Tvarovač riadiacich signálov: poznámka k voľbe periódy vzorkovania a minimalizácia chýb spôsobených kvantovaním času.

Transcription

1 Rok / Year: Svazek / Volume: Číslo / Number: Tvarovač riadiacich signálov: poznámka k voľbe periódy vzorkovania a minimalizácia chýb spôsobených kvantovaním času. Control signal shaping: note the choice of the sampling period and minimizing errors caused by quantization of time. Juraj Miček, Oldřich Kovář {juraj.micek,oldrich.kovar}@fri.uniza.sk Fakulta riadenia a informatiky ŽU v Žiline Abstrakt: Príspevok je venovaný otázkam implementácie tvarovača riadiacich signálov. Napriek skutočnosti, že teória návrhu tvarovača riadiacich signálov je v súčasnosti dobre rozpracovaná, niektoré otázky týkajúce sa implementácie navrhnutých metód pomocou číslicových prostriedkov nie sú v odbornej literatúre dostatočne analyzované. Uvedený príspevok je preto venovaný práve vybraným otázkam implementácie tvarovača riadiacich signálov súvisiacim s voľbou vhodnej frekvencie vzorkovania. Abstract: The article is devoted to the issues of implementation of the control signal former. Despite the fact that the theory of design control signal former is now well known, some of the issues related to implementation of the proposed methods using digital resources are not sufficiently analyzed in the literature. Paper is therefore dedicated just to selected issues of implementation of control signals former associated with choosing an appropriate sampling frequency.

2 TVAROVAČ RIADIACICH SIGNÁLOV: POZNÁMKA K VOĹBE PERIÓDY VZORKOVANIA A MINIMALIZÁCIA CHÝB SPOSOBENÝCH KVANTOVANÍM ČASU Juraj Miček 1, Oldřich Kovář 1, 1 Fakulta riadenia a informatiky ŽU v Žiline {juraj.micek,oldrich.kovar}@fri.uniza.sk Abstrakt Príspevok je venovaný otázkam implementácie tvarovača riadiacich signálov. Napriek skutočnosti, že teória návrhu tvarovača riadiacich signálov je v súčasnosti dobre rozpracovaná, niektoré otázky týkajúce sa implementácie navrhnutých metód pomocou číslicových prostriedkov nie sú v odbornej literatúre dostatočne analyzované. Uvedený príspevok je preto venovaný práve vybraným otázkam implementácie tvarovača riadiacich signálov súvisiacim s voľbou vhodnej frekvencie vzorkovania. 1 Úvod Tvarovanie riadiacich signálov je metóda, ktorá sa začala používať pri ovládaní slabo tlmených rezonančných systémov na prelome 80-tych a 90-tych rokov, najmä pri riadení pohybu portálových žeriavov. Uvedená metóda mala zaistiť ovládanie pohybu žeriavu tak, aby nedochádzalo k rozkmitaniu zaveseného bremena. Táto typická aplikácia tvarovača riadiacich signálov je popísaná v [1], [5] a [8]. S postupom času sa stretávame s ďaľšími zaujímavými aplikáciami medzi ktoré patria riadenie pohybu rýchlovýťahov[2], riadenie pohybu dopravníkových pásov výrobných liniek, najmä v potravinárskom priemysle-plniace linky [6] a podobne. Vo všeobecnosti môžeme uviesť, že s problémom tvarovania riadiacich signálov sa stretneme vždy pri riadení polohovavacích systémov s pružnými prvkami. S rozvojom mechatronických systémov sa problematika tvarovača riadiacich signálov opätovne dostáva do popredia. Úlohou tvarovača je upraviť frekvenčné spektrum riadiacich signálov tak, aby v oblasti rezonančného prevýšenia nedošlo k rozkmitaniu riadenej sústavy. Na základe uvedeného môžeme konštatovať, že sa v podstate jedná o návrh sériového korekčného člena, ktorého úlohou je upraviť frekvenčné vlastnosti riadenej sústavy. Obr. 1: Zapojenie tvarovača vstupných signálov Predpokladajme, že korekčný člen bude realizovaný pomocou číslicových prostriedkov a riadená sústava je charakterizovaná obrazovým prenosom v tvare: F (s) = K T 2 s 2 + 2bT s + 1, (1) kde b predstavuje pomerné tlmenie systému a T je časová konštanta. Úlohou je navrhnúť vhodné metódy úpravy riadiaceho signálu, také, aby potlačili reziduálne kmity sústavy pri prijateľnom čase prechodového procesu. Vo všeobecnosti je vstupná veličina do sústavy u s (t) daná konvolúciou vstupnej veličiny do tvarovača u (t) a jeho impulznou odozvou y (t): u s (t) = u (t) y (t). (2) Impulznú odozvu tvarovača môžeme napísať v tvare: y (t) = N A i δ (t t i ), (3) i=1 kde N je počet kompenzovaných pólov sústavy. Ak má mať tvarovaný výstup rovnakú konečnú hodnotu ako netvarovaný (normovaný tvarovač), potom musí platiť, že súčet amplitúd všetkých impulzov sa má rovnať jednej: N A i = 1. (4) i=1 Poznamenajme, že ak amplitúdy impulzov A i nie sú obmedzené, potom pri minimalizácii celkového času prechodu budú nadobúdať nekonečne veľké hodnoty. Pri praktických riešeniach sa najčastejšie stretneme s dvoma obmedzujúcimi podmienkami: - amplitúdy impulzov môžu nadobúdať hodnoty z rozsahu ±A max, - amplitúdy impulzov môžu nadobúdať len nezáporné hodnoty A i 0. Je zrejmé, že ak amplitúdy všetkých impulzov budú nezáporné, potom pri rešpektovaní podmienky (4), musia ležať v intervale 0 A i 1. S rešpektovaním uvedených 11 1

3 obmedzení, riešením rovníc (3) dostaneme pre min (t n ) riešenie popisujúce kladný ZV ( zero-vibration) tvarovač [1], [11] v tvare: A i = 1 1+K K 1+K, (5) t i 0 0.5T D kde T D = 2πT 1 b 2 a K = e bπ 1 b 2 Obr. 2: Amplitúdová frekvenčná a prechodová charakteristika sústavy s prenosom (1) ZV tvarovač (5) môže byť v časovej oblasti charakterizovaný impulznou odozvou: kde y (t) = A 1 δ (t t 1 ) + A 2 δ (t t 2 ), t 1 = 0 a t 2 = 0.5T D Popísaný ZV tvarovač je však pomerne citlivý na zmeny parametrov riadenej sústavy, najmä na zmeny vlastnej kruhovej rýchlosti sústavy. Z tohto dôvodu boli vyvinuté robustnejšie tvarovače vstupných signálov. Spomeňme aspoň najznámejší ZV D ( zero vibration derivate). Pri odvodení ZV D tvarovača sa predpokladá, že aj derivácia funkcie V (ω, b) je rovná nule. Potom riešenie môže byť uvedené v tvare: A i t i = 1 (1+K) 2 2K K 2 (1+K) 2 (1+K) T D T D (6) Zo vzťahu (6) je zrejmé, že zvýšenie robustnosti systému je penalizované zvýšením času prechodu systému. Čas prechodu vzrástol z hodnoty 0.5T D na hodnotu T D. 2 Diskrétny tvarovač V predchádzajúcej časti bol uvedený návrh tvarovača riadiacich signálov v časovej oblasti. Problém potlačenia reziduálnych kmitov pri riadení slabo tlmených sústav je možné úspešne riešiť aj s pomocou návrhu vhodných diskrétnych systémov ( korekčných členov), ktoré upravia spektrum riadiacich signálov tak, aby na výstupe riadenej sústavy boli potlačené reziduálne kmity sústavy. Je zrejmé, že túto úlohu je možné vyriešiť vhodným umiestnením núl Z-prenosovej funkcie F (z) korekčného člena do tých bodov z-roviny, ktoré zodpovedajú pólom riadenej sústavy. Pre jednoduchosť analyzujme prípad spojitej sústavy druhého rádu s prenosovou funkciou (1). Na obrázku 2 je znázornená prechodová charakteristika a amplitúdová frekvenčná charakteristika sústavy (1) s časovou konštantou T = 0.5s, koeficientom tlmenia b = 0.1 a zosilnením K = 1.2. Póly spojitej sústavy s prenosom (1) sú v tvare: p 1,2 = b T ± j 1 b 2 T (7) Nech nuly tvarovacieho obvodu ( diskrétneho dynamického systému), ktoré kompenzujú vplyv pólov sústavy s prenosom (1) sú komplexne združené a sú v tvare: z 1,2 = re ±jϕ (8) Ďalej nech pre komplexnú premennú platí: z = e stv, (9) kde T v je perióda vzorkovania diskrétneho signálu a s je komplexná Laplaceova premenná. Potom, s rešpektovaním vzťahu (9) sa póly spojitého systému (1) z s-roviny transformujú do nasledujúcich bodov z-roviny: p d1,2 = e Tv b T e ±j Tv 1 b 2 T (10) Práve do týchto bodov je vhodné umiestniť nuly tvarovacieho člena. Poloha pólov sústavy (núl) tvarovača v z-rovine je závislá od parametrov sústavy T, b a periódy vzorkovania diskrétneho tvarovača T v. Geometrické miesto núl tvarovača pre sústavu s prenosom (1) a parametrami T = 0.5 a b = 0.1 je uvedené na obrázku 3. Pripomeňme, že nuly tvarovača musia byť tvorené komplexne združeným párom a ich poloha je určená uvedenými krivkami a konkrétnou periódou vzorkovania tvarovacieho člena T v. Prenosová funkcia tvarovača bude potom v tvare: F (z) = C ( 1 z 1 z 1) ( 1 z 2 z 1) (11) Z dôvodov normovania tvarovača ( zisk v ustálenom stave je rovný jednej ) sa v prenosovej funkcii vyskytuje konštanta C. Poznamenajme tiež, že z dôvodu kauzality navrhovaného systému boli do počiatku súradnicového systému doplnené dva póly. Prenosovú funkciu tvarovacieho člena môžeme napísať v tvare: kde. F (z) = C ( a 0 + a 1 z 1 + a 2 z 2), (12) a 0 = 1, a 1 = (z 1 + z 2 ), a 2 = z 1 z 2, C = 1 (a 0 + a 1 + a 2 ) 11 2

4 Pre zvolené konkrétne hodnoty sústavy (1) ( b = 0, 1 a T = 0, 5 ) dostaneme prenosovú funkciu kladného ZV tvarovača vo forme: F (z) = ( z 2) (17) Perióda vzorkovania zo vzťahu (15) je T v = 0.789s. Obr. 3: Geometrické miesto núl tvarovača v z-rovine Z obrázku 3 je zrejmé, že vhodnou voľbou periódy vzorkovania T v je možné meniť polohu núl z-prenosovej funkcie tvarovacieho člena F (z). Navrhnime kladný ZV tvarovač k sústave (1). Ak predpokladáme kladný tvarovač ( výstupný signál tvarovača u s 0), potom perióda vzorkovania T v musí byť zvolená tak, aby a 1 0. Potom musí platiť (z 1 + z 2 ) 0. Pretože nuly z 1 a z 2 sú komplexne združené, súčet (z 1 + z 2 ) = 2Re (z 1 ). Potom musí pre kladný ZV tvarovač platiť: Re (z 1 ) 0 (13) a pre periódu vzorkovania, s rešpektovaním vzťahu (10), platí relácia: kπt 2 1 b 2 T v 3πkT 2 1 b 2 pre k = 1, 2, 3... (14) Ak hľadáme riešenie s najkratším časom regulačného pochodu, tak k = 1 a pre periódu vzorkovania zvolíme krajnú hranicu: T v = Prenos tvarovača (12) prejde na tvar: πt 2 1 b 2 (15) F (z) = C ( 1 + a 2 z 2) (16) 1 b 2 a 2 = z 1 z 2 = e 2bTv T = e πb a pre hodnotu C platí: C = a 2 3 Zmena periódy vzorkovania tvarovača Perióda vzorkovania T v (15) je v praktických prípadoch príliš veľká. Zo Shannonovej vety o výbere vzorkovacej frekvencie musí byť vstupný signál u(t) diskrétneho tvarovača frekvenčne obmedzený maximálnou frekvenciou f max = 1 2T v. Z uvedeného dôvodu je účelné modifikovať prenosovú funkciu tvarovacieho člena tak, aby bolo možné použiť podstatne menšiu periódu vzorkovania pri zachovaní požadovaných vlastností diskrétneho tvarovača. Ak označíme periódu vzorkovania vypočítanú na základe vzťahu (15) T v a novú periódu vzorkovania označíme ako T nv, pričom platí T nv < T v, potom je možné zaviesť koeficient zvýšenia vzorkovacej frekvencie KZV, pre ktorý platí: ( ) Tv KZV = round (18) T nv V ideálnom prípade je vhodné voliť hodnotu T nv tak, T aby bol podiel v T nv celé číslo. Prenosová funkcia tvarovača (12) môže byť potom prepísaná na tvar: F (z) = C ( a 0 + a 1 z KZV + a 2 z 2KZV ) (19) Prípadne prenosová funkcia kladného ZV bude v tvare: tvarovača F (z) = C ( a 0 + a 2 z 2KZV ) (20) KZV -násobné zvýšenie vzorkovacej frekvencie diskrétneho tvarovača spôsobí, že počet núl tvarovača sa KZV - násobne zvýši. Uvedené tvrdenie pre konkrétny tvarovač (17) a KZV = 5 je ilustrované na obrázku 4. Z obrázka 4 je zrejmé, že nuly z 1 a z 9 kompenzujú vplyv pólov sústavy. Ležia práve na priesečníku geometrického miesta núl tvarovača a kružnice so stredom v počiatku komplexnej roviny a polomerom r = e Tnv b T. Prenosová funkcia tvarovača pri 5-násobnom zvýšení vzorkovacej frekvencie je v tvare: F (z) = ( z 10) (21) Pre periódu vzorkovania teraz platí: T nv = Tv 5 = s. 4 Overenie navrhnutého tvarovača Pri overení navrhnutého tvarovača sme vychádzali z nasledujúcich predpokladov. Riadená sústava je slabo tlmená sústava druhého rádu s obrazovým prenosom: F (s) = K T 2 s 2 + 2bT s + 1 (22) 11 3

5 Obr. 5: Odozva kmitavej sústavy na jednotkový skok polohy bez tvarovacieho člena a s navrhnutým diskrétnym tvarovačom Obr. 4: Rozmiestnenie núl diskrétneho tvarovača (21) kde T = 0.5, K = 1.2 a b = 0.1. Na úpravu riadiacich signálov použijeme ZV kladný tvarovač, ktorého prenos je v tvare: F (z) = ( z 2) Perióda vzorkovania diskrétneho tvarovača je na základe vzťahu (15) T v = 0.789s. Nech nová perióda vzorkovania T nv je daná technickými prostriedkami, pomocou ktorých sa diskrétny tvarovač realizuje a je rovná 10ms. Potom koeficient zvýšenia vzorkovacej frekvencie KZV je daný vzťahom: ( ) Tv KZV = round (23) T nv KZV = 79. Výsledná prenosová funkcia diskrétneho tvarovača je potom v tvare: F (z) = ( z 158) Perióda vzorkovania T nv = 10ms. Na obrázku 5 sú ilustrované: - priebeh vstupnej veličiny v tvare jednotkového skoku polohy u(t) a odozva sústavy y(t), - priebeh tvarovaného signálu u s (t) a odozva sústavy na tvarovaný jednotkový skok polohy. Odozva sústavy na tvarovaný vstupný signál u s (t), znázornená čiernou farbou, sa vyznačuje malým prekmitom. Tento jav je spôsobený zaokrúhlením teoreticky určenej hodnoty periódy vzorkovania (T nv = Tv KZV = = 9, ) na 10ms. Stretávame sa s chybou kvantovania času a jej nepriaznivými dôsledkami. Uvedený problém je možné potlačiť napríklad zvýšením rádu tvarovača, čo však spomalí vlastný prechodový dej. Pripomeňme, že diskrétny tvarovač, ako každý číslicový systém, musí spĺňať podmienku na obmedzenie frekvenčného spektra vstupného signálu v zmysle Shannonovej vety o výbere vzorkovacej frekvencie. V praktických realizáciách sa preto stretáváme s antialiasing filtrom, ktorého základný význam spočíva v zaistení podmienky f max 1 2T v, kde f max predstavuje maximálnu frekvenčnú zložku vstupného signálu a T v je perióda vzorkovania. Je zrejmé, že použitie antialiasing filtra ovplyvňuje aj dynamiku prechodového deja. V prípade, že tvarovač bude pracovať s vyššou frekvenciou vzorkovania, budú kladené i menšie požiadavky na ohraničenie spektra riadiaceho signálu, prípadne na zlomovú frekvenciu antialiasing filtra, ktorá sa posunie do vyšších frekvencií. 5 Záver V príspevku je analyzovaný návrh diskrétneho tvarovača riadiacich signálov na princípe rozmiestňovania núl prenosu tvarovača. Uvedený príspevok nie je venovaný mnohým zaujímavým a aktuálnym problémom návrhu diskrétneho tvarovača riadiacich signálov ako sú adaptivita, robustnosť, riadenie viacmódových systémov a podobne. Teoretický rozbor týchto problémov a návrh metód na redukciu ich vplyvu by v prekročil rozsah tohto príspevku. Príspevok bol zameraný len na popis postupov zvýšenia vzorkovacej/taktovacej frekvencie diskrétneho tvarovača riadiacich signálov, ktoré autori pokladajú za pôvodné. Uvedený postup má uľahčiť realizáciu diskrétneho tvarovača pomocou číslicových prostriedkov. Literatura [1] SINGER, N. C., SEERING, W. Pershaping Commnad Inputs to reduce Systems Vibration, Journal of Dynamic Systems, Measurment and Control, vol 112, [2] FORTRANG, J., PATRANGENARU, V., SINGHOSE, W. Scheduling of Input Shaping and Transitient Vibration, Proceedings of the American Control Conference,

6 [3] ROBERTSON, M. J., SINGHOSE, W. E. Multi-Level Optimization Techniques for Designing Digital Input Shapers, Proceedings of the American Control Conference, Arlington, [4] MIČEK, J., KAPITULÍK, J. An Input Shaping Filter, Proceedings of 10 IFAC Workshop on Programmable Devices and Embedded Systems, PDeS 2010, Pszczyna, [5] SINGER, N., SINGHOSE, W., KRIIKKU, E. An Input Shaping Controller Enabling Cranes to Move without Sway, American Nuclear Society 7th Topical Meeting on Robotics and Remote Systems, Augusta GA, 1997, ISBN [6] HUBINSKÝ, P., POSPIECH, T.Slosh-Free Positioning of Containers with Liquids and Flexible Conveyer Belt, JEE vol. 61, No.2, pp , ISSN , [7] KAMEL, A., LANGE, F., HIRZINGER, G. New Aspect of Input Shaping Control to Damp Oscillations of Compliant Force Sensor, Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation, Pasadena [8] KIM, D., SINGHOSE, W. Reduction of Double- Pendulum Bridge Crane Oscillations, Proceedings of the 8th International Conference on Motion and Vibration Control, Korea [9] PAO, L. Y., CUTFORTH, C. F. On Frequency-Domain and Time-Domain input Shaping for Multi-Mode Flexible Structures, ASME vol. 125, [10] JURÍČEK, J.Quantization Noise Shaping in Control of Systems with Weak Attenuation, Journal of Information, Control and Management Systems, vol.8, No.4., ISSN , [11] JIANYING, Z., TUN, L., ZHUPING, Z. Study on Component Synthesis Active Vibration Suppression Method Using Zero-Placement Technique, Chinese Journal of Aeronautic vol.21,