Први пример!? 1. Доказати да је за сваки природан број n, збир првих n. 1. Доказати да је n = број n. , за сваки природан.

Transcription

1

2 Први пример!? 1. Доказати да је n = број n. n n+1 2, за сваки природан или 1. Доказати да је за сваки природан број n, збир првих n природних бројева једнак је n n+1 2.

3 О једнакости n = n n+1 2 Питагорејци су знали да је ова једнакост тачна. И основци знају да је ова једнакост тачна.

4 О једнакости n = n n+1 2 И млади Гаус је знао да је ова једнакост тачна? S = S = S = пута

5 О једнакости n = n n+1 2 И млади Гаус је знао да је ова једнакост тачна? S = (n 1) + n S = n + (n 1) S = (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) n пута

6 О једнакости n = n n+1 2 Доказ. БИ 1 = 1(1+1) 2 ИК ИП n = n n n + n + 1 = 2 n n+1 2 = (n+1)(n+2) 2 + (n + 1)

7 Шта представља n? 1, 1 + 2, , , S 1 = 1 S n+1 = S n + n + 1, n 1 Задатак. S n = n(n+1), n 1? 2 Решење. БИ S 1 = 1 = 1(1+1) 2 ИП S n = n(n+1) 2 ИК S n+1 = S n + n + 1 = n(n+1) 2 + n + 1 = (n+1)(n+2) 2

8 Како саопштити рачунару шта представља n? S 1 = 1 S n+1 = S n + n + 1, n 1 Први пример Procedure Factoriel(n) End If n=0 then Factoriel(n)=1. If n>0 then Factoriel(n)=n*Faktoriel(n-1). 0! = 1 n + 1! = n! (n + 1), n 1 0! = 1 за математичаре ПОЧЕТАК, за програмере КРАЈ!

9 Критика оваквог приступа Avital, S., and Libeskind, S. Mathematical Induction in the Classroom: Didactical and Mathematical Issues, Educational Studies in Mathematics (1978) Hanna G., Proofs That Prove and Proofs That Explain, Proceedings of the 13 th PME Conference, G. Vergnaud, J. Rogalski, M. Argue (eds.), Paris, 1989 Ron, G., and Dreyfus, T. The Use of Models in Teaching Proof by Mathematical Induction Proceedings of the 28th PME Conference. M. J. Hoines and A. B. Fuglestad (eds.), Bergen (2004)...

10 Критика наставног процеса Најчешћа критика која се упућује математици као наставном предмету (пре свега у средњој школи) јесте недостатак процеса откривања, тј. правог решавања проблема, будући да је математика која се учи у школама углавном организована као дорбо заснована дедуктивна дисциплина.

11 ПОРАСТ ПОПУЛАЦИЈЕ Познато је да се неке бактерије размножавају простом деобом једна бактерија дели се на две нове. Претпоставимо да се то дешава на сваких сат времена. Испитајмо колико ће потмака имати једна бактерија кроз неколико сати. Претпоставићемо да бактерије не изумиру.

12 ПОРАСТ ПОПУЛАЦИЈЕ Познато је да се неке бактерије размножавају простом деобом једна бактерија дели се на две нове. Претпоставимо да се то дешава на сваких сат времена. Испитајмо колико ће потмака имати једна бактерија кроз неколико сати. Претпоставићемо да бактерије не изумиру. 1) Колико ће бактерија бити после пет сати? А после десет сати? 2) Нека је B n број бактерија након n сати; дакле, B 0 = 1, B 1 = 2, B 2 = 4, B 3 = 8, B 4 = 16, Одредити везу између B n+1 и B n. 3) Описати општи принцип за одређивање броја бактерија у зависности од протеклог времена? Изразити га формулом.

13 ПОРАСТ ПОПУЛАЦИЈЕ Фибоначи ( ) Претпоставимо да се зечеви размножавају на следећи начин. Пар зечева на крају првог месеца живота се не размножава, међутим на крају другог и сваког следећег месеца они доносе на свет нови пар зечева. Полазећи од новорођеног пара поставља се питање колико ће парова бити после годину дана. Наравно, и овога пута, претпостављамо да зечеви не умиру.

14 ФИБОНАЧИЈЕВ ЗАДАТАК Време Број парова На почетку После једног месеца После два месеца После три месеца После четири месеца После пет месеци После шест месеца

15 ФИБОНАЧИЈЕВ ЗАДАТАК 1) Колико ће парова бити после седам месеци? [F 7 = 13] 2) Нека је F n број парова након n месеци; дакле, F 0 = 1, F 1 = 1, F 2 = 2, F 3 = 3, F 4 = 5, F 6 = 8, Описати општи принцип за одређивање броја парова зечева? Изразити га формулом. [F 1 = 1, F 2 = 1, F n+2 = F n+1 + F n, n 1]

16 ФИБОНАЧИЈЕВ ЗАДАТАК 3) Упоредити број парова зечева после n месеци са бројем парова бактерија после n сати. Прецизније, ако је b n број парова бактерија после n сати, n 1, једноставно се добија да је b n = 2 n 1, n 1. Из табеле се види да је F n b n, ако 1 n 10. n F n b n Доказати да је неједнакост F n b n тачна за сваки природан број n 1?

17 ФИБОНАЧИЈЕВ ЗАДАТАК 4) Што је број n већи, постаје јасније да је процена F n 2 n 1, n 1, јако груба. Да ли се бројеви F n, n 1, могу боље проценити? Односно, да ли постоји број φ, такав да је 1 < φ < 2 и F n φ n, n 1? 1 φ 1 φ 2 φ n+1 + φ n φ n φ n φ + 1 φ n φ 2

18 Фибоначијеви задаци

19 Време је новац Нека је G сума новца који је банка позајмила свом клијенту; p > 0 годишња камата (на пример, p = 0,054 = 5,4%); m такозвани месечни коефицијент који представља стопу пораста дуга сваког месеца због камате; банке га рачунају по формули m = 1 + p (смисао ове формуле ће бити јасан 12 у наставку); M месечна рата сума новца коју клијент плаћа сваког месеца током договореног периода.

20 Време је новац Сваког месеца уочавамо две супротне тенденције: камата увећава укупно задужење, док га месечне рате смањују. Нека је G n преостало задужење после n месеци отплате. Тада је G 0 = G, почетно задужење, G 1 = mg 0 M, задужење после месец дана након уплаћене прве месечне рате, односно G 1 = 1 + p 12 G 0 M = G 0 + p 12 G 0 M, G 2 = mg 1 M, задужење после два месеца након уплаћене друге месечне рате, тј. итд. G 2 = G 1 + p 12 G 1 M,

21 Време је новац G 0 = G G n+1 = mg n M, n 0 G n = Gm n M mn 1 m 1, n 0 Задатак. Банка је клијенту дала са годишњом каматом од 5,4%. Колико износи месечна рата ако је уговорени период отплате a) 30 година, тј. 360 месеци; b) 20 година, тј. 240 месеци.

22 Кула од карата Задатак. За кулу од карата која има само један спрат потребне су две карте. За кулу од два спрата 7 карата, од три спрата 15 карата итд. А) Колико карата је потребно за кулу од 15 спратова? Б) Колико карата је потребно за кулу од 100 спратова? В) Колико највише има спратова кула коју је могуће направити од 52 карте? Г) Колико карата је потребно за кулу од n спратова?

23 Као кула од карата Задатак. Дат је бесконачан низ бројева 1007, 10017, , , , А) Речима опиши који бројеви припадају овом низу. Б) Како се сваки члан низа, почев од другог, добија из претходног? Опиши ту везу математичком формулом. В) Да ли је сваки члан низа дељив са 53? Образложи одговор? Г) Доказати да је сваки члан низа дељив са 53.

24 Уочи законитост n 1 = n 2

25 Уочи законитост n 1 + n + n = n 2

26 Уочи законитост На основу наредних слика одреди збир (n 1) + n + n 2

27 Уочи законитост 3( n 2 ) =???

28 Прича о Ханојским кулама Древни мит каже да постоје три дијамантска штапа и да 64 златна прстена различитих величина образују кулу на једном од њих при чему је највећи на дну а преостали су поређани по величини тако да је најмањи на врху. Циљ је да се сви прстенови пребаце на други штап по следећим правилима 1. Дискови се пребацују један по један; 2. Већи диск се никада не сме поставити изнад мањег. Свештеници даноноћно, поштујући ова правила, настоје да испуне задатак. Према легенди, када заврше пребацивање биће крај света. Постоји ли разлог за панику?

29 Ханојске куле Да ли је могуће је испунити задатак? Размотримо једноставније случајеве када је број дискова (n) мањи од 64: n = 1 (тривијално), n = 2, n = 3, n = 4, n = 5, Ако знамо како да пребацимо 10 дискова, како ћемо пребацити 11 дискова? Ако знамо како да пребацимо n дискова, како ћемо пребацити n + 1 дискова? Колики је најмањи број потеза за пребацивање n дискова? Доказати да је 2 n 1 најмањи број потеза за пребацивање n дискова.

30 Ханојске куле

31 Ханојске куле

32 Ханојске куле

33 Ханојске куле

34 Ханојске куле P 1 = 1 P n = 2P n 1 + 1, n > 1 Задатак. P n = 2 n 1, n 1? Решење. БИ P 1 = 1 = ИП P n 1 = 2 n 1 1 P n = 2P n 1 1 = 2 2 n = 2 n 1 Задатак француског математичара Edouard-a Lucas-a из = потеза година

35 Еуклидов алгоритам За свака два природна броја m и n већа од нуле, постоје јединствени природни бројеви q и r такви да је m = q n + r и 0 r < n. Број q је количник, а r остатак при дељењу m са n; пишемо r = m mod n. Еуклидов алгоритам се заснива на следећим једноставним тврђењима теорије бројева: Ако је r = 0, тј. n m, онда је NZD m, n Ако је 0 < r < n, онда је NZD m, n NZD m, n = NZD(n, m mod n) = n; = NZD(n, r), тј.

36 Еуклидов алгоритам NZD(119, 544) = NZD(544, 119 mod 544)...правило 2, = NZD 544, јер је 119 = , тј. 119 mod 544 = 119, = NZD(119, 544 mod 119)...правило 2, = NZD(119, 68)......јер је 544 = , тј. 544 mod 119 = 68, = NZD(68, 119 mod 68)... правило 2, = NZD 68, јер је 119 = , тј. 119 mod 68 = 51, = NZD(51, 68 mod 51)...правило 2, = NZD(51, 17)......јер је 68 = , тј. 68 mod 51 = 17, = 17...правило 1, јер

37 Алгоритам EUKLID Улаз: m, n Е1. [Нађи остатак.] Подели m са n; нека је r остатак (0 r < n). E2. [Да ли је остатак 0?] Ако је r = 0, алгоритам се завршава и n je одговор. Е3. [Додељивање нових вредности и повратак на Е1] Стави да је m: = n и n r иди на корак Е1.

38 Алгоритам EUKLID Вредност NZD(m, n) рачунај по следећим правилима: ако је n = 0, онда је NZD m, n = m; ако је n > 0, израчунај NZD(n, m mod n).

39 Принцип рекурзије и принцип индукције ПРИНЦИП РЕКУРЗИЈЕ Метод дефинисања функција облика f: N X, тј. низа елемената скупа X: f 0, f 1, f 2, f 3,, f n, f n+1, f 0 је дефинисано, f 0 = x, где је x неки фиксирани елемент из X за сваки природан број n, члан f n+1 је дефинисан у зависности од f n, тј. дата је тзв. рекурентна формула облика f n+1 = F f n, n 0. ПРИНЦИП ИНДУКЦИЈЕ Метод доказивања тврђења облика n N I(n), тј. низа тврђења: I 0, I 1, I 2, I 3,, I n, I n + 1, I(0) је тачно за сваки природан број n, из тачности исказа I(n) следи да је тачан и исказ I(n + 1), тј. тачна је импликација I(n) I(n + 1).

40 Принцип рекурзије и принцип индукције ПРИНЦИП РЕКУРЗИЈЕ ПРИМЕР 1 Дат је низ бројева: a 0 = 3, a n+1 = 3 + a n, n 0. Одредити a 3 и a 4. ПРИМЕР 3 Дат је низ стрингова (речи) над {a, b}: w 0 = a, w n+1 = abw n ba, n 0. Одредити w 3 и w 4. ПРИНЦИП ИНДУКЦИЈЕ A) Доказати да за сваки природан број n, 3 a n. Б) Доказати да за сваки природан број n, a n = 3(n + 1). Доказати да за сваки природан број n, реч w n има непаран број слова.

41 Принцип рекурзије и принцип индукције ПРИНЦИП РЕКУРЗИЈЕ f 0 и f 1 су дефинисани, f 0 = x, f 1 = y, где су x и y неки фиксирани елементи из X за сваки природан број n, члан f n+2 је дефинисан у зависности од f n+1 и f n, тј. дата је тзв. рекурентна формула облика f n+2 = F f n+1, f n, n 0. ПРИМЕР Дат је низ: a 0 = 0, a 1 = 1, a n+2 = 3a n+1 2a n, n 0. Одредити a 3 и a 4. ПРИНЦИП ИНДУКЦИЈЕ I(0) и I(1) су тачни за сваки природан број n, из тачности исказа I(n) и I(n + 1) следи да је тачан и исказ I(n + 2), тј. тачна је импликација I n I(n + 1) I(n + 2). Доказати да за сваки природан број n, a n = 2 n 1.

42 Задаци 1. Одредити првa четири члана низа: x 0 = 3, x n = 3x n 1, n > 0; x 0 = 1, x n = 2x n 1 + 3n, n > 0; 2. Одредити прва четири члана низа: x 0 = 1, x 1 = 3, x n = 2x n 1 x n 2, n > 1; 2 2 x 0 = 0, x 1 = 1, x n = x n 1 x n 2, n > 1;...

43 Задаци 3. Одредити рекурентне формуле за неформално дефинисане низове: a n = n, n 1; b n = n 1, n 1; d n = n 1, n 1; e n = n + 1 n + 2 2n, n 1; 4. На основу формула добијених у претходном задатку показати да је a n = n(n+1), n 1; 2 b n = n 2, n 1; e n = 2 n d n, n 1;

44 Задаци 5. Доказати да низ q n = 1 qn+1, n N, q 1, задовољава 1 q рекурентне једнакости: q 0 = 1, q n = q n 1 + q n, n > Доказати да низ a n = 2 1 n 2 3 n, n N, задовољава рекурентне једнакости: a 0 = 0, a 1 = 8, a n = 2a n 1 + 3a n 2, n > 1.

45 Задаци 8. Одредити (експлицитне) изразе за општи члан низа x n, ако је x 0 = 1, x n = 2x n 1, n > 0; x 0 = 1, x n = 2 + x n 1, n > 0; x 0 = 1, x n = 2x n 1, n > 0; x 0 = 2, x n = x n 1 n, n > 0; x 0 = 1, x n = 1 x n 1, n > 0; x 0 = 1, x n = 5 + 2x n 1, n > 0; x 0 = 1, x 1 = 1, x n = x n 1 x n 2, n > 0;

46 Задаци 9. Међу свим речима (коначним низовима, стринговима) саграђеним од симбола,, и посматраћемо само добре речи које су одређене следећим правилима грађења: 1. Реч коју чини само симбол је добра реч. 2. Ако је w добра реч, онда су то и w, w и w. 3. Добре речи су само оне које се могу образовати претходим правилима. А) Које су од следећих речи добре, а које нису:,,,,,,? Б) Доказати да добре речи садрже непаран број симбола. В) Доказати да су све добре речи палиндроми. Г) Навести још неке особине добрих речи (са доказима).

47 Задаци 10. Посматрајмо низ речи W n, n 1, које су образоване од слова a и b и дефинисане следећим правилима: W 1 = a, W 2 = b, W n = W n 1 W n 2, n > 2, при чему последња једнакост каже да се реч W n образује надовезивањем (здесна) речи W n 2 на реч W n 1. Тако је, W 3 = W 2 W 1 = ba, W 4 = W 3 W 2 = bab, W 5 = W 4 W 3 = babba, W 6 = W 5 W 4 = babbabab, Навести неке особине које имају све речи низа W n, n 1. Упутство. Које је прво слово (слева) сваке речи? Да ли у некој речи датог низа постоје два суседна слова a? Да ли у некој речи датог низа постоје три суседна слова b? Колико у речи W n има слова a? А колико слова b?

48 Где је грешка? Теорема. Сви коњи су исте боје. Доказ. Докaз изводимо по броју коња које узимамо у обзир. База. Ако постоји само један коњ, онда је он једне боје, па закључујемо сви коњи су исте боје. Индуктивни корак. Претпоставимо да је тврђење тачно за сваку групу од n коња, тј. да су сви коњи у таквој групи исте боје. Посматрајмо скуп који има n + 1 коња. Нумеришимо их бројевима: 1, 2, 3,, n, n + 1. Посматрајмо сада скупове {1, 2, 3,, n} и {2, 3,, n, n + 1}. Сваки од ових скупова садржи по n коња, па су у свакој од ове две групе коњи истобојни, по индукцијској претпоставци. Међутим, како се скупови секу, тј. постоји коњ који припада и једној и другој групи, закључујемо да су свих n + 1 коња истобројни.