Problèmes de contrôle et de stabilisation

Transcription

1 Université de Versailles - Saint-Quentin THÈSE présentée en vue de l obtention du grade de Docteur de l Université de Versailles - Saint-Quentin Mention Matématiques et Applications par Sylvain Ervedoza Problèmes de contrôle et de stabilisation Tèse soutenue le 5 novembre 8 Rapporteurs : Examinateurs : Directeur de tèse : Nicolas Burq Marius Tucsnak Jean-Micel Coron Benoit Pertame Luc Robbiano Enrique Zuazua Jean-Pierre Puel.

2

3 Table des matières Introduction i I Examples 3 1 Perfectly Matced Layers in 1-d : Energy decay for continuous and semi-discrete waves Introduction Analysis of te space operator L Inverse of te operator L Analysis of te spectrum : Eigenvalues of L Analysis of te spectrum : Eigenvectors On te decay of te energy On te decay rate Comments Optimality of te decay rate On te semi-discrete PML equations Construction of non propagating waves Spectral analysis for constant σ Connections wit te teory of stabilization A semi-discrete viscous PML Discussion and remarks A mixed finite element discretization of a 1d wave equation on nonuniform meses 37.1 Introduction Spectral Teory a

4 Table des matières..1 Computations of te eigenvalues for a general mes Spectral properties on M-regular meses Proof of Teorem Te regularity assumption Application to te null controllability of te wave equation Te continuous setting Te semi-discrete setting Application to te damped wave equation Te continuous setting Te semi-discrete setting Furter comments II Observability and stabilization properties for time-discrete approximation scemes 65 3 On te observability of time-discrete conservative linear systems Introduction Te implicit mid-point sceme General time-discrete scemes General time-discrete scemes for first order systems Te Newmark metod for second order in time systems Applications Application of Teorem Application of Teorem Application of Teorem Fully discrete scemes Main statement Applications On te admissibility condition Te time-continuous setting Te time-discrete setting Furter comments and open problems b

5 Table des matières 4 Uniform exponential decay for viscous damped systems Introduction Proof of Teorem Variants of Teorem General viscosity operators Wave type systems Applications Te viscous Scrödinger equation Te viscous damped wave equation Furter comments Uniformly exponentially stable approximations for a class of damped systems Introduction Stabilization of time-discrete systems Observability of time-discrete conservative systems Proof of Teorem Some variants Stabilization of time-discrete systems depending on a parameter Te general case Stabilization of fully discrete approximation scemes witout viscosity Stabilization of fully discrete approximation scemes wit viscosity Applications Te time-discrete damped wave equation A fully discrete damped wave equation: Te mixed finite element metod A fully discrete damped wave equation: A viscous finite difference approximation Furter comments III Admissibility and Observability for finite element discretizations of conservative systems Scrödinger equations Introduction c

6 Table des matières 6. Spectral metods Caracterizations of admissibility Caracterizations of observability Proof of Teorem Admissibility Observability Examples of applications Te 1-d case More general cases Fully discrete approximation scemes Controllability properties Te continuous setting Te space semi-discrete setting Stabilization properties Te continuous setting Te space semi-discrete setting Furter comments Wave equations Introduction Spectral metods Caracterizations of admissibility Caracterizations of observability Proof of Teorem Admissibility Observability Examples Te 1d wave equation More general cases Fully discrete approximation scemes Controllability properties d

7 Table des matières Te continuous setting Te semi-discrete setting Stabilization properties Te continuous setting Te space semi-discrete setting Oter models A wave equation observed troug y(t = Bu(t Applications to Scrödinger type equations Furter comments IV Miscellaneous 33 8 Control and stabilization property for a singular eat equation Introduction Null controllability in te case µ µ (N Carleman estimate From te Carleman estimate to te Observability inequality Proofs of tecnical Lemmas Non uniform stabilization in te case µ > µ (N Spectral estimates Proof of Teorem Comments e

8

9 Remerciements Je tiens avant tout à remercier Jean-Pierre Puel, qui a immédiatement éveillé ma curiosité sur des problèmes de contrôle dès le DEA. J ai particulièrement apprécié sa disponibilité, ses qualités d écoute, son attention toujours vive pour mes questions, mais aussi ses grandes compétences pédagogiques qui lui ont permis à maintes reprises de m expliquer des idées très rices. J ai aussi été très impressionné par sa connaissance de Sangaï! J aimerais également témoigner de ma reconnaissance à Enrique Zuazua, qui est également un des instigateurs de ce travail. Il a eu la gentillesse de m accueillir à deux reprises à Madrid, et m a suivi avec beaucoup d entousiasme tout au long de cette tèse, la ponctuant de collaborations très fructueuses. Je le remercie aussi d avoir accepté de faire partie de mon jury. Je remercie très caleureusement Nicolas Burq et Marius Tucsnak, dont j ai utilisé les résultats matématiques de nombreuses fois, pour m avoir fait l onneur d accepter de rapporter cette tèse. J aimerais remercier également Marius Tucsnak pour ses conseils avisés et pour m avoir déjà invité à plusieurs reprises à Nancy. C est avec grand plaisir que je remercie Jean-Micel Coron, Benoît Pertame et Luc Robbiano, pour avoir consenti à être membres de mon jury. Cacun a joué pour moi un rôle très important dans ma formation. Merci particulièrement à Jean-Micel Coron pour son intérêt soutenu pour mes travaux de recerce. Je remercie également les gens qui s y sont intéressés pour leurs encouragements répétés, ainsi que ceux qui ont pris le temps de m expliquer leurs résultats. Un grand merci à Takéo Takaasi, Karine Beaucard, Sergio Guerrero, Olivier Glass, Cuang Zeng, Jérôme Le Rousseau, Luc Miller, Pierre Roucon, Julie Valein, Sorin Micu, Carlos Castro, Marianne Capouly et Mazyar Mirraimi. Je souaite aussi remercier l ensemble des membres du département de matématiques de Versailles. La bonne umeur générale qui règne au sein du département a certainement favorisé le bon déroulement de ma tèse. Merci en particulier aux tésards, Jean-Maxime, Pascal, Claudio, Vianney, Éric, Clémence, Jérémy et les autres, ainsi qu aux occupants des bureaux voisins, Alexis, Aude, Aurélie, Nicolas, Stépane, Ariane, Mariane et Mokka pour leur bienveillance. Je pense aussi à ceux qui m ont apporté leur aide de nombreuses fois et les remercie de leur disponibilité. Merci notamment à Otared, Yvan et Tierry pour les matématiques et à Jean, Tierry et Frédéric pour les enseignements. Je remercie aussi mes amis pour leur soutien moral et parfois même matématique! Mes camarades de prépa qui me supportent depuis plus de uit ans maintenant, ont su m aider à résister à la pression d abord des concours, puis de la tèse : Élodie, Tomas, Oscar, Étienne, Calixte, Yi, et Céline, à qui j adresse un remerciement tout spécifique. Merci à mes copains normaliens également, pour la plupart en tèse, et qui comprennent mieux que personne les doutes et les difficultés qu ont pu suscité ce travail de longue aleine : Guillaume, Sylvain, Loïc, Mattieu, Simon, Benjamin, Pierre et Cristope. Je remercie également ma famille et plus particulièrement mes parents pour m avoir toujours soutenu et aidé tout au long de mon parcours. Enfin, j adresse un grand merci à tous ceux qui m ont accompagné pendant ces quelques années et que je n ai pas pu remercier nominalement dans ces quelques lignes.

10

11 Introduction Dans cette tèse, nous nous intéresserons à divers problèmes liés à la contrôlabilité et à la stabilisation de systèmes d évolution continus et discrets. Dans un premier temps, nous allons décrire le contexte dans lequel se place le présent travail, et pour cela, introduire un formalisme abstrait qui contient tous les problèmes étudiés, et qui sera spécifié par la suite. De nombreux modèles pysiques se mettent sous la forme suivante : { ż = Az, t, z( = z, (..1 où ( désigne la dérivée par rapport au temps, et où A est un opérateur, en général différentiel. Pour fixer les idées, on suppose que la donnée initiale z appartient à un espace de Hilbert X, et que l opérateur A est un opérateur éventuellement non borné sur X. Dans la suite, nous supposerons également que, si z est dans X, alors la solution t z(t de (..1 existe, est unique, et appartient à l espace C([, T ]; X pour tout temps T >. Pour être plus précis, nous supposons que le problème de Caucy associé à (..1 est un problème bien posé au sens de Hadamard. Le système (..1 modélise effectivement de nombreux pénomènes pysiques : Citons entre autres les modèles diffusifs (caleur, les modèles issus de la mécanique quantique (équation de Scrödinger, et de l étude des systèmes oscillants (ondes. Pour plus d exemples, nous faisons référence à l ouvrage [11]. Observabilité. Le premier problème que nous étudions est celui de l observabilité. On se donne un opérateur B défini sur D(A, à valeurs dans un espace de Hilbert Y, et nous supposons que nous pouvons observer, pendant un certain temps T, la quantité y(t = Bz(t, t (, T. (.. Comme la donnée initiale z est dans X, la solution t z(t de (..1 appartient à C([, T ]; X, et on ne peut a priori pas donner un sens précis à (.. pour B L(D(A, Y. C est pourquoi nous demandons à ce que le système (..1-(.. soit admissible : Définition 1 (Admissibilité. Le système (..1-(.. est dit admissible si pour tout T >, il existe une constante K T telle que toute solution de (..1 avec donnée initiale z D(A satisfait T Bz(t Y dt K T z X. (..3 i

12 Introduction Dans ce cas, lorsque l opérateur A est de domaine dense, ce qui sera toujours vérifié par la suite, par densité de D(A dans X, l opérateur d observation peut être étendu en un opérateur continu de X à valeurs dans L (, T ; Y. En particulier, remarquons que si l opérateur B appartient à L(X, Y, alors la propriété (..3 est automatiquement satisfaite. La question est alors de savoir si la connaissance de y nous permet de déterminer, ou non, la fonction z. Si tel est le cas, nous dirons que le système (..1-(.. est observable au sens suivant : Définition (Observabilité. Le système (..1-(.. est dit observable au temps T > s il existe une constante k T > telle que toute solution de (..1 satisfait T k T z(t X Bz(t Y dt. (..4 Dans la suite, nous dirons que le système (..1-(.. est observable s il l est en un certain temps T >. Remarquons que ce problème est très pertinent en pratique. En effet, il n est pas rare que nous ne puissions avoir accès qu à des données partielles sur certains systèmes complexes. C est par exemple le cas en météorologie, où les seules informations à notre disposition concernent une petite couce au voisinage de la surface terrestre. Nous faisons référence par exemple à [31] en ce qui concerne ce problème d assimilation de données. Il est intéressant de constater que les propriétés d observabilité sont reliées à deux autres questions tout aussi pertinentes en pratique, celles de la contrôlabilité et de la stabilisation. Contrôlabilité. Nous nous intéressons désormais au problème suivant : pour une donnée initiale z X, trouver un contrôle v L (, T ; Y tel que la solution de { ż = Az + Cv, t (, T, (..5 z( = z, soit nulle au temps T > : z(t =. (..6 Ici, l opérateur C, qui décrit les possibilités d actions sur le système (..5, est un opérateur continu de Y dans D(A. Remarquons que, en utilisant la linéarité du système (..5, le problème ci-dessus, dit de contrôlabilité à zéro, est équivalent au problème de contrôlabilité sur les trajectoires. Là encore, il s agit donc d une question pysiquement pertinente puisqu il s agit de décrire l action que l on peut exercer sur un système donné. Il est désormais classique que la contrôlabilité à zéro est équivalente à l observabilité du système adjoint. C est le contenu de la métode HUM (Hilbert Uniqueness Metod introduite dans [7]. Considérons le problème adjoint (rétrograde { ẇ = A w, t (, T. w(t = w T X, (..7 et les propriétés d admissibilité et d observabilité suivantes : il existe des constantes k T > et K T > telles que toute solution de (..7 satisfait ii T k T w( X C w(t Y dt K T w T X. (..8

13 Introduction Supposons que les propriétés d admissibilité et d observabilité (..8 sont vérifiées. Supposons également que le système (..7 satisfait la propriété d unicité rétrograde suivante, qui sera vérifiée dans tous les exemples que nous traiterons ci-après : toute solution w de (..7 satisfaisant w( = est identiquement nulle. Introduisons alors la fonctionnelle J définie pour w T X par J (w T = 1 T C w(t Y dt+ < w(, z > X, (..9 où w est la solution de (..7 associée à w T. Cette fonctionnelle est strictement convexe, et, au vu de la propriété (..8, est également coercive dans la norme T w T obs = C w(t Y La fonctionnelle J admet donc un unique minimum w T dans le complété X de X pour la norme obs. Remarquons qu alors il existe une unique application Θ continue de X sur L (, T ; Y qui coïncide avec w T C w(t pour w T X. Le contrôle v de (..5 de norme L (, T ; Y minimale est alors donné par dt. v(t = Θw T. (..1 Remarquons que, lorsque le système (..7 est conservatif, l ypotèse (..8 implique X = X. Il s ensuit que, dans ce cas, ΘwT = C w (t, où w est la solution de (..7 associée à wt. De même, la même simplification peut être faite lorsque X est de dimension finie puisqu alors toutes les normes sont équivalentes. Stabilisation. Pour cette question, nous nous limitons aux cas où l opérateur A est antisymétrique, et où l opérateur B appartient à L(X, Y. Considérons alors le système amorti { ẇ = Aw B Bw, t, w( = w X. (..11 Un tel système modélise de nombreux systèmes pysiques comportant un terme de stabilisation de type feedback, par exemple les ondes amorties. Il s agit en effet d un système amorti puisque l énergie des solutions w de (..11, définie par satisfait la loi de dissipation E(t = 1 w(t X, (..1 de dt (t = Bw(t Y. (..13 Nous nous interrogeons alors sur la possibilité de décroissance exponentielle des solutions. Pour être plus précis, nous voulons savoir s il existe des constantes strictement positives M et ν > telles que toutes les solutions de (..11 satisfont E(t M E( exp( νt, t. (..14 Il est désormais bien connu (cf. [7, ] que la décroissance exponentielle de l énergie pour les solutions de (..11 au sens de (..14 est également équivalente à l observabilité du système (..1- (... iii

14 Introduction Problématique. Il existe de nombreuses situations concrètes où l on a besoin de considérer non pas un système mais une famille de systèmes, pour lesquels on aimerait avoir des propriétés d observabilité uniformes, afin d en déduire divers types de résultats de contrôlabilité et de stabilisation. C est par exemple le cas lorsque l on s intéresse à des systèmes discrétisés en espace et/ou en temps. Pour fixer les idées, considérons un système continu (..1-(.. admissible et observable au sens de (..3 et (..4, et supposons de plus que l opérateur A est antisymétrique. Observabilité discrète. Introduisons les opérateurs A et B correspondants aux discrétisations des opérateurs A et B sur un maillage de taille >. Le système (..1-(.. est alors approcé par { ż = A z, t, z ( = z X, y (t = B z (t, t (, T. (..15 Ici, l espace X correspond à une approximation de dimension finie de X. L opérateur B est à priori à valeurs dans un certain espace Y qui correspond également à une approximation de Y dans un sens raisonnable. Pour l instant, nous restons volontairement imprécis, mais des affirmations précises seront données plus tard dans le corps du manuscrit. Comme nous avons supposé A antisymétrique, nous nous intéressons uniquement à des discrétisations qui préservent cette propriété, et supposons donc que pour tout >, l opérateur A est antisymétrique sur X. Il est alors naturel de s interroger sur les propriétés d admissibilité et d observabilité des systèmes (..15. Il peut arriver que, pour tout >, il existe des solutions z des systèmes (..15 telles que B z (t = pour tout t (cf. contre-exemple d Otared Kavian, explicité dans [44, p.7]. Dans ce cas, cette réponse négative à la continuation unique nie les propriétés d observabilité pour les systèmes discrets (..15. Cependant, ce n est pas le seul problème qui peut intervenir pour l observabilité des systèmes (..15. En effet, par exemple en dimension un, il est en général facile de montrer que les seules solutions z de (..15 qui satisfont B z (t = pour tout t dans un intervalle de temps sont les solutions nulles. Notamment, on déduit alors dans ce cas que, pour tout >, le système (..15 est admissible et observable, et ce en tout temps : pour tout > et pour tout T >, il existe des constantes positives k T, > et K T, > telles que toute solution z de (..15 satisfait k T, z (T X T B z (t Y dt K T, z X. (..16 Nous allons voir ci-dessous que, lorsque la propriété d observabilité (..16 n est pas satisfaite uniformément en >, c est-à-dire lorsque lim k T, =, les procédures de calcul des contrôles sur les systèmes discrets (..15 peuvent donner des résultats biaisés, voire faux, pour le système continu. Contrôles discrets. Sous la condition (..16, pour tout >, le système { ż = A z + B v, t (, T. z ( = z X, (..17 est contrôlable, c est-à-dire qu il existe une fonction v dans L (, T ; Y telle que la solution de (..17 satisfait z (T =. En fait, suivant la métode HUM décrite ci-dessus, on peut même calculer le contrôle à zéro v qui minimise la norme L (, T ; Y. iv

15 Introduction Il est alors naturel de penser que, si les données initiales z convergent vers z, alors les contrôles v devraient converger vers le contrôle v de (..5 (avec C = B. Cela est en fait faux en pratique dans de multiples situations, comme le montrent les simulations numériques concernant l équation des ondes unidimensionnelle disponibles dans l article [44]. Comme souligné dans [44], la norme des contrôles v peut exploser quand. En effet, les systèmes discrétisés (..15 ont une dynamique différente de celle du système continu (..1, notamment aux autes fréquences, cf. [38]. Dans ce cadre, de nombreux travaux récents (cf. [44] et sa bibliograpie ont été consacrés à mettre au point des tecniques permettant de calculer sur les systèmes discrétisés (..15 des pseudo-contrôles v pour (..17 qui convergent, lorsque les données initiales z convergent vers z, vers un contrôle admissible pour le système continu (..5 (toujours avec C = B. Ces métodes consistent essentiellement en des mécanismes de filtrage qui permettent d éliminer les autes fréquences parasites introduites lors de la discrétisation. Afin de prouver la convergence des contrôles v des systèmes discrétisés (..17 vers un contrôle v du système continu, la métode la plus courante consiste à trouver des classes de données pour lesquelles on peut prouver les inégalités (..16 avec des constantes k T, et K T, indépendantes de >. En d autres termes, il s agit de déterminer, pour tout >, un sous-espace X X de données, globalement invariant par l équation (..15, tel qu il existe un temps T > et des constantes positives k T > et K T >, indépendants de >, tels que toute solution z de (..15 ayant pour donnée initiale z X satisfait k T z (T X T B z (t Y dt K T z X. (..18 Les métodes utilisées jusqu à présent pour démontrer les inégalités (..18 reposent sur des tecniques de multiplicateurs (inspirées de [5] et directement effectuées sur les systèmes discrétisés (..15, ou sur des propriétés de séparation spectrale basées sur [4]. Les Capitres, 6, et 7 présentent des études détaillées de ces questions sur divers exemples. Au Capitre (correspondant à [1], nous considérons l équation des ondes unidimensionnelle discrétisée sur des maillages non uniformes en utilisant la métode des éléments finis mixtes, dont nous présentons une étude détaillée des propriétés d observabilité. Cette question avait déjà été traitée dans les travaux [8, 9] dans le cas des maillages uniformes, ce qui permettait d utiliser des métodes de multiplicateurs, ou, en dimension un, des métodes spectrales. Ici, dû au manque d uniformité du maillage, le spectre est moins explicite, mais nous arrivons tout de même à prouver des propriétés de séparation du spectre, puis d équirépartition des vecteurs propres, qui permettent de démontrer les propriétés (..18 dans tout l espace X, uniformément en >. À notre connaissance, c est l étude spectrale la plus précise menée jusqu à présent pour des systèmes discrétisés sur des maillages non uniformes. Signalons que les questions d observabilité pour l équation des ondes unidimensionnelle discrétisée avec la métode des éléments finis sur des maillages non uniformes ont été traitées dans [34], mais la question de l optimalité de la réponse apportée dans [34] est encore largement ouverte. Aux Capitres 6 et 7 (correspondants à [13, 14], nous étudions des systèmes abstraits généraux représentant les équations de Scrödinger et des ondes discrétisées selon la métode des éléments finis. La métode que nous utilisons est une métode spectrale basée sur les travaux [6, 9, 33], que nous adaptons pour des systèmes discrétisés. Cela fournit une approce robuste pour étudier les propriétés d observabilité des discrétisations en espaces des systèmes admissibles et observables. Notamment, nos v

16 Introduction résultats s appliquent en n importe quelle dimension et sans condition sur la structure des maillages, ce qui généralise grandement les résultats connus jusqu à présent (cf. [44] et sa bibliograpie. Cependant, comme dans [34], nous ne savons pas si nos résultats sont optimaux. Cette question est largement ouverte. Stabilisation discrète. Lorsque les opérateurs B et B sont bornés sur X et X respectivement, on peut s interroger sur les propriétés de décroissance de l énergie des systèmes discrétisés { ẇ = A w B B w, t, (..19 w ( = w X, ainsi que de leur uniformité. L énergie des solutions w de (..19 est donnée par E (t = 1 w (t X. (.. Comme dans le cas ci-dessus, lorsque les inégalités (..16 sont satisfaites, pour tout >, il existe des constantes positives M et ν telles que les solutions de (..19 satisfont E (t M E ( exp( ν t, t. (..1 Mais la décroissance n est pas, en général, uniforme. On peut notamment avoir des cas où ν tend vers quand. Il est alors naturel de se demander si l on peut modifier le système (..19 de façon à obtenir des systèmes discrétisés exponentiellement stables uniformément en. À nouveau, nous nous référons à [44] et à sa bibliograpie pour divers travaux concernant cette question. L idée générale consiste à introduire un terme de viscosité numérique dans (..19 de façon à amortir efficacement les autes fréquences parasites introduites lors de la discrétisation. Les Capitres 1, 4 et 5 proposent une étude de ces questions. Au Capitre 1 (correspondant à [17], nous étudions les propriétés spectrales fines des discrétisations spatiales des équations du modèle Perfectly Matced Layers unidimensionnelles, qui constituent une variante de l équation des ondes amorties. En particulier, nous mettons en évidence l existence de valeurs propres parasites qui correspondent à des vecteurs propres autes fréquences localisés dans la zone où le terme d amortissement n est pas actif, ce qui prouve en particulier que la quantité ν dans (..1 tend vers quand. Cette description précise du spectre des systèmes amortis discrétisés est, à notre connaissance, la première à montrer ce pénomène explicitement. Nous montrons alors, en s inspirant des travaux [37, 34], qu en introduisant un terme de viscosité numérique correctement coisi dans les équations discrétisées, on peut obtenir des systèmes discrétisés exponentiellement stables, uniformément en >. Au Capitre 4 (correspondant à [18], nous exibons, pour des systèmes continus abstraits (..11, plusieurs formes d opérateurs de viscosité pour lesquels les pénomènes d overdamping n apparaissent pas. La métode que nous utilisons a l avantage de traiter séparément basses et autes fréquences, utilisant aux basses fréquences les propriétés d observabilité des systèmes (..1-(.., et aux autes fréquences les propriétés dissipatives des systèmes visqueux sans amortissement. En particulier, cela fournit des résultats robustes et généraux qui peuvent s appliquer aussi bien dans le contexte des équations discrétisées en espace, comme aux Capitres 1, 6 et 7, que pour les équations discrétisées en temps, ou même en temps et en espace, cf. Capitre 5, généralisant ainsi les résultats de [37, 34] sur les propriétés de stabilisation des systèmes semi-discrétisés en espace. vi

17 Introduction Ainsi, au Capitre 5 (correspondant à [19], nous donnons une métode systématique qui permet de mettre au point, pour des systèmes qui ne sont observables qu aux basses fréquences, des variantes visqueuses de (..1 pour lesquelles on peut guarantir des propriétés de stabilisation uniformes en >. Des problèmes similaires se posent lorsque l on considère des systèmes discrétisés en temps, où des solutions parasites autes fréquences perturbent les propriétés d observabilité et d admissibilité des systèmes discrétisés, et, notamment, le bon fonctionnement de la métode HUM pour calculer numériquement des contrôles approcés pour les systèmes continus. Au Capitre 3 (correspondant à [16], nous prouvons donc, pour un système conservatif (..1- (.. admissible et observable, des propriétés d observabilité uniformes pour les systèmes discrétisés en temps, dans une classe filtrée. Là encore, nous utilisons les résultats spectraux de [6, 9] pour obtenir une métode robuste, qui s applique pour de nombreux systèmes et de nombreuses discrétisations en temps. Ainsi, nos résultats s appliquent également à des familles de systèmes uniformément observables pour lesquels nous pouvons déduire pour les familles de systèmes discrets en temps correspondants des propriétés d observabilité uniformes en le paramètre de discrétisation en temps. En particulier, si l on considère une famille de systèmes discrétisés en espace qui sont uniformément observables en le paramètre de discrétisation en espace, alors les systèmes totalement discrétisés correspondants satisfont des propriétés d observabilité uniformes en les paramètres de discrétisation en espace et en temps. Cet argument permet ainsi de découpler les problèmes liés à la discrétisation en espace de ceux liés à la discrétisation en temps, permettant par exemple de déduire des résultats des Capitres, 6 et 7 des propriétés d observabilité pour les systèmes totalement discrétisés correspondants, uniformément en les paramètres de discrétisation en espace et en temps. A notre connaissance, ce résultat est le premier qui donne, de façon systématique, des résultats d observabilité pour des systèmes discrétisés en temps à partir des propriétés d observabilité des systèmes continus en temps correspondants. Au Capitre 5 (correspondant à [19], nous combinons les résultats du Capitre 3 avec ceux du Capitre 4, pour obtenir une approce générale et robuste qui fournit, pour des systèmes continus exponentiellement stables, des discrétisations en temps et en espace uniformément exponentiellement stables. Comme indiqué ci-dessus, la métode abstraite que nous développons généralise et étend les résultats obtenus au Capitre 1 ainsi que dans [37, 34] pour des systèmes discrétisés en espace. Ci-dessous, nous présentons, pour la commodité du lecteur, le plan que nous avons adopté. Dans la Partie I, nous étudions deux systèmes modélisant des équations des ondes unidimensionnelles, tout d abord le système PML (pour Perfectly Matced Layers discrétisé sur des grilles uniformes, puis un système classique d ondes unidimensionnel, discrétisé selon une métode d éléments finis mixtes, mais sur des maillages non uniformes. Dans ces deux cas, en utilisant conjointement des métodes de multiplicateurs et des métodes spectrales, nous prouvons des résultats qui sont, en un sens que nous préciserons, optimaux. Dans la Partie II, nous considérons des systèmes conservatifs abstraits, que nous supposons admissibles et observables, et prouvons des propriétés d admissibilité et d observabilité pour leurs discrétisations en temps. Notre métode est basée sur des tecniques spectrales. En particulier, nous utilisons de manière décisive la caractérisation spectrale de l observabilité de systèmes conservatifs donnée dans [6, 9]. Nous expliquons aussi comment ces résultats s interprètent dans le cadre des systèmes amortis. Dans la Partie III, nous étudions les propriétés d observabilité de systèmes abstraits discrétisés selon la métode des éléments finis. Notre métode, à nouveau basée sur des critères spectraux, nous vii

18 Introduction permet d obtenir des résultats très généraux, qui, à notre connaissance, sont les premiers à pouvoir s appliquer instantanément en n importe quelle dimension et pour n importe quel maillage régulier. Dans la Partie IV, nous présentons un travail relié à cette tématique correspondant à [15], mais dans le cadre assez différent d une équation de la caleur avec un potentiel singulier µ/ x. Cependant, notre approce est là encore basée sur des considérations d uniformité des propriétés d observabilité pour des potentiels réguliers de la forme µ/( x + ɛ. Nos métodes reposent alors sur une inégalité de Carleman pour prouver un résultat positif lorsque µ µ (N, où µ (N est la constante de Hardy en dimension N, et sur des métodes spectrales afin de prouver un résultat négatif lorsque µ > µ (N. Dans la suite de cette introduction, nous présentons plus précisément le contenu de caque partie de cette tèse. Partie I. Étude précise d équations d ondes discrétisées en espace Dans cette partie, nous présentons, pour deux modèles d équations des ondes, des études exaustives et optimales des propriétés d observabilité et de dissipation de systèmes discrétisés. En effet, les deux exemples étudiés sont suffisamment explicites en dimension un d espace pour mettre en évidence avec précision les pénomènes parasites qui apparaissent aux autes fréquences. Capitre 1. La métode Perfectly Matced Layers (PML. Lorsque l on résout numériquement un problème d équation des ondes en domaine extérieur en temps grand, il est nécessaire de limiter le domaine de calcul à cause des capacités finies de calcul numérique. Il est alors nécessaire d introduire des conditions limites sur la frontière nouvellement formée, qui peuvent éventuellement perturber la solution à l intérieur du domaine de calcul, à cause de pénomènes de réflexion. La métode PML, introduite par Bérenger dans [] en 1994, consiste à entourer le domaine de calcul d une couce dans laquelle les équations sont modifiées afin de dissiper l énergie qui y entre, de telle sorte que l énergie réflécie est petite, voire nulle. Depuis, cette métode a démontré son efficacité dans de nombreux problèmes concrets [39]. Nous nous proposons donc d étudier précisément le modèle PML en dimension un d espace et d expliquer son efficacité. Considérons le système du premier ordre suivant, équivalent à l équation des ondes sur (, : t P + x V = dans (, (,, t V + x P = dans (, (,, P (, t =, P (x, = P (x, V (x, = V (x, où P et V sont des fonctions de L (R à support dans (, 1. (.. ll est alors bien connu que l énergie des solutions se propage à vitesse 1. En particulier, la solution t (P, V (t de (.. est nulle dans (, 1 pour tout temps t >. viii Considérons alors le système déduit de (.. par la métode PML dans le cas où la zone de

19 Introduction calcul (i.e. la zone qui nous intéresse est (, 1 : t P + x V + χ (1, σp = dans (, (, T, t V + x P + χ (1, σv = dans (, (, T, P (, t = P (, t =, P (x, = P (x, V (x, = V (x, (..3 où P et V sont dans L (, et à support dans (, 1, χ (1, est la fonction caractéristique de l intervalle (1,, et σ = σ(x est une fonction positive dans L (1,. Le système (..3 correspond en fait à un système dissipatif, puisque l énergie satisfait E(t = 1 P (t L (, + 1 V (t L (, de dt (t = 1 ( σ P (t + V (t dx. Au vu de la propriété de propagation de l énergie pour (.., il est naturel de s attendre à ce que l énergie des solutions de (..3 décroisse, et nous pouvons voir le taux de décroissance de cette énergie comme une mesure de l efficacité de la métode PML. Dans un premier temps, nous prouvons donc que l énergie des solutions de (..3 est exponentiellement décroissante. Nous présentons deux métodes pour prouver ce résultat. L une est basée sur une décomposition spectrale explicite de l opérateur spatial dans (..3, et l autre sur la métode des caractéristiques (ce qui est proce de la preuve de la formule de D Alembert. Par ces métodes assez explicites, nous prouvons le téorème suivant : Téorème 3. Les solutions de (..3 avec donnée initiale dans L (, (pas forcément à support dans (, 1 satisfont ( E(t E( exp (4 t σ, t. On en déduit alors que la norme L 1 (1, de σ mesure l efficacité de la métode PML pour le système (..3, confirmant ainsi les résultats [3, 5, 4]. Dans un deuxième temps, nous étudions les discrétisations en espace de (..3 de type différences finies. Pour = 1/N >, nous considérons t P j + V j+1/ V j 1/ 1 + σ j P j =, j {1,..., N 1}, t V j+1/ + P j+1 P j + σ j+1/ V j+1/ =, j {,..., N 1}, P = P N =. (..4 Ici, P j et σ j sont des approximations de P et χ (1, σ respectivement aux points x j = j, et V j+1/ et σ j+1/ de V et σ aux points x j+1/ = (j + 1/. Pour ce système, nous prouvons que l énergie des solutions (P, V de (..4, donnée par E (t = N 1 n est pas exponentiellement décroissante uniformément en > : j= ( Pj (t + V j+1/ (t, (..5 ix

20 Introduction Téorème 4. Il n existe pas de constantes strictement positives M et ν telles que, pour tout >, les solutions de (..4 satisfont E (t M E ( exp( νt, t. (..6 Pour cela, nous construisons des solutions de (..4 localisées en deors de la zone où l amortissement est actif, et dont l énergie ne peut donc pas décroître exponentiellement vite. Cette construction est basée sur celles des ondes gaussiennes [3]. Dans le cas où σ est constant sur (1,, nous fournissons également une description spectrale détaillée de l opérateur spatial intervenant dans (..4. Ainsi, nous prouvons que les fonctions propres basses fréquences sont équiréparties dans les zones (, 1 et (1,, tandis que les fonctions propres autes fréquences sont concentrées, soit dans (, 1, soit dans (1,. En particulier, l existence de fonctions propres autes fréquences concentrées dans (, 1 nie également la décroissance exponentielle de l énergie uniformément en >, puisque les solutions associées ne rentrent pas dans la zone où l amortissement est effectif. Dans un troisième et dernier temps, nous étudions une variante de (..4, inspirée de [37, 36] dans laquelle un terme de viscosité numérique a été ajouté : t P j + V j+1/ V j 1/ t V j+1/ + P j+1 P j + σ j P j ( P j =, j {1,..., N}, + σ j+1/ V j+1/ ( V j+1/ =, j {,..., N 1}, P = P N =, V 1/ = V 1/, V N 1/ = V N+1/. où correspond à l opérateur Laplacien discrétisé ( A j = 1 (A j+1 + A j 1 A j. (..7 Dans ce cas, par une métode des multiplicateurs, nous prouvons que l énergie des solutions de (..7 décroît exponentiellement, uniformément en > : Téorème 5. Il existe des constantes strictement positives M et ν telles que, pour tout >, les solutions de (..7 satisfont (..6. De plus, ce résultat est optimal, dans la mesure où l on ne peut pas espérer des résultats similaires avec un terme visqueux plus petit, à cause de l existence de vecteurs propres pour (..4 localisés dans (, 1. Nous étudions également la possibilité de rétablir le taux de décroissance de l énergie du système continu (..3 en augmentant le terme de viscosité numérique, et donnons un résultat partiel dans cette direction. En effet, nous démontrons, sous certaines ypotèses qui seront précisées au cours du Capitre 1, qu il est possible de coisir le terme de viscosité numérique de façon à ce que, pour tout >, il existe une constante M telle que l énergie E (t des solutions de (..7, définie par (..5, satisfait x ( E (t M E ( exp ( 1 σ o (1 t, t.

21 Introduction Capitre. La métode des éléments finis mixtes sur des maillages non uniformes Ce capitre propose l étude des propriétés d observabilité de l équation des ondes unidimensionnelle, discrétisée par la métode des éléments finis mixtes, mais sur des maillages non uniformes. A notre connaissance, c est à ce jour le seul exemple où la téorie a pu être effectuée à ce niveau de détail pour des maillages non uniformes. Considérons l équation des ondes unidimensionnelle ttu xxu =, (x, t (, 1 R, u(, t = u(1, t =, t R, u(x, = u (x, t u(x, = u 1 (x, x (, 1, (..8 avec (u, u 1 H 1(, 1 L (, 1. L énergie des solutions de (..8, donnée par E(t = 1 tu(t L (,1 + 1 xu L (,1, est constante. De plus, il est bien connu (cf. [7, 5] que pour tout temps T >, il existe des constantes strictement positives k T et K T telles que les solutions de (..8 satisfont k T E( T x u(, t dt K T E(. Discrétisons (..8 sur un maillage non uniforme S n donné par n + points = x,n < x 1,n < < x n,n < x n+1,n = 1, j+1/,n = x j+1,n x j,n, j {,, n}. (..9 La métode des éléments finis mixtes donne alors le système j 1/,n (ü j 1,n + ü j,n + j+1/,n (ü j,n + ü j+1,n 4 4 = u j+1,n u j,n j+1/,n u,n (t = u n+1,n (t =, t R, u j,n u j 1,n j 1/,n, j = 1, n, t R, u j ( = u j,n, u j( = u 1 j,n, j = 1,, n. (..3 L énergie des solutions u n de (..3, donnée par E n (t = 1 n ( uj+1,n (t u j,n (t j+1/,n + 1 j+1/,n j= est alors constante. n j= ( uj+1,n (t + u j,n (t j+1/,n, (..31 D après les travaux [8, 9], pour des maillages uniformes, en tout temps T >, on peut trouver des constantes strictement positives k T et K T telles que les solutions de (..3 (toujours sur des maillages uniformes satisfont k T E n ( T ( u 1,n (t 1/,n + u1,n (t dt K T E n (. (..3 xi

22 Introduction Nous démontrons que ce résultat s étend en fait pour une large classe de maillages non uniformes. Introduisons la notion de régularité d un maillage : Définition 6. Soit un maillage S n donné par n + points comme dans (..9. La régularité de S n est définie par Reg(S n = max j{ j+1/,n } min j { j+1/,n }. (..33 Pour M 1, on dira qu un maillage S n est de régularité M si Reg(S n M. Nous démontrons alors le résultat suivant : Téorème 7. Soit M 1 et (S n une suite de maillages de régularité M. Alors, pour tout temps T >, il existe des constantes strictement positives k T et K T telles que les solutions de (..3 satisfont, uniformément en n, les estimées (..3. De façon similaire, nous prouvons le même type de résultat en ce qui concerne une observation distribuée sur un sous-intervalle ω (, 1. La preuve du Téorème 7 est basée sur l étude spectrale de (..3, qui se trouve être particulièrement explicite. Notamment, il est possible de démontrer que les valeurs propres λ k n de l opérateur en (..3 satisfont, pour n importe quel maillage, la propriété suivante, dite de séparation spectrale, ou de spectral gap : min k {1,,n 1} {λk+1 n λ k n} π. En particulier, le Lemme d Ingam (cf. [4] sur les séries trigonométriques montre qu il suffit alors de prouver des propriétés uniformes d observabilité sur les fonctions propres. En utilisant l expression explicite des fonctions propres, nous arrivons alors à montrer (..3, à condition que les maillages soient M réguliers. De plus, nous montrons aussi que la condition de M régularité sur les maillages est, en un certain sens, optimale pour les propriétés d admissibilité et d observabilité discrètes. Enfin, nous exibons les applications du Téorème 7 pour des problèmes de contrôlabilité et de stabilisation, basées sur la dualité HUM et sur les résultats [, 7] présentés ci-dessus. Partie II. Discrétisation en temps de systèmes conservatifs Dans cette partie, nous considérons un couple d opérateurs (A, B, et étudions les discrétisations en temps de (..1-(... Nous supposons, dans toute cette partie, que le système (..1-(.. est admissible et observable. Dans toute cette partie, nous supposons également que l opérateur A est anti-adjoint, et à résolvente compacte. Il s ensuit que le spectre de A est constitué uniquement de valeurs propres iµ j, avec µ j R. De plus, les vecteurs propres Φ j correspondants peuvent être coisis de façon à former une base ortonormale de X. Notre but est de formuler, de la façon la plus générale possible, des propriétés d observabilité et d admissibilité uniformes en le paramètre de discrétisation en temps. xii

23 Introduction Capitre 3. Propriétés d observabilité Pour fixer les idées, considérons la discrétisation standard de (..1-(.. : z k+1 z k t z = z, ( z k+1 + z k = A, dans X, k Z, y k = Bz k, k t. (..34 Remarquons que l énergie des solutions de (..34, définie par est constante. E k = 1 Introduisons alors, pour s >, les classes filtrées z k X, C s (A = vect{φ j tels que les valeurs propres correspondantes iµ j vérifient µ j s}. (..35 Pour le système (..34, nous prouvons le téorème suivant : Téorème 8. Supposons que B L(D(A, Y. Fixons δ >. Alors il existe un temps T δ >, et des constantes strictement positives k δ et K δ telles que, pour tout t >, les solutions z de (..34 avec donnée initiale z C δ/ t (A satisfont : k δ z X t k t [,T δ ] ( z k B + z k+1 K δ z X. (..36 Y Le résultat d observabilité uniforme (..36 est optimal au vu de [43]. En effet, il est prouvé dans [43] que, pour l équation des ondes, on ne peut pas espérer de résultat d observabilité uniforme en t dans des classes filtrées C 1/( t 1+ɛ(A avec ɛ >. La preuve du Téorème 8 est basée sur une métode spectrale introduite dans [6, 9]. Dans [6, 9], il est en effet prouvé que l observabilité de (..1-(.. est équivalente à l existence de deux constantes positives m et M telles que M (A iωz X + m Bz Y z X, z D(A, ω R. (..37 La démonstration de l inégalité d observabilité dans (..36 suit essentiellement celle donnée dans [6, 9] pour montrer que l estimée de la résolvante (..37 implique l observabilité de (..1-(... Pour prouver l inégalité d admissibilité dans (..36, nous introduisons un nouveau critère spectral équivalent à l admissibilité de (..1-(... À nouveau, en suivant la preuve du cas continu (..1- (.., nous démontrons l inégalité d admissibilité dans (..36. La métode que nous développons pour prouver le Téorème 8 présente de nombreux intérêts. Notre métode s applique en effet à de nombreux scémas numériques, et pas seulement à des systèmes discrétisés selon (..34. Pour être plus précis, nous prouvons que, pour une large gamme de métodes de discrétisation en temps incluant entre autres la métode de Newmark et la métode xiii

24 Introduction de Gauss d ordre quatre, des propriétés d observabilité et d admissibilité sont vérifiées uniformément en t >. Grâce aux estimées explicites sur les constantes intervenant dans le Téorème 8, nous pouvons également considérer les propriétés d admissibilité et d observabilité des discrétisations en temps de familles de systèmes uniformément admissibles et observables. Notamment, si les systèmes (..15 sont admissibles et observables au sens de (..18 uniformément en > dans la classe X, alors, pour tout δ >, il existe un temps T δ >, et des constantes strictement positives k δ et K δ tels que, pour tout, t >, les solutions z de z k+1 z k t z = z, avec z C δ/ t (A X satisfont k δ z X t ( z k+1 = A k t [,T δ ] + z k, dans X, k Z, ( z k B + z k+1 K δ z X. (..38 Y Ce résultat permet de déduire instantanément des propriétés d admissibilité et d observabilité uniformes pour des systèmes totalement discrétisés à partir de l étude des systèmes semi-discrétisés en espace (et donc continus en temps correspondants. A notre connaissance, il n existait auparavant que très peu de références bibliograpiques sur les propriétés d observabilité de systèmes conservatifs discrétisés en temps avant notre travail, sinon l article [3] qui étudie l équation des ondes totalement discrétisée en dimension un, et l article [43] qui étudie l équation des ondes dans un domaine borné Ω R d semi-discrétisée en temps, mais avec une métodologie qui ne permet pas d envisager facilement des extensions aux cas complètement discrétisés. Capitre 4. Limites visqueuses de systèmes exponentiellement stables Ici, nous délaissons temporairement les problèmes introduits par les métodes de discrétisation, afin de nous concentrer sur l étude des différents termes de viscosité que nous pouvons introduire dans (..11 de façon à préserver les propriétés dissipatives des systèmes ainsi obtenus. Les métodes que nous développons dans ce capitre sont en fait des versions simplifiées de celles utilisées au Capitre 5 pour des systèmes discrétisés en temps. Leur principal intérêt est qu elles permettent de prouver des résultats de stabilisation y compris pour des systèmes (..11 dont le système conservatif associé (..1-(.. est seulement observable aux basses fréquences. Ici, ainsi qu au Capitre 5, nous supposons que B appartient à L(X, Y. Rappelons que l opérateur A est supposé anti-adjoint. Rappelons aussi que, dans ce cas, le système (..1-(.. est observable si et seulement si le système (..11 est exponentiellement stable. Le but de ces deux capitres est donc de fournir des métodes de discrétisation en temps de (..11 de façon à conserver la décroissance exponentielle de l énergie des systèmes discrétisés uniformément en le pas de temps. xiv

25 Introduction Pour cela, il est nécessaire de réinterpréter les résultats du Capitre 3 en termes de stabilisation. Formellement, le Téorème 8 indique que les basses fréquences (jusqu à l ordre 1/ t sont efficacement amorties par l opérateur B B. Nous allons donc introduire dans les équations un terme visqueux qui aura pour but de dissiper efficacement les autes fréquences, de la même manière qu au Capitre 1. Il faut alors éviter des pénomènes d overdamping, qui peuvent apparaître pour ces équations dissipatives (cf. [1], et qui pourraient empêcer des propriétés de stabilisation uniformes. Nous nous intéressons donc, dans un premier temps sur des modèles continus, aux divers types de viscosité V qui n introduisent pas d effet d overdamping. Nous introduisons donc, pour ε >, les systèmes ż = Az + εv ε z B Bz, t, z( = z X, (..39 où V ε est un terme de viscosité qui peut dépendre de ε, et que nous préciserons plus tard. L énergie des solutions z de (..39, définie par satisfait la loi de décroissance E(t = 1 z(t X, de dt (t = Bz Y + ε < V εz, z > X, t. Rappelons que, sous nos ypotèses, quand ε =, le système (..39, qui correspond alors au système sans terme visqueux (..11, est exponentiellement stable. Pour énoncer notre résultat, nous introduisons la projection ortogonale π 1/ ε dans X sur C 1/ ε (A. Nous prouvons alors que, pour une large classe de termes de viscosité, le système (..39 est exponentiellement stable uniformément en ε : Téorème 9. Supposons que les opérateurs de viscosité V ε satisfont 1. V ε est un opérateur auto-adjoint défini négatif.. La projection π 1/ ε et l opérateur V ε commutent. 3. Il existe des constantes strictement positives c et C telles que pour tout ε >, ( ε Vε z C z X, z C 1/ ε (A, et ( ε Vε z c z X, z C 1/ ε (A. X X Alors l énergie des solutions de (..39 est exponentiellement décroissante au sens de (..14, uniformément en le paramètre de viscosité ε. Des exemples d opérateurs visqueux satisfaisant les ypotèses du Téorème 9 sont εv ε = εa, εv ε = εa I εa,, εv ε = ε A,.... La preuve du Téorème 9 est basée sur celle de [], qui lie les propriétés de décroissance exponentielle de l énergie des solutions de (..11 à l observabilité du système (..1-(... Dans notre cas cependant, à cause du caractère éventuellement non borné de l opérateur de viscosité V ε, nous ne pouvons pas nous ramener à l inégalité d observabilité (..4 pour (..1-(... xv