Content. Content. Introduction. T. Chateau. Computer Vision. Introduction. Outil projectif permettant l acquisition d une scène 3D sur un plan 2D

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1 Content Modèle de caméra T Chateau Lamea/Gravir/ComSee, Blaie Pacal Univerit Computer Viion 2 Content La projection perpective Changement de repère objet/caméra Changement de repère caméra/image Changement de coordonnée dan le plan image Défintion géométrique d une caméra Outil projectif permettant l acquiition d une cène 3D ur un plan 2D D un point de vue mathématique Un modèle de caméra et un enemble de relation mathématique permettant de déterminer le coordonnée bi-dimentionnelle d un point 3D projeté dan l image 2

2 Modèle de caméra ténopé Stème d acquiition d image pinhole (5ème iècle Modèle de caméra ténopé Modèle de caméra ténopé Plan image défini devant le centre optique P(X,Y,Z) Notation de différent repère (R,T) Rw Z u p v Y X Rc

3 Modèle de caméra ténopé Notation de différent repère Rappel ur le coordonnée homogène Changement de repère v u (R,T) Rw X R Y R Z R P R R T R2 P R 2 n a P Y n a P n a P X R 2 Y R 2 Z R 2 Rc R T R2 R 2 R c : repère caméra, R w : repère monde, (O, u, v) : repère Image (prie en compte de la numériation) R Tranformation rigide Tranformation rigide avec : P c =(M ) P w () ( ) X w X c R T P c = Y w 0 Z w = Y c Z c (2) P w le coordonnée 3D d un point de la mire, eprimée dan le repère de modéliation ; P c le coordonnée du même point 3D eprimée dan le repère de la caméra i M f = ( i R f i P f 0 i M f = ( I3 i P f 0 ) ( i A = i ) f P f 0 ) ( i ) A f 0 0 (3) (4)

4 Tranformation d un point Tranlation pure = R i ( i R f i P f 0 = i M f ) R f R f (5) (6) Tran(, a) Tr de a elon l ae Tran(a, b, c) a ur, b ur, c ur, Compoition de tranlation Matrice de rotation pure () Tr(a, b, c) = Tr(a, 0, 0)Tr(0, b, 0)Tr(0, 0, c) = Tr(, a)tr(, b)tr(, c) (7) R = cθ θ 0 θ cθ (8)

5 Rotation quelconque (eemple : angle d Euler) Propriété (inverion) Le angle d Euler (convention,, ) φ (préceion) : angle entre 0 et ON tel que 0 φ θ (nutation) : angle entre 0 et n tel que 0 θ 80 0 ψ (rotation propre) : angle entre ON et n tel que 0 ψ T = T P A T n T P a T P 0 = ( A T A T P 0 ) (9) Propriété (tranformation conécutive) Prie en compte de la focale Projection perpective Y P RW X v u u0 Z v0 0 T k = 0 T T 2 2 T 3 3 T 4 k T k (0) RC f

6 Prie en compte de la focale Paage dan le plan image Projection perpective Paage plan image Y P v u u0 RW X v u u0 Z v0 (ae optique) RC v0 f = f f P c (3) u v Rc = f /d 0 u 0 0 /d v (4) Paage dan le plan image u v = /d 0 u 0 0 /d v (5) { u = /d + u0 v = /d + v 0 (6) (u 0, v 0 ) repréentent le coordonnée (en piel) dan l image, de l interection de l ae optique et du plan image (origine du changement de repère) ; (d, d) ont le dimenion repectivement elon et d un piel élémentaire de la matrice CCD u v = /d 0 u 0 0 /d v f f R R 2 R 3 T R 2 R 22 R 23 T R 3 R 32 R 33 T X w Y w Z w (7)

7 (X w, Y w, Z w ) ont le coordonnée 3D d un point de calibrage appartenant à l étalon; (u, v) ont le coordonnée piel 2D dan l image de la projection de ce point; (u 0, v 0, f, d, d) ont appelé le paramètre intrinèque de calibrage Il ont propre au tème d acquiition; (R (,,,33), T (,,) ) ont appelé paramètre etrinèque de calibrage Il donnent la localiation de l étalon dan le repère de la caméra, au moment de la prie de vue u v = M int M et X w Y w Z w = M (3 4) M et appelée matrice de calibrage du tème X w Y w Z w (8) Matrice de paramètre intrinèque projection 3D-2D On utilie généralement la matrice M int ou la forme: f /d 0 u f /d v 0 0 (9) En poant: f = f /d f = f /d } (f /f = d/d) (20) u v = m m 2 m 3 m 4 m 2 m 22 m 23 m 24 m 3 m 32 m 33 m 34 X w Y w Z w (2)

8 Approche linéaire Projection perpective Définition Calibrer un tème de viion, c et être capable de déterminer tou le paramètre intervenant dan l epreion analtique de la formation de l image Utiliation d une mire, Etant donné un nombre n d appariement 3D-2D (X w, Y w, Z w ; u, v) entre une mire et on image, déterminer le 6 paramètre de formation d image Approche linéaire : principe Approche linéaire : principe Projection perpective u v = m m 2 m 3 m 4 m 2 m 22 m 23 m 24 m 3 m 32 m 33 m 34 X w Y w Z w (m,, m 34 ) ont le 2 inconnue du tème à réoudre (22) En ubtituant, il vient: u = m X w + m 2 Y w + m 3 Z w + m 4 m 3 X w + m 32 Y w + m 33 Z w + m 34 v = m (23) 2X w + m 22 Y w + m 23 Z w + m 24 m 3 X w + m 32 Y w + m 33 Z w + m 34

9 Approche linéaire : epreion matricielle Approche linéaire : réolution Xw i Yw i Zw i u i Xw i u i Yw i u i Zw i u i Xw i Yw i Zw i v i Xw i v i Yw i v i Zw i v i m m 2 m 32 m 34 3 =0 7 5 (24) SVD Réoudre un tème urdéterminé (AX = 0), revient à chercher le vecteur propre aocié à la plu petite valeur propre de A On utilie en général l algorithme de SVD (Singular Value Decompoition Peudo-invere Le tème peut également écrire ou la forme AX = B et peut e réoudre par une peudo-invere Bibliographie Content Eercice Biblio Ce cour et baé ur : JM Lavet, G Rive : Etalonnage de capteur de Viion (Chapitre ), Perception Viuelle par imagerie vidéo, Traitement du ignal et de l imge, Herme, Lavoiier, Sou la direction de M Dhome 2 Eercice

10 Eercice Eercice Eercice : Détermination de paramètre intrinèque et etrinèque Eercice énoncé On donne le correpondance uivante entre la matrice de projection et le paramètre caméra : m (,2,3) = f d R (,2,3) + u 0 R 3(,2,3) m 2(,2,3) = f d R 2(,2,3) + v 0 R 3(,2,3) m 3(,2,3) = R 3(,2,3) m 4 = f d T + u 0 T m 24 = f d T + v 0 T m 34 = T correction Quetion Retrouver le 6 paramètre qui contribuent à la formation d image (33 Rotation + 3 Tranlation + f /d + f /d+ u 0, v 0 ) Eercice Eercice : Calcul de coordonnée d un point 3D à partir de 2 caméra énoncé On conidère que l on connait le matrice de projection de 2 caméra (C et C 2 ), qui obervent la même cène Pour un point 3D inconnu, on donne la correondance dan la caméra (u, v ) et dan la caméra 2 (u 2, v 2 ) correction Quetion Calculer la forme matricielle linéaire qui permet d etimer la poition du point 3D dan le repère monde, à partir de matrice de projection caméra et 2 et de point (u, v ) et (u 2, v 2 )