 at Faculty of Education od University of Ostrava. Key words: Faculty teacher, math teacher, professional practice, supervising teacher, teacher preparation. Abstrakt Článek je věnován prvním výsledkům výzkumu, který se zabývá identifikací podnětů, pohnutek a motivací studentů přispívajících k posunům přístupu k vyučování matematice v pregraduální přípravě budoucích učitelů 1. stupně ZŠ. Na základě dotazníkového šetření získáváme zkušenosti a očekávání studentů budoucích učitelů před a po realizaci jednotlivých profesních praxí. Cílem výzkumu je změna pojetí profesní pregraduální přípravy na výuku matematiky v oboru Učitelství pro 1. stupeň ZŠ Pedagogické fakulty Ostravské univerzity. Klíčová slova: Učitel matematiky, příprava učitele, profesní praxe, fakultní učitel, vedoucí učitel. 1. Úvod Podobně jako došlo v minulých letech k úpravě obsahu jednotlivých předmětů pregraduální přípravy studentů v oboru učitelství 1. st. ZŠ v oblasti matematiky na Pedagogické fakultě Ostravské univerzity, snažíme se nyní o rozsáhlou proměnu koncepce průběžné praxe z matematiky, a to jak z hlediska rozsahu, tak obsahu. Cílem změn je zvýšení provázanosti teoretické a praktické přípravy s důrazem na její praktickou složku. 72

73 Když jsme se rozhodovali o provádění úprav v teoreticko-didaktických matematických disciplínách, navazovali jsme na výsledky výzkumů (Jirotková, Krpec, 2013; Hejný, Zemanová 2013; Zemanová, 2013; Krpec, 2015; Krpec, Vidlařová, 2014). V posledních dvou jmenovaných jsme analyzovali názory na tehdy stávající výuku jednotlivých matematických oblastí zařazených do přípravy budoucích učitelů 1. st. ZŠ. Podobně i v tomto případě se budeme snažit vycházet z výsledků výzkumu. Tentokrát jsme se inspirovali projektem Katedry matematiky a didaktiky matematiky (KMDM) Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy (PedF UK). Cílem je identifikace podnětů, popudů, pohnutek či motivací přispívajících k posunům jak učitelova, tak studentova přístupu k vyučování matematice pomocí dotazníkového šetření u studentů a rozhovory s učiteli. Při jejich analýze budeme mimo jiné vycházet z (Jirotková, 2012; Davis, Maher, Nodings, 1990). Dotazníky KMD PdF OU jsou v mnoha položkách shodné s dotazníky KMDM PedF UK, což umožní závěrečnou komparaci výsledků. 2. Dotazníkové šetření na PdF OU Šetření probíhalo od prosince Do ledna 2017 se jej zúčastnilo zatím 36 studentů. Z toho 11 studentů 4. ročníku a 25 studentů 3. ročníku. Studenti 4. ročníku absolvovali jeden semestr náslechů a dva semestry výstupů, všechny matematické předměty studia s výjimkou didaktiky aritmetiky. Studenti 3. ročníku do té doby neabsolvovali v matematice žádné náslechy a výstupy, ani didaktické předměty. Příklady otázek dotazníků naleznete v článku Zemanová, Jirotková (2017). Vzhledem k danému rozsahu článku jsme pro analýzu vybrali po jedné otázce u každého ročníku: A. U studentů 4. ročníku - Jaké máte zkušenosti z průběžné praxe z matematiky? (zde se můžete rozepsat, napsat nějaký příběh týkající se žáků, kolegů studentů, třídních učitelů, fakultních učitelů didaktiků). B. U studentů 3. ročníku - Ve 4. ročníku vás čeká průběžná praxe z matematiky. Tedy budete docházet na vybrané školy nejprve pozorovat zkušené učitelé matematiky, později své spolužáky při vedení matematiky a sami hodiny matematiky připravovat, vést a reflektovat. Co od této praxe očekáváte? Co byste chtěl/a z praxe získat? Kde očekáváte, že budete potřebovat pomoci? 3. Analýza výsledků Ve vybraných odpovědích, které studenti uvedli v dotaznících, jsme identifikovali společné jevy a na základě tohoto kritéria jsme vytvořili třídy jevů. a. Zkušenosti: dále jsme členili na příběhy s dětmi, poučení, povzbuzují zkušenosti, zkušenosti budící pochybnost. b. Osobní profesní rozvoj (OSR): dále jsme třídili na moje pochybnosti, můj strach, moje slabé stránky, moje silné stránky. c. Vlastní praxe podle toho, koho se jev týká: dále jsme třídili na obecně, fakultní učitel, ZŠ učitel. d. Vlastní praxe podle toho, čeho se jev týká: dále jsme třídili na nezvládá, nabídne, zvládá. A. Studenti čtvrtého ročníku - zkušenosti ad a) Z 11 studentů se jich 9 vyjádřilo v tom smyslu, že zkušenosti z praxe byly pro ně povzbuzující, žádná ze studentek neměla zkušenost budící pochybnost. ad b) V rámci odpovědí pouze jedna studentka odpověděla, že si uvědomuje spoustu rezerv, ale neuvádí konkrétně. 73

74 ad c), d) Z 11 studentů 3 uvedli jevy poukazující na to, co obecně praxe nezvládá. Zajímavé, že dvě z těchto odpovědí byly zcela opačné. Jedna studentka odpověděla, že Stále koukat, jak jiní učí, nám nic nedává., naproti tomu druhá uvedla, že by bylo třeba více hodin, aby se s kolektivem třídy dostatečně seznámili a jedna uvedla, že praxe byla z ruky. Čtyři studenti uvedli, že významná byla pomoc třídní učitelky, z toho 3krát pro seznámení s třídou a 4krát pomoc s přípravou a pěti studentům byla přínosem závěrečná reflexe s fakultním učitelem. Odpovědi týkající se učitele a didaktika bychom mohli zahrnout pod jevy Praxe zvládá.... B. Studenti třetího ročníku - očekávání ad a) Studenti většinou očekávají vlastní zkušenost. Jelikož jde o očekávání, zpravidla půjde o zkušenost povzbuzující. Z 25 studentů toto očekávání uvedlo 21 studentů. Z toho ve 13 případech jde o získání vlastní zkušenosti obecně. Ve dvou případech respondenti specifikovali, že chtějí získat vlastní zkušenost s klasickou výukou. Ve 3 případech se dotazovaní vyslovili pro získání zkušeností se zařazováním zajímavých technik metod do vyučování. Ve 3 případech uvedli získat zkušenosti se zaváděním nebo vysvětlením nové látky. Ve dvou případech by chtěli získat zkušenosti s tím, co mi jde a s čím mám problém, v jednom případě pak zapracovat na zlepšení komunikace s dětmi a v jednom případě získat přehled, kolik toho děti během jednoho ročníku zvládnou. ad b) Jeden respondent odpověděl, že jeho slabší stránkou bude výuka geometrie. ad c), d) Do kategorie, co praxe obecně nezvládá, lze zařadit, že studenti dopředu nevědí, jaké učivo budou učit, což se objevilo ve dvou případech a v jednom případě uvádí student, že výuka nebude jako běžná, neboť bude ve třídě příliš pozorovatelů a tudíž tato praxe není přínosná. Do kategorie, co praxe přinese obecně, lze uvést všechna očekávání týkající se vlastních zkušeností s výukou. Kromě toho se ještě 3krát vyskytl jako přínos, co praxe nabídne i pozorování ostatních studentů při jejich výuce. Z pohledu toho, co studentovi na praxi přinese ZŠ učitel, se objevují nejčastěji dva typy odpovědí: ve 14 případech lze shrnout odpovědi pod jev pomoc s přípravou na hodinu obecně, z toho navíc v jednom případě pomoc s klasifikací, v jednom případě jak pomoci žákovi při nezvládání učiva, ve třech případech pomoc s využitím různých metod práce, ve dvou případech rady ohledně chování žáků ; v 7 případech pak studenti očekávají, že jim praxe nabídne náslechy na hodinách zkušeného učitele, inspirace využití různých metod předvedených na jejich hodinách. Kromě převládajících dvou typů odpovědí je ještě v jednom případě očekávána reflexe odučené hodiny se ZŠ učitelem. Od fakultního učitele studenti očekávají, že jim praxe nabídne reflexi hodiny, což se vyskytlo v odpovědích 2krát a jednou studenti uvedli pomoc s přípravou na výuku. 74

75 4. Závěr Na výsledky uvedené v tomto článku budou navazovat další, ve kterých budeme porovnávat další výsledky dotazníkového šetření například z hlediska porovnání, jaká byla očekávání a jaké jsou u stejné skupiny nabyté zkušenosti. Další budou věnovány srovnání, zda se např. zkušenosti po absolvování praktické přípravy mezi jednotlivými ročníky postupně mění. A v neposlední řadě bychom chtěli porovnat výsledky šetření na KMD PdF OU a KMDM PedF UK. Zajímá nás např., nakolik ovlivní výsledky šetření skladba předchozí teoreticko-didaktické přípravy. Získaná zjištění bychom chtěli pak implementovat nejen do profesní přípravy studentů, ale je možné, že budeme provádět i úpravy v teoreticko-didaktické přípravě budoucích učitelů 1. st. ZŠ na PdF OU. Literatura DAVIS, R.B. & MAHER, A.C & NODDINGS. N. (eds.): _Journal for Research in Mathematics Education_. Monograph No. 4. Constructivist Views on the Teaching and Learning of Mathematics. NCTM, HEJNÝ, M., ZEMANOVÁ, R.: Vyučování orientované na budování schémat v praxi. In: Elementary Mathematics Education EME 13. Prešov: Univerzita Prešov, JIROTKOVÁ, D.: Tool for diagnosing the teacher's educational style in mathematics: development, description and illustration. Orbis Scholae, č. 2, 2012, vol. 6, pp JIROTKOVÁ, D., KRPEC, R. Vyučování orientované na budování schémat v přípravě učitelů. Matematika v primárnej škole. Prešov: Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, s KRPEC, R., VIDLAŘOVÁ, E. Pohled na matematickou komponentu oboru učitelství 1. st. ZŠ očima absolventů Ostravské univerzity a srovnání s univerzitami v ČR. GRANT journal. 2014, roč. 2014, sv. 03, s KRPEC, R. Matematická komponenta v přípravě budoucích učitelů 1. stupně ZŠ na Ostravské univerzitě z pohledu absolventů. STUDIA SCIENTIFICA FACULTATIS PAEDAGOGICAE. 2015, roč. 14, s ZEMANOVÁ, R. Vyučování metodou budování schémat ostravská zkušenost v učitelské přípravě a praxi. In: Dva dny s didaktikou matematiky Praha: Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova. RNDr. Radek Krpec, Ph.D. Katedra matematiky s didaktikou Pedagogická fakulta, Ostravská univerzita Mlýnská 5, Ostrava 1 radek.krpec@osu.cz Doc. RNDr. Darina Jirotková, Ph.D. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova M. D. Rettigové 4, Praha 1 darina.jirotkova@pedf.cuni.cz 75

76 Geometrické kurikulum na 1. stupni Geometry curriculum at elementary school Marie Kupčáková MESC: D30 Abstract This paper explains and reminds us about a concept of Geometry curriculum at elementary school which was implemented in our schools since the 1980s. We will give some thoughts about its influence in presence as well. Key words: Curriculum, Geometry. Abstrakt V tomto příspěvku si připomeneme koncepci geometrického učiva na prvním stupni základní školy, která byla realizována na školách v ČSSR od osmdesátých let minulého století. Zamyslíme se formou testu nad jejím vlivem na tvorbu současných učebnic matematiky pro 1. stupeň. Klíčová slova: Standardy, geometrie. 1. Geometrické kurikulum na 1. stupni základní školy dříve a dnes Od roku 1976 byl v tehdejší ČSSR realizován projekt Další rozvoj československé výchovně vzdělávací soustavy, stručně zvaný množinové pojetí matematiky. Ten, kromě odlišného přístupu k aritmetickému učivu, zcela zásadně změnil tradiční vyučování geometrie. Žák nebyl seznamován s geometrickými pojmy, vztahy, konstrukcemi a dalšími abstraktními pojmy až od dvanácti let, ale už od sedmi let. Mělo se za to, že axiomatické, systematické vytváření geometrických poznatků je jednoduché, jasné a bude zárukou trvalých vědomostí. Dětem byly už od druhé třídy vnuceny abstraktní geometrické pojmy. Metodickou řadu učiva vytvořily: bod (vrchol krychle), úsečka (základní pojem hrana krychle), polopřímka (hrana krychle prodloužená na jednu stranu), polopřímky opačné (jakási hra na přetahovanou ), přímka (hrana krychle prodloužená na obě strany), rovina (odvozená od stěny krychle), polorovina, atd. Autoři koncepce byli přesvědčeni (a tvrdí to na webových stránkách i dnes), že jejich geometrie je odvozená z prostoru, proto přirozená a pochopitelná v jakémkoliv věku. Geometrie se začala učit přísně formálně a vědecky. V dalších letech se obsah i forma geometrického vzdělávání neměnily. Dodnes se školáci trápí vymyšlenými problémy matematiků-didaktiků, jaké neřešil ani Eukleidés ve svých Základech. Například: Když vyznačuji bod, mám kreslit plusko nebo otočený křížek? Mám přímku popsat psacím nebo tiskacím písmenem? Jak 76

77 pojmenovat úsečku, která je grafickým součtem různých úseček AB, CD? (Jak pojmenovávat přenášené krajní body?) Jak symbolicky zapsat, že úsečky AB a CD jsou shodné? Jak zapsat, že jsou stejně dlouhé? Jaký je rozdíl mezi přímou čárou, úsečkou a přímkou? Je polopřímka půlkou přímky? Je polorovina půlkou roviny? Jsou polopřímky RS a SR opačné? Náleží střed kružnice kružnici?... atd. Přehnaný a věku nepřiměřený důraz začal být kladen na přesnost rýsování. Projekt Další rozvoj československé výchovně vzdělávací soustavy k dnešnímu dni už prošel všemi pěti formami obsahu kurikula. Tedy koncepční, projektovou, realizační, rezultátovou a efektovou (klasifikace dle [PRŮ]). I když první tři formy tohoto kurikula proběhly vcelku bez problémů a bez povšimnutí veřejnosti, hodně špatné výsledky rezultátové formy projektu jsme s překvapením zaznamenali, stejně jako vysoké školy technické, před rokem 2000 i na pedagogické fakultě. Tehdy nastal náhlý propad geometrických znalostí a dovedností studentů. Předcházející ročníky, které začínaly s geometrií na druhém stupni základní školy, bývaly v geometrii výrazně lepší. Sporné je i kladné hodnocení poslední, efektové formy kurikula, neboť nabyté (nenabyté) abstraktní znalosti nemohou bývalí žáci v současné profesní kariéře ani uplatnit, protože jsou zcela nepotřebné (viz ukázka z testování dále). Na základě svých čtyřicetiletých zkušeností s geometrií a její výukou konstatuji, že čas vynaložený učiteli a žáky prvního stupně byl promarněn. I když se mnohým autorům učebnic zdálo (a zdá), že získávané vědomosti budou pro život nesmírně důležité a budou bezpečně uloženy v paměti žáků, není to pravda. Nejsou ani důležité, ani uložené do dlouhodobé paměti. Experiment, jehož část uvedu dále, potvrdil, že v pracovní paměti dospělých nezůstává z učiva geometrie prvního období 1. stupně ZŠ už téměř nic. Nevhodně načasované planimetrické učivo sice chvíli bylo v senzorické paměti, po dobu dvou let snad i v krátkodobé paměti, avšak pak je zakryly jiné informace. Jeden z hlavních důvodů zapomínání učiva spočívá v tom, že abstraktní geometrické pojmy je dítě schopno vstřebávat až od let věku (podrobně viz. [GAR]). Studenti se vše učí na dalších úrovních škol od základů, ale už s narušeným aparátem ukládání geometrických poznatků, a nepamatují si ani nové učivo. Současná didaktika elementární matematiky se dávno vyrovnala s množinami. Tzv. množinové pojetí aritmetiky nenajdeme už v žádné řadě učebnic. Jinak je tomu s reziduem zvaným moderní základy geometrie. Zdá se mi, že ty nabyly punc jakési nedotknutelnosti, jak o tom svěd4í většina současných českých učebnic matematiky pro první stupeň základní školy. Při pozorném čtení současných Standardů shledáme, že neobsahují axiomatické pojetí planimetrie na prvním stupni. Například první očekávaný výstup M zní žák rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné útvary a jednoduchá tělesa; nachází v realitě jejich reprezentace. [STA] Pojem rovinný útvar, tedy útvar dimenze 2, můžeme nahrazovat slovy jako destička, ploška ap. Útvary dimenze 1 (přímka a její části) nejsou rovinnými útvary (!), a už z formulace základního výstupu nepatří do 1. období prvního stupně. To by mělo jednou provždy znamenat konec opačným polopřímkám a dalším věku nepřiměřeným odborným pojmům v geometrii určené žákům ve věku 7 9 let. (Více viz [MET]) Autoři nejpoužívanějších učebnic se tím však neřídí. A je vcelku logické, že na školách se učí právě to, co je v učebnicích. Ty navíc zakrývají abstraktní pojmy vtipnými ilustracemi, aby daly žákům najevo, že učivo je snadné. Výklad a odborná terminologie jsou mnohdy na úrovni střední školy. 77

78 V Metodických komentářích ke standardům uvádíme například i to, že v souladu s psychologickými poznatky je vhodné začít s rýsováním a konstrukčními úlohami až ve věku let. Souběžně s rýsováním útvarů pak používat správné názvosloví, aby je žák mohl užívat i na dalších stupních škol. (V současné době je, co se týká symboliky, v českých učebních textech nejednota, kterou by mělo napravit vydání nových, pro všechny typy a stupně škol závazných, názvů a značek školské matematiky.) [MET] 2. Testování uchování geometrických vědomostí V uplynulých letech jsem průběžně testovala studenty učitelství na UHK ze znalostí učiva 1. stupně a zjišťovala, jak málo si pamatují. Jsem přesvědčena, že to není jejich vina. Příčina je psychologicky odůvodněná a spočívá, jak bylo výše uvedeno, ve špatném prvotním načasování učiva. Abych podložila svůj apel na oficiální přerušení (a zřejmě i zakázání) třicetileté vžité axiomatické koncepce geometrie na prvním stupni, uskutečnila jsem malý didaktický výzkum, jehož část zde uvedu. Využila jsem toho, že bývalí i dnešní žáci řeší ve škole stejné úlohy. V roce 2015 jsem zadala obvyklý test ze současného třetího ročníku ZŠ (sestavený fakultní učitelkou podle ŠVP), v pěti různých ročnících ZŠ a také ve druhém a třetím ročníku studia učitelství ZŠ1 na PdF UHK. Každou úlohu jsem rozdělila na sledované jevy a ty hodnotila (+, ). Výsledky jsem zaznamenávala do tabulek pomocí skutečných počtů správně splněných dílčích úkolů. Varovné výsledky jsou zvýrazněny. Pro ilustraci vybírám dvě úlohy. Úloha 1 Narýsuj přímku m. Na přímce m vyznač body C, D. Vyznač barevně polopřímky CD, DC. (1a) Rozhodni, zda jsou pravdivé tyto věty: Polopřímky CD a DC leží na jedné přímce. pravda/ nepravda (1b) Polopřímky CD a DC nemají společný bod. pravda/ nepravda (1c) Polopřímky CD a DC jsou polopřímky opačné. pravda/ nepravda (1d) Tabulka1. Úspěšnost řešení 1. úlohy. Ú1 III. IV. V. VI. VII let let a 13/19 22/23 2/27 4/20 11/20 28/54 22/29 1b 16/19 23/23 23/27 17/20 19/20 51/54 29/29 1c 7/19 2/23 7/27 13/20 16/20 44/54 27/29 1d 12/19 1/23 11/27 9/20 7/20 9/54 5/29 V žádné ze sledovaných skupin nebyly uspokojivě vyřešeny všechny dílčí úkoly. Poslední, který se týkal opačných polopřímek, uspokojivě splnili pouze žáci 3. ročníku. Vytěsnění pojmu z paměti starších respondentů jasně prokázalo jeho neužitečnost. Je třeba uvést, že ve třinácti knihách Eukleidových Základů ani jednou nenajdeme matoucí předponu polo. Sám Eukleidés vystačil s druhým postulátem o prodlužování přímé čáry (jedním směrem). 78

79 Úloha 2 Na obrázku (obr. 1) je narýsovaná kružnice k se středem S a jsou vyznačeny některé body. Zapiš body, které náleží kružnici k... (2a) náleží kruhu, který je kružnicí k určen... (2b) nenáleží kružnici k... (2c) nenáleží kruhu, který je kružnicí k určen... (2d) B A C E S D k Obrázek 1. Úloha2. Samo znění úloh o náležení je nepřirozené. Alarmující jsou výsledky druhé úlohy ve všech skupinách, vyjma 4. ročníku. I zde se ukázalo, že za to nenesou odpovědnost žáci, ani učitelé, ale samo učivo a ti, kteří je zas a znova zařazují do učebnic matematiky. ŠVP se přirozeně řídí zvolenou řadou učebnic. Tabulka2. Úspěšnost řešení 2. úlohy. 21 III. IV. V. VI. VII. 20 let Ú2 let a 17/19 22/23 9/27 11/20 17/20 46/54 20/29 2b 2/19 17/23 5/27 1/20 11/20 19/54 18/29 2c 8/19 10/23 2/27 5/20 9/20 12/54 11/29 2d 9/19 22/23 6/27 6/20 16/20 34/54 25/29 3. Závěr Z našeho šetření vyplynulo, že kurikulum výuky geometrie na 1. stupni stále ovlivňuje koncepce zavedená v tehdejší ČSSR v osmdesátých letech minulého století, o čemž svědčí obsah většiny učebnic. Využití času vyhrazeného pro matematiku je tak zčásti neefektivní. Proto doporučujeme, aby byly oficiálně přesunuty geometrické konstrukční úlohy do ročníku ZŠ a abstraktní pojmy až na 2. stupeň základní školy. Těžiště geometrie na prvním stupni by mělo spočívat, z důvodu uchování jiných smysluplných užitečných geometrických poznatků, v manipulativních činnostech (modelování, kreslení od ruky, nácvik kreslení pomocí kružítka a pravítka), poznávání geometrických tvarů (2D, 3D), rozvíjení představivosti v rovině i prostoru a v rozvíjení slovní zásoby (české i správné geometrické). 79

80 Literatura GARDNER, H.: Dimenze myšlení. Portál, ISBN PRŮCHA, J.: Moderní pedagogika. Portál, ISBN Standardy pro základní vzdělávání příloha RVP ZV, 1. září Metodické komentáře ke Standardům pro základní vzdělávání. NÚV [ ]. RNDr. Marie Kupčáková, Ph.D. Katedra matematiky PřF UHK, Hradec Králové Rokitanského 62, Hradec Králové 3 Marie.Kupcakova@uhk.cz 80

81 Proces třídění v komunikaci učitelky a dítěte (v mateřské škole) Sorting activities in the process of communication between teachers and children (in the kindergarten) Eva Nováková MESC: C30 Abstract Sorting activities represent activities with a potential to develop the propedeutics of mathematical skills of pre-school children. They usually have the form of tasks to group objects into certain sets based on given criteria. In this paper, the authors use video recording as a basis for considerations about the processes of sorting as well as about forms, methods and efficiency of the teacher-child communication. This kind of activities enable teachers to consider relationships between pre-school and primary school education and to view both of these as phases of one continuous educational process. Key words: propedeutics of mathematical skills, communication, manipulation, sorting. Abstrakt Jednou z aktivit využívaných při rozvíjení předmatematických představ v mateřské škole je třídění předmětů - seskupování prvků do určitých souborů, tříd, obvykle na základě sděleného kritéria, vyjadřujícího určitou shodu nebo podobnost prvků. Na základě videonahrávky se v článku zamýšlíme jak nad procesem samotného třídění, tak nad průběhem komunikace učitelky a dítěte. Úloha umožňuje promýšlet návaznosti mezi předškolním vzděláváním a vzděláváním na prvním stupni ZŠ. Klíčová slova: Matematická pregramotnost, komunikace, manipulace, třídění. 1. Úvod Jedním z hlavních cílů práce s dítětem předškolního věku je rozvíjet verbální i neverbální komunikativní dovedností. Zkušenosti rodičů i učitelek v předškolních zařízeních (Slezáková, Šubrtová, 2015, Švejnohová, Slavíková, 2016, Zemanová, 2015) ukazují, že je k tomu možné využívat nejrůznější příležitosti: komentovat vlastní zážitky dětí; popsat prožívanou situaci; vyjadřovat v rozhovoru nápady, pocity, mínění a úsudky; formulovat otázky a odpovídat na ně - patří mezi aktivity, směřující k rozvoji poznávacích schopností, jazyka a myšlenkových operací (RVP PV, 2016). Důležitou složkou získávání předmatematických zkušeností dětí je objevování vztahů mezi prvky v určitém souboru předmětů (množině) a mezi těmito soubory prostřednictvím konkrétních manipulativních činností. Kaslová (2015) uvádí, že významné místo přitom zaujímá třídění, seskupování prvků do určitých souborů, tříd, obvykle na základě sděleného kritéria, vyjadřujícího určitou shodu nebo podobnost 81

82 prvků. Třídění předmětů, známé z dětských her, předpokládá, že děti jsou k této činnosti motivovány, obvykle samým charakterem předmětů, které třídí (hračky, ovoce, dopravní prostředky, oblečení, ) a že dokáží jednotlivé předměty identifikovat, označit, pojmenovat, podle jejich kvalitativních znaků (barva, tvar, materiál, ), případně jejich funkce, a stanovit rozdíly a shody mezi nimi. 2. Popis a rozbor aktivity V příspěvku prezentujeme analýzu jedné aktivity, která je reflexí zkušeností získaných v prostředí mateřské školy. V našem výzkumu jsme analyzovali soubor videozáznamů, pořízených při činnosti učitelky s dětmi. Sledované aktivity byly zaměřeny k rozvoji matematické pregramotnosti dětí při motivovaných manipulacích s pomůckami a konkrétními předměty, na porovnávání, uspořádávání a třídění souborů předmětů podle určitého pravidla. Na základě jednoho z pořízených videozáznamů byl zpracován a komentován přepis komunikace mezi učitelkou a dětmi. Zadání, z něhož aktivita dětí vychází, poskytuje příležitost k tvořivému projevu, zároveň však tvůrčí možnosti omezuje striktními pravidly stanovenými matematickým obsahem: vlastnostmi rozkladu množiny na třídy na základě relace ekvivalence. Učitelka zařadila tuto aktivitu jako reakci na předchozí zkušenost s tříděním předmětů a uvedení aktivity modifikovala. V předchozích činnostech zaměřených na třídění sama zadala kritérium pro třídění. Obrázek 1. Předměty známé dětem z běžného života, které budou třídit. Komunikace a její popis U 1 Zkus to roztřídit podle toho, co si myslíš. Kam, co k sobě patří. D1 2 Postupně odděluje skupiny předmětů: a) krabička a pexeso, b) skleněná kulička, hvězdička a andílek, c) sklenička, zavařovací sklenička, Komentář Učitelka používá pokyn roztřídit jako součást zadání úkolu, což je pro děti signál k rozdělení předmětů do skupin. Zároveň ale neuvádí jednoznačné kritérium očekávaného třídění, ale navozuje ho vyjádřením "co k sobě patří". Kritériem třídění je materiál, z něhož byly předměty vyrobeny. Přínosné by bylo dotázat se děvčete, jak k takovému rozdělení dospěla, i když je zřejmé, že verbalizování myšlenek je pro děti v předškolním věku obtížné. 82

83 d) papírový lepící bloček, rolička od toaletního papíru, leták, e) plastová láhev, plastová krabička, dřevěná tyčka od nanuku, plastové pouzdro, plastové postavičky šmoulů, plastová lžička. U 3 Pozor, padá nám to. D1 4 Pokračuje v třídění. U 5 Hotovo? Tak jak to tedy máš teď rozdělený? D2 6 Já si myslím, že to není dobře. U 7 A tak třeba dělila nějak, podle něčeho jinýho. Učitelka se ptá na kritérium třídění. Druhé děvče vyhodnocuje situaci dříve, než se k ní vyjádřila sama autorka. Některé předměty jsou zčásti tvořeny jiným materiálem, než byl zvolen pro danou skupinu předmětů: balení pexesa, andílek, zavařovací sklenice. Věci z papíru nejsou v jedné skupině - jsou rozděleny na dvě části - a mezi věci z plastu byla pravděpodobně na základě tvarové podobnosti zařazena dřevěná tyčka. Zda mělo druhé z děvčat pochybnosti tohoto charakteru či jiné se nedozvídáme. Učitelka tímto sdělením směřuje k alternaci kritéria pro třídění, které zvolila první dívka. Dále se však této myšlence nevěnovala. U 8 No. Děvče sděluje učitelce vlastnosti D1 9 Skleněný. jednotlivých skupin, z jakého materiálu U 10 Hm. jsou vyrobeny přičemž učitelka D1 11 Papírový. vyhodnocuje všechna vyjádření U 12 Hm. souhlasným Hm. D1 13 Plastový. U 14 Hm. U 15 A co dál? D1 16 Skleněný. U U 17 To máme taky skleněný, viď? 18 Pozor ať ti to nespadne. Poté, co děvče označilo již druhou skupinu předmětů ze skla, učitelka na tuto skutečnost bezprostředně poukazuje. Tato D1 19 Ty se nám zatoulaly. D1 20 Přesouvá skleničky k ostatním skleněným. rychlá reakce uzavírá dítěti možnost k odkrytí, objevení této skutečnosti a samostatné nápravě, tj. zařazení všech skleněných předmětů do stejné skupiny. U 21 A co toto? (ukazuje..) A ještě tady máme. Přesouvá před dítě plastový květináč. Učitelka opět přebírá iniciativu a poukazuje na papírovou krabičku, pexeso a plastový květináč. Tyto předměty byly 83

84 v danou chvíli problematické z pohledu dodržení kritéria třídění. Dvě třídy rozkladu nebyly disjunktní a každý prvek základní množiny nepatřil do některé ze tříd rozkladu. Vznikly dvě skupiny věcí vyrobených z papíru a plastový květináč dosud děvče do svých tříd nezařadilo. D1 22 Nevím. U 23 Nevíš? Tak zkus na to sáhnout, zkus to poťukat. Co myslíš? Učitelka nabádá k zapojení více smyslů pro určení materiálu, ze kterého je výrobek. D1 24?? U 25 Hm. Co tak krabička, co myslíš? Dílčími otázkami vede děvče k přehodnocení problematické skupiny D1 26 To je z papíru. (papírová krabička, pexeso) a to tím, že je U 27 A to pexeso? Co myslíš? vysloven materiál, ze kterého jsou D1 28 Z papíru. vyrobeny. U 29 No, vidíš to. Zcela konkrétně instruuje děvče k přesunu D1 30 Tak to zkusíš dát k sobě ty skupinky, abysme to tedy rozto... obou předmětů k věcem z papíru a tím k vytvořením jedné skupiny. Na stole byly v tuto chvíli předměty blízko u sebe, proto učitelka vyzvala k oddělení skupin. Verbálně ale děvče nabádá, ať dá skupinky k sobě, čímž myslela předměty v jednotlivých skupinách nikoliv skupiny samotné. Ty naopak chtěla oddělit. U 31 Zkus jenom je takhle k sobě přidat. Přisunula plastový květináč k plastové lahvi. Sama odděluje dva plastové předměty. Děvče k nim přidává zbývající plastové věci. Ostatní předměty nepřesouvá, ale sahá na ně a některé skupiny pojmenuje. D1 32 Tady máme skleněný. U 33 Hm. Jo. Dobrý? Hotový? Ujištění o dokončení úkolu a jeho D1 34 Dobře. správnosti. 3. Shrnutí, závěry Na začátku práce je patrný akcent na dětskou aktivitu, kreativitu, hledání vlastních podmínek pro třídění, který však v průběhu práce byl upozaděn a učitelka jednoznačně směřovala k uplatnění vlastního kritéria, tj. třídění podle materiálu. Dítě si nestanovuje hned na začátku jednoznačné pravidlo pro třídění, které poté "stačí pouze aplikovat". Na videu vidíme proces hledání, přičemž spouštěčem byl pokyn učitelky (U1) - "co k sobě patří". Děvče střídá při posuzování a rozhodování dvě hlediska: "mít podobný tvar", "být vyroben ze stejného materiálu". Hned u prvních dvou předmětů můžeme sledovat, že krabička i pexeso jsou z papíru, ale že jsou si také tvarově blízké. Pro děvče byla ona tvarová blízkost natolik dominantní, že je nezařadila mezi ostatní věci z papíru. Význam tvaru předmětů se ukázal podstatný také u zařazení dřevěné tyčky mezi plastové pouzdro. Vzhledem k tomu, že tyto dva předměty byly z různých materiálů, jejich zařazení do téže skupiny bylo chybou ve chvíli, kdy do téže skupiny byly zařazeny další plastové předměty. Zároveň ale můžeme sledovat, jak 84

85 důležitá je posloupnost děje. Nejprve si děvče vzalo dva předměty a vyhodnotilo je oba jako plastové (krabička, láhev) a odložilo je. Následující dva předměty, které vzalo, byla tyčka a pouzdro, které ovšem vyhodnotilo z pohledu jiných vlastností, ale dále nezjišťovala, zda danou vlastnost má i jiný prvek ( reprezentant třídy rozkladu ) v již vytvořené skupině, do které chtěla předmět zařadit. Učitelka ve svých reakcích tuto interpretaci nereflektovala, nevyužila tento potenciál vhledu do situace. Pro proces třídění je důležité, aby děti dobře znaly vlastnosti tříděných předmětů, ale také aby uměly správně vyhodnotit danou vlastnost, tj. zvolené kritérium. Například u třídění podle barev někdy děti váhají, zda mají předměty o různých odstínech téže barvy zařadit do jedné skupiny. Ve chvíli, kdy se nutně nejedná o vizuální vjem, bývá posuzování obtížnější. V našem případě se též ukázalo, že pro posouzení vlastností je významná i dosavadní zkušenost dítěte. Pokud mu již někdo z důvěryhodných dospělých sdělil, že se jedná například o plastovou lžičku, nemusí dítě blíže více zkoumat materiál, z kterého je lžička vyrobena. Výzkum byl realizován v rámci řešení úkolu FRMU Realizace inovativních změn v matematické složce přípravy učitelek mateřských škol na PdF MU". Literatura KASLOVÁ, M. Prelogické myšlení. In: Fuchs, E., Lišková, H., Zelendová, E. (eds.). Rozvoj předmatematických představ dětí předškolního věku: metodický průvodce. (pp ). Praha: JČMF Rámcový vzdělávací program pro předškolní vzdělávání. Praha: Dostupné z SLEZÁKOVÁ, J., ŠUBRTOVÁ, E. Matematika všemi smysly aneb Hejného metoda v MŠ: pokus o malou příručku pro kreativní pedagogy. Praha: Step by Step ČR, o.p.s., ŠVEJNOHOVÁ, A., SLAVÍKOVÁ, V. Panáček aneb O rozvíjení matematických představ a spolupráce v dětské skupině. Komenský, 2016, č. 04, s ZEMANOVÁ, R. Jak děti předškolního věku rozumí prostoru. Ostrava: Ostravská univerzita v Ostravě, Mgr. Eva Nováková, Ph.D. Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU Poříčí 31, Brno, Česká republika novakova@ped.muni.cz 85

86 Několik slov k cyklografii Some words about cyclography Jitka Panáčová MESC: G80, G60 Abstract In the paper there are briefly described basic problems of cyclography (one-to-one correspondence of the set of all points of the E3 onto the set of all directed circles - cycles of the proper plane of the E 3. The article summarizes principles and applications of cyclography method, and in the end introduces its historical development. Key words: cycle, directed line, isotropic line, directed plane, basic conic C, C conic area. Abstrakt Práce sa zabývá základními problémy cyklografické zobrazovací metody (bijektivní zobrazení množiny všech bodů rozšířeného euklidovského prostoru E 3 na množinu všech orientovaných kružnic cyklů vlastní roviny prostoru E 3 ). Shrnuje dále aplikaci této metody na řešení planimetrických úloh z geometrie orientovaných kružnic a v závěru zachycuje stručně její historický vývoj. Klíčová slova: cyklus, orientovaná přímka, isotropní přímka, orientovaná rovina, základní kuželosečka C, C - kuželová plocha. 1. Úvod Cyklografie nebo cyklografické zobrazení je příkladem nelineární zobrazovací metody. Pod pojmem zobrazovací metody rozumíme bijektivní zobrazení útvarů trojrozměrného euklidovského prostoru (popř. rozšířeného euklidovského prostoru) na určité objekty jedné roviny, kterou nazýváme nákresna. Bodu v prostoru tedy přiřadíme určitý útvar v nákresně. V případě cyklografického zobrazení je obrazem bodu v prostoru cyklus v nákresně, přičemž střed cyklu je ortogonální průmět daného bodu do nákresny. 2. Základní principy cyklického promítání V dalším textu se předpokládá znalost následujících pojmů elementární geometrie euklidovské roviny E 2 : orientace přímky (orientovaná přímka), orientace roviny (orientovaná rovina), orientovaný úhel. 86

87 Poznámka 1: Pod pojmem úhel se v celém textu bude rozumět příslušný konvexní úhel (např. < AOB nebo < u v). Jestliže úhel < u v patří do zvolené (kladné) orientace roviny, budeme říkat, že tento úhel určuje orientaci roviny nebo orientace roviny je tímto úhlem určená. Definice 1: Buď k(o, r) libovolná kružnice orientované euklidovské roviny E 2 (úhlem < u v) a K, L libovolná uspořádaná dvojice navzájem různých bodů na k. Řekneme, že kružnice k je dvojicí bodů K, L orientovaná kladně, resp. záporně, jestliže orientovaný úhel < KOL patří, resp. nepatří do zvolené orientace roviny (tj. jestliže úhly < u v, < KOL jsou orientované souhlasně, resp. nesouhlasně). Poznámka 2: Orientovanou kružnici nazýváme cyklus, původní kružnici nositelkou cyklu. Analogicky orientovanou přímku nazýváme paprskem, původní přímku nositelkou paprsku. Ve smyslu předchozí definice pak hovoříme o kladných a záporných cyklech. Poloměrem kladného, resp. záporného cyklu budeme nazývat reálné číslo r, resp. - r, kde r je poloměr nositelky cyklu. Definice 2: Kladnou polorovinou orientované eukleidovské roviny ρ vzhledem k danému paprsku (určeného polopřímkou KL ) nazýváme polorovinu (s hraniční přímkou danou body K, L) incidentní s bodem X, pro který orientovaný úhel < LKX patří do zvolené orientace roviny ρ. Opačnou polorovinu k této polorovině nazýváme zápornou polorovinou orientované roviny ρ vzhledem k danému paprsku. Kladnou stranou kladného, resp. záporného cyklu nazýváme vnitřek, resp. vnějšek nositelky cyklu; vnějšek, resp. vnitřek této kružnice se nazývá jeho zápornou stranou. Definice 3: Buď v orientované euklidovské rovině ρ dána přímka t a kružnice k. Řekneme, že paprsek s nositelkou t se dotýká cyklu s nositelkou k, jestliže nastane právě jedna z následujících dvou možností: 1. Přímka t je tečnou kružnice k a kladná polorovina roviny ρ vzhledem k danému paprsku je částí kladné strany cyklu. 2. Přímka t je tečnou kružnice k a kladná strana cyklu je podmnožinou kladné poloroviny roviny ρ vzhledem k danému paprsku. Jestliže mají dva cykly ve společném bodě společný dotykový paprsek, řekneme, že se oba cykly ve společném bodě dotýkají. 2.1 Obraz bodu Základním prostorem bude rozšířený euklidovský prostor E 3 nad polem reálných čísel. Principem cyklografické zobrazovací metody je kolmé promítání do jedné (vlastní) roviny. Buď E 3 libovolná vlastní rovina (průmětna). Orientujme oba poloprostory prostoru E 3 s hranicí (tj. prohlašme libovolný z nich za kladný). V kótovaném zobrazení se přiřadí každému vlastnímu bodu P E 3 uspořádaná dvojice (P 1, z P ), kde P 1 je kolmý průmět bodu P do průmětny a z P je orientovaná vzdálenost bodu P od roviny (kóta bodu P). V cyklografii se postupuje analogicky. Při zobrazení libovolného vlastního bodu P E 3 se sestrojí nejprve jeho kolmý průmět P 1 do roviny. Dále je třeba (kromě orientace poloprostorů prostoru E3 s hranicí ) orientovat průmětnu např. orientovaným úhlem < u v. Každému bodu P prostoru E 3 pak přiřadíme cyklus P C průmětny s poloměrem z P, jehož nositelka má střed P 1. Cyklus P C je tedy kladný, resp. záporný, jestliže orientovaná vzdálenost bodu P od průmětny je 87

88 kladná, resp. záporná. Pro bod Q je Q = Q 1 a z Q = 0 (tento bod nazýváme nulovým" cyklem). Věta 1: Zobrazení : E3 C množiny všech vlastních bodů prostoru E3 na množinu všech cyklů C průmětny, které bodu P přiřadí cyklus P C, je bijekce. Definice 4: Zobrazení z věty 1 je zobrazovací metoda a nazývá se cyklografické zobrazení. Množina C všech cyklů v rovině se nazývá prostor cyklů. Poznámka 3: Nositelka cyklu P C E 3 je průnikem rotační kuželové plochy v E 3 dané vrcholem P, jejíž tvořící přímky mají odchylku 45 od průmětny. Tato kuželová plocha protíná rovněž nevlastní rovinu Ω E 3 v kuželosečce C (tzv. základní kuželosečka). Kuželosečka C leží na analogických kuželových plochách pro všechny vlastní body prostoru E3 a její střed je nevlastním bodem přímek kolmých na průmětnu. Tento přístup umožňuje jiný pohled na nositelky cyklů v průmětně; každou kružnici - nositelku cyklu P C - lze vyjádřit jako průnik kuželové plochy s vrcholem P a určující kuželosečkou C Ω s průmětnou. Tuto kuželovou plochu značíme symbolem K P (P, P C ) 1. Definice 5: Rotační kuželovou plochu, jejíž tvořící přímky svírají s osou odchylku 45, nazýváme C - kuželová plocha. Věta 2: Množinou všech dotykových cyklů k pevnému cyklu P C jsou cyklografické obrazy všech bodů C - kuželové plochy, jejíž určující kružnice je nositelka cyklu P C. Poznámka 4: Množinou cyklů, které incidují se společným bodem Q, jsou cyklografické obrazy všech bodů C - kuželové plochy s vrcholem Q. V dalším textu by bylo možné ukázat, jakým způsobem se cyklograficky zobrazuje přímka nebo rovina. Touto problematikou se však již dále nebudeme podrobně zabývat, neboť momentálně zbudovaný aparát vystačí pro ilustraci využití cyklografie na následujícím příkladu. 3. Praktické využití cyklografie Možností využití cyklografického zobrazení je celá řada, nejzajímavější je však řešení planimetrických úloh pomocí cyklografie, ze kterých je v následujícím textu vybrána jedna z Apolloniových úloh. Původní Apolloniova úloha se zabývá konstrukcí kružnice, která se dotýká daných tří kružnic. Obecnou Apolloniovou úlohou rozumíme úlohu o konstrukci kružnice dotýkající se daných tří geometrických útvarů (body, přímky, kružnice). Její řešení metodou cyklografického zobrazení je velmi jednoduché a elegantní. Před samotnou ukázkou řešení Apolloniovy úlohy užitím této metody se však nejdříve zabývejme otázkou průniku dvou C - kuželových ploch. 3.1 Pomocná úloha Jsou dány dvě C-kuželové plochy K A (A, A C ), K B (B, B C ), přičemž určující kružnice plochy K A, resp. K B obsahuje cyklus A C, resp. B C. Určete průnik K A K B. Řešení: Průnikem dvou kvadrik je obecně křivka 4. stupně. Protože kuželové plochy K A, K B obsahují základní kuželosečku C, musí být i druhá část průniku těchto ploch kuželosečka. Označme tuto kuželosečku k a její rovinu α. 1 Pokud nemůže dojít k záměně, budeme používat zkráceného zápisu kuželové plochy K P. 88

89 Rovina λ (AB λ, λ ꓕ ) obsahující osy AA 1, BB 1 obou kuželových ploch je jejich rovinou souměrnosti, tj. i vlastní části k jejich průniku. Rovina α kuželosečky k je kolmá na rovinu λ a osa kuželosečky k je průsečnicí rovin α a λ. Zvolme si rovinu λ za druhou průmětnu a dořešme úlohu v Mongeově zobrazení s nákresnou. V druhém průmětu pak pohodlně sestrojíme vlastní body průniku K A K B λ = (K A λ) (K B λ), což jsou vrcholy M, N kuželosečky k. Je zřejmé, že k je hyperbola nebo elipsa (pokud nositelka jednoho cyklu leží uvnitř nositelky druhého) a MN je jejich osou. Rovina α je určená (MN α α ꓕ λ); její stopa p α je chordála nositelek cyklů A C, B C. Kuželosečku k pak sestrojíme jako rovinný řez např. K A α. Ohniska kolmého průmětu kuželosečky k do roviny jsou body A 1, B 1. Odtud vyplývá následující vlastnost: Věta 3: Množina středů všech cyklů, které se dotýkají daných dvou cyklů, je hyperbola nebo elipsa, která má středy daných cyklů za ohniska. 3.2 Apolloniova úloha Sestrojte kružnici, která se dotýká daných tří kružnic a, b, d v rovině. Rozbor: Orientujme dané kružnice a, b, d v rovině a příslušné cykly označme A C, B C, D C. Buď Z cyklografické zobrazení v prostoru E 3 s průmětnou ; Z -1 : A C, B C, D C A, B, D. Jestliže v existuje cyklus X C, který se dotýká cyklů A C, B C, D C, tak pro bod X = Z -1 (X C ) platí: X K A K B K D. Obráceně pro každý bod Y K A K B K D platí, že cyklus Y C se dotýká cyklů A C, B C, D C. Planimetrická Apolloniova úloha je tak převedena s využitím principů cyklografického zobrazení na prostorovou úlohu: nalézt průnik tří C-kuželových ploch a k němu určit jeho cyklografický obraz. Nositelky cyklografických obrazů bodů průniku jsou pak částí řešení zadané úlohy. Konstrukce: Bod X průniku C-kuželových ploch leží v rovině γ vlastní kuželosečky k K A K B a analogicky v rovině β kuželosečky l K A K C (konstrukce rovin γ, β podle předcházející pomocné úlohy; p γ, p β jsou chordály příslušných dvojic kružnic). Označme γ β = s. Pak platí: X K A s. Zřejmá je konstrukce stopníku p s p β p γ přímky s; kromě toho je přímka s rovnoběžná s přímkou s' (s' γ' β'), kde A β' β' β, A γ' γ' γ, tj. γ', β' jsou vrcholové roviny kuželové plochy K A rovnoběžné s rovinami β, γ (v daném pořadí). Průsečíky K A s se sestrojí pomocí roviny λ dané rovnoběžkami s, s'. Platí: K A s = s (λ K A ) = s {AX 0,AY 0 }, kde {X 0,Y 0 } = p λ a. Pak přímka daná body A, X 0, resp. A, Y 0 protíná přímku s v bodě X, resp. Y a X 1, Y 1 jsou středy hledaných cyklů. Kružnice, které jsou nositelkami cyklů X C, Y C, jsou částí řešení úlohy (0 až 2 řešení). Diskuse: Úplné řešení získáme, když budeme uvažovat všechny možné kombinace orientací kružnic a, b, d. Jejich počet je 2 3. Vždy dvě dvojice (pro navzájem opačné cykly) dají jedno řešení, tj. všechna řešení dají čtyři trojice cyklů. Úloha má celkem 0-8 řešení; jejich počet závisí na vzájemné poloze kružnic a, b, d. 4. Historie cyklografie Samotná myšlenka cyklografie (vzájemně jednoznačného zobrazení bodů v prostoru na cykly v rovině) se objevila již v díle [8] B. E. Cousineryho, ve kterém je jí využito při řešení některých Apolloniových úloh. Poté pak Nikolaus Druckenműller 89

90 ( ) - žák Julia Plűckera ( ) - v r zkonstruoval v díle [9] prostředky analytické geometrie zobrazení, které bylo později také nazváno isotropní projekce. Za první soustavně zpracované dílo o cyklografii jako o zobrazovací metodě deskriptivní geometrie je považováno dílo [3] Wilhelma Fiedlera ( ). Tato kniha má čistě konstruktivní charakter, věnuje svou pozornost konstrukčním úlohám o kružnici a kouli. Fiedlerovo pojetí zobrazení splňuje principielně parametry kruhového zobrazení, nelze ho proto označovat za cyklografii v pravém slova smyslu, přestože jeho publikace paradoxně ve svém názvu slovo cyklografie nese. V jeho knize sice narazíme na zmínku o tom, že kružnici v rovině lze orientovat, aby se zabránilo dvojznačnosti, ale autor této možnosti nevyužil a operoval výhradně s elementy neorientovanými. Nejnovější podobu cyklografie jako zobrazovací metody deskriptivní geometrie přineslo systematické dílo [2], které vyšlo r jako druhý díl přednášek Emila Műllera na vídeňské technice. Bylo zpracováno po Műllerově smrti jeho asistentem Josefem Leopoldem Kramesem ( ). Z hlediska cyklografie se jedná o praktickou aplikaci myšlenky isotropní projekce v deskriptivní geometrii a tím zároveň za plod mnohých úvah F. Kleina a Maria Sophuse Lieho ( ), které se vztahovaly v té době k modernímu výzkumu deskriptivní geometrie. Toto Műllerovo dílo přineslo mnoho poznatků z jeho dřívějších publikací o cyklografii, z díla W. Fiedlera [3] a ze studií například Wilhelma Blaschkeho ( ) a Erwina Wilhelma Kruppy ( ). Samotné konstruktivní provedení různých úloh však Műller na rozdíl od Fiedlera prováděl pomocí kótovaného promítání a operoval zásadně s orientovanými elementy. Obě pojetí se dále odlišovala v tom, že v Műllerově díle [2] plnila velmi důležitou funkci nevlastní základní kuželosečka, s níž Fiedler vůbec nepracoval. 4.1 Cyklografie v Čechách Jedinou knižní publikací u nás, která se podrobně a uceleně problematikou cyklografického zobrazení zabývala, je monografie [1] L. Seiferta ( ). Tato kniha vydaná v r je napsána v Műllerově pojetí jedná se o přeložené a zkrácené Műllerovo dílo [2]. Autor v ní popisuje základními principy cyklografie, vysvětlil pojmy a vlastnosti tzv. cyklografické koule a cyklického zobrazení bodových transformací, popsal konstrukci cyklického obrazu křivky a plochy v E 3 a v závěru zkoumal užití cyklické projekce a Laguerrových transformací. Na příkladech různých planimetrických úloh je ilustrováno praktické využití cyklografie. Tato monografie [1] byla určena především pro kandidáty středoškolského učitelství. L. Seifert usiloval o zavedení cyklografie do výuky deskriptivní geometrie na českých vysokých školách pro budoucí středoškolské učitele a přednášel ji na Přírodovědecké fakultě MU v Brně. Po jeho smrti zde cyklografii přednášel Seifertův žák Karel Svoboda. Jmény těchto dvou geometrů však éra cyklografie ve výuce u nás začíná a zároveň i končí. V hodinách deskriptivní geometrie byl dán prostor jiným metodám. Kromě monografie [1] v české odborné literatuře nalezneme v mnohých souvislostech rozličné zmínky o cyklografii, často ve spojení s řešením planimetrických úloh. Z celé této nevelké řady knižních publikací o cyklografii se zmiňujících jmenujme alespoň učebnici deskriptivní geometrie Jana Sobotky ( ) [5], která je však napsána ještě ve Fiedlerově pojetí. Další zmínky o této zobrazovací metodě již 90

91 v Műllerově pojetí nalezneme v monografiích Josefa Holubáře ( ) [6] a [7], ve kterých mimo jiné autor ilustroval prostřednictvím cyklografie řešení Apolloniových úloh. 5. Závěr Využití cyklografie v oblastech matematiky a geometrie je široké, bohužel se dnes již v rámci výuky deskriptivní geometrie s touto zajímavou metodou téměř nesetkáme. Její aplikace na řešení klasických úloh z elementární geometrie je elegantní a názorná a mohla by tudíž vzbudit opětovný zájem. V současné době na tuto metodu narazíme v některých pracích a materiálech Zity Sklenárikové z FMFI UK v Bratislavě (viz [10]). Velmi inspirativní je dále novější pojednání o cyklografii [11] od Lenky Juklové z UP v Olomouci a diplomová práce [12] od Jiřího Hátle. Literatura [1] SEIFERT, L.: Cyklografie, Jednota československých matematiků a fyziků, Praha, [2] MŰLLER, E.- KRAMES, J. L.: Vorlesungen űber darstellende Geometrie, 2. Band: Die Zyklographie, Wien und Leipzig, [3] FIEDLER, W.: Cyklographie oder Construktion der Aufgaben uber Kreise und Kugeln und elementare Geometrie der Kreis- und Kugelsysteme, Leipzig, [5] SOBOTKA, J.: Deskriptivní geometrie promítání parallelního, JCMF, Praha, [6] HOLUBÁŘ, J.: O metodách rovinných konstrukcí, JCMF, Praha, [7] HOLUBÁŘ, J.: O rovinných konstrukcích odvozených z prostorových útvarů, JČMF, Praha, [8] COUSINERY, B. E.: Geometrie perspective, [9] DRUCKENMÜLLER, N.: Die Übertragungsprinzipien der analytischen Geometrie, [10] SKLENÁRIKOVÁ, Z.: K metódam riešenia Apolloniovej úlohy, Matematika v proměnách věků. III., 2004, [11] JUKLOVÁ, L.: Aplikace deskriptivní geometrie: základy kartografie a cyklografie, Univerzita Palackého v Olomouci, Olomouc, [12] HÁTLE, J.: Cyklografie a její užití k řešení planimetrických úloh, diplomová práce, PřF UP Olomouc, Mgr. Jitka Panáčová, Ph.D. Katedra matematiky PedF MU Poříčí 31 Brno panacova@ped.muni.cz 91

92 Dizajn výskumu optimalizácie výučbových materiálov z matematiky pre primárne vzdelávanie Design of research optimization of teaching materials for primary education Edita Partová MESC: E10, U20, U60, U70 Abstract The paper deals with the planning of the research project "Optimization of educational materials in mathematics based on an analysis of the current needs and abilities of pupils of younger school age." When optimizing the researchers undertook to examine the ability of students of primary education using both traditional and modern teaching aids, explore their preferences when selecting teaching materials and activities and align them with the needs of society as defined in curriculum. Key words: primary mathematics, education, researche. Resume Príspevok sa zaoberá plánovaním výskumného projektu Optimalizácia výučbových materiálov z matematiky na základe analýzy súčasných potrieb a schopností žiakov mladšieho školského veku. Pri optimalizácii sa riešitelia projektu rozhodi skúmať schopnosti žiakov primárneho vzdelávania používať tradičné aj moderné učebné pomôcky, skúmať ich preferencie pri výbere výučbových materiálov a aktivít a zosúladiť ich s potrebami spoločnosti definovanými v školských dokumentoch. Key words: primárne vzdelávanie, matematika, výskum. 1. Úvod Matematické vzdelávanie, na primárnom stupni vzdelávania, nie je v centre záujmu vedeckého výskumu na Slovensku. Celoštátne meranie matematických vedomostí žiakov na 1. stupni základnej školy je len na začiatku, ale výsledky medzinárodných meraní naznačujú nepriaznivý stav. Spomenieme len jeden zo záverov PISA, podľa ktorých slovenskí žiaci dlhodobo dosahujú podpriemerné výsledky v oblasti matematickej gramotnosti v porovnaní s ostatnými krajinami OECD, a že Slovensko patrí medzi krajiny, kde je najvýraznejší vplyv sociálneho zázemia žiakov na ich výsledky v testovaní. Podobne je slovenské školstvo predmetom kritiky, pre nevhodnú štruktúru výstupov vzdelávania, prílišný dôraz sa kladie na faktografiu a minimálny na aplikáciu poznatkov. Napriek výrazným zmenám v štandardoch za posledné desaťročie sa situácie nezlepšila, skôr naopak. Nízka úroveň vzdelávacích štandardov z matematiky pre ISCED1 vniesla do vzdelávania neistotu a dezorientáciu. Absentuje v nich aj akákoľvek reflexia aktuálnych záujmov a schopností žiakov danej 92

93 vekovej skupiny a požiadaviek spoločnosti. Okrem iných aj uvedené zistenia nás motivovali aby sme sme vytvorili projekt Optimalizácia výučbových materiálov z matematiky na základe analýzy súčasných potrieb a schopností žiakov mladšieho školského veku, ktorý realizujeme za finančnej podpory APVV. Cieľom projektu je sledovaťv praxi spôsoby vyučovacích aktivit, skúmať druhy výučbových materiálov a učebných pomôcok z hľadska ich súladu so schopnosťami žiakov danej vekovej skupiny, tak aby boli motivujúce pre získanie potrebných matematických kompetencií. 2. Návrh výskumného projektu Organizácia výskumu v oblasti matematického vzdelávania v mladšom školskom veku je náročná úloha, z pohľadu plánovania, metodológie a vyhodnotenia projektu. Pri plánovaní výskumu sme vychádzali z dostupnej odbornej literatúry (Fraenkel, al all.) a rozhodli sme sa pre kombináciu viacerých výskumných metód. Hlavné etapy projektu sú tvorba výskumného nástroja hlavný výskum s využitím výskumného nástroja tvorba výučbových materiálov experimentálne overovanie výučbových materiálov analýza výsledkov výskumu a ich publikovanie výsledkov poskytnutie výsledkov odoberajúcim subjektom Projekt je plánovaný na štyri roky, preto máme možnosť dôkladne pripraviť výskumný nástroj, čo je predpokladom získavania vierohodných údajov. Kľúčovým výskumným nástrojom bude akčný výskum uskutočnený na zámerne vybraných školách. Hlavným princípom pri tvorbe aktivít je zabezpečiť možnosť žiakom získavať a osvojiť si poznatky spôsobom, ktorý je pre nich najvhodnejší. Právo výberu je podmienené možnosťou poznania rôznych postupov, materiálov a organizačných foriem vyučovania, preto sme a rozhodli navrhnúť aktivity, ktoré sme pracovne nazvali zrkadlové. To znamená, že aktivita s rovnakým obsahom a vyučovacím cieľom je vytvorená v dvoch -troch modifikáciách, pričom sa menia pomôcky, prostredie, materiál, kontext alebo didaktická situácia. Neoddeliteľnou súčasťou prípravy sú podrobné metodické inštrukcie (scenáre) pre výskumníkov založené na dôkladnej didaktickej analýze aktivít. 3. Prvá etapa tvorby výskumného nástroja Vzhľadom na vytýčené ciele je potrebné zabezpečiť čo najlepšiu kvalitu výskumu, preto sme realizovali predpilotné testovanie výskumného nástroja. Riešiteľský kolektív je zostavený z členov niekoľkých pracovísk z dvoch univerzít (Univerzita Komenského v Bratislave a Katolícka univerzita v Ružomberku). V záujme zabezpečiť pokrytie všetkých oblastí matematiky sme dbali na to aby bolo zastúpené učivo z geometrie (rovinné útvary a ich vzťahy), aritmetiky (čísla a operácie) aj z algebry (závislosti, premenné). Témy sme rozdelili medzi výskumníkov, ktorí si vybrali konkrétne učivo z danej oblasti a pripravili návrh aktivít. Pre každý ročník boli navrhnuté dve geometrické a dve aritmeticko-algebraické úlohy. Zrkadlové aktivity- ako pracovný termín chápeme v zmysle rôznych aktivít na to isté učivo, ktoré umožňujú žiakom používať manipuláciu s reálnymi predmetmi, s virtuálnymi objektmi, alebo využívať pero-papier. Dôležitým kritériom výberu bola možnosť používania rôznych prostriedkov a pomôcok v aktivitách s tým istým obsahom napr. predmety každodenného života (slamky, vrchnáky fliaš, rôzne obaly), klasické 93

94 didaktické pomôcky (geometrické útvary, počítadlá), digitálne technológie (interaktívna tabuľa, notebook) aj pero a papier. Ku každej aktivite je vypracovaný podrobný scenár pre výskumníka s alternatívnymi postupmi, a zároveň základný súbor reálnych aj virtuálnych pomôcok. Pri výbere učiva aj aktivít, sme vychádzali z výsledkov najnovších výskumov, ktoré sú podrobnejšie opísané napríklad v publikáciách ( Gunčaga-Kopáčová, 2013), (Žilková, 2013), alebo (Partová 2011). Uvedieme ukážku z tematického celku Čísla a operácie, učivo základné spoje odčítania s prechodom cez Ukážka návrhu zrkadlovej aktivity na téme základný spoj odčítania s prechodom cez 10. Náročnosť pri výbere učiva sme zámerne postavili o niečo vyššie ako sú požiadavky výkonových štandardov, chceli sme eliminovať dôsledky faktografickej znalosti základných spojov Základné spoje odčítania s prechodom cez 10 sú obsahovo zaradené do druhého ročníka. Testovanie bolo naplánované na začiatok novembra, preto sme predpokladali, že prebieha konštrukcia (vyvodenie) základných spojov odčítania s prechodom cez 10 žiaci ich ešte nemajú zautomatizované. Vybrali sme spoje 12 5, 15 8, 13 7, 14 6, ktoré boli napísané na kartičkách a žiaci mali zistiť výsledok s využívaním ponúknutých pomôcok, pričom poradie jednotlivých druhov pomôcok bolo vopred určené. Podstatou konštrukcie základného spoja odčítania s prechodom cez 10 sú dva typy rozkladu čísla: rozklad dvojciferného čísla na desiatky a jednotky a rozklad menšiteľa (jednociferného čísla) alebo desiatky na dve čísla. Význam modelov v procese porozumenia abstraktných pojmov a postupov zdôrazňuje mnoho odborníkov napríklad (Hospešová at all), preto sme starostlivo vyberali rôzne modely a dbali aj na poradie ich používania. Ako prvý model sme ponúkli vrchnáky plastových fliaš v obale od vajíčok (desiatka) a mimo obalu (jednotky) tak ako je znázornené na obrázku 1. Potom nasledoval model so súpravou na demonštráciu desiatkovej sústavy (Base ten Dienes blok) v skutočnej aj virtuálnej verzii. (Obrázok 2) Obrázok 1. Model odčítania používaním predmetov z bežného života. Obrázok 2. Model odčítania s Diensovou súpravou v skutočnej aj virtuálnej podobe. 94

95 Obrázok 3. Soroban. Prvé tri modely motivujú žiakov k rozmeneniu desiatky na jednotky aby mohli uskutočniť operáciu. Ďalšiu skupinu pomôcok tvorili guľôčkové počítadlá, na ktorých súčasne vidíme znázornené desiatky aj jednotky, ide o to aby žiak získal skúsenosti s dvojakou interpretáciou 10 guľôčok (10 jednotiek aj 1 desiatka) podľa potreby. Nakoniec sme ponúkli žiakom rádové počítadlo soroban (Obrázok 3), ktoré je žiakom neznáme, preto je vhodné na testovanie porozumenia desiatkovej sústavy a na objavenie nového postupu odčítania s prechodom cez desiatku. 5. Závery Predbežná analýza videozáznamov umožnila identifikovať niektoré schopnosti na očakávanej úrovni, napríklad problém používania počítačovej myši, alebo identifikácia rovinných útvarov. Na druhej strane sa nepotvrdila preferencia virtuálnych pomôcok. Na základe tohto predpilotného testovania vieme odhadnúť niektoré parametre v preferenciách žiakov v rôznych oblastiach: atraktívnosť materiálov, spôsob spracovania a realizácie aktivít, čiastočne aj výber matematického učiva. Tieto skúsenosti budú základom pre doladenie výskumného nástroja a pre uskutočnenie pilotného testovanie pred hlavným testovaním optimalizovaných výučbových materiálov. Literatúra Poďakovanie: Príspevok vznikol za podpory projektu APVV GUNČAGA, J., KOPÁČOVÁ,J.:A Compaprative study: Turkish and Slovak preservice primary mathematics teacher s skills about symmetry.semt 13, Tasks and Tools in Elementary Mathematic, Charles Univesity, Prague, 2013 ISBN HOŠPESOVÁ, A., KUŘINA,F., CACHOVÁ, J., MACHÁČKOVÁ, J., ROUBIČEK, F., TICHÁ, M., VANÍČEK, J.: Matematická gramotnost a vyučovíní matematice. Jihočeská univerzita,, Pedagogická fakulta, České Budejovice, 2011 ISBN FRAENKEL, J.R., WALLEN,N.E.: How to design and evaluate research in education. 2nd ed. McGraw-Hill Inc. USA 1993, ISBN PARTOVÁ. E.: Vyučovanie matematiky pomocou moderných technológií. 1. vyd. - Bratislava : Univerzita Komenského, s. - ISBN ŽILKOVÁ, K. Teória a prax geometrických manipulácií v primárnom vzdelávaní. Praha: Powerprint, 2013, 115 s. ISBN doc. RNDr.Edita Partová, CSc. Univerzita Komenského v Bratislave, Pedagogická fakulta Račianska 59, Bratislava, Slovensko partova@fedu.uniba.sk 95

96 Význam obrázka pri riešení kombinatorickej úlohy Meaning of the picture in combinatorial problem solving Gabriela Pavlovičová MESC: K20, C30 Abstract The article is focused on combinatorial thinking of primary school pupils and the strategy of one combinatorial problem solution. The impact of presence of picture in a task to pupils achievement and chosed organizational principles were investigated. A pupils work with the picture and the outcomes of 3 rd graders are presented in the article. Key words: Combinatorial thinking, picture, primary education. Abstrakt Článok sa zameriava na kombinatorické myslenie žiakov prvého stupňa základnej školy a stratégie riešenia jednej kombinatorickej úlohy. Je skúmaný vplyv prítomnosti obrázka v zadaní úlohy na úspešnosť jej riešenia a zvolený organizačný princíp. Taktiež je analyzovaná práca žiakov so samotným obrázkom a výsledky žiakov 3. ročníka ZŠ. Kľúčové slová: Kombinatorické myslenie, obrázok, primárne vzdelávanie. 1. Úvod Vyučovanie kombinatoriky ako jednej z matematických disciplín je vhodné podľa Scholtzovej (2004) aj preto, lebo mnoho problémových situácií môže byť zaujímavých pre žiakov a zároveň im poskytnúť možnosť skúmania a objavovania. Dajú sa v nej nájsť aktivity vhodné pre výborných žiakov, ale aj také, ktoré sú primerané pre žiakov nie veľmi úspešných v matematike. Na pochopenie mnohých aplikácií stačí aritmetika a elementárna algebra. Kombinatorické myslenie sa rozvíja už v rannom detstve hrovou činnosťou no i bežnými dennými aktivitami, pri ktorých niečo vyberáme, triedime, zoskupujeme, usporadúvame, kombinujeme atď. Na prepojenosť kombinatoriky a rozvoja geometrických schopností detí vo veku 5-10 rokov vhodnými didaktickými aktivitami poukazuje Kaslová (2016). Vidermanová a kol. (2013) uvádzajú štyri úrovne kombinatorického myslenia, ktoré vychádzajú z práce Jones et al.(1997): 1. Preštrukturálna: žiak vymenováva prvky v náhodnom poradí, bez akejkoľvek systematickej stratégie. 2. Uništrukturálna: žiak začne využívať metódu pokus-omyl, objaví nejaké čiastočné postupy, prípadne pri práci s malým počtom prvkov vie správne použiť jeden organizačný princíp. 96

97 3. Multištrukturálna: žiak vie systematicky vypisovať všetky kombinatorické skupiny podľa podmienok zadania úlohy, používa niekoľko rôznych organizačných princípov, začína úlohy riešiť aj úvahou, výpočtom, nie len vymenovaním všetkých prvkov. 4. Vzťahová: žiak používa vzorce na výpočet, vzťahy medzi vzorcami i Pacsalov trojuholník. Pri riešení slovných úloh na primárnom stupni vzdelávania je veľmi dôležitá názornosť a vizualizácia danej situácie (Pavlovičová, 2012). Tak aj pri kombinatorických úlohách môže byť text doplnený obrázkom, prípadne môže obrázok predstavovať samotné zadanie úlohy. 2. Analýza žiackych riešení V článku analyzujeme riešenia jednej kombinatorickej úlohy, ktorá bola daná žiakom dvoch tried 3. ročníka ZŠ v dvoch fázach. Žiaci riešili rovnakú úlohu, ktorej zadanie bolo v prvej fáze v jednej triede (3.B, 14 žiakov) doplnené obrázkom korešpondujúcim s textom a v druhej triede (3.A, 16 žiakov) bola úloha zadaná len slovným textom bez obrázka. V druhej fáze riešili žiaci po troch dňoch v jednotlivých triedach vymenené zadania. Bola použitá modifikácia úlohy z učebnice matematiky pre 2. ročník ZŠ od autorov Molnár, Mikulenková (2004). Výskytu a analýze kombinatorických úloh vo vybraných učebniciach matematiky pre 1. stupeň ZŠ v Českej republike sa venujú Příhonská, Vilimovská (2012), kde je spomenutá aj táto úloha. Zamerali sme sa na sledovanie týchto javov: 1. vplyv prítomnosti obrázka v zadaní úlohy na jej riešenie, 2. porovnanie organizačných princípov u jednotlivých žiakov v oboch triedach v závislosti od toho, či riešili úlohu najskôr bez obrázka alebo s obrázkom. Zadanie úlohy Anička má modrú a červenú sukňu, bielu a žltú blúzku. Koľko má rôznych možností skombinovať sukňu s blúzkou, keď sa oblieka na oslavu? Obrázok 1. Zadanie úlohy (Molnár, 2004, s.54). 2.1 Vplyv prítomnosti obrázka v zadaní úlohy na žiacke riešenia Úspešnosť riešenia danej úlohy s obrázkom a bez neho v jednotlivých triedach je uvedená v Tabuľke 1. Tabuľka 1. Úspešnosť riešenia úlohy. Trieda Riešenie 3.A 3.B 1.fáza 2. fáza 1.fáza (bez obrázka) (s obrázkom) (s obrázkom) správne nesprávne fáza (bez obrázka) 97

98 Ako vidíme, obrázok v zadaní úlohy pomohol k správnemu riešeniu štyrom žiakom v 3.A, ktorí úlohu v 1. fáze nevyriešili správne. Pri analýze týchto riešení bola viditeľná väzba na hľadanie riešenia kreslením kombinácií oblečenia, teda daný obrázok žiakom v druhej fáze pomohol. Na Obr. 2a, 2b je ukážka riešení jednej žiačky. Obrázok 2a. Riešenie 1. fáza (3.A). Obrázok 2b. Riešenie 2. fáza (3.A). Jedna žiačka v 3.A mala v prvej aj druhej fáze správny výsledok, no nesprávne riešenie, ktoré vychádzalo zo sčítania jednotlivých kusov oblečenia (Obr. 3). Túto stratégiu nezmenila ani pri zadanom obrázku v druhej fáze. Obrázok 3. Nesprávne riešenie. V 3.B mali dvaja žiaci nesprávne riešenia v oboch fázach, ktoré vyplývali tiež zo sčítania jednotlivých kusov oblečenia. Žiaci pritom kreslili, či už obrázok v zadaní mali alebo nie. Teda traja žiaci mali správny výsledok - 4 možnosti, ktorý vychádzal z nesprávneho postupu a bol dôsledkom rovnosti 2.2=2+2, kde 2.2 pri správnom riešení predstavuje kombinatorické pravidlo súčinu. 2.2 Porovnanie organizačných princípov pri riešení úlohy V 3.A, kde žiaci riešili v prvej fáze úlohu bez obrázka sme zaznamenali len malé zmeny v stratégii riešenia úlohy bez obrázka a s obrázkom. Žiaci použili tieto organizačné princípy: kreslili kombinácie oblečenia v prvej aj druhej fáze, pričom dodržiavali farby v zadaní úlohy, slovne písali kombinácie farieb v prvej aj druhej fáze (Obr.4), pričom prvá farba bola farba sukne a druhá farba blúzky alebo naopak, v prvej fáze nakreslili jednotlivé kusy oblečenia a kombinácie pospájali čiarami a v druhej fáze spájali dvojice priamo v obrázku (Obr.5a, 5b). priradili symbol k farbe (bez kreslenia oblečenia) a tvorili dvojice. Zaujímavé bolo vytvorenie symbolu pre bielu farbu slovom alebo prázdnym krúžkom a tiež používanie znamienka + na vyjadrenie spájania sukne a blúzky (Obr.6a, 6b). 98

99 Obrázok 4. Obrázok 5a. Riešenie 1. fáza. Obrázok 5b. Riešenie 2. fáza. Obrázok 6a. Obrázok 6b. Zatiaľ čo v prípade na Obr.6a žiak znamienkom + vyjadril nejakú binárnu operáciu, ktorá má svoj výsledok, v prípade na Obr. 6b znamienko + nahrádza spojku a, prípadne spojenie dvoch prvkov. V 3.B, kde žiaci riešili v prvej fáze úlohu s obrázkom, sme zaznamenali len jednu zmenu organizačného princípu. Okrem štyroch žiakov všetci kreslili svoje obrázky kombinácií oblečenia v prvej aj druhej fáze. Priamo v obrázku nevytváral dvojice ani jeden žiak. V štyroch riešeniach sme videli zmenu, pri ktorej žiaci v prvej fáze kreslili svoje riešenia, no v druhej fáze dvojice vypisovali slovne, pričom písali nie len farby ako žiaci v 3.A ale aj ich priradenie k sukni alebo blúzke (Obr.7a, 7b). Obrázok 7a. Riešenie 1. fáza (3.B). Obrázok 7b. Riešenie 2. fáza (3.B). 3. Diskusia a záver Z analýzy žiackych riešení môžeme konštatovať, že z pohľadu úrovní kombinatorického myslenia sa žiaci nachádzali na rozmedzí uništrukturálnej a multištrukturálnej úrovne. Väčšina použila len jeden organizačný princíp, no boli žiaci, ktorí použili dva rôzne princípy a tiež takí, ktorí použili súčet. Avšak tento súčet vychádzal z predstavy súčtu ako kardinálneho čísla zjednotenia dvoch množín, nebolo to kombinatorické pravidlo súčtu. Vplyvu počítacích zručností na schopnosťou riešiť kombinatorické úlohy na vzťahovej úrovni sa venujú viaceré výskumy v tejto oblasti. Ako uvádza Lockwood (2013), za účelom pomôcť žiakom pri rozvíjaní solídneho 99

100 kombinatorického myslenia (a stať sa tak úspešnými riešiteľmi rôznych kombinatorických problémov) výskumníci potrebujú hlbšie porozumieť procesu konceptualizácie matematickej činnosti sprevádzajúcej riešenie počtových úloh u žiakov. Z aspektu poznávacieho procesu môžeme povedať, že žiaci pri riešení kombinatorickej úlohy pracovali na úrovni separovaných modelov. Väčšina z nich si potrebovala danú úlohu presne znázorniť kresbou, a to aj v prípade keď ju už mali znázornenú v obrázku. Obrázok mal v zadaní úlohy podľa Mareša (Čáp, Mareš, 2001) reprezentujúcu funkciu, teda bol obrazovým vyjadrením textu. Môžeme konštatovať, že žiaci, ktorí mali zadanie s obrázkom v prvej fáze, viac využili na svoje riešenia vlastnú kresbu a to aj v druhej fáze. Žiaci, ktorí mali v prvej fáze zadanie bez obrázka, viac riešili úlohu slovným vypisovaním dvojíc než kreslením, a to aj v druhej fáze. Zdá sa, že prítomnosť obrázka v zadaní navádzala žiakov viac na kreslenie ako na vypisovanie alebo symbolické vyjadrenie danej situácie, či hľadanie iného organizačného princípu. Na záver môžeme konštatovať, že sa preukázal vplyv prítomnosti obrázka v zadaní úlohy na stratégie i správnosť riešenia danej kombinatorickej úlohy. Literatúra ČÁP, J.,MAREŠ, J. Psychológie pro učitele. 2. vydanie, Praha: Portál, ISBN JONES, G. A. et al. A framework for assessing and nurturing young children s thinking in probability. Educational Studies in Mathematics. Vol.32, pp , KASLOVÁ, M. Kombinatorické úlohy v (pre-)geometrii. In: Studia Scientifica Facultatis Paedagogicae. Roč. 11, č. 4, s , ISSN LOCKWOOD, E. A model of students combinatorial thinking. The Journal of Mathematical Behaviour. Vol. 32, no. 2, pp MOLNÁR, J., MIKULENKOVÁ,H. Matematika pro 2. ročník 2. díl. Prodos. ISBN: PAVLOVIČOVÁ, G. Obrázok ako didaktický prostriedok k tvorbe matematických úloh. In: Matematika 5: Elementary Mathematics Education 2012, sborník příspěvků z konference konané v Olomouci Olomouc : Univerzita Palackého, ISBN , p PŘÍHONSKÁ, J., VILIMOVSKÁ, L.: Kombinatorické úlohy na první stupni základní školy.in: Matematika 5: Elementary Mathematics Education 2012, sborník příspěvků z konference konané v Olomouci Olomouc : Univerzita Palackého, ISBN , P SCHOLTZOVÁ, I. Integrácia kombinatoriky do vyučovania matematiky na základnej škole. MPC v Prešove, On line [ ] VIDERMANOVÁ, K., MELUŠOVÁ,J., ŠUNDERLÍK,J. Metódy riešenia matematických úloh. Nitra : UKF, ISBN doc. PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD. Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre Tr. A. Hlinku 1, Nitra gpavlovicova@ukf.sk 100

101 Výchova tvořivého učitele Educating a Creative Teacher Šárka Pěchoučková MESC: B55 Abstract Creativity in mathematics can be understood as the creation of novel useful products or as the discovery of novel procedures. In mathematics, students' creative approach is cultivated using concrete tasks and methods; problem-based task solving, employment of researcher-type tasks, solving of unconventional problems and gamelike activities are some of them. The actual process of inventing activities and putting them into practice with pupils at schools is of a great importance as well. We will focus on activities from geometry branch created by students of Elementary School Teaching study programme. Key words: Creativity, mathematics, didactics of mathematics, primary education. Abstrakt Tvořivost v matematice můžeme chápat jako tvorbu nových užitečných produktů nebo jako objevení nových postupů. V matematice je tvořivý přístup studentů rozvíjen prostřednictvím konkrétních úloh a postupů, ke kterým patří řešení problémových úloh, zařazování úloh badatelského typu, řešení netradičních úloh nebo herní činnosti. Velký význam má rovněž vlastní tvorba činností a jejich realizace se žáky ve školách. Zaměříme se na to, jaké činnosti vytvořili studenti oboru Učitelství pro 1. stupeň základní školy v oblasti geometrie. Klíčová slova: Tvořivost, matematika, didaktika matematiky, primární vzdělávání. 1. Úvod Při výuce didaktiky matematiky na vysokých školách se studentům snažíme předat to nejlepší, co vytvořilo lidstvo v průběhu svého dlouhodobého vývoje. Aby student uchopil danou matematickou látku s porozuměním, musí se tohoto procesu sám aktivně zúčastnit. Jednou z možností je vytvořit mu podmínky pro uplatnění tvořivého přístupu (Krejčová, 2011). 2. Tvořivost v matematice Tvořivost vymezuje I. Lokšová jako vytváření pro subjekt (jedince) nebo určitou skupinu nových, užitečných řešení a produktů, a to při úlohách, které jsou spíše heuristického (divergentního) nebo algoritmického (konvergentního) typu (Lokšová, Lokša, 1999, s. 113). V Pedagogickém slovníku je tvořivost považována za duševní schopnost vycházející z poznávacích a motivačních procesů, v níž ovšem hrají důležitou 101

102 roli též inspirace, fantazie, intuice. Projevuje se nalézáním takových řešení, která jsou nejen správná, ale současně nová, nezvyklá, nečekaná. (Průcha, Walterová, Mareš, 2003, s ). Obě tato pojetí odpovídají chápání tvořivosti v matematice. V prvním případě (nazveme ho tvorba nových užitečných produktů) se tvořivý přístup uplatňuje v didaktické oblasti při tvorbě konkrétních aktivit a forem práce, které můžeme zařadit do vyučování matematiky, nebo při vytváření matematických úloh různého typu problémových, zajímavých, zábavných, jež vedou ke zvýšení motivace žáků a tím i jejich zájmu o daný předmět. Tvorbě takových činností a úloh se studenti učí postupně v průběhu celého studia. V druhém případě (označíme ho jako objevení nových postupů) mohou studenti při řešení matematických úloh najít takové postupy, které jsou nejen správné, ale současně nové, netradiční, nečekané. Matematika je totiž předmět přímo předurčený pro problémové a badatelské metody ve vyučování a zejména při objevování nových poznatků se používá divergentní myšlení a heuristické postupy. K metodám rozvíjení tvořivosti patří heuristické techniky a principy jako je formulování otázek, produkování velkého počtu nápadů, návrhů a hypotéz řešení, motivace k produkování nápadů, přehled údajů a jejich třídění, využití dosavadních údajů a získávání dalších, přeformulování problému, překonání tradičního pohledu na jevy, divoké nápady (neobvyklá řešení), spojování různorodých prvků, analogie, hlasitá zjednodušení, bezděčná asociace, uložení problému, odložení řešení, klima pro tvoření příznivých vnějších podmínek a herní činnosti (Honzíková, 2011). V matematice je tvořivý přístup studentů rozvíjen prostřednictvím konkrétních úloh a postupů, ke kterým patří: řešení problémových úloh zařazování úloh badatelského typu řešení netradičních úloh vlastní tvorba aktivit a jejich realizace ve školách herní činnosti. Při přípravě budoucích učitelů primárního vzdělávání na KMT FPE ZČU v Plzni ve velké míře rozvíjíme tvořivý přístup našich studentů prostřednictvím vlastní tvorby aktivit a jejich realizace ve školách. V následujícím textu uvedeme některé konkrétní činnosti, které vytvořili studenti oboru Učitelství pro 1. stupeň základní školy. 3. Vlastní tvorba studentů Prostorové tvary kolem nás Didaktický cíl: žák vyhledá prostorové tvary ve svém okolí a prezentuje jejich vlastnosti Pomůcky: fotoaparát, mobilní telefon Popis: Žáky rozdělíme do skupin. Úkolem žáků je přinést z domova různé věci připomínající nějaká geometrická tělesa nebo je vyfotit ve svém okolí. Každá skupina hledá jiný druh geometrického tělesa. Tělesa nebo fotografie žáci roztřídí a pojmenují. Po roztřídění žáci společně ve skupině prezentují svoje těleso, jaké má geometrické vlastnosti a kde ho můžeme nalézt nebo používat ve svém okolí. Realizace se žáky: Činnost proběhla ve 3. ročníku základní školy. Žáci se rozdělili do tří skupin podle těles (krychle-jehlan, kvádr-koule, válec-kužel). Všechny předměty, které do školy žáci postupně nosili, byly ve třídě shromažďovány týden a až následně se s nimi pracovalo. Nejlákavější částí pro žáky bylo focení těles. Fotili doma i venku na procházce a chytré mobily mohli použít i při vyučování. Když bylo nashromážděno 102

103 dostatek materiálu, jednotlivé skupiny prezentovaly svoji celotýdenní práci. Hovořily o tom, jak se jim pracovalo, v čem měly problém, jaká byla spolupráce a popsaly vlastnosti daných těles. Skupina krychle-jehlan zajímavě a geometricky správně popsala svá tělesa. Problém však měla s hledáním jehlanů v běžném životě. Nakonec se jí podařilo najít jehlany na dětském hřišti u školy, i když jí jehlany jenom připomínaly. Skutečným geometrickým tělesům neodpovídaly (obrázek 1). Obrázek 1. Hledání krychlí a jehlanů (Pelánová, 2016, s. 23). Druhá skupina kvádr-koule v hledání těles neměla žádný problém, nedokázala však správně popsat kvádr. Při prezentaci jim museli pomoci ostatní. Spolužáci skupině na modelu kvádru vysvětlili, jak se dá jednoduše zjistit počet hran, stěn i vrcholů. Třetí skupina válec-kužel ve svém okolí kužel nenašla. Několik žáků ze skupiny vyfotilo kužele ve svých domácnostech, ale nebyli si jisti, zda se o kužely skutečně jedná. Po ujasnění vlastností geometrických těles poznali, že vybrané předměty skutečným geometrickým tělesům odpovídají jenom částečně (obrázek 2). Válců žáci našli poměrně hodně a uměli je též bez problémů popsat (Pelánová, 2016). Obrázek 2. Hledání válců a kuželů (Pelánová, 2016, s. 24). Sítě těles Didaktický cíl: žák identifikuje prostorový útvar, vytváří si představu jeho sítě Pomůcky: krabičky od potravin, předměty denní potřeby, papír formátu od A4 do A0, tužka, nůžky Popis: Úkolem žáka je přinést z domova papírové nebo plastové krabičky od různých potravin, které jim připomínají nějaká geometrická tělesa. Mohou využít i drobné předměty. Se žáky nejdříve společně hledáme společné znaky jednotlivých předmětů a řekneme si, která tělesa nám připomínají. Poté se žáci pokusí jakýmkoliv způsobem obkreslit předmět na list papíru. Kontrolu provádějí žáci složením tělesa ze sítě. Po 103

104 skončení práce společně zkontrolujeme splnění úkolu. Žáci popíší své strategie řešení a dojdeme k závěru, že jsme vytvářeli sítě těles. Realizace se žáky: Činnost proběhla v 5. ročníku základní školy. Žáci přinesli krabičky od čaje, krabici od kukuřičných lupínků, kostky cukru, knihu, tuhé lepidlo (v tubě) a sbalený deštník. Po společném úvodu, kdy jsme si uvedli geometrické vlastnosti jednotlivých předmětů a řekli jsme si, jaká tělesa nám připomínají, se žáci pokusili vytvořit sítě těles. Žáci, kteří používali kostku cukru, ji přitiskli na papír a obkreslili jednu stěnu. Pak kostku převrátili a obkreslili další stěnu. Stejným způsobem pokračovali dál. Zdůvodňovali to tím, že když se hodí hrací kostkou, tak se také převrací. Jeden žák tímto způsobem nakreslil devět stěn, jedna žákyně měla správný počet stěn, ale podle nákresu se těleso nedalo složit. Další žákyně pracovala s knihou a do sítě nakreslila o dvě stěny více. Po kontrole správnosti sítě skládáním těles obě žákyně chyby odstranily, žákovi se to však nepodařilo. Žákyně, která vytvářela síť válce pomocí lepidla v tubě, nejprve nakreslila jednotlivé stěny odděleně, ale vzápětí nákres překreslila. Zdůvodnila to tím, že i tuba lepidla je spojená (Janoušková, 2016). V obou výše uvedených případech se jednalo z hlediska tvořivosti studentů o tvorbu nových užitečných produktů. Činnost Sítě těles vedla u žáků také k objevení nových postupů, neboť používali různé strategie při vytváření sítí jednotlivých těles pomocí konkrétních předmětů. 4. Závěr Výchova k tvořivosti jako součást rozvoje dítěte a žáka je obsažena ve všech současných školních dokumentech. Je tedy třeba, abychom i my na vysokých školách vytvářeli vhodné prostředí pro uplatňování tvořivosti studentů. Literatura HONZÍKOVÁ, J. Úroveň tvořivých schopností na základní škole, subjektivní předpoklady a objektivní podmínky rozvoje tvořivosti. In: PĚCHOUČKOVÁ, Š. ed. Tvořivost v počátečním vyučování matematiky. Plzeň: ZČU v Plzni, 2011, s ISBN JANOUŠKOVÁ, Š. Užití manipulace ve výuce geometrie [závěrečná práce]. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, KREJČOVÁ, E. Proč a jak napomáhat rozvíjení tvořivosti žáků v hodinách matematiky na 1. stupni základní školy. In: PĚCHOUČKOVÁ, Š. ed. Tvořivost v počátečním vyučování matematiky. Plzeň: ZČU v Plzni, 2011, s ISBN LOKŠOVÁ, I., LOKŠA, J. Pozornost, motivace, relaxace a tvořivost dětí ve škole. Praha: Portál, ISBN X. PELÁNOVÁ, J. Rozvoj prostorové představivosti na 1. stupni ZŠ prostřednictvím didaktických her [závěrečná práce]. Plzeň: Západočeská univerzita v Plzni, PRŮCHA, J., WALTEROVÁ, E., MAREŠ, J. Pedagogický slovník. Praha: Portál, ISBN PhDr. Šárka Pěchoučková, Ph.D. KMT FPE ZČU v Plzni Klatovská 51, Plzeň pechouck@kmt.zcu.cz 104

105 Aktivizace výuky matematiky na 1. stupni ZŠ Activation of pupils in Mathematics lessons on primary school Jaroslav Perný MESC: Abstract The contribution deals with specific options how to help students - future primary school teachers - to get rid of their fear of Mathematics and show them that teaching Mathematics can be creative and interesting for both pupils and teachers. The teaching of geometry and the usage of active forms of education is mentioned, e.g. didactic games, mathematical competitions and fairy-tales and projects. Key words: geometry, activation, didactic games, mathematical competitions and fairytales, projects. Abstrakt Příspěvek se zabývá některými možnostmi, jak napomoci studentům-budoucím učitelům 1. stupně ZŠ odstranit jejich častou obavu z matematiky a ukázat jim, že výuka matematiky může být tvůrčí a pro žáky i je samotné zajímavá. Zmínil bych zde výuku geometrie a využití aktivizujících forem ve výuce, jako didaktické hry, matematické soutěže a pohádky a projekty. Klíčová slova: geometrie, aktivizace, didaktické hry, matematické soutěže a pohádky, projekty. 1. Úvod Je známo, že v současné době v Česku, v souvislosti s otázkou státní maturity z matematiky, se ze strany institucí, zdůrazňuje potřeba změny způsobu a přístupu k její výuce. Nejen na všech stupních škol, ale i ve vysokoškolské přípravě učitelů. Dosavadní způsob je prý nedostatečný. Nedaří se řešit problém, jaká má být úroveň maturity z matematiky, zda gymnaziální či průchodná i pro ostatní typy středních škol. Současně ale nastává problém nedostatku učitelů matematiky (také informatiky, fyziky a chemie), takže matematiku na 2. stupni ZŠ učí např. učitelé českého jazyka, či jiných předmětů. Domnívám se, že bude velmi těžké tuto situaci řešit. 105

106 2. Hlavní část Výzkumy ukazují, že u žáků 1. stupně ZŠ patří matematika mezi oblíbené předměty, většinou hned po tělesné výchově. Pokud je neoblíbená, má na tom velký podíl vyučující. Domnívám, že je nutné u našich studentů-budoucích učitelů primární školy odstranit strach z matematiky, který si často přinášejí a ukázat jim matematiku jinou, zajímavou, aby sami mohli tvořivě využít širokého potenciálu, který jim dává jejich předmětová všestrannost. Snažíme se, aby naši studenti-budoucí učitelé primární školy tvořivě přistupovali k některým oblastem: a. Výuka geometrie. Změnit představu většiny studentů, že geometrie je jen rýsování, počítání obvodů a obsahů, převody jednotek a zlobení se s rýsovacími pomůckami. Že je to především vytváření matematických pojmů a struktur manipulací s geometrickými pojmy a vztahy mezi nimi, rozvíjení geometrické představivosti v rovině i prostoru, především formou manipulativních činností, her, řešením problémů, hádanek a hlavolamů. b. Didaktické hry. Velmi účinný prostředek pro aktivizaci žáků, který u nich může napomoci zvýšení obliby, ale i úspěšnosti matematiky. Didaktická hra, jako přirozená činnost mladších žáků, bývá velmi účinná a efektivní. Žáci si při ní ani neuvědomí, že se vlastně i učí. Problémem bývá někdy malá znalost didaktických her u učitelů. c. Matematické soutěže třídní a mezitřídní, mimo vyučování. Můžou vyvolat zájem žáků, zejména těch úspěšnějších a nasměrovat je k matematice. Bývají více kolové, např. v pohádkovém prostředí, buď ve třídě, nebo mezi třídami, kde je vhodné zařadit i úlohy lehčí, protože i slabší žáci můžou napomoci k vítězství své třídy. d. Matematické projekty. Pro žáky velmi efektivní, ale pro učitele pracné jsou projekty. Nejen přímo matematické, ale zejména více předmětové, kde mohou budoucí učitelé primární školy využít svých vše předmětových kompetencí a využít úspěšně mezipředmětových vztahů. e. Matematické pohádky. Zadání běžných úloh může být ve formě pohádkového příběhu, který žáky lépe motivuje ke snaze o pomoci např. Princezně, při řešení, nebo jsou přímo zataženi do příběhu. Většinou se jedná o úlohy k opakování, cenné, ale obtížnější jsou pohádky výkladové, zavádějící nový pojem či vlastnost. Je řada dalších možností, které by mohly matematiku udělat poutavější a zajímavější. Někteří učitelé 1. stupně ZŠ je nevyužívají, nevědí o nich. Bohužel se tímto způsobem často nepokračuje na 2. stupni ZŠ. 3. Některé ilustrační grafy K předchozím oblastem přikládám několik ilustračních grafů, ukazujících výsledky některých výzkumů. Výuka matematiky Oblíbenost vyučovaných předmětů. Vzorek 178 vyučujících 1. stupně ZŠ, z toho 6 mužů. Nejoblíbenější předmět 1 nejméně 10. Matematika na 2. místě. 61,5 % učí MA rádo, 37,5 % nevadí jim a pouze 1 % ji vyučuje nerado. 106

107 Oblíbenost vyučovaných předmětů 6,2 5,5 5,7 5,5 4,1 4,5 4,9 4,6 1,9 2,6 Předměty Čj M Pč Tv Cj Prv Vl Př Hv Vv Výuka geometrie Co pro mě znamená, když se řekne výuka školní geometrie. Vzorek 178 vyučujících 1. stupně ZŠ, z toho 6 mužů. Nejvíce zabírají starosti ne geometrické, s pomůckami, nepěkné pocity, stres. Poměrně málo zůstává na činnosti jako práce s modely, hry, hádanky, práce s grafy. A - geometrie v rovině 6% 19% 23% B - výpočty, měření 27% 14% 11% C - geometrie v prostoru D - pomůcky a práce s nimi E - práce s modely, hry, hádanky, grafy F - nepěkné pocity, stres, Didaktické hry Oblíbenost matematiky před častějším zařazováním didaktických her do výuky a po něm. Vzorek 73 žáků 1. stupně ZŠ, experimentální třída 36, kontrolní třída 37 žáků, 4. ročník. 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% Kontr. tř. před DH - dívky Kontr. tř. po DH - dívky Kontr. tř. před DH - hoši Kont. tř. po DH - hoši Exp. tř. před DH - dívky Exp. tř. po DH - dívky Exp. tř. před DH - hoši 107

108 U dívek a chlapců z tříd kontrolní skupiny se oblíbenost matematiky příliš nezměnila. U chlapců a hlavně pak u dívek z experimentální skupiny je očividné zvýšení obliby matematiky po zařazování didaktických her. Matematické soutěže (Mat a Matynka) Úspěšnost více kolové soutěže mezi 3. ročníky městské a vesnické školy s úlohami i pro slabší žáky Celková úspěšnost městské (Lit) i venkovské školy (Kře) byla v podstatě srovnatelná. Rozdíly v jednotlivých kolech vznikly pravděpodobně rozdílným důrazem učitelů na některé oblasti učiva. Soutěž byla dobrovolná a zúčastnilo se 60 % žáků městské školy a 100 % žáků venkovské. Matematický projekt Úspěšnost žáků v testu před projektem a v testu po projektu. Vzorek 120 žáků 1. stupně ZŠ z 5 škol. Úlohy výstupního testu 2 byly obdobné vstupnímu testu 1. Úspěšnost dívek, chlapců, celkem test 1 Úspěšnost dívek, chlapců, celkem test dív chl celk úl.1 úl.2 úl.3 úl.4 prům Z grafů je patrné, že po realizaci projektu, došlo ke zlepšení úspěšnosti při řešení úloh testu 2 oproti testu Závěr Uvedenými grafy chci naznačit, že snaha zaměřit naše studenty na výše zmíněné oblasti potvrzuje zmíněnou aktivizaci žáků primární školy a jejich zlepšování. Tyto výsledky mají u studentů dobrou odezvu a napomáhají kladně ovlivnit jejich vztah dív chl celk úl.1 úl.2 úl.3 úl.4 prům 108

109 k matematice, který se projevuje větším počtem diplomových prací z matematiky, i lepší spoluprací našich absolventů s fakultou při řešení projektů ESF, kde je třeba účasti učitelů z praxe. Literatura: KRÁSNÁ, J.: Didaktické hry a jejich využití při výuce matematiky na 1. stupni ZŠ. DP. TU v Liberci, PERNÝ, J.: Tvořivostí k rozvoji prostorové představivosti. 2. vyd. TU v Liberci, 2016 ZLATNÍKOVÁ, R.: Situačně orientované slovná úlohy v primární matematice. DP. TU v Liberci, Jaroslav Perný, doc. PaedDr., Ph.D. Katedra matematiky a didaktiky matematiky FP TU v Liberci jaroslav.perny@tul.cz 109

110 Interaktívne aplikácie na riešenie slovných úloh z matematiky pre 1. stupeň ZŠ Interactive Applications for Word Problems from Mathematics at Primary Schools Milan Pokorný MESC: U72 Abstract The paper deals with efficient utilization of modern information and communication technologies in mathematics teaching at the first grade of primary schools. The author characterizes interactive applications for word problems from mathematics. The applications, that are suitable for 6 to 10 years old pupils, can be utilized in classrooms in a combination with interactive whiteboards, as well as for voluntary activities of pupils at school clubs or as a part of their homework. Key words: ICT in education, word problems, interactivity, interactive whiteboard, mathematics teaching. Abstrakt Článok sa zaoberá efektívnym využitím moderných informačných a komunikačných technológií vo vyučovaní matematiky na prvom stupni základných škôl. Autor článku charakterizuje interaktívne aplikácie, ktoré sú primárne určené na nácvik riešenia slovných úloh. Tieto aplikácie, ktoré sú vhodné najmä pre žiakov prvého stupňa základnej školy, môžu byť využívané počas vyučovacích hodín v kombinácii s interaktívnou tabuľou, ale najmä pre samostatnú prácu žiakov, či už v rámci školských klubov detí alebo domácej prípravy na vyučovanie. Kľúčové slová: IKT vo vyučovaní, slovné úlohy, interaktivita, interaktívna tabuľa, vyučovanie matematiky. 1. Úvod V súčasnej dobe zaznamenávame masový prienik moderných technológií do vzdelávania na všetkých typoch škôl, vrátane základných. Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky realizuje okrem iných projektov aj projekt DIGIPEDIA Medzi ciele projektu okrem iného patrí zabezpečiť do roku 2020 digitálne vzdelávacie a učebné pomôcky v každej triede v materských, základných, stredných a vysokých školách a adekvátne koncové zariadenie umožňujúce digitálne vzdelávanie pre každého žiaka, ako aj plne digitalizované učivo a vzdelávacie nástroje dostupné vo všetkých školách na Slovensku. (pozri Koncepcia informatizácie rezortu školstva s výhľadom do roku 2020 DIGIPEDIA 2020) V prospech integrácie moderných technológií do vzdelávania hovoria výsledky mnohých výskumov zameraných na efektívnosť využitia týchto technológií 110

111 vovyučovaní. Mnohé výskumy preukázali, že vhodné použitie moderných technológií vo vyučovaní matematiky dokáže zvýšiť úroveň vedomostí žiakov a zlepšiť ich vzťah k matematike. V poslednej dobe sa okrem e-learningu či blended learningu spomína aj m-learning. Ako uvádzajú Hanzel a Voštinár (2015), ak vychádzame z myšlienky J. A. Komenského, že školské hry sú efektívna forma vzdelávania, mohlo by sa zdať vhodné, aby používanie tabletov a mobilných telefónov slúžilo ako spojenie medzi hrou a výučbou matematiky. Vybavenie škôl kvalitným hardvérom je nutnou podmienkou pre efektívne využívanie moderných technológií vo vyučovaní matematiky, nie však postačujúcou. Plne súhlasíme so Žilkovou (2014), ktorá tvrdí, že kvalita elektronického vzdelávania je determinovaná predovšetkým kvalitným e-obsahom. Je nesporné, že nemožno predpokladať, že si budú učitelia hromadne pripravovať interaktívne vzdelávacie materiály použiteľné na interaktívnych tabuliach či na koncových zariadeniach žiakov sami. Skúsenosti s prípravou profesionálnych produktov totiž ukazujú, že na to treba skupinu odborníkov z viacerých oblastí. Naviac, množstvo prác je programovacieho charakteru. Odkiaľ teda vziať vhodné interaktívne aplikácie použiteľné vo vyučovaní matematiky? Jedným z hlavných zdrojov je Internet, kde skutočne nájdeme obrovské množstvo aplikácií, ktoré sú podľa stránok, na ktorých sa nachádzajú, určené pre použitie na hodinách matematiky. Tu sa však učiteľ stretne s viacerými problémami. Prvým z nich je jazyková bariéra. Je totiž pochopiteľné, že väčšina aplikácií na Internete nie je v slovenčine, prípadne češtine. Jazyková bariéra je pritom najsilnejšia pri použití na prvom stupni základnej školy. Ďalším problémom je stupeň interaktivity vzdelávacích materiálov z Internetu. V mnohých prípadoch sú to iba dokumenty vo formáte doc či pdf, takže o interaktivite nemožno ani uvažovať. Ďalšie z nich zasa maximálne poskytnú spätnú väzbu o správnosti či nesprávnosti riešenia, avšak pri nesprávnom riešení sa nesnažia naviesť žiaka na správne riešenie. Takúto mieru interaktivity možno iba ťažko považovať za dostatočnú. Mnohé aplikácie naviac zakaždým pracujú s tými istými zadaniami vrátane číselných údajov, takže sú použiteľné iba jednorazovo. No a v neposlednej rade je otázkou didaktické spracovanie aplikácií, ktoré je častokrát na nepostačujúcej úrovni. Z uvedeného vyplýva, že nájdenie dostatočného počtu kvalitných interaktívnych aplikácií použiteľných pri vyučovaní matematiky predstavuje pre učiteľa pomerne veľký problém. Aby sme tento problém aspoň trochu zmenšili, rozhodli sme sa pripraviť interaktívne aplikácie efektívne použiteľné pri vyučovaní matematiky na prvom stupni. 2. Interaktívne aplikácie pre riešenie slovných úloh V tejto časti uvedieme charakteristiku nami pripravených interaktívnych aplikácií pre nácvik riešenia slovných úloh z matematiky na prvom stupni základnej školy. Jedným z dôležitých cieľov vyučovania matematiky na prvom stupni základnej školy je, aby sa žiaci naučili správne riešiť slovné úlohy primeranej náročnosti. Podľa nášho názoru, pri nácviku ich riešenia je možné využiť potenciál interaktívnych aplikácií. Aby sme poskytli učiteľom na prvom stupni základných škôl interaktívne aplikácie k tejto téme, vytvorili sme zbierku pozostávajúcu z 10 interaktívnych aplikácií zameraných na nácvik riešenia slovných úloh. Zbierka je verejne dostupná na adrese Čím sa líšia aplikácie v tejto zbierke od väčšiny iných aplikácií na Internete? V prvom rade je to tým, že aplikácie sú rozdelené podľa typu slovnej úlohy, čo umožňuje učiteľovi precvičovať práve ten typ úloh, ktorý práve potrebuje. Typy slovných úloh sú: 111

112 Jednoduché slovné úlohy typu A+B, Jednoduché slovné úlohy typu A-B, Jednoduché slovné úlohy typu A.B, Jednoduché slovné úlohy typu A:B, Jednoduché slovné úlohy typu o x viac, o x menej, Jednoduché slovné úlohy typu x-krát viac, x-krát menej, Zložené slovné úlohy typu A+(A+B), A+(A-B), Zložené slovné úlohy typu A+(A.B), A+(A:B), Zložené slovné úlohy na delenie celku na dve nerovnaké časti, Zložené slovné úlohy na delenie celku na dve časti v pomere 1:X. Druhou výhodou našich interaktívnych aplikácií je spätná väzba, ktorá sa v prípade nesprávneho výsledku snaží naviesť žiaka na správny postup riešenia úlohy. Táto spätná väzba je zobrazená na obrázku 1. Po zadaní nesprávneho výsledku žiakom sa ho aplikácia postupne pýta, či porozumel zadaniu, pričom riešenie rozdelí na tri jednoduchšie kroky. V prvom kroku tak žiak zadá, koľko Eur stála bábika, v druhom, koľko Eur stojí lego a v treťom, koľko Eur stojí celý nákup. Ak by žiak mal aj pri takto zjednodušenom postupe problém, môže si pomôcť tlačidlom Pomôž mi a doplň za mňa odpoveď, ktoré doplní odpoveď do práve riešeného kroku, aby žiak pokračoval v riešení úlohy ďalej samostatne. Učiteľ má zasa k dispozícii spätnú väzbu o tom, koľko úloh ktorý žiak vyriešil bez chyby a koľko úloh vyriešil s pomocou interaktívnej aplikácie. Obrázok 1. Spätná väzba po zadaní nesprávneho výsledku. Treťou výhodou interaktívnych aplikácií je skutočnosť, že úlohy v nich nemajú vopred určené poradie ani číselné vstupy, ale sa náhodne generujú. To zabezpečuje skutočne samostatnú prácu žiakov, lebo každý žiak má na svojom koncovom zariadení inú úlohu s inými číslami, takže výsledok nie je od koho odpísať. Pri opätovnom spustení sa potom samozrejme generujú úlohy v inom poradí a s inými číslami, čo zabezpečuje možnosť viacnásobného použitia aplikácií. Medzi ďalšie pozitíva nami vytvorenej zbierky zaraďujeme: jednoduché ovládanie, ktoré nerobí problémy ani žiakom prvého stupňa ZŠ, 112

113 zhodu s požiadavkami na vedomosti žiaka so štátnym vzdelávacím programom, vďaka slovenčine nie je v aplikáciách žiadna jazyková bariéra, každý žiak pracuje vlastným tempom, je možné pracovať so žiakmi individuálne, a to tak, že ak žiak nemá problém s riešením daného typu slovných úloh, možno mu spustiť interaktívnu aplikáciu s úlohami zložitejšieho typu, vďaka možno už zastaranému typu aplikácií (exe súbory) ich možno spustiť na interaktívnych tabuliach rôznych výrobcov, ako aj na koncových zariadeniach s rôznymi verziami operačného systému Windows (starších aj novších, s pripojením na Internet i bez neho), žiaci dokážu a aplikáciami pracovať aj bez prítomnosti učiteľa, čo umožňuje ich použitie najmä mimo vyučovacej hodiny, či už v rámci domácej prípravy alebo v škole počas krúžkov či ŠKD. 3. Záver Je nesporné, že integrácia moderných technológií dokáže urobiť vzdelávací proces zaujímavejší, pútavejší a efektívnejší. V článku sme opísali zbierku interaktívnych aplikácií na nácvik riešenia slovných úloh na 1. stupni ZŠ. Sme presvedčení, že tieto aplikácie môžu byť pre žiakov základných škôl užitočné. Napriek tomu však zbierku nepovažujeme za uzavretú. Naďalej ju plánujeme postupne rozširovať o ďalšie typy slovných úloh. Taktiež sme si vedomí, že by bolo potrebné experimentálne overiť prínos rôznych spôsobov použitia aplikácií na žiakoch 1. stupňa základných škôl, čo sa nám zatiaľ nepodarilo realizovať. Poďakovanie: Článok vznikol aj vďaka podpore grantu KEGA 003TTU-4/2015. Literatúra MŠVVaŠ SR. DIGIPEDIA 2020 Koncepcia informatizácie rezortu školstva s výhľadom do roku Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky, Dostupné na internete: < >. VOŠTINÁR, P., HANZEL, P. Mobile application a tool for teachers, pupils and their families. APLIMAT th Conference on Applied Mathematics 2016, Proceedings, 2016, ISBN ŽILKOVÁ, K. Prednosti a riziká vzdelávania prostredníctvom e-learningového kurzu manipulačná geometria. XXVI. DIDMATTECH 2013: New Technologies in Science and Education: International scientific and professional conference. University of West Hungary, Györ, 2014, ISBN PaedDr. Milan Pokorný, PhD. Trnavská univerzita, Pedagogická fakulta Priemyselná 4, P.O.BOX 9, Trnava mpokorny@truni.sk 113

114 Exekutívne funkcie v matematike v primárnom vzdelávaní Executive functions in primary mathematics Alena Prídavková, Edita Šimčíková, Blanka Tomková MESC: C32, D32, Q32 Abstract Executive functions are mental processes that manage, control and organise cognitive processes. They constitute the basic level of mental functioning. Mathematics as a school subject with its content is a resource of ideas for creating a collection of tasks that can be applied as regular intervention to stimulate not only pupil s thinking and the ability to learn but also his/her metacognition. The paper outlines the basis for developing a program aimed at stimulating executive functions in the pupils of the 4th grade in primary education. The paper also offers the results of the content analysis of the selected curricular documents in mathematics and cognitive characteristic of some mathematical tasks. The program is being developed and will be experimentally verified within the scope of the APVV grant scheme project. Key words: Executive Functions. Mathematical Education. Primary level of education. Stimulation Program. Abstrakt Exekutívne funkcie sú mentálne procesy, ktoré riadia, kontrolujú a organizujú kognitívne procesy. Predstavujú základnú úroveň mentálneho fungovania. Matematika ako učebný predmet a jej obsah predstavuje zdroj námetov na tvorbu súboru úloh, ktorými je možné pri pravidelnej intervencii stimulovať nielen myslenie, schopnosť učiť sa, ale aj metakogníciu žiakov. V príspevku sú predstavené základné východiská pre tvorbu programu určeného na stimuláciu exekutívnych funkcií u žiakov 4. ročníka primárneho stupňa vzdelávania. Prezentované budú výsledky obsahovej analýzy kurikulárnych dokumentov z matematiky a charakteristika matematických úloh z pohľadu ich kognitívnej náročnosti. Program je vytváraný a bude experimentálne overený v rámci riešenia grantového projektu APVV Kľúčové slová: Exekutívne funkcie. Matematická edukácia. Primárny stupeň vzdelávania. Stimulačný program. 1. Úvod Exekutívne funkcie predstavujú mentálne procesy, ktoré riadia a kontrolujú procesy na úrovni kognície. Žiak s nedostatočne rozvinutým exekutívnym fungovaním môže mať v škole problémy vo viacerých oblastiach (Kovalčíková, Ropovik 2012, In Brajerčík et al., 2015): neschopnosť zamerať a udržať pozornosť, neschopnosť podržať 114

115 v pamäti informácie, problémy pri monitorovaní a regulácii výkonu, neschopnosť plánovať kroky vopred, neschopnosť generovať a implementovať stratégie, neschopnosť učiť sa z chýb. Deficity v procese učenia sa (v procese založenom na spracovávaní podnetov, ich následnej organizácii, usporiadaní a zautomatizovaní osvojených schopností) môžu byť v niektorých prípadoch pripísané deficitom v žiakovom exekutívnom fungovaní (Brajerčík et al., 2015). Cielená intervencia zo strany psychológa alebo učiteľa môže výrazne zvýšiť úspešnosť žiaka v škole. Úspešnosť pri riešení matematických úloh vyžaduje od žiakov zapojenie mnohých exekutívnych a kognitívnych funkcií. Žiaci musia porozumieť zadaniu úlohy, zapamätať si potrebné údaje, ako aj výsledky čiastkových operácií. Pri riešení je často potrebné stanoviť vhodnú stratégiu postupu, naplánovať adekvátnu nadväznosť jednotlivých krokov a priebežne kontrolovať a regulovať zvolené postupy. Všetky tieto elementy procesu riešenia matematickej úlohy vyžadujú zapojenie exekutívnych funkcií ako je kontrola pozornosti, pracovná pamäť, plánovanie a sebaregulácia. Cieľom vyučovania matematiky by malo byť, okrem osvojenia si obsahu, aj vytváranie podmienok edukácie tak, aby mali všetci žiaci príležitosť: riešiť problémy, zdôvodňovať a dokazovať - matematika by mala byť orientovaná na zdôvodňovanie, nie na memorovanie, komunikovať - v matematike by mali mať žiaci priestor na komunikovanie matematických myšlienok použitím rôznych reprezentácií, hľadať súvislosti a vytvárať reprezentácie vychádzajúce z reálneho života (Harmon Jones, 2005). Aj tieto skutočnosti predstavujú východiská pre tvorbu stimulačného programu kreovaného na kurikulárnom základe matematiky, čo je jedným z cieľov výskumného projektu APVV Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej dochádzky) kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka, ktorý je riešený na Pedagogickej fakulte PU v Prešove. Projekt vychádza z výsledkov skúmania realizovaného v ostatných 10 rokoch. V oblasti kognitívnej edukácie je vytvorených mnoho programov kognitívnej intervencie a stimulácie (Kovalčíková et al., 2016, s ), ktoré sú kurikulárne orientované, ale na druhej strane existuje málo zdrojov, ktoré dokumentujú ich aplikáciu do edukačnej praxe. V príspevku prezentujeme čiastkové výsledky výskumu realizovaného za účelom tvorby programu na stimuláciu exekutívnych funkcií prostredníctvom úloh z matematiky. 2. Obsahová analýza kurikulárnych dokumentov z matematiky Cieľom prvej etapy výskumu bolo realizovať obsahovú analýzu kurikulárnych dokumentov z matematiky na Slovensku. Analýza bola zameraná na identifikáciu požiadaviek na vedomosti a zručnosti žiakov a na obsah matematického poznania, v primárnom a nižšom sekundárnom stupni vzdelávania. Ďalšie výsledky analýzy kurikulárnych dokumentov z matematiky z hľadiska stimulácie kognitívnych a exekutívnych funkcií žiakov primárneho stupňa vzdelávania uvádzajú Šimčíková a Tomková (2016). Predmet matematika v primárnom stupni vzdelávania má podľa Štátneho vzdelávacieho programu pre primárne vzdelávanie (2015): (1) budovať základy matematickej gramotnosti žiakov, (2) rozvíjať kognitívne oblasti (vedomosti, aplikáciu vedomostí, zdôvodňovanie). Pri získavaní nových poznatkov z matematiky sa odporúča, okrem iného, využívať aplikáciu rôznych spôsobov reprezentácie matematického obsahu. Z hľadiska akceptácie rozvoja kognitívnych funkcií, resp. rozvoja exekutívnych funkcií žiakov, boli z kurikulárneho dokumentu vybrané iba tie ciele predmetu, ktoré spĺňali požiadavky: používať matematiku ako jeden z nástrojov na riešenie problémov 115

116 z reálneho života, rozvíjať zručnosti súvisiace s procesom učenia sa a rozvíjať poznávacie procesy a myšlienkové operácie. Na základe analýzy spomínaných dokumentov boli vyšpecifikované tematické celky v predmete matematika, ktoré svojím obsahovým zameraním predstavujú fundament pre vytváranie modelov tých matematických pojmov, ktoré sú v primárnom stupni vzdelávania prezentované na propedeutickej úrovni a na vyšších stupňoch vzdelávania predstavujú dôležité východisko pre budovanie kľúčových matematických konceptov. Pre tvorbu stimulačného programu boli vybrané tie oblasti obsahu matematického vzdelávania, ktorých charakter zodpovedá projektovým cieľom: Riešenie aplikačných úloh a úloh rozvíjajúcich špecifické matematické myslenie (postupnosti, kombinatorika, výroková logika). Čísla a operácie s prirodzenými číslami. Geometria (základné geometrické útvary, orientácia v priestore a v rovine). Do kreovaného stimulačného programu sú postupne zaraďované úlohy, ktoré sú z pohľadu matematiky orientované na uvedené oblasti kurikula. 3. Kognitívna náročnosť úloh z matematiky Úlohy vybrané na zaradenie do stimulačného programu určeného pre slaboprospievajúcich žiakov 4. ročníka ZŠ, z vyšpecifikovaných oblastí obsahu matematiky, boli analyzované z pohľadu ich kognitívnej náročnosti, ako aj z hľadiska ich účelnosti pri stimulácii exekutívnych funkcií (v procese riešenia úlohy). Zaradené boli do rôznych úrovní kognitívnej náročnosti (podľa teórie M. K. Stein, 2009) a ďalej bola realizovaná ich klasifikácia na základe prioritne stimulovanej exekutívnej funkcie. V matematike nie je jednoduché vytvoriť úlohu tak, aby bola primárne zameraná na stimuláciu len jednej exekutívnej funkcie. Na základe výsledkov predchádzajúcich výskumov boli úlohy vyberané, vytvárané a preformulovávané tak, aby v procese ich riešenia boli stimulované exekutívne funkcie: kontrola pozornosti, pracovná pamäť, plánovanie a sebaregulácia. V nasledujúcej časti predstavíme koncept kognitívna náročnosť úlohy. Úrovne kognitívnej náročnosti úlohy odrážajú myšlienkové procesy žiaka prítomné pri vnímaní a riešení úlohy od zapamätania si, cez použitie postupov a algoritmov v prepojení aj bez prepojenia na pojmy, ich porozumenie a význam. Stein (2009) klasifikovala matematické úlohy, podľa kognitívnej náročnosti, do štyroch skupín. Medzi úlohy s nižšou kognitívnou náročnosťou zaraďuje úlohy na zapamätanie si (1. Memorization) a úlohy vyžadujúce úkony bez prepojenia (2. Procedures without Connections). K úlohám s vyššou kognitívnou náročnosťou patria tie, ktoré vyžadujú úkony s prepojením (3. Procedures with Connections) a matematické úlohy, problémy (4. Doing Mathematics). 1. Memorization: ide o reprodukovanie naučených faktov, pravidiel, ako aj ukladanie nových vedomostí do pamäte. Úlohy na tejto úrovni majú konvergentný charakter a môžeme tu zaradiť napríklad počítanie spamäti využitím zautomatizovaných spojov, určenie obvodu geometrických útvarov (použitím vzorcov). 2. Procedures without Connections: zahŕňajú algoritmické používanie formulácií a postupov na základe priamej inštrukcie či predchádzajúcej skúsenosti žiaka bez ďalšej nadväznosti na problém a jeho pochopenie. Ide o úlohy, ktoré sú zamerané na produkciu správnych odpovedí, ako napríklad slovné úlohy, ktorých riešenie využíva presne daný postup, úlohy na precvičenie výpočtu obvodov rovinných geometrických útvarov. 3. Procedures with Connections: sú charakteristické uvedomelým používaním formulácií, algoritmických postupov a stratégií v nadväznosti na matematický 116

117 problém a jeho hlbšie pochopenie. Úlohy na tejto úrovni sú reprezentované množstvom rôznych pohľadov na problém, čo prispieva k pochopeniu matematických vzťahov a súvislostí. 4. Doing Mathematics: úlohy na tejto úrovni požadujú pre ich úspešné riešenie komplexné uvažovanie o probléme. Od žiakov sa vyžaduje objavenie stratégie riešenia vyplývajúcej z pochopenia podstaty problému. Objavenie stratégií vyžaduje aj autoreguláciu vlastných myšlienkových postupov a vynaloženie kognitívnej námahy pri nepredvídaných krokoch riešenia úlohy, ako aj vysvetlenie verbalizáciu použitej stratégie pri hľadaní riešenia. 4. Záver Na základe obsahovej analýzy kurikulárnych dokumentov a kognitívnej analýzy úloh boli jednotlivé úlohy zaradené do stimulačného programu tak, aby vytvárali doménovo špecifické moduly. Každý modul je zameraný na jednu z identifikovaných tém matematického kurikula a v procese postupného zadávania úloh sú stimulované vyššie spomenuté exekutívne funkcie (prioritne jedna). Súčasťou každej úlohy vo všetkých moduloch sú, okrem kognitívnej inštrukcie, aj otázky zamerané na stimuláciu metakognitívnych schopností žiaka. V procese stimulácie budú okrem kognitívnych a exekutívnych funkcií rozvíjané aj metakognitívne stratégie, ktoré predstavujú dôležitý element pri rozvoji myslenia a schopnosti učiť sa. Cieľom programu je učiť žiakov myslieť, uvažovať, plánovať, prezentovať vlastné myšlienkové procesy a postupy, ktoré prebiehajú v mysli jednotlivca pri riešení úlohy, problému. Riešitelia projektu z Pedagogickej fakulty PU v Prešove zatiaľ vytvorili modul zameraný na rozvoj a stimuláciu kontroly pozornosti. Jeho charakteristika, obsah a výsledky pilotného výskumu sú prezentované v príspevkoch v tomto zborníku. Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu APVV Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej dochádzky) kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka a projektu podporeného International School Psychology Research Initiative of the Society for the Study of School Psychology and the International School Psychology Association. Literatúra BRAJERČÍK, J,. DEMKO, M., KRESILA, J., PRÍDAVKOVÁ, A. Stimulácia exekutívneho fungovania žiaka pomocou nástroja Matematický semafor. In: Prírodné vedy, vzdelávanie a spoločnosť. Prešov: SFS, KFMT FHPV v Prešove. 2015, s ISBN HARMON, D. A., JONES, T. S. Elementary Education. Santa Barbara, Calif: ABC- CLIO ISBN KOVALČÍKOVÁ, I. et al. Diagnostika a stimulácia kognitívnych a exekutívnych funkcií žiaka v mladšom školskom veku. Prešov: Vydavateľstvo PU ISBN PRÍDAVKOVÁ, A., KRESILA, J., DEMKO, M., BRAJERČÍK, J. Stimulation of executive function "shifting" in teaching mathematics. In: Acta mathematica 17. Nitra: UKF. 2014, s ISBN STEIN, M. K. et al. Implementing Standard-Based Mathematics Instruction A Casebook For Professional Development. 2. vyd. New York: Teachers College Press ISBN

118 ŠIMČÍKOVÁ, E., TOMKOVÁ, B. Analýza matematického kurikula vo vybraných krajinách hľadiska stimulácie kognitívnych a exekutívnych funkcií žiakov primárneho vzdelávania. In: Освіта і суспільство. Міжнародний збірник наукових праць. Бердянський державний педагогічний університет, 2016; ISBN (електронне видання); 395 c., іл., табл., бібл., s On line [ ] ŠVP pre primárne vzdelávanie. Matematika, On line [ ]. doc. RNDr. Alena Prídavková, PhD. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 15, Prešov alena.pridavkova@unipo.sk PaedDr. Edita Šimčíková, PhD. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 15, Prešov edita.simcikova@unipo.sk Mgr. Blanka Tomková, PhD. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 15, Prešov blanka.tomkova@unipo.sk 118

119 Kombinatorické problémy v prostředí didaktických her na 1. stupni ZŠ Combinatorial Tasks in Didactic Games Environment in Elementary School Jana Příhonská, Jana Rolečková MESC: D30, K20 Abstract In contribution we discuss the issue of development logical thinking of pupils in elementary schools. The article is one of the outputs of the research project SGS Combinatorics in elementary school. The project focuses on set activities that can promote combinatorial reasoning in children in elementary schools. We describe one of didactic game which focuses on perception of the concept configuration of elements. Key words: combinatorics, combinatorial reasoning, didactic game. Abstrakt V příspěvku je diskutována problematika rozvoje kombinatorických schopností žáků na prvním stupni základní školy. Je podána informace o řešení grantu SGS na FP TUL se zaměřením na vytvoření souboru aktivizujících činností, které mohou pomoci žákům rozvíjet jejich schopnosti při řešení kombinatorických úloh. Je popsána jedna z vytvořených didaktických her, která je zaměřena na vnímání pojmu uspořádání prvků. Klíčová slova: kombinatorika, kombinatorické myšlení, didaktická hra. 1. Úvod Školská kombinatorika je podstatnou součástí matematické kultury vzdělávání. Řadu kombinatorických problémů lze velmi snadno zformulovat, avšak jejich řešení bývá mnohdy velmi obtížné. Kombinatorické problémy pomáhají žákům vytvářet správné matematické představy, formulovat smysluplné závěry a zevšeobecňovat matematické pojmy. Problematikou rozvoje kombinatorických schopností žáků se zabývá řada autorů. Výsledky jejich studií (např. Benson & Jones 1999; Johnson, Jones, Thornton, Langrall, & Rous 1998; Nisbet et al., 2000; Zimmermann & Jones, 2002) ukazují na obtíže žáků s řešením úloh, které vyžadují od žáků kombinatorické uvažování. Proto je kladen důraz na zařazování kombinatorických problémů již na prvním stupni základní školy. Rozvíjením logicko-kombinačního myšlení se zabýváme v rámci řešení projektu SGS na FP TUL. V prvním roce řešení projektu byla provedena analýza učebnic a přijímacích testů s cílem identifikovat typy a četnost zařazení kombinatorických úloh. Ukázalo se, že procento zastoupení těchto úloh v porovnání s jinými typy úloh je výrazně menší. Naším cílem je podněcovat u žáků zájem o řešení problémových úloh, 119

120 mezi něž kombinatorické úlohy můžeme zařadit, a vést je k rozvoji řešitelských strategií při jejich řešení. Navrhujeme proto aktivity, vesměs manipulační, kdy žáci pracují s různými pomůckami za účelem jejich uspořádání a výběru skupin prvků, které je dáno pravidly jednotlivých aktivit, resp. her. Aktivity jsou zaměřené na využívání základních kombinatorických principů a vhodných metod při jejich řešení. Navrženo je celkem 35 dílčích aktivit, tři didaktické hry (Kombinuj, Zahrada tulipánů a Matika bez vzorečků) a několik aktivit v prostředí víceméně známých společenských her (Domino, Člověče nezlob se, Logic, Rummy). Všechny navržené aktivity procházejí v současné době pilotní realizací ve školách. V další části popisujeme jednu z didaktických her. Hra byla pilotně zrealizována v prosinci 2016 na ZŠ náměstí Míru v Ruprechticích v Liberci a je zaměřena na rozvíjení pojetí uspořádání a opakování prvků. 2. Didaktická hra Zahrada tulipánů Jedná se o hru manipulační, kdy se děti snaží podle předlohy na kartičce, svou zvolenou strategií, co nejrychleji sestavit řadu barevných kamenů na herním plánu. Cíl: Vnímání uspořádání a opakování prvků v dané konfiguraci Rozvoj logického myšlení Rozvoj kompetence sociální, komunikační a k řešení problémů Věk: od 8 let (2. třída ZŠ) Časová dotace: 45 min. (10 min. - motivace, 10 min. - vysvětlování pravidel, 20 min. - samotná realizace hry, 5 min. vyhodnocení) Počet hráčů: 2 až 4 Pravidla hry: Barevné kameny rozmístíme na herní plán. Pokládáme je do řady vedle sebe v pořadí: zelená, modrá, bílá, žlutá, červená. Vždy dvě řady na krajích herního plánu jsou obsazeny kameny, prostřední řada zůstane volná (viz Obrázek 1 barevná i černobílá verze). Vedle herního plánu umístíme karty lícem dolů, kde karty jedním bodem budou navrchu a karty s pěti body úplně vespod. Hráč vytváří z hracích kamenů barevné řady, kde záleží na pořadí barev. Každý žák si vezme z hromádky jednu kartu (vzor barevných tulipánů). Nesmí je soupeřovi ukázat. Následně hráči posouvají vždy jeden hrací kámen ve směru dopředu, dozadu i diagonálně. V tazích se střídají. Pokud jeden hráč táhne kamenem, může druhý stejný kámen v tahu hned po soupeři posunout dál. Zakázáno je však posunout daný kámen po soupeřově tahu na původní místo, ve kterém byl před tahem soupeře. Cílem je sestavit z hracích kamenů barevnou řadu totožnou s pořadím barevných tulipánů na kartičce. Řady se mohou na herním plánu vytvářet svisle, vodorovně i diagonálně (viz Obrázek 2). Když se jednomu z hráčů podaří řadu sestavit, řekne slovo: Mám a ukáže soupeřovi kartičku i řadu na plánu, kterou sestavil, aby to mohl soupeř zkontrolovat. Poté si položí kartičku vedle sebe na lavici a vezme si další. Postupně si hráči berou kartičky s odstupňovanou obtížností. Karty s jedním a dvěma body mají každou barvu tulipánu jen jednou. Karty se třemi body mají jednu barvu tulipánu dvakrát. Karty se čtyřmi body mají dvě barvy tulipánů dvakrát a karty s pěti body mají jednu barvu tulipánů dokonce třikrát. Každý hráč postupuje vlastním tempem. Na konci hry, kdy má každý hráč jednu kartu v ruce a v balíčku již žádné karty nejsou, se sečtou získané body. Záleží na tom, kdo jako první sestaví poslední řadu. Druhý pomalejší hráč musí následně kartu odložit, protože se do celkového počtu již nezapočítává. Vyhrává hráč s vyšším počtem získaných bodů. 120

121 Závěry z pilotní realizace hry: Obrázek 1. Hrací plán. Na začátku hodiny byli žáci motivováni pohádkou ze země tulipánů Holandska. Následně byla prezentována pravidla hry prostřednictvím interaktivní tabule. Pravidla byla pochopena ihned. Pozornost žáků byla upoutána herním plánem a manipulací s barevnými herními kameny. Každý žák si vytvořil svou vlastní strategii sestavování barevných řad. Ve hře nejde jen o individuální sestavení řady. Soupeři si nevědomky vzájemně sestavování znemožňují. Proto byl, jak se prokázalo, úspěšnější ten hráč, který dokázal odhadnout, kde staví řadu soupeř, a buď se mu snažil vyhnout, nebo mu stavění vědomě narušoval. Zároveň byla úspěšnost podmíněna úrovní chápání žáků a jejich individuálními předpoklady ke kombinatorickému uvažování. Mezi hráči byly patrné rozdíly v logickém myšlení, což se odráželo v rychlosti a schopnosti sestavování řad. Jistou úlohu, podmiňující vítězství a prohru, hrála i náhoda výběru karet. Čas jedné vyučovací hodiny byl dostačující. Většina hráčů dokončila první hru, ti rychlejší chtěli, a také jim bylo umožněno, hrát opakovaně. Po sečtení bodů na kartičkách měly některé dvojice souhlasný počet získaných bodů. Došlo tedy mezi hráči k remíze. Součet bodů na kartičkách by proto bylo lepší upravit tak, aby byl roven lichému číslu. Předejdeme tak možnosti, že bude vítězů více. Při několikaminutové reflexi na konci hodiny žáci hodnotili hru jako velmi zdařilou a zábavnou. Ocenili by však větší herní plán a více času na hraní, aby se mohli prostřídat a hrát tak i se svými dalšími kamarády. Ze začátku hra postupuje rychle, avšak když se přijde do složitější fáze, kde se řady sestavují podle karet se čtyřmi a pěti body, děti dlouho přemýšlejí a hra se protahuje. Obrázek 2. Možné sestavy uspořádání. 121

122 Obrázek 3. Realizace hry. 3. Závěr Didaktická hra má pro žáka silný motivační efekt žák je vtažen do prostředí, ve kterém uplatní své schopnosti při řešení problémů a získává nové zkušenosti i vědomosti. Je vhodnou metodou k uplatnění konstruktivistického edukačního stylu, jehož základem je přesvědčení učitele o schopnosti žáka objevovat a aplikovat matematické poznatky a propojovat je s již dříve získanými a objevenými. Každá z kombinatorických didaktických her, kterou navrhujeme, má potenciál rozvíjet kombinatorické myšlení žáků a odpovídá svým zaměřením kategorizaci problémů, kterou jsme navrhli na základě provedené analýzy učebnicových řad (Hry s čísly, Kvantifikační problémy, Sudoku a Magické čtverce, Problémy z teorie grafů, Základní kombinatorické principy, Geometrické problémy, Rozhodovací problémy, Rozdělovací problémy a Jiné, které nelze jednoznačně přiřadit k žádné z uvedených kategorií). Ne všechno se dá vymyslet, jsou informace, které je nutno získat z učebnice či jiné literatury, z internetu nebo které sdělí učitel. K hlubšímu poznání však žák dochází prostřednictvím vlastní konstrukce poznatkové struktury. Didaktická hra tuto konstrukci umožňuje. Literatura BENSON, C. T., JONES, G. A.: Assessing students thinking in modelling probability contexts. The Mathematics Educator Vol 4. Issue 2. pp JOHNSON, T. M., JONES, G. A., THORNTON, C. A., LANGRALL, C. W., ROUS, A.: Students thinking and writing in the context of probability. Written Communication, Vol 15. Issue 2. pp NISBET, S., JONES, G. A., LANGRALL, C. W., & THORNTON, C. A.: A dicey strategy to get your M & Ms. Australian Primary Mathematics Classroom Volume 5. Issue 3. pp ZIMMERMANN, G. M., & JONES, G. A.: Probability simulation: What meaning does it have for high school students? Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education Vol 2. Issue 2. pp Doc. RNDr. Jana Příhonská, Ph.D. Katedra matematiky a didaktiky matematiky FP TUL Univerzitní náměstí 1410/2 jana.prihonska@tul.cz Jana Rolečková FP TUL roleckova.jana05@seznam.cz 122

123 Gry i zabawy matematyczne sposobem na myślenie matematyczne dzieci Math games as a way of mathematical thinking of children Grażyna Rygał MESC: A902 Abstract The article presents examples of math games that develop logical thinking of children. Games can be used for math class and extra-curricular activities. This form of working with children may stimulate their interest in mathematics and arouse interest in this subject. When asking the right questions, presented games can become an inspiration to creation of new games and mathematical development of children. Key words: math games, logical thinking, children teaching. Streszczenie W artykule zaprezentowano przykłady gier i zabaw matematycznych, które pozwalają rozwijać myślenie logiczne dzieci. Gry i zabawy można stosować na lekcjii matematyki oraz na zajęciach dodatkowych. Taka forma pracy z dziećmi może zaciekawić ich matematyką i rozbudzić zainteresowanie przedmiotem. Prezentowane gry, przy właściwe zadawanych pytaniach, mogą stać się inspiracją do tworzenia nowych gier i rozwoju matematycznego dzieci. Słowa kluczowe: gry i zabawy matematyczne, logiczne myślenie, uczenie dzieci. 1. Wprowadzenie Gra i zabawa są bardzo istotnym środkiem edukacyjnym w realizacji programu zarówno wychowania przedszkolnego jak i wczesnoszkolnego. Stosowanie gier i zabaw na tych etapach kształcenia powinno być powszechne. Według Krzysztofa Kruszewskiego [1] gry dydaktyczne należą do problemowych metod kształcenia i wywołują u graczy myślenie problemowe. K. Kruszewski [1] dzieli gry dydaktyczne na: Gry służące osiąganiu celów w sferze emocjonalnej: o kształtujące reguły wyboru strategii postępowania, o kształtujące postawy wobec określonych zjawisk lub wartości, Gry służące osiąganiu celów w sferze poznawczej: 123

124 o kształtujące proste dyspozycje i sprawności związane z wykonywaniem zadań intelektualnych o kształtujące umiejętności złożone np. wyrabiające w jakiejś dziedzinie myślenie twórcze o kształtujące umiejętności specjalne, także społeczne np. umiejętność dyskusji, negocjowania o pozwalające opanować wiadomości przewidziane w programie nauczania. Zabawa według Wincentego Okonia [2] to działalność wykonywana dla przyjemności i jest główną formą aktywności dzieci. Najczęściej stosowany podział zabaw mówi o: zabawie dydaktycznej, która prowadzi do rozwiązania założonego w niej zadania, zabawie konstrukcyjnej, która polega na budowaniu różnych obiektów najczęściej z klocków, ale nie tylko, zabawie ruchowej, charakteryzującej się częstą zmianą miejsca uczestnika zabawy i rozwijająca funkcje motoryczne zabawie tematycznej, pozwalającej uczestnikom na granie ról, a zatem fikcyjne spełnianie różnych funkcji społecznych. 2. Przykłady gier i zabaw Trzy w jednej linii [3] gra dwuosobowa Pomoce: kostka, kolorowe pionki po ok. 12 dla każdego gracza, plansza do gry (rys. 1) Rys. 1. Plansza do gry Trzy w jednej linii. Zasady gry: gracze na zmianę wykonują ruchy. zawodnik rozpoczynający grę rzuca kostką, po czym ustawia swój pionek na polu planszy odpowiadający wyrzuconej liczbie oczek. na jednym polu może stać tylko jeden pionek. wygrywa ten gracz, który jako pierwszy ustawi na planszy trzy pionki swojego koloru obok siebie w linii poziomej, pionowej lub uskośnej. Uwagi: Gra doskonale uczy dzieci rozpoznawania zapisu liczmanowego czyli kropek na kostce z liczbą na planszy, czyli reprezentuje liczba 4. Wprowadza element emocji napięcia i rywalizacji. Uczestnik gry samodzielnie podejmuje decyzję, szczególnie w początkowej fazie gry, gdzie postawi swój pionek. Po wypadnięciu np. liczby 2 na kostce ma cztery możliwości postawienia pionka na planszy. W dalszej fazie gry musi rozważać jeszcze ustawienia pionków przeciwnika. 124

125 Po zakończeniu gry można dokonać analizy, jak rozmieszczono liczby od 1 do 6 na planszy. Czy wszystkie pojawiły się tyle samo razy. Mamy do czynienia z kwadratem 25-polowym, zatem teraz jest 4 razy 1, 2, 3, 4, 5 i 5 razy 6. Modyfikacje: możemy poprosić uczniów, aby na tym 25-polowym kwadracie zaproponowali inne rozwiązanie, do gry można zastosować planszę 36-polową. ta gra pozwala na poruszenie z uczniami bardzo wielu zagadnień i pobudzenie ich myślenia, prowadzącego do modyfikacji gry. M. Dąbrowski [3] proponuje też modyfikacje typu: o wygrywa zawodnik, który jako pierwszy ustawi cztery pionki w jednej linii, o gra toczy się aż do zapełnienia planszy. Wygrywa zawodnik, który zajmie na planszy więcej pól. Żuczek [4] gra dla dwóch osób Pomoce: jedna kostka sześcienna, rysunek żuczka (rys. 2), kartka oraz długopis dla każdego gracza. Zasady gry: trzeba wyrzucać kostką liczby w określonej kolejności, aby kolejno rysować części żuczka wygrywa zawodnik, który jako pierwszy narysuje żuczka. Rys. 2. Żuczek. rysuję tułów rysuję głowę rysuję jeden czułek rysuję drugi czułek rysuję prawe oko rysuję lewe oko rysuję trzy nogi z prawej strony rysuję trzy nogi z lewej strony rysuję ogonek Uwagi: Gra uczy przede wszystkim cierpliwości, ćwiczy motorykę ręki, poprzez wykonanie rysunku: głowa i tułów kształty owalne, czułki, nogi, ogonek odcinki. Można po zakończeniu gry dokonać wielu modyfikacji, np. rysujemy tę część żuczka, która wypadnie nie stosując kolejności rysowania, czyli gdy wypadnie rysuję trzy nogi z lewej, nawet jeśli nie mam innych części żuczka. Kolejnym pomysłem może być zmiana żuczka na inne zwierzątko, np. króliczka itp. 125

126 Zabawa w ważenie [na podstawie 5] Przedstawiamy dzieciom planszę (rys. 3) i pytanie: Czy możesz określić ciężar poszczególnych rzeczy (worka, pudła, słoja, walizki, skrzyni)? Waga nr 1 Waga nr 2 Waga nr 3 Waga nr 4 Waga nr 5 Rys. 3. Plansza do zabawy w ważenie. Uwagi: Dzieci muszą znać zasadę wagi szalkowej i wiedzieć, co oznacza waga w równowadze. W tej zabawie mogą brać udział wszystkie dzieci. Doskonała jest tu burza mózgów. Dzięki tej zabawie uczniowie utrwalają sobie regułę, że jeżeli z obu stron wagi zdejmę taki sam przedmiot to waga pozostanie w równowadze. To doskonały wstęp do przyszłego rozwiązywania równań. Dowiadują się też, że jeden przedmiot można zastąpić kilkoma innymi zachowując wagę w równowadze. Zabawa ta uczy logicznego myślenia, intuicyjnie uczy pojęcia równowagi i pojęcia równości. 3. Podsumowanie Stosowanie gier i zabaw w edukacji nie tylko dzieci jest bardzo potrzebne. Uczniowie poprzez udział w takich aktywnościach nie czują zmęczenia, a często dowiadują się więcej niż na tradycyjnych zajęciach. Najlepszym podsumowaniem niech będzie pogląd G. Petty ego [6]: Prawie każdą czynność można zamienić w zabawę, jeżeli uczynimy z niej zadanie problemowe. Literatura Encyklopedia pedagogiczna. pod redakcją Wojciecha Pomykało, Fundacja Innowacja, Warszawa 1993 (wyd. pierwsze) [1]. OKOŃ W. Słownik pedagogiczny. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1992 (wyd. piąte) ISBN [2]. DĄBROWSKI M. Gry matematyczne nie tylko dla klas 1-3. Wydawnictwo Nowik, Opole 2015 ISBN [3]. NOWIK J. Materiały z warsztatów prowadzonych na konferencji dla nauczycieli. Konferencja SNM, Kraków 2014 [4]. 126

127 Bzik matematyczny dla dzieci w wieku 9-12 lat. Wydawnictwo Siedmiogród 1998, ISBN , Wrocław 2003 [5]. KREJCOVA E. Matematyka w zabawach i grach w szkole podstawowej. Wydawnictwo Nowik, Opole 2016 ISBN [6]. dr hab. Grażyna Rygał prof. AJD Wydział Pedagogiczny, Akademia im. Jana Długosza w Częstochwie ul. Waszyngtona 4/ Częstochowa, Polska g.rygal@ajd.czest.pl 127

128 Kooperačné nástroje e-learningu v pregraduálnej matematickej príprave učiteľov pre primárne vzdelávanie Collaborative e-learning tools in undergraduate mathematical training of primary education teachers Iveta Scholtzová, Marek Mokriš MESC: C69, G19, U79 Abstract Teaching of the Geometry with Didactics course at the Faculty of Education, University of Presov is carried out with the support of e-learning on the basis of LMS Moodle. In the 2015/2016 academic year, a collaborative tool Wiki has been incorporated into the e-course for the first time to assist in designing joint presentations by the teams of students. The results of the students work are methodological materials for teaching geometry at the primary stage education. Our survey explores the process of developing the methodological materials, the involvement of individual students in the collaborative work on the joint product and problems that arose during team cooperation. Key words: Geometry, e-learning, Cooperative Tools, Primary Education Teacher. Abstrakt Na Pedagogickej fakulte Prešovskej univerzity v Prešove sa výučba predmetu geometria s metodikou realizuje s podporou e-learningu na báze LMS Moodle. V akademickom roku 2015/2016 bol do e-kurzu prvýkrát inkorporovaný kooperačný nástroj Wiki na tvorbu spoločných prezentácií študentských tímov. Výsledkom práce študentov boli metodické materiály pre vyučovanie geometrie v primárnom stupni vzdelávania. V rámci prieskumu bol sledovaný proces tvorby metodických materiálov, podiel jednotlivých študentov na spoločnom produkte a tiež problémy pri kooperácii v rámci tímov. Key words: geometria, e-learning, kooperačné nástroje, učiteľ primárneho vzdelávania. 1. Úvod Súčasťou e-learningového kurzu v prostredí Moodle geometria s metodikou sú učebné materiály určené na samoštúdium, niektoré dynamické nástroje, cvičenia zamerané na samostatnú prácu študentov, vstupný test a priebežné testy. V akademickom roku 2015/2016 bol do tohto kurzu inkorporovaný kooperačný nástroj Wiki. Študenti už mali skúsenosť s týmto kooperačným nástrojom z predchádzajúcej výučby v predmete didaktika IKT v primárnej edukácii (Adamkovičová a kol. 2016). Na začiatku semestra bola študentom zadaná seminárna práca vytvoriť prostredníctvom 128

129 nástroja Wiki didaktický materiál pre vyučovanie geometrie v primárnom stupni vzdelávania. 2. Proces tvorby didaktických materiálov Pre seminárnu prácu v predmete geometria s didaktikou bolo vyšpecifikovaných päť tematických okruhov z učiva geometrie na 1. stupni základnej školy: 1. Čiara, bod, úsečka, priamka, polpriamka. Vzájomné polohy geometrických útvarov. 2. Rovinné útvary, ich vlastnosti a rysovanie. 3. Priestorové útvary, stavby z kociek. 4. Propedeutika zhodných a podobných zobrazení. 5. Dĺžka úsečky, premena jednotiek dĺžky. Obvod rovinného útvaru a propedeutika obsahu rovinného útvaru. V seminárnej práci pre daný tematický okruh si študenti mali vybrať konkrétne učivo a následne a. vypracovať metodický postup sprístupnenia nového učiva; b. zvoliť jednu úlohu z danej problematiky a prezentovať metodický postup jej riešenia. V 1. ročníku magisterského stupňa štúdia v študijnom programe učiteľstvo pre primárne vzdelávanie bolo 100 študentov, ktorí boli pre výučbu v rámci seminárov rozdelení do piatich študijných skupín. V rámci každej študijnej skupiny bolo vytvorených päť tímov (spolu 25 tímov), ktoré mali 3 5 členov. Každému tímu bol pridelený jeden tematický okruh pre spracovanie v rámci seminárnej práce. Na vypracovaní seminárnej práce sa mali podieľať všetci členovia daného riešiteľského tímu. Tímy z tej istej študijnej skupiny mali on-line prístup k spracovanej seminárnej práci ostatných tímov z danej skupiny. Takto mali študenti k dispozícii didaktický materiál, ktorý zahŕňal problematiku všetkých tematických okruhov. Seminárne práce boli spracovávané a prezentované priebežne počas semestra tak, že korešpondovali s problematikou preberanou v rámci výučby v predmete geometria s metodikou. V procese vytvárania študentských produktov sa hneď v úvode vyskytli ťažkosti technického charakteru. Napriek tomu, že študenti už skôr pracovali s kooperačným nástrojom Wiki, bolo zo strany pedagógov nevyhnutné poskytovať konzultácie pri riešení problémov. V niekoľkých prípadoch dokonca došlo k zrušeniu vstupných nastavení, ktoré bolo potrebné obnoviť. Samotné spracovanie seminárnej práce prebiehalo v on-line režime, pričom študenti využívali HTML formát (Obrázok 1.). Po uložení časti seminárnej práce mali ostatní členovia tímu aktuálny on-line prehľad o stave jej spracovania. Obrázok 1. Prostredie na spracovanie obsahu seminárnej práce. 129

130 Kooperácia v rámci jednotlivých tímov nebola vždy optimálna. Z reakcií študentov bolo evidentné, že nie všetci členovia riešiteľského tímu prispievali k tvorbe produktov rovnakým dielom. Tútor mohol v kurze pomocou nástroja História sledovať proces tvorby seminárnej práce a aj podiel jednotlivých študentov na danej činnosti. Nebolo vždy pravidlom, že ak bol študent prihlásený pod svojím kontom, tak potom na danej činnosti v tom čase s ním nekooperovali aj iní členovia tímu. Vzhľadom na to mieru podielu práce jednotlivých členov tímu bolo nutné overiť pri prezentácii seminárnej práce. V niektorých prípadoch študenti prezentovali, že si prácu rozdelili, každý sa podieľal na príprave materiálov, ale vo Wiki pracoval jeden dvaja. V jednom tíme došlo k situácii, že jeden člen, podľa názoru ostatných, nijako neprispel k spoločnému produktu, a teda nesplnil podmienky stanovené pre seminárnu prácu. Bolo nevyhnutné zadať študentovi inú seminárnu prácu, aby mal možnosť splniť podmienky priebežného hodnotenia v predmete. Vo vytvorených materiáloch, okrem textu, študenti používali podporný obrázkový materiál, ktorí si väčšinou sami vytvárali. Predpokladali sme, že študenti budú pri tvorbe obrázkovej dokumentácie využívať aj geometrické softvérové prostredia, napr. Geogebra, CaR, pretože podporné študijné materiály v prostredí Moodle boli vytvárané aj za pomoci týchto softvérov. Z analýzy seminárnych prác však vyplynulo, že používané bolo len scanovanie, resp. fotografie. Obrázok 2. Obrázkový podporný materiál vytvorený študentmi. Prehľad o použitých podporných materiáloch bolo možné získať v záložke Súbory. Študenti využívali len podporný materiál statického charakteru vo forme obrázkov. Použitie materiálov, ktoré by mali dynamickú podobu (napr. video), nebolo zaznamenané. Vytvárané metodické materiály boli zo strany pedagógov priebežne monitorované. Vo Wiki boli do materiálov vkladané komentáre a pripomienky (Obrázok 3.). Komentáre a pripomienky boli vkladané priamo do textu seminárnej práce a boli farebne odlíšené. Pri kontaktnej výučbe na seminároch prebiehala intenzívna diskusia o vytvorených produktoch. Obrázok 3. Ukážka vloženého komentára. 130

131 3. Záver Inovácia procesu výučby v predmete geometria s metodikou priniesla niektoré nové poznatky o procese nadobúdania odborných a didaktických kompetencií študentov pre vyučovanie geometrie v primárnom stupni vzdelávania. Potvrdila tiež niektoré už skôr známe problémy a nedostatky. Tento proces je možné posudzovať z troch aspektov: geometria, odborné a didaktické kompetencie študentov miskoncepcie v geometrických predstavách, nedostatky v používaní odborného jazyka, v grafickom znázorňovaní, v matematických zápisoch, problémy v didaktickej interpretácii geometrickej problematiky pre žiakov mladšieho školského veku; použitie technológií napriek všeobecne rozšírenému názoru, že generácia súčasných mladých ľudí na dobrej úrovni ovláda informačno-komunikačné technológie, nie je tomu tak u všetkých študentov, mnohí majú ťažkosti s prípravou materiálov, ktoré by mohli byť použiteľné v pedagogickej praxi; kooperácia pôsobenie v pedagogickej praxi je o neustálej sociálnej interakcii a to nielen so žiakmi (a ich rodičmi), ale aj s kolegami pri príprave spoločných materiálov na školách. V tomto kontexte je schopnosť kooperácie veľmi významným aspektom pedagogického pôsobenia. Ukázalo sa, že mnohí študenti nie sú nastavení na spoluprácu. Ak majú pracovať v tíme, radšej urobia celý objem práce, než by mali prácu rozdeliť. Získané poznatky môžu prispieť k skvalitneniu procesu pregraduálnej matematickej prípravy budúcich pedagógov pre primárne vzdelávanie. Príspevok je čiastkovým výstupom projektu KEGA 013PU-4/2015 Aplikácia kooperačných a komunikačných nástrojov v e-learningových kurzoch pre učiteľov primárneho vzdelávania. Literatúra ADAMKOVIČOVÁ, M., BURGEROVÁ, J., PISKURA, V. E-kurz Didaktika IKT v primárnej edukácii. Sborník příspěvků z konference a soutěže elearning Hradec Králové: Gaudeamus, ISBN s doc. RNDr. Iveta Scholtzová, PhD. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 15, Prešov, SR iveta.scholtzova@unipo.sk Mgr. Marek Mokriš, PhD. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 15, Prešov, SR marek.mokris@unipo.sk 131

132 Stimulácia kontroly pozornosti - výsledky pilotného výskumu Stimulation of attentional control - results of pilot research Edita Šimčíková, Alena Prídavková, Blanka Tomková MESC: C32, D42, Q32 Abstract The paper is intended as a partial output of the APVV grant scheme project that addresses the issue of stimulating executive functions in pupils who underperform in mathematics. It follows on the previous articles that give details about the fundamentals of designing a stimulation program in mathematics and about the nature of tasks in terms of the project s proposals. Two modules designed to stimulate attentional control were piloted on a sample of pupils. The aim of the author is to provide basic data about the course of the pilot study. Discussion of the results and the procedure of piloting with some suggestions for further modification of the research s implementation stage are presented in the article. Key words: Attentional Control. Stimulation of Executive Functions. Pair Stimulation. Metacognitive Strategy. Abstrakt Príspevok je vypracovaný ako čiastkový výstup grantového projektu APVV, ktorý rieši problematiku stimulácie exekutívnych funkcií slabo prospievajúcich žiakov z matematiky. Nadväzuje na príspevky, v ktorých sú prezentované východiská tvorby stimulačného programu z matematiky a charakteristika úloh z hľadiska projektových zámerov. Dva vytvorené moduly boli overené v pilotnom výskume na vybranej vzorke žiakov. Naším zámerom je poskytnúť informáciu o realizácii pilotného výskumu a jeho výsledkoch. V príspevku sú vyslovené komentáre k priebehu pilotáže a návrhy na modifikácie úloh pre realizáciu vlastného výskumu. Kľúčové slová: Kontrola pozornosti. Stimulácia exekutívnej funkcie. Párová stimulácia. Metakognitívna statégia. 1. Úvod Na základe analýzy Štátneho vzdelávacieho programu, výkonových štandardov vo vzdelávacej oblasti Matematika a práca s informáciami (2015) pre štvrtý ročník základnej školy, boli v rámci prípravnej fázy výskumu grantového projektu APVV Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií slaboprospievajúceho žiaka - kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka špecifikované vzdelávacie štandardy, ktoré už na prvý pohľad svojou formuláciou nabádajú k potrebe venovať vo vyučovacom procese pozornosť stimulácii kognitívnych a exekutívnych funkcií žiakov. Konkrétne výkonové štandardy 132

133 zodpovedajúce projektovým zámerom boli prezentované autorkami Šimčíková, Tomková (2016). Výsledky analýzy kurikula matematiky pre primárne vzdelávanie (2015) a výsledky grantového projektu APVV Exekutívne funkcie ako základ schopnosti učiť sa: diagnostika a stimulácia riešeného na PF PU v Prešove v rokoch (Kovalčíková, 2016) tvorili jedno z východísk pre prípravu stimulačného programu z matematiky pre žiakov 4. ročníka základnej školy zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia. Proces tvorby stimulačného programu, analýza úloh z matematického hľadiska a z hľadiska stimulácie exekutívnych funkcií žiakov sú prezentované v príspevkoch autoriek Prídavková, Tomková, Šimčíková v tomto zborníku. Navrhnutá batéria doménovo špecifických úloh cielene zameraných na stimuláciu exekutívnej funkcie kontrola pozornosti bola implementovaná do praxe v rámci prvej etapy pilotného výskumu v januári Výsledky pilotného výskumu prvá etapa Prvá etapa pilotného výskumu bola realizovaná s nasledujúcimi cieľmi: a. overiť adekvátnosť vytvorených úloh z matematiky; b. overiť primeranosť inštrukcií; c. overiť vhodnosť otázok zameraných na metakognitívne uvažovanie; d. overiť formu záznamového hárku. Vzorku pilotného výskumu tvorili traja žiaci zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia vo veku 9 11 rokov (dvaja chlapci a jedno dievča). Všetci traja navštevujú základnú školu, komunikačná bariéra medzi administrátorom a žiakmi nebola. Pilotný výskum prebiehal popoludní po vyučovaní mimo školského prostredia. Výskumné ciele boli realizované v párovej aj individuálnej stimulácii, proces výskumu bol pozorovateľmi z riešiteľského tímu zaznamenaný neštruktúrovaným pozorovaním a audiozáznamom. V prvej etape pilotného výskumu boli overené dva moduly z navrhnutého stimulačného programu a spracované prvé výsledky. Prvý modul je z hľadiska doménovej špecifikácie zaradený do tematického celku Riešenie aplikačných úloh a úloh rozvíjajúcich špecifické matematické myslenie, druhý modul do tematického celku Geometria a meranie. Z hľadiska stimulácie exekutívnych funkcií obidva overované moduly podporujú stimuláciu funkcie kontrola pozornosti, ale čiastočne aj pracovnú pamäť. Úlohy v moduloch majú odstupňovanú kognitívnu náročnosť v niekoľkých úrovniach. Prvé výsledky pilotného výskumu priniesli nasledujúce zistenia: a. Navrhnuté úlohy boli do stimulačného programu v prvom module zvolené vhodne z hľadiska matematiky aj z hľadiska stimulácie kontroly pozornosti. Ukázalo sa však, že je potrebné zredukovať počet úloh s obrázkovými postupnosťami na polovicu a vytvoriť k nim pre párovú stimuláciu žiakov analogické úlohy. Z číselných postupností bola vynechaná jedna postupnosť kvôli neprimeranej náročnosti pre zvolenú vzorku žiakov. Postupnosť bude vylúčená z batérie úloh vo výskume. Druhý modul je vytvorený z dvoch zácvičných úloh, ktoré sú dôležité pre overenie matematických schopností z oblasti orientácie v priestore a sú potrebné pre stimuláciu kognície a exekúcie žiakov v ťažiskových úlohách v module. V pilotnom výskume sa potvrdili naše predpoklady, že žiaci vo vekovej kategórii 9 10 rokov nebudú mať vážnejšie problémy s priestorovou orientáciou v trojrozmernom priestore. Výraznejší 133

134 problém nastáva v procese orientácie v rovine, preto budú úlohy modifikované smerom k tomuto cieľu. b. Overenie primeranosti inštrukcií k navrhnutým úlohám bolo zamerané na porozumenie verbálnych zadaní úloh zo stimulačného programu, keďže čítanie textu/zadaní žiakmi mohlo výrazne nežiaduco ovplyvniť riešenie úloh a predĺžiť čas stimulácie. Pilotný výskum potvrdil primeranosť formulácií matematických zadaní úloh pre stanovenú vzorku žiakov. V prípade výraznejšej komunikačnej bariéry žiakov vo výskumnej vzorke v hlavnom výskume možno pozvať jazykovo vybaveného asistenta učiteľa, ale iba v počiatočnej fáze výskumu, resp. úlohu interpretovať v jazyku žiaka bez zásahu do podstaty úlohy a bez akejkoľvek nápovedy. c. Tretím cieľom pilotného výskumu bolo overiť vhodnosť otázok zameraných na proces metakognície a sebaregulácie žiaka tak, aby šlo o procesuálne orientovanú mediáciu. Na splnenie tohto cieľa boli vopred pripravené otázky rozdelené do troch fáz otázky zadávané pred riešením úlohy, počas riešenia a po vyriešení a to v komunikácii administrátor žiak (Partanen a kol., 2015). Tieto otázky boli doplnené o otázky zamerané na sebahodnotenie a sebareguláciu žiaka. Vzhľadom na to, že naši žiaci nie sú v školskom vzdelávaní vedení k metakognitívnemu fungovaniu, požaduje sa od nich iba výkon orientovaný na výsledok, predstavovala táto fáza výskumu najviac problematickú oblasť. Žiaci sa snažili úlohy vyriešiť čo najskôr a prekvapili ich otázky administrátora súvisiace s ich uvažovaním, rozprávaním postupov nahlas, argumentáciou a vysvetľovaním. Otázky považujeme za presne formulované a smerujúce k požadovaným cieľom, z predloženej batérie je však potrebné abstrahovať po jednej otázke na každú metakognitívnu oblasť (pomenuje koncepty, opíše stratégiu, určí chyby, popíše nápravu a pod.). Sebahodnotenie odrážalo školské hodnotenie (to, ako žiaka hodnotia iní). Je potrebné zvoliť sebahodnotenie pomocou vhodných symbolov, v pilotnom výskume malo väčšiu výpovednú hodnotu ako slovné sebahodnotenie. d. Výsledky pilotáže ukázali potrebu urobiť korekcie vo vytvorenom záznamovom hárku. Špecifikovať a precizovať postupnosť zadávaných otázok v jednotlivých fázach tak, aby im žiak rozumel a vyhnúť sa úprave otázok, resp. podotázkam počas stimulácie. Doplniť pozorovací hárok o zaznamenávanie riešenia úlohy z matematického hľadiska a z hľadiska stimulácie exekutívnych funkcií. Zároveň sa ukázala potreba úpravy hárku pre dvoch stimulovaných žiakov súčasne tak, aby bol záznam prehľadný a poskytol pri spracovaní údajov rýchlu a relevantnú spätnú väzbu. 3. Záver Pilotný výskum zameraný na stimuláciu exekutívnych funkcií priniesol z matematického pohľadu zistenie, že žiaci zo sociálne znevýhodňujúceho prostredia vo vybranej vzorke poznali typy úloh zo školského vzdelávania, niektorí aj z testovania psychológmi. Preto prejavili snahu rýchlo úlohu vyriešiť (doplniť zadanie požadovaným úkonom), aj keď to neurobili správne. Rušili ich všetky otázky, ktoré im boli zadávané priebežne hlavne pri úlohách, kde si boli istí s výsledkom. Odpovede na otázky boli spočiatku strohé, jednoslovné. Dôsledná stimulácia kontroly pozornosti a akcent na popis metakognitívnych stratégií však spôsobili, že žiaci uvažovali nad postupmi pri riešení a snažili sa vysloviť ich nahlas. V párovej stimulácii využili aj proces vzájomného učenia sa. Ďalšie korekcie a modifikácie úloh a inštrukcií sú plánované 134

135 počas tréningu administrátorov stimulácie. Pilotný výskum potvrdil strategický zámer členov riešiteľského tímu projektu APVV, ktorý vychádza okrem iného z myšlienok Jensena (2009), že dôležitejšie je v učiteľskej praxi umožniť žiakom sledovať to, čo robia, ako opravovať ich chyby, alebo hovoriť, čo majú robiť. Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu APVV Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej dochádzky) kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka a projektu podporeného International School Psychology Research Initiative of the Society for the Study of School Psychology and the International School Psychology Association. Literatúra HEJNÝ, M. a kol Práce s chybou jako strategie rozvoje klíčových kompetencí žáka. [online]. Praha: JČMF. Dostupné na internete: JENSEN, M. R. Dynamic Assessment, Learning, Culture and Cognition. Roswell, Georgia, USA: International Centre for Mediated Learning, KOVALČÍKOVÁ, I. et al. Diagnostika a stimulácia kognitívnych a exekutívnych funkcií žiaka v mladšom školskom veku. Prešov: Vydavateľstvo PU ISBN PARTANEN, P., JANSSON, B., LISSPERS, J. & SUNDIN, Ö. Metacognitive Strategy Training Adds to the Effects of Working Memory Training in Children with Special Educational Needs In International Journal of Psychological Studies, 7(3), 130. ŠIMČÍKOVÁ, E., TOMKOVÁ, B. Analýza matematického kurikula vo vybraných krajinách z hľadiska stimulácie kognitívnych a exekutívnych funkcií žiakov primárneho vzdelávania. In: Освіта і суспільство. Міжнародний збірник наукових праць. Бердянський державний педагогічний університет, 2016; ISBN (електронне видання); 395 c., іл., табл., бібл., s On line [ ] Štátny vzdelávací program pre primárne vzdelávanie 1. stupeň základnej školy. Matematika On line. [ ] PaedDr. Edita Šimčíková, PhD. Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, KME Ul. 17. novembra 15, Prešov edita.simcikova@unipo.sk doc. RNDr. Alena Prídavková, PhD. Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, KME Ul.17. novembra 15, Prešov alena.pridavkova@unipo.sk Mgr. Blanka Tomková, PhD. Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, KME Ul.17. novembra 15, Prešov blanka.tomkova@unipo.sk 135

136 Stavby z kociek prostriedok rozvíjania priestorovej predstavivosti v rámci odbornej pregraduálnej prípravy budúcich učiteľov Construction of building blocks - a means of developing spatial imagination in undergraduate training of future teachers Dominika Štefková MESC: G19 Abstract Imagination is one of the most important and indispensable skills that an individual is endowed with. Everyday life brings about many situations in which it is necessary to exploit the ability of spatial imagination. Solving tasks in the context of developing spatial imagination should be a part of the teaching mathematics at all stages of education and thus should be included in undergraduate training of future teachers as well. This paper presents one way for enhancing the quality of training primary school teachers in terms of developing their spatial imagination. Key words: mathematical teacher training, primary education, spatial imagination, construction of building blocks. Abstrakt Predstavivosť je jednou z najdôležitejších schopností, ktorou jedinec disponuje, bez ktorej by sa v živote nezaobišiel. V každodennom živote sa bežne vyskytujú situácie, v ktorých je potrebné využiť priestorovú predstavivosť. Riešenie úloh v kontexte rozvíjania priestorových predstáv by malo byť súčasťou vyučovania matematiky na všetkých stupňoch vzdelávania, a teda majú mať svoje zastúpenie aj v rámci odbornej pregraduálnej prípravy budúcich učiteľov. V príspevku prezentujeme jednu z možností ako zvýšiť kvalitu vzdelávania učiteľov primárnej školy z pohľadu rozvoja ich priestorovej predstavivosti. Kľúčové slová: matematická príprava učiteľov, primárny stupeň vzdelávania, priestorová predstavivosť, stavby z kociek. 1. Úvod Ako zvýšiť kvalitu pregraduálneho vzdelávania elementaristov z pohľadu rozvoja ich odborovo-didaktických matematických kompetencií? Akými prostriedkami je možné rozvíjať a zdokonaľovať úroveň priestorovej predstavivosti budúcich učiteľov? Akým spôsobom je možné efektívne ovplyvniť stimulovanie priestorovej predstavivosti? Aké nástroje sú vhodné na aplikáciu v zmysle rozvoja a podpory schopnosti priestorového videnia u učiteľa? Tieto otázky sú len niektoré, ktoré si častokrát kladú odborníci z predmetnej oblasti. Dôležitým činiteľom, ktorý vplýva na 136

137 úroveň prípravy na povolanie učiteľa je aj individuálna schopnosť samotného absolventa vytvárať a vybavovať si predstavy, schopnosť mentálne porovnávať, manipulovať a transformovať vizuálnu komunikáciu. 2. Priestorová predstavivosť u študentov v rôznych stupňoch vzdelávania Pod pojmom priestorová predstavivosť rozumieme súhrn schopností, ktoré súvisia s predstavami jedinca o priestore, geometrických objektoch, ich vlastnostiach a vzájomných vzťahoch (Robová 2009). Dôležitý je aj fakt, že priestorová predstavivosť resp. schopnosť vnímania priestoru je uznávaná ako jedna zo súčastí globálnej inteligencie človeka. H. Gardner uvádza v rámci teórie multiplikačnej inteligencie priestorovú inteligenciu ako samostatný faktor (Laznibatová 1992, In: Brincková Uherčíková - Vankúš 2013). Zdôrazňuje, že ide o schopnosť vytvárať si v mysli obrazy, uchovávať ich a znovu si ich vybavovať. Predstavivosť je mimoriadne dôležitá pri zapamätávaní, a teda aj pri učení sa a je základom všetkých tvorivých schopností. Priestorová predstavivosť zohráva významnú úlohu predovšetkým v geometrii. Ako však vieme, riešenie planimetrických a stereometrických úloh robí často problémy žiakom a študentom na všetkých stupňoch vzdelávania. Psychológovia sa zhodujú v tom, že prvou etapou, kedy prebieha intenzívny rozvoj priestorovej predstavivosti spojený so základnými geometrickými predstavami je predškolský vek (okolo piateho roku veku). Druhou etapou je obdobie mladšieho školského veku. Pokiaľ sa rozvoj priestorovej predstavivosti nepodnieti ani vo veku rokov, objavujú sa vo vyššom stupni vzdelávania známky jej nedostatočnej rozvinutosti, s ktorými sa potom my (vysokoškolskí pedagógovia) mnohokrát v praxi stretávame. Avšak aj v neskoršom období je možné geometrické myslenie a priestorovú predstavivosť rozvíjať, aj keď ide o pomalší a dlhodobejší proces, v ktorom sa využíva predovšetkým logické myslenie jedinca. Zo skutočnosti, že uvedená schopnosť je trénovateľná (Hejný 1990), je potrebné, podľa nášho názoru, v rámci pregraduálneho vzdelávania budúcich učiteľov profitovať a podieľať sa na jej zámernom rozvíjaní. Na Pedagogickej fakulte PU v Prešove je do novoakreditovaných študijných plánov zaradený, okrem iných, zaradený aj predmet Praktikum z geometrie, ako povinne voliteľný. Prispelo sa tak k rozšíreniu disciplín, ktoré sú orientované na rozvíjanie odborovo-didaktických matematických kompetencií. Predmet je určený pre magisterský študijný program Učiteľstvo pre primárne vzdelávanie a Učiteľstvo pre primárne vzdelávanie a pedagogika psychosociálne narušených. V dennej forme štúdia je výučba realizovaná vo forme seminárov v rozsahu jednej hodiny týždenne. Cieľom predmetu je riešiť úlohy zamerané na rozvíjanie geometrickej gramotnosti, analyzovať úlohy z pohľadu existencie rôznych riešiteľských stratégií, riešiť a tvoriť aplikačné a neštandardné úlohy z geometrie pre žiakov v primárnom stupni vzdelávania a použiť didaktické pomôcky pri tvorbe a riešení úloh z geometrie. V akademickom roku 2016/2017, kedy výučba predmetu je realizovaná druhýkrát, si disciplínu zaradilo do študijných plánov až 126 študentov (zo skupiny 159 študentov), čo predstavuje 81,13%. Do obsahu predmetu sú zaradené aj úlohy typu stavby z kociek - ako jeden z prostriedkov rozvoja priestorovej predstavivosti. Uvedomujeme si, že nie každý budúci učiteľ na 1. stupni základnej školy má ku geometrii príliš pozitívny vzťah (nie je to ani jeho povinnosť), neznamená to však, že nemôže resp. nebude žiakov viesť k precvičovaniu priestorového videnia. Podľa nášho názoru je podstatné a nutné, aby aj učitelia mali v dostatočnej miere rozvinutú spomínanú schopnosť, ak chceme, aby boli kompetentní ju rozvíjať u žiakov. 137

138 3. Stavby z kociek v pregraduálnej príprave učiteľov elementaristov Koncentrovanie našej pozornosti na stavby z kociek vyplýva aj zo skutočnosti, že tento typ úloh je neoddeliteľnou súčasťou obsahu učiva geometrie na 1. stupni základnej školy. Podľa inovovaného Štátneho vzdelávacieho programu, Primárne vzdelávanie 1. stupeň základnej školy (2015) by žiak mal: 2. ročník: Postaviť jednoduchú stavbu z kociek podľa vzoru a podľa obrázka. 3. ročník: Postaviť stavbu z kociek na základe plánu. Vytvoriť plán stavby z kociek. 4. ročník: Vytvoriť z kociek rôzne stavby podľa plánu. Vytvoriť a slovne opísať vlastnú stavbu. Nakresliť plán stavby z kociek. Zároveň sú to pre nás aj východiská, ktoré využívame pri tvorbe úloh určených pre študentov, ktoré sú potom aplikované v priebehu realizácie výučby spomínaného predmetu. Na Pedagogickej fakulte PU v Prešove študujú aj študenti zo zahraničia v rámci programu Erasmus+. Do svojich študijných programov si majú možnosť zaradiť aj predmety spojené s matematikou. Nakoľko našou snahou je zvyšovať kvalitu vzdelávania aj týchto študentov, bol vypracovaný projekt KEGA, ktorý je riešený na PU v Prešove. Cieľom projektu je vytvorenie súboru učebných zdrojov určených pre výučbu vybraných disciplín zameraných na matematickú prípravu. Všetky materiály budú vytvorené v slovenskom aj anglickom jazyku, čím budú zabezpečené komplexné študijné materiály pre danú skupinu študentov. V súčasnosti, v rámci riešenia projektu, prebieha kreovanie elektronických podporných materiálov v anglickom jazyku: elektronických učebných textov v LMS MOODLE, súboru power-pointových prezentácií, pracovných listov a diagnostických materiálov. Uvedené študijné materiály sú postupne zaraďované do už vytvorených e-learningových kurzov k predmetom Mathematics as a Game, Elementary Mathematics. Spomínané učebné zdroje sa orientujú na rôzne témy z oblasti elementárnej matematiky a geometrie v súlade s obsahom uvedených disciplín. Poukazujúc na uvedené, je priestor venovaný aj planimetrickým a stereometrickým úlohám, a teda aj problematike stavieb z kociek. V elektronických podporných kurzoch tak budú pripravené úlohy, ktorých riešenie efektívne ovplyvní stimulovanie priestorovej predstavivosti u študentov zo zahraničia. Jednotlivé materiály sa však budú môcť využiť aj pri výučbe matematických disciplín v skupinách slovenských študentov s rozšíreným vyučovaním anglického jazyka. V zozname literatúry uvádzame odkazy na konkrétne zahraničné zdroje vo forme power-pointových prezentácií, video prezentácií, pracovných listov a rôznych internetových stránok orientovaných na predmetnú problematiku. Ich aplikácia je možná nielen pri výučbe predmetov zameraných na matematiku primárnej školy, ale aj počas individuálnej prípravy študenta na vyučovanie. 4. Záver V rámci odbornej a didaktickej matematickej prípravy je potrebné rozvíjať u populácie študentov budúcich učiteľov na 1. stupni základnej školy schopnosť priestorového videnia. Jednou z možností ako to realizovať, je zaraďovanie vhodných úloh z geometrie do ich profesionálnej prípravy. Vhodnými úlohami máme na mysli aj problematiku stavieb z kociek, ktoré sa podieľajú na rozvíjaní a podpore priestorových predstáv. Na druhej strane, by si aj samotní študenti mali uvedomovať 138

139 dôležitosť rozvinutosti priestorovej predstavivosti, nakoľko jej využitie je späté s množstvom situácií v bežnom živote. Poznámka: Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu KEGA- 021PU-4/2015 Tvorba učebných zdrojov pre matematické pregraduálne vzdelávanie elementaristov v cudzom jazyku. Literatúra BRINCKOVÁ, J., UHERČÍKOVÁ, V., VANKÚŠ, P. Netradičné metódy rozvíjania predstavivosti v matematike Bratislava: KEC FMFI UK. On line [ ] HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky Bratislava: SPN. ISBN ROBOVÁ, J. Programy dynamické geometrie a jejich využití ve výuce stereometrie. On line [ ] Štátny vzdelávací program. Primárne vzdelávanie 1. stupeň základnej školy On line [ ] Adult numeracy themes. On line [ ] Building Sugar Cube Structures. On line [ ] Cubic Triangle Views. On line [ ] Designing Buildings. On line [ ] Faces and elevations. On line [ ] ) Four Ways to Make a Step Pyramid. On line [ ] Plans and elevations. On line [ ] Plans and elevations from whiteboard maths. On line [ ] Spatial reasoning. On line [ ] Stacking Cubes. On line [cit ] The castle. On line [ ] Transformations building plans. On line [ ] Views and Elevations. On line [ ] 3D Figures Worksheet. On line [ ] PaedDr. Dominika Štefková, PhD. PU v Prešove, PF, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra 15, Prešov, Slovensko dominika.stefkova@unipo.sk 139

140 Niektoré miskoncepcie pri riešení slovnej úlohy so zlomkami Some misconceptions in solution of the word problem with fractions Valéria Švecová MESC: D50, D70 Abstract Pupils come together with the solution of word problems gradually at the elementary level of primary education. They learn to self manage every phase of the solution of word problems. In the contribution we deal with the analysis of student s solutions to the word problem with fractions. Fractions belong to one of the most problematic of the thematic units in teaching mathematics. Many studies show that pupils and students have problems to understand the concept of a fraction. We are focused therefore in the analysis of the student s solutions on fraction s misconceptions. Key words: word problems, analysis of the solution of the word problem, misconceptions in solving word problem with fractions. Abstrakt S riešením slovných úloh sa žiaci stretávajú postupne už na prvom stupni základnej školy. Žiaci sa učia samostatne zvládnuť každú fázu riešenia slovnej úlohy. V príspevku sa zaoberáme analýzou študentských riešení jednej slovnej úlohy so zlomkami. Zlomky patria k jednému z najproblematickejších tematických celkov vo vyučovaní matematiky. Mnohé štúdie dokazujú, že žiaci a študenti majú problém porozumieť pojmu zlomok. Preto sme sa pri analýze študentských riešení zamerali na miskoncepcie zlomkov. Kľúčové slová: slovné úlohy, analýza riešenia slovnej úlohy, miskoncepcie pri riešení slovných úloh so zlomkami. 1. Úvod Ako uvádzajú Mokriš a Scholtzová (2008) dôležitým elementom úspešnej vzdelávacej činnosti učiteľa na primárnym stupni vzdelávania je jeho dobrá teoretická príprava, ktorá v sebe zahŕňa aj oblasť elementárnej matematiky. S riešením slovných úloh sa žiaci stretávajú postupne už na prvom stupni základnej školy. Žiaci sa učia samostatne zvládnuť každú fázu riešenia slovnej úlohy. Problematikou slovných úloh sa zaoberá množstvo matematikov a autorov, z čoho vyplýva, že je tento pojem v literatúre definovaný rôznymi spôsobmi. Bureš (2014) chápe matematický model slovnej úlohy ako popis vzájomných vzťahov medzi údajmi v zadaní úlohy, ktoré je možné vyjadriť pomocou matematických prostriedkov. Tieto vzťahy sa dotýkajú prevažne číselných údajov, 140

141 prípadne polohy geometrických údajov, a sú vyjadrené matematickými prostriedkami (reláciami, operáciami).pre jazykové porozumenie je dôležité, aby žiaci zvládli čítanie s porozumením. Následne po tejto fáze je nutné úlohu previesť na matematickú úlohu a teda danú situáciu zmatematizovať. Tento proces je možné previesť viacerými spôsobmi a vybrať si rôzne metódy riešenia slovných úloh. Odvarko (1990) proces riešenia slovných úloh (vo všeobecnosti s nematematickým obsahom) rozdelil na matematizáciu situácie, riešenie matematickej úlohy, návrat do kontextu zadania. Zdôrazňuje význam dvojitej skúšky jednak správnosti riešenia matematickej úlohy a jednak kontextovej správnosti (obrázok 1). SÚ VSÚ Sk MÚ 2 Sk 1 VMÚ Vysvetlivky SÚ slovná úloha MÚ matematická úloha VSÚ výsledok slovne úlohy VMÚ výsledok matematickej úlohy Sk skúška Obrázok 1. Slovnú úlohu môžeme riešiť pomocou kalkulu (t.j. súbor pravidiel pre zápisy výrazov pomocou jednoduchých symbolov a pre úpravy týchto výrazov na tvary výhodné pre získavanie výsledkov úloh), alebo bez kalkulu. Starší žiaci často siahajú po riešení pomocou rovnice s jednou neznámou, resp. využitím sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi. Na prvom stupni ZŠ však ešte žiaci nemajú dostatočnú úroveň vedomostí, aby využili tento matematický aparát. Mnoho úloh riešiteľných pomocou rovníc je možné riešiť aj inými metódami ako sú pokus- omyl, grafické znázorňovanie situácie a úsudok. Tieto metódy sú použiteľné aj u mladších žiakov. Pri grafickom znázorňovaní a riešení úsudkom môžu žiaci hlbšie preniknúť do podstaty problému ako pri použití naučeného algoritmu riešenia (Švecová, 2012). 2. Analýza žiackych riešení 112 študentov odboru Predškolská a elementárna pedagogika riešilo v rámci 2 testu nasledujúcu slovnú úlohu. V jednom podniku sú z 1050 zamestnancov žien. 3 Z nich majú 4 5 odbornú kvalifikáciu. Koľko žien pracuje v podniku? Koľko žien nemá odbornú kvalifikáciu? Koľko mužov pracuje v podniku? Pri jej vyhodnotení sme sledovali úspešnosť, prípadne neúspešnosť troch krokov, ktoré predstavovali odpovede na jednotlivé tri otázky: Prvým krokom bolo určenie (vypočítanie) počtu žien (šlo o určenie 2 z 1050). 3 Túto prvú časť úlohy správne vyriešilo 52 študentov, čo predstavuje približne 46%. Pri hľadaní odpovede na druhú otázku bolo potrebné použiť dve operácie. A to najprv určiť 4 z počtu žien, čím sa určilo, koľko žien má kvalifikáciu. A potom 5 141

142 výsledok odčítať od celkového počtu žien. Tento spôsob správne použilo 25 študentov, t.j. cca 22%. Ďalší spôsob riešenia bolo určiť priamo 1 z počtu žien, čo je vlastne 5 odpoveď na druhú otázku. Tento druhý spôsob považujeme za náročnejší, vyžadujúci si iný vhľad do úlohy. Týmto spôsobom úlohu správne vyriešilo 11 študentov, čo predstavuje necelých 10%. Tento krok robil študentom najväčšie problémy. Najčastejšou chybou bolo, že študenti iba vypočítali 4 z počtu žien a výsledok 5 považovali za odpoveď na otázku Koľko žien nemá odbornú kvalifikáciu? Tretím krokom bolo určenie počtu mužov pracujúcich v podniku. Tí študenti, ktorí správne odpovedali na prvú otázku, správne odpovedali aj na tretiu otázku. Všetci túto úlohu riešili rozdielom celkového počtu pracujúcich a počtom pracujúcich žien. Celkovo zadanú slovnú úlohu správne vyriešilo 34 študentov, čo predstavuje zhruba 30%. Táto nízka úspešnosť zrejme súvisí s hlavnou prekážkou úspešného riešenia slovných úloh, ktorou je ako uvádza Hejný (2003) neschopnosť žiaka porozumieť úlohe, pochopiť situáciu opísanú úlohou a /alebo výzvu, ktorú úloha kladie. Rôzna náročnosť jednotlivých krokov je potvrdená aj Scheffeho testom viacnásobného porovnávania (tab. 1). Tabuľka 1. Viacnásobné porovnávanie. Krok 1 2 bez kvalifikácie 2. sp. **** bez kvalifikácie 1. sp. **** počet mužov **** počet žien **** Ako ilustruje tabuľka 1 na základe Scheffeho testu boli v rámci riešenia danej slovnej úlohy medzi jednotlivými krokmi vytvorené dve homogénne skupiny. Prvú homogénnu skupinu tvorí určenie počtu žien bez kvalifikácie, a to jedným aj druhým spôsobom a druhú homogénnu skupinu tvorili kroky, na základe ktorých bol určovaný počet žien a mužov. Test viacnásobného porovnávania potvrdil medzi týmito dvomi skupinami štatisticky signifikantný rozdiel. Vyplýva to aj z faktu, že správne určiť počet žien a počet mužov bolo možné aj bez toho, aby sme správne určili počet žien bez kvalifikácie. Ale pokiaľ bol počet žien určený nesprávne, následne na to bol nesprávne stanovený aj počet žien bez kvalifikácie. Keďže daná slovná úloha robila študentom značné problémy, až 40 študentov (čo predstavuje 35,71%) sa ju ani nepokúsilo riešiť. Presné počty sú zachytené v tabuľke 2. Tabuľka 2. Počet študentov neúspešných pri riešení druhej slovnej úlohy. Počet študentov Nesprávne riešenie v % Nezačali riešiť 40 51,28 Nesprávne riešenie 38 48,72 142

143 Mnohým študentom v tejto úlohe robila problém už len samotná matematizácia slovnej úlohy (obrázok 2). Obrázok 2. V ďalšom uvedieme niektoré nesprávne predstavy študentov pri riešení danej slovnej úlohy. Ako je vidieť z obrázku 3, študentka riešila slovnú úlohu pomocou trojčlenky, jej riešenie však bolo nesprávne. Neuvedomila si však, že 100% predstavuje jeden celok. Táto nesprávna predstava viedla k záveru, že z 350 žien pracujúcich v podniku má 840 žien kvalifikáciu. Obrázok 3. S týmto výsledkom bola spokojná. Tento istý nedostatok má aj riešenie z ďalších dvoch obrázkov, kedy študentka určila, že dve polovice, resp. šesť pätín z pracujúcich žien nemá kvalifikáciu,. Obrázok

144 Obrázok 5. Uvedené chyby zrejme pramenia z nesprávneho chápania pojmu zlomok. Možno predpokladať, že u niektorých študentov boli nesprávne vytvorené predstavy o pojme celok a časť. Veľa študentov jednotlivé počty nevyčíslilo, ale ich vyjadrilo v tvare zlomku. Môžeme predpokladať, že tak urobili buď preto, lebo nepochopili zadanie úlohy, resp. otázku alebo mali problém s matematizáciou úlohy. Obrázok 6. Obrázok

145 3. Záver Možno povedať, že tak učitelia ako aj žiaci považujú riešenie slovných úloh v matematike za náročné. Ako uvádza Novotná (2000) už len samotná skutočnosť, že žiak má riešiť slovnú úlohu, je hlavnou príčinou jeho neúspechu. V našom prípade, sa slovná úloha z pohľadu študentov javila ako náročná aj preto, že šlo o slovnú úlohu so zlomkami. To môže prameniť aj zo špecifického významu a predstavy zlomkov v porovnaní s prirodzenými číslami, s ktorými žiaci pracujú pred zavedením zlomkov. Literatúra BUREŠ, J. Žákovská tvorba slovních úloh jako indikátor matematické kultury žáků ZŠ. Praha: Univerzita Karlova, Pedagogická fakulta HEJNÝ, M. Anatómia slovnej úlohy o veku. In: Zborník príspevkov z konferencie Matematika v škole dnes a zajtra. Ružomberok: Katolícka Univerzita, 2003, s ISBN MOKRIŠ, M., SCHOLTZOVÁ, I. Matematická gramotnosť študentov odboru predškolská a elementárna pedagogika na začiatku ich profesijnej prípravy. In Acta mathematica 11, 2008, s ISBN NOVOTNÁ, J. Analýza řešení slovních úloh. Praha: Univerzita Karlova v Praze, 2000, 126s. ISBN ODVARKO, O a kol. Metody řešení matematických úloh. Praha: SPN, 1990, 264s. ŠVECOVÁ, V. Stratégie riešenia vybraných slovných úloh v príprave učiteľov pre primárne vzdelávanie. In: Acta Mathematica 15 : zborník príspevkov z X. nitrianskej matematickej konferencie. Nitra: UKF, 2012, s ISBN PaedDr. PhDr. Valéria Švecová, PhD. Katedra matematiky, FPV Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre, Tr. A.Hlinku Nitra vsvecova@ukf.sk 145

146 Stimulácia kontroly pozornosti prostredníctvom matematických úloh u žiakov 4. ročníka základnej školy Stimulation of attention control through mathematical tasks in pupils of 4 th year of primary school Blanka Tomková, Alena Prídavková, Edita Šimčíková MESC: C32, Q32, U32 Abstract The paper is a partical result of the APVV Experimental verification of programs aimed to stimulation of executive functions of underperforming pupil (in the last year of elementary education) - the cognitive stimulation potential of math and Slovak language. One of the project s objectives is to devise a program for stimulating executive functioning of pupils through selected mathematical tasks. The first step is to design appropriate tasks and later verify their suitability within intended testing on a selected samples. Reasoning for the choice of mathematical areas and particular tasks with their description are included in the article. The article presents a preliminary study of the outlined problem. Key words: Control of attention. Executive functions. Elementary Education. Abstrakt Príspevok je súčasťou riešenia grantového projektu APVV Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej dochádzky) kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka. Jedným z cieľov je vytvoriť program stimulácie exekutívneho fungovania žiaka prostredníctvom zvolených matematických úloh. Prvým krokom je vytvoriť primerané úlohy a overiť ich vhodnosť v rámci chystaného testovania na zvolenej vzorke. Zdôvodnenie výberu matematických oblastí, jednotlivých úloh, ako aj ich popis je súčasťou článku. Príspevok predstavuje prvotnú štúdiu predloženého problému. Kľúčové slová: Kontrola pozornosti. Exekutívne funkcie. Primárna edukácia. 1. Úvod Cieľom projektu Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej dochádzky) kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka je navrhnúť a overiť stimulačný program vytvorený na kurikulárnom základe slovenského jazyka ako aj matematiky. V rámci projektu sa uskutoční skúmanie a hodnotenie žiakov 4. ročníkov základných škôl, ktorých spoločnými znakmi sú neprospievanie z matematiky (hodnotenie prospechu v rámci predmetu stupňom dobre, prípadne 146

147 dostatočne) a sociálne znevýhodnené prostredie. Našou úlohou bolo navrhnúť a otestovať matematické úlohy pre tento stimulačný program. Bolo zrejmé, že počas realizácie projektu nebude možné vytvoriť a otestovať úlohy, ktoré by pokrývali celý obsah kurikula matematiky 4.ročníka základnej školy. Pri výbere zamerania úloh sme sa preto orientovali na úlohy, ktoré umožnia odhaliť myšlienkové postupy žiakov tým, že v rámci riešenia úloh vyžadujú pozornosť žiaka, porozumenie zadaniu, uplatnenie krátkodobej pamäti, voľbu vhodnej stratégie. Do návrhu batérie úloh neboli zaradené úlohy vyžadujúce len uplatnenie automatického spoja niektorej binárnej operácie, prípadne úlohy vyžadujúce znalosť premeny jednotiek dĺžky, času, či peňažnej meny. Východiskom pre výber úloh boli: výsledky národných meraní (Testovanie 5), výsledky medzinárodných meraní (TIMSS 2011, TIMSS 2015), základné pedagogické dokumenty (ŠVP pre primárne vzdelávanie - Matematika), odborné výstupy venované problematike kognitívneho, metakognitívneho a exekutívneho myslenia žiaka. Vytvorené úlohy sme overovali v rámci pilotného testovania. Jeho výsledky sú spracované v článku (Šimčíková, Prídavková, Tomková, 2017). 2. Charakteristika úloh Analýzou výsledkov národných a medzinárodných meraní (Mullis et al. 2012, Martin et al. 2016, Alföldyová a kol., 2016) boli pre potreby výskumu vyšpecifikované nasledujúce oblasti matematiky - postupnosti, priestorová predstavivosť, výroková logika, kombinatorika, číselné predstavy a číselné operácie, ktoré budú tvoriť jednotlivé moduly stimulačného programu. Súčasťou každého modulu budú úlohy zamerané na kontrolu pozornosti, pracovnú pamäť, plánovanie, sebahodnotenie a sebareguláciu žiaka. Prvá séria úloh bude zameraná na kontrolu pozornosti žiaka. Pozornosť možno považovať za kľúčový determinant akejkoľvek (teda aj školskej) činnosti. Organizáciu pozornosti je možné rozvíjať už od útleho veku prostredníctvom úloh vyžadujúcich selektívnosť a strategickosť vo vnímaní a to aj protredníctvom verbalizovania týchto stratégií (Kovalčíková a kol. 2015, s.22-26). Návrh úloh preto zohľadňuje nielen matematickú stránku zadania, ale orientuje sa aj na metakognitívne funkcie žiaka, v rámci ktorých sa snaží viesť žiaka k verbalizácii zadania pokynov úlohy, jednotlivých krokov riešenia, ako aj zhodnotenia postupu a správnosti riešenia. Schopní riešitelia matematických úloh zámerne premýšľajú o stratégii riešenia, argumentácii, uplatnením svojich znalostí a zručností, teda využívajú metakognitívne procesy keď zaznamenávajú, ako premýšľali a argumentovali, rozpoznávajú prekážku v postupe, sú si vedomí, že niečomu celkom nerozumejú, rozhodnú sa zámerne zavrhnúť a nahradiť neúspešnú stratégiu, znova premyslia svoj prístup a skúmajú prepojenia so súvisiacimi konceptmi a znalosťami. Metakognitívne procesy sa u žiakov aktivizujú, ak je im zadaná úloha, ktorá pre nich predstavuje istý druh výzvy (Frobisher, Frobisher, 2015, s ). V stimulačnom programe sú jednotlivé úlohy a inštrukcie k nim vytvárané tak, aby sa v procese intervencie u žiakov rozvíjali aj metakognitívne schopnosti, t. j. aby boli schopní prezentovať a verbalizovať myšlienkové procesy, ktoré prebiehajú pri riešení úlohy. V slovenskom kontexte bola táto problematika riešená v oblasti skúmania procesu tvorby textu, kde výsledky ukázali, že predstava pisateľov mladšieho školského 147

148 veku o prebiehajúcich mentálnych činnostiach pri písaní textu je všeobecná a málo konkrétna (Klimovič, 2016, s. 149). Kurikulárne zameranie prvého modulu vychádza z požiadaviek kladených na absolventa primárneho stupňa edukácie (ŠVP pre primárne vzdelávanie. Matematika, 2015). Od žiaka sa očakáva, že dokáže: identifikovať a popísať pravidlo vytvorenej postupnosti; na základe identifikovaného pravidla doplniť do postupnosti niekoľko čísel, znakov, symbolov, umiestniť (dokresliť) rovinné a priestorové geometrické útvary podľa pokynov; určiť polohu geometrických útvarov v priestore, rozhodnúť o pravdivosti (nepravdivosti) tvrdenia; sformulovať pravdivý alebo nepravdivý výrok; vytvoriť negáciu jednoduchého výroku; zdôvodniť pravdivosť (nepravdivosť) tvrdenia; vytvoriť zložené výroky a rozhodnúť o ich pravdivosti (nepravdivosti); vyriešiť slovné úlohy na výrokovú logiku, vytvoriť systém pri hľadaní a zapisovaní spôsobov usporiadania dvoch (troch) predmetov, znakov, symbolov, rôznych čísel zložených z daných číslic (číslice sa môžu aj opakovať); vytvoriť rôzne dvojciferné (trojciferné, štvorciferné) čísla z množiny číslic (číslice sa môžu aj opakovať); nájsť všetky rôzne spôsoby usporiadania dvoch (troch) predmetov, znakov, symbolov; určiť počet možností usporiadania dvoch (troch) predmetov, znakov, symbolov; vyriešiť slovné úlohy s kombinatorickou motiváciou; sčítať, odčítať prirodzené čísla v obore do ; vynásobiť a vydeliť prirodzené čísla v obore do 100; vyriešiť jednoduché a zložené slovné úlohy na sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie. V metodológii tvorby stimulačného programu vychádzame z troch základných fáz mentálneho aktu, ktoré je možné registrovať pri riešení úlohy (Jensen 2009, Kovalčíková et al., 2016, s. 143). Je to (1) vstupná fáza (input), v priebehu ktorej žiak získava informácie a sú aktivizované kognitívne štruktúry dieťaťa; (2) elaboračná fáza (elaboration), v rámci ktorej prebieha spracovanie zhromaždených informácií; (3) výstupná fáza (output), ktorá je typická komunikáciou o spracovaných výsledkoch myslenia. 3. Záver V rámci realizácie projektu bola navrhnutá séria úloh zameraná na stimuláciu kontroly pozornosti pre dva stanovené moduly modul postupnosti a priestorovej predstavivosti. Úlohy mali odstupňovanú kognitívnu náročnosť. Adekvátnosť úloh, ale vhodnosť a primeranosť inštrukcií boli overované v rámci pilotného výskumu počas párovej stimulácie priamo v teréne. Jeho výsledky umožnia modifikáciu navrhovaných úloh, ako aj vytvorenie návrhov úloh zameraných na stimuláciu kontroly pozornosti pre ďalšie moduly. Súčasťou pozorovania bolo nielen hodnotenie kognitívnej, ale aj metakognitívnej stránky žiaka počas riešenia úloh. Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu APVV Experimentálne overovanie programov na stimuláciu exekutívnych funkcií slaboprospievajúceho žiaka (na konci 1. stupňa školskej dochádzky) kognitívny stimulačný potenciál matematiky a slovenského jazyka a projektu podporeného International School Psychology Research Initiative of the Society for the Study of School Psychology and the International School Psychology Association. 148

149 Literatúra ALFÖLDYOVÁ, I. a kol. Testovanie (priebeh, výsledky, analýzy). Bratislava, NÚCEM On line [ ] priebeh-vysledky-a-analyzy. FROBISHER, L., FROBISHER, A. Didaktika matematiky I. Porozumieť. Riešiť. Počítať. Bratislava: Raabe ISBN JENSEN, M. R. Dynamic Assessment, Learning, Culture and Cognition. Roswell, Georgia, USA: International Centre for Mediated Learning, KLIMOVIČ, M. Detský pisateľ v procese tvorby textu. Prešov: Vydavateľstvo PU ISBN JENSEN, M. R. Dynamic Assessment, Learning, Culture and Cognition. Roswell, Georgia, USA: International Centre for Mediated Learning, KOVALČÍKOVÁ, I. et al. Diagnostika a stimulácia kognitívnych a exekutívnych funkcií žiaka v mladšom školskom veku Vydavateľstvo PU v Prešove, Prešov. ISBN MULLIS, I.V.S., MARTIN, M. O., FOY, P., a A. ARORA. Timss 2011 International Results in Mathematics. Chestnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS International Study Center, ISBN On line [ ]. MARTIN, M. O., MULLIS, I. V. S., and HOOPER, M. (eds.). Methods and Procedures in TIMSS Retrieved from Boston College, TIMSS & PIRLS International Study Center. On line [ ] ŠVP pre primárne vzdelávanie. Matematika, On line [ ]. ŠIMČÍKOVÁ, E., PRÍDAVKOVÁ, A. a B. TOMKOVÁ. Stimulácia kontroly pozornosti - výsledky pilotného výskumu. V tomto zborníku. TZURIEL, D. The Cognitive Modifiability Battery (CMB): Assessment & Intervention. Instruction Manual. School of Education, Bar-Ilan University: Ramat-Gan, Israel Mgr. Blanka Tomková, PhD. Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, KME Ul.17. novembra 15, Prešov blanka.tomkova@unipo.sk doc. RNDr. Alena Prídavková, PhD. Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, KME Ul.17. novembra 15, Prešov alena.pridavkova@unipo.sk PaedDr. Edita Šimčíková, PhD. Prešovská univerzita, Pedagogická fakulta, KME Ul.17. novembra 15, Prešov edita.simcikova@unipo.sk 149

150 Rozvíjanie číselných predstáv vo fínskych didaktických prostriedkoch pre primárny stupeň vzdelávania Developing the concept of number in Finland s methodological materials for primary education Anna Vašutová MESC: D12 Abstract Developing the concept of number is one of the priorities in primary mathematics. The formation of the concept starts as early as in pre-primary education where the emphasis is placed mainly on hands-on activities of children. On the first stage of primary education, the mental ability of a pupil to grasp and apprehend the concept of numbers is gradually developing. Means or methods by which it is possible to systematically and comprehensively affect the cognitive structure of a pupil differ depending on developmental characteristics of the child. These methods differ also in conformity with the educational culture of each country. The paper presents one of the educational conceptions used in Finland aimed at developing the concept of number. Key words: Concept of Number. Mathematical Education. Primary Education. Abstrakt Rozvíjanie číselných predstáv je jednou z priorít primárneho matematického vzdelávania. Ich tvorba sa začína už v predprimárnom vzdelávaní, kde je dôraz kladený najmä na manipulačný charakter činností detí. Na 1. stupni základnej školy sa postupne menia, skvalitňujú mentálne schopnosti žiakov vnímať a chápať pojem čísla. Spôsoby alebo metódy, pomocou ktorých je možné systematicky a komplexne pôsobiť na kognitívne štruktúry žiakov sa v závislosti a v súčinnosti s vývinovými zmenami rovnako menia. Tieto spôsoby sú diferentné aj v závislosti od vzdelávacej kultúry každej krajiny. Príspevok prezentuje jednu zo vzdelávacích koncepcií zameraných na tvorenie číselných predstáv využívaných vo Fínsku. Kľúčové slová: Číselné predstavy. Matematické vzdelávanie. Primárne vzdelávanie. 1. Úvod Koncepcia vytvárania predstáv o číslach je rôzne štruktúrovaná aj v slovenskom vzdelávacom kontexte. V príspevku sa zameriavame na 1. ročník základných škôl. Aktuálne je na trhu pre uvedený ročník dostupných približne šesť typov pracovných zošitov z matematiky. Tri pochádzajú z vydavateľstva Aitec jeden z Orbis Pictus Istropolitana, jeden z vydavateľstva Taktik a jeden z vydavateľstva Fraus (Hejného metóda). Najodlišnejšiu koncepciu v súvislosti s oblasťou numerácie ponúka pracovný zošit z vydavateľstva Taktik a samozrejme vydavateľstva Fraus. Spoločnou črtou ostatných pracovných zošitov (PZ) je, že v I. časti PZ sú zavedené čísla v obore do

151 a v II. časti do 20. Vo všetkých štyroch typoch sa chronologicky postupuje približne rovnako (kultúrna podmienenosť): samostatné zavedenie prirodzených čísel v obore od 1 do 6 ako počtu prvkov v skupine; zavedenie relačných znakov pre porovnávanie a porovnávanie podľa počtu; písanie číslic postupne od 1 do 6, potom nasleduje 0 a čísla 7 až 10; po čísle dva sa zavádza operácia sčítania, po čísle 4 operácia odčítania; v II. časti PZ sú zavedené čísla 11 až 20 najčastejšie spoločne (niekde sa ešte zvlášť venuje pozornosť postupne jednotlivých číslam). Rozklad čísla nie je zaradený jednotne, rovnako ako usporadúvanie čísel a orientácia v číselnom rade (radové číslovky) či práca s číselnou osou. Ďalšou zaujímavosťou sú aj v odlišnosti grafického či symbolického vyjadrenia čísel a najmä operácií s nimi (obrázkové slovné úlohy). 2. Fínska koncepcia Vo fínskych pracovných zošitoch z matematiky Tuhattaituri z vydavateľstva Otava v Helsinkách je možné sledovať inú chronologickú postupnosť pri konštruovaní predstáv o číslach. Spoločným znakom je, že žiaci vo veku 8 rokov (vo Fínsku 1. ročník a na Slovensku 2. ročník základnej školy) počítajú rovnako v obore do 100. Vytváranie predstáv o prirodzených číslach a rozširovanie číselného oboru prebieha v 1. ročníku vo Fínsku v uvedenom poradí. Tabuľka 1. Postup pri zavádzaní prirodzených čísel v 1. ročníku vo Fínsku. 1 a 0 súčasne 2 12 samostatne súčasne súčasne súčasne súčasne Už od prvej strany pracujú žiaci s číslami v číselnom obore do 10, pričom je ich úlohou určiť počet predmetov v súbore a zakrúžkovať číslo v číselnom rade, ktoré tento počet vyjadruje. Vytvárať súbory s daným počtom dokresľovaním objektov podľa zadaní v podobe číselných znakov. Ďalej pokračujú v práci s číselnou osou, ktorá veľmi prirodzene nadväzuje na už známy číselný rad. Úlohy žiakov sú rovnaké ako pri práci v číselnom rade. Propedeutika sčítania je zaradená v úvode a to pomocou číselnej osi, pričom žiaci sčítajú hneď troch sčítancov. Až potom sa prechádza na písanie jednotlivých číselných znakov v poradí, aké uvádza tabuľka 1. Pri vytváraní predstavy o prirodzenom čísle je číslo prezentované prostredníctvom rôznych a v obore do 10 dôsledne sa opakujúcich reprezentantov. Prirodzené číslo najprv vystupuje ako počet predmetov v skupine, k čomu slúži ilustračný obrázok. Číslo ako prvok Peanovej množiny prezentuje grafický model v podobe usporiadaného číselného radu (číselný pás), čím sa postupne buduje vizuálna predstava o usporiadanom číselnom rade a pozícii čísla v ňom. Tento model pretrváva pri zavádzaní čísel v obore do 20, okrem toho je od počiatku úlohou žiakov vyznačovať číslo (ako počet predmetov v skupine) na číselnej osi. Predstava o prirodzenom čísle ako kardinálnom čísle sa vytvára využitím štruktúrovaného modelu prstov na rukách. Kvantitatívny význam čísla je doplnený o model analógových hodín, kde číslo vystupuje v spojitosti s meranou veličinou času. Uvedené modely sú využité pri číslach v obore do 10. Číslo 0 sa zavádza spoločne s číslom 1 ako počet prvkov v množine, v prípade nuly takej, ktorá nemá žiadne prvky, k čomu ako východisko slúži ilustračný obrázok. Po čísle 2 pribúdajú úlohy na rozklad 151

152 čísla, ktoré svojím grafickým znázornením umožňujú integráciu aj iných matematických tém (na propedeutickej úrovni) (obr. 1). Obrázok 1. Rozklad čísla. Využitie uvedeného modelu prináša pedagógovi možnosť riešiť ju so žiakmi, okrem iného, ako úlohu kombinatorického charakteru s pravdepodobnostným nábojom. Po zavedení čísla 3 nasleduje podkapitola zameraná na porovnávanie priraďovaním, na ňu nadväzuje zavedenie porovnávania pomocou relačných znakov. Samostatná podkapitola sa venuje situácii, keď je v skupinách rovnaký počet prvkov. Ďalej nasleduje sprístupnenie operácie sčítanie so zavedením znakov (+, =). Po čísle 4 žiaci riešia rovnice na sčítanie, ktoré vznikli modifikáciou úlohy zameranej na rozklad čísla. Po čísle 5 je zaradená podkapitola zameraná na sčítanie pomocou číselnej osi, kde sa nevyužíva číslo už iba ako kvantita, ale aj ako identifikátor (adresa). V samostatnej podkapitole je sprístupnené odčítanie rovnakým metodickým postupom ako sčítanie, teda aj pomocou číselnej osi. V nasledujúcej podkapitole je zavedený znak pre menu ( ) a žiaci operujú s eurami. Po zavedení čísel 6 a 7 je zaradený nový typ úlohy na porovnávanie s vyššou mierou náročnosti. Žiaci majú doplniť dané tri čísla tak, aby použili každé iba raz a aby bol matematický zápis správny (obr. 2). Obrázok 2. Porovnávanie čísel. Počnúc zavedením čísla 11 sa mení aj grafické znázorňovanie čísel, pričom každé je modelované len pomocou číselného radu rozdeleného na dve samostatné desiatky. Predstava kvantity je zabezpečená ilustračným obrázkom a prelína sa s umiestnením daného počtu predmetov (čísla) na číselnej osi. Po čísle 12 je zaradená podkapitola zameraná na zavedenie pojmu diagram. Prezentovaný je konkrétne histogram, do ktorého majú žiaci na základe ilustračného obrázka podľa vzoru zaznamenávať počty daných predmetov. Obmenou je čítanie a zapisovanie údajov z grafu. Vzniká tu priestor pre nové grafické vyjadrenie čísla ako kvantity, ktoré zároveň umožňuje žiakom vidieť väčšie číslo podľa výšky stĺpca, čo využijú pri porovnávaní či usporadúvaní číselných údajov. Druhá časť pracovného zošita nadväzuje na prvú a po krátkom opakovaní (v číselnom obore do 12) sú zavedené čísla 13 až 15, potom 16 až 18 a nakoniec 19 a 20. Nasledujúca podkapitola je zameraná na orientáciu v čase a číslo tu vystupuje ako vyjadrenie veličiny času. Pomerne rozsiahla časť je po čísle 20 venovaná upevňovaniu vedomostí a neskôr sa zameriava na počítanie s prechodom cez základ 10. Nasledujúca podkapitola je zameraná na oblasť geometrie a merania a číslo sa viaže opäť k ďalšej veličine a to miere úsečky. Po nej nasleduje sprístupnenie čísel v obore do 100 po desiatkach. Čo je vyjadrené pomocou sčítania desiatich desiatok a zároveň graficky prezentované využitím číselnej osi a stĺpcového diagramu. 152

153 Ďalej nasleduje zavedenie tzv. stovkovej tabuľky, ktorá je využívaná jednak pre vznik predstavy o čísle 100, ale aj ako pomôcka pre lepšiu orientáciu v číselnom rade, pre jednoduchšie porovnávanie, či usporadúvanie čísel. Neskôr sa využíva aj pri matematických operáciách. Ide o úsporný a praktický vizualizačný model, ktorý má viacúčelové využitie. Žiaci spočiatku dopĺňajú chýbajúce čísla v tabuľke v tvare štvorca, neskôr majú k dispozícii iba nepravidelný útvar (obr. 3). Obrázok 3. Časť stovkovej tabuľky. 3. Záver Pre fínske didaktické prostriedky je typické pravidelné opakovanie sa grafického spracovania jednotlivých tém, nadväznosť v zmysle prirodzeného prepájania známeho a neznámeho cez ich podobnosť a vizuálna podpora, ktorou chápeme dôsledné zabezpečenie konkrétnych modelov, ktoré umožňujú riešiť úlohy aj menej zdatným žiakom. Vybrané úlohy môžu slúžiť ako inšpirácia pre pedagogickú prax, a zároveň na obohatenie výučby v rámci pregraduálnej prípravy študentov elementaristov. Tvorbe výučbových zdrojov sa vo svojich práca venujú aj Prídavková, Šimčíková a Tomková (2016). Príspevok je čiastkovým výstupom grantového projektu KEGA č. 021PU-4/2015 Tvorba učebných zdrojov pre matematické pregraduálne vzdelávanie elementaristov v cudzom jazyku. Literatúra HAAPANIEMI, S. et al. Tuhattaituri 1a, Opettajan opas. Helsinki: Otava s. ISBN HAAPANIEMI, S. et al. Tuhattaituri 1b, Opettajan opas. Helsinki: Otava s. ISBN PRÍDAVKOVÁ, A., E.ŠIMČÍKOVÁ. Edukácia matematiky v slovenskom a cudzom jazyku aplikáciou hudobných komunikačných prostriedkov. In: EME - primární matematické vzdělávání v souvislostech. 21. ročník vědecké konference s mezinárodní účastí. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, s ISBN ŠIMČÍKOVÁ, E., B. TOMKOVÁ. Obsah matematického vzdelávania v oblasti práca s informáciami na Slovensku a vo vybraných krajinách. In: Edukacja na rozdrožu [elektronický zdroj]: czesc 1: nauczyciel - uczeń - edukacja. Opole: Wydawnictwo Instytut Slaski, ISBN CD-ROM, s. [ ]. Mgr. Anna Vašutová, PhD. Prešovská univerzita v Prešove, Pedagogická fakulta, Katedra matematickej edukácie Ul. 17. novembra č. 15, Prešov anna.vasutova@unipo.sk 153

154 GeoGebra a JavaScript GeoGebra and JavaScript Patrik Voštinár MESC: U70 Abstract The article deals with creating applets in mathematics software GeoGebra. GeoGebra contains a large number of tools that can be used in teaching. In case that users need some tool, that GeoGebra doesn't have, they can create this tool themselves. The article described the possibility of using JavaScript programming language in mathematics software GeoGebra. Key words: GeoGebra, JavaScript, programming. Abstrakt Článok sa zaoberá vytváraním appletov v matematickom programe GeoGebra. Program GeoGebra obsahuje veľké množstvo nástrojov, ktoré sa môžu použiť pri výučbe. V prípade, že používatelia potrebujú nástoj, ktorý GeoGebra neobsahuje, tak si ho môžu doprogramovať sami. V článku je opísaná možnosť použitia programovacieho jazyka JavaScript v matematickom programe GeoGebra. Kľúčové slová: GeoGebra, JavaScript, programovanie. 1. Úvod V súčasnej dobe je predmet matematika medzi žiakmi na základných a stredných školách menej populárny ako iné predmety. Spôsob výučby matematiky sa za posledných pár desiatok rokov veľmi nezmenil. Učitelia zvyčajne uvedú žiakov do problému, ukážu vzorce, vyriešia úvodné príklady a následne žiaci počítajú príklady, kým neprejdú na ďalšiu tému. Žiaci si často ani neuvedomujú, kedy to bude pre nich užitočné. Jedným z najvýraznejších trendov v posledných rokoch je zavádzanie informačno-komunikačných technológií do procesu vyučovania. Skúsenosti dokazujú, že využívanie týchto prostriedkov môže prispieť k zvýšeniu kvality vyučovania. Existuje viacero spôsobov, ako efektívne integrovať digitálne materiály do vzdelávacieho procesu. Viaceré univerzity napríklad používajú LMS systémy a e-learningové kurzy. Hlavnou výhodou takýchto kurzov je možnosť študovať kedykoľvek a kdekoľvek. Alternatívou je použitie kombinovaného vzdelávania (tzv. blended learning). Malatinská, Pokorný a Hlíc (2013) charakterizujú kombinované vzdelávanie, ako kombináciu klasického (prezenčného, face-to-face) a e-learningového vzdelávania, tak aby využili ich výhody. 154

155 Hanzel (2013) zdôrazňuje, že elektronické študijné materiály by nemali byť napísané klasickým spôsobom (definícia, veta, dôkaz), ale je nutné použiť dynamiku a interaktivitu. Pokorný (2013) vo svojom výskume, ktorý realizoval na vzorke 172 študentov v rokoch dokázal, že študenti, ktorí riešili matematické problémy s použitím interaktívnych prvkov boli úspešnejší, ako študenti, ktorí pri riešení nepoužívali interaktívne prvky. Jednou z možností, aby e-learningové kurzy obsahovali interaktívne prvky je vloženie appletov do kurzov. Napríklad pri vyučovaní geometrie je možné používať softvérové produkty patriace do skupiny tzv. dynamických geometrických systémov. U nás sú najčastejšie používané programy Cabri Geometria a GeoGebra (Bayerl, Žilková, 2015). 2. Dynamický geometrický softvér GeoGebra GeoGebra je matematický softvér, ktorý je voľne šíriteľný, multiplatformový, kompatibilný so systémom Moodle. Kompatibilný so systémom Moodle znamená, že applety sú funkčné priamo na stránke e-lekcie. Proces vloženia do e-lekcie je pomerne jednoduchý mal by ho zvládnuť bez problémov aj bežný používateľ. Tento softvér obsahuje veľké množstvo nástrojov, ktoré sa dajú využiť pri vyučovaní. V prípade, že používateľovi chýba nejaký nástroj, tak si ho môže doprogramovať sám. GeoGebra podporuje dva typy programovacích jazykov GGBScript a JavaScript. JavaScript je plnohodnotný programovací jazyk, ktorý sa používa najmä pri tvorbe webových stránok. Tento programovací jazyk je dosť rozšírený, na rozdiel od GGBScript - špecifického jazyka vytvoreného výlučne pre programovanie v GeoGebre. Naprogramovať funkčnosť môžeme, keď sa: klikne na nejaký objekt, aktualizuje časť objektu (zmení sa jeho hodnota), načíta súbor. Na naprogramovanie funkčnosti je potrebné otvoriť v GeoGebre okno Vlastnosti objektu a následne kliknúť na záložku Scripting. Táto záložka je zobrazená na obrázku

156 Obrázok 1. Okno s JavaScript metódami. Na prácu s objektami GeoGebry môžeme používať metódy objektu ggbapplet: ggbapplet.nazovmetody(parameter1, parameter2,..., parametern) Všetky metódy, ktoré sa dajú použiť pri programovaní sa nachádzajú na stránke GeoGebry Ukážka applet Viditeľnosť objektov Tento applet obsahuje tri tlačidlá, obrázok, posuvník, bod a text (pozri obrázok 2). V jednom okamihu môže byť stlačené iba jedno tlačidlo (text má červenú farbu). V prípade, že je stlačené tlačidlo1 : objekt text sa zobrazí a nastaví sa mu text Hodnota posuvníka bola vynulovaná, hodnota posuvníka sa nastaví na 0, zobrazí sa bod s jeho popisom popis tlačidla 1, ak bol obrázok viditeľný, tak ho nastav na neviditeľný a naopak. V prípade stlačenia tlačidlo2 : objekt text sa zobrazí a nastaví sa mu text Hodnota posuvníka je (aktuálna hodnota posuvníka), hodnota posuvníka sa zväčší o 2, zobrazí sa bod s jeho popisom popis tlačidla 2, ak bol obrázok viditeľný, tak ho nastav na neviditeľný a naopak. V prípade stlačenia tlačidlo3 : viditeľnosť objektu text sa zmení na neviditeľný,

157 viditeľnosť objektu posuvník sa zmení na neviditeľný, viditeľnosť objektu bod sa zmení na neviditeľný, ak bol obrázok viditeľný, tak ho nastav na neviditeľný a naopak. Obrázok 2. Applet Viditeľnosť objekt - stlačené tlačidlo tlačidlo1. Tento príklad slúži ako ukážka naprogramovania vlastnej funkčnosti pomocou jazyka JavaScript. Applet Viditeľnosť objektov aj so všetkými príkazmi je možné stiahnuť na stránke GeoGebry 2. Na obrázku 1 je zobrazené skriptovacie okno so všetkými príkazmi, ktoré sa majú vykonať, v prípade stlačenia tlačidla tlačidlo1. 3. Záver Vzdelávanie je zložitý proces, ktorého kvalita a efektívnosť závisí nielen od obsahu vzdelávania, ale aj od foriem a metód, ktoré sa v tomto procese použijú. Jednou z možných foriem je začlenenie IKT do procesu vzdelávania. Program GeoGebra je na základných a stredných školách na Slovensku pomerne rozšírený. Tento program má samozrejme svoje výhody a aj nevýhody. Jednou z najväčších nevýhod je obmedzené množstvo nástrojov, ktoré sa môžu použiť. Tento problém sa dá v GeoGebre vyriešiť napríklad naprogramovaním si vlastnej funkčnosti, ako sme to ukázali v tomto príspevku. Príspevok bol spracovaný ako súčasť projektu KEGA č. 003TTU-4/2015 Elektronické kurzy pre vyučovanie matematiky na základných školách a v prvých 4 ročníkoch osemročných gymnázií

158 Literatúra HANZEL, P. Dynamika a interaktívnosť e-študijných materiálov, In Matematika v primárnej škole, Rôzne cesty, Rovnaké ciele, pp , ISBN MALATINSKÁ, S., POKORNÝ, M., HÍC, P. Efficiency of Blended Learning in Teaching Mathematics at Primary School. Information, Communication and Education Application, Advances in Education Research, Volume 85, 2015, s ISBN , ISSN POKORNÝ, M. Interactive Elements Can Increase the Efficiency of e-learning Course. In Information, Communication and Education Application, Advances in Education Research, Volume 30, 2013, s ISSN , ISBN BAYERL, E., ŽILKOVÁ, K. Dizajn interaktívnej elektronickej zbierky úloh z matematiky. In 9. didaktická konference s medzinárodní účastí. Brno : Masarykova univerzita, 2015, s ISBN BAYERL, E., ŽILKOVÁ, Interactive Textbooks in Mathematics Education What Does It Mean for Students?. In 15th Conference on Applied Mathematics Aplimat Bratislava : Nakladateľstvo STU, s ISBN Mgr. Patrik Voštinár Univerzita Mateja Bela, Fakulta prírodných vied Tajovského 40, , Banská Bystrica patrik.vostinar@umb.sk 158

159 Studentský pohled na praktickou složku učitelské přípravy v matematice 1. stupně Practical Aspects of Preparation in Mathematics Teaching for First Level of Primary Schools Evaluated by Undergraduate Students Renáta Zemanová, Darina Jirotková MESC: D40 Abstract In this paper, the first part of the research focused on identifying incentives contributing to the development of teachers beliefs of primary school students related to the mathematics teaching attitude is presented. Using method of questionnaire research, data are collected. Those related to their experience, attitudes and needs are processed in different periods of their professional development. The goal of the research is to compile and elaborate foundation for the conception of effective changes in professional development of the undergraduate primary school teacher training at faculties of education at University of Ostrava and at Charles University. Key words: Faculty teacher, math teacher, professional practice, supervising teacher, teacher preparation. Abstrakt Článek seznamuje s první částí výzkumu zaměřeného na hledání incentiv přispívajících k posunům v pedagogickém přesvědčení studentů učitelství 1. st. ZŠ, které se týkají přístupu k vyučování matematice na 1. stupni ZŠ. Metodou dotazníkového šetření jsou získávána výzkumných data. Z nich jsou nyní zpracovávány údaje o zkušenostech, názorech, postojích a potřebách budoucích studentů v různých fázích profesní praxe. Cílem výzkumu je získat a zpracovat podklady pro koncipování efektivní změny v pojetí profesní pregraduální přípravy budoucích učitelů 1. stupně ZŠ pedagogických fakult Ostravské i Karlovy Univerzity. Klíčová slova: Fakultní učitel, učitel matematiky, profesní praxe, vedoucí učitel, příprava učitele. 1. Úvod Pojetí praktické přípravy budoucích učitelů se v rámci jednotlivých učitelských fakult liší. Na Pedagogické fakultě Ostravské univerzity (PdF OU) dlouhodobě fungoval model, kdy všechny profesní praxe oboru Učitelství pro 1. stupeň garantovala Katedra preprimární a primární pedagogiky. S novou akreditací přešla garance průběžné praxe na oborové katedry, přičemž žádný jednotný koncept neexistuje. Katedra matematiky s didaktikou (KMD) aktuálně připravuje rozsáhlou proměnu koncepce průběžné praxe z matematiky, a to jak z hlediska rozsahu, tak obsahu. Cílem změn je zvýšení provázanosti teoretické a praktické přípravy s důrazem na její praktickou složku. 159

160 Pro úspěch této práce je nutné znát názory a potřeby studentů, jichž se praxe týká. KMD PdF OU se inspirovala projektem Katedry matematiky a didaktiky matematiky (KMaD) Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy (PdF UK). V jeho rámci zde dlouhodoběji zpracovávají 1) reflexe učitelů, v jejichž třídách praxe probíhá, 2) studentů, kteří se na praxi připravují a 3) studentů, kteří již praxi absolvovali. Cílem je identifikace incentiv, tedy podnětů, popudů, pohnutek či motivací přispívajících k posunům jak učitelova, tak studentova přístupu k vyučování matematice. Nástrojem získání tohoto souboru jsou dotazníky pro studenty a rozhovory s učiteli. Dotazníky KMD PdF OU jsou v mnoha položkách shodné s dotazníky KMaD PdF UK, což umožní závěrečnou komparaci výsledků. Tato umožní odlišit jevy závislé na konkrétním vysokoškolském prostředí od jevů společných. Naše práce se opírá o několik teoretických zdrojů. Především je to studie nástrojů pro identifikaci vyučovacího stylu, analyzující dvacet parametrů týkajících se učitelského přesvědčení (Jirotková, 2012) a publikace o změnách vyučovacího stylu (Hejný, 2012). Principy konstruktivismu nejblíže k aspektu našeho výzkumu představuje publikace (Davis, Maher, Noddings, 1990). Výzkum navazuje na předchozí práce autorů a dalších členů KMaD PdF UK a KMD PdF OU, týkající se pregraduální přípravy učitelů v souvislosti se změnou role ve vyučování orientovaném na budování schémat (Hejný, Zemanová, 2013), (Jirotková, Krpec, 2013), (Zemanová, 2013). Další část zde prezentovaného výzkumu je připravována ve zprávě (Krpec, Jirotková, 2017). 2. Dotazníkové šetření na PdF OU Šetření probíhalo od prosince 2016 do ledna 2017, zúčastnilo se ho 36 studentů. Z toho 11 studentů 4. ročníku a 25 studentů 3. ročníku. Studenti 4. ročníku absolvovali jeden semestr náslechů a dva semestry výstupů, všechny matematické předměty studia s výjimkou didaktiky aritmetiky. Studenti 3. ročníku do té doby neabsolvovali v matematice žádné náslechy a výstupy, ani didaktické předměty. Dotazník obsahoval otázky: a. Jaké máte zkušenosti z průběžné praxe z matematiky? b. V 5. ročníku (resp. 4. ročníku) vás čeká souvislá (resp. průběžná) praxe z matematiky. Co od této praxe očekáváte? Co byste chtěl/a z praxe získat? Kde očekáváte, že budete potřebovat pomoci? Čeho se před touto praxí obáváte? Na co se před touto praxí těšíte? c. Jak si během souvislé praxe představujete svou spolupráci s třídním učitelem? Co od něj očekáváte? d. Jak si během souvislé praxe představujete svou spolupráci s fakultním učitelem didaktikem? Co od něj očekáváte? e. Posuďte vaše silné a slabé stránky pro vyučování matematice na 1. stupni ZŠ. Uvádíme příklad odpovědi: ad a) Myslím, že to bylo pro studenty/studentky, kteří učili matematiku metodou prof. Hejného nesnadné v tom, že praxe byla ve studijním programu dříve, než si prošli nezbytnou didaktikou, která je intenzivněji zařazena až ve 4. ročníku. Nicméně je výborné, že jsme měli možnost podívat se do škol, kde je tato metoda zavedena a na vlastní oči jsme viděli, že pro děti učící se tímto způsobem je matematika mnohem zábavnější a nestresující, jak bývá v klasické metodě, kdy se učitelé zaměřují spíš na výsledek než na samotný proces vedoucí k výsledku. 160

161 fakultní učitel ZŠ učitel obecně fakultní učitel ZŠ učitel obecně fakultní učitel ZŠ učitel obecně Primárne matematické vzdelávanie - teória, výskum a prax Tále 2017 ad b) Očekávání: Očekávám více zkušeností pro budoucí praxi, z praxe bych si chtěla hlavně dobrý pocit z toho, že jsem dětem ukázala, že jde, aby matematika byla také zábavná. Myslím si, že budu potřebovat pomoct hlavně v oblasti, jak dětem jednotlivá didaktická prostředí vysvětlit, abych náhodou neprozradila něco, co mají objevit oni. Obavy: Pravděpodobně vyučující od konkrétní třídy, že by se jí nová metoda nemusela zamlouvat, když je zvyklá na běžnou. Těšení: Na děti, protože praxe je velmi málo ad c) Kritiku, abych věděla, na čem více zapracovat. ad d) Tipy na webové stránky, které mi při praxi mohou pomoci, případné nápady, jak si mohu pomůcky vyrobit sama, když konkrétní škola nemá. ad e) Moje slabá stránka je nejistota, protože jsem v matematice nikdy nevynikala, nicméně metoda prof. Hejného je zábavná a umožňuje zažít úspěch všem, takže si myslím, že má silná stránka bude spočívat ve vytváření různých úkolů a pomůcek třeba i spolu s dětmi na jednotlivá prostředí. 3. Analýza výsledků V odpovědích, které studenti uvedli v dotaznících, jsme identifikovali společné jevy a na základě tohoto kritéria jsme vytvořili třídy jevů. a. Zkušenosti: dále jsme členili na příběhy s dětmi, poučení, povzbuzují zkušenosti, zkušenosti budící pochybnost. b. Osobní profesní rozvoj (OSR): dále jsme třídili na moje pochybnosti, můj strach, moje slabé stránky, moje silné stránky. c. Vlastní praxe podle toho, koho se jev týká: dále jsme třídili na obecně, fakultní učitel, ZŠ učitel. d. Vlastní praxe podle toho, čeho se jev týká: dále jsme třídili na nezvládá, nabídne, zvládá. Každou odpověď studenta je pak možné rozdělit na jednotlivé úseky (odpovídající sledovanému jevu) a tyto zařadit do příslušné třídy. Výsledná matice má záhlaví, jak uvádíme v tabulce 1. Do jednotlivých polí matice pak umisťujeme úseky odpovědí studentů. Cílem je sledování výskytu jevu a četnost jeho zastoupení v odpovědích studentů. Tabulka. 1. student zkušenosti OSR praxe nezvládá nabídne zvládá atd. Konkrétní ilustrace na vybraném jevu uvádí R. Krpec (Krpec, 2017). Zde aktuálně náš výzkum končí. V další fázi zamýšlíme získaná data analyzovat elektronicky v procesu, který umožní ke každému identifikovanému jevu přiřadit všechny korespondující odpovědi. Můžeme tak pro každý jev přesně určit jeho četnost. Výhodou takto připraveného souboru je relativně snadná možnost porovnávání různých skupin respondentů, např. v různých fázích profesní praxe nebo v jednotlivých studijních skupinách. Dokážeme tak identifikovat jevy společné a jevy výjimečné jen 161

162 některým skupinám respondentů. Toto umožní formulaci incentiv v závislostech na vnějších podmínkách a jejich porovnání. 4. Závěr Výsledky šetření zamýšlíme následně porovnat s výsledky šetření probíhajícího na KMaD PdF UK. Dokážeme tak identifikovat jak jevy oběma fakultám společné, tak specifické a zamýšlet se nad vlivem prostředí, např. portfolia matematických předmětů, výukovým stylem vysokoškolských učitelů, škol, kde studenti vykonávají praxi nebo vedoucích učitelů praxe. Získaná zjištění pak implementovat do připravovaných organizačních změn pregraduální přípravy učitele matematiky na 1. stupni ZŠ. Literatura DAVIS, R.B., MAHER, A.C, NODDINGS. N. (eds.): Journal for Research in Mathematics Education. Monograph No. 4. Constructivist Views on the Teaching and Learning of Mathematics. NCTM, HEJNÝ, M. Pedagogické schopnosti učitele v matematice příběh. In KOHNOVÁ, Jana et al. Profesní rozvoj učitelů a cíle školního vzdělávání. Praha: UK v Praze, PedF, 2012, s HEJNÝ, M., ZEMANOVÁ, R. Vyučování orientované na budování schémat v praxi. In Blanka Tomková, Marek Mokriš (Eds.) Matematika v primárnej škole rôzne cesty, rovnaké ciele. Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou. Prešov: Prešovská univerzita v Prešově, Pedagogická fakulta, 2013, s JIROTKOVÁ, D. Tool for diagnosing the teacher's educational style in mathematics : development, description and illustration. Orbis Scholae, No. 2, vol. 6, 2012, pp JIROTKOVÁ, D., KRPEC. R. Vyučování orientované na budování schémat v přípravě učitelů. In Blanka Tomková, Marek Mokriš (Eds.) Matematika v primárnej škole rôzne cesty, rovnaké ciele. Zborník príspevkov z vedeckej konferencie s medzinárodnou účasťou. Prešov: Prešovská univerzita v Prešově, Pedagogická fakulta, 2013, s KRPEC, R. JIROTKOVÁ, D. Očekávání studentů od praktické složky v přípravě budoucích učitelů 1. stupně ZŠ. V přípravě. ZEMANOVÁ, R. Vyučování metodou budování schémat ostravská zkušenost v učitelské přípravě a praxi. In: Dva dny s didaktikou matematiky Praha: Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova v Praze, 2013, s RNDr. Renáta Zemanová, Ph.D. Katedra matematiky s didaktikou Pedagogická fakulta, Ostravská univerzita Mlýnská 5, Ostrava 1 renata.zemanova@osu.cz Doc. RNDr. Darina Jirotková, Ph.D. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Pedagogická fakulta, Univerzita Karlova M. D. Rettigové 4, Praha 1 darina.jirotkova@pedf.cuni.cz 162

163 Analýza predstáv štvrtákov o kruhoch The analysis of 4th graders' conceptions of circles Katarína Žilková MESC: G23, D73 Abstract In the project VEGA 1/0440/15 Geometric conceptions and misconceptions of children in preschool and school age we are concerned with the perception of planar geometric shapes by children and we investigate which attributes of shapes are preferred in their identification. The article contains results of investigation related to the perception of circles of children in fourth grade of the primary school. Key words: a circle, a model, a non-model, van Hiele theory, children in fourth grade of the primary school. Abstrakt V rámci riešenia projektu projektu VEGA 1/0440/15 Geometrické koncepcie a miskoncepcie detí predškolského a školského veku sa zaoberáme otázkami, ako vnímajú deti/žiaci rovinné geometrické útvary a zisťujeme, ktoré atribúty útvarov preferujú pri ich identifikácii. Príspevok obsahuje výsledky zistení týkajúcich sa vnímania kruhov žiakmi 4. ročníka základnej školy. Kľúčové slová: kruh, model, ne-model, van Hiele, žiak 4. ročníka. 1. Úvod Optimalizácia matematického vzdelávania je založená na dôkladnej analýze súčasného stavu v danej problematike. Ak sa v ostatnom období hovorí o minimalizovanej geometrickej príprave žiakov školského veku, tak je vhodné najskôr zistiť aktuálny stav schopností žiakov a pokúsiť sa reflektovať tento stav pri príprave dokumentov pre matematické vzdelávanie. V rámci riešenia projektu projektu VEGA 1/0440/15 sa zaoberáme otázkami, aké predstavy majú deti predškolského a školského veku o rovinných geometrických útvaroch a zisťujeme ich prekoncepty a koncepty. Cieľom je aj identifikovať najčastejšie miskoncepcie a zistiť mieru ich ustálenosti, aby sa mohli navrhnúť účelné a efektívne didaktické edukačné postupy v geometrickom vzdelávaní. Príspevok obsahuje výsledky zistení týkajúcich sa predstáv žiakov 4. ročníka základnej školy o kruhu. 163

164 2. Výskumná vzorka a nástroj Výskumný súbor tvorilo 345 žiakov 4. ročníka základných škôl, prevažne z oblastí situovaných na severe a severovýchode Slovenska. Subjekty výskumu boli vyberané na základe dostupnosti a súbor pozostával aj z bežnej populácie, aj z populácie detí zo sociálne znevýhodneného prostredia. Krajové zastúpenie subjektov výskumu je uvedené v tabuľke 1. Tabuľka 1. Krajové zastúpenie výskumného súboru. kraj počet žiakov Bansko-Bystrický 11 Prešovský 80 Košický 57 Žilinský 190 Trenčiansky 7 spolu 345 Výskumným nástrojom bol neštandardizovaný test vytvorený jednak na základe obsahu ŠvP pre matematiku primárneho vzdelávania, ale aj na základe teoretických východísk van Hiele poznávacieho procesu v geometrii. Napriek tomu, že test nie je štandardizovaný, po analýze získaných údajov sa ukázalo, že vykazuje známky kvalitného testu s diagnostickým potenciálom. Hlavné zameranie testu bolo cielené na zisťovanie predstáv a chybných predstáv štvrtákov o rovinných geometrických útvaroch. Rozlišovali sme schopnosť žiakov pomenovať útvar, identifikovať ho (rozlíšiť ho medzi inými geometrickými útvarmi), poznať jeho elementárne vlastnosti a vytvoriť jeho model. V príspevku predkladáme výber zistení týkajúcich sa problémov spojených s identifikáciou kruhu na základe grafickej reprezentácie. 3. Analýza dát V rámci analýzy získaných údajov sme si kládli niekoľko cieľov. Jedným z nich bolo zistiť náročnosť správnej identifikácie kruhov a porovnať ju s náročnosťou identifikácie iných geometrických útvarov (trojuholník, štvorec a obdĺžnik). Ďalším cieľom bolo zistiť úspešnosť a náročnosť rozlišovania medzi modelmi a ne-modelmi kruhov, resp. vytvoriť rozdelenie grafických reprezentácií modelov a ne-modelov podľa obtiažnosti pre žiaka 4. ročníka základnej školy. Prostriedkami štatistickej analýzy (nielen na základe úspešnosti žiakov) sa potvrdil náš predpoklad, že žiaci 4. ročníka ZŠ identifikujú kruhy v porovnaní s trojuholníkom, štvorcom a obdĺžnikom najľahšie, a teda hodnotíme ich z hľadiska rozlišovania ako geometrické objekty najmenej náročné pre žiakov. V tomto konštatovaní iste zohráva úlohu aj skutočnosť, že kým pri iných geometrických útvaroch je pri identifikácii významná aj poloha útvaru, pri kruhu je tento atribút eliminovaný. V ďalšej analýze sa budeme venovať výsledkom vyhodnotenia toho, ako žiaci identifikujú grafické reprezentácie rôznych útvarov ako modely a ne-modely kruhov. Základom skúmania bola predloha (obrázok 1), na ktorej boli tri modely kruhov rôznej veľkosti a ostatné útvary, ktoré mohli holisticky pripomínať žiakom kruh. Každý žiak mal vyznačiť, ktoré útvary na obrázku nie sú kruhy, teda mal identifikovať tzv. nemodely kruhov. Túto časť testu budeme v ďalšom texte označovať ako subtest. 164

165 Odpovede žiakov na každú z položiek sme kódovali binárne (0 nesprávna odpoveď, 1 správna odpoveď), čo umožnilo získať výsledky pre každý z útvarov A až P zvlášť. Obrázok 1. Predloha na identifikáciu modelov a ne-modelov kruhov. 4. Výsledky: modely a ne-modely kruhov Úspešnosť žiakov v kontexte správnej identifikácie je uvedená v tabuľke 2. Posledné písmeno zakódovanej položky označuje príslušný útvar (pozri obrázok 1). Teda napríklad Ci5A označuje prvý útvar na predlohe označený písmenom A. Reliabilita subtestu odhadnutá Cronbachovou alfou je 0,82, a teda vnútorná konzistencia položiek v rámci uvedenej predlohy je veľmi dobrá. Na základe úspešnosti v identifikácii útvaru môžeme konštatovať, že najľahšie a najspoľahlivejšie bol identifikovaný kruh strednej veľkosti, na predlohe označený ako útvar C. Najproblematickejším útvarom z hľadiska identifikácie ako modelu alebo ne-modelu kruhu bol útvar J, pri ktorom žiaci dosiahli mimoriadne nízku úspešnosť. Tabuľka 2. Úspešnosť v identifikácii útvaru. položka úspešnosť položka úspešnosť Ci5A 0,96 Ci5J 0,45 Ci5B 0,95 Ci5K 0,97 Ci5C 0,98 Ci5L 0,97 Ci5D 0,96 Ci5M 0,79 Ci5E 0,82 Ci5N 0,94 Ci5F 0,80 Ci5O 0,96 Ci5G 0,80 Ci5P 0,92 Ci5H 0,84 Zamerajme sa teraz podrobnejšie a osobitne na kategóriu modelov a kategóriu nemodelov kruhov. Cieľom bolo zistiť, ktoré útvary spôsobujú žiakom väčšie problémy v identifikácii, teda ktoré vlastnosti útvarov preferujú pri rozlišovaní. Výsledky pre modely kruhov Reliabilita položiek, ktoré tvorili modely kruhov, odhadnutá Cronbachovou alfou je 0,73, čo je prijateľná hodnota. Celkovú reliabilitu tejto časti testu znižuje iba položka Ci5N, po ktorej odstránení by alfa dosiahla hodnotu 0,