Intégration & Espaces Vectoriels. Lundi 1èr Juin 2009 Durée : 2 heures

Size: px

Start display at page:

Download "Intégration & Espaces Vectoriels. Lundi 1èr Juin 2009 Durée : 2 heures"

Rudolf Miller
5 years ago
Views:

1 CPGE My Youssef, Rabat «Å ««É ««É ««««º««««Å É Å É «««Å «Å È ã «É ««Å««º È«Å ««««Å«ÃÅ ««Å «««Å ««««««ã È : Itégratio Esaces Vectoriels Ludi èr Jui 29 Durée : 2 heures Blague du jour : U etit garço retre de l école avec so bulleti de ote et va voir so ère : - Paa c est vrai que tes luettes grossisse tout? lui demade-t-il - Bie-sûr ourquoi? - Alors mets les avat de regarder mo bulleti de ote! Mathématicie du jour Lalace Pierre-Simo Lalace ( ), est u mathématicie, astroome et hysicie fraçais Ce chef-d oeuvre, e ciq volumes, a trasformé l aroche géométrique de la mécaique déveloée ar Newto e ue aroche fodée sur l aalyse mathématique Il est ommé miistre de l itérieur sous l ère de Naoléo Ier, comte et marquis Coseils our la rédactio et la résetatio des coies Chaque variable utilisée das ue démostratio doit être défiie L éocé e doit as être recoié sur les coies Chaque résutat aocé doit être justifié e citat récisémet le théorème du cours avec ses hyothèses eactes utilisé ou e citat le uméro de la questio récèdete utilisée Les résultats imortats doivet être simlifiés et ecadrés Les calculs doivet être détaillés et eliqués à l aide de hrases simles Laisser ue marge à gauche de chaque feuille, e tirat u trait vertical, et u horizotal de la ère double feuille our la ote et les remarques du correcteur Numéroter les double feuille de la faço suivate : /,2/,,/ où est le ombre total de double feuille Les questios doivet être traités das l ordre de l éocé Tirer deu traits diagoau our rayer ue artie du raisoemet que vous cosidérez fausse Page / 5

2 Problème : Source : Etrait du Cocours CCP-27, TSI Les calculatrices sot autorisées NB : Si u cadidat est ameé à reérer ce qui eut lui sembler être ue erreur d éocé, il le sigalera sur sa coie et devra oursuivre sa comositio e eliquat les raisos des iitiatives qu il est ameé à redre Notatios : R désige l esemble des ombres réels C désige l esemble des ombres comlees C I,K désige l esemble des foctios cotiues de I das K où K désige R ou C ( ) C ( I ) [ X],K désige l esemble des foctios de classe C de I das K où K désige R ou C R désige l esemble des olyômes de degré iférieur ou égal à, à coefficiets réels Covetio : O coviet d idetifier les foctios olyômes au olyômes qui leur corresod Partie : Quelques résultats rélimiaires ) O défiit les foctios ϕ et ψ de [, + [ das R resectivemet ar : ϕ + () = + et + 2 ψ () = + + ) Étudier les variatios des foctios ϕ et ψ, réciser leurs limites e + E déduire le sige de chacue des foctios sur [, + [ 2) O cosidère u reère orthoormal ( O;i, j), du la Reréseter grahiquemet les foctios ϕ et ψ das ce reère 2) O défiit les suites ( ) N * et ( ) u * v * N ar : et N, u = ( ) = v = ( + ) Motrer que ces suites sot adjacetes O ote γ leur limite commue, le réel γ est aelé costate d Euler, qu o e cherchera as à calculer 3) Soit u etier aturel, o défiit la foctio f de ], ] das R ar : -(- ) f() = 3) Motrer que la foctio f est itégrable sur ], ] 32) Motrer que la foctio f est ue foctio olyôme élémet de R [ ] 2 Doer l eressio de f das la base (, Χ, Χ,, Χ ) = X Page 2 / 5

3 ( ) 33) Motrer que la famille, X, ( X ) ²,, ( X ) est ue base de R [ ] Doer l eressio de f das cette base 34) Calculer de deu faços différetes l itégrale Ι = f (t) dt! Pour etier aturel et etier comris etre et, o ote : =! ( )! Déduire des deu eressios trouvées our I que : - (-) = = = Partie 2 : Trasformée de Lalace Soit E l esemble des foctios f élémet de C(], + [, C ), telles que : Pour tout réel a strictemet ositif, f est itégrable sur l itervalle ], a] X A chaque foctio f o eut associer Α R * +, β R * +, et N tels que : [ Α,+ [, f () β a 4) Soit et a deu réels strictemet ositifs, calculer () t dt Motrer que la foctio logarithme est élémet de E 5) Motrer que l esemble E est u C - esace vectoriel 6) Soit u réel strictemet ositif Motrer que, si f est élémet de E, alors la foctio ϕ défiie de ],+ [ das C ar t ϕ (t) = f (t) e, est itégrable sur ], + [ O défiit alors et o ote L (f) la trasformée de Lalace d u élémet f de E ar : ],+ [, L + ( )( ) = f f ( t) e d t t 7) Motrer que l alicatio L défiie sur E est ue alicatio liéaire 8) Si f est élémet de ([,+ [, ) L (f) et de f ( ) C C tel que f soit élémet de E, calculer L ( f ) e foctio de Page 3 / 5

4 9) Soit u etier aturel, motrer que f défiie de R + das R ar Soit α u réel ositif, o ose α t I = t e dt Détermier ue relatio de récurrece etre I + et I E déduire la trasformée de Lalace de f ) Soit ω u réel et f ω l alicatio défiie de ], + [ das C ar * f (t) t, est élémet de E f ω (t) = e ) Motrer que f ω est élémet de E 2) Calculer la trasformée de Lalace de f ω 3) E déduire les trasformées de Lalace des foctios défiies de ],+ [ das R ar : cosω (t) = cos( ω t) et siω (t) = si ( ω t) Partie 3 : Trasformée de Lalace de la foctio de Bessel O défiit la foctio de Bessel de R das R ar : J(t) = cos( cos d t θ ) θ Das la suite, o admet qu'o ourra dériver à l'iterieur de l'itégrale sas aucu besoi de justificatio 2) Motrer que : t R, t 2 J (t) = si θ cos(t cos θ) dθ 3) Motrer que l alicatio J est solutio sur R de l équatio différetielle : E :tj + J + tj = ( ) 4) Motrer que l alicatio J est élémet de E défii das la artie 2 dθ I = + cos θ 5) Soit u réel strictemet ositif, o ose : ( ) 2 2 5) Motrer que : ( ) 2 dθ I = cos θ 2 dθ ) Calculer l itégrale + cos θ Idicatio : o eut faire le chagemet de variable E déduire I() u = taθ 6) O admet avoir le droit de ermuter l ordre d itégratio soit : = θ θ t t cos(t cos ) d e dt = cos(t cosθ)e dt dθ + + Calculer la trasformée de Lalace de l alicatio J iωt Fi Boe chace Page 4 / 5

5 Page 5 / 5

Le classeur à tampons

Le classeur à tampons P a s à pa s Le matériel 1 gr a n d cla s s e u r 3 pa pi e r s co o r d o n n é s. P o u r le m o d è l e pr é s e n t é P a p i e r ble u D ai s y D s, pa pi e r bor d e a u x,